2013年高考复习——不等式的基本性质、解不等式

2013年高考复习——不等式的基本性质、解不等式【考纲要求】1、不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景.2、一元二次不等式① 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.② 通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.③ 会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图. 【基础知识】一、不等式的概念及基本性质 1、实数运算性质与大小顺序关系（1）0a b a b >⇔-= （2）0a b a b =⇔-= （3）0a b a b <⇔-<2、不等式的基本性质（1）对称性：a ＞b ⇔b ＜a (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ⇔a ＞c(3)可加性a ＞b ⇔a+c ＞b+c (4)可乘性：⎩⎨⎧>>0c b a ⇔ac ＞bc ；⎩⎨⎧<>0c ba ⇔ac ＜bc(5)可乘方性：a ＞b ≥0⇔a n ＞b n （n ∈N ，n ≥2） (6)可开方性：a ＞b ≥0⇔na ＞nb （n ∈N ，n ≥2）（7）叠加性：a ＞b ，c ＞d ⇔a+c ＞b+d （不等式同向可加）（8）叠乘性：a ＞b ≥0，c ＞d ≥0⇔a ·c ＞b ·d （不等式同向为正可乘）注意：①不等式的基本性质，没有减法和除法。

如果遇到减法和除法，可以转化乘加法 和乘法，如：求a b -的范围可以转化成求()a b +-的范围，求a b的范围可以转化成求1a b⨯的范围。

②方程和不等式的两边不能随便乘除，必须先研究这个数的性质，再乘除。

3、实数大小的比较实数大小的比较一般用差比和商比。

如果不知道实数是正数或负数，一般用差比，一般步骤是作差→变形（通分、因式分解、合并同类项等）→与0比→下结论。

如果是正数，一般用商比，一般步骤是作商→变形（通分、因式分解、合并同类项等）→与1比→下结论。

4、⇒⇔和的含义“P Q ⇒”表示命题P 成立，命题Q 一定成立。

“P Q ⇔”表示命题P 成立，命题Q 一定成立；命题Q 成立，命题P 一定成立 二、一元一次不等式和一元二次不等式1、一元一次不等式的解法[来源:学,科,网Z,X,X,K]任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为(0)ax b a >≠的形式。

当0a >时，不等式的解集为b x x a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；当0a <时，不等式的解集为b x x a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭。

2、一元二次不等式20(0)ax bx c a ++≥≠的解法解一元二次不等式最好的方法是图像法，充分体现了数形结合的思想。

(1)二次不等式2()0f x ax bx c =++≥（0a >）的解法当240b ac ∆=->时，不等式的解集是}|{小大或x x x x x <>。

简记为大于两边分，大于大根，小于小根。

（见左图）当240b ac ∆=-=时，不等式的解集是R .（见中图） 当240b ac ∆=-<时，不等式的解集是R 。

（见右图） （2）二次不等式2()0f x ax bx c =++≤（0a >）当240b ac ∆=->时，不等式的解集是}|{大小x x x x <<。

简记为小于两边夹，大于小根，小于大根。

当240b ac ∆=-=时，不等式的解集是}2|{ab xx -=。

当240b ac ∆=-<时，不等式的解集是φ。

注意：当二次不等式()f x =20(0)ax bx c a ++≥<时，可以画图，解不等式，也可以把二次项的系数a 变成正数，再利用上面的结论。

3、温馨提示（1）不要把不等式20ax bx c ++>看成了一元二次不等式，一定邀注意观察分析2x 的系数。

（2）对于含有参数的不等式注意考虑是否要分类讨论。

（3）如果运用口诀解一元二次不等式，一定要注意使用口诀必须满足的前提条件。

（4）不等式的解集必须用集合或区间，不能用不等式，注意结果的规范性。

三、分式不等式和高次不等式 1、分式不等式的解法把分式不等式通过移项、通分、因式分解等化成()0()f xg x ≥的形式→化成不等式组()0()()0g x f x g x ≠⎧⎨≥⎩→解不等式组得解集。

