河南省洛阳市第一高级中学2019-2020学年高二数学下学期周练试题(2.23)理(PDF)
2019-2020学年河南省洛阳市第一高级中学高二9月月考数学试题(解析版)
2019-2020学年河南省洛阳市第一高级中学高二9月月考数学试题一、单选题1．函数22()(23)f x log x x =+-的定义域是（ ）A ．[3,1]-B ．(3,1)-C ．(,3][1,)-∞-⋃+∞D ．(,3)(1,)-∞-⋃+∞ 【答案】D 【解析】由解得或，故选D.【考点】函数的定义域与二次不等式.2．ABC ∆中，o 4,3,60AB AC A ===，则ABC ∆的面积为( )A B ．3C ．D ．【答案】C【解析】利用三角形的面积公式直接计算即可. 【详解】11sin 43222ABC S AB AC A ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯=，故选C. 【点睛】本题考查三角形面积公式的应用，属于基础题.3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 2=3，S 4=15，则S 6=（ ） A ．31 B ．32 C ．63 D ．64【答案】C【解析】试题分析：由等比数列的性质可得S 2，S 4﹣S 2，S 6﹣S 4成等比数列，代入数据计算可得．解：S 2=a 1+a 2，S 4﹣S 2=a 3+a 4=（a 1+a 2）q 2，S 6﹣S 4=a 5+a 6=（a 1+a 2）q 4，所以S 2，S 4﹣S 2，S 6﹣S 4成等比数列， 即3，12，S 6﹣15成等比数列，可得122=3（S 6﹣15），解得S 6=63 故选：C【考点】等比数列的前n 项和．4．在中，a =b =π3B =，则A 等于 A ．π6 B ．π4C ．3π4D ．π4或3π4【答案】B【解析】试题分析：由正弦定理得，因,故A 等于π4【考点】正弦定理5．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且222a b c +=，则角C 为（ ） A ．4π B ．34π C ．3π D ．23π 【答案】B【解析】利用余弦定理可直接计算C 的大小. 【详解】因为222cos 2a b c C ab +-==，而()0,C π∈， 所以34C π=，故选C. 【点睛】本题考查余弦定理的应用，属于基础题.6．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ） A ．54钱 B ．43钱 C ．32钱 D ．53钱 【答案】B【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2,,,,2a d a d a a d a d --++,则22a d a d a a d a d -+-=++++,解得6a d =-,又225,a d a d a a d a d -+-+++++=1a \=,则4422633a a d a a ⎛⎫-=-⨯-== ⎪⎝⎭,故选B.7．A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，45ACB ∠=，105CAB ∠=后，就可以计算出A 、B 两点的距离为（ ）A． B．C．D．2m 【答案】A【解析】由∠ACB 与∠BAC ，求出∠ABC 的度数，根据sin ∠ACB ，sin ∠ABC ，以及AC 的长，利用正弦定理即可求出AB 的长． 【详解】在△ABC 中，AC=50m ，∠ACB=45°，∠CAB=105°，即∠ABC=30°，则由正弦定理sin sin AB ACACB ABC=∠∠，得AB=50sin 2.1sin 2AC ACB ABC∠==∠ 故选A. 【点睛】解三角形应用题的一般步骤：(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系；(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型；(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解；(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.8．变量,x y 满足条件1011x y y x -+≤⎧⎪≤⎨⎪>-⎩，则22(2)x y -+的最小值为（ ） A．2BC ．5D ．92【答案】C【解析】由约束条件画出可行域，如下图，可知当过A(0,1)点时，目标函数取最小值5，选C.9．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若123a =，6812S a =，则使n S 达到最大值的n 是（ ） A ．10 B ．11C ．12D ．13【答案】C【解析】利用123a =，6812S a =可求出基本量，再考虑n a 何时变号即可得到n S 达到最大值的n 的值. 【详解】设等差数列的公差为d ，则 ()65623122372d d ⨯⨯+⨯=+，故2d =-， 故252n a n =-，当13n ≥时，0n a <，当12n ≤时，0n a >， 所以当12n =时，n S 最大，故选C.10．已知实数,x y 满足12100y y x x y m ≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，如果目标函数z x y =-的最小值为1,-则实数m 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】画出可行域对应的平面区域，平移动直线z x y =-后可得z 何时取最小值，从而可求实数m 的值. 【详解】如图，由21y x x y m =-⎧⎨+=⎩可得B 的坐标为121,33m m +-⎛⎫⎪⎝⎭， 当动直线0x y z --=过B 时，z 取最大值1-，故1211033m m +--+=， 故5m =，所以选D. 【点睛】二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考二元函数的几何意义，比如34x y +表示动直线340x y z +-=的横截距的三倍 ，而21y x +-则表示动点(),P x y 与()1,2-的连线的斜率． 11．若，且，恒成立，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】将代数式与相乘，展开式利用基本不等式求出的最小值，将问题转化为解不等式，解出即可.【详解】由基本不等式得，当且仅当，即当时，等号成立，所以，的最小值为.由题意可得，即，解得或.因此，实数的取值范围是，故选：B.【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查不等式恒成立问题以及一元二次不等式的解法，对于不等式恒成立问题，常转化为最值来处理，考查计算能力，属于中等题。
河南省洛阳市第一高级中学2019_2020学年高二数学下学期周练试题(3.15)文
河南省洛阳市第一高级中学2019-2020学年高二数学下学期周练试题（3.15）文1．若直线l 经过点A(1，2)，且在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是( )A ．－1<k<15B ．k>1或k<12 C.15<k<1D ．k>12或k<－12．已知直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 切于点(1，3)，则b 的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．5 D ．－53．“m ＝－1”是“直线mx ＋(2m －1)y ＋2＝0与直线3x ＋my ＋3＝0垂直”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．直线y ＝2x ＋1关于点(1，1)对称的直线方程是( ) A ．y ＝2x －1 B ．y ＝－2x ＋1 C ．y ＝－2x ＋3D ．y ＝2x －35．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．若直线x －y ＋2＝0与圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4相交于A ，B 两点，则CA →·CB →的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．67．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A(－m ，0)，B(m ，0)(m>0)，若C 上存在的点P ，使得∠APB＝90°，则m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．48.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点．若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是( )A ．线段B ．圆C ．双曲线一部分D ．抛物线的一部分9．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)与圆C 2：x 2＋y 2＝b 2，若在椭圆C 1上存在点P ，使得由点P所作的圆C 2的两条切线互相垂直，则椭圆C 1的离心率的取值范围是( ) A ．[12，1) B ．[22，32] C ．[22，1)D ．[32，1) 10．已知点P 为双曲线x 216－y29＝1右支上一点，点F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，M 为△PF 1F 2的内心，若S △PMF 1＝S △PMF 2＋8，则△MF 1F 2的面积为( ) A ．27 B ．10 C ．8D ．611．若圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，则由点(a ，b)向圆所作的切线长的最小值为________．12．直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．13．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的右焦点F(c ，0)关于直线y ＝bc x 的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是________．14．平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py(p>0)交于O ，A ，B 三点，若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________．15．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－2y ＝0.(1)求2x ＋y 的取值范围；(2)若x ＋y ＋c≥0恒成立，求实数c 的取值范围．16．在直角坐标系xOy 中，以M(－1，0)为圆心的圆与直线x －3y －3＝0相切． (1)求圆M 的方程；(2)已知A(－2，0)，B(2，0)，圆内的动点P 满足|PA|·|PB|＝|PO|2，求PA →·PB →的取值范围．17.如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，F 1，F 2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P ，∠F 1PF 2＝π3，且△PF 1F 2的面积为23，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程．3月15日文科数学周测答案1．D 2．A 3． A 4．D 5．C 6． B 7．B 8.D 9． C 10． B 11．4 12． 4313．2214．3215．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－2y ＝0. (1)求2x ＋y 的取值范围；(2)若x ＋y ＋c≥0恒成立，求实数c 的取值范围．解 (1)方法一：圆x 2＋(y －1)2＝1的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ，--------2分∴2x ＋y ＝2cos θ＋sin θ＋1.------------------------------------------------------------3分 ∵－5≤2cos θ＋sin θ≤5，--------------------------------------4分 ∴1－5≤2x＋y≤5＋1.----------------------------------------------------------------5分方法二：2x ＋y 可看作直线y ＝－2x ＋b 在y 轴的截距，当直线与圆相切时b 取最值，此时|2×0＋1－b|5＝1.-----------------------------------------------------------------------------3分 ∴b＝1±5，∴1－5≤2x＋y≤1＋5.-------------------------------------------------5分(2)∵x＋y ＝cos θ＋1＋sin θ＝2sin (θ＋π4)＋1，------------------------7分∴x＋y＋c的最小值为1－2＋c.---------------------------------------------------------8分 ∴x＋y＋c≥0恒成立等价于1－2＋c≥0.---------------------------------------------9分 ∴c的取值范围为c≥2－1.---------------------------------------------------------------10分16．在直角坐标系xOy 中，以M(－1，0)为圆心的圆与直线x －3y －3＝0相切． (1)求圆M 的方程；(2)已知A(－2，0)，B(2，0)，圆内的动点P 满足|PA|·|PB|＝|PO|2，求PA →·PB →的取值范围．解 (1)依题意，圆M 的半径r 等于圆心M(－1，0)到直线x －3y －3＝0的距离，即r ＝|－1－3|1＋3＝2.---------------------------------------------------------------------------------------3分 ∴圆M的方程为(x＋1)2＋y2＝4.-------------------------------------------------------------4分 (2)设P(x ，y)，由|PA||PB|＝|PO|2，得 （x ＋2）2＋y 2·（x －2）2＋y 2＝x 2＋y 2， 即x2－y2＝2.---------------------------------------------------------------------------------------6分∴PA →·PB →＝(－2－x ，－y)·(2－x ，－y) ＝x2－4＋y2＝2(y2－1)．-------------------------------------------------------------------------8分∵点P 在圆M 内，∴(x ＋1)2＋y 2<4，∴0≤y 2<4，∴－1≤y 2－1<3. ∴PA→·PB→的取值范围为[－2，6)．------------------------------------------------------------10分17.如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，F 1，F 2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P ，∠F 1PF 2＝π3，且△PF 1F 2的面积为23，又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程．解 设双曲线的方程为x 2a 2－y2b 2＝1，----------------------------------------1分∴F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，P(x 0，y 0)． 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cosπ3-----------------------------------------------------3分 ＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|. 即4c2＝4a2＋|PF 1|·|PF 2|.----------------------------------------------------------------------------5分 又∵S△PF 1F 2＝23，∴12|PF 1|·|PF 2|·sin π3＝23.------------------------------------------------------------------------7分∴|PF 1|·|PF 2|＝8. ∴4c2＝4a2＋8，即b2＝2.-----------------------------------------------------------------------------8分又∵e＝c a ＝2，∴a 2＝23.∴所求双曲线方程为3x22－y 22＝1.-------------------------------------------------------------------10分。
2019-2020学年河南省洛阳市高二(下)期末数学试卷2 (含答案解析)
2019-2020学年河南省洛阳市高二（下）期末数学试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1.5−i 1−i=( )A. 3+2iB. 2+2iC. 2+3iD. −2−2i2. 命题“对∀∈R ，x 2−3x +5≤0”的否定是( )A. ∃x 0∈R ，x 02−3x 0+5≤0B. ∃x 0∈R ，x 02−3x 0+5>0 C. ∀x ∈R ，x 2−3x +5≤0D. ∀x 0∈R ，x 02−3x 0+5>03. 从某大学随机选取8名女生，其身高x(cm)和体重y(kg)数据如下表所示．其回归直线方程为y ∧=0.85x −85，则下列结论错误的是( )A. x 与y 是正相关B. 随机误差e i (i =1,2，…，8)的均值为0C. 身高180 cm 的女生的体重估计为68 kgD. 身高175 cm 的残差为−0.254. 若x ，y 满足约束条件{x −2y ≤0x +y −4≥0y <4，则z =x +2y 的取值范围是( )A. (163,8)B. (163,16)C. [163,16)D. [163,16]5. 以双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点F 为圆心，作半径为b 的圆F ，则圆F 与双曲线的渐近线( )A. 相交B. 相离C. 相切D. 不确定6. (√x +13x )10的展开式中常数项为( )A. 120B. 210C. 252D. 457. 已知正实数a ，b ，c 满足a 2−2ab +9b 2−c =0，则当abc 取得最大值时，3a +1b −12c的最大值为( ) A. 3B. 94C. 1D. 08. 设随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2)，若P(ξ<−2)=0.1，则函数f(x)=13x 3+2x 2+ξ2x 有极值点的概率为( )A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.59. 若f(x)={x3+sinx,−1≤x ≤121<x ≤2，则∫f 2−1(x)dx =( )A. 0B. 1C. 2D. 310.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99.3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.则2n+1(n∈N ∗)位回文数的个数为()A. 9×10 n−1个B. 9×10 n个C. 9×10 n+1个D. 9×10 n+2个11.已知函数，则f(x)是()A. 奇函数B. 偶函数C. 既是奇函数也是偶函数D. 非奇非偶函数12.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于点P(x1,y1)，Q(x2,y2)两点，若x1+x2=6，则PQ中点M到抛物线准线的距离为()A. 5B. 4C. 3D. 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知曲线f(x)=x3，则过点P(1,1)的曲线f(x)的切线方程为________．14.观察下列等式：按此规律，第10个等式的右边等于______ ．15.2018年春季，世界各地相继出现流感疫情，这已经成为全球性的公共卫生问题．为了考察某种流感疫苗的效果，某实验室随机抽取100只健康小鼠进行试验，得到如下列联表：感染未感染总计注射104050未注射203050总计3070100有关系．.】【参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82816.①函数f(−x+2)与y=f(x−2)的图象关于y轴对称②若函数f(x)=e x，则对任意的x1，x2∈R，都有f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2③若函数f(x)=log a|x|(a>0,a≠1)在(0,+∞)上单调递增，则f(−2)>f(a+1)④若函数f(x+2013)=x2−2x−1(x∈R)，则函数的最小值为−2其中正确的序号是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ba+c =1−sinAsinC+sinB．(1)求角C的大小；(2)若S△ABC=2√3,a+b=6，求c．18.设S n为数列{a n}的前n项和，且满足S n=λa n−1(λ为常数，n∈N∗).a3=a22，求λ的值；19.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=2√2，E，F分别是AD，PC的中点．(1)证明：PC⊥平面BEF；(2)求平面BEF与平面BAP夹角的大小．20.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(√3,12)，离心率e=√32(1)求椭圆的方程：(2)若直线y=kx+2与椭圆有两个交点，求出k的取值范围．21.某产品有4件正品和2件次品混在了一起，现要把这2件次品找出来，为此每次随机抽取1件进行测试，测试后不放回，直至次品全部被找出为止．(1)求“第1次和第2次都抽到次品”的概率;(2)设所要测试的次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．22.设函数f(x)=(2x2−4mx)lnx，m∈R．(1)当m=0时，求曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程；(2)若∀x∈[1,+∞),f(x)+x2−m>0恒成立，求m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：5−i1−i =(5−i)(1+i)(1−i)(1+i)=6+4i2=3+2i，故选：A．直接由复数代数形式的乘除运算化简计算得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.答案：B解析：【分析】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对∀∈R，x2−3x+5≤0”的否定是：∃x0∈R，x02−3x0+5>0．故选B．3.答案：D解析：【分析】本题考查回归直线方程及相关概念，属基础题目．【解答】解：因为0.85>0，故A正确．随机误差的均值为0，故B正确．当x=180时，y∧=0.85×180−85=68，故C正确．当x=175时，y∧=0.85×175−85=63.75.残差e=64−63.75=0.25.故D错误，故选D．4.答案：C解析：【分析】画出约束条件表示的可行域，判断目标函数的几何意义，然后求解目标函数的取值范围． 本题考查的知识点是简单线性规划的应用，目标函数的几何意义是解题的关键． 【解答】解：x ，y 满足约束条件{x −2y ≤0x +y −4≥0y <4的可行域如下图所示：则z =x +2y 经过可行域的C 点时，取得最小值． {x −2y =0x +y −4=0解得C(83,43) x =83，y =43时，z =x +2y =163，由{y =4x −2y =0解得B(8,4)，z =16 ∴z =x +2y 的取值范围为[163,16)． 故选：C ．5.答案：C解析：解：由题意，圆F 的方程为：(x +c)2+y 2=b 2，双曲线的渐近线方程为：bx ±ay =0 ∴F 到渐近线的距离为d =√a 2+b 2=b ∴圆F 与双曲线的渐近线相切 故选C ．确定圆F 的方程，双曲线的渐近线方程，求出圆心到直线的距离，即可得到结论． 本题考查双曲线的性质，考查直线与圆的位置关系，属于基础题．6.答案：B解析：解：(√x+13x )10的展开式的通项公式为Tr+1=C10r⋅x5−5r6，令5−5r6=0，解得r=6，∴(√x+13x)10的展开式中常数项为C106=210，故选：B．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．7.答案：C解析：【分析】本题考查利用基本不等式求最值，解决此类问题关键在于对代数式进行灵活配凑，属于中等题．由已知条件得出c=a2−2ab+9b2，代入abc，并在分式分子分母中同时除以ab，利用基本不等式可求出abc 的最大值，同时注意等号成立的条件a=3b，并得出c=12b2，代入3a+1b−12c并利用配方可求出该代数式的最大值．