2019-2020年高考数学大一轮复习第八章平面解析几何课时作业62 理新人教A版

合集下载

2020年高考数学一轮总复习第八章平面解析几何课时规范练理含解析

8-1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程课时规范练(授课提示：对应学生用书第299页)A 组基础对点练1．如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( D )A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 3＜k 1＜k 2C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 1＜k 3＜k 22．如果AB <0，且BC <0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( D ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( D ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x －y ＋2＝0 C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝04．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0平行”的( C ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5．直线(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0过定点( C ) A ．(1，－3) B ．(4,3) C ．(3,1)D ．(2,3)6．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( B )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 7．直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线的方程是( A )A ．3x ＋4y ＋5＝0B ．3x ＋4y －5＝0C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝08．已知两点M (2，－3)，N (－3，－2)，直线l 过点P (1,1)，且与线段MN 相交，则直线l的斜率k 的取值范围是( A ) A ．k ≥34或k ≤－4B ．－4≤k ≤34C.34≤k ≤4 D ．－34≤k ≤4解析：如图所示，∵k PN ＝1－－1－－＝34，k PM ＝1－－1－2＝－4，∴要使直线l 与线段MN 相交，当l 的倾斜角小于90°时，k ≥k PN ；当l 的倾斜角大于90°时，k ≤k PM ， ∴k ≥34或k ≤－4.9．已知过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝( C ) A ．－12B ．1C ．2D ．1210．垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是( A ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x ＋y ＋1＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝011．平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( A ) A ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 D ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝012．“a ＝14”是“直线(a ＋1)x ＋3ay ＋1＝0与直线(a －1)x ＋(a ＋1)y －3＝0互相垂直”的( A )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件13．已知点M (0，－1)，点N 在直线x －y ＋1＝0上，若直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0, 则点N 的坐标是( B ) A ．(－2，－1) B ．(2,3) C ．(2,1)D ．(－2,1)14．已知m ，n 为正整数，且直线2x ＋(n －1)y －2＝0与直线mx ＋ny ＋3＝0互相平行，则2m ＋n 的最小值为 9 .解析：由题意知，2n ＝m (n －1)，即m ＋2n ＝mn ，得2m ＋1n＝1，又m ，n 为正整数，∴2m ＋n ＝(2m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋1n ＝5＋2n m ＋2m n ≥9.当且仅当2n m ＝2m n时取等号．B 组能力提升练1．已知f (x )＝a sin x －b cos x ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( D ) A.π3 B ．π6C.π4D ．3π4解析：令x ＝π4，得f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，得a ＝－b ，易得直线斜率k ＝a b ＝－1. 2．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( A ) A ．x ＋y －2＝0 B ．y －1＝0 C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝03．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( A ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝04．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( D ) A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－345．已知点O (0,0)，A (0，b )，B (a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( C ) A ．b ＝a 3B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫b －a 3－1a ＝0D ．|b －a 3|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b －a 3－1a ＝06．若θ是直线l 的倾斜角，且sin θ＋cos θ＝55，则l 的斜率为( D ) A ．－12B ．－12或－2C.12或2 D ．－2解析：∵sin θ＋cos θ＝55，① ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝15，∴2sin θcos θ＝－45，∴(sin θ－cos θ)2＝95，易知sin θ>0，cos θ<0，∴sin θ－cos θ＝355，②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝255，cos θ＝－55，∴tan θ＝－2，即l 的斜率为－2，故选D.7．已知倾斜角为θ的直线与直线x －3y ＋1＝0垂直，则23sin 2θ－cos 2θ＝( C ) A.103 B ．－103C.1013D ．－10138．已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( B ) A ．(0,1) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，12 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤1－22，13 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，129．过点A (1,2)且与直线x －2y ＋3＝0垂直的直线方程为 2x ＋y －4＝0 .解析：直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，所以由垂直关系可得要求直线的斜率为－2，所以所求方程为y －2＝－2(x －1)，即2x ＋y －4＝0.10．已知直线l 经过点(－5，0)且方向向量为(2，－1)，则直线l 的方程为 x ＋2y ＋5＝0 .解析：∵直线l 的方向向量为(2，－1)，∴直线l 的斜率为－12，∵直线l 过点(－5，0)，∴直线l 的方程为x ＋2y ＋5＝0.11．直线y ＝k (x －1)与以A (3,2)，B (2,3)为端点的线段有公共点，则k 的取值范围是 [1,3] ．解析：直线y ＝k (x －1)恒过点P (1,0)，且与以A (3,2)，B (2,3)为端点的线段有公共点，画出图形(如图所示)，则直线落在阴影区域内．∵k PA ＝2－03－1＝1，k PB ＝3－02－1＝3，∴k 的取值范围是[1,3]．12．若ab >0，且A (a,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为 16 .解析：根据A (a,0)，B (0，b )确定直线的方程为x a ＋y b＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a＋－2b＝1，所以－2(a ＋b )＝ab .又ab >0，故a <0，b <0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号，即ab 的最小值为16.8-2 直线的交点与距离公式课时规范练(授课提示：对应学生用书第301页)A 组基础对点练1．(2016·高考北京卷)圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为( C ) A ．1 B ．2 C. 2D ．2 22．(2018·邢台模拟)“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的 ( C )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由题意得，直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a a －＝3×1，a ×1≠3×1，解得a ＝－1，故选C.3．过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( D )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3 4．若直线y ＝－2x ＋3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限，则实数k 的取值范围是( A ) A ．－6<k <－2 B ．－5<k <－3 C ．k <－6D ．k >－25．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，则直线l 2过定点( B ) A ．(0,4) B ．(0,2) C ．(－2,4)D ．(4，－2)6．已知点A (x,5)关于点(1，y )的对称点是(－2，－3)，则点P (x ，y )到原点的距离是( D ) A ．4 B ．13 C.15D ．177．已知直线3x ＋2y －3＝0与直线6x ＋my ＋7＝0互相平行，则它们之间的距离是( B )A ．4B ．132C.21313D ．713268．圆C ：x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线l ：x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( C ) A ．36 B ．18 C ．6 2D ．5 2解析：圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0的圆心为(2,2)，半径为32，圆心到直线x ＋y －14＝0的距离为|2＋2－14|2＝52>32，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R ＝6 2.9．若直线3x －4y ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)相交于A ，B 两点，且∠AOB ＝120°(O 为坐标原点)，则r ＝ 2 .解析：圆x 2＋y 2＝r 2的圆心为原点，则圆心到直线3x －4y ＋5＝0的距离为|0－0＋5|32＋－2＝1，在△OAB 中，点O 到边AB 的距离d ＝r sin 30°＝r2＝1，所以r ＝2.10．若在平面直角坐标系内过点P (1，3)且与原点的距离为d 的直线有两条，则d 的取值范围为 0<d <2 .解析：|OP |＝2，当直线l 过点P (1，3)且与直线OP 垂直时，有d ＝2，且直线l 有且只有一条；当直线l 与直线OP 重合时，有d ＝0，且直线l 有且只有一条；当0<d <2时，有两条． 11．已知直线l 1与直线l 2：4x －3y ＋1＝0垂直且与圆C ：x 2＋y 2＝－2y ＋3相切，则直线l 1的方程是 3x ＋4y ＋14＝0或3x ＋4y －6＝0 .解析：圆C 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径r ＝2.由已知可设直线l 1的方程为3x ＋4y ＋c ＝0，则|3×0＋－＋c |32＋42＝2，解得c ＝14或c ＝－6.即直线l 1的方程为3x ＋4y ＋14＝0或3x ＋4y －6＝0. 12．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点． (1)若点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值．解析：(1)易知点A 到直线x －2y ＝0的距离不等于3，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0.由题意得|10＋5λ－5|＋λ2＋－2λ2＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或12.∴l 的方程为4x －3y －5＝0或x ＝2.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点为P (2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，则d ≤|PA |(当l ⊥PA 时等号成立)．∴d max ＝|PA |＝10.B 组能力提升练1．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|PA |2＋|PB |2|PC |2＝( D ) A ．2 B ．4 C ．5D ．102．已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C 的坐标为( C ) A ．(－2,4) B ．(－2，－4) C ．(2,4)D ．(2，－4)解析：设A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，∴BC 所在直线方程为y －1＝－2－14－3(x －3)，即3x ＋y －10＝0. 联立y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，则C (2,4)．故选C.3．