高一下学期精英班数学讲义22
精英教育VIP一对一的讲义2、22
精英教育VIP 一对一的讲义编写（曾昭雄） 1．如果3-是分式方程xa a x a +=++32的增根，则a ＝ ．2.当m=______时,方程233x m x x =---会产生增根.3.若分式方程03231=+-+x xx 无解，则x 的值一定为 。
4.若关于x 的分式方程3232-=--x m x x 无解，则m 的值为__________。
5．关于x 的方程x m x x--+-2322=3有增根，则m 的值为 ． 6.若方程56x x ax x -=--有增根，则a 的值可能是 7.若方程k x x +=+233有负数根,则k 的取值范围是__________.8.若分式231-+x x 的值为负数，则x 的取值范围是__________。
9.甲、乙两个分别从两地同时出发,若相向而行,则a 小时相遇;若同向而行,则b 小时甲追上乙,那么甲的速度是乙的速度的多少？10．某校用420元钱到商场去购买“84”消毒液，经过还价，每瓶便宜0.5元，结果比用原价多买了20瓶，求原价每瓶多少元？设原价每瓶x 元，则可列出方程为？11．甲、乙两人同时从A 地出发，骑自行车行30千米到B 地，甲比乙每小时少走3千米，结果乙先到40分钟。
若设乙每小时走x 千米，则可列方程为？12．从火车上下来甲、乙两位乘客他们沿着一个方向到同一个地点去，甲乘客一半的路 程以速度a 行走，另一半路程以速度b 行走；乙旅客一半的时间以速度a 行走，另一半时间以速度b 行走．则先到达目的地的是哪位？13．张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去县城购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x千米，依题意，得到的方程是14．某林场原计划在一定期限内固沙造林240公顷，实际每天固沙造林的面积比原计划多4公顷，结果提前5天完成任务，设原计划每天固沙造林x公顷，据题意列方程是（）15.甲同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完，当他读了一半时，发现平时每天要多读21页才能在借期内读完.他读了前一半时,平均每天读多少页?如果设读前一半时,平均每天读x页, 则所列方程为16.暑假期间，A中学“启明文学社”的全体同学包租一辆面包车前去某景点游览，面包车的租价为180元．出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元车费．若设“启明文学社”有x人，则所列方程为17.A、B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程。
8高一下学期精英班数学讲义19
高一下学期精英班数学讲义（19）1. 阅读图3的程序框图。
若输入m = 4，n = 6，则输出a = __ __，i =_ ____ 。
2. 执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出s 的值为 。
3．执行如下图所示的程序框图, 若输入n 的值为4, 则输出s 的值为 。
4. 某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为x 1，…，x 4（单位：吨）．根据如图所示的程序框图，若分别为1，1.5，1.5，2，则输出的结果s 为 。
是 否输入 1,1i s ==输出s结束开始i n≤n()1s i s +-=1i i =+5. 图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为1210A A A L ，，，（如2A 表示身高（单位：cm ）在[)150155，内的学生人数）．图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm （含160cm ，不含180cm ）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是（ ）Ａ．6i < Ｂ．7i < Ｃ．8i < Ｄ．9i <6.执行如题(8)图所示程序框图,输出3s =,那么判断框内应填入的条件是（ ）A ．6k ≤B ．7k ≤C ．8k ≤D ．9k ≤7.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是59,则a = .图1 图2 开始 输入1210A A A L ，，， 04s i == i s s A =+ s 输出 结束 1i i =+ 否 是 50 100150 200 250300 350 400 450 500 550 600 145 150 155 160 165 170 175 180 185 190 195 人数/人 身高/cm 开始 S =1，k =1 k >a ? S =S +1k (k +1) k =k+1输出S结束是 否。
2013白蒲中学高一数学教案：函数：22
第二十二教时教材： 换底公式目的：要求学生掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题。
过程：一、复习：对数的运算法则导入新课：对数的运算的前提条件是“同底”，如果底不同怎么办？ 二、换底公式：aN N mm a loglog log =( a > 0 , a ≠ 1 )证：设 log a N = x , 则 a x = N 两边取以m为底的对数：Na x N ammmxmloglog log log=⇒=从而得：aN x mm loglog =∴ aN N mm a loglog log =两个较为常用的推论：1︒ 1log log =⋅a b b a 2︒ bmn banamloglog =（ a , b >0且均不为1） 证：1︒ 1lg lg lg lg log log =⋅=⋅baa b a b b a 2︒ bmn am b n ab bamn namloglg lg lg lg log===三、例一、计算：1︒ 3log12.05- 2︒ 421432log3log ⋅解：1︒ 原式 =15315555531log3log52.0===2︒ 原式 =2345412log452log213log21232=+=+⋅例二、已知 log 18 9 = a , 18 b = 5 , 求 log 36 45 （用 a , b 表示）解：∵ log 18 9 = a ∴a=-=2log1218log 1818 ∴log 182 = 1 - a∵ 18 b = 5 ∴ log 18 5 = b∴ ab a -+=++==22l o g 15l o g 9l o g 36log45log 45log181818181836例三、设 1643>===t z y x 求证：yxz2111=-证：∵1643>===t zyx∴6lg lg 4lg lg 3lg lg t z t y t x ===，，∴yttttxz21lg 24lg lg 2lg lg 3lg lg 6lg 11===-=-例四、若log 8 3 = p , log 3 5 = q , 求 lg 5 解：∵ log8 3 = p ∴)5lg 1(32lg 33lg 33log2-==⇒=p p p又∵q==3lg 5lg 5log3∴)5lg 1(33lg 5lg -==pq q∴ pq pq 35lg )31(=+ ∴ pqpq 3135lg +=以下例题备用：例五、计算：421938432log )2log 2)(log 3log 3(log -++解：原式452133222log)2log2)(log3log3(log232-++=45)2l o g 212)(l o g 3l o g 313l o g 21(3322+++=254545452l o g 233l o g 6532=+=+⋅=例六、若 2log log 8log 4log 4843=⋅⋅m 求 m 解：由题意：218lg lg 4lg 8lg 3lg 4lg =⋅⋅m ∴3lg 21lg =m ∴3=m四、小结：换底公式及其推论 五、作业：1． 求下列各式的值：1︒ 65353log9--+)(41-2︒7log15log1864925+ (10)3︒ )5.0log 2)(log 2.0log 5(log 25542++ )(414︒ )243log81log 27log9log3(log32log321684269++++ )(12252． 已知 )23lg(lg )23lg(2++=-x x x 求 222l o gx的值。
