作业_第十四周_曲线积分和格林公式
曲线积分及格林公式(包括第一、二类曲线积分-图文并茂-自学必备)
x 2d s y 2 d s z 2d s
( 2a ds , 球面大圆周长 )
18
对弧长的曲线积分
例5 曲线
是中心在
( R,0), 半径为R
2
的上半圆周.求 提示:用极坐标
此时需把它化为参数方程 (选择x , y, z中某一个 为参数), 再按上述方法计算.
14
对弧长的曲线积分
例1
求I yds , 其中L为y 2 2 x上自原点到
L
( 2,2)的一段 .
2
对x积分?
2
y (0 y 2) 解 y 2x x 2 2 1 2 I y 1 y dy (5 5 1) 0 3
2
2
2
通过几何直观,还有更简单的方法吗?
21
x2 y 2 例6 求椭圆柱面 2 2 1, ( x 0, y 0) a b xy 介于xoy平面与空间曲面 z c
之间部分的面积.
提示:
xy A ds L c
x y L : 2 2 1 a b
2
2
22
对弧长的曲线积分
3
解 对称性,得
y
x 2 y 2 R2
L
( x y 3 )ds xds y 3ds 0
L L
L
O
x
对 xds, 因积分曲线L关于 x=0对称,
被积函数x是L上 关于x的奇函数 xds 0
对 y 3ds , 因积分曲线L关于 y=0对称, L
格林(Green)公式曲线积分与路径无关的条
格林公式在数学物理方程、电动力学、流体力学等领域有 广泛的应用，是连接数学与物理世界的重要桥梁。
格林公式的历史背景
发展历程
格林公式是微积分学中的重要内 容，它的起源可以追溯到19世纪 上半叶，当时数学家开始研究如 何将线积分转化为面积分的问题。
贡献人物
乔治·格林（George Green）在 1830年代对这一领域做出了重大 贡献，他通过引入所谓的“格林 函数”来研究平面上向量场的性 质。
格林公式在解决曲线积分问题中的优势
简化计算过程
通过格林公式，可以将复杂的曲线积分问题 转化为面积分问题，从而简化计算过程。
提供解决问题的新思路
格林公式为解决曲线积分问题提供了新的思 路和方法，有助于拓展解题思路。
04
曲线积分与路径无关的应用实例
物理学中的磁场问题
磁场线闭合
在磁场中，如果曲线积分的路径无关，那么磁场线必然是闭合的。这意味着磁场没有源点或漏点，即不存在磁单 极。
磁通量不变
在磁场中，如果曲线积分的路径无关，那么通过某一区域的磁通量将保持不变。这意味着磁场不会因为路径的改 变而发生改变。
电学中的电场问题
电势差恒定
在电场中，如果曲线积分的路径无关，那么电势差将保持恒定。这意味着电场不会因为路径的改变而 发生改变。
电场线闭合
在电场中，如果曲线积分的路径无关，那么电场线必然是闭合的。这意味着电场没有源点或漏点，即 不存在电荷聚集点。
通过格林公式，可以判断一个曲线积分是否 与路径无关，为解决相关问题提供依据。
格林公式与曲线积分的关系证明
利用向量场的散度性质
通过向量场的散度性质，可以推导出格林公 式，从而证明其与曲线积分的关系。
高等数学曲面积分与曲线积分之格林公式
4 1 cos 4 a 2 2 a 4 sin 2 2d 2 2 a 4 d 0 0 2 2
高 等 解法二: 利用圆的参数方程转化为定积分计算 数 学 x a cos ,dx a sin d 电 y a sin ,dy a cosd 2 2 y xdy x ydx 子 L 案
其中C是一条不经过原点的分段
光滑的不自相交的简单闭曲线，方向取逆时针方向.
解:
y x P 2 ,Q 2 2 x y x y2
y
C
2 2 Q y x P x 2 y 2 0时，有 2 x ( x y 2 ) 2 y
D
x
下面分两种情况计算.
ydx xdy Q P ( )dxdy (1)当(0,0) D时, 则C 2 2 D x x y y
顺时针
y 2 xdy x 2 ydx
逆时针
y 2 xdy x 2 ydx
Q p ( )dxdy ( x 2 y 2 )dxdy D x D y
2
0
d 2 d
0
a
a 4
2
高 等 数 学 电 子 案
ydx xdy , 例5 计算 C 2 2 x y
高 等 数 学 电 子 案
例1 求椭圆 x a cos , y b sin 的面积S.
