19.3 尺规作图-

19.3 尺规作图
【教材研学】
一、相关概念
1．尺规作图
在几何里，把限定用直尺和圆规来画图，称为尺规作图．
尺规作图的工具仅限于圆规和直尺．
注意：一般尺子都有刻度，但是，在尺规作图中，直尺是用来画直线、射线或者延长线段的．作图时，可以使用一般的刻度尺、三角板，只要不用它们去度量长度，就相当于是尺规作图要求的直尺．
2．基本作图
最基本、最常用的尺规作图，通常称基本作图．
一些复杂的尺规作图，都是由基本作图组成的，如：前面学过的用尺规作一条线段等于已知线段就是一种基本作图．
二、五种基本作图
一些复杂的尺规作图，都是由基本作图组成的，常用的基本作图有以下五个．
1．作一条线段等于已知线段
2．作一个角等于已知角
作一个角等于已知角的理论依据是全等三角形的性质．
3．平分已知角平分已知角的作图的理论依据是全等三角形的性质．
平分已知角的作图与作一个角等于已知角有一点不同之处，即平分已知角要把射线(角平分线)作在原角的内部，位置有指定性，作一个角等于已知角所作的角并不受原角所在的位置限制，但通常把所作的角作在原角的近旁．
4．经过一点作已知直线的垂线
这里要分两种情况来考虑：(1)经过已知直线上的一点作这条直线的垂线．(2)经过已知直线外的一点作这条直线的垂线．不论是哪种情况，均可以看出，经过一点作已知直线的
垂线与作射线平分已知角很类似，事实上，对于情况(1)，甚至完全可以看作是做一个平角的角平分线．
5．作线段的垂直平分线
垂直平分线的概念：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，或中垂线．
老师：确定线段DE的垂直平分线的关键是什么?我们可以根据什么来作线段的垂直平分线?
小弘：我认为可以利用垂直平分线的性质来分析．
小哲：垂直平分线的性质是“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”．
老师：对!作线段的垂直平分线的理论依据就是线段垂直平分线的性质——线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．由于两点确定一直线，我们只需要找出到线段两端点的距离相等的两点就能作出线段的垂直平分线了．
三、作图题的一般特点和常用的作图语言
1．作图题的解法特点
解作图题的方法与证明题解法不相同，它一般应包括已知，求作．对于作图首先将文字叙述转化为数学语言，即要写出题目的已知、求作、作法、证明．
作图题的证明，常以作法为根据，只要“作法”中写明了作的是什么，证明中就可以用它做根据去证明．注意，在作图题的“证明”中，一般过程都写得比较简单．如这个证明三角形全等的地方，把条件省略了．
2．常用的作图语言
（1）过点×、×作线段或射线、直线；（2）连结两点×、×；（3）在线段或射线×上截取××=××；（4）以点×为圆心，以××的长为半径作圆（或画弧），交××于点×；（5）分别以点×，点×为圆心，以××，××的长为半径作弧，两弧相交于点×；（6）延长××到点×，使××=××．
3．特别说明
（1）在作图中，有属于基本作图的地方，写作法时，不必重复作图的详细过程，只用一
句话概括叙述就可以了．如：作线段××=××；作∠×××=∠×××；作线段××的垂直平分线××等．
（2）作图工具只限直尺和圆规，用铅笔画图，并保留作图过程中的辅助线（作图痕迹）．（3）只画图的题，要求画完图，写明所求作的图形．如基本作图中要写出“∠A’O’B’就是所求的角．”
【点石成金】
例1．如图，已知钝角∠AOB，求作∠AOB的补角的一半．
本题的实质是先作出∠AOB的补角，再作这个补角的平分线．
作法：
（1）作OA的反向延长线OC；
（2）作∠BOC的平分线，则∠POB，∠POC就是所求得角．
证明：（略）
名师点金：解作图题的方法与证明题解法不相同，它一般应包括已知，求作．对于作图首先将文字叙述转化为数学语言，即要写出题目的已知、求作、作法、证明．例2．求作等腰直角三角形，使它的斜边等于已知线段．
已知：线段a，
求作：△ABC，使∠A=90°，AB=AC，BC=a．
由于等腰直角三角形比较特殊，内角依次为45°，45°，90°，故有如下几种作法：作法一：
1．作线段BC=a；
2．分别过点B、C作BD、CE垂直于BC；
3．分别作∠DBC、∠ECB的平分线，交于A点；
如图，△ABC即为所求．
作法二：作线段BC=a；
2．作∠MBC=45°；
3．作∠NCB=∠MBC，CN与BM交于A点；
如图，△ABC即为所求．
作法三：
1．作线段BC=a：
2．作∠MBC=45°；
3．过C作CE上BM于A；
如图，△ABC即为所求．
作法四：
1．作线段BC=a；
2．作BC的中垂线，交BC于D点；
3．在OM上截取OA=OB，连结AB，AC；
如图，△ABC即为所求．
名师点金：几种作法中都是以五种基本作图为基础，不要求写出基本作图的作法和证明．
例3．如图，A、B、C三点表示三个村庄，为解决村民就近入学问题，计划新建一所小学，要使学校到这三个村庄的距离相等，请你在图中用尺规确定学校的位置P．分两步：先作到A、B两点距离相等的点的图形．再作到B、C两点等距离的点的图形，两图形的交点，这就是所求作的点．
（1）连结AB，做线段AB的垂直平分线DE；
（2）连结BC，作线段BC的垂直平分线FG，交DE与点P．
则点P为所求作的学校位置．
名师点金：由于不能直接确定到三点距离相等的点的位置，可以分解为先求作到A，B 相等的所有点，再求作到B，C相等的所有点，交点即所求．
【基础练习】
1．已知线段AB=2．8 cm，延长AB到C，使AC=4cm，再反向延长线段AB到D，使BD=4．8
cm ，则BC=______cm ，AD=_______cm ，CD=________cm.
2．已知∠α，如图1，求作一个∠AOB=∠α．
3．在作∠α+∠β时，作图的步骤为：（1）作∠AOB=_________；（2）以O 为顶点，以OA 为一边，在∠AOB 的外部作∠AOC=_________，则∠COB= __________．
(1) (2)
4．如图2，直线CD 是线段AB 的垂直平分线，交点为O ，则CD_____AB ，AO=_____=____AB ．
5．已知：OC 是∠AOB 的平分线，则∠______=∠________,∠______＝
21∠______， ∠______＝
21∠______． 答案:
1．1.2；2；6
2．（略）
3．∠α；∠β；∠α+∠β
4．⊥；OB ；2
1 5．AOC ；BOC ；AOC ；AOB ；BOC ； AOB
【升级演练】
一、基础巩固
1．用尺规作图，下列条件中不能作出唯一一个三角形的是 ( )
A ．已知两边和夹角
B ．已知两边和其中一边的对角
c ．已知两角和夹边 D ．已知三边
2．已知线段a=6 cm ，b=5 cm ，作等腰三角形，则( )
A ．能作出的三角形只有一个
B ．能作出的三角形只有二个
C．能作出的三角形只有三个D．不能作出符合条件的三角形
3．作出三角形ABC的高AD，角平分线AE，中线AF，三者中有可能落在△ABC外部的是( )
A．AD B．AE C．A F D．都有可能
4．已知线段AB=40 cm，有一点M使AM+BM=60 cm，那么下列结论正确的是( ) A．点M必在线段AB上B．点M必在直线AB外
C．点M必在直线AB上D．点M可能在线段AB外，也可能在线段AB的延长线上5．已知线段MN=10 cm，P是线段MN的中点，A是MP的中点，B是PN的中点，则AB 的长是_________________。

