概率(文科)
高考概率统计文科知识点
高考概率统计文科知识点在文科高考中，概率统计是一个重要的考试内容。
理解和掌握概率统计的知识点对于应对考试至关重要。
下面将介绍一些高考概率统计的文科知识点。
一、概率的基本概念概率是指在某个事物中某个事件发生的可能性大小。
在高考文科中，概率的基本概念主要包括样本空间、随机事件、事件的概率等。
1.1 样本空间样本空间是指一个试验所有可能结果的集合。
例如，一次掷骰子的样本空间为S={1,2,3,4,5,6}。
1.2 随机事件随机事件是指在试验中可能发生的事件。
在样本空间中取一个子集，就表示一个随机事件。
例如，掷骰子出现奇数点数可以表示为A={1,3,5}。
1.3 事件的概率事件的概率是指事件发生的可能性大小。
事件A的概率可以用P(A)表示。
例如，在掷骰子实验中，掷出1的概率为P(A)=1/6。
二、基本概率公式高考文科中，基本概率公式主要包括加法公式和乘法公式。
2.1 加法公式加法公式是指对于两个不相容事件A和B，它们的概率之和等于事件A或B发生的概率。
公式如下：P(A∪B) = P(A) + P(B)，其中∪表示并集。
2.2 乘法公式乘法公式是指对于两个独立事件A和B，它们同时发生的概率等于事件A发生的概率乘事件B发生的概率。
公式如下：P(A∩B) = P(A) * P(B)，其中∩表示交集。
三、条件概率和独立性在概率统计中，条件概率和独立性是两个重要的概念。
3.1 条件概率条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
设A和B是两个事件，且P(A)>0，那么B在A发生的条件下的概率记作P(B|A)，计算公式为：P(B|A) = P(A∩B) / P(A)。
3.2 独立性两个事件A和B相互独立，是指事件A的发生与否不影响事件B的发生与否。
具体而言，如果满足以下条件，则称事件A和B是独立事件：P(A∩B) = P(A) * P(B)。
四、排列组合在高考概率统计中，排列组合是非常重要的知识点。
高三文科概率统计知识点
高三文科概率统计知识点概率统计是高中数学中的一门重要课程，它是数学的一个分支，研究随机现象的规律。
在高三文科阶段，概率统计作为数学的一个重要组成部分，对于学生的综合素质和学习能力有着重要的影响。
下面将介绍高三文科概率统计的几个重要知识点。
一、样本空间和事件在概率统计中，样本空间是指一个随机试验所有可能结果组成的集合。
在高三文科中，我们常常需要根据实际问题来确定样本空间。
而事件则是样本空间的一个子集，表示我们关心的某个结果。
在计算概率时，我们需要根据样本空间和事件来确定概率的计算方法。
二、频率和概率频率是指某个事件在重复试验中出现的次数与试验总次数之比，它是一种统计性的概念。
而概率是指某个事件在一次试验中出现的可能性大小，它是一种理论性的概念。
在高三文科概率统计中，我们需要根据频率来估计概率，并通过大量试验的结果来验证概率的准确性。
三、事件的运算事件的运算是指对事件进行组合、分解和取反等操作。
在高三文科概率统计中，我们常常需要根据实际问题对事件进行逻辑运算，以求得出我们所关心的事件。
常见的事件运算包括并、交、差和补等。
四、排列组合排列是指从给定的一组元素中取出若干个元素按照一定的顺序进行排列。
组合是指从给定的一组元素中取出若干个元素进行组合，不考虑顺序。
在高三文科概率统计中，我们常常需要运用排列组合的知识来解决实际问题，如计算事件的总数、计算可能的排列或组合等。
五、条件概率和独立事件条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
在高三文科概率统计中，我们常常需要根据已知条件来计算事件的概率。
独立事件是指事件A和事件B相互独立，即事件A的发生与事件B的发生没有任何关系。
在计算独立事件的概率时，我们可以直接将事件A和事件B的概率相乘。
六、期望和方差期望是指随机变量的平均值，表示了随机变量的平均水平。
方差是指随机变量的离散程度，表示了随机变量的波动程度。
在高三文科概率统计中，我们常常需要计算期望和方差，以评估随机现象的规律性和预测能力。
概率统计文科知识点总结
概率统计文科知识点总结概率统计的知识点涉及很多，包括基本概率论、统计学基础、抽样调查、推断统计、多元统计分析等等。
同时，概率统计还包括了一系列数学工具和模型，如随机变量、概率分布、统计推断和假设检验等内容。
下面我们来具体总结一下文科领域中概率统计的知识点。
1.基本概率论概率论是概率统计的基础，在文科领域中，基本概率论的内容包括了概率的定义、事件的概率、条件概率、独立事件、概率分布等内容。
了解基本概率论可以让文科学生更好地理解概率统计的相关知识，对于后续的学习具有重要的作用。
2.统计学基础统计学基础是概率统计的另一个重要内容，包括了统计量、样本集中趋势、样本离散程度、概率分布等内容。
统计学基础是文科领域中概率统计的重要组成部分，它主要用来描述和分析文科数据的规律和特征。
3.抽样调查抽样调查是文科领域中概率统计的一个重要应用，它主要用来获取文科数据样本。
在实际的文科研究中，抽样调查是获取数据的常用方法，通过对抽样调查的了解可以帮助文科学生更好地进行文科研究和分析。
4.推断统计推断统计是文科领域中概率统计的一个重要内容，它主要用来从样本数据中推断总体数据的特征和规律。
推断统计包括了点估计、区间估计、假设检验等内容，通过推断统计可以帮助文科学生更好地分析文科数据。
5.多元统计分析多元统计分析是文科领域中概率统计的一个拓展内容，它主要用来分析多个变量之间的关系。
在文科研究中，多元统计分析可以帮助文科学生更好地理解文科数据之间的关系，对于文科研究具有重要的意义。
除了上述内容之外，文科领域中概率统计还包括了一系列数学工具和模型，如随机变量、概率分布、统计推断和假设检验等内容。
这些内容都是文科学生在概率统计学习中需要重点掌握的知识点。
总的来说，概率统计在文科领域中有着重要的地位，它不仅可以帮助文科学生更好地理解文科数据的规律和特征，还可以帮助文科学生更好地进行文科研究和分析。
因此，文科学生在学习概率统计的过程中需要重点掌握上述知识点，通过理论学习和实际应用，不断提高自己的概率统计分析能力。
高三文科数学概率知识点
高三文科数学概率知识点概率是数学中一个重要的分支，也是高中数学中的一门重要课程，它研究的是不确定事件发生的可能性。
在高三文科数学中，概率作为其中的一部分内容，涵盖了很多重要的知识点。
本文将针对高三文科数学中的概率知识点进行详细论述。
一、基本概率规则在概率的计算中，我们首先要掌握的是基本概率规则。
基本概率规则包括等可能概型、互斥事件与对立事件等概念。
等可能概型指的是实验中每个基本结果发生的概率相等的情况。
例如，掷一个均匀的六面骰子，每个面出现的概率都是1/6。
互斥事件指的是两个事件不能同时发生的情况。
例如，投篮比赛中不同队员投进的概率是互斥事件。
对立事件指的是两个事件至少有一个发生的情况。
例如，掷一个均匀的六面骰子，出现奇数点数和出现偶数点数是对立事件。
二、概率计算方法在计算概率时，我们有多种方法可供选择，如频率法、古典概型法、几何概型法等。
频率法是通过重复实验的统计结果来估计概率。
例如，我们可以通过掷一枚硬币多次，统计正面朝上的次数来估计正反面朝上的概率。
古典概型法适用于每个基本结果发生的概率相等的情况。
例如，两个均匀的骰子同时掷出，计算两个骰子之和为7的概率。
几何概型法适用于几何空间问题。
例如，在一个圆盘内随机放置一个点，计算该点落在一个扇形区域内的概率。
三、条件概率条件概率是指在某个条件下事件发生的概率。
例如，某次抽奖中，已知甲中奖的概率为1/10，已知乙中奖的概率为1/5，求在乙中奖的条件下，甲中奖的概率。
条件概率的计算方法可以通过乘法定理来实现。
乘法定理指出，如果事件A和事件B相互独立，那么事件A和事件B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B在事件A发生条件下发生的概率。
四、独立事件独立事件是指两个事件的发生与否相互独立，即一个事件的发生不会影响到另一个事件的发生。
例如，掷一颗骰子，第一次掷得6点，第二次掷得1点的概率。
独立事件的概率计算方法可以通过乘法定理来实现。
乘法定理指出，如果事件A和事件B相互独立，那么事件A和事件B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率。
高中文科数学概率知识点
