山东省枣庄市第三中学2016届高三上学期10月阶段性教学质量检测理数试题含答案

时间：120分钟 满分：150分一、 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案填在答题卡上）1、设全集(){}{},|30,|1U R A x x x B x x ==+<=<-,则右图中阴影部分表示的集合（ ）A ．{}|31x x -<<-B ．{}|30x x -<<C ．{}|0x x >D ．{}|1x x <-2、已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，()21f x x x=+，则()1f -= （ ） A ．0 B ．2 C ．-2 D ．-13、函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程是210x y +-=，则()()11f f '+的值是 （ ） A ．3 B ．-3 C ．2 D ．-2 4、已知1a >，()22x xf x a+=，则使()1f x <成立的一个充分不必要条件是 （ ）A ．-10x <<B ．-21x <<C ．-20x <<D ．01x <<5、已知函数()cos f x x x =，为了得到函数()sin 2cos2g x x x =+的图像，只需要将()y f x =图像（ ）A ．向右平移4π个单位长度 B ．向左平移4π个单位长度C ．向右平移8π个单位长度 D ．向左平移8π个单位长度6、已知命题:p 若x y >，则x y -<-；命题:q 若x y <，则22x y >；在下列命题中：()()()()()()1;2;3;4,p q p q p q p q ∧∨∧⌝⌝∨真命题是 （ ）A ．(1) (3)B ．(1) (4)C ．(2) (3)D ．(2) (4)7、()246,06,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩则不等式()()1f x f >的解集是 （ ）U ABBT BA ．()()3,13,-+∞B ．()()3,12,-+∞C ．()()1,13,-+∞ D ．()(),31,3-∞-8、如图，虚线部分是四个像限的角平分线，实线部分是函数()y f x =的部分图像，则()f x 可能是（ ）A ．2cos x xB ．cos x xC ．sin x xD ．2sin x x9、已知函数()223,02ln ,0x x x f x x x ⎧--+≤⎪=⎨->⎪⎩，直线y k = 与函数()f x 的图像相交于四个不同的点，交点的横坐标从小到大依次记为a, b, c, d,则a b c d ⋅⋅⋅的取值范围是（ ）A ．20,e ⎡⎤⎣⎦B ．)20,e ⎡⎣C ． 40,e ⎡⎤⎣⎦D ．)40,e ⎡⎣10、已知()()()()23,22xf x a x a x ag x -=+--=-，同时满足以下两个条件：①(),0x R f x ∀∈<或()0g x <；②()()()1,0x f x g x ∃∈+∞⋅<，成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1411,2⎛⎫---- ⎪⎝⎭， B ．()1,4,02⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭C ．()()4,11,0--- D ．()14,21,2⎛⎫---- ⎪⎝⎭二、 填空题（本大题共5小题，每小题5分，共20分）11、=⎰________12、已知α为第二像限角，sin cos αα+=则cos 2α=____13、定义在R 上的函数()f x 满足:()11f =，且对于任意的x R ∈，都有()12f x '<，则不等式()22log 1log 2x f x +>的解集为______ 14、已知()f x 是定义在R 上的奇函数，满足3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()()2ln 1f x x x =-+，则函数()f x 在区间[]0,6上零点的个数是________15、二次函数()2,f x ax bx c a =++为正整数，1,1c a b c ≥++≥，方程20ax bx c ++=有两个小于1的不等正根，则a 的最小值是______ 三、解答题（本大题共6小题，共75分）.16、（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知222.b c a b c +=+（I ）求A 的大小;（II ）如果cos 2B b ==，求ABC ∆的面积.17、（本小题满分12分）已知()()()23sin cos 02f x x x x ππωωωω⎛⎫=+--> ⎪⎝⎭的最小正周期为T π=. （I ）求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值; （II ）在ABC ∆中，，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，若有()2cos cos a c B b C -=,则求角B 的大小以及()f A 取值范围.18、（本题满分12分）某新开发旅游景点为扩大对外宣传，计划投入广告费x （百万元），经调研知：该景区的年总利润y （百万元）与()23x x - 成正比的关系，当2x =时=32y .又有()(]0,23xt x ∈-，其中t 是常数，且(]0,2t ∈.（I ）设()y f x =，求其表达式，定义域（用t 表示; （II ）求年总利润y 的最大值及相应的x 的值.19、（本题满分12分）已知真命题：“函数()y f x =的图像关于点(),P a b 成中心对称图形”的充要条件为“函数()y f x a b =+-是奇函数”.