6．如图，∠AOC＝∠________＋________，∠BOD＝∠_______＋∠
_________，如果∠AOB＝∠COD，那么∠AOC_______∠BOD。

7．已知∠AOB，利用尺规画∠A’O’B’，使∠A’O’B’＝2∠AOB（如图）。

8．如图，A、B、C三点表示三个工厂，要建一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等，求作供水站的位置P.
9．如图，在直线l上求一点P，使PA＝PB．
二、探究提高
10．用尺规把一条线段4等分.
11．作一个已知锐角的余角的一半．
12．如图，一目标在A区，到公路、铁路的距离相等，离公路与铁路交叉处500 m，在图上标出它的位置．（比例尺1：20 000）
13．如图，已知直线AB和AB外一点P，求作一条直线PQ，使PQ∥AB（根据“同位角相等，两直线平行”作）．
三、拓展延伸
14．如图，求作一点P，使PA=PB，PC=PD．
15．已知：如图，在平行四边形ABCD中，连接BD．
（1）求作：∠A的平分线AE，交BC于E，交BD于F；（要求尺规作图，保留作图的痕迹，不写作法）
（2）求证：AB=BE．
四、中考模拟
16．（2006·广东梅州）如图，在△ABC中，∠C=90°，（1）用直尺和圆规在AC上作点P，使点P到点A、B的距离相等（保留作图的痕迹，不写作法）；（2）当满足（1）的点P到AB、BC的距离相等时，求∠A的度数．
17．（2005·江苏）如图，已知∠AOB，点M、N，求作：点P，使点P在∠AOB的平分线上，且PM=PN．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）。