高中数学第一章计数原理13二项式定理131二项式定理课堂新人教B版2-3.
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选修4-1 几何证明选修4-4 坐标系与参数方程选修4-5 不等式选讲每章节主要内容：必修1 集合1．如何区分φ、{φ}、0、{()；}？2．集合的运算有哪些常用性质与结论？3．对应、映射、函数有何关系？必修1 函数4．求函数解析式有哪些常用方法？5．判断函数单调性有哪些常用方法？6．函数的单调性有哪些应用？7．判断函数奇偶性要注意什么？判断函数奇偶性常用的方法有哪些？8．函数的奇偶性有哪些性质？9．函数一定存在反函数么？什么样的函数存在反函数？10．如何求二次函数在区间上的最值？11．函数的零点是函数的图像与x轴的交点吗？它与方程的根有何关系？12．分数指数幂与根式有何关系？13．指数式ab=N与对数式logoN中，a，6，N三者之间有何关系？14．指数函数、对数函数有哪些常见问题？必修2 直线和圆的方程20．直线的倾斜角和斜率有何关系？21．直线方程的五种形式有哪些限制条件？22．两直线平行、垂直的等价条件是什么？23．什么是直线系？常见的直线系有哪些？有何应用？24．平面解析几何中常用的对称公式有哪些？25．求圆的方程常用的方法有哪些？26．直线与圆有几种位置关系？如何判断？27．圆与圆有几种位置关系？如何判定？28．会写出过两圆交点的圆系方程吗？它有何应用？必修3 算法29．算法有哪些特征？它的描述方法有哪些？30．画程序框图有什么规则？31．算法有几种基本的逻辑结构？共同点是什么？如何用框图表示？32．基本的算法语句有哪几种？如何使用？必修3 统计——抽样33．简单随机抽样有什么特点？它有哪些具体的方法？34．系统抽样有什么特点？当总体容量不能被样本容量整除时怎么办？35．分层抽样、简单随机抽样、系统抽样有什么共同点和不同点？必修3 统计——样本分布36．样本频率分布直方图与总体密度曲线有何关系？37．什么是众数、中位数、平均数？这些数字特征在反映总体时有哪些优缺点？38．方差和标准差在反映总体时有什么意义？必修3 概率39．频率和概率有何关系？40．互斥事件与对立事件有何关系？如何判断互斥事件与对立事件？15．幂函数的图像有哪几种形式？有哪些性质？必修2 立体几何16．如何证明线线、线面、面面之间的平行和垂直？17．四面体中有哪些常见的数量关系和位置关系？18．立体几何中分割与补形有哪些常见技巧？19．经度、纬度分别指的是什么角？如何求两点间的球面距离？必修2 直线和圆的方程20．直线的倾斜角和斜率有何关系？21．直线方程的五种形式有哪些限制条件？22．两直线平行、垂直的等价条件是什么？23．什么是直线系？常见的直线系有哪些？有何应用？24．平面解析几何中常用的对称公式有哪些？25．求圆的方程常用的方法有哪些？26．直线与圆有几种位置关系？如何判断？27．圆与圆有几种位置关系？如何判定？28．会写出过两圆交点的圆系方程吗？它有何应用？必修3 算法29．算法有哪些特征？它的描述方法有哪些？30．画程序框图有什么规则？31．算法有几种基本的逻辑结构？共同点是什么？如何用框图表示？32．基本的算法语句有哪几种？如何使用？必修3统计——抽样33．简单随机抽样有什么特点？它有哪些具体的方法？34．系统抽样有什么特点？当总体容量不能被样本容量整除时怎么办？35．分层抽样、简单随机抽样、系统抽样有什么共同点和不同点？必修3统计——样本分布36．样本频率分布直方图与总体密度曲线有何关系？37．什么是众数、中位数、平均数？这些数字特征在反映总体时有哪些优缺点？38．方差和标准差在反映总体时有什么意义？必修3 概率39．频率和概率有何关系？40．互斥事件与对立事件有何关系？如何判断互斥事件与对立事件？……必修4 三角函数必修4 平面向量必修5 解三角形必修5 数列必修5 不等式选修2-1（选修1-1）简单逻辑选修2-1（选修1-1）圆锥曲线选修2-1 空间向量、角度及距离选修2-2 导数、微积分定理选修2-2（选修1-2）推理与证明复数选修2-3 排列组合、二项式定理、数据分布选修4-1 几何证明选修4-4 坐标系与参数方程选修4-5 不等式选讲。
高中数学 第1章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理 新人教B版选修2-3
(2)化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1).
解 原式＝C05(x－1)5＋C15(x－1)4＋C25(x－1)3＋C35(x－1)2 ＋C45(x－1)＋C55－1
＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
规律方法 运用二项式定理展开二项式，要记准展开式的 通项公式，对于较复杂的二项式，有时先化简再展开更简 捷；要搞清楚二项展开式中的项以及该项的系数与二项式 系数的区别.逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问 题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律 以及各项的系数.
要点二 二项展开式通项的应用 例2 若 ( x＋ 1 )n展开式中前三项系数成等差数列，求：
4 2x (1)展开式中含x的一次项； 解 由已知可得 C0n＋C2n·212＝2C1n·12， 即n2－9n＋8＝0， 解得n＝8，或n＝1(舍去).
Tr＋1＝Cr8(
x)8－r·(
1
4
)r＝Cr8·2－r·x 4－34r，
＋
C
2 2n＋1
×142n
－
1×52
－
…
＋
C22nn＋1×14×52n－C22nn＋ ＋11×52n＋1＋52n＋1
＝
14(142n
－
C
1 2n＋1
×142n
－
1×5
＋
C
22n＋1×142n
－
2×52
－
…
＋
C22nn＋1×52n).
上式是14的倍数，能被14整除，所以34n＋2＋52n＋1能被14整除 .
10－2r 令 3 ＝2，得
r＝12(10－6)＝2.
故 x2 项的系数为 C210(－3)2＝405.
