2018年中考数学第1编第6章图形的相似与解直角三角形第19讲解直角三角形(精练)试题(含答案)

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2019年宜宾中考数学总复习精练第6章第19讲解直角三角形(含答案)

第十九讲解直角三角形1．在一次数学活动中，李明利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD ，如图，已知李明距假山的水平距离BD 为12 m ，他的眼睛距地面的高度为1.6 m ，李明的视线经过量角器零刻度线OA 和假山的最高点C ，此时，铅垂线OE 经过量角器的60°刻度线，则假山的高度为( A )A ．(43＋1.6)mB ．(123＋1.6)mC ．(42＋1.6)mD ．4 3 m,(第1题图)),(第2题图))2．如图，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为( B ) A.12 B.55 C.1010 D.2553．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是( D ) A ．2 B.255 C.55 D.12,(第3题图)) ,(第4题图))4．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，则下列结论不正确的是( C ) A ．sinB ＝AD AB B ．sinB ＝ACBCC ．sinB ＝AD AC D ．sinB ＝CDAC5．小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等．小明将PB 拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C 为水平线)，测角仪B′D 的高度为1 m ，则旗杆PA 的高度为( A )A.11－sin αB.11＋sin αC.11－cos α D.11＋cos α6．计算sin 245°＋cos30°·tan60°，其结果是( A )A ．2B ．1 C.52 D.547．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，E 为AB 上一点且AE∶EB＝4∶1，EF ⊥AC 于F ，连结FB ，则tan ∠CFB 的值等于( C )A.33 B.233 C.533D. 3,(第7题图)) ,(第8题图))8．在寻找马航MH370航班过程中，某搜寻飞机在空中A 处发现海面上一块疑似漂浮目标B ，此时从飞机上看目标B 的俯角为α，已知飞行高度AC ＝1 500 m ，tan α＝35，则飞机距疑似目标B 的水平距离BC 为( D )A ．2 400 5 mB ．2 400 3 mC ．2 500 5 mD ．2 500 3 m9．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝35，BC ＝6，则AB ＝__10__．10．规定：sin(－x)＝－sinx ，cos(－x)＝cosx ，sin(x ＋y)＝sinx ·cosy ＋cosx ·siny.据此判断下列等式成立的是__②③④__．(写出所有正确的序号)①cos(－60°)＝－12；②sin75°＝6＋24；③sin2x ＝2sinx ·cosx ；④sin(x －y)＝sinx ·cosy－cosx ·siny.11．如图，在半径为5的⊙O 中，弦AB ＝6，点C 是优弧AB ︵上一点(不与A ，B 重合)，则cosC 的值为__45__．,(第11题图)) ,(第12题图))12．如图，在四边形ABCD 中，AD ＝AB ＝BC ，连结AC ，且∠ACD＝30°，tan ∠BAC ＝233，CD ＝3，则AC ＝．13．计算：(1)tan45°＋2sin45°－2cos60°；解：原式＝1＋2×22－2×12＝1＋2－1 ＝2；(2)sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°.解：设S ＝sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°①， ∴S ＝cos 289°＋cos 288°＋cos 287°＋…＋cos 22°＋cos 21° ∴S ＝cos 21°＋cos 22°＋cos 23°＋…＋cos 288°＋cos 289°②，①＋②得2S ＝89， S ＝892.14．如图，是一张宽m 的矩形台球桌ABCD ，一球从点M(点M 在长边CD 上)出发沿虚线MN 射向边BC ，然后反弹到边AB 上的P 点，如果MC ＝n ，∠CMN ＝α，那么P 点与B 点的距离为__m －n·tan αtan α__．15．如图，“中海海监50”正在南海海域A 处巡逻，岛礁B 上的中国海军发现点A 在点B 的正西方向上，岛礁C 上的中国海军发现点A 在点C 的南偏东30°方向上，已知点C 在点B 的北偏西60°方向上，且B ，C 两地相距150海里．(1)求出此时点A 到岛礁C 的距离；(2)若“中海海监50”从A 处沿AC 方向向岛礁C 驶去，当到达点A′时，测得点B 在A′的南偏东75°的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离．(注：结果保留根号)解：(1)如图所示：延长BA ，过点C 作CD⊥BA 延长线与点D.由题意可得：∠CBD＝30°，BC ＝150海里，则DC ＝75海里，∴cos30°＝DC AC ＝75AC ＝32，解得AC ＝50 3.答：点A 到岛礁C 的距离为503海里；(2)如图所示：过点A′作A′N⊥BC 于点N ，可得∠1＝30°，∠BA ′A ＝45°，则∠2＝∠ABA′＝15°，即A′B 平分∠CBA.∴A ′E ＝AN.又∵A′E ⊥BA ，A ′N ⊥BC ，设AA′＝x ，则A′E＝A′N＝32x ， ∴CA ′＝2A′N＝2×32x ＝3x. ∵3x ＋x ＝503，解得x ＝75－253，答：此时“中国海监50”的航行距离为(75－253)海里．16．(2019潍坊中考)如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD 的高度．该楼底层为车库，高2.5 m ；上面五层居住，每层高度相等．测角仪支架离地1.5 m ，在A 处测得五楼顶部点D 的仰角为60°，在B 处测得四楼顶部点E 的仰角为30°，AB ＝14 m ．求居民楼的高度．(结果精确到0.1 m ，参考数据：3≈1.73)解：设每层高为x m.由题意得MC′＝MC－CC′＝2.5－1.5＝1，则DC′＝5x＋1，EC′＝4x＋1.在Rt△DC′A′中，∠DA′C′＝60°.∴C′A′＝DC′tan60°＝33(5x＋1)．在Rt△EC′B′中，∠EB′C′＝30°.∴C′B′＝EC′tan30°＝3(4x＋1)．∵A′B′＝C′B′－C′A′＝AB，∴3(4x＋1)－33(5x＋1)＝14.解得x＝23－27.∴居民楼高为：5×(23－27)＋2.5≈18.4(m)．17．AE，CF是锐角三角形ABC的两条高，如果AE∶CF＝3∶2，则sin∠BAC∶sin∠ACB等于( B )A．3∶2 B．2∶3 C．9∶4 D．4∶92019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．某商品价格为a元，降价10％后，又降价10％，因销售量猛增，商店决定再提价20％，提价后这种商品的价格为（）A.0.96a元B.0.972a元C.1.08a元D.a元2x的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．3．如图，点A所表示的数的绝对值是（）A.3B.﹣3C.13D.13-4．若关于x的方程3x2﹣2x+m＝0的一个根是﹣1，则m的值为（）A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．55．数据1、10、6、4、7、4的中位数是（）．A.9B.6C.5D.46．九年级某同学6次数学小测验的成绩分别为：90分，95分，96分，96分，95分，89分，则该同学这6次成绩的中位数是（）A.94B.95分C.95.5分D.96分7．如图，四边形ABCD是正方形，直线l1、l2、l3分别通过A、B、C三点，且l1∥l2∥l3，若l1与l2的距离为6，正方形ABCD的面积等于100，l2与l3的距离为（）A．8 B．10 C．9 D．78．如图,将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠,使点D落在AB边中点E处,点C落在点Q处,折痕为FH,则线段AF的长是（）A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm9．若a b ，则实数a ，b 的大小关系为（） A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．a≥b10．若x 是不等于1的实数，我们把11x -称为x 的差倒数，如2的差倒数是11x-＝﹣1，﹣1的差倒数为11(1)--＝12，现已知x 1＝13，x 2是x 1的差倒数，x 3是x 2的差倒数，x 4是x 3的差倒数，…，依此类推，则x 2019的值为（） A ．﹣13B ．﹣2C ．3D ．411．如图，一段抛物线293y x x =-+（-3≤≤）为1C ，与x 轴交于0A ，1A 两点，顶点为12D D ；将1C 绕点1A 旋转180°得到2C ，顶点为2D ；1C 与2C 组成一个新的图象.垂直于y 轴的直线l 与新图象交于点111()P x y ，，222()P x y ，，与线段12D D 交于点333()P x y ，，且1x ，2x ，3x 均为正数，设123t x x x =++，则t 的最大值是（）A ．15B ．18C ．21D ．2412．若一个多边形的内角和为1440°，则这个多边形的边数是（） A ．8 B ．10C ．12D ．14二、填空题13．用48m 长的篱笆在空地上围成一个正六边形的绿化场地，则其面积为______2m14．将点P （﹣3，y ）向下平移3个单位，向左平移2个单位后得到点Q （x ，﹣1），则x+y ＝_____．15x 的取值范围是_______. 16．如图，AB ∥CD ，∠DCE=118°，∠AEC 的角平分线EF 与GF 相交于点F ，∠BGF=132°，则∠F 的度数是__．17．把多项式ax 2+2a 2x+a 3分解因式的结果是_____．18．如图，四边形ABCD 是菱形，O 是两条对角线的交点，过O 点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为__________．三、解答题19．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ，他调整自己的位置，设法使斜边DF 保持水平，并且边DE 与点B 在同一条直线上．已知纸板的两条边DE ＝70cm ，EF ＝30cm ，测得AC ＝78m ，BD ＝9m ，求树高AB ．20．在女子800米耐力测试中，某考点同时起跑的小莹和小梅所跑的路程S(米)与所用时间t(秒)之间的函数关系分別如图中线段OA 和折线OBCD 所示．(1)谁先到终点，当她到终点时，另一位同学离终点多少米？(请直接写出答案) (2)起跑后的60秒内谁领先？她在起跑后几秒时被追及？请通过计算说明．21．