概率1.随机事件的概率及概率的意义1、基本概念：（1）频数与频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试 （2）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA 与试验总次数n 的比值n n A，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。
我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。
频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率2.概率的基本性质2.1概率的基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；2）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；3.古典概型及随机数的产生（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。
（2）古典概型的解题步骤；①求出总的基本事件数；②求出事件A 所包含的基本事件数，然后利用公式P （A ）=总的基本事件个数包含的基本事件数A4.几何概型及均匀随机数的产生基本概念：（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；（2）几何概型的概率公式：P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A ；5.分层抽样先将总体中的所有单位按照某种特征或标志（性别、年龄等）划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本。
两种方法：1．先以分层变量将总体划分为若干层，再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。
2．先以分层变量将总体划分为若干层，再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列，最后用系统抽样的方法抽取样本。
文科高中概率知识点总结
文科高中概率知识点总结一、基本概念1.1 概率的定义概率是指某种事件发生的可能性大小。
在数学上，概率可以用一个介于0和1之间的数字来表示，0表示事件不可能发生，1表示事件一定会发生。
1.2 试验与样本空间试验是指进行的某种随机事件，样本空间是指试验的所有可能结果的集合。
1.3 事件与事件的概率事件是指在一次试验中可能发生的某种结果，事件的概率是指该事件发生的可能性大小。
二、概率的性质2.1 非负性事件的概率是非负的，即概率大于等于0。
2.2 规范性事件的总体概率是1，即所有可能事件发生的总和为1。
2.3 可列可加性对于互不相容的事件，它们的概率之和等于各自的概率之和。
三、概率的计算方法3.1 古典概率古典概率适用于试验的所有可能结果都是等可能的情况，概率的计算公式为P(A) =n(A)/n(S)，其中n(A)表示事件A包含的元素个数，n(S)表示样本空间包含的元素个数。
3.2 几何概型概率几何概型概率适用于试验的样本空间呈现出一定的几何形状，概率的计算公式为P(A) =S(A)/S(S)，其中S(A)表示事件A对应的几何图形的面积或体积，S(S)表示整个几何图形的面积或体积。
3.3 组合概率组合概率适用于试验的所有可能结果都是等可能的情况，但事件的发生并不是独立的情况，概率的计算公式为P(A和B) = P(A) × P(B|A)。
3.4 条件概率条件概率是指在已知事件B发生的情况下，事件A发生的概率，概率的计算公式为P(A|B) = P(A和B)/P(B)。
3.5 贝叶斯概率贝叶斯概率是指在已知事件A发生的情况下，事件B发生的概率，概率的计算公式为P(B|A) = P(A|B) × P(B)/P(A)。
四、独立事件与互不相容事件4.1 独立事件两个事件A和B满足P(A和B) = P(A) × P(B)，则称事件A和B是独立事件。
4.2 互不相容事件两个事件A和B满足P(A和B) = 0，则称事件A和B是互不相容事件。
文科数学概率知识点总结
文科数学概率知识点总结概率是数学中一个非常重要的概念，它在实际生活中的运用非常广泛，涉及到诸如赌博、保险、风险管理等方面。
而在文科中，概率理论也是一个非常重要的知识点，尤其在统计学、经济学、社会学等领域中有着广泛的应用。
本文将对文科数学中的概率知识点进行总结，从基础概念到应用技巧，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
一、概率的基本概念1.样本空间概率理论的起点是建立在试验的基础上的。
试验是一个具有确定结果的过程，如掷骰子、抽卡片、抛硬币等。
样本空间是所有可能结果的集合，通常用S表示。
2.事件在样本空间中，可以定义各种事件，事件是样本空间的子集，表示某种特定的结果。
当试验进行时，实际发生了事件E，称为事件E发生，否则称为事件E不发生。
通常用大写字母A、B、C表示。
3.概率概率表示某一事件发生的可能性大小。
通常用P(A)表示事件A发生的概率。
概率的取值范围是[0, 1]，概率为0表示事件不可能发生，概率为1表示事件一定会发生，其他情况表示事件可能发生的程度。
二、概率的计算方法1.古典概率对于样本空间中的每一个事件，如果这些事件的发生是等可能的，那么可以直接用不变等可能性的公式计算概率。
对于均匀分布的样本空间，概率P(A)计算公式为P(A) =n(A)/n(S)，其中n(A)表示事件A的基数，n(S)表示样本空间的基数。
2.几何概率对于连续变量的样本空间，如果事件的发生与其所占的面积（长度、体积）成正比，那么可以用几何概率的方法计算。
其计算公式为P(A) = S(A)/S(S)，其中S(A)表示事件A的面积（长度、体积），S(S)表示样本空间的面积（长度、体积）。
3.频率概率频率概率是由实验统计出的大量实验结果的频率来计算概率。
通常用频率来估计概率。
频率概率是概率的初步估计值，通常可以用大数定理来证明其与理论概率的接近程度。
当已知事件B发生的条件下事件A发生的概率叫做条件概率，记作P(A|B)。
条件概率表示A事件在B事件发生的情况下的发生概率。
高考概率文科知识点
高考概率文科知识点概率是数学中的一个重要概念，也是文科高考数学部分的一项重要内容。
掌握概率的相关知识，可以帮助我们更好地理解和利用随机事件的规律。
下面将介绍文科高考概率的知识点。
一、概率的基本概念概率是描述事件发生可能性的一种数值，在[0,1]之间取值。
如果事件发生的可能性较小，则其概率接近于0；如果事件发生的可能性较大，则其概率接近于1。
同时，所有事件的概率之和为1。
二、随机变量与概率分布随机变量是描述随机事件结果的数学符号。
在概率论中，可以将随机变量分为离散随机变量和连续随机变量。
对于离散随机变量，可以通过概率分布来描述其取值和对应的概率；而对于连续随机变量，则需要使用概率密度函数来描述。
三、概率的运算1.加法原理对于两个互斥事件A和B，其概率的和等于各自概率的和，即P(A∪B) = P(A) + P(B)。
2.乘法原理对于两个独立事件A和B，其概率的乘积等于各自概率的乘积，即P(A∩B) = P(A)×P(B)。
四、条件概率与独立性条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另外一事件发生的概率。
条件概率可以通过以下公式计算：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
当事件A和事件B相互独立时，条件概率的计算会简化为P(A|B) = P(A)。
五、排列与组合排列是指从n个元素中取出m个元素进行有序排列的方式数目，计算公式为A(n,m) = n! / (n-m)!。
组合是指从n个元素中取出m个元素进行无序排列的方式数目，计算公式为C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!))。
六、正态分布正态分布是一种在概率论与统计学中经常出现的概率分布。
在高考中，许多问题可以使用正态分布来进行近似计算。
正态分布的概率密度函数表示为f(x) = (1 / (σ√(2π))) * e^(-((x-μ)^2 / (2σ^2)))，其中μ为均值，σ为标准差。
七、抽样与估计在统计学中，通过对样本进行抽样调查，可以对总体的某些特征进行估计。
高三数学《概率统计(文科)》练习