（I ）将函数()323g x x x =-的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图像对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数()g x 图像对称中心的坐标; （II ）求函数()22=log 4xh x x-图像对称中心的坐标； （III ）已知命题：“函数()y f x =的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a 和b ，使得函数()y f x a b =+-是偶函数”.判断该命题的真假.如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）.20、（本题满分13分）已知函数()()1.xf x e ax a R =--∈（I ）求函数()f x 的单调区间；（II ）求函数()()ln F x f x x x =-在定义域内零点个数.21、（本题满分14分）设函数()ln f x x =，()()()=01m x n g x m x +>+.（I ）当1m =时，函数()y f x =与()y g x =在1x = 处的切线互相垂直，求n 的值； （II ）若函数()()y f x g x =-在定义域内不单调，求m n -的取值范围； （III ）是否存在实数a ，使得()202axa x f f e f x a ⎛⎫⎛⎫⋅+≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意正实数x 恒成立？若存在，求出满足条件的实数a ；若不存在，请说明理由.数学（理）试题参考答案及评分标准一 选择题 ACBAD CACDC二 填空题 11 π 12 ()0,2 14 9 15 5 16.解析：（I ）因为222b c a bc +=+，所以2221cos 22b c a A bc +-== ，…………………………3分 又因为()0,A π∈ . 所以3A π=…………………………5分（II ）解：因为()cos 0,B B π=∈所以sin 3B ==…………………………7分 由正弦定理sin sin a bA B= , …………………………9分 得sin 3sin b Aa B== . …………………………10分因为222b c a bc +=+，所以2250c c --=，解得1c =±因为0c >，所以1c =+ . ………………11分故ABC ∆的面积1sin 2S bc A ==………………12分17.解：（I ）()211cos cos cos 222f x x x x x x ωωωωω=-=-- 1=sin 262x πω⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ………………2分()y f x =的最小正周期为2==12T πππωω=⇒，()1=sin 262f x x π⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ………………4分 22171=sin 2sin 1336262f ππππ⎛⎫⎛⎫⨯--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………………6分 （II ）()2cos cos a c B b C -=∴ 由正弦定理可得： ()sin sinC cos sin cos A B B C -=()()2sin cos sin cos cos sin sin sin sin A B B C B C B C A A π⇒=+=+=-=()1sin 0cos 0,23A B B B ππ>∴=∈∴=………………9分220,33A C C A πππ⎛⎫+=-=∴∈ ⎪⎝⎭712,sin 2166662A A ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎤∴-∈-∴-∈- ⎪ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎦()11=sin 21,622f A A π⎛⎫⎛⎤∴--∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦ ………………12分19.解析：（I ）平移后图像对应的函数解析式为()()321312y x x =+-++ 整理得33,y x x =-由于函数33y x x =-是奇函数，由题设真命题之，函数()g x 图像对称中心坐标是()1,-2 ………………4分 （II ）设()22=log 4xh x x-的对称中心为(),P a b ， 由题设知函数()h x a b +-是奇函数………………5分 设()()f x h x a b =+-，则()()()22log 4x a f x b x a +=--+，即()222log 4x bf x b a x+=---由不等式2204x ba x+>--的解集关于原点对称，得2a = ………………6分此时()()222log ,2,24x bf x b x a x+=-∈--- 任取()2,2x ∈-，由()()0f x f x -+=，得1b =所以函数()22log 4xh x x=-图像对称中心的坐标是()2,1 ………………10分 （III ）此命题是假命题举反例说明：函数()f x x =的图像关于直线y x =-成轴对称图像，但是对任意实数a 和b ， 函数()y f x a b =+-，即y x a b =+-总不是偶函数. 