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2与y 轴在第二象限所围区域的面积为S ，直线y ＝2x ＋b 分圆C 的内部为两部分，其中一部分的面积也为S ，则b ＝( D ) A ．－ 6B ．± 6C ．－ 5D ．± 54．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是 5 .解析：易求定点A (0,0)，B (1,3)．当P 与A 和B 均不重合时，不难验证PA ⊥PB ，所以|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝5(当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立)，当P 与A 或B 重合时，|PA |·|PB |＝0，故|PA |·|PB |的最大值是5.5．已知动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )，且Q (4,0)到动直线l 的最大距离为3，则12a ＋2c 的最小值为 94.解析：因为动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a >0，c >0)恒过点P (1，m )，所以a ＋bm ＋c －2＝0，又Q (4,0)到动直线l 的最大距离为3，所以－2＋－m2＝3，解得m ＝0.所以a ＋c ＝2，则12a ＋2c ＝12(a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2c ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋c 2a ＋2a c ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋2c 2a ·2a c ＝94，当且仅当c ＝2a ＝43时取等号．6．在平面直角坐标系内，到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1)的距离之和最小的点的坐标是 (2,4) ．解析：由已知得k AC ＝6－23－1＝2，k BD ＝5－－1－7＝－1，所以AC 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0，①BD 的方程为y －5＝－(x －1)，即x ＋y －6＝0，②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4.所以直线AC 与直线BD 的交点为P (2,4)，此点即为所求点．因为|PA |＋|PB |＋|PC |＋|PD |＝|AC |＋|BD |，取异于P 点的任一点P ′，则|P ′A |＋|P ′B |＋|P ′C |＋|P ′D | ＝(|P ′A |＋|P ′C |)＋(|P ′B |＋|P ′D |)>|AC |＋|BD |＝|PA |＋|PB |＋|PC |＋|PD |. 故P 点就是到A ，B ，C ，D 的距离之和最小的点．7．在平面直角坐标系xOy 中，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位，沿y 轴正方向平移5个单位，得到直线l 1.再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位，沿y 轴负方向平移2个单位，又与直线l 重合．若直线l 与直线l 1关于点(2,3)对称，则直线l 的方程是 6x －8y ＋1＝0 . 解析：由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，将直线l 沿x 轴正方向平移3个单位，沿y 轴正方向平移5个单位，得到直线l 1：y ＝k (x －3)＋5＋b ，再将直线l 1沿x 轴正方向平移1个单位，沿y 轴负方向平移2个单位，则平移后的直线方程为y ＝k (x－3－1)＋b ＋5－2，即y ＝kx ＋3－4k ＋b .∴b ＝3－4k ＋b ，解得k ＝34.∴直线l 的方程为y＝34x ＋b ，直线l 1为y ＝34x ＋114＋b ，设直线l 上的一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，b ＋3m 4，则点P 关于点(2,3)的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m ，6－b －34m ，∴6－b －34m ＝34(4－m )＋b ＋114，解得b ＝18.∴直线l 的方程是y ＝34x ＋18，即6x －8y ＋1＝0.8．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：x －a2＋y －b2可以转化为平面上点M (x ，y )与点N (a ，b )的距离．结合上述观点，可得f (x )＝x 2＋4x ＋20＋ x 2＋2x ＋10的最小值为 5 2 .解析：∵f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10＝x ＋2＋－2＋x ＋2＋－2，∴f (x )的几何意义为点M (x,0)到两定点 A (－2,4)与B (－1,3)的距离之和．设点 A (－2,4)关于x 轴的对称点为A ′，则A ′为(－2，－4)．要求f (x )的最小值，可转化为|MA |＋|MB |的最小值，利用对称思想可知|MA |＋|MB |≥|A ′B |＝－1＋2＋＋2＝52，即f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10的最小值为5 2.9．已知直线l ：(2＋m )x ＋(1－2m )y ＋4－3m ＝0. (1)求证：不论m 为何实数，直线l 过一定点M ；(2)过定点M 作一条直线l 1，使夹在两坐标轴之间的线段被M 点平分，求直线l 1的方程．解析：(1)证明：直线l 的方程整理得(2x ＋y ＋4)＋m (x －2y －3)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝－4，x －2y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，所以无论m 为何实数，直线l 过定点M (－1，－2)．(2)过定点M (－1，－2)作一条直线l 1，使夹在两坐标轴之间的线段被M 点平分，则直线l 1过点(－2,0)，(0，－4)，设直线l 1的方程为y ＝kx ＋b ，把两点坐标代入得⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝0，b ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝－4，∴直线方程为y ＝－2x －4.8-3 圆的方程课时规范练(授课提示：对应学生用书第303页)A 组基础对点练1．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( D ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝22．直线x －2y －2k ＝0与直线2x －3y －k ＝0的交点在圆x 2＋y 2＝9的外部，则k 的取值范围为( A )A ．k <－35或k >35B ．－35<k <35C ．－34<k <34D ．k <－34或k >343．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( B ) A ．6－2 2 B ．52－4 C.17－1D ．174．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( A ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝15．(2018·长沙二模)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是( A ) A ．1＋ 2 B ．2 C ．1＋22D ．2＋2 2解析：将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2|2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值为d ＋1＝2＋1，故选A.6．(2016·高考天津卷)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为 (x －2)2＋y 2＝9 .解析：设圆心为(a,0)(a >0)，则圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝|2a －0|4＋1＝455，得a ＝2，半径r ＝a －2＋－52＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.7．(2016·高考浙江卷)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是 (－2，－4) ，半径是 5 .解析：由题可得a 2＝a ＋2，解得a ＝－1或a ＝2.当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，表示圆，故圆心为(－2，－4)，半径为5.当a ＝2时，方程不表示圆．8．(2018·高考天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0 .解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，圆经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)，则⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，1＋1＋D ＋E ＋F ＝0，4＋0＋2D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝0，则圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.9．过点M (1,2)的直线l 与圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝25交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程是 x ＋y －3＝0 .解析：验证得M (1,2)在圆内，当∠ACB 最小时，直线l 与CM 垂直，又圆心为(3,4)，则k CM ＝4－23－1＝1，则k l ＝－1，故直线l 的方程为y －2＝－(x －1)，整理得x ＋y －3＝0. 10．已知圆C 经过点(0,1)，且圆心为C (1,2)． (1)写出圆C 的标准方程；(2)过点P (2，－1)作圆C 的切线，求该切线的方程及切线长．解析：(1)由题意知，圆C 的半径r ＝－2＋－2＝2，所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)由题意知切线斜率存在，故设过点P (2，－1)的切线方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0，则|－k －3|1＋k 2＝2，所以k 2－6k －7＝0，解得k ＝7或k ＝－1，故所求切线的方程为7x －y －15＝0或x ＋y －1＝0.由圆的性质易得所求切线长为PC 2－r 2＝－2＋－1－2－2＝2 2.11．在平面直角坐标系xOy 中，经过函数f (x )＝x 2－x －6的图象与两坐标轴交点的圆记为圆C .(1)求圆C 的方程；(2)求经过圆心C 且在坐标轴上截距相等的直线l 的方程．解析：(1)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，函数f (x )＝x 2－x －6的图象与两坐标轴交点为(0，－6)，(－2,0)，(3,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧ 36－6E ＋F ＝0，4－2D ＋F ＝0，9＋3D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－1，E ＝5，F ＝－6，所以圆的方程为x 2＋y 2－x ＋5y －6＝0.(2)由(1)知圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－52，若直线经过原点，则直线l 的方程为5x ＋y ＝0；若直线不过原点，设直线l 的方程为x ＋y ＝a ，则a ＝12－52＝－2，即直线l 的方程为x ＋y ＋2＝0.综上可得，直线l 的方程为5x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0.B 组能力提升练1．方程|y |－1＝1－x －2表示的曲线是( D )A ．一个椭圆B ．一个圆C ．两个圆D ．两个半圆2．圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，被双曲线x 2－y 23＝1的渐近线截得的弦长为3，则圆C 的方程为( A )A ．x 2＋(y －1)2＝1 B ．x 2＋(y －3)2＝3 C ．x 2＋(y ＋1)2＝1D ．x 2＋(y ＋3)2＝33．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( B ) A ．7 B ．6 C ．5D ．44．已知圆M 的圆心在抛物线x 2＝4y 上，且圆M 与y 轴及抛物线的准线都相切，则圆M 的方程是( A )A ．x 2＋y 2±4x －2y ＋1＝0 B ．x 2＋y 2±4x －2y －1＝0 C ．x 2＋y 2±4x －2y ＋4＝0 D ．x 2＋y 2±4x －2y －4＝05．已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (－2,3)，B (－2，－1)，C (6，－1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则该圆的方程为( D ) A ．x 2＋y 2＝1 B ．x 2＋y 2＝4 C ．x 2＋y 2＝4D ．x 2＋y 2＝1或x 2＋y 2＝37解析：直线AC 为x ＋2y －4＝0，点O 到直线AC 的距离为d ＝|－4|5＝455>1，又|OA |＝13，|OB |＝5，|OC |＝37.由题意知公共点为(0，－1)或(6，－1)．故半径为1或37. 6．圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为 (x －2)2＋(y －1)2＝4 .解析：依题意，设圆心的坐标为(2b ，b )(其中b >0)，则圆C 的半径为2b ，圆心到x 轴的距离为b ，所以24b 2－b 2＝23，b >0，解得b ＝1，故所求圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.7．(2018·运城二模)已知圆C 截y 轴所得的弦长为2，圆心C 到直线l ：x －2y ＝0的距离为55，且圆C 被x 轴分成的两段弧长之比为3∶1，则圆C 的方程为 (x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2 .解析：设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则点C 到x 轴，y 轴的距离分别为|b |，|a |.由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧r 2＝2b 2，r 2＝a 2＋1，|a －2b |5＝55，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－1，r 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，r 2＝2.