解： S
1 xdy ydx 2 C
1 1 2 S (a cos b cos b sin a sin )d abd ab 2 C 2 0
高 等 数 学 电 子 案
二
平面上曲线积分与路径无关的条件
数学分析21.3格林公式、曲线积分与路线的无关性(含习题及参考答案)
第二十一章 重积分3格林公式、曲线积分与路线的无关性一、格林公式概念：当区域D 的边界L 由一条或几条光滑曲线所组成时，规定边界曲线的正方向为：当人沿边界行走时，区域D 总在他的左边. 与正方向相反的方向称为负方向，记为-L.定理21.11：若函数P(x,y), Q(x,y)在闭区域D 上连续，且有连续的一阶偏导数，则有格林公式：⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰+L Qdy Pdx . L 为区域D 的边界曲线，并取正方向.证：根据区域D 的不同形状，可分三种情形来证明： (1)若区域D 既是x 型区域，又是y 型区域(如图1)，即 平行于坐标轴的直线和L 至多交于两点，该区域D 可表示为： φ1(x)≤y ≤φ2(x), a ≤x ≤b 或ψ1(x)≤x ≤ψ2(x), c ≤y ≤d.这里y=φ1(x)和y=φ2(x)分别为曲线⌒ACB 和⌒AEB 的方程, x=ψ1(x)和x=ψ2(x) 分别为曲线⌒CAE 和⌒CBE的方程, ∴⎰⎰∂∂Dd x Qσ=⎰⎰∂∂)()(21y y d c dx x Q dy ψψ=⎰d c dy y y Q )),((2ψ-⎰d c dyy y Q )),((1ψ=⎰⋂CBE dy y x Q ),(-⎰⋂CAE dy y x Q ),(=⎰⋂CBE dy y x Q ),(+⎰⋂EAC dy y x Q ),(=⎰L dy y x Q ),(.同理可证：-⎰⎰∂∂Dd y Pσ=⎰L dx y x P ),(. 即有⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰+L Qdy Pdx . (2)若区域D 是一条按段光滑的闭曲线围成(如图2)，则先用几段光滑曲线将D 分成有限个既是x 型又是y 型的子区域，然后逐块按(1)得到它们的格林公式，相加即可.图2中区域D 可分成三个既是x 型又是y 型的区域D 1,D 2,D 3，则有⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂1D d y P x Q σ+⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂2D d y P x Q σ+⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂3D d y P x Q σ =⎰+1L Qdy Pdx +⎰+2L Qdy Pdx +⎰+3L Qdy Pdx =⎰+L Qdy Pdx.(3)若区域D 由几条闭曲线所围成(如图3)， 可适当添加直线AB, CE,把区域转化为(2)的情况处理.图D 的边界线由AB,L 2,BA,⌒AFC ,CE,L 3,EC 及⌒CGA构成. 由(2)知 ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋂⋂CGA EC l CE AFCBA l AB32(Pdx+Qdy)=()⎰⎰⎰++132L L L (Pdx+Qdy)=⎰+L Qdy Pdx .注：格林公式可写为：⎰⎰∂∂∂∂Dd QP y x σ=⎰+L Qdy Pdx .例1：计算⎰AB xdy ，其中曲线AB 为半径为r 的圆在第一象限部分. 解：如图，对半径为r 的四分之一圆域D 应用格林公式有⎰⎰-D d σ=⎰-L xdy =⎰OA xdy +⎰AB xdy +⎰BO xdy =⎰AB xdy . ∴⎰AB xdy =⎰⎰-Dd σ=-41πr 2.例2：计算I=⎰+-Ly x ydxxdy 22, 其中L 为任一不包含原点的闭区域的边界线.解：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂22y x x x =22222)(y x x y +-, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂22y x y y =22222)(y x x y +- 在上述区域D 上连续且有界，∴⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂Dd yx yx y x x x σ2222=0. 由格林公式可得I=0.注：在格林公式中，令P=-y, Q=x ，则得到一个计算平面区域D 的面积S D 的公式：S D =⎰⎰Dd σ=⎰-L ydx xdy 21.例3：如图，计算抛物线(x+y)2=ax (a>0)与x 轴所围的面积.解：曲线⌒AMO由函数y=x ax -, x ∈[0,a]， 直线OA 为直线y=0， ∴S D =⎰-ydx xdy 21=⎰-OA ydx xdy 21+⎰⋂-AMO ydx xdy 21=⎰⋂-AMO ydx xdy 21=dx x ax ax ax a ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0)(1221=dx ax a ⎰-02121=dx x a a⎰4=62a .二、曲线积分与路线的无关性概念：若对于平面区域D 上任一封闭曲线，皆可不经过D 以外的点而连续收缩于属于D 的某一点，则称此平面区域为单连通区域，否则称为复连通区域。
格林公式·曲线积分和路线的无关性
(ii) 对 D 中任一按段光滑曲线 L, 曲线积分
L Pdx Q dy
与路线无关, 只与 L 的起点及终点有关;
(iii) P dx Qdy 是 D 内某一函数 u( x , y) 的全微分, 即在 D 内有 du P dx Qdy;
u( x, y) P dx Q dy . AB
(iv)
在 D 内处处成立
P
Q .
y x
有关定理的说明：
(1) 开区域G 是一个单连通域.
(2) 函数 P( x, y), Q( x, y)在G 内具有一阶连
续偏导数.
