2020高考数学 总复习 11.3 二项式定理
二项式定理-高考数学复习
＝59.
目录
解题技法
赋值法的应用
（1）对形如（ ax ＋ b ） n ，（ ax 2 ＋ bx ＋ c ） m （ a ， b ， c
∈R， m ， n ∈N * ）的式子求其展开式的各项系数之和，只
需令 x ＝1即可；
（2）对（ ax ＋ by ） n （ a ， b ∈R， n ∈N*）的式子求其展开式各项
n ）， g （ r ）≠0，则：
（1） h （ r ）＝0⇔ Tr ＋1是常数项；
（2） h （ r ）是非负整数⇔ Tr ＋1是整式项；
（3） h （ r ）是负整数⇔ Tr ＋1是分式项；
（4） h （ r ）是整数⇔ Tr ＋1是有理项.
目录
2. 两个常用公式
（1） C0 ＋ C1 ＋ C2 ＋…＋ C ＝2 n ；
PART
2
目录
二项式中的特定项及系数问题
【例1】
1
（1）（2 x － ）5的展开式中 x 的系数是（
A. －40
B. 40
C. －80
D. 80
）
1
解析：（1）（2 x － ）5展开式的通项公式为 Tr ＋1＝ 5 （2 x ）5
－ r （－ 1 ） r ＝（－1） r 25－ r x 5－2 r （ r ＝0，1，…，5），令5
理数的项的个数是
16 2
，系数为有
5 .
解析：由二项展开式的通项公式可知 Tr ＋1＝ C9 ·
（ 2 ）9－ r ·xr ， r
∈N，0≤ r ≤9，当项为常数项时， r ＝0， T 1＝ C90 ·
（ 2 ）9·x 0＝
（ 2 ）9＝16 2 .当项的系数为有理数时，9－ r 为偶数，可得 r ＝
高中数学二项式定理知识点总结
高中数学二项式定理知识点总结二项式定理是高中数学中的重要知识点，它是代数中的一个基本定理，也是数学中的一个重要定理。
二项式定理在数学中有着广泛的应用，不仅在数学理论中有着重要的地位，而且在实际问题中也有着重要的应用价值。
本文将对高中数学二项式定理的知识点进行总结，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一重要的数学知识点。
一、二项式定理的基本概念。
二项式定理是指对于任意实数a、b和非负整数n，都有以下公式成立：\((a+b)^n = C_n^0a^n b^0 + C_n^1a^{n-1} b^1 + C_n^2a^{n-2} b^2 + ... +C_n^na^0 b^n\)。
其中，\(C_n^k\)表示组合数，即从n个不同元素中取出k个元素的组合数，它的计算公式是：\(C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)。
二项式定理的基本概念就是利用组合数的性质，将二项式展开成多项式的形式，从而方便进行计算和运用。
二、二项式定理的应用。
1. 多项式展开。
二项式定理可以方便地将一个二项式展开成多项式的形式，从而简化计算。
例如，对于(a+b)²和(a+b)³，可以利用二项式定理将其展开成多项式的形式，从而方便进行计算。
2. 组合数的计算。
二项式定理中的组合数\(C_n^k\)在实际问题中有着重要的应用，例如在概率论、统计学等领域中，经常需要计算从n个不同元素中取出k个元素的组合数，而二项式定理提供了一种方便快捷的计算方法。
3. 概率计算。
二项式定理在概率计算中有着重要的应用，例如在二项分布中，就涉及到了二项式定理的应用。
通过二项式定理，可以方便地计算出在n次独立重复试验中成功次数为k的概率。
三、二项式定理的推广。
除了普通的二项式定理外，还有二项式定理的推广形式，如多项式定理、负指数幂的二项式定理等。
这些推广形式在数学理论和实际问题中都有着重要的应用价值，可以进一步丰富和拓展二项式定理的应用领域。
2020年高考山东版高考理科数学 11.2 二项式定理
考向突破
考向1 求二项展开式中的项或项的系数
例1
已知在
3
x
1 23 x
n
的展开式中,第6项为常数项.
(1)求n;
(2)求含x2的项的系数;
(3)求展开式中所有的有理项.
解析
(1)通项公式为Tr+1= Crn
nr
x 3
1 2
r
r
x 3
=
Crn
n
2
2
项
的二项式系数最大,最大值为⑤
n
Cn2 ;
当n为奇数时,中间两项 第
n
1 项和第 2
n
2
3
项
的二项式系数相等,且同时
n1
n1
取得最大值,最大值为⑥
或 Cn2
Cn2
.
5.各二项式系数的和: (a+b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n,即 C0n + C1n + C2n +…+ Cnn =2n. 二项展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的 和,即 C0n + C2n + C4n +…= C1n + C3n + C5n +…=2n-1.
数项系数之和为a0+a2+a4+…= f (1) f (1) ,偶数项系数之和为a1+a3+a5+
2
…= f (1) f (1) .
2
例2
(1)(2017湖南三湘名校联盟三模,7)在(x2-4)· x
1 x
9
高中二项式定理知识点
高中二项式定理知识点高中二项式定理知识点一、二项式定理的基本概念二项式定理是代数学中的一个重要定理，它描述了如何展开一个二项式的幂。
一个二项式指的是两个数之和或之差的表达式，如(a+b)^n就是一个二项式。
而二项式定理则给出了展开这样一个二项式的公式。
二、二项式定理的表达形式二项式定理有两种常见的表达形式：一是通用形式，即(a+b)^n；另一种是简化形式，即展开后的结果。
1. 通用形式通用形式表示了一个任意次数幂的二项式。
它可以写成：(a+b)^n = C(n,0)a^n b^0 + C(n,1)a^(n-1) b^1 + ... +C(n,k)a^(n-k) b^k + ... + C(n,n)a^0 b^n其中C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素组成组合数。
2. 简化形式简化形式表示了展开后的结果，它可以写成：(a+b)^n = a^n + n a^(n-1) b^1 + C(n,2)a^(n-2) b^2 + ... + n a b^(n-1) + b^n三、应用举例1. 平方展开当幂指数为2时，即(a+b)^2，根据二项式定理，可以展开为：(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2这个结果可以通过直接相乘验证。
2. 立方展开当幂指数为3时，即(a+b)^3，根据二项式定理，可以展开为：(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3同样地，这个结果也可以通过直接相乘验证。
四、二项式系数的性质1. 对称性质在二项式定理中，对称性质是指系数C(n,k)满足C(n,k) = C(n,n-k)，即从n个元素中选取k个元素的组合数等于从n个元素中选取n-k个元素的组合数。
这是因为在展开二项式时，每一项的幂指数和次数之和都是相等的。
2. 杨辉三角形杨辉三角形是一个由二项式系数构成的三角形。
它的第n行第k列的元素就是C(n,k)。
杨辉三角形具有很多有趣的性质和应用，在组合学、概率论等领域有广泛应用。
2020版高考数学一轮总复习课件：11.2 二项式定理
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物理 课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
二、听思路。
高考数学（浙江专用）
11.2 二项式定理
考点清单
考向基础
考点 二项式定理及其应用
1.二项式定理:(a+b)n= C0n an+ C1n an-1b1+…+ Crn an-rbr+…+ Cnn bn(n∈N*).这个公 式所表示的定理叫做二项式定理.
2.几个基本概念
(1)二项展开式:二项式定理中的公式右边的多项式叫做(a+b)n的二项展
开式.
(2)项数:二项展开式中共有n+1项.
(3)二项式系数:在二项展开式中各项的系数① Crn (r=0,1,2,…,n)叫做
二项式系数.
