曲线积分与曲面积分-格林公式

−y x 令P= 2 , Q= 2 2 x +y x + y2
y L
D
则当 x + y ≠ 0时,
y2 − x2 ∂P ∂Q = 2 = 2 2 ∂x ∂x ( x + y )
O
2
2
x
(1) 当(0,0) ∉ D 时, 由格林公式知 xd y − yd x ∫ L x2 + y2 = ∂Q ∂ P ∫∫ ( ∂x − ∂y ) d x d y
=(
L+ AO
∫
−
AO
∫
)(e x sin y − 2 y + 1)d x + (e x cos y − x)d y
∂Q ∂P = − ∫∫ ( − )d x d y − ∂x ∂y
D
AO
∫ Pd x + Qd y
∂Q ∂P = − ∫∫ ( − ) d x d y− ∂x ∂y
D
0
AO
∫ Pd x + Qd y
∂Q ∂P ∴ − = 2x − 2x = 0 ∂x ∂ y ∴ 2 xydx + x 2dy = ± ∫∫ 0dxdy = 0 ∫
L D
将曲线积分转化为二重积分
例2 计算 I = ∫ y 3 d x + ( 3 x − x 3 ) d y ,
L
y
其中 L为圆周 x + y = R 的正向.
2
2
2
外边界L 为逆时针方向； 内边界
li ( i = 1, 2, L , n )
l1
L
为顺时针方向.
3. 格林公式 定理10.3（Green公式）设平面区域 D 是由分段 光滑闭曲线围成, 函数 P ( x , y ) , Q ( x , y ) 在 D上具 有连续一阶偏导数, 则
∂Q ∂ P ∫∫ ( ∂ x − ∂ y )d xd y =
1. 当L是闭曲线时,
(1) 若P, Q在L所围区域 D上有一阶连续偏导数， 则 ∂Q ∂ P ∫ Pd x + Qd y = + ∫∫ ( ∂ x − ∂ y )d xd y –
L D
“+” ： L 取正向； “–” ： L 取负向. (2) 若P, Q在L所围区域 D上有奇点，则“挖洞”.
∫A( x1 , y1 ) P ( x , y )dx + Q ( x , y )dy
= u( x , y )
( x2 , y2 ) ( x1 , y1 )
B ( x2 , y2 )
—— 推广的牛顿-莱布尼茨公式
= u( x2 , y2 ) − u( x1 , y1 )
⌒ 其中A，B ∈ G，且AB ⊂ G .
D
= ∫∫ 0 d x d y = 0
D
y L
O
( 2) 当(0,0) ∈ D 时,
作位于 D 内圆周
l : x 2 + y 2 = r 2,
顺时针 .
l x
l的参数方程为： ⎧ x = r cosθ ⎨ ⎩ y = r sinθ θ : 2π a 0
y L
O
记 D1 由 L和 l 所围成的区域,
L + l 封闭，正向 .
应用格林公式,得
l x
D1
∂ Q ∂P xd y − yd x ∫ x 2 + y 2 = ∫∫ ( ∂x − ∂y ) d x d y = ∫∫ 0 d x d y = 0 D L+ l D
1
1
xd y − yd x ∫L x 2 + y 2 xd y − yd x xd y − yd x = ∫ −∫ 2 2 x +y x2 + y2 L+ l l = 0+ ∫ −
第十章
第三节 格林(Green)公式
一、主要内容 二、典型例题 三、同步练习 四、同步练习解答
一、主要内容 (一) 格林公式
1. 区域连通性分类 设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所 围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域；
平面单连通区域 就是没有“洞”的 区域
否则, 如果D内存在闭 曲线l，它所围成的部 分不完全属于D,则称D 为复连通区域.
y P ( x , y) = − 2 , 2 x +y
∂P y2 − x 2 ∂Q = ( x, y) ≠ (0,0) = 2 2 ∂x ∂y x + y
∂P y2 − x 2 ∂Q = ( x, y) ≠ (0,0) = 2 2 ∂x ∂y x + y
若取 G = R , 则 G是单连通域， 但 P， Q在( 0,0 )处无定义，故在 G内不是处处 具有一阶连续偏导数 .