先化简：2222111211x x x x x x +-⎛⎫-÷⎪--++⎝⎭然后解答下列问题：（1）当x ＝2时，求代数式的值（2）原代数式的值能等于0吗？为什么？22．水果基地为了选出适应市场需求的小西红柿秧苗，在条件基本相同的情况下，把两个品种的小西红柿秧苗各300株分别种植在甲、乙两个大棚，对市场最为关注的产量和产量的稳定性进行了抽样调查，过程如下:收集数据从甲、乙两个大棚中分别随机收集了相同生产周期内25株秧苗生长出的小西红柿的个数：甲：26，32，40，51，44，74，44，63，73，74，81，54，62，41，33，54，43，34，51，63，64，73，64，54，33乙：27，35，46，55，48，36，47，68，82，48，57，66，75，27，36，57，57，66，58，61，71，38，47，46，71整理数据按如下分组整理样本数据：（说明：45个以下为产量不合格，45个及以上为产量合格，其中45≤x＜65个为产量良好，65≤x＜85个为产量优秀）分析数据两组样本数据的平均数、众数和方差如下表所示：得出结论（1）补全上述表格；（2）可以推断出大棚的小西红柿秩苗品种更适应市场需求，理由为（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）；（3）估计乙大棚的300株小西红柿秧苗中产量优秀的有多少株？23．（111|2|2cos453-︒⎛⎫-+-⎪⎝⎭；（2）解分式方程：2133xx x=++24．为顺利通过“国家文明城市”验收，市政府拟对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管等公用设施全面更新改造，现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的2倍，若甲、乙两工程队合作只需10天完成．甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？25．某市在地铁施工期间，交管部门计划在施工路段设高为3米的矩形路况警示牌BCEF（如图所示BC＝3米）警示牌用立杆AB 支撑，从侧面D 点测到路况警示牌顶端C 点和底端B 点的仰角分别是60°和45°，求立杆AB 的长度（结果精确到整数，≈1.41）【参考答案】*** 一、选择题二、填空题13． 14．﹣3． 15．x≤2且x≠0 16．11°． 17．a （x+a ）218．12 三、解答题19．203232+【解析】【分析】先判定△DEF 和△DBC 相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC 的长，再加上AC 即可得解．【详解】解：在直角△DEF 中，DE ＝70cm ，EF ＝30cm ，则由勾股定理得到DF ==在△DEF 和△DBC 中，∠D ＝∠D ，∠DEF ＝∠DCB ， ∴△DEF ∽△DCB ，∴DF EFDB BC=，又∵EF ＝30cm ，BD ＝9m ，∴BC ＝EF DB DF ⋅==（m ） ∵78AC m =，∴AB ＝AC+BC ＝7203858232++=，即树高203232+m ．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，比较简单，判定出△DEF 和△DBC 相似是解题的关键．20．(1)小莹比小梅先到终点，此时小梅距离终点200米；(2)小梅在起跑后5407秒时被追及．【解析】【分析】（1）小莹比小梅先到终点，此时小梅距离终点200米；（2）根据图象可以知道跑后的60秒内小梅领先，根据线段的交点坐标可以求出小梅被追及时间．【详解】(1)小莹比小梅先到终点，此时小梅距离终点200米； (2)根据图象可以知道跑后的60秒内小梅领先，小莹的速度为：800401809= (米/秒)，故线段OA 的解析式为：y ＝409x ，设线段BC 的解析式为：y ＝kx+b ，根据题意得：60300180600k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得k 2.5b 150=⎧⎨=⎩， ∴线段BC 的解析式为y ＝2.5x+150，解方程40 2.51509x x =+，得5407x =，故小梅在起跑后5407秒时被追及．【点睛】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．21．(1)11x x +-;(2)见解析. 【解析】【分析】（1）将x ＝2代入化简后的式子即可解答本题；（2）先判断，然后令化简的结果等于0，求出x 的值，再将所得的x 的值代入化简后的式子，看是否使得原分式有意义即可解答本题．【详解】解：2222111211x x x x x x +-⎛⎫-÷ ⎪--++⎝⎭ 22(1)11(1)(1)(1)1x x x x x x ⎡⎤+-+=-⋅⎢⎥+--⎣⎦ 21(1)11x x x ⎛⎫=-⋅+ ⎪--⎝⎭ 1(1)1x x =⋅+- 11x x +=- （1）当x ＝2时，原式＝2121+-＝3；（2）原代数式的值不等等于0，理由：令11x x +-＝0，得x ＝﹣1，当x ＝﹣1时，原分式无意义，故原代数式的值不等等于0．【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．22．（1）5，5，6，54；（2）乙，乙的方差较小，众数比较大；（3）84株【解析】【分析】（1）利用划计法统计即可．（2）从平均数，众数，方差三个方面分析即可．（3）利用样本估计总体的思想解决问题即可．【详解】（1）甲：35≤x＜45时，小西红柿的株数为5，55≤x＜65时，小西红柿的株数为5．甲的众数为54，乙：45≤＜55时，小西红柿的株数为6．故答案为：5，5，6，54．（2）选：乙．理由：乙的方差较小，众数比较大．故答案为：乙，乙的方差较小，众数比较大．（3）300725⨯=84（株）答：估计乙大棚的300株小西红柿秧苗中产量优秀的有84株．【点睛】本题考查了方差，众数，平均数，样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．23．（11；（2）23x=.【解析】【分析】（1）原式利用二次根式性质，绝对值的代数意义，负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】解：（1）原式＝23212-+-⨯=；（2）去分母得：3x＝2，解得：23x=，经检验23x=是分式方程的解．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．24．15,30.【解析】【分析】等量关系为：甲工效+乙工效=110，甲（乙）的工效×甲（乙）的工作时间=甲（乙）的工作量；【详解】设甲工程队单独完成此项工程需x天，则乙工程队单独完成此工程需2x天．由题意，得10×（112x x+）＝1 解得：x ＝15．经检验，x ＝15是原方程的根．∴2x ＝30．答：甲、乙两个工程队单独完成此项工程分别需15天和30天．【点睛】考查了工程问题，题目相对复杂．分析题意，找到合适的等量关系是解决本题的关键．此题等量关系比较多，主要用到公式：工作总量=工作效率×工作时间.25．立杆AB 的长度约为4米．【解析】【分析】设AB ＝x 米，由∠BDA ＝45°知AB ＝AD ＝x 米，再根据tan ∠ADC ＝AC AD 建立关于x 的方程，解之可得答案．【详解】设AB ＝x 米，在Rt △ABD 中，∵∠BDA ＝45°，∴AD ＝AB ＝x 米，在Rt △ACD 中，∵∠ADC ＝60°，∴tan ∠ADC ＝AC AD ，即3x x +=解得：x ≈4（米），答：立杆AB 的长度约为4米．【点睛】此题考查解直角三角形的应用，仰角俯角问题，解题关键在于求出∠ADC ＝60°2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．将一副三角板按照如图所示的位置摆放在同一水平面上，两条斜边互相平行，两个直角顶点重合，则∠1的度数是（）A.30oB.45oC.75oD.105o2．如图，已知∠ABC=∠BAD ，添加下列条件还不能判定△ABC ≌△BAD 的是（）A.∠C=∠DB.∠CAB=∠DBAC.AC=BDD.BC=AD3．如图，已知△A 1B 1C 1的顶点C 1与平面直角坐标系的原点O 重合，顶点A 1、B 1分别位于x 轴与y 轴上，且C 1A 1＝1，∠C 1A 1B 1＝60°，将△A 1B 1C 1沿着x 轴做翻转运动，依次可得到△A 2B 2C 2，△A 3B 3C 3等等，则C 2019的坐标为（）A.（，0）B.（0）C.（40352，2） D.（0） 4．如图，平行四边形OABC 的顶点O ，B 在y 轴上，顶点A 在反比例函数y ＝﹣5x 上，顶点C 在反比例函数y ＝7x上，则平行四边形OABC 的面积是( )A ．8B ．10C ．12D ．312 5．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是( ) A.B. C. D.6．下列运算正确的是（）A ．22321a a -=B ．22122a a a ⋅=C ．623a a a ÷=D ．()()3223a b a b b -÷=-7．如图，⊙O 的半径OA ＝8，以A 为圆心，OA 为半径的弧交⊙O 于B ，C 点，则BC ＝（）A. B. C. D.8．下列图形是用长度相等的火柴棒按一定规律排列的图形，第（1）个图形中有8根火柴棒，第（2）个图形中有14根火柴棒，第（3）个图形中有20根火柴棒，…，按此规律排列下去，第（6）个图形中，火柴棒的根数是（）A ．34B ．36C ．38D ．489．如图分别是某班全体学生上学时乘车、步行、骑车人数的分布直方图和扇形统计图(两图都不完整),下列结论错误的是( )A ．该班总人数为50B ．步行人数为30C ．乘车人数是骑车人数的2.5倍D ．骑车人数占20%10．如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB ＝35°，则∠C 的度数是（）A ．35°B ．45°C ．65°D ．55°11．已知点（﹣2，y 1），（﹣3，y 2），（2，y 3）在函数y ＝﹣8x 的图象上，则（） A ．y 2＞y 1＞y 3 B ．y 1＞y 2＞y 3 C ．y 3＞y 1＞y 2D ．y 1＞y 3＞y 2 12．有大小、形状、颜色完全相同的四个乒兵球，球上分别标有数字2，3，5，6，将这四个球放入不透明的袋中搅匀，不放回地从中随机连续抽取两个，则这两个球上的数字之积为奇数的概率是( )A ．16B ．13C ．23D ．14二、填空题13．解方程：3x 2﹣6x+1＝2．14．已知抛物线2=2(1)3y x -+-与直线2y kx m =+相交于A （-2，3）、B （3，-1）两点，则12y y ≥时x 的取值范围是___________.15．双曲线y=在每个象限内，函数值y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是__________．16．如图，⊙O 的半径为2，AB ，CD 是互相垂直的两条直径，点P 是⊙O 上任意一点（P 与A ，B ，C ，D 不重合），过点P 作PM ⊥AB 于点M ，PN ⊥CD 于点N ，点Q 是MN 的中点，当点P 沿着圆周转过45°时，点Q 走过的路径长为________．17．因式分解______________________.18．若m 、n 互为倒数，则mn 2﹣（n ﹣1）的值为_____．三、解答题19．如图，AB 是半圆O 的直径，点P 是半圆上不与点A ，B 重合的动点，PC ∥AB ，点M 是OP 中点．