【解答】解：由a2−2ab+9b2−c=0，可得c=a2−2ab+9b2，∴abc =aba2−2ab+9b2=1a2+9b2−2abab=1ab+9ba−2≤2√b⋅a−2=14，当且仅当ab =9ba时，即当a=3b时，等号成立，此时c=a2−2ab+9b2=(3b)2−2×3b×b+9b2=12b2，所以，3a +1b−12c=33b+1b−1212b2=−1b2+2b=−(1b−1)2+1≤1，当且仅当b=1时，等号成立，所以，3a +1b−12c的最大值为1．故选C．8.答案：C解析：【分析】本题考查函数的极值点，考查正态分布曲线的对称性，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．函数f(x)=13x3+2x2+ξ2x有极值点，则f′(x)=x2+4x+ξ2=0有两个不同实数解，可得ξ的取值范围，再根据随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2)，由对称性即可求得答案．【解答】解：∵函数f(x)=13x 3+2x 2+ξ2x ， ∴f′(x)=x 2+4x +ξ2，∵函数f(x)=13x 3+2x 2+ξ2x 有极值点， ∴f′(x)=x 2+4x +ξ2=0有两个不同实数解， ∴△=16−4ξ2>0，即−2<ξ<2．∵随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2)且P(ξ<−2)=0.1， ∴P(−2<ξ<2)=0.5−0.1=0.4．∴函数f(x)=13x 3+2x 2+ξ2x 有极值点的概率为0.4． 故选C ．9.答案：C解析：解：∵f(x)={x 3+sinx,−1≤x ≤12, 1<x ≤2，∴∫f 2−1(x)dx =∫(1−1x 3+sinx)dx +∫221dx=(14x 4−cosx)|−11+2x|12=(14⋅14−cos1)−[14⋅(−1)4−cos(−1)]+(2×2−2×1)=2． 故选：C根据分段函数的积分法则，可得所求积分为：y =x 3+sinx 在[−1,1]上的积分值，再加上函数y =2在[1,2]上的积分值积所得的和．再由定积分计算公式求出被积函数的原函数，由微积分基本定理加以计算，可得答案．本题求一个函数的原函数并求定积分值，考查定积分的运算和微积分基本定理等知识，属于基础题．10.答案：B解析：解：第一步，选左边第一个数字，有9种选法；第二步，分别选左边第2、3、4、…、n 、n +1个数字，共有10×10×10×…×10=10n 种选法， 故2n +1(n ∈N +)位回文数有9×10n 个 故选：B ．利用回文数的定义，结合分步计数原理即可计算2n +1(n ∈N +)位回文数的个数．本题主要考查了分步计数原理的运用，新定义数字问题的理解和运用，归纳推理的运用，属基础题11.答案：A解析： 【分析】本题考查函数奇偶性的判定，属于基础题．利用奇偶函数的定义判定即可．【解答】解：由题意知，f(x)的定义域为R，=xlg[(10x+1)×10−12x]=xlg(10x2+10−x2)，则f(−x)=−xlg(10−x2+10x2)=−f(x)，所以f(x)为奇函数．故选A．12.答案：B解析：【分析】本题主要考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题．抛物线的焦点F(1,0)，准线方程为x=−1，由中点坐标公式可得M的坐标，由此求得点M到抛物线准线的距离x1+x22+1的值．【解答】解：由抛物线的方程y2=4x可得它的焦点F(1,0)，准线方程为x=−1．由中点坐标公式可得PQ的中点M(x1+x22,y1+y22)由于x1+x2=6，则M到准线的距离为x1+x22+1=4，故选B．13.答案：y=3x−2或y=34x+14解析：【分析】本题主要考查导数的几何意义以及利用导数腰间曲线上某点的切线方程．【解答】解：因为f′(x)=3x2，设切点为，所以切线方程为y−x03=3x02(x−x0)，将P(1,1)代入切线方程得(x0−1)2(2x0+1)=0，得x0=1或x0=−12，∴过点P(1,1)的f(x)的切线方程为y=3x−2或y=34x+14，故答案为y=3x−2或y=34x+14．14.答案：280解析：解：因为3−1=2，7−3=4，13−7=6，所以第5个式子的第一数与第4个式子的差为21−13=8，第6个式子的第一个数与第5个式子的第一个数差10，即31−21=10．…所以第10个式子的第一个数为19，后面是连续10个奇数的和．所以等式的左边为19+21+23+⋯+37．∵19+21+23+⋯+37=(19+37)×102=280，故答案为：280．根据前四个式子的规律，归纳出规律，进而可得第10个等式．本题考查归纳推理，涉及累加法求数列的通项公式，属基础题．15.答案：0.05解析：【分析】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，属于基础题．根据列联表中数据计算观测值，参照附表得出概率结论．【解答】解：根据列联表中数据，计算观测值为K2=100×(10×30−20×40)2 50×50×70×30=10021≈4.762>3.841，参照附表知，在犯错误的概率最多不超过0.05的前提下，认为“注射疫苗”与“感染流感”有关系．故答案为：0.05．16.答案：②④解析：解：①设t=−x+2，∴x−2=−t，∴函数化为y=f(t)与y=f(−t)，两函数图象关于直线t=0对称，由t=−x+2=0得：x=2，∴y=f(−x+2)与y=f(x−2)的图象关于直线x=2对称；∴命题①错误；②∵f(x)=e x，对任意的x1，x2∈R，有f(x1)+f(x2)2f(x1+x22)=e x1+e x22ex1+x22=e x1−x222+ex2−x122≥2√ex1−x222⋅ex2−x122=2×12=1，∴f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2，∴命题②正确；③当函数f(x)=log a|x|(a>0,a≠1)在(0,+∞)上单调递增时，a>1，∴a+1>2，∴f(a+1)>f(2)；又f(−2)=f(2)，∴f(a+1)>f(−2)；∴命题③错误；④∵函数f(x+2013)=x2−2x−1(x∈R)，设x+2013=t，则x=t−2013；∴f(t)=(t−2013)2−2(t−2013)−1=(t−2013−1)2−1−1=(t−2014)2−2，即f(x)=(x−2014)2−2；∴函数f(x)的最小值为−2，∴命题④正确；综上知，正确命题的序号是②④；故答案为：②④．①令t=−x+2，知y=f(t)与y=f(−t)的图象关于y轴对称，从而得出y=f(−x+2)与y=f(x−2)的图象的对称性；②利用作商法，结合基本不等式，判定f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2是否成立即可；③由函数f(x)的单调性与奇偶性判定命题是否正确；④利用换元法求出函数f(x)的解析式，再求出f(x)的最小值，即可判定命题是否正确．本题通过命题真假的判定考查了函数的单调性、奇偶性、对称轴以及最值问题，是综合题目．17.答案：解：(1)由ba+c =1−sinAsinC+sinB=sinC+sinB−sinAsinC+sinB，得：b a+c =b+c−a c+b，化简为b 2+a 2−c 2=ba ，再由余弦定理得cosC =b 2+a 2−c 22ba=12，∵C ∈(0,π)， ∴C =π3．(2)由(1)知C =π3，由S △ABC =2√3， 得：12ab ⋅√32=2√3，解得ab =8，∴由余弦定理得c 2=a 2+b 2−2ab ×12=(a +b)2−3ab =12， ∴c =2√3．解析：(1)化简已知等式，由余弦定理可求cos C 的值，结合范围C ∈(0,π)，可求C 的值． (2)利用三角形的面积公式可求ab 的值，根据余弦定理可求c 的值．本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．18.答案：λ=0或λ=2解析：由S n =λa n −1得a 1=λa 1−1(即知λ≠1)，a 1+a 2=λa 2−1，a 1+a 2+a 3=λa 3−1.故 a 1=1λ−1，a 2=λ(λ−1)2，a 3=λ2(λ−1)3 于是由a 3=a 22得λ2(λ−1)3=λ2(λ−1)4解得λ=0或 λ=2 . 19.答案：解：∵四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AP =AB =2，BC =2 √2，E ，F 分别是AD ，PC 的中点， 以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0，2)，A(0,0，0)，B(2,0，0)，C(2,2 √2，0)， D(0,2 √2，0)，E(0,√2,0)，F(1,√2,1)，证明：(1)由题意得PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2 √2，−2)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,√2,0)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√2,1)，∵PC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4+4+0=0，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2+4−2=0， ∴PC⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴PC ⊥BE ，PC ⊥BF ， 又∵BE ∩BF =B ， ∴PC ⊥平面BEF ；解：(2)由已知可得向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2 √2，0)是平面BAP 的一个法向量， 由(1)得向量PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2 √2，−2)是平面BEF 的一个法向量， 设平面BEF 与平面BAP 所成二面角的大小为θ， 则cosθ=|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√22，则θ=45°，即平面BEF 与平面BAP 所成二面角为45°．解析：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，二面角的求法，其中建立空间直角坐标系，将线面垂直问题和二面角问题转化为向量垂直及向量夹角问题是解答本题的关键．(1)以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出各顶点的坐标，进而求出PC ，BE ，BF 对应的方向向量，根据向量的数量积为0，则向量垂直，可证得PC ⊥BE ，PC ⊥BF ，再由线面垂直的判定定理得到答案；(2)由已知及(1)中结论，可得向量AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2 √2，0)是平面BAP 的一个法向量，向量PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2 √2，−2)是平面BEF 的一个法向量，代入向量夹角公式，可得平面BEF 与平面BAP 所成二面角的大小．20.答案：解：(1)把点(√3,12)代入椭圆x 2a 2+y 2b 2=1，得3a 2+14b 2=1，由ca =√32及c 2=a 2−b 2，可得a 2=4，b 2=1． 则椭圆的方程为：x 24+y 2=1；(2)联立直线方程y =kx +2和椭圆方程x 24+y 2=1，化简得，(4k 2+1)x 2+16kx +12=0根据题意，得△=(16k)2−48(4k 2+1)=16(4k 2−3)>0， 解得k >√32或k <−√32，则k 的取值范围是(−∞,−√32)∪(√32,+∞)．解析：(1)代入点得到关于a ，b 的方程，由离心率公式和a ，b ，c 的关系，解出a ，b ，得到椭圆方程；(2)联立直线方程y =kx +2和椭圆方程x 24+y 2=1，消去y ，得到关于x 的方程，由判别式大于0，即可得到k 的范围．本题考查椭圆的方程和性质，考查联立椭圆方程和直线方程，消去一个未知数，运用判别式大于0，属于基础题．21.答案：解：(1)设“第1次和第2次都抽到次品”为事件A ，则P(A)=A 22A 62=115．(2)X 的所有可能取值为2，3，4，5． P(X =2)=115，P(X =3)=C 21C 41A 22A 53=215，P(X =4)=A 44A 54+C 21C 42A 33A 54=415，P(X =5)=C 21C 43A 44A 55+C 43C 21A 44A 55=815．X 的分布列为因此，E(X)=2×15×215+4×415+5×815=6415．解析：本题主要考查古典概型，以及离散型随机变量的分布列与数学期望． (1)由题意结合古典概型计算公式和排列组合公式求解概率值即可；(2)由题意可知X 的所有可能取值为2，3，4，5，据此计算相应的概率值，求得分布列，然后求解数学期望即可．22.答案：【解答】解：(1)m =0时，f(x)=2x 2lnx ，f′(x)=4xlnx +2x ，f′(e)=6e ，f(e)=2e 2， 所以y =f(x)在点(e,f(e))处的切线方程y =6ex −4e 2；(2)∀x ∈[1,+∞),f (x )+x 2−m >0恒成立，等价于(4xlnx +1)m <x 2(2lnx +1)恒成立， 由于y =4xlnx +1在[1,+∞)递增，可得y ≥1>0， 所以(4xlnx +1)m <x 2(2lnx +1)恒成立等价于m <x 2(2lnx+1)4xlnx+1在x ≥1恒成立，设g (x )=x 2(2lnx+1)4xlnx+1，x ≥1，则g′(x )=4x (lnx+1)(2xlnx−x+1)(4xlnx+1)2，由y =2xlnx +1−x 的导数为y′=2(1+lnx )−1=1+2lnx ≥1>0，可得2xlnx +1−x ≥0， 又lnx +1>0，可得g′(x )≥0，即g (x )在[1,+∞)递增， 所以g (x )的最小值为g (1)=1， 则m <1，即m 得取值范围为(−∞,1)．解析：本题考查利用导数求曲线在某点处的切线方程，和构造函数利用导数解决恒成立问题，属中档题．(1)利用导数的几何意义，求出f′(e)和f(e)，利用点斜式写出方程；(2)利用等价转化思想将∀x∈[1,+∞),f(x)+x2−m>0恒成立转化为m<x2(2lnx+1)在x≥1恒成立，4xlnx+1，利用导数g(x)求出最小值即得证．构造函数g(x)=x2(2lnx+1)4xlnx+1。
洛阳市2019-2020学年数学高二第二学期期末监测试题含解析
洛阳市2019-2020学年数学高二第二学期期末监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知函数()sin f x a x =且()'2f π=，则a 的值为( ) A ．1B ．2C ．2D ．-22．若集合{}{}201,20A x x B x x x =<<=-<， 则下列结论中正确的是（ ） A ．A B ⋂=∅B ．A B R ⋃=C ．A B ⊆D ．B A ⊆3．已知x ，()0,y ∈+∞，1x y +=，则xy 的最大值为（ ） A ．1B ．12C ．13D ．144．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，1AC ＝AA 1＝BC ＝1．若二面角B 1－DC －C 1的大小为60°，则AD 的长为（ ）A ．B ．C ．1D ．5．已知222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，则满足(21)(2)f x f +>成立的x 取值范围是（ ）A ．31(,)22-B ．31(,)(,)22-∞-+∞ C ．1(,)2-∞D ．1(,)2+∞6．某研究机构在对具有线性相关的两个变量x 和y 进行统计分析时，得到的数据如下表所示．由表中数据求得y 关于x 的回归方程为0.6ˆ5ˆyx a =+，则在这些样本点中任取一点，该点落在回归直线上方的概率为（ ）x4 6 8 10 12y1 2 2.95 6.1A ．5 B ．5 C ．5D ．无法确定7．现有一条零件生产线，每个零件达到优等品的概率都为p .某检验员从该生产线上随机抽检50个零件，设其中优等品零件的个数为X .若()8D X =，(20)P X =(30)P X <=，则p =（ ） A ．0.16 B ．0.2C ．0.8D ．0.848．已知双曲线的离心率为，左顶点到一条渐近线的距离为，则该双曲线的标准方程为（ ） A ．B ．C ．D ．9．2017年1月我市某校高三年级1600名学生参加了全市高三期末联考，已知数学考试成绩()2100,X N σ~（试卷满分150分）．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的34，则此次期末联考中成绩不低于120分的学生人数约为 A ．120B ．160C ．200D ．24010．复数z 满足()(2)5z i i ++=，则z =（ ） A ．22i --B ．22i -+C ．22i -D ．22i +11．古有苏秦、张仪唇枪舌剑驰骋于乱世之秋，今看我一中学子论天、论地、指点江山．现在高二某班需从甲、乙、丙、丁、戊五位同学中，选出四位同学组成重庆一中“口才季”中的一个辩论队，根据他们的文化、思维水平，分别担任一辩、 二辩、三辩、 四辩，其中四辩必须由甲或乙担任，而丙与丁不能担任一辩，则不同组队方式有（ ） A ．14种B ．16种C ．20种D ．24种12．若函数()33f x x x a =-+在[)0,2上有2个零点，则a 的取值范围为（ ） A ．()2,2-B ．(]0,2C ．(]2,0-D ．[)0,2二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．已知集合{}{}1,A x x B y y a =≤=≤，且A B =∅，则实数a 的取值范围是__________．14．已知一组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的方差为12，则数据21x ，22x ，23x ，24x ，25x 的方差为_______． 15．先后掷骰子（骰子的六个面上分别标有、、、、、个点）两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为,,设事件为“为偶数”，事件为“,中有偶数且”，则概率等于_________.16．若函数1()ln(1)(0,0)1xf x ax x a x-=++≥>+的单调递增区间是[1,)+∞，则a 的值是__________． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．近年来，我国大力发展新能源汽车工业，新能源汽车（含电动汽车）销量已跃居全球首位.某电动汽车厂新开发了一款电动汽车，并对该电动汽车的电池使用情况进行了测试，其中剩余电量y 与行驶时间x（单位：小时）的测试数据如下：如果剩余电量不足0.7，则电池就需要充电.（1）从10组数据中选出9组作回归分析，设X 表示需要充电的数据组数，求X 的分布列及数学期望； （2）根据电池放电的特点，剩余电量y 与时间x 工满足经验关系式：bxy ae =，通过散点图可以发现x 与y 之间具有相关性.设ln y ω=，利用表格中的前9组数据求相关系数r ，并判断是否有99%的把握认为x与ω之间具有线性相关关系.（当相关系数r 满足0.789r >时，则认为99%的把握认为两个变量具有线性相关关系）；（3）利用x 与ω的相关性及前9组数据求出y 与工的回归方程.（结果保留两位小数） 3.87≈ 2.09≈ 1.56≈， 1.17 3.22e ≈. 前9组数据的一些相关量：相关公式：对于样本()(),1,2,,n i i v u i =.其回归直线u bv a =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121niii nii v v uub v v ==--=-∑∑，a u bv =-，相关系数()()niiv v u u r --=∑.18．已知函数32()2f x ax bx x =+-，且当1x =时，()f x 取得极值为56-. （1）求()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程()6f x x m =--在[2,0]-上有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围. 19．（6分）甲、乙两位同学学生参加数学竞赛培训，在培训期间他们参加5项预赛，成绩如下： 甲：78 76 74 90 82 乙：90 70 75 85 80（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；（Ⅱ）现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均数、方差的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？说明理由.20．（6分）如图，在以,,,,,A B C D E F 为顶点的多面体中，AF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，0//,,60,244AD BC AB CD ABC BC AF AD DE =∠=====．（1）请在图中作出平面α，使得DE α⊂，且//BF α，并说明理由； （2）求直线EF 和平面BCE 所成角的正弦值．21．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C ，2C 极坐标方程分别为2sin ρθ=，cos()24ρθπ-=（Ⅰ）1C 和2C 交点的极坐标；（Ⅱ）直线l 的参数方程为33{12x y t ==（t 为参数），l 与x 轴的交点为P ，且与1C 交于A ，B 两点，求||||PA PB +.22．（8分）已知函数()()22f x x x a x R =++-∈． （1）当0a =时，求不等式()7f x ≥的解集；（2）若()24f x x ≤+对任意[]10x ∈-，成立，求实数a 的取值范围． 参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．D 【解析】分析：首先对函数求导，然后结合题意求解实数a 的值即可.详解：由题意可得：()'cos f x a x =，则()'cos 2f a ππ==，据此可知：2,2a a -=∴=-. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查导数的运算法则及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2．C 【解析】 【分析】由题意首先求得集合B ，然后逐一考查所给选项是否正确即可． 【详解】求解二次不等式220x x -<可得：02x <<，则{}|02B x x =<<． 据此可知：{}|01A B x x ⋂=<<≠∅，选项A 错误；{}|02A B x x ⋃=<<，选项B 错误；且集合A 是集合B 的子集，选项C 正确，选项D 错误． 本题选择C 选项，故选C ． 【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合之间的关系的判断等知识，熟记集合的基本运算方法是解答的关键，意在考查学生的转化能力和计算求解能力． 3．D 【解析】 【分析】直接使用基本不等式，可以求出xy 的最大值. 【详解】因为x ，()0,y ∈+∞，1x y +=，所以有2111()24x y xy =+≥⇒≤=，当且仅当12x y ==时取等号，故本题选D. 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，掌握公式的特征是解题的关键. 4．A 【解析】如图，以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B 1(0,1,1)，C 1(0,0,1)，设AD ＝a ，则D 点坐标为(1,0，a)，＝(1,0，a)，＝(0,1,1)，设平面B 1CD 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z)． 则⇒，令z ＝－1，得m ＝(a,1，－1)，又平面C 1DC 的一个法向量为n(0,1,0)， 则由cos60°＝，得＝，即a ＝，故AD ＝.5．B 【解析】由题意，函数222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，满足()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，且当0x ≥时，函数()f x 单调递增，当0x <时，函数()f x 单调递减， 又(21)(2)f x f +>，所以212x +>，解得32x <-或12x >，故选B. 6．B 【解析】 【分析】求出样本的中心点，计算出a ，从而求出回归直线方程，5个点中落在回归直线上方的有三个，算出概率即可。
河南省洛阳市2019-2020学年高二下学期期末质量检测数学(理)试题含答案
∵平面 ABCD 平面 SBC ，∴ SM 平面 ABCD .…………………………………………………………2 分
∵ AB 平面 ABCD ，∴ SM AM .…………………………………………………………………………3 分
6
∵ ABCD 是矩形，M 是 BC 的中点， AB 1， BC 2 ， ∴ AM MD ，∴ AM 平面 SMD .…………………………………………………………………………4 分 ∵ SD 平面 SMD ，∴ AM SD .……………………………………………………………………………5 分 （2）由（1）知 SM 平面 ABCD .……………………………………………………………………………6 分
∴ Sn 2n 1 .……………………………………………………………………………………………………3 分
当 n 2 时， Sn1 2n1 1，
∴ an Sn Sn1 2n 1 2n1 1 2n1 .……………………………………………………………………5
分
显然 a1 1适合上式，∴ an 2n1 n N* .…………………………………………………………………6 分
x0 必是 f x 的零点，其中所有正确的结论序号是________.