故所求圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2或(x －1)2＋(y －1)2＝2.8．在平面直角坐标系xOy 中，以点(2,1)为圆心且与直线mx ＋y －2m ＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 (x －2)2＋(y －1)2＝1 .解析：直线mx ＋y －2m ＝0过定点(2,0)，则以点(2,1)为圆心且与直线mx ＋y －2m ＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的半径为1，∴半径最大的圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1.9．已知平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为 (x －2)2＋(y －1)2＝5 .解析：由题意知，此平面区域表示的是以O (0,0)，P (4,0)，Q (0,2)所构成的三角形及其内部，∴覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．∵△OPQ 为直角三角形，∴圆心为斜边PQ 的中点(2,1)，半径r ＝|PQ |2＝5，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.10．如图，已知圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.(1)圆C 的标准方程为 (x －1)2＋(y －2)2＝2 ； (2)圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为－2－1 .解析：(1)过点C 作CM ⊥AB 于M ，连接AC (图略)，则|CM |＝|OT |＝1，|AM |＝12|AB |＝1，所以圆的半径r ＝|AC |＝|CM |2＋|AM |2＝2，从而圆心C (1，2)，即圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.(2)令x ＝0得，y ＝2±1，则B (0，2＋1)，所以直线BC 的斜率为k ＝2＋－20－1＝－1，由直线与圆相切的性质知，圆C 在点B 处的切线的斜率为1，则圆C 在点B 处的切线方程为y －(2＋1)＝1×(x －0)，即y ＝x ＋2＋1，令y ＝0得，x ＝－2－1，故所求切线在x 轴上的截距为－2－1.11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程．解析：(1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r . 由题意可得y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而y 2＋2＝x 2＋3.故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P (x 0，y 0)．由已知得|x 0－y 0|2＝22. 又P 点在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1.此时，圆P 的半径r ＝ 3. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1.此时，圆P 的半径＝ 3.∴圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3或x 2＋(y －1)2＝3.12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解析：(1)由题意知，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3，由题意得，|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0. (2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M (x ，y )，因为|MA |＝2|MO |，所以x 2＋y －2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤|CD |≤2＋1，即1≤a 2＋a －2≤3.整理，得－8≤5a 2－12a ≤0. 由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ；由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125. 所以圆心C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.8-4 直线与圆、圆与圆的位置关系课时规范练(授课提示：对应学生用书第305页)A组基础对点练1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是( B ) A．相切B．相交C．相离D．不确定2．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( B )A．6 B．4C．3 D．23．直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是( D )A．－2或12 B．2或－12C．－2或－12 D．2或124．圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点共有( C )A．1个B．2个C．3个D．4个解析：圆的方程可化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线的距离d＝|－1－2＋1|2＝2，半径是22，结合图形可知有3个符合条件的点．5．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( C ) A．[－3，－1]B．[－1,3]C．[－3,1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)6．(2016·高考山东卷)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( B )A．内切B．相交C．外切D．相离7．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( B )A ．2x ＋y －5＝0B ．2x ＋y －7＝0C ．x －2y －5＝0D ．x －2y －7＝08．过点(1，－2)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( B ) A ．y ＝－34 B ．y ＝－12C ．y ＝－32D ．y ＝－149．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2，y 轴被圆C 截得的弦长与直线y ＝2x ＋b 被圆C 截得的弦长相等，则b ＝( D ) A ．－ 6 B ．± 6 C ．－ 5D ．± 5解析：易求得圆C 被y 轴截得的弦长为2，得|2×1－2＋b |5＝1，解得b ＝± 5.10．若圆x 2＋y 2－4mx ＋(2m －3)y ＋4＝0被直线2x －2y －3＝0所截得的弦最长，则实数m 的值为 1 .解析：圆x 2＋y 2－4mx ＋(2m －3)y ＋4＝0的圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2m ，－m ＋32.∵圆x 2＋y 2－4mx ＋(2m －3)y ＋4＝0被直线2x －2y －3＝0所截得的弦最长，∴圆心在直线上， ∴4m ＋2m －3－3＝0，解得m ＝1，满足圆的方程， ∴m ＝1.11．已知矩形ABCD 的对角线交于点P (2,0)，边AB 所在的直线方程为x ＋y －2＝0，点(－1,1)在边AD 所在的直线上． (1)求矩形ABCD 的外接圆方程；(2)已知直线l ：(1－2k )x ＋(1＋k )y －5＋4k ＝0(k ∈R )，求证：直线l 与矩形ABCD 的外接圆相交，并求最短弦长．解析：(1)依题意得AB ⊥AD ，∵k AB ＝－1， ∴k AD ＝1，∴直线AD 的方程为y －1＝x ＋1，即y ＝x ＋2.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x －y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即A (0,2)．∵矩形ABCD 的外接圆是以P (2,0)为圆心，|AP |＝22为半径的圆，∴方程为(x －2)2＋y 2＝8.(2)直线l 的方程可整理为(x ＋y －5)＋k (y －2x ＋4)＝0，k ∈R ，∴联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5＝0，y －2x ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，∴直线l 过定点M (3,2)．又∵点M (3,2)在圆内，∴直线l 与圆相交． ∵圆心P 与定点M 的距离d ＝5， ∴最短弦长为28－5＝2 3. 12．已知方程x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0. (1)若此方程表示圆，求实数m 的取值范围；(2)若(1)中的圆与直线x ＋2y －4＝0相交于M ，N 两点，且OM ⊥ON (O 为坐标原点)，求m 的值；(3)在(2)的条件下，求以MN 为直径的圆的方程．解析：(1)由D 2＋E 2－4F >0得(－2)2＋(－4)2－4m >0，解得m <5.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由x ＋2y －4＝0得x ＝4－2y .将x ＝4－2y 代入x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0得5y 2－16y ＋8＋m ＝0，∴y 1＋y 2＝165，y 1y 2＝8＋m 5.∵OM ⊥ON ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.∵x 1x 2＝(4－2y 1)(4－2y 2)＝16－8(y 1＋y 2)＋4y 1y 2， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝16－8(y 1＋y 2)＋5y 1y 2＝0，即(8＋m )－8×165＋16＝0，解得m ＝85.(3)设圆心C 的坐标为(a ，b )，则a ＝12(x 1＋x 2)＝45，b ＝12(y 1＋y 2)＝85，半径r ＝|OC |＝455，∴所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －852＝165.B 组能力提升练1．在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( A ) A.45π B ．34π C ．(6－25)πD ．54π 2．已知直线l ：y ＝kx ＋b ，曲线C ：x 2＋y 2＝1，则“b ＝1”是“直线l 与曲线C 有公共点”的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0关于直线l 1：x －y ＋4＝0和直线l 2：x ＋3y ＝0都对称，则D ＋E 的值为( D ) A ．－4 B ．－2 C ．2D ．44．过点P (1，3)作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A 和B ，则弦长|AB |＝( A ) A. 3 B ．2 C. 2D ．45．过点P (1，3)作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则PA →·PB →＝ 32.解析：由题意，得圆心为O (0,0)，半径为1.如图所示． ∵P (1，3)，∴PB ⊥x 轴，|PA |＝|PB |＝ 3. ∴△POA 为直角三角形，其中|OA |＝1，|AP |＝3，则|OP |＝2，∴∠OPA ＝30°，∴∠APB ＝60°.∴PA →·PB →＝|PA →||PB →|·cos∠APB ＝3×3×cos 60°＝32.6．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．则|CD |＝ 4 .解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3,0)，D (x 4,0)，由x －3y ＋6＝0，得x ＝3y －6，代入圆的方程，并整理，得y 2－33y ＋6＝0，解得y 1＝23，y 2＝3，所以x 1＝0，x 2＝－3，所以直线AC 的方程为y －23＝－3x ，令y ＝0得x 3＝2，直线BD 的方程为y －3＝－3(x ＋3)，令y ＝0得x 4＝－2，则|CD |＝|x 3－x 4|＝4.7．已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称，直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为 x 2＋(y －1)2＝10 .解析：设所求圆的半径是r ，依题意得，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是(1,0)，则圆C 的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|4×0－3×1－2|42＋－2＝1，则r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝10，故圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝10.8．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 43 .解析：圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4,0)．由题意知(4,0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2，即|4k －2|k 2＋1≤2，整理得3k 2－4k ≤0，解得0≤k ≤43.故k 的最大值是43.9．若圆O ：x 2＋y 2＝5与圆O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长是 4 .解析：圆O 1与圆O 在A 处的切线互相垂直，如图，可知两切线分别过另一圆的圆心，∴O 1A ⊥OA .又∵|OA |＝5，|O 1A |＝25，∴|OO 1|＝5. 又A ，B 关于OO 1所在直线对称， ∴AB 长为Rt △OAO 1斜边上的高的2倍， ∴|AB |＝2×5×255＝4. 10．已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 解析：(1)设直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 因为直线l 与圆交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1，解得4－73<k <4＋73. 