高三数学9月月考试题文11
山西省忻州市2025届高三上学期9月月考数学试题(含答案)
山西省忻州市2025届高三上学期9月月考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ={x|y =lg(2−x )},B ={x ∈N|y = 4−x 2}，则A ∩B =( )A. {0,1,2}B. {0,1}C. (−2,2)D. (0,2)2.已知a ∈R,b ∈R ，且(2+i )(1−ai )=2+bi ，则a +b =( )A. −1B. 0C. 1D. 23.已知命题p:∃x >0,x 2>2x ，则p 的否定为( )A. ∀x >0,x 2≤2xB. ∀x >0,x 2>2xC. ∃x >0,x 2≤2xD. ∃x ≤0,x 2≤2x4.在平行四边形ABCD 中，AP =2PB ，则PD =( )A. 23AB +ADB. −23AB +ADC. 13AB +ADD. −13AB +AD 5.如果随机变量ξ∼B (n,p )，且E (3ξ)=12,D (ξ)=43，则p =( )A. 14 B. 13 C. 12 D. 236.已知x >0,y >0,x +y +2xy =4，则x +y−xy 的最小值为( )A. 32B. 2C. 12D. 17.已知数列{a n }满足a n +1a n +a n +1a n +2=2，且a 2=a 12a 1+1,a 3=17，则3a 100=( )A. 165 B. 167 C. 169 D. 1718.已知a >0，设函数f (x )=e 2x +(2−a )x−ln x−ln a ，若f (x )≥0在(0,+∞)上恒成立，则a 的取值范围是( )A. (0,1e ]B. (0,1]C. (0,e ]D. (0,2e ]二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a >0，则函数f(x)=a x −2a 的图象可能是( )A. B. C. D.10.已知函数f (x )=2sin(2x +φ)(|φ|<π2)，且f (x )≤|f (π6)|，则下列结论正确的是( )A. φ=π6B. f(x)在区间[π2,π]上单调递增C. 若x1,x2为方程f(x)=2的两个解，则|x2−x1|的最小值为2πD. 若关于x的方程f(x)=a在区间[0,π4]上有且仅有一个解，则a的取值范围为[1,3)∪{2}11.已知函数f(x)的定义域为R，设g(x)=f(x+2)−1，若g(x)和f′(x+1)均为奇函数，则( )A. f(2)=1B. f(x)为奇函数C. f′(x)的一个周期为4D. ∑2024k=1f(k)=2024三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
湖北省沙市2024-2025学年高三上学期9月月考试题 数学含解析
2024—2025学年度上学期2022级9月月考数学试卷（答案在最后）命题人：考试时间：2024年9月25日一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1．集合{}215=∈<N M x x ，若{}05⋃=≤<M N x x ，则集合N 可以为（）A.{}4 B.{}45≤<x x C.{}05<<x x D.{}5<x x 2．若复数232022202320241i i i i +i i z =-+-++- ，则z =（）A.B.C.1D.23．已知2b a = ，若a 与b 的夹角为60︒，则2a b - 在b 上的投影向量为（）A ．12br B ．12b- C ．32b- D ．32b4．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert 提出铅酸电池的容量C 、放电时间t 和放电电流I 之间关系的经验公式：C I t λ=，其中λ为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert 常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为7.5A 时，放电时间为60h ；当放电电流为25A 时，放电时间为15h ，则该蓄电池的Peukert 常数λ约为（参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈）（）A ．1.12B ．1.13C ．1.14D ．1.155．已知,(0,π)αβ∈，且cos 5α=，sin()10αβ+=，则αβ-=（）A ．4πB ．34πC ．4π-D ．34π-6．已知函数2()()ln 0f x x ax b x =++≥恒成立，则实数a 的最小值为（）A ．2-B ．1-C ．1D ．27．函数()ln 1f x x =-与函数()πsin 2g x x =的图象交点个数为（）A ．6B ．7C ．8D ．98．斐波拉契数列因数学家斐波拉契以兔子繁殖为例而引入，又称“兔子数列”.这一数列如下定义：设{}n a 为斐波拉契数列，()*12121,1,3,N n n n a a a a a n n --===+≥∈，其通项公式为1122n nna⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎥=-⎪ ⎪⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦，设n是2log1(14(xx x⎡⎤⎣-⎦-<+的正整数解，则n的最大值为（）A．5B．6C．7D．8二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．给出下列命题，其中正确命题为（）A．已知数据12310x x x x、、、、，满足：()12210i ix x i--=≤≤，若去掉110x x、后组成一组新数据，则新数据的方差为168B．随机变量X服从正态分布()21,,( 1.5)0.34N P xσ>=，若()0.34P x a<=，则0.5a=C．一组数据()(),1,2,3,4,5,6i ix y i=的线性回归方程为 23y x=+，若6130iix==∑，则6163iiy==∑D．对于独立性检验，随机变量2χ的值越大，则推断“两变量有关系”犯错误的概率越小10．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D-中，E为棱1DD的中点，F为正方形11C CDD内一个动点（包括边界），且1//B F平面1A BE，则下列说法正确的有（）A．动点FB．1B F与1A B不可能垂直C．三棱锥11B D EF-体积的最小值为13D．当三棱锥11B D DF-的体积最大时，其外接球的表面积为25π211．已知抛物线2:2(0)C y px p=>的焦点为F，准线交x轴于点D，直线l经过F且与C交于,A B 两点，其中点A在第一象限，线段AF的中点M在y轴上的射影为点N.若MN NF=，则（）A．lB．ABD△是锐角三角形C．四边形MNDF2D．2||BF FA FD⋅>三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若“[]1,4x∃∈使20040x ax-+>”为假命题，则实数a的取值范围为___________.13．在ABC∆中，BC=，∠3Aπ=，D为线段AB靠近点A的三等分点，E为线段CD的中点，若14BF BC=，则AE AF⋅的最大值为________.14．将1,2,3,4,5,6,7这七个数随机地排成一个数列，记第i项为()1,2,,7ia i= ，若47a=，123567a a a a a a++<++，则这样的数列共有个．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()4sin sin sin -=-A b B c A B .（1）求a 的值；（2）若ABC △的面积为()22234+-b c a ，求ABC △周长的取值范围.16．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且222n n n a a n S +-=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21na nb =-，若数列{}nc 满足11n n n n b c b b ++=⋅，且数列{}n c 的前n 项和为n T ，若()12n T n λ-+≤恒成立，求λ的取值范围．17．如图所示，半圆柱1OO 与四棱锥A BCDE -拼接而成的组合体中，F 是半圆弧BC 上（不含,B C ）的动点，FG 为圆柱的一条母线，点A 在半圆柱下底面所在平面内，122,22OB OO AB AC ====.(1)求证：CG BF ⊥；(2)若//DF 平面ABE ，求平面FOD 与平面GOD 夹角的余弦值；(3)求点G 到直线OD 距离的最大值.18．已知双曲线E 的中心为坐标原点，渐近线方程为y =，点(2,1)-在双曲线E 上.互相垂直的两条直线12,l l 均过点()(,0n n P p p >，且)*n ∈N ，直线1l 交E 于,A B 两点，直线2l 交E于,C D 两点，,M N 分别为弦AB 和CD 的中点.(1)求E 的方程；(2)若直线MN 交x 轴于点()()*,0n Q t n ∈N ，设2nn p =.①求n t ；②记n a PQ =，()*21n b n n =-∈N ，求211(1)nkk k k k b b a +=⎡⎤--⎣⎦∑.19．如果函数的导数为()()F x f x '=，可记为()()d f x x F x ⎰=，若()0f x ≥，则()()()baf x dx F b F a =-⎰表示曲线=op ，直线x a x b ==，以及x 轴围成的“曲边梯形”的面积.如：22d x x x C ⎰=+，其中C 为常数；()()2202204xdx C C =+-+=⎰，则表0,1,2x x y x ===及x 轴围成图形面积为4.(1)若()()()e 1d 02xf x x f =⎰+=，，求()f x 的表达式；(2)求曲线2y x =与直线6y x =-+所围成图形的面积；(3)若()[)e 120,xf x mx x ∞=--∈+，，其中Rm ∈，对[)0,a b ∞∀∈+，，若a b >，都满足()()0d d a bf x x f x x >⎰⎰，求m 的取值范围.1．C2．C 【详解】()()32024+1232022022022024241i 1i ()1+1i 1i 1i 11i i iiiii z i =-+----⨯-+====--+-+++C6．B 【详解】∵()0f x ≥恒成立，设2()g x x ax b =++，则当1x >时()0g x ≥，01x <<时()0g x <，∴(1)0g =⎧⎨≤，即101a b a b++=⇒=--⎧⎨≤，∴1a ≥-11．ABD 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线为x 则11,,0,242xy p M N ⎛⎫⎛+ ⎪ ⎝⎭⎝可知MNF 为等边三角形，即且MN ∥x 轴，可知直线则直线:32p l y x ⎛⎫=- ⎪12．【详解】因为“0使00”为假命题，所以“[]1,4x ∀∈，240x ax -+≤”为真命题，其等价于4≥+a x x在[]1,4上恒成立，又因为对勾函数()4f x x x=+在[]1,2上单调递减，在[]2,4上单调递增，而()()145f f ==，所以()max 5f x =，所以5a ≥，即实数a 的取值范围为[5,)+∞.13．11814．360【解析】∵12345621+++++=，∴310S ≤，列举可知：①（1，2，3）……（1，2，6）有4个；②（1，3，4），……，（1，3，6）有3个；③（1，4，5）有1个；④（2，3，4），（2，3，5）有2个；故共有10个组合，∴共计有333310360A A ⨯⨯=个这样的数列。
湖北省黄冈市黄梅县黄梅县育才高级中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题(含答案)
高三数学9月月考卷一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，1.已知集合，，则（ ）A. B. C. D. 2. 复数满足，则的共轭复数在复平面中对应点位于（ ）A 第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D. 第四象限3. 等差数列的前项和，若，则公差为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 44.. 已知，则（ ）A. 或7 B.或 C. 7或-7 D. -7或5. 已知且，若函数的值域为，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 6. 已知点在所在的平面内，且.过点的直线与直线分别交于，设，则的最小值为（ ）.{}2230A x x x =--<(){}2lg 1B y y x ==+A B = ()1,3-(]1,0-[)0,3(),3-∞z ()()i 1i 3i z --=+z z {}n a n n S 10331035,7S S a a -=+={}n a 7sin cos 5θθ-=πtan 4θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭171717-17-0a >1a≠,()log ()1,x a a a x af x x a x a-⎧≤=⎨++>⎩R a 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭(]1,2[)2,+∞P ABC V 20PA PB PC ++=P ,AB AC ,M N ,,(0,0)AM AB AN AC αβαβ==>>4αβ+A.B.C.D.7. 已知函数是上的奇函数，则（ ）A. 2B. -2C.D. 8. 若不等式恒成立，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，9.已知函数的部分图象如图所示，则（ ）A B. C. 的图象关于直线对称D. 在上的值域为10.已知等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，其前n 项和为S n ，若S 8<S 6<S 7，则下列说法正确的是( ).749432+()()()tan tan 12tan x f x x θθθ-+=-+ππ,20242024⎡⎤-⎢⎥⎣⎦tan θ=1212-ln kx b x +≥bk[)0,+∞[)1,-+∞[)2,-+∞[),e -+∞()()()sin 0,0,02πf x A x A ωϕωϕ=+>><<5π6ϕ=2ω=()f x 5π3x =()f x π5π,46⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]2,1-A. 当n =7时，S n 最大B. 使得S n <0成立的最小自然数n =13C. |a 6+a 7|<|a 8+a 9|D. 数列{S na n}中的最小项为S 8a811.已知定义域为的偶函数满足，当时，则下列结论正确的有（ ）A. B. 图象关于点成中心对称C.D. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.12. 已知平面向量，若，则______．13. 已知B ，A 分别为直线y =3x ―3和曲线y =2e x +x 上的点，则|AB |的最小值_______14. 已知数列有30项，，且对任意，都存在，使得.（1）__________；（写出所有可能的取值）（2）数列中，若满足：存在使得，则称具有性质.若中恰有4项具有性质，且这4项和为20，则__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本题满分13分） 已知数列的前项和为，且.的的R ()f x ()()2f x f x +=--(]1,2x ∈()22x f x =-()10f -=()f x ()3,0()()20242025f f >2112x f f x ⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭()()()5,1,1,1,1,a b c k ==-=()a b c -⊥ k ={}n a 12a ={}2,3,,30n ∈ {}1,2,,1i n ∈- 3n i a a =+5a ={}n a k a {}1,2,,1j k ∈- k j a a =k a P {}n a P 301n n a ==∑{}n a n n S 112,2n n a a S +==+（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.16. （本题满分15分） 已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的单调区间.17. （本题满分15分）已知的内角所对的边分别为，且（1）求角A ；（2）若为边上一点，为平分线，且，求的面积18. （本题满分17分）如图，平面四边形中，，对角线相交于．的{}n a 22log 11n n b a =-{}n b n n T ()()2e 2e x xf x a ax =+--2a =()y f x =()()1,1f ()f x ABC V ,,A B C ,,a b c π22sin 6c b a C ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．a D =BC AD BAC∠1AD =ABC V OABC 1OA OB OC ===,AC OB M（1）设，且，（ⅰ）用向量表示向量；（ⅱ）若，记，求的解析式．（2）在（ⅱ）的条件下，记△，△的面积分别为，，求的取值范围．19.（本题满分17分） 已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）若在(1,+∞)上恒成立，求实数的取值范围；（3）帕德近似（Pade approximation ）是数学中常用的一种将三角函数､指数函数､对数函数等“超越函数”在一定范围内用“有理函数”近似表示的方法，比如在附近，可以用近似表示.（i ）当且时，试比较与的大小；（ii ）当时，求证：.(01)AM AC λλ=<<(01)OM tOB t <<= ,OA OB OCπ3BOA ∠=()f t λ=()f t AMB CMO AMB S V CMO S V AMBCMOS S V V ()()11,2ln ln ax f x g x bx x x x-==++1b =-()g x ()1f x x <+a 1x =223341x x x -++ln x 0x >1x ≠ln x 223341x x x -++22b a==()12421x xf xg x +⎛⎫<+⎪+⎝⎭1234567891011C DCBACBBBCACDABD12：13：14：；1047.部分题解析：8.令，则恒成立，又，当时，恒成立，所以在上单调递增，且时，不符合题意；当时，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，所以，令，，则，所以当时，当时，2-2105,8,11,14()ln f x x kx b =--()0f x ≤()1f x k x'=-0k ≤()0f x '>()f x ()0,∞+x →+∞()f x →+∞0k >()0f x '>10x k <<()0f x '<1x k>()f x 10,k⎛⎫ ⎪⎝⎭1,k ⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭()max11ln 1ln 10f x f b k b k k ⎛⎫==--=---≤ ⎪⎝⎭ln 1b k ≥--ln 1b k kk--≥()ln 1k g k k--=()0,k ∈+∞()2ln kg k k='01k <<()0g k '<1k >()0g k '>所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即的取值范围是.故选：B11.对A ，满足，令，则，即f (1)=0，又为偶函数，，故A 对；对B ，，，故的周期，再根据，即，∴f (x )的图象关于点成中心对称，故B 对；对C ，由B 知：的周期，故，，令，则f (2)=―f (0)，又当时，()g k ()0,1()1,+∞()()11g k g ≥=-1b k≥-b k[)1,-+∞ ()f x ()()2f x f x +=--1x =-()()11f f =-()f x ()()110f f ∴-==()()()2f x f x f x +=--=- ()()()42f x f x f x ∴+=-+=()f x 4T =()()2f x f x +=--()()6f x f x +=--()3,0()f x 4T =()()()202450640f f f =⨯=()()2f x f x +=-- 0x = (]1,2x ∈()22xf x =-，即，即，，故，故C 错误；对D ，满足，∴f (x )关于(1,0)中心对称，又当时，∴f (x )在[0,2]上单调递增；当时，，当时，为偶函数，，，当且仅当时，即时等号成立，，故D 对.()22222f ∴=-=()()022f f =-=-()()202402f f ==-()()()20255064110f f f =⨯+==()()20242025f f <()f x ()()2f x f x +=-- (]1,2x ∈()22xf x =-0x =()121022222f f ⎛⎫=-<=-=- ⎪⎝⎭0x ≠()f x 22211111x x x f f f f x x x x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪∴=== ⎪ ⎪ ⎪++ ⎪⎝⎭+⎝⎭+⎝⎭ ⎪⎝⎭11012x x<≤+1x x=1x =2112x f f x ⎛⎫⎛⎫∴≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭故选：ABD.14：【详解】当时，，当时，，或 ，当时，，或，或时有或，当时，，或，或时有或，或时有或或，综上所述：的所有可能取值为：.中恰有4项具有性质，且这4项的和为20，故，，即具有性质，则易知从开始是以为首项为公差的等差数列 ，.故答案：；104715：【小问1详解】由，则当时两式相减得，所以.将代入得，，所以对于，故{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，所以.为2n =2135a a =+=3n =3135a a =+=3238a a =+=4n =4135a a =+=4238a a =+=433a a =+48a =411a =5n =5135a a =+=5238a a =+=533a a =+58a =511a =543a a =+58a =511a =514a =5a 5,8,11,14{}n a P 12a =234565a a a a a =====34565a a a a ====P 6a 533012524254255310472n n a =⨯∴=+⨯+⨯+⨯=∑5,8,11,1412n n a S +=+2n ≥12n n a S -=+1n n n a a a +-=()122n n a a n +=≥12a =12n n a S +=+2142a a ==*1N ,2n n n a a +∈=2n n a =【小问2详解】.，因为当时，当时，所以当时，，当时，.故.16：当时，则，，可得，，即切点坐标为，切线斜率为，所以切线方程为，即.【小问2详解】由题意可知：的定义域为，且，（i ）若，则，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增；（ⅱ）若，令，解得或，22log 11211n n b a n =-=-()2121010n n B b b b n n n n =+++=-=- 5n ≤0n b <6n ≥0n b >5n ≤21210n n n T b b b B n n =----=-=- 6n ≥212567521050n n n T b b b b b b B B n n =----++++=-=-+ 2210,51050,6n n n n T n n n ⎧-≤=⎨-+≥⎩2a =()2e 2x f x x =-()22e 2xf x '=-()21e 2f =-()212e 2f '=-()21,e 2-22e 2k =-()()()22e 22e 21x y -=---()222e 2e 0x y ---=()f x R ()()()()22e 2e 2e e 1x x x xf x a a a '=+--=+-0a ≥2e 0x a +>()0f x '>0x >()0f x '<0x <()f x (),0-∞()0,∞+0a <()0f x '=ln 2a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭0x =①当，即时，令，解得或；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增；②当，即时，则，可知在内单调递增；③当，即时，令，解得或；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增；综上所述：若，的单调递减区间为，单调递增区间为；若，的单调递减区间为，单调递增区间为；若，的单调递增区间为，无单调递减区间；若，的单调递减区间为，单调递增区间为.17：因，为ln 02a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭20a -<<()0f x '>0x >ln 2⎛⎫<- ⎪⎝⎭a x ()0f x '<ln 02a x ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭()f x ln ,02a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(),ln ,0,2a ⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ln 02a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2a =-()()22e 10xf x '=-≥()f x R ln 02a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭2a <-()0f x '>0x <ln 2⎛⎫>- ⎪⎝⎭a x ()0f x '<0ln 2a x ⎛⎫<<-⎪⎝⎭()f x 0,ln 2a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(),0,ln ,2a ⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0a ≥()f x (),0-∞()0,∞+20a -<<()f x ln ,02a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(),ln ,0,2a ⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2a =-()f x R 2a <-()f x 0,ln 2a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(),0,ln ,2a ⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π22sin sin cos 6c b a C C a C ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭由正弦定理可得，且，即，整理可得，且，则，可得，又因为，则，可得，所以.【小问2详解】因为为的平分线，则，因为，则，即，可得，在中，由余弦定理可得，即，整理可得，解得或（舍去），所以的面积18：【详解】（1）（ⅰ）因为，，所以，2sin sin sin sin cos C BA C A C -=-()sin sin sin cos cos sinB AC A C A C =+=+2sin sin cos cos sin sin sin cos C A C A C A C A C --=-π2sin sin cos sin 2sin sin 6C A C A C C A ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭()0,πC ∈sin 0C ≠πsin 16A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()0,πA ∈ππ7π666A <+<ππ62A +=π3A =AD BAC ∠π6BAD CAD ∠=∠=ABC BAD CAD S S S =+V V V 111sin sin sin 222AB AC BAC AB AD BAD AD AC CAD ⋅⋅∠=⋅⋅∠+⋅⋅∠111111122222bc c b =⨯⨯+⨯⨯⨯b c +=BAC V ()22222cos 22cos a b c bc BAC b c bc bc BAC =+-∠=+--∠()2632bc bc bc =--()220bc bc --=2bc =bc 1=-ABC V 11sin 222ABC S bc BAC =⋅∠=⨯=△(01)AM AC λλ=<<(01)OM tOB t <<= ()OA OM MA tOB AC tOB OC OA λλ=+=-=--即，所以，（ⅱ）因为，，所以，因为且，所以，即，所以，整理可得：， 即，.（2）由（1）知：，由三角形面积公式可得：，记，所以，所以在上单调递减，所以，所以的取值范围为.19：当时，，则.所以的减区间为(0,+∞)，无增区间.【小问2详解】因在(1,+∞)上恒成立，为()1OC OA tOB λλ=-+ 1t OC OA OB λλλ-=+π3BOA ∠=1OA OB ==π1cos 32OA OB OA OB ⋅=⋅⋅= 1t OC OA OB λλλ-=+ 1OC =2211t OC OA OB λλλ-⎛⎫=+= ⎪⎝⎭22111t tλλλλλλ--⎛⎫⎛⎫++⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22221t t t λλλλ-+++-=212t t t λ-+=-(01)t <<21(2)t t f t t -+-=(01)t <<212t t tλ-+=-1sin 21sin 2AMB CMOAM MB BMAS AM MB S CM MO CM MO CMO ⋅∠==⋅⋅∠V V 22111t t t t t t λλ--+=⋅=-+(01)t <<221()t t t t tϕ-+=+(01)t <<222(1)1()0()t t t t t ϕ--'=<+()t ϕ()0,11()(1)2t ϕϕ>=AMB CMO S S V V 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1b =-()12ln (0)g x x x x x =-+>()22(1)0x g x x-'=-≤()g x ()1f x x <+所以，所以（）设，则再设，则，则在(1,+∞)上恒成立，所以在(1,+∞)单调递增，所以，所以ℎ′(x )>0在(1,+∞)上恒成立，所以ℎ(x )在(1,+∞)单调递增，所以.又在(1,+∞)上恒成立，所以.【小问3详解】（i ）记，则，所以F (x )在(0,+∞)上单调递增，而，于是，当时，，当时，.（ii ）当时，原不等式即.由于当时，，所以，当时，也成立.所以对任意的恒成立.()()11ln 1f x x x x ax +⇔+-ln 1ln x a x xx<++1x >()ln 1ln ,1x h x x x x x =++>()22211ln 1ln ,1x x xh x x x x x x--=+-=>'()ln ,1m x x x x =->()111,1x m x x x x-=-=>'()0m x '>()m x ()()10m x m >=()()11h x h >=()a h x <1a ≤()2233ln 41x F x x x x -=-++()()422(1)041x F x x x x ++'-=>()10F =1x >()22330,ln 41x F x x x x ->>++01x <<()22330,ln 41x F x x x x -<<++22b a ==()()412111132lnln 1ln 2ln 22x x x x x x xx --+++<++⇔<++1x >2233ln ,1041x x x x x ->->++()2141ln 31x x x x x -++<+01x <<()22233141ln ,10,41ln 31x x x x x x x x x x --++<-<<+++()2141ln 31x x x x x -++<+0,1x x >≠在中取，也即所以a ）记函数，由于的符号，易知在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，.（b ）由（a ）（b ）得，故.()2141ln 31x x x x x -++<+x =<1ln t t -<()21ln x x-<()11ln122x x G x ++=++()1116G x x =-'==+==)23741024x x ⎫-+=-+>+>⎪⎭1-()G x ()()10G x G >=11ln 122x x ++<++()2111ln 1ln 22x x x x-++<<++()12421x x f x g x +⎛⎫<+⎪+⎝⎭。
2024-2025学年江苏省南通市海安高级中学高三上学期9月月考数学试题及答案
