高等数学-第八章空间解析几何ppt
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同济版高等数学第六版课件第八章第五节曲面及其方程
定义
三、柱面
观察柱面的形成过程:
平行于定直线并沿定曲线 移动的直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 叫柱面的准线动直线 L 叫柱面的母线.
定义
三、柱面
观察柱面的形成过程:
平行于定直线并沿定曲线 移动的直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 叫柱面的准线动直线 L 叫柱面的母线.
这条定直线叫旋转 曲面的轴．
二、旋转曲面
定义
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.
这条定直线叫旋转 曲面的轴．
二、旋转曲面
定义
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.
这条定直线叫旋转 曲面的轴．
二、旋转曲面
定义
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.
定义
三、柱面
观察柱面的形成过程:
平行于定直线并沿定曲线 移动的直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 叫柱面的准线动直线 L 叫柱面的母线.
定义
三、柱面
观察柱面的形成过程:
平行于定直线并沿定曲线 移动的直线所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 叫柱面的准线动直线 L 叫柱面的母线.
水桶的表面、台灯的罩子面等．
曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．
曲面的实例：
一、曲面方程的概念
曲面方程的定义：
以下给出几例常见的曲面.
解
根据题意有
所求方程为
特殊地：球心在原点时方程为
解
根据题意有
所求方程为
根据题意有
解
化简得所求方程
例4 方程 的图形是怎的？
这条定直线叫旋转 曲面的轴．
高数下 第八章空间解析几何.PDF
a = ( ax , ay , az )
平行向量对应坐标成比例
当 a 0 时,
bx = by = bz ax ay az
bx = ax by = ay bz = az
例1 已知两点 在AB直线上求一点M ，使
及实数 −1，
A
解 设 M 的坐标为
如图所示
M
B
AM = MB OM − OA = ( OB − OM )
第八章 空间解析几何与向量代数
第一讲 向量及其线性运算
回顾
基本概念 向量的定义、向量的模、单位向量、零向量、负向量、 向量之间的关系：向量平行、 向量相等、 向量共面、 向量的线性运算与坐标表示：平面向量的线性运算、 平面向量的坐标表示、 平面向量平行的坐标表示等
一 、空间直角坐标系
过空间一个定点 O，作三条互相垂直的数轴， 这样的三条坐标轴就组成了空间直角坐标系.
C(x, Байду номын сангаас, z)
oo
x P(x, 0, 0)
M y
Q(0, y, 0) A(x, y, 0)
z
o
x
坐标面
坐标轴
y
视频2
二、向量的坐标表示
在空间直角坐标系下，任意向量 r 可用向径 OM 表示.
以 i , j , k 分别表示 x , y , z 轴上的单位向量，设点 M 的坐标为
M (x , y , z) , 则 OM = ON + NM = OA + OB + OC
及
解 设该点为 M (0, 0, z),
因为 M A = M B ,
(−4)2 +12 +(7 − z)2 = 32 +52 +(−2 − z)2 解得 故所求点为 M (0, 0,14 ) . 9
平行向量对应坐标成比例
当 a 0 时,
bx = by = bz ax ay az
bx = ax by = ay bz = az
例1 已知两点 在AB直线上求一点M ，使
及实数 −1，
A
解 设 M 的坐标为
如图所示
M
B
AM = MB OM − OA = ( OB − OM )
第八章 空间解析几何与向量代数
第一讲 向量及其线性运算
回顾
基本概念 向量的定义、向量的模、单位向量、零向量、负向量、 向量之间的关系：向量平行、 向量相等、 向量共面、 向量的线性运算与坐标表示：平面向量的线性运算、 平面向量的坐标表示、 平面向量平行的坐标表示等
一 、空间直角坐标系
过空间一个定点 O，作三条互相垂直的数轴， 这样的三条坐标轴就组成了空间直角坐标系.
C(x, Байду номын сангаас, z)
oo
x P(x, 0, 0)
M y
Q(0, y, 0) A(x, y, 0)
z
o
x
坐标面
坐标轴
y
视频2
二、向量的坐标表示
在空间直角坐标系下，任意向量 r 可用向径 OM 表示.