所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入圆C 的方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0，所以x 1＋x 2＝＋k 1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k ＋k1＋k2＋8. 由题设可得4k＋k1＋k2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1.又因为圆C 的圆心(2,3)在l 上，所以|MN |＝2.11．已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方． (1)求圆C 的方程；(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解析：(1)设圆心C (a,0)⎝ ⎛⎭⎪⎫a >－52，则|4a ＋10|5＝2，解得a ＝0或a ＝－5(舍)．所以圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k x －，得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ，即y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0，则k x 1－x 1－t＋k x 2－x 2－t＝0，即2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0，即k 2－k 2＋1－2k 2t ＋k 2＋1＋2t ＝0，解得t ＝4，所以当点N 坐标为(4,0)时，能使x 轴平分∠ANB .8-5 椭圆课时规范练(授课提示：对应学生用书第307页)A 组基础对点练1．已知椭圆x 225＋y 2m2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝( B )A ．2B ．3C ．4D ．92．方程kx 2＋4y 2＝4k 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( D ) A ．k >4 B ．k ＝4 C ．k <4D ．0<k <43．若对任意k ∈R ，直线y －kx －1＝0与椭圆x 22＋y 2m＝1恒有公共点，则实数m 的取值范围是( C ) A ．(1,2] B ．[1,2)C ．[1,2)∪(2，＋∞)D ．[1，＋∞)4．(2017·河北衡水中学二调)设椭圆x 216＋y 212＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，且满足PF 1→·PF 2→＝9，则|PF 1|·|PF 2|的值为( D ) A ．8 B ．10 C ．12D ．15解析：由椭圆方程x 216＋y 212＝1，可得c 2＝4，所以|F 1F 2|＝2c ＝4，而F 1F 2→＝PF 2→－PF 1→，所以|F 1F 2→|＝|PF 2→－PF 1→|，两边同时平方，得|F 1F 2→|2＝|PF 1→|2－2PF 1→·PF 2→＋|PF 2→|2，所以|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2→|2＋2PF 1→·PF 2→＝16＋18＝34.根据椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8，(|PF 1|＋|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝64，所以34＋2|PF 1|·|PF 2|＝64，所以|PF 1|·|PF 2|＝15，故选D.5．已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为( A ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 28＋y 26＝1C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 2＝1 6．若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，两曲线的一个交点为P ，且|PF |＝4，则该椭圆的离心率为( A ) A.7－23B ．2＋13C.23 D ．127．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，若F 关于直线3x ＋y ＝0的对称点A 是椭圆C上的点，则椭圆C 的离心率为( D ) A.12 B ．3－12C.32D ．3－18．若x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 (0,1) ．解析：将椭圆的方程化为标准形式得y 22k＋x 22＝1，因为x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，所以2k>2，解得0<k <1.9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是63.解析：由题意可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，F (c,0)，则由∠BFC ＝90°得BF →·CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ，－b 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫c －32a ，－b 2＝c 2－34a 2＋14b 2＝0，化简得3c ＝2a ，则离心率e ＝c a ＝23＝63.10．(2018·湖南江西十四校联考)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1()a >b >0上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值是最小值的3倍，且点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆E 上． (1)求椭圆E 的方程；(2)过点M ()1，1任作一条直线l ，l 与椭圆E 交于不同于P 点的A ，B 两点，l 与直线m ：3x ＋4y －12＝0交于C 点，记直线PA ，PB ，PC 的斜率分别为k 1，k 2，k 3.试探究k 1＋k 2与k 3的关系，并证明你的结论．解析：(1)∵椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1()a >b >0上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值和最小值分别为a ＋c ，a －c ，依题意有a ＋c ＝3()a －c ⇒a ＝2c ， ∵a 2＝b 2＋c 2，∴b ＝3c .故可设椭圆E 的方程为x 24c 2＋y 23c2＝1，∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆E 上，所以将其代入椭圆E 的方程得14c 2＋943c 2＝1⇒c 2＝1.∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)依题意，直线l 不可能与x 轴垂直，故可设直线l 的方程为y －1＝k ()x －1，即y ＝kx －k ＋1，设A ()x 1，y 1，B ()x 2，y 2为l 与椭圆E 的两个交点．将y ＝kx －k ＋1代入方程3x 2＋4y 2－12＝0，化简得()4k 2＋3x 2－8()k 2－k x ＋4k 2－8k －8＝0.∴x 1＋x 2＝8k 2－8k 4k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－8k －84k 2＋3. ∴k 1＋k 2＝y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－1＝k ()x 1－1－12x 1－1＋k ()x 2－1－12x 2－1＝2k －12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1＋1x 2－1＝2k －12x 1＋x 2－2x 1x 2－()x 1＋x 2＋1＝2k －128k 2－8k －2()4k 2＋34k 2－8k －8－()8k 2－8k ＋()4k 2＋3＝6k －35. 又由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －k ＋1，3x ＋4y －12＝0⇒3x ＋4()kx －k ＋1－12＝0，解得x ＝4k ＋84k ＋3，y ＝9k ＋34k ＋3，即C 点的坐标为C ⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋84k ＋3，9k ＋34k ＋3，∴k 3＝9k ＋34k ＋3－324k ＋84k ＋3－1＝6k －310.∴k 1＋k 2与k 3的关系为k 1＋k 2＝2k 3.B 组能力提升练1．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( D )A.x 245＋y 236＝1 B ．x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D ．x 218＋y 29＝1 2．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E 的离心率为( C ) A.12 B ．23 C.34D ．453．从椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( C ) A.24 B ．12 C.22D ．32解析：易得P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，k AB ＝k OP ，即－b a ＝－b 2ac ，又a 2＝b 2＋c 2，可得c a ＝22. 4．已知直线l ：y ＝kx ＋2过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的上顶点B 和左焦点F ，且被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为L ，若L ≥455，则椭圆离心率e 的取值范围是( B )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，55 B ．⎝⎛⎦⎥⎤0，255C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，355D ．⎝⎛⎦⎥⎤0，4555．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( A ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1 6．(2016·高考浙江卷)已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x 2n2－y 2＝1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( A ) A ．m >n 且e 1e 2>1 B ．m >n 且e 1e 2<1 C ．m <n 且e 1e 2>1 D ．m <n 且e 1e 2<17．(2018·湖北重点中学联考)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与椭圆C 2：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)相交于A ，B ，C ，D 四点，若椭圆C 1的一个焦点F (－2，0)，且四边形ABCD 的面积为163，则椭圆C 1的离心率e 为22. 解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y 2a 2＋x2b 2＝1，两式相减得x 2－y 2a 2＝x 2－y 2b 2，又a ≠b ，所以x 2＝y 2＝a 2b 2a 2＋b 2，故四边形ABCD 为正方形，面积为4x 2＝4a 2b 2a 2＋b 2＝163，(*)又由题意知a 2＝b 2＋2，将其代入(*)式整理得3b 4－2b 2－8＝0，所以b 2＝2，则a 2＝4，所以椭圆C 的离心率e ＝22.8．(2017·湖南东部六校联考)设P ，Q 分别是圆x 2＋(y －1)2＝3和椭圆x 24＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是733. 解析：由圆的性质可知，P ，Q 两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加上圆的半径3，设Q (x ，y )，则圆心(0,1)到椭圆上点的距离为d ＝x 2＋y －2＝－3y 2－2y ＋5＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋132＋163， ∵－1≤y ≤1，∴当y ＝－13时，d 取最大值433，∴P ，Q 两点间的最大距离为d max ＋3＝733. 9．(2018·高考天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右顶点为A ，上顶点为B .已知椭圆的离心率为53，|AB |＝13. (1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx (k <0)与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，求k 的值．解析：(1)设椭圆的焦距为2c ，由已知得c 2a 2＝59，又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b .由|AB |＝a 2＋b 2＝13，从而a ＝3，b ＝2. 椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点M 的坐标为(x 2，y 2)，由题意知x 2>x 1>0，点Q 的坐标为(－x 1，－y 1)．由△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，可得|PM |＝2|PQ |，从而x 2－x 1＝2[x 1－(－x 1)]，即x 2＝5x 1.易知直线AB 的方程为2x ＋3y ＝6，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝6，y ＝kx消去y ，可得x 2＝63k ＋2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 24＝1，y ＝kx消去y ，可得x 1＝69k 2＋4.由x 2＝5x 1，可得9k 2＋4＝5(3k ＋2)，两边平方，整理得18k 2＋25k ＋8＝0，解得k ＝－89或k ＝－12.。

高考数学(理)一轮复习教师用书：第八章平面解析几何 Word版含解析