江苏省海安中学2025届高三年级学习测试数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的1.已知集合{}{}20,1,2,3,log 1A B xx ==≤∣，则A B ⋂=（ ）A.{}0,1,2B.{}1,2C.{}0,1D.{}12.命题“20,10x x x ∀>-+>”的否定为（ ）A.20,10x x x ∀>-+≤B.20,10x x x ∀≤-+≤C.20,10x x x ∃>-+≤D.20,10x x x ∃≤-+≤3.已知函数()21,0cos ,0x x f x x x ⎧+>=⎨≤⎩，则下列结论正确的是（ ）A.()f x 是偶函数B.()f x 是增函数C.()f x 是周期函数D.()f x 的值域为[)1,∞-+4.若a b >，则（ ）A.ln ln a b >B.0.30.3a b >C.330a b ->D.0a b ->5.已知函数()()1ln 1f x x x=+-，则()y f x =的图象大致是（ ）A. B.C. D.6.如图，矩形ABCD 的三个顶点A B C ､､分别在函数12,,xy y x y ===的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为（）A.11,24⎛⎫⎪⎝⎭ B.11,34⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.11,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭7.已知()912160,0,log log log a b a b a b >>==+，则ab=（ ）C.128.已知()()5,15ln4ln3,16ln5ln4a b c ==-=-，则（ ）A.a c b <<B.c b a <<C.b a c <<D.a b c<<二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求､全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分9.下列函数中，在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的函数是（ ）A.πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.cos y x x=-C.sin2y x =D.πcos 3y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭10.下面的结论中正确的是（ ）A.若22ac bc >，则a b >B.若0,0a b m >>>，则a m ab m b+>+C.若110,0,a b a b a b>>+=+，则2a b +≥D.若20a b >>，则()44322a b a b +≥-11.已知函数()cos sin2f x x x =，下列结论中正确的是（ ）A.()y f x =的图像关于()π,0中心对称B.()y f x =的图像关于π2x =对称C.()f xD.()f x 既是奇函数，又是周期函数三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()321f x g x x x -=+-，则()()11f g +=__________.13.某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为__________.14.若存在实数t ，对任意的(]0,x s ∈，不等式()()ln 210x x t t x -+---≤成立，则整数s 的最大值为__________.（参考数据：ln3 1.099,ln4 1.386≈≈）四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本题13分）如图1，在等腰直角三角形ABC 中，90,6,A BC D E ∠== ､分别是,AC AB 上的点，CD BE O ==为BC 的中点.将ADE 沿DE 折起，得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-，其中AO =（1）求证：A O '⊥平面BCDE ；（2）求点B 到平面A CD '的距离.16.（本题15分）设数列{}n a 的各项均为正整数.（1）数列{}n a 满足1121212222n n n n a a a a n --++++= ，求数列{}n a 的通项公式；（2）若{}n a 是等比数列，且n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列，求公比q .17.（本题15分）已知函数()πsin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在2π0,3⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在2π,π3⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，设()0,0x 为曲线()y f x =的对称中心.（1）求0x 的值；（2）记ABC 的角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，若0cos cos ,6A x b c =+=，求BC 边上的高AD 长的最大值.18.（本题17分）已知函数()()e ln xf x x m =-+.（1）当0m =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）当2m ≤时，求证()0f x >.19.（本题17分）在平面内，若直线l 将多边形分为两部分，多边形在l 两侧的顶点到直线l 的距离之和相等，则称l 为多边形的一条“等线”，已知O 为坐标原点，双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,,F F E 的离心率为2，点P 为E 右支上一动点，直线m 与曲线E 相切于点P ，且与E 的渐近线交于,A B 两点，当2PF x ⊥轴时，直线1y =为12PF F 的等线.（1）求E 的方程；（2）若y =是四边形12AF BF 的等线，求四边形12AF BF 的面积；（3）设13OG OP =，点G 的轨迹为曲线Γ，证明：Γ在点G 处的切线n 为12AF F 的等线江苏省海安中学2025届高三年级学习测试数学试卷答案解析人：福佑崇文阁一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.12345678BCDCBADB二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.91011ACACDABD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.11-14.2四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.【详解】（1）解：（1）连接,,45,3OD OE B C CD BE CO BO ∠∠====== ，在COD 中，OD ==，同理得OE =，因为6BC =，所以AC AB ==所以AD A D A E AE ='==='因为AO =所以222222,A O OD A D A O OE A E '+=='+''所以,A O OD A O OE'⊥⊥'又因为0,OD OE OD ⋂=⊂平面,BCDE OE ⊂平面BCDE 所以A O '⊥平面BCDE ；（2）取DE 中点H ，则OH OB ⊥以O 为坐标原点，,,OH OB OA '所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系则()(()()0,0,0,,0,3,0,1,2,0O A C D --'，设平面A CD '的一个法向量为(),,n x y z =，又((),1,1,0CA CD ==' ，所以300n CA y n CD x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪'⎩，令1x =，则1,y z =-=，则(1,n =-，又()()0,3,0,0,6,0B CB =，所以点B 到平面A CD '16.【详解】（1）因为1121212222n n n na a a a n --++++= ，①所以当2n ≥时，1121211222n n a a a n --+++=- ，②由①-②得，12nn a =，所以2nn a =，经检验，当1n =时，12a =，符合题意，所以2nn a =（2）由题设知0q >.若1q =，则1,n n a a a n n n ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是递减数列，符合题意.若1q <，则当1log q n a >时，11nn a a q =<，不为正整数，不合题意.若1q >，则()()1111n n n qn n a a a n n n n +⎡⎤-+⎣⎦-=++，当1qn n >+，即11n q >-时，11n n a a n n +>+，这与n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列相矛盾，不合题意.故公比1q =.17.【详解】（1）因为()πsin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭在2π(0,}3上单调递增，在2π,π3⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，所以2π13f ⎛⎫=⎪⎝⎭且4π3T ≥，所以2πππ2π,362k k ω⋅+=+∈Z ，可知13,2k k ω=+∈Z ，又由2π4π3ω≥，可知302ω<≤，所以12ω=，故()1πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由1ππ,26x m m +=∈Z ，可得π2π3x m =-，即0π2π,3x m m =-∈Z .（2）22222201()2362cos cos 2222b c a b c bc a bc a A x bc bc bc+-+----=====，化简得2363a bc =-，因为11sin 22ABC S a AD bc A =⋅=，所以AD =，所以()22223()3()44363bc bc AD a bc ==-，又b c +≥，所以9bc ≤，当且仅当3b c ==时取等号，所以()22223()3327363436343634499()bc AD bc bc bc ==≤=-⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以AD ≤，故AD.18.【详解】（1）当()()10,e ln ,e xxm f x x f x x==--'=，所以()1e 1k f '==-，而()1e f =，切线方程为()()e e 11y x -=--，即所求切线方程为()e 110x y --+=；（2）()f x 得定义域为()()1,,e xm f x x m∞='-+-+，设()()1e xg x f x x m='=-+，则()21e 0()xg x x m '=+>+，故()f x '是增函数，当x m →-时，(),f x x ∞∞→-→+'时，()f x ∞'→+，所以存在()0,x m ∞∈-+，使得001e x x m=+①，且()0,x m x ∈-时，()()0,f x f x '<单调递减，()0,x x ∞∈+时，()()0,f x f x '>单调递增，故()()0min 00()e ln xf x f x x m ==-+②，由①式得()00ln x x m =-+③，将①③两式代入②式，结合2m ≤得：min 000011()20f x x x m m m m x m x m =+=++-≥-=-≥++，当且仅当01x m =-时取等号，结合（2）式可知，此时()00e 0x f x =>，故()0f x >恒成立.19.【详解】（1）由题意知()()212,,,0,,0b P c F c F c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，显然点P 在直线1y =的上方，因为直线1y =为12PF F 的等线，所以222212,2,b ce c a b a a -====+，解得1a b ==，E 的方程为2213y x -=（2）设()00,P x y ，切线()00:m y y k x x -=-，代入2213y x -=得：()()()2222200000032230k xk kx y x k x y kx y -+--+-+=，故()()()22222000000243230k kx y kkx y kx y ⎡⎤-+-+-+=⎣⎦，该式可以看作关于k 的一元二次方程()22200001230x k x y k y --++=，所以000002200031113x y x y x k x y y ===-⎛⎫+- ⎪⎝⎭，即m 方程为()001*3y y x x -=当m 的斜率不存在时，也成立渐近线方程为y =，不妨设A 在B 上方，联立得A B x x ==，故02A B x x x +==，所以P 是线段AB 的中点，因为12,F F 到过O 的直线距离相等，则过O 点的等线必定满足：,A B 到该等线距离相等，且分居两侧，所以该等线必过点P ，即OP的方程为y =，由2213y y x ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故P .所以03A A y ====，所以03B B y ====-，所以6A B y y -=，所以1212122ABCD A B A B S F F y y y y =⋅-=-=（3）设(),G x y ，由13OG OP =，所以003,3x x y y ==，故曲线Γ的方程为()229310x y x -=>由（*）知切线为n ，也为0093133x y y x -=，即00133y y x x -=，即00310x x y y --=易知A 与2F 在n 的右侧，1F 在n 的左侧，分别记12,,F F A 到n 的距离为123,,d d d ，由（2）知000011A A x y y y x x ===--，所以3d 由01x ≥得12d d ==因为231d d d +==，所以直线n 为12AF F .等线.。
2024学年上海川沙中学高三上学期数学月考试卷及答案(2024.09)
1川沙中学2024学年第一学期高三年级数学月考2024.09一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．已知全集U R =，集合(,1)[2,)A =−∞+∞，则A =________． 2．函数()sin2f x x =的最小正周期是________．3．在等比数列{}n a 中，若公比4q =，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式n a =________．4．参考数学竞赛决赛的15人的成绩（单位：分）依次如下：56、70、91、98、79、80、81、83、84、86、88、90、72、94、78，则15人成绩的第80百分位数是________． 5．在△ABC 中，90A ∠=︒，3AB =，4AC =，将△ABC 绕边AC 所在直线旋转一周得到几何体Γ，则Γ的侧面积为________．6．已知3nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式的各项系数之和为256，则访二项展开式中的常数项为_____． 7．双曲线222:1y C x b−=的渐近线与直线1x =交于A ，B 两点，且4AB =，那么双曲线C 的离心率为________．8．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若6b =，2a c =，πB 3=，则△ABC 的面积为________．9．春天是鼻炎和感冒的高发期，某人在春季里鼻炎发作的概率是45，感冒发作的概率是67，鼻炎发作且感冒发作的概率是35，则此人在鼻炎发作的条件下感冒的概率是________． 10．已知函数1()lg f x x x =−，则不等式111f x ⎛⎫−< ⎪⎝⎭的解集为________． 11．已知函数()(1)x f x x e =−，若关于x 的不等式()1f x ax <−有且仅有一个正整数解，则实数a 的取值范围是________．212．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足231(,1)n n S a n N n =−∈≥，函数()f x 定义域为R ，对任意x R ∈都有()()()111f x f x f x ++=−，若()21f =−2025()f a 的值为 .二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分） 13．下列不等式恒成立的是（ ） A ．222a b ab +≤B ．222a b ab +≥− C．a b +≥ D．a b +≥−14．已知()f x 是定义在R 上的可导函数，若0(2)(2)1lim22h f h f h →+−=，则(2)f '=（ ）A ．1−B ．14− C ．1 D ．1415．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，设甲：123a a a <<，乙：{}n S 是严格增数列，则甲是乙的（ ）条件．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要16．已知实数1x 、1y 、2x 、2y 、3x 、3y 同时满足：①11x y <，22x y <，33x y <；②112233x y x y x y +=+=+；③11332220x y x y x y +=>，则下列选项中恒成立的是（ ）A ．2132x x x <+B ．2132x x x >+C ．2213x x x <D ．2213x x x >三、解答题（本大题共5题，共141414181878++++=分）17.（本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题7分,第（2）小题7分.)在直四棱柱1111ABCD A B C D −中，∥AB CD ，1AB AD ==，12D D CD ==，AB AD ⊥． （1）求证：BC ⊥平面1D DB ；（2）求点D 到平面1BCD 的距离．18.(本题满分14分.本题共2小题，第（1）小题8分,第（2）小题6分.)设函数2()f x x x a=+−，a为常数．（1）若()f x为偶函数，求a的值；（2）设0a>，()()f xg xx=，(]0,x a∈为严格减函数，求实数a的取值范围．19.(本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题6分,第（2）小题8分.)近年来，随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活。
高三9月月考(数学)试题含答案
高三9月月考（数学）（考试总分：150 分）一、 单选题 （本题共计12小题，总分60分）1.（5分）1、已知集合{}Z x x x A ∈<=,3，{}N x x x B ∈>=,1，则B A ⋂=（ ）A ．φB ．}{3,2,2,3-- C.}{2 D ．}{2,2-2.（5分）2、若复数，，则的实部为（ ）A ．B ．C ．D ．3.（5分）3、函数4log 3)(21++-=x x f x 的零点所在的区间为（ ）A ．)3,2(B ．)4,3(C ．)2,1(D ．)1,0(4.（5分）4、直线b x y +=21是曲线)0(ln >=x x y 的一条切线，则实数b ＝（ ） A ．ln2+1 B ．ln2﹣1 C ．ln3+1D ．ln3﹣15.（5分）5、在ABC ∆中，若满足)2cos()2sin(A B b a -+=ππ，则该三角形的形状为（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形6.（5分）6、函数)82lg()(2--=x x x f 的单调递增区间是（ ）A ．)2,(--∞B ．)1,(-∞C ．),1(+∞D ．),4(+∞7.（5分）7、某数学兴趣小组从商标中抽象出一个函数图象如图，其对应的函数)(x f 可能是（ ）A ．11)(-=x x f B ．11)(-=x x f 12z i =-()23z i i =-12z z +1234C ．xx f 2tan11)(π-=D ．11)(2+=x x f 8.（5分）8）9.（5分）9、已知)(x f 是奇函数，且当时42)(-=x x f ，则不等式0)2(>-x f 的解集为（ ）A ．}{40><x x x 或B ．}{420><<x x x 或 C ．}{20><x x x 或 D ．}{22>-<x x x 或10.（5分）10、已知平面向量a ，b 2=，向量a 与b -a 的夹角为 150的最大值为（ ） A ．32B ．3C ．4D ．334 11.（5分）11、圣·索菲亚教堂（英语：SAINT SOPHIA CATHEDRAL ）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑．1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美．小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB ，高为m )15315(-，在它们之间的地面上的点（D M B ,,三点共线）处测得楼顶，教堂顶C 的仰角分别是15和60，在楼顶处测得塔顶C 的仰角为 30，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ）0x >M A AA ．m 20B ．m 30C ．m 320D ．m 33012.（5分）12、已知在函数x x x f ln )(2+=与函数ax x x g -=22)(的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数的取值范围为（ ）A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-e 1, B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21, C ．(]e -∞-, D ．(]1,-∞-二、 填空题 （本题共计4小题，总分20分） 13.（5分）13，，，的夹角为在方向上的数量投影为__________14.（5分）14、在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，A bc C A c b sin )sin()(22=+-，且3π=B ，则C 的大小为________.15.（5分）15，下列说法正确的是①图像关于②的最小正周期为 ③在区间 ④图像关于a 1a =2b =a b a b +a ()f x ()f x 2π()f x ()f x16.（5分）16、当[)+∞∈,1x 时，1ln -≥+x x xae x恒成立，则实数的取值区间．．为______．三、 解答题 （本题共计7小题，总分80分）17.（12分）17、已知向量)2,cos 3(),1,(sin x b x a =-=，函数2)()(b a x f +=．（1）求函数)(x f 的最小正周期；（2）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,4ππx ，求函数)(x f 的值域． 18.（12分）18、已知三棱柱111C B A ABC -中，BC AB ⊥，O 为的中点，⊥O A 1平面ABC ，21===AA BC AB ，M 为11B A 的中点.（1）求证：//1O A 平面MBC ； （2）求三棱锥C BB M 1-的体积.19.（12分）19、已知等比数列{}n a 的公比1≠q ，321=a ，且22a 、33a 、成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n a b 2log =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．20.（12分）20、某大型商场举办店庆十周年抽奖答谢活动，凡店庆当日购物满1000元的顾客可从装有4个白球和2个黑球的袋子中任意取出2个球，若取出的都是黑球获奖品a AC 44aA ，若取出的都是白球获奖品B ，若取出的两球异色获奖品C. （1）求某顾客抽奖一次获得奖品B 的概率；（2）若店庆当天有1500人次抽奖，估计有多少人次获得奖品C.21.（12分）21、已知函数)(ln )(R a xax x f ∈+=． （Ⅰ）讨论函数)(x f 的单调性； （Ⅱ）求出函数)(x f 零点的个数．22.（10分）22、在平面直角坐标系xOy 中，点P 是曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t t y tt x C 11:1(t 为参数)上的动点，以坐标原点O 为极点，X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为.（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）若点P 在y 轴右侧，点Q 在曲线2C 上，求PQ 的最小值.23.（10分）23、已知函数b x a x x f -+-=)(，R b a ∈,．（1）当1=b 时，对任意的R m ∈，关于x 的不等式22)(2+-<m m x f 总有解，求实数a 的取值范围．（2）当0,0=>b a 时，求不等式2)(<x f 的解集．答案一、 单选题 （本题共计12小题，总分60分） 1.（5分）1、【答案】C【解析】分析：直接求得即可.故选：C.2.（5分）2、【答案】C【解析】因为，，所以，则的实部为．3.（5分）3、【答案】C在上为减函数，，，则，因此，函数的零点所在的区间为.故选：C.4.（5分）4、【答案】B【解析】解：求导得：y∵直线y +b 是曲线y ＝ln x （x ＞0）的一条切线，x ＝2，把x ＝2代入曲线方程得：y ＝ln2，把切点（2，ln2）代入直线方程得：ln2＝1+b ， 解得：b ＝ln2﹣1， 故选：B ．5.（5分）5、【答案】D【解析】分析：由题设条件和正弦定理化简得，得到，求得或.A B 12i z =-213z i =+1232i z z +=+12z z +3()0,∞+()110f =>()260f =-<()()120f f ⋅<()f x ()1,2sin cos sin cos A A B B =sin 2sin 2A B =A B =，即，可得， 因为，所以或所以为等腰三角形或直角三角形. 故选：D.6.（5分）6、【答案】D【解析】对于函数，，解得或，所以，函数的定义域为.内层函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，外层函数为增函数，因此，函数的单调递增区间为.故选：D.7.（5分）7、【答案】A【解析】选项A ：函数的图象的渐近线为 或与原图象相符；选项B ：选项C ：时，函数无意义与原图不相符； 选项D ：故选：A8.（5分）8、【答案】C【解析】由，得，则9.（5分）9、【答案】B【解析】当时 ，又是奇函数，图象关于原点对称，即可画出函数图象如下所示，sin cos sin cos A A B B =sin 2sin 2A B =,(0,)A B π∈A B =ABC ()()2ln 28f x x x =--2280x x -->2x <-4x >()()2ln 28f x x x =--()(),24,-∞-+∞228u x x =--(),2-∞-()4,+∞ln y u =()()2ln 28f x x x =--(4)+∞，1x =1x =-1x =-3x =1x =0x >()24x f x =-()f x要使，结合图象可得或，解得或故不等式的解集为，故选：．10.（5分）10、【答案】C【解析】分析：利用向量的位置关系，利用几何意义，在圆中表示出向量，从而求得最大模长.详解：设，，则，，又向量与的夹角为，则，即C 点的轨迹为优弧上的点， 则圆心角，三角形AOB 为正三角形，圆半径，则当取圆O 的直径向量4.故选：C. 【点睛】方法点睛：利用向量满足的条件，抽象成几何意义，来求得向量模长的最值.11.（5分）11、【答案】D【解析】分析：由正弦得出，再结合正弦定理得到，进而能求. 详解：由题意知：，所以()20f x ->22x ->220x -<-<4x >02x <<{}|024x x x <<>或B a →b AB →→=a AC →→=2AB =b a CB →→→-=a →b a →→-150︒30ACB ∠=AB 60AOB ∠=2OA AB ==a AC →→='AC AM CM CD 45CAM ∠=︒105AMC ∠=︒30ACM ∠=︒在中，在中，由正弦定理得 所以，在中，故选：D12.（5分）12、【答案】D【解析】 由题可得在有解，即在有解，在有解，令所以在单调递减，且，所以当时，，则，单调递增，当时，，则，单调递减，所以，故.故选：D.二、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）13.（5分）13、【答案】 2【解析】由已知得，在方向上的数量投影为，，，的夹角为，所以数量投影为2。
甘肃省靖远县2024-2025学年高三上学期9月月考试题 数学含答案
高考模拟金典卷·数学（答案在最后）（120分钟150分）考生须知：1.本卷侧重：高考评价体系之基础性.2.本卷怎么考：①考查数学基础知识（题1、2）；②考查数学基本技能（题4、5）；③考查数学基本思想（题8）.3.本卷典型情境题：题6、17.4.本卷测试范围：高考全部内容.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若3z z ⋅=，则z =（）A. B.3C.D.322.已知命题:p x ∀∈N N ；命题:q x ∃∈Z ，3x x <，则（）A.p 和q 都是真命题B.p ⌝和q 都是真命题C.p 和q ⌝都是真命题D.p ⌝和q ⌝都是真命题3.在等差数列{}n a 中，388a a +=，则其前10项和10S =（）A.72B.80C.36D.404.已知向量a ，b 满足||2a = ，||1b = ，若a在b 上的投影向量为，则,a b = （）A.5π6B.3π4C.2π3D.7π125.已知,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，能使m n ⊥成立的一组条件是（）A.,,m n αβαβ⊥⊥∥B.,,m n αβαβ⊂⊥∥C.,,m n αβαβ⊥⊥∥ D.,,m n αβαβ⊥⊂∥6.某人工智能研发公司从5名程序员与3名数据科学家中选择3人组建一个项目小组，该小组负责开发一个用于图象识别的深度学习算法.已知选取的3人中至少有1名负责算法的实现与优化的程序员和1名负责数据的准备与分析的数据科学家，且选定后3名成员还需有序安排，则不同的安排方法的种数为（）A.240B.270C.300D.3307.已知1sin 22cos 2αα+=，则tan 2α=（）A.3- B.43-C.13D.348.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，A 是双曲线C 右支上一点，若222F B F A =uuu r uuu r ，120F B F B ⋅=，且2F B a =，则双曲线C 的离心率为（）A.2B.3C.12 D.2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.已知一组数据1x ，2x ，L ，10x 是公差为2的等差数列，若去掉首末两项，则（）A.平均数变大B.中位数没变C.方差变小D.极差变小10.已知函数()cos()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，π||2ϕ<）的部分图象如图所示，则（）A.(0)1f =B.()f x 在区间4π11π,36⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C.()f x 在区间π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭上有3个极值点D.将()f x 的图象向左平移5π12个单位长度，所得函数图象关于原点O 对称11.已知定义在R 上的函数()f x 满足(1)1f =，()()()()()f x y f x f y f x f y +=++，当0x >时，()0f x >，则（）A.(0)0f = B.3(2)4f -=-C.()f x 在(0,)+∞上单调递增D.101()2024i f i ==∑三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知椭圆()2211x my m +=>的离心率为2，则m =_______.13.已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为30π，则圆台的体积为______，若该圆台的上、下底面圆周均在球O 的球面上，则球O 的表面积为______.14.记min{,,}a b c 为a ，b ，c 中最小的数.设0x >，0y >，则11min 2,,x y y x ⎧⎫+⎨⎩⎭中的最大值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记锐角ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3a =，sin 2cos 3B B =.（1）求A .（2）若5b c a +=，求ABC V 的面积.16.已知函数()2()e xf x x ax b =++的图象在点(0,(0))f 处的切线方程为21x y +-0=.（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 的单调区间与极值.17.激光的单光子通信过程可用如下模型表述：发送方将信息加密后选择某种特定偏振状态的单光子进行发送，在信息传输过程中，若存在窃听者，由于密码本的缺失，窃听者不一定能正确解密并获取准确信息.某次实验中，假设原始信息的单光子的偏振状态0，1，2等可能地出现，原始信息的单光子的偏振状态与窃听者的解密信息的单光子的偏振状态有如下对应关系.原始信息的单光子的偏振状态012解密信息的单光子的偏振状态0，1，20，1，31，2，3已知原始信息的任意一种单光子的偏振状态，对应的窃听者解密信息的单光子的偏振状态等可能地出现.（1）已知发送者连续两次发送信息，窃听者解密信息的单光子的偏振状态均为1.求原始信息的单光子有两种偏振状态的概率.（2）若发送者连续三次发送的原始信息的单光子的偏振状态均为1，设窃听者解密信息的单光子的偏振状态为1的个数为X ，求X 的分布列和数学期望()E X .18.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ==122BC BB ==，P ，Q 分别为11B C ，1A B 的中点.（1）证明：1A B CP ⊥.（2）求直线1A B 与平面CPQ 所成角的正弦值.（3）设点1C 到直线CQ 的距离为1d ，点1C 到平面CPQ 的距离为2d ，求12d d 的值.19.在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点(0,1)的距离，记动点P 的轨迹为E .（1）求E 的方程.（2）设*n ∈N ，(),n n n A x y ，(),n n n B u v 是E 上不同的两点，且1n n x u ⋅=-，记n C 为曲线E 上分别以n A ，n B 为切点的两条切线的交点.（i ）证明：存在定点F ，使得n n n A B FC ⊥.（ii ）取2nn x =，记n n n n C A B α=∠，n n n n C B A β=∠，求111tan tan ni n n αβ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑.高考模拟金典卷·数学（120分钟150分）考生须知：1.本卷侧重：高考评价体系之基础性.2.本卷怎么考：①考查数学基础知识（题1、2）；②考查数学基本技能（题4、5）；③考查数学基本思想（题8）.3.本卷典型情境题：题6、17.4.本卷测试范围：高考全部内容.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】BCD【10题答案】【答案】ACD 【11题答案】【答案】ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】4【13题答案】【答案】①.31π②.125π【14题答案】四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）3π；（2）20.【16题答案】【答案】（1）3a =-，1b =（2）增区间为(,1)∞--和(2,)+∞，减区间为(1,2)-，极大值为5e，极小值为2e -【17题答案】【答案】（1）23（2）分布列见解析，()1E X =【18题答案】【答案】（1）证明见解析（2）3（3）14【19题答案】【答案】（1）2122x y =+（2）（i ）证明见解析；（ii ）1221n n +---。
2024-2025学年高三上学期第一次联考(9月月考) 数学试题[含答案]
![2024-2025学年高三上学期第一次联考(9月月考) 数学试题[含答案]](https://img.taocdn.com/s3/m/4ca444db8662caaedd3383c4bb4cf7ec4afeb6db.png)