三、解答题：本大题共 6 个小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17，（本小题满分 10 分）
已知△ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a c sin A sin C 3a b sin B .
1
则该双曲线的离心率为（ ）
A. 2
B. 3
C.2
D.3
6.
9x
3
1 x
6
河南省洛阳市第一高级中学高二数学下学期6月“周练”试卷 理.doc
河南省洛阳市第一高级中学高二数学下学期6月“周练”试卷 理一、选择题1、在平面直角坐标系中，经伸缩变换后曲线方程x 2+ y 2= 4，变换为椭圆方程214y x ''+=，此伸缩变换公式是（ ）A 、12x x y y ⎧'=⎪⎨⎪'=⎩B 、2x x y y '=⎧⎨'=⎩C 、4x x y y '=⎧⎨'=⎩D 、24x x y y '=⎧⎨'=⎩2、已知曲线C 1、C 2的极坐标方程分别为cos 3ρϕ=，4cos (0, 0)2πρϕρϕ=≥≤≤，则曲线C 1与C 2的交点的极坐标为（ ） A、)6πB、, )23πC、)3πD、()26π 3、极坐标方程2cos 0()R θρ=∈表示图形是（ ） A 、两条射线B 、两条相交直线C 、一条直线D 、一条直线和一条射线4、已知P 点极坐标为(4, π），则过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程为（ ） A 、4ρ=B 、4cos ρθ=C 、4cos ρθ-=D 、4cos ρθ=5、已知抛物线C 1：y = 2x 2与抛物线C 2关于直线y = x 对称，则C 2的准线方程为（ ） A 、18x =-B 、12x =C 、18x =D 、12x =-6、设双曲线22221(0, 0)x y a b a b-=>>的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则双曲线离心率为（ ） A、2B、12CD7、设M 为双曲线221916x y -=上位于第四象限内一点，12,F F 为两焦点且12:1:3MF M F =，则△MF 1F 2周长为（ ）A 、16B 、22C 、26D 、308、F 1、F 2分别为双曲线22221(0, 0)x y a b a b-=>>的左右焦点，A 、B 是以O 为圆心、以OF 1为半径的圆与双曲线左支两交点，且△F 2AB 为等边三角形，则双曲线离心率为（ ）ABCD 、19、函数y = lnx – x 在(0, ]e 上最大值为（ ）A 、eB 、1C 、－1D 、－e10、已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面是连长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离是（ ） A 、83B 、38C 、43D 、34二、填空题1.已知圆的极坐标方程为()5sin 3cos 22=++θθρρ则此圆在直线0=θ上截得的弦长为2.正四棱锥底面边长为2，高为2。
河南省洛阳市第一高级中学2019-2020学年高二12月月考数学试题 Word版含答案
洛阳一高2019-2020学年第一学期高二年级12月月考数学试卷一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1.已知集合{|1},{|31}=<=<x A x x B x ，则.{|0}A A B x x =< .=B A B R .{|1}=>C A B x x .D A B =∅2.平面内有两定点,A B 及动点P ，设命题甲是：“||||PA PB +是定值”，命题乙是：“点P 的轨迹是以,A B 为焦点的椭圆”，那么.A 甲是乙成立的充分不必要条件 .B 甲是乙成立的必要不充分条件.C 甲是乙成立的充要条件 .D 甲是乙成立的非充分非必要条件 3.命题“[1,2]x ∀∈,2320x x -+≤”的否定是.[1,2]A x ∀∈,2320x x -+> .[1,2]B x ∀∉,2320x x -+>0.[1,2]C x ∃∈,200320x x -+> 0.[1,2]D x ∃∉,200320x x -+> 4.设,a b R ∈，则“a b >”是“||||a a b b >”的.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件5.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>. . . .2A y xB y xC yD y ==±== 6.如果方程22121x y m m +=++表示双曲线，则m 的取值范围是 .(2,1) .(,1) .(1,2) .(2,)A B C D ---∞-+∞7.已知12,F F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于,A B 两点,若2ABF ∆是正三角形，则这个椭圆的离心率为 32A B C D 8.已知12,F F 为双曲线22:1C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，o 1260F PF ∠=，则12||||PF PF = .2 .4 .6 .8A B C D9.焦点在x 轴上的椭圆22214x y b +=的离心率12e =，,F A 分别是椭圆的左焦点和右顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF PA 的最大值为 .10 .8 .6 .4A B C D10.设,A B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右顶点，P 是双曲线上不同于,A B 的一点，直线,AP BP 的斜率分别为,m n ，则当4b a +线的离心率为 22B C D 11.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点．设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为22222222. 1 . 1 . 1 .19339124412x y x y x y x y A B C D -=-=-=-= 12. 已知12(,0),(,0)F c F c -为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，P 为椭圆上一点且212PF PF c =，则此椭圆离心率的取值范围是11.[] .[,] .[.(0,323232A B C D 二、填空题:本题共4个小题，每小题5分，共20分.13.若“[0,],tan 4x x m π∀∈≤”是真命题，则实数m 的最小值为 .14.已知命题1p ：函数ln(y x =是奇函数，2p ：函数12y x =为偶函数，则下列四个命题：① 12p p ∨；②12p p ∧；③12()p p ⌝∨；④12()p p ∨⌝．其中，真命题是________．(填序号)15. 一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，则动圆圆心的轨迹方程为___________.16.已知双曲线2221(0)12x y a a -=>的一条渐近线方程为0y -=，左焦点为F ，当点M 在双曲线右支上，点N 在圆22(3)4x y +-=上运动时，||||MN MF +的最小值为__________.三、解答题:本大题共6个小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)命题:p 方程221313x y m m +=--表示焦点在x 轴上的双曲线. 命题q ：若存在0[,]44x ππ∈-，使得02tan 0m x -=成立． （1）如果命题p 是真命题，求实数m 的取值范围；（2）如果“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求实数m 的取值范围． 18．(本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为8，短轴长为4．(1)求椭圆方程；(2)过(2,1)P 作弦且弦被P 平分，求此弦所在的直线方程及弦长． 19．(本小题满分12分)已知ABC ∆中，2AC =,o 120A =,cos B C =． (1)求边AB 的长；(2)设D 是BC 边上一点，且ACD ∆，求ADC ∠的正弦值． 20．(本小题满分12分)已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于2F 的直线l 交双曲线于,A B 两点，1F 为左焦点．(1)求双曲线的方程；(2)若1F AB ∆的面积等于,求直线l 的方程．21．(本小题满分12分)已知函数x x x f 63)(2+-=,n S 是数列}{n a 的前n 项和，点(,)n n S ()n N *∈在曲线)(x f y =上.(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)若1)21(-=n n b ，6n n n b a c ∙=，且n T 是数列}{n c 的前n 项和. 试问n T 是否存在最大值？若存在，请求出n T 的最大值；若不存在，请说明理由. 22．(本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线0x y -+=相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)设(4,0)P ，,A B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；(3)在(2)的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于,M N 两点，求OM ON 的取值范围．洛阳一高2019-2020学年高二年级12月月考数学参考答案一．选择题1—5 A B C C D 6—10 A B B D C 11-12 B A二．填空题 13.1 14. ①④ 15. 2213627x y += 16.7 三．解答题17. 解：(1)命题:p 方程221313x y m m +=--表示焦点在x 轴上的双曲线， 若命题p 为真命题，则310,30m m ->-<，即m 的取值范围是133m <<． (2)分（2）若命题q 为真命题，则02tan m x =在0[,]44x ππ∈-有解，得22m -≤≤.……4分又“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，则,p q 两个命题一真一假， ……5分若p 真q 假，则13322m m m ⎧<<⎪⎨⎪<->⎩或，解得23m <<. ……7分若p 假q 真，则13322m m m ⎧≤≥⎪⎨⎪-≤≤⎩或,解得123m -≤≤. ……9分 综上，实数m 的取值范围为1[2,](2,3)3-． ……10分18. 解：(1)由椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>长轴长为8，短轴长为4，得28,24a b ==，所以4,2a b ==， ……2分所以椭圆方程为221164x y +=． ……4分 (2)设以点(2,1P 为中点的弦与椭圆交于1122(,),(,)A x y B x y ，则12124,2x x y y +=+=.1122(,),(,)A x y B x y 在椭圆上，所以22111164x y +=，22221164x y +=， ……6分两式相减可得12121212()()4()()0x x x x y y y y +-++-=， 所以AB 的斜率为212112y y k x x -==--， ……8分 ∴点(2,1)P 为中点的弦所在直线方程为240x y +-=. ……10分由221164240x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，得240x x -=，所以02x y =⎧⎨=⎩或40x y =⎧⎨=⎩，所以||AB ==． ……12分 19.(1)因为120A =︒，所以60C B =︒-，由cos B C =得()cos 60B B ︒-1cos sin )22B B =-3cos 2B B =．……2分即cos B B =，从而tan B =， ……4分 又060B ︒<<︒，所以30B =︒， 6030C B =︒-=︒，所以2AB AC ==.……6分(2)由已知得12AC CD ⋅⋅sin30⋅︒=，所以CD =． ……8分在ACD ∆中，由余弦定理得2222AD AC CD AC =+-⋅⋅7cos 4CD C =，AD =. ……10分 由正弦定理得sin sin AD ACC ADC=∠，故sin sin 7AC C ADC AD ⋅∠==． ……12分 20. 解：(1)依题意，2cb a==,1,2a c ==， ∴双曲线的方程为2213y x -=. ……3分 (2)依题意12(2,0),(2,0)F F -，设直线l 的方程为(2)y k x =-. ……4分由2213(2)y x y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩得2222(3)4430k x k x k --++=. ……6分 设1122(,),(,)A x y B x y，当k ≠22121222443,33k k x x x x k k ++==--，……8分所以12|||AB x x ==-===. ……10分 又1F 到直线l的距离为d =所以1F AB ∆的面积1||2S AB d =⨯=12||k ==……11分422890,1,1k k k k +-===±,所以直线l 的方程为(2)y x =±-． ……12分21. (1)因为(,)n n S 在曲线()y f x =上，且2()36f x x x =-+，所以236n S n n =-+. ……1分 当2n ≥时，221363(1)6(1)96n n n a S S n n n n n -=-=-++---=-. ……3分当1n =时,113a S ==适合上式，所以96n a n =-. ……5分(2)因为111(96)()1112(),(32)()2662n n n n n n n n b c a b n ---====-, ① ……6分 所以231111(1)()(3)()(32)()2222nn T n =+-+-++-, ② ……7分234111111()(1)()(3)()(32)()22222n n T n +=+-++-++-, ③ ②－③得 132)21)(23()21)(2()21)(2()21)(2(2121+---++-+-+=n n n n T112)21)(23(211])21(1[)21()2(21+-----=-+=n n n .整理得1)21)(12(-+=n n n T . ④ ……9分所以111111(23)()(21)()()()2222n n nn n T T n n n ++-=+-+=-. ……10分因为1n ≥，所以110,()022nn -<>，所以10n n T T +-<，即1n n T T +<，……11分所以12T T >>…1n n T T +>>>…，所以n T 存在最大值12. ……12分22.解：(1)由题意知12c e a ==，所以22222214c a b e a a -===，即2243a b =．……1分又因为以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线0x y -+=相切， 所以b ==224,3a b ==． ……2分 故椭圆C 的方程为22143x y +=． ……2分 (2)由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-． ……3分由22143(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(43)3264120k x k x k +-+-=． ……4分 设点11(,)B x y ，22(,)E x y ，则11(,)A x y -,22121222326412,4343k k x x x x k k -+==++.……5分依题意，直线AE 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--. 令0y =，得221221()y x x x x y y -=-+． ……6分将11(4)y k x =-，22(4)y k x =-代入，整理得2222121221222(6412)43224()43431328843k k x x x x k k x k x x k -⨯--+++===+--+． 所以直线AE 与x 轴相交于定点(1,0)Q ． ……7分 (3)当过点Q 直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为(1)y m x =-．……8分由22143(1)x y y m x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(43)84120m x m x m +-+-=，易知0∆>． ……9分 设(,),(,)M M N N M x y N x y ，则22228412,4343M N M N m m x x x x m m -+==++，22943M N m y y m =-+．则2222222412951253343434344(43)M N M N m m m OM ON x x y y m m m m -+=+=-=-=--++++.……10分因为20m ≥，所以21133044(43)m -≤-<+, 所以5[4,)4OM ON ∈--． (11)分当过点Q 直线MN 的斜率不存在时，其方程为1x =．解得33(1,),(1,)22M N -或33(1,),(1,)22N M -,此时54OM ON =-．所以OM ON 的取值范围是5[4,]4--． ……12分。
河南省洛阳市第一高级中学2019_2020学年高二数学下学期周练试题(2.23)文