（1）求证：四边形OBCP 是平行四边形；（2）填空：①当∠BOP ＝时，四边形AOCP 是菱形；②连接BP ，当∠ABP ＝时，PC 是⊙O 的切线．20．已知两个函数：y1＝ax+4，y2＝a（x﹣12）（x﹣4）（a≠0）．（1）求证：y1的图象经过点M（0，4）；（2）当a＞0，﹣2≤x≤2时，若y＝y2﹣y1的最大值为4，求a的值；（3）当a＞0，x＜2时，比较函数值y1与y2的大小．21．计算：（1）（a+2）（a﹣3）﹣a（a﹣1）（2）224972 6926a aa a a--÷-+++22．如图，在平面直角坐标系中，A（0，1），B（4，2），C（2，0）．（1）将△ABC沿y轴翻折得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；（2）将△ABC绕着点（﹣1，﹣1）旋转180°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；（3）线段B2C2可以看成是线段B1C1绕着平面直角坐标系中某一点逆时针旋转得到，直接写出旋转中心的坐标为．23．校园安全受到全社会的广泛关注，某市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了尚不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）在这次活动中抽查了多少名中学生？（2）若该中学共有学生1600人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”程度的人数．（3）若从对校园安全知识达到“了解程度的2个女生和2个男生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率．24．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点为：A （1，1），B （4，4），C （5，1）．（1）若△ABC 和△A 1B 1C 1关于原点O 成中心对称图形，画出△A 1B 1C 1；（2）在x 轴上存在一点P ，满足点P 到点B 1与点C 1距离之和最小，请直接写出PB 1+PC 1的最小值为．25．阅读下列材料，解决材料后的问题：材料一：对于实数x 、y ，我们将x 与y 的“友好数”用f （x ，y ）表示，定义为：f （x ）＝2x y +，例如17与16的友好数为f （17，16）＝17162+＝1718．材料二：对于实数x ，用[x]表示不超过实数x 的最大整数，即满足条件[x]≤x＜[x]+1，例如：[﹣1.5]＝[﹣1.6]＝﹣2，[0]＝[0.7]＝0，[2.2]＝[2.7]＝2，……（1）由材料一知：x 2+2与1的“友好数”可以用f （x 2+2，1）表示，已知f （x 2+2，1）＝2，请求出x 的值；（2）已知[12a ﹣1]＝﹣3，请求出实数a 的取值范围；（3）已知实数x 、m 满足条件x ﹣2[x]＝72，且m≥2x+112，请求f （x ，m 2﹣32m ）的最小值．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．x 1 ，x 2． 14．x≤-2或x≥315．m ＜1．16．4π 17．18．1三、解答题19．(1)见解析;(2)①120°；②45°【解析】【分析】（1）由AAS 证明△CPM ≌△AOM ，得出PC=OA ，得出PC=OB ，即可得出结论；（2）①证出OA=OP=PA ，得出△AOP 是等边三角形，∠A=∠AOP=60°，得出∠BOP=120°即可；②由切线的性质和平行线的性质得出∠BOP=90°，由等腰三角形的性质得出∠ABP=∠OPB=45°即可．【详解】（1）∵PC ∥AB ，∴∠PCM ＝∠OAM ，∠CPM ＝∠AOM ．∵点M 是OP 的中点，∴OM ＝PM ，在△CPM 和△AOM 中， PCM OAM CPM AOM PM OM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CPM ≌△AOM （AAS ），∴PC ＝OA ．∵AB 是半圆O 的直径，∴OA ＝OB ，∴PC ＝OB ．又PC ∥AB ，∴四边形OBCP 是平行四边形．（2）①∵四边形AOCP 是菱形，∴OA＝PA，∵OA＝OP，∴OA＝OP＝PA，∴△AOP是等边三角形，∴∠A＝∠AOP＝60°，∴∠BOP＝120°；故答案为：120°；②∵PC是⊙O的切线，∴OP⊥PC，∠OPC＝90°，∵PC∥AB，∴∠BOP＝90°，∵OP＝OB，∴△OBP是等腰直角三角形，∴∠ABP＝∠OPB＝45°，故答案为：45°．【点睛】本题是圆的综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、切线的性质、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握切线的性质和平行四边形的判定是解题的关键．20．（1）证明见解析；（2）817a ;(3)见解析.【解析】【分析】（1）只需要把M的坐标带入到1y即可（2）把1y,2y代入到等式化简取y最大值时，即可解答（3）由（2）可知当a＞0，x＜2时，随x的增大而减小，然后再根二次函数的增减性可解此题【详解】解：（1）证明：当x＝0时，y1＝0+4＝4，∴点M（0，4）在y1的图象上，即y1的图象经过点M（0，4）；（2）∵y1＝ax+4，y2＝a（x﹣12）（x﹣4）（a≠0）．∴y＝y2﹣y1＝a（x﹣12）（x﹣4）﹣（ax+4），即y＝21124 2ax ax a-+-，∵a＞0，对称轴为x＝114＞2，∴当﹣2≤x≤2时，y随x的增大而减小，∴当x＝﹣2时，y取最大值为4a+11a+2a﹣4＝17a﹣4，∵y＝y2﹣y1的最大值为4，∴17a﹣4＝4，解得，a＝817；（3）由（2）知y＝y2﹣y1＝21124 2ax ax a-+-，当a＞0，x＜2时，随x的增大而减小，当x＝2时，y＝y2﹣y1＝4a﹣11a+2a﹣4＝﹣5﹣4＜0，又当y＝0时，21124 2ax ax a-+-＝0，即2ax2﹣11ax+4a﹣8＝0，x，∵△＝121a2﹣32a2+64a＝89a2+64a＞0，2，根据二次函数的增减性可得，当x>2时，y2﹣y1＜0，即y2＜y1；当x2时，y2﹣y1＝0，即y2＝y1；当x2时，y2﹣y1＞0，即y2＞y1．【点睛】此题主要考察函数解析式的求解及常用方法，需要把已知的点，带入到函数解析式里面进行求解21．（1）-6（2）83 a-【解析】【分析】（1）根据整式的混合运算顺序和运算法则计算可得；（2）先计算除法，再计算减法即可得．【详解】（1）原式＝a2﹣a﹣6﹣a2+a＝﹣6；（2）原式＝2(+7)(7)2(3)2(3)7a a a a a -+⋅-+-＝2(+7)2(3)33a a a a +-++＝83a +．【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．22．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）（﹣2，﹣2）．【解析】【分析】（1）利用关于y 轴对称的点坐标特征写出点A 1、B 1、C 1的坐标，然后描点即可；（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A 1、B 1、C 1的对应点A 2、B 2、C 2，从而得到△A 2B 2C 2；（3）作B 1B 2和C 1C 2的垂直平分线，它们相交于点P ，则点P 为旋转中心，然后写出P 点坐标即可．【详解】解：（1）如图，△A 1B 1C 1为所作；（2）如图，△A 2B 2C 2为所作；（3）如图，线段B 2C 2可以看成是线段B 1C 1绕着点P 逆时针旋转90°得到，此时P 点的坐标为（﹣2，﹣2）．故答案为（﹣2，﹣2）．【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．23．（1）80（2）400（3）23【解析】【分析】（1）用“基本了解”的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；（2）计算出样本中“了解”程度的人数，然后用1600乘以基本中“了解”程度的人数的百分比可估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”程度的人数．（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好抽到1个男生和1个女生的结果数，然后利用概率公式求解．【详解】解：（1）32÷40%＝80（名），所以在这次活动中抽查了80名中学生；（2）“了解”的人数为80﹣32﹣18﹣10＝20，1600×2080＝400，所以估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”程度的人数为400人；（3）由题意列树状图：由树状图可知，在 4 名同学中随机抽取 2 名同学的所有等可能的结果有12 种，恰好抽到一男一女（记为事件A）的结果有8种，所以P（A）＝82 123．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．24．（1）见解析；（2【解析】【分析】（1）分别作出三角形ABC三顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可得；（2）作点C1关于x轴的对称点C′，连接B1C′与x轴的交点即为所求点P，继而利用勾股定理求解可得．【详解】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．（2）如图所示，点P 即为所求，PB1+PC 1．【点睛】本题主要考查作图﹣旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．25．（1）x ＝±2；（2）﹣4≤a＜﹣2；（3）当m ＝34时，y 有最大值是﹣238，此时f （x ，m 2﹣32m ）有最小值，最小值是﹣4023．【解析】【分析】（1）由题意得到22212x +=+，计算即可得到答案；（2）由题意得到131312a -≤-<-+，解不等式即可得到答案；（3）先由题意得到171712424x x x -≤<-+，则7322x -≤<-，设1724x k -=，由题意得到111222m x ≥+=，设y ＝﹣2m 2+3m ﹣4，根据二次函数的性质即可得到答案. 【详解】解：（1）∵f （x 2+2，1）＝2， ∴22212x +=+， ∴x 2＝4，∴x ＝±2；（2）∵[x]≤x＜[x]+1， ∴131312a -≤-<-+，解得﹣4≤a＜﹣2；（3）∵x ﹣2[x]＝74， ∴[x]＝1724x -， ∴171712424x x x -≤<-+， ∴7322x -≤<-，设1724x k -=，又x ＝2k+72， ∴7522k -≤<-, ∴整数k ＝﹣3， ∴x ＝52-，又111222m x ≥+=， ∴f （x ，m 2﹣32m ），＝2322xm m -+，＝252322m m --+，＝25234m m -+-，设y ＝﹣2m 2+3m ﹣4，则y ＝﹣2（m 34-）2238-， ∵﹣2＜0， ∴当m ＝34时，y 有最大值是238-，此时f （x ，m 2﹣32m ）有最小值，最小值是5238-＝﹣4023，此时最小值为﹣4023．【点睛】本题考查分式方程的计算和二次函数，解题的关键是读懂题意，掌握分式方程的计算和二次函数的性质.。

