2017-2018届北京市石景山区九年级上学期期末考试数学试题及答案
【精品】北京市石景山区九年级上期末数学试卷(word版,有答案)(精)
九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．如果3x=4y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（）A．B．C．D．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，，AC=2，则tanA的值为（）A．B．2C．D．3．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠ACD=25°，则∠BOD的度数为（）A．100°B．120°C．130°D．150°4．如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC．若⊙O的半径为4，则弦AB的长为（）A．B．C．D．5．如果在二次函数的表达式y=ax2+bx+c中，a＞0，b＜0，c＜0，那么这个二次函数的图象可能是（）A．B．C．D．6．若二次函数y=x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点，则m的取值范围是（）A．m＞1B．m＜1C．m＞1且m≠0D．m＜1且m≠07．如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到新函数图象，其中原函数图象上的两点A（1，m）、B（4，n）平移后对应新函数图象上的点分别为点A′、B′．若阴影部分的面积为6，则新函数的表达式为（）A．B．C．D．8．如图，点M为▱ABCD的边AB上一动点，过点M作直线l垂直于AB，且直线l与▱ABCD的另一边交于点N．当点M从A→B匀速运动时，设点M的运动时间为t，△AMN的面积为S，能大致反映S与t函数关系的图象是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么这两个相似三角形的面积比为．10．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上．若∠ADE=∠C，AB=6，AC=4，AD=2，则EC=．11．如图，扇形的圆心角∠AOB=60°，半径为3cm．若点C、D是的三等分点，则图中所有阴影部分的面积之和是cm2．12．“平改坡”是指在建筑结构许可条件下，将多层住宅的平屋顶改建成坡屋顶，并对外立面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为．如图是某小区对楼顶进行“平改坡”改造的示意图．根据图中的数据，如果要使坡面BC的坡度达到1：1.2，那么立柱AC的长为米．13．如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象相交于点A和点B．当y1＞y2＞0时，x的取值范围是．14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB 的中点D，则AC的长等于．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到△DEF，写出一种由△ABC得到△DEF的过程：．16．石景山区八角北路有一块三角形空地（如图1）准备绿化，拟从点A出发，将△ABC分成面积相等的三个三角形，栽种三种不同的花草．下面是小美的设计（如图2）．作法：（1）作射线BM；（2）在射线BM上顺次截取BB1=B1B2=B2B3；（3）连接B3C，分别过B1、B2作B1C1∥B2C2∥B3C，交BC于点C1、C2；（4）连接AC1、AC2．则．请回答，成立的理由是：①；②．三、解答题（本题共68分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17．（5分）计算：3tan30°﹣cos245°+﹣2sin60°．18．（5分）用配方法求二次函数y=x2﹣10x+3的顶点坐标．19．（5分）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．若a=2，sin，求b和c．20．（5分）小红和小丁玩纸牌游戏：如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，小红先从中抽出一张，小丁从剩余的3张牌中也抽出一张．比较两人抽出的牌面上的数字，数字大者获胜．（1）请用树状图或列表法表示出两人抽牌可能出现的所有结果；（2）这个游戏公平吗？请说明理由．21．（5分）如图，小明想测量山的高度．他在点B处仰望山顶A，测得仰角∠ABN=30°，再向山的方向（水平方向）行进100m至索道口点C处，在点C处仰望山顶A，测得仰角∠ACN=45°．求这座山的高度．（结果精确到0.1m，小明的身高忽略不计）（参考数据：≈1.41，≈1.73）22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+b的图象与x轴交于点A（2，0），与反比例函数y=的图象交于点B（3，n）．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）若点P为x轴上的点，且△PAB的面积是2，则点P的坐标是．23．（5分）如图，四边形ABCD是平行四边形，CE⊥AD于点E，DF⊥BA交BA的延长线于点F．（1）求证：△ADF∽△DCE；（2）当AF=2，AD=6，且点E恰为AD中点时，求AB的长．24．（5分）二次函数y=x2﹣2mx+5m的图象经过点（1，﹣2）．（1）求二次函数图象的对称轴；（2）当﹣4≤x≤1时，求y的取值范围．25．（6分）如图，AC是⊙O的直径，点D是⊙O 上一点，⊙O的切线CB与AD的延长线交于点B，点F是直径AC上一点，连接DF并延长交⊙O于点E，连接AE．（1）求证：∠ABC=∠AED；（2）连接BF，若AD=，AF=6，tan∠AED=，求BF的长．26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A（﹣1，0）和B（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线与x轴的正半轴交于点C，连接BC．设抛物线的顶点P关于直线y=t的对称点为点Q，若点Q落在△OBC的内部，求t的取值范围．27．（7分）在正方形ABCD中，点P在射线AC上，作点P关于直线CD的对称点Q，作射线BQ交射线DC于点E，连接BP．（1）当点P在线段AC上时，如图1．①依题意补全图1；②若EQ=BP，则∠PBE的度数为，并证明；（2）当点P在线段AC的延长线上时，如图2．若EQ=BP，正方形ABCD的边长为1，请写出求BE长的思路．（可以不写出计算结果）28．（8分）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若PQ为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与x轴平行，则称该等腰三角形为点P，Q的“相关等腰三角形”．下图为点P，Q的“相关等腰三角形”的示意图．（1）已知点A的坐标为（0，1），点B的坐标为，则点A，B的“相关等腰三角形”的顶角为°；（2）若点C的坐标为，点D在直线y=4上，且C，D的“相关等腰三角形”为等边三角形，求直线CD的表达式；（3）⊙O的半径为，点N在双曲线y=﹣上．若在⊙O上存在一点M，使得点M、N的“相关等腰三角形”为直角三角形，直接写出点N的横坐标x N的取值范围．2017-2018学年北京市石景山区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．如果3x=4y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据比例的性质，可得答案．【解答】解：A、由比例的性质，得4x=3y与3x=4y不一致，故A不符合题意；B、由比例的性质，得xy=12与3x=4y不一致，故B不符合题意；C、由比例的性质，得4x=3y与3x=4y不一致，故C不符合题意；D、由比例的性质，得3x=4y与3x=4y一致，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了比例的性质，利用比例的性质是解题关键．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，，AC=2，则tanA的值为（）A．B．2C．D．【分析】本题需先根据已知条件，得出BC的长，再根据正切公式即可求出答案．【解答】解：∵∠C=90°，AB=，AC=2，∴BC=1，∴tanA==．故选：A．【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义，在解题时要根据在直角三角形中，正切等于对边比邻边这个公式计算是本题的关键．3．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠ACD=25°，则∠BOD的度数为（）A．100°B．120°C．130°D．150°【分析】根据圆周角定理求出∠AOD即可解决问题．【解答】解：∵∠AOD=2∠ACD，∠ACD=25°，∴∠AOD=50°，∴∠BOD=180°﹣∠AOD=180°﹣50°=130°，故选：C．【点评】本题考查圆周角定理，邻补角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4．如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC．若⊙O的半径为4，则弦AB的长为（）A．B．C．D．【分析】连接OA，由AB垂直平分OC，求出OD的长，再利用垂径定理得到D为AB的中点，在直角三角形AOD中，利用垂径定理求出AD的长，即可确定出AB的长．【解答】解：连接OA，由AB垂直平分OC，得到OD=OC=2，∵OC⊥AB，∴D为AB的中点，则AB=2AD=2=2=4．故选：B．【点评】此题考查了垂径定理，以及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解本题的关键．5．如果在二次函数的表达式y=ax2+bx+c中，a＞0，b＜0，c＜0，那么这个二次函数的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】由a＞0，b＜0，c＜0，推出﹣＞0，可知抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交y轴于负半轴，由此即可判断．【解答】解：∵a＞0，b＜0，c＜0，∴﹣＞0，∴抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交y轴于负半轴，故选：C．【点评】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6．若二次函数y=x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点，则m的取值范围是（）A．m＞1B．m＜1C．m＞1且m≠0D．m＜1且m≠0【分析】由抛物线与坐标轴有三个交点可得出：方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根，且m ≠0，利用根的判别式△＞0可求出m的取值范围，此题得解．【解答】解：∵二次函数y=x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点，∴方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根，且m≠0，∴△=22﹣4m＞0，∴m＜1．∴m＜1且m≠0．故选：D．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点以及根的判别式，利用根的判别式△＞0找出关于m 的一元一次不等式是解题的关键．7．如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到新函数图象，其中原函数图象上的两点A（1，m）、B（4，n）平移后对应新函数图象上的点分别为点A′、B′．若阴影部分的面积为6，则新函数的表达式为（）A．B．C．D．【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征求出A、B两点的坐标，再过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1），AC=4﹣1=3，根据平移的性质以及曲线段AB扫过的面积为6（图中的阴影部分），得出AA′=2，然后根据平移规律即可求解．【解答】解：∵函数y=（x﹣2）2+1的图象过点A（1，m），B（4，n），∴m=（1﹣2）2+1=1，n=（4﹣2）2+1=2，∴A（1，1），B（4，2），过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1），∴AC=4﹣1=3，∵曲线段AB扫过的面积为6（图中的阴影部分），∴AC•AA′=3AA′=6，∴AA′=2，即将函数y=（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移2个单位长度得到一条新函数的图象，∴新图象的函数表达式是y=（x﹣2）2+3．故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识，根据已知得出AA′是解题关键．8．如图，点M 为▱ABCD 的边AB 上一动点，过点M 作直线l 垂直于AB ，且直线l 与▱ABCD 的另一边交于点N ．当点M 从A→B 匀速运动时，设点M 的运动时间为t ，△AMN 的面积为S ，能大致反映S 与t 函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】当点N 在AD 上时，可得前半段函数图象为开口向上的抛物线的一部分；当点N 在DC 上时，MN 长度不变，可得后半段函数图象为一条线段．【解答】解：设∠A=α，点M 运动的速度为a ，则AM=at ，当点N 在AD 上时，MN=tanα×AM=tanα•at ，此时S=×at ×tanα•at=tanα×a 2t 2，∴前半段函数图象为开口向上的抛物线的一部分，当点N 在DC 上时，MN 长度不变，此时S=×at ×MN=a ×MN ×t ，∴后半段函数图象为一条线段，故选：C ．【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么这两个相似三角形的面积比为 4：9 ．【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．【解答】解：因为两个相似三角形的周长比为2：3，所以这两个相似三角形的相似比为2：3，所以这两个相似三角形的面积比为4：9；故答案为：4：9．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．10．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上．若∠ADE=∠C，AB=6，AC=4，AD=2，则EC=1．【分析】只要证明△ADE∽△ACB，推出=，求出AE即可解决问题；【解答】解；∵∠A=∠A，∠ADE=∠C，∴△ADE∽△ACB，∴=，∴=，∴AE=3，∴EC=AC﹣AE=4﹣3=1，故答案为1．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．11．如图，扇形的圆心角∠AOB=60°，半径为3cm．若点C、D是的三等分点，则图中所有阴影部分的面积之和是cm2．【分析】由题意可知C、D是弧AB的三等分点，通过平移可把阴影部分都集中到一个小扇形中，可发现阴影部分正好是扇形AOB的，先求出扇形AOB的面积再求阴影部分的面积或者直接求圆心角是20度，半径是3的扇形的面积皆可．=，【解答】解：S扇形OABS阴影=S扇形OAB=×π=π．故答案为：【点评】此题考查扇形的面积问题，通过平移的知识把小块的阴影部分集中成一个规则的图形﹣﹣扇形，再求算扇形的面积即可．利用平移或割补把不规则图形变成规则图形求面积是常用的方法．12．“平改坡”是指在建筑结构许可条件下，将多层住宅的平屋顶改建成坡屋顶，并对外立面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为．如图是某小区对楼顶进行“平改坡”改造的示意图．根据图中的数据，如果要使坡面BC的坡度达到1：1.2，那么立柱AC的长为 2.5米．【分析】由坡度的概念得出=，根据AB=3可得AC的长度．【解答】解：根据题意知=，∵AB=3，∴=，解得：AC=2.5，故答案为：2.5．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是熟练掌握坡度的定义．13．如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象相交于点A和点B．当y1＞y2＞0时，x的取值范围是﹣2＜x＜﹣0.5．【分析】根据一次函数与反比例函数交点纵坐标，结合图象确定出所求x的范围即可．【解答】解：根据图象得：当y1＞y2＞0时，x的取值范围是﹣2＜x＜﹣0.5，故答案为：﹣2＜x＜﹣0.5【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，弄清数形结合思想是解本题的关键．14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等于5．【分析】连接CD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB=2CD，求出圆的半径的长，再利用勾股定理列式进行计算即可得解．【解答】解：如图，∵∠C=90°，点D为AB的中点，∴AB=2CD=10，∴CD=5，∴BC=CD=5，在Rt△ABC中，AC===5．故答案为：5．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，求出圆的半径的长是解题的关键．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到△DEF，写出一种由△ABC得到△DEF的过程：向右平移4个单位，沿对称轴BC翻折，再绕点C逆时针旋转90°．【分析】根据对应点C与点F的位置，结合两三角形在网格结构中的位置解答．【解答】解：△ABC向右平移4个单位，沿对称轴BC翻折，再绕点C逆时针旋转90°即可得到△DEF，所以，过程为：向右平移4个单位，沿对称轴BC翻折，再绕点C逆时针旋转90°．故答案为：向右平移4个单位，沿对称轴BC翻折，再绕点C逆时针旋转90°．【点评】本题考查了几何变换的类型，平移、旋转，准确识图是解题的关键．16．石景山区八角北路有一块三角形空地（如图1）准备绿化，拟从点A出发，将△ABC分成面积相等的三个三角形，栽种三种不同的花草．下面是小美的设计（如图2）．作法：（1）作射线BM；（2）在射线BM上顺次截取BB1=B1B2=B2B3；（3）连接B3C，分别过B1、B2作B1C1∥B2C2∥B3C，交BC于点C1、C2；（4）连接AC1、AC2．则．请回答，成立的理由是：①平行线分线段成比例定理；②等底共高．【分析】根据平行线分线段成比例定理和等底共高求解可得．【解答】解：由BB1=B1B2=B2B3且B1C1∥B2C2∥B3C，依据平行线分线段成比例定理知BC1=C1C2=C2C，再由△ABC1，△AC1C2与△AC2C等底共高知，故答案为：①平行线分线段成比例定理；②等底共高．【点评】本题主要考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理和等底共高的两三角形面积关系．三、解答题（本题共68分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17．（5分）计算：3tan30°﹣cos245°+﹣2sin60°．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：原式=3×﹣（）2+﹣2×=﹣+2﹣=．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．18．（5分）用配方法求二次函数y=x2﹣10x+3的顶点坐标．【分析】把解析式化为顶点式即可．【解答】解：∵y=x2﹣10x+3=（x﹣5）2﹣22，∴二次函数的顶点坐标为（5，﹣22）．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x ﹣h）2+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．19．（5分）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．若a=2，sin，求b和c．【分析】先根据sinA=知c==6，再根据勾股定理求解可得．【解答】解：如图，∵a=2，sin，∴c===6，则b===4．【点评】本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握正弦函数的定义及勾股定理．20．（5分）小红和小丁玩纸牌游戏：如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，小红先从中抽出一张，小丁从剩余的3张牌中也抽出一张．比较两人抽出的牌面上的数字，数字大者获胜．（1）请用树状图或列表法表示出两人抽牌可能出现的所有结果；（2）这个游戏公平吗？请说明理由．【分析】（1）根据题意画出树状图，即可解决问题；（2）根据树状图，利用概率公式即可求得小红获胜的概率，由概率相等，即可判定这个游戏公平；【解答】解：（1）树状图如右：则小红获胜的概率：=，小丁获胜的概率：=，所以这个游戏比较公平．【点评】本题考查的是用列表法与树状图法求事件的概率，解题的关键是学会正确画出树状图，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．．21．（5分）如图，小明想测量山的高度．他在点B处仰望山顶A，测得仰角∠ABN=30°，再向山的方向（水平方向）行进100m至索道口点C处，在点C处仰望山顶A，测得仰角∠ACN=45°．求这座山的高度．（结果精确到0.1m，小明的身高忽略不计）（参考数据：≈1.41，≈1.73）【分析】作AH⊥BN于H，设AH=xm，根据正切的概念表示出CH、BH，根据题意列出方程，解方程即可．【解答】解：如图，作AH⊥BN于H，设AH=xm，∵∠ACN=45°，∴CH=AH=xm，∵tanB=，∴BH=x，则BH﹣CH=BC，即x﹣x=100，解得x=50（+1）．答：这座山的高度为50（+1）m；【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确作出辅助线、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+b的图象与x轴交于点A（2，0），与反比例函数y=的图象交于点B（3，n）．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）若点P为x轴上的点，且△PAB的面积是2，则点P的坐标是（﹣2，0）或（6，0）．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）利用三角形的面积公式求出PA的长即可解决问题；【解答】解：（1）∵一次函数y=x+b的图象与x轴交于点A（2，0），∴2+b=0，∴b=﹣2，∴y=x﹣2，当x=3时，y=1，∴B（3，1），代入y=中，得到k=3，∴反比例函数的解析式为y=．（2）∵△PAB的面积是2，∴•PA•1=2，∴PA=4，∴P（﹣2，0）或（6，0）．【点评】本题考查一次函数的性质、反比例函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23．（5分）如图，四边形ABCD是平行四边形，CE⊥AD于点E，DF⊥BA交BA的延长线于点F．（1）求证：△ADF∽△DCE；（2）当AF=2，AD=6，且点E恰为AD中点时，求AB的长．【分析】（1）由平行四边形的性质知CD∥AB，即∠DAF=∠CDE，再由CE⊥AD、DF⊥BA知∠AFD=∠DEC=90°，据此可得；（2）根据△ADF∽△DCE知=，据此求得DC=9，再根据平行四边形的性质可得答案．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠DAF=∠CDE，又∵CE⊥AD、DF⊥BA，∴∠AFD=∠DEC=90°，∴△ADF∽△DCE；（2）∵AD=6、且E为AD的中点，∴DE=3，∵△ADF∽△DCE，∴=，即=，解得：DC=9，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=9．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质及平行四边形的性质．24．（5分）二次函数y=x2﹣2mx+5m的图象经过点（1，﹣2）．（1）求二次函数图象的对称轴；（2）当﹣4≤x≤1时，求y的取值范围．【分析】（1）根据抛物线的对称性和待定系数法求解即可；（2）根据二次函数的性质可得．【解答】解：（1）把点（1，﹣2）代入y=x2﹣2mx+5m中，可得：1﹣2m+5m=﹣2，解得：m=﹣1，所以二次函数y=x2﹣2mx+5m的对称轴是x=﹣，（2）∵y=x2+2x﹣5=（x+1）2﹣6，∴当x=﹣1时，y取得最小值﹣6，由表可知当x=﹣4时y=3，当x=﹣1时y=﹣6，∴当﹣4≤x≤1时，﹣6≤y≤3．【点评】本题考查了二次函数图象与性质及待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．25．（6分）如图，AC是⊙O的直径，点D是⊙O 上一点，⊙O的切线CB与AD的延长线交于点B，点F是直径AC上一点，连接DF并延长交⊙O于点E，连接AE．（1）求证：∠ABC=∠AED；（2）连接BF，若AD=，AF=6，tan∠AED=，求BF的长．【分析】（1）直接利用圆周角定理以及切线的性质定理得出∠ACD=∠ABC，进而得出答案；（2）首先得出DC的长，即可得出FC的长，再利用已知得出BC的长，结合勾股定理求出答案．【解答】（1）证明：连接DC，∵AC是⊙O的直径，∴∠BDC=90°，∴∠ABC+∠BCD=90°，∵⊙O的切线CB与AD的延长线交于点B，∴∠BCA=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∴∠ACD=∠ABC，∴∠ABC=∠AED；（2）解：连接BF，∵在Rt△ADC中，AD=，tan∠AED=，∴tan∠ACD==，∴DC=AD=，∴AC==8，∵AF=6，∴CF=AC﹣AF=8﹣6=2，∵∠ABC=∠AED，∴tan∠ABC==，∴=，解得：BD=，故BC=6，则BF==2．【点评】此题主要考查了切线的性质与判定以及勾股定理等知识，正确得出∠ACD=∠ABC是解题关键．26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A（﹣1，0）和B（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线与x轴的正半轴交于点C，连接BC．设抛物线的顶点P关于直线y=t的对称点为点Q，若点Q落在△OBC的内部，求t的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）分别求出点Q落在直线BC和x轴上时的t的值即可判断；【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A（﹣1，0）和B（0，3），∴，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）如图，易知抛物线的顶点坐标为（1，4）．观察图象可知当点P关于直线y=t的对称点为点Q中直线BC上时，t=3，当点P关于直线y=t的对称点为点Q在x轴上时，t=2，∴满足条件的t的值为2＜t＜3．【点评】本题考查二次函数的性质、待定系数法、轴对称等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会寻找特殊点解决问题，属于中考常考题型．27．（7分）在正方形ABCD中，点P在射线AC上，作点P关于直线CD的对称点Q，作射线BQ交射线DC于点E，连接BP．（1）当点P在线段AC上时，如图1．①依题意补全图1；②若EQ=BP，则∠PBE的度数为45°，并证明；（2）当点P在线段AC的延长线上时，如图2．若EQ=BP，正方形ABCD的边长为1，请写出求BE长的思路．（可以不写出计算结果）【分析】（1）①作点P关于直线CD的对称点Q，作射线BQ交射线DC于点E，连接BP；②依据题意得到DP=EP，再根据四边形内角和求得∠BPE=90°，根据BP=EP，即可得到∠PBE=45°；（2）连接PD，PE，依据△CPD≌△CPB，可得DP=BP，∠1=∠2，根据DP=EP，可得∠3=∠1，进而得到∠PEB=45°，∠3=∠4=22.5°，△BCE中，已知∠4=22.5°，BC=1，可求BE长．【解答】解：（1）①作图如下：②如图，连接PD，PE，易证△CPD≌△CPB，∴DP=BP，∠CDP=∠CBP，∵P、Q关于直线CD对称，∴EQ=EP，∵EQ=BP，∴DP=EP，∴∠CDP=∠DEP，∵∠CEP+∠DEP=180°，∴∠CEP+∠CBP=180°，∵∠BCD=90°，∴∠BPE=90°，∵BP=EP，∴∠PBE=45°，故答案为：45°；（2）思路：如图，连接PD，PE，易证△CPD≌△CPB，∴DP=BP，∠1=∠2，∵P、Q关于直线CD对称，∴EQ=EP，∠3=∠4，∵EQ=BP，∴DP=EP，∴∠3=∠1，∴∠3=∠2，∴∠5=∠BCE=90°，∵BP=EP，∴∠PEB=45°，∴∠3=∠4=22.5°，在△BCE中，已知∠4=22.5°，BC=1，可求BE长．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质等知识的综合运用，解决本题的关键是熟记全等三角形的性质定理和判定定理．28．（8分）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若PQ为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与x轴平行，则称该等腰三角形为点P，Q的“相关等腰三角形”．下图为点P，Q的“相关等腰三角形”的示意图．（1）已知点A的坐标为（0，1），点B的坐标为，则点A，B的“相关等腰三角形”的顶角为120°；（2）若点C的坐标为，点D在直线y=4上，且C，D的“相关等腰三角形”为等边三角形，求直线CD的表达式；（3）⊙O的半径为，点N在双曲线y=﹣上．若在⊙O上存在一点M，使得点M、N的“相关等腰三角形”为直角三角形，直接写出点N的横坐标x N的取值范围．【分析】（1）画出图形求出∠BAO的度数即可解决问题；（2）利用等边三角形的性质求出点D坐标即可解决问题；（3）因为点M、N的“相关等腰三角形”为直角三角形，推出直线MN与x轴的夹角为45°，可以假设直线MN的解析式为y=﹣x+b，当直线与⊙O相切于点M时，求出直线MN的解析式，利用方程组求出点N的坐标，观察图象即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，∵A的坐标为（0，1），点B的坐标为，∴点A，B的“相关等腰三角形”△ABC的当C（，0）或（﹣2，1），∵tan∠BAO==，∴∠BAO=∠CAO=60°，∴∠BAC=∠ABC′=120°，故答案为120．（2）如图2中，设直线y=4交y轴于F（0，4），∵C（0，），∴CF=3，∵且C，D的“相关等腰三角形”为等边三角形，∴∠CDF=∠CD′F=60°，∴DF=FD′=3•tan30°=3，∴D（3，4），D′（﹣3，4），∴直线CD的解析式为y=x+，或y=﹣x+．（3）如图3中，∵点M、N的“相关等腰三角形”为直角三角形，∴直线MN与x轴的夹角为45°，可以假设直线MN的解析式为y=﹣x+b，当直线与⊙O相切于点M时，易知b=±2，∴直线MN的解析式为y=﹣x+2或y=﹣x﹣2，由，解得或，∴N（﹣1，3），N′（3，1），由解得或，∴N1（﹣3，1），N2（1，﹣3），观察图象可知满足条件的点N的横坐标的取值范围为：﹣3≤x N≤﹣1或1≤x N≤3．【点评】本题考查反比例函数综合题、一次函数的应用、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、“相关等腰三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．。
13石景山九上期末数学答案(201801)
石景山区2017-2018学年度第一学期初三期末数学试卷答案及评分参考阅卷须知：1．为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时， 只要考生将主要过程正确写出即可．2．若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分． 3．评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数． 一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．9:4 10．1 11．2π12．2.5 13．5.02-<<-x 14．35 15．先以点C 为中心顺时针旋转90º，再以y 轴为对称轴翻折（答案不唯一） 16．①两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例； ②等底同高的三角形面积相等三、（本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26题7分，第27题7分，第28题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17．（本小题满分5分） 解：原式=232211)22(3332⨯-+-⨯………………………………4分=32213-+-=23．………………………………………………………………5分18．（本小题满分5分） 解：3102+-=x x y325-52102++-=x x22-）5（2-=x ………………………………………………… 4分 ∴顶点坐标是)22,5(-．.…………………………………………… 5分19．（本小题满分5分）解：在Rt △ABC 中，︒=∠90C ， ∴sin caA =， …………………………………………… 1分 ∴6sin ==Aac ， …………………………………………… 3分 ∴24262222=-=-=a c b ． .……………………………… 5分20. （本小题满分5分） 解：（1）树状图：…………………………………… 2分列表：………………………………………… 3分 （2） 因为P （小红获胜）=12， P （小丁获胜）=12…………………… 4分 P （小红获胜）=P （小丁获胜）所以这个游戏公平． ……………………………………………5分 21．（本小题满分5分）解：过点A 作AD ⊥MN 于D ，设山AD 的高度为x 米，………………………1分在Rt △ABD 中，∵∠ADB =90°，∠ABN =30°， ∴BD，…………… 2分 在Rt △ACD 中，∵∠ADC =90°，∠ACN =45°， ∴CD =AD =x ，小丁 小红6 810 3 10 3 6 8 10 3 1086 3∵BC =BD -CD ，100x -=，解得：x =136.5．……………………………………………………………… 5分 即山的高度为136.5米；答：这座山的高度约为136.5米．22．（本小题满分5分）解：（1）一次函数y x b =+的图象与x 轴交于点A (2，0)， ∴02=+b ． 可得，2-=b ．∴2-=x y ． …………………………………………………………1分 当3=x 时，1=y ， ∴点B （3，1）． 代入xky =中，可得3=k ， ∴反比例函数的表达式为xy 3=． ……………………………………3分 （2）点P 的坐标是(6，0)或（-2，0）． ……….……………………………5分23．（本小题满分5分）（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC ，∴∠DAF =∠CDE ， ……………………………………………… 1分∵ DF ⊥BA ，CE ⊥AD ，∴∠F =∠CED =90°，……………………………………………… 2分 ∴△ADF ∽△DCE ； ………………………………………………3分（2）解：∵△ADF ∽△DCE ，∴DE AFDC AD = ∴326=DC ， ∴DC =9．∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB =DC∴AB =9．…………………………………………………………5分FE DCB A24．（本小题满分5分）解：（1）∵二次函数m mx x y 522+-=的图象经过点(1,-2). ∴m m 5212+-=-解得1-=m .………………………………………………………1分 ∴二次函数的表达式522-+=x x y∴二次函数的对称轴为：直线-1=x ．………………………2分 （2）二次函数的表达式6-）1（5222+=-+=x x x y .当-1=x 时，-6最小=y ， …………………………………………3分当1=x 时，2-=y ， 当-4=x 时，3=y ，∴14≤≤-x 时，y 的取值范围是36≤≤-y . …………………5分25．（本小题满分6分） （1）证明：连接CD∵AC 是⊙O 的直径∴∠ADC=90°………………………………………………………1分 ∴∠DAC+∠ACD =90° ∵BC 是⊙O 的切线 ∴∠ACB=90° ∴∠DAC+∠AB C=90°∴∠ABC=∠ACD …………………………………………………2分 ∵∠AED=∠ACD∴∠ABC =∠AED …………………………………………………3分（2）解：连接BF∵∠AED=∠ACD=ABC ∠∴tan ∠ACD = tan ∠AED =ABC ∠tan =34∴tan ∠ACD =34=CD AD 即34532=CD∴CD=524………………………………………………………………4分CA∴AC=8 ∵AF=6， ∴F C=2 ∵ABC ∠tan =34=BC AC ，即348=BC ∴BC=6………………………………………………………..…….5分 ∴BF=102……………………………………………………… 6分26．（本小题满分7分）解：（1）∵抛物线n mx x y ++-=2过点)01(，-A 和)30(，B . ∴⎩⎨⎧==+--301n n m解得：2=m∴抛物线的表达式为：322++-=x x y …………………………3分 （2）∵抛物线322++-=x x y∴抛物线的顶点)41(，P ，对称轴为直线1=x 令0=y 得：0322=++-x x ， 解得：3,121=-=x x∴ 点C 的坐标为)03(，∵直线BC 经过点)30(，B 和C )03(， ∴3+-=x y BC∴直线1=x 与直线BC 的交点为)21(1，M 、与x 轴的交点)01(2，M 如图所示∴2<t <3 ……………………………………………………………7分27．（本小题满分7分）（1）解：①正确作图 ………………………1分 ②45° ………………………2分 连接PD ，PE 易证△CPD ≌△CPB∴DP =BP ，∠CDP =∠CBP ∵P 、Q 关于直线CD 对称 ∴EQ =EPE QACDP∵EQ =BP ∴DP =EP∴∠CDP =∠DEP ………………………………………………3分 ∵∠CEP +∠DEP =180° ∴∠CEP +∠CBP =180° ∵∠BCD =90° ∴∠BPE =90° ∵BP =EP∴∠PBE =45°． …………………………………………………………4分（2）解：连接PD ，PE易证△CPD ≌△CPB ∴DP =BP ，∠1=∠2 ∵P 、Q 关于直线CD∴EQ =EP ，∠3=∠4 ∵EQ =BP ， ∴DP =EP ∴∠3=∠1， ∴∠3=∠2 ∴∠5=∠BCE =90° ∵BP =EP ， ∴∠PEB =45° ∴∠3=∠4=22.5°，在△BCE 中，已知∠4=22.5°，BC =1，可求BE 长． ……………7分28. （本小题满分8分）解：（1）120º； …………………………………………………………………2分 （2）∵C ,D 的“相关等腰三角形”为等边三角形，底角为60°，底边与x 轴平行，∴直线CD 与x 轴成60°角，与y 轴成30°角，通过解直角三角形可得D 的坐标为)343(，或)343(，-，进一步得直线CD 的表达式为33+=x y 或33+-=x y . …………………………………………5分（3）31N x -≤≤-或13N x ≤≤. ……………………8分。
