4.1对弧长的曲线积分
对弧长的曲线积分
函数f (x, y)在L上连续： ＞０，＞０，当点(x, y), (x0 , y0 ) L,且 (x x0 )2 ( y y0 )2 时，总有 f (x, y) f (x0 , y0 ) . (5)可积性．若函数 f (x, y)在有限长光滑曲线 L上连续，则
B,
第i段弧M
i
1
M
的长度记为
i
si
,
(i
1,, n).
n
任取点(i ,i ) M i1M i ,作积分和 I n f (i ,i )si ,并令
max
1in
si
.如果无论如何分割，无论如何i取1 点，极限
n
lim
0
i 1
f (i ,i )si
存在，则称此极限值为 函数f (x, y)在曲线L上的对弧长的曲线
圆关于平面z y对称，关于平面 z x对称,关于平面y x对称,
故 x2ds y 2ds z 2ds 1 (x2 y 2 z 2 )ds 1 a2ds
L
L
L
3L
3L
2 a3.
3
例28.4 计算I L xds,其中L为双纽线
(x2 y2) 2 a2(x2 y2) (a 0)
L
L
a
(4)若光滑曲线 L : x x( y), y [c, d], f (x, y)在L上连续，则
f (x, y)ds
f (x( y), x)ds
d
f (x( y), y)
1 x2 ( y)dy.
L
L
c
(5)若光滑曲线 L : r r( ), [, ], f (x, y)在L上连续，则
其中, i [ti1, ti ], i 1,2,, n.
高等数学第一节 对弧长的曲线积分1
n
⑶ 求和：得柱面 面积的近似值 S h(xi ,hi )si ． i1
⑷ 取极限：令 l 0，则有 的面积
n
S
lim
l 0
i1
h(xi ,hi )si
上任取一点(x i , h i)，以r(x i , h i)s i 作为第 i 小段质量的近似值，
其中s i 表示第 i 小段的弧长．于是整个曲线构件的质量
n
M r(xi ,hi )si ． i 1
用l表示n个小弧段的最大
长度．为了计算M 的精确值，
y
线密度为r(x, y)的曲线 L：B
如果f (x, y)在L上关于y为奇函数, 如果f (x, y)在L上关于y为偶函数.
⑵ 如果 L 关于 y 轴对称， L1 为 L 在 y 轴上方的部分，则
L
f
(x, y)ds
2
L1
f
0, (x, y)ds,
如果f (x, y)在L上关于x为奇函数, 如果f (x, y)在L上关于x为偶函数.
i 1
B Mn1
s i Mi
A
L
(x i, h i)
Mi-1
O
M1
M2
x
２．第一类曲线积分的定义：
设L为xOy面内的一条光滑曲线弧，函数f(x, y)在L上有界．
在 L上任意插入一点列M1，M2，···，Mn把L分在n个小段．
设第 i 个小段的长度为s i，
第 i 个小段上任意取定的一点(x i, h i) ， 作乘积f(x i, h i) s i，并作和
(整理)对弧长的曲线积分.
对弧长的曲线积分一、概念的引进假设xoy 面内有一段曲线弧L 具有质量,在L 上任一点(,)x y 处的线密度为ρ(,)x y ,且ρ(,)x y 在L 上连续,A 与B 分别是弧L 的端点,现计算弧L 的质量m 。
在L 上任意地插入n +1个分点A M M M M M MB i i n n ==--0111,,,,,,,将L 分划成n 个小弧段。
对于第 i 个小弧段弧M i M i -1,由于线密度函数ρ(,)x y 在L 上连续,当该小弧段的长度充分小时,它的质量近似地等于ρξηξη(,)(,),i i ii i M i M i s i M i M i s ∆∆∀--弧表示弧的长度11于是,整个曲线弧L 的质量近似值为m s i i ii n≈⋅=∑ρξη(,)∆1用λ表示这n 个小弧段长度的最大者, 即λ=≤≤max {}1i ni s ∆为了得到质量m 的精确值,只需对上述和式取极限,令λ→0,即m s i i ii n=⋅→=∑lim (,)λρξη01∆ (1)撇开上例的物理意义,我们引入对弧长的曲线积分的概念。
【定义】设L 为xoy 面内的一条光滑曲线弧,函数f x y (,)在L 上有界,在L 内任意地插入n +1点,A M M M M M MB i i n n ==--0111,,,,,,,它把L 分成n 个小弧段,设第i 个小段弧M i M i -1的长度为∆s i ,(,)ξηi i 为弧M i M i -1上任取的一点,记λ=≤≤max {}1i ni s ∆作和式 f s i i ii n(,)ξη⋅=∑∆1如果极限 lim (,)λξη→=⋅∑01f s i i ii n∆ 存在,这个极限值就叫做函数f x y (,)在曲线弧L 上对弧长的曲线积分,记作f x y dsL(,)⎰。
亦即 f x y ds f s L i i i i n(,)lim (,)⎰∑=⋅→=λξη01∆其中:f x y (,)叫做被积函数, L 叫做积分弧段。
第19讲对弧长的曲线积分
