九年级数学下册 第1章 二次函数 课题 二次函数学案 (新版)湘教版
湘教版九年级下册数学教案(第一章 二次函数)
九年级下册新湘教版数学教案—81 课时(此文件仅含第一章教案11课时)第一部分 新课部分第一章 二次函数1.1 二次函数 1 1.3 不共线三点确定二次函数的表达式13 1.2 二次函数的图象与性质(1) 3 1.4 二次函数与一元二次方程的联系15 1.2 二次函数的图象与性质(2) 5 1.5 二次函数的应用17 1.2 二次函数的图象与性质(3) 7 小结与复习(1) 19小结与复习(2) 21 1.2 二次函数的图象与性质(4) 91.2 二次函数的图象与性质(5) 11第二章 圆2.1 圆的对称性23 2.5.3 切线长定理41 2.2.1 圆心角25 2.5.4 三角形的内切圆43 2.2.2 圆周角(1) 27 2.6 弧长和扇形面积(1) 45 2.2.2 圆周角(2) 29 2.6 弧长和扇形面积(2) 47 2.3 垂径定理31 2.7 正多边形与圆49 2.4 过不共线三点作圆33 小结与复习(1) 51 2.6.1 直线与圆的位置关系35 小结与复习(2) 53小结与复习(3) 55 2.5.2 圆的切线(1) 372.5.2 圆的切线(2) 39第三章 投影与视图3.1 投影57 3.3 三视图63小结与复习 65 3.2 直棱柱、圆锥的侧面展开图 593.3 三视图61第四章 概率4.1 随机事件与可能性 67 4.2.2 用列举法求概率(2) 75 4.1 随机事件与可能性 69 4.3 用频率估计概率77 4.2.1 概率的概念 71小结与复习 79 4.2.2 用列举法求概率(1) 73第二部分 中考复习代 数1.1 实数及其运算 12.4 一元二次方程211.1 实数及其运算 32.5 整式方程的应用23 1.2 代数式与整式 5 2.6 分式方程25 1.3 因式分解7 2.6 分式方程的应用27 1.4 分 式93.1 平面直角坐标系及函数的有关概念 291.5 二次根式11 3.2 一次函数312.1 一元一次方程、分式方程133.3 反比例函数33 2.2 二元一次方程组15 3.4 二次函数35 2.3 一元一次不等式(组) 17 3.5 函数的应用372.3 一元一次不等式(组)的应用19几 何4.1.1 线段、角、相交线39 4.9 圆的有关性质59 4.1.2 平行线的判定和性质41 4.10 直线与圆的位置关系61 4.2.1 三角形的基础知识43 4.11 弧长和扇形的面积计算63 4.2.2 全等三角形45 4.12 视图与投影65 4.3 等腰三角形475.1图形的对称、平移和旋转67 4.4 直角三角形49 5.2相似与位似图形69 4.5 尺规作图51 5.2相似与位似图形71 4.6 多边形及多边形的内角和53 5.3锐角三角函数与解直角三角形73 4.7 平行四边形55 5.4解直角三角形及其应用75 4.8 矩形、菱形、正方形57统 计6.1 数据的收集与整理77 6.3概率初步81 6.2 数据的分析79第一章 二次函数 1课 时 教 案课题1.1 二次函数 第1课时 总序第个教案课型新授编写时间年 月 日执行时间 月 日 执教：教学目标： 知识与技能：使学生了解二次函数的概念和二次函数的一般表达式；学会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围．过程与方法：在实际情境中经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系．情感、态度与价值观：通过对本节内容的研究，培养学生学习数学的严谨方法．教学重点：建立二次函数数学模型和理解二次函数概念． 教学难点：建立二次函数数学模型． 教学用具：课件． 教学方法：启发探索法、讲授法、讨论法相结合．教学过程： 一．创设情境 引入课题导入一 欣赏一组录像画面：篮球场上同学们传球投篮，田径场上同学们投掷铅球，同学们课余游戏抛硬币，石拱桥的桥拱……导入二 观察：篮球投篮时，掷铅球时，抛硬币时……在空中运行的路线是一条什么样的路线？导入三 我们已知道，可以建立数学模型一次函数y = kx +b (k ≠0)来刻画直线，反比例函数y =kx (k ≠0)来刻画双曲线，那么像前面所看到的曲线，我们又该建立一个什么样的数学模型来刻画它们呢？要刻画它，我们今天还需要学习一种新的函数关系——二次函数．二．合作交流 解读探究[回顾复习]1．什么叫做函数?2．说一说一次函数和反比例函数的一般表达式，自变量的取值范围． 学生回答后，点评．[讨论探究][课件展示]学校准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形植物园，如图所示．已知篱笆墙的总长度为100m ．设与围墙相邻的一面篱笆墙的长度为x (m)那么矩形植物园的面积S (m 2)与x之间有何关系?(1)学生阅读审题，独立思考，自主探索．设与围墙相邻的每一面墙的长都为x m ，则与围墙相对的一面墙的长为( 100-批 注课时教案第一章 二次函数 3第一章 二次函数 4课时教案第一章 二次函数 5第一章 二次函数6课时教案第一章 二次函数 7课时教案课时教案课时教案课时教案课时教案课 时 教 案课题 小结与复习 第1课时 总序第 1 个教案 课型 复习 编写时间 年 月 日执行时间 月 日 执教：教学目标：知识与技能：通过对本章知识的梳理，使学生深刻理解二次函批 注数的概念、图象与性质．过程与方法：能灵活运用二次函数的概念与性质解决有关数学问题．情感、态度与价值观：进一步了解本章内容中蕴含的数学思想与方法在解决问题时的作用，提高学生分析问题、解决问题的能力．教学重点：二次函数的概念、图象与性质．教学难点：二次函数图象与性质的运用．教学用具：课件.教学方法：自学、探究讨论与练习相结合.教学过程一．回顾复习引入课题1．归纳：(1) 二次函数的图象都是抛物线．(2) 画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的步骤：①配方，写成y=a (x-h)2+k的形式；②写出对称轴和顶点坐标，并在平面直角坐标系内画出对称轴，描出顶点．③列表(自变量x从顶点的横坐标开始取值)，描点和连线，画出图象在对称轴右边的部分．④利用对称性描出对称轴左边的对应点，连线．2．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的特征与系数a，b，c的关系：(1) a决定抛物线开口方向：a＞0，开口向上；a＜0，开口向下．(2) a，b决定对称轴位置：a，b同号，对称轴在y轴左侧；a，b异号，对称轴在y轴右侧．(3) c决定抛物线与y轴交点位置：c＞0，交点在y轴正半轴上；c=0，交点在原点；c＜0，交点在y轴负半轴上．(4) 抛物线与横轴交点个数由b2-4ac确定：b2-4ac＞0，有两个不同的交点；b2-4ac =0，有两个重合的交点；b2-4ac＜0，没有交点．二．合作交流解读探究1．举例复习二次函数的概念及二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质．例1．已知函数y = (m +2)x24＋是关于x的二次函数，求：m m(1) 满足条件的m值；(2) m为何值时，函数有最小值？最小值是什么？这时当x为何值时，y随x增大而增大？(3) m为何值时，函数有最大值？最大值是什么？这时当x为何值时，y随x增大而减小？解：由题意，得：课 时 教 案。
湘教版数学九年级下册1.1《二次函数》教学设计
湘教版数学九年级下册1.1《二次函数》教学设计一. 教材分析湘教版数学九年级下册1.1《二次函数》是本册教材中的重要内容，主要介绍了二次函数的定义、图像和性质。
通过本节课的学习，学生能够理解二次函数的概念，掌握二次函数的图像特点，了解二次函数的性质，并为后续学习二次方程和二次不等式打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了函数的基本概念和一次函数的知识，具备了一定的函数思维。
但二次函数相对于一次函数来说，概念较为抽象，图像和性质的理解也需要一定的空间想象能力。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习困难，引导学生通过观察、操作、思考、交流等方式，逐步理解二次函数的概念和性质。
三. 教学目标1.理解二次函数的定义，掌握二次函数的图像特点；2.了解二次函数的性质，能够运用二次函数解决实际问题；3.培养学生的空间想象能力，提高学生的数学思维能力。
四. 教学重难点1.二次函数的定义和图像特点；2.二次函数的性质及其运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入二次函数，激发学生的学习兴趣；2.启发式教学法：引导学生主动思考、探究二次函数的性质；3.小组合作学习：培养学生团队合作精神，提高学生的交流能力；4.动手操作：让学生通过实际操作，加深对二次函数图像和性质的理解。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，辅助讲解和展示二次函数的图像和性质；2.教学素材：准备一些实际问题，供学生练习和讨论；3.板书设计：设计清晰、简洁的板书，便于学生记录和复习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如抛物线射击、自行车刹车等问题，引导学生思考二次函数的应用，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解二次函数的定义，通过课件展示二次函数的图像，让学生观察和理解二次函数的图像特点。
3.操练（10分钟）让学生通过实际操作，尝试绘制一些简单的二次函数图像，加深对二次函数图像特点的理解。
4.巩固（10分钟）讲解二次函数的性质，引导学生通过思考、交流，总结二次函数的性质。
湘教版九年级数学下册二次函数的图像与性质教案新版湘教版
第1课时二次函数2(0)=>的图象与性质y ax a教学目标【知识与技能】1.会用描点法画函数2(0)=>的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质．y ax a2.体会数形结合的转化，能用2(0)=>的图象和性质解决简单的实际问题．y ax a【过程与方法】经历探索二次函数2(0)=>图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数的经y ax a验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯．【情感态度】通过动手画图，同学之间交流讨论，达到对二次函数2(0)=>图象和性质的真正理y ax a解，从而产生对数学的兴趣，调动学生的积极性．【教学重点】1.会画2(0)=>的图象．y ax a2.理解，掌握图象的性质．【教学难点】二次函数图象及性质探究过程和方法的体会教学过程．教学过程一、情境导入，初步认识问题1请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函数的图象的特征是什么?二次函数的图象是什么形状呢?问题2如何用描点法画一个函数图象呢?【教学说明】①略；②列表、描点、连线．二、思考探究，获取新知探究1画二次函数2(0)=>的图象．y ax a【教学说明】①要求同学们动手，按“列表、描点、连线”的步骤画图y=x2的图象，同学们画好后相互交流、展示，表扬画得比较规范的同学．②从列表和描点中，体会图象关于y 轴对称的特征． ③强调画抛物线的三个误区．误区一：用直线连结，而非光滑的曲线连结，不符合函数的变化规律和发展趋势． 如图(1)就是y=x 2的图象的错误画法．误区二：并非对称点，存在漏点现象，导致抛物线变形． 图(2)就是漏掉点(0，0)的y=x 2的图象的错误画法．误区三：忽视自变量的取值范围，抛物线要求用平滑曲线连点的同时，还需要向两旁无限延伸，而并非到某些点停止．如图(3)，就是到点(-2，4)，(2，4)停住的y=x 2图象的错误画法． 探究2 2(0)y ax a =>图象的性质在同一坐标系中，画出y=x 2， 212y x =，y=2x 2的图象．【教学说明】要求同学们独立完成图象，教师帮助引导，强调画图时注意每一个函数图象的对称性．动脑筋观察上述图象的特征(共同点)，从而归纳二次函数2(0)y ax a =>的图象和性质．【教学说明】教师引导学生观察图象，从开口方向，对称轴，顶点，y 随x 的增大时的变化情况等几个方面让学生归纳，教师整理讲评、强调．2(0)y ax a =>图象的性质1.图象开口向上．2.对称轴是y 轴，顶点是坐标原点，函数有最低点．3.当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，简称右升；当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，简称左降．