2017北京市石景山区初三上学期期末考试数学试卷.和答案
CAO BDABDEC 第2题图第3题图第4题图yxA OPyx1A O石景山区2016-2017学年度第一学期初三期末试卷数学考生须知1．本试卷共8页，共三道大题，页，共三道大题，2929道小题．满分120分，考试时间120分钟．2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号．3．试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，符合题意地选项只有．．一个．1．在Rt △ACB 中，90C Ð=°，1AC =，2BC =，则sin B 地值为A ．255B ．55C ．33D ．122．如图，AB 是⊙O 地直径，CD 是弦，=65ABC а，则D Ð地度数为A ．130°B ．65°C ．35°D ．25°3．如图，为估算某河地宽度，在河对岸边选定一个目标点A ，在近岸取点B ，C ，D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，点E 在BC 上，并且点A ，E ，D 在同一条直线上．若测得30BE =m ，15EC =m ，30CD =m ，则河地宽度AB 长为A ．90mB ．60mC ．45mD ．30m4．如图，在平面直角坐标系x O y 中，点P 为函数40y x x=(＜)图象上任意一点，过点P 作PA ⊥x 轴于点A ，则△PAO 地面积是A ．8B ．4C ．2D ．2-5．下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩地平均数与方差：甲乙丙丁平均数（平均数（cm cm cm））183 183 183 183 方差3.6 5.4 7.28.5 要从中选择一名发挥稳定地运动员去参加比赛，应该选择!!.. C AByx83384Oyx2382Oyx2382Oyx2382OA ．甲．甲B ．乙．乙C ．丙．丙D ．丁．丁6．如图，⊙A 地半径为3，圆心A 地坐标为(1,0)， 点点(,0)B m 在⊙A 内，则m 地取值范围是地取值范围是7．如图，⊙O 地半径为3，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，则劣弧则劣弧AC 地长为地长为A ．6π C ．2πB ．3πD ．π 8．若将抛物线25y x =先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，个单位， 得到地新抛物线地表达式为得到地新抛物线地表达式为得到地新抛物线地表达式为A ．2521y x =-+（）B ．25+21y x =+（）C ．2521y x =--（）D ．25+21y x =-（） 9．若抛物线22y x x m =-+与x 轴有交点，则m 地取值范围是地取值范围是A ．1m >B ．1m ≥C ．1m <D ．1m ≤1010．．如右图，在Rt △ACB 中，90C Ð=°，60A Ð=°，8AB =.点P 是AB 边上地一个动点，过点P 作PD ⊥AB 交直角边于点D ，设AP 为x ，△APD 地面积为y ，则下列图象中，，则下列图象中， 能表示y 与x 地函数关系地图象大致是地函数关系地图象大致是A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共18分，每小题3分）1111．请写出一个反比例函数地表达式，满足条件：在各自象限内，．请写出一个反比例函数地表达式，满足条件：在各自象限内，y 地值随x 值地增大而增大此反比例函数地表达式可以是（写出一个即可）：达式可以是（写出一个即可）： ．． 1212．某农场引进一批新稻种，在播种前做了五次发芽实验，每次任取．某农场引进一批新稻种，在播种前做了五次发芽实验，每次任取800粒稻种进行实验粒稻种进行实验..实验地结果如下表所示：实验地稻种数n ∕粒∕粒 800 800 800 800 800 发芽地稻种数m ∕粒∕粒 763 757 761 760 758 发芽地频率m n0.9540.9460.9510.9500.948在与实验条件相同地情况下，估计种一粒这样地稻种发芽地概率为在与实验条件相同地情况下，估计种一粒这样地稻种发芽地概率为 （精确到（精确到0.01）；如果该农场播种了此稻种2万粒，那么能发芽地大约有万粒，那么能发芽地大约有 万粒万粒万粒. . 1313．如图，．如图，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点B，点C是优弧AB上一点，若上一点，若A ．4m < C ．24m -<<B ．2m >-D ． 2m <-或4m >GF ADEBC第13题图题图 第第14题图题图 第第15题图题图 yx11O BDEA CPB OACy xA 3B 3A 2B 2A 1B 1O=35ACB а，则P Ð地度数是地度数是°1414．如图，正方形．如图，正方形ABCD 地边长为4，以BC 为直径作半圆E ，过点D 作DF 切半圆E 于点G ，交AB 于点F ，则BF 地长为地长为 . .1515．如图，抛物线．如图，抛物线1C ：212y x =经过平移得到抛物线2C ：2122y x x =+，抛物线2C 地对称轴与两段抛物线所围成地阴影部分地面积是成地阴影部分地面积是 . .1616．如图，在平面直角坐标系．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点1A ，2A ，3A ，…，n A在y 轴地正半轴上，点1B ，2B ，3B ，…，n B 在二次函数在二次函数2y x =位于第一象限地图象上，若△11OB A ，△122A B A ，△233A B A ，…，△1n n n A B A -都是等腰直角三角形，其中都是等腰直角三角形，其中123B B B Ð=Ð=Ð=…90n B =Ð=°，则：，则： 点1B 地坐标为地坐标为 ；； 线段12A A 地长为地长为 ；； △1n n n A B A -地面积为地面积为 . .三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分；第27题7分；第28题7分；第29题8分）.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.1717．计算：．计算：0tan 452724cos30°+---°（20162016））．1818．如图，在△．如图，在△ABC 中，点D 在AB 边上，点E 在AC 边上，且AED B Ð=Ð，若3AE =，1EC =，2AD =. 求AB 地长．地长．1919．如图，在⊙．如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ，8CD =，2BE =.求⊙O 地半径．地半径．2020．二次函数．二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）图象上部分点地横坐标x ，纵坐标y 地对应值地对应值A DCBE ODEC MA B Fyx–1–2–3–4–5123–1–2–3–4123OyxA B C OA CB如下表：如下表：x…4-3-2-1-12…y…52-3223252-…（（1）求这个二次函数地表达式；）求这个二次函数地表达式；（2）在右图中画出此二次函数地图象）在右图中画出此二次函数地图象地示意图；地示意图；（（3）结合图象，直接写出当0y >时，时，自变量x 地取值范围．地取值范围．2121．如图，在△．如图，在△ABC中，30A Ð=°，4cos 5B =，63AC =.求AB 地长地长. .2222．如图，在平面直角坐标系．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线22y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于轴交于点B ，与双曲线 (0)k y k x=≠地一个交点为点(1,)C m ． （1）求双曲线地表达式；）求双曲线地表达式；（2）过点B 作直线BD ∥x 轴，交双曲线于轴，交双曲线于点D ，在x 轴上存在点P ，使得以点，使得以点A ，B ，D ，P 为顶点地四边形为平为顶点地四边形为平 行四边形，请直接写出点D 和点P 地 坐标．坐标．2323．．数学综合与实践活动中，某小组测量公园里广场附近古塔地高度．如图，他们先在点D 用高1.5米地测角仪DA 测得塔顶M 地仰角为30°，然后沿DF 方向前行40m 到达点E 处，在E 处测得塔顶M 地仰角为60°．请根据他们地测量数据求古塔MF 地高（结果精确到0.1m ）．（参考数据：2 1.414»，3 1.732»）BOAD CEyx–1–2–3–41234–1–21234Oyx–1–2–3–41234–1–21234Oyx–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–5–6123456O2424．某超市按每件．某超市按每件30元地价格购进某种商品在销售地过程中发现，该种商品每天地销售量w （件）与销售单价x（元）之间满足关系3150w x =-+（30≤x ≤50）.如果销售这种商品每天地利润为y （元），那么销售单价定为多少元时，每天地利润最大？最大利润是多少元？价定为多少元时，每天地利润最大？最大利润是多少元？2525．如图，以△．如图，以△ABC 地AB 边为直径作⊙O ，交BC 于点D ，过点D 作⊙O 地切线地切线 DE ，交AC 于点E ，且DE ⊥AC ，连接EO . （1）求证：AB AC =；（2）若5AB =，1AE =，求tan AEO Ð地值．地值．2626．有这样一个问题：探究函数．有这样一个问题：探究函数2y x x =-地图象和性质地图象和性质. .小石根据学习函数地经验，对此函数地图象和性质进行了探究小石根据学习函数地经验，对此函数地图象和性质进行了探究. . 下面是小石地探究过程，请补充完整：下面是小石地探究过程，请补充完整：（1）函数地自变量x 地取值范围是地取值范围是 ；； （2）下表是y 与x 地几组对应值地几组对应值. .…3- 2- 1-12-13-1312……73-1-172173173-72-73…求m 地值；地值；（3）如右图，在平面直角坐标系xOy 中，描出了以中，描出了以上表中各对对应值为坐标地点上表中各对对应值为坐标地点..根据描出地点，根据描出地点，画出此函数地图象；画出此函数地图象；（（4）进一步探究，结合函数地图象，写出此函数地）进一步探究，结合函数地图象，写出此函数地 性质（一条即可）：性质（一条即可）：性质（一条即可）： . .2727．在平面直角坐标系．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：2(3)y x m x =+-经过点(1,0)A -. （1）求抛物线C 地表达式；地表达式；（2）将抛物线C 沿直线1=y 翻折，得到地新抛物线记为1C ，求抛物线1C 地顶点地顶点坐标；坐标；（3）将抛物线C 沿直线y n =翻折，得到地图象记为2C ，设C 与2C 围成地封闭图围成地封闭图形为M ，在图形M 上内接一个面积．．为4地正方形（四个顶点均在M 上），且这个正方形地边分别与坐标轴平行标轴平行..求n 地值地值. .yx 66BAOyx66AO P'CP（M ）NEDF ABC2828．已知△．已知△ABC 是等边三角形，点D ，E ，F 分别是边AB ，BC ，AC 地中点，点地中点，点M 是射线EC 上地一个动点，作等边△DMN ，使△DMN 与△ABC 在BC 边同边同侧，连接NF .（1）如图1，当点M 与点C 重合时，直接写出线段FN 与线段EM 地数量关系；地数量关系；（2）当点M 在线段EC 上（点M 与点E ，C 不重合）时，在图2中依题意补全图形，并判断（中依题意补全图形，并判断（11）中地结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）连接DF ，直线DM 与直线AC 相交于点G ，若△DNF 地面积是△GMC 面积地9倍，8AB =，请直接写出线段CM 地长地长. .2929．已知⊙．已知⊙C 地半径为r ，点P 是与圆心C 不重不重合地点，点P 关于⊙C 地反演点地定义如下：地反演点地定义如下： 若点P ¢在射线CP 上，满足2CP CP r ¢×=， 则称点P ¢是点P 关于⊙C 地反演点地反演点..图1为 点P 及其关于⊙C 地反演点P ¢地示意图地示意图. .（1）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 地半径为6，⊙O 与x 轴地正半轴交于点A .① 如图2，135AOB Ð=°，18OB =，若点A ¢，B ¢分别是点A ，B 关于⊙O地反演点，则点A ¢地坐标是地坐标是 ，， 点B ¢地坐标是地坐标是 ；； ② 如图3，点P 关于⊙O 地反演点为点P ¢，点P ¢在正比例函数3y x =位于位于 第一象限内地图象上，△P OA ¢地面积为63，求点P 地坐标；图1备用图1 1 备用图备用图2图图1 1 图图2 2 备用图备用图备用图E DF A B C E D FAB Cy x–1–212345–1–2–3–4–5123456OBDEA C（2）点P 是二次函数223 14y x x x =---(≤≤)地图象上地动点，以O 为圆心，12OP 为半径作圆，若点P 关于⊙O地反演点P ¢地坐标是(,)m n ，请直接，请直接 写出n 地取值范围地取值范围. .数学试题答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B C A C C A D B 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 1111．．1y x =-（答案不唯一，满足k y x=且0k ＜即可）．即可）． 1212．．0.950.95；；1.91.9（第（第1空2分；第2空1分）．分）．1313．．2020°．°．°． 14 14 14．．1． 15 15．．4． 1616．．(1,1)；4；2n （每空1分）．分）．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分；第27题7分；第28题7分；第29题8分） 1717．解：原式．解：原式3133142=+--´…………………………………………… 4…………………………………………… 4分 3=． ………………………………………………………………………………………… 5分1818．解：∵．解：∵A E D B Ð=Ð，A A Ð=Ð，∴△ADE ∽△ACB ． ………………… ………………… 22分 ∴AEADAB AC =． ………………… ………………… ………………… 33分∴323+1AB =． ………………… ………………… ………………… 44分 ∴6AB =． ………………… 5………………… 5分备用图备用图图2 2 图图34x -2xADC BEOAC DBy xy =-12x 2-x +32–1–2–3–4–5123–1–2–3–4123O1919．解：连接．解：连接OC ，如图．，如图． …………………… …………………… …………………… 11分设⊙设⊙O 地半径为x ．∵直径AB ⊥弦CD ，∴142CE CD ==． …………………… 2…………………… 2分在在Rt △OEC 中，由勾股定理可得中，由勾股定理可得22224x x =-+（）． (4)…………………… 4分 解得解得解得 5x =．∴⊙∴⊙O 地半径为5. 5. …………………… 5…………………… 5分2020．（．（．（11）解法一：由题意，设二次函数地表达式为2(1)2y a x =++. . ………… 1………… 1分 ∵二次函数经过点∵二次函数经过点(1,0)，∴42=0a +. ∴12a =-. . ………………… 2………………… 2分 ∴二次函数地表达式为21(1)22y x =-++. . ………………… 3………………… 3分即21322y x x =--+. 解法二：由题意，设二次函数地表达式为解法二：由题意，设二次函数地表达式为(3)(1)y a x x =+-. . ………… 1………… 1分 ∵二次函数经过点∵二次函数经过点(1,2)-，∴42a -=.∴12a =-. . ………………… 2………………… 2分 ∴二次函数地表达式为1(3)(1)2y x x =-+-. . ………………… 3………………… 3分 即21322y x x =--+.（（2）如右图）如右图. . . …………… …………… …………… 44分（（3）31x -<< …………… …………… …………… 55分2121．解：过点．解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，如图，如图. . . …………………………………… 1…………………………………… 1分∵在Rt △CDA 中，30A Ð=°， ∴sin 3033CD AC =´°=，cos309AD AC =´°=. .......................................... (2)2分 ∵在Rt △CDB 中，4cos 5DB B CB ==， ∴设∴设4DB x =，5CB x =.21DECMA B F321DEC MA B F∴3CD x =. . …………… …………… …………… 33分 ∴3x =.∴443DB x ==. …………………………………… …………………………………… 44分 ∴943AB =+. …………………………………… …………………………………… 55分2222．解：（．解：（．解：（11）∵点(1,)C m 在直线22y x =+上，上，∴4m =. …………………………………… …………………………………… …………………………………… 11分又∵点又∵点(1,4)C 在双曲线ky x=上，上， ∴4k =.∴双曲线地表达式为4y x=. . …………………………………… …………………………………… …………………………………… 22分（（2）点D 地坐标是(2,2). . …………………………………… …………………………………… …………………………………… 33分点P 地坐标为(1,0)或(3,0)-. . …………………………………… …………………………………… …………………………………… 55分2323．解法一：根据题意，得．解法一：根据题意，得 1.5CF BE AD ===，40AB DE ==. 设设MC 为x m .在在Rt △MCB 中，tan 1=MCBCÐ， ∴3=tan 603xBC x =°. ……… 1分同理可得3AC x =.……… 2分∴33=403x x +. . ………………… ………………… ………………… 33分解得20334.64x =». . ………………… ………………… ………………… 44分∴34.64 1.536.1436.1m MF MC CF =+»+=»（）. . …………… 5…………… 5分 答：古塔地高约为36.1米.解法二：根据题意，得 1.5CF BE AD ===，40AB DE ==. ∵123Ð=Ð+Ð，160Ð=°，230Ð=°，∴3=2=30Ðа. . ………… 2………… 2分∴==40MB AB . . ………… 3………… 3分在Rt △MCB 中，sin 1=MCMB Ð，∴40sin 6020334.64MC =´°=». . ………… 4………… 4分∴34.64 1.536.1436.1m MF MC CF =+»+=»（）. . …………… 5…………… 5分答：古塔地高约为36.1米.2424．解：．解：(30)y w x =- …………………………………………… 1…………………………………………… 1分(3150)(30)x x =-+-232404500x x =-+- ………………………………………………………………………………………… …………………………………………… 22分21BO AD CE 1FBOA D CE1BOADCE 23(40)300x =--+ (4)…………………………………………… 4分 ∵30≤x ≤50，且30a =-＜，∴当=40x 时，=300y 最大值. . …………………………………………… 5…………………………………………… 5分答：当该商品销售单价定为每件40元时，每天地利润最大，最大利润为300元.2525．（．（．（11）证明：连接OD ，如图1.∵OD 是⊙O 半径，DE 为⊙O 地切线，地切线， ∴OD ⊥DE . ∵DE ⊥AC ，∴OD ∥AC . ………………… 1分 ∴1C Ð=Ð. ∵OD OB =， ∴1B Ð=Ð. ∴C B Ð=Ð.∴AB AC = …………………… 2分（2） 解法一：解法一：连接AD ，如图2. ∵5AB =，1AE =，∴52OD =，5AC AB ==，4EC =. ∵AB 是⊙O 地直径地直径, ,∴AD ⊥BC . 又∵DE ⊥AC ,∴△CDE ∽△DAE . …………… 3分 ∴2DE CE AE =×.∴2DE =. . …………… 4…………… 4分 在Rt △EDO 中，4tan 25DE OD Ð==. ∵OD ∥AC ， ∴2AEO Ð=Ð. ∴4tan 5AEO Ð=. . …………………………………………… 5…………………………………………… 5分 解法二：解法二：过点O 作OF ⊥CA ，交CA地延长线于点F ，如图3. ∴四边形ODEF 是矩形是矩形. .∴1522EF OD AB ===. . ………… 3………… 3分∴32AF EF AE =-=.图1图2图3y xy =1–1–2–312–11234HP'POyx–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–5–6123456Oy xy =n–1–2–312–11234EFDBO在Rt △AFO 中，由勾股定理得2OF =. . …………………… …………………… …………………… 44分在Rt △EFO 中，4tan 5OF AEO EF Ð==.…………………… …………………… 55分2626．（．（．（11）0x ¹. . ……………… 1……………… 1分 （2）1m =-. . ……………… ……………… ……………… 22分 （3）此函数地图象如右图所示）此函数地图象如右图所示. . . ……………… ……………… ……………… 44分 （4）此函数地性质：）此函数地性质：① 当① 当0x ＜时，y 随x 地增大而增大；地增大而增大； 当当0x ＞时，y 随x 地增大而增大地增大而增大. . ② 关于原点成中心对称② 关于原点成中心对称② 关于原点成中心对称. .③ 函数地图象与③ 函数地图象与y 轴无交点轴无交点. . ………………（写出一条即可）（写出一条即可） …………… 5…………… 5分2727．解：（．解：（．解：（11）∵抛物线C ：2(3)y x m x =+-经过点(10)A -，，∴1(3)0m --=. ………………… ………………… 11分∴2m =.∴抛物线∴抛物线C 地表达式为2y x x =+. . ………………… ………………… ………………… 22分（2）抛物线C ：2y x x =+地顶点为11(,)24P --，如图1. ………… 3分点11(,)24P --关于直线1=y 地对称点为P ¢19(,)24-. ∴抛物线1C 地顶点坐标为19(,)24-. . ………………… ………………… ………………… 44分（3）解法一：）解法一：∵正方形地边长为∵正方形地边长为2，抛物线地对称轴为12x =-，∴正方形地顶点B 地坐标为13(,)24，如图2. 2. ………………… ………………… ………………… 66分 ∴3=14n -.图1 1 图图2NEDFABCM NEDF AB CM yx66F P'EP A O ∴74n =. . ………………… ………………… ………………… 77分解法二：解法二：解法二：∵正方形地边长为∵正方形地边长为2，抛物线地对称轴为12x =-， ∴设正方形地顶点B 地坐标为1(,1)2n -，如图2. 2. ………………… ………………… ………………… 66分∵点B 1(,1)2n -在抛物线2y x x =+上，上，∴74n =. . ………………… ………………… ………………… 77分 2828．（．（．（11）FN EM=. …………… 1分 （（2）补全图形，如图1所示所示. . . …………… 2…………… 2分结论成立结论成立. .证明：连接证明：连接ED ，EF ，DF ，如图2.∵△ABC 是等边三角形，是等边三角形，∴∴AB BC AC a ===.∵D ，E ，F 分别是边AB ，BC ，AC 地中点，地中点，∴12DF DE EF a ===.∴∴60FDE Ð=°.又∵△又∵△DMN 是等边三角形，是等边三角形，∴DN DM =，60MDN Ð=°. ∴FDN EDM Ð=Ð.∴△DFN ≌△DEM . ……………………………… ……………………………… 44分 ∴FN EM =. ……………………………… 5分（（3）CM 地长为1或2. 2. ……………………………… ……………………………… ……………………………… 77分 29.29.（（1）①）① (60)A ¢，，(22)B ¢-，. . ……………………………………………………………… ……………………………… 22分 ② 解法一：解法一：过点P ¢作P E ¢⊥x 轴于点E ，如图1.∵∵1632P OA S OA P E ¢¢=´=△， ∴∴23P E ¢=. . …………… …………… …………… 33分∵点P ¢在正比例函数3y x =位于位于 第一象限内地图象上，第一象限内地图象上，∴'=23P y .∴∴'=2P x .∴∴4OP ¢=，'60P OE Ð=°. . …………… …………… …………… 44分 ∵点∵点P 关于⊙O 地反演点是P ¢点，点，图1图1 图2 yx66P'EHFP AO∴∴26OP OP ¢×=. ∴∴9OP =. . ……………………………… ……………………………… ……………………………… 55分 过点过点P 作PF ⊥x 轴于点F . ∴∴92OF =，932PF =.∴点∴点P 地坐标为99322P （，）. . ……………………………… ……………………………… ……………………………… 66分 解法二：解法二：过点A 作AH ⊥PP ¢于点H ，如图2.∵点P ¢在正比例函数3y x =位于第一象限内地图象上，位于第一象限内地图象上， ∴设点P 地坐标为3t t （,），其中0t ＞. ∴3tan 3t POA tÐ==.∴60POA Ð=° . . ……………………………… ……………………………… ……………………………… 44分 在Rt △OHA 中，sin 33AH OA AOH =´Ð=. ∵∵1632P OA S OP AH ¢¢=´=△， ∴∴4OP ¢=.∵点P 关于⊙O 地反演点是P ¢点，点，∴∴26OP OP ¢×=.∴9OP =. . ………… ………… ………… 55分 过点P 作PF ⊥x 轴于点F . 在在Rt △OFP 中，2223t t +（）=9. 解得192t =，292t -=（舍去）（舍去）. . ∴点∴点P 地坐标为99322P (，). . ……………………………………………………………… ……………………………… 66分 （2）1-≤n ≤54. . ……………………………………………………………… ……………………………… 88分赠送—初中英语总复习知识点归纳并列句and 和，并且， work hard, and you can pass the exam.but 但是 he is rich but he is not happy.Or 否则，要不然，或者（在否定句中表和） Hurry up, or you’ll be late. so 因此，所以 Kate was il l so she didn’t go to school.图2用that。
2017.1石景山初三数学试卷答案和评分标准
石景山区2018-2018学年度第一学期期末考试试卷初三数学参考答案一、选择题<本题共8道小题，每小题4分，共32分）题号12345678答案 A D C B A B C C 二、填空题<本题共4道小题，每小题4分，共16分）9．； 10．； 11．；12．三、解答题<本题共8道小题，每小题5分，共40分）13．解：=14．解：<1）m=1；<2）；；<3）由，解得；∴15．解：在Rt△BEC中，∠BEC=90°，∠EBC=45° ∴在Rt△BDC中，∠BDC=90°，∴16．解：由题意：解得：<舍）∴C<1，4），又17．解：联结在△ABC中，∵∴由勾股定理得又∵⊙切于∴ 在Rt△和Rt△中∵∴△∽△ ∴，∴18． 解：<1）用列表法<树状图略）：<2）P= 19．解：分别过A 作于M ，过C 作于N在Rt△CNB 中，∠CNB=，∠CBN=，设BN=，则CN=在Rt△DMA 中，∠DMA=，∠DAM=，DM=AM=CN=∴解得14,24 答：河的宽度约为24M ．20．<1）当x=45元时，y=50袋；当y=200袋时，x=30元<2）由题意，得：w = (x －20>y =(x －20>(>时，答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润，最大利润是2250元．四、解答题<本题共3道小题，每小题6分，共18分）21．解：<1）设此抛物线的解读式为：∵抛物线与轴交于A<1，0）、B<两点，∴又∵抛物线与轴交于点C<0，3）∴，解得∴即<2）有两种情况：当AC是斜边时，显然点D与点O重合，即D<0，0）当AC是直角边时，过点C作CD⊥AC交x轴于点D∵点A<1，0），点C<0，3）∴OA=1，OC=3，由勾股定理AC=Rt△ACD中∴解得AD=10，∴OD=9即：D<－9，0）22．<1）证明：∵OD⊥AC ∴∠ADO=90°又∵∠AOD=∠C，∠A=∠A∴∠ABC=∠ADO= 90°∴BC是⊙O的切线．<2）解：∵OD⊥AE，∴D为AE中点∴由，可得∴，∴．23．解：<1）S△ACA′ ︰S△BCB′ = 9︰16 ；<2）S△ACA′ 与S△BCB′ 的比值不变；证明：∵△ABC绕点C顺时针旋转角得到△A'B 'C∴∠AC A '=∠BCB '=， AC=A 'C ，BC =B ' C，∴，∴△AC A '∽△BCB '，∴S△ACA′ ︰S△BCB′ =<AC︰BC）2 = 9︰16．五、解答题<本题共2道小题，每小题7分，共14分）24．解：<1）当x=0时，．∴不论为何值，该函数图象过轴上的一个定点<0，2）<2）①当时，函数为一次函数，令：，解得，∴交点为<）；②当时，函数为二次函数．若一次函数的图象与函数的图象只有一个交点，令，即，由△=0，得，此时交点为<）．25．解：<1）联结、,由旋转知∴∵ ∴∴∴∴这个二次函数的解读式为：设显然在中，解得∴∴可求边O’A’所在直线的解读式为：<3）由，易求若存在点,使得，则有方法一<代数法）：由,可得设过作直线轴，交直线于，则，即：，解得∴，方法二<几何法）：∵∴在中，可求设的边上的高为则,求得过点作的垂线交轴于点，则且在中，，∴,过点作的平行线交抛物线于两点则直线的解读式为解方程组得或∴二次函数图象上存在点P，使得,且点，申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
2017-2018北京市各区初三数学期末考试-石景山区