河南省洛阳市第一高级中学2019-2020学年高二数学下学期周练试题（2.23）文一．选择题(每题5分，共50分）1.复数()1i i -的共轭复数对应的点在复平面内位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 2.的值为，则已知复数z z z ⋅=i -2（ ） A.5 B.5 C.3 D.33．若(x ＋i)2是纯虚数(其中i 为虚数单位)，则x ＝( )A ．±1B ．2C ．－1D ．1 4.若复数2－bi 1＋2i(b∈R )的实部与虚部互为相反数，则b 等于( ) A. 2 B.23 C ．－23 D ．25.若复数z 满足z(1－i)＝|1－i|＋i ，则z 的实部为( ) A.2－12 B.2－1 C ．1 D.2＋126.i 是虚数单位，若2＋i 1＋i＝a ＋bi(a ，b ∈R )，则lg(a ＋b)的值是( ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D.12 7.若复数z 满足方程132z i +-=，则z 在复平面上表示的图形是（ ）A.椭圆B.圆C.抛物线D.双曲线 8.定义运算a bad bc c d =-，若1201812z i i =（i 为虚数单位）且复数z 满足方程14z z -=，那么复数z 在复平面内对应的点P 组成的图形为（ ）A. 以（-1，-2）为圆心，以4为半径的圆B. 以（-1，-2）为圆心，以2为半径的圆C. 以（1，2）为圆心，以4为半径的圆D. 以（1，2）为圆心，以2为半径的圆9.已知i 是虚数单位，则“a=b=1”是（a+bi)2=2i 的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10．下面是关于复数z ＝2－1＋i 的四个命题： p 1：|z|＝2, p 2：z 2＝2i ，p 3：z 的共轭复数为1＋i, p 4：z 的虚部为－1.其中的真命题为( )A ．p 2，p 3B ．p 1，p 2C ．p 2，p 4D ．p 3，p 4二．填空题（每题5分，共20分）13. 复数z 满足()21i z i -=-，那么z = ． 14.i 为虚数单位，则2014)11(ii +-= 15．i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为_______．16.给出下列四个命题：①满足：z ＝1z的复数有±1，±i ； ②若a ，b ∈R 且a ＝b ，则(a －b)＋(a ＋b)i 是纯虚数；③复数z∈R 的充要条件是z ＝z ；④在复平面内，实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数．其中正确的命题是________．三、解答题(每题10分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知i 为虚数单位，z 是复数，若4z -为纯虚数，且25z =.（1）求复数z ；（2）若复数z 和复数()2z mi +在复平面上对应的点均在第四象限，求实数m 的取值范围.18.已知z 1，z 2为复数，i 为虚数单位，z 1•+3（z 1+）+5=0，为纯虚数，z 1，z 2在复平面内对应的点分别为P ，Q ．（1）求点P 的轨迹方程；（2）求点Q 的轨迹方程；（3）写出线段PQ 长的取值范围．2．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，面积为S ．（1）求证：a2+b2+c2≥4S；（2）求证：tan tan，tan tan，tan tan中至少有一个不小于．高二文数第三章复数周测题一．选择题(每题5分，共50分）1.复数()1i i -的共轭复数对应的点在复平面内位于（ D ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 2.的值为，则已知复数z z z ⋅=i -2（ A ） A.5 B.5 C.3 D.33．若(x ＋i)2是纯虚数(其中i 为虚数单位)，则x ＝(A )A ．±1B ．2C ．－1D ．1 4.若复数2－bi 1＋2i(b∈R )的实部与虚部互为相反数，则b 等于(C ) A. 2 B.23 C ．－23 D ．25.若复数z 满足z(1－i)＝|1－i|＋i ，则z 的实部为(A ) A.2－12 B.2－1 C ．1 D.2＋12解析 由z(1－i)＝|1－i|＋i ，得z ＝2＋i 1－i ＝（2＋i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2－12＋2＋12i ，故z 的实部为2－12，故选A. 6.i 是虚数单位，若2＋i 1＋i＝a ＋bi(a ，b ∈R )，则lg(a ＋b)的值是(C ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D.12解析 ∵（2＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝3－i 2＝32－12i ＝a ＋bi ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝－12，∴lg(a ＋b)＝lg1＝0 7.若复数z 满足方程132z i +-=，则z 在复平面上表示的图形是（ B ）A.椭圆B.圆C.抛物线D.双曲线 8.定义运算a bad bc c d =-，若1201812z i i =（i 为虚数单位）且复数z 满足方程14z z -=，那么复数z 在复平面内对应的点P 组成的图形为（ A ）A. 以（-1，-2）为圆心，以4为半径的圆B. 以（-1，-2）为圆心，以2为半径的圆C. 以（1，2）为圆心，以4为半径的圆D. 以（1，2）为圆心，以2为半径的圆9.已知i 是虚数单位，则“a=b=1”是（a+bi)2=2i 的（ A ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10．下面是关于复数z ＝2－1＋i 的四个命题： p 1：|z|＝2, p 2：z 2＝2i ，p 3：z 的共轭复数为1＋i, p 4：z 的虚部为－1.其中的真命题为( C )A ．p 2，p 3B ．p 1，p 2C ．p 2，p 4D ．p 3，p 4二．填空题（每题5分，共20分）14. 复数z 满足()21i z i -=-，那么z 122i ． 14.i 为虚数单位，则2014)11(ii +-= -1 15．i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为___-2_____．16.给出下列四个命题：①满足：z ＝1z的复数有±1，±i ； ②若a ，b ∈R 且a ＝b ，则(a －b)＋(a ＋b)i 是纯虚数；③复数z∈R 的充要条件是z ＝z ；④在复平面内，实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数．其中正确的命题是__③______．三、解答题(每题10分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知i 为虚数单位，z 是复数，若4z -为纯虚数，且z =（1）求复数z ；（2）若复数z 和复数()2z mi +在复平面上对应的点均在第四象限，求实数m 的取值范围.解：（1）设z x yi =+（x ，y R ∈），由()44z x yi -=-+为纯虚数，得4x =且0y ≠……①由z =(222x y +=……②由①②可得，4x =，2y =-或2.∴42z i =-或42z i =+.（2）∵z 在第四象限，∴42z i =-，∴()()()2241282z mi m m m i +=-+++-，根据条件，可知()21240820m m m ⎧+->⎪⎨-<⎪⎩，解得22m -<<， ∴实数m 的取值范围是()2,2-.18.已知z 1，z 2为复数，i 为虚数单位，z 1•+3（z 1+）+5=0，为纯虚数，z 1，z 2在复平面内对应的点分别为P ，Q ．（1）求点P 的轨迹方程；（2）求点Q 的轨迹方程；（3）写出线段PQ 长的取值范围．解：（1）设z 1=x+yi （x ，y ∈R ），由z 1•+3（z 1+）+5=0，得： （x+yi ）（x ﹣yi ）+3（x+yi+x ﹣yi ）+5=0，整理得（x+3）2+y 2=4．∴点P 的轨迹方程为（x+3）2+y 2=4；（2）设z 2=x+yi （x ，y ∈R ）， =， ∵为纯虚数，∴x 2+y 2=9且y≠0，∴点Q 的轨迹方程为x 2+y 2=9 （y≠0）；（3）如图，由图可知，线段PQ长的取值范围[0，8]．2．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积为S．（1）求证：a2+b2+c2≥4S；（2）求证：tan tan，tan tan，tan tan中至少有一个不小于．证明：（1）要证明a2+b2+c2≥4S，只需证明a2+b2+a2+b2﹣2abcosC≥2absinC，只需证明a2+b2≥2absin（C+），只需证明a2+b2≥2ab，只需证明（a﹣b）2≥0，显然成立，∴a2+b2+c2≥4S；（2）假设tan tan，tan tan，tan tan都不小于，则tan tan+tan tan+tan tan＜1①∵tan tan+tan tan+tan tan=tan（tan+tan）+tan tan =tan tan（+）[1﹣tan tan]+tan tan=1这与①矛盾，∴tan tan，tan tan，tan tan中至少有一个不小于．。
2019-2020学年河南省洛阳一高高二下学期5月月考数学试卷(理科) (解析版)
2019-2020学年河南省洛阳一高高二第二学期5月月考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．复平面内表示复数z＝i（﹣2+i）的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．用反证法证明命题“若a，b∈R，则方程x2+ax+b＝0至少有一个实根“时要做的假设是（）A．方程x2+ax+b＝0没有实根B．方程x2+ax+b＝0至多有一个实根C．方程x2+ax+b＝0至多有两个实根D．方程x2+ax+b＝0恰好有两个实根3．（e x+2x）dx等于（）A．1B．e﹣1C．e D．e+14．类比三角形中的性质：（1）两边之和大于第三边；（2）中位线长等于底边的一半；（3）三内角平分线交于一点；可得四面体的对应性质：（1）任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；（2）过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于第四个面面积的；（3）四面体的六个二面角的平分面交于一点．其中类比推理结论正确的有（）A．（1）B．（1）（2）C．（1）（2）（3）D．都不对5．函数y＝x2﹣lnx的单调递减区间为（）A．（﹣1，1]B．（0，1]C．[1，+∞）D．（0，+∞）6．《论语》云：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是（）A．合情推理B．归纳推理C．类比推理D．演绎推理7．设函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y＝﹣2x B．y＝﹣x C．y＝2x D．y＝x8．观察下列各式：55＝3125，56＝15625，57＝78125，…，则52011的末四位数字为（）A．3125B．5625C．0625D．81259．若函数f（x）＝x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞）C．（﹣3，6）D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）10．函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣l）D．（﹣∞，+∞）11．若函数f（x）＝x3﹣3x+a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．[﹣2，2]C．（﹣∞，﹣1）D．（1，+∞）12．f（x）定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）+f（x）≤0，对任意的正数a，b，若a＜b，则必有（）A．bf（b）≤af（a）B．bf（a）≤af（b）C．af（a）≤bf（b）D．af（b）≤bf（a）二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13．设，则|z|＝．14．＝．15．若函数f（x）＝x2+ax+在（，+∞）是增函数，则a的取值范围是．16．已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+ax有两个零点，则实数a的取值范围为．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知z为虚数，为实数．（1）若z﹣2为纯虚数，求虚数z；（2）求|z﹣4|的取值范围．18．（1）用综合法证明不等式：；（2）设a，b，c均为正数，且a+b+c＝1．用分析法证明：．19．已知a∈R，函数f（x）＝（﹣x2+ax）e x（x∈R，e为自然对数的底数）．（Ⅰ）当a＝2时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（﹣1，1）上单调递增，求a的取值范围．20．已知{f n（x）}满足，f n+1（x）＝f1（f n（x））．（1）求f2（x），f3（x），并猜想f n（x）的表达式；（2）用数学归纳法证明对f n（x）的猜想．21．已知函数f（x）＝ae x﹣lnx﹣1．（1）设x＝2是f（x）的极值点，求a，并求f（x）的单调区间；（2）证明：当a≥时，f（x）≥0．22．已知函数f（x）＝x（lnx+a）+b，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线为2x﹣y ﹣1＝0．（1）求a，b的值；（2）若对任意的x∈（1，+∞），f（x）≥m（x﹣1）恒成立，求正整数m的最大值．参考答案一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．复平面内表示复数z＝i（﹣2+i）的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．解：z＝i（﹣2+i）＝﹣2i﹣1对应的点（﹣1，﹣2）位于第三象限．故选：C．2．用反证法证明命题“若a，b∈R，则方程x2+ax+b＝0至少有一个实根“时要做的假设是（）A．方程x2+ax+b＝0没有实根B．方程x2+ax+b＝0至多有一个实根C．方程x2+ax+b＝0至多有两个实根D．方程x2+ax+b＝0恰好有两个实根【分析】直接利用命题的否定写出假设即可．解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是方程x2+ax+b＝0没有实根．故选：A．3．（e x+2x）dx等于（）A．1B．e﹣1C．e D．e+1【分析】由（e x+x2）′＝e x+2x，可得＝，即可得出．解：∵（e x+x2）′＝e x+2x，∴═＝（e+1）﹣（1+0）＝e，故选：C．4．类比三角形中的性质：（1）两边之和大于第三边；（2）中位线长等于底边的一半；（3）三内角平分线交于一点；可得四面体的对应性质：（1）任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；（2）过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于第四个面面积的；（3）四面体的六个二面角的平分面交于一点．其中类比推理结论正确的有（）A．（1）B．（1）（2）C．（1）（2）（3）D．都不对【分析】本题考查的知识点是类比推理，在由平面几何的性质类比推理空间立体几何性质时，我们常用的思路是：由平面几何中点的性质，类比推理空间几何中线的性质；由平面几何中线的性质，类比推理空间几何中面的性质；由平面几何中面的性质，类比推理空间几何中体的性质；或是将一个二维平面关系，类比推理为一个三维的立体关系．解：由题意，根据在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四面的面积，命题正确．由平面几何中线的性质，类比推理空间几何中面的性质，可得过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于第四个面面积的，正确；将一个二维平面关系，类比推理为一个三维的立体关系，可得四面体的六个二面角的平分面交于一点，正确．故选：C．5．函数y＝x2﹣lnx的单调递减区间为（）A．（﹣1，1]B．（0，1]C．[1，+∞）D．（0，+∞）【分析】由y＝x2﹣lnx得y′＝，由y′＜0即可求得函数y＝x2﹣lnx的单调递减区间．解：∵y＝x2﹣lnx的定义域为（0，+∞），y′＝，∴由y′≤0得：0＜x≤1，∴函数y＝x2﹣lnx的单调递减区间为（0，1]．故选：B．6．《论语》云：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是（）A．合情推理B．归纳推理C．类比推理D．演绎推理【分析】合情推理是指合乎情理的推理，在得到新结论之前，合情推理可以帮助我们猜测和发现结论，题目中所给的这种推理符合合情推理的形式．解：合情推理是指合乎情理的推理，在得到新结论之前，合情推理可以帮助我们猜测和发现结论，题目中所给的这种推理符合合情推理的形式，故选：A．7．设函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）A．y＝﹣2x B．y＝﹣x C．y＝2x D．y＝x【分析】利用函数的奇偶性求出a，求出函数的导数，求出切线的斜率然后求解切线方程．解：函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax，若f（x）为奇函数，f（﹣x）＝﹣f（x），﹣x3+（a﹣1）x2﹣ax＝﹣（x3+（a﹣1）x2+ax）＝﹣x3﹣（a﹣1）x2﹣ax．所以：（a﹣1）x2＝﹣（a﹣1）x2可得a＝1，所以函数f（x）＝x3+x，可得f′（x）＝3x2+1，曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，则曲线y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y＝x．故选：D．8．观察下列各式：55＝3125，56＝15625，57＝78125，…，则52011的末四位数字为（）A．3125B．5625C．0625D．8125【分析】根据所给的以5 为底的幂的形式，在写出后面的几项，观察出这些幂的形式是有一定的规律的每四个数字是一个周期，用2011除以4看出余数，得到结果．解：∵55＝3125，56＝15625，57＝78125，58＝390625，59＝1953125，510＝9765625，511＝48828125…可以看出这些幂的最后4位是以4为周期变化的，∵2011÷4＝502…3，∴52011的末四位数字与57的后四位数相同，是8125，故选：D．