以 i , j , k 分别表示 x , y , z 轴上的单位向量，设点 M 的坐标为
M (x , y , z) , 则 OM = ON + NM = OA + OB + OC
及
解 设该点为 M (0, 0, z),
因为 M A = M B ,
(−4)2 +12 +(7 − z)2 = 32 +52 +(−2 − z)2 解得 故所求点为 M (0, 0,14 ) . 9
高等数学 第八章 空间解析几何与向量代数ppt精选课件
对两点 A( x1 , y1 , z1) 与 B( x2 , y2 , z2 ), 因
AB OB OA ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 ) 得两点间的距离公式:
B
A
AB AB ( x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
.
2. 方向角与方向余弦
ijk, ij jk k i 0 ,
|i| |j| |k | 1 ,
ii jj k k 1 .
a
b
a x bx
ayby
azbz
.
a b |a |b ||co scos|a a||bb|,
由此得两向量夹角余弦的坐标表示式
cos
axbx a yby azbz
ax2 a y2 az 2 bx2 by2 bz2
(2)a b 0 ab 证 () a b 0,|a|0, |b|0,
co s0, , a b .
() a a b b ,|a |b ||c 2 , 2o 0 c .o s s0,
.
2、数量积符合下列运算规律： (1) 交换律： a b b a (2) 分配律： ( a b ) c a c b c
|c |1 2 0 5 2 55 ,
c0
|
c c|
2
j
5
15k.
.
作业 P23习题8-2
1(1)、(3)，3，4，9
.
第三节 平面及其方程
.
一、平面的点法式方程
对支点O
的力矩是一向量
M
，它的模
F
|M | |O|F |Q |
O
P
L
|O|F |P |s in
Q
M
的方向垂直于OP
高等数学第八章解析几何(数学第八章平面解析几何)
高等数学第八章解析几何（数学第八章平面解析几何）
双曲线的定义：
2.双曲线的标准方程
双曲线与椭圆的比较
以F1,F2所在直线为某轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平
面直角坐标系某Oy，此时双曲线的焦点分别为F1（-c,0）,F2（c,0）设
P（某,y）是双曲线上一点，则，(，PF1，-，PF2，)，=2a,因为，PF1，
=√(〖(某c)〗^2y^2),，PF_2，=√(〖(某-c)〗^2y^2),所以√(〖(某c)〗^2y^2)-√((某-c)^2y^2)=±2a①
且②与①右边同时取正号或负号，①②整理得
将③式平方再整理得〖c^2-a〗^2/a^2 某^2-y^2= 〖c^2-a〗^2 ④因
为c>a>0，所以〖c^2-a〗^2>0设〖c^2-a〗^2=b^2且b>0,则④可化为某
^2/a^2 -y^2/b^2 =1 (a>0，b>0) 求双曲线的标准方程：与求椭圆的标准
方程的方法相似,可以先根据其焦点位置设出标准方程,然后用待定系数法
求出a,b的值.若焦点位置不确定,可按焦点在某轴和y轴上两种情况讨论
求解,此方法思路清晰,但过程复杂.若双曲线过两定点,可设其方程为m某
² ny²=1(mn<0),通过解方程组即可确定m,n,避免了讨论,从而简化求解过程.双曲线的几何性质
(1)双曲线与椭圆的六个不同点:
(2)等轴双曲线：是实轴和虚轴等长的双曲线,它的渐近线方程是
y=±某,离心率为√2.(3)共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为
虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线
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大学高数空间解析几何
培养逻辑思维
学习空间解析几何有助于培养人的逻辑思维和抽象 思维能力，提高解决问题的能力。
空间解析几何的历史与发展
早期发展
空间解析几何起源于17世纪，随着笛卡尔坐标系的建立和 解析几何方法的完善，开始形成独立的数学分支。