(4)通项:二项展开式中的②
a b Cr n-r r n
叫做二项展开式的通项,用Tr+1表
示,即通项为展开式的第r+1项:Tr+1= Crn an-rbr(r=0,1,…,n). 3.在二项式定理中,如果设a=1,b=x,则得到公式:(1+x)n=1+ C1nx+ C2n x2+ C3n x3 +…+ Cnn xn.如果设a=1,b=-x,则得到公式:(1-x)n=1+(-1)1 C1n x+(-1)2 C2n x2+…+(1)n Cnn xn. 4.二项式系数与项的系数是不同的,如(a+bx)n(a,b∈R)的展开式中,第r+1
高中数学二项式定理知识点总结
高中数学二项式定理知识点总结一、二项式定理的概念和公式二项式定理是指两个数的整数次幂之和在展开时，任意一个数都可以拆开成两个数相乘的形式。
根据二项式定理，可以得到以下的公式：(a+b)² = a² + 2ab + b²(a-b)² = a² - 2ab + b²(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³对于一般情况下的二项式展开，可以根据组合数的知识得出下列公式：(a+b)ⁿ = C(n,0) * aⁿ+ C(n,1) * aⁿ⁻¹b + C(n,2) * aⁿ⁻²b² + ... + C(n,n) * bⁿ其中，C(n,m)表示从n个元素中取m个元素的组合数。
二、二项式定理的应用1. 计算二项式的展开式利用二项式定理，可以将任意形式的二项式展开成为多项式，从而方便进行计算。
例如，对于 (x+2)³的展开式，根据二项式定理可以得到：(x+2)³ = x³ + 3x²*2 + 3x*2² + 2³= x³ + 6x² + 12x + 82. 求解组合数在概率论、统计学等领域中，经常需要计算组合数。
而组合数实际上就是二项式展开中的系数。
因此，通过二项式定理可以方便地求解组合数。
3. 计算二项式的特定项有时候并不需要将整个二项式展开，只需求解其中的某一项。
例如，对于(x+2)⁵ 的展开式，如果只需要求解其中x⁴ 的系数，可以直接利用二项式定理计算得出，而无需展开整个式子。
4. 解决数学问题在数学建模、求解等问题中，二项式定理也可以被广泛应用。
通过利用二项式定理，可以简化问题的表达和计算，从而更加方便地求解问题。
2020年高考数学专题复习二项式定理
二项式定理1．二项式定理 (1)定理： (a ＋b )n＝C 0n a n＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *)．(2)通项：第k ＋1项为T k ＋1＝C k n a n －k b k．(3)二项式系数：二项展开式中各项的二项式系数为：C kn (k ＝0，1，2，…，n )． 2．二项式系数的性质判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)(a ＋b )n的展开式中的第r 项是C r n an －r b r.( )(2)在二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( ) (3)在(a ＋b )n的展开式中，每一项的二项式系数与a ，b 无关．( ) (4)通项T r ＋1＝C r n an －r b r 中的a 和b 不能互换．( )(5)(a ＋b )n展开式中某项的系数与该项的二项式系数相同．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×(教材习题改编)二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 26的展开式中，常数项的值是( )A ．240B ．60C ．192D ．180解析：选A.二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 26展开式的通项为T r ＋1＝C r 6(2x )6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2r＝26－r C r 6x 6－3r，令6－3r ＝0，得r ＝2，所以常数项为26－2C 26＝16×6×52×1＝240.已知(2－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则a 8等于( ) A ．180 B ．－180 C ．45D ．－45解析：选A.由题意得a 8＝C 81022(－1)8＝180.(2019·浙江省高中学科基础测试)在(2－x )6的展开式中，含x 3项的二项式系数为________；系数为________．(均用数字作答)解析：T r ＋1＝C r 626－r(－x )r ，含x 3项的二项式系数为C 36＝20，含x 3项的系数为C 3626－3(－1)3＝－160.答案：20 －160在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－a x 5的展开式中，x 的系数是－10，则实数a 的值为________．解析：T r ＋1＝C r5(x 2)5－r⎝ ⎛⎭⎪⎫－a x r＝(－a )r C r 5x 10－3r.当10－3r ＝1时，r ＝3，于是x 的系数为(－a )3C 35＝－10a 3＝－10，a ＝1. 答案：1二项展开式中的特定项或特定项 的系数(高频考点)二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题多为容易题或中档题．主要命题角度有：(1)求展开式中的某一项；(2)求展开式中的项的系数或二项式系数； (3)由已知条件求n 的值或参数的值．角度一 求展开式中的某一项(2018·高考浙江卷)二项式(3x ＋12x )8的展开式的常数项是________．【解析】 该二项展开式的通项公式为T r ＋1＝C r8x 8－r 3⎝ ⎛⎭⎪⎫12x r ＝C r 8⎝ ⎛⎭⎪⎫12r x 8－4r 3.令8－4r 3＝0，解得r ＝2，所以所求常数项为C 28×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝7. 【答案】 7角度二 求展开式中的项的系数或二项式系数(2017·高考全国卷Ⅰ)⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6展开式中x 2的系数为( )A ．15B ．20C ．30D ．35【解析】 (1＋x )6展开式的通项T r ＋1＝C r 6x r ，所以⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x 2(1＋x )6的展开式中x 2的系数为1×C 26＋1×C 46＝30，故选C.【答案】 C角度三 由已知条件求n 的值或参数的值(2019·浙江新高考联盟联考)若二项式(ax －1x)6(a >0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B ，若A ＝4B ，则a ＝________．【解析】 T r ＋1＝(－1)r C r6(ax )6－r(1x)r＝(－1)r a6－r C r6x 6－32r .令6－32r ＝3得r ＝2，则 A ＝a 4C 26＝15a 4；令6－32r ＝0得r ＝4，则B ＝(－1)4a 2C 46＝15a 2，又由A ＝4B 得15a 4＝4×15a 2，则a ＝2. 【答案】 2与二项展开式有关问题的解题策略(1)求展开式中的第n 项，可依据二项式的通项直接求出第n 项．(2)求展开式中的特定项，可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可．(3)已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数．1．若⎝⎛⎭⎪⎫x 6＋1x x n 的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C.T r ＋1＝C rn(x 6)n －r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x r ＝C r n x 6n －152r ，当T r ＋1是常数项时，6n －152r ＝0，即n ＝54r ，又n ∈N *，故n 的最小值为5，故选C.2．(2019·金华十校期末调研)在(x 2－1x)n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则n ＝________；展开式中常数项是________．解析：在(x 2－1x)n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，所以n ＝8.所以T r ＋1＝C r8(x2)8－r(－1x )r ＝(12)8－r (－1)r C r 8x 8－2r .由8－2r ＝0，得r ＝4.所以展开式中常数项是(12)4(－1)4C 48＝358.答案：8358二项式系数的性质或各项系数和(1)在二项式⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x 11的展开式中，系数最大的项为第________项．(2)(2019·宁波十校联考)若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为________．【解析】 (1)依题意可知T r ＋1＝C r 11(－1)r x22－3r，0≤r ≤11，r ∈Z ，二项式系数最大的是C 511与C 611.当r＝6时，T 7＝C 611x 4，故系数最大的项是第七项．(2)令x ＝0，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2＋m )9，令x ＝－2，得到a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝m 9，所以有(2＋m )9m 9＝39，即m 2＋2m ＝3，解得m ＝1或－3.【答案】 (1)七 (2)1或－3本例(2)变为：若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 9(x －1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为________．解析：令x ＝2，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(4＋m )9，令x ＝0，得到a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝(m ＋2)9，所以有(4＋m )9(m ＋2)9＝39，即m 2＋6m ＋5＝0，解得m ＝－1或－5.答案：－1或－5赋值法的应用(1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m(a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可．(2)对形如(ax ＋by )n(a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．(3)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f （1）＋f （－1）2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f （1）－f （－1）2.1．在⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( )A ．15B ．20C ．30D ．120解析：选A.因为二项展开式中中间项的二项式系数最大，又二项式系数最大的项只有第4项， 所以展开式中共有7项， 所以n ＝6，展开式的通项为T r ＋1＝C r6(x 2)6－r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r＝C r 6x 12－3r，令12－3r ＝0，则r ＝4，故展开式中的常数项为T 5＝C 46＝15.2．(2017·高考浙江卷)已知多项式(x ＋1)3(x ＋2)2＝x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5，则a 4＝________，a 5＝________．解析：由题意知a 4为含x 的项的系数，根据二项式定理得a 4＝C 23×12×C 22×22＋C 33×13×C 12×2＝16，a 5是常数项，所以a 5＝C 33×13×C 22×22＝4.答案：16 4二项式定理的应用设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512 018＋a 能被13整除，则a ＝( )A ．0B ．