高中数学第22课教案
高中数学第22课教案
一、教学目标
1. 知道正弦、余弦、正切三角函数的周期性和奇偶性。
2. 掌握正弦、余弦、正切三角函数的图像特点。
3. 掌握利用三角函数的性质解题。
二、教学重点
1. 正弦、余弦、正切三角函数的周期性和奇偶性。
2. 正弦、余弦、正切三角函数的图像特点。
三、教学难点
1. 利用三角函数的性质解题。
四、教学准备
1. 教材、课件。
2. 黑板、彩色粉笔。
3. 试题纸、学生纸。
五、教学过程
1. 引入：通过一个实际生活中的例子引入三角函数的周期性和奇偶性的概念，引导学生了解三角函数的概念。
2. 讲解：通过讲解正弦、余弦、正切三角函数的周期性和奇偶性，让学生掌握这些函数的基本特点。
3. 练习：让学生分组进行练习，练习解题过程中运用三角函数的性质。
4. 总结：总结本节课的重点难点，强调三角函数的性质在解题中的应用。
5. 作业：布置相关作业，督促学生掌握三角函数的性质及解题方法。
六、板书设计
1. 正弦函数：周期性、奇函数。
2. 余弦函数：周期性、偶函数。
3. 正切函数：周期性。
七、教学反思
本节课主要针对三角函数的性质展开教学，通过实际例子引入，让学生了解三角函数的概念；通过讲解和练习，让学生掌握正弦、余弦、正切函数的周期性和奇偶性，以及运用这些性质解题的方法。
通过板书设计和总结，加深学生对本课内容的理解和记忆。
希望学生能在课后认真完成作业，巩固所学知识。
8高一下学期精英班数学讲义1
高 一下学期精英班数学讲义（1）
1.（10山东）已知圆C 过点（1,0），且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：1y x =-被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线方程为 ．
2.（11重庆）在圆
06222=--+y x y x 内，过点E （0，1）的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（ ）
A ．25
B ．210
C ．152
D ．220
3. （13山东）过点(3,1)作圆
22(1)1x y -+=的两条切线,切点分别为A ,B ,则直线AB 的方程为（ ） A ．230x y +-= B ．230x y --= C ．430x y --= D ．430x y +-=
4. 已知圆C :0422
2=+--+m y x y x 与直线042:=-+y x l 相交于M 、N 两点，且｜MN ｜
，则是否存在直线02:=+-c y x l ，使得圆上有四点到直线l
，若存在，求出c 的范围，若不存在，请说明理由。
5. （13江苏）如图,在坐标系xOy 中,点)3,0(A ,直线42:-=x y l ,设圆C 的半径为1,圆心在l 上.
(1)若圆心C 也在直线1-=x y 上,过点A 作圆C 的切线,求切线的方程;
(2)若圆C 上存在点M ,使MO MA 2=,求圆心C 的横坐标a 的取值范围.。
高一中数学知识点22讲解
高一中数学知识点22讲解数学是一门抽象而又有逻辑性的学科，理解和掌握其中的基本知识点对于学生来说至关重要。
在高一学年，数学知识的难度和深度会有所增加，因此在这一阶段，对于数学知识的讲解显得尤为重要。
接下来，我将针对高一数学中一个重要的知识点进行详细的讲解，以帮助同学们更好地理解和掌握。
1. 解一元一次方程解一元一次方程是高一数学中最基础的内容之一，也是后续学习的基础。
解方程是通过推理和变形，找出令方程成立的未知数值。
一元一次方程是指方程中只包含一个未知数，并且未知数的最高次数为1。
解一元一次方程的基本步骤如下：（1）整理方程，使得未知数的项在等号一侧，常数项在另一侧；（2）利用加减法和乘除法的性质，逐步化简方程，将未知数独立并求解；（3）检验求得的解是否满足原方程，若满足，则解是正确的。
2. 解一元二次方程一元二次方程是高中数学中的重要内容，其形式为ax^2+bx+c=0，其中a、b、c是已知的实数，a≠0。
解一元二次方程的一般步骤如下：（1）将方程移项，合并同类项，使方程化为标准形式；（2）根据二次方程的性质，使用求根公式x=-b±√(b^2-4ac)/2a 求解；（3）根据求解的结果进行检验，验证是否满足原方程。
3. 三角函数基本关系三角函数是三角学的基础知识之一，对于高中数学的学习和后续相关学科的发展都具有重要意义。
三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们与角度之间存在特定的关系。
在高一学年，主要介绍了三角函数的定义和基本关系，具体如下：（1）根据直角三角形的定义，正弦函数定义为对边与斜边的比值，余弦函数定义为邻边与斜边的比值，正切函数定义为对边与邻边的比值；（2）由定义可得，这三个函数的定义域为所有实数，值域为[-1, 1]；（3）三角函数之间满足一系列基本关系：tanθ=sinθ/cosθ，cotθ=1/tanθ，sin^2θ+cos^2θ=1等。
4. 平面向量运算平面向量是矢量几何的基本概念，也是高一数学中的重要内容。
高一下册数学知识点归纳大全
高一下册数学知识点归纳大全高一下册数学知识点归纳（人教版）一、三角函数。
1. 任意角和弧度制。
- 任意角：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
按旋转方向不同分为正角、负角和零角。
- 象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。
- 弧度制：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。
l = α r（l为弧长，α为圆心角弧度数，r为半径）。
180^∘=π弧度。
2. 三角函数的定义。
- 在角α终边上任取一点P(x,y)，r=√(x^2) + y^{2}，则sinα=(y)/(r)，cosα=(x)/(r)，tanα=(y)/(x)(x≠0)。
- 三角函数值在各象限的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦。
3. 同角三角函数的基本关系。
- 平方关系：sin^2α+cos^2α = 1。
- 商数关系：tanα=(sinα)/(cosα)(cosα≠0)。
4. 诱导公式。
- 公式一：sin(α + 2kπ)=sinα，cos(α+ 2kπ)=cosα，tan(α + 2kπ)=tanα（k∈ Z）。
- 公式二：sin(π+α)=-sinα，cos(π+α)=-cosα，tan(π+α)=tanα。
- 公式三：sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα，tan(-α)=-tanα。
- 公式四：sin(π-α)=sinα，cos(π-α)=-cosα，tan(π-α)=-tanα。
- 公式五：sin((π)/(2)-α)=cosα，cos((π)/(2)-α)=sinα。
- 公式六：sin((π)/(2)+α)=cosα，c os((π)/(2)+α)=-sinα。
5. 三角函数的图象与性质。
- y = sin x的图象：正弦函数y=sin x的图象是正弦曲线，它的图象可以通过五点作图法（(0,0)，((π)/(2),1)，(π,0)，((3π)/(2), - 1)，(2π,0)）画出。