文科数学《统计与概率》核心知识点与参考练习题一、统计（核心思想：用样本估计总体）1.抽样（每个个体被抽到的概率相等）（1）简单随机抽样：抽签法与随机数表法（2）系统抽样（等距抽样）（3）分层抽样2.用样本估计总体：（1）样本数字特征估计总体：众数、中位数、平均数、方差与标准差（2）样本频率分布估计总体：频率分布直方图与茎叶图3.变量间的相关关系：散点图、正相关、负相关、回归直线方程（最小二乘法）4.独立性检验二、概率（随机事件发生的可能性大小）1.基本概念（1）随机事件A的概率()()1,0∈AP（2）用随机模拟法求概率（用频率来估计概率）（3）互斥事件（对立事件）2.概率模型（1）古典概型（有限等可能）（2）几何概型（无限等可能）三、参考练习题1.某校高一年级有900名学生，其中女生400名.按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为_______ .2.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比是3:3:4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则该从高二年级抽取_____名学生.3.某校老年、中年和青年教师的人数见右表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为_______ .4.已知一组数据5.5,4.5,1.5,8.4,7.4，则该组数据的方差是_____．5.若1,2,3,4，m这五个数的平均数为3，则这五个数的标准差为____.6.重庆市2013年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如右图：则这组数据的中位数是________．7.某高校调查了200名学生每周的晚自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中晚自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30].根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A.56B.60C.120D.1408.（2016四川文）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查. 通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照 [0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5] 分成9组，制成了如图的频率分布直方图. （Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；（Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数.类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计43009.（2015全国Ⅱ文）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频数分布表. A 地区用户满意度评分的频率分布直方图B 地区用户满意度评分的频数分布表 满意度评分分组[50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100]频 数2814106（Ⅰ）作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；B 地区用户满意度评分的频率分布直方图（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：试估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由.10.（2014安徽文）某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）. （Ⅰ）应收集多少位女生的样本数据？（Ⅱ）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2,4]，（4,6]，（6,8]，（8,10]，（10,12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；（Ⅲ）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.附：()()()()()d b c a d c b a bc d a n K ++++-=22满意度评分 低于70分 70分到89分不低于90分 满意度等级不满意满意非常满意()02k K P ≥ 0.10 0.05 0.01 0.005 0k 2.706 3.841 6.635 7.87911.（2014全国Ⅰ文）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组[75，85）[85,95）[95,105）[105,115）[115,125] 频数 6 26 38 22 8（Ⅰ）在下表中作出这些数据的频率分布直方图：（Ⅱ）估计这种产品质量指标值的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅲ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？12.（2014广东文）某车间20名工人年龄数据如下表：（Ⅰ）求这20名工人年龄的众数与极差；（Ⅱ）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；（Ⅲ）求这20名工人年龄的方差.13.（2016江苏）将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是_______ .14.从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为_______ .15.（2016全国乙卷文）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是______ .16.（2016全国丙卷文）小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M、I、N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是________ .17.（2016天津文）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率为21，甲获胜的概率是31，则甲不输的概率为_________ .18.已知5件产品中有2件次品，其余为合格品.现从这5件产品中任选2件，恰有一件次品的概率为_________ .19.某单位N 名员工参加“社区低碳你我他”活动.他们的年龄在25岁至50岁之间.按年龄分区间 [25，30） [30，35） [35，40） [40,45） [45,50]人数 25 a b（Ⅰ）求正整数a ，b ，N 的值；（Ⅱ）现要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？（Ⅲ）在（2）的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率.20.（2016全国Ⅰ文）某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）A.31B.21C.32D.4321.（2016全国Ⅱ文）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ） A.107 B.85 C.83 D.103 22.在区间[-2,3]上随机选取一个数x ，则1≤x 的概率为_____ .23.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是_______ .24.如图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为_________ .25.为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：则y 对x 的线性回归方程为（ ）A .1ˆ-=x yB .1ˆ+=x yC .x y 2188ˆ+= D .176ˆ=y26.