石景山区2017-2018学年度第一学期初三期末试卷数 学一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个． 1．如果y x 43=(0≠y )，那么下列比例式中正确的是 （A ）43=y x （B ）yx 43= （C ）43y x = （D ）34y x = 2．在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，5=AB ，2=AC ，则tan A 的值为 （A ）21 （B ）2（C ）25 （D ）552 3．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上．若︒=∠25ACD ，则BOD ∠的度数为 （A ）︒100（B ）︒120（C ）︒130（D ）︒1504．如图，在⊙O 中，弦AB 垂直平分半径OC ．若⊙O 的半径为4，则弦AB 的长为（A ）32 （B ）34 （C ）52（D ）54DCBAOCBAO第3题 第4题5．如果在二次函数的表达式c bx ax y ++=2中，0>a ，0<b ，0<c ，那么这个二次 函数的图象可能是（A ） （B ） （C ） （D ） 6．若二次函数m x x y ++=22的图象与坐标轴有3个交点，则m 的取值范围是 （A ）1>m（B ）1<m（C ）1>m 且0≠m （D ）1<m 且0≠m7．如图，将函数()12312+-=x y 的图象沿y 轴向上平移得 到新函数图象，其中原函数图象上的两点),1(m A 、),4(n B 平移后对应新函数图象上的点分别为点'A 、'B ．若阴影部分的面积为6，则新函数的表达式为 （A ）()22312+-=x y （B ）()32312+-=x y （C ）()12312--=x y （D ）()32312--=x y 8．如图，点M 为□ABCD 的边AB 上一动点，过点M 作直线l 垂直于AB ，且直线l 与□ABCD 的另一边 交于点N ．当点M 从A →B 匀速运动时，设点M 的 运动时间为t ，△AMN 的面积为S ，能大致反 映S 与t 函数关系的图象是（A ） （B ） （C ）（D ）l NMD CBA第7题第8题二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如果两个相似三角形的周长比为3:2，那么这两个相似三角形的面积比为______． 10．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上．若∠ADE =∠C ，AB =6，AC =4，AD =2，则EC =________．11．如图，扇形的圆心角︒=∠60AOB ，半径为3cm ．若点C 、D 是的三等分点，则图中所有阴影部分的面积之和是________cm 2．12． “平改坡”是指在建筑结构许可条件下，将多层住宅的平屋顶改建成坡屋顶，并对外立面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为．如图是某小区对楼顶进行“平改坡”改造的示意图．根据图中的数据，如果要使坡面BC 的坡度达到2.1:1，那么立柱AC 的长为_______米． 13．如图，一次函数b kx y +=1的图象与反比例函数()02<=x xmy 的图象相交于点A 和点B ．当021>>y y 时，x 的取值范围是_______．14．如图，在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，AB =10．若以点C 为圆心，CB 为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则AC =________．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 经过若干次图形的变化（平移、轴对称、 旋转）得到△DEF ，写出一种由△ABC 得到△DEF 的过程： ．第13题 第14题 第15题第10题第11题第12题16．石景山区八角北路有一块三角形空地（如图1）准备绿化，拟从点A 出发，将△ABC 分成面积相等的三 个三角形，栽种三种不同的花草． 下面是小美的设计（如图2）． 作法：（1）作射线BM ； （2）在射线BM 上顺次截取BB 1=B 1B 2=B 2B 3； （3）连接B 3C ，分别过B 1、B 2作B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C ， 交BC 于点C 1、C 2； （4）连接AC 1、AC 2． 则C AC C AC ABC S S S 2211∆∆∆==．请回答，C AC C AC ABC S S S 2211∆∆∆==成立的理由是：① ； ② ． 三、解答题（本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26题7分，第27题7分，第28题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17．计算：︒-︒+︒-︒60sin 260cos 145cos 30tan 32．18．用配方法求二次函数3102+-=x x y 的顶点坐标．19．在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ．若2=a ，sin 31=A ，求b 和c ．20．小红和小丁玩纸牌游戏：如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，小红先从中抽出一张，小丁从剩余的3张牌中也抽出一张．比较两 人抽出的牌面上的数字，数字大者获胜．（1）请用树状图或列表法表示出两人抽牌可能出现的所有结果； （2）这个游戏公平吗？请说明理由．21．如图，小明想测量山的高度．他在点B 处仰望山顶A ，测得仰角︒=∠30ABN ，再向山的方向（水平方向）行进100m 至索道口点C 处，在点C 处仰望山顶A ，测得仰角︒=∠45ACN ．求这座山的高度．（结果精确到0.1m ，小明的身高忽略不计）（参考数据：41.12≈，73.13≈）22．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数b x y +=的图象与x 轴交于点)0,2(A ，与反比例函数xky =的图象交于点),3(n B ． （1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）若点P 为x 轴上的点，且△P AB 的面积是2，则点P 的坐标是 ．23．如图，四边形ABCD 是平行四边形，CE ⊥AD 于点E ，DF ⊥BA 交BA 的延长线于点F ．（1）求证：△ADF ∽△DCE ；（2）当AF =2，AD =6，且点E 恰为AD 中点时，求AB 的长．24．二次函数m mx x y 522+-=的图象经过点)2,1(-． （1）求二次函数图象的对称轴； （2）当14≤≤-x 时，求y 的取值范围．25．如图，AC 是⊙O 的直径，点D 是⊙O 上一点，⊙O 的切线CB 与AD 的延长线交于点B ，点F 是直径AC 上一点，连接DF 并延长交⊙O 于点E ，连接AE ． （1）求证：∠ABC =∠AED ； （2）连接BF ，若AD 532=，AF =6，tan 34=∠AED ，求BF 的长．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线n mx x y ++-=2经过点)0,1(-A 和)3,0(B . （1）求抛物线的表达式；（2）抛物线与x 轴的正半轴交于点C ，连接BC ．设抛物线的顶点P 关于直线t y =的对称点为点Q ，若点Q 落在△OBC 的内部，求t 的取值范围．27．在正方形ABCD 中，点P 在射线AC 上，作点P 关于直线CD 的对称点Q ，作射线BQ 交射线DC 于点E ，连接BP ． （1）当点P 在线段AC 上时，如图1． ①依题意补全图1；②若EQ =BP ，则∠PBE 的度数为 ，并证明；（2）当点P 在线段AC 的延长线上时，如图2．若EQ =BP ，正方形ABCD 的边长为1，请写出求BE 长的思路．（可以不写出计算结果）图2图128．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为),(11y x ，点Q 的坐标为),(22y x ，且21x x ≠，21y y ≠，若PQ 为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与x 轴平行，则称该等腰三角形为点P ，Q 的“相关等腰三角形”．下图为点P ，Q 的“相关等腰三角形”的示意图．．．．（1）已知点A 的坐标为)1,0(，点B 的坐标为)0,3(-，则点A ，B 的“相关等腰三角形”的顶角为_________°；（2）若点C 的坐标为)3,0(，点D 在直线34=y 上，且C ，D 的“相关等腰三角形”为等边三角形，求直线CD 的表达式； （3）⊙O 的半径为2，点N 在双曲线xy 3-=上．若在⊙O 上存在一点M ，使得点M 、N 的“相关等腰三角形”为直角三角形，直接写出点N 的横坐标N x 的取值范围．。
2017-2018学年北京市石景山区2018届初三第一学期期末数学试题(含答案)
石景山区2017-2018学年度第一学期初三期末试卷数 学一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个． 1．如果y x 43=(0≠y )，那么下列比例式中正确的是 （A ）43=y x （B ）yx 43= （C ）43y x = （D ）34y x = 2．在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，5=AB ，2=AC ，则tan A 的值为（A ）21 （B ）2（C ）25 （D ）552 3．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上．若︒=∠25ACD ，则BOD ∠的度数为（A ）︒100（B ）︒120（C ）︒130（D ）︒1504．如图，在⊙O 中，弦AB 垂直平分半径OC ．若⊙O 的半径为4，则弦AB 的长为（A ）32 （B ）34 （C ）52（D ）54DCBAOCBAO第3题 第4题5．如果在二次函数的表达式c bx ax y ++=2中，0>a ，0<b ，0<c ，那么这个二次 函数的图象可能是xyO x yOxyO xyO（A ） （B ） （C ） （D ） 6．若二次函数m x x y ++=22的图象与坐标轴有3个交点，则m 的取值范围是（A ）1>m（B ）1<m（C ）1>m 且0≠m（D ）1<m 且0≠m7．如图，将函数()12312+-=x y 的图象沿y 轴向上平移得 到新函数图象，其中原函数图象上的两点),1(m A 、),4(n B 平移后对应新函数图象上的点分别为点'A 、'B ．若阴影部分的面积为6，则新函数的表达式为（A ）()22312+-=x y （B ）()32312+-=x y （C ）()12312--=x y （D ）()32312--=x y 8．如图，点M 为□ABCD 的边AB 上一动点，过点M 作直线l 垂直于AB ，且直线l 与□ABCD 的另一边 交于点N ．当点M 从A →B 匀速运动时，设点M 的 运动时间为t ，△AMN 的面积为S ，能大致反 映S 与t 函数关系的图象是t tt t SSSSOOO O二、填空题（本题共16分，每小题2分）l N MD CBA第7题第8题9．如果两个相似三角形的周长比为3:2，那么这两个相似三角形的面积比为______． 10．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上．若∠ADE =∠C ，AB =6，AC =4，AD =2，则EC =________．11．如图，扇形的圆心角︒=∠60AOB ，半径为3cm ．若点C 、D 是 的三等分点，则 图中所有阴影部分的面积之和是________cm 2．12． “平改坡”是指在建筑结构许可条件下，将多层住宅的平屋顶改建成坡屋顶，并对外立面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为．如图是某小区对楼顶进行“平改坡”改造的示意图．根据图中的数据，如果要使坡面BC 的坡度达到2.1:1，那么立柱AC 的长为_______米． 13．如图，一次函数b kx y +=1的图象与反比例函数()02<=x xmy 的图象相交于点A 和点B ．当021>>y y 时，x 的取值范围是_______．14．如图，在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，AB =10．若以点C 为圆心，CB 为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则AC =________．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 经过若干次图形的变化（平移、轴对称、 旋转）得到△DEF ，写出一种由△ABC 得到△第13题 第14题 16．石景山区八角北路有一块三角形空地（如图1）准备ABDBACE DCBA 第10题 第11题第12题图1CBA绿化，拟从点A 出发，将△ABC 分成面积相等的三 个三角形，栽种三种不同的花草． 下面是小美的设计（如图2）． 作法：（1）作射线BM ； （2）在射线BM 上顺次截取BB 1=B 1B 2=B 2B 3； （3）连接B 3C ，分别过B 1、B 2作B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C ， 交BC 于点C 1、C 2； （4）连接AC 1、AC 2． 则C AC C AC ABC S S S 2211∆∆∆==．请回答，C AC C AC ABC S S S 2211∆∆∆==成立的理由是：① ； ② ． 三、解答题（本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26题7分，第27题7分，第28题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17．计算：︒-︒+︒-︒60sin 260cos 145cos 30tan 32．18．用配方法求二次函数3102+-=x x y 的顶点坐标．19．在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ．若2=a ，sin 31=A ，求b 和c ． 20．小红和小丁玩纸牌游戏：如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，小红先从中抽出一张，小丁从剩余的3张牌中也抽出一张．比较两 人抽出的牌面上的数字，数字大者获胜．（1）请用树状图或列表法表示出两人抽牌可能出现的所有结果； （2）这个游戏公平吗？请说明理由．图2B 3B 1B 2MC 2C 1ABC21．如图，小明想测量山的高度．他在点B 处仰望山顶A ，测得仰角︒=∠30ABN ，再向山的方向（水平方向）行进100m 至索道口点C 处，在点C 处仰望山顶A ，测得仰角︒=∠45ACN ．求这座山的高度．（结果精确到0.1m ，小明的身高忽略不计）（参考数据：41.12≈，73.13≈）NMC A22．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数b x y +=的图象与x 轴交于点)0,2(A ，与反比例函数xky =的图象交于点),3(n B ． （1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）若点P 为x 轴上的点，且△P AB 的面积是2，则点P 的坐标是 ．23．如图，四边形ABCD 是平行四边形，CE ⊥AD 于点E ，DF ⊥BA 交BA 的延长线于点F ．（1）求证：△ADF ∽△DCE ；（2）当AF =2，AD =6，且点E 恰为AD 中点时，求AB 的长．FE DCB A24．二次函数m mx x y 522+-=的图象经过点)2,1(-． （1）求二次函数图象的对称轴； （2）当14≤≤-x 时，求y 的取值范围．25．如图，AC 是⊙O 的直径，点D 是⊙O 上一点，⊙O 的切线CB 与AD 的延长线交于点B ，点F 是直径AC 上一点，连接DF 并延长交⊙O 于点E ，连接AE ． （1）求证：∠ABC =∠AED ； （2）连接BF ，若AD 532=，AF =6，tan 34=∠AED ，求BF 的长．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线n mx x y ++-=2经过点)0,1(-A 和)3,0(B .（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线与x 轴的正半轴交于点C ，连接BC ．设抛物线的顶点P 关于直线t y =的对称点为点Q ，若点Q 落在△OBC 的内部，求t 的取值范围．27．在正方形ABCD 中，点P 在射线AC 上，作点P 关于直线CD 的对称点Q ，作射线BQ 交射线DC 于点E ，连接BP ． （1）当点P 在线段AC 上时，如图1． ①依题意补全图1；②若EQ =BP ，则∠PBE 的度数为 ，并证明；（2）当点P 在线段AC 的延长线上时，如图2．若EQ =BP ，正方形ABCD 的边长为1，请写出求BE 长的思路．（可以不写出计算结果）CA图2图128．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为),(11y x ，点Q 的坐标为),(22y x ，且21x x ≠，21y y ≠，若PQ 为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与x 轴平行，则称该等腰三角形为点P ，Q 的“相关等腰三角形”．下图为点P ，Q 的“相关等腰三角形”的示意图．．．．（1）已知点A 的坐标为)1,0(，点B 的坐标为)0,3(-，则点A ，B 的“相关等腰三角形”的顶角为_________°；（2）若点C 的坐标为)3,0(，点D 在直线34=y 上，且C ，D 的“相关等腰三角形”为等边三角形，求直线CD 的表达式； （3）⊙O 的半径为2，点N 在双曲线xy 3-=上．若在⊙O 上存在一点M ，使得点M 、N 的“相关等腰三角形”为直角三角形，直接写出点N 的横坐标N x 的取值范围．石景山区2017-2018学年度第一学期初三期末数学试卷答案及评分参考阅卷须知：1．为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时， 只要考生将主要过程正确写出即可．2．若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分． 3．评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数． 一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．9:4 10．1 11．2π12．2.5 13．5.02-<<-x 14．35 15．先以点C 为中心顺时针旋转90º，再以y 轴为对称轴翻折（答案不唯一） 16．①两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例； ②等底同高的三角形面积相等三、（本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26题7分，第27题7分，第28题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17．（本小题满分5分） 解：原式=232211)22(3332⨯-+-⨯………………………………4分=32213-+-=23．………………………………………………………………5分18．（本小题满分5分）解：3102+-=x x y325-52102++-=x x22-）5（2-=x ………………………………………………… 4分 ∴顶点坐标是)22,5(-．.…………………………………………… 5分19．（本小题满分5分）解：在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，∴sin caA =， …………………………………………… 1分 ∴6sin ==Aac ， …………………………………………… 3分 ∴24262222=-=-=a c b ． .……………………………… 5分20. （本小题满分5分） 解：（1）树状图：…………………………………… 2分列表：………………………………………… 3分 （2） 因为P （小红获胜）=12， P （小丁获胜）=12…………………… 4分 P （小红获胜）=P （小丁获胜）所以这个游戏公平． ……………………………………………5分21．（本小题满分5分）解：过点A 作AD ⊥MN 于D ，设山AD 的高度为x 米，………………………1分小丁 小红6 810 3 6 8 10 3 6 8 10 3 1086 3在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠ABN=30°，∴BD，…………… 2分在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠ACN=45°，∴CD=AD=x，∵BC=BD-CD，100x-=，解得：x=136.5．…………………………………………… 5分即山的高度为136.5米；答：这座山的高度约为136.5米．22．（本小题满分5分）解：（1）一次函数y x b=+的图象与x轴交于点A(2，0)，∴02=+b．可得，2-=b．∴2-=xy．…………………………………………………………1分当3=x时，1=y，∴点B（3，1）．代入xky=中，可得3=k，∴反比例函数的表达式为xy3=．……………………………………3分（2）点P的坐标是(6，0)或（-2，0）．……….……………………………5分23．（本小题满分5分）（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠DAF =∠CDE，……………………………………………… 1分∵DF⊥BA，CE⊥AD，∴∠F=∠CED=90°，……………………………………………… 2分∴△ADF∽△DCE；………………………………………………3分（2）解：∵△ADF∽△DCE，FED CBA∴DE AFDC AD= ∴326=DC， ∴DC =9．∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB =DC∴AB =9．…………………………………………………………5分24．（本小题满分5分）解：（1）∵二次函数m mx x y 522+-=的图象经过点(1,-2). ∴m m 5212+-=-解得1-=m .………………………………………………………1分 ∴二次函数的表达式522-+=x x y∴二次函数的对称轴为：直线-1=x ．………………………2分（2）二次函数的表达式6-）1（5222+=-+=x x x y . 当-1=x 时，-6最小=y ， …………………………………………3分当1=x 时，2-=y ， 当-4=x 时，3=y ，∴14≤≤-x 时，y 的取值范围是36≤≤-y . …………………5分25．（本小题满分6分） （1）证明：连接CD∵AC 是⊙O 的直径∴∠ADC=90°………………………………………………………1分 ∴∠DAC+∠ACD =90° ∵BC 是⊙O 的切线 ∴∠ACB=90° ∴∠DAC+∠AB C=90°∴∠ABC=∠ACD …………………………………………………2分 ∵∠AED=∠ACD∴∠ABC =∠AED …………………………………………………3分（2）解：连接BF∵∠AED=∠ACD=ABC ∠A∴tan ∠ACD = tan ∠AED =ABC ∠tan =34 ∴tan ∠ACD =34=CD AD 即34532=CD∴CD=524………………………………………………………………4分∴AC=8 ∵AF=6， ∴F C=2 ∵ABC ∠tan =34=BC AC ，即348=BC ∴BC=6………………………………………………………..…….5分 ∴BF=102……………………………………………………… 6分26．（本小题满分7分）解：（1）∵抛物线n mx x y ++-=2过点)01(，-A 和)30(，B . ∴⎩⎨⎧==+--301n n m解得：2=m∴抛物线的表达式为：322++-=x x y …………………………3分 （2）∵抛物线322++-=x x y∴抛物线的顶点)41(，P ，对称轴为直线1=x 令0=y 得：0322=++-x x ， 解得：3,121=-=x x ∴ 点C 的坐标为)03(，∵直线BC 经过点)30(，B 和C )03(， ∴3+-=x y BC∴直线1=x 与直线BC 的交点为)21(1，M 、与x 轴的交点)01(2，M 如图所示∴2<t <3 ……………………………………………………………7分27．（本小题满分7分）（1）解：①正确作图 ………………………1分 ②45° ………………………2分 连接PD ，PE 易证△CPD ≌△CPB∴DP =BP ，∠CDP =∠CBP ∵P 、Q 关于直线CD 对称 ∴EQ =EP ∵EQ =BP ∴DP =EP∴∠CDP =∠DEP ………………………………………………3分 ∵∠CEP +∠DEP =180° ∴∠CEP +∠CBP =180° ∵∠BCD =90° ∴∠BPE =90° ∵BP =EP∴∠PBE =45°． …………………………………………………………4分（2）解：连接PD ，PE易证△CPD ≌△CPB ∴DP =BP ，∠1=∠2 ∵P 、Q 关于直线CD∴EQ =EP ，∠3=∠4 ∵EQ =BP ， ∴DP =EP ∴∠3=∠1， ∴∠3=∠2 ∴∠5=∠BCE =90° ∵BP =EP ， ∴∠PEB =45° ∴∠3=∠4=22.5°，在△BCE 中，已知∠4=22.5°，BC =1，可求BE 长． ……………7分28. （本小题满分8分）解：（1）120º； …………………………………………………………………2分 （2）∵C ,D 的“相关等腰三角形”为等边三角形，底角为60°，底边与x 轴平行，∴直线CD 与x 轴成60°角，与y 轴成30°角，通过解直角三角形可得D 的E QBCDP坐标为)343(，或)343(，-，进一步得直线CD 的表达式为33+=x y 或33+-=x y . …………………………………………5分（3）31N x -≤≤-或13N x ≤≤. ……………………8分。
北京市石景山区届九级上期数学期末数学试题(含答案)
石景山区2018—2018学年度第一学期初三期末试卷数学学校姓名准考证号一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．若⊙O 的半径为3，圆心O 到直线l 的距离为2，则直线l 与⊙O 的位置关系是A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定2．两个相似三角形的相似比为1:2，若较小三角形的面积为1，则较大三角形的面积为A ．8B ．4C ．2D 3．德育处王主任将10份奖品分别放在10个完全相同的不透明礼盒中，准备将它们奖给小明等10位获“科技节活动先进个人”称号的同学．这些奖品中有5份是学习文具，3份是科普读物，2份是科技馆通票．小明同学从中随机取一份奖品，恰好取到科普读物的概率是 A ．12B ．35C ．15D ．3104．某校要举办国庆联欢会，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台AB 的长为20m ，C 为AB 的一个黄金分割点（AC <BC ），则AC 的长为 （结果精确到0.1m ）A ．6.7mB ．7.6 mC ．10m5．将抛物线()21y x =-+向左平移1个单位后，得到的抛物线的顶点坐标是A ．()2,0-B ．()0,0C ．()1,1--D ．()2,1--6．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠A ．0ac >B ．20b a +<C ．240b ac -> D ．0a b c -+<7．如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上的两点，若度数为 A ．︒80 B ．︒60C ．︒50D ．︒408．如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，若AC =4，BD =2，则1∠的余弦值为9．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，对称轴为直线1-=x ，与x 轴的一个交点为()0,1，与y 交点为()3,0，则方程20(0)ax bx c a ++=≠的解为A ．33 B ．21 C ．552 D ．55 A ．1=xB ．1-=xC ．11=x ，32-=xD ．11=x ，42-=x1O DABC第7题 第8题BDCOA10．如图，正方形ABCD中，AB＝4cm，点E、F同时从C点出发，以1cm/s的速度分别沿CB-BA、CD-DA运动，到点A时停止运动．设运动时间为t(s)，△AEF的面积为S(cm2)，则S(cm2)与t(s)的函数关系可用图象表示为二、填空题（本题共6道小题，每小题3分，共18分）11．若sin2α=，则锐角α为____________度．12．如图，在平面直角坐标系x O y中，点B在y轴上，AB＝AO，反比例函数()0ky xx=>的图象经过点A，若△ABO的面积为2，则k的值为_________．13．如果某人沿坡度1:3i=的斜坡前进10m，那么他所在的位置比原来的位置升高了___________m．14．如图，折扇的骨柄OA的长为5a，扇面的宽CA的长为3a，折扇张开的角度为n︒，则扇面的面积为______________ (用代数式表示)．15．根据函数学习中积累的知识与经验，请你构造一个函数，使其图象与x轴有交点，但与y轴无交点，这个函数表达式可以为_______________________．A B C DAOC16．如图，在平面直角坐标系x O y 中，点A 在y 轴上，点B 在x 轴上，∠ABO=60°，若点D （1,0）且BD=2OD ．把△ABO 绕着点D 逆时针旋转()0180m m ︒<<后，点B 恰好落在初始Rt △ABO的边上，此时的点B 记为B '，则点B '的坐标为_______．三、解答题（本题共6道小题，每小题5分，共30分） 17．计算：02(3)4sin 45cos302π--+︒⋅︒-．18．已知：二次函数2y x bx c =-++的图象过点()1,8--，()0,3-．（1）求此二次函数的表达式，并用配方法将其化为()2y a x h k =-+的形式； （2）画出此函数图象的示意图．19．《九章算术》中记载了这样一道题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的语言表述为：“如果AB 为⊙O 的直径，弦CD AB ⊥于E ，1AE =寸，10CD =寸，那么直径AB 的长为多少寸？”请你补全示意图，并求出AB 的长．20．中秋节来临，小红家自己制作月饼.小红做了三个月饼，1个芝麻馅，2个豆沙馅；小红的爸爸做了两个月饼，1个芝麻馅，1个豆沙馅（除馅料不同，其它都相同）.做好后他们请奶奶品尝月饼，奶奶从小红做的月饼中拿了一个，从小红爸爸做的月饼中拿了一个.请利用列表或画树状图的方法求奶奶拿到的月饼都是豆沙馅的概率.21．如图，Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，5cos 6A =，D 为AB 上一点，且:1:2A D B D =，若BC =CD 的长．22．在平面直角坐标系x O y 中，反比例函数xmy =的图象过点()6,1A ． （1）求反比例函数的表达式； （2）过点A 的直线与反比例函数xmy =图象的另一个交点为B ，与x 轴交于点P ，若PB AP 2=，求点P 的坐标．四、解答题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）23．如图，为了测量某电线杆（底部可到达）的高度，准备了如下的测量工具：①平面镜；②皮尺；③长为2M 的标杆；④高为1.5m 的测角仪（测量仰角、俯角的仪器），请根据你所设计的测量方案，回答下列问题： （1）画出你的测量方案示意图，并根据你的测量方案写出你所选用的测量工具；（2）结合你的示意图，写出求电线杆高度的思路．24．“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进了一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．在义卖的过程中发现“这种文化衫每天的销售件数y （件）与销售单价x （元）满足一次函数关系：()31082036y x x =-+<<”．如果义卖这种文化衫每天的利润为p （元），那么销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？DBCA25．如图，CE 是⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，过点D 作⊙O 的切线，交CE 延长线于点A ，连接DE ，过点O 作OB ED ∥，交AD 的延长线于点B ，连接BC ．（1）求证：直线BC 是⊙O 的切线； （2）若2 AE ，tan ∠DEOAO 的长．26．阅读下面材料：小天在学习锐角三角函数中遇到这样一个问题：在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠B =22.5°，则tan22.5°= _________．小天根据学习几何的经验，先画出了几何图形（如图1），他发现22.5°不是特殊角，但它是特殊角45°的一半，若构造有特殊角的直角三角形，则可能解决这个问题.于是小天尝试着在CB 边上截取CD =CA ，连接AD （如图2），通过构造有特殊角（45°）的直角三角形，经过推理和计算使问题得到解决． 请回答：tan22.5°= ________________． 参考小天思考问题的方法，解决问题：如图3，在等腰△ABC 中，AB =AC ，∠A =30°，请借助△ABC ，构造出15°的角，并求出该角的正切值．图1 图2图3BA五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1222+-+-=m mx x y 的对称轴是直线1=x ．（1）求抛物线的表达式；（2）点()1,y n D ，()2,3y E 在抛物线上，若21y y <，请直接写出n 的取值范围； （3）设点()q p M ,为抛物线上的一个动点，当12p -<<时，点M 关于y 轴的对称点都在直线4-=kx y 的上方，求k 的取值范围．28．在正方形ABCD 中，DE 为正方形的外角∠ADF 的角平分线，点G 在线段AD 上，过点G 作PG ⊥DE 于点P ，连接CP ，过点D 作DQ ⊥PC 于点Q ，交射线PG 于点H ．（1）如图1，若点G 与点A 重合.①依题意补全图1；②判断DH 与PC 的数量关系并加以证明；（2）如图2，若点H 恰好在线段AB 上，正方形ABCD 的边长为1，请写出求DP长的思路（可以不写出计算结果．．．．．．．．．）．图1 图229．在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，P 是坐标系内任意一点，点P 到⊙O的距离P S 的定义如下：若点P 与圆心O 重合，则P S 为⊙O 的半径长；若点P 与圆心O 不重合，作射线OP 交⊙O 于点A ，则P S 为线段AP 的长度． 图1为点P 在⊙O 外的情形示意图．（1）若点()0,1B ，()1,1C ，⎪⎭⎫ ⎝⎛31,0D ，则=B S ___；=C S ___；=D S ___； （2）若直线b x y +=上存在点M ，使得2M S =，求b 的取值范围；（3）已知点P ，Q 在x 轴上，R 为线段PQ 上任意．．一点．若线段PQ 上存在一点T ，满足T 在⊙O 内．且R T S S ≥，直接写出满足条件的线段PQ 长度的最大值．石景山区2018-图1 备用图2数学试卷答案及评分参考阅卷须知：为便于阅卷，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分，解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．一、 选择题（本题共10道小题，每小题3分，共30分）二、填空题（本题共6道小题，每小题3分，共18分）11．60；12．2；1314．27120n a π； 15．如11y x =+等；16．(或(（对一个给2分）．三、解答题（本题共6道小题，每小题5分，共30分） 17.解：02(3)4sin 45cos302π--+︒⋅︒-=21142+- ……………………… …….4分 =34+分 18.解：（1）将()0,3-和()1,8--代入二次函数表达式，得43b c =⎧⎨=-⎩…….1分二次函数表达式为：243y x x =-+-配方得：()221y x =--+ ………………… 3分（2）图象略 ………………5分19.解: 示意图如图所示, …………………1分连接OC∵AB 为⊙O 的直径，且AB CD ⊥于点E ，10=CD ，∴521==CD CE . ………2分∵1=AE ，设⊙O 的半径为r 寸,则OE 为()1-r 寸………….. 3分A在Rt △CEO 中，由勾股定理得()22251+-=r r ………4分解得13=r ，∴直径AB 的长为26寸. ………5分20．解：………………….3分 所有可能的结果：（芝麻，芝麻），（芝麻，豆沙），（豆沙，芝麻），（豆沙，豆沙），（豆沙，芝麻），（豆沙，豆沙）. … ……..4分()21==.63P ∴都是豆沙馅 …………………….5分21．解：过点D 作AC DE ⊥于点E ………….1分∵在Rt △ABC 中，︒=∠90ACB ，65cos =A ， ∴设x AC 5=，x AB 6=，由勾股定理得x BC 11= ………2分 ∵113=BC∴3=x ……… 3分 ∵:1:2AD BD =，∴62==x AD∵Rt △ABC 中65cos =A ，∴5=AE ， 勾股定理得11=DE ……… 4分 ∴10=-=EA CA CE∴在Rt △DCE 中，由勾股定理得111=CD .…. 5分22．解：豆沙豆沙豆沙芝麻芝麻芝麻豆沙豆沙芝麻爸爸小红开始（1）由题意: 解得6m =∴反比例函数的表达式为6y x=……………1分 （2）当过点A 的直线过第一、二、三象限时，分别过点A 作x AD ⊥轴于点D ，过点1B 作x C B ⊥1轴于点C , 可得111APD B PC △ ∽△ ∵112AP PB =且()1,6A∴()12,3B --,()11,0P -…………4分 当过点A 的直线过第一、二、四象限时， 同理可求()23,0P∴P 点坐标为()11,0P -，()23,0P …5分四、解答题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）23．解：方案一（1）示意图如图选用工具：测角仪、皮尺.………………..2分（2）①用测角仪测出∠ACE 的角度。
2017.1 石景山初三上 数学期末答案
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
1. 【答案】B
2. 【答案】D
3. 【答案】B
4. 【答案】C
5. 【答案】A
6. 【答案】B
7. 【答案】C
8. 【答案】A
9. 【答案】D
10. 【答案】B
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
1 x
25. 【答案】（1）证明见解析． （2）tan ∠AEO =
4 5
26. 【答案】（1）x ≠ 0 ． （2）m = −1 ．
智
3 2
19. 【答案】5
康
．
（3）画图见解析． （4）①当x < 0 时，y 随x的增大而增大； 当x > 0 时，y 随x的增大而增大． ②关于原点成中心对称． ③函数的图象与y 轴无交点．
11. 【答案】y = −
12. 【答案】1．0.95 2．1.9
13. 【答案】20
爱
智
康
14. 答案】1
15. 【答案】4
16. 【答案】1．(1, 1) 2．4 3．n2
三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分；第27题7分；第28题7分；第29题8分）．
17. 【答案】√3
18. 【答案】AB = 6
20. 【答案】（1）y = −
1 2
爱
x
2
−x+
（2）作图见解析． （3）−3 < x < 1
21. 【答案】AB = 9 + 4√3
22. 【答案】（1）y =
4 x
（2）D 的坐标是(2, 2) ，点P 的坐标为(1, 0) 或(−3, 0) ．
2017-2018学年北京市石景山区九年级上期末数学试卷(有答案)AlPKnK