8高一下学期精英班数学讲义22
高一下学期精英班数学讲义（22）
1.在平行四边形ABCD 中，3π=∠A ，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、
CD 上的点，且满足
||||CD CN BC BM =，则AN AM ⋅的取值范围是 。
2.若函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，求ω的最小值．
3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的
位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动。
当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP uuu r 的坐标为
______________.
4.设函数2())sin 4
f x x x π=++. （I ）求函数()f x 的最小正周期；
（II ）设函数()g x 对任意x R ∈，有()()2g x g x π+=，且当[0,]2x π∈时，1()()2
g x f x =-，求函数()g x 在[,0]π-上的解析式。
6.已知奇函数 f (x) 在 (－∞,0)∪(0,+∞) 上有意义，且在 (0,+∞) 上是增函数，f (1) = 0，又函数 g(θ) = sin 2θ + m cos θ－2m ，若集合M = { m | g(θ) < 0对恒成立R ∈θ}，集合 N = { m | f [g(θ)] < 0对恒成立R ∈θ}，求M∩N.。
高一数学第22课时立体几何初步学案苏教版必修2
听课随笔学习要求1.温故本章内容，使知识系统化，条理化．分清重点，明确难点，再现注意点，达到巩固与知性新的效果。
2. 会证线线、线面、面面的平行与垂直的问题,会求简单的线线、线面、面面间的角与距离以及简单几何体的面积与体积的问题.【课堂互动】自学评价1.空间几何体(柱锥台球,三视图) 的概念：2.平面的基本性质(3个公理与3个推论) ：.3.空间两直线的位置关系(3种关系)：4. 直线和平面的位置关系(3种关系)：5.平面和平面的位置关系(2种关系) ：6.空间几何体的表面积和体积公式.7.三种角与六种距离的简单计算方法：8.物体按正投影向投影面投射所得到的图形叫．光线自物体的前面向后投射所得的投影称为，自上向下的称为．自左向右的称为．【精典范例】例1：已知平面外两平行直线中的一条平行于这个平面，求证另一条直线也平行于这个平面．例2：已知直线AC,DF被三个平行平面α,β,γ所截,交点为A,B,C及D,E,F.求证：AB DE=BC EF例3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC和BD的交点，G为CC1中点，求证：A1O⊥面GBD．例4.四面体ABCD中，AB，BC，BD两两垂直，且AB＝BC＝2，E是AC的中点，异面直线AD与BE求四面体ABCD的体积．例5.设P、A、B、C是球O表面上的四点, PA、PB、PC两两垂直, 且PA=PB=PC=1, 则球的体积为_____ , 球的表面积为____ .例6．平面四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝a,∠Ｂ＝90°，∠ＤＣＢ＝135°，沿对角线ＡＣ将四边形折成直二面角，求证：（１）求证：ＡＢ⊥面ＢＣＤ（２）求面ＡＢＤ与面ＡＣＤ成的角．追踪训练1.已知a//b,且c与a,b都相交，求证：a,b,c共面．2.空间四边形ABCD中, AB=CD , 且AB与CD成60°角, E、F分别为AC、BD的中点, 则EF与AB所成角的度数为.3.设长方体三棱长分别为a,b,c,若长方体所有棱长的和为24,一条对角线长为5,体积为2,则1/a+1/b+1/c= ( )A 11/4B 4/11C 11/2D 2/114.正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5:2:8,体积为14, 则棱台的高为( )A 3B 2C 5D 45. 一个正四面体的所有棱长都为20.5,四个顶点都在同一个球面上, 则这个球的表面积为( )A 3πB 4πC 5πD 6π。
高一数学培优班讲义集合
高一数学 集合一、集合中元素的互异性例1: 设集合A={2，a 2-a+2,1-a},且4∈A ，求a 的值.针对练习①:1. 已知集合{}21,1,3A x x =--,求实数x 应满足的条件.2. 已知数集}33,)1(,2{22++++=a a a a A ，}5,1,{+-+=b a b a B .若B A =，求实数b a ,的值.二、注意空集例2、已知集合A={x|-2<x<5},B={x|m+1<x<3m+5}满足B ⊆A,求实数m 的取值范围.针对练习②:1、已知M={x|x 2+2x+1=0}, N={x|ax-1=0},且N ⊆M,求a 的值.2. 若集合}223|{,}5312|{≤≤=-≤≤+=x x B a x a x A ，求能使B A A ⊆成立的所有a 的集合.三、分类讨论例3、已知集合A={x|x 2+4x=0}, B={x|x 2+2(a+1)x+a 2-1=0}, 若B ⊆A,求实数a 的值.针对练习④:1. 集合}1,12,3{},3,1,{22+--=-+=m m m N m m M ，若}3{-=N M ，求实数m 的值2. 若非空集合S 满足}5,4,3,2,1{⊆S ，且若S a ∈，则S a ∈-6，那么符合要求的集合S 有多少个?四、注意一些等价关系的应用常用等价关系填空：(1)若A ⊆B,则A ∩B=______, A ∪B=_________;(2)若A ∩B=A,则A____B, A ∪B=A,则A______B;(3)若A ∩B=A ∪B,则A_____B;(4)若φA,意味着什么？___________________(5)C U (A ∩B)______(C U A)∪(C U B);(6)C U (A ∪B)______(C U A)∩(C U B).例4、已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+3a-5=0},若A∩B=B，求实数a的取值范围.针对练习④:1、已知A={x|x2+px+q=0},B={x|x2－3x+2=0}，且A∪B=B，求p、q的关系或p、q的值.2、已知集合A＝｛x∈R｜x2+2ax+2a2-4a+4＝0｝，若φA，求实数a的取值范围.3、集合A＝｛x｜x2－ax＋a2－19＝0｝，B＝｛x｜x2－5x＋6＝0｝，C＝｛x｜x2＋2x－8＝0｝．(1)若A∩B＝A∪B，求a的值；(2)若∅A∩B，A∩C＝∅，求a的值．家庭作业(集合)姓名:1. 已知}{},2{a x x B x x A ≤=<=，且B A ⊆，求常数a 的取值范围.2. 集合A={x|mx 2-2x+1=0,x ∈R},若集合A 中至多有一个元素，求实数m 的取值范围.3. 已知集合}121{},0310{2-≤≤+=≥-+=m x m x B x x x A ，当∅=B A 时，求实数m 的取值范围.4.}065|{,}019|{222=+-==-+-=x x x B a ax x x A ，}082|{2=-+=x x x C ，且φ=C A ，（1）若φ≠B A ，求实数a 的值；（2）若A B A = ，求实数a 的取值范围集合(过关检测)1. 给定三元集合},,1{2x x x -，则实数x 的取值范围是___________。
22届高一数学知识点
22届高一数学知识点高一是学生们迈入高中阶段的起点，数学作为一门重要的学科，在其中扮演着重要的角色。
本文将详细介绍22届高一数学的主要知识点，包括代数、几何、概率与统计等内容。
一、代数1. 一次函数与二次函数一次函数是指其自变量的最高次数为1的函数，形如y = ax + b，其中a和b为常数。
而二次函数则是自变量的最高次数为2的函数，一般表示为y = ax² + bx + c。
掌握它们的性质、图像和解析式都是学习代数的基础。
2. 线性方程与线性不等式线性方程具有形如ax + b = 0的解析式，其中a和b为已知常数。
学生需要掌握解一元一次方程和二元一次方程的方法。
而线性不等式则是不等号存在且不全为等号的方程，如ax + b < c。
了解如何求解线性不等式是数学学习的重要一环。