初三数学相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析

相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似、全等的关系全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广．因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础．二、相似三角形 (1)三角形相似的条件：① ；② ；③ . 三、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决.四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例三边对应成比例，两三角形相似找一个直角斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例判定定理1或判定定理4 找顶角对应相等判定定理1a)已知一对等b)己知两边对应成比c)己知一个直d)有等腰关找底角对应相等判定定理1 找底和腰对应成比例判定定理3e)相似形的传递性若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3五、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。

具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。

有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。

《相似三角形》最全讲义(完整版)

相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似形1. 图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。

2. 把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。

⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。

⑶我们可以这样理解相似两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩到的．⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．3. 相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。

注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是 1.知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。

a、 b 的长度分别是m、n，那么就说这两条线段am 的比是a：b＝m：n（或 b n ）2、比的前项，比的后项：两条线段的比a：b中。

a叫做比的前项，b叫做比的后项。

说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。

ac3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如 b dac4、比例外项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外项。

ac5、比例内项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中b、c 叫做比例内项。

ac6、第四比例项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中， d 叫a、b、 c 的第四比例项。

ab7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为 b a（或a:b ＝b:c 时，我们把b叫做 a 和 d 的比例中项。

8. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 a c（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线bd 段。

（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）2）比例性质acad bc1. 基本性质 :bd（两外项的积等于两内项积）a cb d2. 反比性b d a c （把比的前项、后项交换）3.更比性质（交换比例的内项或外项）：a b，（交换内项） cdcd c，（交换外项） db a d b．（同时交换内外项） ca4.合比性质：a c abc d（分子加（减）分母 ,分母不变） b d b d注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间注意：（1）此性质的证明运用了“设 k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．（2）应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．（3）可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．AC1）定义：在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和BC （AC>BC ），如果AB2）黄金分割的几何作图：已知：线段 AB.求作：点 C 使 C 是线段 AB 的黄金分割点发生同样和差变化比例仍成立．如：acbd5. 等比性质：如果badc a ab c cd abcd分子分母分别相加，比值不变.）e m(b d f fnn 0），那么知识点三：黄金分割BC ，AC，AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割2即 AC 2=AB ×BC ，那么称线段点，AC 与 AB 的比叫做黄金比。

初三数学相似三角形典型例题(含问题详解)

初三数学相似三角形（一）相似三角形是初中几何的一个重点，同时也是一个难点，本节复习的目标是：1. 理解线段的比、成比例线段的概念，会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比，了解黄金分割。

2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明，会分线段成已知比。

3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。

4. 能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。

本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。

相似三角形是平面几何的主要内容之一，在中考试题中时常与四边形、圆的知识相结合构成高分值的综合题，题型常以填空、选择、简答或综合出现，分值一般在10%左右，有时也单独成题，形成创新与探索型试题；有利于培养学生的综合素质。

（二）重要知识点介绍： 1. 比例线段的有关概念：在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b cda b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。

把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2=AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。

2. 比例性质： ①基本性质：a b cdad bc =⇔= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d=⇒= ③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b===+++⇒++++++=()03. 平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。

则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF===②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

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1A 2 凝固 3 熔化；凝固
4C
5B
答案呈现
6 非晶体 7D 8C 9 10
夯实基础·逐点练
9 【中考•连云港】质量相同的0 ℃的冰比0 ℃的水冷却效果好，这是因为冰___熔__化___(填物态变化名称)时吸收热量，此过程中冰的温度保__持__不__变__(填“升高”“降低”或“保持不变”)．为几种物质在1标准大气压下的熔点和沸点，下列说法中正确的是( )
物质铁水银酒精钨
熔点/℃ 1 535 －38.8 －117 3 410
沸点/℃ 2 750 357 78 5 927
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11 下列现象中不属于熔化现象的是( B )
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人会制作一种“糖画”，先把糖加热到流体状态，用它画成各种小动物图案，再慢慢晾干变硬，送给小朋友．关于制作“糖画”的全过程，下列表述正确的是( A ) A．糖的物态变化是先熔化后凝固 B．糖的温度一直在增加 C．糖的物态变化是先凝固后熔化 D．晾干变硬是汽化过程
B. 将一个图案放大过程中原有图案和放大图案
C. 某人的侧身照片和正面照片 D. 大小不同的两张同版本的中国地图
解题秘方：紧扣“相似图形的定义”解答.
解：用“排除法”： A ， B ， D 都符合相似图形的定义，因此 A ， B ，D 都是相似图形 . 所以选 C．
感悟新知
归纳
知1－讲
1.“形状相同”是判定相似图形的唯一条件. 2. 两个图形相似是指它们的形状相同，与它们的位置、
∵ AD ∥ BC ，∠ C =60 °，
∴∠ D =180 °➖ ∠ C =120 ° . ∴∠ D ′ =120 °.