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数学人教B版教材目录（必修选修）人教B版-----------------------------------必修1-----------------------------------第一章集合1.1集合与集合的表示方法1.1.1集合的概念1.1.2集合的表示方法1.2集合之间的关系与运算1.2.1集合之间的关系1.2.2集合的运算第二章函数2.1函数2.1.1函数2.1.2函数的表示方法2.1.3函数的单调性2.1.4函数的奇偶性2.1.5用计算机作函数的图形（选学）2.2一次函数和二次函数2.2.1一次函数的性质与图象2.2.2二次函数的性质与图象2.2.3待定系数法2.3函数的应用（Ⅰ）2.4函数与方程2.4.1函数的零点求函数零点2.4.2近似解的一种方法----二分法第三章基本初等函数(Ⅰ)3.1指数与指数函数3.1.1实数指数幂及其运算3.1.2指数函数3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算3.2.2对数函数3.2.3指数函数与对数函数的关系3.3幂函数3.4函数的应用（Ⅱ）-----------------------------------必修2-----------------------------------第一章立体几何初步1．1空间几何体1.1.1构成空间几何体的基本元素1.1.2棱柱、棱锥、棱台的结构特征1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球1．2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质与推论1.2.2空间中的平行关系1.2.3空间中的垂直关系第二章平面解析几何初步2．1平面真角坐标系中的基本公式2.1.1数轴上的基本公式2.1.2平面直角坐标系中的基本公式2．2直线方程2.2.1直线方程的概念与直线的斜率2.2.2直线方程的几种形式2.2.3两条直线的位置关系2.2.4点到直线的距离2．3圆的方程2.3.1圆的标准方程2.3.2圆的一般方程2.3.3直线与圆的位置关系2.3.4圆与圆的位置关系2．4空间直角坐标系2.4.1空间直角坐标系2.4.2空间两点的距离公式-----------------------------------必修3-----------------------------------第一章算法初步1.1.3算法的三种基本逻辑结构和框图表示1．2基本算法语句1.2.1赋值、输入、输出语句1.2.2条件语句1.2.3循环语句1．3中国古代数学中的算法案例第二章统计2．1随机抽样2.1.1简单随机抽样2.1.2系统抽样2.1.3分层抽样2.1.4数据的收集2．2用样本估计总体2.2.1用样本的频率估计总体的分布2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征2．3变量的相关性2.3.1变量间的相关关系2.3.2两个变量的线性相关第三章概率3．1随机现象3.1.1随机事件3.1.2时间与基本事件空间3.1.3频率与概率3.1.4概率的加法公式3．2古典概型3.2.1古典概型3.2.2概率的一般加法公式（选学）3．3随机数的含义与应用3.3.1几何概型3.3.2随机数的含义与应用3．4概率的应用-----------------------------------必修4-----------------------------------第一章基本初等函(Ⅱ)1．1任意角的概念与弧度制1.1.1角的概念推广1.1.2弧度制和弧度制与角度制的换算1．2任意角的三角函数1.2.1三角函数的定义1.2.2单位圆与三角函数线1.2.3同角三角函数的基本关系1.2.4诱导公式1．3三角函数的图像与性质1.3.1正弦函数的图象与性质1.3.2余弦函数、正切函数的图象与性质1.3.3已知三角函数值求角第二章平面向量2．1向量的线性运算2.1.1向量的概念2.1.2向量的加法2.1.3向量的减法2.1.4数乘向量2.1.5向量共线的条件与向量坐标运算2．2向量的分解与向量的坐标运算2.2.1平面向量基本定理2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算2.2.3用平面向量坐标表示向量共线的条件2．3平面向量的数量积2.3.1向量数量积的物理背景与定义2.3.2向量数量积的运算律2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式2．4向量的应用2.4.1向量在集合中的应用2.4.2向量在物理中的应用第三章三角恒等变换3．1和角公式3.1.1两角和与差的余弦3.1.2两角和与差的正弦3.1.3两角和与差的正切3．2倍角公式和半角公式3.2.1倍角公式3.2.2半角的正弦、余弦和正切3．3三角函数的积化和差与和差化积-----------------------------------必修5-----------------------------------第一章解直角三角形1．1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理1.1.2余弦定理1．2应用举例第二章数列2．1数列2.1.1数列2.1.2数列的递推公式（选学）2．2等差数列2.2.1等差数列2.2.2等差数列的前n项和2．3等比数列2.3.1等比数列2.3.2等比数列的前n项和第三章不等式3．1不等关系与不等式3.1.1不等关系与不等式3.1.2不等式的性质3．2均值不等式3．3一元二次不等式及其解法3．4不等式的实际应用3．5二元一次不等式（组）与简单线性规划问题3.5.1二元一次不等式（组）所表示的平面区域3.5.2简单线性规划-----------------------------------选修1-1-----------------------------------第一章常用逻辑用语1．1命题与量词1．2基本逻辑联结词1．3充分条件、必要条件与命题的.第二章圆锥曲线与方程2．1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程2.1.2椭圆的几何性质2．2双曲线2.2.1双曲线及其标准方程2.2.2双曲线的几何性质2．3抛物线2.3.1抛物线及其标准方程2.3.2抛物线的几何性质第三章导数及其应用3．1导数3.1.1函数的平均变化率3.1.2瞬时速度与导数3.1.3导数的几何含义3．2导数的运算3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表3.2.3导数的四则运算法则3．3导数的应用3.3.1利用导数判断函数的单调性3.3.2利用导数研究函数的极值3.3.3导数的实际应用-----------------------------------选修1-2-----------------------------------第一章统计案例1.1独立性检验1.2回归分析第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法2.2.2反证法第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充与复数的引入3.1.1实数系3.1.2复数的引入3.2复数的运算3.2.1复数的加法与减法3.2.2复数的乘法与除法第四章框图,4.1流程图4.2结构图-----------------------------------选修2-1-----------------------------------第一章常用逻辑用语1.1命题与量词1.2基本逻辑联结词1.3充分条件、必要条件与命题的.第二章锥曲线与方程2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程的概念2.1.2由曲线求它的方程，由方程研究曲线的性质2.2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质2.4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质2.5直线与圆锥曲线第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算3.1.2空间向量的基本定理3.1.3两个向量的数量积3.1.4空间向量的直角坐标运算3.2空间向量在立体几何中的应用3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2平面的法向量与平面的向量表示3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量3.2.5距离-----------------------------------选修2-2-----------------------------------第一章导数及其应用1.1导数1.1.1函数的平均变化率1.1.2瞬时速度与导数1.1.3导数的几何意义1.2导数的运算1.2.1常用函数与幂函数的导数1.2.2导数公式表及数学软件的应用1.2.3导数的四则运算法则1.3导数的应用1.3.1利用导数判断函数的单调性1.3.2利用导数研究函数的极值1.3.3导数的实际应用1.4定积分与微积分基本定理1.4.1曲边梯形面积与定积分1.4.2微积分基本定理第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法与分析法2.2.2反证法2.3数学归纳法第三章数系的扩充与复数3.1数系的扩充与复数的概念3.1.1实数系3.1.2复数的概念3.1.3复数的几何意义3.2复数的运算3.2.1复数的加法与减法3.2.2复数的乘法3.2.3复数的除法