2024~2025学年高三第一次联考（月考）试卷数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：集合､常用逻辑用语､不等式､函数､导数及其应用.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则集合的真子集的个数为（）{}4,3,2,0,2,3,4A =---{}2290B x x =-≤A B ⋂A.7B.8C.31D.322.已知，，则“，”是“”的（ ）0x >0y >4x ≥6y ≥24xy ≥A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆､绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水､雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为()mg /L N t （为最初污染物数量，且）.如果前4个小时消除了的污染物，那么污染物消0e kt N N -=0N 00N >20%除至最初的还需要（ ）64%A.3.8小时 B.4小时C.4.4小时D.5小时4.若函数的值域为，则的取值范围是（）()()2ln 22f x x mx m =-++R m A.B.()1,2-[]1,2-C.D.()(),12,-∞-⋃+∞(][),12,-∞-⋃+∞5.已知点在幂函数的图象上，设，(),27m ()()2n f x m x =-(4log a f =，，则，，的大小关系为（ ）()ln 3b f =123c f -⎛⎫= ⎪⎝⎭a b c A.B.c a b <<b a c<<C. D.a c b <<a b c<<6.已知函数若关于的不等式的解集为，则的()()2e ,0,44,0,x ax xf x x a x a x ⎧->⎪=⎨-+-+≤⎪⎩x ()0f x ≥[)4,-+∞a 取值范围为（ ）A.B. C. D.(2,e ⎤-∞⎦(],e -∞20,e ⎡⎤⎣⎦[]0,e 7.已知函数，的零点分别为，，则（ ）()41log 4xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()141log 4xg x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭a b A. B.01ab <<1ab =C.D.12ab <<2ab ≥8.已知，，，且，则的最小值为（ ）0a >0b >0c >30a b c +-≥6b a a b c ++A. B. C. D.29495989二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（ ）A.函数是相同的函数()f x =()g x =B.函数6()f x =C.若函数在定义域上为奇函数，则()313xx k f x k -=+⋅1k =D.已知函数的定义域为，则函数的定义域为()21f x +[]1,1-()f x []1,3-10.若，且，则下列说法正确的是（）0a b <<0a b +>A. B.1a b >-110a b+>C. D.22a b <()()110a b --<11.已知函数，则下列说法正确的是（ ）()()3233f x x x a x b=-+--A.若在上单调递增，则的取值范围是()f x ()0,+∞a (),0-∞B.点为曲线的对称中心()()1,1f ()y f x =C.若过点可作出曲线的三条切线，则的取值范围是()2,m ()()3y f x a x b =+-+m ()5,4--D.若存在极值点，且，其中，则()f x 0x ()()01f x f x =01x x ≠1023x x +=三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.__________.22lg 2lg3381527log 5log 210--+⋅+=13.已知函数称为高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则不等式[]y x =x []3.43=[]1.62-=-的解集为__________；当时，的最大值为__________.[][]06x x <-0x >[][]29x x +14.设函数，若，则的最小值为__________.()()()ln ln f x x a x b =++()0f x ≥ab 四､解答题：本题共5小题､共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知全集，集合，.U =R {}231030A x x x =-+≤{}220B x xa =+<（1）若，求和；8a =-A B ⋂A B ⋃（2）若，求的取值范围.()UA B B ⋂= a 16.（本小题满分15分）已知关于的不等式的解集为.x 2280ax x --<{}2x x b-<<（1）求，的值；a b （2）若，，且，求的最小值.0x >2y >-42a bx y +=+2x y +17.（本小题满分15分）已知函数.()()()211e 2x f x x ax a =--∈R （1）讨论的单调性；()f x （2）若对任意的恒成立，求的取值范围.()e x f x x ≥-[)0,x ∈+∞a 18.（本小题满分17分）已知函数是定义在上的奇函数.()22x xf x a -=⋅-R（1）求的值，并证明：在上单调递增；a ()f x R （2）求不等式的解集；()()23540f x x f x -+->（3）若在区间上的最小值为，求的值.()()442x x g x mf x -=+-[)1,-+∞2-m 19.（本小题满分17分）已知函数.()()214ln 32f x x a x x a =---∈R （1）若，求的图像在处的切线方程；1a =()f x 1x =（2）若恰有两个极值点，.()f x 1x ()212x x x <（i ）求的取值范围；a （ii ）证明：.()()124ln f x f x a+<-数学一参考答案､提示及评分细则1.A 由题意知，又，所以{}2290B x x ⎡=-=⎢⎣∣ {}4,3,2,0,2,3,4A =---，所以的元素个数为3，真子集的个数为.故选.{}2,0,2A B ⋂=-A B ⋂3217-=A 2.A 若，则，所以“”是“”的充分条件；若，满足4,6x y 24xy 4,6x y 24xy 1,25x y ==，但是，所以“”不是“”的必要条件，所以“”是24xy 4x <4,6x y 24xy 4,6x y “”的充分不必要条件.故选A.24xy 3.B 由题意可得，解得，令，可得4004e 5N N -=44e 5k -=20004e 0.645t N N N -⎛⎫== ⎪⎝⎭，解得，所以污染物消除至最初的还需要4小时.故选B.()248e e ek kk---==8t =64%4.D 依题意，函数的值域为，所以，解得()()2ln 22f x x mx m =-++R ()2Δ(2)420m m =--+ 或，即的取值范围是.故选D.2m 1m - m ][(),12,∞∞--⋃+5.C 因为是軍函数，所以，解得，又点在函数的图()()2nf x m x =-21m -=3m =()3,27()n f x x =象上，所以，解得，所以，易得函数在上单调递增，又273n=3n =()3f x x =()f x (),∞∞-+，所以.故选C.1241ln3lne 133log 2log 2->==>=>=>a c b <<6.D 由题意知，当时，；当时，；当时，(),4x ∞∈--()0f x <[]4,0x ∈-()0f x ()0,x ∞∈+.当时，，结合图象知；当时，，当()0f x 0x ()()()4f x x x a =-+-0a 0x >()e 0x f x ax =- 时，显然成立；当时，，令，所以，令，解0a =0a >1e x x a (),0e x x g x x =>()1e xxg x -='()0g x '>得，令0，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以01x <<()g x '<1x >()g x ()0,1()1,∞+，所以，解得综上，的取值范围为.故选D.()max 1()1e g x g ==11e a0e a < a []0,e 7.A 依题意得，即两式相减得4141log ,41log ,4a b a b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩441log ,41log ,4a ba b ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-= ⎪⎪⎝⎭⎩.在同一直角坐标系中作出的图()44411log log log 44a ba b ab ⎛⎫⎛⎫+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4141log ,log ,4xy x y x y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭象，如图所示：由图象可知，所以，即，所以.故选A.a b >1144ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()4log 0ab <01ab <<8.C 因为，所以，所以30a b c +- 30a b c +> 11911121519966399939911b a b a b b b b a b c a b a b a a a a ⎛⎫++=+=++--=-= ⎪+++⎝⎭++ ，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选C.1911991b b a a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭+29b a =6b aa b c ++599.AD 由解得，所以，由，解得10,10x x +⎧⎨-⎩ 11x - ()f x =[]1,1-210x -，所以的定义域为，又，故函数11x - ()g x =[]1,1-()()f x g x ===与是相同的函数，故A 正确；，()f x ()g x ()6f x ==当且仅当方程无解，等号不成立，故B 错误；函数=2169x +=在定义域上为奇函数，则，即，即()313x x k f x k -=+⋅()()f x f x -=-331313x xx x k k k k ----=-+⋅+⋅，即，整理得，即，()()33313313x x xxxxk k k k ----=-+⋅+⋅313313x x x x k kk k ⋅--=++⋅22919x x k k ⋅-=-()()21910x k -+=所以，解得.当时，，该函数定义域为，满足，210k -=1k =±1k =()1313xx f x -=+R ()()f x f x -=-符合题意；当时，，由可得，此时函数定义域为1k =-()13311331x x xxf x --+==--310x -≠0x ≠，满足，符合题意.综上，，故C 错误；由，得{}0x x ≠∣()()f x f x -=-1k =±[]1,1x ∈-，所以的定义域为，故D 正确.故选AD.[]211,3x +∈-()f x []1,3-10.AC 因为，且，所以，所以，即，故A 正确；0a b <<0a b +>0b a >->01a b <-<10ab -<<因为，所以，故В错误；因为，所以，0,0b a a b >->+>110a ba b ab ++=<0a b <<,a a b b =-=由可得，所以，故C 正确；因为当，此时，故0a b +>b a >22a b <11,32a b =-=()()110a b -->D 错误.故选AC.11.BCD 若在上单调递增，则在上佰成立，所以()f x ()0,∞+()23630f x x x a '=-+- ()0,x ∞∈+，解得，即的取值范围是，故A 错误；因为()min ()13630f x f a '==--'+ 0a a (],0∞-，所以，又()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+()11f a b =--+，所以点()()()332(21)21(1)1222f x f x x a x b x ax b a b -+=-----++---+=--+为曲线的对称中心，故B 正确；由题意知，所以()()1,1f ()y f x =()()3233y f x a x b xx =+-+=-，设切点为，所以切线的斜率，所以切线的方程为236y x x =-'()32000,3x x x -20036k x x =-，所以，整理得()()()3220000336y x x x x x x --=--()()()322000003362m xx x x x --=--.记，所以3200029120x x x m -++=()322912h x x x x m =-++()26h x x '=-，令，解得或，当时，取得极大值，当时，1812x +()0h x '=1x =2x =1x =()h x ()15h m =+2x =取得极小值，因为过点可作出曲线的三条切线，所以()h x ()24h m=+()2,m ()()3y f x a x b =+-+解得，即的取值范围是，故C 正确；由题意知()()150,240,h m h m ⎧=+>⎪⎨=+<⎪⎩54m -<<-m ()5,4--，当在上单调递增，不符合题意；当，()223633(1)f x x x a x a =-+-=--'()0,a f x (),∞∞-+0a >令，解得，令，解得在()0f x '>1x <-1x >+()0f x '<11x -<<+()f x 上单调递增，在上单调递堿，在上单调递增，因为,1∞⎛- ⎝1⎛+ ⎝1∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭存在极值点，所以.由，得，令，所以，()f x 0x 0a >()00f x '=()2031x a-=102x x t+=102x t x =-又，所以，又，()()01f x f x =()()002f x f t x =-()()32333(1)1f x x x a x b x ax b =-+--=---+所以，又，所以()()()330000112121x ax b t x a t x b ---+=-----+()2031x a-=，化简得()()()()()()()322320000000013112121312x x x b x x b t x x t x b----=----=------，又，所以，故D 正确.故选BCD.()()20330t x t --=010,30x x x t ≠-≠103,23t x x =+=12. 由题意知10932232862log 184163381255127log 5log 210log 5log 121027---⎛⎫+⋅+=+⋅-+ ⎪⎝⎭62511411410log 5log 2109339339=-⋅+=-+=13.（2分）（3分） 因为，所以，解得，又函数[)1,616[][]06x x <-[][]()60x x -<[]06x <<称为高斯函数，表示不超过的最大整数，所以，即不等式的解集为.当[]y x =x 16x < [][]06x x <-[)1,6时，，此时；当时，，此时01x <<[]0x =[]2[]9x x =+1x []1x ，当且仅当3时等号成立.综上可得，当时，的[][][]2119[]96x x x x ==++[]x =0x >[]2[]9x x +最大值为.1614. 由题意可知：的定义域为，令，解得令，解21e -()f x (),b ∞-+ln 0x a +=ln ;x a =-()ln 0x b +=得.若，当时，可知，此时，不合题1x b =-ln a b -- (),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <意；若，当时，可知，此时，不合ln 1b a b -<-<-()ln ,1x a b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +>+<()0f x <题意；若，当时，可知，此时；当ln 1a b -=-(),1x b b ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+<()0f x >时，可知，此时，可知若，符合题意；若[)1,x b ∞∈-+()ln 0,ln 0x a x b ++ ()0f x ln 1a b -=-，当时，可知，此时，不合题意.综上所ln 1a b ->-()1,ln x b a ∈--()ln 0,ln 0x a x b +<+>()0f x <述：，即.所以，令，所以ln 1a b -=-ln 1b a =+()ln 1ab a a =+()()ln 1h x x x =+，令，然得，令，解得，所以在()ln 11ln 2h x x x '=++=+()0h x '<210e x <<()0h x '>21e x >()h x 上单调递堿，在上单调递增，所以，所以的最小值为.210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭21,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭min 2211()e e h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ab 21e -15.解：（1）由题意知，{}2131030,33A x x x ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦∣ 若，则，8a =-{}()22802,2B x x =-<=-∣所以.(]1,2,2,33A B A B ⎡⎫⋂=⋃=-⎪⎢⎣⎭（2）因为，所以，()UA B B ⋂= ()UB A ⊆ 当时，此时，符合题意；B =∅0a 当时，此时，所以，B ≠∅0a <{}220Bx x a ⎛=+<= ⎝∣又，U A ()1,3,3∞∞⎛⎫=-⋃+ ⎪⎝⎭13解得.209a -< 综上，的取值范围是.a 2,9∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭16.解：（1）因为关于的不等式的解集为，x 2280ax x --<{2}xx b -<<∣所以和是关于的方程的两个实数根，且，所以2-b x 2280ax x --=0a >22,82,b a b a⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得.1,4a b ==（2）由（1）知，所以1442x y +=+()()()221141422242241844242y xx y x y x y x y y x ⎡⎤+⎛⎫⎡⎤+=++-=+++-=+++-⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎣⎦，179444⎡⎢+-=⎢⎣ 当且仅当，即时等号成立，所以.()2242y x y x +=+x y ==2x y +74-17.解：（1）由题意知，()()e e x x f x x ax x a=-=-'若，令.解得，令，解得，所以在上单调递琙，在0a ()0f x '<0x <()0f x '>0x >()f x (),0∞-上单调递增.()0,∞+若，当，即时，，所以在上单调递增；0a >ln 0a =1a =()0f x ' ()f x (),∞∞-+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a >1a >()0f x '>0x <ln x a >()0f x '<0ln x a <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+当，即时，令，解得或，令，解得，ln 0a <01a <<()0f x '>ln x a <0x >()0f x '<ln 0a x <<所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.()f x (),ln a ∞-()ln ,0a ()0,∞+综上，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在0a ()f x (),0∞-()0,∞+01a <<()f x 上单调递增，在上单调递减，在上单调递增当时，在上(,ln )a ∞-()ln ,0a ()0,∞+1a =()f x (),∞∞-+单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.1a >()f x (),0∞-()0,ln a ()ln ,a ∞+（2）若对任意的恒成立，即对任意的恒成立，()e xf x x - [)0,x ∞∈+21e 02xx ax x -- [)0,x ∞∈+即对任意的恒成立.1e 102x ax -- [)0,x ∞∈+令，所以，所以在上单调递增，当()1e 12x g x ax =--()1e 2x g x a=-'()g x '[)0,∞+，即时，，所以在上单调递增，所以()10102g a =-' 2a ()()00g x g '' ()g x [)0,∞+，符合题意；()()00g x g = 当，即时，令，解得，令，解得，所()10102g a =-<'2a >()0g x '>ln 2a x >()0g x '<0ln 2a x < 以在上单调递减，()g x 0,ln 2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭所以当时，，不符合题意.0,ln 2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()00g x g <=综上，的取值范围是.a (],2∞-18.（1）证明：因为是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()010f a =-=解得，所以，1a =()22x xf x -=-此时，满足题意，所以.()()22x x f x f x --=-=-1a =任取，所以12x x <，()()()()211122121211122222122222222122x x x x x x x x x x x x f x f x x x --⎛⎫--=---=--=-+ ⎪++⎝⎭又，所以，即，又，12x x <1222x x <12220x x -<121102x x ++>所以，即，所以在上单调递增.()()120f x f x -<()()12f x f x <()f x R （2）解：因为，所以，()()23540f x x f x -+->()()2354f x x f x ->--又是定义在上的奇函数，所以，()f x R ()()2354f x x f x ->-+又在上单调递增，所以，()f x R 2354x x x ->-+解得或，即不等式的解集为.2x >23x <-()()23540f x x f x -+->()2,2,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭（3）解：由题意知，令，()()()44244222xxxxxxg x mf x m ---=+-=+--322,,2x x t t ∞-⎡⎫=-∈-+⎪⎢⎣⎭所以，所以.()2222442x xxxt --=-=+-()2322,,2y g x t mt t ∞⎡⎫==-+∈-+⎪⎢⎣⎭当时，在上单调递增，所以32m -222y t mt =-+3,2∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭，解得，符合题意；2min317()323224g x m m ⎛⎫=-++=+=- ⎪⎝⎭2512m =-当时，在上单调递减，在上单调递增，32m >-222y t mt =-+3,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭(),m ∞+所以，解得或（舍）.222min ()2222g x m m m =-+=-=-2m =2m =-综上，的值为或2.m 2512-19.（1）解：若，则，所以，1a =()214ln 32f x x x x =---()14f x x x =--'所以，又，()14112f =--='()1114322f =--=所以的图象在处的切线方程为，即.()f x 1x =()1212y x -=-4230x y --=（2）（i ）解：由题意知，()22444a x a x x x af x x x x x '---+=--==-又函数恰有两个极值点，所以在上有两个不等实根，()f x ()1212,x x x x <240x x a -+=()0,∞+令，所以()24h x x x a =-+()()00,240,h a h a ⎧=>⎪⎨=-<⎪⎩解得，即的取值范围是.04a <<a ()0,4（ii ）证明：由（i ）知，，且，12124,x x x x a +==04a <<所以()()2212111222114ln 34ln 322f x f x x a x x x a x x ⎛⎫⎛⎫+=---+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()2212121214ln ln 62x x a x x x x =+-+-+-，()()()21212121214ln 262x x a x x x x x x ⎡⎤=+--+--⎣⎦()116ln 1626ln 22a a a a a a =----=-+要证，即证，只需证.()()124ln f x f x a+<-ln 24ln a a a a -+<-()1ln 20a a a -+-<令，所以，()()()1ln 2,0,4m a a a a a =-+-∈()11ln 1ln a m a a a a a -=-++=-'令，所以，所以即在上单调递减，()()h a m a ='()2110h a a a =--<'()h a ()m a '()0,4又，所以，使得，即，()()1110,2ln202m m '-'=>=<()01,2a ∃∈()00m a '=001ln a a =所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在()00,a a ∈()0m a '>()0,4a a ∈()0m a '<()m a ()00,a 上单调递减，所以.()0,4a ()()()max 00000000011()1ln 2123m a m a a a a a a a a a ==-+-=-+-=+-令，所以，所以在上单调递增，所以()()13,1,2u x x x x =+-∈()2110u x x =->'()u x ()1,2，所以，即，得证.()000111323022u a a a =+-<+-=-<()0m a <()()124ln f x f x a +<-。
四川省内江市威远县威远中学校2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题
四川省内江市威远县威远中学校2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}2,1,0,1,2U =--，{}Z 20A x x =∈-≤<，{}N 11B x x =∈-≤≤，则()U B A ⋂=ð（ ） A ．{}0 B ．{}0,1 C ．{}1,0,1-D ．{}1,0,1,2-2．设i 为虚数单位，()1i 2i z -+=+，则复数z 的虚部是（ ） A ．12-B ．1i 2C ．32-D ．3i 2-3．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点（-3，1），则sin2θ=（ ）A ．35-B ．45-C ．35D ．454．已知)2,a b ==r r，且a b ⊥r r ，则2a b -=r r （ ）A ．B ．C ．4D ．5．已知,a b ∈R ，则“22a b --<”是“22a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知Sn 是递增的等比数列{an }的前n 项和，其中S 3＝72，a 32＝a 4，则a 5＝（ ）A ．116 B ．18C ．8D ．167．记函数()π()sin 04f x x ωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭>的最小正周期为T ．若ππ2T <<，且π()3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则ω=（ ）A ．34B ．94C ．154D ．2748．已知函数()e x f x x =+，()ln g x x x =+，若()()12f x g x t ==，则2122x x t ++-的最大值为（ ） A ．94B ．2C ．2e 12- D ．23e 1e -二、多选题9．已知函数()π3sin 214f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,下列结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 的周期是πB ．函数()f x 的图象关于直线π8x =对称 C ．函数()f x 的最小值是2-D ．函数()f x 的图象关于点7π,08⎛⎫- ⎪⎝⎭对称10．下列说法正确的的有（ ）A ．已知一组数据12310,,,,x x x x ⋅⋅⋅的方差为3，则123102,2,2,,2x x x x +++⋅⋅⋅+的方差也为3B ．统计学中用线性相关系数r 来衡量两个变量的线性相关性强弱，若r 越小，则两个变量之间的线性相关性越弱.C ．已知随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，若()()151P X P X >-+≥=，则2μ=D ．已知随机变量X 服从二项分布1,3B n ⎛⎫⎪⎝⎭，若()316E X +=，则6n =11．已知函数()323f x ax ax b =-+，其中实数0R a b >∈，，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 必有两个极值点B ．()y f x =有且仅有3个零点时，b 的范围是()0,4aC ．当2b a =时，点1,02⎛⎫⎪⎝⎭是曲线()y f x =的对称中心D ．当56a b a <<时，过点()2,A a 可以作曲线()y f x =的3条切线三、填空题12．若12nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中x 的系数为.13．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．甲、乙两人要在同一个舱内，则不同的安排方案共有 .14．若定义在R 上的函数()f x 满足(1)y f x =+是奇函数，(4)()f x f x +=-，(2)2f =，则(1)(2)(3)(30)f f f f ++++=L ．四、解答题15．已知,,a b c 分别为ABC V 的内角A B C ､､的对边，且sin cos a B A =. (1)求角A ；(2)若4a b ==，求出c 边并求出ABC V 的面积16．ChatGPT 是AI 技术驱动的自然语言处理工具，引领了人工智能的新一轮创新浪潮.某数学兴趣小组为了解使用ChatGPT 人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了60名居民进行调查.整理如下22⨯列联表：注:本研究定义年龄不小于45周岁为“中老年人”，其余的称为“青少年”.(1)请完成上面22⨯列联表，并依据小概率值0.1α=的独立性检验，能否认为年龄因素与是否喜欢该程序有关系;(2)在抽取的60名居民中有5人经常使用该程序辅助工作.以样本频率估计概率.若在全市范围内抽取20位居民，经常使用该程序辅助工作的人数为X ，求X 的数学期望()E X 和方差()D X ;(3)在抽取的60名居民中有10名高中生，其中有7名男生，3名女生.为进一步了解他们的对于AI 的认知和看法，在10名高中生中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为Y ，求Y 的分布列和数学期望.附:22(),)-==++++n ad bcn a b c ddχ17．已知函数()21ln(R)2=-+∈f x x a x b a．(1)若2a=-，12b=-，求曲线()y f x=在1x=处的切线的方程(2)讨论函数()f x的单调性(3)若20a-≤<，对任意两个不同的(]12,0,2x x∈，不等式()()121211f x f x mx x-≤-恒成立，求m的最小值．18．夏日天气炎热，学校为高三备考的同学准备了绿豆汤和银耳羹两种凉饮，某同学每天都会在两种凉饮中选择一种，已知该同学第1天选择绿豆汤的概率是23，若在前一天选择绿豆汤的条件下，后一天继续选择绿豆汤的概率为13，而在前一天选择银耳羹的条件下，后一天继续选择银耳羹的概率为12，如此往复．（提示：设nA表示第n天选择绿豆汤）(1)求该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率(2)求该同学第2天选择绿豆汤的概率；(3)记该同学第n天选择绿豆汤的概率为n P，求出n P的通项公式.19．对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为na；若n为奇数，则对31n+不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为na.若1na=，则称正整数n为“理想数”.(1)求20以内的质数“理想数”；(2)已知9ma m=-.求m的值；(3)将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列{}n b，记{}n b的前n项和为n S，证明：()*7N3nS n<∈.。
广东省揭阳市2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题