三、典例精析，掌握新知 例 已知函数24(2)k k y k x +-=+是关于x 的二次函数．(1)求k 的值．(2)k 为何值时，抛物线有最低点，最低点是什么？在此前提下，当x 在哪个范围内取值时，y 随x 的增大而增大？【分析】此题是考查二次函数y=ax 2的定义、图象与性质的，由二次函数定义列出关于k 的方程，进而求出k 的值，然后根据k+2＞0，求出k 的取值范围，最后由y 随x 的增大而增大，求出x 的取值范围．解：(1)由已知得22042k k k +≠⎧⎨+-=⎩，解得k=2或k=-3．所以当k=2或k=-3时，函数24(2)kk y k x +-=+是关于x 的二次函数．(2)若抛物线有最低点，则抛物线开口向上，所以k+2＞0．由（1）知k=2，最低点是（0，0)，当x≥0时，y 随x 的增大而增大． 四、运用新知，深化理解1.（广东广州中考）下列函数，当x ＞0时，y 值随x 值增大而减小的是（ ） A ．y=x 2B ．y=x-1C ．34y x =D ．1y x= 2.已知点（-1，y 1)，(2，y 2)，(-3，y 3)都在函数y=x 2的图象上，则（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 1＜y 3＜y 2 C ．y 3＜y 2＜y 1 D ．y 2＜y 1＜y 33.抛物线y=13x 2的开口向 ，顶点坐标为 ，对称轴为 ，当x=-2时，y= ；当y=3时，x= ，当x≤0时，y 随x 的增大而 ；当x ＞0时，y 随x 的增大而 ．4.如图，抛物线y=ax 2上的点B ，C 与x 轴上的点A （-5，0），D （3，0）构成平行四边形ABCD ，BC 与y 轴交于点E （0，6），求常数a 的值．【教学说明】学生自主完成，加深对新知识的理解和掌握，当学生疑惑时，教师及时指导．【答案】1．D 2．A 3．上，(0，0)，y 轴，43，±3，减小，增大 4．解：依题意得：BC=AD=8，BC∥x 轴，且抛物线y=ax 2上的点B ，C 关于y 轴对称，又∵BC 与y 轴交于点E （0，6），∴B 点为（-4，6），C 点为（4，6），将（4，6）代入y=ax 2得：a=38．五、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾二次函数2(0)y ax a =>图象的画法及其性质．2.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问?请与同伴交流． 课后作业教材练习第1、2题． 教学反思本节课是从学生画y=x 2的图象，从而掌握二次函数2(0)y ax a =>图象的画法，再由图象观察、探究二次函数2(0)y ax a =>的性质，培养学生动手、动脑、探究归纳问题的能力．第2课时 二次函数2(0)y ax a =<的图象与性质教学目标 【知识与技能】1.会用描点法画函数2(0)y ax a =<的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质．2.体会数形结合的转化，能用2(0)y ax a =<的图象与性质解决简单的实际问题． 【过程与方法】经历探索二次函数2(0)y ax a =<图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数的经验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯． 【情感态度】通过动手画图，同学之间交流讨论，达到对二次函数y=ax 2(a≠0)图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学习的积极性． 【教学重点】①会画2(0)y ax a =<的图象；②理解、掌握图象的性质． 【教学难点】二次函数图象的性质及其探究过程和方法的体会． 教学过程一、情境导入，初步认识 1.在坐标系中画出y=12x 2的图象，结合y=12x 2的图象，谈谈二次函数y=ax 2(a ＞0)的图象具有哪些性质？2.你能画出y=12-x 2的图象吗？二、思考探究，获取新知探究1 画2(0)y ax a =<的图象请同学们在上述坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出y=12-x 2的图象．【教学说明】教师要求学生独立完成，强调画图过程中应注意的问题，同学们完成后相互交流，表扬图象画得“美观”的同学．问：从所画出的图象进行观察，y=12x 2与y=12-x 2有何关系？ 归纳：y=12x 2与y=12-x 2二者图象形状完全相同，只是开口方向不同，两图象关于y 轴对称．(教师引导学生从理论上进行证明这一结论)探究2 二次函数2(0)y ax a =<性质问：你能结合y=12-x 2的图象，归纳出2(0)y ax a =<图象的性质吗？【教学说明】教师提示应从开口方向，对称轴，顶点位置，y 随x 的增大时的变化情况几个方面归纳，教师整理，强调2(0)y ax a =<图象的性质．1.开口向下．2.对称轴是y 轴，顶点是坐标原点，函数有最高点．3.当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，简称右降，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，简称左升．探究3 二次函数2(0)y ax a =≠的图象及性质 学生回答：【教学点评】一般地，抛物线y=ax 2的对称轴是 ，顶点是 ，当a ＞0时抛物线的开口向 ，顶点是抛物线的最 点，a 越大，抛物线开口越 ；当a ＜0时，抛物线的开口向 ，顶点是抛物线的最 点，a 越大，抛物线开口越 ，总之，|a|越大，抛物线开口越 ．答案：y 轴，（0，0），上，低，小，下，高，大，小 三、典例精析，掌握新知例 1 填空：①函数2(2)y x =-的图象是 ，顶点坐标是 ，对称轴是，开口方向是．②函数y=x2，y=12x2和y=22x-的图象如图所示，请指出三条抛物线的解析式．解：①抛物线，（0，0），y轴，向上；②根据抛物线y=ax2中，a的值的作用来判断，上面最外面的抛物线为y=12x2，中间为y=x2，在x轴下方的为y=22x-．【教学说明】解析式需化为一般式，再根据图象特征解答，避免发生错误．抛物线y=ax2中，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下，|a|越大，开口越小．例2 已知抛物线y=ax2经过点（1，-1），求y=-4时x的值．【分析】把点(1，-1)的坐标代入y=ax2，求得a的值，得到二次函数的表达式，再把y=-4代入已求得的表达式中，即可求得x的值．解：∵点（1，-1）在抛物线y=ax2上，-1=a·12，∴a=-1，∴抛物线为y=-x2．当y=-4时，有-4=-x2，∴x=±2．【教学说明】在求y=ax2的解析式时，往往只须一个条件代入即可求出a值．四、运用新知，深化理解1.下列关于抛物线y=x2和y=-x2的说法，错误的是（）A．抛物线y=x2和y=-x2有共同的顶点和对称轴B．抛物线y=x2和y=-x2关于x轴对称C．抛物线y=x2和y=-x2的开口方向相反D．点（-2，4）在抛物线y=x2上，也在抛物线y=-x2上2.二次函数y=ax2与一次函数y=-ax(a≠0)在同一坐标系中的图象大致是（）3.二次函数226(1)mm y m x +-=-，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，则m= ．4.已知点A （-1，y 1)，B(1，y 2)，C(a ，y 3)都在函数y=x 2的图象上，且a ＞1，则y 1，y 2，y 3中最大的是 ．5.已知函数y=ax 2经过点(1，2)．①求a 的值；②当x ＜0时，y 的值随x 值的增大而变化的情况．【教学说明】学生自主完成，加深对新知识的理解和掌握，当学生疑惑时，教师及时指导．【答案】1．D 2．B 3．2 4．y 3 5．①a=2 ②当x ＜0时，y 随x 的增大而减小 五、师生互动，课堂小结这节课你学到了什么，还有哪些疑惑？在学生回答的基础上，教师点评： （1）2(0)y ax a =<图象的性质；（2）y=ax 2(a≠0)关系式的确定方法． 课后作业教材练习第1～2题． 教学反思本节课仍然是从学生画图象，结合上节课y=ax 2(a ＞0)的图象和性质，从而得出2(0)y ax a =<的图象和性质，进而得出y=ax 2（a≠0)的图象和性质，培养学生动手、动脑、合作探究的学习习惯．第3课时 二次函数2()y a x h =-的图象与性质教学目标 【知识与技能】1.能够画出2()y a x h =-的图象，并能够理解它与y=ax 2的图象的关系，理解a ，h 对二次函数图象的影响．2.能正确说出2()y a x h=-的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．【过程与方法】经历探索二次函数2()y a x h=-的图象的作法和性质的过程，进一步领会数形结合的思想．【情感态度】1.在小组活动中体会合作与交流的重要性．2.进一步丰富数学学习的成功体验，认识到数学是解决实际问题的重要工具，初步形成积极参与数学活动的意识．【教学重点】掌握2()y a x h=-的图象及性质．【教学难点】理解2()y a x h=-与y=ax2图象之间的位置关系，理解a，h对二次函数图象的影响．教学过程一、情境导入，初步认识1.在同一坐标系中画出y=12x2与y=12(x-1)2的图象，完成下表．2.二次函数y=12(x-1)2的图象与y=12x2的图象有什么关系？3.对于二次函数12(x-1)2，当x取何值时，y的值随x值的增大而增大？当x取何值时，y的值随x值的增大而减小?二、思考探究，获取新知归纳二次函数2()y a x h=-的图象与性质并完成下表．三、典例精析，掌握新知例1 教材例3．【教学说明】二次函数y=ax2与y=a(x-h)2是有关系的，即左、右平移时“左加右减”．例如y=ax2向左平移1个单位得到y=a(x+1)2，y=ax2向右平移2个单位得到y=a(x-2)2的图象．例2 已知直线y=x+1与x轴交于点A，抛物线y=-2x2平移后的顶点与点A重合．①水平移后的抛物线l的解析式；②若点B（x1，y1)，C(x2，y2)在抛物线l上，且12-＜x1＜x2，试比较y1，y2的大小．解：①∵y=x+1，∴令y=0，则x=-1，∴A（-1，0)，即抛物线l的顶点坐标为（-1，0），又∵抛物线l是由抛物线y=-2x2平移得到的，∴抛物线l的解析式为y=-2(x+1)2．②由①可知，抛物线l的对称轴为x=-1，∵a=-2＜0，∴当x＞-1时，y随x的增大而减小，又12-＜x1＜x2，∴y1＞y2．【教学说明】二次函数的增减性以对称轴为分界，画图象取点时以顶点为分界对称取点．四、运用新知，深化理解1.二次函数y=15(x-1)2的最小值是（）A．-1 B．1 C．0 D．没有最小值2.抛物线y=-3(x+1)2不经过的象限是（）A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第二、三象限3.在反比例函数y=kx中，当x＞0时，y随x的增大而增大，则二次函数y=k(x-1)2的图象大致是（）4.（1）抛物线y=13x2向平移个单位得抛物线y=13(x+1)2；(2)抛物线向右平移2个单位得抛物线y=-2(x-2)2．5.已知抛物线y=a(x-h)2的对称轴为x=-2，且过点（1，-3）．(1)求抛物线的解析式；(2)画出函数的大致图象；(3)从图象上观察，当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，函数有最大值（或最小值）？【教学说明】学生自主完成，教师巡视解疑．【答案】1．C 2．A 3．B 4．(1)左，1 (2)y=-2x25．解：(1)y=13(x+2)2 (2)略（3）当x＜-2时，y随x增大而增大；当x=-2时，y有最大值0．五、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么?还有哪些疑惑?2.在学生回答的基础上，教师点评：(1)y=a(x-h)2的图象与性质；（2）y=a(x-h)2与y=ax2的图象的关系．课后作业教材练习第1、2题．教学反思通过本节学习使学生认识到y=a(x-h)2的图象是由y=ax 2的图象左右平移得到的，初步认识到a ，h 对y=a(x-h)2位置的影响，a 的符号决定抛物线方向，|a|决定抛物线开口的大小，h 决定向左右平移；从中领会数形结合的数学思想．第4课时 二次函数2()y a x h k =-+的图象与性质教学目标 【知识与技能】1.会用描点法画二次函数2()y a x h k =-+的图象．掌握2()y a x h k =-+的图象和性质．2.掌握2()y a x h k =-+与y=ax 2的图象的位置关系．3.理解2()y a x h k =-+，2()y a x h =-，2y ax k =+及2y ax =的图象之间的平移转化． 