3. 常用函数与概念包括指数函数、对数函数、幂函数等常见的函数形式，学生需要了解它们的定义、性质和变化规律。
同时还要掌握函数的复合、反函数和函数图像的平移、翻折等基本操作。
二、几何1. 角与三角函数角是几何形状的一部分，学生需熟悉角的度量、角的性质以及常见角的特殊关系。
同时，三角函数是角度的函数关系，包括正弦、余弦和正切等。
掌握它们的定义、性质和求解方法是几何学习的关键。
2. 平面几何与立体几何平面几何是研究平面图形和变换的学科领域。
学生需要熟悉各种常见几何图形的性质，如直线、圆、三角形、四边形等。
立体几何则是研究三维空间内物体形状和体积特性的学科，如球体、棱柱、棱锥等。
3. 向量与坐标系向量是用于表示具有大小和方向的物理量，它们是几何学习中的重要概念。
学生需要掌握向量的基本运算、向量的共线性和垂直性等性质。
同时，熟悉直角坐标系和极坐标系的使用方法也是必要的。
三、概率与统计1. 概率基础知识概率是研究随机事件发生可能性的学科，学生需要了解基本概率的概念、计算方法和概率事件的性质。
此外，条件概率、独立事件和贝叶斯定理也是学习的重点。
巴蜀中学2022年新高一数学讲义课件
第1讲集合与区间一、集合及元素1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素（3）集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……2、集合中的元素的三个特性：、、。
3、集合与元素的关系属于：如果元素a 是集合A 的元素，就说a 集合A ，记作；不属于：如果元素a 不是集合A 的元素，就说a 集合A ，记作；4、集合的表示法：①列举法：把集合的元素，并用表示集合的方法。
②描述法：用集合所含元素的表示集合的方法。
具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的。
③Venn 图：用平面上封闭曲线的内部代表集合。
5、几个常用数集及其记号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号6、集合的分类(1)有限集：含有有限个元素的集合；(2)无限集：含有无限个元素的集合；(3)空集：不含任何元素的集合，记作Φ。
如：}01|{2=+∈x R x 7、区间的概念设,a b 是两个实数，而且a b <，我们规定：（1）满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[,]a b ；（2）满足不等式a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，表示为(,)a b ；（3）满足不等式a x b <≤或a x b ≤<的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别表示为(,]a b ，[,)a b ；（4）满足a x ≥的所有实数表示为[)+∞,a ，满足a x >的所有实数表示为()+∞,a 满足a x ≤的所有实数表示为(]a ,∞-，满足a x <的所有实数表示为()a ,∞-。
（5）全体实数表示为()+∞∞-,，“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”。
【题型讲练】题型一、集合及元素例1、用符号∈或∉填空（1）集合{}{}8,7,6,5,4,3,2,1==B A ，则5A ，5B ，6A ，6B ；（2）6*N ，23Q ，35Z ，0N ；πQ，(-2)*N ，32Q，32R；（3）已知集合A 是由满足12+=x y 且N x ∈的实数y 组成，集合B 是由抛物线222++=x x y 上的点组成，则27A ，10A ，点（1，2）A ，2B ，点（0，0）B ，点（－1，1）B ；例2、集合中元素三个特性1、集合{}c b a A ,,=中三个元素是△ABC 的三条边长，那么△ABC 一定不是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形2、集合{}2,,2aa A =，且A ∈1，则实数=a 。
2022-2023学年江苏高一下数学同步精品讲义第01讲 余弦定理(解析版)
第11章 解三角形第01讲 余弦定理课程标准重难点1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系．2.掌握余弦定理、正弦定理．3.能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题.1.弄清正弦定理、余弦定理的推导思路，并在此基础上掌握正、余弦定理的本质．2.解决三角形的边长夹角问题1．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .余弦定理的常见变形 (1)cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；(2)cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ；(3)cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.2．余弦定理与勾股定理的关系余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例． 3．余弦定理的特点(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．(2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量． 4．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题(1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形． (2)若已知两边和一边的对角，可以用余弦定理解三角形知识精讲目标导航考法01 已知两边一角解三角形(1)在△ABC 中，已知b ＝60 cm ，c ＝60 3 cm ，A ＝π6，则a ＝________cm ；(2)在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝910，则BC ＝________.【答案】(1)60 (2)4或5 【解析】(1)由余弦定理得： a ＝ 602＋(603)2－2×60×603×cos π6＝4×602－3×602＝60(cm)．(2)由余弦定理得：(5)2＝52＋BC 2－2×5×BC ×910，所以BC 2－9BC ＋20＝0，解得BC ＝4或BC ＝5. 【练后悟通】已知两边及一角解三角形的两种情况(1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解．(2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其它角． 【跟踪训练】1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝2，cos(A ＋B )＝13，则c ＝( )A ．4 B.15 C ．3 D.17【答案】D【解析】cos C ＝－cos(A ＋B )＝－13.又由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝9＋4－2×3×2×⎝⎛⎭⎫－13＝17，所以c ＝17.故选D.2．在△ABC 中，a ＝23，c ＝6＋2，B ＝45°，解这个三角形．【解析】根据余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(23)2＋(6＋2)2－2×23×(6＋2)×cos 45°＝8， ∴b ＝2 2.又∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝8＋(6＋2)2－(23)22×22×(6＋2)＝12，∴A ＝60°，C ＝180°－(A ＋B )＝75°.例 1能力拓展考法02 已知三边解三角形在△ABC 中，已知a ＝26，b ＝6＋23，c ＝43，求A ，B ，C .【解析】根据余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝(6＋23)2＋(43)2－(26)22(6＋23)(43)＝32.