2017-2018学年北京市石景山区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．如果3x=4y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（）A．B．C．D．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，，AC=2，则tanA的值为（）A．B．2C．D．3．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠ACD=25°，则∠BOD的度数为（）A．100°B．120°C．130°D．150°4．如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC．若⊙O的半径为4，则弦AB的长为（）A．B．C．D．5．如果在二次函数的表达式y=ax2+bx+c中，a＞0，b＜0，c＜0，那么这个二次函数的图象可能是（）A．B．C．D．6．若二次函数y=x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点，则m的取值范围是（）A．m＞1B．m＜1C．m＞1且m≠0D．m＜1且m≠07．如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到新函数图象，其中原函数图象上的两点A（1，m）、B（4，n）平移后对应新函数图象上的点分别为点A′、B′．若阴影部分的面积为6，则新函数的表达式为（）A．B．C．D．8．如图，点M为▱ABCD的边AB上一动点，过点M作直线l垂直于AB，且直线l与▱ABCD的另一边交于点N．当点M从A→B匀速运动时，设点M的运动时间为t，△AMN的面积为S，能大致反映S与t函数关系的图象是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么这两个相似三角形的面积比为．10．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上．若∠ADE=∠C，AB=6，AC=4，AD=2，则EC=．11．如图，扇形的圆心角∠AOB=60°，半径为3cm．若点C、D是的三等分点，则图中所有阴影部分的面积之和是cm2．12．“平改坡”是指在建筑结构许可条件下，将多层住宅的平屋顶改建成坡屋顶，并对外立面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为．如图是某小区对楼顶进行“平改坡”改造的示意图．根据图中的数据，如果要使坡面BC的坡度达到1：1.2，那么立柱AC的长为米．13．如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象相交于点A和点B．当y1＞y2＞0时，x的取值范围是．14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB 的中点D，则AC的长等于．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到△DEF，写出一种由△ABC得到△DEF的过程：．16．石景山区八角北路有一块三角形空地（如图1）准备绿化，拟从点A出发，将△ABC分成面积相等的三个三角形，栽种三种不同的花草．下面是小美的设计（如图2）．作法：（1）作射线BM；（2）在射线BM上顺次截取BB1=B1B2=B2B3；（3）连接B3C，分别过B1、B2作B1C1∥B2C2∥B3C，交BC于点C1、C2；（4）连接AC1、AC2．则．请回答，成立的理由是：①；②．三、解答题（本题共68分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17．（5分）计算：3tan30°﹣cos245°+﹣2sin60°．18．（5分）用配方法求二次函数y=x2﹣10x+3的顶点坐标．19．（5分）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．若a=2，sin，求b和c．20．（5分）小红和小丁玩纸牌游戏：如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，小红先从中抽出一张，小丁从剩余的3张牌中也抽出一张．比较两人抽出的牌面上的数字，数字大者获胜．（1）请用树状图或列表法表示出两人抽牌可能出现的所有结果；（2）这个游戏公平吗？请说明理由．21．（5分）如图，小明想测量山的高度．他在点B处仰望山顶A，测得仰角∠ABN=30°，再向山的方向（水平方向）行进100m至索道口点C处，在点C处仰望山顶A，测得仰角∠ACN=45°．求这座山的高度．（结果精确到0.1m，小明的身高忽略不计）（参考数据：≈1.41，≈1.73）22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+b的图象与x轴交于点A（2，0），与反比例函数y=的图象交于点B（3，n）．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）若点P为x轴上的点，且△PAB的面积是2，则点P的坐标是．23．（5分）如图，四边形ABCD是平行四边形，CE⊥AD于点E，DF⊥BA交BA的延长线于点F．（1）求证：△ADF∽△DCE；（2）当AF=2，AD=6，且点E恰为AD中点时，求AB的长．24．（5分）二次函数y=x2﹣2mx+5m的图象经过点（1，﹣2）．（1）求二次函数图象的对称轴；（2）当﹣4≤x≤1时，求y的取值范围．25．（6分）如图，AC是⊙O的直径，点D是⊙O 上一点，⊙O的切线CB与AD的延长线交于点B，点F是直径AC上一点，连接DF并延长交⊙O于点E，连接AE．（1）求证：∠ABC=∠AED；（2）连接BF，若AD=，AF=6，tan∠AED=，求BF的长．26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A（﹣1，0）和B（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线与x轴的正半轴交于点C，连接BC．设抛物线的顶点P关于直线y=t的对称点为点Q，若点Q落在△OBC的内部，求t的取值范围．27．（7分）在正方形ABCD中，点P在射线AC上，作点P关于直线CD的对称点Q，作射线BQ交射线DC于点E，连接BP．（1）当点P在线段AC上时，如图1．①依题意补全图1；②若EQ=BP，则∠PBE的度数为，并证明；（2）当点P在线段AC的延长线上时，如图2．若EQ=BP，正方形ABCD的边长为1，请写出求BE长的思路．（可以不写出计算结果）28．（8分）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若PQ为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与x轴平行，则称该等腰三角形为点P，Q的“相关等腰三角形”．下图为点P，Q的“相关等腰三角形”的示意图．（1）已知点A的坐标为（0，1），点B的坐标为，则点A，B的“相关等腰三角形”的顶角为°；（2）若点C的坐标为，点D在直线y=4上，且C，D的“相关等腰三角形”为等边三角形，求直线CD的表达式；（3）⊙O的半径为，点N在双曲线y=﹣上．若在⊙O上存在一点M，使得点M、N的“相关等腰三角形”为直角三角形，直接写出点N的横坐标x N的取值范围．2017-2018学年北京市石景山区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．如果3x=4y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据比例的性质，可得答案．【解答】解：A、由比例的性质，得4x=3y与3x=4y不一致，故A不符合题意；B、由比例的性质，得xy=12与3x=4y不一致，故B不符合题意；C、由比例的性质，得4x=3y与3x=4y不一致，故C不符合题意；D、由比例的性质，得3x=4y与3x=4y一致，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了比例的性质，利用比例的性质是解题关键．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，，AC=2，则tanA的值为（）A．B．2C．D．【分析】本题需先根据已知条件，得出BC的长，再根据正切公式即可求出答案．【解答】解：∵∠C=90°，AB=，AC=2，∴BC=1，∴tanA==．故选：A．【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义，在解题时要根据在直角三角形中，正切等于对边比邻边这个公式计算是本题的关键．3．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠ACD=25°，则∠BOD的度数为（）A．100°B．120°C．130°D．150°【分析】根据圆周角定理求出∠AOD即可解决问题．【解答】解：∵∠AOD=2∠ACD，∠ACD=25°，∴∠AOD=50°，∴∠BOD=180°﹣∠AOD=180°﹣50°=130°，故选：C．【点评】本题考查圆周角定理，邻补角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4．如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC．若⊙O的半径为4，则弦AB的长为（）A．B．C．D．【分析】连接OA，由AB垂直平分OC，求出OD的长，再利用垂径定理得到D为AB的中点，在直角三角形AOD中，利用垂径定理求出AD的长，即可确定出AB的长．【解答】解：连接OA，由AB垂直平分OC，得到OD=OC=2，∵OC⊥AB，∴D为AB的中点，则AB=2AD=2=2=4．故选：B．【点评】此题考查了垂径定理，以及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解本题的关键．5．如果在二次函数的表达式y=ax2+bx+c中，a＞0，b＜0，c＜0，那么这个二次函数的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】由a＞0，b＜0，c＜0，推出﹣＞0，可知抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交y轴于负半轴，由此即可判断．【解答】解：∵a＞0，b＜0，c＜0，∴﹣＞0，∴抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交y轴于负半轴，故选：C．【点评】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6．若二次函数y=x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点，则m的取值范围是（）A．m＞1B．m＜1C．m＞1且m≠0D．m＜1且m≠0【分析】由抛物线与坐标轴有三个交点可得出：方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根，且m ≠0，利用根的判别式△＞0可求出m的取值范围，此题得解．【解答】解：∵二次函数y=x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点，∴方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根，且m≠0，∴△=22﹣4m＞0，∴m＜1．∴m＜1且m≠0．故选：D．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点以及根的判别式，利用根的判别式△＞0找出关于m 的一元一次不等式是解题的关键．7．如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到新函数图象，其中原函数图象上的两点A（1，m）、B（4，n）平移后对应新函数图象上的点分别为点A′、B′．若阴影部分的面积为6，则新函数的表达式为（）A．B．C．D．【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征求出A、B两点的坐标，再过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1），AC=4﹣1=3，根据平移的性质以及曲线段AB扫过的面积为6（图中的阴影部分），得出AA′=2，然后根据平移规律即可求解．【解答】解：∵函数y=（x﹣2）2+1的图象过点A（1，m），B（4，n），∴m=（1﹣2）2+1=1，n=（4﹣2）2+1=2，∴A（1，1），B（4，2），过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1），∴AC=4﹣1=3，∵曲线段AB扫过的面积为6（图中的阴影部分），∴AC•AA′=3AA′=6，∴AA′=2，即将函数y=（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移2个单位长度得到一条新函数的图象，∴新图象的函数表达式是y=（x﹣2）2+3．故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识，根据已知得出AA′是解题关键．8．如图，点M 为▱ABCD 的边AB 上一动点，过点M 作直线l 垂直于AB ，且直线l 与▱ABCD 的另一边交于点N ．当点M 从A→B 匀速运动时，设点M 的运动时间为t ，△AMN 的面积为S ，能大致反映S 与t 函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】当点N 在AD 上时，可得前半段函数图象为开口向上的抛物线的一部分；当点N 在DC 上时，MN 长度不变，可得后半段函数图象为一条线段．【解答】解：设∠A=α，点M 运动的速度为a ，则AM=at ，当点N 在AD 上时，MN=tanα×AM=tanα•at ，此时S=×at ×tanα•at=tanα×a 2t 2，∴前半段函数图象为开口向上的抛物线的一部分，当点N 在DC 上时，MN 长度不变，此时S=×at ×MN=a ×MN ×t ，∴后半段函数图象为一条线段，故选：C ．【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么这两个相似三角形的面积比为 4：9 ．【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．【解答】解：因为两个相似三角形的周长比为2：3，所以这两个相似三角形的相似比为2：3，所以这两个相似三角形的面积比为4：9；故答案为：4：9．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．10．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上．若∠ADE=∠C，AB=6，AC=4，AD=2，则EC=1．【分析】只要证明△ADE∽△ACB，推出=，求出AE即可解决问题；【解答】解；∵∠A=∠A，∠ADE=∠C，∴△ADE∽△ACB，∴=，∴=，∴AE=3，∴EC=AC﹣AE=4﹣3=1，故答案为1．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．11．如图，扇形的圆心角∠AOB=60°，半径为3cm．若点C、D是的三等分点，则图中所有阴影部分的面积之和是cm2．【分析】由题意可知C、D是弧AB的三等分点，通过平移可把阴影部分都集中到一个小扇形中，可发现阴影部分正好是扇形AOB的，先求出扇形AOB的面积再求阴影部分的面积或者直接求圆心角是20度，半径是3的扇形的面积皆可．=，【解答】解：S扇形OABS阴影=S扇形OAB=×π=π．故答案为：【点评】此题考查扇形的面积问题，通过平移的知识把小块的阴影部分集中成一个规则的图形﹣﹣扇形，再求算扇形的面积即可．利用平移或割补把不规则图形变成规则图形求面积是常用的方法．12．“平改坡”是指在建筑结构许可条件下，将多层住宅的平屋顶改建成坡屋顶，并对外立面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为．如图是某小区对楼顶进行“平改坡”改造的示意图．根据图中的数据，如果要使坡面BC的坡度达到1：1.2，那么立柱AC的长为 2.5米．【分析】由坡度的概念得出=，根据AB=3可得AC的长度．【解答】解：根据题意知=，∵AB=3，∴=，解得：AC=2.5，故答案为：2.5．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是熟练掌握坡度的定义．13．如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象相交于点A和点B．当y1＞y2＞0时，x的取值范围是﹣2＜x＜﹣0.5．【分析】根据一次函数与反比例函数交点纵坐标，结合图象确定出所求x的范围即可．【解答】解：根据图象得：当y1＞y2＞0时，x的取值范围是﹣2＜x＜﹣0.5，故答案为：﹣2＜x＜﹣0.5【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，弄清数形结合思想是解本题的关键．14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等于5．【分析】连接CD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB=2CD，求出圆的半径的长，再利用勾股定理列式进行计算即可得解．【解答】解：如图，∵∠C=90°，点D为AB的中点，∴AB=2CD=10，∴CD=5，∴BC=CD=5，在Rt△ABC中，AC===5．故答案为：5．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，求出圆的半径的长是解题的关键．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到△DEF，写出一种由△ABC得到△DEF的过程：向右平移4个单位，沿对称轴BC翻折，再绕点C逆时针旋转90°．【分析】根据对应点C与点F的位置，结合两三角形在网格结构中的位置解答．【解答】解：△ABC向右平移4个单位，沿对称轴BC翻折，再绕点C逆时针旋转90°即可得到△DEF，所以，过程为：向右平移4个单位，沿对称轴BC翻折，再绕点C逆时针旋转90°．故答案为：向右平移4个单位，沿对称轴BC翻折，再绕点C逆时针旋转90°．【点评】本题考查了几何变换的类型，平移、旋转，准确识图是解题的关键．16．石景山区八角北路有一块三角形空地（如图1）准备绿化，拟从点A出发，将△ABC分成面积相等的三个三角形，栽种三种不同的花草．下面是小美的设计（如图2）．作法：（1）作射线BM；（2）在射线BM上顺次截取BB1=B1B2=B2B3；（3）连接B3C，分别过B1、B2作B1C1∥B2C2∥B3C，交BC于点C1、C2；（4）连接AC1、AC2．则．请回答，成立的理由是：①平行线分线段成比例定理；②等底共高．【分析】根据平行线分线段成比例定理和等底共高求解可得．【解答】解：由BB1=B1B2=B2B3且B1C1∥B2C2∥B3C，依据平行线分线段成比例定理知BC1=C1C2=C2C，再由△ABC1，△AC1C2与△AC2C等底共高知，故答案为：①平行线分线段成比例定理；②等底共高．【点评】本题主要考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理和等底共高的两三角形面积关系．三、解答题（本题共68分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17．（5分）计算：3tan30°﹣cos245°+﹣2sin60°．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：原式=3×﹣（）2+﹣2×=﹣+2﹣=．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．18．（5分）用配方法求二次函数y=x2﹣10x+3的顶点坐标．【分析】把解析式化为顶点式即可．【解答】解：∵y=x2﹣10x+3=（x﹣5）2﹣22，∴二次函数的顶点坐标为（5，﹣22）．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x ﹣h）2+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．19．（5分）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．若a=2，sin，求b和c．【分析】先根据sinA=知c==6，再根据勾股定理求解可得．【解答】解：如图，∵a=2，sin，∴c===6，则b===4．【点评】本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握正弦函数的定义及勾股定理．20．（5分）小红和小丁玩纸牌游戏：如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，小红先从中抽出一张，小丁从剩余的3张牌中也抽出一张．比较两人抽出的牌面上的数字，数字大者获胜．（1）请用树状图或列表法表示出两人抽牌可能出现的所有结果；（2）这个游戏公平吗？请说明理由．【分析】（1）根据题意画出树状图，即可解决问题；（2）根据树状图，利用概率公式即可求得小红获胜的概率，由概率相等，即可判定这个游戏公平；【解答】解：（1）树状图如右：则小红获胜的概率：=，小丁获胜的概率：=，所以这个游戏比较公平．【点评】本题考查的是用列表法与树状图法求事件的概率，解题的关键是学会正确画出树状图，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．．21．（5分）如图，小明想测量山的高度．他在点B处仰望山顶A，测得仰角∠ABN=30°，再向山的方向（水平方向）行进100m至索道口点C处，在点C处仰望山顶A，测得仰角∠ACN=45°．求这座山的高度．（结果精确到0.1m，小明的身高忽略不计）（参考数据：≈1.41，≈1.73）【分析】作AH⊥BN于H，设AH=xm，根据正切的概念表示出CH、BH，根据题意列出方程，解方程即可．【解答】解：如图，作AH⊥BN于H，设AH=xm，∵∠ACN=45°，∴CH=AH=xm，∵tanB=，∴BH=x，则BH﹣CH=BC，即x﹣x=100，解得x=50（+1）．答：这座山的高度为50（+1）m；【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确作出辅助线、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+b的图象与x轴交于点A（2，0），与反比例函数y=的图象交于点B（3，n）．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）若点P为x轴上的点，且△PAB的面积是2，则点P的坐标是（﹣2，0）或（6，0）．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）利用三角形的面积公式求出PA的长即可解决问题；【解答】解：（1）∵一次函数y=x+b的图象与x轴交于点A（2，0），∴2+b=0，∴b=﹣2，∴y=x﹣2，当x=3时，y=1，∴B（3，1），代入y=中，得到k=3，∴反比例函数的解析式为y=．（2）∵△PAB的面积是2，∴•PA•1=2，∴PA=4，∴P（﹣2，0）或（6，0）．【点评】本题考查一次函数的性质、反比例函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23．（5分）如图，四边形ABCD是平行四边形，CE⊥AD于点E，DF⊥BA交BA的延长线于点F．（1）求证：△ADF∽△DCE；（2）当AF=2，AD=6，且点E恰为AD中点时，求AB的长．【分析】（1）由平行四边形的性质知CD∥AB，即∠DAF=∠CDE，再由CE⊥AD、DF⊥BA知∠AFD=∠DEC=90°，据此可得；（2）根据△ADF∽△DCE知=，据此求得DC=9，再根据平行四边形的性质可得答案．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠DAF=∠CDE，又∵CE⊥AD、DF⊥BA，∴∠AFD=∠DEC=90°，∴△ADF∽△DCE；（2）∵AD=6、且E为AD的中点，∴DE=3，∵△ADF∽△DCE，∴=，即=，解得：DC=9，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=9．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质及平行四边形的性质．24．（5分）二次函数y=x2﹣2mx+5m的图象经过点（1，﹣2）．（1）求二次函数图象的对称轴；（2）当﹣4≤x≤1时，求y的取值范围．【分析】（1）根据抛物线的对称性和待定系数法求解即可；（2）根据二次函数的性质可得．【解答】解：（1）把点（1，﹣2）代入y=x2﹣2mx+5m中，可得：1﹣2m+5m=﹣2，解得：m=﹣1，所以二次函数y=x2﹣2mx+5m的对称轴是x=﹣，（2）∵y=x2+2x﹣5=（x+1）2﹣6，∴当x=﹣1时，y取得最小值﹣6，由表可知当x=﹣4时y=3，当x=﹣1时y=﹣6，∴当﹣4≤x≤1时，﹣6≤y≤3．【点评】本题考查了二次函数图象与性质及待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．25．（6分）如图，AC是⊙O的直径，点D是⊙O 上一点，⊙O的切线CB与AD的延长线交于点B，点F是直径AC上一点，连接DF并延长交⊙O于点E，连接AE．（1）求证：∠ABC=∠AED；（2）连接BF，若AD=，AF=6，tan∠AED=，求BF的长．【分析】（1）直接利用圆周角定理以及切线的性质定理得出∠ACD=∠ABC，进而得出答案；（2）首先得出DC的长，即可得出FC的长，再利用已知得出BC的长，结合勾股定理求出答案．【解答】（1）证明：连接DC，∵AC是⊙O的直径，∴∠BDC=90°，∴∠ABC+∠BCD=90°，∵⊙O的切线CB与AD的延长线交于点B，∴∠BCA=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∴∠ACD=∠ABC，∴∠ABC=∠AED；（2）解：连接BF，∵在Rt△ADC中，AD=，tan∠AED=，∴tan∠ACD==，∴DC=AD=，∴AC==8，∵AF=6，∴CF=AC﹣AF=8﹣6=2，∵∠ABC=∠AED，∴tan∠ABC==，∴=，解得：BD=，故BC=6，则BF==2．【点评】此题主要考查了切线的性质与判定以及勾股定理等知识，正确得出∠ACD=∠ABC是解题关键．26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A（﹣1，0）和B（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线与x轴的正半轴交于点C，连接BC．设抛物线的顶点P关于直线y=t的对称点为点Q，若点Q落在△OBC的内部，求t的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）分别求出点Q落在直线BC和x轴上时的t的值即可判断；【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A（﹣1，0）和B（0，3），∴，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）如图，易知抛物线的顶点坐标为（1，4）．观察图象可知当点P关于直线y=t的对称点为点Q中直线BC上时，t=3，当点P关于直线y=t的对称点为点Q在x轴上时，t=2，∴满足条件的t的值为2＜t＜3．【点评】本题考查二次函数的性质、待定系数法、轴对称等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会寻找特殊点解决问题，属于中考常考题型．27．（7分）在正方形ABCD中，点P在射线AC上，作点P关于直线CD的对称点Q，作射线BQ交射线DC于点E，连接BP．（1）当点P在线段AC上时，如图1．①依题意补全图1；②若EQ=BP，则∠PBE的度数为45°，并证明；（2）当点P在线段AC的延长线上时，如图2．若EQ=BP，正方形ABCD的边长为1，请写出求BE长的思路．（可以不写出计算结果）【分析】（1）①作点P关于直线CD的对称点Q，作射线BQ交射线DC于点E，连接BP；②依据题意得到DP=EP，再根据四边形内角和求得∠BPE=90°，根据BP=EP，即可得到∠PBE=45°；（2）连接PD，PE，依据△CPD≌△CPB，可得DP=BP，∠1=∠2，根据DP=EP，可得∠3=∠1，进而得到∠PEB=45°，∠3=∠4=22.5°，△BCE中，已知∠4=22.5°，BC=1，可求BE长．【解答】解：（1）①作图如下：②如图，连接PD，PE，易证△CPD≌△CPB，∴DP=BP，∠CDP=∠CBP，∵P、Q关于直线CD对称，∴EQ=EP，∵EQ=BP，∴DP=EP，∴∠CDP=∠DEP，∵∠CEP+∠DEP=180°，∴∠CEP+∠CBP=180°，∵∠BCD=90°，∴∠BPE=90°，∵BP=EP，∴∠PBE=45°，故答案为：45°；（2）思路：如图，连接PD，PE，易证△CPD≌△CPB，∴DP=BP，∠1=∠2，∵P、Q关于直线CD对称，∴EQ=EP，∠3=∠4，∵EQ=BP，∴DP=EP，∴∠3=∠1，∴∠3=∠2，∴∠5=∠BCE=90°，∵BP=EP，∴∠PEB=45°，∴∠3=∠4=22.5°，在△BCE中，已知∠4=22.5°，BC=1，可求BE长．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质等知识的综合运用，解决本题的关键是熟记全等三角形的性质定理和判定定理．28．（8分）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若PQ为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与x轴平行，则称该等腰三角形为点P，Q的“相关等腰三角形”．下图为点P，Q的“相关等腰三角形”的示意图．（1）已知点A的坐标为（0，1），点B的坐标为，则点A，B的“相关等腰三角形”的顶角为120°；（2）若点C的坐标为，点D在直线y=4上，且C，D的“相关等腰三角形”为等边三角形，求直线CD的表达式；（3）⊙O的半径为，点N在双曲线y=﹣上．若在⊙O上存在一点M，使得点M、N的“相关等腰三角形”为直角三角形，直接写出点N的横坐标x N的取值范围．【分析】（1）画出图形求出∠BAO的度数即可解决问题；（2）利用等边三角形的性质求出点D坐标即可解决问题；（3）因为点M、N的“相关等腰三角形”为直角三角形，推出直线MN与x轴的夹角为45°，可以假设直线MN的解析式为y=﹣x+b，当直线与⊙O相切于点M时，求出直线MN的解析式，利用方程组求出点N的坐标，观察图象即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，∵A的坐标为（0，1），点B的坐标为，∴点A，B的“相关等腰三角形”△ABC的当C（，0）或（﹣2，1），∵tan∠BAO==，∴∠BAO=∠CAO=60°，∴∠BAC=∠ABC′=120°，故答案为120．（2）如图2中，设直线y=4交y轴于F（0，4），∵C（0，），∴CF=3，∵且C，D的“相关等腰三角形”为等边三角形，∴∠CDF=∠CD′F=60°，∴DF=FD′=3•tan30°=3，∴D（3，4），D′（﹣3，4），∴直线CD的解析式为y=x+，或y=﹣x+．（3）如图3中，∵点M、N的“相关等腰三角形”为直角三角形，∴直线MN与x轴的夹角为45°，可以假设直线MN的解析式为y=﹣x+b，当直线与⊙O相切于点M时，易知b=±2，∴直线MN的解析式为y=﹣x+2或y=﹣x﹣2，由，解得或，∴N（﹣1，3），N′（3，1），由解得或，∴N1（﹣3，1），N2（1，﹣3），观察图象可知满足条件的点N的横坐标的取值范围为：﹣3≤x N≤﹣1或1≤x N≤3．【点评】本题考查反比例函数综合题、一次函数的应用、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、“相关等腰三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．。
北京市石景山区2018届九年级上学期期末考试数学试题
石景山区2017-2018学年度第一学期期末考试初三数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个． 1．如果y x 43=(0≠y )，那么下列比例式中正确的是 （A ）43=y x （B ）yx 43= （C ）43y x = （D ）34y x = 2．在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，5=AB ，2=AC ，则tan A 的值为 （A ）21 （B ）2（C ）25 （D ）552 3．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上．若︒=∠25ACD ，则BOD ∠的度数为 （A ）︒100（B ）︒120（C ）︒130（D ）︒1504．如图，在⊙O 中，弦AB 垂直平分半径OC ．若⊙O 的半径为4，则弦AB 的长为（A ）32 （B ）34 （C ）52（D ）545．如果在二次函数的表达式c bx ax y ++=2中，0>a ，0<b ，0<c ，那么这个二次 函数的图象可能是DCBAOCBAO第3题 第4题（A ） （B ） （C ） （D ） 6．若二次函数m x x y ++=22的图象与坐标轴有3个交点，则m 的取值范围是 （A ）1>m（B ）1<m（C ）1>m 且0≠m （D ）1<m 且0≠m7．如图，将函数()12312+-=x y 的图象沿y 轴向上平移得 到新函数图象，其中原函数图象上的两点),1(m A 、),4(n B 平移后对应新函数图象上的点分别为点'A 、'B ．若阴影部分的面积为6，则新函数的表达式为 （A ）()22312+-=x y （B ）()32312+-=x y （C ）()12312--=x y （D ）()32312--=x y 8．如图，点M 为□ABCD 的边AB 上一动点，过点M 作直线l 垂直于AB ，且直线l 与□ABCD 的另一边 交于点N ．当点M 从A →B 匀速运动时，设点M 的 运动时间为t ，△AMN 的面积为S ，能大致反 映S 与t 函数关系的图象是（A ） （B ） （C ） （D ） 二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如果两个相似三角形的周长比为3:2，那么这两个相似三角形的面积比为______．lN MD CBA第7题第8题10．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上．若∠ADE =∠C ，AB =6，AC =4，AD =2，则EC =________．11．如图，扇形的圆心角︒=∠60AOB ，半径为3cm ．若点C 、D 是的三等分点，则图中所有阴影部分的面积之和是________cm 2．12． “平改坡”是指在建筑结构许可条件下，将多层住宅的平屋顶改建成坡屋顶，并对外立面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为．如图是某小区对楼顶进行“平改坡”改造的示意图．根据图中的数据，如果要使坡面BC 的坡度达到2.1:1，那么立柱AC 的长为_______米． 13．如图，一次函数b kx y +=1的图象与反比例函数()02<=x xmy 的图象相交于点A 和点B ．当021>>y y 时，x 的取值范围是_______．14．如图，在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，AB =10．若以点C 为圆心，CB 为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则AC =________．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 经过若干次图形的变化（平移、轴对称、 旋转）得到△DEF ，写出一种由△ABC 得到△DEF 的过程： ．第13题 第14题 第15题16．石景山区八角北路有一块三角形空地（如图1）准备绿化，拟从点A 出发，将△ABC 分成面积相等的三第10题第11题第12题个三角形，栽种三种不同的花草． 下面是小美的设计（如图2）． 作法：（1）作射线BM ； （2）在射线BM 上顺次截取BB 1=B 1B 2=B 2B 3； （3）连接B 3C ，分别过B 1、B 2作B 1C 1∥B 2C 2∥B 3C ， 交BC 于点C 1、C 2； （4）连接AC 1、AC 2． 则C AC C AC ABC S S S 2211∆∆∆==．请回答，C AC C AC ABC S S S 2211∆∆∆==成立的理由是：① ； ② ． 三、解答题（本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26题7分，第27题7分，第28题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 17．计算：︒-︒+︒-︒60sin 260cos 145cos 30tan 32．18．用配方法求二次函数3102+-=x x y 的顶点坐标．19．在Rt △ABC 中，︒=∠90C ，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ．若2=a ，sin 31=A ，求b 和c ．20．小红和小丁玩纸牌游戏：如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，小红先从中抽出一张，小丁从剩余的3张牌中也抽出一张．比较两人抽出的牌面上的数字，数字大者获胜．（1）请用树状图或列表法表示出两人抽牌可能出现的所有结果； （2）这个游戏公平吗？请说明理由．21．如图，小明想测量山的高度．他在点B 处仰望山顶A ，测得仰角︒=∠30ABN ，再向山的方向（水平方向）行进100m 至索道口点C 处，在点C 处仰望山顶A ，测得仰角︒=∠45ACN ．求这座山的高度．（结果精确到0.1m ，小明的身高忽略不计）（参考数据：41.12≈，73.13≈）22．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数b x y +=的图象与x 轴交于点)0,2(A ，与反比例函数xky =的图象交于点),3(n B ． （1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）若点P 为x 轴上的点，且△P AB 的面积是2，则点P 的坐标是 ．23．如图，四边形ABCD 是平行四边形，CE ⊥AD 于点E ，DF ⊥BA 交BA 的延长线于点F ．（1）求证：△ADF ∽△DCE ；（2）当AF =2，AD =6，且点E 恰为AD 中点时，求AB 的长．24．二次函数m mx x y 522+-=的图象经过点)2,1(-． （1）求二次函数图象的对称轴； （2）当14≤≤-x 时，求y 的取值范围．25．如图，AC 是⊙O 的直径，点D 是⊙O 上一点，⊙O 的切线CB 与AD 的延长线交于点B ，点F 是直径AC 上一点，连接DF 并延长交⊙O 于点E ，连接AE ． （1）求证：∠ABC =∠AED ； （2）连接BF ，若AD 532=，AF =6，tan 34=∠AED ，求BF 的长．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线n mx x y ++-=2经过点)0,1(-A 和)3,0(B . （1）求抛物线的表达式；（2）抛物线与x 轴的正半轴交于点C ，连接BC ．设抛物线的顶点P 关于直线t y =的对称点为点Q ，若点Q 落在△OBC 的内部，求t 的取值范围．27．在正方形ABCD 中，点P 在射线AC 上，作点P 关于直线CD 的对称点Q ，作射线BQ 交射线DC 于点E ，连接BP ． （1）当点P 在线段AC 上时，如图1． ①依题意补全图1；②若EQ =BP ，则∠PBE 的度数为 ，并证明；（2）当点P 在线段AC 的延长线上时，如图2．若EQ =BP ，正方形ABCD 的边长为1，请写出求BE 长的思路．（可以不写出计算结果）图2图128．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为),(11y x ，点Q 的坐标为),(22y x ，且21x x ≠，21y y ≠，若PQ 为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与x 轴平行，则称该等腰三角形为点P ，Q 的“相关等腰三角形”．下图为点P ，Q 的“相关等腰三角形”的示意图．．．．（1）已知点A 的坐标为)1,0(，点B 的坐标为)0,3(-，则点A ，B 的“相关等腰三角形”的顶角为_________°；（2）若点C 的坐标为)3,0(，点D 在直线34=y 上，且C ，D 的“相关等腰三角形”为等边三角形，求直线CD 的表达式； （3）⊙O 的半径为2，点N 在双曲线xy 3-=上．若在⊙O 上存在一点M ，使得点M 、N 的“相关等腰三角形”为直角三角形，直接写出点N 的横坐标N x 的取值范围．。