中考数学专题特训第十九讲：解直角三角形（含详细参考答案）

中考数学专题特训第十九讲：解直角三角形（含详细参考答案）2013年中考数学专题复习第十九讲解直角三角形【基础知识回顾】一、锐角三角函数定义：在RE△ABC中，∠C=900, ∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，则∠A的正弦可表示为：sinA= ，∠A的余弦可表示为CBA= ∠A的正切：tanA= ，它们弦称为∠A的锐角三角函数【赵老师提醒：1、sinA、∠cosA、tanA表示的是一个整体，是两条线段的比，没有，这些比值只与有关，与直角三角形的无关2、取值范围<sina< cosa<="" tana=""> 】</sina<>【赵老师提醒：1、三个特殊角的三角函数值都是根据定义应用直角三角形性质算出来的，要在理解的基础上结合表格进行记忆2、当时，正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而3、几个特殊关系：⑴sinA+cos2A= ,tanA=sin A⑵若∠A+∠B=900，则sinA= cosA.tanB= 】三、解直角三角形：1、定义：由直角三角形中除直角外的个已知元素，求出另外个未知元素的过程叫解直角三角形2、解直角三角形的依据：RT∠ABC中，∠C900 三边分别为a、b、c⑴三边关系：⑵两锐角关系⑶边角之间的关系：sinA cosA tanAsinB cosB tanB【赵老师提醒：解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是当没有直角三角形时应注意构造直角三角形，再利用相应的边角关系解决】3、解直角三角形应用中的有关概念⑴仰角和俯角：如图：在用上标上仰角和俯角⑵坡度坡角：如图：斜坡AB的垂直度H和水平宽度L的比叫做坡度，用i表示，即i=坡面与水平面得夹角为用字母α表示，则i=h l =⑶方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角如图：OA表示OB表示OC表示（也可称西南方向）3、利用解直角三角形知识解决实际问题的一般步骤：⑴把实际问题抓化为数字问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）⑵根据条件特点选取合适的锐角三角函数去解直角三角形⑶解数学问题答案，从而得到实际问题的答案【赵老师提醒：在解直角三角形实际应用中，先构造符合题意的三角形，解题的关键是弄清在哪个直角三角形中用多少度角的哪种锐角三角函数解决】【重点考点例析】考点一：锐角三角函数的概念例1 （2012?内江）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）A．12B．55C．1010D．255思路分析：利用网格构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义解答．解：如图：连接CD交AB于O，根据网格的特点，CD⊥AB，在Rt△AOC中，CO=2211+=2；AC=2213+=10；则sinA=OCAC=25510=．故选B．点评：本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理，作出辅助线CD并利用网格构造直角三角形是解题的关键．对应训练1．（2012?贵港）在平面直角坐标系中，已知点A（2，1）和点B（3，0），则sin∠AOB 的值等于（）A．55B．52C．32D．121．A考点：锐角三角函数的定义；坐标与图形性质；勾股定理．专题：计算题．分析：过A作AC⊥x轴于C，利用A点坐标为（2，1）可得到OC=2，AC=1，利用勾股定理可计算出OA，然后根据正弦的定义即可得到sin∠AOB的值．解答：解：如图过A作AC⊥x轴于C，∵A点坐标为（2，1），∴OC=2，AC=1，∴OA=22OC AC+=5，∴sin∠AOB=155ACOA==．故选A．点评：本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于这个角的对边与斜边的比值．也考查了点的坐标与勾股定理．考点二：特殊角的三角函数值例2 （2012?孝感）计算：cos245°+tan30°?sin60°=．思路分析：将cos45°=22，tan30°=33，sin60°=32代入即可得出答案．解：cos245°+tan30°?sin60°=12+33×3=12+12=1．故答案为：1．点评：此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，熟练记忆一些特殊角的三角函数值是解答本题的关键．对应训练（2012?南昌）计算：sin30°+cos30°?tan60°．思路分析：分别把各特殊角的三角函数代入，再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可．解：原式=13322+?=1322+=2．点评：本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．考点三：化斜三角形为直角三角形例3 （2012?安徽）如图，在△ABC 中，∠A=30°，∠B=45°，AC=23，求AB 的长．6．思路分析：过C 作CD ⊥AB 于D ，求出∠BCD=∠B ，推出BD=CD ，根据含30度角的直角三角形求出CD ，根据勾股定理求出AD ，相加即可求出答案．解：过C 作CD ⊥AB 于D ，∴∠ADC=∠BDC=90°，∵∠B=45°，∴∠BCD=∠B=45°，∴CD=BD ，∵∠A=30°，AC=23，∴CD=3，∴BD=CD=3，由勾股定理得：AD=22AC CD =3，∴AB=AD+BD=3+3，答：AB 的长是3+3．点评：本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，关键是构造直角三角形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．对应训练3．（2012?重庆）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB=2，求△ABC 的周长．（结果保留根号）3．考点：解直角三角形；三角形内角和定理；等边三角形的性质；勾股定理．专题：计算题．分析：根据等边三角形性质求出∠B=60°，求出∠C=30°，求出BC=4，根据勾股定理求出AC ，相加即可求出答案．解答：解：∵△ABD 是等边三角形，∴∠B=60°，∵∠BAC=90°，∴∠C=180°-90°-60°=30°，∴BC=2AB=4，在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AC=22224223BC AB -=-=，∴△ABC 的周长是AC+BC+AB=23+4+2=6+23．答：△ABC 的周长是6+23．点评：本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形，等边三角形性质，三角形的内角和定理等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力，此题综合性比较强，是一道比较好的题目．考点四：解直角三角形的应用例4 （2012?张家界）黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中∠B=∠D=90°，AB=BC=15千米，CD=32请据此解答如下问题：（1）求该岛的周长和面积；（结果保留整数，参考数据2≈1.414，3≈1.73 ，6≈2.45）（2）求∠ACD 的余弦值．考点：解直角三角形的应用．分析：（1）连接AC ，根据AB=BC=15千米，∠B=90°得到∠BAC=∠ACB=45° AC=152千米，再根据∠D=90°利用勾股定理求得AD 的长后即可求周长和面积；（2）直接利用余弦的定义求解即可．解：（1）连接AC∵AB=BC=15千米，∠B=90° ∴∠BAC=∠ACB=45° AC=152千米又∵∠D=90°∴AD=22 -AC CD =22(152)(32)123-=（千米）∴周长=AB+BC+CD+DA=30+32+123=30+4.242+20.784≈55（千米）面积=S △ABC+18 6 ≈157（平方千米）（2）cos ∠ACD=CD 321==AC 5152点评：本题考查了解直角三角形的应用，与时事相结合提高了同学们解题的兴趣，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解．对应训练6．（2012?益阳）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A处，离益阳大道的距离（AC）为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B处行驶到C处所用的时间为8秒，∠BAC=75°．（1）求B、C两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到1米，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，3≈1.732，60千米/小时≈16.7米/秒）考点：解直角三角形的应用．专题：计算题．分析：（1）由于A到BC的距离为30米，可见∠C=90°，根据75°角的三角函数值求出BC的距离；（2）根据速度=路程÷时间即可得到汽车的速度，与60千米/小时进行比较即可．解答：解：（1）法一：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=75°，AC=30，∴BC=AC?tan∠BAC=30×tan75°≈30×3.732≈112（米）．法二：在BC上取一点D，连接AD，使∠DAB=∠B，则AD=BD，∵∠BAC=75°，∴∠DAB=∠B=15°，∠CDA=30°，在Rt△ACD中，∠ACD=90°，AC=30，∠CDA=30°，∴AD=60，3，3（米）（2）∵此车速度=112÷8=14（米/秒）＜16.7 （米/秒）=60（千米/小时）∴此车没有超过限制速度．点评：本题考查了解直角三角形的应用，理解正切函数的意义是解题的关键．【聚焦山东中考】1．（2012?济南）如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格点上，则tan∠ACB 的值为（）A．13B．12C．22D．31．A考点：锐角三角函数的定义．专题：网格型．分析：结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解．解答：解：由图形知：tan∠ACB=21 63 ，故选A．点评：本题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，关键是掌握锐角三角函数的定义．2．（2012?滨州）把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的正弦函数值（）A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．不能确定2．A分析：由于△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，得到锐角A的大小没改变，根据正弦的定义得到锐角A的正弦函数值也不变．解答：解：因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的正弦函数值也不变．故选A．点评：本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于它的对边与斜边的比值．也考查了相似三角形的判定与性质．3．（2012?烟台）计算：tan45°+ 2cos45°= ．3．2考点：特殊角的三角函数值．分析：首先把特殊角的三角函数值代入，然后进行二次根式的计算即可求解．解答：解：原式=1+2×22=1+1=2．故答案是：2．点评：本题考查了特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角的三角函数值是关键．4．（2012?济宁）在△ABC中，若∠A、∠B满足|cosA- 12|+（sinB-22）2=0，则∠C= ．4．75°考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形内角和定理．分析：首先根据绝对值与偶次幂具有非负性可知cosA- 12=0，sinB-22=0，然后根据特殊角的三角函数值得到∠A、∠B的度数，再根据三角形内角和为180°算出∠C的度数即可．解答：解：∵|cosA-12|+（sinB-22）2=0，∴cosA- 12=0，sinB-22=0，∴cosA=12，sinB=22，∴∠A=60°，∠B=45°，则∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°，故答案为：75°．点评：此题主要考查了非负数的性质，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，关键是要熟练掌握特殊角的三角函数值．中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l 垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD=30°，∠CBD=60°．（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据：3=1.73，2=1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．5．考点：解直角三角形的应用．分析：（1）分别在Rt△ADC与Rt△BDC中，利用正切函数，即可求得AD与BD的长，继而求得AB 的长；（2）由从A到B用时2秒，即可求得这辆校车的速度，比较与40千米/小时的大小，即可确定这辆校车是否超速．解答：解：（1）由題意得，在Rt△ADC中，AD=CD=21 3tan303o=36.33，在Rt△BDC中，BD=CD==7 3tan303o=12.11，则AB=AD-BD=36.33-12.11=24.22≈24.2（米）。

相似三角形的性质及应用--巩固练习(基础--带答案)

相似三角形的性质及应用--知识讲解（基础）【学习目标】1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.【要点梳理】要点一、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.3. 相似三角形周长的比等于相似比∽，则由比例性质可得：344. 相似三角形面积的比等于相似比的平方∽，则分别作出与的高和，则21122=1122ABCA B CBC AD k B C k A DSkS B C A D B C A D'''''''⋅⋅⋅⋅=='''''''''⋅⋅△△要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.要点二、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。

1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.要点诠释：1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．【典型例题】类型一、相似三角形的性质1. △ABC∽△DEF，若△ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一边的长度，你能求出△DEF的另外两边的长度吗？试说明理由.【答案与解析】设另两边长是xcm，ycm，且x＜y.(1)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长5cm线段是对应边时，有，从而x=cm，y=cm.(2)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长6cm线段是对应边时，有，从而x=cm，y=cm.(3)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长7cm线段是对应边时，有，从而x=cm，y=cm.综上所述，△DEF的另外两边的长度应是cm,cm或cm，cm或cm，cm三种可能. 【总结升华】一定要深刻理解“对应”，若题中没有给出图形，要特别注意是否有图形的分类.举一反三【变式】如图，在和中，，，，的周长是24，面积是48，求的周长和面积.【答案】在和中，，.又∵∽，相似比为.的周长为，的面积是.22.如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.【思路点拨】相似三角形对应的高，中线，角分线对应成比例.【答案与解析】∵四边形EFGH是矩形，∴ EH∥BC，∴△AEH∽△ABC.∵ AD⊥BC，∴ AD⊥EH，MD=EF.∵矩形两邻边之比为1：2，设EF=xcm，则EH=2xcm.由相似三角形对应高的比等于相似比，得，∴，∴，∴.∴ EF=6cm，EH=12cm.∴【总结升华】解决有关三角形的内接矩形、内接正方形的计算问题，经常利用相似三角形“对应高的比等于相似比”和“面积比等于相似比的平方”的性质，若图中没有高可以先作出高.举一反三：【变式】有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比.【答案】设原地块为△ABC，地块在甲图上为△A1B1C1，在乙图上为△A2B2C2.∴△ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2且，，∴，∴.类型二、相似三角形的应用3. 如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？【答案与解析】如上图，先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走17m到达D处，使得A、O、D在同一条直线上．那么A、B之间的距离是多少？∵AB⊥BC，CD⊥BC ∴∠ABO=∠DCO=90°又∵∠AOB=∠DOC ∴△AOB∽△DOC. ∴∵BO=50m，CO=10m，CD=17m ∴AB=85m 即河宽为85m．【总结升华】这是一道测量河宽的实际问题，还可以借用相似三角形的对应边的比相等，比例式中四条线段，测出了三条线段的长，必能求出第四条.4. 如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m．(1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么? (2)求古塔的高度．44变【思路点拨】本题考查的是相似三角形的实际应用，要注意的是小明和古塔都与地面垂直，是平行的.【答案与解析】(1)△ABC∽△ADE．∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴∠ACB=∠AED=90°∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE (2)由(1)得△ABC∽△ADE ∴∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m，∴∴DE=16m 即古塔的高度为16m。