广东省揭阳市2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}{}|1,|(1)(3)0A x x B x x x =>=+-<，则()A B =R I ð（ ） A ．()3,+∞B ．()1,-+∞C ．()1,3-D ．(]1,1-2．若复数()13i 3i z -=-（i 为虚数单位），则z z -在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．双曲线2213y x -=的两条渐近线的夹角的大小等于（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π4．在△ABC 中，D 是BC 上一点，满足3BD DC =uu u r uuu r，M 是AD 的中点，若BM BA BC λμ=+u u u u r u u u r u u u r ，则λμ+=（ ） A ．54B ．1C ．78D ．585．若两个等比数列{}{},n n a b 的公比相等，且1234,2b a a ==，则{}n b 的前6项和为（ ） A ．578B ．638C ．124D ．2526．若函数()sin f x x x ωω=(0)>ω在区间[,]a b 上是减函数，且()1f a =，()1f b =-，πb a -=，则ω=（ ） A ．13B ．23C ．1D ．27．已知点()1,0A -，()0,3B ，点P 是圆()2231x y -+=上任意一点，则PAB V 面积的最小值为（ ）A ．6B ．112C ．92D ．6 8．已知函数y =f x 的定义域为R ，且f −x =f x ，若函数y =f x 的图象与函数()2log 22x x y -=+的图象有交点，且交点个数为奇数，则()0f =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2二、多选题9．设A ，B 为随机事件，且()P A ，()P B 是A ，B 发生的概率. ()P A ，()()0,1P B ∈，则下列说法正确的是（ ）A ．若A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B ⋃=+ B ．若()()()P AB P A P B =，则A ，B 相互独立C ．若A ，B 互斥，则A ，B 相互独立D ．若A ，B 独立，则()(|)P B A P B =10．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若cos b c A =，内角A 的平分线交BC 于点D ，1AD =，1cos 8A =，以下结论正确的是（ ）A ．34AC =B ．8AB =C ．18CD BD = D ．ABD △11．设函数()()2(1)4f x x x =--，则（ ）A ．1x =是()f x 的极小值点B ．()()224f x f x ++-=-C ．不等式()4210f x -<-<的解集为{}|12x x <<D ．当π02x <<时，()()2sin sin f x f x >三、填空题12．在△ABC 中，若a ＝2,b ＋c ＝7,1cos 4B =-，则b =13．如果一个直角三角形的斜边长等于积为.14．已知函数()()0e 23xf x f x =-++'，点P 为曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线l 上的一点，点Q 在曲线e xxy =上，则PQ 的最小值为．四、解答题15．在ABC V 中，角、、A B C 所对的边分别为,4,9a b c c ab ==、、．(1)若2sin 3C =，求sin sin A B ⋅的值； (2)求ABC V 面积的最大值．16．某商场举行有奖促销活动，凡5月1日当天消费不低于1000元，均可抽奖一次，抽奖箱里有6个形状、大小、质地完全相同的小球，其中红球有4个，白球有2个，抽奖方案设置两种，顾客自行选择其中的一种方案．方案一：从抽奖箱中，一次性摸出3个球，每有1个红球，可立减80元；方案二：从抽奖箱中，有放回地每次摸出1个球，连摸3次，每摸到1次红球，立减80元． (1)设方案一摸出的红球个数为随机变量X ，求X 的分布列、数学期望和方差； (2)设方案二摸出的红球个数为随机变量Y ，求Y 的分布列、数学期望和方差；(3)如果你是顾客，如何在上述两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由． 17．如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ⊥底面ABC ，12AB AA AC ===，160BC ABB =∠=o ，点D 是棱11A B 的中点．(1)证明：AD BC ⊥；(2)求面ABC 与面1A BC 夹角的正切值．18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为()10F ,，直线l 经过点F ，且与C 相交于A ，B 两点，记l 的倾斜角为α. (1)求C 的方程；(2)求弦AB 的长（用α表示）；(3)若直线MN 也经过点F ，且倾斜角比l 的倾斜角大π4，求四边形AMBN 面积的最小值.19．如果n 项有穷数列{}n a 满足1n a a =，21n a a -=，…，1n a a =，即()11,2,,i n i a a i n -+==L ，则称有穷数列{}n a 为“对称数列”.(1)设数列{}n b 是项数为7的“对称数列”，其中1234,,,b b b b 成等差数列，且253,5==b b ，依次写出数列{}n b 的每一项；(2)设数列{}n c 是项数为21k -(k *∈N 且2k ≥)的“对称数列”，且满足12n n c c +-=，记n S 为数列{}n c 的前n 项和.①若1c ，2c ，…，k c 构成单调递增数列，且2023k c =.当k 为何值时，21k S -取得最大值? ②若12024=c ，且212024k S -=，求k 的最小值.。
高三9月月考检测(数学)试题含答案
高三9月月考（数学）（考试总分：150 分）一、 单选题 （本题共计12小题，总分60分）1.（5分）1．已知集合{}33A x N x =∈-<<，{2,0,2,3}B =-，则A B 是（ ） A ．{0,2} B ．{2} C ．{2,0,2}- D ．{0,2,3}2.（5分）2．下列图形可表示函数()y f x =图象的只可能是（ ） A ． B ． C ． D ．3.（5分）3．已知集合111|,|,(,)|A x y B y x C x y y x y x ⎧⎫⎧⎫⎧⎫======⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭，则下列结论正确的是（ ）A ．AB = B ．AC = C ．B C =D ．A B C ==4.（5分）4．将“x 2+y 2≥2xy ”改写成全称命题，下列说法正确的是（ ） A ．∀x ，y ∀R ，都有x 2+y 2≥2xy B ．∀x ，y ∀R ，都有x 2+y 2≥2xyC ．∀x ＞0，y ＞0，都有x 2+y 2≥2xyD ．∀x ＜0，y ＜0，都有x 2+y 2≤2xy5.（5分）5．已知集合{}220A x ax x a =-+=中至多含有一个元素，则实数a 的取值范围（ ）A ．[]1,1-B ．[1,)(,1]+∞-∞-C ．[]{}1,10-D ．{}[)1,,10(]+∞-∞-6.（5分）6．“M N >”是“ln ln M N >”的（ ）条件．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分又不必要7.（5分）7．已知函数25,1(),1x ax x f x a x x ⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩，是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)3,0-B ．(],2-∞-C ．[]3,2--D ．(),0-∞8.（5分）8．若命题“2,10x R x ax ∃∈-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是（ ）． A ．2{|}2a a -≤≤ B ．{|2a a ≤-或}2a ≥ C ．2{|2}a a -<< D ．{2|a a <-或}2a >9.（5分）9．设0.5log 0.7a =， 1.4log 0.8b =，0.81.4c =，则下列说法中正确的是（ ） A ．b a c << B ．b c a << C ．a b c << D ．a c b <<10.（5分）10．函数()f x 在(),-∞+∞上单调递减，且为奇函数．若()11f =-，则满足()111f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ） A ．[]22-,B ．[]1,1-C ．[]0,2D ．[]1,311.（5分）11．下列式子中，错误的是（ ）A ．()13123270310a .a a -÷= B ．221111333333a b a b a b ⎛⎫⎛⎫-÷+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C．()()1222331⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦ D=12.（5分）12．已知222,0()1,0x tx t x f x x t x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，若(0)f 是()f x 的最小值，则实数t 的取值范围为（ ）A ．[1,2]-B ．[1,0]-C ．[0,2]D ．[1,2]二、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）13.（5分）13．设集合2{|8200},[5,13)A x x x B =--<=，则()R A B ⋂=___________（用区间表示）.14.（5分）14．函数()244,143,1x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩的图像和函数()2log g x x =的图像有________个交点．15.（5分）15．设集合U 为全集，对集合X ､Y ，定义运算“*”，()U X Y X Y *=，若全集U =R ，{}13X x x =≤≤，{}24Y x x =<<，则X Y *=___________.16.（5分）16．若函数()()()3f x x ax b =-⋅-为偶函数，且在()0,∞+上单调递增，则()20f x ->的解集为__________．三、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）17.（10分）17．（10分）化简下列各式：（1）12133113344x y z x y z ---⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）214⎛⎫ ⎪⎝⎭＋13-－0(1.03)×⎛ ⎝⎭. 18.（12分）18（12分）．求下列函数值域.（1）f (x )＝3x －1，x ∀[－5，2)； （2）5142x y x -=+； （3）()f x = 19.（12分）19（12分）．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x <－1}，B ＝{x |2a <x <a ＋3}，且B ∀U A ，求实数a 的取值范围．20.（12分）20．（12分）已知函数()()()221log 2log f x x x =++．（1）求函数()f x 的最小值； （2）求()2f x =时x 的值．21.（12分）21（12分）．已知命题p ：方程220x m -+=有两个不相等的实数根；命题q ：128m +<．（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若p q ∨为真命题,p q ∧为假命题，求实数m 的取值范围．22.（12分）22（12分）．已知函数()21x f x x =+的定义域为()1,1-， （1）判断并证明函数()f x 的单调性；（2）解不等式：()()10f t f t -+<.答案一、 单选题 （本题共计12小题，总分60分）1.（5分）1．A2.（5分）2．D3.（5分）3．A4.（5分）4．A5.（5分）5．D解：由题意，原问题转化为方程220ax x a -+=至多只有一个根，当0a =时，方程为20x -=，解得0x =，此时方程只有一个实数根，符合题意； 当0a ≠时，方程220ax x a -+=为一元二次方程，所以2440a ∆=-≤，解得1a ≤-或1a ≥．综上，实数a 的取值范围为{}(][,11),0-∞-+∞．6.（5分）6．Bln ln M N >，一定有M N >，但M N >时，不一定有ln ln M N >，如1,2M N =-=-，ln ,ln M N 都不存在，因此题中是必要不充分条件．7.（5分）7．C 解：若25,1(),1x ax x f x a x x ⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则应满足21201151a a a a ⎧-≥⎪⎪<⎨⎪⎪--⨯-≤⎩，解得32a --≤≤，即[]3,2a ∈--. 8.（5分）8．C命题“2,10x R x ax ∃∈-+≤”是假命题，等价于不等式210x ax -+≤无解，所以240a ∆=-<，由此即可求出结果.9．9.（5分）A解：因为0.5log y x =在(0,)+∞上为减函数，且0.50.71<<，所以0.50.50.5log 0.5log 0.7log 1>>，即0.51log 0.70>>，即01a <<， 因为 1.4log y x =在(0,)+∞上为增函数，且0.81<，所以 1.4 1.4log 0.8log 10<=，即0b <， 因为 1.4x y =在R 上为增函数，且0.80>，所以0.801.4 1.41>=，即1c >，综上，c a b >> 10．10.（5分）C因为()f x 为奇函数，且()11f =-，所以()()111f f -=-=，所以()111f x -≤-≤等价于()()()111f f x f ≤-≤-，由函数()f x 在(),-∞+∞上单调递减，可得111x -≤-≤，解得：02x ≤≤， 所以满足()111f x -≤-≤的x 的取值范围是[]0,211.（5分）11．C对于A ，原式()13123103033103a .a a a a -⎡⎤=÷=⨯=⎣⎦，A 正确； 对于B ，原式11113333113311113332211333a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭===-++⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 正确； 对于C，原式()(()(()(11122222223333331⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, C 错误；对于D，原式=D 正确.12.（5分）12．C因为0x ≤时，()()2222f x x tx t x t =-+=-，所以要使()0f 是()f x 的最小值，则0t ≥；又当0x >时，()12f x x t t t x =++≥=+（1x =时，取等号）， 所以()20t f +≥，即220t t --≤，又0t ≥，所以02t ≤≤.二、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）13.（5分）13．(,5)[10,)-∞+∞【分析】由题意，集合2{|8200}{|210}A x x x x x =--<=-<<，可得[5,10)A B ⋂=， 所以(){|5R A B x x ⋂=<或10}(,5)[10,)x ≥=-∞+∞.故答案为：(,5)[10,)-∞+∞.14.（5分）14．在同一坐标系中作出函数()y f x =与()y g x =的图像，如图，由图可知，两个函数的图像有3个交点．15.（5分）15．{2x x ≤或3}x > 由条件可知{}23X Y x x ⋂=<≤，(){2U X Y X Y x x *=⋂=≤或3}x >. 故答案为：{2x x ≤或3}x >16.（5分）16．∀()()()()2333f x x ax b ax a b x b =-⋅-=-++为偶函数，∀()()()223333f x ax a b x b ax a b x b -=+++=-++，∀30a b +=，即3b a =-， ∀()()2299f x ax a a x =-=-，∀()f x 在()0,∞+上单调递增，∀0a >， ∀()()()2150f x a x x -=--->， ∀()()150x x +->，解得1x <-或5x >，∀不等式的解集为()(),15,-∞-+∞三、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）17.（10分）17（1）原式2111134413x y z x y z ---=⋅⋅⋅⋅⋅2111113344x y z +---⋅⋅=2xz -=；（2）原式13321116-⎡⎤⎛=++-⨯⎢⎥ ⎢⎥⎝⎭⎣⎦1516=+8116=+. 18.（12分）18．（1）（1）∀x ∀[－5，2)，∀－15≤3x <6，∀－16≤3x －1<5，∀函数f (x )＝3x －1，x ∀[－5，2)的值域是[－16，5)．（2）()57742542242442x y x x +-==-++,72042x ≠+ ∀y ≠54，∀函数5142x y x -=+的值域为{y ∀R |y ≠54}． （3）由题意可得，x ∀[2，4]，因为()0f x ,[]2()22,4f x x =+∈，[]2680,1x x -+-∈所以f 2(x )∀[2，4]，故函数f (x )的值域为2]．19.（12分）19．由题意得U A ＝{x |x ≥－1}，∀若B ＝∅，则a ＋3≤2a ，即a ≥3，满足B ∀U A ；∀若B ≠∅，则由B ∀U A ，得2a ≥－1且2a <a ＋3，即132a -≤<． 综上可得，实数a 的取值范围是：12a ≥-． 20． 20.（12分）（1）∀()()()221log 2log f x x x =++ 令2log t x =，则232y t t =++， 根据二次函数的性质可知，当32t =-即322x -=时，函数取得最小值14- （2）∀()()()221log 2log 2f x x x =++=，即()22log 3log 0x x +=，∀2log 0x =或2log 3x =- ∀1x =或18x 21.（12分）21．解：（1）若p 为真命题，则有880m ∆=->，解得1m <； （2）若q 为真命题，则有13m +<，即2m <，因为p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则p 、q 一真一假．∀当p 真q 假时，有12m m <⎧⎨≥⎩，解得m ∈∅， ∀当p 假q 真时，有12m m ≥⎧⎨<⎩，解得12m ≤<, 综上，m 的取值范围是[)1,2.22.（12分）22．（1）设1211x x -<<<，则()()()()()()121212122222121211111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++1211x x -<<<120x x ∴-<，1210x x ->，()()2212110x x ++>()()()()22110f x f x f x f x ∴-<⇒< 则函数()f x 在区间()1,1-上单调递增. （2）()()21x f x f x x -=-=-+，且定义域关于原点对称 则函数()f x 为奇函数 所以()()()()()()1011f t f t f t f t f t f t -+<⇔-<-⇔-<- 因为()f x 在区间()1,1-单调递增所以111111t t t t -<-⎧⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩，解得：102t << 则原不等式解集为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.。
绵阳南山中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题(含答案)
2024年9月绵阳南山中学2024-2025学年秋高三上9月月考试题数 学一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．若集合{}2A x =∈≤，{}23B x x =-≤≤，则A B =（ ）A ．{}03x x ≤≤B ．{}24x x -≤≤C ．{}0,1,2,3D ．{}2,1,0,1,2,3,4--2．若命题p ：x R ∃∈，2220x x ++≤，则命题p 的否定是（ ） A ．x R ∃∈，2220x x ++> B ．x R ∀∈，2220x x ++< C ．x R ∀∈，2220x x ++>D ．x R ∀∈，2220x x ++≤3．若0a b c <<<，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．11c c a b-<- B ．2a b c +>C ．2ab c >D ．ac bc >4．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若57a =，102a =，则14S =（ ） A ．49B ．63C ．70D ．1265．已知函数1()ln(1)f x x x b=+-为偶函数，则b =（ ） A ．0 B ．14C ．12D ．16．已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是1θ℃，空气的温度是0θ℃，则mi n t 后物体的温度θ℃满足公式()010e ktθθθθ-=+-（其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）.某天小明同学将温度是80℃的牛奶放在20℃空气中，冷却2min 后牛奶的温度是50℃，则下列说法正确的是（ ）A ．ln2k =B ．牛奶的温度从50℃降至35℃还需4minC ．2ln2k =D ．牛奶的温度从50℃降至35℃还需2min 7．根据变量Y 和x 的成对样本数据，由一元线性回归模型()()20,Y bx a eE e D e σ=++⎧⎨==⎩得到经验回归模型ˆy bx a =+，求得残差图.对于以下四幅残差图，满足一元线性回归模型中对随机误差假设的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数22,0,()414,0,x x f x x x ⎧⎪=⎨-++<⎪⎩…若存在唯一的整数x ，使得()10f x x a -<-成立，则所有满足条件的整数a 的取值集合为（ ） A ．{2,1,0,1}--B ．{2,1,0}--C ．{1,0,1,2}-D ．{1,0,1}-二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．下列函数中，是增函数的是（ ） A ．()22xxf x -=-B ．()1f x x=-C ．()3f x x x =+D ．()cos f x x x =-10．某制药公司为了研究某种治疗高血压的药物在饭前和饭后服用的药效差异，随机抽取了200名高血压患者开展试验，其中100名患者饭前服药，另外100名患者饭后服药，随后观察药效，将试验数据绘制成如图所示的等高条形图，已知22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，且()26.6350.01P χ>=，则下列说法正确的是（ ）A ．饭前服药的患者中，药效强的频率为45B ．药效弱的患者中，饭后服药的频率为710C ．在犯错误的概率不超过0.01的条件下，可以认为这种药物饭前和饭后服用的药效有差异D ．在犯错误的概率不超过0.01的条件下，不能认为这种药物饭前和饭后服用的药效有差异11．已知函数()f x （x R ∈）是奇函数，()g x 是()f x 的导函数（x R ∈），()12f =且有()f x 满足()()222f x f x +=-，则下列说法正确的是（ ）A ．(2022)0f =B ．函数()g x 为偶函数C ．(1)1g =D ．函数()g x 的周期为4 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.) 12．若1cos 3α=，()0,α∈π，则sin 2α= . 13．函数1()2sin (440)f x x x x x=--≤≤≠且的所有零点的和等于 . 14．对任意的(0,)x ∈+∞，不等式()2ln2100x x a x ax a ⎛⎫-+-++≤ ⎪⎝⎭恒成立，则实数 a = .四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15．（13分）ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且5,7a b ==. (1)若8c =，求B ；(2)若ABC V 的面积为，求c .16．（15分）在数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，且364n n S a -=． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若n +∀∈N ，144n S λλ-<≤+恒成立，求λ的取值范围．17．（15分）某生物兴趣小组研究某种植物的生长，每天测量幼苗的高度，设其中一株幼苗从观察之日起，第x 天的高度为 c m y ，测得一些数据图如下表所示:(1)由表中数据可看出，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以证明； (2)求y 关于x 的回归直线方程，并预测第7天这株幼苗的高度. 参考数据:()5521140, 5.53i i i i i x y y y ===-=∑∑.参考公式:相关系数()()niix x y y r --=∑ˆy bx a =+ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆˆˆ,nii nii ix x yy bay bx x x ==--==--∑∑.18．（17分）函数32()231f x x ax =-+.(1)若a =1，求函数()f x 在1x =-处的切线方程；(2)证明：存在实数a 使得曲线()y f x =关于点(1,3)-成中心对称图形； (3)讨论函数()f x 零点的个数.19．（17分）已知()21e 4e 52x x f x ax =-+--.(1)当3a =时，求()f x 的单调递增区间； (2)若()f x 有两个极值点1x ，2x . （i ）求a 的取值范围；（ii ）证明：()()12120f x f x x x +++<.数学参考答案及评分标准二、 多选题12、913、0 14四、解答题 15.（1）由余弦定理知2221cos 22a cb B ac +-== …………………………………………………….……..3分又()0,B ∈π故3B π=； ……………………………………………………….…..6分（2）由三角形的面积公式1sin 2S ab C ==从而sin C =…………………………………….……..8分若(0,)2C π∈,1cos 7C ==，8c ==……………10分若(,)2C π∈π，1cos 7C ==-，c ==12分从而8 c =或 …………………………………..13分 16.（1）因为364n n S a -=，当1n =时，11364S a -=，解得132a =；………………………………………………...2分当2n ≥时，11364n n S a ---=，所以11330n n n n S a S a ----=+，所以112n n a a -=-;………4分所以 是以32为首项，12-为公比的等比数列，所以11322n n a -⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭. …………………………………………………………………….6分（2）由（1）可得6411,326464113326411,32n nn n n n a S n ⎧⎡⎤⎛⎫-⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎡⎤⎪⎢⎥+⎣⎦⎛⎫==--=⎢⎥⎨ ⎪⎝⎭⎡⎤⎢⎥⎪⎣⎦⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎩为偶数为奇数， 又12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，则12xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在R 上单调递增，所以当n 为偶数时，264164111163232n ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-≥-=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，当n 为奇数时，64164111323232n⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+≤+=⎢⎥ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦，………………………………………10分 所以当1n =时n S 取得最大值为32，当2n =时n S 取得最小值为16， 因为n +∀∈N ，144n S λλ-<≤+恒成立，所以1163244λλ-<⎧⎨≤+⎩，解得717λ≤<，………………………………………………… …...14分所以λ的取值范围为[)7,17. …………………………………………………………...15分17.（1）由1(12345)35x =++++=，1(1.3 1.7 2.2 2.8 3.5) 2.35y =++++=，()52110ii x x =-=∑，……………………… …….3分所以()()55niii ix x y y x y xyr ---==∑∑5.50.9955.53==≈≈ ……………………………………....7分因为r 与1非常接近，故可用线性回归模型拟合y 与x 的关系．（2）由题意可得：()515215 5.50.55, 2.30.5530.6510ˆˆˆi ii ii x y xyba y bx x x ==-====-=-⨯=-∑∑，….11分所以y 关于x 的回归直线方程为ˆ0.550.65yx =+． ………………………………………….…………..13分 当7x =时，ˆ0.5570.65 4.5y=⨯+=， 由此预测当年份序号为第7天这株幼苗的高度为4.5cm ……………………………..…15分 18.（1）2()666(1)f x x x x x '==--(1)12,(1)4f f '-=-=-………………………………………………………………..….2分故()f x 在1x =-处的切线方程为412(1)y x +=+，即128y x =+…………………4分 （2） (1)33f a =-，若存在这样的a ，使得(1,3)-为()f x 的对称中心，则333a -=-，2a = …………………………………………………….……6分 现在只需证明当2a =时()(2)6f x f x +-=-，事实上，32322()(2)2612(2)6(2)1(1212)(2424)6f x f x x x x x x x +-=+++-+-+=-+--于是()(2)6f x f x +-=-………………………………………………………………….8分 即存在实数2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心. ………………………………………. .9分 （3）2()666()f x x ax x x a '=-=-， 3.1）当0a >时，()(),0,x a ∞∞∈-⋃+时()0f x '>，故()f x 在()(),0,,a ∞∞-+上单调递增，(0,)x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减， ………………………………………………..10分则()f x 在0x =处取到极大值，在x a =处取到极小值，由(0)10=>f ，而(1)130f a -=--<，根据零点存在定理()f x 在(,0)-∞上有一个零点； i)若01a <<，即3()10f a a =->， ()f x 在(0,)+∞无零点，从而()f x 在R 上有1个零点；………………………………………………………….11分 ii)若1a >，即3()10f a a =-<，(0)()0f f a <，()f x 在(0,)a 有一个零点,3(4)1610,()(4)0f a a f a f a =+><，故()f x 在(,)a +∞有一个零点，从而()f x 在R 上有3个零点；……………………………………………………………12分 iii)若1a =，即3()10f a a =-=，()f x 在(0,)+∞有一个零点，从而()f x 在R 上有2个零点；……………………………………………………………..13分 3.2)当0a =时，()f x 在R 上单调递增，(0)10f =>， x →-∞时，()f x →-∞，从而()f x 在R 上有一个零点； …………………………………………………….....14分3.3）当0a <时，()(),0,x a ∈-⋃+∞∞时()0f x '>，故()f x 在()(),,0,a -+∞∞上单调递增，(,0)x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减. ………………………….15分 而3()10f a a =->，(0)0f >，故()f x 在(,)a +∞无零点，又2(21)(21)(2)1f a a a -=--+，由2(21)1,22a a ->-<-，故(21)0f a -<，(21)()0f a f a -<，从而()f x 在(,)a -∞有一个零点，从而()f x 在R 上有一个零点.………………………………………………..…..16分 综上：当1a <时，()f x 在R 上只有1个零点；1a =时，()f x 在R 上有2个零点；1a >时()f x 在R 上有3个零点。
浙江省金华市2025届高三上学期9月月考数学试题含答案