2017-2018北京市各区初三数学期末考试-石景山区
石景山区2017-2018学年度第一学期初三期末试卷数学、选择题(本题共16分，每小题2 分)第1 - 8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1 .如果3x =4y( y = 0)，那么下列比例式中正确的是(A) —3y 4 (B) -43(C)x(D)-4=_y"32 .在Rt △ ABC 中, C =90 ,=2，贝U tanA的值为(A) 2 (B) 2 (C)3 .如图，AB是O O的直径，点C、D 在O O 上. 若.ACD = 25，则.BOD的度数为(A) 100 (B) 120 (C) 130 (D) 1504.如图，在O O中, 弦AB垂直平分半径OC .若O O的半径为4,则弦AB的长为(A) 2 3 (B) 4.3 (C) 2・、55 .如果在二次函数的表达式y二ax2・bx y中，a . 0 , b ：：：0 , c ：：：0 ,那么这个二次(A) m 1 (B) m ::: 1(D) m ：：：1 且m 厂07•如图，将函数y =丄x -2 2• 1的图象沿y轴向上平移得3到新函数图象，其中原函数图象上的两点A(1,m)、B(4, n)平移后对应新函数图象上的点分别为点A'、B'.若阴影部分的面积为6,则新函数的表达式为(A) -2 2 2 (B)3 3o\--------------------- T第7题函数的图象可能是6.若二次函数y=x2・2x・m的图象与坐标轴有3个交点，则m的取值范围是(A) (B) (C) (D)二、填空题（本题共 16分，每小题2分） 9•如果两个相似三角形的周长比为2:3，那么这两个相似三角形的面积比为 ___________ .10. 如图，在△ ABC 中，点 D 、E 分别在边 AB 、AC 上.若/ ADE=/C , AB=6, AC=4,AD=2，贝U EC= ______ .11. 如图，扇形的圆心角 /AOB =60，半径为3cm .若点C 、D 是AB 的三等分点，贝U图 中所有阴影部分的面积之和是 __________ cm 2.12.“平改坡”是指在建筑结构许可条件下， 将多层住宅的平屋顶改建成坡屋顶，并对外立面进 行整修粉饰，达到改善住宅性能和建筑物外观 视觉效果的房屋修缮行为.如图是某小区对楼 顶进行“平改坡”改造的示意图.根据图中的 数据，如果要使坡面 BC 的坡度达到1:1.2，那 13.如图，一次函数 y^kx - b 的图象与反比例函数 y 2 x ：：：0的图象相交于点 A 和x点B .当屮>y 2 >0时，x 的取值范围是 ______________ .14. 如图，在 Rt △ ABC 中，/C =90 , AB=10 .若以点C 为圆心，CB 为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，贝U AC= _______ .15. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，△ ABC 经过若干次图形的变化（平移、轴对称、B写出 种由△ ABC 得到△ DEF 的过程:第14题第15题请回答，S.ABC i -S.A CQ二S.AC2C成立的理由是:三、解答题（本题共68分，第17-24题，每小题5分，第25题6分，第26题7分，第27题7分，第28题8分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程2130 -cos45圖一细60•17•计算：仙218•用配方法求二次函数y=x -10x 3的顶点坐标.19.在Rt△ ABC 中，• C =90 , - A、• B、• C 的对边分别为a、b、c .若a = 2 ,13sin A -,3小红和小丁玩纸牌游戏：如图是同一副扑克中的 4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，小红先从中抽出一张，小丁从剩余的 3张牌中也抽出一张•比较两 人抽出的牌面上的数字，数字大者获胜.(1) 请用树状图或列表法表示出两人抽牌可能出现的所有结果； (2)这个游戏公平吗？请说明理由. 1 . Sx X ix x U如图，小明想测量山的高度.他在点 B 处仰望山顶A ,测得仰角.ABN =30，再 向山的方向(水平方向)行进 100m 至索道口点C 处，在点C 处仰望山顶A ，测得 仰角.ACN =45 .求这座山的高度.(结果精确到0.1m ,小明的身高忽略不计)(参考数据：.2 -1.41,,3 -1.73)在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数y =x - b 的图象与x 轴交于点A(2,0)，与反比k例函数y的图象交于点B(3,n).(1) 求一次函数与反比例函数的表达式；(2) 若点P 为x 轴上的点，且△ FAB 的面积是2，则点P 的坐标是 ________________20.21 .22.23.如图，四边形ABCD是平行四边形，CE丄AD于点E, DF丄BA交BA的延长线于(1)求证：△ ADF DCE ;(2)当AF=2, AD=6，且点E恰为AD中点时，求AB的长.24.二次函数y =x2 -2mx 5m的图象经过点(1,-2).(1)求二次函数图象的对称轴；(2)当-4空x空1时，求y的取值范围.25 .如图，AC是O O的直径，点D是O O上一点，O O的切线CB与AD的延长线交于点B,点F是直径AC上一点，连接DF并延长交O O于点E,连接AE.(1)求证：/ ABC=Z AED ;32 4(2)连接BF，若AD , AF=6, tan AED ，求BF 的长.5 326.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y = -x 2 mx n 经过点A(-1,0)和B(0,3).(1) 求抛物线的表达式；(2) 抛物线与x 轴的正半轴交于点 C ,连接BC .设抛物线的顶点 P 关于直线y =t的对称点为点Q ,若点Q 落在△ OBC 的内部，求t 的取值范围.27 .在正方形ABCD 中，点P 在射线AC 上，作点P 关于直线CD 的对称点Q ,作射线BQ 交射线DC 于点E ,连接BP . (1) 当点P 在线段AC 上时，如图1.① 依题意补全图1;② 若EQ=BP ，则/ PBE 的度数为 _____________ ，并证明；(2) 当点P 在线段AC 的延长线上时，如图2.若EQ=BP ,正方形ABCD 的边长为1 , 请写出求BE 长的思路.(可以不写出计算结果)图1图228.在平面直角坐标系 xOy 中，点P 的坐标为(x 1, y 1)，点Q 的坐标为(x 2,y 2)，且x i =X 2 , y i =y 2，若PQ 为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与 x 轴 平行，则称该等腰三角形为点 P ，Q 的“相关等腰三角形” •下图为点P ，Q 的“相 关等腰三角形”的示意图.(1) 已知点A 的坐标为(0,1)，点B 的坐标为(-•. 3,0)，则点A , B 的“相关等腰三角形”的顶角为 ___________ ° ;(2) 若点C 的坐标为(0,、..3)，点D 在直线y =4.,3上，且C , D 的“相关等腰三角形”为等边三角形，求直线 CD 的表达式；(3 )0 O 的半径为 2，点N 在双曲线y - -3上•若在O O 上存在一点 M ，使得x点M 、N 的“相关等腰三角形”为直角三角形，直接写出点 N 的横坐标x N 的取值范围.。
2017-2018北京初三(上)期末数学各区试题汇总-相似三角形部分
●知识模块1：比例 (2)●知识模块2：相似三角形的性质与判定 (3)★求线段长 (3)★周长比、面积比 (3)★判定 (4)●知识模块3：相似三角形推理证明 (6)●知识模块4：相似三角形的应用 (10)●知识模块1：比例1．（丰台18期末1）如果32a b =(0ab ≠），那么下列比例式中正确的是（ ）A ．32ab=B ．23b a =C ．23a b =D ．32a b =2．（石景山18期末1）如果y x 43=(0≠y )，那么下列比例式中正确的是（ ）A ．43=y x B ．yx 43= C ．43y x = D ．34y x = 3．（平谷18期末1）已知12a b =，则a bb+的值是（ ）A ．32B ．23C ．12D ．12-4.（门头沟18期末1）如果23a b=，那么a bb-的结果是（ ）A ．12-B ．13-C ．13D ．125．（密云18期末9）12x y =，则x yy + =_________________.6．（平谷18期末2）2．如图，AD ∥BE ∥CF ，直线12l ,l 与这三条平行线分别交于点A ,B ,C 和D ,E ,F ．已知AB =1，BC =3，DE =2，则EF 的长是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．8 7．（丰台18期末4） “黄金分割”是一条举世公认的美学定律. 例如在摄影中，人们常依据黄金分割进行构图，使画面整体和谐. 目前，照相机和手机自带的九宫格就是黄金分割的简化版. 要拍摄草坪上的小狗，按照黄金分割的原则，应该使小狗置于画面中的位置A ．①B ．②C ．③D ．④8．（顺义18期末3）3．右图是百度地图中截取的一部分，图中比例尺为1：60000，则卧龙公园到顺 义地铁站的实际距离约为（ ）（注：比例尺等于图上距离与实际距离的比）A ．1.5公里B ．1.8公里C ．15公里D ．18公里②①③ ④●知识模块2：相似三角形的性质与判定★求线段长 1．（密云18期末1）如图，ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、AC 上点，DE //BC ，AD =2，DB =1，AE =3，则EC 长（ ）A ．23 B ．1C ．32D ．62．（怀柔18期末4）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别为边AB,AC 上的点，且DE ∥BC ，若AD =4，BD =8，AE =2，则CE 的长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．83．（海淀18期末3）如图，线段BD ，CE 相交于点A ，DE ∥BC ．若AB =4，AD =2，DE =1.5，则BC 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．（石景山18期末10）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上．若∠ADE =∠C ，AB =6，AC =4，AD =2，则EC =________．5．（西城18期末10） 如图，在△ABC 中，D ，E 两点分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，如果23=DB AD ，AC =10，那么EC = .6．（门头沟18期末12）如图，在△ABC 中， DE 分别与AB 、AC 相交于点D 、E ，且DE ∥BC ，如果23AD DB =，那么DEBC=__________.7．（通州18期末12）如图，点D 为ABC △的AB 边上一点，2=AD ，3=DB .若ACD B ∠=∠，则.____________=AC★周长比、面积比 8．（朝阳18期末5）如图，△ABC ∽△A ’B ’C ’，AD 和A ’D ’分别是△ABC 和△A ’B ’C ’的高，若AD ＝2，A ’D ’＝3，则△ABC 与△A ’B ’C ’的面积的比为（ ）A ．4：9B ．9：4C ．2：3D ．3：2DECBAE D CBAE DCB A AB CD EEA BCDA9．（平谷18期末4）如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，CD ⊥AB 于D ，则△CBD 与△ABC 的周长比是（ ）A ．32 B ．33C ．14D ．1210．（顺义18期末7）如图，已知△ABC ，D ，E 分别在AB ，AC边上，且DE ∥BC ，AD =2，DB =3，△ADE 面积是4，则四边形DBCE 的面积是（ ） A ．6 B ．9 C ．21 D ．2511．（海淀18期末5）如图，△OAB ∽△OCD ，OA :OC =3:2，∠A =α，∠C =β，△OAB 与△OCD 的面积分别是1S 和2S ，△OAB 与△OCD 的周长分别是1C 和2C ，则下列等式一定成立的是（ ） A ．32OB CD=B ．32αβ=C ．1232S S =D ．1232C C =12．（石景山18期末9）如果两个相似三角形的周长比为3:2，那么这两个相似三角形的面积比为______． 13．（大兴18期末11）若△ABC ∽△DEF ，且BC ∶EF=2∶3，则△ABC 与△DEF 的面积比等于_________． 14．（怀柔18期末10）若△ABC ∽△DEF ，且对应边BC 与EF 的比为1∶3，则△ABC 与△DEF 的面积比等于 .★判定15．（西城18期末7）如图，点P 在△ABC 的边AC 上，如果添加一个条件后可以得到 △ABP ∽△ACB ，那么以下添加的条件中，不．正确的是（ ）．A ．∠ABP =∠CB ．∠APB =∠ABC C ．2AB AP AC =⋅D ．AB ACBP CB= 16．（丰台18期末6）如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC 相似的是（ ）A B C DA B C DABEABCD D OA BC17．（密云18期末7）如图，ABC ∆中，70A ∠=︒，AB=4，AC= 6，将ABC ∆沿图中的虚线剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似．．．的是（ ）A B C D18．（顺义18期末12）如图，标记了 △ABC 与△DEF 边、角的一些数据，如果再添加一个条件使△ABC ∽△DEF ，那么这个条件可以是 ．（只填一个即可）19．（朝阳18期末17）小明在学习了如何证明“三边成比例的两个三角形相似”后，运用类似的思路证明了“两角分别相等的两个三角形相似”，以下是具体过程.已知：如图，在△ABC 和△A'B'C'中，∠A=∠A'，∠B=∠B'.求证：△ABC ∽△A'B' C'.证明：在线段A'B'上截取A'D=AB ，过点D 作DE ∥B'C'，交A'C'于点E . 由此得到△A'DE ∽△A'B'C'.∴∠A' DE=∠B'.∵∠B=∠B'， ∴∠A' DE =∠B .∵∠A'=∠A ，∴△A' DE ≌△ABC. ∴△ABC ∽△A'B'C'.小明将证明的基本思路概括如下，请补充完整： （1）首先，通过作平行线，依据 ， 可以判定所作△A' DE 与 ；（2） 然后，再依据相似三角形的对应角相等和已知条件可以证明所作△A' DE 与 ；（3）最后，可证得△ABC ∽△A'B' C'.CADEFA BC84360°80°80°CA●知识模块3：相似三角形推理证明1．（顺义18期末19）如图，E 是□ABCD 的边BC 延长线上一点，AE 交CD 于点F ，FG ∥AD 交AB 于点G ．（1）填空：图中与△CEF 相似的三角形有 ； （写出图中与△CEF 相似的所有三角形）（2）从（1）中选出一个三角形，并证明它与△CEF 相似．2．（大兴18期末19）已知：如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AB 、 AC 边上的点，且AE AD 53，连接DE . 若AC ＝4，AB ＝5. 求证：△ADE ∽△ACB.3．（丰台18期末18）如图，△ABC 中，DE ∥BC ，如果AD = 2，DB = 3，AE = 4，求AC 的长.4．（怀柔18期末18）如图，在△ABC 中，D 为AC 边上一点，BC ＝4，AC ＝8，CD=2．求证：△BCD ∽△ACB .G AB C F DE D C B A E5．（西城18期末18）如图，AB ∥CD ，AC 与BD 的交点为E ，∠ABE=∠ACB ．（1）求证：△ABE ∽△ACB ；（2）如果AB=6，AE=4，求AC ，CD 的长． 6．（密云18期末19）如图，BO 是ABC ∆的角平分线，延长BO 至D 使得BC=CD.（1）求证：AOB COD ∆∆∽.（2）若AB=2，BC=4，OA=1，求OC 长.7．（东城18期末19）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，点E 在AB 上，∠DEC =90°.（1）求证：△ADE ∽△BEC .（2）若AD =1，BC =3，AE =2, 求AB 的长. 8．（海淀18期末21）如图，在△ABC 中，∠B =90°，AB =4，BC =2，以AC 为边作△ACE ，∠ACE =90°，AC =CE ，延长BC 至点D ，使CD =5，连接DE ． 求证：△ABC ∽△CED ．EB C D AO D CB A9．（朝阳18期末23）如图，正方形ABCD 的边长为2，E 是CD 中点，点P 在射线AB上，过点P 作线段AE 的垂线段，垂足为F . （1）求证：△P AF ∽△AED ；（2）连接PE ，若存在点P 使△PEF 与△AED 相似，直接写出P A 的长10．（石景山18期末23）如图，四边形ABCD 是平行四边形，CE ⊥AD 于点E ，DF ⊥BA 交BA 的延长线于点F ． （1）求证：△ADF ∽△DCE ；（2）当AF =2，AD =6，且点E 恰为AD 中点时，求AB 的长．11．（平谷18期末19）如图，∠ABC =∠BCD =90°，∠A =45°，∠D =30°，BC =1，AC ，BD 交于点O ．求BODO的值．12．（顺义18期末22）已知：如图，在△ABC 的中，AD 是角平分线，E 是AD 上一点，且AB ：AC = AE ：AD ． 求证：BE =BD ．E DACBF E D C B A13．（门头沟18期末18）如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE.14．（平谷18期末23）如图，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作EO⊥BD，交BA延长线于点E，交AD于点F，若EF=OF，∠CBD=30°，BD=AF的长．15．（怀柔18期末23）数学课上老师提出了下面的问题：在正方形ABCD对角线BD上取一点F，使15 DFBD.小明的做法如下：如图①应用尺规作图作出边AD的中点M;②应用尺规作图作出MD的中点E;③连接EC，交BD于点F.所以F点就是所求作的点.请你判断小明的做法是否正确，并说明理由.B●知识模块4：相似三角形的应用1．（大兴18期末6）为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A ，再在他所在的这一侧选点B ，C ，D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，然后找出AD 与BC 的交点E. 如图所示，若测得BE =90m ，EC =45m ，CD =60m ，则这条河的宽AB 等于（ ） A ．120 m B ．67.5 m C ．40 m D ．30 m 2．（怀柔18期末6）网球单打比赛场地宽度为8米，长度在球网的两侧各为12米，球网高度为0.9米（如图AB 的高度）.中网比赛中，某运动员退出场地在距球网14米的D 点处接球，设计打出直线．．穿越球，使球落在对方底线上C 处，用刁钻的落点牵制对方.在这次进攻过程中，为保证战术成功，该运动员击球点高度至少为（ ）A. 1.65米B. 1.75米C.1.85米D. 1.95米 3．（海淀18期末15）在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离．如图，在一个路口，一辆长为10m 的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m 的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶．设小张距大巴车尾x m ，若大巴车车顶高于小张的水平视线0.8m ，红灯下沿高于小张的水平视线3.2m ，若小张能看到整个红灯，则x 的最小值为 ．4．（丰台18期末11、密云18期末14）如图1，物理课上学习过利用小孔成像说明光的直线传播.现将图1抽象为图2，其中线段AB 为蜡烛的火焰，线段A ＇B ＇为其倒立的像. 如果蜡烛火焰AB 的高度为2cm ，倒立的像A ＇B ＇的高度为5cm ，点O 到AB 的距离为4cm ，那么点O 到A ＇B ＇的距离为 cm.图1 图2绿黄红停止线交通信号灯0.8mx m3.2m10m20mB米米1412EACDAB'A'B O第11页 5．（海淀18期末22）古代阿拉伯数学家泰比特·伊本·奎拉对勾股定理进行了推广研究：如图（图1中BAC ∠为锐角，图2中BAC ∠为直角，图3中BAC ∠为钝角）．图1 图2 图3在△ABC 的边BC 上取B '，C '两点，使AB B AC C BAC ''∠∠∠==，则ABC △∽B BA '△∽C AC '△，()AB B B AB '=，()ACC C AC '=，进而可得22AB AC += ；（用BB CC BC ''，，表示）若AB =4，AC =3，BC =6，则B C ''= ．AB B' C'C AB B'(C')C B C' B' C A。
北京市石景山区届九级上期数学期末数学试题(含答案)
石景山区 2018— 2018 学年度第一学期初三期末试卷数学学校姓名准考据号1．本试卷共8 页，共五道大题，29 道小题．满分120 分，考试时间120 分考钟．生2．在试卷和答题卡上正确填写学校名称、姓名和准考据号．须3．试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．在答题卡上，知选择题、作图题用2B 铅笔作答，其余试卷用黑色笔迹署名笔作答．4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（此题共30 分，每题 3 分）下边各题均有四个选项，此中只有一个．．是切合题意的．1．若⊙O的半径为3，圆心O到直线 l 的距离为2，则直线l 与⊙O的地点关系是A ．订交B ．相切C．相离D．没法确立2．两个相像三角形的相像比为1:2，若较小三角形的面积为1，则较大三角形的面积为A．8B．4C．2D．23．德育处王主任将10 份奖品分别放在10 个完整同样的不透明礼盒中，准备将它们奖给小明等10 位获“科技节活动先进个人”称呼的同学．这些奖品中有 5 份是学习文具， 3 份是科普读物， 2 份是科技馆通票．小明同学从中随机取一份奖品，恰巧取到科普读物的概率是1313A ．B ．C ．D ．255104．某校要举办国庆联欢会，主持人站在舞台的黄金切割点处最自然得体．如图，若舞台 AB 的长为 20m， C 为 AB 的一个黄金切割点（ AC<BC），则 AC 的长为（结果精准到）A C BA ．B ． 7.6 m C． 10m D． 12.4 m5．将抛物线y21 个单位后，获取的抛物线的极点坐标是x 1 向左平移A ．2,0B．0,0C．1,1D．2,16．二次函数y ax2 bx c( a 0) 的图象以下图，则以下关系式中正确的选项是A ．ac0B ．b2a0yC．b24ac 0 D ．a b c01–1 O1x–17．如图，AB 为⊙O的直径， C ，D为⊙O上的两点，若AOC 80 ，则 D 的度数为A．80B．60C．50D．40ADO 1C D AO CBB第 7 题第 8 题8．如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC、 BD 交于点 O，若 AC=4， BD =2，则 1 的余弦值为31255A ．B．C．D．32559．二次函数y ax2bx c( a0) 的部分图象以下图，对y 称轴为直线 x1，与x轴的一个交点为1,0，与 y 轴的交点为0,3 ，则方程 ax2bx c 0(a0) 的解为3A ．x1B ．x1C．x11， x23D．x11， x24-1O1x10．如图，正方形ABCD 中， AB＝4cm，点 E、 F 同时从 C 点出发，以 1cm/s 的速度分别沿 CB-BA 、 CD-DA 运动，到A B点 A 时停止运动．设运动时间为t(s)，△ AEF 的面积为E S(cm2)，则 S(cm 2)与 t(s)的函数关系可用图象表示为D FCS/cm2S/cm2S/cm2S/cm2 8888666644442222o 2 4 6 8 t/s O 2 4 6 8 t/s O 2 4 6 8 t/s O 2 4 6 8 t/sA B C D二、填空题（此题共 6 道小题，每题 3 分，共 18 分）11．若sin 3，则锐角y为 ____________度．2B12．如图，在平面直角坐标系x O y 中，点B在y轴上，AB ＝ AO，反比率函数y k x0 的图象经过点AxA，若△ ABO 的面积为2，则 k 的值为 _________．xO13．假如某人沿坡度i 1: 3 的斜坡行进10 m，那么他所在的地点比本来的地点高升了___________m ．14．如图，折扇的骨柄OA 的长为 5a ，扇面的宽 CA的长为 3a，折扇张开的角度为n，则扇面的面A 积为 ______________ ( 用代数式表示)．OC15．依据函数学习中累积的知识与经验，请你结构一个函数，使其图象与x 轴有交点，但与 y轴无交点，这个函数表达式能够为_______________________ ．16．如图，在平面直角坐标系x O y 中，点 A 在 y 轴上，y点 B在 x轴上，∠ ABO= 60°D （ 1,0）且A，若点BD= 2OD ．把△ ABO 绕着点 D 逆时针旋转m 0 m 180 后，点 B 恰巧落在初始 Rt △ ABO的边上，此时的点 B 记为 B ，则点 B 的坐标为_______ ．ODBx三、解答题（此题共 6 道小题，每题 5 分，共 30 分）17．计算： (3)04sin 45 cos302 2 ．18．已知：二次函数 yx 2bx c 的图象过点 1, 8 ， 0,3 ．（ 1）求此二次函数的表达式，并用配方法将其化为y a x2hk 的形式；（ 2）画出此函数图象的表示图．19．《九章算术》中记录了这样一道题： “今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？ ”用现代的语言表述为：“假如AB 为⊙ O 的直径，弦 CDAB 于 E ， AE 1寸， CD10寸，那么直径 AB 的长为多少寸？”请你补全表示图，并求出AB 的长．20．中秋节到临，小红家自己制作月饼. 小红做了三个月饼， 1 个芝麻馅， 2 个豆沙馅；小红的爸爸做了两个月饼，1 个芝麻馅， 1 个豆沙馅（除馅料不一样，其余都同样）.做好后他们请奶奶品味月饼，奶奶从小红做的月饼中拿了一个，从小红爸爸做的月 饼中拿了一个 . 请利用列表或画树状图的方法求奶奶拿到的月饼都是豆沙馅的概率.21 ．如图， Rt △ABC中，ACB90， cos A 5， D为AB上一点，且6AD: BD 1: 2，若BC 311 ，求CD的长．BDC A22．在平面直角坐标系x O y 中，反比率函数y m的图象过点 A 1,6 ．x（ 1）求反比率函数的表达式；（ 2）过点A的直线与反比率函数m图象的另一个交点为 B ，与x轴交于点yxP，若 AP 2 PB ，求点 P 的坐标．四、解答题（此题共 4 道小题，每题 5 分，共20 分）23．如图，为了丈量某电线杆（底部可抵达）的高度，准备了以下的丈量工具：①平面镜；②皮尺；③长为2M 的标杆；④高为 1.5m 的测角仪（丈量仰角、俯角的仪器），请依据你所设计的丈量方案，回答以下问题：（1）画出你的丈量方案表示图，并依据你的丈量方案写出你所采用的丈量工具；（2）联合你的表示图，写出求电线杆高度的思路．24．“母亲节”前夜，我市某校学生踊跃参加“关爱贫穷母亲”的活动，他们购进了一批单价为20 元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得收益捐给贫穷母亲．在义卖的过程中发现“这类文化衫每日的销售件数y （件）与销售单价x （元）知足一次函数关系：y3x 108 20 x36 ”．假如义卖这类文化衫每日的收益为p（元），那么销售单价定为多少元时，每日获取的收益最大？最大收益是多少？25．如图，CE是⊙O的直径，D 为⊙O上一点，过点线于点 A ，连结DE，过点O作OB∥ED，交AD（ 1）求证：直线BC 是⊙ O 的切线；（ 2）若AE 2 ，tan∠ DEO = 2 ，求AO的长．26．阅读下边资料：小天在学习锐角三角函数中碰到这样一个问题：在B=22.5 °，则 tan22.5 =°_________ ．D 作⊙O的切线，交CE延伸的延伸线于点 B ，连结BC．AEDOB CRt△ ABC 中，∠ C=90°，∠AAB C B D C图 1图 2小天依据学习几何的经验，先画出了几何图形（如图1），他发现 22.5 °不是特别角，但它是特别角45°的一半，若结构有特别角的直角三角形，则可能解决这个问题 .于是小天试试着在CB 边上截取CD =CA，连结 AD （如图 2），经过结构有特别角（ 45°）的直角三角形，经过推理和计算使问题获取解决．请回答： tan22.5 °=________________ ．参照小天思虑问题的方法，解决问题：如图3，在等腰△ ABC 中， AB=AC，∠ A=30°，请借助△ ABC ，结构出15°的角，并求出该角的正切值．CA B图 3五、解答题（此题共 22 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分，第29题 8分）27 ．在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx22mx m21的对称轴是直线x 1 ．（ 1）求抛物线的表达式；（ 2）点D n, y1，E 3, y2在抛物线上，若y1y2，请直接写出n 的取值范围；（ 3）设点M p, q 为抛物线上的一个动点，当 1 p 2 时，点 M 对于y轴的对称点都在直线y kx 4 的上方，求k 的取值范围．28．在正方形ABCD 中， DE 为正方形的外角∠ADF 的角均分线，点G 在线段AD 上，过点 G 作 PG⊥ DE 于点 P，连结 CP，过点 D 作 DQ⊥PC 于点 Q，交射线 PG 于点 H ．（ 1）如图 1，若点 G 与点 A 重合 .①依题意补全图1；②判断 DH 与 PC 的数目关系并加以证明；（ 2）如图2，若点 H 恰幸亏线段AB 上，正方形ABCD 的边长为1，请写出求 DP 长的思路（能够不写出计算结果）．．．．．．．．．．E FE FPPA(G)D A G DB C B C图 1图 229．在平面直角坐标系xOy 中，⊙O的半径为1， P 是坐标系内随意一点，点P到⊙O的距离 S P的定义以下：若点P 与圆心 O 重合，则S P为⊙ O 的半径长；若点P 与圆心 O 不重合，作射线 OP 交⊙ O 于点 A，则S P为线段 AP 的长度．图1 为点 P 在⊙ O 外的情况表示图．y yP11AO1x O1x图1备用图2（ 1）若点B 1,0，C 1,1，1，则；；；S B___ S C___ S D___D 0,3（ 2）若直线y x b 上存在点M，使得S M 2 ，求b的取值范围；（3）已知点P，Q在x轴上，R为线段PQ上随意一点．若线段PQ上存在一．．点 T，知足 T 在⊙ O 内且．S T S R，直接写出知足条件的线段PQ 长度的最y大值．1O1x备用图 3石景山区 2018-2018 学年度第一学期初三期末数学试卷答案及评分参照103301 2 3 4 56 7 8 9 10 AB DBAC CDCD63 18107n a 2 15 y1 11 60 1412 213120x160,3 2, 3 26 53017.(3)04sin 45 cos302 2=142 3 1.4222236 ... .5=4b 4 0,3 1, 8c.13yx 2 4x3yx 21322519. : , 1OCAB OCDAB E CD10CE1CD 5.22AE1CAEODBO r, OEr 1 .. 3Rt CEOr 2 r 12524r13AB26 . 520开始小红 芝麻 豆沙 豆沙爸爸芝麻 豆沙 芝麻 豆沙 芝麻 豆沙.3...4P 都是豆沙馅=2=1..56321D DEAC E.1Rt ABCACB 90cos A5AC 5xAB 6x6BC11x2BC 311x 33AD :BD1: 2AD 2x6Rt ABC5 AE5cos A6DE114CE CA EA 10Rt DCE CD111. . 5BDCEA10/15（ 1）由题意 : 解得m6∴反比率函数的表达式为y 61 分x（ 2）当过点 A 的直线过第一、二、三象限时，分别过点 A 作AD x 轴于点D，过点 B1作 B1C x 轴于点C,可得△1∽△ 1 1APD B PC∵ AP12PB1且A1,6∴ B2,3 , P1,0 4 分11当过点 A 的直线过第一、二、四象限时，同理可求 P2 3,0∴P点坐标为P1,0， P3,0 5分12四、解答题（此题共 4 道小题，每题 5 分，共 20 分）23．解：方案一A （ 1）表示图如图采用工具：测角仪、皮尺. 分..2（2）①用测角仪测出∠ ACE 的角度。
2017石景山九上数学期末考试参考评分标准