§ 对弧长的曲线积分1、主要教学目标(1)对弧长的曲线积分的概念与性质 (2)对弧长曲线积分的计算(3)对弧长曲线积分的几何与物理意义及应用 2、重点内容对弧长曲线积分的计算 3、难点分析对弧长曲线积分的计算中，参数方程的确定及直角坐标、极坐标、参数方程三种情形下曲线积分计算公式 4、对教材的处理及其教学提示(1)注意教材在该部分的淡化，要注意考研的需求，介绍参考书； (2)注意线、面积分的性质局限在线性、可加、符号范畴；(3)曲线、曲面积分重在讲授转化成定积分的思想方法，定积分计算不宜过难； (4)注意构建第一类线、曲积分计算法与曲线长度、曲面面积计算的知识结构体系；5、作业布置 P190：3(2，3，5)教案内容一、问题的提出实例：曲线形构件的质量匀质之质量.s M ⋅=ρ 分割,,,,121i n s M M M ∆→-,),(i i i s ∆∈ηξ取.),(i i i i s M ∆⋅≈∆ηξρ求和.),(1∑=∆⋅≈ni i i i s M ηξρ近似值取极限.),(lim1∑=→∆⋅=ni iiis M ηξρλ精确值二、对弧长的曲线积分的概念与性质1.平面上对弧长的曲线积分y上对弧长的曲线积分在曲线弧则称此极限为函数这和的极限存在时长度的最大值如果当各小弧段的并作和作乘积点个小段上任意取定的一为第又个小段的长度为设第个小段分成把上有界在函数面内一条光滑曲线弧为设L y x f s f s f i s i n L L y x f xoy L ni i i i i i i i i i ),(,,0,),(,),(,),(,..),(,1→∆⋅∆⋅∆∑=ληξηξηξ.),(lim ),(,),(1∑⎰⎰=→∆⋅=ni i i i LL s f ds y x f ds y x f ηξλ即记作2.空间中对弧长的曲线积分上对弧长的曲线积分为在空间曲线弧函数Γ),,(z y x f.),,(lim ),,(1i ni i i i s f ds z y x f ∆⋅=∑⎰=→Γζηξλ3.曲线积分的存在性.),(,),(存在对弧长的曲线积分上连续时在光滑曲线弧当⎰L ds y x f L y x f4.分段光滑的曲线上对坐标的曲线积分)(,)(21L L L L +=Γ是分段光滑的或若.),(),(),(2121⎰⎰⎰+=+L L L L ds y x f ds y x f ds y x f5.闭曲线积分.),(),(⎰Lds y x f L y x f 为上对弧长的曲线积分记在闭曲线函数 6.对弧长的曲线积分的性质.),(),()],(),([)1(⎰⎰⎰±=±LLLds y x g ds y x f ds y x g y x f).(),(),()2(为常数k ds y x f k ds y x kf LL⎰⎰=.),(),(),()3(21⎰⎰⎰+=L L Lds y x f ds y x f ds y x f ).(21L L L +=三、对弧长的曲线积分的计算法1.定理(计算曲线积分的公式)的参数方程为上有定义且连续在曲线弧设L L y x f ,),())((),(βαψϕ≤≤==t t y t x)()()()](),([),(,],[)(),(22βαψϕψϕβαψϕβα<'+'=⎰⎰dt t t t t f ds y x f t t L则上具有一阶连续导数在其中例1 ).(,sin ,cos :,象限第椭圆求I ⎩⎨⎧===⎰t b y t a x L xyds I L解答要点：dt t b t a t b t a I 2220)cos ()sin (sin cos +-⋅=⎰πdt t b t a t t ab 222220cos sin cos sin +=⎰π⎰-=ab du u b a ab 222)cos sin (2222t b t a u +=令.)(3)(22b a b ab a ab +++=2.其它计算公式.)(:)1(b x a x y L ≤≤=ψ.)(1)](,[),(2dx x x x f ds y x f baL⎰⎰'+=ψψ)(b a <.)(:)2(d y c y x L ≤≤=ϕ.)(1]),([),(2dy y y y f ds y x f dcL⎰⎰'+=ϕϕ)(d c <)().(),(),(:)3(βαωψϕ≤≤===Γt t z t y t x)()()()()](),(),([),,(222βαωψϕωψϕβα<'+'+'=⎰⎰Γdt t t t t t t f ds z y x f3.