第一章《三角函数》单元总结

普通高中新课程教学模块单元教学设计研究之高中数学必修4第一章《三角函数》单元总结设计课题所在单位:西安建筑科技大学附属中学课题负责人:高博专业职务:中学二级教师课题立项时间:2013年06月课题完成时间:2014年05月2普通高中新课程教学模块单元教学设计研究之—— 高中数学必修4第一章《三角函数》单元总结设计高博西安建筑科技大学附属中学一 角的概念的推广1. 任意角的概念：按逆时针方向旋转而成的角叫正角；按顺时针方向旋转而成的角叫负角；未做任何旋转形成的角叫零度角，又称零角。

2. 与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=⋅+∈Z3．象限角与轴线角：角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α 为第几象限角；若终边落在坐标轴上，则称其为轴线角。

第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=⋅∈Z终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=⋅+∈Z终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=⋅∈Z二 弧度制1、弧度制：在以单位长为半径的圆中，单位长度的弧所对的圆心角为1弧度的角，它的单位符号是rad ，读作弧度。

2、弧度制与角度制的换算公式：（1）180 rad π=，（2）10.01745180rad rad π=≈，（3）180157.305718 rad π⎛⎫'=≈= ⎪⎝⎭（4）设r 是圆的半径，l 是圆心角α所对的弧长，则||lrα=。

★3.弧度制下的扇形弧长及面积公式：若扇形的圆心角的弧度数为αr l r α=，面积21122S lr r α==扇形.（扇形周长2C r l =+） 三 任意角的三角函数定义一般地，如右图，在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意3的角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合， 终边与单位圆交于点(,)P u v ，那么点P 的纵坐标v 叫作角α的 正弦函数，记作sin v α=；点P 的横坐标u 叫作角α的余弦函数， 记作cos u α=。

如果角α满足：R,(Z)2k k πααπ∈≠+∈，那么，角α的终边与单位圆交于点(,)P u v ，唯一确定比值v u。

根据函数的定义，比值vu是角α的函数，我们把它叫作角α的正切函数，记作t a ny α=，其中，R ,,Z 2k k πααπ∈≠+∈。

设α是一个任意角，任选其终边上不同于原点的一点P （x ,y ），它与原点的距离为0OP r ==>，则sin y r α=，cos x r α=，()tan 0yx xα=≠． ★三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．(简称为一全正,二正弦,三正切,四余弦).四 周期性一般地，对于函数()f x ，如果存在非零实数T ，对定义域内的任意一个x 值，都有()()f x T f x +=，我们就把()f x 称为周期函数， T 称为这个函数的周期。

五 诱导公式 “一个思想，两个路线” tan()tan k απα+=正切函数的最小正周期为πsin(0)sin αα+= cos(0)cos αα+= t a n (0)t a nαα+= sin(0)sin αα-=- c o s (0)c o s αα-= tan(0)tan αα-=-sin()cos 2παα+= cos()sin 2παα+=- t a n ()c o t 2παα+=-sin()cos 2παα-= cos()sin 2παα-= t a n ()c o t2παα-= sin()sin παα+=- c o s ()c o s παα+=- tan()tan παα+= sin()sin παα-= c o s ()c o s παα-=- tan()tan παα-=- 3sin()cos 2παα+=- 3c o s ()s i n 2παα+= 3tan()cot 2παα+=-3sin()cos 2παα-=- 3c o s ()s i n 2παα-=- 3t a n ()c o t2παα-=4R RR,,2x x k k ππ∈≠+∈[1,1]- [1,1]- 2π5七 函数y ＝A sin (ωx ＋φ)+b 的解析式和图像★1. sin()y A x b ωϕ=++图像的得到方法：五点法或图像变换法 （1）五点法：将x ωϕ+看作一个整体，令其分别为30,,,,222ππππ，然后得到相应点的横纵坐标,x y . 先画出一个最小正周期内的图像，再由周期性，将其延拓到整个定义域上.（2）图像变换法：由sin y x =的图像经过一系列的平移及伸缩变换也可以得到sin()y A x b ωϕ=++的图像。