-----------------------------------选修2-3-----------------------------------第一章计数原理1.1基本计数原理1.2排列与组合1.2.1排列1.2.2组合1.3二项式定理1.3.1二项式定理1.3.2杨辉三角第二章概率2.1离散型随机变量及其分布列2.1.1离散型随机变量2.1.2离散型随机变量的分布列2.1.3超几何分布2.2条件概率与事件的独立性2.2.1条件概率2.2.2事件的独立性2.2.3独立重复试验与二项分布2.3随机变量的数学特征2.3.1离散型随机变量的数学期望2.3.2离散型随机变量的方差2.4正态分布第三章统计案例3.1独立性检验3.2回归分析-----------------------------------选修4-1-----------------------------------第一章相似三角形定理与圆幂定理1.1相似三角形1.1.1相似三角形判定定理1.1.2相似三角形的性质1.1.3平行切割定理1.1.4锐角三角函数与射影定理1.2圆周角与弦切角1.2.1圆的切线1.2.2圆周角定理1.2.3弦切角定理1.3圆幂定理与圆内接四边形1.3.1圆幂定理1.3.2圆内接四边形的性质与判定第二章圆锥、圆锥与圆锥曲线2.1平行投影与圆柱面的平面截线2.1.1平行投影的性质2.1.2圆柱面的平面截线2.2用内切球探索圆锥曲线的性质2.2.1球的切线与切平面2.2.2圆柱面的内切球与圆柱面的平面截线2.2.3圆锥面及其内切球2.2.4圆锥曲线的统一定义-----------------------------------选修4-2-----------------------------------第一章二阶矩阵与平面图形的变换1.1二阶矩阵1.2二阶矩阵与平面向量的乘法1.2.1二阶矩阵与平面向量的乘法1.2.2矩阵变换1.2.3几类特殊的矩阵变换1.3二阶方阵的乘法1.3.1二阶方阵的乘法1.3.2矩阵乘法的运算律第二章逆矩阵及其应用2.1逆矩阵2.1.1逆矩阵的定义2.1.2逆矩阵的性质2.1.3用二阶行列式求逆矩阵2.2二元一次方程组的矩阵解法2.2.1二元一次方程组解的含义2.2.2二元一次方程组的矩阵解法2.2.3解的存在性与唯一性第三章变换的不变量3.1平面变换的不变量3.1.1特征值与特征向量3.1.2特征值与特征向量的求法3.1.3特征值的不变性n3.2A?的简单表示-----------------------------------选修4-4-----------------------------------第一章坐标系1.1直角坐标系，平面上的伸缩变换1.1.1直角坐标系1.1.2平面的伸缩变换1.2极坐标系1.2.1平面上点的极坐标1.2.2极坐标与直角坐标的关系1.3曲线的极坐标方程1.4圆的极坐标方程1.4.1圆心在极轴上且过极点的圆a,?1.4.2圆心在点?2?处且过极点的圆1.5柱坐标系和球坐标系1.5.1柱坐标系1.5.2球坐标系第二章参数方程2.1曲线的参数方程2.1.1抛射体的运动2.1.2曲线的参数方程2.2直线和圆的参数方程2.2.1直线的参数方程2.2.2圆的参数方程2.3圆锥曲线的参数方程2.3.1椭圆的参数方程2.3.2抛物线的参数方程2.3.3双曲线的参数方程2.4一些常见曲线的参数方程2.4.1摆线的参数方程2.4.2圆的渐开线的参数方程-----------------------------------选修4-5-----------------------------------第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1.1不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1.1.1不等式的基本性质1.1.2一元一次不等式和一元二次不等式的解法1.2基本不等式1.3绝对值不等式的解法1.3.1，a某?b，≤c,，a某?b，≥c型不等式的解法1.3.2，某?a，+，某?b，≤c,，某?a，+，某?b，≥c型不等式的解法1.4绝对值的三角不等式1.5不等式证明的基本方法1.5.1比较法1.5.2综合法和分析法1.5.3反证法和放缩法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2.1柯西不等式2.1.1平面上的柯西不等式的代数和向量形式2.1.2柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明2.2排序不等式2.3平均值不等式（选学）2.4最大值与最小值问题，优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努利不等式3.1数学归纳法原理3.1.1数学归纳法原理3.1.2数学归纳法应用举例3.2用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式3.2.1用数学归纳法证明不等式3.2.2用数学归纳法证明内努利不等式。
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高中数学（ B 版）必修一第一章集合1．1集合与集合的表示方法1．2集合之间的关系与运算第二章函数2．1函数2．2一次函数和二次函数2．3函数的应用（Ⅰ）2．4函数与方程第三章基本初等函数（Ⅰ）3．1指数与指数函数3．2对数与对数函数3．3幂函数3．4函数的应用（Ⅱ）高中数学（ B 版）必修二第一章立体几何初步1．1空间几何体1．2 点、线、面之间的位置关系第二章平面解析几何初步2．1平面真角坐标系中的基本公式2．2 直线方程2．3圆的方程2．4 空间直角坐标系高中数学（ B 版）必修三第一章算法初步1．1算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3中国古代数学中的算法案例第二章统计2．1随机抽样 2．2用样本估计总体 2．3 变量的相关性第三章概率3．1随机现象3．2古典概型3．3随机数的含义与应用3． 4概率的应用高中数学（ B 版）必修四第一章基本初等函 (Ⅱ)1．1任意角的概念与弧度制1．2 任意角的三角函数1．3三角函数的图象与性质第二章平面向量2．1向量的线性运算2．2向量的分解与向量的坐标运算2．3平面向量的数量积2．4向量的应用第三章三角恒等变换3．1和角公式3．2倍角公式和半角公式3．3三角函数的积化和差与和差化积高中数学（ B 版）必修五第一章解直角三角形1．1正弦定理和余弦定理1．2应用举例第二章数列2．1数列2．2等差数列2．3等比数列第三章不等式3．1不等关系与不等式3．2均值不等式3．3一元二次不等式及其解法3．4不等式的实际应用3．5二元一次不等式（组）与简单线性规划问题高中数学（ B 版）选修 1－ 1第一章常用逻辑用语1．1命题与量词1．2基本逻辑联结词1．3充分条件、必要条件与命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2．1椭圆2．2双曲线第三章导数及其应用3．1导数3．2导数的运算高中数学（ B 版）选修3．31－ 2导数的应用第一章第三章统计案例数系的扩充与复数的引入第二章第四章推理与证明框图高中数学（ B 版）选修 2-1第一章常用逻辑用语1.1命题与量词 1.2基本逻辑联结词1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程 2.2椭圆 2.3双曲线2.4抛物线 2.5直线与圆锥曲线第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算 3.2空间向量在立体几何中的应用高中数学（ B 版）选修 2-2第一章导数及其应用1.1导数 1.2导数的运算1.3导数的应用 1.4定积分与微积分基本定理第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理 2.2 直接证明与间接证明2.3数学归纳法第三章数系的扩充与复数3.1数系的扩充与复数的概念 3.2 复数的运算高中数学（ B 版）选修 2-3第一章计数原理1.1 基本计数原理 1.2 排列与组合1.3 二项式定理第二章概率2.1 离散型随机变量及其分布列2.3 随机变量的数字特征2.2 条件概率与事件的独立性2.4 正态分布第三章统计案例3.1 独立性检验 3.2 回归分析高中数学（ B 版）选修 4－4第一章坐标系1.1直角坐标系平面上的压缩变换 2 极坐标系1.3曲线的极坐标方程 1.4圆的极坐标方程1.5柱坐标系和球坐标系第二章参数方程2.1 曲线的参数方程 2.2 直线和圆的参数方程2.3 圆锥曲线的参数方程高中数学（ B 版）选修 4－ 5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1．1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法式1．3绝对值不等式的解法1．41．2 基本不等绝对值的三角不等式1．5不等式证明的基本方法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2．1 柯西不等式2．2排序不等式2．3平均值不等式(选学)2．4最大值与最小值问题，优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努利不等式3.1 数学归纳法原理 3.2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式。
高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.1二项式定理
类型二 二项展开式通项的应用
命题角度1 二项式系数与项的系数
例2
已知二项式3
x－32x10.