【过程与方法】经历探索二次函数2()y a x h k =-+的图象的作法和性质的过程，进一步领会数形结合的思想，培养观察、分析、总结的能力． 【情感态度】1.在小组活动中进一步体会合作与交流的重要性．2.体验数学活动中充满着探索性，感受通过认识观察，归纳，类比可以获得数学猜想的乐趣． 【教学重点】二次函数2()y a x h k =-+的图象与性质． 【教学难点】由二次函数2()y a x h k =-+的图象的轴对称性列表、描点、连线． 教学过程一、情境导入，初步认识 复习回顾：同学们回顾一下：① 2y ax =，2()y a x h =-，（a ≠0)的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，y 随x 的增减性分别是什么？②如何由2y ax= (a≠0)的图象平移得到2()y a x h=-的图象？③猜想二次函数2()y a x h k=-+的图象开口方向、对称轴、顶点坐标及y随x的增减性如何？二、思考探究，获取新知探究12()y a x h k=-+的图象和性质1.由老师提示列表，根据抛物线的轴对称性观察图象回答下列问题：①y=12-(x+1)2-1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标及y随x的增减性如何？③将抛物线y=12-x2向左平移1个单位，再向下平移1个单位得抛物线y=12-(x+1)2-1．2.同学们讨论回答：①一般地，当h＞0，k＞0时，把抛物线2y ax=向右平移h个单位，再向上平移k个单位得抛物线2()y a x h k=-+；平移的方向和距离由h，k的值来决定．②抛物线2()y a x h k=-+的开口方向、对称轴、顶点坐标及y随x的增减性如何？探究2二次函数2()y a x h k=-+的应用【教学说明】二次函数2()y a x h k=-+的图象是，对称轴是，顶点坐标是，当a＞0时，开口向，当a＜0时，开口向．答案：抛物线，直线x=h，(h，k)，上，下三、典例精析，掌握新知例1 已知抛物线2()y a x h k=-+，将它沿x轴向右平移3个单位后，又沿y轴向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为y=3-(x+1)2-4，求原抛物线的解析式．【分析】平移过程中，前后抛物线的形状，大小不变，所以a=3-，平移时应抓住顶点的变化，根据平移规律可求出原抛物线顶点，从而得到原抛物线的解析式．解：抛物线y=3-(x+1)2-4的顶点坐标为（-1，-4)，它是由原抛物线向右平移3个单位，向下平移2个单位而得到的，所以把现在的顶点向相反方向移动就得到原抛物线顶点坐标为（-4，-2)．故原抛物线的解析式为y=3-(x+4)2-2．【教学说明】抛物线平移不改变形状及大小，所以a值不变，平移时抓住关键点：顶点描点和连线：画出图像在对称轴右边的部分，利用对称性，画出图像在对称轴左边的部分，这样就得到了21(1)32y x=+-的图像，如上图。
湘教版九年级数学下册学案：1.2 二次函数y=ax2(a0)的图象与性质
湘教版九年级下册数学导学案127班（ ）第1章1.2二次函数y=ax 2(a>0)的图象与性质（1） 一、导入新课： 回答问题：1.一次函数与反比例函数的图解是什么？它们有什么性质？2.如何画一次函数与反比例函数的图象？ 二、探究新知：探究1：画二次函数y=ax 2(a>0)的图象，若a=2，画出它的图象。
列表：连线：探究2：画二次函数y=21x 2的图象。
（画在上面的坐标系中） 小结：二次函数y=ax 2(a>0)的图象与性质。
1.图象的开口向（ ）。
2.对称轴是（ ）轴，顶点是（ ），函数有最（ ）点。
3.当x>0时， ， 当x<0时，。
展示提升： 已知函数24(2)k k y k x +-=+是关于x 的二次函数.(1)求k 的值.(2)k 为何值时，抛物线有最低点，最低点是什么？在此前提下，当x 在哪个范围内取值时，y 随x 的增大而增大？三、本课小结：本节课你学到了什么？四、当堂作业：1、下列函数中，当x ＞0时，y 值随x 值增大而减小的是（ ） A.y=x 2B.y=x-1C. 34y xD.y=1x2.已知点（-1,y 1),(2,y 2),(-3,y 3)都在函数y=x 2的图象上，则（ ） A.y 1＜y 2＜y 3 B.y 1＜y 3＜y 2 C.y 3＜y 2＜y 1 D.y 2＜y 1＜y 3 3.抛物线y=13x 2的开口向 ，顶点坐标为 ，对称轴为 ，当x=-2时，y= ；当y=3时，x= ,当x ≤0时，y 随x 的增大而 ；当x ＞0时，y 随x 的增大而 .4.画出下列二次函数的图象：（1）y=x 2(2)y=43x 2湘教版九年级下册数学导学案127班（ ）第1章1.2二次函数y=ax 2(a<0)的图象与性质（2） 一、导入新课：1.二次函数y=ax 2(a>0)的图象的开口（ ），顶点坐标是（ ），对称轴是（），函数有（ ),当x>0时，y 随x （ ），当x<0，y 随x （ ）。
九年级数学下册 1_1 二次函数学案 (新版)湘教版
第1章二次函数1.1 二次函数1.理解具体情景中二次函数的意义，理解二次函数的概念,掌握二次函数的一般形式.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系式,并能根据实际问题确定自变量的取值范围.阅读教材第2至3页，理解二次函数的概念及意义.自学反馈学生独立完成后集体订正①一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，且a≠0)的函数叫做二次函数，其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为a、b、c.②现在我们已学过的函数有一次函数、反比例函数、二次函数，它们的表达式分别是y=ax+b(a、b为常数，且a≠0)、y=kx(k为常数，且k≠0)、y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，且a≠0).③下列函数中，不是二次函数的是( D )A.y=1-2x2B.y=(x-1)2-1C.y=12(x+1)(x-1) D.y=(x-2)2-x2④二次函数y=x2+4x中，二次项系数是1，一次项系数是4，常数项是0.⑤一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径r之间的关系式.解：S表=4πr2⑥n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式.解：m=12n2-12n判断二次函数关系要紧扣定义.活动1 小组讨论例1若y=(b-1)x2+3是二次函数，则b≠1.二次项系数不为0.例2 一个正方形的边长是12 cm，若从中挖去一个长为2x cm，宽为(x+1)cm的小长方形，剩余部分的面积为y cm2.①写出y与x之间的关系表达式，并指出y是x的什么函数？②当小长方形中x的值分别为2和4时，相应的剩余部分的面积是什么？解:①y=122-2x(x+1),即y=-2x2-2x+144. ∴y是x的二次函数；②当x=2和4时，相应的y的值分别为132和104.几何图形的面积一般需画图分析，相关线段必须先用x的代数式表示出来.活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)1.如果函数y=(k+2)x22k 是y关于x的二次函数，则k的值为多少？解：k=2不要忽视k+2≠0.2.设y=y1-y2，若y1与x2成正比例，y2与1x成反比例，则y与x的函数关系是( C )A.正比例函数B.一次函数C.二次函数D.反比例函数3.有一个人患流感，经过两轮传染后共有y人患了流感，每轮传染中，平均一个人传染了x人，则y与x之间的函数关系式为y=x2+2x+1.4.如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD，设AB边长为x米，则菜园的面积y(m2)与x(m)的函数关系式为y=-12x 2+15x(不要求写出自变量x 的取值范围).5.已知，函数y=(m+1)x 232m m --+(m-1)x(m 是常数).①m 为何值时，它是二次函数？②m 为何值时，它是一次函数？注意②要分情况讨论.解：①m=4 ②m=-1或m=3172±或m=3212±. 6.如图，在矩形ABCD 中，AB=2 cm ，BC=4 cm ，P 是BC 上的一动点， 动点Q 仅在PC 或其延长线上，且BP=PQ ，以PQ 为一边作正方形PQRS ，点P 从B 点开始沿射线BC 方向运动，设BP=x cm ，正方形PQRS 与矩形ABCD 重叠部分面积为y cm 2,试分别写出0≤x ≤2和2≤x ≤4时，y 与x 之间的函数关系式.解：y=x 2(0≤x ≤2)， y=-2x+8(2≤x ≤4).注意按自变量的取值范围写函数关系式.活动3 课堂小结学生试述:这节课你学到了些什么？ 欢迎您的下载，资料仅供参考！。
湘教版数学九年级下册1.1《二次函数》说课稿
一.教材分析
湘教版数学九年级下册1.1《二次函数》是整个九年级数学的重要内容，同时也是学生对函数知识的进一步理解和深化。本节内容通过介绍二次函数的定义、性质和图像，使学生掌握二次函数的基本概念，培养学生解决实际问题的能力。
教材从实际问题出发，引入二次函数的概念，然后通过探究二次函数的性质，使学生了解二次函数的图像特征，最后通过实际问题，让学生运用二次函数解决生活中的问题。整个内容既有理论的学习，也有实践的运用，使学生在学习过程中，既能掌握二次函数的基本知识，又能提高解决问题的能力。
j)二次函数的判别式Δ决定了函数与x轴的交点个数。（）
k)二次函数的图像具有对称性，对称轴是y轴。（）
24.选择题：
l)下列函数中，哪个是二次函数？
A)y=3x^2 B) y=2x+1 C) y=x^3 D) y=5
m)当a<0时，二次函数的图像开口朝（）。
B)上B)下C)左D)右
n)抛物线y=2x^2+3x+1的顶点坐标是（）。
17.二次函数的增减性：当a>0时，二次函数在(-∞, -b/2a)上递减，在(-b/2a, +∞)上递增；当a<0时，二次函数在(-∞, -b/2a)上递增，在(-b/2a, +∞)上递减。
18.二次函数的零点：二次函数的零点是使得y=0的x值。根据判别式Δ的值，可以判断零点的个数。
19.二次函数的实际应用：二次函数在实际生活中有广泛的应用，如抛物线射击、最优化问题等。
知识点儿整理：
13.二次函数的定义：二次函数是形如y=ax^2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数。其中，a、b、c分别是二次项系数、一次项系数和常数项。
湘教版九年级下《二次函数》学案
第二章 二次函数§2.1 建立二次函数模型一、自学导航： 1. 定义：如果函数的解析式是自变量的二次多项式，这样的函数称为 ，它的一般形式是 ，其中（ ）。
2.二次函数定义中要求0a ≠，那么b 和c 是否可以为零呢？若0b =，则解析式为y ＝ 。
若0c =，则解析式为y ＝ 。
若0b c ==，则解析式为y ＝ 。
以上三种形式都是二次函数的特殊形式。
二、问题探究：问题一：正确理解反比例函数的表达式。
例1.m 为何值时()2321--+=m mx m y 是二次函数。
问题二：根据实际问题中的变量关系，建立反比例函数的模型。
例2. 某服饰公司前年的总产值为100万元，去年与前年相比年增长率为x ，预计今年与去年相比年增长率仍为x ，今年的总产值为y 元。
（1）求y 与x 的函数关系式；（2）若使今年的总产量达到169万元，那么增长率x 应为多少？三、综合运用： 1．下列函数中，不是二次函数的是（ ） A．y =B ．223y x =+C ．2y r π=D ．234y x x =+- 2．在半径为4cm 的圆中，挖去一个半径为xcm 的圆面，剩下的圆环面积为ycm 2 ，则y 与x 之间的函数关系式为 （ ） A ．24y x π=- B ．2(2)y x π=- C ．2(4)y x =-+ D ．216y x ππ=-+ 3．函数24(3)(2)3mm y m x m x +-=++++是二次函数，那么m 的值是（ ） A ．﹣3 B ．2 C ．﹣3或2 D ．3或﹣24.二次函数722-+=x x y 的函数值是8，那么对应的x 的值是( )。
A.3B.5C.－3和5D.3和－55．下列函数中，哪些是二次函数？哪些是一次函数？哪些是反比例函数？⑴．31y x =+ ⑵．2321y x x =++⑶．234y x =+ ⑷．23y x x =-+ ⑸．13y x = ⑹．213y x =6.将一根长40cm的铁丝折成一个矩形，试求矩形面积S（cm2）与矩形一边长x（cm）之间的函数关系式。
精选推荐九年级数学下册 第一章《二次函数》二次函数的图像小结学案1(无答案)(新版)湘教版
二次函数的图像
学习目标:
1、能熟练画出二次函数的图像.