两条件缺一不可
(i) 沿 D 内任一按段光滑封闭曲线 L, 有
L P dx Q dy 0;
(ii) 对 D 中任一按段光滑曲线 L, 曲线积分
( )dxdy
D x y
x D1 D2 D3 y
D1
(
Q x
P y
)dxdy
D2
(
Q x
P y
)dxdy
D3
(
Q x
P y
)dxdy
L1 Pdx Qdy L2 Pdx Qdy L3 Pdx Qdy
L Pdx Qdy
L3 D3
D1
(L1, L2 , L3对D来说为正方向) L1
D2 L2
M
曲线AMO 由函数
A(a,0) N
y ax x, x [0,a]表示,
A
1 2
L
xdy
ydx
1
2 ONA
xdy
ydx
1
2 AMO
xdy
ydx
1
2 AMO
xdy
曲线积分与格林公式
曲线积分与格林公式曲线积分作为微积分的重要概念之一，与格林公式有着密不可分的联系。
本文将围绕这两个主题展开讨论，并探究它们的数学原理与应用。
一、曲线积分曲线积分是一种沿曲线的函数积分，用于计算沿曲线的向量场对质点的“功”，也可以理解为曲线路径上的线元沿法向的积分。
在二维空间中，曲线积分可以表示为如下形式：∮C Pdx + Qdy其中，C代表曲线，P和Q分别为与曲线C上一点(x, y)相关的两个函数。
Pdx和Qdy分别表示在x和y方向上的微小位移沿着曲线C。
曲线积分的计算可以通过参数化的方式进行，具体步骤如下：1. 将曲线C参数化表示为r(t)=(x(t), y(t))，其中t为参数。
2. 计算函数P和Q在参数化曲线上的值，即P(x(t), y(t))和Q(x(t), y(t))。
3. 求出关于参数t的微分项dx和dy，即x'(t)和y'(t)dt。
4. 将上述结果代入曲线积分的表达式中，即∫[a,b] [P(x(t), y(t))x'(t) + Q(x(t), y(t))y'(t)]dt。
二、格林公式格林公式是曲线积分与曲面积分之间的重要关系，可以用来将曲线积分转化为曲面积分，或者反过来。
在二维平面上，格林公式可以表示为如下形式：∮C Pdx + Qdy = ∬D (Qx - Py)dA其中，C为曲线，P和Q为与曲线C相接触的两个函数，D为由曲线C所围成的区域。
此公式表明，通过计算曲线C上的积分，可以得到曲面D上的积分。
格林公式的逆运算也成立，即通过计算曲面D上的积分可以得到曲线C上的积分。
这一公式为研究曲线与曲面之间的关系提供了重要的数学工具。
三、应用与实例曲线积分与格林公式在实际问题的求解中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 流量计算：曲线积分可以用于计算液体或气体流体通过曲线边界所传递的流量量。
通过使用格林公式，可以将曲线积分转化为曲面积分，从而更方便地计算流量。
高等数学 格林公式
o y
L
B
L1
G
A
x
与 L 的两个端点有关而与积分的路径无关, 则称曲 线积分 L P ( x , y )dx Q( x , y )dy 在 G 内与路径无关.
解 记 L 所围闭区域为 D ,
则原积分
2 2 ( y x )dxdy D
y
O
2 x
d 0
2 2
2 cos
d 8
3
2 0
3 cos d . 2
4
2) L 是封闭曲线但在L 所围区域 D 内P、Q有奇点,则 不能直接应用格林公式.
第四节
格林公式
一、格林(Green)公式 二、曲线积分与路径无关的条件 三、二元函数的全微分求解 * 四、曲线积分基本定理
一、格林公式
1. 区域连通性 设 D 为平面区域 , 如果 D 内任一闭曲线所围成的 部分都属于 D , 则称 D 为平面单连通区域 , 否则 称为复连通区域.
D D
单连通区域
2 2 L
2 B
A
其中 L 是以 O(0,0), A(1,2), B(0,2) 为顶点 的OAB 的正向边界.
I 2 .
o
D
1
x
例1 计算 ( x 2 2 xy )dx ( y 2 2 xy )dy ,
L
2 B
y
A
其中 L 是以 O(0,0), A(1,2), B(0,2) 为顶点 的OAB 的正向边界.
曲线积分与曲面积分-格林公式
注 求原函数 u ( x , y )的常见方法：
(1) 分项组合法； ( 2 ) 特殊路径法，如：折线 法； u( x, y) = ∫ =∫
或
x x0
y G
( x, y) ( x0 , y0 )
P( x, y)dx + Q( x, y)d y
y y0
P ( x , y0 )d x + ∫
Q ( x , y )d y
D
O
L x
解
P = y , Q = 3x − x
3
3
∂Q ∂ P − ) d x d y = ∫∫ [( 3 − 3 x 2 ) − 3 y 2 ]d x d y I = ∫∫ ( ∂x ∂y
D
D
= 3 ∫∫ [1 − ( x 2 + y 2 )]d x d y
D
= 3∫
2π
0
dθ ∫ (1 − ρ 2 ) ρ d ρ
∂Q ∂P ∴ − = 2x − 2x = 0 ∂x ∂ y ∴ 2 xydx + x 2dy = ± ∫∫ 0dxdy = 0 ∫
L D
将曲线积分转化为二重积分
例2 计算 I = ∫ y 3 d x + ( 3 x − x 3 ) d y ,
L
y
其中 L为圆周 x + y = R 的正向.