(1)求展开式第4项的二项式系数；
解
3
x－32x10 的展开式的通项是 Tk＋1＝Ck10(3
x)10－k－32xk
103k
x ＝Ck10310－k－23k· 2 (k＝0,1,2，…，10).
解答
引申探究 若(1＋ 3)4＝a＋b 3(a，b 为有理数)，则 a＋b＝___4_4__. 解析 ∵(1＋ 3)4＝1＋C14×( 3)1＋C24×( 3)2＋C34×( 3)3＋C44×( 3)4 ＝1＋4 3＋18＋12 3＋9＝28＋16 3， ∴a＝28，b＝16， ∴a＋b＝28＋16＝44.
跟踪训练1 化简：(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋ 1)－1. 解 原式＝C05(2x＋1)5－C15(2x＋1)4＋C25(2x＋1)3－C35(2x＋1)2＋C45(2x＋1)－ C55(2x＋1)0 ＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.
展开式的第 4 项(k＝3)的二项式系数为 C310＝120.
解答
(2)求展开式第4项的系数； 解 展开式的第 4 项的系数为 C31037－233＝－77 760. (3)求第4项. 解 展开式的第 4 项为 T4＝T3＋1＝－77 760 x.
解答
反思与感悟 (1)二项式系数都是组合数 Ckn(k∈{0,1,2，…，n})，它与二项展 开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开 式中“项的系数”这两个概念. (2)第 k＋1 项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为 Ckn. 例如，在(1＋2x)7 的展开式中，第四项是 T4＝C3717－3(2x)3，其二项式系数是 C37＝35，而第四项的系数是 C3723＝280.
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1.3 二项式定理
本章小结
2.1 离散型随机变量及其分布列
2.1.1 离散型
2Байду номын сангаас1.3 超几何分布
2.2.2 事件的独立性
2.3 随机变量的数字特征
2.3.1 离散型随机变
2.4 正态分布
阅读与欣赏 关于“玛丽莲问题”的争论
3.1 独立性检验
本章小结
附表
后记
第一章 计数原理
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1.2.2 组合
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第一章 计数原理
1.2 排列与组合
1.2.1 排列
1.3 二项式定理
1.1 基本计数原理
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1.2 排列与组合 排列
1.2.1
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高中数学第1章计数原理1.31.3.1二项式定理课件新人教A版选修2_3
思考 2：二项式(a＋b)n 与(b＋a)n 展开式中第 k＋1 项是否相同？
[提示] 不同．(a＋b)n 展开式中第 k＋1 项为 Cknan－kbk，而(b＋a)n 展开式中第 k＋1 项为 Cknbn－kak.
1．(x＋1)n 的展开式共有 11 项，则 n 等于( )
A．9
B．10
C．11
1)n－k＋…＋(－1)nCnn.
[解]
(1)法一：
x－21 x4＝C04(
x)4－C14(
x)3·21 x＋C24(
x)2·2
1
x
2－C34 x·21 x3＋C4421 x4＝x2－2x＋32－21x＋161x2.
法二：
x－21 x4＝22x－x14＝161x2(2x－1)4
＝161x2(16x4－32x3＋24x2－8x＋1)
40 10 [∵T3＝C25(2x)2＝C2522x2＝40x2， ∴第 3 项的系数为 40，第 3 项的二项式系数为 C25＝10.]
合作 探究 释疑 难
二项式定理的正用和逆用
【例 1】
(1)求
x－21 x4的展开式；
(2)化简：C0n(x＋1)n－C1n(x＋1)n－1＋C2n(x＋1)n－2－…＋(－1)kCkn(x＋
＝x2－2x＋32－21x＋161x2.
(2)原式＝C0n(x＋1)n＋C1n(x＋1)n－1(－1)＋C2n(x＋1)n－2·(－1)2＋…＋ Ckn(x＋1)n－k(－1)k＋…＋Cnn(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.
二项式定理的双向功能 1．正用：将二项式(a＋b)n 展开，得到一个多项式，即二项式定 理从左到右使用是展开．对较复杂的式子，先化简再用二项式定理展 开． 2．逆用：将展开式合并成二项式(a＋b)n 的形式，即二项式定理 从右到左使用是合并，对于化简、求和、证明等问题的求解，要熟悉 公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律．
高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.1二项式定理课件新人教B版选修2_3
1.理解用组合的知识推导二项式定理,弄清其适用范围. 2.理解通项的意义,并会灵活运用通项,能区分项的系数与二项式 系数的不同. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的一些简单的问题.
二项式定理
0 n 1 n-1 2 n-2 2 (1)二项式定理:(a+b)n=C������ a +C������ a b+C������ a b +…+ ������ n +…+C������ b (n∈N+).
������ 名师点拨 (1)展开式中第r+1项的二项式系数 C������ 与第r+1项的系 数,在一般情况下是不相同的. (2)在通项中共含有a,b,n,r,Tr+1这5个元素,只要知道其中4个元素, 便可求出第5个元素的值.在有关二项式定理的问题中,常常会遇到: 知道这五个元素中的若干个(或它们之间的关系),求另外几个元素 的问题.这类问题一般是利用通项,把问题归结为解方程(组)或不等 式(组),这里要注意n为正整数,r为非负整数,且r≤n.
【做一做1-1】 (a+b)2n的二项展开式的项数是( A.2n B.n+1 C.2n+1 D.2n-1 解析:因为(a+b)2n中的指数为2n, 所以展开式有2n+1项. 答案:C
)
0 1 ������ 【做一做 1-2】 化简:C������ (x+1)n-C������ (x+1)n-1+…+(-1)rC������ (x+1)nr ������ +…+(-1)nC������ = .
(1)展开式中含x的一次幂的项; (2)展开式中所有含x的有理项; (3)展开式中系数最大的项. 分析根据前3项系数成等差数列可求出n值,应用二项展开式的通 项求特定项.