温馨提示：解分式不等式一定要考虑定义域。

2、高次整式不等式的解法（序轴标根法）先把高次不等式分解因式化成123()()()()0n x a x a x a x a ----> 的形式（x 的系数必须为正）→标记方程的实根（注意空心和实心之分）→穿针引线，从右往左，从上往下穿（奇穿偶不穿）→写出不等式的解集。

实际上，序轴标根法适用于所有的整式不等式，根据它可以很快地写出整式不等式的解集。

四、绝对值不等式 1、解绝对值不等式方法一：公式法 解只含有一个绝对值形如()ax b c +><的不等式，一般直接用公式x a x a x a >⇔><-或 x a a x a <⇔-<<，注意集合的关系和集合的运算，集合的运算主要利用数轴。

方法二：零点讨论法 解含有两个绝对值形如()x a x b c +++><的不等式，常用零点讨论法和数形结合法。

注意小分类求交大综合求并。

方法三：平方法 如果绝对值的不等式的两边都是非负数，如：3x >，可以使用平方法。

2、绝对值三角不等式a b a b a b -≤±≤+绝对值三角不等式的运用主要体现在直接利用绝对值三角不等式证明不等式和求函数的最值。

【例题精讲】例1 已知不等式的解集为 ，求 、 的值。

解：方法一：显然，由 ，得，变形得，所以方法二：与是方程的两根，故有 ，解得 （此处注意韦达定理的应用）。

例2 解关于 的不等式：解：当时，原不等式化为 ，其解集为当时，有 ，原不等式化为，其解集为[来源:学科网ZXXK]当时， 。

原不等式化为 ，其解集是当时，原不等式化为 ，其解集是当时，原不等式化为 ，其解集是9.1不等式的基本性质、解不等式强化训练【基础精练】1．不等式⎪⎪⎪⎪x ＋1x －1<1的解集为 ( )A ．{x |0<x <1}∪{x |x >1}B ．{x |0<x <1}C ．{x |－1<x <0}D ．{x |x <0}2．设集合P ＝{m |－1<m <0}，Q ＝{m ∈R|mx 2＋4mx －4<0对任意实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是( )A ．P QB ．Q PC ．P ＝QD ．P ∩Q ＝Ø3．不等式(|x |＋2) (1－x 2)≤0的解集是 ( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．(－∞，－1]∪[1，＋∞) C ．(－1,1)D ．[－1,1]4．若关于x 的不等式－12x 2＋2x >mx 的解集为{x |0<x <2}，则实数m 的值为 ( )A ．1B ．－2C ．－3D ．35．若关于x 的不等式|x －1|＋|x －2|>a 2＋a ＋1(x ∈R)恒成立，则实数a 的取值范围为 ( )A ．(0, 1)B ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－1,0)6．设0<b <1＋a .若关于x 的不等式(x －b )2>(ax )2的解集中的整数恰有3个，则 ( )A ．－1<a <0B ．0<a <1C ．1<a <3D ．3<a <6 7．不等式|2x －1|－|x －2|＜0的解集为________．8．不等式|x ＋1||x ＋2|≥1的实数解为________．9．若不等式|2x －3|>4与不等式x 2＋px ＋q >0的解集相同，则p ＋q ＝__________.10．已知关于x 的不等式3ax ＋b >0的解集为{x |x >1}，则不等式(a ＋b )x ＋(2a －b )<0的解集为__________．11．(15分)解关于x 的不等式：ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.12．(15分)设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|.(1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3；(2)如果任意x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围．【拓展提高】1 。