2、能熟练掌握二次函数图像的性质. 知识归纳:
二次函数※※
※※※
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※※
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※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※ 学习过程: 【自主小结】（课前） 完成下列表格
完成
知识归
纳
表
【巩固练习】
画出下列函数的图像，写出其性质
y=x 2-3x y=-3x 2
-3x+1
a<
2、启明公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件．为了获得更好的利益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x
（万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且y=－
102x ＋107x ＋107
，如果把利润
看作是销售总额减去成本费和广告费．
（1）试写出年利润S （万元）与广告费x （万元）的函数表达式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大？最大年利润是多少万元？
（2）把（1）中的最大利润留出3万元作广告，其余的资金投资新项目，现有6个项目可供选择，各项目每股投资金额和预计年收益如下表：
如果每个项目只能投一股，且要求所有投资项目的收益总额不得低于1．6万元，问有几种符合要求的投资方式？写出每种投资方式所选的项目．。
2017春九年级数学下册第1章二次函数课题二次函数与一元二次方程的联系学案(新版)湘教版
课题：二次函数与一元二次方程的联系【学习目标】1．掌握二次函数图象与x轴的交点横坐标与一元二次方程两根的关系．2．理解二次函数图象与x轴的交点的个数与一元二次方程根的个数的关系．3．会用二次函数图象求一元二次方程的近似根．【学习重点】理解二次函数与一元二次方程的联系，会求一元二次方程的近似根．【学习难点】一元二次方程与二次函数的综合应用．情景导入生成问题情景导入：1．一次函数y＝ax＋b(a≠0)与一元一次方程ax＋b＝0(a≠0)有何关系？答：从图象看，一次函数y＝ax＋b与x轴交点的横坐标即方程ax＋b＝0的解．2．求下列二次函数与x轴交点坐标，并判断交点个数．(1)y＝x2＋x－6；(2)y＝x2－2x＋1；(3)y＝x2－2x＋2.解：(1)由y＝x2＋x－6＝0可得x1＝－3，x2＝2，所以有两个交点(－3，0)，(2，0)；(2)由y＝x2－2x＋1＝0可得x1＝x2＝1，所以只有一个交点(1，0)；(3)由y＝x2－2x＋2＝0可得Δ＝(－2)2－4×2<0，所以无交点．自学互研生成能力知识模块一二次函数与一元二次方程的关系阅读教材P24～P25，完成下列问题：1．二次函数与一元二次方程有何关系？答：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y＝0时，自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根．2．如何判断二次函数与x轴交点的情况？答：二次函数的图象与x轴的关系，对应着一元二次方程根的三种情况：当b2－4ac>0时，该抛物线与x轴有两个交点；当b2－4ac＝0时，该抛物线与x轴有一个交点；当b2－4ac＜0时，该抛物线与x轴没有交点．【例1】二次函数y＝x2－3x－1与x轴的交点个数是( C)A．0 B．1 C．2 D．3【变例1】若二次函数y＝x2－4x＋c的图象与x轴有交点，则整数c可以取下列四组中的( D)A．5，6，7 B．4，5，6C．3，4，5 D．2，3，4【变例2】已知二次函数y＝－x2＋4x＋m的部分图象如图，则关于x的一元二次方程－x2＋4x＋m＝0的解是__x1＝－1，x2＝5__．【变例3】二次函数y＝x2＋kx＋2k－4的图象与x轴只有一个交点，则k＝__4__．【变例4】(鄂州中考)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则ax2＋bx＋c＝0的解为__x1＝－1，x2＝3__，ax2＋bx＋c>0的解为__x<－1或x>3__．知识模块二利用二次函数图象求一元二次方程的近似解【例2】根据下列表格的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)一个解的范围是( C)x 3.23 3.24 3.25 3.26ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03 0.09A．3<x<3.23 B．3.23<x<3.24C．3.24<x<3.25 D．3.25<x<3.26【变例1】用图象法求一元二次方程2x2－4x－1＝0的近似解．解：设y＝2x2－4x－1.画出抛物线y＝2x2－4x－1的图象如图所示．由图象知，当x≈2.2或x≈－0.2时，y ＝0.即方程2x2－4x－1＝0的近似解为x1≈2.2，x2≈－0.2.【变例2】根据下列表格中的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的根的个数是( C)x 6.17 6.18 6.19 6.20y＝ax2＋bx＋c 0.02 －0.01 0.02 0.04A．0 B．1 C．2 D．1或2交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 二次函数与一元二次方程的关系知识模块二 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解检测反馈 达成目标1．(东营中考)若函数y ＝mx 2＋(m ＋2)x ＋12m ＋1的图象与x 轴只有一个交点，则m 的值为( D )A ．0B ．0或2C ．2或－2D ．0，2或－22．已知二次函数y ＝x 2－3x ＋m(m 为常数)的图象与x 轴的一个交点为(1，0)，则关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0的两实数根是( B )A ．x 1＝1，x 2＝－1B ．x 1＝1，x 2＝2C ．x 1＝1，x 2＝0D ．x 1＝1，x 2＝33．二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象如图所示，若一元二次方程ax 2＋bx ＋m ＝0有实数根，则m 的最大值为( B )A ．－3B ．3C ．－6D ．94．已知抛物线y＝x2＋(m－1)x＋(m－2)与x轴相交于A，B两点，且线段AB＝2，则m的值为__1或5__.课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：__________________________________________________________________。
2020学年湘教版数学九年级下册第1章二次函数 教案
1.1 二次函数教学目标理解二次函数的有关概念，会列二次函数的表达式． 重点：理解二次函数的有关概念． 难点：理解二次函数的有关概念的应用． 本节知识点通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义． 教学过程（1）正方形边长为a （cm ），它的面积s （cm 2）是多少？（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x 厘米，则面积增加y 平方厘米，试写出y 与x 的关系式．请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义． [实践与探索]例1 m 取哪些值时，函数22()(1)y m m x mx m =-+++是以x 为自变量的二次函数？ 分析 若函数22()(1)y m m x mx m =-+++是二次函数，须满足的条件是：20m m -≠． 解 若函数22()(1)y m m x mx m =-+++是二次函数，则 20m m -≠． 解得 0m ≠，且1m ≠．因此，当0m ≠，且1m ≠时，函数22()(1)y m m x mx m =-+++是二次函数． 回顾与反思 形如2y ax bx c =++的函数只有在0a ≠的条件下才是二次函数． 探索 若函数22()(1)y m m x mx m =-+++是以x 为自变量的一次函数，则m 取哪些值？ 例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．（1）写出正方体的表面积S （cm 2）与正方体棱长a （cm ）之间的函数关系； （2）写出圆的面积y （cm 2）与它的周长x （cm ）之间的函数关系；（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y （元）与所存年数x 之间的函数关系；（4）菱形的两条对角线的和为26cm ，求菱形的面积S （cm 2）与一对角线长x （cm ）之间的函数关系．解 （1）由题意，得 26(0)S a a =>，其中S 是a 的二次函数； （2）由题意，得 2(0)4x y x π=>，其中y 是x 的二次函数；（3）由题意，得 10000 1.98%10000y x =+⋅（x ≥0且是正整数），其中y 是x 的一次函数； （4）由题意，得 211(26)13(026)22S x x x x x =-=-+<<，其中S 是x 的二次函数． 例3．正方形铁片边长为15cm ，在四个角上各剪去一个边长为x （cm ）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．(1)求盒子的表面积S （cm 2）与小正方形边长x （cm ）之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积． 解 （1）222151542254(0)2S x x x =-=-<<； （2）当x=3cm 时，222543189S =-⨯=（cm 2）． 课堂练习1．下列函数，哪些是二次函数？ （1）20y x -=（2）2(2)(2)(1)y x x x =+---（3）21y x x=+ （4）y =2．当k 为何值时，函数2(1)1kky k x +=-+为二次函数？3．已知正方形的面积为2()y cm ，周长为x （cm ）． (1)请写出y 与x 的函数关系式； (2)判断y 是否为x 的二次函数． 课堂小结形如2(0)y ax bx c a =++≠的函数叫做二次函数． [本课课外作业]A 组1． 已知函数27(3)my m x -=-是二次函数，求m 的值．2．已知二次函数2=，当x=3时，y= -5，当x= -5时，求y的值．y ax3．已知一个圆柱的高为27，底面半径为x，求圆柱的体积y与x的函数关系式．若圆柱的底面半径x为3，求此时的y．4．用一根长为40 cm的铁丝围成一个半径为r的扇形，求扇形的面积y与它的半径x之间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径r的取值范围．B组5．对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是（）A．22=+ D．22y m x(1)=-(1)y m x(1)y m x=- B．22(1)y m x=+ C．22a≠）模型的是（）6．下列函数关系中，可以看作二次函数2y ax bx c=++（0A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）D．圆的周长与圆的半径之间的关系第1课时二次函数2(0)=>的图象与性质y ax a教学目标【知识与技能】1.会用描点法画函数2(0)=>的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质．y ax a2.体会数形结合的转化，能用2(0)y ax a=>的图象和性质解决简单的实际问题．【过程与方法】经历探索二次函数2(0)y ax a=>图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数的经验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯．【情感态度】通过动手画图，同学之间交流讨论，达到对二次函数2(0)=>图象和性质的真正y ax a理解，从而产生对数学的兴趣，调动学生的积极性．【教学重点】1.会画2(0)y ax a=>的图象．2.理解，掌握图象的性质．【教学难点】二次函数图象及性质探究过程和方法的体会教学过程．教学过程一、情境导入，初步认识问题1请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函数的图象的特征是什么?二次函数的图象是什么形状呢?问题2如何用描点法画一个函数图象呢?【教学说明】①略；②列表、描点、连线．二、思考探究，获取新知探究1画二次函数2(0)=>的图象．y ax a【教学说明】①要求同学们动手，按“列表、描点、连线”的步骤画图y=x2的图象，同学们画好后相互交流、展示，表扬画得比较规范的同学．②从列表和描点中，体会图象关于y轴对称的特征．