金华2024学年第一学期高三9月月考数学试题卷（答案在最后）命题：高三数学组校对：高三数学组一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|(1)(2)0},{1,0,1,2,3}A x x x B =--≤=-，则A B = （）A.{}1,0,3- B.{}1,0,1- C.{}1,2 D.{}2,3【答案】C 【解析】【分析】解不等式化简集合A ，利用交集的定义直接求解即得.【详解】依题意，集合{|(1)(2)0}{|12}A x x x x x =--≤=≤≤，而{1,0,1,2,3}B =-，所以{}1,2A B = .故选：C2.已知复数()i 17i z =-，则z =（）A.7i -+B.7i-- C.7i+ D.7i-【答案】D 【解析】【分析】根据复数乘法运算和共轭复数概念可得.【详解】因为()i 17i 7i z =-=+，所以7i z =-.故选：D3.函数π()cos sin 4f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是（）A.π4 B.π2C.πD.2π【答案】C 【解析】【分析】利用三角恒等变换得到()1πsin 2244f x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，利用2πT ω=求出最小正周期.【详解】由余弦和角公式、倍角公式、降幂公式可得()2ππ22cos cos sin sinsin cos sin 4422f x x x x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭()1cos 21πsin 2sin 2cos 2sin 242244244x x x x x -⎛⎫=-⋅=+-+- ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==．故选：C4.比较两组测量尺度差异较大数据的离散程度时，常使用离散系数，其定义为标准差与均值之比.某地区进行调研考试，共10000名学生参考，测试结果（单位：分）近似服从正态分布，且平均分为57.4，离散系数为0.36，则全体学生成绩的第84百分位数约为（）附：若随机变量Z 服从正态分布()2,,()0.68N P Z μσμσ-<≈.A.82B.78C.74D.70【答案】B 【解析】【分析】先根据题意计算标准差，从而得到正态分布()257.4,20.664N ，再利用正态密度曲线的轴对称性和百分位数的定义进行求解即可.【详解】根据题意得标准差为57.40.3620.664⨯=，所以测试结果（单位：分）近似服从正态分布()257.4,20.664N ，又因为0.6884%0.52=+，且()0.68P Z μσ-<≈，所以全体学生成绩的第84百分位数约为57.420.66478μσ+=+≈.故选：B .5.设抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，直线l 与C 交于A ，B 两点，FA FB ⊥，2FA FB =，则l 的斜率是（）A.±1B.C.D.±2【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线的定义得到如图的抛物线，得到11,AA AF BB BF ==，可求得AH ，做1BH AA ⊥在直角三角形Rt ABH △中，可求得BH ，结合斜率的定义进行求解即可【详解】下图所示为l 的斜率大于0的情况．如图，设点A ，B 在C 的准线上的射影分别为1A ，1B ，1BH AA ⊥，垂足为H ．设22FA FB a ==，0a >，则AB =．而11AH AA BB AF BF a =-=-=，所以2BH a ==，l 的斜率为2BH AH=．同理，l 的斜率小于0时，其斜率为2-．另一种可能的情形是l 经过坐标原点O ，可知一交点为O ，则FO FA ⊥，可求得2FA FO p ==，可求得l 斜率为2FA FO=，同理，l 的斜率小于0时，其斜率为2-．故选：D6.某地响应全民冰雪运动的号召，建立了一个滑雪场．该滑雪场中某滑道的示意图如下所示，A 点、B 点分别为滑道的起点和终点，它们在竖直方向的高度差为20m ．两点之间为滑雪弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图像的一部分．综合考安全性与趣味性，在滑道的最陡处，滑雪者的身体与地面约成43~48 的夹角．若还要兼顾滑道的美观性与滑雪者的滑雪体验，则A 、B 两点在水平方向的距离约为（）A.13mB.19mC.23mD.29m【答案】D 【解析】【分析】以滑道的最陡处为原点O 建立平面直角坐标系，由题意可知，O 为AB 的中点，设三次函数的解析式为()32f x ax bx cx =++，其中0a ≠，设点()0,10A x -，则()0,10B x -，在滑道最陡处，设滑雪者的身体与地面所成角为α，由题意得出0b =，()()()300020010tan 1030f c f x ax cx f x ax c α⎧==-⎪⎪=+=-'⎨=+='⎪⎪⎩，求出02x ，即可得解.【详解】以滑道的最陡处为原点O 建立平面直角坐标系，由题意可知，O 为AB的中点，设三次函数的解析式为()32f x ax bx cx =++，其中0a ≠，设点()0,10A x -，则()0,10B x -，()232f x ax bx c '=++，在滑道最陡处，0x =，则()f x '的对称轴为直线0x =，则03ba-=，可得0b =，则()23f x ax c '=+，()3f x ax cx =+，在滑道最陡处，设滑雪者的身体与地面所成角为α，则()sin cos 120tan 2sin tan cos 2f c παπααπααα⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭'==+==-=- ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭，所以，()3tan x f x ax α=-，()213tan f x ax α'=-，由图可知()()2003000130tan 10tan f x ax x f x ax αα⎧=-=⎪⎪⎨='⎪-=-⎪⎩，可得0230tan x α=，4348α<< ，则()0230tan 29m x α=≈.故选：D.7.设,,A B C 三点在棱长为2的正方体的表面上，则AB AC ⋅的最小值为（）A.94-B.2- C.32-D.43-【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，不妨假设A 在平面xOy 中，设()12,,0A a a ，()123,,B b b b ，()123,,C c c c ，()112,,0B b b 和()112,,0C c c 分别是点B ，C 在平面xOy 上的投影，利用向量不等式可得：()211113311114AB AC AB AC b c AB AC AB AC +⋅+≥⋅≥-⋅≥-，即可求解【详解】将正方体置于空间直角坐标系O xyz -中，且A 在平面xOy 中，点O 和点()2,2,2的连线是一条体对角线．设()12,,0A a a ，()123,,B b b b ，()123,,C c c c ，()112,,0B b b 和()112,,0C c c 分别是点B ，C 在平面xOy 上的投影．可得()130,0,B B b = ，()130,0,C C c = ，110AB C C ⋅= ，110AC B B ⋅= 则()()111111111111AB AC AB B B AC C C AB AC AB C C AC B B B B C C⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅ 1133AB AC b c =⋅+uuu r uuu r，因为()211113311114AB AC AB AC b c AB AC AB AC +⋅+≥⋅≥-⋅≥-，当且仅当点C 为11B C 的中点时，等号成立，可得()2211111244AB AC B C +-=-≥- ，所以2AB AC ⋅≥-，当()1,1,0A ，11222b c b c -=-=，且330b c =时等号成立．故选：B【点睛】关键点点睛：本题形式简洁，但动点很多，且几乎没有约束条件，这时就需要学生对于动点所在的位置进行分类讨论，讨论的顺序、对于对称性的使用都对学生提出了很高的要求．从几何角度来看，点B ，C 不会位于A 所在面的一侧，故如果采用坐标形式计算数量积，一定会有一项是非负的，且可以取到0．找到这一突破口后，即可将问题转化为平面向量的问题，也就很容易得到结果了．8.已知数列{}n a 满足1122n n n a a a ++<<+，11a =，n S 是{}n a 的前n 项和．若2024m S =，则正整数m 的所有可能取值的个数为（）A.48B.50C.52D.54【答案】D 【解析】【分析】根据11n n a a ++<可得11n n a a +<-，由累加迭代法可得n a n >，进而可得()14046m m +<，由122n n a a +<+得252,3n n a n -<⨯≥，进而根据等比数列的求和可得406225m <，两种情况结合可得1063,m ≤≤进而可求解.【详解】由11n n a a ++<，得11n n a a +<-，由累加法，当2n ≥时，=−K1+K2+⋅⋅⋅+211>1+1+⋅⋅⋅+1=，因此=1+2+⋅⋅⋅+>1+2+⋅⋅⋅+=2024>所以()14048m m +<，当63m =时，()14032m m +=，故63m ≤；由122n n a a +<+，得()2221321122222222222,a a a a a a <+⇒<+<++=++所以()2233243112222222222a a a a <+<+++=++，以此类推，得1122212222252,3n n n n n n n a a n -----<++=+=⨯≥，因此()12212145222m m m S a a a -<++⋅⋅⋅+<++++⋅⋅⋅+，即()2121220245552512m m ---<+⨯=⨯--，得1202925m ->；又892256,2512==，所以19m -≥，即10m ≥；综上可知，1063m＃，故满足条件的正整数m 所有可能取值的个数为6310154-+=个.故选：D【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用不等式1122n n n a a a ++<<+将数列的通项公式通过放缩法和累加法可求得n a n >且252,3n n a n -<⨯≥，再由2024m S =解不等式即可得出正整数m 的所有可能取值.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知()1,0A -，()3,2B，()2,1C -，ABC V 的外接圆为M ，则（）A.点M 的坐标为()1,1- B.M 的面积是5πC.点()4,3在M 外D.直线23y x =-与M 相切【答案】BC 【解析】【分析】根据垂直平分线计算交点得到圆心为()1,1，再计算半径为R =个选项得到答案.【详解】()1,0A -，()3,2B 的垂直平分线的斜率满足：131220AB k k +=-=-=--，()1,0A -，()3,2B 的中点为()1,1，故垂直平分线方程为()21123y x x =--+=-+；同理可得()3,2B，()2,1C -的垂直平分线方程为：1433y x =-+，231433y x y x =-+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，两条垂直平分线的交点为：()1,1，故圆心为()1,1，R ==，圆方程为()()22115x y -+-=.对选项A ：点M 的坐标为()1,1，错误；对选项B ：M 的面积是2π5π⨯=，正确；对选项C ：()()224131135-+-=>，正确；对选项D ：M到直线的距离5d ==<，相交，错误.故选：BC10.连续投掷一枚均匀的骰子3次，记3次掷出点数之积为X ，掷出点数之和为Y ，则（）A.事件“X 为奇数”发生的概率18B.事件“17Y <”发生的概率为5354C.事件“2X =”和事件“4Y =”相等D.事件“4X =”和事件“Y ＝6”独立【答案】ABC 【解析】【分析】利用相互独立事件、对立事件的概率公式计算判断AB ；写出事件的所有基本事件判断C ；利用相互独立事件的定义判断D.【详解】对于A ，事件“X 为奇数”等价于“3次掷出的点数都为奇数”，其发生的概率为311()28=，A 正确；对于B ，事件“17Y <”的对立事件为“17Y =或18Y =”，而“18Y =”等价于“3次掷出的点数均为6”，其概率为311(6216=，“17Y =”等价于“掷出的3个点数中有2个6和1个5”，其概率为13311C (672=，因此()11531712167254P Y <=--=，B 正确；对于C ，事件“2X =”和事件“4Y =”包含相同的样本点(2,1,1,(1,2},1,(1),1,2))，因此是相等事件，C 正确；对于D ，事件“4X =”等价于“3次掷出的点数中有2个1和1个4，或者2个2和1个1”，其概率为6121636=，事件“6Y =”等价于“3次掷出的点数中有3个2，或者2个1和1个4，或者1个1，1个2和1个3”，其概率为1365216108++=，而积事件等价于“3次掷出的点数中有2个1和1个4”，其概率31152167236108=≠⨯，D 错误．故选：ABC11.设1a >，n 为大于1的正整数，函数的定义域为R ，()()()yf x f y a f x y -=-，()10f ≠，则（）A.()00f =B.()f x 是奇函数C.()f x 是增函数D.()()11n f n a n f +>+【答案】AD 【解析】【分析】运用赋值判定A;运用赋值结合反证法判定B;运用特例判定C;运用赋值加累加法判定D ．【详解】令y x =可知，()()()00xa f f x f x =-=，所以()00f =，A 正确；令1x =，1y =-得()()()1112f f f a--=，令1x =-，1y =得()()()112f f af --=-，则()()1220f af a+-=．若()f x 是奇函数，则()()22f f -=-，结合1a >知()20f =．而令2,1x y ==得()()()211f f af -=，所以()10f =，矛盾！，故()f x 不是奇函数，B 错误；取()()11xf x a a =-+>，则()()()yxyf x f y a a a f x y -=-=-，满足题设要求，但此时()f x 为减函数，故C 错误；由()()()211f f af -=，()()()2321f f a f -=，…，()()()11nf n f n a f +-=，累加可得()()121111n nf n a a a a f a ++-=+++=- ．设()()()()1111n n n F n aa a n a na n +=---+=-+-，()()()()111110n n n F n F n a a a a a ++-=--+=-->，故()()10F n F >=，即()()11n f n a n f +>+，D 正确．故选：AD.【点睛】知识点点睛：本题考查抽象函数、函数的基本性质、函数与不等式．抽象函数作为近年来的热门考点，以形式简洁、内涵丰富而常见于各大模拟卷及高考卷．本题属于难题.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.对于各数位均不为0的三位数abc ，若两位数ab 和bc 均为完全平方数，则称abc 具有“S 性质”，则具有“S 性质”的三位数的个数为__________．【答案】4【解析】【分析】先列出具有两位数，且每一位都不为0的完全平方数，然后根据题意组合即可.【详解】已知22416,525==2222636,749,864,981====经过组合可知：具有“S 性质”的组合有：16,64ab bc ==；36,64ab bc ==；64,49ab bc ==；81,16ab bc ==，此时的三位数分别为：164,364,649,816，共4个.故答案为：413.过双曲线2213x y -=的一个焦点作倾斜角为60o 的直线，则该直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积是__________.【答案】2【解析】【分析】求出过焦点的直线方程和渐近线方程后可求三角形的面积.【详解】由双曲线的对称性不妨设倾斜角为60o的直线过右焦点，由双曲线2213x y -=可得渐近线方程为3y x =±，双曲线的半焦距为2c =，故右焦点坐标为()2,0F ，过倾斜角为60o的直线方程为)2y x =-，由)23y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩可得交点坐标为(A ，由)233y x y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩可得交点坐标为3,22B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，倾斜角为60o的直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积为12222⎛⎫⨯--= ⎪ ⎪⎝⎭，故答案为：2.14.已知四面体ABCD 各顶点都在半径为3的球面上，平面ABC ⊥平面BCD ，直线AD 与BC 所成的角为90︒，则该四面体体积的最大值为_________________.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，探求四面体体积的表达式，并确定体积最大时四面体的结构特征，结合球半径、球心O 到平面ABC 和平面BCD 的距离及BC 长表示出最大体积的关系式，再利用均值不等式、导数求最值求解作答.【详解】在ABC V 中，过A 作AH BC ⊥于H ，连接DH ，因为AD BC ⊥，,,AH AD A AH AD =⊂ 平面ADH ，则⊥BC 平面ADH ，显然DH ⊂平面ADH ，有DH BC ⊥，而平面ABC ⊥平面BCD ，则90AHD ∠= ，四面体ABCD 的体积1136AHD V S BC BC AH DH =⋅=⋅⋅ ，当BC 长固定时，DH 经过DBC △的外接圆圆心2O 时，DH 最大，此时H 为BC 中点，并且AH 经过ABC V 外接圆圆心1O ，四面体ABCD 的体积V 最大，令四面体ABCD 外接球球心为O ，连接12,OO OO ，则1OO ⊥平面ABC ，2OO ⊥平面BCD ，令1122,,2OO d OO d BC a ===，显然四边形12OO HO 是矩形，于是222222129d d a OH CH OC ++=+==，且21AH d DH d ==+，21(AH DH d d ⋅=≤9d d =+21d d +=，即21d d =时取等号，此时21d d ==，929AH DH ⋅=+=，因此1(93V a ≤，令()(93f a a a =+<<，4()9f a '=+，由()0f a '=，得a =0a <<()0f a '>3a <<时，()0f a '<，因此()f a 在上单调递增，在上单调递减，所以当a =()f a 取得最大值f =V 的最大值为故答案为：【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知()sin f x x a x =+，曲线()y f x =在点()π,πP 处的切线斜率为2.（1）求a 的值；（2）求不等式()()1320f x f x ++->的解集.【答案】（1）1-（2）(),4-∞【解析】【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得参数值；（2）根据导数判断函数单调性，再结合函数的奇偶性解不等式即可.【小问1详解】由已知()sin f x x a x =+，得()1cos f x a x =+'，又函数=在点()π,πP 处的切线斜率为2，即()π1cos π12f a a =+=-='，解得1a =-；【小问2详解】由（1）得()sin f x x x =-，()1cos f x x =-'，则()1cos 0f x x ='-≥恒成立，即()f x 在R 上单调递增，又()()()sin sin f x x x x x f x -=---=-+=-，即函数()f x 为奇函数，由()()1320f x f x ++->，可知()()()13223f x f x f x +>--=-，即123x x +>-，解得4x <，即不等式的解集为(),4∞-.16.如图，在三棱台111ABC A B C -中，上､下底面是边长分别为4和6的等边三角形，1AA ⊥平面ABC ，设平面11AB C 平面=ABC l ，点,E F 分别在直线l 和直线1BB 上，且满足1,EF l EF BB ⊥⊥.（1）证明：⊥EF 平面11BCC B ；（2）若直线EF 和平面ABC 所成角的余弦值为63，求该三棱台的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据线面平行的性质定理可得11B C ∥l ，再结合线面垂直的判定定理可得结果；（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面11BCC B 与平面ABC 的法向量，利用线面角的向量求法及棱台的体积公式可得结果.【小问1详解】由三棱台111ABC A B C -知，11B C ∥平面ABC ，因为11B C ⊂平面11AB C ，且平面11AB C 平面=ABC l ，所以11B C ∥l ，因为EF l ⊥，所以EFBC ⊥，又11,EF BB BC BB B ⊥⋂=，1,BC BB ⊂平面11BCC B ，所以⊥EF 平面11BCC B ；【小问2详解】取BC 中点M ，连接AM ，以A 为原点，AM 为y 轴，1AA 为z 轴，过点A 做x 轴垂直于yOz 平面，建立空间直角坐标系如图，设三棱台的高为h ，则()()()()113,33,0,2,3,,6,0,0,1,3,,B B h CB BB h ==-设平面11BCC B 的法向量为 =s s ，则100CB n BB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即6030x x zh =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令3z =，可得平面11BCC B 的一个法向量(0,3n h = ，易得平面ABC 的一个法向量()0,0,1m =，设EF 与平面ABC 夹角为θ，23,31m n n h m ⋅==+=，所以23cos ,31m nm n m n h ⋅==⋅+⨯由6cos 3θ=，得3sin 3θ=，由（1）知EF∥n，所以233sin cos ,|331m n h θ===+⨯，解得6h =(11923V h s s ss +'='=+.17.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知,,a b c 成公比为q 的等比数列．（1）求q 的取值范围；（2）求tantan 22A C的取值范围．【答案】（1）5151,22q ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭（2）135,32⎡⎪⎢⎪⎣⎭.【解析】【分析】（1）根据等比数列性质与三角形三边关系列出不等式求解即可；（2）利用正弦定理、余弦定理化简根据q 的取值范围利用对勾函数的单调性即可求解.【小问1详解】由题意知2,b aq c aq ==，根据三角形三边关系知：22222201110q q q a aq aq q qa aq aq q q aq aq a q >⎧+>⎧⎪⎪+>+>⎪⎪⇒⎨⎨+>+>⎪⎪⎪⎪+>>⎩⎩，解得11,22q ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭；【小问2详解】由（1）及正弦定理、余弦定理知：222222221sin 1cos 2tan tan 221cos sin 12a b c A C A C a a c b a aq aq ab c b a A C c a c b a aq aq bc +---+-+-=⋅=⋅==+-++-+++222122111111q q q q q q q q q+-==-=-++++++，由对勾函数的性质知：()11f q q q=++在1,12⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭上单调递减，在11,2⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以())111f q q q ⎡=++∈⎣，则2131,1321q q⎡-∈⎪⎢⎪⎣⎭++，即tantan 22A C的取值范围为13,32⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭.18.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(A ，且C 的右焦点为()2,0F ．（1）求C 的方程：（2）设过点()4,0的一条直线与C 交于,P Q 两点，且与线段AF 交于点S ．（i ）若AS FS =，求PQ ；（ii ）若APS △的面积与FQS 的面积相等，求点Q 的坐标．【答案】（1）22184x y +=（2）（i ）5PQ =；（ii ）2⎫⎪⎪⎭或2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）将点A 坐标代入椭圆方程，再由222a b c =+的关系式即可得出结果；（2）（i ）由AS FS =可知S 为AF 的中点，即可得2,2S ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，求出直线PQ 的方程并与椭圆联立，利用弦长公式即可得出结果；（ii ）易知直线SF 平分PFQ ∠，由两三角形面积相等以及三角形相似可证明//PF AQ ，再由点Q 在线段AF 的垂直平分线上，与C 的方程联立可得2⎫⎪⎪⎭或2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.【小问1详解】根据题意有221(0)42a b a b+=>>，且由椭圆的几何性质可知22224a b c b =+=+，所以228,4a b ==.所以C 的方程为22184x y +=.【小问2详解】（i ）如下图所示：若AS FS =可得，S 为AF的中点，可得2,2S ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，即PQ的斜率为202244PQ k -==--，所以直线PQ的方程为()44y x =--；设()()1122,,,P x y Q x y ，联立直线和椭圆方程可得252404x x --=，所以1212168,55x x x x +==-，即可得5PQ===因此可得5PQ =；（ii ）显然PQ 的斜率存在，设PQ 的方程为()4y k x =-，代入C 的方程有：()222221163280kx k x k +-+-=，其中Δ0>.则可得2212122216328,2121k k x x x x k k -+==++，以下证明：直线SF 平分PFQ ∠，易知AF x ⊥轴，故只需满足直线FP 与FQ 的斜率之和为0.设,FP FQ 的斜率分别为12,k k ，则：()()()()121212121212121244242222224k x k x k x x y y k k k x x x x x x x x --+-+=+=+=------++，()()1212121238224x x x x k x x x x -++=⨯-++，代入2212122216328,2121k k x x x x k k -+==++，有120k k +=，故直线AF 平分PFQ ∠，即AFP AFQ ∠=∠.因为APS △的面积等于FQS 的面积，故SA SP SF SQ =，即SA SQ SFSP=，故//PF AQ .故,AFQ AFP FAQ AQ FQ Q ∠=∠=∠⇒=在线段AF 的垂直平分线上.易知线段AF的垂直平分线为2y =，与C 的方程联立有27x =，故Q的坐标为2⎫⎪⎪⎭或2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.19.设5n ≥为正整数，120n a a a <<<< 为正实数列．我们称满足j i k ja a r a a -=-（其中1≤<<≤i j k n ）的三元数组(,,)i j k 为“r -比值组”.（1）若5n =，且{}n a 为等差数列，写出所有的1-比值组；（2）给定正实数r ，证明：中位数为4（即(,,)i j k 中4j =）的r -比值组至多有3个；（3）记r -比值组的个数为()n f r ，证明：2()4n n f r <.【答案】（1）(1,2,3),(1,3,5),(2,3,4),(3,4,5)；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）由15i j k ≤<<≤以及等差数列性质得1j i k ja a j ia a k j--==--，进而根据r -比值组的定义对i 和相应j i -的取值进行分类讨论即可得解.（2）依据题意得,i j 固定时，则至多有一个k 使得j i k ja a r a a -=-成立，接着由4j =得i 的取值有三种即可得证.（3）由,i j 固定时，则至多有一个k 使得j i k ja a r a a -=-成立，结合i 值的取法数可得j i k ja a r a a -=-的三元数组的个数为()1j g r j ≤-，同理得,j k 固定时()j g r n j ≤-，进而得(){}min ,1j g r n j j ≤--，再对n 分偶数和奇数两种情况计算()12()n n jj f r g r -==∑即可得证.【小问1详解】因为{}n a 为等差数列，设其公差为d ，若5,1n r ==，则15i j k ≤<<≤，()()1j i k ja a j i d j ia a k j dk j---===---，所以当1i =且1j i -=时，2j =，1k j -=即3k =，此时1-比值组为()1,2,3；当1i =且2j i -=时，3j =，2k j -=即5k =，此时1-比值组为()1,3,5；当1i =且3j i -=时，4j =，3k j -=即7k =，不符合；当2i =且1j i -=时，3j =，1k j -=即4k =，此时1-比值组为()2,3,4；当2i =且2j i -=时，4j =，2k j -=即6k =，不符合；当3i =且1j i -=时，4j =，1k j -=即5k =，此时1-比值组为()3,4,5；当3i =且2j i -=时，5j =，不符合；当4i =且1j i -=时，5j =，不符合；综上，若5n =且{}n a 为等差数列的所有的1-比值组为(1,2,3),(1,3,5),(2,3,4),(3,4,5).【小问2详解】因为120n a a a <<<< ，1≤<<≤i j k n ，所以当,i j 固定时，则至多有一个k 使得j i k ja a r a a -=-成立，因为4j =，所以2i =或3或4共三种取法，所以中位数为4（即(,,)i j k 中4j =）的r -比值组至多有3个.【小问3详解】对给定的()1j j n <<，满足1≤<<≤i j k n ，且j i k ja a r a a -=-①的三元数组的个数记为()j g r ，因为120n a a a <<<< ，所以当,i j 固定时，则至多有一个k 使得①成立，因为i j <，所以i 值有1j -种取法，故()1j g r j ≤-，同理，若当,j k 固定时，则至多有一个i 使得①成立，因为j k <，所以k 值有n j -种取法，故()j g r n j ≤-，所以(){}min ,1j g r n j j ≤--，当n 为偶数时，设2,N n m m *=∈，则当2j m ≤≤时，(){}min ,11j g r n j j j ≤--=-，当121m j m +≤≤-时，(){}min ,12j g r n j j n j m j ≤--=-=-，所以()()()121221()n m m n jjj j j j m f r g r g r g r --===+==+∑∑∑()()()()()2121121211221mm j j m j m j m m m -==+≤-+-=++⋯+-+-+-+⋯++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∑∑()()22211224m m m m n m m m --=+=-<=，当n 为奇数时，设21,N n m m *=+∈，则当2j m ≤≤时，(){}min ,11j g r n j j j ≤--=-，当12m j m +≤≤时，(){}min ,121j g r n j j n j m j ≤--=-=+-，则有()()()()()12222121()121n mmmmn j j j j j j j j m j j m f r g r g r g r g j g m j-===+==+==+≤-++-∑∑∑∑∑()()()()()22111211221224m m m m n m m m m m -+=++⋯+-++-+-+⋯++=+==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以综上，记r -比值组的个数为()n f r ，则2()4n n f r <.【点睛】关键点睛：求证2()4n n f r <的关键1是得出,i j 固定时至多有一个k 使得j i k j a a r a a -=-成立，从而结合i 值的取法数可得j i k ja a r a a -=-的三元数组的个数为()1j g r j ≤-，同理得,j k 固定时()j g r n j ≤-，进而得(){}min ,1j g r n j j ≤--，关键2是明确到()21j j n ≤≤-影响到,1n j j --的大小，而n 的奇偶性影响()12n jj g r -=∑的取值，进而对n 分偶数和奇数两种情况计算()12()n nj j fr g r -==∑并将()12n j j g r -=∑分成两部分计算即可得证.。
山西省晋城市2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题
山西省晋城市2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题一、单选题1．命题“x y ∀>，2x y >”的否定是（ ） A ．x y ∃>，2x y ≤ B ．x y ∃>，2x y > C ．x y ∀>，2x y ≤D ．x y ∃≤，2x y ≤2．若tan α=cos 1β，则()()tan πcos αβ-+-=（ ）A ．1B ．1-C ．1-D ．13．已知集合*{|27,}P x x m m ==∈N ，*{|111,}Q x x n n ==∈N ，22741147a =-，则（ ） A ．a P ∉且a ∈Q B ．a P ∈且a Q ∉ C ．a P ∈且a ∈QD ．a P ∉且a Q ∉4．已知函数(s 7)0(in )f x x ωω=<<，则“2ω=”是“曲线()y f x =关于直线π4x =对称”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件5．如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，顶点A 在函数()90y x x=>的图象上，顶点B 在x 轴上，顶点C 在函数()0ky x x=<的图象上，AC x ∥轴，若3AB =，5BC =，则k =（ ）A ．6-B ．5-C ．3-D ．2-6．大荔冬枣是陕西省渭南市大荔县的特产.大荔冬枣果个大，果实近圆形，果面平整光洁，果皮薄，完熟期呈浅黄片状赭红色，肉细嫩，果肉乳白色，口感细嫩酰脆且味香甜.假设某水果店销售的大荔冬枣的单价y （单位：元/斤）与单果的直径x （单位：mm ）满足关系式e ax b y +=.当单果的直径为16mm 时，大荔冬枣的单价为8元/斤；当单果的直径为40mm 时，大荔冬枣的单价为24元/斤.当单果的直径为24mm 时，大荔冬枣的单价约为（ ）（参考数1.44） A ．11.5元/斤B ．12.5元/斤C ．10元/斤D ．14元/斤7．若锐角α，β满足2sin 23cos 0αα-=，22sin 7cos ββ=，则tan()αβ+=（ ）A ．23-B ．C ．57-D ． 8．若4log 256a =，790.125b -=，36log 2c =，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >>D ．c b a >>二、多选题9．下列命题既是存在量词命题又是真命题的是（ ） A ．x ∀∈R ，2350x x -+>B ．x ∃∈R ，230x x -C ．至少存在两个质数的平方是偶数D ．存在一个直角三角形的三个内角成等差数列 10．已知幂函数()f x 的图象经过点()2,4，则函数()()f x g x mx m=+的大致图象可能为（ ） A ． B ．C ．D ．11．对任意,x y ∈R ，函数()f x ，()g x 都满足()()()()2e x f x f y g x g y y ++-=+，则（ ）A ．()f x 是增函数B ．()f x 是奇函数C ．()g x 的最小值是()0gD ．()()2y f x g x =-为增函数三、填空题12．(22163x x x +<-的最小值为，此时x =． 13．已知函数1001000,1()1(2),1x x f x f x x +<-⎧=⎨--≥-⎩，则)(1001f =．14．若函数66()sin cos 4f x x x x m =+-在π[0,]4上有两个零点，则m 的取值范围是．四、解答题15．已知集合{}2|8120A x x x =-+<，{}|234B x m x m ≤=+≤．(1)若2m =，求A B U ，()B A R I ð；(2)若A B A =I 或A B B =I ，求m 的取值范围．16．已知函数()f x 满足()()2122log 48f x x x m =-+．(1)求()f x 的解析式； (2)若8m =，求()f x 的值域； (3)讨论()f x 的定义域． 17．已知()460a b ab +=>(1)a bab+的最小值相等． (2)若22248lg 99a b m a b a+->恒成立，求m 的取值范围．18．已知函数()()()()()()11222sin 0,π0,cos 0,0πf x x g x x ωθωθωϕωϕ=+>-<<=+><<的部分图象如图所示.(1)求12,,,ωωθϕ.(2)若将()g x 的图象向左平移πk θ个单位长度后，所得图象关于原点对称，证明：13k ≥. (3)若函数()()12h x f mx f mx ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（常数0m >）在区间 1,2 上是单调函数，求m 的最大值.19．若关于x 的方程()11210,3n n n n a x a x a x a n n -+++++=∈≥N L 的系数(1,2,,1)i a i n =+L 均为整数，10a ≠，则称该方程为n 次整系数方程，若该整系数方程存在无理数根，则称该方程为n 次优越方程.若关于x 的方程()11210,3n n n n a x a x a x a n n -+++++=∈≥N L 的系数()1,2,,1i a i n =+L 均为实数，10a ≠，则称该方程为n 次实系数方程.(1)试问32320,20x x x x x x --=--=这两个方程哪个是3次优越方程？说明你的理由.(2)已知4次实系数方程()432226320x m x mx mx m +----=有4个互不相等的实根，求m 的取值范围. (3)若3πsin 10是6次优越方程64210ax bx cx ++-=的一个实根，求,,a b c 的一组值.。