2
2
2
l
y L
O
l x
xd y − yd x x2 + y2
D1
( 其 中 l − 的方向
=∫
2π 0
r 2 cos 2 θ + r 2 sin 2 θ dθ 2 r
= 2 π.
取逆时针方向) (注意格林公式的条件)
格林公式曲线积分
x 型又是 y 型区域的并集, 例如由
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y x3 sin 1 , x (0,1]; y 1; x 0; x 1 x
所围成的区域便是如此. 注2 为便于记忆, 格林公式 (1) 也可写成下述形式:
x
y d Pdx Qdy . L
DP Q
注3 应用格林公式可以简化某些曲线积分的计算.
x 0.52 y2
.
A( 0, 1) B(1, 1)
图 21-21
易知除去点 E(0.5, 0) 外, 处处满足
Q x
P y
( x
0.5)2 y2 2 y( x [ ( x 0.5)2 y2 ]2
0.5)
.
设 L1 为由点 A(0, 1) 到点 B(1, 1), 再到点 C(1,1), 最
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后到点 D(0,1) 的折线段. 因为 L 与 L1 可被包含在某
一不含奇点 E 的单连通区域内, 所以有
x 0.5 ydx x 0.5 ydy
L
x 0.52 y2
P( x, y)dx Q( x, y)dy L1
P( x, y)dx Q( x, y)dy AB BC CD
L
一条或几条光滑曲线所
组成.边界曲线的正方向
D
规定为:当人沿边界行走
时,区域 D 总在它的左边,
图 21 12
如图 21-12 所示. 与上述规定的方向相反的方向称
为负方向,记为 L .
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定理21.11 若函数 P( x , y), Q( x , y) 在闭区域 D上
有连续的一阶偏导数, 则有
y),
以及 P, Q 具有一阶连续偏导数, 便可知道在 D 内每
数学分析之格林公式
y
1
A
∂Q ∂ 2 4 = (x + y ) = 2x ∂x ∂x
∂P ∂Q , 即 = ∂y ∂x
1 2 1 4
o
1
x
23 故原式 = ∫0 x dx + ∫0 (1 + y )dy = . 15
区域连通性的分类
为平面区域, 设D为平面区域 如果 内任一闭曲线所围成 为平面区域 如果D内任一闭曲线所围成 的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域 为平面单连通区域, 的部分都属于 则称 为平面单连通区域 否 则称为复连通区域. 则称为复连通区域
∫ Pdx + Qd y
L
与路径无关, 的起点及终点有关. 与路径无关 只与 L 的起点及终点有关 (iii) 是 D 内是某一函数 即 d u( x, y) = P dx + Q d y 的全微分, 的全微分,
∂ P ∂Q (iv) 在 D 内处处成立 . = ∂ y ∂x
(ii) 证明 (i) 设 L , L2 为D 内任意两条由 到B 的有向分段光滑曲 内任意两条由A 1 线, 则
= ∫ F cos α ds − G cos β ds
L
= ∫ F sin(τ , x )ds − G cos(τ , x )ds
L
= ∫ F cos( n, x )ds + G cos( n, y )ds
L
∂Q ∂P ∫∫ ∂x − ∂y dxdy D
=∫ P(x, y)dx +Q(x, y)dy
∫∫ (
D
∂Q ∂ P ) dxd y − ∂x ∂ y
D1
D 1
D2
= ∫∫
+ ∫∫
格林公式
7.3 格林公式一、区域连通性的分类设D 为平面区域, 如果D 内任一闭曲线所复连通区域单连通区域围成的部分都属于D , 则称D 为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.例如平面区域x2+y2<1, 上半平面y >0都是单连通区域，而圆环1<x2+y2<2或0< x2+y2<1是复连通区域。
单连通就是无“洞”无“缝”的区域。
二、曲线L正方向的规定设L为平面区域D的边界曲线，当观察者沿着L行走时，如果D的内部区域总位于行走者的左侧，则称此人行走的方向为曲线L的正方向，另一方向为L 的负方向。
边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,单连通区域边界曲线L的正方向为逆时针方向；复连通区域的外边界曲线L1的正方向为逆时针方向,内边界曲线L2的正方向为顺时针方向。
区域D总在他的左边.三、格林公式定理1其中L 是D 的取正向的边界曲线,公式(1)叫做格林公式.设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成, 函()()1L DQ P Pdx Qdy dxdy x y ∂∂+=−∂∂∫∫∫ (,)(,)P x y Q x y 数及在D 上具有一阶连续偏导数,则有格林公式的实质:沟通了沿闭曲线的第二类曲线积分与二重积分之间的联系.便于记忆形式:L D x y Pdx Qdy dxdy P Q∂∂∂∂+=∫∫∫ 注：1 当D 为单连通区域时()L DQ P Pdx Qdy dxdy x y ∂∂+=−∂∂∫∫∫ 2 当D 为复连通区域时1212L L L L +=+∫∫∫ ()DQ P dxdy x y ∂∂=−∂∂∫∫3.D 应该在行走者的左侧，否则应反号()L DL P Q dxdy y x −∂∂=−−∂=−∂∫∫∫∫ 4. 用公式时，曲线L 必需闭合,可以加辅助曲线构成闭合曲线。