则称 u(x, y) 是 P(x, y)dx + Q(x, y)dy 在G内的一个 原函数. 1 2 2 如： x d x + y d y = d[ ( x + y )] 2 1 2 ∴ u = ( x + y 2 ) 是x d x + y d y的一个原函数 . 2
定理10.5
若u( x , y )是P ( x , y )dx + Q( x , y )dy在单连通 域G上的一个原函数， 则第二类曲线积分
∂P 2 xy ∂Q =− 2 = ( x , y) ∈ G 2 ∂y ∂x x +y
虽然G不是单连通域 , 但 xd x + yd y I = ∫ =0 2 2 x + y C
⎧ x = r cos θ 作 事实上， l : ⎨ ⎩ y = r sin θ xd x + yd y 则 I = ( ∫ − ∫ )( ) 2 2 x + y L+(− l ) − l ∂Q ∂P )d x d y + = ( ∫∫ ( − ∂x ∂y
若取 G = {( x , y ) x 2 + y 2 ≠ 0}, 则 P , Q在 G内有一阶连续偏导数 , 但 G不是单连通
2
区域 .
反例2
I =
∫
L
xd x + yd y x2 + y2
L : 包围( 0,0)的任一条正向闭曲线 . 若取 G = {( x , y ) x 2 + y 2 ≠ 0}, 则 P , Q在 G内有一阶连续偏导数 , 且
L
L + AO 封闭，负向
x:2a0
Py = e x cos y − 2, Q x = e x cos y − 1,
Py = e cos y − 2, Q x = e cos y − 1, Q x − Py = 1
应用格林公式, 有
L
x
x
y L O
A( 2,0) x
W = ∫ (e x sin y − 2 y + 1) d x + (e x cos y − x ) d y
y
y0
( x, y)
= ∫ Q ( x0 , y ) d y + ∫ P ( x , y ) d x
y0 x0
y
x
( x0 , y0 )
O x0
x x
( 3) 偏积分法 .
二、典型例题
例1 L为任意一条分段光滑的闭曲线，证明：
2 xydx + x 2dy = 0 ∫
L
证 QFra Baidu bibliotekP = 2 xy , Q = x 2
平面复连通 区域就是有“ 洞”的区域
2. 边界曲线L的正向 边界曲线L的正向： 当观察者沿L的这 个方向行走时, D内在 他近处的部分总在他的 左边. 单连通区域的 边界曲线L的正向: 逆时针方向. D L
设复连通区域 D 的边界曲线为 Γ = L + l1 + l2 + ··· + ln Γ 的正向： 复合 闭路 D (如图) l2
D
∂D
∫ +Pd x + Qd y
—— 格林公式 其中∂D + 是D的边界曲线正向.
注 1º 格林公式的实质
沟通了沿闭曲线的曲线积 分与二重积分之间的联系.
便于记忆形式: ∂ ∂ + ∫∫ ∂x ∂y d x d y = ∫ P d x + Q d y y . + Pd x + Qd – L ∂D D P Q
∂P ∂Q (4) 在G内, ≡ . ∂y ∂x
注 1º 定理中关于区域的单连通性和函数P、Q 的一阶偏导数的连续性两个条件缺一不可. 缺少一个，定理结论不一定成立. 反例1
I = xd y − yd x = 2π ≠ 0 2 2 x + y .