云南师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题
云南师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题一、单选题1．已知集合{13},{(2)(4)0}A xx B x x x =≤≤=--<∣∣，则A B =I （ ） A ．(2,3]B ．[1,2)C ．(,4)-∞D ．[1,4)2．已知命题2:,10p z z ∃∈+<C ，则p 的否定是（ ） A ．2,10z z ∀∈+<C B ．2,10z z ∀∈+≥C C ．2,10z z ∃∈+<CD ．2,10z z ∃∈+≥C3．正项等差数列{}n a 的公差为d ，已知14a =，且135,2,a a a -三项成等比数列，则d =（ ） A ．7B ．5C ．3D ．14．若sin160m ︒=，则︒=sin 40（ ）A ．2m -B ．2-C ．2-D ．25．已知向量(1,2),||a a b =+r r r (2)b b a ⊥-r r r ，则cos ,a b 〈〉=rr （ ）A ．B ．C D6．函数)()ln f x kx =是奇函数且在R 上单调递增，则k 的取值集合为（ ）A ．{}1-B ．{0}C ．{1}D ．{1,1}-7．函数π()3sin ,06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()(2π)f x f ≤对x ∈R 恒成立，且()f x 在π13π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有3条对称轴，则ω=（ ） A ．16B ．76C ．136 D ．16或768．设椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为F ，过坐标原点O 的直线与E 交于A ，B 两点，点C 满足23AF FC =u u u r u u u r ，若0,0AB OC AC BF ⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，则E 的离心率为（ ）A B C D二、多选题9．数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知22()n S kn n k =-∈R ，则下列结论正确的是（ ） A ．{}n a 为等差数列B ．{}n a 不可能为常数列C ．若{}n a 为递增数列，则0k >D ．若{}n S 为递增数列，则1k >10．甲、乙两班各有50位同学参加某科目考试（满分100分），考后分别以110.820y x =+、220.7525y x =+的方式赋分，其中12,x x 分别表示甲、乙两班原始考分，12,y y 分别表示甲、乙两班考后赋分．已知赋分后两班的平均分均为60分，标准差分别为16分和15分，则（ ）A ．甲班原始分数的平均数比乙班原始分数的平均数高B ．甲班原始分数的标准差比乙班原始分数的标准差高C ．甲班每位同学赋分后的分数不低于原始分数D ．若甲班王同学赋分后的分数比乙班李同学赋分后的分数高，则王同学的原始分数比李同学的原始分数高11．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域为R ，若(1)f x +与()f x '均为偶函数，且(1)(1)2f f -+=，则下列结论正确的是（ ） A ．(1)0f '= B ．4是()f x '的一个周期 C ．(2024)0f =D ．()f x 的图象关于点(2,1)对称三、填空题12．曲线()e xf x x =-在0x =处的切线方程为．13．若复数cos 21sin isin (0π)2z θλθθθ⎛⎫=+-+<< ⎪⎝⎭在复平面内对应的点位于直线y x =上，则λ的最大值为．14．过抛物线2:3C y x =的焦点作直线l 交C 于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于M ，N 两点，若||12AB =，则||MN =．四、解答题15．记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知22cos 0a b c A -+=．(1)求角C ；(2)若AB 边上的高为1，ABC V ABC V 的周长． 16．如图，PC 是圆台12O O 的一条母线，ABC V 是圆2O 的内接三角形，AB 为圆2O 的直径，4,AB AC ==(1)证明：AB PC ⊥；(2)若圆台12O O 的高为3，体积为7π，求直线AB 与平面PBC 夹角的正弦值． 17．已知函数()ln f x x ax =+．(1)若()0f x ≤在(0,)x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围；(2)若()1,()e ()xa g x f f x ==-，证明：()g x 存在唯一极小值点01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()02g x >．18．动点(,)M x y 到直线1:l y 与直线2:l y =的距离之积等于34，且|||y x ．记点M 的轨迹方程为Γ． (1)求Γ的方程；(2)过Γ上的点P 作圆22:(4)1Q x y +-=的切线PT ，T 为切点，求||PT 的最小值； (3)已知点40,3G ⎛⎫⎪⎝⎭，直线:2(0)l y kx k =+>交Γ于点A ，B ，Γ上是否存在点C 满足0GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r r若存在，求出点C 的坐标；若不存在，说明理由．19．设n ∈N ，数对(),n n a b 按如下方式生成：()00,(0,0)a b =，抛掷一枚均匀的硬币，当硬币的正面朝上时，若n n a b >，则()()11,1,1n n n n a b a b ++=++，否则()()11,1,n n n n a b a b ++=+；当硬币的反面朝上时，若n n b a >，则()()11,1,1n n n n a b a b ++=++，否则()()11,,1n n n n a b a b ++=+．抛掷n 次硬币后，记n n a b =的概率为n P ． (1)写出()22,a b 的所有可能情况，并求12,P P ；(2)证明：13n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求n P ；(3)设抛掷n 次硬币后n a 的期望为n E ，求n E ．。
贵州省贵阳市第一中学2024-2025学年高三上学期9月月考试题 数学 (解析版)
数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号､在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则（ ）A. B. C. D.2.下列函数在其定义域内单调递增的是（ ）A. B.C. D.3.已知等差数列满足，则（ ）A.2B.4C.6D.84.已知点是抛物线上一点，若到抛物线焦点的距离为5，且到轴的距离为4，则（ ）A.1或2B.2或4C.2或8D.4或85.已知函数的定义域为.记的定义域为集合的定义域为集合.则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知函数的定义域为.设函数，函数.若是偶函数，是奇函数，则的最小值为（ ）A.B.C.D.7.从的二项展开式中随机取出不同的两项，则这两项的乘积为有理项的概率为（ ）{}{}2230,1,2,3,4A xx x B =-->=∣A B ⋂={}1,2{}1,2,3{}3,4{}41y x=-2ln y x =32y x =e xy x ={}n a 376432,6a a a a +=-=1a =A ()2:20C y px p =>A A x p =()23f x -[]2,3()f x (),21xA f -B x A ∈x B ∈()f x R ()()e xg x f x -=+()()5e xh x f x =-()g x ()h x ()f x e 2e51x ⎫⎪⎭A.B. C. D.8.已知圆，设其与轴､轴正半轴分别交于，两点.已知另一圆的半径为，且与圆相外切，则的最大值为（ ）A.20B.C.10D.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.离散型随机变量的分布列如下表所示，是非零实数，则下列说法正确的是（ ）20242025A.B.服从两点分布C.D.10.已知函数，下列说法正确的是（ ）A.的定义域为，当且仅当B.的值域为，当且仅当C.的最大值为2，当且仅当D.有极值，当且仅当11.设定义在上的可导函数和的导函数分别为和，满足，且为奇函数，则下列说法正确的是（ ）A.B.的图象关于直线对称C.的一个周期是4D.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.过点作曲线且的切线，则切点的纵坐标为__________.13.今年暑期旅游旺季，贵州以凉爽的气候条件和丰富的旅游资源为依托，吸引了各地游客前来游玩.由安25351323221:220C x y x y +--=x y M N 2C 1C 22C M C N ⋅X ,m n X Pm n1m n +=X ()20242025E X <<()D X mn=()()214log 21f x ax ax =-+()f x R 01a <<()f x R 1a …()f x 1516a =()f x 1a <R ()f x ()g x ()f x '()g x '()()()()11,3g x f x f x g x --=''=+()1g x +()00f =()g x 2x =()f x 20251()0k g k ==∑()0,0(0x y a a =>1)a ≠顺黄果树瀑布､荔波小七孔､西江千户苗寨､赤水丹霞､兴义万峰林､铜仁梵净山6个景点谐音组成了贵州文旅的拳头产品“黄小西吃晚饭”.小明和家人计划游览以上6个景点，若铜仁梵净山不安排在首末位置，且荔波小七孔和西江千户苗寨安排在相邻位置，则一共有__________种不同的游览顺序方案.（用数字作答）14.已知函数若存在实数且，使得，则的最大值为__________.四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）下图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.图（1）是一个面积为1的实心正三角形，分别连接这个正三角形三边的中点，将原三角形分成4个小正三角形，并去掉中间的小正三角形得到图（2），再对图（2）中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图（3），再对图（3）中的每个实心小正三角形重复以上操作得到图（4），…，依此类推得到个图形.记第个图形中实心三角形的个数为，第n 个图形中实心区域的面积为.（1）写出数列和的通项公式；（2）设，证明.16.（本小题满分15分）如图，在三棱台中，和都为等腰直角三角形，为线段的中点，为线段上的点.（1）若点为线段的中点，求证：平面；（2）若平面分三棱台所成两部分几何体的体积比为，求二面角的正弦值.()223,0,ln ,0,x x x f x x x ⎧++=⎨>⎩…123,,x x x 123x x x <<()()()123f x f x f x ==()()()112233x f x x f x x f x ++n n n a n b {}n a {}n b 121121n n n n n c a b a b a b a b --=++++ 43n n n a c a <…111A B C ABC -111A B C V ABC V 111112,4,90,CC C A CA ACC BCC CBA G ∠∠∠====== AC H BC H BC 1A B ∥1C GH 1C GH 111A B C ABC -2:511C GH B --17.（本小题满分15分）已知双曲线与双曲线的离心率相同，且经过点的焦距为.（1）分别求和的方程；（2）已知直线与的左､右两支相交于点，与的左､右两支相交于点，D，，判断直线与圆的位置关系.18.（本小题满分17分）为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验.研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按分组，绘制频率分布直方图如图所示.试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只.假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立.（1）填写下面的列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关；单位：只指标值抗体小于60不小于60合计有抗体没有抗体合计（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体.（i ）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率；（ii ）以（i ）中确定的概率作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率，进行人体接种试验，记100个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量.求及取最大值时的值.()2222:10,0x y M a b a b -=>>2222:12x y N m m-=M ()2,2,N M N l M ,A B N C AB CD=l 222:O x y a +=[)[)[)[)[]0,20,20,40,40,60,60,80,80,10022⨯0.01α=P P X ()E X ()P X k =k参考公式：（其中为样本容量）参考数据：0.1000.0500.0100.0052.7063.8416.6357.87919.（本小题满分17分）三角函数是解决数学问题的重要工具.三倍角公式是三角学中的重要公式之一，某数学学习小组研究得到了以下的三倍角公式：①；②.根据以上研究结论，回答：（1）在①和②中任选一个进行证明；（2）已知函数有三个零点且.（i ）求的取值范围；（ii ）若，证明：.()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++αx α3sin33sin 4sin θθθ=-3cos34cos 3cos θθθ=-()323f x x ax a =-+123,,x x x 123x x x <<a 1231x x x =-222113x x x x -=-贵阳第一中学2025届高考适应性月考卷（一）数学参考答案一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345678答案DCBCBCAA【解析】1.由题，或，则，故选D.2.对于A 选项，的定义域为，该函数在和上单调递增，在定义域内不单调；对于B 选项，的定义域为，该函数在上单调递减，在上单调递增，在定义域内不单调；对于C 选项，，该函数在定义域上单调递增；对于D 选项，的定义域为，当时，；当时，，在上单调递减，在上单调递增，因此该函数在定义域内不单调，故选C.3.，故选B.4.设点，则整理得，解得或，故选C.5.的定义域为.当时，的定义域为，即.令，解得的定义域为，即.“”是“”的必要不充分条件，故选B.{1A xx =<-∣{}3},1,2,3,4x B >={}4A B ⋂=1y x=-()(),00,∞∞-⋃+(),0∞-()0,∞+2ln y x =()(),00,∞∞-⋃+(),0∞-()0,∞+32y x ==[)0,∞+e x y x =().1e xy x =+'R (),1x ∞∈--0y '<()1,x ∞∈-+0y '>x e y x ∴=(),1∞--()1,∞-+53756415232,16,26,3,44a a a a d a a d a a d =+===-===-= ()00,A x y 200002,5,24,y px p x y ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩582p p ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2p =8p =()23f x - []2,323x ……()1233,x f x -∴……[]1,3[]1,3A =1213x -……()12,21xx f ∴-……[]1,2[]1,2B =,B A ⊆∴ x A ∈x B ∈6.由题，解得，所以，即时，等号成立，C.7.设的二项展开式的通项公式为，，所以二项展开式共6项.当时的项为无理项；当时的项为有理项.两项乘积为有理数当且仅当此两项同时为无理项或同时为有理项，故其概率为，故选A.8.由题，，即圆心为，且，为的直径.与相外切，.由中线关系，有，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为20，故选A.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分）题号91011答案ACDBCBCD【解析】9.对于A 选项，由分布列性质可知正确；对于B 选项，由两点分布定义可知错误；对于C 选项，，正确；对于D 选项，令，则服从两点分布，，，正确，故选ACD.10.令，对于A 选项，的定义域为或，故A 错误；对于B 选项，的值域为在定义域内的值域为()()()()()()()(),e e ,5e 5e ,x xx xg x g x f x f x h x h x f x f x --⎧⎧=-+=-+⎪⎪⇒⎨⎨=---=--+⎪⎪⎩⎩()3e 2e x xf x -=+()3e 2e xxf x -=+…3e 2e x x -=12ln 23x =min ()f x ∴=51x ⎫⎪⎭53521551C C ,0,1,2kkk k kk T x k x --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭3,4,50,2,4k =1,3,5k =223326C C 2C 5+=221:(1)(1)2C x y -+-=()11,1C ()()2,0,0,2M N MN 1C 1C 2C 12C C ∴=+=()()2222222222121222218240,202C M C NC M C N C C C MC M C N ++=+=⨯+=∴⋅=…22C M C N =22C M C N ⋅()()()202420252024120252024.01,20242025E X m n n n n n E X =+=-+=+<<∴<< 2024Y X =-Y ()()1D Y n n mn =-=()()()2024D X D Y D Y mn ∴=+==()2221,Δ44g x ax ax a a =-+=-()f x 0a ⇔=R 0,01Δ0a a >⎧⇔<⎨<⎩…()f x ()g x ⇔R，故B 正确；对于C 选项，的最大值为在定义域内的最小值为，故C 正确；对于D 选项，有极值在定义域内有极值且，故D 选项错误，故选BC.11.对于A 选项，因为为奇函数，所以，又由，可得，故A 错误；对于B 选项，由可得为常数，又由，可得，则，令，得，所以，所以的图象关于直线对称，故B 正确；对于C 选项，因为为奇函数，所以，所以，所以是一个周期为4的周期函数，，所以也是一个周期为4的周期函数，故C 正确；对于D 选项，因为为奇函数，所以，又，又是周期为4的周期函数，所以，故D 正确，故选BCD.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）题号121314答案144【解析】12.设切点坐标为切线方程为.将代入得，可得切点纵坐标为.13.先对小七孔和千户苗寨两个相邻元素捆绑共有种方法，再安排梵净山的位置共有种方法，再排其()0,0,1Δ0a a ∞>⎧+⇔⇔⎨⎩……()f x ()2g x ⇔()0,11511616116a a g >⎧⎪⇔⇔=⎨=⎪⎩()f x ()g x ⇔()0,110a a g ≠⎧⇔⇔<⎨>⎩0a ≠()1g x +()10g =()()11g x f x --=()()()101,01g f f -==-()()3f x g x '=+'()()3,f x g x C C =++()()11g x f x --=()()11g x f x --=()()131g x g x C --+-=1x =-()()221g g C --=1C =-()()()13,g x g x g x -=+2x =()1g x +()()()311g x g x g x +=-=-+()()()()()2,42g x g x g x g x g x +=-+=-+=()g x ()()()()()()31,47131f x g x f x g x g x f x =+-+=+-=+-=()f x ()1g x +()()()()10,204g g g g ==-=-()()310g g ==()g x 20251()(1)0k g k g ===∑e33e 6-(),,ln ,txt a y a a ='∴ ln x y a a x =⋅(),tt aln tta a t a ⋅=1log e,ln a t a==∴e log e t a a a ==22A 13C余元素共有种排法，故共有种不同的方案.14.设，由的函数图象知，，又，.令在上单调递增，则，的最大值为.四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）（1）解：数列是首项为1，公比为3的等比数列，因此；数列是首项为1，公比为的等比数列，因此，.（2）证明：由（1）可得因为，所以，所以.16.（本小题满分15分）（1）证明：如图1，连接，设，连接，44A 214234A C A 144⋅⋅=()()()123f x f x f x t ===()f x 23t <…1232,ln x x x t +=-= ()()()3112233e ,2e t t x x f x x f x x f x t t =∴++=-+()()()()2e ,23,1e 20,t t t t t t t t t ϕϕϕ'=-+<=+->∴…(]2,3()3max ()33e 6t ϕϕ==-()()()112233x f x x f x x f x ∴++33e 6-{}n a 11133n n n a --=⨯={}n b 341133144n n n b --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1210121121121333333334444n n n n n n n n n c a b a b a b a b ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12101111134444n n n ---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦121114134311414n nn n --⎡⎤⎛⎫⋅-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=⋅=⋅⋅-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-2114314411334n n nnn nc a --⎡⎤⎛⎫⋅⋅-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦413n n c a <…43n n n a c a <…1AC 11AC C G O ⋂=1,HO A G三棱台，则，又，四边形为平行四边形，则.点是的中点，.又平面平面，平面.（2）解：因为平面分三棱台所成两部分几何体的体积比为，所以，即，化简得，此时点与点重合.，且都在平面，则平面，111A B C ABC -11AC ∥AC 122CG AC ==∴11AC CG 1CO OA = H BC 1BA ∴∥OH OH ⊂11,C HG A B ⊄1C HG 1A B ∴∥1C HG 1C GH 111A B C ABC -2:511127C GHC AB V V B C ABC -=-()1111121373GHC ABC AB C S CC S S CC ⋅⋅=⋅⋅+⋅V V V 12GHC ABC S S =V V H B 1190C CA BCC ∠∠== 11,,C C BC CC AC BC AC C ∴⊥⊥⋂=ABC 1CC ⊥ABC又为等腰直角三角形，则.又由（1）知，则平面，建立如图2所示的坐标系则，设平面的法向量，则令，解得，设平面的法向量，则令，解得.设二面角的平面角为，，所以，所以二面角.17.（本小题满分15分）解：（1）由题意可知双曲线的焦距为，解得，即双曲线.因为双曲线与双曲线的离心率相同，不妨设双曲线的方程为，因为双曲线经过点，所以，解得，则双曲线的方程为.ABC V BG AC ⊥1A G ∥1CC 1A G ⊥ABC ,G xyz -()()()()2,0,0,0,2,0,0,0,0,0,2,0H A G C -()()110,2,2,1,1,2C B --1C HG ()()()1,,,0,2,2,2,0,0n x y z GC GH ==-= 220,20,y z x -+=⎧⎨=⎩1y =()0,1,1n = 1B GH ()()1,,,1,1,2m a b c GB ==- 20,20,a b c a -+=⎧⎨=⎩2b =()0,2,1m = 11C GH B --θcos cos ,m n m n m n θ⋅=<>=== sin θ==11C GH B --N =21m =22:12y N x -=M N M 222y x λ-=M ()2,242λ-=2λ=M 22124x y -=（2）易知直线的斜率存在，不妨设直线的方程为，联立消去并整理得此时可得，当时，由韦达定理得；当时，由韦达定理得，则，化简可得，由（1）可知圆，则圆心到直线的距离，所以直线与圆相切或相交.18.（本小题满分17分）解：（1）由频率分布直方图知，200只小白鼠按指标值分布为：在内有（只）；在）内有（只）；在）内有（只）；在）内有（只）；在内有（只）由题意，有抗体且指标值小于60的有50只；而指标值小于60的小白鼠共有（只），所以指标值小于60且没有抗体的小白鼠有20只，同理，指标值不小于60且没有抗体的小白鼠有20只，故列联表如下：单位：只l l ()()()()11223344,,,,,,,,y kx t A x y B x y C x y D x y =+22,,2y kx t y x λ=+⎧⎪⎨-=⎪⎩y ()2222220,k x ktx t λ----=()()222222Δ44220,20,2k t k tt k λλ⎧=+-+>⎪⎨--<⎪-⎩22k <2λ=212122224,22kt t x x x x k k--+==--1λ=234342222,22kt t x x x x k k--+==--ABCD ====222t k +=22:2O x y +=O l d ====l O [)0,200.00252020010⨯⨯=[20,400.006252020025⨯⨯=[40,600.008752020035⨯⨯=[60,800.025********⨯⨯=[]80,1000.00752020030⨯⨯=10253570++=指标值抗体小于60不小于60合计有抗体50110160没有抗体202040合计70130200零假设为：注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.根据列联表中数据，得.根据的独立性检验，没有充分证据认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关.（2）（i ）令事件“小白鼠第一次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠第二次注射疫苗产生抗体”，事件“小白鼠注射2次疫苗后产生抗体”.记事件发生的概率分别为，则，.所以一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率.（ii ）由题意，知随机变量，所以.又，设时，最大，所以解得，因为是整数，所以.19.（本小题满分17分）（1）若选①，证明如下：若选②，证明如下：.0H 220.01200(502020110) 4.945 6.6351604070130x χ⨯⨯-⨯=≈<=⨯⨯⨯0.01α=A =B =C =,,A B C ()()(),,P A P B P C ()()160200.8,0.520040P A P B ====()1P C =-()()10.20.50.9P A P B =-⨯=0.9P =()100,0.9X B ~()1000.990E X np ==⨯=()()C 0.90.10,1,2,,k k n k n P X k k n -==⨯⨯= 0k k =()P X k =00000000000010011910010010011101100100C 0.90.1C 0.90.1,C 0.90.1C 0.90.1,k k k k k k k k k k k k -++-----⎧⨯⨯≥⨯⨯⎪⎨⨯⨯≥⨯⨯⎪⎩089.990.9k ……0k 090k =()()22sin3sin 2sin2cos cos2sin 2sin cos 12sin sin θθθθθθθθθθθ=+=+=+-()()2232sin 1sin 12sin sin 3sin 4sin θθθθθθ=-+-=-()()22cos3cos 2cos2cos sin2sin 2cos 1cos 2sin cos θθθθθθθθθθθ=+=-=--()3232cos cos 21cos cos 4cos 3cos θθθθθθ=---=-（2）（i ）解：，当时，恒成立，所以在上单调递增，至多有一个零点；当时，令，得；令，得令，得或所以在上单调递减，在上单调递增.有三个零点，则即解得，当时，，且，所以在上有唯一一个零点，同理所以在上有唯一一个零点.又在上有唯一一个零点，所以有三个零点，综上可知的取值范围为.（ii ）证明：设，则.又，所以.此时，方程的三个根均在内，方程变形为，令，则由三倍角公式.因为，所以.()233f x x a =-'0a …()0f x '…()f x (),∞∞-+0a >()0f x '=x =()0f x '<x <<()0f x '>x <x >()f x ((),,∞∞-+()f x (0,0,f f ⎧>⎪⎨<⎪⎩2220,20,a a ⎧+>⎪⎨-<⎪⎩04a <<04a <<4a +>()()()()32224(4)3445160f a a a a a a a a a +=+-++=++++>()f x )4a +()2220,g a -<-=-=-<()f x (-()f x (()f x a ()0,4()()()()321233f x x ax a x x x x x x =-+=---()212301f a x x x ==-=04a <<1a =()()()()210,130,110,230f f f f -=-<-=>=-<=>3310x x -+=()2,2-3310x x -+=3134222x x ⎛⎫=⋅-⋅ ⎪⎝⎭ππsin 222x θθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭31sin33sin 4sin 2θθθ=-=3π3π3,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭7ππ5π7ππ5π3,,,,,666181818θθ=-=-因为，所以，所以.123x x x <<1237ππ5π2sin ,2sin ,2sin 181818x x x =-==222221π7ππ7π4sin 4sin 21cos 21cos 181899x x ⎛⎫⎛⎫-=-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭137ππ5π7π2cos 2cos 2sin 2sin 991818x x =-=--=-。
湖南省邵阳市2025届高三上学期9月月考数学试题含答案