③强调画抛物线的三个误区．误区一：用直线连结，而非光滑的曲线连结，不符合函数的变化规律和发展趋势．如图(1)就是y=x2的图象的错误画法．误区二：并非对称点，存在漏点现象，导致抛物线变形．图(2)就是漏掉点(0，0)的y=x2的图象的错误画法．误区三：忽视自变量的取值范围，抛物线要求用平滑曲线连点的同时，还需要向两旁无限延伸，而并非到某些点停止．如图(3)，就是到点(-2，4)，(2，4)停住的y=x2图象的错误画法．探究2 2(0)y ax a =>图象的性质在同一坐标系中，画出y=x 2， 212y x =，y=2x 2的图象．【教学说明】要求同学们独立完成图象，教师帮助引导，强调画图时注意每一个函数图象的对称性．动脑筋观察上述图象的特征(共同点)，从而归纳二次函数2(0)y ax a =>的图象和性质．【教学说明】教师引导学生观察图象，从开口方向，对称轴，顶点，y 随x 的增大时的变化情况等几个方面让学生归纳，教师整理讲评、强调．2(0)y ax a =>图象的性质1.图象开口向上．2.对称轴是y 轴，顶点是坐标原点，函数有最低点．3.当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，简称右升；当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，简称左降．三、典例精析，掌握新知 例 已知函数24(2)k k y k x +-=+是关于x 的二次函数．(1)求k 的值．(2)k 为何值时，抛物线有最低点，最低点是什么？在此前提下，当x 在哪个范围内取值时，y 随x 的增大而增大？【分析】此题是考查二次函数y=ax 2的定义、图象与性质的，由二次函数定义列出关于k 的方程，进而求出k 的值，然后根据k+2＞0，求出k 的取值范围，最后由y 随x 的增大而增大，求出x 的取值范围．解：(1)由已知得22042k k k +≠⎧⎨+-=⎩，解得k=2或k=-3．所以当k=2或k=-3时，函数24(2)kk y k x +-=+是关于x 的二次函数．(2)若抛物线有最低点，则抛物线开口向上，所以k+2＞0．由（1）知k=2，最低点是（0，0)，当x≥0时，y 随x 的增大而增大． 四、运用新知，深化理解1.（广东广州中考）下列函数，当x ＞0时，y 值随x 值增大而减小的是（ ）A ．y=x 2B ．y=x-1C ．34y x =D ．1y x= 2.已知点（-1，y 1)，(2，y 2)，(-3，y 3)都在函数y=x 2的图象上，则（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 1＜y 3＜y 2 C ．y 3＜y 2＜y 1 D ．y 2＜y 1＜y 33.抛物线y=13x 2的开口向 ，顶点坐标为 ，对称轴为 ，当x=-2时，y= ；当y=3时，x= ，当x≤0时，y 随x 的增大而 ；当x ＞0时，y 随x 的增大而 ．4.如图，抛物线y=ax 2上的点B ，C 与x 轴上的点A （-5，0），D （3，0）构成平行四边形ABCD ，BC 与y 轴交于点E （0，6），求常数a 的值．【教学说明】学生自主完成，加深对新知识的理解和掌握，当学生疑惑时，教师及时指导．【答案】1．D 2．A 3．上，(0，0)，y 轴，43，±3，减小，增大 4．解：依题意得：BC=AD=8，BC∥x 轴，且抛物线y=ax 2上的点B ，C 关于y 轴对称，又∵BC 与y 轴交于点E （0，6），∴B 点为（-4，6），C 点为（4，6），将（4，6）代入y=ax 2得：a=38．五、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾二次函数2(0)y ax a =>图象的画法及其性质．2.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问?请与同伴交流． 课后作业教材练习第1、2题． 教学反思本节课是从学生画y=x 2的图象，从而掌握二次函数2(0)y ax a =>图象的画法，再由图象观察、探究二次函数2(0)y ax a =>的性质，培养学生动手、动脑、探究归纳问题的能力．第2课时 二次函数2(0)y ax a =<的图象与性质教学目标【知识与技能】1.会用描点法画函数2(0)y ax a=<的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质．2.体会数形结合的转化，能用2(0)y ax a=<的图象与性质解决简单的实际问题．【过程与方法】经历探索二次函数2(0)y ax a=<图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数的经验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯．【情感态度】通过动手画图，同学之间交流讨论，达到对二次函数y=ax2(a≠0)图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学习的积极性．【教学重点】①会画2(0)y ax a=<的图象；②理解、掌握图象的性质．【教学难点】二次函数图象的性质及其探究过程和方法的体会．教学过程一、情境导入，初步认识1.在坐标系中画出y=12x2的图象，结合y=12x2的图象，谈谈二次函数y=ax2(a＞0)的图象具有哪些性质？2.你能画出y=12-x2的图象吗？二、思考探究，获取新知探究1画2(0)y ax a=<的图象请同学们在上述坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出y=12-x2的图象．【教学说明】教师要求学生独立完成，强调画图过程中应注意的问题，同学们完成后相互交流，表扬图象画得“美观”的同学．问：从所画出的图象进行观察，y=12x2与y=12-x2有何关系？归纳：y=12x2与y=12-x2二者图象形状完全相同，只是开口方向不同，两图象关于y轴对称．(教师引导学生从理论上进行证明这一结论)探究2二次函数2(0)y ax a=<性质问：你能结合y=12-x2的图象，归纳出2(0)y ax a=<图象的性质吗？【教学说明】教师提示应从开口方向，对称轴，顶点位置，y随x的增大时的变化情况几个方面归纳，教师整理，强调2(0)y ax a=<图象的性质．1.开口向下．2.对称轴是y轴，顶点是坐标原点，函数有最高点．3.当x＞0时，y随x的增大而减小，简称右降，当x＜0时，y随x的增大而增大，简称左升．探究3二次函数2(0)y ax a=≠的图象及性质学生回答：【教学点评】一般地，抛物线y=ax2的对称轴是，顶点是，当a＞0时抛物线的开口向，顶点是抛物线的最点，a越大，抛物线开口越；当a＜0时，抛物线的开口向，顶点是抛物线的最点，a越大，抛物线开口越，总之，|a|越大，抛物线开口越．答案：y轴，（0，0），上，低，小，下，高，大，小三、典例精析，掌握新知例 1 填空：①函数2(2)y x=-的图象是，顶点坐标是，对称轴是，开口方向是．②函数y=x2，y=12x2和y=22x-的图象如图所示，请指出三条抛物线的解析式．解：①抛物线，（0，0），y轴，向上；②根据抛物线y=ax2中，a的值的作用来判断，上面最外面的抛物线为y=12x2，中间为y=x2，在x轴下方的为y=22x-．【教学说明】解析式需化为一般式，再根据图象特征解答，避免发生错误．抛物线y=ax2中，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下，|a|越大，开口越小．例2 已知抛物线y=ax2经过点（1，-1），求y=-4时x的值．【分析】把点(1，-1)的坐标代入y=ax2，求得a的值，得到二次函数的表达式，再把y=-4代入已求得的表达式中，即可求得x的值．解：∵点（1，-1）在抛物线y=ax2上，-1=a·12，∴a=-1，∴抛物线为y=-x2．当y=-4时，有-4=-x2，∴x=±2．【教学说明】在求y=ax2的解析式时，往往只须一个条件代入即可求出a值．四、运用新知，深化理解1.下列关于抛物线y=x2和y=-x2的说法，错误的是（）A．抛物线y=x2和y=-x2有共同的顶点和对称轴B．抛物线y=x2和y=-x2关于x轴对称C．抛物线y=x2和y=-x2的开口方向相反D．点（-2，4）在抛物线y=x2上，也在抛物线y=-x2上2.二次函数y=ax2与一次函数y=-ax(a≠0)在同一坐标系中的图象大致是（）3.二次函数226=-，当x＜0时，y随x的增大而减小，则m= ．y m x+-(1)m m4.已知点A（-1，y1)，B(1，y2)，C(a，y3)都在函数y=x2的图象上，且a＞1，则y1，y2，y3中最大的是．5.已知函数y=ax2经过点(1，2)．①求a的值；②当x＜0时，y的值随x值的增大而变化的情况．【教学说明】学生自主完成，加深对新知识的理解和掌握，当学生疑惑时，教师及时指导．【答案】1．D 2．B 3．2 4．y35．①a=2 ②当x ＜0时，y 随x 的增大而减小 五、师生互动，课堂小结这节课你学到了什么，还有哪些疑惑？在学生回答的基础上，教师点评： （1）2(0)y ax a =<图象的性质；（2）y=ax 2(a≠0)关系式的确定方法． 课后作业教材练习第1～2题． 教学反思本节课仍然是从学生画图象，结合上节课y=ax 2(a ＞0)的图象和性质，从而得出2(0)y ax a =<的图象和性质，进而得出y=ax 2（a≠0)的图象和性质，培养学生动手、动脑、合作探究的学习习惯．第3课时 二次函数2()y a x h =-的图象与性质教学目标 【知识与技能】1.能够画出2()y a x h =-的图象，并能够理解它与y=ax 2的图象的关系，理解a ，h 对二次函数图象的影响．2.能正确说出2()y a x h =-的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【过程与方法】经历探索二次函数2()y a x h =-的图象的作法和性质的过程，进一步领会数形结合的思想． 【情感态度】1.在小组活动中体会合作与交流的重要性．2.进一步丰富数学学习的成功体验，认识到数学是解决实际问题的重要工具，初步形成积极参与数学活动的意识． 【教学重点】掌握2()y a x h=-的图象及性质．【教学难点】理解2()y a x h=-与y=ax2图象之间的位置关系，理解a，h对二次函数图象的影响．教学过程一、情境导入，初步认识1.在同一坐标系中画出y=12x2与y=12(x-1)2的图象，完成下表．2.二次函数y=12(x-1)2的图象与y=12x2的图象有什么关系？3.对于二次函数12(x-1)2，当x取何值时，y的值随x值的增大而增大？当x取何值时，y的值随x值的增大而减小?二、思考探究，获取新知归纳二次函数2()y a x h=-的图象与性质并完成下表．三、典例精析，掌握新知例1 教材例3．【教学说明】二次函数y=ax2与y=a(x-h)2是有关系的，即左、右平移时“左加右减”．例如y=ax2向左平移1个单位得到y=a(x+1)2，y=ax2向右平移2个单位得到y=a(x-2)2的图象．例2 已知直线y=x+1与x轴交于点A，抛物线y=-2x2平移后的顶点与点A重合．①水平移后的抛物线l的解析式；②若点B（x1，y1)，C(x2，y2)在抛物线l上，且12-＜x1＜x2，试比较y1，y2的大小．解：①∵y=x+1，∴令y=0，则x=-1，∴A（-1，0)，即抛物线l的顶点坐标为（-1，0），又∵抛物线l是由抛物线y=-2x2平移得到的，∴抛物线l的解析式为y=-2(x+1)2．②由①可知，抛物线l的对称轴为x=-1，∵a=-2＜0，∴当x＞-1时，y随x的增大而减小，又12-＜x1＜x2，∴y1＞y2．【教学说明】二次函数的增减性以对称轴为分界，画图象取点时以顶点为分界对称取点．四、运用新知，深化理解1.二次函数y=15(x-1)2的最小值是（）A．-1 B．1 C．0 D．没有最小值2.抛物线y=-3(x+1)2不经过的象限是（）A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第二、三象限3.在反比例函数y=kx中，当x＞0时，y随x的增大而增大，则二次函数y=k(x-1)2的图象大致是（）4.（1）抛物线y=13x2向平移个单位得抛物线y=13(x+1)2；(2)抛物线向右平移2个单位得抛物线y=-2(x-2)2．5.已知抛物线y=a(x-h)2的对称轴为x=-2，且过点（1，-3）．(1)求抛物线的解析式；(2)画出函数的大致图象；(3)从图象上观察，当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，函数有最大值（或最小值）？【教学说明】学生自主完成，教师巡视解疑．【答案】1．C 2．A 3．B 4．(1)左，1 (2)y=-2x25．解：(1)y=13(x+2)2 (2)略（3）当x＜-2时，y随x增大而增大；当x=-2时，y有最大值0．五、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么?还有哪些疑惑?2.在学生回答的基础上，教师点评：(1)y=a(x-h)2的图象与性质；（2）y=a(x-h)2与y=ax2的图象的关系．课后作业教材练习第1、2题．教学反思通过本节学习使学生认识到y=a(x-h)2的图象是由y=ax2的图象左右平移得到的，初步认识到a，h对y=a(x-h)2位置的影响，a的符号决定抛物线方向，|a|决定抛物线开口的大小，h决定向左右平移；从中领会数形结合的数学思想．