中考数学相似三角形复习课件

∴(DB+AD):AD=(2+3):3
即 AB:AD=5:2
B
C
∴AD:AB=2:5
即△ADE与△ABC的相似比为2:5
3.已知三角形甲各边的比为3:4:6，和它相似的三角形乙
的最大边为10cm，则三角形乙的最短边为______cm.
C
A
B
F
解: 设三角形甲为△ABC ，三角形乙为 △DEF，且△DEF的最大边为DE，最短边为EF
AB =AC
，再证明AC、
AD、AB所在的两个三角形相
似。由已知两个三角形有二个
角对应相等，所以两三角形相
似，本题可证。
2. △ABC中，∠ BAC是直角，过斜边中点M而垂直于
斜边BC的直线交CA的延长线于E，交AB于D，连AM.
求证：① △ MAD ～△ MEA ② AM2=MD ·ME
E
分析：已知中与线段有关的条件仅有
解: ∵ DE∥BC
A
∴∠ADE= ∠B,
∠EDC=∠DCB=∠A
① ∵ DE∥BC
DE
∴△ADE ∽ △ABC
② ∵ ∠A= ∠DCB, ∠ADE= ∠B
∴△ADE∽ △CBD
③ ∵ △ADE ∽ △ABC
B
C
△ADE ∽ △CBD
∴ △ABC ∽ △CBD
④ ∵ ∠DCA= ∠DCE, ∠A= ∠EDC
且∠AED= ∠ B，那么△ AED ∽ △ ABC，
从而
AD ()
DE =BC
A
解:∵∠AED=∠B, ∠A=∠A
D E
B
C
∴△AED∽ △ABC（两角对应相等，两三角形相似）

第19讲中考数学总复习(练习题) 解直角三角形的应用

在Rt△ABC中,∵∠ACB=45°,∴AB=BC,
在Rt△ABD中,∵∠ADB=60°,
∴BD=
3
AB=10
3
3 m,
∴CD=BC－BD=(30－10 3)m.
导航
6.(2021·南通)如图,一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向,距
离灯塔50海里的A处,它沿正北方向航行一段时间后,到达位
于灯塔P的北偏东45°方向上的B处,此时B处与灯塔P的距离
为 25 6 海里(结果保留根号).
导航
解析:过P作PC⊥AB于C,如图所示:
由题意得:∠APC=30°,∠BPC=45°,PA=50海里,
PC
在 Rt△APC 中,cos∠APC=PA,
3
∴PC=PA·cos∠APC=50× =25
2
PC
在 Rt△PCB 中,cos∠BPC= ,
PB
PC
25 3
( D )
(参考数据:sin 50°≈0.77;
cos 50°≈0.64;tan 50°≈1.19)
A.69.2米
B.73.1米
C.80.0米
D.85.7米
导航
解析:∵斜坡CD的坡度(或坡比)为i=1:2.4,
∴DE∶CE=5∶12,
∵DE=50米,∴CE=120米,
∵BC=150米,
∴BE=150－120=30(米),
尝试利用所学知识测量河对岸大
树AB的高度,他在点C处测得大树
顶端A的仰角为45°,再从C点出发
沿斜坡走2 米到达斜坡上D点,在点D处测得树顶端A的仰
角为30°,若斜坡CF的坡比为i=1∶3(点E、C、B在同一水平
线上).
(1)求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度;

相似三角形的判定讲义

相似三角形的判定一、知识点讲解判定定理1：如果一个三角形的两个角与另外一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

判定定理2：两边对应相等且夹角对应相等的两个三角形相似。

判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似。

理解：（1）当给出的条件上角为主时，应考虑“两角对应相等”；当给出的条件有边有角时，应例1 （11A 、1对2A C 例2 1A 、∠2∽△MCP 例3 如图，小正方形的边长为1，则下列选项中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（）变式练习：1、在△ABC和△A＇B＇C＇中，AB=3cm，BC=6cm，CA=5cm，A＇B＇=3cm，B＇C＇=2.5cm，A＇C＇=1.5cm，则下列说法中，错误的是（）A、△ABC与△A＇B＇C＇相似B、AB与A＇B＇是对应边C、相似比为2：1D、AB与A＇C＇是对应边2、网格图中每个方格都是边长为1的小正方形，若A、B、C、D、E、F都是格点，试证明：△ABC∽△DEF。

（二）判定定理的运用例4 如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，连接EC，过点E作直线EF交AB于点F。

当EF 与CE满足什么条件时，△AEF与△DCE相似？并说明理由。

变式练习：1、如图，在△ABC中，∠ADE=∠C，则下列等式成立的是（）ADAB23。

求证：FD2=FG1是（A、1个2点E，则3BCD；②AB：）A、1个4A、∠5A、△6A、∠B、∠C、∠C=∠E=30°，AB=8cm，BC=4cm；DF=6cm，FE=3cmD、∠A=∠A＇，且AB·A＇C＇=AC·A＇B＇7、如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1,BD=4，那么AB= 。

8、如图，在□ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形。

第7题第8题第9题第10题第11题9、如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为。

中考一轮复习《第19讲直角三角形》课件

3
ABCD的面积为
.
【解析】连接BE.设AB=3x，则BC=5x，
所以BE= BC=5x，由勾股定理得，AE=4x.
所以ED=x，又AE·ED=4 ，
3
即4x·x= 4 ，x2= 4，
3
3
所以矩形ABCD的面积为3x·5x=15x2=5.
答案：5
【变式训练】
(2014·南充中考)如图，有一矩形纸片ABCD，AB=8，AD=17，将
【规律方法】运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形的三个步骤 1.确定三角形的最长边. 2.计算最长边的平方以及其他两边的平方和. 3.判断最长边的平方是否与其他两边的平方和相等，若相等，则此三角形为直角三角形，否则不是直角三角形.
【真题专练】
1.(2014·滨州中考)下列四组线段中，可以构成直角三角形的
此矩形纸片折叠，使顶点A落在BC边的A′处，折痕所在直线同
时经过边 AB ， AD( 包括端点 ) ，设 BA′=x ，则 x 的取值范围
是
.
【解析】当折痕经过点B时，x取得最大值，此时BA′=BA=8；当折痕经过点D时，x取得最小值，此时在Rt△DC A′中，由勾股定理可得BA′=15，∴BA′=2. 答案：2≤x≤8
命题新视角用勾股定理解展开与折叠问题
【例】(2013· 山西中考 ) 如图，在矩形纸片 ABCD 中， AB=12 ，
BC=5，点E在AB上，将△DAE沿DE折叠，使点A落在对角线BD上
的点A′处，则AE的长为
.
【审题视点】
【真题专练】
1.(2013·资阳中考)如图，点E在正方形
ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，

相似三角形中考复习(知识点+题型分类练习)

相似三角形一、知识概述1.平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。

2.平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

3.相似三角形的定义对应边成比例、对应角相等的两个三角形叫做相似三角形．4.相似三角形的基本性质①相似三角形的对应边成比例、对应角相等．②相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

③相似三角形的周长比等于相似比④面积比等于相似比的平方温馨提示：①全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比，即相似比为k，则△A′B′C′∽△ABC的相似比，当且仅当它们全等时，才有k=k′=1．③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出．5. 相似三角形的判定定理①平行于三角形一边的直线和其他两边或其延长线相交，所得的三角形与原三角形相似；②三边对应成比例的两个三角形相似；③两角对应相等的两个三角形相似；④两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

温馨提示：（1）判定三角形相似的几条思路：①条件中若有平行，可采用判定定理1；②条件中若有一对角相等(包括隐含的公共角或对顶角)，可再找一对角相等或找夹边对应成比例；③条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等．④条件中若有等腰关系，可找顶角相等或底角相等，也可找腰和底对应成比例。

（2）在综合题中，注意相似知识的灵活运用，并熟练掌握线段代换、等比代换、等量代换技巧的应用，培养综合运用知识的能力。

（3）运用相似的知识解决一些实际问题，要能够在理解题意的基础上，把它转化为纯数学知识的问题，要注意培养当数学建模的思想。

图形的相似_全章教案(含配套课时练习) 精品

第二十七章“图形的相似”教材分析在教科书前面，已经研究图形的全等，也研究了一些图形的变换，如平移、轴对称、旋转等，本章将在前面的基础上进一步研究一种变换──相似。