石景山区2017-2018学年度第一学期初三期末数学试卷答案及评分参考阅卷须知：1．为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主要过程正确写出即可．2．若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分. 3．评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数．二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．1y x =-（答案不唯一，满足ky x=且0k ＜即可）． 12．0.95；1.9（第1空2分；第2空1分）． 13．20°． 14．1．15．4． 16．(1,1)；4；2n （每空1分）．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分；第27题7分；第28题7分；第29题8分）17．解：原式1142=+-⨯…………………………………………… 4分 =…………………………………………… 5分18．解：∵AED B ∠=∠，A A ∠=∠，∴△ADE ∽△ACB ．………………… 2分 ∴AE AD AB AC=．………………… 3分 ∴323+1AB =． ………………… 4分 ∴6AB =．………………… 5分19．解：连接OC ，如图．…………………… 1分 设⊙O 的半径为x ．∵直径AB ⊥弦CD ， ∴142CE CD ==． …………………… 2分 在Rt △OEC 中，由勾股定理可得22224x x =-+（）．…………………… 4分解得 5x =．∴⊙O 的半径为5.…………………… 5分20．（1）解法一：由题意，设二次函数的表达式为2(1)2y a x =++.………… 1分 ∵二次函数经过点(1,0)，∴42=0a +. ∴12a =-.………………… 2分 ∴二次函数的表达式为21(1)22y x =-++.………………… 3分 即21322y x x =--+. 解法二：由题意，设二次函数的表达式为(3)(1)y a x x =+-.………… 1分 ∵二次函数经过点(1,2)-，∴42a -=. ∴12a =-.………………… 2分 ∴二次函数的表达式为1(3)(1)2y x x =-+-.………………… 3分-x +32即21322y x x =--+. （2）如右图. …………… 4分（3）31x -<<.…………… 5分21．解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，如图. …………………………………… 1分∵在Rt △CDA 中，30A ∠=︒， ∴sin30CD AC =⨯︒=，cos309AD AC =⨯︒=.…………………………………… 2分∵在Rt △CDB 中，4cos 5DB B CB ==， ∴设4DB x =，5CB x =.∴3CD x =. …………… 3分 ∴x =∴4DB x ==…………………………………… 4分 ∴9AB =+…………………………………… 5分22．解：（1）∵点(1,)C m 在直线22y x =+上，∴4m =.…………………………………… 1分又∵点(1,4)C 在双曲线ky x=上， ∴4k =.∴双曲线的表达式为4y x=.…………………………………… 2分 （2）点D 的坐标是(2,2).…………………………………… 3分点P 的坐标为(1,0)或(3,0)-.…………………………………… 5分23．解法一：根据题意，得 1.5CF BE AD ===，40AB DE ==. 设MC 为xm .在Rt △MCB 中，tan 1=MCBC∠，∴=tan 603x BC x =︒.……… 1分同理可得AC =.……… 2分40x +.………………… 3分解得34.64x =≈.………………… 4分∴34.64 1.536.1436.1m MF MC CF =+≈+=≈（）. …………… 5分 答：古塔的高约为36.1米.解法二：根据题意，得 1.5CF BE AD ===，40AB DE ==. ∵123∠=∠+∠，160∠=︒，230∠=︒，∴3=2=30∠∠︒.………… 2分∴==40MB AB .………… 3分在Rt △MCB 中，sin 1=MCMB ∠，∴40sin6034.64MC =⨯︒=≈.………… 4分∴34.64 1.536.1436.1m MF MC CF =+≈+=≈（）. …………… 5分答：古塔的高约为36.1米.24．解：(30)y w x =-…………………………………………… 1分(3150)(30)x x =-+-232404500x x =-+-…………………………………………… 2分23(40)300x =--+…………………………………………… 4分∵30≤x ≤50，且30a =-＜，∴当=40x 时，=300y 最大值.…………………………………………… 5分答：当该商品销售单价定为每件40元时，每天的利润最大，最大利润为300元.25．（1）证明：连接OD ，如图1.∵OD 是⊙O 半径，DE 为⊙O 的切线，∴OD ⊥DE . ∵DE ⊥AC ，∴OD ∥AC .………………… 1分 ∴1C ∠=∠. ∵OD OB =， ∴1B ∠=∠. ∴C B ∠=∠.∴AB AC =.…………………… 2分（2）解法一：连接AD ，如图2. ∵5AB =，1AE =， ∴52OD =，5AC AB ==，4EC =. ∵AB 是⊙O 的直径, ∴AD ⊥BC . 又∵DE ⊥AC ,∴△CDE ∽△DAE .…………… 3分∴2DE CE AE =⋅. ∴2DE =.…………… 4分 在Rt △EDO 中，4tan 25DE OD ∠==. ∵OD ∥AC ， ∴2AEO ∠=∠. ∴4tan 5AEO ∠=.…………………………………………… 5分 解法二：过点O 作OF ⊥CA ，交CA 的延长线于点F ，如图3. ∴四边形ODEF 是矩形.图1图2n∴1522EF OD AB ===. ………… 3分 ∴32AF EF AE =-=. 在Rt △AFO 中，由勾股定理得2OF =. (4)分在Rt △EFO 中，4tan 5OF AEO EF ∠==.…………………… 5分26．（1）0x ≠.……………… 1分 （2）1m =-.……………… 2分（3）此函数的图象如右图所示.……………… 4分 （4）此函数的性质：①当0x ＜时，y 随x 的增大而增大； 当0x ＞时，y 随x 的增大而增大. ②关于原点成中心对称. ③函数的图象与y 轴无交点. ……（写出一条即可）…………… 5分27．解：（1）∵抛物线C ：2(3)y x m x =+-经过点(10)A -，， ∴1(3)0m --=.………………… 1分 ∴2m =.∴抛物线C 的表达式为2y x x =+.………………… 2分（2）抛物线C ：2y x x =+的顶点为11(,)24P --，如图1.………… 3分 点11(,)24P --关于直线1=y 的对称点为P '19(,)24-. ∴抛物线1C 的顶点坐标为19(,)24-.………………… 4分 图3（3）解法一：∵正方形的边长为2，抛物线的对称轴为12x =-， ∴正方形的顶点B 的坐标为13(,)24，如图2.………………… 6分∴3=14n -. ∴74n =. ………………… 7分解法二：∵正方形的边长为2，抛物线的对称轴为12x =-， ∴设正方形的顶点B 的坐标为1(,1)2n -，如图2. ………………… 6分∵点B 1(,1)2n -在抛物线2y x x =+上，∴74n =.………………… 7分 28．（1）FN EM =.…………… 1分 （2）补全图形，如图1所示.…………… 2分图1 图2结论成立.证明：连接ED ，EF ，DF ，如图2.∵△ABC 是等边三角形，∴AB BC AC a ===.∵D ，E ，F 分别是边AB ，BC ，AC 的中点，∴12DF DE EF a ===.∴60FDE ∠=︒.又∵△DMN 是等边三角形，∴DN DM =，60MDN ∠=︒. ∴FDN EDM ∠=∠.∴△DFN ≌△DEM .……………………………… 4分 ∴FN EM =.……………………………… 5分（3）CM 的长为1或2.……………………………… 7分29.（1）① (60)A '，，(B '.……………………………… 2分 ② 解法一：过点P '作P E '⊥x 轴于点E ，如图1. ∵12P OAS OA P E ''=⨯=△ ∴P E '=…………… 3分∵点P '在正比例函数y =位于 第一象限内的图象上， ∴'P y∴'=2P x .∴4OP '=，'60P OE ∠=︒. …………… 4分 ∵点P 关于⊙O 的反演点是P '点， ∴26OP OP '⋅=.∴9OP =.……………………………… 5分 过点P 作PF ⊥x 轴于点F .图1图1 图2∴92OF =，2PF =.∴点P 的坐标为922P（，.……………………………… 6分解法二：过点A 作AH ⊥PP'于点H ，如图2.∵点P '在正比例函数y =位于第一象限内的图象上， ∴设点P 的坐标为t （，其中0t ＞. ∴tan POA ∠== ∴60POA ∠=︒.……………………………… 4分 在Rt △OHA 中，sin AH OA AOH =⨯∠=. ∵12P OA S OP AH ''=⨯=△ ∴4OP '=.∵点P 关于⊙O 的反演点是P '点，∴26OP OP '⋅=.∴9OP =. ………… 5分 过点P 作PF ⊥x 轴于点F . 在Rt△OFP 中，222t +=9. 解得192t =，292t -=（舍去）. ∴点P 的坐标为92P (.……………………………… 6分（2）1-≤n ≤54.……………………………… 8分图2。
北京市石景山区2017届九年级数学上学期期末考试试题
石景山区2016-2017学年度第一学期九年级期末试卷数 学学校 姓名 准考证号一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个． 1．在Rt △ACB 中，90C ∠=︒，1AC =，2BC =，则sin B 的值为A ．5B ．5C ．3D ．122．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，=65ABC ∠°，则D ∠的度数为A ．130︒B ．65︒C ．35︒D ．25︒3．如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A ，在近岸取点B ，C ，D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，点E 在BC 上，并且点A ，E ，D 在同一条直线上．若测得30BE =m ，15EC =m ，30CD =m ，则河的宽度AB 长为 A ．90mB ．60mC ．45mD ．30m4．如图，在平面直角坐标系x O y 中，点P 为函数40y x x=(＜)图象上任意一点， 过点P 作PA ⊥x 轴于点A ，则△PAO 的面积是 A ．8B ．4C ．2D ．2-5．下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：要从中选择一名发挥稳定的运动员去参加比赛，应该选择A．甲B．乙C．丙D．丁6．如图，⊙A的半径为3，圆心A的坐标为(1,0)，点(,0)B m在⊙A内，则m的取值范围是A．4m<C．24m-<<B．2m>-D．2m<-或4m>7．如图，⊙O的半径为3，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则劣弧AC的长为A．6πC．2πB．3πD．π8．若将抛物线25y x=先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为A．2521y x=-+（）B．25+21y x=+（）C．2521y x=--（）D．25+21y x=-（）9．若抛物线22y x x m=-+与x轴有交点，则m的取值范围是A．1m>B．1m≥C．1m<D．1m≤10．如右图，在Rt△ACB中，90C∠=︒，60A∠=︒，8AB=.点P是AB边上的一个动点，过点P作PD⊥AB交直角边于点D，设AP为x，△APD的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是A．B．C．D．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．请写出一个反比例函数的表达式，满足条件：在各自象限内，y的值随x值的增大而增大.此反比例函数的表达式可以是（写出一个即可）：．12．某农场引进一批新稻种，在播种前做了五次发芽实验，每次任取800粒稻种进行实验.实验的结果如下表所示：实验的稻种数n∕粒800 800 800 800 800发芽的稻种数m∕粒763 757 761 760 758第13题图 第14题图 第15题图发芽的频率m n0.954 0.946 0.951 0.950 0.948在与实验条件相同的情况下，估计种一粒这样的稻种发芽的概率为 （精确到0.01）；如果该农场播种了此稻种2万粒，那么能发芽的大约有 万粒. 13．如图，PA 切⊙O 于点A ，PO 交⊙O 于点B ，点C 是优弧AB 上一点，若=35ACB ∠︒，则P ∠的度数是 ︒.14．如图，正方形ABCD 的边长为4，以BC 为直径作半圆E ，过点D 作DF 切半圆E 于点G ，交AB 于点F ，则BF 的长为 .15．如图，抛物线1C ：212y x =经过平移得到抛物线2C ：2122y x x =+，抛物线2C 的对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是 .16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点1A ，2A ，3A ，…，n A在y 轴的正半轴上，点1B ，2B ，3B ，…，n B 在二次函数2y x =位于第一象限的图象上，若△11OB A ，△122A B A ，△233A B A ，…，△1n n n A B A -都是等腰直角三角形，其中123B B B ∠=∠=∠=…90n B =∠=︒，则：点1B 的坐标为 ； 线段12A A 的长为； △1n n n A B A -的面积为 .三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分；第27题7分；第28题7分；第29题8分）.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17．计算：0tan 454cos30︒-︒2016）．18．如图，在△ABC 中，点D 在AB 边上，点E 在AC 边上，且AED B ∠=∠，若3AE=，1EC =，2AD =求AB 的长．19．如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ，8CD =，2BE =.求⊙O 的半径．20．二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）图象上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：x … 4- 3- 2- 1-0 12 … y…52- 03223252- …（1）求这个二次函数的表达式； （2）在右图中画出此二次函数的图象的示意图；（3）结合图象，直接写出当0y >时，自变量x 的取值范围．21．如图，在△ABC 中，30A ∠=︒，cos B =求AB 的长.22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线22y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与双曲线 (0)ky k x=≠的一个交点为点(1,C m （1）求双曲线的表达式；（2）过点B 作直线BD ∥x 轴，交双曲线于点D ，在x 轴上存在点P ，使得以点A ，B ，D ，P 为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点D 和点P 的 坐标．23．数学综合与实践活动中，某小组测量公园里广场附近古塔的高度．如图，他们先在点D 用高1.5米的测角仪DA 测得塔顶M 的仰角为30︒，然后沿DF 方向前行40m 到达点E 处，在E 处测得塔顶M 的仰角为60︒．请根据他们的测量数据求古塔MF 的高（结果精确到0.1m ）．（参1.414≈ 1.732≈）24．某超市按每件30元的价格购进某种商品.在销售的过程中发现，该种商品每天的销售量w （件）与销售单价x （元）之间满足关系3150w x =-+（30≤x ≤50）.如果销售这种商品每天的利润为y （元），那么销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ 25．如图，以△ABC 的AB 边为直径作⊙O ，交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线 DE ，交AC 于点E ，且DE ⊥AC ，连接EO . （1）求证：AB AC =；（2）若5AB =，1AE =，求tan AEO ∠的值．26．有这样一个问题：探究函数2y x x=-的图象和性质. 小石根据学习函数的经验，对此函数的图象和性质进行了探究. 下面是小石的探究过程，请补充完整：（1）函数的自变量x 的取值范围是 ； （2）下表是y 与x 的几组对应值.…3-2-1-12-13- 13 12 … (73)-1-172 173173-72-73…求m 的值；（3）如右图，在平面直角坐标系xOy 上表中各对对应值为坐标的点.画出此函数的图象；（4）进一步探究，结合函数的图象，写出此函数的 性质（一条即可）： .27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：2(3)y x m x =+-经过点(1,0)A -. （1）求抛物线C 的表达式；（2）将抛物线C 沿直线1=y 翻折，得到的新抛物线记为1C ，求抛物线1C 的顶点坐标；（3）将抛物线C 沿直线y n =翻折，得到的图象记为2C ，设C 与2C 围成的封闭图形为M ，在图形M 上内接一个面积．．为4的正方形（四个顶点均在M 上），且这个正方形的边分别与坐标轴平行.求n 的值.28．已知△ABC 是等边三角形，点D ，E ，F 分别是边AB ，BC ，AC 的中点，点M 是射线EC 上的一个动点，作等边△DMN ，使△DMN 与△ABC 在BC 边同 侧，连接NF .（1）如图1，当点M 与点C 重合时，直接写出线段FN 与线段EM 的数量关系；（2）当点M 在线段EC 上（点M 与点E ，C 不重合）时，在图2中依题意补全图形，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）连接DF ，直线DM 与直线AC 相交于点G ，若△DNF 的面积是△GMC 面积的9倍，8AB =，请直接写出线段CM 的长.29．已知⊙C 的半径为r ，点P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于⊙C 的反演点的定义如下： 若点P '在射线CP 上，满足2CP CP r '⋅=， 则称点P '是点P 关于⊙C 的反演点.图1为 点P 及其关于⊙C 的反演点P '的示意图.（1）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为6，⊙O 与x 轴的正半轴交于点A .① 如图2，135AOB ∠=︒，18OB =，若点A '，B '分别是点A ，B 关于⊙O 的反演点，则点A '的坐标是 ， 点B '的坐标是 ； ② 如图3，点P 关于⊙O 的反演点为点P '，点P '在正比例函数y =位于 第一象限内的图象上，△P OA '的面积为P 的坐标；（2）点P 是二次函数22 3 14y x x x =---(≤≤)的图象上的动点，以O 为圆心，2OP 为半径作圆，若点P 关于⊙O的反演点P '的坐标是(,)m n ，请直接 写出n 的取值范围.图1图1 图2 备用图石景山区2016-2017学年度第一学期初三期末数学试卷答案及评分参考阅卷须知：1．为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考生将主要过程正确写出即可．2．若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分. 3．评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数．一、选择题（本题共30分，每小题3分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BDBCACCADB二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．1y x =-（答案不唯一，满足ky x=且0k ＜即可）． 12．0.95；1.9（第1空2分；第2空1分）．13．20°． 14．1． 15．4． 16．(1,1)；4；2n （每空1分）．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分；第27题7分；第28题7分；第29题8分） 17．解：原式114=+-⨯…………………………………………… 4分 = …………………………………………… 5分18．解：∵AED B ∠=∠，A A ∠=∠，∴△ADE ∽△ACB ． ………………… 2分∴AE AD AB AC =． ………………… 3分 ∴323+1AB =． ………………… 4分 ∴6AB =． ………………… 5分19．解：连接OC ，如图． …………………… 1分 设⊙O 的半径为x ．∵直径AB ⊥弦CD ，∴142CE CD ==． …………………… 2分在Rt △OEC 中，由勾股定理可得-x +3222224x x =-+（）． …………………… 4分解得 5x =．∴⊙O 的半径为5. …………………… 5分20．（1）解法一：由题意，设二次函数的表达式为2(1)2y a x =++. ………… 1分 ∵二次函数经过点(1,0)，∴42=0a +.∴12a =-. ………………… 2分 ∴二次函数的表达式为21(1)22y x =-++. ………………… 3分即21322y x x =--+.解法二：由题意，设二次函数的表达式为(3)(1)y a x x =+-. ………… 1分 ∵二次函数经过点(1,2)-，∴42a -=.∴12a =-. ………………… 2分 ∴二次函数的表达式为1(3)(1)2yx x =-+-. ………………… 3分即21322y x x =--+.（2）如右图. …………… 4分（3）31x -<<. …………… 5分21．解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，如图. …………………………………… 1分∵在Rt △CDA 中，30A ∠=︒，∴sin 30CD AC =⨯︒=cos309AD AC =⨯︒=. …………………………………… 2分∵在Rt △CDB 中，4cos 5DB B CB ==， ∴设4DB x =，5CB x =.∴3CD x =. …………… 3分 ∴x =∴4DB x == …………………………………… 4分 ∴9AB =+ …………………………………… 5分22．解：（1）∵点(1,)C m 在直线22y x =+上，∴4m =. …………………………………… 1分又∵点(1,4)C 在双曲线ky x=上， ∴4k =.∴双曲线的表达式为4y x=. …………………………………… 2分 （2）点D 的坐标是(2,2). …………………………………… 3分点P 的坐标为(1,0)或(3,0)-. …………………………………… 5分23．解法一：根据题意，得 1.5CF BE AD ===，40AB DE ==.设MC 为x m .在Rt △MCB 中，tan1=MCBC∠， ∴=tan 603x BC x =︒.……… 1分同理可得AC =.……… 2分=403x +. ………………… 3分解得34.64x =≈. ………………… 4分∴34.64 1.536.1436.1m MF MC CF =+≈+=≈（）. …………… 5分 答：古塔的高约为36.1米.解法二：根据题意，得 1.5CF BE AD ===，40AB DE ==. ∵123∠=∠+∠，160∠=︒，2∠=∴3=2=30∠∠︒. ………… 2∴==40MB AB . ………… 3在Rt △MCB 中，sin 1=MCMB ∠，∴40sin 6034.64MC =⨯︒=≈. ………… 4分∴34.64 1.536.1436.1m MF MC CF =+≈+=≈（）. …………… 5分答：古塔的高约为36.1米.24．解：(30)y w x =- …………………………………………… 1分(3150)(30)x x =-+-232404500x x =-+- …………………………………………… 2分 23(40)300x =--+ …………………………………………… 4分∵30≤x ≤50，且30a =-＜，∴当=40x 时，=300y 最大值. …………………………………………… 5分答：当该商品销售单价定为每件40元时，每天的利润最大，最大利润为300元.25．（1）证明：连接OD ，如图1.∵OD 是⊙O 半径，DE 为⊙O 的切线， ∴OD ⊥DE . ∵DE ⊥AC ，∴OD ∥AC . ………………… 1∴1C ∠=∠. ∵OD OB =， ∴1B ∠=∠. ∴C B ∠=∠.∴AB AC =. …………………… 2分（2） 解法一：连接AD ，如图2. ∵5AB =，1AE =， ∴52OD =，5AC AB ==，4EC =. ∵AB 是⊙O 的直径, ∴AD ⊥BC . 又∵DE ⊥AC ,∴△CDE ∽△DAE . ∴2DE CE AE =⋅.∴2DE =. 在Rt △EDO 中，4tan 25DE OD ∠==. ∵OD ∥AC ， ∴2AEO ∠=∠. ∴4tan 5AEO ∠=. …………………………………………… 5分 解法二：过点O 作OF ⊥CA ，交CA 的延长线于点F ，如图3. ∴四边形ODEF 是矩形.∴1522EF OD AB ===. ∴32AF EF AE =-=.图1图2n在Rt △AFO 中，由勾股定理得2OF =. …………………… 4分 在Rt △EFO 中，4tan 5OF AEO EF ∠==.…………………… 5分26．（1）0x ≠. ……………… 1分 （2）1m =-. ……………… 2（3）此函数的图象如右图所示. ……………… 4（4）此函数的性质：① 当0x ＜时，y 随x 的增大而增大； 当0x ＞时，y 随x 的增大而增大. ② 关于原点成中心对称. ③ 函数的图象与y 轴无交点. ……（写出一条即可） …………… 527．解：（1）∵抛物线C ：2(3)y x m x =+-经过点(10)A -，，∴1(3)0m --=. ………………… 1分 ∴2m =.∴抛物线C 的表达式为2y x x =+. ………………… 2分（2）抛物线C ：2y x x =+的顶点为11(,)24P --，如图1. ………… 3分点11(,)24P --关于直线1=y 的对称点为P '19(,)24-.∴抛物线1C 的顶点坐标为19(,)24-. ………………… 4分（3）解法一：∵正方形的边长为2，抛物线的对称轴为12x =-， ∴正方形的顶点B 的坐标为13(,)24，如图2. ………………… 6分 ∴3=14n -.E ME∴74n=. ………………… 7分解法二：∵正方形的边长为2，抛物线的对称轴为12x=-，∴设正方形的顶点B的坐标为1(,1)2n-，如图2. ………………… 6分∵点B1(,1)2n-在抛物线2y x x=+上，∴74n=. ………………… 7分28．（1）FN EM=.…………… 1分（2）补全图形，如图1所示. …………… 2分结论成立.证明：连接ED，EF，DF，如图2.∵△ABC是等边三角形，∴AB BC AC a===.∵D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，∴12DF DE EF a===.∴60FDE∠=︒.又∵△DMN是等边三角形，∴DN DM=，60MDN∠=︒∴FDN EDM∠=∠.∴△DFN≌△DEM. ……………………………… 4分∴FN EM=.……………………………… 5分（3）CM的长为1或2. ……………………………… 7分29.（1）①(60)A'，，(B'. ……………………………… 2分②解法一：过点P'作P E'⊥x轴于点E，如图1.∵12P OAS OA P E''=⨯=△∴P E'=. (3)∵点P'在正比例函数y=位于第一象限内的图象上，∴'Py∴'=2Px.∴4OP'=，'60P OE∠=︒. (4)图1图2∵点P关于⊙O的反演点是P'点，∴26OP OP'⋅=.∴9OP=. ……………………………… 5分过点P作PF⊥x轴于点F.∴92OF=，PF=.∴点P的坐标为922P（，）. ……………………………… 6分解法二：过点A作AH⊥PP'于点H，如图2.∵点P'在正比例函数y=位于第一象限内的图象上，∴设点P的坐标为t（，其中0t＞.∴tan POAt∠==∴60POA∠=︒ . ……………………………… 4分在Rt△OHA中，sinAH OA AOH=⨯∠=∵12P OAS OP AH''=⨯=△∴4OP'=.∵点P关于⊙O的反演点是P'点，∴26OP OP'⋅=.∴9OP=. ………… 5分过点P作PF⊥x轴于点F.在Rt△OFP中，222t+=9.解得192t=，292t-=（舍去）.∴点P的坐标为92P(. ……………………………… 6分（2）1-≤n≤54. ……………………………… 8分。
北京市石景山区2017-2018学年九年级上期末数学试卷含答案解析
2017-2018学年北京市石景山区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．如果3x=4y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（）A．B．C．D．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，，AC=2，则tanA的值为（）A．B．2C．D．3．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠ACD=25°，则∠BOD的度数为（）A．100°B．120°C．130°D．150°4．如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC．若⊙O的半径为4，则弦AB的长为（）A．B．C．D．5．如果在二次函数的表达式y=ax2+bx+c中，a＞0，b＜0，c＜0，那么这个二次函数的图象可能是（）A．B．C．D．6．若二次函数y=x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点，则m的取值范围是（）A．m＞1B．m＜1C．m＞1且m≠0D．m＜1且m≠07．如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到新函数图象，其中原函数图象上的两点A（1，m）、B（4，n）平移后对应新函数图象上的点分别为点A′、B′．若阴影部分的面积为6，则新函数的表达式为（）A．B．C．D．8．如图，点M为▱ABCD的边AB上一动点，过点M作直线l垂直于AB，且直线l与▱ABCD的另一边交于点N．当点M从A→B匀速运动时，设点M的运动时间为t，△AMN的面积为S，能大致反映S与t函数关系的图象是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么这两个相似三角形的面积比为．10．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上．若∠ADE=∠C，AB=6，AC=4，AD=2，则EC=．11．如图，扇形的圆心角∠AOB=60°，半径为3cm．若点C、D是的三等分点，则图中所有阴影部分的面积之和是cm2．12．“平改坡”是指在建筑结构许可条件下，将多层住宅的平屋顶改建成坡屋顶，并对外立面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为．如图是某小区对楼顶进行“平改坡”改造的示意图．根据图中的数据，如果要使坡面BC的坡度达到1：1.2，那么立柱AC的长为米．13．如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象相交于点A和点B．当y1＞y2＞0时，x的取值范围是．14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB 的中点D，则AC的长等于．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到△DEF，写出一种由△ABC得到△DEF的过程：．16．石景山区八角北路有一块三角形空地（如图1）准备绿化，拟从点A出发，将△ABC分成面积相等的三个三角形，栽种三种不同的花草．下面是小美的设计（如图2）．作法：（1）作射线BM；（2）在射线BM上顺次截取BB1=B1B2=B2B3；（3）连接B3C，分别过B1、B2作B1C1∥B2C2∥B3C，交BC于点C1、C2；（4）连接AC1、AC2．则．请回答，成立的理由是：①；②．三、解答题（本题共68分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17．（5分）计算：3tan30°﹣cos245°+﹣2sin60°．18．（5分）用配方法求二次函数y=x2﹣10x+3的顶点坐标．19．（5分）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．若a=2，sin，求b和c．20．（5分）小红和小丁玩纸牌游戏：如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，小红先从中抽出一张，小丁从剩余的3张牌中也抽出一张．比较两人抽出的牌面上的数字，数字大者获胜．（1）请用树状图或列表法表示出两人抽牌可能出现的所有结果；（2）这个游戏公平吗？请说明理由．21．（5分）如图，小明想测量山的高度．他在点B处仰望山顶A，测得仰角∠ABN=30°，再向山的方向（水平方向）行进100m至索道口点C处，在点C处仰望山顶A，测得仰角∠ACN=45°．求这座山的高度．（结果精确到0.1m，小明的身高忽略不计）（参考数据：≈1.41，≈1.73）22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+b的图象与x轴交于点A（2，0），与反比例函数y=的图象交于点B（3，n）．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）若点P为x轴上的点，且△PAB的面积是2，则点P的坐标是．23．（5分）如图，四边形ABCD是平行四边形，CE⊥AD于点E，DF⊥BA交BA的延长线于点F．（1）求证：△ADF∽△DCE；（2）当AF=2，AD=6，且点E恰为AD中点时，求AB的长．24．（5分）二次函数y=x2﹣2mx+5m的图象经过点（1，﹣2）．（1）求二次函数图象的对称轴；（2）当﹣4≤x≤1时，求y的取值范围．25．（6分）如图，AC是⊙O的直径，点D是⊙O 上一点，⊙O的切线CB与AD的延长线交于点B，点F是直径AC上一点，连接DF并延长交⊙O于点E，连接AE．（1）求证：∠ABC=∠AED；（2）连接BF，若AD=，AF=6，tan∠AED=，求BF的长．26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A（﹣1，0）和B（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线与x轴的正半轴交于点C，连接BC．设抛物线的顶点P关于直线y=t的对称点为点Q，若点Q落在△OBC的内部，求t的取值范围．27．（7分）在正方形ABCD中，点P在射线AC上，作点P关于直线CD的对称点Q，作射线BQ交射线DC于点E，连接BP．（1）当点P在线段AC上时，如图1．①依题意补全图1；②若EQ=BP，则∠PBE的度数为，并证明；（2）当点P在线段AC的延长线上时，如图2．若EQ=BP，正方形ABCD的边长为1，请写出求BE长的思路．（可以不写出计算结果）28．（8分）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若PQ为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与x轴平行，则称该等腰三角形为点P，Q的“相关等腰三角形”．下图为点P，Q的“相关等腰三角形”的示意图．（1）已知点A的坐标为（0，1），点B的坐标为，则点A，B的“相关等腰三角形”的顶角为°；（2）若点C的坐标为，点D在直线y=4上，且C，D的“相关等腰三角形”为等边三角形，求直线CD的表达式；（3）⊙O的半径为，点N在双曲线y=﹣上．若在⊙O上存在一点M，使得点M、N的“相关等腰三角形”为直角三角形，直接写出点N的横坐标x N的取值范围．2017-2018学年北京市石景山区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．如果3x=4y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据比例的性质，可得答案．【解答】解：A、由比例的性质，得4x=3y与3x=4y不一致，故A不符合题意；B、由比例的性质，得xy=12与3x=4y不一致，故B不符合题意；C、由比例的性质，得4x=3y与3x=4y不一致，故C不符合题意；D、由比例的性质，得3x=4y与3x=4y一致，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了比例的性质，利用比例的性质是解题关键．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，，AC=2，则tanA的值为（）A．B．2C．D．【分析】本题需先根据已知条件，得出BC的长，再根据正切公式即可求出答案．【解答】解：∵∠C=90°，AB=，AC=2，∴BC=1，∴tanA==．故选：A．【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义，在解题时要根据在直角三角形中，正切等于对边比邻边这个公式计算是本题的关键．3．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠ACD=25°，则∠BOD的度数为（）A．100°B．120°C．130°D．150°【分析】根据圆周角定理求出∠AOD即可解决问题．【解答】解：∵∠AOD=2∠ACD，∠ACD=25°，∴∠AOD=50°，∴∠BOD=180°﹣∠AOD=180°﹣50°=130°，故选：C．【点评】本题考查圆周角定理，邻补角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4．