高三数学（答案在最后）考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,4}A =，{|22}B x x =≥-λ，若A B ⋂=∅，则实数λ的取值范围是（）A.3,2∞⎛⎫- ⎪⎝⎭B.3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.(3,)+∞D.[3,)+∞【答案】C 【解析】【分析】根据A B ⋂=∅，可求得224λ->，则得3λ>，从而可求解.【详解】由题意可知A B ⋂=∅，只需224λ->，解得3λ>，故C 正确.故选：C.2.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21024a a +=，且36a =，则8S =（）A.60B.72C.120D.144【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用等差数列性质及前n 项和公式计算即得.【详解】在等差数列{}n a 中，6210224a a a =+=，解得612a =，所以188368()4()4(612)722a a S a a +==+=⨯+=.故选：B3.已知()(2)3g x f x =+-是定义在R 上的奇函数，若(1)4f =，则(3)f =（）A.10- B.4- C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用奇函数的性质求出函数()f x 的性质，进而求出(3)f .【详解】由()(2)3g x f x =+-是定义在R 上的奇函数，得[(2)3][(2)3]0f x f x -+-++-=，即(2)(2)6f x f x -+++=，令1x =，则(1)(3)6f f +=，而(1)4f =，所以(3)2f =.故选：C4.已知过点(1,0)A 的直线l 与圆22:(2)4C x y ++=相交于M ，N 两点，若||2MN =，则l 的斜率为（）A.2±B.12±C.13±D.14±【答案】A 【解析】【分析】设出直线l 的方程，利用点到直线距离公式及圆的弦长公式列式求解即得.【详解】圆22:(2)4C x y ++=的圆心(2,0)C -，半径2r =，易知直线斜率存在，设l 的方程为(1)y k x =-，则圆心(2,0)C -到l 的距离d =，则2MN ==，解得2k =±，所以l 的斜率为2±.故选：A5.中国冶炼铸铁的技术比欧洲早2000年左右，铸铁技术的诞生标志着真正的铁器时代的开始.现将一个表面积为236πcm 的实心铁球熔化后，浇铸成一个正四棱台形状的实心铁锭，若该铁锭的上、下底面的边长分别为和，则该铁锭的高为（）A.3cmB.10cm 3C.18cm 5D.27cm 7【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用球的表面积、体积公式及棱台的体积公式列式计算得解.【详解】设实心铁球的半径为cm R ，依题意，24π36πR =，解得3R =，设正四棱台形状的实心铁锭的高为cm h ，则()3144π16π8ππ36π33h R ⋅++⋅==，解得277h =，所以该铁锭的高为27cm 7.故选：D6.已知1122(,),(,)x y x y 是函数ln y x =的图象上的两个不同的点，则（）A.1212e2y y x x ++> B.1212e2y y x x ++< C.122212e2y y x x ++>D.122212e2y y x x ++<【答案】D 【解析】【分析】求出已知两点的中点坐标及ln y x =的图象上纵坐标为122y y +的点，结合函数图象建立不等式，借助基本不等式即可得解.【详解】如图所示，设1,1，2,2，AB 的中点为1212(,)22x x y y M ++，点N 在ln y x =的图象上，且//MN x 轴，则12122(e,)2y y y y N ++，由图知点N 在M 的左侧，即12122e2y y x x ++<，所以122122222121212()e4422y y x x x x x x x x ++++<=<+.故选：D7.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，11134A E AB =uuu r uuu u r ，1(,[0,1])CF CB CC =+∈uu u r uu r uuu rλμλμ，若//EF 平面11A DC ，则线段EF 的长度的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据题意作出相应平面//EGHIJK 平面11A DC ，从而可知点F 在线段GH 上，从而可得EG EF EH ≤≤，即可求解.【详解】由题可知点F 在正方形11BCC B 内（含边界）.取棱11B C 上靠近点1B 的四等分点G ，棱1CC 上靠近点C 的四等分点H ，连接EG ，GH ，易得1//GH A D ，因为1A D ⊂平面11A DC ，GH ⊄平面11A DC ，所以//GH 平面11A DC ，因为//EF 平面11A DC ，所以过线段GH 且与平面11A DC 平行的截面为如图所示的平面EGHIJK ，所以EF GH F ⋂=，所以点F 在线段GH 上，所以EG EF EH ≤≤，又因为EF ==，EH =所以EF 的取值范围是，故B 正确.故选：B.8.已知1a >，若(0,)∀∈+∞x ，log a a ax x>恒成立，则a 的取值范围是（）A.1e(e ,)+∞ B.e(e ,)+∞ C.1e(1,e )D.e (1,e )【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，换元变形并构造函数ln ()tf t t=，利用导数求出最大值即可求出范围.【详解】令函数at x =在()0,x ∞∈+上单调递减，且(0,)t ∈+∞，则log a t t >，即ln ln t t a >，而1a >，于是ln ln ta t>，令ln ()t f t t =，求导得21ln ()t f t t'-=，当(0,e)t ∈时，()0f t '>，当(e,)t ∈+∞时，()0f t '<，则函数()f t 在()0,e 上单调递增，在()e,∞+上单调递减，因此max 1()(e)e f t f ==，所以1ln ea >，即1e e a >.故选：A【点睛】关键点点睛：换元变形不等式，再分离参数并构造函数()ln tf t t=是解题的关键.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数π()sin(23f x x =-，则（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 在区间π(0,)2上无最大值C.()f x 在区间ππ(,26--上单调递减 D.()f x 的图象关于直线π12x =-对称【答案】ACD 【解析】【分析】根据给定条件，结合正弦函数的性质逐项分析判断即得.【详解】对于A ，()f x 的最小正周期为2ππ2=，A 正确；对于B ，当π(0,2x ∈时，ππ2π2()333x -∈-，当ππ232x -=，即5π12x =时，()f x 取得最大值1，B 错误；对于C ，当ππ(,)26x ∈--时，π4π2π2(,333x -∈--，则()f x 在区间ππ(,26--上单调递减，C 正确；对于D ，当π12x =-时，ππ232x -=-，则()f x 的图象关于直线π12x =-对称，D 正确.故选：ACD10.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,0)A ，(0,3)B ，(,3)(0)C a a ≠，(1,0)D -，ABD △，BCD △的外接圆分别为圆M 、圆N ，则下列结论正确的是（）A.直线BD 的方程为230x y -+=B.点C 恒在圆M 外C.若圆M 与圆N 的半径相等，则2a =-D.若1a =，则圆N 的圆心的横坐标为0【答案】BC 【解析】【分析】求出直线BD 的方程判断A ；判断点C 的轨迹与圆M 关系判断B ；求出圆N 半径及圆心坐标进而求出a 判断C ；确定圆心位置判断D.【详解】对于A ，直线BD 的方程为3030(1)y x -=+--，即330x y -+=，A 错误；对于B ，等腰ABD △的外接圆M 的圆心在y 轴上，则直线3y =与圆M 相切于点B ，而点C 在直线3y =上，且又0a ≠，因此点C 恒在圆M 外，B 正确；对于C ，设圆M 的圆心为()00,y 03y =-，解得043y =，圆M 的半径为53，线段BD 中垂线方程为311(232y x -=-+，线段BC 中垂线方程为2ax =，于是得圆N 的圆心为8(,26a a -，而圆N 的半径为53，则22825(1)(269a a -++=，整理得220a a +=，而0a ≠，因此2a =-，C 正确；对于D ，由1a =，得()1,3C ，则圆N 的圆心在线段BC 的垂直平分线12x =上，D 错误.故选：BC11.已知圆锥SO 的侧面积为3π，且母线长为底面半径的3倍，若线段MN 为底面圆O 的一条直径，P 为线段SN 的中点，Q 为圆锥底面内一动点，且1MQ =，则（）A.圆锥SO 的高为B.一质点从点P 出发沿圆锥SO 的侧面运动到点M 的路径最短为2C.与圆锥SO 的侧面和底面均相切，且球心在线段SO 上的球的半径为2D.动点Q 的轨迹长度为2π3【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意设圆锥SO 的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，可得π3π3rl l r =⎧⎨=⎩，可对A 判断；将圆锥SO 沿着平面SMN 切开后将侧面展开，可得侧面扇形中的SMN 为等边三角形，可对B 判断；设该球的半径为0r ，则0r 也为圆锥SO 的轴截面SMN 的内切圆半径从而可建立等式()011332222r ++=⨯⨯，可对C 判断；求出点Q 的轨迹是以点M 为圆心，1为半径的一段圆弧，作出相关图形从而可对D 判断.【详解】对于A ，设圆锥SO 的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，由题可知π3π3rl l r =⎧⎨=⎩，解得1r =，3l =，故h ==A 错误；对于B ，将圆锥SO 沿着平面SMN 切开后将侧面展开，设MSN α∠=，所以22l r απ=，结合1r =，3l =，求得π3α=，所以SMN 为等边三角形，故最短路径为π3sin32MP ==，故B 正确；对于C ，设该球的半径为0r ，则0r 也为圆锥SO 的轴截面SMN 的内切圆半径，由题可得()011332222r ++=⨯⨯，解得02r =，故C 正确；对于D ，由题可知，点Q 的轨迹是以点M 为圆心，1为半径的一段圆弧，如图，设该圆弧与底面圆O 交于E ，F 两点，易知OEM △与OFM △均为等边三角形，所以2π3EMF ∠=，所以弧EF 的长度为2π3，故D 正确.【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数1i()1ia z a +=∈-R 在复平面内对应的点的横坐标为2，则a =______.【答案】3-【解析】【分析】根据给定条件，利用复数的除法求出z ，再结合复数的几何意义求出a .【详解】依题意，(1i)(1i)1(1)i 11i (1i)(1i)222a a a a az ++-++-+===+-+，由复数z 在复平面内对应的点的横坐标为2，得122a-=，所以3a =-.故答案为：3-13.若α，β满足tan tan 3=+βα，且π6βα=+，则cos cos αβ=______.【答案】16【解析】【分析】根据给定条件，切化弦，再利用差角的正弦求解即得.【详解】依题意，sin sin sin cos cos sin sin()1tan tan 3cos cos cos cos cos cos 2cos cos βαβαβαβαβαβααβαβαβ---=-====，所以1cos cos 6αβ=.故答案为：1614.已知平面向量OA ，OB，OC 满足||OA =uu r ||4OB = ，5π,6OA OB 〈〉= ，且()()3OC OA OC OB -⋅-=uuu r uu r uuu r uu u r ，若||AC ≤uuu rλ恒成立，则实数λ的最小值为______.【答案】4【解析】【分析】先建立平面直角坐标系，再设(),C x y ，则点C 在圆()22116x y +-=上运动，结合三角函数范围得出4AC ≤+，即可求参.【详解】以O 为坐标原点，建立平面直角坐标系，不妨设()OA =，由题知3cos ,2OA OB =- ，则1sin ,2OA OB = ，故可设()2OB =- .设(),C x y ，则()()()()2222123OC OA OC OB x y x y x y y -⋅-=-⋅+-=+--= ，即点C 在圆()22116x y +-=上运动.令4cos 14sin x y θθ=⎧⎨-=⎩，4AC ==故4λ≥λ的最小值为4+.故答案为：4.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()30a b c a b c ab +++--=.（1）求C ；（2）若π2C A <<，求a b c +的取值范围.【答案】（1）π3C =（2）2).【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求出角C .（2）利用正弦定理边化角，再利用差角的正弦及辅助角公式化简，借助正弦函数性质求出范围.【小问1详解】由()()30a b c a b c ab +++--=，得222a b c ab+-=由余弦定理得2221cos22a b cCab+-==，而(0,π)C∈，所以π3 C=.【小问2详解】由（1）及正弦定理得2sin sin() sin sin3sin sin3A A a b A Bc Cπ+-++==π1cos sin)22A A A=++π2sin()6A=+由π2C A<<，得ππ32A<<，即2263Aπππ<+<，则sin((,1)62Aπ+∈，所以a bc+的取值范围是2).16.如图，在三棱台111ABC A B C-中，1AA⊥平面ABC，1AB AC⊥，11122AB AC AA A B===，M 是棱BC的中点.（1）求证：1AB⊥平面11A MC；（2）求二面角11A MC B--的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）3.【解析】【分析】（1）取AB的中点N，由已知，结合棱台的结构特征，利用线面垂直的判定推理即得.（2）以A为原点建立空间直角坐标系，求出平面1BMC的法向量，利用面面角的向量求法求解即得.【小问1详解】如图，取棱AB 的中点N ，连接1A N ，MN ，1B N ，则11////MN AC AC ，由已知得11//A B AN ，111A B AN AA ==，且1AA AN ⊥，则四边形11A B NA 是正方形，于是11AB A N ⊥，而1AB AC ⊥，即111AB AC ⊥，又1111A C A N A =I ，且111,A A C N ⊂平面11A MC ，所以1AB ⊥平面11A MC .【小问2详解】依题意，1AC AB ⊥，1AC AA ⊥，1111,,AAAB A AA AB ⋂=⊂平面11AA B B ，则AC ⊥平面11AA B B ，而AB ⊂平面11AA B B ，则AC AB ⊥，以A 为原点，直线1,,AC AB AA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，不妨设2AB =，则(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(1,1,0)M ，1(1,0,1)C ，1(0,1,1)B ，(1,1,0)BM =- ，1(0,1,1)MC =-uuu u r ，设(,,)n x y z = 为平面1BMC 的法向量，则100n BM x y n MC y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1z =，得(1,1,1)n = ，由（1）知平面11A MC 的一个法向量为1(0,1,1)AB = ，因此111cos ,3||||n AB n AB n AB ⋅〈〉=== ，所以二面角11A MC B --的正弦值为3.17.已知F 是椭圆22:143x y C +=的右焦点，过点F 作两条相互垂直的动直线1l 和2l ，1l 与C 交于A ，B 两点，2l 与C 交于D ，E 两点.（1）若//AD x 轴，求||AD ；（2）设M ，N 分别为线段AB ，DE 的中点，求证：直线MN 过定点4,07P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【答案】（1）7（2）4,07⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由//AD x 轴，分别设A t ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，D t ⎫⎪⎪⎭，根据12l l ⊥，可得0FA FD ⋅= ，从而可求解.（2）设1,1，2,2，设直线1:1(0)l x my m =+≠，与22143x y +=联立，分别求出2243,3434m M m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，22243,3434m m N m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，再根据12l l ⊥，从而可求解.【小问1详解】由题意知(1,0)F .因为//AD x 轴，所以A ，D 两点的纵坐标相同，设为t.由椭圆方程，不妨令A t ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，D t ⎫⎪⎪⎭，因为12l l ⊥，所以221,1,14103t FA FD t t t ⎛⎫⎫⎛⎫ ⎪⎪⋅=-⋅-=--+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭ ，整理得2337t =，所以877AD ==.【小问2详解】设1,1，2,2.当1l 与2l 的斜率都存在时，设直线1:1(0)l x my m =+≠，与22143x y +=联立，消去x ，整理得()2234690m y my ++-=，∴122634m y y m +=-+，122934y y m =-+，()212122268223434m x x m y y m m +=++=-+=++，∴2243,3434m M m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.同理，用1m -替换m ，可得22243,3434m m N m m ⎛⎫ ⎪++⎝⎭.当1m =±时，M ，N 两点的横坐标均为47，故直线MN 过点4,07P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.当1m ≠±时，()2222223373434444441734347m mm m m m m m m ++==---++，即MP NP k k =，此时直线MN 过点4,07P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.当1l 或2l 与x 轴重合时，MN 也与x 轴重合，此时直线MN 也经过点4,07P ⎛⎫⎪⎝⎭，综上可知，直线MN 过定点4,07P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.18.已知函数21()2e ()2x f x m x =--，2()()ln 2g x f x x x x =--.（1）若32m =，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程.（2）若()g x 有两个极值点a ，()b a b <．（i ）证明：e 1m >-；（ii ）证明：1ab <.【答案】（1）22y x =+；（2）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程即得.（2）（i ）求出函数()g x 及导数，分离参数并构造函数e 1()ln x h x x x x =--，探讨函数性质即可推理得证；（ii ）由（i ）中信息，构造函数1()()()F x h x h x =-，探讨函数()F x 在(1,)+∞上的单调性，推理得证.【小问1详解】函数2()2e x f x x =-，求导得()2e 2x f x x '=-，则(0)2f '=，而(0)2f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为22y x =+.【小问2详解】（i）函数221()2e (ln 22x g x m x x x x =----，求导得()2e 22ln 2x g x mx x x '=---，令()0g x '=，得e 1ln x x m x x--=，设e 1()ln x h x x x x=--，求导得222e (1)1(e 1)(1)()x x x x x h x x x x ----'=-=，(0,)x ∈+∞，令()0h x '=，得1x =，当(0,1)x ∈时，()0h x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，函数()h x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，于是min ()(1)e 1h x h ==-，由()g x 有两个极值点，得方程()0g x '=有两个实根，即()h x m =有两个实根，则e 1m >-.（ii ）由（i ）知a ，b 是方程()0g x '=的两个实根，即()()h a h b m ==，且01a b <<<，设1()()(F x h x h x =-，求导得12211(1)(e e 1)()()()()x xx x x F x h x h x x x--+-'''=-⋅-=，令1()e e 1x x x x x ϕ=-+-，则当(1,)x ∈+∞时，111()e e e 10x xx x x ϕ'=-++>，即函数()ϕx 在(1,)+∞上单调递增，则()(1)0x ϕϕ>=，即当(1,)x ∈+∞时，()0F x '>，于是函数()F x 在(1,)+∞上单调递增，则()(1)0F x F >=，因此1()()h x h x>，则1()()h b h b >，即1()()h a h b >，而101b<<，又()h x 在(0,1)上单调递减，因此101a b <<<，所以1ab <.【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；③适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；④构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.19.已知P ，Q ∈Z ，若方程20x Px Q -+=有两个不相等的非零实数根a ，b ，设n n n a b u a b -=-，n v =11n n a b --+，其中*n ∈N ，称数列{}n u 和{}n v 为方程20x Px Q -+=的“特征数列”.（1）若4P =，3Q =，求特征数列{}n u 的前n 项和；（2）若1P =，1Q =-，证明：2n n nv v u ++为定值；（3）从集合{1,2,3,4}中随机取一个数作为P ，从集合{}1,2,3,4----中随机取一个数作为Q ，求事件“22u ≥且6150v ≥”的概率.【答案】（1）13342n n +--；（2）证明见解析；（3）1116.【解析】【分析】（1）根据定义求出n u ，再利用分组求和法及等比数列前n 项和公式计算即得.（2）由已知可得1,1a b ab +==-，变形2n n v v ++即可推理计算得证.（3）求出方程20x Px Q -+=有不等实根的所有可能结果，再求出22u ≥且6150v ≥含有的结果，利用古典概率计算即得.【小问1详解】当4P =，3Q =时，解方程2430x x -+=，得1x =或3，则312n n u -=，所以1212133133(333)22231242n n n n n n n u u u +--+++=+++-=⨯-=--L L .【小问2详解】依题意，1P a b =+=，1Q ab ==-，1111211(()n n n n n n n n v v a b a b a a b b a b --++++=+++=+++()()())(n n n n a a b b b a a b a b =-+-=--，因此222()(()()45)n n n n n n n v v a b a b a b a b ab a b u a b++--==-=+-=--，所以2n n nv v u ++为定值5.【小问3详解】依题意，(,)P Q 一共有4416⨯=种不同的情况，且均满足240P Q ->和0Q ≠，则方程20x Px Q -+=一定有两个不相等的非零实数根a ，b ，222a b u a b P a b-==+=-，要使22u ≥，则需2P ≥，通过特例观察可以猜想21n n n v Pv Qv ++=-，下面证明该等式：111()()()n n n n n n Pv Qv a b a b ab a b --+-=++-+11n n n n n n a b ab ba ba ab ++=+++--112n n n a b v +++=+=，显然12v =，2v a b P =+=，当2P =，1Q =-时，212n n n v v v ++=+，数列{}n v 前6项依次为2，2，6，14，34，82，不符合题意；当2P =，2Q =-时，2122n n n v v v ++=+，数列{}n v 前6项依次为2，2，8，20，56，152，符合题意；当2P =，2Q ≤-时，由21122n n n n n v Pv Qv v v +++=-≥+，得6152v ≥，符合题意；当3P =，1Q =-时，213n n n v v v ++=+，数列{}n v 前6项依次为2，3，11，36，119，393，符合题意；当3P ≥，1Q ≤-时，由2113n n n n n v Pv Qv v v +++=-≥+，得6393v ≥，符合题意，所以满足“22u ≥且6150v ≥”的(,)P Q 一共有34411++=（种）情况，所以所求概率为1116.【点睛】关键点点睛：猜想出递推公式21n n n v Pv Qv ++=-并证明，是解决本题第3问的关键.。
高三9月月考(数学)试题含答案
高三9月月考（数学）（考试总分：150 分）一、 单选题 （本题共计12小题，总分60分）1.（5分）1．已知集合A ＝{x |log 2(x －1)＜0}，B ＝{x |x ≤3}，则∁R A ∩B ＝( )A ．(－∞，1)B ．(2，3)C ．(2，3]D ．(－∞，1]∪[2，3]2.（5分）2．已知i 为虚数单位，且复数z 满足z －2i ＝11－i ，则复数z 在复平面内的点到原点的距离为( )A.132B.262C.102 D.523.（5分）3．已知x 、y 取值如下表：x 0 1 4 5 6 8 y1.3m5.66.17.49.3 从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且y ＝0.95x ＋1.45，则m ＝( ) A ．1.5 B ．1.55 C ．1.8 D ．3.54.（5分）4已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝35，－π2<α<π2，则sin 2α的值等于( )A.1225 B ．－1225 C ．－2425 D .24255.（5分） 5．已知互不重合的直线a ，b ，互不重合的平面α，β，给出下列四个命题，错误的命题是( )A ．若a ∥α，a ∥β，α∩β＝b ，则a ∥bB ．若α⊥β，a ⊥α，b ⊥β则a ⊥bC ．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a ，则a ⊥αD ．若α∥β，a ∥α，则a ∥β 6.（5分）6．“a ≤－2”是“函数f (x )＝|x －a |在[－1，＋∞)上单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件7.（5分）7．已知O 为△ABC 内一点，且AO →＝12(OB →＋OC →)，AD →＝tAC →，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为( )A.14B.13C.12D.238.（5分）8．执行如图所示的程序框图，若输出的S 值为－2，则①中应填( )A ．n <98?B ．n <99?C ．n <100?D ．n <101?9.（5分）9．已知点F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若双曲线左支上存在点P 与点F 2关于直线y ＝bax 对称，则该双曲线的离心率为( )A.2B.52 C ．2 D.5 10.（5分）10．若实数x 、y 满足xy >0，则x x ＋y ＋2y x ＋2y的最大值为( ) A ．2－2 B ．2＋2 C ．4－22 D ．4＋22 11.（5分）11．曲线y ＝ln x 上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是( ) A.4－ln 25 B.4＋ln 25 C.4－ln 25D.4＋ln 2512.（5分）12．已知三棱锥P ABC 的棱AP 、AB 、AC 两两垂直，且长度都为3，以顶点P 为球心，以2为半径作一个球，则球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧长之和等于( ) A ．3π B.3π2 C.4π3 D.5π6 二、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）13.（5分）13．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，若S 3＝a 2＋4a 1，T 5＝243，则a 1的值为____________．14.（5分）14．已知点Q 在圆C ：x 2＋y 2＋2x －8y ＋13＝0上，抛物线y 2＝8x 上任意一点P 到直线l ：x ＝－2的距离为d ，则d ＋|PQ |的最小值等于________． 15.（5分）15．“克拉茨猜想”又称“3n ＋1猜想”，是德国数学家洛萨·克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半；如果n 为奇数就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.己知正整数m 经过6次运算后得到1，则m 的值为________． 16.（5分）16．已知偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 2，若关于x 的方程f (x )＝|log a |x ||(a >0，a ≠1)在[－2，3]上有5个根，则a 的取值范围是________．三、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）17.（10分）17．(本小题满分10分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋A ，cos 2A －cos 2B ，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－A ，且m ∥n .(1)求角B 的值；(2)若△ABC 为锐角三角形，且A ＝π4，外接圆半径R ＝2，求△ABC 的周长． 18.（12分）18.(本小题满分12分)甲、乙两俱乐部举行乒乓球团体对抗赛．双方约定：①比赛采取五场三胜制(先赢三场的队伍获得胜利，比赛结束)；②双方各派出三名队员，前三场每位队员各比赛一场．已知甲俱乐部派出队员A 1、A 2、A 3，其中A 3只参加第三场比赛，另外两名队员A 1、A 2比赛场次未定；乙俱乐部派出队员B 1、B 2、B 3，其中B 1参加第一场与第五场比赛，B 2参加第二场与第四场比赛，B 3只参加第三场比赛．根据以往的比赛情况，甲俱乐部三名队员对阵乙俱乐部三名队员获胜的概率如下表：(1)12得取胜的概率最大？(2)若A 1参加第一场与第四场比赛，A 2参加第二场与第五场比赛，各队员每场比赛的结果互不影响，设本次团体对抗赛比赛的场数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望E (X )．19.（12分）19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD 中，底面四边形ABCD 内接于圆O ，AC 是圆O 的一条直径，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AC ＝2，E 是PC 的中点，∠DAC ＝∠AOB .(1)求证：BE ∥平面P AD ；(2)若二面角P CD A 的正切值为2，求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值． 20.（12分）20．(本小题满分12分)已知圆E ：x 2＋⎝⎛⎭⎫y －122＝94经过椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点F 1，F 2且与椭圆C 在第一象限的交点为A ，且F 1，E ，A 三点共线．直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，且MN →＝λOA →(λ≠0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)当△AMN 的面积取到最大值时，求直线l 的方程．21．21.（12分）(本小题满分12分)已知椭圆C 1：x 26＋y 2b 2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点F 2也为抛物线C 2：y 2＝8x 的焦点，过点F 2的直线l 交抛物线C 2于A ，B 两点． (1)若点P (8，0)满足|P A |＝|PB |，求直线l 的方程；(2)T 为直线x ＝－3上任意一点，过点F 1作TF 1的垂线交椭圆C 1于M ，N 两点，求|TF 1||MN |的最小值．22.（12分）已知函数f (x )＝ax －12x 2－b ln(x ＋1)(a >0)，g (x )＝e x －x －1，曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在原点处有公共的切线．(1)若x ＝0为函数f (x )的极大值点，求f (x )的单调区间(用a 表示)； (2)若∀x ≥0，g (x )≥f (x )＋12x 2，求a 的取值范围．答案一、 单选题 （本题共计12小题，总分60分）1.（5分）1．解析：选D.由集合A ＝{x |log 2(x －1)＜0}＝{x |1＜x ＜2}，则∁R A ＝{x |x ≤1或x ≥2}，又B ＝{x |x ≤3}，所以∁R A ∩B ＝(－∞，1]∪[2，3]．2.（5分）2．解析：选B.由z －2i ＝11－i ，得z ＝2i ＋11－i ＝2i ＋1＋i （1－i ）（1＋i ）＝12＋52i ，所以复数z 在复平面内的点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，52，到原点的距离为14＋254＝262.故选B.3.（5分）3．解析：选 C.由题意知x －＝0＋1＋4＋5＋6＋86＝4，y －＝1.3＋m ＋5.6＋6.1＋7.4＋9.36＝29.7＋m6，将⎝⎛⎭⎪⎫4，29.7＋m 6代入y ^＝0.95x ＋1.45中，得29.7＋m 6＝0.95×4＋1.45，解得m ＝1.8. 4.（5分）4．解析：选C.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝35，所以sin α＝－35，又－π2<α<π2，所以cos α＝45，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎫－35×45＝－2425，5.（5分）5．解析：选D. A 中，由线面平行的判定和性质得满足条件的直线a ，b 平行，故正确．B 中，满足条件的直线a ，b 垂直，故正确．C 中，由面面垂直的性质可得，交线a 与α垂直，故正确．D 中，直线a 与β可能平行，也可能在β内，故不正确．综上D 不正确．答案D. 6.（5分）解析：选A.结合图象可知函数f (x )＝|x －a |在[a ，＋∞)上单调递增，易知当a ≤－2时，函数f (x )＝|x －a |在[－1，＋∞)上单调递增，但反之不一定成立，故选A.7.（5分）7．解析：选B.设线段BC 的中点为M ，则OB →＋OC →＝2OM →，因为2AO →＝OB →＋OC →，所以AO →＝OM →，则AO →＝12AM →＝14(AB →＋AC →)＝14(AB →＋1t AD →)＝14AB →＋14t AD →，由B ，O ，D 三点共线，得14＋14t ＝1，解得t ＝13.故选B.8.（5分）8．解析：选B.由题意知，该程序框图的功能是计算S ＝lg 12＋lg 23＋…＋lgnn ＋1＝－lg(n ＋1)，当n ＝98时，S ＝－lg 99>－2；当n ＝99时，S ＝－lg 100＝－2，跳出循环，故①中应填n <99?故选B.9.（5分）解析：选D.如图所示，点P 与点F 2关于直线y ＝ba x 对称，所以|OP |＝|OF 2|＝|OF 1|＝c ，所以PF 1⊥PF 2，tan ∠PF 1F 2＝ba ，又|F 1F 2|＝2c ，所以|PF 2|＝2b ，|PF 1|＝2a ，又因为点P 在双曲线上，所以|PF 2|－|PF 1|＝2a ，即2b －2a ＝2a ，b ＝2a ，故e ＝ca＝ 5.10.（5分）10．解析：选C. x x ＋y ＋2yx ＋2y ＝x （x ＋2y ）＋2y （x ＋y ）（x ＋y ）（x ＋2y ）＝x 2＋4xy ＋2y 2x 2＋3xy ＋2y 2＝1＋xyx 2＋3xy ＋2y 2＝1＋1x y ＋3＋2y x ≤1＋13＋22＝4－22，当且仅当x y ＝2y x ，即x 2＝2y 2时取等号． 11.（5分）11．解析：选D.因为直线2x －y ＋3＝0的斜率为2，所以令y ′＝1x ＝2，解得x ＝12，把x ＝12代入曲线方程得y ＝－ln 2，即曲线在点⎝⎛⎭⎫12，－ln 2处的切线斜率为2，⎝⎛⎭⎫12，－ln 2到直线2x －y ＋3＝0的距离d ＝|1＋ln 2＋3|22＋（－1）2＝4＋ln 25，故曲线y ＝ln x 上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是4＋ln 25.12.（5分）12．解析：选B.如图所示，Rt △P AC ，Rt △P AB 为等腰直角三角形，且AP ＝AB ＝AC ＝ 3.以顶点P 为球心，以2为半径作一个球与Rt △P AC 的PC ，AC 分别交于点M ，N ，得cos ∠APN ＝32，所以∠APN ＝π6，所以∠NPM ＝π12，所以MN ︵＝π12×2＝π6，同理GH ︵＝π6，HN ︵＝π2×1＝π2，又GM ︵是以顶点P 为圆心，以2为半径的圆的周长的16，所以GM ︵＝2π×26＝2π3， 所以球面与三棱锥的表面相交所得到的四段孤长之和等于π6＋π6＋π2＋2π3＝9π6＝3π2.故选B.二、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）13.（5分）解析：由已知，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋4a 1，则a 3＝3a 1，所以q 2＝3.又T 5＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 53＝243，所以a 3＝a 1q 2＝3，a 1＝1.