应注意的问题;.1βα一定要小于上限定积分的下限.,,),(.2而是相互有关的不彼此独立中y x y x f例2 .)2,1()2,1(,4:,2一段到从其中求-==⎰x y L yds I L解答要点：dy y y I 222)2(1+=⎰-.0= 例3 ⎰Γ=xyzds I 求，其中)20(,sin ,cos :πθθθθ≤≤===Γk z a y a x解答要点：⎰+⋅=πθθθθ20222sin cos d k a k a I .21222k a ka +-=π例4 ⎩⎨⎧=++=++Γ=⎰Γ.0,,22222z y x a z y x ds x I 为圆周其中求解答要点：由对称性, 知.222⎰⎰⎰ΓΓΓ==ds z ds y ds xxy 42=⎰Γ++=ds z y x I )(31222故⎰Γ=ds a 32.323a π=),2(球面大圆周长⎰Γ=ds a π例5 计算曲线积分dsz y x )(222++⎰Γ 其中为螺旋线x a cos t 、y a sin t 、z kt 上相应于t 从0到达2的一段弧解 在曲线上有x 2y 2z 2(a cos t )2(a sin t )2(k t )2a 2k 2t 2 并且 dt k a dt k t a t a ds 22222)cos ()sin (+=++-=于是ds z y x )(222++⎰Γ⎰++=π2022222)(dt k a t k a)43(3222222k a k a ππ++=四、几何与物理意义,),()1(的线密度时表示当L y x ρ;),(⎰=Lds y x M ρ;,1),()2(⎰=≡Lds L y x f 弧长时当,),(),()3(处的高时在点上的柱面表示立于当y x L y x f.),(⎰=Lds y x f S 柱面面积,)4(轴的转动惯量轴及曲线弧对y x .,22⎰⎰==Ly L x ds y I ds x I ρρ曲线弧的重心坐标)5(.,⎰⎰⎰⎰==LL L L dsds y y dsds x x ρρρρ 五、小结1、对弧长曲线积分的概念2、对弧长曲线积分的计算3、对弧长曲线积分的应用sL。
对弧长的曲线积分
对弧长的曲线积分曲线积分是微积分中的一个重要概念，它在物理、工程学以及数学中都有广泛的应用。
本文将重点讨论对弧长的曲线积分，以及其在实际问题中的意义和计算方法。
一、对弧长的曲线积分的概念对弧长的曲线积分是指在一条曲线上的某个定点到另一定点的路径上，对曲线上的某个物理量在路径上的积分运算。
这个物理量可以是向量场、标量场或者其他更一般的场。
在二维空间中，对弧长的曲线积分可以表示为：∮(Pdx+Qdy)其中，P和Q是曲线上的某个向量场的分量。
在三维空间中，对弧长的曲线积分可以表示为：∮(Pdx+Qdy+Rdz)其中，P、Q和R分别是曲线上的某个向量场的分量。
二、对弧长的曲线积分的意义对弧长的曲线积分可以用于描述物理量在曲线上的累积变化。
例如，在电磁场中，对弧长的曲线积分可以用于计算沿着路径的电场强度变化，从而求解电场对电荷的做功。
此外，对弧长的曲线积分还可以用于计算力场对物体所做的功。
例如，在物体受到重力场作用下沿一条曲线移动时，对弧长的曲线积分可以用于计算重力场对物体的功。
三、对弧长的曲线积分的计算方法对弧长的曲线积分的计算方法与路径的参数化有关。
一般而言，我们需要先将曲线进行参数化，然后根据参数化得到的表达式来计算积分。
在二维空间中，如果曲线的参数化方程为x=t，y=f(t)，那么对弧长的曲线积分可以表示为：∫(P(t)x'(t)+Q(t)y'(t))dt，其中x'(t)和y'(t)分别表示参数化方程的偏导数。
在三维空间中，如果曲线的参数化方程为x=r(t)，y=s(t)，z=g(t)，那么对弧长的曲线积分可以表示为：∫(P(t)r'(t)+Q(t)s'(t)+R(t)g'(t))dt，其中r'(t)，s'(t)和g'(t)分别表示参数化方程的偏导数。
需要注意的是，对弧长的曲线积分的计算过程中，参数化的选取会影响最终的结果。
1对弧长的曲线积分
于是所求转动惯量I为
I y2ds L
提示
转动惯量的元素为dIy2ds y2ds
例3 计算半径为R、中心角为2的圆弧L对于它的对称轴 的转动惯量I(设线密度为1)
解 取坐标系如图所示 则曲线L的参数方程为
xRcos yRsin ()
于是所求转动惯量I为
I y2ds L R2 sin 2 (R sin )2 (R cos )2 d R3 sin 2d R3( sin cos )
也表示弧长一对弧长的曲线积分的概念与性质曲线形构件的质量设曲线形构件所占的位置在xoy面内的一段曲线弧l上已知曲线形构件在点x?整个曲线形构件的质量近似为一对弧长的曲线积分的概念与性质设曲线形构件所占的位置在xoy面内的一段曲线弧l上已知曲线形构件在点x曲线形构件的质量?把曲线弧l分成n个小段作和对弧长的曲线积分设l为xoy面内的一条光滑曲线弧函数fxy在l上有界称此极限为函数fxy在曲线弧l上对弧长的曲线积分记作ds其中fxy叫做被积函数l叫做积分弧段光滑曲线对弧长的曲线积分说明?当函数fxy在光滑曲线弧l上连续时函数fxy在曲线弧l上对弧长的曲线积分是存在的以后我们总假定fx是连续的?对弧长的曲线积分也称为第一类曲线积分?曲线形构件的质量就是曲线积分z在空间曲线弧上对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分?如果l或是分段光滑的则规定函数在l或上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和例如设l可分成两段光滑曲线弧l则规定ds?函数fxy在闭曲线l上对弧长的曲线积分记作说明对弧长的曲线积分的性质?性质1?性质2若积分弧段l可分成两段光滑曲线弧l?性质3设在l上fx机动目录上页下页返回结束思考