9．若函数f（x）＝x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞）C．（﹣3，6）D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）【分析】由题意求导f′（x）＝3x2+2ax+（a+6）；从而化函数f（x）＝x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值为△＝（2a）2﹣4×3×（a+6）＞0；从而求解．解：∵f（x）＝x3+ax2+（a+6）x+1，∴f′（x）＝3x2+2ax+（a+6）；又∵函数f（x）＝x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，∴△＝（2a）2﹣4×3×（a+6）＞0；故a＞6或a＜﹣3；故选：B．10．函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣l）D．（﹣∞，+∞）【分析】把所求的不等式的右边移项到左边后，设左边的式子为F（x）构成一个函数，把x＝﹣1代入F（x）中，由f（﹣1）＝2出F（﹣1）的值，然后求出F（x）的导函数，根据f′（x）＞2，得到导函数大于0即得到F（x）在R上为增函数，根据函数的增减性即可得到F（x）大于0的解集，进而得到所求不等式的解集．解：设F（x）＝f（x）﹣（2x+4），则F（﹣1）＝f（﹣1）﹣（﹣2+4）＝2﹣2＝0，又对任意x∈R，f′（x）＞2，所以F′（x）＝f′（x）﹣2＞0，即F（x）在R上单调递增，则F（x）＞0的解集为（﹣1，+∞），即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞）．故选：B．11．若函数f（x）＝x3﹣3x+a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．[﹣2，2]C．（﹣∞，﹣1）D．（1，+∞）【分析】由函数f（x）＝x3﹣3x+a求导，求出函数的单调区间和极值，从而知道函数图象的变化趋势，要使函数f（x）＝x3﹣3x+a有3个不同的零点，寻求实数a满足的条件，从而求得实数a的取值范围．【解答】解∵f′（x）＝3x2﹣3＝3（x+1）（x﹣1），当x＜﹣1时，f′（x）＞0；当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0，∴当x＝﹣1时f（x）有极大值．当x＝1时，f（x）有极小值，要使f（x）有3个不同的零点．只需，解得﹣2＜a＜2．故选：A．12．f（x）定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf′（x）+f（x）≤0，对任意的正数a，b，若a＜b，则必有（）A．bf（b）≤af（a）B．bf（a）≤af（b）C．af（a）≤bf（b）D．af（b）≤bf（a）【分析】先构造函数g（x）＝xf（x），x∈（0，+∞），通过求导利用已知条件即可得出．解：设g（x）＝xf（x），x∈（0，+∞），则g′（x）＝xf′（x）+f（x）≤0，∴g（x）在区间x∈（0，+∞）单调递减或g（x）为常函数，∵a＜b，∴g（a）≥g（b），即af（a）≥bf（b）．故选：A．二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13．设，则|z|＝3．【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可求解．解：，＝，＝i+2i＝3i，则|z|＝3．故答案为：314．＝．【分析】根据定积分的几何意义可知表示以（1，0）为圆心以1为半径的圆的面积的四分之一，问题得以解决．解：y＝，∴（x﹣1）2+y2＝1，∴表示以（1，0）为圆心以1为半径的圆的面积的四分之一，∴＝π故答案为：．15．若函数f（x）＝x2+ax+在（，+∞）是增函数，则a的取值范围是[3，+∞）．【分析】求出函数f（x）的导函数，由导函数在（，+∞）大于等于0恒成立解答案．解：由f（x）＝x2+ax+，得，令g（x）＝2x3+ax2﹣1，要使函数f（x）＝x2+ax+在（，+∞）是增函数，则g（x）＝2x3+ax2﹣1在x∈（，+∞）大于等于0恒成立，g′（x）＝6x2+2ax＝2x（3x+a），当a＝0时，g′（x）≥0，g（x）在R上为增函数，则有g（）≥0，解得，a≥3（舍）；当a＞0时，g（x）在（0，+∞）上为增函数，则g（）≥0，解得，a≥3；当a＜0时，同理分析可知，满足函数f（x）＝x2+ax+在（，+∞）是增函数的a的取值范围是a≥3（舍）．故答案为[3，+∞）．16．已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+ax有两个零点，则实数a的取值范围为a＞0且a≠1．【分析】方程lnx﹣ax2+ax＝0有两解⇔方程恰有两解．即两个函数图象有两个交点．利用导数研究函数的单调性极值与最值，即可得出．解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），由题知方程lnx﹣ax2+ax＝0，即方程＝a （x﹣1）恰有两解．设g（x）＝，则g'（x）＝，∴当0＜x＜e时，g'（x）＞0，当x＞e时，g'（x）＜0，∴g（x）在（0，e）上是增函数，在（e，+∞）上是减函数，且g（1）＝0，作出函数y＝g（x）与函数y＝a（x﹣1）的图象如下图所示：∵当x＞e时，g（x）＞0，且g'（1）＝1，∴g（x）在（1，0）处的切线方程为y＝x﹣1，∴当0＜a＜1或a＞1时，函数y＝g（x）的图象与函数y＝a（x﹣1）的图象恰有2个交点．故答案为：a＞0且a≠1．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知z为虚数，为实数．（1）若z﹣2为纯虚数，求虚数z；（2）求|z﹣4|的取值范围．【分析】（1）设z＝x+yi，（x，y∈R，y≠0），由z﹣2为纯虚数，求出x的值，再由为实数，求出y的值，由此能求出虚数z．（2）由z+为实数，且y≠0，得到（x﹣2）2+y2＝4，根据y2＝4﹣（x﹣2）2＞0，求出x的范围，根据复数的模的定义得到|z﹣4|＝，由此能求出|z﹣4|的取值范围．解：（1）∵z为虚数，为实数．∴设z＝x+yi，（x，y∈R，y≠0），∵z﹣2为纯虚数，∴x＝2，∴z＝2+yi，∵为实数，∴z+＝2+yi+＝2+（y﹣）i∈R，∴y﹣＝0，解得y＝±2，∴z＝2+2i或z＝2﹣2i．（2）∵z+＝x+yi+＝x++[y﹣]i∈R，∴y﹣＝0，∵y≠0，∴（x﹣2）2+y2＝4，∴y2＝4﹣（x﹣2）2＞0，∴（x﹣2）2＜4，解得x∈（0，4），∴|z﹣4|＝|x+yi﹣4|＝＝＝，∵x∈（0，4），∴0＜16﹣4x＜16，∴0＜＜4，∴0＜|z﹣4|＜4，∴|z﹣4|的取值范围为（0，4）．18．（1）用综合法证明不等式：；（2）设a，b，c均为正数，且a+b+c＝1．用分析法证明：．【分析】（1）根据（a2+b2）≥，可得≥，同理≥，≥，然后三式相加即可证明不等式成立；（2）要证，只需证3（ab+bc+ca）⩽1，只需证2a2+2b2+2c2⩾ab+2bc+2ca，然后根据（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2≥0成立，即可证明成立．解：（1）∵，∴，同理，，∴，∴，当且仅当a＝b＝c时等号成立．（2）要证，只需证3（ab+bc+ca）⩽1，只需证a2+b2+c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca≥3（ab+bc+ca），只需证a2+b2+c2⩾ab+bc+ca，只需证2a2+2b2+2c2⩾ab+2bc+2ca，即证（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2≥0，上式显然成立，∴．19．已知a∈R，函数f（x）＝（﹣x2+ax）e x（x∈R，e为自然对数的底数）．（Ⅰ）当a＝2时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（﹣1，1）上单调递增，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求导函数，令f′（x）＞0，可得f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）f′（x）＝[﹣x2+（a﹣2）x+a]e x，若f（x）在（﹣1，1）内单调递增，即当﹣1＜x＜1时，f′（x）≥0，即﹣x2+（a﹣2）x+a≥0对x∈（﹣1，1）恒成立，分离参数求最值，即可求a的取值范围．解：（Ⅰ）当a＝2时，f（x）＝（﹣x2+2x）e x，f′（x）＝﹣（x2﹣2）e x令f′（x）＞0，得x2﹣2＜0，∴﹣＜x＜∴f（x）的单调递增区间是（﹣，）；（Ⅱ）f′（x）＝[﹣x2+（a﹣2）x+a]e x，若f（x）在（﹣1，1）内单调递增，即当﹣1＜x＜1时，f′（x）≥0，即﹣x2+（a﹣2）x+a≥0对x∈（﹣1，1）恒成立，即a≥对x∈（﹣1，1）恒成立，令y＝，则y′＝∴y＝在（﹣1，1）上单调递增，∴y＜1+1﹣＝∴当a＝时，当且仅当x＝0时，f′（x）＝0∴a的取值范围是[，+∞）．20．已知{f n（x）}满足，f n+1（x）＝f1（f n（x））．（1）求f2（x），f3（x），并猜想f n（x）的表达式；（2）用数学归纳法证明对f n（x）的猜想．【分析】（1）依题意，计算f2（x）＝f1[f1（x）]可求得f2（x），同理可求f3（x），可猜想想：，（n∈N*）（2）用数学归纳法证明即可．解：（1），猜想：，（n∈N*）（2）下面用数学归纳法证明，（n∈N*）①当n＝1时，，显然成立；②假设当n＝k（k∈N*）时，猜想成立，即，则当n＝k+1时，即对n＝k+1时，猜想也成立；结合①②可知，猜想对一切n∈N*都成立．21．已知函数f（x）＝ae x﹣lnx﹣1．（1）设x＝2是f（x）的极值点，求a，并求f（x）的单调区间；（2）证明：当a≥时，f（x）≥0．【分析】（1）推导出x＞0，f′（x）＝ae x﹣，由x＝2是f（x）的极值点，解得a＝，从而f（x）＝e x﹣lnx﹣1，进而f′（x）＝，由此能求出f（x）的单调区间．（2）当a≥时，f（x）≥﹣lnx﹣1，设g（x）＝﹣lnx﹣1，则﹣，由此利用导数性质能证明当a≥时，f（x）≥0．解：（1）∵函数f（x）＝ae x﹣lnx﹣1．∴x＞0，f′（x）＝ae x﹣，∵x＝2是f（x）的极值点，∴f′（2）＝ae2﹣＝0，解得a＝，∴f（x）＝e x﹣lnx﹣1，∴f′（x）＝，当0＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．（2）证明：当a≥时，f（x）≥﹣lnx﹣1，设g（x）＝﹣lnx﹣1，则﹣，由﹣＝0，得x＝1，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，当x＞1时，g′（x）＞0，∴x＝1是g（x）的最小值点，故当x＞0时，g（x）≥g（1）＝0，∴当a≥时，f（x）≥0．22．已知函数f（x）＝x（lnx+a）+b，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线为2x﹣y ﹣1＝0．（1）求a，b的值；（2）若对任意的x∈（1，+∞），f（x）≥m（x﹣1）恒成立，求正整数m的最大值．【分析】（1）通过曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线为2x﹣y﹣1＝0，转化求解a，b即可．（2）通过恒成立．令，x＞1，则．令h（x）＝x﹣lnx﹣2，则，所以x＞1，h'（x）＞0，h（x）单调递增．转化求解函数的最值推出结果即可．解：（1）由f（x）＝x（lnx+a）+b，得f'（x）＝lnx+a+1．曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线为2x﹣y﹣1＝0，所以f'（1）＝a+1＝2，f（1）＝a+b＝1，解得a＝1，b＝0．（2）由（1）知f（x）＝x（lnx+1），则x∈（1，+∞）时，f（x）≥m（x﹣1）恒成立，等价于x∈（1，+∞）时，恒成立．令，x＞1，则．令h（x）＝x﹣lnx﹣2，则，所以x＞1，h'（x）＞0，h（x）单调递增．因为h（3）＝1﹣ln3＜0，h（4）＝2﹣2ln2＞0，所以存在x0∈（3，4）使h（x0）＝0．且x∈（1，x0）时，g'（x）＜0；x∈（x0，+∞）时，g'（x）＞0，所以，因为x0﹣lnx0﹣2＝0，所以lnx0＝x0﹣2，所以，所以m≤x0∈（3，4），即正整数m的最大值为3．。
2019-2020学年洛阳市新高考高二数学下学期期末监测试题
提高练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． “11x<”是“1x >”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．e 为自然对数的底数，已知函数()1,18ln 1,1xx f x x x ⎧+<⎪=⎨⎪-≥⎩，则函数()y f x ax =-有唯一零点的充要条件是（ ）A ．1a <-或21a e =或98a > B ．1a <-或2118a e≤≤ C ．1a >-或2198a e <<D ．1a >-或98a >3．从一批产品中取出三件产品，设事件A 为“三件产品全不是次品”，事件B 为“三件产品全是次品”，事件C 为“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（ ） A ．事件A 与C 互斥 B ．事件B 与C 互斥 C ．任何两个事件均互斥 D ．任何两个事件均不互斥4．若函数2()ln =++af x x x x在1x =处取得极小值，则()f x 的最小值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．65．已知1F 、2F 为双曲线C ：221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则12·PF PF = A ．2B ．4C ．6D ．86．等比数列{n a }的前n 项和为n S ，若103010,30,S S ==则20S = A ．10B ．20C ．20或-10D ．-20或107．袋中装有6个红球和4个白球，不放回的依次摸出两球，在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到红球的概率是 A ．35B ．25C ．13D ．598．若函数32()21f x ax x x =+++在(1,2)上有最大值无最小值，则实数a 的取值范围为（ ） A ．34a >-B ．53a <-C ．5334a -<<- D ．5334a -≤≤- 9．下列等式中，错误的是（ ）A ．11(1)m m n n n A A +++=B ．!(2)!(1)n n n n =-- C ．!m m nn A C n =D ．11m mn n A A n m+=-10． “搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标.“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高.如图是2018年9月到2019年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图.根据该走势图，下列结论正确的是（ ）A ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C ．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差D ．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值 11．下列不等式中正确的有( )①sin ,(,0)x x x >∈-∞；②1,xe x x R ≥+∈；③ln ,(0,)xx x e x <<∈+∞ A ．①③B ．①②③C ．②D ．①②12．已知命题()0:0,p x ∃∈+∞，00122019xx +=；命题:q 在ABC ∆中，若sin sin A B >，则cos cos A B <．下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ∨⌝C ．()()p q ⌝∨⌝D ．()p q ∧⌝二、填空题：本题共4小题13．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点2F 到渐近线的距离为4，且在双曲线C 上到2F 的距离为2的点有且仅有1个，则这个点到双曲线C 的左焦点1F 的距离为______.14．正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，若1AC 与底面ABCD 所成角为60°，则11A C 和底面ABCD 的距离是________15．记I 为虚数集，设,,,a b R x y I ∈∈，则下列类比所得的结论正确的是__________．①由·a b R ∈，类比得·x y I ∈ ②由20a ≥，类比得20x ≥③由()2222a b a ab b +=++，类比得()2222x y x xy y +=++④由0,a b a b +>>-，类比得0,x y x y +>>-16．若实数满足则的最小值为_______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2019-2020学年洛阳市数学高二第二学期期末监测试题含解析
【点睛】
本题主要考查了四面体体积的判断，运动中的定量与变量的分析，空间想象与转化能力，属于中档题
7．下列函数中既是奇函数，又在区间 上是单调递减的函数为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
由题意得，对于函数 和函数 都是非奇非偶函数，排除A、C．
又函数 在区间 上单调递减，在区间 单调递增，排除D，故选B．
3．已知实数 满足条件 ，且 ，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
如图所示，画出可行域和目标函数，根据平移得到答案.
【详解】
如图所示，画出可行域和目标函数，
，则 ， 表示直线 轴截距的相反数，
根据图像知：当直线过 ，即 ， 时有最小值为 ；
当直线过 ，即 时有最大值为 ，故 .