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下：根据上表可得回归方程a x b yˆˆˆ+=中的b ˆ为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 A .63.6万元 B .65.5万元 C .67.7万元 D .72.0万元27.随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：年 份 2011 2012 2013 2014 2015 时间代号t 1 2 3 4 5 储蓄存款y （千亿元）567810（Ⅰ）求y 关于t 的回归方程a t b yˆˆˆ+=； （Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2011年至2015年该地区城乡居民储蓄存款的变化情父亲身高x （cm ） 174 176 176 176 178 儿子身高y （cm ）175175176177177广告费用x （万元） 4 2 3 5 销售额y （万元）49263954况，并预测该地区2016年（t =6）的人民币储蓄存款.附：回归方程a t b yˆˆˆ+=中，t b y atn tyt n y t b ni ini ii ˆˆ,ˆ1221-=--=∑∑==.28.甲、乙两所学校高三年级分别有1200人、1000人，为了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样的方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下： 甲校：乙校：（1）计算y x ,的值；（2）若规定考试成绩在[120,150]内为优秀，请分别估计两所学校数学成绩的优秀率； （3）由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为两所学校的数学成绩有差异.参考数据与公式：由列联表中数据计算()()()()()d b c a d c b a bc ad n K ++++-=22；临界值表：29.一次考试中，5名学生的数学、物理成绩如下表所示：（1）要从5名学生中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于90分的概率；（2）根据上表数据作散点图，求y 与x 的线性回归方程（系数精确到0.01）.附：回归直线的方程是：a x b y ˆˆˆ+=，其中()()()x b y ax x y y x x b ni ini iiˆˆ,ˆ121-=---=∑∑==； 90,93==y x ，()()()30,4051251=--=-∑∑==y y x x x x ii ii i .30.为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的500名市民中，随机抽取100名市民，按年龄情况进行统计得到下面的频率分布表和频率分布直方图.（1）求频率分布表中a 、b 的值，并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计有意购车的这500名市民的平均年龄；31.（2016新课标Ⅱ）某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：上年度出险次数0 1 2 3 4 ≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数0 1 2 3 4 ≥5概率0.300.150.200.200.100.05（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；32.袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机分组（岁） 频数 频数[20,25) 5 0.050 [25,30) 200.200 [30,35) a0.350[35,40) 30 b[40,45] 10 0.100 合计1001.000摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为____________ .33.现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，某同学从中任取2道题解答.试求：（1）所取的2道题都是甲类题的概率；（2）所取的2道题不是同一类题的概率.A,两地区分别随机调查了20个用户，得到用34.某公司为了解用户对其产品的满意度，从B户对产品的满意度评分如下：A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；。
高三概率文科知识点
高三概率文科知识点概率是数学中一个重要的分支，在日常生活和社会科学领域中具有广泛的应用。
作为高三文科学习的一部分，了解概率知识点对于培养学生的逻辑思维和决策能力至关重要。
本文将介绍高三文科概率相关的几个重要知识点。
一、概率基本概念概率是指某一事件在所有可能事件中发生的可能性。
通常表示为一个范围在0到1之间的数值，其中0代表不可能发生，1代表必然发生。
对于一个事件A来说，用P(A)表示其概率。
二、概率的计算方法1. 经典概率：当事件的每个结果是等可能发生时，可以用经典概率计算。
例如，一枚公正的硬币，正反两面出现的概率都是1/2。
2. 频率概率：通过实验和观察事件发生的次数来计算概率。
当实验次数趋于无限时，频率概率将趋近于某一固定的值。
3. 主观概率：基于个人主观判断和经验来进行概率计算。
这种方法通常用于没有明确统计数据的情况。
三、概率运算规则1. 事件的互斥：两个事件A和B互斥是指它们不能同时发生。
对于互斥事件来说，它们的概率之和等于它们分别的概率之和。
2. 事件的独立：两个事件A和B相互独立是指它们的发生与否不会相互影响。
对于独立事件来说，它们的联合概率等于它们分别的概率之积。
3. 事件的补事件：对于一个事件A来说，其补事件指的是不发生A的事件，即事件A的对立事件。
事件A和其补事件的概率之和等于1。
四、概率分布概率分布描述了不同事件的概率分布情况，可以通过密度函数、累积分布函数等方式来表示。
在高三文科中，常见的概率分布有以下几种：1. 均匀分布：指在某一区间内，每个值出现的概率相等，通常用于描述随机抽取的情况。
2. 二项分布：适用于只有两个可能结果的事件，如抛硬币、投篮等情况。
该分布可以描述事件成功的次数。
3. 正态分布：也称为高斯分布，特点是具有钟形曲线。
正态分布在社会科学领域中应用广泛，如身高、智力等指标的测量。
4. 泊松分布：适用于描述在某个时间段或区间内，事件发生的次数。
例如，某个时间段内电话呼叫次数、交通事故发生次数等。
概率与统计(文科)
第二讲 概率——古典概型与几何概型
概率知识的考查是近几年新课改后高考命题的一大热点,高 考每年在选择、填空或解答题中都有所体现,由于文科数学后续 课程不再学习概率,文科数学将重点考查概率的意义、古典概型 与几何概型的掌握和运用.在处理概率问题时主要有两种思路:正 向思路和逆向思路.正向思考可对复杂问题进行分解;逆向思考常 使一些复杂问题得到简化.要学会将实际问题转化为古典概型和
[典题例析]
(2014·广东高考)为了解 1 000 名学生的学习情况，采用系统抽
样的方法，从中抽取容量为 40 的样本，则分段的间隔为( )
A．50
B．40
C．25
D．20
解析：由1 40000＝25，可得分段的间隔为 25.故选 C.
2．(人教 B 版教材习题改编)某工厂平均每天生产某种机器零件 大约 10 000 件，要求产品检验员每天抽取 50 件零件，检查 其质量状况，采用系统抽样方法抽取，若抽取的第一组中的 号码为 0010，则第三组抽取的号码为___0_4_1_0__．
几何概型来解决.
古典概型
基础梳理
1. 基本事件
(1) 基本事件的定义:
(2) 一次试验中可能出现的试验结果称为一个基本事件.所有的基本事件都 有有限个,而且是试验中不能再分的最简单的随机事件.
(3)(2) 基本事件的特点:
(4)① 任何两个基本事件互是斥的;
(5)② 任何事件都可以表示成 基本事的件和.
73 58 07 44 39 52 38 79,33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 解析：由随机数表，可以看出前 4 个样本的个体的编号是 331,572,455,068.于是，第 4 个样本个体的编号是 068.