如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC．若⊙O的半径为4，则弦AB的长为（）A．B．C．D．【分析】连接OA，由AB垂直平分OC，求出OD的长，再利用垂径定理得到D为AB的中点，在直角三角形AOD中，利用垂径定理求出AD的长，即可确定出AB的长．【解答】解：连接OA，由AB垂直平分OC，得到OD=OC=2，∵OC⊥AB，∴D为AB的中点，则AB=2AD=2=2=4．故选：B．【点评】此题考查了垂径定理，以及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解本题的关键．5．如果在二次函数的表达式y=ax2+bx+c中，a＞0，b＜0，c＜0，那么这个二次函数的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】由a＞0，b＜0，c＜0，推出﹣＞0，可知抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交y轴于负半轴，由此即可判断．【解答】解：∵a＞0，b＜0，c＜0，∴﹣＞0，∴抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交y轴于负半轴，故选：C．【点评】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6．若二次函数y=x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点，则m的取值范围是（）A．m＞1B．m＜1C．m＞1且m≠0D．m＜1且m≠0【分析】由抛物线与坐标轴有三个交点可得出：方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根，且m ≠0，利用根的判别式△＞0可求出m的取值范围，此题得解．【解答】解：∵二次函数y=x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点，∴方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根，且m≠0，∴△=22﹣4m＞0，∴m＜1．∴m＜1且m≠0．故选：D．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点以及根的判别式，利用根的判别式△＞0找出关于m 的一元一次不等式是解题的关键．7．如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到新函数图象，其中原函数图象上的两点A（1，m）、B（4，n）平移后对应新函数图象上的点分别为点A′、B′．若阴影部分的面积为6，则新函数的表达式为（）A．B．C．D．【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征求出A、B两点的坐标，再过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1），AC=4﹣1=3，根据平移的性质以及曲线段AB扫过的面积为6（图中的阴影部分），得出AA′=2，然后根据平移规律即可求解．【解答】解：∵函数y=（x﹣2）2+1的图象过点A（1，m），B（4，n），∴m=（1﹣2）2+1=1，n=（4﹣2）2+1=2，∴A（1，1），B（4，2），过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1），∴AC=4﹣1=3，∵曲线段AB扫过的面积为6（图中的阴影部分），∴AC•AA′=3AA′=6，∴AA′=2，即将函数y=（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移2个单位长度得到一条新函数的图象，∴新图象的函数表达式是y=（x﹣2）2+3．故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识，根据已知得出AA′是解题关键．8．如图，点M为▱ABCD的边AB上一动点，过点M作直线l垂直于AB，且直线l与▱ABCD的另一边交于点N．当点M从A→B匀速运动时，设点M的运动时间为t，△AMN的面积为S，能大致反映S与t函数关系的图象是（）A．B．C．D．【分析】当点N在AD上时，可得前半段函数图象为开口向上的抛物线的一部分；当点N在DC上时，MN长度不变，可得后半段函数图象为一条线段．【解答】解：设∠A=α，点M运动的速度为a，则AM=at，当点N在AD上时，MN=tanα×AM=tanα•at，此时S=×at×tanα•at=tanα×a2t2，∴前半段函数图象为开口向上的抛物线的一部分，当点N在DC上时，MN长度不变，此时S=×at×MN=a×MN×t，∴后半段函数图象为一条线段，故选：C．【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么这两个相似三角形的面积比为4：9．【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．【解答】解：因为两个相似三角形的周长比为2：3，所以这两个相似三角形的相似比为2：3，所以这两个相似三角形的面积比为4：9；故答案为：4：9．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．10．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上．若∠ADE=∠C，AB=6，AC=4，AD=2，则EC=1．【分析】只要证明△ADE∽△ACB，推出=，求出AE即可解决问题；【解答】解；∵∠A=∠A，∠ADE=∠C，∴△ADE∽△ACB，∴=，∴=，∴AE=3，∴EC=AC﹣AE=4﹣3=1，故答案为1．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．11．如图，扇形的圆心角∠AOB=60°，半径为3cm．若点C、D是的三等分点，则图中所有阴影部分的面积之和是cm2．【分析】由题意可知C、D是弧AB的三等分点，通过平移可把阴影部分都集中到一个小扇形中，可发现阴影部分正好是扇形AOB的，先求出扇形AOB的面积再求阴影部分的面积或者直接求圆心角是20度，半径是3的扇形的面积皆可．=，【解答】解：S扇形OABS阴影=S扇形OAB=×π=π．故答案为：【点评】此题考查扇形的面积问题，通过平移的知识把小块的阴影部分集中成一个规则的图形﹣﹣扇形，再求算扇形的面积即可．利用平移或割补把不规则图形变成规则图形求面积是常用的方法．12．“平改坡”是指在建筑结构许可条件下，将多层住宅的平屋顶改建成坡屋顶，并对外立面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为．如图是某小区对楼顶进行“平改坡”改造的示意图．根据图中的数据，如果要使坡面BC的坡度达到1：1.2，那么立柱AC的长为 2.5米．【分析】由坡度的概念得出=，根据AB=3可得AC的长度．【解答】解：根据题意知=，∵AB=3，∴=，解得：AC=2.5，故答案为：2.5．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是熟练掌握坡度的定义．13．如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象相交于点A和点B．当y1＞y2＞0时，x的取值范围是﹣2＜x＜﹣0.5．【分析】根据一次函数与反比例函数交点纵坐标，结合图象确定出所求x的范围即可．【解答】解：根据图象得：当y1＞y2＞0时，x的取值范围是﹣2＜x＜﹣0.5，故答案为：﹣2＜x＜﹣0.5【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，弄清数形结合思想是解本题的关键．14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等于5．【分析】连接CD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB=2CD，求出圆的半径的长，再利用勾股定理列式进行计算即可得解．【解答】解：如图，∵∠C=90°，点D为AB的中点，∴AB=2CD=10，∴CD=5，∴BC=CD=5，在Rt△ABC中，AC===5．故答案为：5．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，求出圆的半径的长是解题的关键．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到△DEF，写出一种由△ABC得到△DEF的过程：向右平移4个单位，沿对称轴BC翻折，再绕点C逆时针旋转90°．【分析】根据对应点C与点F的位置，结合两三角形在网格结构中的位置解答．【解答】解：△ABC向右平移4个单位，沿对称轴BC翻折，再绕点C逆时针旋转90°即可得到△DEF，所以，过程为：向右平移4个单位，沿对称轴BC翻折，再绕点C逆时针旋转90°．故答案为：向右平移4个单位，沿对称轴BC翻折，再绕点C逆时针旋转90°．【点评】本题考查了几何变换的类型，平移、旋转，准确识图是解题的关键．16．石景山区八角北路有一块三角形空地（如图1）准备绿化，拟从点A出发，将△ABC分成面积相等的三个三角形，栽种三种不同的花草．下面是小美的设计（如图2）．作法：（1）作射线BM；（2）在射线BM上顺次截取BB1=B1B2=B2B3；（3）连接B3C，分别过B1、B2作B1C1∥B2C2∥B3C，交BC于点C1、C2；（4）连接AC1、AC2．则．请回答，成立的理由是：①平行线分线段成比例定理；②等底共高．【分析】根据平行线分线段成比例定理和等底共高求解可得．【解答】解：由BB1=B1B2=B2B3且B1C1∥B2C2∥B3C，依据平行线分线段成比例定理知BC1=C1C2=C2C，再由△ABC1，△AC1C2与△AC2C等底共高知，故答案为：①平行线分线段成比例定理；②等底共高．【点评】本题主要考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理和等底共高的两三角形面积关系．三、解答题（本题共68分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17．（5分）计算：3tan30°﹣cos245°+﹣2sin60°．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：原式=3×﹣（）2+﹣2×=﹣+2﹣=．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．18．（5分）用配方法求二次函数y=x2﹣10x+3的顶点坐标．【分析】把解析式化为顶点式即可．【解答】解：∵y=x2﹣10x+3=（x﹣5）2﹣22，∴二次函数的顶点坐标为（5，﹣22）．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x﹣h）2+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．19．（5分）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．若a=2，sin，求b和c．【分析】先根据sinA=知c==6，再根据勾股定理求解可得．【解答】解：如图，∵a=2，sin，∴c===6，则b===4．【点评】本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握正弦函数的定义及勾股定理．20．（5分）小红和小丁玩纸牌游戏：如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，小红先从中抽出一张，小丁从剩余的3张牌中也抽出一张．比较两人抽出的牌面上的数字，数字大者获胜．（1）请用树状图或列表法表示出两人抽牌可能出现的所有结果；（2）这个游戏公平吗？请说明理由．【分析】（1）根据题意画出树状图，即可解决问题；（2）根据树状图，利用概率公式即可求得小红获胜的概率，由概率相等，即可判定这个游戏公平；【解答】解：（1）树状图如右：则小红获胜的概率：=，小丁获胜的概率：=，所以这个游戏比较公平．【点评】本题考查的是用列表法与树状图法求事件的概率，解题的关键是学会正确画出树状图，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．．21．（5分）如图，小明想测量山的高度．他在点B处仰望山顶A，测得仰角∠ABN=30°，再向山的方向（水平方向）行进100m至索道口点C处，在点C处仰望山顶A，测得仰角∠ACN=45°．求这座山的高度．（结果精确到0.1m，小明的身高忽略不计）（参考数据：≈1.41，≈1.73）【分析】作AH⊥BN于H，设AH=xm，根据正切的概念表示出CH、BH，根据题意列出方程，解方程即可．【解答】解：如图，作AH⊥BN于H，设AH=xm，∵∠ACN=45°，∴CH=AH=xm，∵tanB=，∴BH=x，则BH﹣CH=BC，即x﹣x=100，解得x=50（+1）．答：这座山的高度为50（+1）m；【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确作出辅助线、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+b的图象与x轴交于点A（2，0），与反比例函数y=的图象交于点B（3，n）．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）若点P为x轴上的点，且△PAB的面积是2，则点P的坐标是（﹣2，0）或（6，0）．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）利用三角形的面积公式求出PA的长即可解决问题；【解答】解：（1）∵一次函数y=x+b的图象与x轴交于点A（2，0），∴2+b=0，∴b=﹣2，∴y=x﹣2，当x=3时，y=1，∴B（3，1），代入y=中，得到k=3，∴反比例函数的解析式为y=．（2）∵△PAB的面积是2，∴•PA•1=2，∴PA=4，∴P（﹣2，0）或（6，0）．【点评】本题考查一次函数的性质、反比例函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23．（5分）如图，四边形ABCD是平行四边形，CE⊥AD于点E，DF⊥BA交BA的延长线于点F．（1）求证：△ADF∽△DCE；（2）当AF=2，AD=6，且点E恰为AD中点时，求AB的长．【分析】（1）由平行四边形的性质知CD∥AB，即∠DAF=∠CDE，再由CE⊥AD、DF⊥BA知∠AFD=∠DEC=90°，据此可得；（2）根据△ADF∽△DCE知=，据此求得DC=9，再根据平行四边形的性质可得答案．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠DAF=∠CDE，又∵CE⊥AD、DF⊥BA，∴∠AFD=∠DEC=90°，∴△ADF∽△DCE；（2）∵AD=6、且E为AD的中点，∴DE=3，∵△ADF∽△DCE，∴=，即=，解得：DC=9，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=9．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质及平行四边形的性质．24．（5分）二次函数y=x2﹣2mx+5m的图象经过点（1，﹣2）．（1）求二次函数图象的对称轴；（2）当﹣4≤x≤1时，求y的取值范围．【分析】（1）根据抛物线的对称性和待定系数法求解即可；（2）根据二次函数的性质可得．【解答】解：（1）把点（1，﹣2）代入y=x2﹣2mx+5m中，可得：1﹣2m+5m=﹣2，解得：m=﹣1，所以二次函数y=x2﹣2mx+5m的对称轴是x=﹣，（2）∵y=x2+2x﹣5=（x+1）2﹣6，∴当x=﹣1时，y取得最小值﹣6，由表可知当x=﹣4时y=3，当x=﹣1时y=﹣6，∴当﹣4≤x≤1时，﹣6≤y≤3．【点评】本题考查了二次函数图象与性质及待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．25．（6分）如图，AC是⊙O的直径，点D是⊙O 上一点，⊙O的切线CB与AD的延长线交于点B，点F是直径AC上一点，连接DF并延长交⊙O于点E，连接AE．（1）求证：∠ABC=∠AED；（2）连接BF，若AD=，AF=6，tan∠AED=，求BF的长．【分析】（1）直接利用圆周角定理以及切线的性质定理得出∠ACD=∠ABC，进而得出答案；（2）首先得出DC的长，即可得出FC的长，再利用已知得出BC的长，结合勾股定理求出答案．【解答】（1）证明：连接DC，∵AC是⊙O的直径，∴∠BDC=90°，∴∠ABC+∠BCD=90°，∵⊙O的切线CB与AD的延长线交于点B，∴∠BCA=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∴∠ACD=∠ABC，∴∠ABC=∠AED；（2）解：连接BF，∵在Rt△ADC中，AD=，tan∠AED=，∴tan∠ACD==，∴DC=AD=，∴AC==8，∵AF=6，∴CF=AC﹣AF=8﹣6=2，∵∠ABC=∠AED，∴tan∠ABC==，∴=，解得：BD=，故BC=6，则BF==2．【点评】此题主要考查了切线的性质与判定以及勾股定理等知识，正确得出∠ACD=∠ABC是解题关键．26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A（﹣1，0）和B（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线与x轴的正半轴交于点C，连接BC．设抛物线的顶点P关于直线y=t的对称点为点Q，若点Q落在△OBC的内部，求t的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）分别求出点Q落在直线BC和x轴上时的t的值即可判断；【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A（﹣1，0）和B（0，3），∴，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）如图，易知抛物线的顶点坐标为（1，4）．观察图象可知当点P关于直线y=t的对称点为点Q中直线BC上时，t=3，当点P关于直线y=t的对称点为点Q在x轴上时，t=2，∴满足条件的t的值为2＜t＜3．【点评】本题考查二次函数的性质、待定系数法、轴对称等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会寻找特殊点解决问题，属于中考常考题型．27．（7分）在正方形ABCD中，点P在射线AC上，作点P关于直线CD的对称点Q，作射线BQ交射线DC于点E，连接BP．（1）当点P在线段AC上时，如图1．①依题意补全图1；②若EQ=BP，则∠PBE的度数为45°，并证明；（2）当点P在线段AC的延长线上时，如图2．若EQ=BP，正方形ABCD的边长为1，请写出求BE长的思路．（可以不写出计算结果）【分析】（1）①作点P关于直线CD的对称点Q，作射线BQ交射线DC于点E，连接BP；②依据题意得到DP=EP，再根据四边形内角和求得∠BPE=90°，根据BP=EP，即可得到∠PBE=45°；（2）连接PD，PE，依据△CPD≌△CPB，可得DP=BP，∠1=∠2，根据DP=EP，可得∠3=∠1，进而得到∠PEB=45°，∠3=∠4=22.5°，△BCE中，已知∠4=22.5°，BC=1，可求BE长．【解答】解：（1）①作图如下：②如图，连接PD，PE，易证△CPD≌△CPB，∴DP=BP，∠CDP=∠CBP，∵P、Q关于直线CD对称，∴EQ=EP，∵EQ=BP，∴DP=EP，∴∠CDP=∠DEP，∵∠CEP+∠DEP=180°，∴∠CEP+∠CBP=180°，∵∠BCD=90°，∴∠BPE=90°，∵BP=EP，∴∠PBE=45°，故答案为：45°；（2）思路：如图，连接PD，PE，易证△CPD≌△CPB，∴DP=BP，∠1=∠2，∵P、Q关于直线CD对称，∴EQ=EP，∠3=∠4，∵EQ=BP，∴DP=EP，∴∠3=∠1，∴∠3=∠2，∴∠5=∠BCE=90°，∵BP=EP，∴∠PEB=45°，∴∠3=∠4=22.5°，在△BCE中，已知∠4=22.5°，BC=1，可求BE长．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质等知识的综合运用，解决本题的关键是熟记全等三角形的性质定理和判定定理．28．（8分）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若PQ为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与x轴平行，则称该等腰三角形为点P，Q的“相关等腰三角形”．下图为点P，Q的“相关等腰三角形”的示意图．（1）已知点A的坐标为（0，1），点B的坐标为，则点A，B的“相关等腰三角形”的顶角为120°；（2）若点C的坐标为，点D在直线y=4上，且C，D的“相关等腰三角形”为等边三角形，求直线CD的表达式；（3）⊙O的半径为，点N在双曲线y=﹣上．若在⊙O上存在一点M，使得点M、N的“相关等腰三角形”为直角三角形，直接写出点N的横坐标x N的取值范围．【分析】（1）画出图形求出∠BAO的度数即可解决问题；（2）利用等边三角形的性质求出点D坐标即可解决问题；（3）因为点M、N的“相关等腰三角形”为直角三角形，推出直线MN与x轴的夹角为45°，可以假设直线MN的解析式为y=﹣x+b，当直线与⊙O相切于点M时，求出直线MN的解析式，利用方程组求出点N的坐标，观察图象即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，∵A的坐标为（0，1），点B的坐标为，∴点A，B的“相关等腰三角形”△ABC的当C（，0）或（﹣2，1），∵tan∠BAO==，∴∠BAO=∠CAO=60°，∴∠BAC=∠ABC′=120°，故答案为120．（2）如图2中，设直线y=4交y轴于F（0，4），∵C（0，），∴CF=3，∵且C，D的“相关等腰三角形”为等边三角形，∴∠CDF=∠CD′F=60°，∴DF=FD′=3•tan30°=3，∴D（3，4），D′（﹣3，4），∴直线CD的解析式为y=x+，或y=﹣x+．（3）如图3中，∵点M、N的“相关等腰三角形”为直角三角形，∴直线MN与x轴的夹角为45°，可以假设直线MN的解析式为y=﹣x+b，当直线与⊙O相切于点M时，易知b=±2，∴直线MN的解析式为y=﹣x+2或y=﹣x﹣2，由，解得或，∴N（﹣1，3），N′（3，1），由解得或，∴N1（﹣3，1），N2（1，﹣3），观察图象可知满足条件的点N的横坐标的取值范围为：﹣3≤x N≤﹣1或1≤x N≤3．【点评】本题考查反比例函数综合题、一次函数的应用、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、“相关等腰三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．。
北京市石景山区九年级上期末数学试卷(word版,有答案)【2020新审】
2017-2018学年北京市石景山区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．如果3x=4y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（）A．B．C．D．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，，AC=2，则tanA的值为（）A．B．2C．D．3．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠ACD=25°，则∠BOD的度数为（）A．100°B．120°C．130°D．150°4．如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC．若⊙O的半径为4，则弦AB的长为（）A．B．C．D．5．如果在二次函数的表达式y=ax2+bx+c中，a＞0，b＜0，c＜0，那么这个二次函数的图象可能是（）A．B．C．D．6．若二次函数y=x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点，则m的取值范围是（）A．m＞1B．m＜1C．m＞1且m≠0D．m＜1且m≠07．如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到新函数图象，其中原函数图象上的两点A（1，m）、B（4，n）平移后对应新函数图象上的点分别为点A′、B′．若阴影部分的面积为6，则新函数的表达式为（）A．B．C．D．8．如图，点M为▱ABCD的边AB上一动点，过点M作直线l垂直于AB，且直线l与▱ABCD 的另一边交于点N．当点M从A→B匀速运动时，设点M的运动时间为t，△AMN 的面积为S，能大致反映S与t函数关系的图象是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么这两个相似三角形的面积比为．10．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上．若∠ADE=∠C，AB=6，AC=4，AD=2，则EC=．11．如图，扇形的圆心角∠AOB=60°，半径为3cm．若点C、D是的三等分点，则图中所有阴影部分的面积之和是cm2．12．“平改坡”是指在建筑结构许可条件下，将多层住宅的平屋顶改建成坡屋顶，并对外立面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为．如图是某小区对楼顶进行“平改坡”改造的示意图．根据图中的数据，如果要使坡面BC 的坡度达到1：1.2，那么立柱AC的长为米．13．如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象相交于点A和点B．当y1＞y2＞0时，x的取值范围是．14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等于．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到△DEF，写出一种由△ABC得到△DEF的过程：．16．石景山区八角北路有一块三角形空地（如图1）准备绿化，拟从点A出发，将△ABC分成面积相等的三个三角形，栽种三种不同的花草．下面是小美的设计（如图2）．作法：（1）作射线BM；（2）在射线BM上顺次截取BB1=B1B2=B2B3；（3）连接B3C，分别过B1、B2作B1C1∥B2C2∥B3C，交BC于点C1、C2；（4）连接AC1、AC2．则．请回答，成立的理由是：①；②．三、解答题（本题共68分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17．（5分）计算：3tan30°﹣cos245°+﹣2sin60°．18．（5分）用配方法求二次函数y=x2﹣10x+3的顶点坐标．19．（5分）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．若a=2，sin，求b和c．20．（5分）小红和小丁玩纸牌游戏：如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，小红先从中抽出一张，小丁从剩余的3张牌中也抽出一张．比较两人抽出的牌面上的数字，数字大者获胜．（1）请用树状图或列表法表示出两人抽牌可能出现的所有结果；（2）这个游戏公平吗？请说明理由．21．（5分）如图，小明想测量山的高度．他在点B处仰望山顶A，测得仰角∠ABN=30°，再向山的方向（水平方向）行进100m至索道口点C处，在点C处仰望山顶A，测得仰角∠ACN=45°．求这座山的高度．（结果精确到0.1m，小明的身高忽略不计）（参考数据：≈1.41，≈1.73）22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+b的图象与x轴交于点A（2，0），与反比例函数y=的图象交于点B（3，n）．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）若点P为x轴上的点，且△PAB的面积是2，则点P的坐标是．23．（5分）如图，四边形ABCD是平行四边形，CE⊥AD于点E，DF⊥BA交BA的延长线于点F．（1）求证：△ADF∽△DCE；（2）当AF=2，AD=6，且点E恰为AD中点时，求AB的长．24．（5分）二次函数y=x2﹣2mx+5m的图象经过点（1，﹣2）．（1）求二次函数图象的对称轴；（2）当﹣4≤x≤1时，求y的取值范围．25．（6分）如图，AC是⊙O的直径，点D是⊙O 上一点，⊙O的切线CB与AD的延长线交于点B，点F是直径AC上一点，连接DF并延长交⊙O于点E，连接AE．（1）求证：∠ABC=∠AED；（2）连接BF，若AD=，AF=6，tan∠AED=，求BF的长．26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A（﹣1，0）和B （0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线与x轴的正半轴交于点C，连接BC．设抛物线的顶点P关于直线y=t的对称点为点Q，若点Q落在△OBC的内部，求t的取值范围．27．（7分）在正方形ABCD中，点P在射线AC上，作点P关于直线CD的对称点Q，作射线BQ交射线DC于点E，连接BP．（1）当点P在线段AC上时，如图1．①依题意补全图1；②若EQ=BP，则∠PBE的度数为，并证明；（2）当点P在线段AC的延长线上时，如图2．若EQ=BP，正方形ABCD的边长为1，请写出求BE长的思路．（可以不写出计算结果）28．（8分）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若PQ为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与x 轴平行，则称该等腰三角形为点P，Q的“相关等腰三角形”．下图为点P，Q的“相关等腰三角形”的示意图．（1）已知点A的坐标为（0，1），点B的坐标为，则点A，B的“相关等腰三角形”的顶角为°；（2）若点C的坐标为，点D在直线y=4上，且C，D的“相关等腰三角形”为等边三角形，求直线CD的表达式；（3）⊙O的半径为，点N在双曲线y=﹣上．若在⊙O上存在一点M，使得点M、N的“相关等腰三角形”为直角三角形，直接写出点N的横坐标x N的取值范围．2017-2018学年北京市石景山区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．如果3x=4y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据比例的性质，可得答案．【解答】解：A、由比例的性质，得4x=3y与3x=4y不一致，故A不符合题意；B、由比例的性质，得xy=12与3x=4y不一致，故B不符合题意；C、由比例的性质，得4x=3y与3x=4y不一致，故C不符合题意；D、由比例的性质，得3x=4y与3x=4y一致，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了比例的性质，利用比例的性质是解题关键．2．在Rt△ABC中，∠C=90°，，AC=2，则tanA的值为（）A．B．2C．D．【分析】本题需先根据已知条件，得出BC的长，再根据正切公式即可求出答案．【解答】解：∵∠C=90°，AB=，AC=2，∴BC=1，∴tanA==．故选：A．【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义，在解题时要根据在直角三角形中，正切等于对边比邻边这个公式计算是本题的关键．3．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠ACD=25°，则∠BOD的度数为（）A．100°B．120°C．130°D．150°【分析】根据圆周角定理求出∠AOD即可解决问题．【解答】解：∵∠AOD=2∠ACD，∠ACD=25°，∴∠AOD=50°，∴∠BOD=180°﹣∠AOD=180°﹣50°=130°，故选：C．【点评】本题考查圆周角定理，邻补角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4．如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC．若⊙O的半径为4，则弦AB的长为（）A．B．C．D．【分析】连接OA，由AB垂直平分OC，求出OD的长，再利用垂径定理得到D为AB 的中点，在直角三角形AOD中，利用垂径定理求出AD的长，即可确定出AB的长．【解答】解：连接OA，由AB垂直平分OC，得到OD=OC=2，∵OC⊥AB，∴D为AB的中点，则AB=2AD=2=2=4．故选：B．【点评】此题考查了垂径定理，以及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解本题的关键．5．如果在二次函数的表达式y=ax2+bx+c中，a＞0，b＜0，c＜0，那么这个二次函数的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】由a＞0，b＜0，c＜0，推出﹣＞0，可知抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交y轴于负半轴，由此即可判断．【解答】解：∵a＞0，b＜0，c＜0，∴﹣＞0，∴抛物线的图象开口向上，对称轴在y轴的右边，交y轴于负半轴，故选：C．【点评】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6．若二次函数y=x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点，则m的取值范围是（）A．m＞1B．m＜1C．m＞1且m≠0D．m＜1且m≠0【分析】由抛物线与坐标轴有三个交点可得出：方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根，且m≠0，利用根的判别式△＞0可求出m的取值范围，此题得解．【解答】解：∵二次函数y=x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点，∴方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根，且m≠0，∴△=22﹣4m＞0，∴m＜1．∴m＜1且m≠0．故选：D．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点以及根的判别式，利用根的判别式△＞0找出关于m的一元一次不等式是解题的关键．7．如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到新函数图象，其中原函数图象上的两点A（1，m）、B（4，n）平移后对应新函数图象上的点分别为点A′、B′．若阴影部分的面积为6，则新函数的表达式为（）A．B．C．D．【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征求出A、B两点的坐标，再过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1），AC=4﹣1=3，根据平移的性质以及曲线段AB扫过的面积为6（图中的阴影部分），得出AA′=2，然后根据平移规律即可求解．【解答】解：∵函数y=（x﹣2）2+1的图象过点A（1，m），B（4，n），∴m=（1﹣2）2+1=1，n=（4﹣2）2+1=2，∴A（1，1），B（4，2），过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1），∴AC=4﹣1=3，∵曲线段AB扫过的面积为6（图中的阴影部分），∴AC•AA′=3AA′=6，∴AA′=2，即将函数y=（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移2个单位长度得到一条新函数的图象，∴新图象的函数表达式是y=（x﹣2）2+3．故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法等知识，根据已知得出AA′是解题关键．8．如图，点M 为▱ABCD 的边AB 上一动点，过点M 作直线l 垂直于AB ，且直线l 与▱ABCD 的另一边交于点N ．当点M 从A→B 匀速运动时，设点M 的运动时间为t ，△AMN 的面积为S ，能大致反映S 与t 函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】当点N 在AD 上时，可得前半段函数图象为开口向上的抛物线的一部分；当点N 在DC 上时，MN 长度不变，可得后半段函数图象为一条线段．【解答】解：设∠A=α，点M 运动的速度为a ，则AM=at ，当点N 在AD 上时，MN=tanα×AM=tanα•at ，此时S=×at ×tanα•at=tanα×a 2t 2，∴前半段函数图象为开口向上的抛物线的一部分，当点N 在DC 上时，MN 长度不变，此时S=×at ×MN=a ×MN ×t ，∴后半段函数图象为一条线段，故选：C ．【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么这两个相似三角形的面积比为 4：9 ．【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．【解答】解：因为两个相似三角形的周长比为2：3，所以这两个相似三角形的相似比为2：3，所以这两个相似三角形的面积比为4：9；故答案为：4：9．