第1课时直线及其方程1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)范围：直线l倾斜角的范围是0，π)．2．直线的斜率(1)定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k＝tan_θ.(2)计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝y2－y1 x2－x1.3．直线方程的五种形式4．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(×)(2)过点M(a，b)，N(b，a)(a≠b)的直线的倾斜角是45°.(×)(3)倾斜角越大，斜率越大．(×)(4)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k·(x－x0)表示．(×)(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(√)(6)直线的截距即是直线与坐标轴的交点到原点的距离．(×)(7)若直线在x 轴，y 轴上的截距分别为m ，n ，则方程可记为x m ＋yn ＝1.(×)(8)直线Ax ＋By ＋C ＝0表示斜率为－A B ，在y 轴上的截距为－CB 的直线．(×) (9)直线y ＝kx ＋3表示过定点(0,3)的所有直线．(×) (10)直线y ＝3x ＋b 表示斜率为3的所有直线．(√)考点一直线的倾斜角与斜率例1] (1)若直线l PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( ) A.13B ．－13 C ．－32D.23解析：设P (x,1)，Q (7，y )，则x ＋72＝1，y ＋12＝－1，∴x ＝－5，y ＝－3，即P (－5,1)，Q (7，－3)，故直线l 的斜率k ＝－3－17＋5＝－13.答案：B(2)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0(a ∈R )的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 第八章平面解析几何大一轮复习数学(理)解析：由直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0，得直线的斜率k ＝－1a 2＋1∈－1,0)，设直线的倾斜角为θ，则－1≤tan θ＜0. 因此3π4≤θ＜π.答案：B(3)已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB有交点，则直线l的斜率k的取值范围为________．解析：如图，k P A＝1＋31－2＝－4，k PB＝1＋21＋3＝34.要使直线l与线段AB有交点，则有k≥34或k≤－4.答案：k≤－4或k≥3 4方法引航] 1.求倾斜角α的取值范围的一般步骤(1)求出斜率k＝tan α的取值范围；(2)利用正切函数的单调性，借助图象，数形结合，确定倾斜角α的取值范围．2．求斜率的常用方法(1)已知直线上两点时，由斜率公式k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)来求斜率．(2)已知倾斜角α或α的三角函数值时，由k＝tan α(α≠90°)来求斜率．(3)方程为Ax＋By＋C＝0(B≠0)的直线的斜率为k＝－A B.1．若将本例(1)改为：直线y＝1，x＝7与坐标轴的交点分别为P、Q，求直线PQ 的斜率．解：由题意可知P(0,1)，Q(7,0)，∴k PQ＝1－00－7＝－17.2．若将本例(2)的直线改为(a2＋1)x＋y＋1＝0，其倾斜角的范围如何？解：因直线的斜率k＝－a2－1≤－1设直线的倾斜角为α，∴tan α≤－1，α∈(0，π)， ∴α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，34π.3．已知直线PQ 的斜率为－3，将直线绕点P 顺时针旋转60°所得的直线的斜率为( ) A.3B ．－ 3 C ．0 D ．1＋ 3解析：直线PQ 的斜率为－3，则直线PQ 的倾斜角为120°，所以直线的倾斜角为60°，tan 60°＝ 3. 答案：A考点二求直线方程例2] 求适合下列条件的直线方程．(1)经过点A (3,4)，且在两坐标轴上截距相等的直线方程是________．解析：设直线在x ，y 轴上的截距均为a . ①若a ＝0，即直线过点(0,0)及(3,4)， ∴直线的方程为y ＝43x ，即4x －3y ＝0. ②若a ≠0，则设所求直线的方程为x a ＋ya ＝1，又点(3,4)在直线上， ∴3a ＋4a ＝1，∴a ＝7， ∴直线的方程为x ＋y －7＝0. 答案：4x －3y ＝0或x ＋y －7＝0(2)一条直线经过点A (2，－3)，并且它的倾斜角等于直线y ＝13x 的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是________．解析：∵直线y ＝13x 的倾斜角α＝30°，所以所求直线的倾斜角为60°，斜率k ＝tan 60°＝ 3. 又该直线过点A (2，－3)，故所求直线为y －(－3)＝3(x －2)，即3x －y －33＝0. 答案：3x －y －33＝0(3)过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程为________．解析：由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y 12－a＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. 答案：4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0(4)一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为________．解：设直线的斜率为k (k ≠0)，则直线方程为y －2＝k (x ＋2)，由x ＝0知y ＝2k ＋2. 由y ＝0知x ＝－2k －2k . 由12|2k ＋2|⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2k －2k ＝1. 解得k ＝－12或k ＝－2.故直线方程为x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0. 答案：x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0 方法引航] 求直线方程的两种方法(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论.(2)待定系数法，具体步骤为：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数方程(组)；③解这个方程(组)求出参数；④把参数的值代入所设直线方程.1．将本例(1)改为：求经过点A(－5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程．解：当直线不过原点时，设所求直线方程为x2a＋ya＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a＝－1 2，此时，直线方程为x＋2y＋1＝0.当直线过原点时，斜率k＝－2 5，直线方程为y＝－25x，即2x＋5y＝0.故所求直线方程为x＋2y＋1＝0或2x＋5y＝0.2．将本例(2)改为：经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍．求该直线方程．解：由已知：设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.∵tan α＝3，∴tan 2α＝2tan α1－tan2α＝－34.又直线经过点(－1，－3)，∴直线方程为y＋3＝－34(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.3．将本例(4)改为：直线l 的斜率为16，且与两坐标轴围成的三角形面积为3.求l 的方程．解：设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.考点三直线方程的应用例3] (1)已知曲线y ＝x 4－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D.12解析：设切点坐标为(x 0，y 0)，且x 0＞0， ∵y ′＝12x －3x ，∴k ＝12x 0－3x 0＝－12，∴x 0＝2.答案：B(2)若ab ＞0，且A (a,0)、B (0，b )、C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________．解析：根据A (a,0)、B (0，b )确定直线的方程为x a ＋yb ＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2b ＝1，所以－2(a ＋b )＝ab .又ab ＞0，故a ＜0，b ＜0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时取等号．即ab 的最小值为16. 答案：16(3)为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪(如图)，另外△EF A 内部有一文物保护区不能占用，经测量AB ＝100 m ，BC ＝80 m ，AE ＝30 m ，AF ＝20 m ，应如何设计才能使草坪面积最大？解：如图所示，建立平面直角坐标系，则E (30,0)、F (0,20)，∴直线EF 的方程为x 30＋y20＝1(0≤x ≤30)．易知当矩形草坪的一个顶点在EF 上时，可取最大值，在线段EF 上取点P (m ，n )，作PQ ⊥BC 于点Q ， PR ⊥CD 于点R ，设矩形PQCR 的面积为S ，则S ＝|PQ |·|PR | ＝(100－m )(80－n )．又m 30＋n20＝1(0≤m ≤30)， ∴n ＝20－23m .∴S ＝(100－m )⎝ ⎛⎭⎪⎫80－20＋23m ＝－23(m －5)2＋18 0503(0≤m ≤30)． ∴当m ＝5时，S 有最大值，这时|EP ||PF |＝5∶1.所以当草坪矩形的两边在BC、CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分有向线段EF成5∶1时，草坪面积最大．方法引航]在求直线方程的过程中，若有以直线为载体的面积、距离的最值等问题，一般要结合函数、不等式或利用对称来加以解决.1．已知函数f(x)＝x－4ln x，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为________．解析：由f′(x)＝1－4x，则k＝f′(1)＝－3，又f(1)＝1，故切线方程为y－1＝－3(x－1)，即3x＋y－4＝0.答案：3x＋y－4＝02．直线3x－4y＋k＝0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k＝________.解析：令x＝0，得y＝k4；令y＝0，得x＝－k3.则有k4－k3＝2，所以k＝－24.答案：－24易错警示]直线的委屈——被遗忘的特殊情况典例](2017·浙江杭州调研)已知直线l过点P(2，－1)，在x轴和y轴上的截距分别为a，b，且满足a＝3b.则直线l的方程为________．正解]①若a＝3b＝0，则直线过原点(0,0)，此时直线斜率k＝－12，直线方程为x＋2y＝0.②若a＝3b≠0，设直线方程为xa＋yb＝1，即x3b＋yb＝1.由于点P(2，－1)在直线上，所以b＝－1 3.从而直线方程为－x－3y＝1，即x＋3y＋1＝0.综上所述，所求直线方程为x＋2y＝0或x＋3y＋1＝0.答案] x ＋2y ＝0或x ＋3y ＋1＝0易误] 本题容易忽视直线过原点时的情况．警示] 求直线方程时，要注意斜率是否存在，注意截距是否为0；注意区分截距与距离．高考真题体验]1．(2012·高考湖北卷)过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．y －1＝0 C ．x －y ＝0 D ．x ＋3y －4＝0解析：选A.两部分面积之差最大，即弦长最短，此时直线垂直于过该点的直径．因为过点P (1,1)的直径所在直线的斜率为1，所以所求直线的斜率为－1，方程为x ＋y －2＝0.2．(2016·高考北京卷)已知A (2,5)，B (4,1)．若点P (x ，y )在线段AB 上，则2x －y 的最大值为( ) A ．－1 B ．3 C ．7 D ．8解析：选C.依题意得k AB ＝5－12－4＝－2，∴线段l AB ：y －1＝－2(x －4)，x ∈2,4]，即y＝－2x ＋9，x ∈2,4]，故2x －y ＝2x －(－2x ＋9)＝4x －9，x ∈2,4]．设h (x )＝4x －9，易知h (x )＝4x －9在2,4]上单调递增，故当x ＝4时，h (x )max ＝4×4－9＝7.3．(2015·高考广东卷)平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( )A ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0D ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0解析：选A.设所求直线的方程为2x ＋y ＋c ＝0(c ≠1)，则|c |22＋12＝5，所以c ＝±5，故所求直线的方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0.4．(2014·高考安徽卷)过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3 解析：选D.法一：设直线l 的倾斜角为θ，数形结合(图略)可知： θmin ＝0，θmax ＝2×π6＝π3.法二：因为直线l 与x 2＋y 2＝1有公共点，所以设l ：y ＋1＝k (x ＋3)，即l ：kx －y ＋3k －1＝0，则圆心(0,0)到直线l 的距离|3k －1|1＋k 2≤1，得k 2－3k ≤0，即0≤k ≤3，故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.课时规范训练 A 组基础演练1．直线x ＋3y ＋m ＝0(m ∈k )的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．150° D ．120°解析：选C.∵直线的斜率k ＝－33，∴tan α＝－33. 又0≤α＜180°，∴α＝150°.2．如图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则( )A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 3＜k 1＜k 2C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 1＜k 3＜k 2解析：选D.直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k 3＜k 2，因此k 1＜k 3＜k 2，故选D.3．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1解析：选D.由题意得a ＋2＝a ＋2a ，∴a ＝－2或a ＝1.4．过点(2,1)，且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π4的直线方程是( ) A ．x ＝2 B ．y ＝1 C ．x ＝1 D ．y ＝2解析：选A.∵直线y ＝－x －1的斜率为－1，则倾斜角为34π.依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2，斜率不存在，∴过点(2,1)的所求直线方程为x ＝2.5．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －ya ＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )解析：选A.把直线方程化为截距式l 1：x a ＋y －b ＝1，l 2：x b ＋y－a ＝1.假定l 1，判断a ，b ，确定l 2的位置，知A 项符合．6．已知A (3,5)，B (4,7)，C (－1，x )三点共线，则x ＝________. 