高中数学教材人教B版目录(详细版)
数学①必修第一章集合1.1 集合与集合的表示方法1.1.1 集合的概念1.1.2 集合的表示方法1.2 集合之间的关系与运算1.2.1 集合之间的关系1.2.2 集合的运算第二章函数2.1 函数2.1.1 函数2.1.2 函数的表示方法2.1.3 函数的单调性2.1.4 函数的奇偶性2.1.5 用计算机作函数的图像（选学）2.2 一次函数和二次函数2.2.1 一次函数的性质和图像2.2.2 二次函数的性质和图像2.2.3 待定系数法2.3 函数的应用（I）2.4 函数与方程2.4.1 函数的零点2.4.2 求函数零点近似解的一种近似方法——二分法第三章基本初等函数（I）3.1 指数与指数函数3.1.1 有理指数幂及其运算3.1.2 指数函数3.2 对数与对数函数3.2.1 对数及其运算3.2.2 对数函数3.2.3 指数函数与对数函数的关系3.3 幂函数3.2 函数的应用（II）数学②必修第一章立体几何初步1.1 空间几何体1.1.1 构成空间几何体的基本元素1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球1.1.4 投影与直观图1.1.5 三视图1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1.1.7 柱、锥、台和球的体积1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.1 平面的基本性质与推论1.2.2 空间中的平行关系1.2.3 空间中的垂直关系第二章平面解析几何初步2.1 平面直角坐标系中的基本公式2.1.1 数轴上的基本公式2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式2.2 直线的方程2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率2.2.2 直线方程的集中形式2.2.3 两条直线的位置关系2.2.4 点到直线的距离2.3 圆的方程2.3.1 圆的标准方程2.3.2 圆的一般方程2.3.3 直线与圆的位置关系2.3.4 圆与圆的位置关系2.4 空间直角坐标系2.4.1 空间直角坐标系2.4.2 空间两点的距离公式数学③必修第一章算法初步1.1 算法与程序框图1.1.1 算法的概念1.1.2 程序框图1.1.3 算法的三种基本逻辑结构和框图表示1.2 基本算法语句1.2.1 赋值、输入和输出语句1.2.2 条件语句1.2.3 循环语句1.3 中国古代数学中的算法案例第二章统计2.1 随机抽样2.1.1 简单随机抽样2.1.2 系统抽样2.1.3 分层抽样2.1.4 数据的收集2.2 用样本估计总体2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征2.3 变量的相关性2.3.1 变量间的相关关系2.3.2 两个变量的线性相关第三章概率3.1 事件与概率3.1.1 随机现象3.1.2 事件与基本事件空间3.1.3 频率与概率3.1.4 概率的加法公式3.2 古典概型3.2.1 古典概型3.2.2 概率的一般加法公式（选学）3.3 随机数的含义与应用3.3.1 几何概型3.3.2 随机数的含义与应用3.4 概率的应用数学④必修第一章基本初等函数（II）1.1 任意角的概念与弧度制1.1.1 角的概念的推广1.1.2 弧度制和弧度制与角度制的换算1.2 任意角的三角函数1.2.1 三角函数的定义1.2.2 单位圆与三角函数线1.2.3 同角三角函数的基本关系式1.2.4 诱导公式1.3 三角函数的图像与性质1.3.1 正弦函数的图像与性质1.3.2 余弦函数、正切函数的图像与性质1.3.3 已知三角函数值求角第二章平面向量2.1 向量的线性运算2.1.1 向量的概念2.1.2 向量的加法2.1.3 向量的减法2.1.4 向量的数乘2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算2.2 向量的分解与向量的坐标运算2.2.1 平面向量基本定理2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件2.3 平面向量的数量积2.3.1 向量数量积的物理背景与定义2.3.2 向量数量积的运算律2.3.2 向量数量积的坐标运算与度量公式2.4 向量的应用2.4.1 向量在几何中的应用2.4.2 向量在物理中的应用第三章三角恒等变换3.1 和角公式3.1.1 两角和与差的余弦3.1.2 两角和与差的正弦3.1.3 两角和与差的正切3.2 倍角公式和半角公式3.2.1 倍角公式3.2.2 半角的正弦、余弦和正切3.3 三角函数的积化和差与和差化积数学⑤必修第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理1.1.2 余弦定理1.2 应用举例第二章数列2.1 数列2.1.1 数列2.1.2 数列的递推公式（选学）2.2 等差数列2.2.1 等差数列2.2.2 等差数列的前n项和2.3 等比数列2.3.1 等比数列2.3.2 等比数列的前n项和第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.1.1 不等关系与不等式3.1.2 不等式的性质3.2 均值不等式3.3 一元二次不等式及其解法3.4 不等式的实际应用3.5 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.5.1 二元一次不等式（组）所表示的平面区域3.5.2 简单线性规划数学选修1-1第一章常用逻辑用语1.1 命题与量词1.1.1 命题1.1.2 量词1.2 基本逻辑关联词1.2.1 “且”与“或”1.2.2 “非”（否定）1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1 推出与充分条件、必要条件1.3.2 命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆2.1.1 椭圆及其标准方程2.1.2 椭圆的几何性质2.2 双曲线2.2.1 双曲线及其标准方程2.2.2 双曲线的几何性质2.3 抛物线2.3.1 抛物线及其标准方程2.3.2 抛物线的几何性质第三章导数及其应用3.1 导数3.1.1 函数的平均变化率3.1.2 瞬时速度与导数3.1.3 导数的几何意义3.2 导数的运算3.2.1 常数与幂函数的导数3.2.2 导数公式表3.2.3 导数的四则运算法则3.3 导数的应用3.3.1 利用导数判断函数的单调性3.3.2 利用导数研究函数的极值3.3.3 导数的实际应用数学选修1-2第一章统计案例1.1 独立性检验1.2 回归分析第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理2.1.2 演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法与分析法2.2.2 反证法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充与复数的引入3.1.1 实数系3.1.2 复数的引入3.2 复数的运算3.2.1 复数的加法和减法3.2.2 复数的乘法和除法第四章框图4.1 流程图4.2 结构图数学选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题与量词1.1.1 命题1.1.2 量词1.2 基本逻辑关联词1.2.1 “且”与“或”1.2.2 “非”（否定）1.3 充分条件、必要条件与命题的四种形式1.3.1 推出与充分条件、必要条件1.3.2 命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.1.1 曲线与方程的概念2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质2.2 椭圆2.2.1 椭圆的标准方程2.2.2 椭圆的几何性质2.3 双曲线2.3.1 双曲线的标准方程2.3.2 双曲线的几何性质2.4 抛物线2.4.1 抛物线的标准方程2.4.2 抛物线的几何性质2.5 直线与圆锥曲线第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量的线性运算3.1.2 空间向量的基本定理3.1.3 空间向量的数量积3.1.4 空间向量的直角坐标运算3.2 空间向量在立体几何中的应用3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示3.2.3 直线与平面的夹角3.2.4 二面角及其度量3.2.5 距离（选学）数学选修2-2第一章导数及其应用1.1 导数1.1.1 函数的平均变化率1.1.2 瞬时速度与导数1.1.3 导数的几何意义1.2 导数的运算1.2.1 常数函数与幂函数的导数1.2.2 导数公式表及数学软件的应用1.2.3 导数的四则运算法则1.3 导数的应用1.3.1 利用导数判断函数的单调性1.3.2 利用导数研究函数的极值1.3.3 导数的实际应用1.4 定积分与微积分基本定理1.4.1 曲边梯形面积与定积分1.4.2 