第4课时 二次函数2()y a x h k =-+的图象与性质教学目标 【知识与技能】1.会用描点法画二次函数2()y a x h k =-+的图象．掌握2()y a x h k =-+的图象和性质．2.掌握2()y a x h k =-+与y=ax 2的图象的位置关系．3.理解2()y a x h k =-+，2()y a x h =-，2y ax k =+及2y ax =的图象之间的平移转化． 【过程与方法】经历探索二次函数2()y a x h k =-+的图象的作法和性质的过程，进一步领会数形结合的思想，培养观察、分析、总结的能力． 【情感态度】1.在小组活动中进一步体会合作与交流的重要性．2.体验数学活动中充满着探索性，感受通过认识观察，归纳，类比可以获得数学猜想的乐趣． 【教学重点】二次函数2()y a x h k =-+的图象与性质． 【教学难点】由二次函数2()y a x h k =-+的图象的轴对称性列表、描点、连线． 教学过程一、情境导入，初步认识 复习回顾：同学们回顾一下：① 2y ax =，2()y a x h =-，（a ≠0)的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，y 随x 的增减性分别是什么？② 如何由2y ax = (a ≠0)的图象平移得到2()y a x h =-的图象？③猜想二次函数2()y a x h k =-+的图象开口方向、对称轴、顶点坐标及y 随x 的增减性如何？二、思考探究，获取新知探究1 2()y a x h k =-+的图象和性质1.由老师提示列表，根据抛物线的轴对称性观察图象回答下列问题：①y=12-(x+1)2-1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标及y 随x 的增减性如何？③ 将抛物线y=12-x 2向左平移1个单位，再向下平移1个单位得抛物线y=12-(x+1)2-1．2.同学们讨论回答：①一般地，当h ＞0，k ＞0时，把抛物线2y ax =向右平移h 个单位，再向上平移k 个单位得抛物线2()y a x h k =-+；平移的方向和距离由h ，k 的值来决定．②抛物线2()y a x h k =-+的开口方向、对称轴、顶点坐标及y 随x 的增减性如何？ 探究2 二次函数2()y a x h k =-+的应用【教学说明】二次函数2()y a x h k =-+的图象是 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，当a ＞0时，开口向 ，当a ＜0时，开口向 ．答案：抛物线，直线x=h ，(h ，k)，上，下 三、典例精析，掌握新知例1 已知抛物线2()y a x h k =-+，将它沿x 轴向右平移3个单位后，又沿y 轴向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为y=3-(x+1)2-4，求原抛物线的解析式．【分析】平移过程中，前后抛物线的形状，大小不变，所以a=3-，平移时应抓住顶点的变化，根据平移规律可求出原抛物线顶点，从而得到原抛物线的解析式．解：抛物线y=3-(x+1)2-4的顶点坐标为（-1，-4)，它是由原抛物线向右平移3个单位，向下平移2个单位而得到的，所以把现在的顶点向相反方向移动就得到原抛物线顶点坐标为（-4，-2)．故原抛物线的解析式为y=3-(x+4)2-2．【教学说明】抛物线平移不改变形状及大小，所以a 值不变，平移时抓住关键点：顶点的变化．例2教材例4：画二次函数()2112y x =+-解：对称轴是直线1x =，顶点坐标为()1,3--， 列表：x-1 0 1 2 3 (21)(1)32y x =+--3-2.5-11.55…描点和连线：画出图像在对称轴右边的部分，利用对称性，画出图像在对称轴左边的部分，这样就得到了21(1)32y x =+-的图像，如上图。
2019-2020学年九年级数学下册 第一章《二次函数》二次函数与几何图形学案(新版)湘教版.doc
2019-2020学年九年级数学下册第一章《二次函数》二次函数与几何图形学案（新版）湘教版学习目标:通过函数与几何的综合，提高综合能力；体会数学的模型思想和数学应用价值.知识归纳: 无※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※学习过程:【知识运用】如图，在Rt△ABC中，AC=3cm，BC=4cm，作一个长方形DEGF，其中FG边在斜边上.（1）求Rt△ABC中AB的长及AB上的高（2）若，DE=x，求DF（用含x的代数式表示）（3）求矩形OEGF的面积最大是多少？2、已知抛物线y=x2－（k＋1）x＋k如图．（1）若抛物线与x轴只有一个公共点，试求k值；（2）若抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C，试问：是否存在实数k，使△AOC与△COB相似？若存在，求出相应的k值；若不存在，请说明理由．【巩固提高】1、如图，在Rt△ABC中，AC=3cm，BC=4cm，四边形CFDE为矩形，其中CF、CE在两直角边上，设矩形的一边CF=xcm．当x取何值时，矩形ECFD的面积最大？最大是多少？2、已知△ABC中，BC=5cm，S△ABC为30cm2，内作矩形GDEF如图，求△ABC的内接长方形的最大面积3、海面上，A处有艘船以12km/h的速度向正东航行，同时，在A的正北B处有艘船以15km/h 的速度向正南航行，AB相距60km。
问：多少时间后，两船距离最近？4、已知二次函数y=x2－（m－3）x－m的图象是抛物线，如图2-8-10．（1）试求m为何值时，抛物线与x轴的两个交点间的距离是3？（2）当m为何值时，方程x2－（m－3）x－m=0的两个根均为负数？（3）设抛物线的顶点为M，与x轴的交点P、Q，求当PQ最短时△MPQ的面积．。
2020学年湘教版数学九年级下册第1章二次函数1.2二次函数的图像与性质教案湘教版
第1课时二次函数2(0)=>的图象与性质y ax a教学目标【知识与技能】1.会用描点法画函数2(0)=>的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质．y ax a2.体会数形结合的转化，能用2(0)=>的图象和性质解决简单的实际问题．y ax a【过程与方法】经历探索二次函数2(0)=>图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数的经y ax a验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯．【情感态度】通过动手画图，同学之间交流讨论，达到对二次函数2(0)=>图象和性质的真正理y ax a解，从而产生对数学的兴趣，调动学生的积极性．【教学重点】1.会画2(0)=>的图象．y ax a2.理解，掌握图象的性质．【教学难点】二次函数图象及性质探究过程和方法的体会教学过程．教学过程一、情境导入，初步认识问题1请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函数的图象的特征是什么?二次函数的图象是什么形状呢?问题2如何用描点法画一个函数图象呢?【教学说明】①略；②列表、描点、连线．二、思考探究，获取新知探究1画二次函数2(0)=>的图象．y ax a【教学说明】①要求同学们动手，按“列表、描点、连线”的步骤画图y=x2的图象，同学们画好后相互交流、展示，表扬画得比较规范的同学．②从列表和描点中，体会图象关于y 轴对称的特征． ③强调画抛物线的三个误区．误区一：用直线连结，而非光滑的曲线连结，不符合函数的变化规律和发展趋势． 如图(1)就是y=x 2的图象的错误画法．误区二：并非对称点，存在漏点现象，导致抛物线变形． 图(2)就是漏掉点(0，0)的y=x 2的图象的错误画法．误区三：忽视自变量的取值范围，抛物线要求用平滑曲线连点的同时，还需要向两旁无限延伸，而并非到某些点停止．如图(3)，就是到点(-2，4)，(2，4)停住的y=x 2图象的错误画法． 探究2 2(0)y ax a =>图象的性质在同一坐标系中，画出y=x 2， 212y x =，y=2x 2的图象．【教学说明】要求同学们独立完成图象，教师帮助引导，强调画图时注意每一个函数图象的对称性．动脑筋观察上述图象的特征(共同点)，从而归纳二次函数2(0)y ax a =>的图象和性质．【教学说明】教师引导学生观察图象，从开口方向，对称轴，顶点，y 随x 的增大时的变化情况等几个方面让学生归纳，教师整理讲评、强调．2(0)y ax a =>图象的性质1.图象开口向上．2.对称轴是y 轴，顶点是坐标原点，函数有最低点．3.当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，简称右升；当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，简称左降．三、典例精析，掌握新知 例 已知函数24(2)k k y k x +-=+是关于x 的二次函数．(1)求k 的值．(2)k 为何值时，抛物线有最低点，最低点是什么？在此前提下，当x 在哪个范围内取值时，y 随x 的增大而增大？【分析】此题是考查二次函数y=ax 2的定义、图象与性质的，由二次函数定义列出关于k 的方程，进而求出k 的值，然后根据k+2＞0，求出k 的取值范围，最后由y 随x 的增大而增大，求出x 的取值范围．解：(1)由已知得22042k k k +≠⎧⎨+-=⎩，解得k=2或k=-3．所以当k=2或k=-3时，函数24(2)kk y k x +-=+是关于x 的二次函数．(2)若抛物线有最低点，则抛物线开口向上，所以k+2＞0．由（1）知k=2，最低点是（0，0)，当x≥0时，y 随x 的增大而增大． 四、运用新知，深化理解1.（广东广州中考）下列函数，当x ＞0时，y 值随x 值增大而减小的是（ ） A ．y=x 2B ．y=x-1C ．34y x =D ．1y x= 2.已知点（-1，y 1)，(2，y 2)，(-3，y 3)都在函数y=x 2的图象上，则（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 1＜y 3＜y 2 C ．y 3＜y 2＜y 1 D ．y 2＜y 1＜y 33.抛物线y=13x 2的开口向 ，顶点坐标为 ，对称轴为 ，当x=-2时，y= ；当y=3时，x= ，当x≤0时，y 随x 的增大而 ；当x ＞0时，y 随x 的增大而 ．4.如图，抛物线y=ax 2上的点B ，C 与x 轴上的点A （-5，0），D （3，0）构成平行四边形ABCD ，BC 与y 轴交于点E （0，6），求常数a 的值．【教学说明】学生自主完成，加深对新知识的理解和掌握，当学生疑惑时，教师及时指导．【答案】1．D 2．A 3．上，(0，0)，y 轴，43，±3，减小，增大 4．解：依题意得：BC=AD=8，BC∥x 轴，且抛物线y=ax 2上的点B ，C 关于y 轴对称，又∵BC 与y 轴交于点E （0，6），∴B 点为（-4，6），C 点为（4，6），将（4，6）代入y=ax 2得：a=38．五、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾二次函数2(0)y ax a =>图象的画法及其性质．2.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问?请与同伴交流． 课后作业教材练习第1、2题． 教学反思本节课是从学生画y=x 2的图象，从而掌握二次函数2(0)y ax a =>图象的画法，再由图象观察、探究二次函数2(0)y ax a =>的性质，培养学生动手、动脑、探究归纳问题的能力．第2课时 二次函数2(0)y ax a =<的图象与性质教学目标 【知识与技能】1.会用描点法画函数2(0)y ax a =<的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质．2.体会数形结合的转化，能用2(0)y ax a =<的图象与性质解决简单的实际问题． 【过程与方法】经历探索二次函数2(0)y ax a =<图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数的经验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯． 【情感态度】通过动手画图，同学之间交流讨论，达到对二次函数y=ax 2(a≠0)图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学习的积极性． 【教学重点】①会画2(0)y ax a =<的图象；②理解、掌握图象的性质． 【教学难点】二次函数图象的性质及其探究过程和方法的体会． 教学过程一、情境导入，初步认识 1.在坐标系中画出y=12x 2的图象，结合y=12x 2的图象，谈谈二次函数y=ax 2(a ＞0)的图象具有哪些性质？2.你能画出y=12-x 2的图象吗？二、思考探究，获取新知探究1 画2(0)y ax a =<的图象请同学们在上述坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出y=12-x 2的图象．