5. 若D 为单连通区域，且在D 上有Q P x y∂∂=∂∂则在D 内的任一闭曲线的积分,0LPdx Qdy +=∫ 对非闭合曲线6 若D 为复连通区域，且在D 上有Q P x y∂∂=∂∂12120L L L L +=+=∫∫∫ 12L L −⇒=∫∫ 12L L ⇒=−∫∫ -12其中L ,L 都为逆时针方向在复连通区域D 上,Q P x y∂∂≡∂∂12L L −⇒=∫∫公式的意义在于:沿逆时针方向L1的曲线积分,等于把洞挖掉后,包含该洞的任一闭曲线L2逆时针方向的曲线积分.这样L2就可以做成一个特殊的闭曲线,从而达到简化计算的目的.L xdy =∫ ,OA AB BO xdy xdy xdy =++∫∫∫0,0,OA BO xdy xdy ==∫∫由于 AB xdy ∴∫D dxdy =−∫∫214r .π=− 1.,AB xdy AB r ∫例计算其中曲线是半径为的圆在第一象限部分.解引入辅助曲线L OA AB BO=++0,.P Q x ==应用格林公式：Ddxdy −∫∫2y D e dxdy −=∫∫2y OA xe dy −=∫11(1).2e −=−()()22.,0,0,1,1,y D edxdy D O A −∫∫例计算其中是()0,1B 为顶点的三角形闭区域.20,.y P Q xe −==解令2y Q P e x y−∂∂−=∂∂则应用格林公式,有2y OA AB BO xe dy −++∫210x xe dx −=∫解例3 计算, 其中L 为一条无重点,22L xdy ydx x y −+∫ 分段光滑且不经过原点的连续闭曲线, L 的方向为逆时针方向.记L 所围成的闭区域为D ,2222,.y x P Q x y x y−==++令220,x y +≠则当时22222()Q y x P x yx y ∂−∂==∂∂+有220L xdy ydx x y −=+∫ ()()10,0,D ∉当时由格林公式知()()20,0,D ∈当时222:.D l x y r +=作位于内圆周1.D L l 记由和所围成应用格林公式, 得其中l 的方向取逆时针方向2222L l xdy ydx xdy ydx x y x y −−=++∫∫(注意格林公式的条件)2222220cos sin r r d rπθθθ+=∫2.π=2L Ddxdy xdy ydx =−∫∫∫ 得:0P y,Q ,=−=取L A ydx=−∫ 得:格林公式:()L DQ P dxdy Pdx Qdy x y ∂∂−=+∂∂∫∫∫ ,,P y Q x =−=取闭区域D 的面积12LA xdy ydx =−∫ 0,,P Q x ==取:LA xdy =∫ 得(1)(2)(3)四、格林公式应用：面积的计算,CA 解作辅助曲线则,L CA L CA +=+∫∫∫.L L CA CA+⇒=−∫∫∫ L CA +=∫ ()()()()2222sin 3cos 00x x L e y y x dx e y x dy L A R,x y R C R,.−++−+=−∫例4计算为由点经圆周上部到的路径D Q P dxdy x y ⎛⎞∂∂−⎜⎟∂∂⎝⎠∫∫2D dxdy =∫∫:0,0CA y dy ==CA =∫L L CA CA +∴=−∫∫∫ 32.3R =212.2R π=⋅()()cos 1cos 3x x D e y e y dxdy ⎡⎤=−−−⎣⎦∫∫()200R R x dx −−+∫232.3R R π=−()()2sin 3cos x xLe y y x dx e y x dy −++−∫L CA +=∫ D Q P dxdy x y ⎛⎞∂∂−⎜⎟∂∂⎝⎠∫∫()()2222,:122L ydx xdy L x y x y−−+=+∫ 例5计算逆时针方向.()()2222,,22y x P Q x y x y −==++解()2222220.2x y Q P x y x y x y +≠∂∂−==∂∂+当时Q P x y ∂∂=∂∂此为复连通域,且1L L ⇒=∫∫1cos ,sin .x R L y R θθ=⎧=⎨=⎩()()1222222L L ydx xdy ydx xdy x y x y −−=++∫∫ 1,L L 其中取逆时针方向,()220sin sin cos cos 2R R R R d R πθθθθθ−−=∫.π=−。
格林公式
y
当(0, 0)D时，由格林公式得
L
xdy x2
ydx y2
0；
D O
L x
D
Q x
P y
dxdy
=
L
Pdx
Qdy
．
例
4
计算
L
xdy x2
ydx y2
，其中
L
为一条无重点、分段光滑且不
经过原点的连续闭曲线，L的方向为逆时针方向．
解 记L 所围成的闭区域为D．当(0, 0)D时，选取适当小的
格林公式：
定理1 设闭区域 D 由分段光滑的曲线围成，函数P(x, y)及 Q(x, y)在D上具有一阶连续偏导数，则有