研究相似变换的性质，相似三角形的判定等，并进一步研究一种特殊的相似变换──位似。

结合一些图形性质的探索、证明等，进一步发展学生的探究能力，培养学生的逻辑思维能力等。

本章共安排三个小节和两个选学内容，教学时间大约需要13课时，具体安排如下（仅供参考）：27.1 图形的相似2课时27.2 相似三角形6课时27.3 位似3课时数学活动小结2课时一、教科书内容和课程学习目标（一）本章知识结构框图本章知识结构如下图所示：（二）教科书内容在前面，我们已经学过了图形的全等和全等三角形的有关知识，也研究了几种图形的全等变换，“全等”是图形间的一种关系，具有这种关系的两个图形叠合在一起，能够完全重合，也就是它们的形状、大小完全相同。

“相似”也是指图形间的一种相互关系，但它与“全等”不同，这两个图形仅仅形状相同，大小不一定相同，其中一个图形可以看成是另一个图形按一定比例放大或缩小而成的，这种变换是相似变换。

当放大或缩小的比例为1时，这两个图形就是全等的，全等是相似的一种特殊情况。

从这个意义上讲，研究相似比研究全等更具有一般性，所以这一章所研究的问题实际上是前面研究图形的全等和一些全等变换基础上的拓广和发展。

在后面，我们还要学习“锐角三角函数”和“投影与视图”的知识，学习这些内容，都要用到相似的知识。

在物理中，学习力学、光学等，也都要用到相似的知识。

因此这一章的内容也是今后学习所必须的基础知识。

另外，在实际生活中，在建筑设计、测量、绘图等许多方面，也都要用到相似的有关知识。

因此这一章内容对于学生今后从事各种实际工作也具有重要作用。

在这套教科书中，“相似”的内容安排在“圆”之后，主要是出于以下几点考虑：首先，在课程标准中，相似是作为图形的一种变换提出来的，而它又是在全等变换基础上的拓展，所以教科书是先安排的的平移、轴对称、旋转等变换，后安排相似变换，而研究圆的一些性质，又与旋转变换关系密切，因此把圆紧接着安排在了旋转之后。

(完整版)相似三角形知识点归纳(全)

《相似三角形》知识点归纳
知识点 1 有关相似形的概念
(1) 形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形
.
(2) 如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多
边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比 ( 相似系数 ) ．
知识点 2 比例线段的相关概念、比例的性质
．相似三角形对应边的比叫做相似比 ( 或相
（2）三角形相似的判定方法
1、平行法：（图上）平行于三角形一边的直线和其它两边
( 或两边的延长线 ) 相交，所构成的三角形与原三角形相似 .
2、判定定理 1：简述为：两角对应相等，两三角形相似． AA
3、判定定理 2：简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似
（ 1）位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点
.
（ 2）位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形
.
（ 3）位似图形的对应边互相平行或共线 .
（ 4）位似图形具有相似图形的所有性质 .
位似图形的性质：
Байду номын сангаас
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比
．SAS
4 、判定定理 3：简述为：三边对应成比例，两三角形相似．SSS
5、判定定理 4：直角三角形中， “ HL”
全等与相似的比较：
三角形全等
三角形相似
两角夹一边对应相等 (ASA) 两角一对边对应相等 (AAS) 两边及夹角对应相等 (SAS) 三边对应相等 (SSS) 、 (HL ）
两角对应相等两边对应成比例，且夹角相等
B
C
（ 1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” 似系数 ) ．相似三角形对应角相等，对应边成比例．

28.2.1 解直角三角形课件 2024-2025学年数学九年级下册人教版

tan A＝∠∠AA 的的对邻边边＝ab
知1－讲
图示
感悟新知
知1－练
例 1 根据下列所给条件解直角三角形，不能求解的是( )
①已知一直角边及其对角；②已知两锐角；③已知两
直角边；④已知斜边和一锐角；⑤已知一直角边和
斜边.
A. ②③
B. ②④
C. 只有②
D. ②④⑤
感悟新知
知1－练
解题秘方：紧扣解直角三角形中“知二求三”的特征进行解答. 解：①③④⑤能够求解，②不能求解. 答案：C
知2－练
解：在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°，AC＝2 3，BC＝6， ∴AB＝ AC2＋BC2＝4 3， tan B＝ABCC＝263＝ 33， ∴∠B＝30°.∴∠A＝90°－30°＝60°.
感悟新知
例 3 根据下列条件，解直角三角形：
知2－练
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90 °，∠A，∠B，∠C所对的边
对乘正切.
“有斜求对乘正弦”的意思是：在一个直角三角形中，
对一个锐角而言，如果已知斜边长，要求该锐角的对边长，
那么就用斜边长乘该锐角的正弦值，其他的意思可类推.
感悟新知
例 2 根据下列条件，解直角三角形：
知2－练
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边
分别为a，b，c，a＝20，c＝20 2；
续表图形
Rt△ABC
知2－讲
已知条件
解法
一边和一
一直角边和一锐角
一锐角与邻边 (如∠A，b)
一锐角与对边 (如∠A，a)
∠ B ＝ 90° － ∠ A ； a ＝
b·tan A；c＝cosb A
∠ B ＝ 90° － ∠ A ； b ＝

《相似三角形》完整版教学课件

易错点及注意事项
易错点
在判定两个三角形是否相似时，容易忽略对应角和对应边的关系，导致判断错误。
注意事项
在解答相似三角形问题时，要注意单位统一和比例关系的正确应用，避免计算错误。
拓展知识点介绍
射影定理
在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
、建筑物等的高度。
又如，利用相似三角形的性质，可以测量河流的宽度或海峡的宽
度等。
求解比例尺问题
比例尺是一种表示实际距离与地图上距离之间比例关系的工具。
例如，已知比例尺和地图上的距离，可以计算出实际的距离；反之，已知实际距离和比例尺，也可以计算出地图上的距离。
利用相似三角形的性质，可以通过比例尺求解实际距离或地图上距离。
相似比概念
相似比
相似三角形对应边的比值叫做相似比。
性质
相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方。
应用举例
利用相似三角形测量高度
01
通过构造相似三角形，可以测量出建筑物、山峰等高大物体的
高度。
利用相似三角形证明几何题
02
在几何证明题中，经常需要利用相似三角形的性质来证明线段
或角的相等或比例关系。
对应边与相似比关系
在相似三角形中，对应边的长度之比等于相似比。通过已知的两边长度，可以计算出相似比，进而求出第三边的长度。
面积比与相似比关系
面积比等于相似比的平方
相似三角形的面积之比等于相似比的平方。这是因为在相似三角形中，面积与对应边长度的平方成正比。
利用面积过开方运算求出它们的相似比。
性质应用举例