高考文科概率知识点
高考文科概率知识点在高考文科中，概率是一个重要的数学知识点。
掌握了概率的基本概念和计算方法，可以帮助我们解决各种实际问题，也能够在高考中得到更好的成绩。
下面将介绍一些常见的高考文科概率知识点，帮助大家更好地备考。
一、基本概念和性质1.1 随机事件和样本空间在概率理论中，随机事件是指在一次试验中可能发生的事情，而样本空间是指一次试验的所有可能结果组成的集合。
在计算概率时，我们常常需要确定随机事件和样本空间的关系。
1.2 事件的概率事件的概率是指该事件发生的可能性大小。
在概率理论中，我们常用概率的定义来计算事件的概率。
概率的定义包括古典概型、几何概型和统计概型等。
1.3 事件的互斥性和独立性如果两个事件不能同时发生，我们称它们为互斥事件。
而独立事件指的是两个事件发生与否相互不影响。
互斥性和独立性是概率计算中重要的性质，我们需要根据具体情况来判断事件之间的关系。
二、概率的计算方法2.1 古典概率计算在古典概率计算中，我们假设每个基本事件发生的可能性相等。
在计算古典概率时，我们可以利用排列组合的原理，将问题转化为简单的计算。
2.2 几何概率计算几何概率是指基于几何图形的概率计算方法。
在计算几何概率时，我们需要确定样本点的几何位置，然后计算所关心的事件所占的几何面积。
2.3 统计概率计算统计概率是指基于实验数据的概率计算方法。
在计算统计概率时，我们需要进行实验观察，统计事件发生的频率，并利用频率来估计概率。
三、概率的应用3.1 事件的组合与分解在求解复杂事件的概率时，我们可以将事件进行组合与分解。
通过合理地组合和分解事件，可以简化计算，减少出错的可能性。
3.2 条件概率条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，其他事件发生的概率。
在计算条件概率时，我们需要考虑相关事件之间的关系，并根据给定条件进行计算。
3.3 贝叶斯定理贝叶斯定理是一种计算条件概率的方法。
通过贝叶斯定理，我们可以根据已知条件和历史统计数据，来估计事件的概率。
高三文科概率与统计知识点
高三文科概率与统计知识点概率与统计作为数学的一个重要分支，被广泛应用于现实生活中的各个领域。
在高三文科阶段，学生们需要了解概率与统计的基本知识点，并掌握其实际运用能力。
本文将从概率与统计的基础概念、样本空间与事件、频率与概率、概率计算方法以及统计分析方法等几个方面，进行深入的探讨。
一、基础概念概率与统计的基础概念是理解后续知识的重要前提。
概率是事件发生的可能性大小的度量，可以为0到1之间的任意实数。
统计是通过收集、整理、描述和分析数据来得出结论的一种方法。
概率与统计在实际应用中经常结合使用，通过收集和分析数据来预测未来事件的可能性。
二、样本空间与事件在概率与统计中，样本空间是指一个试验所有可能结果的集合。
事件则是样本空间中的子集，表示我们感兴趣的某些结果。
例如，掷一个骰子的样本空间为{1, 2, 3, 4, 5, 6}，事件A为出现偶数点数的结果集合{2, 4, 6}。
事件的概率是指事件发生的可能性大小，可以通过事件在样本空间中的元素个数与样本空间元素个数的比值得出。
三、频率与概率频率与概率是概率与统计的重要概念之一。
频率是指事件发生的相对次数，可以通过实验和观察得到。
频率与概率之间存在着近似关系，即频率越高，概率越接近。
当实验次数趋于无穷大时，频率与概率的值趋于相等。
概率可以由频率近似估计，而频率可以通过大量实验来逼近概率。
四、概率计算方法概率的计算方法有很多种，常用的有古典概型法、几何概型法和条件概率法。
古典概型法适用于样本空间中的每个结果出现的概率相等的情况。
几何概型法适用于样本空间是一个几何对象的情况，如掷骰子、抽球等。
条件概率法适用于样本空间的结果与某个条件有关的情况，如已知某人患病的情况下，另一人患病的概率。
五、统计分析方法统计分析是根据收集到的数据，采用有效的方法进行整理、描述和分析，以得出结论的过程。
常用的统计分析方法包括描述统计和推断统计。
描述统计是通过计算各种统计量（如均值、中位数、众数等）来对数据进行总结和描述。
文科数学高考知识点概率
文科数学高考知识点概率概率是数学中的一个重要分支，也是文科数学高考中的一个重要考点。
概率可以说是一种描述随机性的工具，它可以帮助我们分析和预测各种事件的发生可能性。
在高考中，概率常常和统计一起出现，共同构成了数学的一大门类。
一、概率的基本概念在学习概率之前，我们首先需要了解一些基本的概念。
概率的基本单位是事件，而事件是指某件事情发生或者不发生。
在概率的计算中，我们通常使用事件发生的可能性大小来描述概率的大小。
概率的取值范围是0到1之间，其中0表示不可能事件，而1表示必然事件。
二、概率的计算方法1.古典概型古典概型是最简单的概率计算方法之一。
在古典概型中，我们假设每个样本点出现的机会是相等的，然后通过计算有利事件出现的样本点数目与总样本点数目的比值来计算概率。
2.频率概率频率概率是根据事件发生的频率来计算概率。
通过大量的实验或观察，我们可以统计出事件发生的次数，然后计算事件发生的频率作为概率的近似值。
3.几何概型在几何概型中，我们通常是通过计算几何图形的面积或者长度来求解概率。
几何概型常常应用在正方形、圆形、三角形等几何图形的计算中。
4.条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的前提下，另一个事件发生的概率。
条件概率的计算对于解决一些实际问题非常有用，它能够帮助我们预测在特定条件下事件发生的可能性。
5.全概率全概率是利用分区思想来计算概率的一种方法。
通过将一个事件分解成若干个互斥且穷尽的事件，然后计算各个事件发生的概率并相加，就可以得到整个事件发生的概率。
三、概率的应用概率在现实生活中有着广泛的应用。
在商业领域中，概率可以用于市场调研、销售预测等方面。
在医学领域中，概率可以帮助医生分析疾病的风险和预后。
在金融领域中，概率可以用于投资决策和风险控制。
在运输和物流领域中，概率可以帮助我们进行货物运输和交通流量的规划。
总之，概率在各个领域中都发挥着重要的作用。
结语概率作为一门重要的数学学科，是文科数学高考中的重要考点之一。
高考文科数学概率知识点
高考文科数学概率知识点高考是每个学生都必须面对的大考，而文科数学作为其中一科，其概率知识点则是考生们需要重点掌握的内容之一。
概率是数学中非常重要的一部分，它在现实生活中随处可见。
掌握了概率知识，我们可以更好地理解世界和解决问题。
接下来，就让我们一同来探索一下高考文科数学概率知识的关键点。
一、基本概念概率是指某件事情发生的可能性大小，通常用一个介于0和1之间的数来表示。
0表示不可能事件，而1表示必然事件。
在概率计算中，我们使用统计方法和数学模型来推导出事件发生的概率。
在高考中，我们常见的概念有样本空间、随机事件和事件的概率等。
样本空间是指一个随机试验所有可能结果的集合，用S来表示。
举个简单的例子，掷一枚骰子的结果可以是1、2、3、4、5或6，那么这个样本空间就是{1,2,3,4,5,6}。
而随机事件则是样本空间中的一个子集，通常用A、B、C等大写字母表示。
事件的概率是指某个随机事件发生的可能性大小，用P(A)来表示。
二、概率的计算方法在概率计算中，我们常用的计算方法有频率法、几何法和古典概率等。
频率法是一种通过实验统计来计算概率的方法，它的核心思想是通过大量实验得到事件发生的频率，并将其作为事件概率的近似值。
例如，我们可以掷骰子1000次，记录掷出1的次数，最后用掷出1的次数除以总次数来得到事件发生的概率。
几何法是一种通过图形面积计算概率的方法。
当样本空间为几何图形时，可以通过计算事件所对应区域的面积与样本空间的面积之比来计算概率。
举个例子，如果一个正方形的面积为1，而一个圆的面积为π，那么一个事件发生的概率就是圆的面积除以正方形的面积。
古典概率是一种根据事件的基本概率来计算概率的方法。
它适用于每个结果发生概率相等的情况下。
例如，掷一枚均匀骰子，每个数字出现的概率都是1/6，因此我们可以通过计算某个事件所包含结果的个数除以总结果的个数来得到事件发生的概率。
三、概率的性质和定理在概率计算中，我们还需要了解概率的一些性质和定理，以便更好地解决问题。
高二文科概率知识点及例题
高二文科概率知识点及例题概率是数学中的一个重要分支，它在我们日常生活和学习中都有着广泛的应用。
作为高二文科生，了解和掌握概率的基本知识点对于我们提高数学素养和解决实际问题都具有重要的意义。
本文将介绍高二文科概率的基本知识点及提供一些例题来帮助大家更好地理解。
知识点一：基本概率公式概率可以用来描述某件事情发生的可能性大小。
在概率的计算中，我们通常使用基本概率公式来计算事件发生的概率。
基本概率公式如下：P(A) = 事件A发生的可能性 / 总的可能性知识点二：独立事件和相关事件在概率的计算中，事件之间可以分为两种情况：独立事件和相关事件。
独立事件是指两个事件之间相互独立，一个事件的发生不会影响另一个事件的发生。
相关事件是指两个事件之间存在某种联系，一个事件的发生会影响另一个事件的发生。
知识点三：加法法则加法法则是概率计算中常用的一种方法，它用于计算两个事件联合发生的概率。
加法法则可以分为两种情况：互斥事件和非互斥事件。
互斥事件是指两个事件不能同时发生，而非互斥事件是指两个事件可以同时发生。
知识点四：乘法法则乘法法则是概率计算中另一种常用的方法，它用于计算两个事件同时发生的概率。
乘法法则适用于独立事件和相关事件的计算。
下面是一些例题来帮助大家更好地理解概率的运用：例题一：某班有30名学生，其中15名男生，15名女生。
从中随机选取一名学生，求选中的学生是男生的概率。
