概率论--统计学

3. 性质 : 4. F - 分布的上 α 分位点 : 分布的上α 对于给定的 α, 0 < α < 1, 称满足条件 :
1 若F ~ F(n 1 , n 2 ), 则 ~ F(n 2 , n 1 ). F
P{F > Fα (n 1 , n 2 )} =
∫
+∞
的点Fα (n 1 , n 2 )为F − 分布的上 α分位点.
χ 2 ( n )的概率密度为
n y −1 1 y 2 e 2 , y > 0, n2 f(y) = 2 Γ( n 2 ) . 0, y ≤ 0,
1.χ 2 分布的可加性 :
若χ ~ χ (n1 ), χ ~ χ (n 2 ), 并且χ , χ 独立,
2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2
+∞
2 的点 χ α ( n )为 χ 2 ( n )分布的上 α 分位点 .
2 χα
(n )
f ( y )dy = α
其值可由附表 5(书P375)给出(n ≤ 45), 当n充分大时 , 1 2 χ α (n ) ≈ (Z α + 2n - 1 )2 . 2
f(y) 0
α
2 χ α (n )
y
(二) t-分布 二 分布 分布:
1. 由 t分布的上 α 分位点的定义及 h(t)的对称性知 t 1- α (n) = -t α (n).
tα (n )
h(t)dt = α
2. t分布的上 α分位点可由附表 4查出, 在n > 45时, t α (n) ≈ Z α .
h(t)
α
0
t α (n )
t
(四) F分布 四 分布 分布:
设总体 X(不管服从什么样的分布 , 只要均值 和方差存在 ) 的均值为 µ , 方差为 σ 2 , X 1 , X 2 , L , X n 是 X的一个样本 , 则
E( X ) = ?, D( X ) = ?
1 n 服从什么分布？ 进一步, 若X ~ N(µ , σ ), 则X = ∑ Xi服从什么分布？ n i =1
1. 定义 : 设U ~ χ 2 (n1 ), V ~ χ 2 (n 2 ), 且U, V独立, U/n1 则称r.v.F = 服从自由度为(n1 , n 2 )的F V / n2 分布, 记作F ~ F(n 1 , n 2 ).
2. F分布的概率密度函数 :
Γ[(n 1 + n 2 ) 2] (n 1 n 2 ) n1 2 y ( n1 2 )-1 , y > 0, ( n1 + n 2 ) 2 ψ(y) = Γ(n 1 2)Γ(n 2 2)(1 + n 1 y n 2 ) 0, 其它.
2 2
1 n1 1 n1 2 ( Xi − X) 2 , S 2 = ( Yi − Y)2 , 独立, S1 = ∑ ∑ 2 n1 − 1 i=1 n 2 − 1 i=1
2 S1
则
σ σ
2 1 2 2
S
2 2
~ F (n 1 − 1, n 2 − 1)
第七章
参数估计
参数估计的一般提法： 设有一个统计总体，总体的分布函数
南京航空航天大学
目
录
随机样本 抽样分布 点估计 估计量的评选标准 区间估计 正态总体均值与方差的区间估计 (0-1)分布参数的区间估计 (0-1)分布参数的区间估计 单侧置信区间 假设检验 正态总体均值的假设检验 正态总体方差的假设检验 分布的拟合检验 秩和检验
第六章 样本及抽样分布
定义: 一. 定义 总体：试验的全部可能的观察值。这些值可能相同， 总体：试验的全部可能的观察值。这些值可能相同，可 能 不相同。 不相同。 个体：总体中的每一个可能的观察值。 个体：总体中的每一个可能的观察值。 容量：总体中所包含个体的数目。 容量：总体中所包含个体的数目。容量为有限的称为有 限 总体，容量为无限的称为无限总体。 总体，容量为无限的称为无限总体。 总体的表示： 来表示。 总体的表示：用一个随机变量 X来表示。如 来表示 （0-1）分布总体：总体中的个体是（0-1）分布随机 ）分布总体：总体中的个体是（ ） 变量；指数分布总体： 变量；指数分布总体：总体中的个体是指数分布的随机 变量。 变量。
若 X是连续型 r.v. X 1,X 2 , L X n为总体 X的一个样本 ,已知总体 的分布函数为 F(x) ，求 X 1,X 2 , L X n的联合分布函数 F * ( x 1 , x 2 ,... x n ) ?