其中，A ω，影响函数图像的形状，ϕ，b 影响函数图像的位置（决定了图像与坐标轴的交点）． 由A 引起的变换称为振幅变换，由ω引起的变换称为周期变换，它们都是伸缩变换； 由ϕ引起的变换称为相位变换，由b 引起的变换称为上下平移变换，它们都是平移变换．振幅变换：sin y x =的图像(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−−−−−→横坐标不变，纵坐标伸长或缩短为原来的倍得sin y A x =的图像 周期变换：sin y x =的图像(01)(1)1ωωω<<>−−−−−−−−−−−−−→纵坐标不变，横坐标伸长或缩短到原来的倍得sin y x ω=的图像 相位变换：sin y x =的图像ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度得sin()y x ϕ=+的图像（左加右减） 上下平移变换：sin y x =图像(0)(0)b b b ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin y x b =+的图像（上正下负） ★2. 由图像变换法得到sin()y x ωϕ=+图像的两种过程：（注意平移单位的区别） 先伸缩再平移（易错）：sin y x =的图像(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的倍纵坐标不变sin y xω=(0)()ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位s i n (y x ωϕ=+（sin()=sin y x x ϕωϕωω⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦）先平移再伸缩：sin y x =的图像ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度sin()y x ϕ=+()ωωω−−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的倍纵坐标不变sin()y x ωϕ=+规律：横向伸缩的倍数只看给x 乘多少，左右平移的单位只看给x 加多少（x 的系数必须为1）.即给x 乘以ω，则横坐标变为原来的1ω倍，给x 加ϕ，则向左或向右平移ϕ个单位.★3. 由sin()y x ωϕ=+图像得到sin()y A x b ωϕ=++的图像的过程：（必须先纵向伸缩，再上下平移）sin()y x ωϕ=+的图像(1)(A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)s i n (y A xωϕ=+(0)(b b b ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度sin()y A x b ωϕ=++★4.周期公式 ：sin()y A x ωϕ=+(0ω≠)的最小正周期为2T πω=;6()y Atan x ωϕ=+(0ω≠)的最小正周期为T πω=. 注意:(1)求最值需关注A 的符号.若0A >，sin()x ωϕ+取得最大(小)值时sin()y A x b ωϕ=++也取得最大（小）值；若0A <，sin()x ωϕ+取得最大(小)值时sin()y A x b ωϕ=++反而取得最小（大）值. 例：求sin(2)33y x π=-++的最值及取得最值时的x 值.(2)求单调区间需关注ω的符号.当0ω<时，先利用诱导公式将ω化为正值再求单调区间.例：求sin()4y x π=-+的单调区间.(先将函数化为sin[()]sin()44y x x ππ=--=--再求解) ★5.由图像求sin()y A x b ωϕ=++(00A ω>>，)的解析式：(1) 先由最大值和最小值确定A 和b ，再由最小正周期确定ω，最后代入点的坐标通过解三角方程得到ϕ值.（最好代入最值点，因为最大值点或最小值点在每个长度为最小正周期的区间上是唯一的） (2) 相邻的对称轴（对称中心）的距离为最小正周期的12，相邻的对称中心与对称轴的距离是最小正周期的14. （3）由图像确定系数φ通常采用两种方法：①如果图像明确指出了周期的大小和初始值x 1（第一个零点的横坐标）或第二，第三（或第四，第五）点横坐标，可以直接解出φ，或由方程（组）求出。

②代入点的坐标，通过解最简单的三角函数方程，再结合图像确定φ。

在这里特别注意，如果点的坐标是零点，则要解三角方程sin x=0，有三种情况，第一，如果我们不知道零点是上升的还是下降的，则x=k π；第二，如果我们知道零点是上升的，则x=0+2k π；第三，如果我们知道零点是下降的，则x=π+2k π。

（这里k 是整数）。