解析：题目中给出了总人数30人，其中男生15人，女生15人。
我们需要计算选中学生是男生的概率。
根据基本概率公式，男生被选中的可能性为15/30，即1/2。
因此，选中学生是男生的概率为1/2。
例题二：从一副扑克牌中随机抽取一张牌，求抽到红心的概率。
解析：一副扑克牌共有52张牌，其中红心有13张。
我们需要计算抽到红心的概率。
根据基本概率公式，抽到红心的可能性为13/52，即1/4。
因此，抽到红心的概率为1/4。
例题三：甲、乙两个学生参加一次数学竞赛。
文科概率知识点总结
文科概率知识点总结概率是数学中一个重要的分支，它在各个领域都有广泛的应用。
在文科领域中，概率理论同样扮演着重要的角色。
本文将对文科领域中的概率知识点进行总结，包括基本概率概念、概率分布、条件概率、贝叶斯定理等内容。
一、基本概率概念概率是描述随机事件发生可能性的数学工具。
在文科领域中，概率常常用于描述社会现象、历史事件等的发生可能性。
基本概率概念包括事件、样本空间、事件的概率等。
1.事件事件是指随机试验的结果的集合，通常用大写字母A、B、C等表示。
事件可以是简单事件（只包含一个基本结果）或复合事件（包含多个基本结果）。
2.样本空间样本空间是随机试验的所有可能结果的集合，通常用Ω表示。
样本空间中的每个元素都对应着一个结果。
3.事件的概率事件A的概率通常用P(A)表示，它表示事件A发生的可能性大小。
事件的概率介于0到1之间，0表示事件不可能发生，1表示事件一定发生。
二、概率分布概率分布描述了随机变量的取值与相应概率的关系。
在文科领域中，概率分布经常用于描述调查数据、统计数据等的规律性。
1.离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布通常通过概率质量函数（PMF）来描述。
概率质量函数f(x)定义为P(X=x)，表示随机变量X取值为x的概率。
2.连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布通常通过概率密度函数（PDF）来描述。
概率密度函数f(x)定义为f(x)dx表示在x到x+dx之间取值的概率。
3.期望和方差概率分布的期望E(X)和方差Var(X)分别是描述随机变量取值的中心位置和离散程度的指标。
在文科领域中，期望和方差常用于描述社会现象、人群特征等的规律性。
三、条件概率条件概率是指在给定其他事件发生的条件下，某一事件发生的概率。
在文科领域中，条件概率常用于描述因果关系、相关性等内容。
1.条件概率的定义事件A在事件B发生的条件下的概率表示为P(A|B)，读作“在B的条件下A的概率”。
条件概率可以理解为在已知某一事件发生的情况下，另一事件发生的可能性。
文科概率考查什么？.doc
文科概率考查什么？一、概率部分的主要考点高考考试说明（文科数学）对概率部分的要求是：（1）事件与概率：①了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别；②了解两个互斥事件的概率加法公式。
（2）古典概型：①理解古典概型及其概率计算公式；②会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。
（3）随机数与几何概型：①了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；②了解几何概型的意义。
所以概率部分的主要考点有：（1）随机事件的概率；（2）古典概型；（3）随机数与几何概型。
而且，考试说明里的每一个要求部分都有可能是命题的来源，包括热点，也包括冷点。
二、考情分析概率在高中新课程中，有一定的知识容量，概率（含统计）授课时数多，是高中六大主干知识之一，在高中新课程中有着突出的地位，高考对本块知识的考查力度也是较大的，从近几年新课程的高考试题来看，概率统计一般是1+1的模式，一大一小。
几何概型是高考一个新的热点，并且它是一个重要的知识交汇点，通常会把几何概型与线性规划、解析几何以及其他数学知识综合起来进行考查，且重点考查“长度型”和“面积型”，主要以填空题、选择题的形式出现，试题难度为中、低档，所占分值为5分左右。
古典概型是考查的热点，经常在解答题中与统计一起考查，属中、低档题，以考查基本概念为主，同时注重运算能力与逻辑推理能力的考查。
近年来，背景新颖、知识交汇的题目越来越多，穿插考查合情推理能力和逆向思维能力等，难度可能有所提升，考生应有心理准备。
下面以近几年的新课程高考卷或模拟卷为例，对核心知识点的考查举例说明。
我喜欢纯粹的东西，我不喜欢酒里掺水。
我也这样对待我的生活。
――杜尚我们看似掌握一切，事实上却可能会被任何一种力量击倒。
――戴维?罗特科普夫三、核心考点例题分析1考查随机事件的概率【例1】甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件，那么（）A甲是乙的充分条件但不是必要条件B甲是乙的必要条件但不是充分条件C甲是乙的充要条件D甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件【解析】若A∩B为不可能事件（A∩B=），那么称事件A与事件B互斥；若A∩B为不可能事件，且A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B 互为对立事件。
高考概率问题知识点文科
高考概率问题知识点文科概率是数学中的一门重要分支，也是文科生在高考中常见的考点之一。
概率问题通常涉及到随机事件和可能性的计算，通过理解和掌握概率问题的知识点，学生能够学会运用数学思维解决实际问题。
一、概率基础知识在概率问题中，我们首先需要了解事件和概率的定义。
事件是指某个结果或一系列结果的集合，而概率则是该事件发生的可能性。
概率的计算可以通过两种方式进行：理论概率和实验概率。
理论概率通过数学计算得出，而实验概率则通过重复实验来估计。
二、事件的互斥与独立性在概率问题中，我们经常会遇到两个或多个事件之间的关系。
事件的互斥指的是两个事件不能同时发生，例如抛掷一枚硬币，结果要么是正面，要么是反面。
事件的独立性则是指一个事件的发生不会影响其他事件的发生，例如独立抽取扑克牌时每次的结果都不会影响下一次的结果。
三、排列组合排列组合是概率问题中常用的计数方法。
排列是指从给定的n 个元素中取出r个元素进行有序排列的方式，而组合则是指从给定的n个元素中取出r个元素进行无序组合的方式。
在高考中，排列组合常常用于计算不同的结果的个数。
四、条件概率与贝叶斯定理条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
例如，假设一袋中有3个红球和2个蓝球，从中任取一个球，已知取到的球是红球，那么下一次取到红球的概率就是条件概率。
贝叶斯定理是条件概率的重要理论基础，它可以用于计算在已知某些事件发生的条件下，其他事件发生的概率。
五、期望与方差期望是概率问题中常用的概念，它反映了随机变量的平均数。
在概率问题中，我们常常遇到随机变量的期望计算，例如掷骰子的点数，扑克牌的牌面等。
方差则是衡量随机变量离其期望值的差异程度，方差越大表示随机变量的分散程度越大。
六、事件的重叠与确定在概率问题中，我们常常需要计算两个或多个事件同时发生的概率。
当两个事件发生的可能性不互斥时，我们可以通过计算它们同时发生的概率来得到结果。
当事件的概率已知时，我们还可以通过逆向计算确定事件的概率，这就是概率问题的逆向思维。
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概率第一节随机事件的概率1.从1,2,3，…，7这7个数中任取两个数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．上述事件中，是对立事件的是( )A．①B．②④C．③D．①③答案：C2.设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“概率满足P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：A3.在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是( )A．至多有一张移动卡B．恰有一张移动卡C．都不是移动卡D．至少有一张移动卡答案：A4.某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.(1)(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？ [听前试做] (1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0.1.所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大． 5.随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：(1)(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．解：(1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率为2630＝1315.(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1日与2日，2日与3日等)．