故答案为1.14.（5分）解析：抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2，0)，故直线l ：x ＝－2为抛物线的准线，由抛物线的定义可知，d ＝|PF |.圆C 的方程可变形为(x ＋1)2＋(y －4)2＝4，圆心为C (－1，4)，半径r ＝2.如图所示，d ＋|PQ |＝|PF |＋|PQ |.显然，|PF |＋|PQ |≥|FQ |(当且仅当F ，P ，Q 三点共线，且点P 在点F ，Q 之间时取等号)．而|FQ |为圆C 上的动点Q 到定点F 的距离，显然当Q 处在Q ′的位置，P 处在P ′的位置时，|FQ |取得最小值，且最小值为|CF |－r ＝（－1－2）2＋（4－0）2－2＝ 5－2＝3.答案：315.（5分）15．解析：如果正整数m 按照上述规则经过6次运算得到1，则经过5次运算后得到的一定是2；经过4次运算后得到的一定是4；经过3次运算后得到的为8或1；经过2次运算后得到的是16；经过1次运算后得到的是5或32；所以开始时的数为10或64.所以正整数m 的值为10或64.故答案为1,8,10或64.16.（5分）解析：由f (x －1)＝f (x ＋1)得函数f (x )的最小正周期T ＝2，根据函数的奇偶性、周期性画出函数f (x )在[－2，3]上的图象，然后再画函数g (x )＝|log a |x ||的图象，如图所示，使它们有5个交点即可，当a >1时，只要保证log a 3≤1即可，解得a ≥3，当0<a <1时，只要保证－log a 3≤1即可，即log a 3≥－1，解得0<a ≤13， 综上a ∈⎝⎛⎦⎤0，13∪[)3，＋∞.三、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）17.（10分）17．解：(1)由m ∥n ，得cos 2A －cos 2B ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－A ，即2sin 2B －2sin 2A ＝2⎝⎛⎭⎫34cos 2A －14sin 2A ，化简得sin B ＝32，故B ＝π3或2π3.(2) 易知B ＝π3，则由A ＝π4，得C ＝π－(A ＋B )＝5π12.由正弦定理a sin A ＝bsin B ＝csin C ＝2R ， 得a ＝4sin π4＝22，b ＝4sin π3＝23，c ＝4sin 5π12＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π6＝4×⎝⎛⎭⎪⎫22×32＋12×22＝6＋2， 所以△ABC 的周长为6＋23＋3 2.18.（12分）18.解：(1)设A 1、A 2分别参加第一场、第二场，则P 1＝56×23×23＝1027，设A 2、A 1分别参加第一场、第二场，则P 2＝34×23×23＝13，所以P 1>P 2， 所以甲俱乐部安排A 1参加第一场，A 2参加第二场，则甲俱乐部以3∶0取胜的概率最大．(2)比赛场数X 的所有可能取值为3、4、5， P (X ＝3)＝56×23×23＋16×13×13＝718，P (X ＝4)＝56C 12×23×13×23＋16×⎝⎛⎭⎫233＋16C 12×13×23×13＋56×⎝⎛⎭⎫133＝1954，P (X ＝5)＝1－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝727， 所以X 的分布列为X 3 4 5 P7181954727所以E (X )＝3×718＋4×1954＋5×727＝20954.19.（12分）19．解：(1)证明：因为∠DAC ＝∠AOB ，所以AD ∥OB .因为E 为PC 的中点，O 为圆心，连接OE ，所以OE ∥P A ，又OB ∩OE ＝O ，P A ∩AD ＝A ，所以平面P AD ∥平面EOB ， 因为BE ⊂平面EOB ，所以BE ∥平面P AD .(2)因为四边形ABCD 内接于圆O 且AC 为直径，所以AD ⊥CD ，又P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥CD ，又P A ∩AD ＝A ，所以CD ⊥平面P AD ，所以CD ⊥PD ，所以∠PDA 是二面角P CD A 的平面角，因为tan ∠PDA ＝2，P A ＝2，所以AD ＝1， 如图，以D 为坐标原点，DA 所在的直线为x 轴，DC 所在的直线为y 轴，过点D 且垂直于平面ABCD 的直线为z 轴建立空间直角坐标系D xyz .P A ＝AC ＝2，AD ＝1，延长BO 交CD 于点F ，因为BO ∥AD ，所以BF ⊥CD ，又因为BF ＝BO ＋OF ，所以BF ＝1＋12＝32，又CD ＝3，所以DF ＝32，所以P (1，0，2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，0， C (0，3，0)，设平面PCD 的法向量n ＝(x ，y ，z )，因为⎩⎪⎨⎪⎧n ·CP →＝0，n ·DC →＝0.所以⎩⎨⎧（x ，y ，z ）·（1，－3，2）＝0，（x ，y ，z ）·（0，3，0）＝0，即⎩⎨⎧x －3y ＋2z ＝0，3y ＝0.令z ＝1，则x ＝－2，y ＝0.所以n ＝(－2，0，1)是平面PCD 的一个法向量，又PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，－2，所以|cos 〈PB →，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪PB →·n |PB →||n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1＋0－25×5＝35， 所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为35.20.（12分）20．解：(1)因为F 1，E ，A 三点共线，所以F 1A 为圆E 的直径，所以AF 2⊥F 1F 2.由x 2＋⎝⎛⎭⎫0－122＝94，得x ＝±2，所以c ＝2，|AF 2|2＝|AF 1|2－|F 1F 2|2＝9－8＝1，2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝4，所以a ＝2.因为a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)由题知，点A 的坐标为(2，1)，因为MN →＝λOA →(λ≠0)，所以直线的斜率为22， 故设直线l 的方程为y ＝22x ＋m ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22x ＋m x 24＋y22＝1得，x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝m 2－2，Δ＝2m 2－4m 2＋8>0，所以－2<m <2.又|MN |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋12（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝12－3m 2，点A 到直线l的距离d ＝6|m |3， 所以S △AMN ＝12 |MN |·d ＝1212－3m 2×63 |m |＝22（4－m 2）m 2≤22×4－m 2＋m 22＝2，当且仅当4－m 2＝m 2，即m ＝±2时等号成立，此时直线l 的方程为y ＝22x ± 2. 21.（12分）21．解：(1)由抛物线C 2：y 2＝8x 得F 2(2，0)，当直线l 的斜率不存在，即l ：x ＝2时，满足题意．当直线l 的斜率存在时，设l ：y ＝k (x －2)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y 2＝8x ，y ＝k （x －2）得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，所以x 1＋x 2＝4k 2＋8k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k .设AB 的中点为G ，则G ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋4k2，4k ，因为|P A |＝|PB |，所以PG ⊥l ，k PG ·k ＝－1，所以4k －02k 2＋4k 2－8·k ＝－1， 解得k ＝±2，则y ＝±2(x －2)，所以直线l 的方程为y ＝±2(x －2)或x ＝2.(2)因为F 2(2，0)，所以F 1(－2，0)，b 2＝6－4＝2，所以椭圆C 1：x 26＋y 22＝1.设点T 的坐标为(－3，m )，则直线TF 1的斜率kTF 1＝m －0－3＋2＝－m ，当m ≠0时，直线MN 的斜率k MN ＝1m ， 直线MN 的方程是x ＝my －2，当m ＝0时，直线MN 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式，所以直线MN 的方程是x ＝my －2.设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则联立⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 22＝1x ＝my －2，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0，所以y 3＋y 4＝4m m 2＋3，y 3y 4＝－2m 2＋3 .|TF 1|＝m 2＋1，|MN |＝（x 3－x 4）2＋（y 3－y 4）2 ＝（m 2＋1）[（y 3＋y 4）2－4y 3y 4]＝24（m 2＋1）m 2＋3 .所以|TF 1||MN |＝124×（m 2＋3）2m 2＋1＝124⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋1＋4m 2＋1＋4≥33，当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1，即m ＝±1时，等号成立，此时|TF 1||MN |取得最小值33.22.（12分）22.解：(1)由题意知，f (x )的定义域为x ∈(－1，＋∞)，且f ′(x )＝a －x －b x ＋1，g ′(x )＝e x －1， 因为曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在原点处有公共的切线，故f ′(0)＝g ′(0)，解得a ＝b ，所以f (x )＝ax －12 x 2－a ln(x ＋1)，f ′(x )＝a －x －a x ＋1＝－x 2＋（a －1）x x ＋1＝－x [x －（a －1）]x ＋1， 当a ＝1时，f ′(x )≤0，函数f (x )在定义域上是减函数，故不满足题意；当a ≠1时，因为x ＝0为函数f (x )的极大值点，故由y ＝－x 2＋(a －1)x 的图象可知a －1<0，由f ′(x )<0得x ∈(－1，a －1)∪(0，＋∞)，由f ′(x )>0得x ∈(a －1，0)，所以函数f (x )的单调递增区间为(a －1，0)，单调递减区间为(－1，a －1)，(0，＋∞)．(2)因为g ′(x )＝e x －1，且当－1<x <0时，g ′(x )<0，当x >0时，g ′(x )>0，故当x ＝0时，g (x )取得最小值0，所以g (x )≥0，即e x ≥x ＋1，从而x ≥ln(x ＋1)．设F (x )＝g (x )－f (x )－12x 2＝e x ＋a ln(x＋1)－(a ＋1)x －1，则F ′(x )＝e x ＋a x ＋1－(a ＋1)， ①当a ＝1时，因为x ≥0，所以F ′(x )≥x ＋1＋a x ＋1－(a ＋1)＝x ＋1＋1x ＋1－2≥0，所以F (x )在[0，＋∞)上单调递增，从而F (x )≥F (0)＝0，即e x ＋ln(x ＋1)－2x －1≥0，所以g (x )≥f (x )＋12x 2.②当0<a <1时，由①知e x ＋ln(x ＋1)－2x －1≥0，所以g (x )＝e x －x －1≥x －ln(x ＋1)≥a [x －ln(x ＋1)]，故F (x )≥0，即g (x )≥f (x )＋12x 2.③当a >1时，令h (x )＝e x ＋a x ＋1－(a ＋1)，则h ′(x )＝e x －a （x ＋1）2. 显然h ′(x )在[0，＋∞)上单调递增，又h ′(0)＝1－a <0，h ′(a －1)＝e a －1－1>0，所以h ′(x )在(0，a －1)上存在唯一零点x 0，当x ∈(0，x 0)时，h ′(x )<0，所以h (x )在(0，x 0)上单调递减，从而h (x )<h (0)＝0，即F ′(x )<0，所以F (x )在(0，x 0)上单调递减，从而当x ∈(0，x 0)时，F (x )<F (0)＝0，即g (x )<f (x )＋12x 2，不符合题意．综上，实数a 的取值范围为(0，1]．。
四川省绵阳市江油中学2019届高三数学9月月考试题 文(含解析)
江油中学高2016级高三上9月月考文科数学一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1。
已知集合，则( ）A. B。
C. D。
【答案】C【解析】【分析】解出集合B=,然后画出数轴算出【详解】，即B即=【点睛】本题主要考集合的运算,属于高考题必考题型之一，需要掌握交并补的运算，及学解决各种不等式的解法2。
已知,则（ )A。
B. C. D。
【答案】D【解析】由得，故选D．3。
设函数,则的值为（ )A. B. C. D。
【答案】C【解析】【分析】由分段函数，先求=ln2，然后根据判断范围再由分段函数另一段求出值【详解】,=ln2,ln2，即=【点睛】本题主要考察分段函数求函数值，这类题目，需要判断自变量所在范围,然后带入相应的解析式解答即可4.在等腰梯形ABCD中，，M为BC的中点,则A。
B。
C. D.【答案】B【解析】【分析】根据平面向量的线性运算及几何意义，表示出且，两式相加求出的值【详解】如图等腰梯形ABCD中M为BC的中点，【点睛】本题主要考向量的分解，主要在做题的过程中我们画出图形,数形结合,结合选项，往靠拢即可5。
在等差数列中,若,，则的值是( )A。
15 B. 30 C。
31 D。
64【答案】A【解析】等差数列中,,，故答案为：A.6.已知定义在R上的函数的导函数为，若,且当时，,则满足不等式的实数m的取值范围是A. B. C。
D.【答案】B【解析】【分析】根据条件可知为偶函数,结合单调性和导函数之间的关系判断函数的单调性,然后利用奇偶性和单调性综合解题即可【详解】,即为R上的偶函数，时，，即在（0，+∞）上单调递减，即在(—∞，0）上单调递增，，即即m的取值范围为【点睛】本题主要在以抽象函数为大前提下，考察函数的基本性质，单调性,奇偶性的综合应用，属于基础题，熟练掌握函数的性质解决不等式问题，将抽象问题具体化.7。
已知平行四边形OABC中，O为坐标原点，A(2，2），C(l，—2)，则=（）A. -6 B。
广东省肇庆市封开县广信中学2025届高三上学期9月月考数学试题
广东省肇庆市封开县广信中学2025届高三上学期9月月考数学试题一、单选题1．已知集合103x A xx ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，{}2B x x =<，则A B =I （ ）. A ．{}21x x -<< B ．{}32x x -<< C ．{}21x x -<≤D ．{}21x x -≤≤2．已知复数134i z =+，232z i =-，则12z z -等于（ ） A ．2iB ．2C ．6iD ．62i +3．已知平面向量()1,1a =-r ，()2,b λ=r ，若a b ⊥r r，则实数λ=（ ）A ．2B ．2-C ．1D ．1-4．{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，775,21a S ==则10S = A ．40B ．35C ．30D ．285．若函数2(12)1,1()(2),1m x x f x x m x x -+<⎧=⎨-+-≥⎩在R 上单调递减，则实数m 的取值范围为（ ）A ．15,23⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．15,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,42⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭6．已知函数()y f x =是偶函数，且对任意的()1212,[0,)x x x x ∞∈+≠，有()()21210f x f x x x -<-，若(2)(3)f a f a +>-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．12aa ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭∣ B ．12aa ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭∣ C ．{1}aa <∣ D ．{1}aa >∣ 7．已知f (x )是定义在R 上的周期为4的奇函数，当()0,1∈x 时，()f x x m =+.若()17212f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则113f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．73B ．56C ．73-D ．56-8．如图，在Rt ABC V ，90,1,2A AC AB ∠=︒==，点P 在以B 为圆心，1为半径的圆上，则PA PC ⋅u u u r u u u r的最大值为（ ）A B ．5C ．165D ．565二、多选题9．已知向量(2,1)a =r，(3,1)b =-r ，则（ ） A ．()a b a +⊥r r rB ．向量a r在向量b r上的投影向量是r C ．|2|5a b +=r rD ．与向量a r共线的单位向量是 10．下列命题正确的是（ ）A ．已知0x <，则1y x x=+有最大值2- B ．已知0,0,21a b a b >>+=，则118ab ≤ C 2的最小值是2D ．2272x x ++最小值为2 11．已知定义在R 上的函数()f x 满足(1)f x +为偶函数，()f x 的图象关于原点对称，且当01x ≤≤时，2()2f x x x =-+，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的图象关于直线2x =对称B ．(2.1)(3.5)f f >C ．当10x -≤≤时，2()2f x x x =+D ．()()()12100f f f +++=L三、填空题12．已知扇形的半径为2，弧长为2，则该扇形的圆心角是．面积为．13．已知()f x 为偶函数，当0x <时，()()ln 4f x x x =-+，则曲线()y f x =在点()1,4-处的切线方程是.14．已知函数32()23f x x x x =-+-，若过点(1,)P m -（其中m 是整数）可作曲线()y f x =的三条切线，则m 的所有可能取值为．四、解答题15．记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知πsin sin()3c B b C =+.(1)求C ；(2)若6b =，且ABC V的面积为ABC V 的周长.16．已知单调递增数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22nn a n S +=． (1)求{}n a 的通项公式；(2)记3log n n b a =，求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．17．在ABC V 中，已知D 为AB的中点，AC =2CD =，60ADC ∠=︒. (1)求ABC V 的面积； (2)求BC 的长.18．设函数()34ln f x x x x=--．(1)求()f x 的单调区间；(2)求()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值．19．已知函数()2e 1xf x ax x =---.(1)若()1e 2f =-，求()f x 的单调区间； (2)若()()0,,0x f x ∞∈+>，求实数a 的取值范围.。
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甘肃省兰州一中2017届高三第一次月考试题(文)第I 卷 （选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A ={x|x >a },集合B ={-1,1,2},若A ∩B =B ,则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,+∞) B ．(-∞,1)C ．(-1,+∞)D ．(-∞,-1)2．已知复数i1ia +-为纯虚数，那么实数a =( ) A ．1- B ．12-C ．1D ．123．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取错误！未找到引用源。
的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为 ()A ．错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
B ．错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
C ．错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
D ．错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
4．已知等差数列错误！未找到引用源。
前9项的和为27,错误！未找到引用源。
,则错误！未找到引用源。
（ ）A ．100B ．99C ．98D ．975．设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+= ( )A ．3B ．6C ．9D ．126．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的的体积为 （ ） A ．π238+B ．π+38C ．π24+D ．π+4 图2503010O近视率/%高中初中小学图1初中生4500名高中生2000名小学生3500名7．已知直线l ：10x ay +-=（a ∈R ）是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴.过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |=（ ）A ．2B ．．6 D ．8．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出的s 的值是（ ）A ．1B ．4C ．2D ．7 9．函数x e x f x ln )(=在点))1(,1(f 处的切线方程是（ ）A ．)1(2-=x e yB ．1-=ex yC ．)1(-=x e yD ．e x y -=10．函数sin cos y x x x =+的图象大致为（ ）11．已知抛物线x y 82=的焦点到双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x E 的渐近线的距离不大于3，则双曲线E 的离心率的取值范围是（ ） A ．]2,1( B ．]2,1( C ．),2[+∞ D ．),2[+∞12．设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的R x ∈，都有(2)(2)f x f x -=+，且当[2,0]x ∈-时，1()12xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．若在区间(]2,6-内关于x 的方程()log (2)0(1)a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)2 B ．()2,+∞ C ．( D ． ()1,2第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．设向量a =(m ,1),b =(1,2),且|a +b |2=|a |2+|b |2,则m =．14．若x ，y 满足010x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≤，≥，则2z x y =+的最大值为．15．设△ABC 的内角为A ，B ，C ，所对的边分别是a ，b ，c .若ab c b a =-+22)(，则角C =__________________．16．若等比数列错误！未找到引用源。
的各项均为正数，且错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
．三、解答题：（本题共6小题,共70分,解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知函数2()cos 222x x x f x =．(1) 求()f x 的最小正周期；(2) 设ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且()0c f C =， 若向量()1,sin m A =与向量)sin ,2(B n =共线，求,a b ． 18．（本小题满分12分）为贯彻落实教育部等6部门《关于加快发展青少年校园足球的实施意见》,全面提高我市中学生的体质健康水平,普及足球知识和技能,市教体局决定举行春季校园足球联赛,为迎接此次联赛,甲中学选拔了20名学生组成集训队,现统计了这20名学生的身高,记录如下表：（1）请计算这20名学生的身高中位数、众数,并补充完成下面的茎叶图：（2）身高为185cm 和188cm 的四名学生分别为,,,A B C D ,现从这四名学生中选2名担任正副门将,请利用列举法列出所有可能情况,并求学生A 入选正门将的概率． 19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，90ADC ∠=︒，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，2PA PD ==，112BC AD ==，CD = （1）求证：平面MQB ⊥平面PAD ；（2）若M 是棱PC 的中点,求四面体M -PQB 的体积． 20．（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12，右焦点到右顶点的距离为1． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在与椭圆C 交于,A B 两点的直线l ：()y kx m k =+∈R ，使得0=⋅成立？若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由. 21．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝ln x －a x，g (x )＝f (x )＋ax －6ln x ，其中a ∈R. (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若g (x )在其定义域内为增函数，求正实数a 的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 22.(本小题满分10分) 选修4－1《几何证明选讲》已知A 、B 、C 、D 为圆O 上的四点,直线DE 为圆O 的切线,AC ∥DE ,AC 与BD 相交于H 点 (1)求证:BD 平分∠ABC ;(2)若AB =4,AD =6,BD =8,求AH 的长．23（本小题满分10分）选修4—4《坐标系与参数方程》已知直线l的参数方程为2x t y =⎧⎪⎨=⎪⎩ (t 为参数)，若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－π4)．(1)求直线l 的倾斜角和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B两点，设点2P ,求PA PB +．24．（本小题满分10分）选修4—5《不等式选讲》 已知函数()||f x x a =-（1）若不等式()2f x ≤的解集为[0,4]，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，若0x ∃∈R ，使得200()(5)4f x f x m m ++-<，求实数m 的取值范围．甘肃省兰州一中2017届高三第一次月考试题答案（文）第I 卷 （选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. D2.C3.A4. C5.C6.D7.C8. B9. C 10.D 11.B 12.A 第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.2-14. 2 15.32π16. 50 三、解答题：（本题共6小题,共70分,解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17. (Ⅰ) 211cos ()sincossin sin 22222xxxxf x x -=-=⋅-⋅=sin cos x x =+-sin()4x π=+-………6分 ∴()f x 的最小正周期为221T ππ==； (2)2,1220(==∴=∴=∴=b a ab n m C C f 共线与又） π………12分18．（1）中位数为177cm ,众数为178cm .茎叶图如下：………2分………6分（2）正副门将的所有可能情况为()()()()()(),,,,,,,,,,,A B B A A C C A A D D A ,()()()()()(),,,,,,,,,,,B C C B B D D B C D D C 共12种,其中学生A 入选正门将有()()(),,,,,A B A C A D 共3种,故学生A 入选正门将的概率为31124=.………12分19.（1）证明：分为矩形中点为平面平面平面6 (2)1,,//,90PAD MQB PAD QB DCBQ AD BC AD Q BC AD PADCD ABCD PAD ADC ⊥∴⊥∴∴=⊥∴⊥︒=∠分平面为矩形）平面由（平面中点是，12 (4)1212131213112=⨯⨯⨯⨯=⨯=∴⊥∴⊥∴⊥∴⊥∴==∆-BC QB PQ BC S V PQB BC QB BC DCBQ BC PQ ABCD PQ AD Q PD PA PQB PQB M20．（1）设椭圆C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>，半焦距为c . 依题意12c e a ==，由右焦点到右顶点的距离为1，得1a c -=．解得1c =，2a =．所以2223b a c =-=．所以椭圆C 的标准方程是22143x y +=．………4分 （2）解：存在直线l ，使得0=⋅成立.理由如下：由22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=．222(8)4(34)(412)0km k m ∆=-+->，化简得2234k m +>．设1122(,),(,)A x y B x y ，则122834kmx x k +=-+，212241234m x x k -=+． 若0OA OB ⋅=．所以12120x x y y +=．1212()()0x x kx m kx m +++=，221212(1)()0k x x km x x m ++++=，222224128(1)03434m kmk km m k k-+⋅-⋅+=++, 化简得，2271212m k =+．将227112k m =-代入2234k m +>中，22734(1)12m m +->，解得，234m >．又由227121212m k =+≥，2127m ≥，从而2127m ≥，m ≥m ≤ ……12分所以实数m 的取值范围是(,)-∞+∞ ． …12分 21.(1)由f (x )＝ln x －a x，得f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x ＋ax 2， 当a ＝1时，f ′(x )＝x ＋1x 2>0(x >0)，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．………5分 (2)由已知得，g(x)＝ax －a x－5lnx ，其定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝a ＋a x 2－5x ＝ax 2－5x ＋ax 2.因为g (x )在其定义域内为增函数，所以∀x ∈(0，＋∞)，g ′(x )≥0，即ax 2－5x ＋a ≥0，即a ≥5xx 2＋1. 而5x x 2＋1＝5x ＋1x≤52，当且仅当x ＝1时，等号成立， 所以a ≥52.………12分22.(本题满分10分) 选修4－1《几何证明选讲》 已知A 、B 、C 、D 为圆O 上的四点,直线DE 为圆O 的切线,AC∥DE ,AC 与BD 相交于H 点 (1)求证:BD 平分∠ABC ;(2)若AB=4,AD=6,BD=8,求AH 的长.22.解: 证明:(1)∵AC ∥DE,∴∠CDE=∠DCA,又∵∠DBA=∠DCA,∴∠CDE=∠DBA∵直线DE 为圆O 的切线,∴∠CDE=∠DBC故∠DBA=∠DBC,即BD 平分∠ABC…………………………………5分 (2)∵∠CAB=∠CDB,且∠DBA=∠DBC,∴∆ABH ∽∆DBC,∴AH CD =ABBD又∠EDC=∠DAC=∠DCA,∴AD=DC ……………………………8分 ∴AH AD =ABBD, ∵AB=4,AD=6,BD=8∴AH=3 ……………………………10分 23. （本小题满分10分）《选修4—4：坐标系与参数方程》已知直线l的参数方程为2x t y =⎧⎪⎨=⎪⎩ (t 为参数)，若以直角坐标系xOy 的O 点为极点，Ox 方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－π4)． (1)求直线l 的倾斜角和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B两点，设点(0,2P ,求PA PB +. 解 (1)直线l 倾斜角为3π……………2分 曲线C 的直角坐标方程为(x －22)2＋(y －22)2＝1……………5分 (2)容易判断点P 在直线l 上且在圆C 内部，所以PA PB AB +=……………6分 直线l 的直角坐标方程为y ＝3x ＋22……………8分 所以圆心(22，22)到直线l 的距离d ＝64.所以|AB |＝102，即PA PB +=分 （24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()||f x x a =-（1）若不等式()2f x ≤的解集为[0,4]，求实数a 的值；（2）在（Ⅰ）的条件下，若0x ∃∈R ，使得200()(5)4f x f x m m ++-<，求实数m 的取值范围．解：（Ⅰ）∵||2x a -≤，∴22a x a -≤≤+,∵()2f x ≤的解集为[0,4]，∴ 2024a a -=⎧⎨+=⎩，∴2a =．………5分（Ⅱ）∵()(5)|2||3||(2)(3)|5f x f x x x x x ++=-++≥--+=,∵0x ∃∈R ，使得200()(5)4f x f x m m ++-<，即200()(5)4f x f x m m ++<+成立，∴2min 4()m m f x +>，即245m m +>，解得5m <-，或1m >,∴实数m 的取值范围是(,5)(1,)-∞-+∞ ．………10分。