2(t) 2(t)dt ()
L
讨论
(3)若曲线的参数方程为x(t) y(t) z(t)(t)
对弧长曲线积分课件
02 对弧长的曲线积分性质
线性性质
总结词
线性性质是指对弧长的曲线积分满足线性运算规则，即对弧长的曲线积分可以按照线性组合进行计算 。
详细描述
对于两个或多个函数的线性组合，其对应的对弧长的曲线积分等于各函数对弧长的曲线积分的线性组 合。即，如果 $f(x) 和 g(x)$ 是定义在同一直线上的函数，那么 $(f(x) + g(x))$ 的对弧长的曲线积分 等于 $f(x)$ 的对弧长的曲线积分加上 $g(x)$ 的对弧长的曲线积分。
要点二
平面曲线的面积
通过计算平面曲线围成的区域的面积，可以利用曲线积分 的方法。这种方法在几何学、物理学等领域有广泛应用。
平面曲线的曲率和挠率
平面曲线的曲率
曲率描述了曲线在某一点的弯曲程度。通过计算弧长曲 线积分，可以得到曲线的曲率。这对于分析曲线的形状 和性质具有重要意义。
平面曲线的挠率
挠率是描述曲线在垂直方向上的变化率，即曲线在某一 点的倾斜程度。通过计算弧长曲线积分，可以得到曲线 的挠率。这对于研究曲线的全局几何特征具有重要意义 。
积分区间的可加性
总结词
积分区间的可加性是指对弧长的曲线积分可以在不同的区间上分别计算，然后再 相加。
详细描述
如果函数 $f(x)$ 在两个不重叠的区间 $[a, b]$ 和 $[c, d]$ 上有定义，那么 $f(x)$ 在整个区间 $[a, b] cup [c, d]$ 上的对弧长的曲线积分等于在 $[a, b]$ 和 $[c, d]$ 上的对弧长的曲线积分之和。
03 对弧长的曲线积分的应用
平面曲线的长度
总结词
对弧长的曲线积分可以用来计算平面曲线的长度。
对弧长和曲线积分
则 f (x, y, z)ds
f ((t) , (t),(t) )
2 (t) 2 (t) 2 (t) d t
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例1. 计算
其中 L 是抛物线
与点 B (1,1) 之间的一段弧 .
解: L : y x2 ( 0 x 1)
1
0 x
1
x
1 4x2 dx
0
（k 为常数)
(3) f (x, y, z) ds f (x, y, z) ds f (x, y, z) ds
1
2
( 由
组成)
( l 为曲线弧 的长度)
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4、几何与物理意义
(1) 当( x, y)表示 L的线密度时,
M L ( x, y)ds ;
(2)
o
x
4 4 r cos
r 2 ( ) r2 ( ) d
0
4 4 a2 cos d 0
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例4. 计算曲线积分 线
解: (x2 y2 z2 ) ds
其中为螺旋 的一段弧.
a2 k 2 2 [a2 k 2t 2]d t 0
2 a2 k 2 (3a2 4 2k 2 )
解:
d
Fx
k
ds
R2
cos
(x, y)
d
Fy
k
ds
R2
sin
2k sin cos
R
0
Fy
2k R
0
sin
d
2k R
cos
sin
0
故所求引力为 F 4k , 2k
RR
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对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分
对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分
对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分是两种不同的积分方法，它们有不同的积分公式和不同的应用场景。
1. 对弧长的曲线积分：
对弧长的曲线积分也被称为第一类曲线积分，它是对弧长进行积分的一种方法。
这种积分方法可以求得曲线段上变力所做的功。
在这种方法中，我们假设线段在每一点的线密度为
f(x,y)，那么在这段线段上任意一点的附近取一个微小弧长ds，则有ds与dx、dy满足勾股定理。
在这种情况下，我们可以将
力F分解为两个分量，即沿着x轴的分力和沿着y轴的分力，它们分别记为P和Q。
这样，力F所做的功就可以分解为沿着
x轴和y轴的两个分量分别所做的功，再将它们相加即可得到
总功。
2. 对坐标的曲线积分：
对坐标的曲线积分也被称为第二类曲线积分，它是对坐标进行积分的一种方法。
这种积分方法可以求得沿着曲线段的功。
在这种方法中，我们将曲线段看作是由许多微小的线段组成的，然后对每一段微小的线段进行积分。
在线段上每一点，我们都有P=Fcosα，Q=Fcosβ，其中F是与x轴夹角为α，与y轴夹
角为β的力。
这样，我们就可以将力F分解为两个分量，即沿着x轴的分力和沿着y轴的分力，它们分别记为P和Q。