D
Q x
P y
dxdy
=
L
Pdx
Qdy
，
其中L是D的取正向的边界曲线．
应注意的问题： 对复连通区域D，格林公式右
端应包括沿区域D的全部边界的曲 线积分，且边界的方向对区域D来 说都是正向．
因为
Pdx Qdy Pdx Qdy ，
L1
L2
Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy 0
L1
L2
L1
L2
Pdx Qdy Pdx Qdy 0
Pdx Qdy 0，
LL11
LL22
充分性：
已知 P y
Q x
在
G
内恒成立，则积分 L
P(x,
y)dx
Q(x,
y)dy
在G内与路径无关．设(x0, y0)为G内一定点，(x, y)为G内的动点，
曲线积分和格林公式
什么是曲线积分？？1. 设L为xOy平面上的一条光滑的简单曲线弧,f(x,y)在L上有界，在L上任意插入一点列M1,M2,M3…,Mn 把L 分成n个小弧段ΔLi的长度为ds，又Mi(x,y)是L上的任一点，作乘积f(x,y)i*ds,并求和即Σ f(x,y)i*ds，记λ=max(ds) ，若Σ f(x,y)i*ds的极限在当λ→0的时候存在，且极限值与L的分法及Mi在L的取法无关，则称极限值为f(x,y)在L上对弧长的曲线积分，记为：∫f(x,y)*ds ；其中f(x,y)叫做被积函数，L叫做积分曲线，对弧长的曲线积分也叫第一类曲线积分。
2.曲线积分的类别:曲线积分分为：对弧长的曲线积分（第一类曲线积分）对坐标轴的曲线积分（第二类曲线积分）两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别；对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds；例如：对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。
对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx 或dy，例如：对L’的曲线积分∫P（x,y）dx+Q(x,y)dy。
但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号33。
3.两种曲线积分的联系：对弧长的曲线积分和对坐标轴的曲线积分是可以互相转化的，利用弧微分公式ds=√[1+(dy/dx)^2]*dx;）在推广之后都是以曲线积分的形式出现（）。
曲线积分在物理学中是很重要的工具，例如计算电场或重力场中的做功，或量子力学中计算粒子出4.格林公式【定理】设闭区域由分段光滑的曲线围成,函数及在上具有一阶连续偏导数,则有(1) ∮cP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫∫D(dQ/dx-dP/dy)dxdy其中是的取正向的边界曲线.公式(1)叫做格林(green)公式.【证明】先证假定区域的形状如下(用平行于轴的直线穿过区域,与区域边界曲线的交点至多两点)易见,图二所表示的区域是图一所表示的区域的一种特殊情况,我们仅对图一所表示的区域给予证明即可.另一方面,据对坐标的曲线积分性质与计算法有因此再假定穿过区域内部且平行于轴的直线与的的边界曲线的交点至多是两点,用类似的方法可证综合有当区域的边界曲线与穿过内部且平行于坐标轴( 轴或轴 )的任何直线的交点至多是两点时,我们有5.,若曲线积分在开区域内与路径无关,那它仅与曲线的起点与终点的坐标有关.假设曲线的起点为,终点为,可用记号或来表示,而不需要明确地写出积分路径.显然,这一积分形式与定积分非常相似, 事实上,我们有下列重要定理【定理一】设是一个单连通的开区域,函数,在内具有一阶连续偏导数,且【证明】依条件知,对内任意一条以点为起点,点为终点的曲线,曲线积分与路径无关,仅与的起点和终点的坐标有关,亦即, 确为点的单值函数.下面证明由于可以认为是从点沿内任何路径到点的曲线积分,取如下路径,有类似地可证明因此【定理二】设是单连通的开区域,,在上具有一阶连续偏导数,则在内为某一函数全微分的充要条件是在内恒成立.【证明】显然,充分性就是定理一下面证明必要性若存在使得 ,则由于 ,在内连续, 则二阶混合偏导数适合等式从而【定理三】设是一个单连通的开区域, 函数,在内具有一阶连续偏导数, 若存在二元函数使得则其中,是内的任意两点.【证明】由定理1知,函数适合于是或因此 (是某一常数 )即而这是因为由点沿任意内的路径回到点构成一条封闭曲线,故因此□【确定的全微分函数的方法】因为,而右端的曲线积分与路径无关,为了计算简便,可取平行于坐标轴的直线段所连成的折线作为积分路径(当然折线应完全属于单连通区域).------------------------------------------------------- 【证明】先证假定区域的形状如下(用平行于轴的直线穿过区域,与区域边界曲线的交点至多两点)易见,图二所表示的区域是图一所表示的区域的一种特殊情况,我们仅对图一所表示的区域给予证明即可.另一方面,据对坐标的曲线积分性质与计算法有因此再假定穿过区域内部且平行于轴的直线与的的边界曲线的交点至多是两点,用类似的方法可证综合有当区域的边界曲线与穿过内部且平行于坐标轴( 轴或轴 )的任何直线的交点至多是两点时,我们有,同时成立.