修改后的命题：“函数()y f x =的图像关于直线y x =成轴对称对称图像”的充要条件是“函数()y f x a =+是偶函数” ………………12分20. （I ）由()1x f x e ax =--，则()xf x e a '=-.当0a ≤时，对x R ∀∈有()0f x '>，所以函数()f x 在区间(),-∞+∞上单调递 增………………2分当0a >时，由()0f x '>，得ln x a >；由()0f x '<，得ln x a <，此时函数()f x 的单调增区间()ln ,a +∝，单调减区间为(),ln a -∝ ………………4分 综上所述，当0a ≤时，函数()f x 的单调递增区间()-∝+∝； 当0a >时，函数()f x 的单调增区间()ln ,a +∝，单调减区间为(),ln a -∝ ………………6分（II ）函数()()ln F x f x x x =-的定义域()0+∝，由()0F x =，得()1l n 0x e a x x x-=->………………7分令()()1ln 0x e h x x x x -=->，则()()()211x e x h x x --'=………………8分 由于0x >，10xe ->，可知当1x >时，()0h x '>；当01x <<时，()0h x '<()0.1，故函数()h x 在()0.1单调递减，在()1,+∝上单调递增，故()()11h x h e ≥=-………………9分又由（I ）知当1a =时，对0x ∀>，有()()ln 0f x f a >=即111x xe e x x-->⇔> （随着0x >的增长，1x y e =-增长速度越来越快，会超过y x =并远远大于的增长速度，而ln y x =的增长速度则会越来越慢，则当x 且无限接近于0时，()h x 趋向于正无穷大.）当时1a e >-，函数()F x 有两个不同的零点………………11分 当时1a e =-，函数()F x 有且仅有一个零点………………12分 当时1a e <-，函数()F x 没有零点………………13分 21. （I ）解：当1m =时，()()211ng x x -'=+，()y g x ∴=在1x =处的切线斜率14nk -=由()1f x x'=()y f x ∴=在1x =处的切线斜率1k = 11154nn -∴=-∴=………………3分 （II ）易知函数()()y f x g x =-的定义域()0,+∝()()()()()()()()222212121111111x m n x m n x m n x y f x g x x x x x x +--++--+⎡⎤-⎣⎦'''=-=-==+++由题意，得()121x m n x+--+的最小值为负，()14m n ∴->………………6分 ()()()21144m n m n +-∴≥-> ()143m n m n ∴+->∴->………………8分（III ）令()()2ln 2ln ln ln 22axa x x f f e f ax a ax x x a x a θ⎛⎫⎛⎫=+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中0,0x a >>则()1ln 2ln x a a a x a x θ'=--+，令()1ln 2ln x a a a x a xδ=--+ ()22110aax x x x x δ+'=--=-< ()x δ在()0+∝，单调递减，()0x δ=在区间()0+∝，必存在实根，不妨设()00x δ=即()001ln 2ln x a a a x a x δ=--+，可得()001ln =+ln 21*x a ax -………………10分()x θ在区间()00x ，上单调递增，在()0,x +∝上单调递减，所以()()0max =x x θθ()()()0000=1ln 1ln x ax a ax x θ---,带入()*式得()0001=+2x ax ax θ- 根据题意()0001=+20x ax ax θ-≤恒成立………………12分 又根据不等式001+2ax ax ≥，当且仅当001=ax ax 时，等式成立 所以001+=2ax ax ，0ax =1,01x a ∴= 带入()*式得1ln ln 2a a =，即12,a a a ==………………14分 （一下解法供参考，请酌情给分）解法2: ()()()ln2ln ln ln2=1ln2ln2,x ax a ax x x a ax a x θ=-+---其中0,0x a >> 根据条件()202axa x f f e f x a ⎛⎫⎛⎫+≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意正数x 恒成立 即()()1ln 2ln 20ax a x --≤对任意正数x 恒成立1010ln 2ln 0ln 2ln 000ax ax a x a x a a -≥-≤⎧⎧⎪⎪∴-≤-≥⎨⎨⎪⎪>>⎩⎩且 ，解得1122x a a x a a ≤≤≤≤且即12x a a ==时上述条件成立时2a =. 解法3：()()()ln2ln ln ln2=1ln2ln2,x ax a ax x x a ax a x θ=-+---其中0,0x a >> 要使得()()1ln 2ln 20ax a x --≤对任意正数x 恒成立 等价于()()120ax a x --≤对任意正数x 恒成立，即()1-20x x a a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭对任意正数x 恒成立设函数()()1-2x x x a a ϕ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则()x ϕ的函数图像为开口向上，与x 正半轴至少有一个交点的抛物线.因此，根据题意，抛物线只能与x 轴有一个交点，即12,a a =所以2a =.。