1C ．11D ．12【解析】 512 018＋a ＝(52－1)2 018＋a ＝C 02 018522 018－C 12 018522 017＋…＋C 2 0172 018×52×(－1)2 017＋C 2 0182 018×(－1)2018＋a .因为52能被13整除，所以只需C 2 0182 018×(－1)2 018＋a 能被13整除，即a ＋1能被13整除，所以a ＝12.【答案】D(1)利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理地变形构造二项式，应注意：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．(2)求余数问题时，应明确被除式f (x )与除式g (x )(g (x )≠0)，商式q (x )与余式的关系及余式的范围．1．(2019·金华十校联考)设二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12n(n ∈N *)展开式的二项式系数和与各项系数和分别为a n ，b n ，则a 1＋a 2＋…＋a nb 1＋b 2＋…＋b n＝( )A ．2n －1＋3 B ．2(2n －1＋1)C ．2n ＋1D ．1解析：选C.二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12n (n ∈N *)展开式的二项式系数和为2n，各项系数和为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，所以a n＝2n，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，所以a 1＋a 2＋…＋a n b 1＋b 2＋…＋b n ＝2×（1－2n）1－212×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝2n ＋1－21－12n ＝2n ＋1，故选C.2．求证：3n >(n ＋2)·2n －1(n ∈N *，n >2)．证明：因为n ∈N *，且n >2，所以3n ＝(2＋1)n展开后至少有4项． (2＋1)n＝2n＋C 1n ·2n －1＋…＋C n －1n ·2＋1≥2n ＋n ·2n －1＋2n ＋1>2n ＋n ·2n －1＝(n ＋2)·2n －1，故3n>(n ＋2)·2n －1(n ∈N *，n >2)．二项展开式中系数最大项的求法如求(a ＋bx )n(a ，b ∈R )的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A k ≥A k －1，A k ≥A k ＋1，从而解出k 来，即得．易错防范 (1)通项T k ＋1＝C k n an －k b k是展开式的第k ＋1项，不是第k 项．(2)(a ＋b )n与(b ＋a )n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a 与第二个量b 的位置不能颠倒．(3)易混淆二项式中的“项”“项的系数”“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指C kn (k ＝0，1，…，n )．[基础达标]1．(2019·金华十校期末调研)在(x 2－4)5的展开式中，含x 6的项的系数为( ) A ．20 B ．40 C ．80D ．160解析：选D.T r ＋1＝C r5(x 2)5－r(－4)r＝(－4)r C r 5x10－2r，令10－2r ＝6，解得r ＝2，所以含x 6的项的系数为(－4)2C 25＝160.2．(2019·台州高三期末考试)已知在(x 2－15x)n的展开式中，第6项为常数项，则n ＝( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析：选D.因为第6项为常数项，由C 5n (x2)n －5(－15x)5＝－(12)n －5C 5n ·x n －6，可得n －6＝0，解得n ＝6.故选D.3．(2019·温州市普通高中模考)在⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则x 3的系数为( )A ．15B ．45C ．135D ．405解析：选C.由题意4n2n ＝64，n ＝6，T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x r ＝3r C r 6x 6－3r 2，令6－3r 2＝3，r ＝2，32C 26＝135.4．(2019·湖州市高三期末考试)若(x ＋a x)(2x －1x)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项是( )A ．－40B ．－20C ．40D ．20解析：选C.令x ＝1，(1＋a )×(2－1)5＝2，解得a ＝1. 所以(2x －1x)5的通项公式T r ＋1＝C r 5(2x )5－r (－1x)r ＝(－1)r 25－r C r 5x 5－2r， 令5－2r ＝－1，5－2r ＝1. 解得r ＝3或2.所以该展开式中常数项＝(－1)322C 35＋(－1)2×23C 25＝40. 5．(x 2－x ＋1)10的展开式中x 3项的系数为( ) A ．－210 B ．210 C ．30D ．－30解析：选A.(x 2－x ＋1)10＝[x 2－(x －1)]10＝C 010(x 2)10－C 110(x 2)9(x －1)＋…－C 910x 2(x －1)9＋C 1010(x －1)10， 所以含x 3项的系数为：－C 910C 89＋C 1010(－C 710)＝－210. 6．(x 2＋x ＋y )5的展开式中x 5y 2的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．30D ．60解析：选C.(x 2＋x ＋y )5的展开式的通项为T r ＋1＝C r5(x 2＋x )5－r·y r ，令r ＝2，则T 3＝C 25(x 2＋x )3y 2，又(x2＋x )3的展开式的通项为C k 3(x 2)3－k·x k ＝C k 3x6－k，令6－k ＝5，则k ＝1，所以(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为C 25C 13＝30，故选C.7．已知(ax ＋b )6的展开式中x 4项的系数与x 5项的系数分别为135与－18，则(ax ＋b )6的展开式中所有项系数之和为( )A ．－1B ．1C ．32D ．64解析：选D.由二项展开式的通项公式可知x 4项的系数为C 26a 4b 2，x 5项的系数为C 16a 5b ，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧C 26a 4b 2＝135C 16a 5b ＝－18，解得a ＋b ＝±2，故(ax ＋b )6的展开式中所有项的系数之和为(a ＋b )6＝64，选D. 8．在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n项的系数为f (m ，n )，则f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝( )A ．45B ．60C ．120D ．210解析：选C.因为f (m ，n )＝C m 6C n4，所以f (3，0)＋f (2，1)＋f (1，2)＋f (0，3)＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 06C 34＝120.9．(2019·义乌调研测试)若(x 2－a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( )A ．13B ．12C ．1D ．2解析：选D.因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10展开式的通项为T r ＋1＝C r 10x 10－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 10x 10－2r ，所以(x 2－a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 10的展开式中含x 6的项为x 2·C 310x 4－a C 210x 6＝(C 310－a C 210)x 6，则C 310－a C 210＝30，解得a ＝2，故选D.10．(2019·台州模拟)(x ＋2y )7的展开式中，系数最大的项是( ) A ．68y 7B ．112x 3y 4C ．672x 2y 5D ．1 344x 2y 5解析：选C.设第r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r7·2r≥C r －17·2r －1，C r 7·2r ≥C r ＋17·2r ＋1， 即⎩⎪⎨⎪⎧7！r ！（7－r ）！·2r ≥7！（r －1）！（7－r ＋1）！·2r －1，7！r ！（7－r ）！·2r ≥7！（r ＋1）！（7－r －1）！·2r ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧2r ≥18－r ，17－r ≥2r ＋1解得⎩⎪⎨⎪⎧r ≤163，r ≥133.又因为r ∈Z ，所以r ＝5.所以系数最大的项为T 6＝C 57x 2·25y 5＝672x 2y 5.故选C.11．(2019·金华市东阳二中高三调研)在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含x 2项的系数是________．解析：因为在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x n的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，所以n ＝8， 展开式的通项公式为T r ＋1＝C r8·(－1)r·x8－2r，令8－2r ＝2，则r ＝3，所以展开式中含x 2项的系数是－C 38＝－56. 答案：－5612．(2019·温州中学高三模考)已知(1＋x ＋x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 3n(n ∈N *)的展开式中没有常数项，且2≤n ≤8，则n ＝________．解析：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 3n的通项公式T r ＋1＝C r n x n －r ·x －3r ＝C r n x n －4r，故当n －4r ＝0，－1，－2时存在常数项，即n ＝4r ，4r －1，4r －2，故n ＝2，3，4，6，7，8时为常数项，所以当n ＝5时没有常数项符合题设．答案：513．若直线x ＋ay －1＝0与2x －y ＋5＝0垂直，则二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2－1x 5的展开式中x 4的系数为________．解析：由两条直线垂直，得1×2＋a ×(－1)＝0，得a ＝2，所以二项式为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 5，其通项公式T r ＋1＝C r5(2x 2)5－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r＝(－1)r 25－r C r 5x 10－3r ，令10－3r ＝4，解得r ＝2，所以二项式的展开式中x 4的系数为23C 25＝80.答案：8014．已知⎝⎛⎭⎪⎫1－1x (1＋x )5的展开式中x r(r ∈Z 且－1≤r ≤5)的系数为0，则r ＝________.解析：依题意，(1＋x )5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5x r ，故展开式为⎝⎛⎭⎪⎫1－1x (x 5＋5x 4＋10x 3＋10x 2＋5x＋1)，故可知展开式中x 2的系数为0，故r ＝2.答案：215．(2019·杭州市高考模拟)若(2x －1x2)n的展开式中所有二项式系数和为64，则n ＝________；展开式中的常数项是________．解析：因为(2x －1x 2)n 的展开式中所有二项式系数和为2n＝64，则n ＝6；根据(2x －1x 2)n ＝(2x －1x2)6的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6·(－1)r ·(2x )6－r·x－2r＝C r 6·(－1)r ·26－r·x6－3r，令6－3r ＝0，求得r ＝2，可得展开式中的常数项是C 26·24＝240. 答案：6 24016．