A．该四面体体积有最大值，也有最小值B．该四面体体积为定值
C．该四面体体积只有最小值D．该四面体体积只有最大值
【答案】D
【解析】
【分析】
易证 ，从而可推出 面积为定值，则只需研究点 到平面 的距离的取值范围即可得到四面体体积的取值范围
【详解】
分别为棱长为 的正方体的棱 的中点，所以 ，又 ，故点 到 的距离为定值，则 面积为定值，当点 与点 重合时，为平面构不成四面体，故只能无限接近点 ，当点 与点 重合时， 有最大值，体积有最值，所以四面体体积有最大值，无最小值
【详解】
由题意，根据双曲线 的渐近线方程为 ．
根据圆 的圆心 到切线的距离等于半1，可得 ，整理得 ，即 ，
又由 ，则 ，
可得 即双曲线的离心率为 ．
故选：B．
【点睛】
【数学】河南省洛阳市第一高级中学2019-2020学年高二下学期周练(2.16)(文)
河南省洛阳市第一高级中学2019-2020学年高二下学期周练（2.16）（文）一．选择题(每题5分，共50分）1.已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可知扇形面积公式( )A.r 22B.l 22C.lr2 D.不可类比2.已知f(x ＋1)＝2f （x ）f （x ）＋2，f(1)＝1(x ∈N *)，猜想f(x)的表达式为( )A.f(x)＝42x ＋2B.f(x)＝2x ＋1C.f(x)＝1x ＋1D.f(x)＝22x ＋13．由710>58，911>810，1325>921，…若a >b >0且m >0，则b ＋m a ＋m 与b a之间大小关系为( )A ．相等B ．前者大C ．后者大D ．不确定 4．下列推理是归纳推理的是( )A ．A ，B 为定点，动点P 满足|P A |＋|PB |＝2a >|AB |，得P 的轨迹为椭圆 B.由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的面积S ＝πabD ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇5．观察图中各正方形图案，每条边上有n (n ≥2)个圆点，第n 个图案中圆点的个数是a n ，按此规律推断出所有圆点总和S n 与n 的关系式为( )A ．S n ＝2n 2－2nB ．S n ＝2n 2C ．S n ＝4n 2－3nD ．S n ＝2n 2＋2n6．设f （x ）（x ∈R ）为奇函数，f （1）＝12 ，f （x ＋2）＝f （x ）＋f （2），f （5）＝ （ ） A ．0 B ．1 C ．52 D ．57. 已知f （x ）为偶函数，且f （2＋x ）＝f （2－x ），当－2≤x ≤0时，f （x ）＝2x ，若n ∈N *，a n ＝f （n ），则a 2010＝ （ ） A ．2010 B ．4 C ．14 D ．－48．如图是函数32()f x x bx cx d =+++的大致图象，则2212x x +等于（ ）A ．32B ．34C ．38D ．3129.设M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1，且a ＋b ＋c ＝1(a ，b ，c 均为正数)，由综合法得M的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，18 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，1 C.[1，8]D.[8，＋∞)10.设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a ( )A.都不大于－2B.都不小于－2C.至少有一个不大于－2D.至少有一个不小于－2二．填空题（每题5分，共20分）11. 有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖”。
洛阳市2019-2020学年数学高二第二学期期末监测试题含解析
洛阳市2019-2020学年数学高二第二学期期末监测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．用反证法证明：若整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理数根，那么a 、b 、c 中至少有一个偶数时，下列假设正确的是（ ） A ．假设a 、b 、c 都是偶数 B ．假设a 、b 、c 都不是偶数 C ．假设a 、b 、c 至多有一个偶数 D ．假设a 、b 、c 至多有两个偶数 【答案】B 【解析】 【分析】根据反证法的概念，可知假设应是所证命题的否定，即可求解，得到答案。
【详解】根据反证法的概念，假设应是所证命题的否定，所以用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程()200ax bx c a ++=≠有有理根，那么,,a b c 中至少有一个是偶数”时，假设应为“假设,,a b c 都不是偶数”，故选B 。
【点睛】本题主要考查了反证法的概念及其应用，其中解答中熟记反证法的概念，准确作出所证命题的否定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
2．已知变量x ，y 呈现线性相关关系，回归方程为ˆ1-2 yx =，则变量x ，y 是（） A ．线性正相关关系B ．线性负相关关系C ．由回归方程无法判断其正负相关关系D ．不存在线性相关关系【答案】B 【解析】 【分析】根据变量x ，y 的线性回归方程的系数b $＜0，判断变量x ，y 是线性负相关关系． 【详解】根据变量x ，y 的线性回归方程是y $=1﹣2x ， 回归系数b =-$2＜0，所以变量x ，y 是线性负相关关系． 故选：B ．【点睛】本题考查了由线性回归方程判断变量是否正负相关问题，是基础题目．3．设函数f（x）＝xlnx的图象与直线y＝2x+m相切，则实数m的值为（）A．e B．﹣e C．﹣2e D．2e【答案】B【解析】【分析】设切点为（s，t），求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由切线方程可得s，t，进而求得m．【详解】设切点为（s，t），f（x）＝xlnx的导数为f′（x）＝1+lnx，可得切线的斜率为1+lns＝2，解得s＝e，则t＝elne＝e＝2e+m，即m＝﹣e．故选：B．【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，属于基础题．4．若，则（）A．2017 B．2018 C．2019 D．2020【答案】A【解析】【分析】通过对等式中的分别赋0，1，求出常数项和各项系数和得到要求的值.【详解】令，得，令，得，所以，故选A.【点睛】该题考查的是有二项展开式中系数和的有关运算问题，涉及到的知识点有应用赋值法求二项式系数和与常数项，属于简单题目.5．已知5(1)(1)ax x ++的展开式中2 x 的系数为 5，则a =（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．-1【答案】D 【解析】 【分析】将化简为：55(1)(1)x ax x +++分别计算2 x 的系数，相加为5解得a .【详解】555(1)(1)(1)(1)ax x x ax x ++=+++5(1)x +中2 x 的系数为：2510C =5(1)ax x +2 x 的系数为：155aC a =2 x 的系数为：10551a a +=⇒=-故答案选D 【点睛】本题考查了二项式定理的计算，分成两种情况简化了计算.6．欧拉公式：i e cos isin (i x x x =+为虚数单位），由瑞士数学家欧拉发明，它建立了三角函数与指数函数的关系，根据欧拉公式，i 22(e )π=（ ） A ．1 B ．1- C ．i D ．i -【答案】B 【解析】 【分析】由题意将复数的指数形式化为三角函数式，再由复数的运算化简即可得答案． 【详解】由ix e cosx isinx =+得2222cos sin 212i e i i πππ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝=⎝⎭=-⎭故选B ． 【点睛】本题考查欧拉公式的应用，考查三角函数值的求法与复数的化简求值，是基础题． 7．已知i 是虚数单位，21i =-，则计算21ii+的结果是（） A ．1i +B ．1i -+C ．1i -D ．1i --根据虚数单位i 的运算性质，直接利用复数代数形式的除法运算化简求值． 【详解】 解：21i =-Q ，22(1)2211(1)(1)2i i i i i i i i -+∴===+++-， 故选A ． 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．8．已知,S T 是两个非空集合，定义集合{},S T x x S x T -=∈∉，则()S S T -- 结果是( ) A ．T B ．SC ．S T ⋂D ．S T ⋃【答案】C 【解析】 【分析】根据定义集合{},S T x x S x T -=∈∉分析元素特征即可得解. 【详解】因为{},S T x x S x T -=∈∉表示元素在S 中但不属于T ，那么()S S T --表示元素在S 中且在T 中即S T ⋂，故选C.【点睛】本题考查了集合的运算，结合题中给出的运算规则即可进行运算,属于基础题, 9．已知函数()y f x =的导函数'()y f x =的图像如图所示，则()f x （ ）A ．有极小值，但无极大值B ．既有极小值，也有极大值C ．有极大值，但无极小值D ．既无极小值，也无极大值通过导函数大于0原函数为增函数，导函数小于0原函数为减函数判断函数的增减区间，从而确定函数的极值. 【详解】由导函数图像可知：导函数'()y f x =在(),a -∞上小于0，于是原函数()y f x =在(),a -∞上单调递减，'()y f x =在()+a ∞，上大于等于0，于是原函数()y f x =在()+a ∞，上单调递增，所以原函数在x a =处取得极小值，无极大值，故选A. 【点睛】本题主要考查导函数与原函数的联系，极值的相关概念，难度不大.10．若a v ，b v 均为单位向量，且(2)a a b ⊥-vv v ，则a v 与b v 的夹角大小为 （ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 【答案】C 【解析】分析：由向量垂直得向量的数量积为0，从而求得a b ⋅r r，再由数量积的定义可求得夹角．详解：∵()2a a b ⊥-vv v ，∴2(2)20a a b a a b ⋅-=-⋅=r r r r r r ，∴12a b ⋅=r r ，∴1cos ,2a b a b a b ⋅<>==r rr r r r ，∴,3a b π<>=r r ．故选C ．点睛：平面向量数量积的定义：cos ,a b a b a b ⋅=<>r r r r r r ，由此有cos ,a b a b a b⋅<>=r rr r r r ，根据定义有性质：0a b a b ⊥⇔⋅=r r r r．11．—个盒子里装有相同大小的红球、白球共30个,其中白球4个.从中任取两个,则概率为1102264264230C C C C C +的事件是( ). A ．没有白球 B ．至少有一个白球 C ．至少有一个红球D ．至多有一个白球【答案】B 【解析】1122644230C C C C +表示任取的两个球中只有一个白球和两个都是白球的概率，即至少有一个白球的概率.故选B.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.12．《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有这样一道题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其译文是“现有从高到低依次为大夫、不更、簪裹、上造、公士的五个不同爵次的官员，共猎得五只鹿，要按爵次高低分配（即根据爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列），问各得多少鹿？”已知上造分得23只鹿，则大夫所得鹿数为（ ） A ．1只 B ．43只 C ．53只 D ．2只【答案】C 【解析】 【分析】设爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列{a n }，则423a =，由前5项和为5求得3a ，进一步求得d ，则答案可求． 【详解】设爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列{a n }，则423a =，则12348355a a a a a a ++++==， ∴3a =1，则431d 3a a =-=- ，∴13523a a d =-=．∴大夫所得鹿数为53只．故选：C ． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的性质，属于基础题． 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知向量()1,1a =r ，()3,2b =-r ，若2ka b -r r 与a r垂直，则实数k =__________．【答案】-1 【解析】 【分析】由题意结合向量垂直的充分必要条件得到关于k 的方程，解方程即可求得实数k 的值. 【详解】由平面向量的坐标运算可得：()()()21,123,26,4ka b k k k -=--=+-vv ， 2ka b -r r与a r 垂直，则()20ka b a -⋅=v v v ，即：()()61410k k +⨯+-⨯=，解得：1k =-. 【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14．已知过点1,1（）P -的直线m 交x 轴于点A ，抛物线2x y =上有一点B 使PA PB ⊥,若AB 是抛物线2x y =的切线，则直线m 的方程是___．【答案】320x y +-=或20x y -+=. 【解析】分析：由题设()2,B t t，求导得到直线2:2,AB y tx t=- 然后分0t =和0t ≠两种情况讨论即可得到直线m 的方程.详解：由题设()2,B t t，求导2x y ='即2ABkt =，则直线2:2,AB y tx t =-当0t =时，验证符合题意，此时()2,0A - ，故:20m x y -+= ，当0t ≠时，,02t A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ，()0111042t PA PB t t t ⎛⎫⋅=⇒++-+=⇒= ⎪⎝⎭u u u v u u u v 或1t =-（,B P 重合，舍去）此时()()1,1,2,0P A -，故:320m x y +-=点睛：本题考查曲线的切线方程的求法，垂直关系的斜率表示等，属基础题.15．两个圆锥有等长的母线，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，若它们的侧面积之比为1:2，则它们的体积比是_____________． 【答案】10【解析】 【分析】设圆锥母线长为l ，小圆锥半径为r 、高为h ，大圆锥半径为R ，高为H ，根据侧面积之比可得2R r =，再由圆锥侧面展幵扇形圆心角的公式得到3l r =，利用勾股定理得到,h H 关于r 的式子，从而将两个圆锥的体积都表示成r 的式子，，求出它们的比值. 【详解】设圆锥母线长为l ，侧面积较小的圆锥半径为r ， 侧面积较大的圆锥半径为R ，它们的高分别为,h H ， 则:1:2rl Rl ππ=，得2R r =，Q 两圆锥的侧面展幵图恰好拼成一个圆，22r Rlππ+∴=⨯，得3l r =，再由勾股定理，得h =，同理可得，H ==，∴两个圆锥的体积之比为2211:433r r ππ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为【点睛】本题主要考查圆锥的性质与侧面积，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于中档题.16．已知抛物线C 的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在x 轴上，若C 经过点(1,3)M ，则其焦点到准线的距离为________. 【答案】92【解析】 【分析】根据抛物线C 的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在x 轴上，且过点(1,3)M ,可以设出抛物线的标准方程,代入(1,3)M 后可计算得92p =,再根据抛物线的几何性质可得答案. 【详解】因为抛物线C 的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在x 轴上，且过点(1,3)M , 所以可设抛物线的标准方程为:22(0)y px p =>,将(1,3)M 代入可得2321p =⨯,解得92p =, 所以抛物线的焦点到准线的距离为92p =. 故答案为:92. 【点睛】本题考查了求抛物线的标准方程,考查了抛物线的焦准距,属于基础题.三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．对任意正整数m ，n ，定义函数(,)f m n 满足如下三个条件：①(1,1)1f =； ②(1,)(,)2()f m n f m n m n +=++； ③(,1)(,)2(1)f m n f m n m n +=++-．（1）求(3,1)f 和(1,3)f 的值； （2）求(,)f m n 的解析式．【答案】（1）(3,1)11f =，(1,3)7f =（2）22(,)231f m n m mn n m n =++--+【解析】 【分析】（1）由已知关系式直接推得即可；（2）由(1,1),(1,2),,f f L 依次推出(1,)f n ，再由(1,),(2,)f n f n ，L ，依次推出(,)f m n 即可.【详解】 解：（1）因(1,)(,)2()f m n f m n m n +=++，令1m n ==代入得:(2,1)(1,1)2(11)145f f =++=+=，令2m =，1n =代入得: (3,1)(2,1)2(21)5611f f =++=+=，又(,1)(,)2(1)f m n f m n m n +=++-，令1m n ==代入得：(1,2)(1,1)2(111)123f f =++-=+=．令1m =，2n =代入得：(1,3)(1,2)2(121)347f f =++-=+=．（2）由条件②可得(2,1)(1,1)2(11)22f f -=⨯+=⨯， (3,1)(2,1)2(21)23f f -=⨯+=⨯，……(,1)(1,1)2(11)2f m f m m m --=⨯-+=⨯．将上述1m -个等式相加得：2(,1)2(23)(1,1)1f m m f m m =++⋅⋅⋅++=+-．由条件③可得：(,2)(,1)2(11)2f m f m m m -=+-=，(,3)(,2)2(21)2(1)f m f m m m -=+-=+，… …f m n f m n m n m n--=⨯+--=⨯+-．(,)(,1)2(11)2(2)n-个等式相加得：将上述12=+++++⋅⋅⋅++-++-f m n m m m m n m m(,)2[(1)(2)(2)]122=++--+．m mn n m n231【点睛】本题主要考查了函数的递推关系式，注意观察规律，细心完成即可.18．2018年双11当天，某购物平台的销售业绩高达2135亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.9，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为140次．（1）请完成下表，并判断是否可以在犯错误概率不超过0.5％的前提下，认为商品好评与服务好评有关？对服务好评对服务不满意合计对商品好评140对商品不满意10合计200（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的3次购物中，设对商品和服务全好评的次数为X．①求随机变量X的分布列；②求X的数学期望和方差．附：，其中n＝a＋b＋c＋d．P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【答案】（1）详见解析（2）①详见解析②，【解析】【分析】(1)补充列联表，根据公式计算卡方值，进行判断；（2）（ⅰ）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为，且X的取值可以是0，1，2，3，x符合二项分布，按照二项分布的公式进行计算即可得到相应的概率值；（ⅱ）按照二项分布的期望和方差公式计算即可.【详解】（1）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表：对服务好评 对服务不满意 合计 对商品好评 140 40 180 对商品不满意 10 10 20 合计 150 50200则．由于7.407＜7.879，则不可以在犯错误概率不超过0.5％的前提下，认为商品好评与服务好评有关． （2）（ⅰ）每次购物时，对商品和服务都好评的概率为，且X 的取值可以是0，1，2，3， 则，，，．故X 的分布列为 X123P（ⅱ）由于X ～B （3，），则，．【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确.19．如图，在三棱锥P ABC -中，,,PA PB PC 两两垂直，3PA AB AC ===，且D 为线段BC 的中点.（1）证明：BC ⊥平面PAD ；（2）若3,2AE AC PE AD λ=⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v ，求平面PAB 与平面PDE 所成角的正弦值.【答案】 (1)见解析；（2）2211. 【解析】分析：（1）由题意得AD BC ⊥，又PA BC ⊥，从而即可证明；（2）以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，即可运用空间向量的方法求得答案. 详解：（1）证明：因为AB AC =，D 为线段BC 的中点， 所以AD BC ⊥.又,,PA PB PC 两两垂直，且AB AC A ⋂= 所以PA ⊥平面ABC ，则PA BC ⊥. 因为AD PA A ⋂=， 所以BC ⊥平面PAD .（2）解：以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -， 则()()()()330,0,0,3,0,0,0,3,0,0,0,3,,,022A B C P D ⎛⎫⎪⎝⎭. ∵AE AC λ=u u u v u u u v，∴可设()0,,0E t ，则()330,,3,,,022PE t AD ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭u u u v u u u v ，3322PE AD t u u u v u u u v ⋅==∴1t =，则()31,,0,0,1,322ED PE ⎛⎫==- ⎪⎝⎭u u u v u u u v，设平面PDE 的法向量为(),,n x y z v=，则00n ED n PE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ，即 3102230x y y z ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩令1z =，得()1,3,1n =-v.