相似三角形的判定

相似三⾓形的判定相似三⾓形的判定⼀周强化⼀、知识概述l、相似三⾓形(1)定义：对应⾓相等，对应边的⽐相等的三⾓形，叫做相似三⾓形．(2)相似符号：相似⽤符号“∽”表⽰，读作“相似于”．(3)相似特征：两个三⾓形的形状⼀样，但⼤⼩不⼀定⼀样．(4)相似性质：相似三⾓形对应⾓相等，对应边的⽐相等．(5)相似⽐：相似三⾓形对应边的⽐叫做相似⽐(或相似系数)．2、相似三⾓形的基本定理 (1)定理：平⾏于三⾓形⼀边的直线和其他两边(或两边延长线)相交所构成的三⾓形与原三⾓形相似． (2)定理的基本图形，如图所⽰．∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE．3、相似三⾓形的判定⽅法 (1)定义法：对应⾓相等，对应边的⽐相等的两个三⾓形相似． (2)平⾏法：平⾏于三⾓形⼀边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三⾓形与原三⾓形相似． (3)判定定理1：如果两个三⾓形的三组对应边的⽐相等，那么这两个三⾓形相似． (4)判定定理2：如果两个三⾓形的两组对应边的⽐相等，并且相应的夹⾓相等，那么这两个三⾓形相似． (5)判定定理3：如果⼀个三⾓形的两个⾓与另⼀个三⾓形的两个⾓对应相等，那么这两个三⾓形相似．⼆、重难点知识讲解1、记两个三⾓形相似时，通常把表⽰对应顶点的字母写在对应位置上，这样写⽐较容易找到相似三⾓形的对应⾓和对应边；②与全等三⾓形对应⾓(边)的识别有类似之处，相等的对应⾓所对的边是成⽐例的对应边；反之成⽐例的对应边所对的⾓是相等的对应⾓．2、相似三⾓形的相似⽐是有顺序的．如：△ABC∽△A′B′C′，它们的相似⽐为k，则，如果写成△A′B′C′∽△ABC，它们的相似⽐为k′，，因此，．3、全等三⾓形是相似⽐为1的相似三⾓形，但相似三⾓形并不⼀定是全等三⾓形．4、传递性：若△ABC∽△A′B′C′，且△A′B′C′∽△A″B″C″，则△ABC∽△A″B″C″．5、判定定理1和全等三⾓形的“边边边”定理类似，即三组对应边的⽐相等，就可以判定两个三⾓形相似．6、当两个三⾓形有两组对应边的⽐相等时，可考虑⽤判定定理2证明两个三⾓形相似；定理可类⽐全等三⾓形的“边⾓边”定理，要特别注意“夹⾓”的含义，⼀定要扣住“对应”⼆字，写三⾓形相似时要把对应顶点写在对应的位置上．7、判定定理3是判定三⾓形相似的常⽤的⽅法．在两个三⾓形中，只要满⾜两个⾓对应相等，那么这两个三⾓形相似，证明时，关键是寻找对应⾓；⼀般地，公共⾓、对顶⾓、同⾓的余⾓(或补⾓)都是相等的，在证明过程中要特别注意．8、有关三⾓形的相似的基本图形．（1）平⾏线型(如图)（2）双直⾓三⾓形中的相似三⾓形(如图)△ABC∽△DBA，△ABC∽△DAC，△ABD∽△CADAB2=BD·BC，AC2=CD·CB，AD2=BD·DC三、典型例题讲解例1、如图，△AOB与△COD相似，∠A=∠C，下列各式正确的有（　）①∠B=∠D，②，③，④，⑤．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个分析： ∵∠A=∠C，∠AOB=∠COD(对顶⾓相等)， ∴∠B=∠D，∴△AOB与△COD的对应顶点是A与C、B与D、O与O，应记作△AOB∽△COD， ∴，故只有①⑤正确．解：C反思：解这类问题的关键是找到正确的对应⾓与对应边．例2、已知△ABC与△A′B′C′中，能确定这两个三⾓形相似的条件是（　）①∠B=∠B′=75°，∠C=50°，∠A′=55°；②∠A=120°，AB=7cm，AC=14cm，∠A′=120°，A′B′=3cm，A′C′=6cm；③AB=6，BC=5，AC=8，，B′C′=10，．A．①②③ B．①②C．②③ D．①③分析：①在△ABC中，∵∠B=75°，∠C=50°，∴∠A=180°－∠B－∠C=55°．∴∠A=∠A′=55°，⼜∵∠B=∠B′=75°，∴△ABC∽△A′B′C′．②在△ABC和△A′B′C′中，，⼜∵∠A=∠A′=120°，∴△ABC∽△A′B′C′．③在△ABC和△A′B′C′中，，，所以△ABC∽△B′C′A′．解：A反思：对于①容易错误地认为∠C≠∠A′，⽽只有∠B=∠B′，所以△ABC不相似于△A′B′C′；对于③容易错误地认为，所以△ABC不相似于△A′B′C′．同时，还会出现将两个三⾓形相似记为△ABC∽△A′B′C′，使对应顶点没有写在对应的位置上，因⽽误选B．例3、如图，点E是△ABC形外⼀点，D在BE上，且∠BAD=20°，，求∠EBC的度数．分析：欲求∠EBC的度数，可先证△ABC∽△ADE，得到∠ABC=∠ADE，进⽽可得∠BAD=∠EBC．由已知条件，三组对应边的⽐相等的两个三⾓形相似．解： ∵，∴△ABC∽△ADE． ∴∠ADE=∠ABC．即∠ABD＋∠BAD=∠EBC＋∠ABD． ∴∠BAD=∠EBC．⼜∵∠BAD=20°，∴∠EBC=20°．反思：遇到两个三⾓形有两组对应边的⽐相等时，可考虑⽤判定定理1或定理2证明相似，若找到它们的夹⾓相等，则⽤定理2，若能发现第三边的⽐也相等，则⽤定理1．例4、已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC的中点，E为AC上⼀点，点G在BE上，连结DG并延长交AE于F，若∠FGE=45°，（1）求证：BD·BC=BG·BE；（2）求证：AG⊥BE；（3）若E为AC的中点，求EF﹕FD的值.分析：这是⼀道综合考查相似三⾓形有关性质和判定的综合题.对于（1）我们可以将等积式化为⽐例式，然后⽤“三点定形法”找三⾓形，即四条线段分别在△GBD和△CBE中，再证明这两个三⾓形相似.∵∠BGD=∠FGE=45°=∠C，∠GBD=∠CBE，故问题得证. 对于（2），要证AG⊥BE，即证∠BGA=90°，直接证⾮常困难，注意到∠BAE=90°，如果能证∠BGA=∠BAE问题就解决了，故可证△ABG∽△EBA.因为∠ABG=∠EBA，只须证，⽽Rt△ABC,AB=AC,D为BC的中点，∴AD⊥BC,∴AB2=BD·BC，由（1）可知BD·BC=BG·BE，∴AB2=BG·BE，故问题获解. 对于（3）是求两条线段的⽐，可仿（1）可证得△FGE∽△FCD，∴因为AB⊥AC，AG⊥BE，∴△AGE∽△BGA∽△BAE，∵AB=AC，E为AC的中点，所以从⽽可推得，即EF﹕FD=1﹕答案：（1）证明：∵∠BGD=∠FGE=45°=∠C，∠GBD=∠CBE， ∴△GBD∽△CBE，∴，即BD·BC=BG·BE．（2）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC,D为BC的中点， ∴AD⊥BC,∴AB2=BD·BC，由（1）知BD·BC=BG·BE．∴AB2=BG·BE，即． ∵∠ABG=∠EBA，△ABG∽△EBA.∴∠BGA=∠BAE，∴AG⊥BE．（3）EF﹕FD=1﹕- 返回 -。

中考专题复习相似三角形(模型-辅助线)

相似三角形（模型-辅助线）一、本章概述相似作为几何学习的一个重要内容，大量的出现在中考试卷中，它与勾股定理和锐角三角形函数并列为初中几何计算三大工具。

本章重点讲解相似的几个模型，如A字形，8字形，一线三等角等模型。

二、知识回顾1、图形的相似（1）相似图形：形状相同的图形叫做相似图形（2）相似多边形：对应角相等，对应边的比相等。

相似多边形对应边的比为相似比。

2.相似三角形（3）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等。

（4）相似三角形的判定①预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等。

②判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

③传递性定理：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

（5）相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等，对应边成比例②相似三角形的周长的比等于相似比；对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。

3.位似（6）多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。

（7）在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k。

1.相似基本模型一、本节概述本节重点讲解“A”字形和“8”字形的应用和构造方法，这两个模型是相似三角形中最为基础的两个模型，但应用十分广泛。

1.“A”字形相似2. ”8”字形相似二、典例精析能力目标：1.熟练掌握正A型相似和正8型相似模型：2.借助平行线构造正A型相似和正8型相似模型解决相关问题。

【例1】已知：图下图，AD（1）若E为AD的中点，射线CE交AB于F，则（2）若E为AD上一点，且,射线CE交AB于F，则思维探究：方法一：通过平行线构造相似解：过A点作AP//BC交CF于点P,“8”字模型APCD方法二：过A作AH//CF交BC延长线于H，则方法三：作DK//CF交AB于K,则方法四：作DM//AB交CF于M，则AF=DM,( 2 ) 构造平行线，通过线段比解决问题作BP//AD交CF于点P,大家可尝试过其他点作平行线，解答中用了A点和D点，其它的同学们自己尝试。

相似三角形的性质一课件

角边相似
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的一对对应角相等，并且这两个角的夹边成比例，则这两个三角形相似。
如果两个三角形的三组对应边成比例，则这两个三角形相似。
性质与定理
对应角相等
相似三角形对应角相等，即 $angle A_1 = angle A_2, angle B_1 = angle B_2, angle C_1 = angle C_2$。
对应边成比例
如果两个三角形相似，则它们的对应边长之间存在一定的比例关系。
这个比例称为相似比，是判定两个三角形是否相似的重要依据。
对应边之间的比例关系可以用数学公式表示，即 a/b = c/d = ... = k，其中 a, b, c, d, ... 是对应边的长度，k 是相似比。
面积比等于相似比的平方
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相似三角形的性质一ppt课
件
• 相似三角形的定义 • 相似三角形的性质 • 相似三角形的应用 • 相似三角形的判定定理 • 相似三角形的性质定理 • 相似三角形的综合应用
目录
CONTENTS
01
相似三角形的定义
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
应用。
在数学竞赛中的应用
相似三角形是数学竞赛中常见的知识点之一，对于提高学生的数学竞赛成绩有着重要的作用。
在数学竞赛中，相似三角形常常与其它知识点结合，形成综合性题目，考察学生的数学综合素质。
掌握相似三角形的性质和判定方法，对于解决数学竞赛中的难题和压轴题至关重要。
THANKS
感谢观看
04
相似三角形的判定定理
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW

苏科版九年级下册数学教学课件第6章图形的相似第5课时三角形相似的判定及三角形的重心

AD=6，GE=3，则AG= 4 ，BE= 9 .
【解析】如图，连接DE，由G为重心，可知
DE为中位线，则DE ∥AB，且 DE 1 AB ，
2
易得△DEG∽△ABG，
可得EG 1 BG, DG 1 AG ，
则
AG
2
2 AD
4
2
，BE=3GE=9.
3
B
A
E G
D
C
CONTENTS4Biblioteka 三角形相似的判定及三角形的重心
的外接圆于点E.△ABE与△CDE相似吗?为什么?
解：△ABE和△CDE相似.
A
∵AB=AC， ∴AB = AC， ∴∠AEB=∠AEC. 在△ABE和△CDE中，
O
B
D
C
E
∵∠AEB=∠DEC，∠BAE=∠DCE，
∴△ABE∽△CDE (两角分别相等的两个三角形相似) .
三角形相似的判定
判定两个三角形相似基本思路：（1）若已知一对等角，则可找另一对等角，或说明夹已知等角的两边成比例. （2）若已知两边成比例，则可说明其夹角相等，或说明第三边也成比例. （3）若出现平行线，则利用“平行于三角形一边的直线与其他两边 (或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似”来判定.
三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点距离的两倍．
同样可得△G'DE∞△G'AB，
G'E' 1 G'B'. 2
于是，点G'与点G重合，
三角形的三条中线相交于一点.
B
F
E
G'
D
C
三角形的重心
定义：

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