近代发展
随着计算机科学和数学的不断发展，空间解析几何在理论 和应用方面都取得了重要进展，如微分几何、线性代数和 微分方程等与空间解析几何的交叉融合。
详细描述
如果两个平面的法向量 $mathbf{a}$ 和 $mathbf{b}$ 是共线的，即存在一个非零实数 $lambda$ 使得 $mathbf{a} = lambda mathbf{b}$，那么这两个平面就是平行的。如果两个平面的法向量不共线，那么 这两个平面就是相交的。
04
空间几何的应用
空间几何在计算机图形学中的应用
01
02
03
三维建模
空间几何用于创建三维模 型，包括曲面建模、实体 建模和参数化建模等。
光照计算
空间几何用于计算物体表 面的光照效果，以实现逼 真的渲染效果。
动画制作
空间几何用于动画制作中 的骨骼绑定、运动轨迹规 划和角色动画等，以创建 动态的视觉效果。
05
空间几何的习题与解答
平面与平面的交线
总结词求平面与平面Fra bibliotek交线，需要消元法或参数方程法。
详细描述
平面与平面的交线可以通过消元法或参数方程法来求解。消元法是通过联立两个平面的方程组，然后消元得到一 个一元一次方程，这个一元一次方程就是两平面的交线。参数方程法则是设定一个参数，将两个平面的方程都表 示成参数的函数，然后令参数相等，解出交线的参数方程。
未来展望
随着科技的不断进步和应用领域的拓展，空间解析几何将 继续发挥重要作用，并有望在人工智能、机器学习等领域 取得新的突破和应用。
学习空间解析几何有助于培养人的逻辑思维和抽象 思维能力，提高解决问题的能力。
空间解析几何的历史与发展
早期发展
空间解析几何起源于17世纪，随着笛卡尔坐标系的建立和 解析几何方法的完善，开始形成独立的数学分支。
近代发展
随着计算机科学和数学的不断发展，空间解析几何在理论 和应用方面都取得了重要进展，如微分几何、线性代数和 微分方程等与空间解析几何的交叉融合。
详细描述
如果两个平面的法向量 $mathbf{a}$ 和 $mathbf{b}$ 是共线的，即存在一个非零实数 $lambda$ 使得 $mathbf{a} = lambda mathbf{b}$，那么这两个平面就是平行的。如果两个平面的法向量不共线，那么 这两个平面就是相交的。
04
空间几何的应用
空间几何在计算机图形学中的应用
01
02
03
三维建模
空间几何用于创建三维模 型，包括曲面建模、实体 建模和参数化建模等。
光照计算
空间几何用于计算物体表 面的光照效果，以实现逼 真的渲染效果。
动画制作
空间几何用于动画制作中 的骨骼绑定、运动轨迹规 划和角色动画等，以创建 动态的视觉效果。
05
空间几何的习题与解答
平面与平面的交线
总结词求平面与平面Fra bibliotek交线，需要消元法或参数方程法。
详细描述
平面与平面的交线可以通过消元法或参数方程法来求解。消元法是通过联立两个平面的方程组，然后消元得到一 个一元一次方程，这个一元一次方程就是两平面的交线。参数方程法则是设定一个参数，将两个平面的方程都表 示成参数的函数，然后令参数相等，解出交线的参数方程。
未来展望
随着科技的不断进步和应用领域的拓展，空间解析几何将 继续发挥重要作用，并有望在人工智能、机器学习等领域 取得新的突破和应用。
《高数空间解析几何》PPT课件
类似地， 方程 f( y , z)= 0在空间表示以 yoz 坐标面上的 曲线为准线，平行于 x 轴的直线为母线的柱面. 方程 f( x , z)= 0在空间表示以 xoz 坐标面上的曲线为准线， 平行于 y 轴的直线为母线的柱面.
8
椭圆柱面：
z
x2 a2
y2 b2
1
xoy 坐标面上的椭圆为准线、
3
P26例 5
xoz 坐标面上的双曲线
x2 a2
z2 c2
1分别绕 x、z 轴旋
转一周，求所得旋转曲面方程
x2 y2y2 z2
绕 x 轴转所得曲面称为旋转双叶双曲面,
z
曲面方程为
x2 y2 z2 a2 c2 c2 1
o
x
绕 z 轴转所得曲面称为旋转单叶双曲面,
z
曲面方程为
x2 y2 z2 a2 a2 c2 1
曲面讨论的两个基本问题： （1）已知曲面的形状，建立这曲面的方程； （2）已知方程 F(x, y, z) =0，研究这方程的图形；
二、旋转曲面 一条平面曲线 C 绕其平面上 一条直线 L 旋转所形成的曲面，称为旋转曲面 . 定直线 L 称为旋转轴.