解析：因为k AB ＝7－54－3＝2，k AC ＝x －5－1－3＝－x －54.A ，B ，C 三点共线，所以k AB ＝k AC 即－x －54＝2，解得x ＝－3.答案：－37．直线l 经过A (2,1)，B (1，m 2)(m ∈R )两点．则直线l 的倾斜角的取值范围为________．解析：直线l 的斜率k ＝m 2－11－2＝1－m 2≤1.若l 的倾斜角为α，则tan α≤1. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π8．已知直线l 的倾斜角α满足3sin α＝cos α，且它在x 轴上的截距为2，则直线l 的方程是________．解析：∵k l ＝tan α＝sin αcos α＝13，且过点(2,0)， ∴直线方程为y ＝13(x －2) 即x －3y －2＝0. 答案：x －3y －2＝09．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )． (1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解：(1)当直线过原点时，在x 轴和y 轴上的截距为零． ∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.当直线不过原点时，由截距存在且均不为0， ∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1， ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.因此直线l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －(a ＋1)＞0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0. ∴a ≤－1.综上可知a 的取值范围是a ≤－1.10．已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．解：由题意设直线方程为x a ＋y b ＝1(a ＞0，b ＞0)，∴3a ＋2b ＝1. 由基本不等式知3a ＋2b ≥26ab ，即ab ≥24(当且仅当3a ＝2b ，即a ＝6，b ＝4时等号成立)．又S ＝12a ·b ≥12×24＝12，此时直线方程为x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.∴△ABO 面积的最小值为12，此时直线方程为2x ＋3y －12＝0.B 组能力突破1．直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么l 的斜率为( ) A ．－13B ．－3 C.13D ．3解析：选A.设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，由题意，平移后方程为A (x －3)＋B (y ＋1)＋C ＝0，即Ax ＋By ＋C ＋B －3A ＝0，它与直线l 重合，∴B －3A ＝0，∴－A B ＝－13，即直线l 的斜率为－13，故选A.2．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)解析：选D.因为AO ＝AB ，所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，所以k AB ＝－k OA ＝－3，所以直线AB 的点斜式方程为：y －3＝－3(x －1)．3．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( ) A ．ab ＞0，bc ＜0 B ．ab ＞0，bc ＞0 C ．ab ＜0，bc ＞0 D ．ab ＜0，bc ＜0解析：选A.由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －c b .易知－a b ＜0且－cb ＞0，故ab ＞0，bc ＜0.4．直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，则a 的取值范围是________．解析：当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合要求；当a ≠－1时，直线l 的斜率为－a a ＋1，只要－a a ＋1＞1或者－a a ＋1＜0即可，解得－1＜a ＜－12或者a ＜－1或者a ＞0. 综上可知，实数a 的取值范围是 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(0，＋∞)．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(0，＋∞)5．已知直线l 过点M (1,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求：(1)当|OA |＋|OB |取得最小值时，直线l 的方程； (2)当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，直线l 的方程．解：(1)设A (a,0)，B (0，b )(a ＞0，b ＞0)．设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，则1a ＋1b ＝1，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·ba ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.(2)设直线l 的斜率为k ，则k ＜0，直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ，0，B (0,1－k )，所以|MA |2＋|MB |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1＋1k 2＋12＋12＋(1－1＋k )2＝2＋k 2＋1k 2≥2＋2k 2·1k 2＝4，当且仅当k 2＝1k2，即k ＝－1时，|MA |2＋|MB |2取得最小值4，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.第2课时两直线的位置关系1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2； ②当不重合的两条直线l 1，l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2的关系为平行． (2)两条直线垂直①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1；②如果l 1，l 2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l 1与l 2的关系为垂直． 2．两条直线的交点设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，将这两条直线的方程联立，得方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0.(1)若方程组有唯一解，则l 1与l 2相交，此解就是l 1、l 2交点的坐标； (2)若方程组无解，则l 1与l 2无交点，此时l 1∥l 2； (3)若方程组有无数组解，则l 1与l 2重合． 3．三种距离4.判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当直线l 1和l 2的斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.(×) (2)如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(×)(3)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1，B 1，C 1，A 2，B 2，C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.(√)(4)l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，当k 1≠k 2时，l 1与l 2相交．(√)(5)过l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )．(×) (6)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k2.(×) (7)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(√) (8)直线l 关于点P 对称的直线l ′，则l ∥l ′.(×) (9)A 、B 两点到直线l 的距离相等，则AB ∥l .(×) (10)直线x ＋(m ＋1)y ＋2＝0恒过定点(－2,0)．(√)考点一两条直线的平行与垂直例1] (1)设a 、b 、c 分别是△ABC 中∠A 、∠B 、∠C 所对边的边长，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．重合 C ．垂直 D ．相交但不垂直解析：由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b sin A －a sin B ＝0. ∴两直线垂直．答案：C(2)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0解析：设所求直线方程为x－2y＋m＝0，由1＋m＝0得m＝－1，所以直线方程为x －2y－1＝0.答案：A(3)已知直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0，则“a ＝1”是“l1⊥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：l1⊥l2的充要条件是(a＋2)(a－1)＋(1－a)·(2a＋3)＝0，即a2－1＝0，故有(a－1)(a＋1)＝0，解得a＝±1.显然“a＝1”是“a＝±1”的充分不必要条件，故“a＝1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件．故选A.答案：A(4)已知两直线l1：x＋y sin α－1＝0和l2：2x·sin α＋y＋1＝0，求α的值，使得：①l1∥l2；②l1⊥l2.解：①法一：当sin α＝0时，直线l1的斜率不存在，l2的斜率为0，显然l1不平行于l2.当sin α≠0时，k1＝－1sin α，k2＝－2sin α.要使l1∥l2，需－1sin α＝－2sin α，即sin α＝±2 2.所以α＝kπ±π4，k∈Z，此时两直线的斜率相等．故当α＝kπ±π4，k∈Z时，l1∥l2.法二：由A1B2－A2B1＝0，得2sin2α－1＝0，所以sin α＝±2 2.又B 1C 2－B 2C 1≠0，所以1＋sin α≠0，即sin α≠－1. 所以α＝k π±π4，k ∈Z . 故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.②因为A 1A 2＋B 1B 2＝0是l 1⊥l 2的充要条件，所以2sin α＋sin α＝0，即sin α＝0，所以α＝k π，k ∈Z . 故当α＝k π，k ∈Z 时，l 1⊥l 2.方法引航] 两直线垂直时，一般先将直线方程化成一般式，l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，然后利用A 1A 2＋B 1B 2＝0求解，这样避免出现漏解.如果利用斜截式方程，则需要根据其斜率是否存在分情况讨论，往往容易忽视斜率不存在的情况，导致漏解.对l 1∥l 2，用A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2时，有可能漏解.1．将本例(1)的两直线改为：l 1：bx ＋ay ＋c ＝0，l 2：x sin B ＋y sin A －sin C ＝0，其位置关系如何？解：由b sin B ＝asin A ≠c－sin C ，∴l 1∥l 2.2．将本例(2)改为过点(1,0)与x －2y －2＝0垂直，其直线方程怎样．解：∵x －2y －2＝0的斜率为12， ∴所求直线的斜率为－2，∴直线方程为y ＝－2(x －1)，即2x ＋y －2＝0.3．将本例(3)变为“a ＝－1”是“直线ax ＋y ＋1＝0与直线x ＋ay ＋2＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件解析：选A.由直线ax ＋y ＋1＝0与直线x ＋ay ＋2＝0平行，得a ＝－1或1，所以“a ＝－1”是“直线ax ＋y ＋1＝0与直线x ＋ay ＋2＝0平行”的充分不必要条件． 4．将本例(4)变为l 1：ax －by ＋4＝0，l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，若l 1⊥l 2且l 1过点(－3，－1)，求a ，b 的值．解：法一：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a (a －1)－b ×1＝0－3a ＋b ＋4＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －b ＝0－b ＝－3a ＋4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.法二：由已知可得l 2的斜率存在，∴k 2＝1－a . 若k 2＝0，则1－a ＝0，a ＝1.∵l 1⊥l 2，直线l 1的斜率k 1必不存在，即b ＝0.又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋4＝0，即a ＝43(矛盾)． ∴此种情况不存在，∴k 2≠0.即k 1，k 2都存在，∵k 2＝1－a ，k 1＝ab ，l 1⊥l 2， ∴k 1k 2＝－1，即ab (1－a )＝－1.①又∵l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.② 由①②联立，解得a ＝2，b ＝2.考点二两条直线的交点和距离例2] (1)求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程．解：法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0，得l 1、l 2的交点坐标为(－1,2)，∵l 3的斜率为35，∴l 的斜率为－53，则直线的点斜式方程l ：y －2＝－53(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0.法二：设直线l 的方程为：3x ＋2y －1＋λ(5x ＋2y ＋1)＝0，将其整理，得(3＋5λ)x ＋(2＋2λ)y ＋(－1＋λ)＝0，其斜率－3＋5λ2＋2λ＝－53，解得λ＝15，代入直线系方程即得l 的方程为5x ＋3y －1＝0.(2)求过点P (2，－1)且与原点距离为2的直线l 的方程．解：若l 的斜率不存在，则直线x ＝2满足条件．若斜率存在，设l 的方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0.由已知，得|－2k －1|k 2＋1＝2，解得k ＝34.此时l 的方程为3x －4y －10＝0.综上，可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(3)若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c ＋2a 的值为________．解析：由题意得，63＝a －2≠c－1，∴a ＝－4，c ≠－2.