平面PAB 的一个法向量为()0,1,0m =v， 则311cos ,11m n ==v v. 故平面PAB 与平面PDE 所成二面角的正弦值为2211.点睛：求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．20．国内某知名大学有男生14111人，女生11111人，该校体育学院想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取121人，统计他们平均每天运动的时间，如下表：（平均每天运动的时间单位：小时，该校学生平均每天运动的时间范围是）.男生平均每天运动时间分布情况：女生平均每天运动时间分布情况：（1）请根据样本估算该校男生平均每天运动的时间（结果精确到1.1）；（2）若规定平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，低于2小时的学生为“非运动达人”.①请根据样本估算该校“运动达人”的数量； ②请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表，并通过计算判断能否在犯错误的概率不超过1.15的前提下认为“是否为‘运动达人’与性别有关？”参考公式：，其中.参考数据：1．111.15 1.125 1.111 1.115 1.1112.7163.841 5.124 6.635 7.879 11.828【答案】（1）1.5；（2）①4111；②在犯错误的概率不超过1.15的前提下不能认为“是否为‘运动达人’与性别有关”．【解析】试题分析：（1）由分层抽样计算得男生抽人，女生抽人，故，由此求得男生平均运动事件为小时；（2）计算，故在犯错误的概率不超过的前提下不能认为“是否为‘运动达人’与性别有关”. 试题解析：（1）由分层抽样得：男生抽取的人数为人，女生抽取人数为人，故，则该校男生平均每天运动时间为：故该校男生平均每天运动的时间约为1.5小时； （2）①样本中“运动达人”所占比例是，故估计该校“运动达人”有人；②由表可知：故的观测值故在犯错误的概率不超过1.15的前提下不能认为“是否为‘运动达人’与性别有关” 考点：1.频率分布直方图；2.独立性检验.21．已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =，且1a ，21a -，31a -成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）21n a n =-；（2）21n nS n =+ 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的定义和1a ，21a -，31a -成等比数列代入公式得到方程，解出答案. (2)据(1)把n b 通项公式写出,根据裂项求和的方法求得n S . 【详解】解：(1) 1a ，21a -，31a -成等比数列,则2213(1).(1)a a a -=-⇒22d d =2d =或0d =(舍去)所以21n a n =- （2）111111()(21).(21)22121n n n b a a n n n n +===-⋅-+-+12111111111....(...)(1)21335212122121n n nS b b b n n n n =+++=-+-++-=-=-+++【点睛】本题考查了公式法求数列通项式，裂项求和方法求n S ，属于基础题. 22．已知函数32()2f x x x x a =+++．（1）若()f x 在0x =处的切线过点()2,3，求a 的值； （2）若()f x 在[]2,0-上存在零点，求a 的取值范围． 【答案】（1）1a =；（2）[]0,2． 【解析】 【分析】（1）求出()f x '，然后求出()0f '和()0f ，然后表示出切线方程，把点()2,3代入方程即可取出a （2）由32()20f x x x x a =+++=得322a x x x =---，然后求出32()2g x x x x =---，[]2,0x ∈-的值域即可. 【详解】解：（1）∵2()341f x x x '=++．∴()01f '=，又∵()0f a =，∴()f x 在点0x =处的切线方程为()()()000y f f x ¢-=-，即y a x -=．由过点()2,3得：32a -=，1a =． （2）由32()20f x x x x a =+++=， 得322a x x x =---，令32()2g x x x x =---，[]2,0x ∈-． ∴2()341g x x x '=---，令()0g x ¢=，解得1x =-，或13x =-．易知()22g -=，()00g =，()10g -=，14()327g -=， 由()f x 在[]2,0-上存在零点，得a 的取值范围为[]0,2． 【点睛】若方程()a f x =有根，则a 的范围即为函数()f x 的值域.。
河南省洛阳市第一高级中学高二数学下学期6月“周练”试卷 文.doc
河南省洛阳市第一高级中学高二数学下学期6月“周练”试卷 文一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1.a n 是实数构成的等比数列，S n =a 1+a 2+…+a n ，则数列{S n }中 ( ) A.任一项均不为0 B.必有一项为0C.至多有有限项为0D.或无一项为0，或无穷多项为02.在△ABC 中，a=λ，b=3λ，A=45°，则满足此条件的三角形的个数是A.0B.1C.2D.无数个 3.不等式x 2>3x 的解集是 （ ）A.{x|x>3}B. {x|x<0或x>3}C. {x|0<x<3}D. R4.等差数列{a n }共有2n+1项，其中奇数项之和为4，偶数项之和为3，则n 的值是（ ） A.3 B.5 C.7 D.95.下列不等式的解集是空集的是（ ）A.x 2-x+1>0B.-2x 2+x+1>0C.2x -x 2>5D.x 2+x>2 6.已知△ABC 的三边长分别为22y x AB +=，22z x AC +=，22z y BC +=，其中x,y,z ∈(0,+∞)，则△ABC 是（ ）A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.以上三种情况均有可能 7.不等式4x-y ≥0表示的平面区域是（ ）8.某厂的产值若每年平均比上一年增长10%，经过x 年后，可以增长到原来的2倍，在求x 时，所列的方程正确的是（ ）A.(1+10%)x-1=2B. (1+10%)x =2C. (1+10%)x+1=2D. x=(1+10%)2 9.在△ABC 中，a ,b ,c 分别是角A,B,C 的对边，则a cosB+b cosA=（ ） A.a B.b C.c D.不确定10. 若x >1，则22222-+-x x x 有（ ）A.最小值1B.最大值1C.最小值-1D.最大值-1二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共11.设P(x,y)，其中x,y ∈N ，则满足x+y ≤4的点P 的个数为________.12.在△ABC 中，a ,b ,c 分别是角A,B,C 的对边，若a +b=32，a b=2，A+B=60°，则边c=________. 13.已知正数a ,b 满足ab =a +b +5，则ab 的取值范围是______.ABD14.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数是_______.答 题 卷班级 姓名 分数一.选择题答题卡二.填空题答题卡11＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 12＿＿＿＿＿＿＿＿＿13＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 14＿＿＿＿＿＿＿＿＿三、解答题（本大题分三个小题，每个小题10分，共30分）15.设Sn 是等差数列{a n }的前n 项和，已知331S 与441S 的等比中项为551S ，331S 与441S 的等差中项为1，求等差数列{a n }的通项。
河南省洛阳市第一高级中学2019-2020学年高二下学期周练(2.16)数学(理)试题 PDF版含答案
2019-2020学年第二学期洛阳一高高二年级周练理科数学试题（2）一、选择题（满分50分每小题5分）1.已知函数2()24f x x =−的图象上一点(1,2)−及邻近一点(1,2)x y +∆−+∆,则yx∆∆等于 2.4 .4 .42 .42()A B x C x D x +∆+∆ 2.若0'()2f x =，则000()()lim2k f x k f x k→−−等于1. 1 . 2 .1 .2A B C D −−3.曲线3231y x x =−+在点P 处的切线平行于直线91y x =−，则此切线的方程为.9A y = .926B y x =− .926C y x =+ .96D y x =+或926y x =−4.曲线3231=−+y x x 在点()1,1−处的切线方程为.340−−=A x y .320+−=B x y .430+−=C x y .450−−=D x y 5.函数21ln 2y x x =−的单调递减区间为 .(0,1] .(1,1].[1,) .(0,)−+∞+∞A B C D6.设P 为曲线:C 223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[0,]4π，则点P 横坐标的取值范围为 1.[1,]2A −− .[1,0]B − .[0,1]C 1.[,1]2D7.设曲线ln(1)y ax x =−+在点(0,0)处的切线方程为2y x =，则a =.0 .1 .2 .3A B C D8. 若函数()y f x =的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是.x A y e = .ln B y x = .sin C y x = 3.D y x = 9.“14≤c ”是“函数()321132=−++f x x x cx d 有极值”的 .A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件10.已知函数()f x =3231ax x −+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围为.(2,)A +∞ .(,2)B −∞− .(1,)C +∞ .(,1)D −∞−二、填空题（满分20分每小题5分）11.曲线(1)x y ax e =+在点(0,1)处的切线的斜率为2−，则____a =．12. 已知函数()ln ,(0,)f x ax x x =∈+∞ ，其中a 为实数，'()f x 为()f x 的导函数，若(1)3f '= ，则a 的值为 ．13. 设函数())(0)f x ϕϕπ=+<<，若()'()f x f x +是奇函数，则___ϕ=． 14.已知曲线1*()()+=∈n f x x n N 与直线1=x 交于点P ，设曲线()=y f x 在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为n x ，则201612016220162015log log log +++x x x 的值为________．三、解答题（满分30分每小题10分） 15.(本题满分10分)已知曲线3()f x x ax b =++在点(2,6)P −处的切线方程是13320x y −−=． (1)求,a b 的值；(2)如果曲线()y f x =的某一切线与直线:43l y x =+平行，求切点坐标与切线的方程． 16.(本题满分10分)设2()(5)6ln =−+f x a x x ，其中∈a R ，曲线()=y f x 在点(1,(1))f 处的切线与y 轴相交于点(0,6)． (1)确定a 的值；(2)求函数()f x 的单调区间与极值. 17.(本题满分10分) 设函数()2x f x e ax =−−. (1)求()f x 的单调区间；(2)若1a =，k 为整数，且当0x >时，()'()10x k f x x −++>，求k 的最大值.2月15日周练参考答案一．选择题 1—5 C A D B A 6—10 A D C B B 二．填空题 11. 3− 12. 3 13. 6π14. 1− 三．解答题15．解：(1)∵3()f x x ax b =++，2'()3f x x a ∴=+， ……1分'(2)1213f a =+=, ……2分 (2)826f a b =++=−， ……3分 解得1,6a b ==−. ……5分 (2)∵切线与直线:43l y x =+垂直，∴切线的斜率4k =． ……6分设切点的坐标为00(,)x y ，则200'()314f x x =+=，∴01x =±． ……7分 由3()16f x x x =+−，可得0111614y =+−=−，或0111618y =−−−=−, ……8分 则切线方程为4(1)14y x =−−或4(1)18y x =+−, ……9分 即418y x =−或414y x =−． ……10分 16.解: (1)2()(5)6ln f x a x x =−+,6'()2(5)f x a x x∴=−+, ……1分 (1)16,'(1)68f a f a ==−, ……3分 切线方程为16(68)(1)y a a x −=−−， ……4分(0,6)代入12a =. ……5分 (2) 由(1)知21()(5)6ln 2f x x x =−+,()f x 的定义域为(0,)+∞， ……6分6(2)(3)'()(5)x x f x x x x−−=−+=, ……7分由'()0f x >得3x >或02x <<，由'()0f x <得23x <<， ……8分 ∴()f x 的单调递增区间为(0,2),(3,)+∞，单调递减区间为(2,3). ……10分 单调递增区间写成并集的扣一分.17．解:(1)()f x 的定义域为R ，'()x f x e a =−. ……1分若0a ≤，则'()0f x >，所以()f x 在R 上单调递增. ……2分 若0a >，当(,ln )x a ∈−∞时，'()0f x <；当(ln ,)x a ∈+∞时，'()0f x >. ……4分()f x ∴在(,ln )a −∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增. ……5分 (2)1a =，()'()1()(1)1x x k f x x x k e x ∴−++=−−++.故0x >时，()'()10x k f x x −++>等价于1(0)1x x k x x e +<+>−. ① ……6分 令1(),1x x g x x e +=+−则221(2)'()1(1)(1)−−−−=+=−−x x x x x xe e e x g x e e . ……7分 由(1)知，函数()2x h x e x =−−在(0,)+∞上单调递增. 而(1)0,(2)0,()h h h x <>∴在(0,)+∞上存在唯一的零点.故'()g x 在(0,)+∞上存在唯一的零点.设此零点为,α则(1,2)α∈. ……8分 当(0,)x α∈时，'()0g x <；当(,)x α∈+∞时，'()0>g x .所以()g x 在(0,)+∞上的最小值为()g α. ……9分 又由'()0g α=，可得2e αα=+，所以()1(2,3)g αα=+∈.由于①等价于()k g α<,故整数k 的最大值为2. ……10分。
河南省洛阳市2019_2020学年高二数学下学期期中试题理含解析.doc
河南省洛阳市2019-2020学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）一､选择题1.若复数z 满足1i z i ⋅=+，则z 的共轭复数的虚部是（ ） A. i B. i -C. 1D. 1-【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合复数的除法法则可得1z i =-，再根据共轭复数、复数虚部的概念即可得解. 【详解】由题意()()21111i ii z i i i i+⋅+===--=-， 所以z 的共轭复数1z i =+，则z 的共轭复数的虚部为1. 故选：C.【点睛】本题考查了复数的运算，考查了共轭复数及复数虚部的概念，属于基础题. 2.用反证法证明命题：“设a ，b ，c 为实数，满足a b c ++是无理数，则a ，b ，c 至少有一个是无理数”时，假设正确的是（ ） A. 假设a ，b ，c 都是有理数 B. 假设a ，b ，c 至少有一个是有理数 C. 假设a ，b ，c 不都是无理数 D. 假设a ，b ，c 至少有一个不是无理数【答案】A 【解析】 【分析】由题意结合反证法的概念直接写出原命题的否定，即可得解. 【详解】用反证法证明命题时，需要假设命题的否定是正确的，原命题的否定是“设a ，b ，c 为实数，满足a b c ++是无理数，则a ，b ，c 都不是无理数”即“设a ，b ，c 为实数，满足a b c ++是无理数，则a ，b ，c 都是有理数”. 所以需要假设a ，b ，c 都是有理数. 故选：A.【点睛】本题考查了反证法的概念辨析，关键是对于反证法概念的掌握，属于基础题. 3.函数()f x 的图象如下图，则函数()f x 在下列区间上平均变化率最大的是（ ）A. []1,2B. []2,3C. []3,4D. []4,7【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合平均变化率的概念即可得解. 【详解】函数()f x 在区间上的平均变化率为yx∆∆， 由函数图象可得，在区间[]4,7上，0yx∆<∆即函数()f x 在区间[]4,7上的平均变化率小于0； 在区间[]1,2、[]2,3、[]3,4上时，0y x ∆>∆且x ∆相同，由图象可知函数在区间[]3,4上的y x∆∆最大.所以函数()f x 在区间[]3,4上的平均变化率最大. 故选：C.【点睛】本题考查了平均变化率的概念，关键是对知识点的准确掌握，属于基础题. 4.有一段演绎推理：“若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则通项公式-1n n n a S S =-.已知数列{}n a 的前n 项和为21n S n =+，则通项公式–121n n n a S S n =-=-”.对该演绎推理描述正确的是（ ）A. 大前提错误，导致结论错误B. 小前提错误，导致结论错误C. 推理形式错误，导致结论错误D. 以上演绎推理是正确的【答案】A 【解析】 【分析】根据演绎推理：三段论的推理过程即可判断.【详解】若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则通项公式-1n n n a S S =-， 需2n ≥，所以21n S n =+，则通项公式–121n n n a S S n =-=-，2n ≥，当1n =时，12a =，不满足通项公式， 即大前提错误，导致结论错误. 故选：A【点睛】本题考查了演绎推理的三段论的推理过程，属于基础题. 5.函数()()cos sin 0f x x x x x =->的单调递增区间为（ ） A. *3(,)()22n N n n ππππ∈++B. *(1)(,)()22N n n n ππ+∈ C. *(())(,1)n n N n ππ+∈ D. ()*())21,2(n n N n ππ-∈【答案】D 【解析】 【分析】先求导，进而利用导数与函数的单调性的关系即可求解. 【详解】函数()()cos sin 0f x x x x x =->，()cos sin cos sin y x x x x x x '∴=+--=-，由sin 0x x ->，0x >，可得sin 0x <， 解得()22n x n k Z πππ-<<∈，所以函数的单调递增区间为()*())21,2(n n N n ππ-∈.故选：D【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、解三角不等式，解题的关键是利用导数的运算法则求出导函数，属于基础题.6.已知过原点的直线l 与曲线xy e =相切，则由曲线xy e =，y 轴和直线l 所围成的平面图形的面积是（ ） A.e12- B. 1e - C.2e D. 1e +【答案】A【分析】根据导数的几何意义求出直线l 的方程，再确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解.【详解】解：由已知xy e =的导函数为'e xy =，设过原点的直线l 与曲线xy e =相切于点(),aa e，则'|ax a y e ==，直线l 的方程为()aa y ex a e =-+，即a a a y e x ae e =-+，又直线l 过原点，则0a a ae e -+=，解得1a =， 所以直线l 的方程为y ex =，由曲线xy e =，y 轴和直线l 所围成的平面图形的面积为()1201111110222xx e ex dx e ex e e e ⎛⎫⎛⎫-=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰. 故选：A.【点睛】本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题. 7.如图：图O 内切于正三角形ABC ，则3ABCOABOACOBCOBCSSSSS=++=⋅，即11||3||22BC h r BC ⋅⋅=⋅⋅⋅，3h r =，从而得到结论：“正三角形的高等于它的内切圆的半径的3倍”；类比该结论到正四面体，可得到结论：“正四面体的高等于它的内切球的半径的a 倍”，则实数a =（ ）A. 5B. 4C. 3D. 2【解析】 【分析】利用等体积，即可得出结论.【详解】解：设正四面体的高为h ，底面积为S ，内切球的半径为r ， 则11433V Sh Sr ==⋅， 4h r ∴=，则4a =. 故选：B.【点睛】本题考查类比推理，考查等体积方法的运用，考查学生的计算能力，比较基础. 8.若函数()22ln 2x a f x x x =-+存在极值，则实数a 的取值范围是（ ） A. (),1-∞ B. (],1-∞C. ()0,1D. (]0,1【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知，函数()y f x =在定义域()0,∞+上存在极值点，令()0f x '=可得221a x x =-，换元10t x=>，可得220t t a -+=，则实数a 的取值范围为函数22y t t 在()0,∞+上的值域且满足>0∆，由此可求得实数a 的取值范围. 【详解】函数()22ln 2x a f x x x =-+的定义域为()0,∞+，且()12f x ax x'=-+. 