1
建立 y oz 面上曲线 C : f ( y , z ) = 0绕 z 轴旋转所成
例
求曲线
:
x2
x
2
y2 y2
z2 8y
64
,
在 xoy, y0z 坐标面上的投影曲线的方程.
解 关于xo y 坐标面的投影
柱面方程 x 2 y 2 8 y
因而曲线 在 xo y 坐标
面上的投影曲线是圆.
1
y 0
y2 z2
b2
c2
8
椭圆柱面：
z
x2 a2
y2 b2
1
xoy 坐标面上的椭圆为准线、
3
P26例 5
xoz 坐标面上的双曲线
x2 a2
z2 c2
1分别绕 x、z 轴旋
转一周，求所得旋转曲面方程
x2 y2y2 z2
绕 x 轴转所得曲面称为旋转双叶双曲面,
z
曲面方程为
x2 y2 z2 a2 c2 c2 1
o
x
绕 z 轴转所得曲面称为旋转单叶双曲面,
z
曲面方程为
x2 y2 z2 a2 a2 c2 1
曲面讨论的两个基本问题： （1）已知曲面的形状，建立这曲面的方程； （2）已知方程 F(x, y, z) =0，研究这方程的图形；
二、旋转曲面 一条平面曲线 C 绕其平面上 一条直线 L 旋转所形成的曲面，称为旋转曲面 . 定直线 L 称为旋转轴.
1
建立 y oz 面上曲线 C : f ( y , z ) = 0绕 z 轴旋转所成
例
求曲线
:
x2
x
2
y2 y2
z2 8y
64
,
在 xoy, y0z 坐标面上的投影曲线的方程.
解 关于xo y 坐标面的投影
柱面方程 x 2 y 2 8 y
因而曲线 在 xo y 坐标
面上的投影曲线是圆.
1
y 0
y2 z2
b2
c2
高等数学(第八章)向量代数与空间解析几何(全)
若向量a = x1i y1 j z1k，b = x2i y2 j z2k，由数量积的运算性质得
a b = x1x2 y1 y2 z1z2.
设非零向量a = x1, y1, z1，b = x2, y2, z2，则
(1) | a | a a x12 y12 z12；
(2) cos a, b a b
2
向量代数与空间解析几何
空间直角坐标系
一、空间直角坐标系 空间两点间的距离
向量的概念---大小,方向,相等,向径,坐标等.
二、向量代数 向量的运算---加减,数乘,点乘,叉乘,混合积.
❖ 向量位置关系的刻画 ---平行,垂直,夹角. ❖ 向量的方向角、方向余弦.
平面的方程
三、空间的平面 两平面的位置关系
五、 向量的坐标
空间直角坐标系Oxyz 中，在x 轴、y 轴、z 轴上各取一个与坐标轴同向的单位 向量，以此记作i，j，k，把它们称为基本单位向量或基向量.任一向量都可以 唯一地表示为i，j，k 数乘之积.
设M (x, y, z)是空间任意一点，记OM r，则r xi yj zk，我们把上式称为 向量r 的坐标分解式，xi，yj 和zk 称为向量r 沿3 个坐标轴方向的分向量，i，j，
d (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2 .
11
二、 空间两点间的距离 例 1 在z轴上求与点A(3,5, 2)和B(4,1,5)等距离的点M .