这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为78.以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为78.6.某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A 、B 、C ，求：(1)P (A )，P (B )，P (C )； (2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率． [听前试做] (1)P (A )＝11 000，P (B )＝101 000＝1100， P (C )＝501 000＝120.故事件A ，B ，C 的概率分别为11 000，1100，120. (2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M ，则M ＝A ∪B ∪C .∵A 、B 、C 两两互斥，∴P (M )＝P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C ) ＝1＋10＋501 000＝611 000.故1张奖券的中奖概率为611 000. (3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N ，则事件N 与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，∴P (N )＝1－P (A ∪B ) ＝1－⎝⎛⎭⎫11 000＋1100＝9891 000.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000.第二节 古 典 概 型1.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )A.310B.15C.110D.120 答案：C2.现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答．试求：①所取的2道题都是甲类题的概率； ②所取的2道题不是同一类题的概率．解：①将4道甲类题依次编号为1,2,3,4；2道乙类题依次编号为5,6.任取2道题，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示“都是甲类题”这一事件，则A 包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，所以P (A )＝615＝25.②基本事件同①.用B 表示“不是同一类题”这一事件，则B 包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8个，所以P (B )＝815.3.某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)(1)(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A 1，A 2，A 3，A 4，A 5,3名女同学B 1，B 2，B 3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A 1被选中且B 1未被选中的概率．解：(1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15(人)，所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P ＝1545＝13.(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{A 4，B 1}，{A 4，B 2}，{A 4，B 3}，{A 5，B 1}，{A 5，B 2}，{A 5，B 3}，共15个．根据题意，这些基本事件的出现是等可能的．事件“A 1被选中且B 1未被选中”所包含的基本事件有：{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，共2个． 因此A 1被选中且B 1未被选中的概率为P ＝215.4.一个袋中装有5个形状大小完全相同的球，其中有2个红球，3个白球．(1)从袋中随机取两个球，求取出的两个球颜色不同的概率；(2)从袋中随机取一个球，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，求两次取出的球中至少有一个红球的概率．解：(1)2个红球记为a 1，a 2,3个白球记为b 1，b 2，b 3，从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有：(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)，共10个．记事件A ＝“取出的两个球颜色不同”，A 中的基本事件有：(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，共6个．所以P (A )＝610＝35，即取出的两个球颜色不同的概率为35.(2)从袋中随机取一个球，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，其一切可能的结果组成的基本事件有：(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 1，b 1)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，a 1)，(b 2，a 2)，(b 2，b 1)，(b 2，b 2)，(b 2，b 3)，(b 3，a 1)，(b 3，a 2)，(b 3，b 1)，(b 3，b 2)，(b 3，b 3)，共25个．设事件B ＝“两次取出的球中至少有一个红球”，B 中的基本事件有：(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 2，b 3)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 2，a 1)，(b 2，a 2)，(b 3，a 1)，(b 3，a 2)，共16个．所以P (B )＝1625，即两次取出的球中至少有一个红球的概率为1625.5.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100]．(1)求频率分布直方图中a的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)的概率．[听前试做] (1)因为(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006.(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.(3)受访职工中评分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3；受访职工中评分在[40,50)的有：50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2.从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为110.6.某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．图①B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；图②(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：[听前试做] (1)如图所示．通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B 地区用户满意度评分的平均值高于A 地区用户满意度评分的平均值；B 地区用户满意度评分比较集中，而A 地区用户满意度评分比较分散．(2)A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大．记C A 表示事件：“A 地区用户的满意度等级为不满意”；C B 表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意”．由直方图得P (C A )的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P (C B )的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25.所以A 地区用户的满意度等级为不满意的概率大．7.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的投篮命中次数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以x 表示．(1)如果乙组同学投篮命中次数的平均数为354，求x 及乙组同学投篮命中次数的方差；(2)在(1)的条件下，分别从甲、乙两组投篮命中次数低于10次的同学中，各随机选取一名，求这两名同学的投篮命中次数之和为17的概率．