【教学说明】教师要求学生独立完成，强调画图过程中应注意的问题，同学们完成后相互交流，表扬图象画得“美观”的同学．问：从所画出的图象进行观察，y=12x 2与y=12-x 2有何关系？ 归纳：y=12x 2与y=12-x 2二者图象形状完全相同，只是开口方向不同，两图象关于y 轴对称．(教师引导学生从理论上进行证明这一结论)探究2 二次函数2(0)y ax a =<性质问：你能结合y=12-x 2的图象，归纳出2(0)y ax a =<图象的性质吗？【教学说明】教师提示应从开口方向，对称轴，顶点位置，y 随x 的增大时的变化情况几个方面归纳，教师整理，强调2(0)y ax a =<图象的性质．1.开口向下．2.对称轴是y 轴，顶点是坐标原点，函数有最高点．3.当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，简称右降，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，简称左升．探究3 二次函数2(0)y ax a =≠的图象及性质 学生回答：【教学点评】一般地，抛物线y=ax 2的对称轴是 ，顶点是 ，当a ＞0时抛物线的开口向 ，顶点是抛物线的最 点，a 越大，抛物线开口越 ；当a ＜0时，抛物线的开口向 ，顶点是抛物线的最 点，a 越大，抛物线开口越 ，总之，|a|越大，抛物线开口越 ．答案：y 轴，（0，0），上，低，小，下，高，大，小 三、典例精析，掌握新知例 1 填空：①函数2(2)y x =-的图象是 ，顶点坐标是 ，对称轴是，开口方向是．②函数y=x2，y=12x2和y=22x-的图象如图所示，请指出三条抛物线的解析式．解：①抛物线，（0，0），y轴，向上；②根据抛物线y=ax2中，a的值的作用来判断，上面最外面的抛物线为y=12x2，中间为y=x2，在x轴下方的为y=22x-．【教学说明】解析式需化为一般式，再根据图象特征解答，避免发生错误．抛物线y=ax2中，当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下，|a|越大，开口越小．例2 已知抛物线y=ax2经过点（1，-1），求y=-4时x的值．【分析】把点(1，-1)的坐标代入y=ax2，求得a的值，得到二次函数的表达式，再把y=-4代入已求得的表达式中，即可求得x的值．解：∵点（1，-1）在抛物线y=ax2上，-1=a·12，∴a=-1，∴抛物线为y=-x2．当y=-4时，有-4=-x2，∴x=±2．【教学说明】在求y=ax2的解析式时，往往只须一个条件代入即可求出a值．四、运用新知，深化理解1.下列关于抛物线y=x2和y=-x2的说法，错误的是（）A．抛物线y=x2和y=-x2有共同的顶点和对称轴B．抛物线y=x2和y=-x2关于x轴对称C．抛物线y=x2和y=-x2的开口方向相反D．点（-2，4）在抛物线y=x2上，也在抛物线y=-x2上2.二次函数y=ax2与一次函数y=-ax(a≠0)在同一坐标系中的图象大致是（）3.二次函数226(1)mm y m x +-=-，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，则m= ．4.已知点A （-1，y 1)，B(1，y 2)，C(a ，y 3)都在函数y=x 2的图象上，且a ＞1，则y 1，y 2，y 3中最大的是 ．5.已知函数y=ax 2经过点(1，2)．①求a 的值；②当x ＜0时，y 的值随x 值的增大而变化的情况．【教学说明】学生自主完成，加深对新知识的理解和掌握，当学生疑惑时，教师及时指导．【答案】1．D 2．B 3．2 4．y 3 5．①a=2 ②当x ＜0时，y 随x 的增大而减小 五、师生互动，课堂小结这节课你学到了什么，还有哪些疑惑？在学生回答的基础上，教师点评： （1）2(0)y ax a =<图象的性质；（2）y=ax 2(a≠0)关系式的确定方法． 课后作业教材练习第1～2题． 教学反思本节课仍然是从学生画图象，结合上节课y=ax 2(a ＞0)的图象和性质，从而得出2(0)y ax a =<的图象和性质，进而得出y=ax 2（a≠0)的图象和性质，培养学生动手、动脑、合作探究的学习习惯．第3课时 二次函数2()y a x h =-的图象与性质教学目标 【知识与技能】1.能够画出2()y a x h =-的图象，并能够理解它与y=ax 2的图象的关系，理解a ，h 对二次函数图象的影响．2.能正确说出2()y a x h=-的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．【过程与方法】经历探索二次函数2()y a x h=-的图象的作法和性质的过程，进一步领会数形结合的思想．【情感态度】1.在小组活动中体会合作与交流的重要性．2.进一步丰富数学学习的成功体验，认识到数学是解决实际问题的重要工具，初步形成积极参与数学活动的意识．【教学重点】掌握2()y a x h=-的图象及性质．【教学难点】理解2()y a x h=-与y=ax2图象之间的位置关系，理解a，h对二次函数图象的影响．教学过程一、情境导入，初步认识1.在同一坐标系中画出y=12x2与y=12(x-1)2的图象，完成下表．2.二次函数y=12(x-1)2的图象与y=12x2的图象有什么关系？3.对于二次函数12(x-1)2，当x取何值时，y的值随x值的增大而增大？当x取何值时，y的值随x值的增大而减小?二、思考探究，获取新知归纳二次函数2()y a x h=-的图象与性质并完成下表．三、典例精析，掌握新知例1 教材例3．【教学说明】二次函数y=ax2与y=a(x-h)2是有关系的，即左、右平移时“左加右减”．例如y=ax2向左平移1个单位得到y=a(x+1)2，y=ax2向右平移2个单位得到y=a(x-2)2的图象．例2 已知直线y=x+1与x轴交于点A，抛物线y=-2x2平移后的顶点与点A重合．①水平移后的抛物线l的解析式；②若点B（x1，y1)，C(x2，y2)在抛物线l上，且12-＜x1＜x2，试比较y1，y2的大小．解：①∵y=x+1，∴令y=0，则x=-1，∴A（-1，0)，即抛物线l的顶点坐标为（-1，0），又∵抛物线l是由抛物线y=-2x2平移得到的，∴抛物线l的解析式为y=-2(x+1)2．②由①可知，抛物线l的对称轴为x=-1，∵a=-2＜0，∴当x＞-1时，y随x的增大而减小，又12-＜x1＜x2，∴y1＞y2．【教学说明】二次函数的增减性以对称轴为分界，画图象取点时以顶点为分界对称取点．四、运用新知，深化理解1.二次函数y=15(x-1)2的最小值是（）A．-1 B．1 C．0 D．没有最小值2.抛物线y=-3(x+1)2不经过的象限是（）A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第二、三象限3.在反比例函数y=kx中，当x＞0时，y随x的增大而增大，则二次函数y=k(x-1)2的图象大致是（）4.（1）抛物线y=13x2向平移个单位得抛物线y=13(x+1)2；(2)抛物线向右平移2个单位得抛物线y=-2(x-2)2．5.已知抛物线y=a(x-h)2的对称轴为x=-2，且过点（1，-3）．(1)求抛物线的解析式；(2)画出函数的大致图象；(3)从图象上观察，当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，函数有最大值（或最小值）？【教学说明】学生自主完成，教师巡视解疑．【答案】1．C 2．A 3．B 4．(1)左，1 (2)y=-2x25．解：(1)y=13(x+2)2 (2)略（3）当x＜-2时，y随x增大而增大；当x=-2时，y有最大值0．五、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么?还有哪些疑惑?2.在学生回答的基础上，教师点评：(1)y=a(x-h)2的图象与性质；（2）y=a(x-h)2与y=ax2的图象的关系．课后作业教材练习第1、2题．教学反思通过本节学习使学生认识到y=a(x-h)2的图象是由y=ax 2的图象左右平移得到的，初步认识到a ，h 对y=a(x-h)2位置的影响，a 的符号决定抛物线方向，|a|决定抛物线开口的大小，h 决定向左右平移；从中领会数形结合的数学思想．第4课时 二次函数2()y a x h k =-+的图象与性质教学目标 【知识与技能】1.会用描点法画二次函数2()y a x h k =-+的图象．掌握2()y a x h k =-+的图象和性质．2.掌握2()y a x h k =-+与y=ax 2的图象的位置关系．3.理解2()y a x h k =-+，2()y a x h =-，2y ax k =+及2y ax =的图象之间的平移转化． 【过程与方法】经历探索二次函数2()y a x h k =-+的图象的作法和性质的过程，进一步领会数形结合的思想，培养观察、分析、总结的能力． 【情感态度】1.在小组活动中进一步体会合作与交流的重要性．2.体验数学活动中充满着探索性，感受通过认识观察，归纳，类比可以获得数学猜想的乐趣． 【教学重点】二次函数2()y a x h k =-+的图象与性质． 【教学难点】由二次函数2()y a x h k =-+的图象的轴对称性列表、描点、连线． 教学过程一、情境导入，初步认识 复习回顾：同学们回顾一下：① 2y ax =，2()y a x h =-，（a ≠0)的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标，y 随x 的增减性分别是什么？②如何由2y ax= (a≠0)的图象平移得到2()y a x h=-的图象？③猜想二次函数2()y a x h k=-+的图象开口方向、对称轴、顶点坐标及y随x的增减性如何？二、思考探究，获取新知探究12()y a x h k=-+的图象和性质1.由老师提示列表，根据抛物线的轴对称性观察图象回答下列问题：①y=12-(x+1)2-1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标及y随x的增减性如何？③将抛物线y=12-x2向左平移1个单位，再向下平移1个单位得抛物线y=12-(x+1)2-1．2.同学们讨论回答：①一般地，当h＞0，k＞0时，把抛物线2y ax=向右平移h个单位，再向上平移k个单位得抛物线2()y a x h k=-+；平移的方向和距离由h，k的值来决定．②抛物线2()y a x h k=-+的开口方向、对称轴、顶点坐标及y随x的增减性如何？探究2二次函数2()y a x h k=-+的应用【教学说明】二次函数2()y a x h k=-+的图象是，对称轴是，顶点坐标是，当a＞0时，开口向，当a＜0时，开口向．答案：抛物线，直线x=h，(h，k)，上，下三、典例精析，掌握新知例1 已知抛物线2()y a x h k=-+，将它沿x轴向右平移3个单位后，又沿y轴向下平移2个单位，得到抛物线的解析式为y=3-(x+1)2-4，求原抛物线的解析式．【分析】平移过程中，前后抛物线的形状，大小不变，所以a=3-，平移时应抓住顶点的变化，根据平移规律可求出原抛物线顶点，从而得到原抛物线的解析式．解：抛物线y=3-(x+1)2-4的顶点坐标为（-1，-4)，它是由原抛物线向右平移3个单位，向下平移2个单位而得到的，所以把现在的顶点向相反方向移动就得到原抛物线顶点坐标为（-4，-2)．故原抛物线的解析式为y=3-(x+4)2-2．【教学说明】抛物线平移不改变形状及大小，所以a值不变，平移时抓住关键点：顶点(2=x-1 0 1 2 3 …21(1)32y x =+--3 -2.5 -1 1.5 5…描点和连线：画出图像在对称轴右边的部分，利用对称性，画出图像在对称轴左边的部分，这样就得到了21(1)32y x =+-的图像，如上图。
2019-2020年湘教版九年级数学下册学案：1.1 二次函数
1.1 二次函数
教学思路 （纠错栏）
教学目标：
1．能探索和表示实际问题中的二次函数关系； 2．知道什么是二次函数； 3．能根据实际问题确定自变量的取值范围．
教学重点：二次函数的概念. 预设难点：由实际问题确定函数解析式和自变量的取值范围．
☆ 预习导航 ☆
一、链接
1.矩形周长为 40m，长为 xm，则矩形的面积 S=________. 2.出售成本为 10 元的某种文具盒，若每个售价 x 元，一天可出售（6-x）个， 那么一天的利润 y=__________. 3.上面变量的关系是函数关系吗？
二、导读
1. 上面列出的函数关系式有什么特点？ 2. 一般地，形如____________________________的函数，叫做二次函数。其 中 x 是________，a 是__________，b 是___________，c 是_____________． 3. 如 果 不 考 虑 实 际 问 题中 的 特 殊 情 况 ， 二 次 函数 自 变 量 的 取 值 范 围是 __________.
☆ 归纳反思 ☆
1.二次函数的解析式 y=ax2+bx+c(a≠0)有哪些特点？
教学思路 （纠错栏）
2.上述概念中的 a 为什么不能是 0？
3．对于二次函数 y=ax2+bx+c 中的 b 和 c 可否为 0？若 b=0,则 y=__________; 若 c=0,则 y=__________;若 b=0,c=0,则 y=_____________.
.
4. 某商场今年一月份销售额为 50 万元，二、三月份平均每月销售增长率为 x,求三月份销售额 y 与 x 之间的函数表达式.