(2019·浙江东阳中学高三检测)已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，则a 0＝________；(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)2－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)2＝________．解析：由(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，观察：可令x ＝0得：(1－2×0)7＝a 0＋a 1×0＋…＋a 7×0＝1，a 0＝1.(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)2－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)2＝(a 0＋a 1＋…＋a 7)[a 0＋a 2＋a 4＋a 6－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)]， 则可令x ＝1得：(1－2×1)7＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝－1， 再可令x ＝－1得：(1＋2×1)7＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 7＝37＝2 187， 可得：(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)2－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)2＝－1×2 187＝－2 187. 答案：1 －2 18717．设f (x )是(x 2＋12x )6展开式中的中间项，若f (x )≤mx 在区间[22，2]上恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：(x 2＋12x )6的展开式中的中间项为第四项，即f (x )＝C 36(x 2)3(12x )3＝52x 3，因为f (x )≤mx 在区间[22，2]上恒成立，所以m ≥52x 2在[22，2]上恒成立，所以m ≥(52x 2)max ＝5，所以实数m 的取值范围是[5，＋∞)． 答案：[5，＋∞) [能力提升]1．C 22n ＋C 42n ＋…＋C 2k2n ＋…＋C 2n2n (n ∈N *)的值为( ) A ．2nB ．22n －1C ．2n －1D ．22n －1－1解析：选D.(1＋x )2n＝C 02n ＋C 12n x ＋C 22n x 2＋C 32n x 3＋…＋C 2n 2n x 2n. 令x ＝1，得C 02n ＋C 12n ＋C 22n ＋…＋C 2n －12n ＋C 2n2n ＝22n；再令x ＝－1，得C 02n －C 12n ＋C 22n －…＋(－1)r C r 2n ＋…－C 2n －12n ＋C 2n2n ＝0. 两式相加，可得C 22n＋C 42n＋…＋C 2n 2n＝22n2－1＝22n －1－1.2．(2019·杭州七校联考)若(x ＋y )9按x 的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x ＋y ＝1，xy <0，则x 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫45，＋∞C ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－45 D ．(1，＋∞)解析：选D.二项式(x ＋y )9的展开式的通项是T r ＋1＝C r 9·x9－r ·y r. 依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧C 19·x 9－1·y ≤C 29·x 9－2·y 2，x ＋y ＝1，xy <0，由此得⎩⎪⎨⎪⎧x 8·（1－x ）－4x 7·（1－x ）2≤0，x （1－x ）<0，解之得x >1，即x 的取值范围为(1，＋∞)．3．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x n的展开式中前三项的系数分别为A ，B ，C ，且满足4A ＝9(C －B )，则展开式为x 2的系数为________．解析：易得A ＝1，B ＝n3，C ＝C 2n 9＝n （n －1）18，所以有4＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2－n 18－n 3，即n 2－7n －8＝0，解得n ＝8或n ＝－1(舍)．在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x 8中，因为通项T r ＋1＝C r 8x 8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x r＝C r83r ·x 8－2r ，令8－2r ＝2，得r ＝3，所以展开式中x 2的系数为5627.答案：56274．已知(x tan θ＋1)5的展开式中x 2的系数与⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋544的展开式中x 3的系数相等，则tan θ＝________．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋544的通项为T r ＋1＝C r 4·x 4－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫54r ，令4－r ＝3，则r ＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋544的展开式中x 3的系数是C 14·54＝5，(x tan θ＋1)5的通项为T R ＋1＝C R 5·(x tan θ)5－R ，令5－R ＝2，得R ＝3，所以(x tan θ＋1)5的展开式中x 2的系数是C 35·tan 2θ＝5，所以tan 2θ＝12，所以tan θ＝±22.答案：±225．(2019·台州市书生中学高三期中)设m ，n ∈N ，f (x )＝(1＋x )m＋(1＋x )n.(1)当m ＝n ＝5时，若f (x )＝a 5(1－x )5＋a 4(1－x )4＋…＋a 1(1－x )＋a 0，求a 0＋a 2＋a 4的值； (2)f (x )展开式中x 的系数是9，当m ，n 变化时，求x 2系数的最小值． 解：(1)当m ＝n ＝5时，f (x )＝2(1＋x )5， 令x ＝0，则f (0)＝a 5＋a 4＋…＋a 1＋a 0＝2， 令x ＝2，则f (2)＝－a 5＋a 4－…－a 1＋a 0＝2×35，所以a 0＋a 2＋a 4＝f （0）＋f （2）2＝35＋1＝244.(2)由题意得f (x )展开式中x 的系数是 C 1m ＋C 1n ＝m ＋n ＝9，x 2系数为C 2m ＋C 2n ＝m （m －1）2＋n （n －1）2＝m 2＋n 2－（m ＋n ）2＝m 2＋n 2－92，又m 2＋n 2－92＝m 2＋（9－m ）2－92＝2m 2－18m ＋722，因为m ，n ∈N ，所以当m ＝4或m ＝5时最小，最小值为16.6．(2019·金丽衢十二校联考)已知⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x n. (1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．解：(1)通项T r ＋1＝C r n⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －r·(2x )r ＝22r －n C r n x r，由题意知C 4n ，C 5n ，C 6n 成等差数列， 所以2C 5n ＝C 4n ＋C 6n ，所以n ＝14或7.当n ＝14时，第8项的二项式系数最大，该项的系数为22×7－14C 714＝3 432；当n ＝7时，第4、5项的二项式系数相等且最大， 其系数分别为22×3－7C 37＝352，22×4－7C 47＝70.(2)由题意知C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79， 所以n ＝12或n ＝－13(舍)． 所以T r ＋1＝22r －12C r 12x r.由⎩⎪⎨⎪⎧22r －12C r12≥22（r －1）－12C r －112，22r －12C r 12≥22（r ＋1）－12C r ＋112，得⎩⎪⎨⎪⎧r ≤525，r ≥475所以r ＝10. 所以展开式中系数最大的项为T 11＝22×10－12·C 1012x 10＝332(2x )10.。
2020-2021学年高考数学(理)考点：二项式定理
A． 80 【答案】C
B． 40
C．40
D．80
【解析】 (2x y)5 的展开式的通项公式： Tr1 ð5r (2x)5r ( y)r 25r (1)r ð5r x5r yr ． 令 5 r 2 ， r 3 ，解得 r 3 ．
令 5 r 3 ， r 2 ，解得 r 2 ．
(x y)(2x y)5 的展开式中的 x3 y3 系数 22 (1)3ð53 23 1 ð52 40 ． 故选 C．
2．（2020•新课标Ⅰ） (x y2 )(x y)5 的展开式中 x3 y3 的系数为（ ） x
A．5
B．10
C．15
D．20
【答案】C
【解析】因为 (x y2 )(x y)5 (x2 y2 )(x y)5 ；
x
x
要求展开式中 x3 y3 的系数即为求 (x2 y2 )(x y)5 展开式中 x4 y3 的系数；
由 r 0 ，得常数项是 T1 16 2 ；
当 r 1，3，5，7，9 时，系数为有理数， 系数为有理数的项的个数是 5 个．
故答案为：16 2 ，5． 15．（2019•上海）在 (x 1 )6 的展开式中，常数项等于__________．
x 【答案】15
【解析】 (x
1 x
)6
展开式的通项为 Tr1
二项展开式 的通项公式 二项式系数
(a＋b) n＝C0nan＋C1nan－1b1＋…＋Cnkan－kbk＋…＋Cnbn(n∈N*)
Tk＋1＝Cnkan－kbk，它表示第 k＋1 项 二项展开式中各项的系数 C0n，C1n，…，Cn
2.二项式系数的性质
(1)C0n＝1，Cn＝1，Cn＋m 1＝Cm－n 1＋Cmn .
高中数学二项式定理知识点总结
高中数学二项式定理知识点总结1. 二项式定理的定义二项式定理是指对于任意实数a和b以及非负整数n，有如下公式成立：(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + C(n, 2) * a^(n-2) * b^2 + … + C(n, n-1) * a * b^(n-1) + C(n, n) * a^0 * b^n其中，C(n, k)表示从n个元素中选择k个的组合数，也叫做二项系数。
公式中的每一项称为二项式展开式的项。
2. 二项式系数的计算二项系数C(n, k)的计算可以使用组合数公式表示，即：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * … * 2 * 1。
我们可以通过简化计算以及利用性质来计算二项系数。
例如，根据性质C(n, k) = C(n, n-k)，我们可以利用对称性简化计算。
3. 二项式定理的应用3.1. 求幂和根的近似值通过二项式定理，我们可以近似地计算某些幂和根的值。
例如，对于一个实数x和一个很小的实数y，我们可以利用二项式定理近似计算 (x + y)^n 的值。
3.2. 求组合数组合数是二项式系数的另一种常见应用。
在组合数学中，我们常常需要计算从n个元素中选择k个的组合数。
例如，在概率论中，我们需要计算选择k个事件发生的可能性。
3.3. 求多项式系数二项式定理还可以用来计算多项式的系数。
例如，对于一个多项式的展开式，我们可以通过二项式定理将其展开并求得各项系数。
4. 二项式定理的证明二项式定理可以通过数学归纳法来证明。
首先，我们证明当n=1时定理成立。
然后，我们假设当n=k时定理成立，并证明当n=k+1时也成立。
根据这个逻辑推理，我们可以得出结论二项式定理对于所有非负整数n都成立。
5. 二项式定理的拓展在高等数学中，二项式定理还有一些拓展形式。
(旧教材适用)2023高考数学一轮总复习第十一章计数原理概率随机变量及分布列第3讲二项式定理课件
A．－10
B．－5
C．5
D．10
答案 B
解析 (x＋y)5 的展开式的通项为 Tr＋1＝C5rx5－ryr，令 5－r＝1，得 r＝4， 令 5－r＝2，得 r＝3，∴(x－y)(x＋y)5 的展开式中 x2y4 的系数为 C45×1＋(－ 1)×C35＝－5.故选 B.