微积分基本定理第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 合情推理2.1.2 演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.2.1 综合法与分析法2.2.2 反证法2.3 数学归纳法 2.3.1 数学归纳法2.3.2 数学归纳法应用举例第三章数系的扩充与复数3.1 数系的扩充与复数的概念3.1.1 实数系3.1.2 复数的概念3.1.3 复数的几何意义3.2 复数的运算3.2.1 复数的加法与减法3.2.2 复数的乘法3.2.3 复数的除法数学选修2-3第一章计数原理1.1 基本计数原理1.2 排列与组合1.2.1 排列1.2.2 组合1.3 二项式定理1.3.1 二项式定理1.3.2 杨辉三角第二章概率2.1 离散型随机变量及其分布列2.1.1 离散型随机变量2.1.2 离散型随机变量的分布列2.1.3 超几何分布2.2 条件概率与事件的独立性2.2.1 条件概率2.2.2 事件的独立性2.2.3 独立重复试验与二项分布2.3 随机变量的数字特征2.3.1 离散型随机变量的数学期望2.3.2 离散型随机变量的方差2.4 正态分布第三章统计案例3.1 独立性检验3.2 回归分析数学选修4-5不等式选讲第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1.1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1.1.1 不等式的基本性质1.1.2 一元一次不等式和一元二次不等式的解法1.2 基本不等式1.3 绝对值不等式的解法1.3.1 |ax+b|≤c、|ax+b|≥c型不等式的解法1.3.2 |x-a|+|x-b|≥c、|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法1.4 绝对值的三角不等式1.5 不等式证明的基本方法1.5.1 比较法1.5.2 综合法和分析法1.5.3 反证法和放缩法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2.1 柯西不等式2.1.1 平面上的柯西不等式的代数和向量形式2.1.2 柯西不等式的一般形式及其参数配置方法的证明2.2 排序不等式2.3 平均值不等式（选学）2.4 最大值与最小值问题，优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努利不等式3.1 数学归纳法原理3.1.1 数学归纳法原理3.1.2 数学归纳法应用举例3.2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式3.2.1 用数学归纳法证明不等式3.2.2 用数学归纳法证明贝努利不等式欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。
高中数学选修2-3(人教B版)第一章计数原理1.4知识点总结含同步练习题及答案
描述：例题：高中数学选修2-3(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案第一章 计数原理 1.3计数模型（补充）一、学习任务掌握计数的几种模型，并能处理一些简单的实际问题．二、知识清单数字组成模型 条件排列模型 分组分配模型染色模型计数杂题三、知识讲解1.数字组成模型与顺序相关的数字问题，通常是计算满足某些特征的数字的个数．常见特征比如各个数位的数字不同、四位数、奇数、比某数大的数、某个数位满足某种条件的数等等，其中各个数位数字可以相同的问题通常借助乘法原理分步解决，各个数位数字不相同通常是与排列相关的问题．由 、、、、 这五个数字可组成多少个无重复数字的五位数？解：首位不能是 ，有 种，后四位数有 种排列，所以这五个数可以组成 个无重复的五位数．012340C 14A 44=96C 14A 44用数字 、 组成四位数，且数字 、 至少都出现一次，这样的四位数共有______个（用数字作答）．解：因为四位数的每个数位上都有两种可能性，其中四个数字全是 或 的情况不合题意，所以符合题意的四位数有 个．23231423−2=1424从 ， 中选一个数字，从 、、 中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ）A． B． C． D．解：B当选 时，先从 、、 中选 个数字有 种方法，然后从选中的 个数字中选 个排在末位有 种方法，剩余 个数字排在首位，共有 种方法；当选 时，先从 、、 中选 个数字有 种方法，然后从选中的 个数字中选 个排在末位有 种方法，其余 个数字全排列，共有 种方法．依分类加法计数原理知共有 个奇数．02135241812601352C 2321C 121=6C 23C 1221352C 2321C 122=12C 23C 12A 226+12=18用 ， ，， ， ， 这 个数字，可以组成______个大于 且小于 的012345630005421描述：例题：2.条件排列模型计算满足某些限制条件的排列的个数，常见的如相邻问题、不相邻问题、某位置不能排某人、某人只能或不能排在某些位置的问题等等．不重复的四位数．解：分四类：①千位数字为 ， 之一时，百十个位数只要不重复即可，有 （个）；②千位数字为 ，百位数字为 ，，， 之一时，共有 （个）；③千位数字是 ，百位数字是 ，十位数字是 ， 之一时，共有 （个）；④最后还有 也满足条件．所以，所求四位数共有 （个）．175342=120A 3550123=48A 14A 245401=6A 12A 135420120+48+6+1=175 名男生， 名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．（1）全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；（2）全体站成一排，男生必须排在一起；（3）全体站成一排，甲、乙不能相邻．解：（1）先考虑甲的位置，有 种方法，再考虑其余 人的位置，有 种方法．故有种方法；（2）（捆绑法）男生必须站在一起，即把 名男生进行全排列，有 种排法，与 名女生组成 个元素全排列，故有 种不同的排法；（3）（插空法）甲、乙不能相邻，先把剩余的 名同学全排列，有 种排法，然后将甲、乙分别插到 个空中，有 种排法，故有 种不同的排法．34A 136A 66=2160A 13A 663A 3345=720A 33A 555A 556A 26=3600A 55A 26有甲、乙、丙在内的 个人排成一排照相，其中甲和乙必须相邻，丙不排在两头，则这样的排法共有______种．解：甲和乙必须相邻，可将甲、乙捆绑，看成一个元素，与丙除外的另三个元素构成四个元素，自由排列，有 种方法；丙不排在两头，可对丙插空，插四个元素生成的中间的三个空中的任何一个，有 种方法；最后甲、乙两人的排法有 种方法．综上，总共有 种排法．6144A 44A 13A 22=144A 44A 13A 22 把椅子摆成一排， 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（ ）A． B． C． D．解：D“不相邻”应该用“插空法”，三个空椅子，形成 个空，三个坐人的椅子插入空中，因为人不同，所以需排序，所以有 种不同坐法．6314412072244=24A 34某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同课程的排法？解：法一： 门课程总的排法是 种，其中不符合要求的可分为：体育排在第一节有 种排法，数学排在最后一节有 种排法，但这两种方法，都包括体育在第一节，数学排在最后一节，这种情况有 种排法，因此符合条件的排法应是： 种．法二：① 体育、数学即不排在第一节也不排在最后一节，这种情况有 种排法；② 数学6A 66A 55A 55A 44−2+=504A 66A 55A 44⋅A 24A 44⋅144种颜色可供选择，则不同的着色方法共有______种．（以数字作答）72种花，且相邻的96高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.1二项式定理课堂探究教案新人教B版选修2_3