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π6，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(26)2＋(6＋23)2－(43)22×26×(6＋23)＝22，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π4.∴B ＝π－A －C ＝π－π6－π4＝712π，∴A ＝π6，B ＝712π，C ＝π4.【方法总结】已知三角形三边解三角形的方法先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论(或由求得的第一个角利用正弦定理)求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角． 【变式训练】1．[变条件]已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，求△ABC 中各角的度数．【解析】已知a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，令a ＝2k ，b ＝6k ，c ＝(3＋1)k (k ＞0)，由余弦定理的推论，得 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝(6)2＋(3＋1)2－222×6×(3＋1)＝22，∵0°<A <180°，∴A ＝45°.cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝22＋(3＋1)2－(6)22×2×(3＋1)＝12，∵0°<B <180°，∴B ＝60°.∴C ＝180°－A －B ＝180°－45°－60°＝75°.2．[变条件，变设问]若三角形三边长之比是1∶3∶2，则其所对角之比是() A ．1∶2∶3 B ．1∶3∶2 C ．1∶2∶ 3D.2∶3∶2【答案】A【解析】设三角形三边长分别为m ，3m,2m (m ＞0)，最大角为A ，则cos A ＝m 2＋(3m )2－(2m )22m ·3m ＝0，∴A ＝90°.设最小角为B ，则cos B ＝(2m )2＋(3m )2－m 22·2m ·3m ＝32，∴B ＝30°，∴C ＝60°.故三角形三角之比为1∶2∶3.故选A.3．[变条件，变设问]在△ABC 中，已知a 2＋c 2＝b 2＋ac ，且sin A ∶sin C ＝(3＋1)∶2，求角C . 【解析】∵a 2＋c 2＝b 2＋ac ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B.∴2ac cos B ＝ac ，∴cos B ＝12.∵0°＜B ＜180°， ∴B ＝60°，A ＋C ＝120°. ∵sin Asin C ＝3＋12，∴2sin A ＝(3＋1)sin C . ∴2sin(120°－C )＝(3＋1)sin C .∴2sin 120°cos C －2cos 120°sin C ＝(3＋1)sin C . ∴sin C ＝cos C .∴tan C ＝1.∵0°<C <180°. ∴C ＝45°.考法03 判断三角形的形状在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B ·cos C ，试判断△ABC 的形状．【解析】将已知等式变形为b 2(1－cos 2C )＋c 2(1－cos 2B )＝2bc cos B cos C . 由余弦定理并整理，得b 2＋c 2－b2⎝⎛⎭⎫a 2＋b 2－c 22ab 2－c 2⎝⎛⎭⎫a 2＋c 2－b 22ac 2＝2bc ×a 2＋c 2－b 22ac ×a 2＋b 2－c 22ab ，∴b 2＋c 2＝[(a 2＋b 2－c 2)＋(a 2＋c 2－b 2)]24a 2＝4a 44a2＝a 2.∴A ＝90°.∴△ABC 是直角三角形． 【方法总结】利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项(1)利用余弦定理把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解． 【跟踪训练】在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断△ABC 的形状． 【解析】由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，代入已知条件得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·c 2＋a 2－b 22ca ＋c ·c 2－a 2－b 22ab ＝0，通分得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(c 2－a 2－b 2)＝0， 展开整理得(a 2－b 2)2＝c 4.∴a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2. 根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．题组A 基础过关练一、单选题1．在ABC 中，2cos ,4,33C AC BC ===，则tan B =（ ）A．B．C．D．【答案】C 【解析】2cos 3C =，4AC =，3BC =，tan C ∴cos 3AB AC BC C ∴==，可得A C =， 2B C π∴=-，分层提分则()222tan 2tan tan 2tan 251tan 14C B C C C π--=-=-===-- C. 2．从长度分别为1，2，3，4，5的5根细木棒中选择三根围成一个三角形，则最大内角（ ） A ．可能是锐角 B ．一定是直角 C ．可能大于D ．一定小于【答案】D【解析】从长度分别为1，2，3，4，5的5根细木棒中选择三根有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)共10种取法，其中能够围成三角形的有(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)三种， 若三边为2，3，4，设最大角为θ，则22223411cos 22342θ+-==->-⨯⨯，故2,23ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； 若三边为2，4，5，设最大角为θ，则22224551cos 224162θ+-==->-⨯⨯，此时2,23ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；若三边为3，4，5，故最大角为直角， 综上所述，D 选项正确.故选：D.3．在ABC 中，三边长分为5，7，8，则最大角和最小角之和是（ ）A ．34πB ．23πC ．56πD ．712π【答案】B【解析】设A 为ABC 的最小角，C 为ABC 的最大角， 由余弦定理，可得2225871cos 2582B +-==⨯⨯，因为(0,)B π∈，所以3B π=，所以23A C π+=，即最大角和最小角之和是23π.故选：B. 4．在锐角△ABC 中，b ＝1，c ＝2，则a 的取值范围是（ ） A． B．C．D．【答案】D【解析】在锐角△ABC 中，b ＝1，c ＝2.若C 为最大角，即0cos 1C <<，则222012a b c ab+-<<，即2140121a a +-<<⨯⨯，解得：3a >； 若A 为最大角，即0cos 1A <<，则222012b c a bc+-<<，即21401221a +-<<⨯⨯，解得：5a <；所以35a <<.故选：D5．在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若2222a b c bc -=-，则角A 等于（ ）A ．135B ．60或120C ．45D ．135或45【答案】C【解析】2222a b c bc -=-，又余弦定理得2222cos 22b c a A bc +-==故45A =︒故选：C6．勾股定理被称为几何学的基石，相传在商代由商高发现，又称商高定理．