4．设(5x－ x)n 的展开式的各项系数之和为 M，二项式系数之和为 N，
M－N＝240，则展开式中 x3 的系数为( )
A．500
B．－500
C．150
D．－150
答案 C
解析 由题意可得 N＝2n，令 x＝1，则 M＝(5－1)n＝4n＝(2n)2.∴(2n)2－ 2n＝240，2n＝16(负值舍去)，n＝4.展开式中第 r＋1 项为 Tr＋1＝Cr4(5x)4－r(－
6．在(1－3
x)7＋
x＋ ax6的展开式中，若 x2 的系数为 19，则 a＝
____2____．
解析
(1－3
x)7＋
x＋ ax6的展开式中 x2 的系数为 C67(－1)6＋C16a1＝C67
＋aC16，则 aC16＋C67＝19，解得 a＝2.
2
PART TWO
核心考向突破
考向一 求展开式中的特定项或特定项系数
2．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则 a0＋a2＋a4 的值为( )
A．9
B．8
C．7
D．6
答案 B
解析 令 x＝1，则 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令 x＝－1，则 a0－a1＋a2 －a3＋a4＝16，两式相加，得 a0＋a2＋a4＝8.
3．(x－y)(x＋y)5 的展开式中 x2y4 的系数为( )
超实用高考数学专题复习教学课件：11.3 二项式定理
二项式系数
(a+b)n=
C0 an+C1 an-1b+…+C an-rbr+…+C bn (n∈N )
+
n-r r
C
Tr+1= a b ,它表示第
r+1
项(0≤r≤n,r∈N)
0 1
C
,
C
,…,C
二项展开式中各项的系数为
2.二项式系数的性质
性质 性质描述
对称
5-3r=2,得 r=1.
∴x2 的系数为 21·
C51 =2×5=10.
1 6
(2)∵(- ) 的展开式的通项为
6-r 6-2r
r 6-r 6-r-r
Tr+1=C6 (-1) a x =C6 (-1) a x ,令
6-2r=0 得 r=3,可得常数项为C63 (-1)3a3=-20a3=-20,得 a=1.
步骤
(1)根据二项式定理把(a+b)m与(c+d)n分别展开,并写出其通项;
(2)根据特定项的次数,分析特定项可由(a+b)m与(c+d)n的展开式中的哪些
项相乘得到;
(3)把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.
对点训练 2(1)(1-√)6(1+√)4 的展开式中 x 的系数是(
A.-4
r=1,则可
-1
3.已知C0 3n+C1 3n-1+C2 3n-2+…+C 3+C =212,则 n=(
A.8
B.6
C.4
)
D.2
答案 B
-1
高考数学一轮总复习 11.3 二项式定理课件(含高考真题)文 新人教版
∴A=(-a)2C62=15a2,
B=(-a)3C63=-20a3.
又∵B=4A,∴-20a3=60a2.
∴a=-3(a=0 舍去).
-3
关闭
关闭
解析
答案9
梳理自测
-10-
5.
������-
1 3 ������
18
的展开式中含 x15 的项的系数为
.(结果用数值表示)
������-
1 3 ������
-4-
3.二项式系数的性质
(1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即
C������������ = C������������-������ .
������
(2)增减性与最大值:当 n 是偶数时,中间一项的二项式系数 C���2��� 最大;
������-1
������+1
当 n 是奇数时,中间两项的二项式系数 C������2 、 C������2 相等且最大.
3.若(x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则 a0+a2+a4 的值为( )
A.9
B.8
C.7 D.6
(x-1)4=1+C41x(-1)3+C42x2(-1)2+C43x3(-1)+x4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,∴ a0=1,a2=C42=6,a4=1.∴a0+a2+a4=8.
(3)各二项式系数的和:C���0��� + C���1��� + C���2��� +…+C������������ = 2n ,其中C���0��� +
2020年 名师讲解高考数学总复习 第11章 11.3 二项式定理
§11.3二项式定理考情考向分析以理解和应用二项式定理为主，常考查二项展开式，通项公式以及二项式系数的性质，赋值法求系数的和也是考查的热点；本节内容在高考中以解答题的形式进行考查，难度中档．1．二项式定理2．二项式系数的性质(1)C 0n ＝1，C n n ＝1. C m n ＋1＝C m －1n ＋C m n . (2)C m n ＝C n －m n .(3)当n 是偶数时，12n T +项的二项式系数最大；当n 是奇数时，12n T +与112n T ++项的二项式系数相等且最大．(4)(a ＋b )n 展开式的二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n .概念方法微思考1．(a＋b)n与(b＋a)n的展开式有何区别与联系？提示(a＋b)n的展开式与(b＋a)n的展开式的项完全相同，但对应的项不相同而且两个展开式的通项不同．2．二项展开式形式上有什么特点？提示二项展开式形式上的特点(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.，C n n.(4)二项式的系数从C0n，C1n，一直到C n－1n3．二项展开式中二项式系数最大时该项的系数就最大吗？提示不一定最大，当二项式中a，b的系数为1时，此时二项式系数等于项的系数，否则不一定．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)C r n a n－r b r是二项展开式的第r项．(×)(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(×)(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(√)(4)(a－b)n的展开式第r＋1项的系数为C r n a n－r b r.(×)(5)(x－1)n的展开式二项式系数和为－2n.(×)题组二教材改编2．[P32练习T2](x－2y)7的展开式中，第4项的二项式系数为________答案35解析第4项的二项式系数为C37＝35.3．[P32练习T5]在(x－2)4的展开式中，x的系数为________．答案24解析由题意可知T r＋1＝C r4(x)4－r(－2)r＝424(2)rr rC x--，令4－r2＝1解得r＝2，所以展开式中x的系数为C24· (－2)2＝24.4．[P35练习T4]已知C0n＋2C1n＋22C2n＋23C3n＋…＋2n C n n＝729，则C1n＋C2n＋C3n＋…＋C n n＝_____.答案63解析逆用二项式定理得C0n＋2C1n＋22C2n＋23C3n＋…＋2n C n n＝(1＋2)n＝3n＝729，即3n＝36，所以n＝6，所以C1n＋C2n＋C3n＋…＋C n n＝26－C0n＝64－1＝63.题组三易错自纠5．(x －y )n 的二项展开式中，第m 项的系数是________．答案 (－1)m －1C m －1n解析 (x －y )n 二项展开式第m 项的通项公式为T m ＝C m －1n(－y )m －1x n －m ＋1，所以系数为C m －1n(－1)m －1. 6．已知(x ＋1)10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10.若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈N *)是一个单调递增数列，则k 的最大值是________． 答案 6解析 由二项式定理知，a n ＝C n －110(n ＝1,2,3，…，11)．又(x ＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项， 所以a 6＝C 510，则k 的最大值为6.7．(x y －y x )4的展开式中，x 3y 3项的系数为________． 答案 6解析 二项展开式的通项是T r ＋1＝C r 4(x y )4－r· (－y x )r ＝42224(1)r r rrC xy-+-，令4－r 2＝2＋r2＝3，解得r ＝2，故展开式中x 3y 3的系数为(－1)2C 24＝6.题型一 二项展开式 命题点1 求指定项(或系数) 例1 (1)⎝⎛⎭⎫x ＋12x 8的展开式中常数项为________． 答案358解析 展开式的通项为T r ＋1＝C r 8(x )8－r ⎝⎛⎭⎫12x r＝C r 8×⎝⎛⎭⎫12r ×x 4－r ， 令4－r ＝0，则r ＝4， ∴⎝⎛⎭⎫x ＋12x 8的展开式中常数项为T 5＝C 48· 124＝358.(2)在(x 2－4)5的展开式中，含x 6的项为________． 答案 160x 6解析 因为(x 2－4)5的展开式的第r ＋1项的通项公式为T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r (－4)r ＝(－4)r C r 5x 10－2r，令10－2r ＝6，得r ＝2，所以含x 6的项为T 3＝(－4)2· C 25x 6＝160x 6.(3)(x 2＋x ＋y )4的展开式中，x 3y 2的系数是________． 答案 12解析 方法一 (x 2＋x ＋y )4＝[(x 2＋x )＋y ]4，其展开式的第r ＋1项的通项公式为T r ＋1＝C r 4(x 2＋x )4－r y r ， 因为要求x 3y 2的系数，所以r ＝2，所以T 3＝C 24(x 2＋x )4－2y 2＝6(x 2＋x )2y 2. 因为(x 2＋x )2的展开式中x 3的系数为2， 所以x 3y 2的系数是6×2＝12.方法二 (x 2＋x ＋y )4表示4个因式x 2＋x ＋y 的乘积，在这4个因式中，有2个因式选y ，其余的2个因式中有一个选x ，剩下的一个选x 2，即可得到含x 3y 2的项，故x 3y 2的系数是C 24· C 12· C 11＝12.命题点2 求参数例2 (1)(2018·江苏省无锡市江阴四校期中)⎝⎛⎭⎫ax －1x 8的展开式中x 2的系数为70，则a ＝______. 答案 ±1解析 ⎝⎛⎭⎫ax －1x 8的展开式的通项公式为T r ＋1＝38828(1)r r r rC a x --⋅-⋅⋅，令8－3r 2＝2，求得r ＝4，故x 2的系数为C 48·a 4＝70， 则a ＝±1.(2)(2018·苏州调研)若(x 2－a )⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a ＝________. 