第七章 空间解析几何

标各有什么特点？
答：过点 P ( x0 , y0 , z0 )平行于 z 轴的直线上的点 x、y 坐标一定为 x0 , y 0 ，因此坐标为( x0 , y0 , z )； 0
过点 P ( x0 , y0 , z0 )平行于 xoy 坐标面的平面上的点的竖坐标一定为 z 0 ，因此坐标为( x, y, z0 ) 0
cos
2 1 3 , , 3 2 4 3
的模为 3，且其方向角
★★10．已知向量 a
60 , 45 ，求向量 a 。
知识点：向量的坐标表示及相关概念 解：根据向量、向量的模、方向余弦之间的关系可得：
a a {cos , cos , cos } 3{cos
n.
证明：在 OPQ 中，根据三角形法则 OQ OP PQ ，又 PR
ne
n r1 m r2 m n
m m PQ (r2 r1 ) ， mn mn
t
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A
c
B
D1 D2
a
C
D3
D4
图 7-1-5
★7．已知两点
解： M 1 M 2 {1,2 , 2} ； 2 M 1 M 2 2{1,2 , 2} {2, 4, 4}
★8．求平行于向量
知识点：向量的坐标表示及代数运算 解：平行于向量 a {6,7, 6}的单位向量有和 a 同向和反向两个，
∴a
0
★★9．已知两点
1 1 BC D1 A AD1 (c a ) 5 5 2 3 4 同理： D2 A ((c a ), D3 A (c a ), D4 A (c a ) 5 5 5
根据三角形法则，
t
AB BD1 AD1 , BD1
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w.
主要性质： （1）a a
a
2
； （2）a
b a b 0 ， （3）cos(a , b)
运算
a b ab
ww
定义
a b 的模为 a b a b sin(a , b) ，

i a b ax bx
方向为 a 指向 b 大拇指方向
性质：（1） a b 表示以 a 、 b 为邻边的平行四边形面积； （2） a b a , a b b 混合积 定义及运算： (a b) c
★1 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？
答 ： A(2 , 2 , 3) 在 第 四 卦 限 ， B (3 , 3 , 5) 在 第 五 卦 限 ， C (3 , 2 , 4) 在 第 八 卦 限 ，
D(4 , 3 , 2) 在第三卦限
★2．在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？并指出下列各点的位置：
知识点：向量的坐标表示及代数运算 解：根据向量模、方向余弦、方向角的计算公式可得：
ww

a 1 6 7 6 {6,7,6} { , , } a 11 11 11 36 49 36
w.
知识点：空间两点的距离、向量的坐标表示及代数运算
a {6,7, 6}的单位向量
M 1(4, 2,1), M 2(3,0,2)，计算向量 M 1 M 2 的模、方向余弦、方向角。
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n.
1 2 , cos 2 2
知识点：空间两点的距离
ne
t
M(5,3,4)到 z 轴的距离为 x 2 y 2 25 9 34
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★★6．在 yoz 面上，求与三点
A (3,1,2), B(4,2, 2),C(0,5,1)等距离的点。
解：∵所求点在 yoz 面上，∴设所求点的坐标为 (0, y, z ) ，由条件可知：
9 ( y 1) 2 ( z 2) 2 16 ( y 2) 2 ( z 2) 2 ( y 5) 2 ( z 1) 2
le
ABCD 的对角线 AC a , BD b ，试用向量 a , b 表示 AB , BC , CD , DA 。
ar
和 D4 A 。
∴ OR
OP PR r1
nr mr2 m (r2 r1 ) 1 mn mn
, D2 , D3 , D4 ，再把各分点与点 A 连接，试以
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w.
le
D(0, 2,0)
ar
A(2 , 2 , 3) ；
B(3 , 3 , 5) ； C (3 , 2 , 4) ；
n.Biblioteka 习题 7-2neD(4 , 3 , 2)
★12．已知
1 表示向量和 y 轴正向夹角为零，因此该向量和 y 轴平行且方向相同
cos 0 表示向量和 x、y 轴正向夹角都为
r 4,r 与轴 的夹角是 60 ，求 Pr j r 。
知识点：向量在轴上的投影
★★13．一向量的终点为
B(2,1,7)，它在 x 轴、y 轴和 z 轴上的投影依次为 4,4,7 ，求该向量的起
tt
M 1(0,1,2), M 2(1,1,0)，试用坐标表示式表示向量 M 1M 2 ,2M 1 M 2 。
le
3 y 4 z 5 y 1 ，∴所求点为 (0,1,2) 4y z 6 z 2
ar
M 1 M 2 {1 , 2 , 1} M 1 M 2 1 2 1 2 , cos
知识点：向量的线性运算
解：根据三角形法则， AB BC AC a , AD AB BD b ，又 ABCD 为菱形，
AD BC （自由向量）， a b ba ∴ 2 AB AC BD a b AB CD DC AB 2 2 ab a b ， DA ∴ AD BC 2 2
ar