然后，我们可以将沿着x轴和y轴的两个分量分别与坐标x和y相乘，再将它们相加即可得到总功。
总之，对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分是两种不同的积分方法，它们有不同的积分公式和不同的应用场景。
在解决实际问题时，我们需要根据具体场景选择合适的积分方法。
对弧长的曲线积分的计算方法
对弧长的曲线积分的计算方法
对弧长的曲线积分是一种第一类曲线积分，其计算方法主要包括以下步骤:
1. 确定被积函数：首先需要确定被积函数，通常是曲线的参数方程或极坐标方程。
2. 确定积分区间：确定积分区间，即曲线的不同段，通常需要分成多个区间进行积分。
3. 计算积分值：根据被积函数和积分区间，计算曲线每段弧长乘以段数，再对所有段数进行求和，即可得到曲线积分的值。
4. 化简积分式：如果需要，可以将积分式进行化简，以简化计算过程。
下面是一些典型的例题:
- 计算圆的对弧长的曲线积分：被积函数为圆的参数方程
(x,y)= (rcos(t), rsin(t)),积分区间为 [0,2π],结果求和。
- 计算椭圆的对弧长的曲线积分：被积函数为椭圆的参数方程x=rcos(t),y=rsin(t),积分区间为 [0,2π],结果求和。
- 计算空间曲线的对弧长的曲线积分：被积函数为空间曲线的参数方程，积分区间为 [0,2π],结果求和。
- 计算分段光滑曲线的对弧长的曲线积分：被积函数为分段光滑的曲线函数，积分区间为 [0,2π],结果求和。
对弧长的曲线积分的计算方法相对简单，但需要确定被积函数和积分区间，并计算积分值，化简积分式等步骤。
在实际应用中，需要
根据具体情况选择适当的积分方法，并进行详细的计算和分析。
高等数学-第一节-对弧长的曲线积分知识讲解
n
mlim 0 i1
f
i,i si,
y •B
• M n1
(i,i)•• M i
• M i1 L
•M2
• M1 •A
o
x
图9-1
定义2 设L为xOy平面内的一条光滑曲线, z = f (x, y)
为L上的连续函数, 用分点M1, M2, …, Mn-1, 把L分成n
小段, 在 Mi-1Mi 上任意取一点(i, i), si表示 Mi-1Mi
的长度, 记 = max{s1, s2, , sn}, 如果
n
mlim 0 i1
f
i,i si,
存在, 则将此极限值称为函数f (x, y)在L上对弧长的曲
线积分, 记为 L f x, yds,
其中, f (x, y)称为被积函数, L称为积分弧段.
定理1 当 f(x, y)在光滑曲线或分段光滑曲线弧L上
1.
线密度为连续函数z = f (x, y),
L
利用分割作和、取极限的方法求
该构件的质量.
o
x
图9-1
在L上取点M1, M2, …, Mn-1 , 把L分成n小段, 在 Mi-1Mi上任
意取一点(i, i), 弧段 Mi-1Mi
的长度为si, 记
= max{s1, s2, , sn}
则该构件的质量为
性质3 将L分成L1 与L2, 则
L fx ,y d s L 1fx ,y d s L 2fx ,y d s 性质4 L ds L0 , 其中L0表示L的长度
性质5 f (x, y) g (x, y), 则
Lfx,ydsLfx,yds
性质6 在L上若设m f (x) M, 则
高数-对弧长的曲线积分讲解
质量m。如图11-1所示。
L
A
o
x
图11-1
2. 曲线形构件的质量（2）
(1) 分割： 在L上取点M1, M2, …, Mn-1 , 把L分 成n小段, 记第i小段的长度为 si
(2)近似：
m ( , )s
i
i
i
i
n
n
(3) 求和：
m
m i
(
i
,
i
)
s i
i 1
(x, y) L 。
A L f (x, y)ds
x
L
y
6. 对弧长的曲线积分的计算（1）
定理1 设 f (x, y)在曲线 L上连续, L的参数方程为
x (t),
y
(t
),
( t )
其中 (t), (t) 在[, ]上具有一阶连续导数, 且 2(t)
谢 谢！
i 1
y B
M n1
Mi
(i
,i )
M
i
si
1
L
M2
M1 A
o
图11-1
x
n
(4)
取极限：m
lim 0
i 1
( i
, i
)s i
，其中 max{s1,s2,
, sn}
3. 对弧长的曲线积分的定义（1）
定义：设L为 xoy 面内的一条光滑曲线弧，函数 f (x, y) 在 L 上有界。在
思考
(1) L能否为空间曲线？
(2) 定义的条件能否适当减弱？
(3) 可积条件？
对弧长的曲线积分
f ( x, y, z)ds f [ (t), (t), (t)] 2(t) 2(t) 2(t)dt
( )
例1 求 L x2 y2 ds, L:x2 y2 4x
解法1 分析：因曲线L的方程关系
y
可直接用来化简被积函数,而
(x, y) r
x2 y2 4x ，
o 2 4x
故可将积分化为对x的定积分.
24 3( 2 sin2 t dt 2 sin4 t dt)
0
0
24 3(1 3 1 ) 3 3 .