答案 2解析 由题意得⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 10·x 10－r ·⎝⎛⎭⎫1x r ＝C r 10x 10－2r ，⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中含x 4(当r ＝3时)，x 6(当r ＝2时)项的系数分别为C 310，C 210，因此由题意得C 310－a C 210＝120－45a ＝30，由此解得a ＝2.思维升华 求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k ＋1，代回通项公式即可． 跟踪训练1 (1)(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为________．(用数字填写答案) 答案 40解析 因为x 3y 3＝x ·(x 2y 3)，其系数为－C 35·22＝－40， x 3y 3＝y ·(x 3y 2)，其系数为C 25·23＝80.所以x 3y 3的系数为80－40＝40.(2)(x ＋a )10的展开式中，x 7项的系数为15，则a ＝______.(用数字填写答案) 答案 12解析 通项为T r ＋1＝C r 10x 10－r a r ，令10－r ＝7， 得r ＝3，∴x 7项的系数为C 310a 3＝15，∴a 3＝18，∴a ＝12.题型二二项式系数的和与各项的系数和问题例3 (1)(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝____. 答案 3解析 设(a ＋x )(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5， 令x ＝1，得16(a ＋1)＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，① 令x ＝－1，得0＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5.② ①－②，得16(a ＋1)＝2(a 1＋a 3＋a 5)，即展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为a 1＋a 3＋a 5＝8(a ＋1)，所以8(a ＋1)＝32，解得a ＝3. (2)(2018·苏州质检)若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为________． 答案 1或－3解析 令x ＝0，则(2＋m )9＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9， 令x ＝－2，则m 9＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9， 又(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 8－a 9)＝39， ∴(2＋m )9·m 9＝39，∴m (2＋m )＝3， ∴m ＝－3或m ＝1.(3)(2018·南通模拟)若⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 1＋a 2＋…＋a n 的值为________． 答案 255解析 ⎝⎛⎭⎫x 2－1x n 展开式的第r ＋1项为 T r ＋1＝C r n (x 2)n －r ·⎝⎛⎭⎫－1x r ＝C r n (－1)r x2n－3r，当r ＝5时，2n －3r ＝1，∴n ＝8. 对(1－3x )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 8x 8， 令x ＝1，得a 0＋a 1＋…＋a 8＝28＝256. 又当x ＝0时，a 0＝1， ∴a 1＋a 2＋…＋a 8＝255.思维升华 (1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法．(2)若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.跟踪训练2 已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7. 求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6； (4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.解 令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1.① 令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37.② (1)∵a 0＝C 07＝1，∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2. (2)(①－②)÷2，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1－372＝－1 094.(3)(①＋②)÷2，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－1＋372＝1 093.(4)方法一 ∵(1－2x )7展开式中，a 0，a 2，a 4，a 6大于零，而a 1，a 3，a 5，a 7小于零， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝1 093－(－1 094)＝2 187. 方法二 |a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|即为(1＋2x )7展开式中各项的系数和，令x ＝1， ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝37＝2 187.题型三 二项式定理的应用例4 (1)设a ∈Z 且0≤a <13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝________. 答案 12解析 512 012＋a ＝(52－1)2 012＋a ＝C 02 012·522 012－C 12 012·522 011＋…＋C 2 0112 012·52·(－1)2 011＋C 2 0122 012·(－1)2 012＋a ， ∵C 02 012·522 012－C 12 012·522 011＋…＋C 2 0112 012·52·(－1)2 011能被13整除且512 012＋a 能被13整除， ∴C 2 0122 012·(－1)2 012＋a ＝1＋a 也能被13整除， ∴a 的值为12.(2)设复数x ＝2i 1－i (i 是虚数单位)，则C 12 019x ＋C 22 019x 2＋C 32 019x 3＋…＋C 2 0192 019x 2 019＝________. 答案 －1－i解析 x ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i ，C 12 019x ＋C 22 019x 2＋C 32 019x 3＋…＋C 2 0192 019x2 019 ＝(1＋x )2 019－1＝i 2 019－1＝－i －1. 思维升华 (1)逆用二项式定理的关键根据所给式子的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解．(2)利用二项式定理解决整除问题的思路 ①观察除式与被除式间的关系； ②将被除式拆成二项式； ③结合二项式定理得出结论．跟踪训练3 (1)(2018·宿迁模拟)1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010除以88的余数是________． 答案 1解析 1－90C 110＋902C 210－903C 310＋…＋(－1)k 90k C k 10＋…＋9010C 1010＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C 110889＋…＋C 91088＋1， ∵前10项均能被88整除，∴余数是1.(2)若(1－2x )2 018＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 018x 2 018，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018＝________.答案 －1解析 当x ＝0时，左边＝1，右边＝a 0，∴a 0＝1. 当x ＝12时，左边＝0，右边＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018，∴0＝1＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018，即a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018＝－1.1．在⎝⎛⎭⎫x 2－2x 6的展开式中，常数项为________． 答案 240解析 ⎝⎛⎭⎫x 2－2x 6的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ⎝⎛⎭⎫－2x r ＝(－2)r C r 6x 12－3r ，令12－3r ＝0，得r ＝4，故常数项为T 5＝(－2)4C 46＝240.2．(2018·苏州联考)⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中x 3项的系数为________． 答案 －80解析 ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5(2x )5－r · ⎝⎛⎭⎫－1x r ＝(－1)r ·25－r · C r 5·x 5－2r ，令5－2r ＝3，得r ＝1.于是展开式中x 3项的系数为(－1)·25－1· C 15＝－80. 3．(x ＋y )(2x －y )6的展开式中x 4y 3的系数为________． 答案 80解析 (2x －y )6的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(2x )6－r (－y )r ，当r ＝2时，T 3＝240x 4y 2，当r ＝3时，T 4＝－160x 3y 3，故x 4y 3的系数为240－160＝80.4．(1＋3x )n 的展开式中x 5与x 6的系数相等，则x 4的二项式系数为________． 答案 35解析 ∵T r ＋1＝C r n (3x )r ＝3r C r n x r ，由已知得35C 5n ＝36C 6n ，即C 5n ＝3C 6n ，∴n ＝7，∴x 4的二项式系数为C 47＝35.5．(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是________． 答案 15解析 设展开式中的常数项是第r ＋1项，则T r ＋1＝C r 6·(4x )6－r ·(－2－x )r ＝C r 6·(－1)r ·212x －2rx·2－rx＝C r 6·(－1)r ·212x －3rx，∵12x －3rx ＝0恒成立，∴r ＝4，∴T 5＝C 46·(－1)4＝15.6．