由题意可知，函数()y f x =在定义域()0,∞+上存在极值点， 由()0f x '=可得221a x x=-，令10t x =>，则22a t t =-，则实数a 的取值范围为函数22yt t 在()0,∞+上的值域且满足>0∆，对于二次函数()22211y t t t =-=--+，当0t >时，()222111y t t t =-=--+≤，对于二次方程22a t t =-，即220t t a -+=，440a ∆=->，解得1a <. 因此，实数a 的取值范围是(),1-∞. 故选：A.【点睛】本题考查利用函数的极值点求参数，一般转化为导函数的零点，但要注意导函数的图象与x 轴不能相切，考查化归与转化思想的应用，属于中等题. 9.若1a b >>，b P ae =，aQ be =，则P ，Q 的大小关系是（ ） A. P Q > B. P Q =C. P Q <D. 不能确定【答案】C 【解析】 【分析】对P ，Q 作商并化简，构造函数()xe f x x=，根据函数的单调性判断P Q 与1的大小关系，即可得出P ，Q 的大小关系.【详解】P ，Q 作商可得==a a bb e P ae b e Q be a，令·()x e f x x =，则()()21x e x f x x-'=，当1x >时，()0f x '>，所以()x e f x x =在()1,+∞上单调递增，因为1a b >>，所以<b a e e b a ，又0>b e b ，0>aea，所以1<a be b e a，所以P Q <. 故选：C【点睛】本题主要考查作商法比较大小，解题的关键是会构造函数并判断单调性.10.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统，分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义，如图，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于一种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线.将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，若记图①三角形的面积为3，则第n 个图中阴影部分的面积为（ ）133n + 33()2n⋅ 33()4n D.33()4n 【答案】D 【解析】 【分析】每一个图形的面积是前一个图形面积的34，根据等比数列公式得到答案. 【详解】根据题意：每一个图形的面积是前一个图形面积的343，公比为34的等比数列， 故第n 13333()44n n -⎛⎫=⎪⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题考查了等比数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力. 11.已知b 为正实数，直线y x a =+与曲线x by e +=相切，则2a b的取值范围是（ ）A. [),e +∞B. 2[,)e +∞C. [2,)+∞D. [4,)+∞【答案】D 【解析】【分析】取导数为1计算得到切点为(),1b -，将切点代入直线，得到1b a =-+，换元利用均值不等式得到答案. 【详解】x by e+=，则'1x by e+==，则x b =-，当x b =-，1y =，故切点为(),1b -，将切点代入直线得到1b a =-+，()2211224b a b bbb +==++≥=，当1b =时等号成立. 故选：D.【点睛】本题考查了根据切线求参数，均值不等式，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定1b a =-+是解题的关键. 12.关于x 的方程ln ln 0xm x x x x++=-有三个不等的实数解1x ，2x ，3x ，且1231x x x <<<，则2123123ln ln l (1)(1)(1n )x x x x x x ---的值为（ ） A. e B. 1C. 1m +D. 1m -【答案】B 【解析】 【分析】 设()ln xf x x =，求导计算单调区间，画出函数图像，设ln x t x=，代入化简得到二次方程，计算根与系数关系，代入式子计算得到答案. 【详解】设()ln x f x x =，则()'21ln x f x x -=， 故函数在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，()1f e e=，画出函数图像，如图所示： 设ln x t x=，ln ln 0x m x x x x ++=-，则ln n 011l x x x m x ++=-，即101t m t ++=-， 化简整理得到：()2110t m t m +-+-=，故121t t m +=-，121t t m =-，且10t <，210t e<<，()()()()2222312121212123(1)(1)(1ln ln ln )1111t t t t t x x x t x x x ---=--=-++=. 故选：B.【点睛】本题考查了求利用导数研究方程的解，意在考查学生的计算能力和应用能力，换元是解题的关键. 二､填空题13.设复数1z i =+，则22||z z -=___________. 5【解析】 【分析】利用复数运算化简得到2212z i z-=--，再计算复数模得到答案. 【详解】1z i =+，则()()()222211111222i i z i i i i i z -=-+=-+=---=--+， 则2222215z z-=+=5【点睛】本题考查了复数的计算，复数的模，意在考查学生的计算能力和转化能力. 14.2322(4)x x dx -+-=⎰___________【答案】2π 【解析】【分析】3y x =为奇函数，2320x dx -=⎰，再利用定积分的几何意义计算得到答案.【详解】3y x =为奇函数，故22223322(x dx x dx ----=+=⎰⎰⎰⎰，设y =224x y +=，0y ≥，对应半圆的面积为21222ππ⋅=，故232(2x dx π-+=⎰.故答案为：2π.【点睛】本题考查了定积分的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力，转化为对应半圆的面积是解题的关键.15.已知函数sin 1()xxf x x x e e =-+-，其中e 是自然对数的底数.若2()(23)0f a f a +-≤，则实数a 的取值范围是_______.【答案】[]3,1- 【解析】 【分析】确定函数为奇函数，增函数，将不等式转化为()2()32f a f a ≤-，根据函数单调性计算得到答案.【详解】sin 1()xx f x x x e e =-+-，则()1sin ()xxf x x e x e f x -=++--=-，故函数为奇函数.'cos co 1()111cos 0s x xf x e x x x e =-+≥-=++≥+，函数单调递增， 2()(23)0f a f a +-≤，故()2()(23)32f a f a f a ≤--=-，故232a a ≤-，解得31a -≤≤. 故答案为：[]3,1-.【点睛】本题考查了利用导数确定单调性，利用单调性和奇偶性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.16.已知函数()23f x x =+，()ln g x x x =+，若()()12f x g x =，则21x x -的最小值为______.【答案】2【解析】【分析】求导得到()'11g x x =+，取()'112g x x=+=得到1x =，计算切线得到答案. 【详解】()ln g x x x =+，则()'11g x x =+，取()'112g x x =+=，故1x =，()11g =， 故切线方程为21y x =-，取231y x =+=，解得1x =-，故21x x -的最小值()112--=.故答案为：2.【点睛】本题考查了利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力，转化为切线方程是解题的关键.三､解答题17.已知m 为实数，设复数22(56)(253)z m m m m i =++++-.（1）当复数z 为纯虚数时，求m 的值；（2）当复数z 对应的点在直线70x y -+=的上方，求m 的取值范围.【答案】（1）2-.（2）(,4)(4,)-∞-⋃+∞【解析】【分析】（1）直接根据复数的类型得到方程，解得答案.（2）直线70x y -+=的上方的点的坐标(),x y 应满足70x y -+<，代入数据解不等式得到答案.【详解】（1）由题意得：225602530,m m m m ⎧++=⎨+-≠⎩，解得2m =-. （2）复数z 对应的点的坐标为()2256,253m m m m +++-，直线70x y -+=的上方的点的坐标(),x y 应满足70x y -+<，即：22(56)(253)70m m m m +-+-+<+，解得4m >或4m <-，∴m 的取值范围为(,4)(4,)-∞-⋃+∞.【点睛】本题考查了根据复数的类型和复数的对应点的位置求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.18.（1）已知0a b ≥>，求证：332222a b ab a b -≥-；（2）若x ，y 都是正实数，且2x y +>，用反证法证明：12x y +<与12y x +<中至少有一个成立.【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用作差法即可证明.（2）假设12x y +≥，12y x+≥，从而可得12x y +≥，12y x +≥，两不等式相加即可找出矛盾点，即证.【详解】（1）33222222222()()a b ab a b a a b b a b --+=-+- ()()(2)a b a b a b =-++，∵0a b ≥>，∴0a b -≥，0a b +>，20a b +>，从而：()()()20a b a b a b -++≥，∴332222a b ab a b -≥-.（2）假设12x y +≥，12y x+≥， 则12x y +≥，12y x +≥，所以1122x y y x +++≥+，所以2x y ≥+，与条件2x y +>矛盾， 所以假设不成立，即12x y +<与12y x+<中至少有一个成立. 【点睛】本题考查了作差法证明不等式、反证法，反证法关键找出矛盾，属于基础题.19.不期而至的新冠肺炎疫情，牵动了亿万国人的心，全国各地纷纷捐赠物资驰援武汉.有一批捐赠物资需要通过轮船沿长江运送至武汉，已知该运送物资的轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知当速度为10海里/时时，燃料费是6元/时，而其他与速度无关的费用是96元/时，问当轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？【答案】当轮船的速度为20海里/时时，航行1海里所需费用总和最小.【解析】【分析】设速度为v 海里/时的燃料费是p 元/时，由题设的比例关系得3p k v =⋅，由数据可得30.006p v =，列出航行1海里的总费用为32196(0.00696)0.006(0)y v v v v v=+=+>，再利用导数求出最值即可.【详解】设速度为v 海里/时的燃料费是p 元/时，由题设的比例关系得3p k v =⋅，其中k 为比例系数.由10v =，6p ，得360.00610k ==， 于是30.006p v =.设船的速度为v 海里/时，航行1海里所需的总费用为y 元，而每小时所需的总费用是()30.00696v +元，航行1海里所需时间为1v， 所以航行1海里的总费用为32196(0.00696)0.006(0)y v v v v v=+=+>. 所以322960.0120.012(8000)y v v v v'=-=-. 令0y '=，解得20v =.因为当020v <<时，0y '<；当20v >时，0y '>，所以当20v =时，y 取得最小值.故当轮船的速度为20海里/时时，航行1海里所需费用总和最小.【点睛】本题考查了分式函数模型、利用导数求最值，考查了考生的分析问题、解决问题的能力，属于基础题.20.在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足11()2n n na S a +=. (1)求123,,a a a (2)由(1)猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．【答案】(1)见解析.(2)见解析.【解析】试题分析：（I ）由112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，n 分别取1，2，3，代入计算，即可求得结论，猜想n a =（II ）用数学归纳法证明的关键是n=k+1时，变形利用归纳假设．试题解析：(1)当1n =时，111112a a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴11a =或11a =-(舍,0n a >). 当2n =时，1222112a a a a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，∴21a =． 当3n =时，12333112a a a a a ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，∴2a =猜想：n a = (2)证明：①当1n =时，显然成立．②假设n k =时，k a =成立，则当1n k =+时，1111111122k k k k k k k a S S a a a a ++++⎛⎫⎛⎫=-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即1111k k k k a a a a ++⎛⎫-=-+=-=- ⎪⎝⎭∴1k a += 由①、②可知，*n N ∀∈，n a =点睛：数学归纳法两个步骤的关系：第一步是递推的基础，第二步是递推的根据，两个步骤缺一不可，有第一步无第二表，属于不完全归纳法，论断的普遍性是不可靠的；有第二步无第一步中，则第二步中的假设就失去了基础．只有把第一步结论与第二步结论联系在一起，才可以断定命题对所有的自然数n 都成立．21.已知函数()2(1)x f x x e ax =--，（a R ∈）． （1）若12a =，求()f x 的极值； （2）若0x ≥时，()0f x ≥，求实数a 的取值范围．【答案】（1）极大值是112e -，()f x 的极小值是0（2）1a ≤ 【解析】【分析】（1）()()2112x x f x e x =-- ，求导()()()110x f x x e '=+-=，判断()f x '，()f x 变化求得极值；（2）解法一:分离a,求最值得a 的范围，解法二: ()x f x e a '=-，讨论a 的范围得解 【详解】（1）当12a =时，()()2112x x f x e x =-- ()()()110x f x x e '=+-=时，则1x =-，0x =.当x 变化时，()f x '，()f x 变化状态如下表：所以()f x 的极大值是()1112f e-=-，()f x 的极小值是()00f = （2））等价于当0x ≥时，()()10xf x x e ax =--≥恒成立 解法一: 当0x =，等号成立，当x>0，()10x e f x a x -≥⇔≤，设()1x eg x x-= ()min a g x ≤，由经典不等式1x e x >+ ∴1a ≤或者()21x x xe e g x x-+'=，()1x x x xe e ϕ=-+，()0x x x x x e xe e xe ϕ='+-=> ()x ϕ↑，()()00ϕϕ>=x ∴()0g x '>，()g x ↑，又()0,1x g x →→ ∴1a ≤ 解法二: ()xf x e a '=-，0x ≥，1x e ≥ 若1a ≤，则()0xf x e a ='-≥，()f x ↑，∴()()00f x f ≥=，即不等式恒成立.（充分性）若1a >，()0x f x e a '=-= ∴0ln 0x a =>()00,x x ∈，()0f x '<，()f x ↓，()()00f x f ≤=，这与当0x ≥时，()10x f x e ax =--≥恒成立相矛盾（必要性）【点睛】本题考查函数与导数的极值，考查不等式恒成立，考查转化化归能力，考查计算能力，是中档题22.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且14()(2)(13ln )2x f x f x f '=++. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数21()()2h x xf x x ax b =---区间(1,)+∞上存在非负的极值，求1b a +的最大值.【答案】（1）1()ln 22f x x x =+-；（2）e - 【解析】【分析】 （1）令1x =可求得(1)f ，求导后再令2x =即可求得()2f '，即可得解；（2）对函数()h x 求导后，根据10a +≤、10a +>分类讨论，求出函数的极值，进而可得111a b e a a +≤-++，令()(0)xe x x xϕ=->，求导后，得出()x ϕ的最大值，即可得解. 【详解】（1）令1x =，41(1)(1)32f f =+，∴3(1)2f =-， ∴1()(2)l 22n x f x f x '=+-， ∴(2)1()2f f x x ''=+，代入2x =可得(2)1(2)22f f ''=+，∴21f ， ∴1()ln 22f x x x =+-. （2）由题意21()()l 2n 2h x xf x x ax b x x ax b x =---=---， ∴()()ln 12ln 1x a h x x a =+-=--'+，当10a +≤即1a ≤-时，()0h x '>在(1,)+∞上恒成立，∴()h x 在区间(1,)+∞上单调递增，()h x 无极值，不合题意；当10a +>即1a >-时，令()0h x '=，则1a x e +=，∴当()11,a x e +∈，()0h x '<，函数()h x 单调递减；()1,a x e +∈+∞，()0h x '>，函数()h x 单调递增；∴()h x 在(1,)+∞存在唯一极值()1a h e +， 又函数()h x 区间(1,)+∞上存在非负的极值，∴存在()111111ln 20a a a a a a h e ee e ae b e b ++++++=---=--≥， ∴存在1a b e +≤-即111a b e a a +≤-++，令()(0)x e x x x ϕ=->，∴2(1)()xx e x x ϕ-'=-， ∴当()0,1x ∈时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减；∴max ()(1)x e ϕϕ==-，∴当11a +=即0a =时，11a e a +-+取最大值e -， ∴1b a +的最大值为e -. 【点睛】本题考查了导数的综合应用及有解问题的解决，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，解题的关键是条件的转化及新函数的构造，属于中档题.。
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范围是( )
A．m≥32
B．m＞32
C．m≤32
D．m＜32
5.若 a>2，则方程13x3－ax2＋1＝0 在(0，2)上恰好有(
)
A．0 个根 B．1 个根 C．2 个根 D．3 个根
6.若函数 f(x)＝sixnx，且 0<x1<x2<1，设 a＝sixn1x1，b＝sixn2x2，则 a，b 的大小关系 是( )
则 x<0 时( )
A．f′(x)>0，g′(x)>0
B．f′(x)>0，g′(x)<0
C．f′(x)<0，g′(x)>0
D．f′(x)<0，g′(x)<0
3.经过原点且与曲线 y＝xx＋＋95相切的切线方程为(
)
A．x＋y＝0
B．x＋25y＝0
C．x＋y＝0 或 x＋25y＝0
D．以上皆非
4.已知函数 f(x)＝12x4－2x3＋3m，x∈R，若 f(x)＋9≥0 恒成立，则实数 m 的取值
A．a>b
B．a<b
C．a＝b D．a、b 的大小不能确定
7.曲线 y＝xex－1 在点(1，1)处切线的斜率等于( )
A．2e
B．e
C．2
D．1
8.函数 f(x)＝x－13sin2x＋asinx 在(－∞，＋∞)单调递增，则 a 的取值范围是( )
A．[－1，1]
1 B．[－1，3]
11 C．[－3，3]
1 D．[－1，－3]
9.
函数
f (x) = ex
− e−x x2
的图像大致为
(
)
10.设函数 f′(x)是奇函数 f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当 x>0 时，xf′(x)－
f(x)<0，则使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(0，1
B．(－1，0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1，0) D．(0，1)∪(1，＋∞)
二、填空题（每小题 5 分） 11.已知函数 f(x)＝1＋xlnx，若函数在区间(a，a＋12)(其中 a>0)上存在最大值，则
实数 a 的取值范围是________
12.函数 f(x)＝x3－3x－1，若对于区间(－3,2]上的任意 x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t， 则实数 t 的最小值是______ 13.函数 f(x)＝12ex(sinx＋cosx)在区间[0，π2]上的值域为________．
16.已知函数 f(x)＝ex(ex－a)－a2x. (2)若 f(x)≥0，求 a 的取值范围．
(1)讨论 f(x)的单调性；
17.已知函数 f(x)＝ln(ax＋1)＋11－ ＋xx，x≥0，其中 a>0. (1)若 f(x)在 x＝1 处取得极值，求 a 的值； (2)若 f(x)的最小值为 1，求 a 的取值范围．
14.
已知函数
f (x)
=
−x2 ax ， 则 a 的 取 值 范 围
ln(x +1), x 0
是
。
三、解答题（每小题 10 分）
15.已知函数 f(x)＝13x3－a(x2＋x＋1)．(1)若 a＝3，求 f(x)的单调区间； (2)证明：f(x)只有一个零点．
高二理科数学周练试题
一、选择题（每小题 5 分） 1.已知函数 f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且 f′(x)<g′(x)，则
f(x)－g(x)的最大值为( )
A．f(a)－g(a) B．f(b)－g(b)
C．f(a)－g(b)
D．f(b)－g(a)
2．已知对任意实数 x 有 f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且 x>0，f′(x)>0，g′(x)>0，