当为何值时，关于的方程的两根分别在落在0和1，1和2之间．2.二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的范围．[来源:学*科*网]【基础精练参考答案】4.A【解析】：x2－4x＋2mx<0，即x2＋(2m－4)x<0，∴0,2为x2＋(2m－4)x＝0的两根，∴4－2m＝2，∴m＝1.故选A.5.D【解析】：由绝对值的几何意义知|x－1|＋|x－2|≥1，∴a2＋a＋1<1恒成立，即a2＋a<0，∴－1<a<0.6.C【解析】：原不等式转化为：[(1－a)x－b][(1＋a)x－b]>0.(1)a≤1，结合不等式解集形式知不符合题意．(2)a>1.此时－ba－1<x<ba＋10<ba＋1<1，要使原不等式解集中的整数解恰有3个．知－3≤－ba－1<－2.整理得：2a－2<b≤3a－3.[来源:学科网]结合题意b<1＋a，有2a－2<1＋a.∴a<3，从而有1<a<3.故选C.7. (－1,1)【解析】：|2x－1|－|x－2|<0⇔|2x－1|<|x－2|⇔(2x－1)2<(x－2)2⇔4x2－4x＋1<x2－4x＋4⇔3x 2<3⇔－1<x <1.8. (－∞，－2)∪⎝⎛⎦⎤－2，－32【解析】：|x ＋1||x ＋2|≥1⇔⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|≥|x ＋2|，x ＋2≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2≥(x ＋2)2，x ＋2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1＋x ＋2)(x ＋1－x －2)≥0，x ≠－2，解得x ≤－32x ≠－2.9. －194【解析】：解|2x －3|>4得x >72或x <－12，由它与x 2＋px ＋q >0同解，可知方程x 2＋px ＋q ＝0的根是x 1＝72，x 2＝－12，由根与系数的关系可知p ＝－3，q ＝－74，∴p ＋q ＝－194.10. {x |x >52}【解析】：由题意得不等式3ax ＋b >0的解为x >－b 3a 且3a >0，－b3a＝1，所以b ＝－3a (a >0)，所以不等式(a ＋b )x ＋(2a －b )<0 可化为－2ax ＋5a <0，即2ax >5a ，因为a >0，所以x >52，即不等式(a ＋b )x ＋(2a －b )<0的解集为{x |x >52}．11.【解析】(1)当a ＝0时，原不等式化为－x ＋1<0， ∴原不等式的解集为{x |x >1}．(2)当a ≠0时，原不等式可化为a (x －1)(x －1a)<0.当a <0时，有(x －1)(x －1a)>0，∵1a <1，∴原不等式的解集为{x |x <1a或x >1}．当a >0时，原不等式可化为(x －1)(x －1a)<0.①当1a即a >1时，不等式的解集为{x |1a<x <1}．②当1a 1，即a ＝1时，不等式即为(x －1)2<0，解集为Ø.③当1a，即0<a <1时，不等式的解集为{x |1<x <1a}．综上所述，原不等式的解集为当a <0时，{x |x <1a或x >1}；当a ＝0时，{x |x >1}；当0<a <1时，{x |1<x <1a}； 当a ＝1时，解集为Ø；当a >1时，{x |1a<x <1}．12.【解析】：(1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|，由f (x )≥3得|x －1|＋|x ＋1|≥3. ①当x ≤－1时，不等式化为1－x －1－x ≥3，即－2x ≥3.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，f (x )≥3的解集为⎝⎛⎦－∞，－32.②当－1<x ≤1时，不等式化为1－x ＋x ＋1≥3，不可能成立．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－1<x ≤1，f (x )≥3的解集为Ø.③当x >1时，不等式化为x －1＋x ＋1≥3，即2x ≥3.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >1，f (x )≥3的解集为⎣⎡⎭⎫32，＋∞.综上得，f (x )≥3的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞.(2)若a ＝1，f (x )＝2|x －1|，不满足题设条件． 若a <1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋1， x ≤a ，1－a ， a <x <1，2x －(a ＋1)， x ≥1.f (x )的最小值为1－a .若a >1，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a ＋1， x ≤1，a －1， 1<x <a ，2x －(a ＋1)， x ≥a .f (x )的最小值为a －1. 所以任意x ∈R ，f (x )≥2的充要条件是|a －1|≥2，从而a 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．【拓展提高参考答案】1.【解析】：设，它的图象为开口向上的抛物线，依题意，抛物线与 轴的两个交点分别在区间（0，1）和（1，2）内，如图所示。