x Q( x , y ) = 2 x + y2
∫
L
L : 包围 ( 0 , 0 )的任一条正向闭曲线
∈ C (1) (G ), 则以下四个命题等价:
(1) ∀分段光滑闭曲线 C ⊂ G , ( 2)
→
∫C P d x + Q d y = 0;
∫L Pdx + Qdy在G内与路径无关 ;
( 3) ∃ u = u( x, y ), 使 d u = P d x + Q d y (∀( x , y ) ∈ G )；
由格林公式
1 1 ∫ ∂D+ xd y − y d x = 2 ∫∫D 2 d xd y = A 2
格林公式
⎛ ∂Q ∂ P ⎞ ⎟ ∫∫D ⎜ ∂ x − ∂ y ⎠ d xd y = ∫∂D+ P d x + Q d y ⎝
(二) 平面曲线积分与路径无关的条件
定理10.4 设G是单连通域, F ( x , y ) = ( P ( x , y ), Q( x , y ))
D
y
D
O l
L x
θ : 0 a 2π
∫
l
xd x + yd y x2 + y2
= 0+
∫0
2π
0 dθ = 0 2 r
∂ P ∂Q = ， ( x , y ) ∈ G 时， 由定理知: 2º 当 ∂ y ∂x
计算曲线积分时, 可 选择方便的积分路径
y
(x, y)
G
(但要完全位于G内),
通常选择平行于坐标 轴的折线为积分路径. O
l
y L
O
l x
xd y − yd x x2 + y2
D1
( 其 中 l − 的方向
=∫
2π 0
r 2 cos 2 θ + r 2 sin 2 θ dθ 2 r
= 2 π.
取逆时针方向) (注意格林公式的条件)
F = (e x sin y − 2 y + 1, e x cos y − x ) 例4 求一质点在力 :
y L O
= − ∫∫ d x d y − [ ∫ P ( x , 0 ) d x + 0 ]
D
2
= − ∫∫
D
( e x sin 0 − 2 × 0 + 1) d x d x d y −∫
2
0
A( 2,0) x
π =− +2 2
小结： 利用格林公式计算第二类曲线积分时，要 注意定理使用的两个前提条件.
0
R
3π = ( 2 R 2 − R4 ) 2
注 I = 3 ∫∫ [1 − ( x 2 + y 2 )]d x d y
？ = ×3∫∫ (1 − R2 ) d x d y
D
D
xd y − yd x , 其中L为一无重 例3 计算 ∫ 2 2 L x + y
点且不过原点的分段光滑正向闭曲线. 解 记 L 所围成的闭区域为D
2º 格林公式的条件：
D D
L L
① L封闭，取正向; (负) ② P，Q在L所围区域D上有一阶连续偏导数.
3º 对复连通区域 D 应用格林公式，
⎛ ∂Q ∂ P ⎞ ⎟ ∫∫D ⎜ ∂ x − ∂ y ⎠ d xd y = ∫∂D+ P d x + Q d y ⎝
公式右端的 ∂D + 应包括沿区域 D的全部边界，
注 求原函数 u ( x , y )的常见方法：
(1) 分项组合法； ( 2 ) 特殊路径法，如：折线 法； u( x, y) = ∫ =∫
或
x x0
y G
( x, y) ( x0 , y0 )
P( x, y)dx + Q( x, y)d y
y y0
P ( x , y0 )d x + ∫
Q ( x , y )d y
(x0, y0)
L x
(三) 平面曲线积分基本定理
设P ( x , y ), Q( x , y )在平面单连通域 G内有
一阶连续的偏导数, 如果存在可微函数 u ( x , y ), 使
du( x , y ) = P ( x , y )dx + Q( x , y )dy， ∀( x , y ) ∈ G
D
O
L x
解
P = y , Q = 3x − x
3
3
∂Q ∂ P − ) d x d y = ∫∫ [( 3 − 3 x 2 ) − 3 y 2 ]d x d y I = ∫∫ ( ∂x ∂y
D
D
= 3 ∫∫ [1 − ( x 2 + y 2 )]d x d y
D
= 3∫
2π
0
dθ ∫ (1 − ρ 2 ) ρ d ρ
且边界的方向对 D 来说都是正向. 4º 利用曲线积分求面积的一种新方法. 推论 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积
1 A = ∫ + xd y − y d x 2 ∂D
1 需证： A = ∫ + xd y − y d x . 2 ∂D
证
令P = − y , Q = x， 则 ∂Q ∂ P − = 1+1 = 2 ∂x ∂ y
的作用下，沿 L : y = 2 x − x 2 从点 O ( 0,0) 运动到 A( 2,0),
y L O
→
力所作的功.
A( 2,0) x
W 解 需求： = ∫ (e x sin y − 2 y + 1) d x + (e x cos y − x ) d y
L不封闭，引入辅助线 AO : y = 0