1.3.1 二项式定理课堂探究探究一 二项式定理的应用形式简单的二项式展开时可直接由二项式定理直接展开，对于形式较复杂的二项式，在展开之前可以根据二项式的结构特点，进行必要的变形，然后再展开，以使运算得到简化．记准记熟二项式(a ＋b )n的展开式是解答与二项式定理有关问题的前提．逆用二项式定理，要注意分析其结构特点，a 的指数是从高到低，b 的指数是从低到高，且a ，b 的指数和等于二项式的次数n ，正负相间是(a －b )n的形式．指数不满足时可通过乘(或除)某项来调整，缺项时通常需添加项来凑结构形式．【典型例题1】 求⎝⎛⎭⎪⎫2x －32x 25的展开式．思路分析：对一个二项式进行展开时，可以利用二项式定理直接展开，也可以先化简，再展开．解：(直接利用二项式定理展开)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －32x 25＝C 05(2x )5＋C 15(2x )4⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 2＋C 25(2x )3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 22＋C 35(2x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 23＋C 45(2x )⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 24＋C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 25＝32x 5－120x 2＋180x －135x 4＋4058x 7－24332x 10. 探究二 二项展开式中特定项的求法求二项展开式的特定项问题实质是考查通项T r ＋1＝C r n an －r b r的特点，一般需要建立方程求r ，再将r 的值代回求解，注意r 的取值范围(r ∈{0,1，…，n })．求二项展开式的特定项的三种常见类型分别为：(1)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为零建立方程； (2)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程；(3)第m 项：此时r ＋1＝m ，直接代入通项．特定项的次数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解．【典型例题2】 若⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n 展开式中前三项系数成等差数列．求： (1)展开式中含x 的一次幂的项； (2)展开式里所有x 的有理项； (3)展开式中系数最大的项．思路分析：首先应根据题意，得到关于n 的方程，解得n 的值，然后根据题目的要求解答每一问．这三问都与二项展开式的通项公式有关，通项为T r ＋1＝C r n ·(x )n －r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124x r. 解：由已知条件知： C 0n ＋C 2n ·122＝2C 1n ·12，解得n ＝8(n ＝1舍去)．(1)T r ＋1＝C r8·(x )8－r·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124x r ＝C r 8·2－r·x 4－34r .令4－34r ＝1，解得r ＝4.所以x 的一次幂的项为T 4＋1＝C 48·2－4·x ＝358x . (2)令4－34r ∈Z ，且0≤r ≤8，所以r ＝0,4,8.因此，有理项为T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x2. (3)记第r 项系数为t r ，设第k 项系数最大，则有t k ≥t k ＋1，且t k ≥t k －1. 又t r ＝C r －18·2－r ＋1，于是有⎩⎪⎨⎪⎧C k －18·2－k ＋1≥C k8·2－k，C k －18·2－k ＋1≥C k －28·2－k ＋2.即⎩⎪⎨⎪⎧8！(k －1)！·(9－k )！×2≥8！k ！(8－k )！，8！(k －1)！·(9－k )！≥8！(k －2)！·(10－k )！×2.所以⎩⎪⎨⎪⎧29－k ≥1k，1k －1≥210－k .解得3≤k ≤4.所以系数最大项为第三项和第四项，分别为T 3＝7x 52，T 4＝7x 74.探究三 易错辨析易错点：对二项式定理理解不透造成错误【典型例题3】 求⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x－15展开式的常数项．错解：因为⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x－15＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －15，所以展开式的通项为T r ＋1＝C r 5·⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 5－r ·(－1)r.而⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 5－r的展开式的通项为 T k ＋1＝C k 5－r ·x5－r －k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x k ＝C k 5－r ·x 5－r －2k. 令5－r －2k ＝0，即r ＋2k ＝5，且0≤r ≤5,0≤k ≤5－r .则有⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，k ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，k ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝5，k ＝0.所以常数项为C 15·C 24·(－1)1，C 35·C 12·(－1)3和C 55·C 00·(－1)5，即－30和－20和－1. 错因分析：错解中有两处错误：一是出现了C 00这个无意义的组合数，这是解题不严密造成的，在考虑⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 5－r的展开式时，用的是二项式定理，但没有注意二项式定理只对两项和的正整数次幂适用，当r ＝5时，5－r ＝0，此种特殊情况应特殊处理；二是对概念的理解错误，一个展开式中常数项只能有一个，不可能出现两个或两个以上的常数项．正解：因为⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x－15＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －15，所以展开式的通项为T r ＋1＝C r 5·⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 5－r ·(－1)r(0≤r ≤5)．当r ＝5时，T 6＝C 55·(－1)5＝－1；当0≤r ＜5时，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 5－r 的展开式的通项为T k ＋1＝C k 5－r ·x 5－r －k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1xk ＝C k 5－r ·x5－r －2k(0≤k ≤5－r )．因为0≤r ＜5，且r ＋2k ＝5，r ∈Z ，所以r 只能取1或3，此时相应的k 值分别为2或1， 即12r k ⎧⎨⎩＝，＝或31.r k ⎧⎨⎩＝，＝ 所以常数项为C 15·C 24·(－1)1＋C 35·C 12·(－1)3＋(－1)＝－51.。
高中数学 第一章 计数原理 1.3.1 二项式定理学案 新人教B版选修2-3(2021年最新整理)
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1。
3.1 二项式定理1.会证明二项式定理.(难点)2。
掌握二项式定理及其展开式的通项公式.(重点)[基础·初探］教材整理二项式定理阅读教材P26～P27例1以上部分，完成下列问题.二项式定理及相关的概念二项式定理概念公式(a＋b)n＝C错误!a n＋C错误!a n－1b＋C错误!a n－2b2＋…＋C错误!a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N＋)称为二项式定理二项式系数各项系数C错误!（r＝0,1,2,…，n）叫做展开式的二项式系数二项式通项C错误!a n－r b r是展开式中的第r＋1项，可记做T r＋1＝C错误!a n－r b r(其中0≤r≤n，r∈N，n∈N＋)二项展开式C错误!a n＋C错误!a n－1b＋C错误!a n－2b2＋…＋C错误!a n－r b r＋…＋C错误!b n(n∈N＋）备注在二项式定理中，如果设a＝1，b＝x，则得到公式（1＋x）n＝1＋C错误! x＋C错误!x2＋…＋C错误!x r＋…＋C错误!x n（n∈N＋）判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1）（a＋b)n展开式中共有n项。
（）（2）在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响。
( ）(3)C错误!a n－r b r是(a＋b)n展开式中的第r项.（）(4)(a－b）n与（a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同。
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1.3.1 二项式定理
课堂导学
三点剖析
一、二项展开式的通项 【例1】已知（441x
x -
）n
展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列.
（1）证明展开式中没有常数项； （2）求展开式中所有有理项.