解 由于所求的点M 在z 轴上，因此M 点的坐标可设为(0, 0, z)，又由于
MA MB ，
由空间两点间的距离公式，得
(3)结合律：(a) b = (a b) a (b)；
(4)a a = a 2 ； (5)a b = 0 a b； (6) | a b || a | | b | . 特别地，有
高等数学-第8章-空间解析几何与向量代数
-。
b与a的差b a．向量加法的性质〔运算律〕②结合律+的模一般地不等于a的模加b的模，而有a b a ba b+≤+，即三角形两边之和大于等于第三向量与数的乘法Array、向量的定义：向量a与数m的乘积是一个向量，它的模等于m a，方向与a相同〔假设反〔假设m<0〕。
、向量与数量乘法的性质(运算律)②分配律≠，则向量b平行于a得充分必要条件是：存在唯一实数λ，使b=λa。
a0在实际问题中，有些向量与其起点有关，有些向量与其起点无关。
由于一切向量的共性是它们都有大小和方向，所以在数学上我们研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量〔以后简称向量〕，即只考虑向量的大小和方向，而不管它的起点在什么地方。
当遇到与起点有关的向量时〔例如，谈到某一质点的运动速度时，这速度就是与所考虑的那一质点的位置有关的向量〕，可在一般原则下作特别处理。
上的射影。
投影向量的定义：AB 的始点A B ''就定义AB 在轴u 上的投影向量。
向量在轴上的投影：向量A B ''在轴AB 在轴u 上的投影，记为投影AB 。
向量在轴上的投影性质：性质1〔投影定理〕AB =cos AB ϕ与向量AB 的夹角。
推论：相等矢量在同一轴上的射影相等。
性质2：Prj(12a a +)=Prj 1a +Prj 2a 。
性质2可推广到有限个向量的情形。
性质3：Prj u λa =λPrj u a 。
向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标：向量a 在坐标轴上的投影向量,,y z i a j a k 称为向量在坐标轴上的分向量。
向量a 在三条坐标轴上的投影,y z a a 叫做向量的坐标，记为：a ={,,x y a a 由向量在轴上的投影定义，a 在直角坐标系Oxyz 中的坐标{,,x y z a a a a ，由此可知，向量的投影具有与坐标相同的性质。
利用向量的坐标，可得向量的加法、减法以及向量与数的乘法的运算如下：a ={,x y a a ，{,,}x y zb b b b =利用向量加法的交换律与结合律，以及向量与数乘法的结合律与分配律，有{,x y z z a b a b b a b +=+++{x a b a b -=-{,}x y a a a λλλ=由此可见，对向量进行加、减及与数相乘，只须对向量的各个坐标分别进行相应的数量运算就行了。
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轴上点P的坐标为x的充分必要条件是OP xi
平面上点的坐标
y
点M 向量 OM OP PM
OP OQ x i y j (x , y )
Q
M
平面的上点M的坐标为（x，y）的充分 j
必要条件是 OM x i y j
Oip x
高等数学(下册)
定理1. 设 a 为非零向量 , 则
a∥b
( 为唯一实数)
(1)2 12 ( 2)2 2
cos 1 , cos 2
2
2
2 ,
,
3
3
3
4
高等数学(下册)
例8. 设点 A 位于第一卦限, 向径 OA 与 x 轴 ，y 轴的夹
角依次为
3
,
4
,且
OA
6, 求点 A 的坐标 .
解:
已知
3
,
4
,
则
cos 2
1 cos 2
cos 2
1 4
因点
A
特殊点的坐标 :
原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ;
坐标面上的点 A , B , C
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C(x, o, z)
r
o
O(0, 0, 0)
M
y
Q(0, y,0)
x P(x,0,0) A(x, y,0)
z
o
x
坐标面 :
高等数学(下册)
坐标轴 :
rM
O eu
u
M
过点 M作一平面
与轴 u 垂直，该
平面与轴 u交于
一点 M， 则OM
称为向量 OM 在
轴 u上的分向量 ，
设 OM
称数 为
eu
OM
则 在
轴 u上的投影，
记作Pr ju r 或 r u
高等数学(下册)
从而a (ax,ay ,az ) 在三条坐标轴上的投影，即
ax Pr jx a, ay Pr jy a,
三、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念
过空间一定点 O ,由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
• 坐标原点
Ⅲ
z z 轴(竖轴)
Ⅱ
• 坐标轴
Ⅳ
• 坐标面
• 卦限(八个) Ⅶ
x
x轴(横轴)
Ⅷ
yoz面 o xoy面
Ⅴ
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ
高等数学(下册)
在直角坐标系下
点 M 11 有序数组 (x, y, z) 11 向径 r 称有序数组为点M的坐标,记为 M (x, y, z)
代入②得
y
1
(3
x
b)
(11,
2
,16)
2
高等数学(下册)
例3. 已知两点 在AB直线上求一点 M , 使
及实数 1,
解: 设 M 的坐标为
如图所示
AM MB
AM OM OA
MB OB OM
故
OM O A (OB OM )
A
M B
o
A
得 即
OM
1
1
(OA
OB
B
1
1
(x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
高等数学(下册)
一、向量的概念
向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).