若在(x ＋1)4(ax －1)的展开式中，x 4项的系数为15，则a 的值为________． 答案 4解析 ∵(x ＋1)4(ax －1)＝(x 4＋4x 3＋6x 2＋4x ＋1)(ax －1)，∴x 4项的系数为4a －1＝15，∴a ＝4. 7．若二项式⎝⎛⎭⎫x 2＋ax 7的展开式中的各项系数之和为－1，则含x 2项的系数为________． 答案 560解析 取x ＝1，得二项式⎝⎛⎭⎫x 2＋ax 7的展开式中的各项系数之和为(1＋a )7，即(1＋a )7＝－1，解得a ＝－2.二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x 7的展开式的通项为T r ＋1＝C r 7·(x 2)7－r · ⎝⎛⎭⎫－2x r ＝C r 7·(－2)r ·x 14－3r .令14－3r ＝2，得r ＝4.因此，二项式⎝⎛⎭⎫x 2－2x 7的展开式中含x 2项的系数为C 47·(－2)4＝560. 8．若(1－3x )2 018＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 018x 2 018，x ∈R ，则a 1·3＋a 2·32＋…＋a 2 018·32 018的值为____． 答案 82 018－1解析 由已知，令x ＝0，得a 0＝1， 令x ＝3，得a 0＋a 1·3＋a 2·32＋…＋a 2 018·32 018 ＝(1－9)2 018＝82 018，所以a 1·3＋a 2·32＋…＋a 2 018·32 018 ＝82 018－a 0＝82 018－1.9．若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________.(用数字作答) 答案 10解析 f (x )＝x 5＝(1＋x －1)5，它的通项为T r ＋1＝C r 5(1＋x )5－r ·(－1)r ， T 3＝C 25(1＋x )3(－1)2＝10(1＋x )3，∴a 3＝10.10．若⎝⎛⎭⎫ax 2＋bx 6的展开式中x 3项的系数为20，则log 2a ＋log 2b ＝________. 答案 0解析 ⎝⎛⎭⎫ax 2＋b x 6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6a 6－r ·b r x 12－3r ，令12－3r ＝3，则r ＝3，∴⎝⎛⎭⎫ax 2＋b x 6的展开式中x 3项的系数为C 36a 3b 3＝20，∴ab ＝1，∴log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )＝log 21＝0.11．(2018·徐州模拟)若(1＋x ＋x 2)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 12x 12，则a 2＋a 4＋…＋a 12＝__________.(用数字作答) 答案 364解析 令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 12＝36，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…＋a 12＝1， ∴a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12.令x ＝0，得a 0＝1，∴a 2＋a 4＋…＋a 12＝36＋12－1＝364.12．设f (x ，n )＝(1＋x )n ，n ∈N *. (1)求f (x,6)的展开式中系数最大的项；(2)当n ∈N *时，化简C 0n 4n －1＋C 1n 4n －2＋C 2n 4n －3＋…＋C n －1n 40＋C n n 4－1； (3)求证：C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋n C n n ＝n ×2n －1. (1)解 展开式中系数最大的项是第四项为C 36x 3＝20x 3. (2)解 C 0n 4n －1＋C 1n 4n －2＋C 2n 4n －3＋…＋C n －1n 40＋C n n 4－1＝14(C 0n 4n ＋C 1n 4n －1＋C 2n 4n －2＋…＋C n －1n 4＋C n n) ＝14(4＋1)n ＝5n4. (3)证明 因为r C r n ＝n C r －1n －1，所以C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋n C n n ＝n (C 0n －1＋C 1n －1＋C 2n －1＋…＋C n －1n －1)＝n ×2n －1.13．在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝________. 答案 120解析 因为f (m ，n )＝C m 6C n 4，所以f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 06C 34＝120.14．已知⎝⎛⎭⎫x －12x n (n ∈N *)的展开式中所有项的二项式系数之和、系数之和分别为p ，q ，则p ＋64q 的最小值为________． 答案 16解析 显然p ＝2n .令x ＝1，得q ＝12n .所以p ＋64q ＝2n ＋642n ≥22n ·642n ＝16，当且仅当2n ＝642n ，即n ＝3时取等号，此时p ＋64q 的最小值为16.15.⎝⎛⎭⎫2x ＋1x －35的展开式中常数项是________． 答案 －1 683解析 ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x －35表示五个⎝⎛⎭⎫2x ＋1x －3相乘，则展开式中的常数项由三种情况产生，第一种是从五个⎝⎛⎭⎫2x ＋1x －3中分别抽取2x,2x ，1x ，1x ，－3，则此时的常数项为C 25·C 23·22·(－3)＝－360，第二种情况是从五个⎝⎛⎭⎫2x ＋1x －3中都抽取－3，则此时的常数项为(－3)5＝－243，第三种情况是从五个⎝⎛⎭⎫2x ＋1x －3中分别抽取2x ，1x ，－3，－3，－3，则此时的常数项为C 15·C 14·21·(－3)3＝－1 080，则展开式中常数项为－360－243－1 080＝－1 683.16．若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋24x n展开式中前三项的系数和为163，求： (1)展开式中所有x 的有理项； (2)展开式中系数最大的项．解 易求得展开式前三项的系数为1,2C 1n ，4C 2n . 由题意得1＋2C 1n ＋4C 2n ＝163，可得n ＝9.(1)设展开式中的有理项为T r ＋1，由T r ＋1＝C r 9(x )9－r⎝ ⎛⎭⎪⎫24x r ＝183492r r rC x -， 又∵0≤r ≤9，∴r ＝2,6. 故有理项为T 3＝183222492C x -⨯⋅＝144x 3，T 7＝183666492C x-⨯⋅⋅＝5 376.(2)设展开式中T r ＋1项的系数最大，则⎩⎪⎨⎪⎧2r C r 9≥2r ＋1C r ＋19，2r C r 9≥2r －1C r －19， ∴173≤r ≤203， 又∵r ∈N ，∴r ＝6，故展开式中系数最大的项为T 7＝5 376.。
2020年高考理科数学复习课件：11.3 二项式定理
-
1 ������
5
=-8 064.
设第 k+1 项的系数的绝对值最大,
则 Tk+1=C1������0 ·(2x)10-k·
-
1 ������
������ =(-1)kC1������0 ·210-k·x10-2k,
令 C1������0·210-������ ≥ C1������0-1·210-������+1,得 C1������0 ≥ 2C1������0-1, C1������0·210-������ ≥ C1������0+1·210-������-1, 2C1������0 ≥ C1������0+1,
-
2 ������3
������=(-2)rC5������ x10-5r,
由 10-5r=0,得 r=2,
∴T3=(-2)2C52=40.
(2)由 Tr+1=C7������ x7-r
1 2������
������
=
1 2������
·C7������ x7-2r,取
7-2r=1,得
r=3,
∴二项式
考点1
考点2
考点3
关键能力·学案突破
-14-
对点训练1(1)(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为( )
A.-80 B.-40 C.40 D.80
(2)(2018学科网考前猜题)
1 ������- 3√x -y
6
的展开式中含xy的项的系数
Байду номын сангаас
为( )
A.30 B.60
C.90 D.120
(3)(2018湖南郴州模拟)若二项式(sin φ+x)6的展开式中,x5的系数
高考数学一轮复习第十一章第三节二项式定理课件理(1).ppt
的展开式中的有理项共有________项．
, ∴r 为 4 的倍数，故 r＝0,4,8 共 3 项． 答案：3
5．已知(1＋x)n 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式 系数相等，则 n＝________.
答案：10
6．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则 a0＋a2＋ a4 的值为________．
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数．可由某项 得出参数项，再由通项公式写出第 k＋1 项，由特定项 得出 k 值，最后求出其参数．
在高考中常涉及一些多项式的二项式问 题，主要考查学生的转化归纳能力，主要有以 下几个命题角度：
角度一：几个多项式和的展开式中的特定 项(系数)问题
[典题 2] x3－2x4＋x＋1x8 的展开式中的 常数项为( )
赋值法的应用 (1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈ R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值 法，只需令 x＝1 即可． (2)对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展 开式各项系数之和，只需令 x＝y＝1 即可．
(3)若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则 f(x) 展开式中各项系数之和为 f(1)，
3．(x y－y x)4 的展开式中，x3y3 项的系数为________．
解析：二项展开式的通项是 Tr＋1＝Cr4(x y)4－r·(－y x)r
＝
，令 4－2r＝2＋2r＝3，解得 r＝2，故
展开式中 x3y3 的系数为(－1)2C24＝6.