向量 a 的模、方向余弦：
2 2 a ax ay a z2
， cos
n.

aμ μ
a ax i a y j az k b bx i b y j bz k
a a x i a y j a z k
ne
ax b a , cos x , cos z a a a
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习题 7-1
★★1．填空：
（1） （2）
★2．设
要使 要使
ab ab
成立，向量 a , b 应满足 a
b
，且同向
a b a b 成立，向量 a , b 应满足 a // b
u a b 2c , v a 3b c ，试用 a , b , c 表示向量 2u 3v
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第七章空间解析几何与向量代数
内容概要
名 称 向 量 及 线 性 运 算 主要性质：（1） a 单位化向量为 向量与数的乘法 向量的加减法 三角形法则 平行四边形法则 主要内容（7-1，7-2，7-3）
a ：当 0 时， a 表示和 a 同向， a a 的向量； 当 0 ， a 表示和 a 反向， a a 的向量；

a b ( a x bx ) i ( a y b y ) j ( a z bz ) k
t
j ay by k az bz
向
M 1 ( x1 , y1 , z1 ), M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 的距离： ( x 2 x1 ) 2 ( y 2 y1 ) 2 ( z 2 z1 ) 2
关于 yoz 面的对称点的坐标为 ( a, b, c ) 。 （2）(a,b,c)关于 x 轴的对称点的坐标为 ( a,b,c ) ；关于 y 轴的对称点的坐标为 ( a, b,c ) ； 关于 z 轴的对称点的坐标为 ( a,b, c ) （3）(a,b,c)关于原点的对称点的坐标为 ( a,b,c)
a a
，（2） a//b
a b
量 的 坐 标
向量的代数运算
量 积 向 量 积 混 合 积 向量积
定义及运算： a b
tt
数
数量积
le

向量 a 在
μ 轴上的投影： Pr j μ a a cos(a , μ)
a b cos(a , b) a x bx a y b y a z bz
tt
C(2,0,0);
A (2,3,0);
B(0,3,2);
知识点：空间直角坐标 答：在各坐标面上点的坐标有一个分量为零，坐标轴上点的坐标有两个分量为零，
∴点
★3．求点
答：（1）(a,b,c)关于 xoy 面的对称点的坐标为 (a, b,c) ；关于 xoz 面的对称点的坐标为 (a,b, c) ；
点
A 的坐标。
知识点：向量在坐标轴上的投影
解：∵向量的坐标分量即为它在 x 轴、y 轴和 z 轴上的投影，设起点 A 为 A( x, y, z ) ，则：
AB {2 x, 1 y, 7 z} {4, 4, 7} ( x, y, z ) ( 2, 3, 0)
★5．求点
M(5,3,4)到各坐标轴的距离。
2 2
解：∵ M ( x, y, z ) 到 x 轴的距离为 z y
∴ M(5, 3,4)到 x 轴的距离为 同理 M(5, 3,4)到 y 轴的距离为