22 422 2
五、小结
1.对弧长曲线积分的概念 2.对弧长曲线积分的计算
计算关键：选择合适的参数方程化为定积分,
计算步骤：(1)画弧L (2)将 L 用参数式表示
yx((tt)),. t
24
22
令
x 2 R cost, y x 1 Rsin t,
3
22
则 x 2 R sin t, 3
y 1 R cost x 1 R cost 2 R 1 sin t,
2
22
32
z x y, z2 x2 y2 2xy ,
x2 y2 z2 2(x2 y2 xy) 将x, y代入化简 R2
由 x2 y2 4x 对x求导得
yx
2x y
，
ds
1 yx2 dx
2 y2
dx，利用对称性,即L关于x轴对称,
4
2
I 2 4x dx
0
y2
而被积函数关于y为偶函数 若不用对称性 , 就要分段积分
4
8
x dx
0 4x x2
后再求和 .因L位于 x轴上方的 方程为y 4x x2 ,而下方一
对弧长曲线积分
f [ (t ), (t )]
2 (t ) 2 (t ) d t
• 对光滑曲线弧
b
f (x, y)ds f (x, (x) )
L
a
1 2(x) dx
• 对光滑曲线弧
L f (x, y)ds
f (r( ) cos , r( )sin )
r 2 ( ) r2 ( ) d
(2) f (x, y, z)ds f (x, y, z) ds f (x, y, z) ds
1
2
(3) ds l ( l 曲线弧 的长度) ( 由1, 2 组成)
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3. 计算
• 对光滑曲线弧
L
f
(x,
y) ds
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例1. 计算
其中 L 是抛物线
与点 B (1,1) 之间的一段弧 .
解: L : y x2 (0 x 1)
1
0 x
1
x
1 4x2 dx
0
1 12
(1
4x
2
)
3 2
1 0
1 (5 5 1) 12
上点 O (0,0)
y B(1,1) y x2
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例3. 计算
其中 为曲线 z
解: 利用轮换对称性 , 有
x2 ds y2 ds z2 ds
利用重心公式知
I 2 (x2 y2 z2) ds 3 4 πa3 3
y
O
对弧长的曲线积分计算思路、步骤与典型例题
对弧长的曲线积分计算思路、步骤与典型例题展开全文一、对弧长的曲线积分的几何意义与物理意义1、构建对弧长的曲线积分的模型对弧长的曲线积分即在微元弧微分ds分布的曲线上求分布的量的和。
比如小段ds的质量近似量，即为ds上一点(x,y,z)的线密度与弧长的乘积ρ(x,y,z)ds，总的曲线型构建的质量即为ds分布的曲线Γ上求和，从而得到对弧长的曲线积分模型描述形式为其中平面上的曲线积分即为以上模型的特殊情况，即z=0的情形。
2、对弧长的曲线积分的几何意义(1) 当f(x,y)=1时，表示积分曲线段L的长度；(2) 当f(x,y)>0时，表示以xOy面上的曲线L为准线，母线平行于z轴，顶部为(x,y,f(x,y))点构成的曲线的柱面片的面积。
当f(x,y,z)=1时，表示积分曲线段Γ的长度。
3、对弧长的曲线积分的物理意义当f(x,y)>0,f(x,y,z)>0时，分别表示平面曲线段L与空间曲线段Γ的长度。
二、对弧长的曲线积分的计算方法不管是空间曲线还是平面曲线，曲线积分的计算公式可以统一描述为其中C:r=r(t),a≤t≤b，即由曲线C的参数方程式分量构成的向量值函数描述形式，其中|r’(t)|表示向量值函数r=r(t)的导数向量的模。
1．积分曲线为平面曲线的情形● 当C:y=y(x),a≤x≤b时，则r=r(x)=(x,f(x))，a≤x≤b，所以有● 当C:x=x(x),y=y(t),a≤t≤b时，则r=r(t)=(x(t),y(t))，a≤t≤b，所以有● 当C:ρ=ρ(θ),α≤θ≤β时，则r=r(θ)=( ρ(θ)cosθ, ρ(θ)sinθ)，α≤θ≤β，所以有2．积分曲线为空间曲线的情形当C:x=x(x),y=y(t),z=z(t),a≤t≤b时，则r=r(t)=(x(t),y(t), z(t))，a≤t≤b，所以有【注】|r’(t)|dt即为弧微分，弧长大于0，所以以上的定积分计算式中一定有积分下限小于积分上限。
对弧长的曲线积分定义(一)
对弧长的曲线积分定义(一)对弧长的曲线积分定义•对弧长的曲线积分是在曲线上对标量或向量值函数积分的过程。
它可以用来计算沿曲线的某个属性的累积值，比如质量、电荷、能量等。
曲线积分的类型:1.第一类曲线积分•定义：对弧长的曲线积分将一个标量函数沿曲线求积分。
•理由：第一类曲线积分在物理和工程中具有广泛的应用，用于计算流体力学、电磁学和力学相关的问题。
2.第二类曲线积分•定义：对弧长的曲线积分将一个向量函数沿曲线求积分。
•理由：第二类曲线积分在向量场中的环流、工作和流量等问题中起着重要的作用。
它可以用于计算电磁场、流体流量、力学和热力学等领域。
相关书籍简介1.“Advanced Calculus” by Patrick M. Fitzpatrick•书籍简介：这本教材涵盖了高等微积分的各个方面，并提供了对曲线积分的深入讲解。