汉代数学家赵爽利用弦图（又称赵爽弦图，它由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图1），证明了商高结论的正确性．现将弦图中的四条股延长相同的长度（如将CA 延长至D ）得到图2．在图2中，若5AD =，310BD =，D 、E 两点间的距离为145，则弦图中小正方形的边长为（ ）A 3B 22C ．1D ．2【答案】C【解析】由条件可得5BE AD ==，在BDE 中，由余弦定理得(2222231025145cos 22531010BD BE DE DBE BD BE +-+-∠===⋅⨯⨯， 所以，()cos cos cos 10CBD DBE DBE π∠=-∠=-∠=所以，cos 3BC BD CBD =⋅∠==，9CD =， 4AC CD AD ∴=-=，所以弦图中小正方形的边长为1CA CB -=．故选：C. 二、多选题7．在ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，已知b =150c =，30B =︒，则边长a 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】AB【解析】在ABC 中，b =150c =，30B =︒， 由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，(2221502150a =+-⨯，2150000a -+=，(0a a --=，解得a =a =AB8．设ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，下列命题正确的是（ ） A ．若222a b c +<，则2C π>B ．若2ab c =，则3C π≥C ．若333a b c +=，则2C π<D ．若2a b c +=，则2C π>【答案】AC【解析】对于A 选项，222a b c +<，可以得出222cos 02a b c C ab+-=<，∴2C π>，故A 正确；对于B 选项，因为2ab c =，所以22221cos 222a b c ab ab C ab ab +--=≥=，当且仅当a b =时取等号，因为()0,C π∈，所以03C π<≤，故B 错误；对于C 选项，假设2C π≥，则c a >，c b >，则222c a b ≥+，所以32233c a c b c a b ≥+>+与333a b c +=矛盾，∴2C π<，故C 正确，对于D 选项，取2a b c ===，满足2a b c +=，此时3C π=，故D 错误；故选：AC.三、填空题9．已知ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且::2:3:4a b c =，则ABC 的最小角的余弦值为__________. 【答案】78##0.875【解析】因为::2:3:4a b c =，故可设2,3,4(0)a k b k c k k ===>， 因为a b c <<，故A 最小，从而222547cos 2348k k A k k -==⨯⨯. 故答案为：78.10．在ABC 中，已知2AC =，3AB =，45A =︒，则BC =______. 【答案】5【解析】在ABC 中，已知2AC =，3AB =，45A =︒，由余弦定理得：22222cos (2)3223cos 455BC AC AB AC AB A =+-⋅=+-⨯=， 所以5BC =.故答案为：5 四、解答题11．如图，两条笔直的公路相交成60°角，两辆汽车A 和B 同时从交点O 出发，分别沿两条公路行驶．如果汽车A 的速度是48km/h ，那么汽车B 应以多大的速度行驶，才能使这两辆汽车在出发1h 后相距43km(结果精确到1km/h)？【答案】35km/h 或13km/h 【解析】如图：设1小时后，汽车A 在A 点，汽车B 在B 点，由已知：在AOB 中，48OA =，43AB =，60AOB ∠=︒，∴由余弦定理得2222cos AB OA OB OA OB AOB =+-⋅∠，即222143482482OB OB =+-⨯⨯⨯，化简得2484550OB OB -⨯+=，解得35OB =或13．∴汽车B 的速度是35km/h ，或13km/h 时，两辆汽车在出发1h 后相距43km ． 12．在ABC 中，(1)已知b ＝8，c ＝3，60A ∠=︒，求a ； (2)已知a ＝7，b ＝3，c ＝5，求A ∠； (3)已知a ＝20，b ＝29，c ＝21，求B ．【解析】 (1)依题意2212cos 6492834972a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯==. (2)由余弦定理得222925491cos 22352b c a A bc +-+-===-⨯⨯，由于0180A <<，所以120A =.(3)由余弦定理得222400441841cos 0222021a cb B ac +-+-===⨯⨯，由于0180B <<，所以90B =.题组B 能力提升练一、单选题1．我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求职公式，即ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则ABC 的面积222222142c a b S c a ⎡⎤⎛⎫+-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦已知在ABC 中，cos 6,22ac B b ==，则ABC 面积的最大值为（ ）AB．C ．2 D ．4【答案】D【解析】∵222222cos 622a c b a cb ac B ac ac +-+-===，又∵b =2221220a c b +=+=.∴22102a c ac +≤=（当且仅当a c ==.∴ABCS=4==， ∴ABC 面积的最大值为4.故选：D2．已知在三角形ABC 中，4BC =，2AB AC =，则AB AC ⋅的取值范围是（ ） A ．32,329⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．32,329⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()0,32D ．[)0,32【答案】A【解析】因为4BC =，2AB AC =，所以44AB AC AB AC ⎧+>⎪⎨-<⎪⎩，即2424AC AC AC AC ⎧+>⎪⎨-<⎪⎩，解得443AC <<，由余弦定理222cos 2AC AB BC CAB AC AB+-∠=⋅，所以222222cos 22AC AB BC AC AB BC AB AC AB AC CAB AB AC AC AB +-+-⋅=⋅∠=⋅⋅=⋅ 25162AC -=，因为443AC <<，所以216169AC <<，所以2516323292AC --<<，即32,329AB AC ⎛⎫⋅∈- ⎪⎝⎭；故选：A3．锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2224a b c +=，则cos C 的最小值为（ ） A ．12 B ．34C D ．35【答案】B【解析】因为在锐角ABC 中，2224a b c +=，所以222222222222444a b a b a b b a a ba b ⎧++>⎪⎪+⎪+>⎨⎪⎪++>⎪⎩，得223553b a <<b a <<所以()222222222334cos 2288a b a b a b a b c a b C ab ab ab b a ++-++-⎛⎫====+ ⎪⎝⎭， 令bx a =，则x ∈⎝⎭， 所以函数()318f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在⎫⎪⎪⎝⎭单调递减，在⎛ ⎝⎭单调递增，又f f ==⎝⎭⎝⎭()314f =， 所以cos C 的最小值为34.故选：B4．在ABC中，222sin a b c C ++=，则ABC 的形状是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等边三角形【答案】D【解析】在ABC中，222sin a b c C ++=， 又由余弦定理知，2222cos b a c ab C +-=，两式相加得：222()2cos )4sin()6a b ab C C ab C π+=+=+，222sin()1622b a C a bababπ+∴+==（当且仅当c b =时取“=” )，又sin()16C π+，sin()16C π∴+=（当且仅当a b =时成立），C 为ABC ∆的内角，62C ππ∴+=，3C π=，又a b =，ABC ∴的形状为等边△．