解：(1)依题意得：x ＝x ＋8＋9＋104＝354，得x ＝8，应用方差计算公式可得：s 2＝(2)设甲组投篮命中次数低于10次的同学为A 1，A 2，它们的命中次数分别为9,7.乙组投篮命中次数低于10次的同学为B 1，B 2，B 3，它们的命中次数分别为8,8,9.依题意，不同的选取方法有：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 3)．设“这两名同学的投篮命中次数之和为17”的事件为C ，则C 恰含有(A 1，B 1)，(A 1，B 2)两种，所以P (C )＝26＝13.第三节几 何 概 型1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2．几何概型的概率公式 P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).[自我查验]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)几何概型中，每一个基本事件都是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．( )(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形或空间几何体．( ) (3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( )(4)几何概型与古典概型中的基本事件发生的可能性都是相等的，其基本事件个数都有限．( )答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×2．设A (0,0)，B (4,0)，在线段AB 上任投一点P ，则|P A |＜1的概率为________． 解析：由题意知|AB |＝4，所以|P A |<1的概率为14.答案：143．如图所示，向圆内投镖，如果每次都投入圆内，那么投中正方形区域的概率为________．解析：此试验属几何概型，设圆的半径为1，则圆的面积为π，正方形的面积为2，所以投中正方形区域的概率为2π.答案：2π4．有一杯1 L 的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1 L ，则小杯水中含有这个细菌的概率为________．解析：小杯水中含有这个细菌的概率为P ＝0.11＝0.1.答案：0.15．如图，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．解析：如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，所以OA 落在∠yOT 内的概率为60°360°＝16.答案：16[典题1] (1)(2015·山东高考)在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤≤1”发生的概率为( )A.34B.23C.13D.14(2)(2016·丽江模拟)设A 为圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A 连接，则弦长超过半径 2 倍的概率是( )A.34B.12C.13D.35(3)在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部任作一条射线CM ，与AB 交于点M ，则AM <AC 的概率为________．[听前试做] (1)由不等式－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1得12≤x ＋12≤2，解得0≤x ≤32，故由几何概型的概率公式得P ＝32－02－0＝34.(2)作等腰直角△AOC 和△AMC ，B 为圆上任一点，则当点B 在上运动时，弦长|AB |>2R ，∴＝12.(3)如图，过点C 作CN 交AB 于点N ，使AN ＝AC.显然当射线CM 处在∠ACN 内时，AM <AC . 又∠A ＝45°，所以∠ACN ＝67.5°，故所求概率为P ＝67.5°90°＝34. 答案：(1)A (2)B (3)34[典题2] (1)(2015·福建高考)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x <0的图象上. 若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )A.16B.14C.38D.12(2)(2015·陕西高考)设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( )A.34＋12πB.12＋1πC.14－12πD.12－1π(3)(2016·广东七校联考)如图，已知圆的半径为10，其内接三角形ABC 的内角A ，B 分别为60°和45°，现向圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在三角形ABC 内的概率为()A.3＋316πB.3＋34πC.4π3＋3D.16π3＋3(4)(2016·广州调研)在边长为2的正方形ABCD 内部任取一点M ，则满足∠AMB ＞90°的概率为________．[听前试做] (1)因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x <0，B 点坐标为(1,0)，所以C 点坐标为(1,2)，D 点坐标为(－2,2)，A 点坐标为(－2,0)，故矩形ABCD 的面积为2×3＝6，阴影部分的面积为12×3×1＝32，故P ＝326＝14. (2)|z |＝(x －1)2＋y 2≤1，即(x －1)2＋y 2≤1，表示的是圆及其内部，如图所示．当|z |≤1时，y ≥x 表示的是图中阴影部分，其面积为S ＝14π×12－12×1×1＝π－24.又圆的面积为π，根据几何概型公式得概率P ＝π－24π＝14－12π.(3)由正弦定理BC sin A ＝ACsin B ＝2R (R 为圆的半径)⇒⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝20sin 60°，AC ＝20sin 45°⇒⎩⎨⎧BC ＝103，AC ＝10 2.那么S △ABC ＝12×103×102sin 75°＝12×103×102×6＋24＝25(3＋3)．于是，豆子落在三角形ABC 内的概率为S △ABC 圆的面积＝25(3＋3)102π＝3＋34π.(4)如图，如果点M 位于以AB 为直径的半圆内部，则∠AMB ＞90°，否则，M 点位于半圆上及空白部分，则∠AMB ≤90°，所以∠AMB ＞90°的概率P ＝12×π×1222＝π8. 答案：(1)B (2)C (3)B (4)π8[典题3] (1)(2015·湖北高考)在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤12”的概率，p 2为事件“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1＜p 2＜12B ．p 2＜12＜p 1C.12＜p 2＜p 1 D ．p 1＜12＜p 2 (2)某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________(用数字作答)．[听前试做] (1)如图，满足条件的x ，y 构成的点(x ，y )在正方形OBCA 内，其面积为1.事件“x ＋y ≤12”对应的图形为阴影△ODE ，其面积为12×12×12＝18，故p 1＝18＜12；事件“xy ≤12”对应的图形为斜线表示部分，其面积显然大于12，故p 2＞12，则p 1＜12＜p 2，故选D.(2)设小张与小王的到校时间分别为7：00后第x 分钟，第y 分钟．根据题意可画出图形，如图所示，则总事件所占的面积为(50－30)2＝400.小张比小王至少早5分钟到校表示的事件A ＝{(x ，y )|y －x ≥5,30≤x ≤50,30≤y ≤50}，如图中阴影部分所示，阴影部分所占的面积为12×15×15＝2252，所以小张比小王至少早5分钟到校的概率为P (A )＝2252400＝932.答案：(1)D (2)932[典题4] (1)在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．(2)(2016·黑龙江五校联考)在体积为V 的三棱锥S -ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S -APC 的体积大于V 3的概率是________．[听前试做] (1)正方体的体积为：2×2×2＝8，以O 为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为：12×43πr 3＝12×43π×13＝23π，则点P 到点O 的距离大于1的概率为：1－23π8＝1－π12. (2)由题意可知V S -APC V S -ABC >13，三棱锥S -ABC 的高与三棱锥S -APC 的高相同．作PM ⊥AC 于M ，BN ⊥AC 于N ，则PM ，BN 分别为△APC 与△ABC 的高，所以V S -APCV S -ABC ＝S △APC S △ABC ＝PM BN >13，又PM BN ＝AP AB ，所以AP AB >13，故所求的概率为23(即为长度之比)．答案：(1)1－π12 (2)23。