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．10．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上．若∠ADE=∠C，AB=6，AC=4，AD=2，则EC=1．【分析】只要证明△ADE∽△ACB，推出=，求出AE即可解决问题；【解答】解；∵∠A=∠A，∠ADE=∠C，∴△ADE∽△ACB，∴=，∴=，∴AE=3，∴EC=AC﹣AE=4﹣3=1，故答案为1．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．11．如图，扇形的圆心角∠AOB=60°，半径为3cm．若点C、D是的三等分点，则图中所有阴影部分的面积之和是cm2．【分析】由题意可知C、D是弧AB的三等分点，通过平移可把阴影部分都集中到一个小扇形中，可发现阴影部分正好是扇形AOB的，先求出扇形AOB的面积再求阴影部分的面积或者直接求圆心角是20度，半径是3的扇形的面积皆可．=，【解答】解：S扇形OABS阴影=S扇形OAB=×π=π．故答案为：【点评】此题考查扇形的面积问题，通过平移的知识把小块的阴影部分集中成一个规则的图形﹣﹣扇形，再求算扇形的面积即可．利用平移或割补把不规则图形变成规则图形求面积是常用的方法．12．“平改坡”是指在建筑结构许可条件下，将多层住宅的平屋顶改建成坡屋顶，并对外立面进行整修粉饰，达到改善住宅性能和建筑物外观视觉效果的房屋修缮行为．如图是某小区对楼顶进行“平改坡”改造的示意图．根据图中的数据，如果要使坡面BC 的坡度达到1：1.2，那么立柱AC的长为 2.5米．【分析】由坡度的概念得出=，根据AB=3可得AC的长度．【解答】解：根据题意知=，∵AB=3，∴=，解得：AC=2.5，故答案为：2.5．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是熟练掌握坡度的定义．13．如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象相交于点A和点B．当y1＞y2＞0时，x的取值范围是﹣2＜x＜﹣0.5．【分析】根据一次函数与反比例函数交点纵坐标，结合图象确定出所求x的范围即可．【解答】解：根据图象得：当y1＞y2＞0时，x的取值范围是﹣2＜x＜﹣0.5，故答案为：﹣2＜x＜﹣0.5【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，弄清数形结合思想是解本题的关键．14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等于5．【分析】连接CD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB=2CD，求出圆的半径的长，再利用勾股定理列式进行计算即可得解．【解答】解：如图，∵∠C=90°，点D为AB的中点，∴AB=2CD=10，∴CD=5，∴BC=CD=5，在Rt△ABC中，AC===5．故答案为：5．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，求出圆的半径的长是解题的关键．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到△DEF，写出一种由△ABC得到△DEF的过程：向右平移4个单位，沿对称轴BC翻折，再绕点C逆时针旋转90°．【分析】根据对应点C与点F的位置，结合两三角形在网格结构中的位置解答．【解答】解：△ABC向右平移4个单位，沿对称轴BC翻折，再绕点C逆时针旋转90°即可得到△DEF，所以，过程为：向右平移4个单位，沿对称轴BC翻折，再绕点C逆时针旋转90°．故答案为：向右平移4个单位，沿对称轴BC翻折，再绕点C逆时针旋转90°．【点评】本题考查了几何变换的类型，平移、旋转，准确识图是解题的关键．16．石景山区八角北路有一块三角形空地（如图1）准备绿化，拟从点A出发，将△ABC分成面积相等的三个三角形，栽种三种不同的花草．下面是小美的设计（如图2）．作法：（1）作射线BM；（2）在射线BM上顺次截取BB1=B1B2=B2B3；（3）连接B3C，分别过B1、B2作B1C1∥B2C2∥B3C，交BC于点C1、C2；（4）连接AC1、AC2．则．请回答，成立的理由是：①平行线分线段成比例定理；②等底共高．【分析】根据平行线分线段成比例定理和等底共高求解可得．【解答】解：由BB1=B1B2=B2B3且B1C1∥B2C2∥B3C，依据平行线分线段成比例定理知BC1=C1C2=C2C，再由△ABC1，△AC1C2与△AC2C等底共高知，故答案为：①平行线分线段成比例定理；②等底共高．【点评】本题主要考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理和等底共高的两三角形面积关系．三、解答题（本题共68分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17．（5分）计算：3tan30°﹣cos245°+﹣2sin60°．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：原式=3×﹣（）2+﹣2×=﹣+2﹣=．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．18．（5分）用配方法求二次函数y=x2﹣10x+3的顶点坐标．【分析】把解析式化为顶点式即可．【解答】解：∵y=x2﹣10x+3=（x﹣5）2﹣22，∴二次函数的顶点坐标为（5，﹣22）．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x﹣h）2+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．19．（5分）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．若a=2，sin，求b和c．【分析】先根据sinA=知c==6，再根据勾股定理求解可得．【解答】解：如图，∵a=2，sin，∴c===6，则b===4．【点评】本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握正弦函数的定义及勾股定理．20．（5分）小红和小丁玩纸牌游戏：如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，小红先从中抽出一张，小丁从剩余的3张牌中也抽出一张．比较两人抽出的牌面上的数字，数字大者获胜．（1）请用树状图或列表法表示出两人抽牌可能出现的所有结果；（2）这个游戏公平吗？请说明理由．【分析】（1）根据题意画出树状图，即可解决问题；（2）根据树状图，利用概率公式即可求得小红获胜的概率，由概率相等，即可判定这个游戏公平；【解答】解：（1）树状图如右：则小红获胜的概率：=，小丁获胜的概率：=，所以这个游戏比较公平．【点评】本题考查的是用列表法与树状图法求事件的概率，解题的关键是学会正确画出树状图，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．．21．（5分）如图，小明想测量山的高度．他在点B处仰望山顶A，测得仰角∠ABN=30°，再向山的方向（水平方向）行进100m至索道口点C处，在点C处仰望山顶A，测得仰角∠ACN=45°．求这座山的高度．（结果精确到0.1m，小明的身高忽略不计）（参考数据：≈1.41，≈1.73）【分析】作AH⊥BN于H，设AH=xm，根据正切的概念表示出CH、BH，根据题意列出方程，解方程即可．【解答】解：如图，作AH⊥BN于H，设AH=xm，∵∠ACN=45°，∴CH=AH=xm，∵tanB=，∴BH=x，则BH﹣CH=BC，即x﹣x=100，解得x=50（+1）．答：这座山的高度为50（+1）m；【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确作出辅助线、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+b的图象与x轴交于点A（2，0），与反比例函数y=的图象交于点B（3，n）．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）若点P为x轴上的点，且△PAB的面积是2，则点P的坐标是（﹣2，0）或（6，0）．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）利用三角形的面积公式求出PA的长即可解决问题；【解答】解：（1）∵一次函数y=x+b的图象与x轴交于点A（2，0），∴2+b=0，∴b=﹣2，∴y=x﹣2，当x=3时，y=1，∴B（3，1），代入y=中，得到k=3，∴反比例函数的解析式为y=．（2）∵△PAB的面积是2，∴•PA•1=2，∴PA=4，∴P（﹣2，0）或（6，0）．【点评】本题考查一次函数的性质、反比例函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23．（5分）如图，四边形ABCD是平行四边形，CE⊥AD于点E，DF⊥BA交BA的延长线于点F．（1）求证：△ADF∽△DCE；（2）当AF=2，AD=6，且点E恰为AD中点时，求AB的长．【分析】（1）由平行四边形的性质知CD∥AB，即∠DAF=∠CDE，再由CE⊥AD、DF⊥BA知∠AFD=∠DEC=90°，据此可得；（2）根据△ADF∽△DCE知=，据此求得DC=9，再根据平行四边形的性质可得答案．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠DAF=∠CDE，又∵CE⊥AD、DF⊥BA，∴∠AFD=∠DEC=90°，∴△ADF∽△DCE；（2）∵AD=6、且E为AD的中点，∴DE=3，∵△ADF∽△DCE，∴=，即=，解得：DC=9，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=9．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质及平行四边形的性质．24．（5分）二次函数y=x2﹣2mx+5m的图象经过点（1，﹣2）．（1）求二次函数图象的对称轴；（2）当﹣4≤x≤1时，求y的取值范围．【分析】（1）根据抛物线的对称性和待定系数法求解即可；（2）根据二次函数的性质可得．【解答】解：（1）把点（1，﹣2）代入y=x2﹣2mx+5m中，可得：1﹣2m+5m=﹣2，解得：m=﹣1，所以二次函数y=x2﹣2mx+5m的对称轴是x=﹣，（2）∵y=x2+2x﹣5=（x+1）2﹣6，∴当x=﹣1时，y取得最小值﹣6，由表可知当x=﹣4时y=3，当x=﹣1时y=﹣6，∴当﹣4≤x≤1时，﹣6≤y≤3．【点评】本题考查了二次函数图象与性质及待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．25．（6分）如图，AC是⊙O的直径，点D是⊙O 上一点，⊙O的切线CB与AD的延长线交于点B，点F是直径AC上一点，连接DF并延长交⊙O于点E，连接AE．（1）求证：∠ABC=∠AED；（2）连接BF，若AD=，AF=6，tan∠AED=，求BF的长．【分析】（1）直接利用圆周角定理以及切线的性质定理得出∠ACD=∠ABC，进而得出答案；（2）首先得出DC的长，即可得出FC的长，再利用已知得出BC的长，结合勾股定理求出答案．【解答】（1）证明：连接DC，∵AC是⊙O的直径，∴∠BDC=90°，∴∠ABC+∠BCD=90°，∵⊙O的切线CB与AD的延长线交于点B，∴∠BCA=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∴∠ACD=∠ABC，∴∠ABC=∠AED；（2）解：连接BF，∵在Rt△ADC中，AD=，tan∠AED=，∴tan∠ACD==，∴DC=AD=，∴AC==8，∵AF=6，∴CF=AC﹣AF=8﹣6=2，∵∠ABC=∠AED，∴tan∠ABC==，∴=，解得：BD=，故BC=6，则BF==2．【点评】此题主要考查了切线的性质与判定以及勾股定理等知识，正确得出∠ACD=∠ABC是解题关键．26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A（﹣1，0）和B （0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线与x轴的正半轴交于点C，连接BC．设抛物线的顶点P关于直线y=t的对称点为点Q，若点Q落在△OBC的内部，求t的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）分别求出点Q落在直线BC和x轴上时的t的值即可判断；【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A（﹣1，0）和B（0，3），∴，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）如图，易知抛物线的顶点坐标为（1，4）．观察图象可知当点P关于直线y=t的对称点为点Q中直线BC上时，t=3，当点P关于直线y=t的对称点为点Q在x轴上时，t=2，∴满足条件的t的值为2＜t＜3．【点评】本题考查二次函数的性质、待定系数法、轴对称等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会寻找特殊点解决问题，属于中考常考题型．27．（7分）在正方形ABCD中，点P在射线AC上，作点P关于直线CD的对称点Q，作射线BQ交射线DC于点E，连接BP．（1）当点P在线段AC上时，如图1．①依题意补全图1；②若EQ=BP，则∠PBE的度数为45°，并证明；（2）当点P在线段AC的延长线上时，如图2．若EQ=BP，正方形ABCD的边长为1，请写出求BE长的思路．（可以不写出计算结果）【分析】（1）①作点P关于直线CD的对称点Q，作射线BQ交射线DC于点E，连接BP；②依据题意得到DP=EP，再根据四边形内角和求得∠BPE=90°，根据BP=EP，即可得到∠PBE=45°；（2）连接PD，PE，依据△CPD≌△CPB，可得DP=BP，∠1=∠2，根据DP=EP，可得∠3=∠1，进而得到∠PEB=45°，∠3=∠4=22.5°，△BCE中，已知∠4=22.5°，BC=1，可求BE长．【解答】解：（1）①作图如下：②如图，连接PD，PE，易证△CPD≌△CPB，∴DP=BP，∠CDP=∠CBP，∵P、Q关于直线CD对称，∴EQ=EP，∵EQ=BP，∴DP=EP，∴∠CDP=∠DEP，∵∠CEP+∠DEP=180°，∴∠CEP+∠CBP=180°，∵∠BCD=90°，∴∠BPE=90°，∵BP=EP，∴∠PBE=45°，故答案为：45°；（2）思路：如图，连接PD，PE，易证△CPD≌△CPB，∴DP=BP，∠1=∠2，∵P、Q关于直线CD对称，∴EQ=EP，∠3=∠4，∵EQ=BP，∴DP=EP，∴∠3=∠1，∴∠3=∠2，∴∠5=∠BCE=90°，∵BP=EP，∴∠PEB=45°，∴∠3=∠4=22.5°，在△BCE中，已知∠4=22.5°，BC=1，可求BE长．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质等知识的综合运用，解决本题的关键是熟记全等三角形的性质定理和判定定理．28．（8分）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若PQ为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与x 轴平行，则称该等腰三角形为点P，Q的“相关等腰三角形”．下图为点P，Q的“相关等腰三角形”的示意图．（1）已知点A的坐标为（0，1），点B的坐标为，则点A，B的“相关等腰三角形”的顶角为120°；（2）若点C的坐标为，点D在直线y=4上，且C，D的“相关等腰三角形”为等边三角形，求直线CD的表达式；（3）⊙O的半径为，点N在双曲线y=﹣上．若在⊙O上存在一点M，使得点M、N的“相关等腰三角形”为直角三角形，直接写出点N的横坐标x N的取值范围．【分析】（1）画出图形求出∠BAO的度数即可解决问题；（2）利用等边三角形的性质求出点D坐标即可解决问题；（3）因为点M、N的“相关等腰三角形”为直角三角形，推出直线MN与x轴的夹角为45°，可以假设直线MN的解析式为y=﹣x+b，当直线与⊙O相切于点M时，求出直线MN的解析式，利用方程组求出点N的坐标，观察图象即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，∵A的坐标为（0，1），点B的坐标为，∴点A，B的“相关等腰三角形”△ABC的当C（，0）或（﹣2，1），∵tan∠BAO==，∴∠BAO=∠CAO=60°，∴∠BAC=∠ABC′=120°，故答案为120．（2）如图2中，设直线y=4交y轴于F（0，4），∵C（0，），∴CF=3，∵且C，D的“相关等腰三角形”为等边三角形，∴∠CDF=∠CD′F=60°，∴DF=FD′=3•tan30°=3，∴D（3，4），D′（﹣3，4），∴直线CD的解析式为y=x+，或y=﹣x+．（3）如图3中，∵点M、N的“相关等腰三角形”为直角三角形，∴直线MN与x轴的夹角为45°，可以假设直线MN的解析式为y=﹣x+b，当直线与⊙O相切于点M时，易知b=±2，∴直线MN的解析式为y=﹣x+2或y=﹣x﹣2，由，解得或，∴N（﹣1，3），N′（3，1），由解得或，∴N1（﹣3，1），N2（1，﹣3），观察图象可知满足条件的点N的横坐标的取值范围为：﹣3≤x N≤﹣1或1≤x N≤3．【点评】本题考查反比例函数综合题、一次函数的应用、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、“相关等腰三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．。
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石景山区2017-2018学年度第一学期期末考试试卷初三数学考 生须 知 1．本试卷共8页．全卷共五道大题，25道小题．2．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 3．在试卷密封线内准确填写区（县）名称、学校、姓名和准考证号．4．考试结束后，将试卷和答题纸一并交回．第Ⅰ卷（共32分）一、选择题（本题共8道小题，每小题4分，共32分） 在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将所选答案前的字母按规定要求填涂在答题纸第1-8题的相应位置上．1．如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，AC =3，则sin A 的值是 A ．34B ．43C ．54D ．532．如图，A ，B ，C 都是⊙O 上的点，若∠ABC =110°，则∠AOC 的度数为 A ．70° B ．110° C ．135° D ．140°3．如图，平行四边形ABCD 中，E 为DC 的中点，AC 与BE 交于点第1题 第2题 第3题FE DC BAOCABC BAF ．则△EFC 与△BFA 的面积比为 A ．2:1B ． 1∶2C ．1∶4D ．1∶84．将抛物线22x y =向右平移1个单位后，得到的抛物线的表达式是A ．()212+=x yB ．()212-=x yC ．122-=x yD ．122+=x y5．将762++=x x y 化为()k h x a y +-=2的形式，h ，k 的值分别为 A ．3，2- B ．3-，2- C ．3，16-D ．3-，16-6．如图，为测学校旗杆的高度，在距旗杆10米的A 处，测得旗杆顶部B 的仰角为α，则旗杆的高度BC 为7．已知：二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，下列说法中正确的是A ．0>++c b aB ．0>abC ．02=+a bD ．当0y >时，13x -<<A ．αtan 10B ．αtan 10 C ． αsin 10 D ．αsin 10第6题 第7题CAB8．如图，正方形ABCD 的边长为a ，动点P 从点A 出发，沿折线A →B →D →C 的路径运动，到达点C 时运动停止．设点P 运动的路程长为x ，AP 长为y ，则y 关于x 的函数图象大致是（ ）A BC D第Ⅱ卷（共88分）二、填空题（本题共4道小题，每小题4分，共16分） 9．一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的弧长为 ．（结果保留π）10.写出一个反比例函数()0k y k x=≠，使它的图象在各自象限内，y 的值随x 值的增大而减小，这个函数的表达式为 .ACD BPaxyO()21a+()22a+2aaxyO a2a a()21a+()22a+2axyOa()21a+()22a+aa()21a+()22a+2axyOa11. 如图，△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，点D 在AC 上且AD ＝2，如果要在AB 上找一点E ，使△ADE 与△ABC 相似，那么AE＝ ．位于坐标12．二次函数23x y =的图象如图，点A 0原点，点A 1，A 2，A 3…A n 在y 轴的正半轴上，点B 1，B 2，B 3，…，B n 在二次函数位于第一象限的图象上，点C 1，C 2，C 3，…，C n 在二次函数位于第二象限的图象上，四边形A 0B 1A 1C 1，四边形A 1B 2A 2C 2，四边形A 2B 3A 3C 3，…，四边形A n-1B n A n C n 都是菱形，∠A 0B 1A 1=∠A 1B 2A 2=∠A 2B 3A 3…=∠A n-1B n A n =120°.则A 1的坐标为 ； 菱形A n-1B n A n C n 的边长为 .三、解答题（本题共6道小题，每小题5分，共30分） 13．计算：︒+︒⋅︒-45sin 260cos 30tan 8．14．已知：二次函数()k x k x y 32322-++-=（1）若二次函数的图象过点()0,3A，求此二次函数图象的对称D A BC轴；（2）若二次函数的图象与x 轴只有一个交点，求此时k 的值． 15．如图，⊙O 与割线AC 交于点B ，C ，割线AD过圆心O ，且∠DAC =30°．若⊙O的半径OB=5，AD =13，求弦BC 的长．16． 已知：如图，在△ABC 中，2=BC ，AB的长．3=∆ABC S ，︒=∠135ABC ，求AC和17．一次函数 22y x =+与反比例函数 (0)k y k x=≠的图象都过点()1,A m ，22y x =+的图象与x 轴交于点B ．（1）求点B 坐标及反比例函数的表达式；（2）()0,2C -是y 轴上一点，若四边形ABCD 是平行四边形，直接写出点D 的坐标，并判断D 点是否在此反比例函数的图象上，并说明理由．18． 已知：如图，△ABD 中，BDAC ⊥于C ，1=CE ，23=CD BC ，E 是AB 的中点，2tan =D ，求ECB ∠sin 和AD 的长．EADCBBCAODC BA四、解答题（本题共4道小题，每小题5分，共20分） 19．甲、乙两位同学玩转盘游戏，游戏规则：将圆盘平均分成三份，分别涂上红，黄，绿三种颜色，两位同学分别转动转盘两次（若压线，重新转）．若两次指针指到的颜色相同，则甲获胜；若两次指针指到的颜色是黄绿组合则乙获胜；其余情况则视为平局．（1）请用画树状图的方法，列出所有可能出现的结果； （2）试用概率说明游戏是否公平．20．体育测试时，九年级一名男生，双手扔实心球，已知实心球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果球出手处A 点距离地面的高度为2m ，当球运行的水平距离为6m 时，达到最大高度5m 的B 处（如图），问该男生把实心球扔出多远？(结果保留根号)21．已知：如图，Rt △AOB 中，︒=∠90O ，以OA 为半径作⊙O ，BC 切⊙O 于点C ，连接黄色红色绿色ABCP BOA CAC 交OB 于点P ．（1）求证：BP =BC ；（2）若31sin =∠PAO ，且PC =7，求⊙O 的半径．22．阅读下面材料：小乔遇到了这样一个问题：如图1，在Rt△ABC 中，∠C =90°，D ，E 分别为CB ，CA 边上的点，且AE=BC ，BD=CE ，BE 与AD 的交点为P ，求∠APE 的度数；小乔发现题目中的条件分散，想通过平移变换将分散条件集中，如图2，过点B 作BF//AD 且BF=AD ，连接EF ，AF ，从而构造出△AEF 与△CBE 全等，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：APE ∠的度数为___________________． 参考小乔同学思考问题的方法，解决问题：图1 图2PDEABCF PDE ABC图3BOAC如图3，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，D 、E 分别为CB ，CA 上的点，且BC AE 21=，CE BD 21=，BE 与AD 交于点P ，在图3中画出符合题意的图形，并求出sin APE ∠的值．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．已知二次函数()2(4)425y t x t x --=+-在0x =与5x =的函数值相等． （1）求二次函数的解析式；（2）若二次函数的图象与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 左侧），与y 轴交于点C ，一次函数y kx b =+经过B ，C 两点，求一次函数的表达式；（3）在（2）的条件下，过动点()m D ,0作直线l //x 轴，其中2->m ．将二次函数图象在直线l 下方的部分沿直线l 向上翻折，其余部分保持不变，得到一个新图象M ．若直线y kx b =+与新图象M 恰有两个公共点，请直接写出m 的取值范围．24．如图1，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠B =60°，D 为AB 的中点，∠EDF =90°，DE 交AC 于点G ，DF 经过点C ． （1）求∠ADE 的度数；（2） 如图2，将图1中的∠EDF 绕点D 顺时针方向旋转角α（︒<<︒600α），旋转过程中的任意两个位置分别记为∠E 1DF 1，∠E 2DF 2 ， DE 1交直线AC 于点P ，DF 1交直线BC 于点Q ，DE 2交直线AC 于点M ，DF 2交直线BC 于点N ，求PMQN的值；（3）若图1中∠B =()︒<<︒9060ββ，（2）中的其余条件不变，判断PM QN的值是否为定值，如果是，请直接写出这个值（用含β的式子表示）；如果不是，请说明理由．25．如图1，平面直角坐标系xOy 中，点()0,4-D ，8OC =，若抛物线213y x =平移后经过C ，D 两点，得到图1中的抛物线W .（1）求抛物线W 的表达式及抛物线W 与x 轴另一个交点A 的坐标；（2）如图2，以OA ，OC 为边作矩形OABC ，连结OB ，若矩形OABC从O 点出发沿射线OB 方向匀速运动，速度为每秒1个单图1F EGDBAC图2E 1F 1F 2E 2Q MNPDBAC位得到矩形''''O A B C ，求当点'O 落在抛物线W 上时矩形的运动时间；（3）在（2）的条件下，如图3，矩形从O 点出发的同时，点P从'A 出发沿矩形的边C B B A ''→''以每秒25个单位的速度匀速运动，当点P 到达'C 时，矩形和点P 同时停止运动，设运动时间为t 秒.①请用含t 的代数式表示点P 的坐标；②已知：点P 在边''A B 上运动时所经过的路径是一条线段，求点P 在边''A B 上运动多少秒时，点D 到CP 的距离最大.yxDCAOy xC'B'A'D B C A O O'yx PC'B'A'BDCAOO'yxC'B'A'DB C A O O'图1 图2 图3 备用图草稿纸草稿纸石景山区2017-2018学年度第一学期期末考试试卷初三数学参考答案阅卷须知：为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分，解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．一、选择题（本题共8道小题，每小题4分，共32分） 题 号 1 2 345678 答 案 CDC B B A CA二、填空题（本题共4道小题，每小题4分，共16分）9．π2； 10．只要0>k 即可； 11．38或23； 12．()32,01A ；n 2．三、解答题（本题共6道小题，每小题5分，共30分） 13.解：︒+︒⋅︒-45sin 260cos 30tan 8.=222213322⨯+⨯-……………………………4分=6323-. ……………………………5分14.解：（1）将()0,3A 代入二次函数表达式，求得2=k ………………1分将2=k 代入得二次函数表达式为：6822-+-=x x y ……2分 配方得：()2222+--=x y ∴二次函数图象的对称轴为2=x …………3分 （2）由题意得：0=∆ …………………………………4分ABCDOE求得32=k . ……………………………………………………………5分15.解：过点O 作BC OE ⊥于点E ……1分∵AD 过圆心O ，AD =13，⊙O 的半径是5，∴AO =8 ………2分∵∠DAC =30°∴OE =4 ………3分 ∵OB =5, ∴ 勾股得BE =3………4分 ∴BC =2BE =6 ………5分16．解：过点A 作BC AD ⊥，交CB 的延长线于点D ………1分在△ABC 中，3=∆ABC S ，2=BC32==∴∆BCS AD ABC………2分135=∠ABC 45=∠∴ABD∴232==AD AB (3)分3==AD BD ……… 4分在Rt △ADC 中，5=CD ，3422=+=CD AD AC (5)分17．解：（1）由题意: 令0y =,则1x =-∴()1,0B - ……………1分∵A 在直线22y x =+上∴()1,4A (2)分DCBA∵()1,4A 在反比例函数 (0)k y k x=≠图象上∴4k =∴反比例函数的解析式为：4y x=……………3分（2）∵四边形ABCD是平行四边形 ∴()2,2D (4)分∴()2,2D 在反比例函数4y x=的图象上 ……5分 18． 解：∵BD AC ⊥，∴︒=∠=∠90ACD ACB ∵E 是AB 的中点，1=CE∴22==CE AB ………1分∵ 23=CDBC ∴设x BC 3=，x CD 2=在Rt △ACD 中，2tan =D∴ 2=CDAC，x AC 4= (2)分在Rt △ACB 中由勾股定理x AB 5=， ∴54sin sin ===∠ABAC B ECB ………3分由2=AB ，得52=x ………4分∴5545222==+=x CD AC AD ……5分 四、解答题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）19．解：（1）EA DCB开始红黄绿红黄绿红黄绿绿黄红……………….1分（红，红），（红，黄），（红，绿），（黄，红），（黄，黄），（黄，绿），（绿，红），（绿，黄），（绿，绿） ………2分（2）()31==93P 甲获胜………………..3分()2=9P 乙获胜 (4)分P P > （甲获胜）（乙获胜）∴游戏不公平………………..5分20．解：（说明：根据建系方法的不同，对应给分）以地面所在直线为x 轴，过点A 与地面的垂线作为y 轴建立平面直角坐标系如图所示. …………………1分 则()0,2A ，()6,5B设抛物线解析式为()()2650y a x a =-+≠，∵()0,2A 在抛物线上 ∴ 代入得：112a =-∴()216512y x =--+ …………….3分 令0y =∴15261-=x （舍），26215x =+ ……………. 4分∴1526+=OCyxABCO答：该同学把实心球扔出1526+m. ……………… 5分21．(1)证明：连接OC ………………1分BC是⊙O 切线90OCB ∴∠=︒ 90OCA BCA ∴∠+∠=︒OC OA =OCA OAC ∴∠=∠90O ∠=︒ 90OAC APO ∴∠+∠=︒ APO BPC ∠=∠90OAC BPC ∴∠+∠=︒ BPC BCA ∴∠=∠BC BP ∴= (2)分(2) 延长AO 交⊙O 于点E ，连接CE 在Rt AOP ∆中1sin 3PAO ∠=∴ 设,3OP x AP x ==∴ 则22AO x = ………3分AO OE = ， 22OE x ∴= 42AE x ∴=1sin 3PAO ∠=13CE AE ∴= 223AC AE ∴= 3722342x x+∴=………4分解得：x=3PBOAC EPBO AC62AO ∴= (5)分22．解：(1) ∠APE =45° ………1分 (2) 过点B 作FB//AD 且FB=AD ，连结EF 和AF∴四边形AFBD 是平行四边形，APE FBE∠=∠，DB AF = (2)分∵AB 是⊙O 直径，∴∠C =90° ∴FAE BCE ∠=∠=90° ∵2CE BD =，2BC AE =， ∴2CE AF =，∴2CEBCAFEA== ∴△AEF ∽△CBE ……3分 ∴12EF BE=，∠1=∠3，又∵∠2+∠3=90°∴∠1+∠2=90°，即∠FEB =90° ……4分 在Rt △BEF 中，∠FEB =90°∴1tan 2EF FBE BE∠==又∵APE FBE ∠=∠∴5sin 5APE ∠=……5分五、解答题（本题共3道小题，23、24每小题各7分，25题8分，共22分）23．（1）由题意得 ()2(4)525544t t -⋅--⋅+=．……………………1分 解得 5t =．321F A O PDECB∴ 二次函数的解析式为：254y x x =-+．…………………2分（2）令0y =,解得4x =或1x = ……………………3分∴()1,0A ， ()4,0B ，令0x =，则4y =∴()0,4C 将B 、C 代入y kx b =+，解得1k =-，4b =一次函数的解析式为：4y x =-+ (4)分（3）212-<<-m 或04m << ……………………7分24．解：（1）∵∠ACB=90°，D 为AB 的中点∴CD =DB ∴∠DCB =∠B ∵∠B =60°∴∠DCB =∠B=∠CDB =60° ∴∠CDA=120° ∵∠EDC =90°∴∠ADE =30° ………………2分 （2）∵∠C =90°，∠MDN =90° ∴∠DMC +∠CND=180°FEGDBAC∵∠DMC +∠PMD=180°， ∴∠CND =∠PMD 同理∠CPD =∠DQN∴△PMD ∽△QND ………4分 过点D 分别做DG ⊥AC 于G , DH ⊥BC 于H 可知DG ， DH 分别为△PMD 和△QND 的高 ∴PM DGQN DH =…………………5分∵DG ⊥AC 于G , DH ⊥BC 于H∴DG ∥BC 又∵D 为AC 中点 ∴G 为AC 中点 ∵∠C =90°，∴四边形CGDH 为矩形有CG =DH =AG Rt △AGD 中，31=AGDG即33=QNPM……………………6分(3) 是定值，值为)90tan(β-︒………7分25．解：E 1F 1F 2E 2H G QMNPD B AC（1）依题意得： )0,4(-D ,()0,8C -∴抛物线W的解析式为：212833y x x =-- ………………………1分另一交点为（6,0） ………………………………………2分 （2）解法一：依题意:在运动过程中，经过t 秒后，点'O 的坐标为：34,55t t ⎛⎫-⎪⎝⎭ ………………………3分将'O 代入212833y x x =--舍去负值得：203t =经过203秒'O 落在抛物线W上 …………………………………………4分 解法二：射线'OB 解析式为：43y x =-∴24312833y x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩解得：4163x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩ ∴16'4,3O ⎛⎫- ⎪⎝⎭……………………………3分∴221620'433OO ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭∴经过203秒'O 落在抛物线W上 …………………………………4分 （3）① 设(),P x y(I)当020t ≤≤时，即点P 在''A B 边上，2'5A P t =，34'6,55A t t ⎛⎫+-⎪⎝⎭∴365x t=+，65y t =- (5)分(II)当2035t <≤时，即点P 在''B C 边上（不包含'B 点），2'85B P t =- ,34'6,855B t t ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭ ，∴1145x t =+，485y t =-- ……………………6分综上所述： ∴当020t ≤≤时，366,55P t t ⎛⎫+-⎪⎝⎭当2035t <≤时，1414,855P t t ⎛⎫+--⎪⎝⎭②当点P 在''A B 运动时，020t ≤≤，点P 所经过的路径所在函数解析式为：212y x =-+ 又∵直线DC 解析式为:28y x =-- ∴DC ∥AP∴△DCP 面积为定值 ……………7分 ∴CP 取得最小值时，点D 到CP 的距离最大， 如图，当CP ⊥AP 时，CP 取得最小值 过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，∴∠PMC =90°∵366,55P t t ⎛⎫+-⎪⎝⎭∴685CM t =-，365PM t =+∵∠DCO +∠PCM =90°，y x PC'B'A'DBCAOO'∠CPM +∠PCM =90° ∴CPM DCO ∠=∠ ∴1tan tan 2CPM DCO ∠=∠=在Rt△PMC 中，∠PMC =90° ∴2PM CM = ∴103t =检验：100203≤≤∴经过103秒时，点D 到CP的距离最大 ………………8分yxMPDCAO。