它适用于高校数学专业的学生和数学研究人员。
本书包含大量的例题和习题，旨在帮助读者加深对曲线积分的理解与应用。
2.“Calculus: An Intuitive and Physical Approach” byMorris Kline•书籍简介：这本教材以直观和物理的方法讲解微积分的基本概念和技巧。
其中包括了对曲线积分的解释与具体应用。
这本书适用于对数学感兴趣的读者，特别是那些对曲线积分在物理领域中的应用感兴趣的读者。
3.“Vector Calculus” by Jerrold E. Marsden and Anthony J.Tromba•书籍简介：这本教材对向量和曲线积分进行了详细的阐述，尤其是在第一类和第二类曲线积分的应用方面。
这本书适用于高级微积分和多变量微积分的学生和研究人员。
它提供了丰富的例题和习题，帮助读者理解和掌握曲线积分的概念和技巧。
通过上述定义和相关书籍的学习，读者可以深入理解对弧长的曲线积分的含义和应用。
掌握曲线积分的技巧和方法，有助于解决各种与流体力学、电磁学和力学相关的实际问题。
四节对弧长曲线积分
（第十章 第一节） 一、弧微分 二、对弧长的曲线积分的计算
G 表示的几种几何形体以及其上的积分：
闭区间 [a,b]
D (平面有界 闭区域)
二重积分
(空间有界
闭区域)
三重积分
L （平面有限 对弧长的曲线积分 曲线段）
(空间有限
曲线段)
（有限曲 对面积的曲面积分 面片）
2
a3
(sin2
t)
2
a3 .
20 2
例2 计算 I L x y ds, 其中 L
是以 O(0,0), A1,0 , B1,1 为顶点的
三角形边界.
解 L是分段光滑弧段, y y x
B(1,1)
L OA AB BA.
L
OA
AB
小结
对弧长的曲线积分的计算----化为定积分
L f ( x, y)ds
1.把积分路径L代入被积函数； 2.根据积分路径L的不同的表示形式， 求出弧微分. 3. 定出定积分的上下限，下限小于上限.
(1) 曲线弧为参数方程的计算
L : x (t), y (t) ( t ).
2
讨论题
已知一柱面的准线（平面曲线）和高， 可以利用积分求出它的面积吗？
由此给出对弧长的曲线积分的几何意义. 答：柱面的侧面积
L f ( x, y)ds
（y=y(x)为底边，z=f (x,y)为高的面积）
提示：由定积分的几何意义推广.
平面上对弧长的曲线积分几何意义：
L f ( x, y)ds 表示柱面y y( x)介于
( x2 y2 )ds a2 2 a 2 a3 . L a2
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n
作乘积f (i ,i ) si ,
并作和
i 1
f (i ,i ) siy,
B
L Mn1
如 果 当 各 小 弧 段 的长 度 的 最 大 值 0时,
(i ,i ) Mi
这 和 的 极 限 存 在, 则 称 此 极 限 为 函 数f ( x, y) A
M2 M1
M i 1
在 曲 线 弧L上 对 弧 长 的曲 线 积 分 或第 一 类 o
L
OA
OB
AB
a e xdx
a
2 e 2x 2dx 4 eaadt
0
0
0
[e x ]0a [e
a
2x ]0 2
aea
4
2(ea 1) aea
4
a a
ea
2
参数方程
1 ( y)2dx ea
a a
2
a dx a2 x2
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四、小结
1.对弧长曲线积分的概念 2.对弧长曲线积分的计算 3.对弧长曲线积分的应用
一、问题的提出
y
实例:曲线形构件的质量
线密度为常量时 M s.
A 分割 M1, M2 , , Mn1 si , o
B
L Mn1
(i ,i ) Mi
M2
M1
M i 1
x
取近似 取 (i ,i ) si , Mi (i ,i ) si .
n
求和 M (i ,i ) si .
i 1
【解Ⅰ】 取x为积分变量 L : y x2 (0 x 1)
yds 1 x2 1 ( x2 )2dx
L
0
1 (5 5 1) 12
【解Ⅱ】 取y为积分变量L : x y
(0 y 1)
L
1
yds 0
y 1(
y)2dy 1 0
y 1dy 4
1 (5
5 1)
12
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【例2】 求I yds,其中L : y2 4x,从 L (1,2) 到(1,2)一段.
y2 4x
【解Ⅰ】 I
2
y
1 ( y)2dy 0.
2
2
【解Ⅱ】 I
1
4xds
1
(
4x)ds
0
0
其中 ds 1 ( 4x)2dx
【例3】 求I xyzds, 其中 : x a cos , y a sin ,
(3) f ( x, y)ds f ( x, y)ds f ( x, y)ds.
L
L1
L2
(L L1 L2 ).(分段光滑)
(4)与积分路径的方向无关，即与起点、终点无关.
f ( x, y)ds f ( x, y)ds （补充）
AB
BA
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(5)比较性质 设在L上 f ( x, y) g( x, y),则
n
取极限
M
lim
0
i 1
(i ,i )
si .