故选：D ．5．星等分为两种：目视星等与绝对星等但它们之间可用公式55lg3.26dM m =+-转换，其中M 为绝对星等，m 为目视星等，d 为距离（单位：光年）．现在地球某处测得牛郎星目视星等为0.77，绝对星等为2.19；织女星目视星等为0.03，绝对星等为0.5，且牛郎星和织女星与地球连线的夹角大约为34°，则牛郎星与织女星之间的距离约为（ ）（参考数据：0.906108.054≈，0.71610 5.199≈，cos340.8︒≈） A ．26光年 B ．16光年C ．12光年D ．5光年【答案】B【解析】由55lg3.26dM m =+-，所以553.2610m M d +-=⨯，由题意知： 2.19M =牛、0.77m =牛、0.5M =织、0.03m =织，设地球与牛郎星距离为1d ，地球与织女星距离为2d ，织女星与牛郎星距离为d ，则0.775 2.190.71651 3.26103.2610 3.26 5.19917d +-=⨯=⨯≈⨯≈，0.0350.50.90652 3.26103.2610 3.268.05426d +-=⨯=⨯≈⨯≈，如图由余弦定理2222212122cos341726217260.8257d d d d d =+-︒=+-⨯⨯⨯=，所以25716d =≈，即牛郎星与织女星之间的距离约为16光年； 故选：B6．在ABC 中，22BC AB ==，则C ∠的取值范围为（ ） A ．06π⎛⎤ ⎥⎝⎦，B ．02，C ．62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．62ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦，【答案】A【解析】由已知可知22221133cos 224AC C AC AC AC +-⎛⎫==+ ⎪⨯⨯⎝⎭3AC =. 所以π06C <≤.故选：A. 二、多选题7．在ABC 中，AB c =，BC a =，CA b =，下列命题为真命题的有（ ） A ．若a b >，则sin sin A B >B ．若0a b ⋅>，则ABC 为锐角三角形 C ．若0a b ⋅=，则ABC 为直角三角形D ．若()()0b c a b a c +-⋅+-=，则ABC 为直角三角形 【答案】ACD【解析】A ：若a b >，由正弦定理得2sin 2sin R A R B >，sin sin A B ∴>，则 A 正确；B ：若0a b ⋅>，则cos()0ACB π-∠>，cos 0ACB ∴∠<，即ACB ∠为钝角，ABC ∴为钝角三角形，故 B 错误；C ：若0a b ⋅=，则AC BC ⊥，ABC ∴为直角三角形，故 C 正确；D ：若()()0b c a b a c +-⋅+-=，则22()0b a c --=，2222a c b a c ∴+-=⋅，222cos 2a c b B a c+-=- ，由余弦定理知222cos 2a c b B a c+-=，cos cos B B ∴=-，则cos 0B =， (0,)B π∈，2B π∴=，ABC 为直角三角形，故 D 正确．故选：ACD ．8．ABC 的内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，对于ABC ，有如下命题，其中正确的有（ ） A ．sin(B +C )=sin A B ．cos(B +C )=cos AC ．若222+=a b c ，则ABC 为直角三角形D ．若222a b c +<，则ABC 为锐角三角形 【答案】AC【解析】依题意，ABC 中，B C A +=π-，sin()sin()sin B C A A π+=-=，A 正确； cos()cos()cos B C A A π+=-=-，B 不正确；因222+=a b c ，则由余弦定理得：222cos 02a b c C ab，而0C π<<，即有2C π=，ABC 为直角三角形，C正确；因222a b c +<，则222cos 02a b c C ab+-=<，而0C π<<，即有2C ππ<<，ABC 为钝角三角形，D 不正确. 故选：AC 三、填空题9．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且a x =，2b =，45B =，符合条件的三角形有两个，则实数x 的取值范围是_____ 【答案】()2,22【解析】在ABC 中， a x =，2b =，45B =，由余弦定理得：2222cos b c x cx B =+-，即22240c cx x -+-=. 因为符合条件的三角形有两个，所以关于c 的方程由两个正根， 所以()222Δ24404020x x x x ⎧=-->⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩，解得：222x <<.故实数x 的取值范围是()2,22. 故答案为：()2,2210．如图，已知O 为ABC 重心，且90BOC ∠=，若2433BC AB AC =⋅，则cos A 的值为_________．【答案】32【解析】连接AO 并延长交BC 于点E ，则E 为BC 的中点，且2AO OE BC ==，所以，3322AE AO BC ==， ()()111222AE AB BE AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+，所以，2AE AB AC =+，所以，()22222429AE AB ACAB AC AB AC BC =+=++⋅=，设AB c =，AC b =，BC a =，因为2433BC AB AC =⋅，则234a bc =， 则22292cos a cb bc A =++，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-， 所以，23cos 22bc A a bc ==，因此，3cos 2A =. 故答案为：32. 四、解答题11．如图，在ABC 中，点D 在线段BC 上，且2BD DC =，2AD =.(1)若ABD △是正三角形，求AC 的长；(2)若310cos B =135ADC ∠=，求ABC S 的值. 【解析】(1)因为120ADC ∠=，112CD BD ==，由余弦定理可得222cos 7AC AD CD AD CD ADC +-⋅∠(2)因为310cos B =B 为锐角，则210sin 1cos B B =-， 则())225sin sin 135cos sin BAD B B B ︒∠=-=+=由正弦定理sin sin BD ADBAD B=∠得252sin 542sin 10AD BAD BD B ∠===22CD =，因此，133sin13562ABC ACD S S AD CD ==⨯⋅⋅=△△.题组C 培优拔尖练一、单选题1．锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2225a b c +=，则cos C 的取值范围是（ ）A ．(12B ．(112，） C ．[45D ．[45，1)【答案】C【解析】由题意得2222222224()4245221010co 5s a b a b a b c a b C ab ab ab ab ab ++-+-+⨯===≥=，（当且仅当a b =时取等号），由于三角形是锐角三角形，所以222222222a b cb c a a c b ⎧+>⎪+>⎨⎪+>⎩，所以222222222222555a b a b a b b a a ba b ⎧++>⎪⎪⎪++>⎨⎪⎪++>⎪⎩，解得2223,32b a <<b a <<，222224()25cos ()225a b a b c b a C ab ab a b++-===+，设21,()()5b x x f x x a x=∈∴=+， 因为函数()f x在单调递减，在上单调递增，所以函数()f x无限接近f f 中的较大者，所以()f x f f →== 所以cos C的取值范围是45⎡⎢⎣⎭，故选：C ． 2．