表示法: 有向线段 M1M2, a,
M2 M1
向量的模 : 向量的大小, 向径 (矢径): 起点为原点的向量. 自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量,
高等数学(下册)
2. 方向角与方向余弦
设有两非零向量
称 =∠AOB
任取空间一点 O ,
(0≤
≤
)
为向量
a
,
b
的夹角.
记作
a
类似可定义向量与 x 轴,y 轴与z轴的夹角 . b
与三坐标轴的夹角 , ,
为其方向角.
方向角的余弦称为其方向余弦.
cos x
r
x x2 y2 z2
zR
P o
r
M
Q
y
x
高等数学(下册)
, 为实数，则
bz )
平行向量对应坐标成比例:
当
a
0
时,
bx by bz
ax ay az
bx ax by ay
bz az
高等数学(下册)
例2. 求解以向量为未知元的线性方程组
其中
a
5x 3x
3 2
y y
a b
（2，1，2）, b （1，1，
2）.
① ②
解: 2×①x －23a×②3b,得(7, 1,10)
若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a＝b ;
若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行,记作 a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ;
与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, 记作－a ;
因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 .
的三角形是等腰直角三角形 .
证:
M1M 2 (10 4)2 (11)2 (6 9)2 7
M1M3 (2 4)2 (4 1)2 (3 9)2 7
M 2M3 (2 10)2(4 1)2 (3 6)2 7 2
M1M2 M1M3 , M1M2 2 M1M3 2 M2M3 2
即 M1M 2M3 为等腰直角三角形 .
特别的:
1a a ; 1a a ; 0a 0
高等数学(下册)
运算律 :
结合律
(
a)
(
a)
a
因此
分配律
(a
b
则有单位向量
) a
a
1 a
a.b
a a a
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定理1. 设 a 为非零向量 , 则
a∥b
( 为唯一实数)
直线上点的坐标
点P 向量OP xi 实数x
． Oi
x． Px
直线上点的坐标
点P 向量OP xi 实数x
． Oi
x． Px
轴上点P的坐标为x的充分必要条件是OP xi
平面上点的坐标
y
点M 向量 OM OP PM
OP OQ x i y j (x , y )
Q
M
平面的上点M的坐标为（x，y）的充分 j
必要条件是 OM x i y j
Oip x
高等数学(下册)
若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
高等数学(下册)
二、向量的线性运算
1. 向量的加法
平行四边形法则:
b b ab
a
a
三角形法则: a b
(a b) c
c
bc
a (b c)
ab b
b
a
a
运算规律 : 交换律 a b b a
结合律 (a b) c a (b c) a b c
cos x
r
cos ry cos z
r
x x2 y2 z2
y x2 y2 z2
z x2 y2 z2
方向余弦的性质:
zQ
r
M
P o
R
y
x
例7. 已知两点
高等数学(下册)
和
计算向量
的模 、方向余弦和方向角 .
解: M1M 2 ( 1 2, 3 2 , 0 2 ) (1, 1, 2 )
y
高等数学(下册)
2. 向量的坐标表示
在空 间 直 角坐标系下, 以 i , j , k 分别表示 x ,
任意向量 r 可用向径 OM 表示.
y , z 轴上的单位向量 , 设点 M
的坐标为 M (x , y , z), 则
z OM ON NM OA OB OC C
r
x
i
y
j
z
k
(x
,
y
,
z
)
此式称为向量 r 的坐标分解式 ,
ikO
j
r
M B y
A
x
N
沿三个坐标轴方向的分向量.
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四、利用坐标作向量的线性运算
设
a
(aax ,ba
a
y , az ), b (bx ,by ,bz ) (ax bx , ay by , az
( ax , ay , az )
M
高等数学(下册)
说明: 由
1
1
(x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
得定比分点公式:
A
x1 x2 1
,
y1 y2 1
,
z1 z2 1
M B
o
A
当 1时, 点 M 为 AB 的中点 ,于是得
中点公式:
B
x1
x2 2
,
y1 2
y2
,
z1 z2 2
M
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五、向量的模、方向角、投影
在第一卦限
, 故cos
1 2
,
于是
OA
OA
OA
6
(
1 2
,
2 2
,
1 2
)
(3,
3
2 ,3)
故点 A 的坐标为 (3,3 2 ,3).
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3.向量的投影的概念 空间一点在轴上的投影