近似值 精确值
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二、对弧长的曲线积分的概念
1【定义】
设L为xoy面内一条光滑曲线弧,函数f ( x, y)在L上有界.
用L上的点M1, M2 , , Mn1把L分成n个小段.设第i个小
段的长度为si ,又(i ,i )为第i个小段上任意取定的一点,
第一节 对弧长的曲线积分
一、 问题的提出 二、 对弧长的曲线积分的概念 三、 对弧长的曲线积分的计算 四、 小结 思考题
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回顾与展望
定积分
b
f ( x)dx,
x [a,b] —数轴上的闭区间
a
二重积分 f ( x, y)d , ( x, y) D —平面闭区域
D
a2 k2
2π
[a
2
k
2
t
2]d
t
0
2 π a2 k2 (3a2 4 π 2k2) 3
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【例5】
求曲线积分 e x2 y2 ds,其中L为圆周x2 y2 a2 ，直线 L y x及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.
【解】
e x2 y2 ds
x
曲 线 积 分, 记 作L f ( x, y)ds, 即
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积分弧段(路径)
被积函数
弧微分
积分和式
n
L
f(x,y)ds
lim λ0 i1
f(ξi ,ηi ) Δsi .
曲线形构件的质量 M ( x, y)ds. L
2. 【存在条件】（充分条件）
当 f ( x, y)在光滑曲线弧L上连续时,
对弧长的曲线积分 f ( x, y)ds必定存在.
3. 【推广】
L
函数 f ( x, y, z)在空间曲线弧上对弧长的
曲线积分为
n
f ( x, y, z)ds
lim
0
i 1
f (i ,i , i ) si .
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【注意】
1. 若 L 是分段光滑的, (L L1 L2 )
否! 对弧长的曲线积分要求 ds 0 , 但定积分中
dx 可能为负.
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由弧长的曲线积分定义可知有如下性质
4. 【性质】
(1) L[ f ( x, y) g( x, y)]ds L f ( x, y)ds L g( x, y)ds.
(2) L kf ( x, y)ds k L f ( x, y)ds (k为常数).
f ( x, y)ds f ( x, y)ds f ( x, y)ds.
L1 L2
L1
L2
—规定
2. 函数f ( x, y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分
记为 L f ( x, y)ds.
【思考】
(1) 若在 L 上 f (x, y)≡1, 问 d s 表示什么? L
(2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ?
z k 的一段. (0 2 ) —Γ为螺旋线
【解】
2
I a2 cos sin k a2 k2d 0 1 ka2 a2 k 2 . “四代一定” 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束
【例4】 计算曲线积分 线
解: ( x2 y2 z2 ) ds
其中 为螺旋
的一段弧.
三重积分 f ( x, y, z)dv, ( x, y, z) —空间闭区域
曲线积分 f ( x, y)ds, L
( x, y) L —平面曲线
f ( x, y, z)ds, ( x, y, z) —空间曲线
曲面积分 f ( x, y, z)dS, ( x, y, z) —空间曲面
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f ( x, y)ds f [(t), (t)] 2(t) 2(t)dt
L
( )
“三代一定”法、与方向无关
【注意】定积分的下限 一定要小于上限 ;
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【特殊情形】
(1) L : y ( x),
a
x
b
x y
x
(
x
)
f ( x, y)ds
b
f [ x, ( x)]
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【思考题】 对弧长的曲线积分的定义中 S的i 符号可 能为负吗？
【思考题解答】 Si 的符号永远为正，它表示弧段的长度.
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五、作业
习题4-1 151页
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1 2( x)dx. (a b)
L
a
(2) L : x ( y) c y d.
f ( x, y)ds
d
f [ ( y), y]
1 2( y)dy. (c d )
L
c
(3) L : r r( )
(
)
x r( )cos
y
r(
)sin
f ( x, y)ds
f [r( )cos ,r( )sin ]
ds r2( ) r2( )d ——弧长元素
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对弧长曲线积分的计算——化为定积分计算
【定理】 设 f ( x, y)在曲线弧 L上有定义且连续,
L的参数方程为
x y
(t ), (t ),
( t )其中
(t), (t)在[ , ]上具有一阶连续导数, 且
r 2( ) r2( )d .
L
【推广】 : x (t), y (t), z (t). ( t )
f ( x, y, z)ds Γ为空间曲线
f [(t), (t),(t)] 2(t) 2(t) 2(t)dt
“四代一定”
( )
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【例1】计算 yds,其中L : y x2上点O(0,0)与点B(1,1) L 之间的一段弧.
L f ( x, y)ds L g( x, y)ds 特别地，有 L f ( x, y)ds L f ( x, y)ds
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三、对弧长曲线积分的计算
复习 平面曲线的弧长公式
1.直角坐标：y f ( x), x [a,b]
s
b a
1 y2dx
弧长公式
其中 ds 1 y2dx ——弧微分（弧长元素）
即 ds (dx)2 (dy)2 ——弧长元素