则6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c2＝0. ∴21313＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 2＋113，∴解得c ＝2或c ＝－6.∴c ＋2a ＝1或c ＋2a ＝－1. 答案：±1方法引航] (1)符合特定条件的某些直线构成一个直线系，常见的直线系有： ①与Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系：Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )； ②与Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系：Bx －Ay ＋m ＝0；③过A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0. (2)y ＝kx ＋b .①当b 为定值，k 变为参数时，表示过定点(0，b )的直线系(除x ＝0外)； ②当k 为定值，b 为参数时，表示斜率为k 的平行直线系．1．已知经过点P (2,2)的直线l 与直线ax －y ＋1＝0垂直，若点M (1,0)到直线l 的距离等于5，则a 的值是( ) A ．－12B ．1C ．2 D.12解析：选C.依题意，设直线l 的方程为x ＋ay ＋c ＝0， ∵点P (2,2)在l 上，且点M (1,0)到l 的距离等于 5. ∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋2a ＋c ＝0，|1＋c |1＋a2＝ 5.消去c ，得a ＝2.2．过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P (0,4)距离为2的直线方程为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.∴l 1与l 2交点为(1,2)，设所求直线y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0， ∵P (0,4)到所求直线的距离为2， ∴2＝|－2－k |1＋k 2，解得k ＝0或k ＝43.∴直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0. 答案：y ＝2或4x －3y ＋2＝03．l 1，l 2是分别经过点A (1,1)，B (0，－1)的两条平行直线，当l 1与l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是________．解析：当AB ⊥l 1时，两直线l 1与l 2间的距离最大，由k AB ＝－1－10－1＝2，知l 1的斜率k ＝－12.∴直线l 1的方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0. 答案：x ＋2y －3＝0考点三对称问题例3] (1)(2017·江西南昌二中月考)过点M (0,1)作直线，使它被两条直线l 1：x －3y ＋10＝0，l 2：2x ＋y －8＝0所截得的线段恰好被M 所平分，则此直线方程为________．解析：法一：过点M 且与x 轴垂直的直线是x ＝0，它和直线l 1，l 2的交点分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，103，(0,8)，显然不符合题意，故可设所求直线方程为y ＝kx ＋1，其图象与直线l 1，l 2分别交于A ，B 两点，则有①⎩⎪⎨⎪⎧ y A ＝kx A ＋1，x A －3y A ＋10＝0，②⎩⎪⎨⎪⎧y B ＝kx B ＋1，2x B ＋y B －8＝0. 由①解得x A ＝73k －1，由②解得x B ＝7k ＋2.因为点M 平分线段AB ，所以x A ＋x B ＝2x M ，即73k －1＋7k ＋2＝0，解得k ＝－14.故所求的直线方程为y ＝－14x ＋1，即x ＋4y －4＝0. 法二：设所求直线与l 1交于A (x 1，y 1)与l 2交于B (x 2，y 2) 且x 1＋x 2＝0，∴x 2＝－x 1. y 1＋y 2＝2，y 2＝2－y 1∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－3y 1＋10＝0－2x 1＋2－y 1－8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－4y 1＝2.即A (－4,2) 故过M 和A 的方程为x ＋4y －4＝0. 答案：x ＋4y －4＝0(2)A (－1，－2)关于直线l ：2x －3y ＋1＝0的对称点A ′的坐标为________．解析：设A ′(x ，y )，再由已知⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1·23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.∴A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.答案：A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413(3)直线l 1：y ＝2x ＋3关于直线l ：y ＝x ＋1对称的直线l 2的方程为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3，y ＝x ＋1解得直线l 1与l 的交点坐标为(－2，－1)，∴可设直线l 2的方程为y ＋1＝k (x ＋2)，即 kx －y ＋2k －1＝0.在直线l 上任取一点(1,2)，由题设知点(1,2)到直线l 1，l 2的距离相等，由点到直线的距离公式得|k －2＋2k －1|k 2＋1＝|2－2＋3|22＋1，解得k ＝12(k ＝2舍去)，∴直线l 2的方程为x －2y ＝0. 答案：x －2y ＝0方法引航](1)点P (x ，y )关于O (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2a －x ，y ′＝2b －y .(2)解决点关于直线对称问题要把握两点，点M 与点N 关于直线l 对称，则线段MN 的中点在直线l 上，直线l 与直线MN 垂直., 3)若直线l 1、l 2关于直线l 对称，则有如下性质：①若直线l 1与l 2相交，则交点在直线l 上；②若点B 在直线l 1上，则其关于直线l 的对称点B ′在直线l 2上.(4)解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解.光线沿直线l 1：x －2y ＋5＝0射入，遇直线l ：3x －2y ＋7＝0后反射，求反射光线所在的直线方程．解：法一：由⎩⎨⎧x －2y ＋5＝0，3x －2y ＋7＝0，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝2. ∴反射点M 的坐标为(－1,2)．又取直线x －2y ＋5＝0上一点P (－5,0)，设P 关于直线l 的对称点P ′(x 0，y 0)，由PP ′⊥l 可知，k PP ′＝－23＝y 0x 0＋5.而PP ′的中点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－52，y 02，Q 点在l 上，∴3·x 0－52－2·y 02＋7＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧y 0x 0＋5＝－23，32(x 0－5)－y 0＋7＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1713，y 0＝－3213.根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x －2y ＋33＝0. 法二：设直线x －2y ＋5＝0上任意一点P (x 0，y 0)关于直线l 的对称点为P ′(x ，y )，则y 0－y x 0－x＝－23，又PP ′的中点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x 02，y ＋y 02在l 上，∴3×x ＋x 02－2×y ＋y 02＋7＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y 0－y x 0－x ＝－23，3×x ＋x 02－(y ＋y 0)＋7＝0.可得P 点的横、纵坐标分别为x 0＝－5x ＋12y －4213，y 0＝12x ＋5y ＋2813，代入方程x －2y ＋5＝0中，化简得29x －2y ＋33＝0，∴所求反射光线所在的直线方程为29x －2y ＋33＝0.方法探究]有关点与直线的最值问题典例] (2017·福建泉州模拟)若点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3关系探究] 一、从m 2＋n 2表示的几何意义分析，得出原点到直线的距离．二、从函数角度分析：题意隐含了m 与n 的约束关系，从而m 2＋n 2可转化为关于m (n )的函数求最值．解析] 法一：数形结合法(1)m 2＋n 2＝(m －0)2＋(n －0)2表示点(m ，n )与(0,0)距离的平方，∴m 2＋n 2表示点(m ，n )与(0,0)的距离，其最小值为原点到直线的距离．当过原点的直线与直线4m ＋3n －10＝0垂直时，原点到点(m ，n )的距离的最小值为d ＝|－10|42＋32＝2，∴m 2＋n 2的最小值为4.(2)由题意知点(m ，n )为直线上到原点最近的点，直线与两坐标轴交于A ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，103，在直角三角形OAB 中，OA ＝52，OB ＝103，斜边AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1032＝256，斜边上的高h 即为所求m 2＋n 2的算术平方根， ∴S △OAB ＝12·OA ·OB ＝12AB ·h ， ∴h ＝OA ·OB AB ＝52×103256＝2，∴m 2＋n 2的最小值为h 2＝4. 法二：函数法因点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上， ∴4m ＋3n －10＝0，∴m ＝10－3n4，∴m 2＋n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫10－3n42＋n 2＝100－60n ＋25n 216＝2516⎝ ⎛⎭⎪⎫n －652＋4. 当n ＝65时，m 2＋n 2的最小值为4. 答案] C回顾反思] 有关点与直线的最值问题，一般有两种方法：一是利用几何意义，采用数形结合法．如(x －a )2＋(y －b )2表示点(x ，y )与点(a ，b )间距离的平方.|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2表示点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离；再者利用函数求最值．高考真题体验]1．(2012·高考浙江卷)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.由a ＝1可得l 1∥l 2，反之，由l 1∥l 2可得a ＝1，故选C.2．(2014·高考福建卷)已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．x －y ＋2＝0 C ．x ＋y －3＝0 D ．x －y ＋3＝0解析：选D.依题意，得直线l 过点(0,3)，斜率为1，所以直线l 的方程为y －3＝x －0，即x －y ＋3＝0.故选D.3．(2014·高考四川卷)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________．解析：易求定点A (0,0)，B (1,3)．当P 与A 和B 均不重合时，不难验证P A ⊥PB ，所以|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |22＝5(当且仅当|P A |＝|PB |＝5时，等号成立)，当P 与A 或B 重合时，|P A |·|PB |＝0，故|P A |·|PB |的最大值是5. 答案：5课时规范训练 A 组基础演练1．直线l 过点(－1,2)，且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则l 的方程是( ) A ．3x ＋2y －1＝0 B ．3x ＋2y ＋7＝0 C ．2x －3y ＋5＝0 D ．2x －3y ＋8＝0解析：选A.由题意可得直线l 的斜率k ＝－32， ∴l ：y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.2．已知直线l 1：x ＋ay ＋6＝0和l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0，则l 1∥l 2的充要条件是a 等于( ) A ．3 B ．1 C ．－1 D ．3或－1解析：选C.由题意知，l 1∥l 2⇔1a －2＝a 3≠62a ，即a ＝－1.故选C.3．已知直线l 的倾斜角为34π，直线l 1经过点A (3,2)和B (a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2的方程为2x ＋by ＋1＝0，且直线l 2与直线l 1平行，则a ＋b 等于( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2解析：选B.∵直线l 的斜率为－1，∴直线l 1的斜率为1，∴k AB ＝2－(－1)3－a＝1，解得a ＝0.∵l 1∥l 2，∴－2b ＝1，解得b ＝－2，∴a ＋b ＝－2.4．已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为( ) A ．2x ＋3y －18＝0 B ．2x －y －2＝0C ．3x －2y ＋18＝0或x ＋2y ＋2＝0D ．2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0解析：选D.设所求直线方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2，∴k ＝2或k ＝－23.∴所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0.5．从点(2,3)射出的光线沿与向量a ＝(8,4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为( )A ．x ＋2y －4＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋6y －16＝0D ．6x ＋y －8＝0解析：选A.由直线与向量a ＝(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k ＝12，所以直线的方程为y －3＝12(x －2)，其与y 轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式可得A 正确． 6．过点A (1,2)且与原点距离最大的直线方程是________．解析：由题意知，所求直线与OA 垂直，因k OA ＝2，则所求直线的斜率k ＝－12.所以直线的方程是y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0. 答案：x ＋2y －5＝07．过点(3,1)，且过直线y ＝2x 与直线x ＋y ＝3交点的直线方程为________．