将两式合并之后即得格林公式注:若区域不满足以上条件,即穿过区域内部且平行于坐标轴的直线与边界曲线的交点超过两点时,可在区域内引进一条或几条辅助曲线把它分划成几个部分区域,使得每个部分区域适合上述条件,仍可证明格林公式成立.6. 牛顿—莱布尼兹公式⎰-=b a a F b F dx x F )()()('表示：)('x F 在区间[]b a ,上的定积分可以通过它的原函数)(x F 在这个区间端点的值来表达．而格林公式表示：在平面区域D 上的二重积分可以通过沿闭区域D 的边界曲线L 的曲线积分来表达．这样，牛顿——莱布尼兹公式成为格林公式的特殊情形．平面单连通域的概念．设D 为平面区域，如果D 内任一闭曲线所围的部分都属于D ，则称D 为平面单连通区域，否则称为复连通区域．例如：平面上的圆形区域(){}1|,22<+y x y x ，上半平面(){}0|,>y y x 都是单连通区域，圆环形区域(){}(){}10|,,41|,2222<+<<+<y x y x y xy x 都是复连通区域． 对平面区域D 的边界曲线L ，规定L 的正向如下：当观察者沿L 的方向行走时，D 总在他的左边．例如D是边界曲线L 及l 所围成的复连通域(图8)，作为D 的正向边界，L 的正向是逆时针方向，而l 的正向是顺时针方向．定理 1 设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，函数),(y x P 及),(y x Q 在D 上具有一阶连续偏导数，则有⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂L D Qdy Pdx dxdy y P x Q )(, (1)其中L 是D 的取正向的边界曲线．公式(1)叫做格林公式．证 先假设区域D 既是X 型又是Y 型的情形，即穿过区域D 且平行坐标轴的直线与D 的边界曲线L 的交点恰好为两点(图9)设(){}b x a x y x y x D ≤≤≤≤=),()(|,21ϕϕ，因为y P ∂∂连续，所以 {}⎰⎰⎰⎰⎰-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂=∂∂b a b a x x D dx x x P x x P dx dy y y x P dxdy y P ))(,())(,(),(12)()(21ϕϕϕϕ.另一方面，对坐标的曲线积分{}⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=+=+=L L L b a a b ba dx x x P x x P dx x x P dx x x P Pdx Pdx Pdx 12))(,())(,())(,())(,(2121ϕϕϕϕ.因此得 ⎰⎰⎰=∂∂-L D Pdx dxdy y P . (2) 类似地，设(){}d y c y x y y x D ≤≤≤≤=),()(|,21ϕϕ，则可证⎰⎰⎰=∂∂L D Qdy dxdy x Q . (3)由于D 既是X 型又是Y 型的区域，(2)(3)同时成立，二式合并即得公式(1)区域D 既是X 型又是Y 型这样的要求是相当严格的，但是对于一般情形，即区域D 不满足这个条件时，我们可在D 内引进辅助线把D 分成有限个部分闭区域，使得每个部分闭区域都满足这个条件，如图10，应用公式(1)于每个部分区域，即可得证．因此，一般地对于由分段光滑曲线围成的闭区域公式(1)都成立．证毕．注 (1) 格林公式中左端二重积分的被积函数是y P x Q ∂∂-∂∂，而且在D 内偏导连续．这是初学者容易记错或者忽略的地方．右端曲线积分中曲线L 对区域D 来说都是正向，这也是需要注意的．(2) 对于复连通区域D ，格林公式右端应包括沿区域D 的全部边界的曲线积分．例如对图8的复连通域1D (阴影部分)格林公式应为⎰⎰⎰⎰+++++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂L l D Qdy Pdx Qdy Pdx dxdy y P x Q 1.其中+L 、+l 是D 的取正向的闭曲线．(3) 格林公式揭示出二重积分与平面曲线积分之间的联系，同时也给出了通过二重积分计算曲线积分的一个重要公式．许多情况，曲线积分化为二重积分计算往往是方便的．当然有些二重积分也可以化为曲线积分来计算，但是在化为曲线积分时，被积表达式并不是唯一的．例如，⎰⎰D xdxdy 化为曲线积分时，即可以是dy x L ⎰221，也可以是()dx xy ⎰-或者是xydx dy x L -⎰22121，等等．格林公式的一个简单应用，在公式(1)中取y P -=，x Q =，即得⎰⎰⎰-=L D ydxxdy dxdy 2，上式左端为闭区域D 的面积A 的两倍，因此区域D 的面积A 可以用下面的曲线积分计算。
典型习题：（120212）用格林公式计算曲线积分
典型习题：（120212）用格林公式计算曲线积分解析视频习题解答相关小结“用格林公式计算曲线积分”题型的求解思路以及相关的知识点：1．格林公式当(1)积分曲线为闭曲线L；(2)积分曲线L的方向相对于其围成的封闭区域D以左手法则判定为正方向；(3)在闭区域上，两个二元函数P(x,y)和Q(x,y)存在有一阶连续偏导数，则有【注1】正确使用以上标准格林公式，三个条件：闭曲线、正方向、闭区域上的偏导连续性，一个都不能少。