已知非等腰ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且444222222a b c a bc a b+++=+，若c 为最大边，则2a b c+的取值范围是（ ）A．12⎛ ⎝⎭B．12⎛ ⎝C．12⎛ ⎝⎦D．12⎛ ⎝【答案】A【解析】因为444222222a b c a b c a b +++=+，所以444222222()a b c a b c a b +++=+，即()222422222(2)a b c a b c a b =-+++， 即()222422222()2a b c c a b a b -+++= 即()222222a b c a b =+-，所以2222124a b c ab ⎛⎫= ⎪⎝⎭+-，因为c 为最大边， 所以1cos 2C =-，由余弦定理得222222cos c a b ab C a b ab =+-=++，()()()2222324b a a ab b a a b b +⎛⎫+++ -=⎪⎭>⎝=-，所以()32c a b >+， 即233a b c +<， 又a b c +>， 所以2313a b c +<<， 所以13223a b c +<<. 故选：A 三、填空题3．如图，在ABC 中，1cos 3BAC ∠=-，2AC =，D 是边BC 上的点，且2BD DC =，AD DC =，则AB 等于______.【答案】3【解析】设AD =m ，则有CD =m ，BD =2m ，BC =3m ，ABC 中，由余弦定理2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠得：224943m AB AB =++，ADB △中，由余弦定理2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠得：2254cos AB m m ADC =+∠，ADC 中，由余弦定理2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠得：2422cos m m ADC =-∠，消去cos ADC ∠得：2289AB m +=，从而得224843AB AB AB +=++，解得3AB =， 所以AB 等于3.故答案为：34．在三角形ABC 中，若()232CA AB CB AB AB ⋅+⋅=，则min 1tan tan A B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．【答案】【解析】设ABC 的内角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ， 因为()232CA AB CB AB AB ⋅+⋅=， 所以()23cos cos 2bc A ac B c π-+=⎡⎤⎣⎦，由余弦定理得：()2221cos 2bc A b c a =+-，()2221cos 2ac B c a b =+-， 所以()()2222222113222c a b b c a c ⎡⎤+--+-=⎢⎥⎣⎦，整理得：222332a b c -=.由于2222cos a b ac B c -=-， 所以()2232cos 2ac B cc -=，整理得：6cos 5a B c =，再根据正弦定理边角互化得：()6sin cos 5sin 5sin 5sin cos 5cos sin A B C A B A B A B ==+=+， 所以sin cos 5cos sin A B A B =， 所以tan 5tan A B =，由于,A B 是ABC 的内角，故tan 0,tan0A B >>，所以11tan 5tan tantan A B B B +=+≥tan tanA B ==时等号成立； 所以min 1tan tan A B⎛⎫+= ⎪⎝⎭故答案为：四、解答题5．ABC 中，已知2220,2230,a a b c a b c ⎧---=⎨+-+=⎩①②求ABC 的最大角.【答案】120︒.【解析】由条件2220,2230,a a b c a b c ⎧---=⎨+-+=⎩①②可引出222,223,b c a a c b a ⎧+=-⎨-=+⎩③④ 由③、④可引出234a c +=.⑤ 223(1)(3)44a a a ab --+-==，⑥ 由于0a >，由⑤、⑥可得c b >.⑦又由⑥可知3a >.⑧（因为若0<<3a 将引出0b <，这是不允许的.） 又由⑤知243(1)(3)44a a a a c a -+---==.⑨ 由⑧、⑨可知0c a ->，因而c a >.⑩由⑦、⑩可知c 是ABC 的最大的边，而C ∠是最大的角. 由余弦定理可知2222()()cos 22a b c b c a c a C ab ab+---+==， 由⑤知234(3)(1)44a a a a c a +++++==.⑪ 由⑥、⑨、⑪知()()2222(1)(3)19(1)(3)[(1)(3)(1)(3)]cos (1)(3)8(1)(3)162a a a a a a a a a a C a a a a a a +----+-+---+==+-+-⋅4182a a -==-，120C ∴∠=︒. 6．如图，某市拟在长为8km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数sin (0,0),[0,4]y A x A x ωω=>>∈的图像，且图像的最高点为(3,23)S ；赛道的后一部分为折线段MNP ，为保证参赛运动员的安全，限定120MNP ∠=︒.（1）求,A ω的值和,M P 两点间的直线距离；（2）折线段赛道MNP 最长为多少？求此时点N 的坐标. 【解析】（1）依题意，有23,34TA ==，又2T πω=，∴6π=ω， ∴23sin6y x π=, 当4x =时，∴223sin33y π== ∴()4,3M ，又()8,0p , ∴22435MP +=（2）如图，在MNP 中，120,5MNP MP ∠=︒=，由余弦定理得2222cos MN NP MN NP MNP MP +-⋅⋅∠= 即2225MN NP MN NP ++⋅=,故()22252MN NP MN NP MN NP +⎛⎫+-=⋅≤ ⎪⎝⎭ 从而()23254MN NP +≤，即103MN NP +≤当且仅当MN NP =时，折线段赛道MNP 最长. 因为120MNP ∠=︒，53MN NP ==所以30MPN ∠=︒, 又34sin ,cos 55MPO MPO ∠=∠= 所以433sin sin(30)OPN MPO +∠=︒+∠=433cos cos(30)OPN MPO -∠=︒+∠= 所以431238cos 8N x NP OPN -+=-∠==, 53433943sin N y NP OPN ++=∠==, 故123943N ++⎝⎭.。
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高一下学期精英班数学讲义（22）
1.在平行四边形ABCD 中，3π=
∠A ，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD ||||CD BC =AN AM ⋅的取值范围是 。
2.若函数y ＝sin ωx (ω>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，求ω的最小值．
3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动。
当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP 的坐标为______________.
4.设函数2()cos(2)sin 24
f x x x π=++. （I ）求函数()f x 的最小正周期；
（II ）设函数()g x 对任意x R ∈，有()()2g x g x π+=，且当[0,]2x π∈时，1()()2
g x f x =-，求函数()g x 在[,0]π-上的解析式。
6.已知奇函数 f (x) 在 (－∞,0)∪(0,+∞) 上有意义，且在 (0,+∞) 上是增函数，f (1) = 0，又函数 g(θ) = sin 2θ + m cos θ－2m ，若集合M = { m | g(θ) < 0对恒成立R ∈θ}，集合 N = { m | f [g(θ)] < 0对恒成立R ∈θ}，求M∩N.。