解析：依题意，前三项系数的绝对值是1，1
n C ·
21,2n C ·（21）2,且1
2n C ·21=1+4
12n C ,所以n 2
-9n+8=0,所以n=8（n=1舍）.
∴T r+1=r
C 8（x ）8-r （421x
-）r =（-1）r 431682r r r
x C -.
（1）若T r+1为常数项，当且仅当4316r
-=0时，即3r=16.因为r∈N ，这不可能，所以展开式中没有常数项.
（2）若T r+1为有理项，当且仅当
4316r -=44
3r
-为整数.因为0≤r≤8,r∈N ， 所以r 为4的倍数，所以r=0、4、8. 则有理项为T 1=x 4
,T 5=
8
35x,T 9=281x -2
.
温馨提示
对二项展开式结构特点认识的深刻和熟练，是解决类似问题的关键. 二、利用二项式定理求系数的和
【例2】已知（32x +3x 2
）n
展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992，求展开式
中系数最大的项.
解：令x=1得各项系数的和为（1+3）n
=4n
，而各项的二项式系数的和为0n C +1n C +…+n
n C =2n
.
由已知4n =2n
+992, ∴2n =32（2n
=-31舍），
∴n=5,设第r+1项系数最大，则
⎪⎩⎪⎨⎧∙≥∙∙≥∙+---,
33,
331
1551155r r r r r r r r C C C C 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≥--≥.1
351,613
r r r r
∴
414≤r≤4
18
.又r∈N , ∴r=4.
∴系数最大的项是第5项.T 5=4
5
C （32
x ）·（3x 2
）4
=3
26405x
.
温馨提示
（1）赋值法是解决二项展开式有关系数（或二项式系数）“和”问题的一般方法. （2）要注意系数和二项式系数的本质区别. 三、二项式定理的综合应用 【例3】
（1）9192
除以100的余数是几？
（2）求证：32n+2-8n-9（n∈N *
）能被64整除.
（1）解析：∵9192
=（90+1）92
=092C ·9092
+192C ·9091
+…+ 9092C ·902
+91
92C ·90+1,
由于前面各项均能被100整除，只有末尾两端不能被100整除，由于9192C ·90+1=8 281=8
200+81.
∴被100除余81.
（2）证明：32n+2-8n-9=9n+1-8n-9=（8+1）n+1
-8n-9
=（8n+1
+11+n C 8n
+21+n C 8n-1
+…+2
1+n C ·8+1）-8n-9
=8n+1
+11+n C ·8n
+21+n C ·8n-1
+…+11-+n n C ·82
,
而上式各项均为64的倍数， ∴32n+2-8n-9（n∈N *
）能被64整除. 温馨提示
用二项式定理证明整除问题时，首先须注意（a±b）n
中，a 、b 中有一个必须是除数的倍数，其次，展开式的规律必须清楚余项是什么，必须写出余项，同理可处理系数的问题.
各个击破
类题演练 1 求（x+
x
1-1）5
展开式中的常数项. 解析：由于本题只是5次展开式，可以直接展开［（x+
x 1）-1］5,即［（x+x 1）-1］5
=（x+x
1）5
- 5（x+
x 1）4+10（x+x 1）3-10（x+x 1）2+5（x+x 1
）-1. 由x+x 1的对称性，只有在（x+x
1
）的偶次幂中，其展开式才会出现常数项，且是各自的中
间项，所以，其常数项为-524C -101
2C -1=-51. 变式提升 1
若（2x+3）4
=a 0+a 1x+a 2x 2
+a 3x 3
+a 4x 4
,则（a 0+a 2+a 4）2
-（a 1+a 3）2
的值是（ ）
A.1
B.-1
C.0
D.2
解析：（2x+3）4
=04C （3）4
+14C （2x ）1
·（3）3
+24C （2x ）2
·（3）2
+3
4C ·（2x ）
3
·3+44C （2x ）4
，
∴a 0=C 0
4（3）4
=9，
a 1=14C ·21
·（3）3
=243,
a 2=24C ·22
·（3）2
=72,
a 3=34C ·23
·3=323，
a 4=44C ·24
=16.
∴（a 0+a 2+a 4）2
-（a 1+a 3）2
=972
-（563）2
=9 409-9 408=1. 答案：A
类题演练 2
（1）若（2x+3）3
=a 0+a 1x+a 2x 2
+a 3x 3
,则（a 0+a 2）2
-（a 1+a 3）2
的值为（ ）
A.-1
B.1
C.0
D.2 （2）（2x+3）3
的展开式中各项二项式系数之和为_____________.
解析：（1）令x=1,则（2+3）3
=a 0+a 1+a 2+a 3,
令x=-1,则（-2+3）3=a 0-a 1+a 2-a 3,相乘得（a 0+a 2）2-（a 1+a 3）2
=［（a 0+a 2）+（a 1+a 3）］［（a 0+a 2）-（a 1+a 3）］=（2+3）3
（-2+3）3
=（-1）3
=-1,选A.
（2）各项二项式系数之和为03C +13C +23C +33C =23
=8.
答案：（1）A （2）8 变式提升 2
110
C +2210C +3104C +…+2910
10C 等于（ ） A.3×210 B.310
C.
21（39-1） D.2
1（3 10
-1） 解析：观察结构与二项展开式结构作比较，发现
2（110C +2210C +22
310C +…+29
1010C ）=110C 21
·19
+2
10C 22
·18
+…+10
10C 210
=（2+1）10
-1=310
-1.
所以原式=
2
1（310
-1）,选D. 答案：D
类题演练 3
求证：对任何自然数n,33n
-26n-1可被676整除.
证明：当n=0时，原式=0,可被676整除；当n=1时，原式=0，也可被676整除.
当n≥2时，原式=27n
-26n-1=（26+1）n
-26n-1=（26n
+1n C ·26n-1
+…+2-n n C ·262
+1
-n n C ·26+1）
-26n-1=26n
+1n C ·26n-1
+…+2-n n C ·262
.
每一项都含262这个因数，故可被262=676整除，综上所述，对一切自然数n ，33n
-26n-1可被676整除. 变式提升 3
（1）设（1+x ）3+（1+x ）4+…+（1+x ）50=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+…+a 50x 50
,则a 3为（ ）
A.351C
B.451C
C.3502C
D.4
50C
（2）（1-x 3）（1+x ）10的展开式中，x 5
的系数是…（ ）
A.-297
B.-252
C.297
D.207 解析：（1）
（1+x ）3
+（1+x ）4
+…+（1+x ）50
=)
1(1])1(1[)1(483x x x +-+-+=x x x 351)1()1(+-+,x 3
的系数a 3,
即为（1+x ）51
展开式中x 4
项的系数为4
51C ,选B.
（2）（1-x 3）（1+x ）10=（1+x ）10-x 3（1+x ）10
,
∴x 5
的系数为510C -210C =207,选D.
答案：（1）B （2）D。