【注2】格林公式中闭区域的边界曲线不取由左手法则确定的正向，而是取相反的方向时，则借助于对坐标的曲线积分的方向性计算性质，有即不管边界曲线取什么方向，有利用“左手法则”判断为正方向，则取正；否则取负。
【注3】判断平面区域的边界曲线正向的“左手法则”：当沿着边界曲线的正方向行走时，平面区域应该位于我们左手一侧，所以对于单连通区域，即只有外边界曲线的实心区域来说，曲线的正方向为逆时钟方向；对于多连通区域，则边界曲线由内外边界曲线构成，外边界曲线的正方向为逆时钟方向，内边界的边界曲线为顺时钟方向。
【注4】注意封闭曲线切向量方向与外法线方向的关系。
如果切向量方向为T0=(cosα,cosβ)（T=(x’(t),y’(t))），则当曲线的切向量指向为逆时钟方向时，则外法线方向的方向向量为n0=(cosβ,-cosα)（n=(y’(t),-x’(t))）；当曲线的切向量指向为顺时钟方向时，则外法线方向的方向向量为n0=(-cosβ,cosα)（n=-(y’(t),-x’(t))）。
即曲线的法向量与切向量的关系为：n=±(y’(t),-x’(t))。
取正号时，法向量为切向量顺时钟旋转90度得到；取负号时，法向量为切向量逆时钟旋转90度得到。
2．利用格林公式计算对坐标的曲线积分的基本思路与步骤依据以上定理，有如下使用格林公式计算关于平面上的积分曲线对坐标的曲线积分计算步骤：第一步：明确被积表达式中的P(x,y)和Q(x,y)函数(dx前面的函数为P(x,y)，dy前面的函数为Q(x,y)，如果有负号，记得带上负号)。
格林公式曲线积分
(iv) 在 D 内处处成立 P Q . y x
证 (i) (ii) 如图 21-19, 设 ARB 与 ASB 为联结点 A, B 的任意两条按段光滑曲线, 由 (i) 可推得
P dx Q dy P dx Q dy
ARB
ASB
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P dx Q dy P dx Q dy
y
x
y x
在例2 中 P( x , y) y , Q( x , y) x , 由于
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P Q 1, y x
所以积分与路线无关.
例4 计算
x 0.5 ydx x 0.5 ydy
L
x 0.52 y2
,
其中
L 为沿着右半圆周 x2 y2 1 ( x 0) 由点 A(0, -1)
L
一条或几条光滑曲线所
组成.边界曲线的正方向
D
规定为:当人沿边界行走
时,区域 D 总在它的左边,
图 21 12
如图 21-12 所示. 与上述规定的方向相反的方向称
为负方向,记为 L .
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定理21.11 若函数 P( x , y), Q( x , y) 在闭区域 D上
有连续的一阶偏导数, 则有
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xu u( x x , y) u( x , y)
P dx Q dy P dx Q dy .
AC
AB
因为在 D 内曲线积分与路线无关, 所以
P dx Q dy P dx Q dy P dx Q dy .
AC
AB
BC
因直线段 BC 平行于 x 轴, 故 dy 0, 从而由积分中
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以外的点而连续收缩于属于 D 的某一点, 则称此平 面区域为单连通区域; 否则称为复连通区域.
格林公式与曲线积分路径无关
（ⅲ）? （ⅳ）设存在u ?x , y ?，使得 du ? Pdx ? Qdy
所以P ?x, y ?? ? u ?x, y ?,Q ?x, y?? ? u ?x, y ?.因此
?x
?y
?P ? ? 2u , ?Q ? ? 2u . ?y ?x?y ?x ?y?x
令P ?
x
? 2?
y y2
,
Q?
x x2 ?
y2 ,
则当 x 2 ?
y2
?
0时,
有?Q ? ?x
y2 ? x2 (x 2 ? y2)2
?
?P .
?y
(1) 当(0, 0) ? D时,
由格林公式知
xdy ?
?L x 2 ?
ydx y2
?
0
y
D
o
L x
(2) 当(0,0) ? D 时,
作位于D 内圆周 l : x 2 ? y2 ? r 2, y L
?L P ( x , y )dx ? Q ( x , y )dy ? 0
(ii )对 D内任一按段光滑曲线 L，曲线积分
?L P ( x, y )dx ? Q ( x, y )dy
与路线无关 ,只与 L的起点及终点有关 ;
（ⅲ） Pdx ? Qdy 是 D 内某一函数 u 的全微分，即
du ? Pdx ? Qdy ；
?? x?? x Pdx ? Qdy ? P ?x ? ?? x, y ?? x, x
其中 0 ? ? ? 1，由 P ?x , y ?在 D 上的连续性
?u ?x
=
lim ? u ?x? 0 ? x
?
lim
? x? 0