答案：6
4.
x－ 1 4
2
8 x
(5)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或 中间两项．( )
(6)(a＋b)n 某项的系数是该项中非字母因数部 分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．( )
2020届高三理科数学一轮复习 第十一章 第3节 二项式定理
考点一 展开式中的特定项或项的系数(多维探究)
(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步 所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求 系数中 n 和 r 的隐含条件，即 n，r 均为非负整数，且 n≥r，如 有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求 (2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计
解析 法一 (x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，
含 y2 的项为 T3＝C25(x2＋x)3·y2. 其中(x2＋x)3 中含 x5 的项为 C13x4·x＝C13x5. 所以 x5y2 的系数为 C25C13＝30. 法二
∴x5y2 可从其中 5 因式取 y，两个取 因此 x5y2 的系数为 答案 C
解析
（1）C1n＋2C2n＋4C3n＋…＋2n－1Cnn
＝12(C0n＋2C1n＋22C2n＋…＋2nCnn)－12
1
n 1 3n－1
(2)81x4＋108x3＋54x2＋ 所以上式能被 5 整除的 最小自然数为 x＝3.
《创新设计》2020版
高三一轮总复习备选课
01
目录
CONTENTS
标题文本预设
∴x3＋2xn＝x3＋2x5，
则 Tr＋1＝Cr5·(x3)5－r·2r＝2r·C5r·x15－4r，
考点二 二项式系数的和与各项的系数和
[训练 2] (2)(2019·湘潭三模)若(1＋x)(1－2x)8＝a0＋a1x＋…＋a9x9，
＋a2·22＋…＋a9·29 的值为( )
f（1）－f（－1）
考点二 二项式系数的和与各项的系数和
[训练 2] (1)(2019·烟台模拟)已知x3＋2xn的展开式的各项系数和为
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
( ×) (3)在(a+b)n的展开式中,每一项的二项式系数都与a,b无关. ( √ ) (4)通项Tr+1= C������������ an-rbr 中的a和b不能互换. ( √ ) (5)在(a+b)n的展开式中,某项的系数与该项的二项式系数相同.
xT6-T5=[C65(-2)5-C64(-2)4]x2=-432x2, 即展开式中含 x2 项的系数为-432.
考点1
考点2
考点3
-8-
通项公式及其应用(多考向)
考向1 已知二项式求其特定项(或系数)
例 1(1)
������
2
-
2 ������3
5
的展开式中的常数项为(
)
A.80
B.-80
C.40
3.使
������2
+
1 2������3
������
(n∈N*)展开式中含有常数项的 n 的最小值是
(C)
பைடு நூலகம்
A.3
B.4
C.5
D.6
解析:∵Tk+1=C������������ (x2)n-k
1 2������3
������
=
1 2������
C������������
x2n-5k,∴令
2n-5k=0,得
由 6-r-2s=5,得 r+2s=1,
∵r,s∈N,∴r=1,s=0. ∴在 x+1������-1)6的展开式中,含 x5 项的系数为-C61 ·C50=-6.
故选 B.
-11-
考点1
考点2
考点3
考向3 求因式之积的特定项系数
例3
1
+
1 ������2
(1+x)6 展开式中x2的系数为(
C
)
A.15 B.20 C.30 D.35
-15-
考点1
考点2
考点3
二项式系数的性质与各项系数和(多考向)
考向1 二项式系数的最值问题 例 4 已知 m 为正整数,(x+y)2������ 展开式的二项式系数的最大值为
a,(x+y)2������+1展开式的二项式系数的最大值为 b.若 13a=7b,则
m=( B )
A.5
B.6
C.7
D.8
为3,则cos 2φ的值为
.
答案: (1)C (2)B (3)12
-14-
考点1
考点2
考点3
解析: (1)(2x-y)5 的展开式的通项公式 Tr+1=C5������(2x)5-r(-y)r.
当 r=3 时,x(2x-y)5 的展开式中 x3y3 的系数为C53 ×22×(-1)3=-40;
当 r=2 时,y(2x-y)5 的展开式中 x3y3 的系数为C52 ×23×(-1)2=80.
即
11-������ ≥ 2������, 2(������ + 1) ≥
解得8 10-������, 3
≤k≤
131.
∵k∈Z,∴k=3.
故系数的绝对值最大的项是第 4 项,T4=-C130 ·27·x4=-15 360x4.
-18-
考点1
考点2
考点3
考向3 求二项式展开式中系数的和
系数������nk 当 k>������2-1(n∈N*)时,二项式系数是递减的 ������
当 n 为偶数时,中间的一项C���2��� 取得最大值
������ -1
������ +1
当 n 为奇数时,中间的两项C������2 和C������2 相等,同时取得最大
值
知识梳理 考点自诊
-3-
故展开式中 x3y3 的系数为 80-40=40.
(2)展开式中含 xy 的项来自C61(-y)1
������-
1 3√x
5
,
������-
1 3√������
5
展开式通项为
Tr+1=(-1)rC5������ ������5-43������
,
令 5-43r=1⇒r=3,
������-
1 3√������
n=52k,
∴n 的最小值是 5.
-6-
知识梳理 考点自诊
4.(2018广东佛山七校联考)已知(x+2)(2x-1)5=a0+a1x +a2x2+a3x3+ a4x4+a5x5+a6x6,则a0+a2+a4= ( C )
A.123 B.91 C.-152 D.-120 解析:在(x+2)(2x-1)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6中, 取x=1,得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=3,取x=-1, 得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=-243,
二项展开式中各项的系数为������n0, ������n1,…,������nn
知识梳理 考点自诊
-2-
2.二项式系数的性质
性质 对称性 增减性
最大值
性质描述
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,
即 C������������ = C������������-������
二项式 当 k<n+2 1(n∈N*)时,二项式系数是递增的
-17-
考点1
考点2
考点3
解析:由题意知,22n-2n=992,即(2n-32)(2n+31)=0,故 2n=32,解得
n=5.由二项式系数的性质知,
2������-
1 ������
10
的展开式中第 6 项的二项式系
数最大,故二项式系数最大的项为 T6=C150(2x)5
-
1 ������
5
=-8 064.
考点1
考点2
考点3
-13-
对点训练1(1)(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为( )
A.-80 B.-40 C.40 D.80
(2)(2018学科网考前猜题) 为( )
1 ������- 3√x -y
6
的展开式中含xy的项的系数
A.30 B.60
C.90 D.120
(3)(2018湖南郴州模拟)若二项式(sin φ+x)6的展开式中,x5的系数
知识梳理 考点自诊
-1-
1.二项式定理
二项式定理 二项展开式的 通项公式 二项式系数
(a+b)n=C���0��� an+C���1��� an-1b+…+C������������ an-rbr+…(+nC∈������������Nbn*) Tr+1= C������������ an-rbr ,它表示第 r+1 项(0≤r≤n,r ∈N)
思考如何求两个因式之积的特定项系数?
解析: (方法一)
1
+
1 ������2
(1+x)6=1·(1+x)6+���1���2 ·(1+x)6,(1+x)6 的展
开式中的 x2 的系数为C62 = 6×25=15,���1���2 ·(1+x)6 的展开式中的 x2 的系数
为C64=15,所以 x2 的系数为 15+15=30.
m=6.故选
B.
考点1
考点2
考点3
-16-
考向2 项的系数的最值问题
例 5 已知(3√x+x2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x-1)n 的展开式
的二项式系数和大 992,则在
2x-
1 x
2n
的展开式中,二项式系数最大
的项为
,系数的绝对值最大的项为
.
思考如何求二项展开式中项的系数的最值?
答案:-8 064 -15 360x4
15x2+15x2=30x2,其系数是 30.
-12-
考点1
考点2
考点3
解题心得1.求二项展开式中的特定项问题,实质是考查通项Tk+1= C������������ an-kbk 的特点,一般需要先建立方程求k,再将k的值代回通项求解, 注意k的取值范围(k=0,1,2,…,n).特定项的系数问题及相关参数值 的求解等都可依据上述方法求解.
(×)
-5-
知识梳理 考点自诊
2.(2018 全国 3,理 5)
������2
+
2 ������
5
的展开式中 x4 的系数为(
C
)
A.10
B.20
C.40
D.80
解析:由展开式知 Tr+1=C5������ (x2)5-r(2x-1)r=C5������ 2rx10-3r.当 r=2 时,x4 的 系数为C52 ×22=40.
5
展开式中
x
的系数为(-1)3C53,
所以
������-
1 3√������
-������
6
的展开式中含 xy 的项的系数为
C61(-1)C53(-1)3=60,故选 B.
(3)由二项展开式的通项 Tr+1=C6������(sin φ)6-rxr 可得,C65sin φ=3,
即 sin φ=12,因此 cos 2φ=12.
-
2 ������3
������=(-2)rC5������ x10-5r,