若总体X是离散型 其分布律为 若总体 是离散型r.v.其分布律为 P{X=x}=p(x), 是离散型 则样本X 的联合分布律是什么？ 则样本 1, X2, …, Xn的联合分布律是什么？
§1. 随机样本
在实际中，总体的分布往往未知或部分未知（ 在实际中，总体的分布往往未知或部分未知（分布 中含有未知参数）。 ）。人们都是通过从总体中抽取一 中含有未知参数）。人们都是通过从总体中抽取一 部分个体，根据获得的数据对总体分布作出推断。 部分个体，根据获得的数据对总体分布作出推断。 样本(容量为 ： 个相互独立 个相互独立， 样本 容量为n)：n个相互独立，与总体同分布的随机 容量为 变量 (X1, X2,…,Xn) 。 样本值：样本(X1 ,X2,…,Xn)的观察值 1 ,x2 , …,xn)， 的观察值(x 样本值：样本 的观察值 ， 也称为相应于总体X的 个独立的观察值 个独立的观察值。 也称为相应于总体 的n个独立的观察值。
又若 X 具有概率密度 f(x), 则 X 1 , X 2 , L X n的联合概率 密度为 ?
§2. 抽样分布
定义: 是来自总体X的一个样本 的一个样本, 一. 定义 设X1, X2, …, Xn是来自总体 的一个样本 又设 g(X1, X2, …, Xn)是一个连续函数 如果g中不含有未知参 是一个连续函数, 如果 中不含有未知参 是一个连续函数 则称g(X1, X2, …, Xn)为统计量 数, 则称 为统计量. 由定义可知, 统计量也是一个随机变量,如 由定义可知 统计量也是一个随机变量 如 是一组样本值, 果x1, x2, …, xn是一组样本值 则g(x1, x2, …, xn)是统计量 是统计量g(X1, X2, …, Xn)的一个观察值 的一个观察值. 是统计量 的一个观察值
1. 定义 : 设X ~ N(0, 1), Y ~ χ 2 (n), 并且X, Y 相互独 立, 则称t = X Y/n服从自由度为 n的t − 分布 , 记作t ~ t(n).
2. t(n)分布的概率密度函数 n+1 Γ( ) n +1 2 t 2 h(t) = (1 + ) 2 ,-∞ < t < +∞ . n n πnΓ( ) 2
2 .
0
X与S 独立.
2
定理二 . 设X1 , X 2 , L , X n 是总体 N(µ , σ 2 )的一个样本 , X, S 2 分别是样本均值和样本 方差, 则 : X−µ S n ~ t(n - 1).
定理三 . 设 X 1 , X 2 , L , X n 1 与 Y1 , Y2 , L , Yn 2 是具有相同 方差的两正态总体 N (µ 1 , σ 2 ), N (µ 2 , σ 2 )的样本 , 且这两 1 n1 1 n2 个样本相互独立 , 设 X = ∑ X i , Y = n ∑ Yi 分别为 n 1 i =1 2 i =1 n1 1 2 (X i − X) 2 , 两样本均值 , S 1 = ∑ n 1 − 1 i =1 1 n2 S2 = ( Yi − Y ) 2 分别为两样本方差 , 则 : ∑ 2 n 2 − 1 i =1
( X - Y ) - (µ 1 - µ 2 )
1 1 Sω + n1 n 2 2 (n 1 − 1)S 1 + (n 2 − 1)S 2 2 2 Sω = . (n 1 + n 2 − 2 )
~ t(n 1 + n 2 − 2), 其中
定理四. 设X1 , X2 , L, Xn1与Y1 , Y2 , L, Yn2为分别来自总体 N(µ1 , σ1 )和N(µ 2 , σ 2 )的样本, 且这两个样本相互
1 n 3. 样本标准差 S = ∑ (Xi − X) ; n - 1 i=1
2
1 n k 4. 样本 k阶原点矩 A k = ∑ X i , k = 1, 2, L; n i =1
1 n 5. 样本 k阶中心矩 B k = ∑ (X i − X) k , k = 2, 3, L . n i =1
1 n 1.它们的观察值为 x = ∑ x i , 仍称为样本 n i =1 1 n 均值 , s 2 = (x i − x ) 2 , 称为样本方差 , L ∑ n − 1 i =1
1 2 n 1 2
x n )来估计未知参数 θ , 我们称 θ( X 1 , X 2 , L , X n )为 θ 的 ˆ 估计量 , 称 θ( x , x , L , x )为 θ 的估计值 .
F ( x ; θ ), 现从该总体中抽样，得 本 X 1, X 2 , L X n , 要依据该样本对 参数 θ 作出估计（或估计参数 某个已知函数）。这类 称为参数估计。
样 的
统计问题
§1. 点估计 问题的提法: 一. 问题的提法:
设总体 X 的分布函数 F(x; θ )的形式为已知 , θ 是待估参 数 , X 1 , X 2 , L , X n 是 X 的一个样本 , x 1 , x 2 , L , x n 是相 应的一个样本值 , 点估计问题就是要构造 一个适当 ˆ 的统计量 θ( X , X , L X ), 用它的观察值 θ( x , x , L
2
对于正态总体 N ( µ , σ 2 )的样本方差 S 2 , 我们有以下 几个定理 :