九年级数学下册课题2.1二次函数教案湘教版【教案】
课题： 2.1 二次函数授课目的：1、从本质情况中让学生经历研究剖析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验怎样用数学的方法去描述变量之间的数量关系。
2、理解二次函数的看法，掌握二次函数的形式。
3、会建立简单的二次函数的模型，并能依照实诘责题确定自变量的取值范围。
4、会用待定系数法求二次函数的剖析式。
授课重点：二次函数的看法和剖析式授课难点：本节“合作学习”涉及的实诘责题有的较为复杂，要修业生有较强的概括能力。
授课方案：一、创立情境，导入新课问题 1、现有一根 12m长的绳子，用它围成一个矩形，怎样围法，才使举行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？问题 2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？这些问题都可以经过学习俄二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数” （板书课题）二、合作学习，研究新知请用合适的函数剖析式表示以下问题中情况中的两个变量y 与 x 之间的关系：（1）面积 y (cm 2) 与圆的半径x ( Cm )(2)王先生计人银行 2 万元 , 先存一个一年如期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期, 设一年如期的年存款利率为文x两年后王先生共得本息y 元 ;(3) 拟建中的一个温室的平面图如图, 若是温室外面是一个矩形，周长为12Om,室内通道的尺寸如图 , 设一条边长为x (cm),种植面积为y (m2)111x 3（一）教师组织合作学习活动：1、先个体研究，试一试写出y 与 x 之间的函数剖析式。
2、上述三个问题先易后难，在个体研究的基础上，小组进行合作交流，共同商议。
（1） y = πx2 （ 2）y = 2000(1+x) 2 = 20000x 2+40000x+20000(3) y = (60-x-4)(x-2)=-x 2+58x-112（二）上述三个函数剖析式拥有哪些共同特色？让学生充分宣告建议，提出各自看法。
九年级数学下册第1章 二次函数 课题 二次函数学案新湘教版
课题：二次函数【学习目标】1．理解具体情景中二次函数的意义，理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式． 2．能够表示简单变量之间的二次函数关系式，并能根据实际问题确定自变量的取值范围． 【学习重点】二次函数的概念及列二次函数解析式． 【学习难点】在实际问题中，会写简单变量之间的二次函数关系式．情景导入 生成问题旧知回顾：1．什么是一次函数？答：如果函数表达式是自变量的一次多项式，这样的函数称为一次函数，它的一般形式是y ＝kx ＋b(k ，b 是常数，k ≠0)．2．写出下列函数的表达式，它们是一次函数吗？(1)正方形边长为a(cm )，它的面积S 与a 的函数关系式为__S ＝a 2__；(2)已知正方体棱长为x(cm )，其表面积y(cm 2)与x 的函数关系式为__y ＝6x 2__；(3)矩形长是4cm ，宽是3cm ，如果将其长与宽都增加x cm ，则面积增加y cm 2，那么y 与x 的函数关系式为__y ＝x 2＋7x__．它们都不是一次函数．自学互研 生成能力知识模块一 二次函数定义及自变量的取值范围 阅读教材P 2～P 3，完成下列问题：1．什么是二次函数？它的一般形式是什么？答：以上所列出的函数表达式是自变量的二次多项式，那么，这样的函数称为二次函数，它的一般形式是y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，a ≠0)．2．如何求二次函数的自变量的取值范围？答：二次函数的自变量的取值范围是所有实数．但在实际问题中，它的自变量的取值范围会有一些限制． 【例1】 下列函数是二次函数的是( C )A ．y ＝3x －1B ．y ＝－2xC ．y ＝x 2＋2D ．y ＝2(x －1)2－2x 2【变例1】 已知y ＝(m －1)xm 2＋2m －1是关于x 的二次函数，则m ＝__－3__．【变例2】 已知函数y ＝(a ＋2)x 2＋x －3是关于x 的二次函数，则常数a 的取值范围是__a ≠－2__．【例2】 有长为24m 的篱笆，如图所示，一面利用墙(墙的最大可用长度a 为10m )围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB 为x m ，面积为S m 2.求S 与x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围．解：S ＝－3x 2＋24x.(143<x<8)【变例1】 若等边三角形的边长为x ，它的面积y 与x 之间的函数关系式为y ＝34x 2，则x 的取值范围是__x>0__．【变例2】 用一根长为60m 的绳子围成一个矩形，请写出这个矩形的面积y(m 2)关于一条边长x(m )的函数表达式，并指出自变量x 的取值范围．解：y ＝－x 2＋30x.(0<x<30) 知识模块二 实际问题中的二次函数【例3】 (安徽中考)某厂今年一月份新产品的研发资金为a 元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x ，则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x 的函数关系式为y ＝__a(1＋x)2__．【变例1】 某校九(1)班共有x 名学生，在毕业典礼上每两名同学都握一次手，共握手y 次，试写出y 与x 之间的函数关系式：__y ＝x （x －1）2__它__是__(选填“是”或“不是”)二次函数．【变例2】 某商人将进价为每件8元的商品按每件10元出售，每天可售出100件，经试验，把这种商品每件提价1元，每天的销售量会减少10件，则每天所得的利润y(元)与售价x(元/件)之间的函数关系式为__y ＝－10x 2＋280x －1600(8≤x≤20)__．【变例3】 如图所示，农村常需要搭建截面为半圆形的全封闭蔬菜塑料暖房，则需要塑料布y(m 2)与其半径R(m )的函数关系式为(不考虑塑料埋在土里的部分)__y ＝πR 2＋30πR(R>0)__． 交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 二次函数定义及自变量的取值范围 知识模块二 实际问题中的二次函数检测反馈 达成目标1．在二次函数y ＝－x 2＋1中，二次项系数、一次项系数、常数项的和为__0__． 2．已知函数y ＝(m －2)xm 2－2＋3x 是关于x 的二次函数，则m 的值为__－2__．3．在半径为4cm 的圆中，挖出一个半径为x cm 的圆，剩下的圆环的面积是y cm 2，则y 与x 的函数关系式为 y ＝16π－πx 2__，其自变量取值范围是__0<x<4__．4．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售 价x(元)满足一次函数关系m ＝162－3x.请写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件销售价x(元)之间的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围．解：y ＝(x －30)(162－3x) ＝－3x 2＋252x －4860 ∵x －30≥0，x ≥30 ∴162－3x≥0，x ≤54. ∴30≤x ≤54.课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：__________________________________________________________________。
湘教版数学九年级下册1 第1课时 抛物线形二次函数教案与反思
1．5 二次函数的应用知己知彼，百战不殆。
《孙子兵法·谋攻》原创不容易，【关注】，不迷路！第1课时 抛物线形二次函数1．掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题．2．利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题．3．能运用二次函数的图象与性质进行决策．一、情境导入某大学的校门是一抛物线形的水泥建筑物(如图所示)，大门的宽度为8米，两侧距地面4米高处各挂有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，请你确定校门的高度是多少？二、合作探究探究点一：建立二次函数模型 【类型一】运动轨迹问题某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高209米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3米．(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？(2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？解析：这是一个有趣的、贴近学生日常生活的应用题，由条件可得到出手点、最高点(顶点)和篮圈的坐标，再由出手点、顶点的坐标可求出函数表达式；判断此球能否准确投中的问题就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上；判断盖帽拦截能否获得成功，就是比较当x ＝1时函数y 的值与最大摸高3.1米的大小．解：(1)由条件可得到球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为A (0，209)，B (4，4)，C (7，3)，其中B 是抛物线的顶点．设二次函数关系式为y ＝a (x －所在直线为x 轴建立直角坐标系．(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标；(2)求出这条抛物线的函数关系式；(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD －DC －CB ，使C 、D 点在抛物线上，A 、点在地面OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？解析：解决问题的思路是首先建立适当的坐标系，挖掘条件确定图象上点的坐标M (12，0)和抛物线顶点P (6，6)；已知顶点坐标，可设二次函数关系式为y ＝a (x －6)2＋6，可利用待定系数法求出二次函数关系式；再利用二次函数上某些点的坐标特征，求出有关“支撑架”总长AD ＋DC ＋CB 二次函数的关系式，根据二次函数的性质，求出最值，从而解决问题．解：(1)根据题意，分别求出M (12，0)，最大高度为6米，点P 的纵坐标为6，底部宽度为12米，所以点P 横坐标为6，即P (6，6)．(2)设此函数关系式为y ＝a (x －6)2＋6.因为函数y ＝a (x －6)2＋6经过点(0，3)，所以3＝a (0－6)2＋6，即a ＝－112.所以此函数关系式为y ＝－112(x －6)2＋6＝－112x 2＋x ＋3. (3)设A (m ，0)，则B (12－m ，0)，C (12－m ，－112m 2＋＋3)，D (m ，－112m 2＋m ＋3)．即“支撑架”总长AD ＋DC ＋CB ＝(－错误!m 2＋m ＋3)＋(12－2m )＋(－112m 2＋m ＋3)＝－16m 2＋18.因为此二次函数的图象开口向下．所以当m ＝0时，AD ＋DC ＋CB 有最大值为18.三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，建立二次函数模型，解决生活中的实际问题.【素材积累】从诞生的那一刻起，我们就像一支离弦的箭，嗖嗖地直向着生命的终点射去。
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课题：二次函数
【学习目标】
1．理解具体情景中二次函数的意义，理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式． 2．能够表示简单变量之间的二次函数关系式，并能根据实际问题确定自变量的取值范围． 【学习重点】
二次函数的概念及列二次函数解析式． 【学习难点】
在实际问题中，会写简单变量之间的二次函数关系式．
情景导入 生成问题
旧知回顾：
1．什么是一次函数？
答：如果函数表达式是自变量的一次多项式，这样的函数称为一次函数，它的一般形式是y ＝kx ＋b(k ，b 是常数，k ≠0)．
2．写出下列函数的表达式，它们是一次函数吗？
(1)正方形边长为a(cm )，它的面积S 与a 的函数关系式为__S ＝a 2
__；
(2)已知正方体棱长为x(cm )，其表面积y(cm 2
)与x 的函数关系式为__y ＝6x 2
__；
(3)矩形长是4cm ，宽是3cm ，如果将其长与宽都增加x cm ，则面积增加y cm 2
，那么y 与x 的函数关系式为__y ＝x 2
＋7x__．
它们都不是一次函数．
自学互研 生成能力
知识模块一 二次函数定义及自变量的取值范围 阅读教材P 2～P 3，完成下列问题：
1．什么是二次函数？它的一般形式是什么？
答：以上所列出的函数表达式是自变量的二次多项式，那么，这样的函数称为二次函数，它的一般形式是y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，a ≠0)．
2．如何求二次函数的自变量的取值范围？
答：二次函数的自变量的取值范围是所有实数．但在实际问题中，它的自变量的取值范围会有一些限制． 【例1】 下列函数是二次函数的是( C )
A ．y ＝3x －1
B ．y ＝－2x
C ．y ＝x 2＋2
D ．y ＝2(x －1)2－2x 2
【变例1】 已知y ＝(m －1)xm 2
＋2m －1是关于x 的二次函数，则m ＝__－3__．
【变例2】 已知函数y ＝(a ＋2)x 2＋x －3是关于x 的二次函数，则常数a 的取值范围是__a ≠－2__．
【例2】 有长为24m 的篱笆，如图所示，一面利用墙(墙的最大可用长度a 为10m )围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB 为x m ，面积为S m 2
.求S 与x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
解：S ＝－3x 2
＋24x.(143
<x<8)
【变例1】 若等边三角形的边长为x ，它的面积y 与x 之间的函数关系式为y ＝34
x 2
，则x 的取值范围是__x>0__．
【变例2】 用一根长为60m 的绳子围成一个矩形，请写出这个矩形的面积y(m 2
)关于一条边长x(m )的函数表达式，并指出自变量x 的取值范围．
解：y ＝－x 2
＋30x.(0<x<30) 知识模块二 实际问题中的二次函数
【例3】 (安徽中考)某厂今年一月份新产品的研发资金为a 元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x ，则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x 的函数关系式为y ＝__a(1＋x)2
__．
【变例1】 某校九(1)班共有x 名学生，在毕业典礼上每两名同学都握一次手，共握手y 次，试写出y 与x 之间的函数关系式：__y ＝x （x －1）
2
__它__是__(选填“是”或“不是”)二次函数．
【变例2】 某商人将进价为每件8元的商品按每件10元出售，每天可售出100件，经试验，把这种商品每件提价1元，每天的销售量会减少10件，则每天所得的利润y(元)与售价x(元/件)之间的函数关系式为__y ＝－10x 2
＋280x －1600(8≤x≤20)__．
【变例3】 如图所示，农村常需要搭建截面为半圆形的全封闭蔬菜塑料暖房，则需要塑料布y(m 2
)与其半径R(m )的函数关系式为(不考虑塑料埋在土里的部分)__y ＝πR 2
＋30πR(R>0)__． 交流展示 生成新知
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一 二次函数定义及自变量的取值范围 知识模块二 实际问题中的二次函数
检测反馈 达成目标
1．在二次函数y ＝－x 2
＋1中，二次项系数、一次项系数、常数项的和为__0__． 2．已知函数y ＝(m －2)xm 2－2＋3x 是关于x 的二次函数，则m 的值为__－2__．
3．在半径为4cm 的圆中，挖出一个半径为x cm 的圆，剩下的圆环的面积是y cm 2
，则y 与x 的函数关系式为 y ＝16π－πx 2
__，其自变量取值范围是__0<x<4__．
4．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售 价x(元)满足一次函数关系m ＝162－3x.请写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件销售价x(元)之间的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围．
解：y ＝(x －30)(162－3x) ＝－3x 2
＋252x －4860 ∵x －30≥0，x ≥30 ∴162－3x≥0，x ≤54. ∴30≤x ≤54.
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：__________________________________________________________________。