解析：法一：由⎩⎨⎧ y ＝2x x ＋y ＝3，得⎩⎨⎧x ＝1y ＝2，即两直线交点为(1,2)，依题意，由两点式方程得y －12－1＝x －31－3，即x ＋2y －5＝0.法二：设所求直线方程为x ＋y －3＋λ(2x －y )＝0. 把点(3,1)代入得λ＝－15，故所求直线方程为 x ＋y －3－15(2x －y )＝0，即x ＋2y －5＝0. 答案：x ＋2y －5＝08．△ABC 的三个顶点为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，则边BC 的垂直平分线DE 的方程为________．解析：设BC 中点D 的坐标为(x ，y )，则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2.BC 的斜率k 1＝－12，则BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2，由斜截式得直线DE 的方程为y ＝2x ＋2.答案：y ＝2x ＋29．光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在直线的方程．解：作出草图，如图所示．设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方程为y －66＋4＝x －11＋2，即10x －3y ＋8＝0.10．已知直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0与l 2：2x ＋my －1＝0互相平行，且l 1，l 2之间的距离为5，求直线l 1的方程．解：∵l 1∥l 2，∴m 2＝8m ≠n－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.①当m ＝4时，直线l 1的方程为4x ＋8y ＋n ＝0，把l 2的方程写成4x ＋8y －2＝0，∴|n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－22或n ＝18.所以，所求直线的方程为2x ＋4y －11＝0或2x ＋4y ＋9＝0.②当m ＝－4时，直线l 1的方程为4x －8y －n ＝0，l 2的方程为4x －8y －2＝0，∴|－n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－18或n ＝22.所以，所求直线的方程为2x －4y ＋9＝0或2x －4y －11＝0.B 组1．若三条直线l 1：4x ＋y ＝4，l 2：mx ＋y ＝0，l 3：2x －3my ＝4不能围成三角形，则实数m 的取值最多有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．6个解析：选C.三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点．若l 1∥l 2，则m ＝4；若l 1∥l 3，则m ＝－16；若l 2∥l 3，则m 的值不存在；若三条直线相交于同一点，则m ＝－1或23，故实数m 的取值最多有4个．2．若曲线y ＝2x －x 3在横坐标为－1的点处的切线为l ，则点P (3,2)到直线l 的距离为( )A.722B.922C.1122D.91010解析：选A.由题意得切点坐标为(－1，－1)．切线斜率为k ＝y ′|x ＝－1＝2－3×(－1)2＝－1，故切线l 的方程为y －(－1)＝－1·x －(－1)]，整理得x ＋y ＋2＝0.由点到直线的距离公式，得点P (3,2)到直线l 的距离为|3＋2＋2|12＋12＝722.3．已知b >0，直线(b 2＋1)x ＋ay ＋2＝0与直线x －b 2y －1＝0互相垂直，则ab 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．22D ．2 3解析：选B.由已知两直线垂直得(b 2＋1)－ab 2＝0，即ab 2＝b 2＋1.两边同除以b ，得ab ＝b 2＋1b ＝b ＋1b .由基本不等式，得b ＋1b ≥2b ·1b ＝2当且仅当b ＝1时等号成立，故选B.4．直线y ＝2x 是△ABC 的一个内角平分线所在的直线，若点A (－4,2)，B (3,1)，则点C 的坐标为________．解析：把A ，B 两点的坐标分别代入y ＝2x ，可知A ，B 不在直线y ＝2x 上，因此y ＝2x 为∠ACB 的平分线所在的直线，设点A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为A ′(a ，b )，则k AA ′＝b －2a ＋4，线段AA ′的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a －42，b ＋22，由⎩⎪⎨⎪⎧b －2a ＋4·2＝－1，b ＋22＝2·a －42，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－2，∴A ′(4，－2)．∵y ＝2x 是∠ACB 的平分线所在的直线， ∴点A ′在直线BC 上，∴直线BC 的方程为y ＋21＋2＝x －43－4，即3x ＋y －10＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，3x ＋y －10＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，∴C (2,4)．答案：(2,4)5．若直线l 过点A (1，－1)与已知直线l 1：2x ＋y －6＝0相交于B 点，且|AB |＝5，求直线l 的方程．解：过点A (1，－1)与y 轴平行的直线为x ＝1. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，2x ＋y －6＝0.求得B 点坐标为(1,4)，此时|AB |＝5，即x ＝1为所求．设过A (1，－1)且与y 轴不平行的直线为y ＋1＝k (x －1)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －6＝0，y ＋1＝k (x －1).得两直线交点为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋7k ＋2，y ＝4k －2k ＋2.(k ≠－2，否则与已知直线平行)．则B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k ＋7k ＋2，4k －2k ＋2. 由已知⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k ＋7k ＋2－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4k －2k ＋2＋12＝52，解得k ＝－34，∴y ＋1＝－34(x －1)，即3x ＋4y ＋1＝0.综上可知，所求直线的方程为x ＝1或3x ＋4y ＋1＝0.第3课时圆的方程1．圆的定义及方程2．点与圆的位置关系(1)理论依据：点与圆心的距离与半径的大小关系． (2)三种情况圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0)， ①(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔点在圆上； ②(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2⇔点在圆外； ③(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2⇔点在圆内．3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(√)(2)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.(√)(3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4F ＞0.(×)(4)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F ＞0.(√)(5)已知圆的方程为x 2＋y 2－2y ＝0，过点A (1,2)作该圆的切线只有一条．(×) (6)方程(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝t 2(t ∈R )表示圆心为(a ，b )，半径为t 的一个圆．(×) (7)方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－a ，半径为12－3a 2－4a ＋4的圆．(×)(8)过不共线的三点一定有唯一的一个圆．(√)(9)方程x 2＋y 2＋2x －2y ＋2＝0表示圆心为(－1,1)的圆．(×) (10)圆x 2－4x ＋y 2＋2y ＋1＝0上的点到(2,1)的最长距离为4.(√)考点一求圆的方程例1] 根据下列条件，求圆的方程：(1)经过点A (5,2)，B (3，－2)，且圆心在直线2x －y －3＝0上； (2)经过P (－2,4)、Q (3，－1)两点，并且在x 轴上截得的弦长等于6； (3)圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)．解：(1)法一：由题意知k AB ＝2，AB 的中点为(4,0)，设圆心为C (a ，b )，则 AB 的垂直平分线为y ＝－12(x －4)由⎩⎨⎧ y ＝－12(x －4)2x －y －3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝1即C (2,1)为圆心． ∴r ＝|CA |＝(5－2)2＋(2－1)2＝10，∴所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10. 法二：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －3＝0，(5－a )2＋(2－b )2＝r 2，(3－a )2＋(－2－b )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，r ＝10，故圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10.法三：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧25＋4＋5D ＋2E ＋F ＝0，9＋4＋3D －2E ＋F ＝0，2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2＋E 2－3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝－2，F ＝－5，∴所求圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y －5＝0.(2)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将P 、Q 两点的坐标分别代入得 ⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝20， ①3D －E ＋F ＝－10. ② 又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.③ 设x 1，x 2是方程③的两根，由|x 1－x 2|＝6有D 2－4F ＝36，④ 由①、②、④解得D ＝－2，E ＝－4， F ＝－8，或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0.故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0，或x 2＋y 2－6x －8y ＝0.(3)法一：如图，设圆心(x 0，－4x 0)，依题意得4x 0－23－x 0＝1，∴x 0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r ＝22，故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.。

2020年高考数学理科一轮复习第8章平面解析几何第2讲课后作业

A 组基础关1．已知过点A (m ＋1,0)，B (－5，m )的直线与过点C (－4,3)，D (0,5)的直线平行，则m 的值为( )A ．－1B ．－2C ．2D ．1答案 B解析由题意得，k AB ＝m －0－5－(m ＋1)＝m －6－m ，k CD ＝5－30－(－4)＝12.由于AB ∥CD ，即k AB ＝k CD ，所以m －6－m＝12，所以m ＝－2.2．若直线l 1：(m －2)x －y －1＝0与直线l 2：3x －my ＝0互相平行，则m 的值等于( )A ．0或－1或3B ．0或3C ．0或－1D ．－1或3答案 D解析当m ＝0时，两条直线方程分别化为－2x －y －1＝0,3x ＝0，此时两条直线不平行；当m ≠0时，由于l 1∥l 2，则m －23＝1m ，解得m ＝－1或3，经验证满足条件．综上，m ＝－1或3.故选D.3．过两直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点和原点的直线方程为( )A ．19x －9y ＝0B ．9x ＋19y ＝0C ．19x －3y ＝0D ．3x ＋19y ＝0 答案 D解析解法一：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，2x ＋y ＋5＝0，可得两条直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－197，37，又因为所求直线过原点，所以其斜率为－319，方程为y ＝－319x ，即3x ＋19y ＝0.解法二：根据题意可设所求直线方程为 x －3y ＋4＋λ(2x ＋y ＋5)＝0，因为此直线过原点，所以4＋5λ＝0，λ＝－45. 所以x －3y ＋4－45(2x ＋y ＋5)＝0，整理得3x ＋19y ＝0.4．(2018·石家庄模拟)直线2x ＋3y －k ＝0和直线x －ky ＋12＝0的交点在x 轴上，则k 的值为( )A ．－24B ．24C ．6D ．±6答案 A解析直线2x ＋3y －k ＝0与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2，0，直线x －ky ＋12＝0与x 轴的交点为(－12,0)，因为直线2x ＋3y －k ＝0和直线x －ky ＋12＝0的交点，在x 轴上，所以k2＝－12，解得k ＝－24.5．已知倾斜角为θ的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则sin2θ的值为( ) A.35 B ．45 C ．15 D ．－15 答案 B解析直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，∴k l ＝－1－12＝2.∴tan θ＝2.∴sin2θ＝2sin θcos θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θtan 2θ＋1＝45.故选B. 6．点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且点P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则点P 的坐标为( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)或(2，－1)D ．(2,1)或(－2,1)答案 C解析设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧3x 0＋y 0－5＝0，|x 0－y 0－1|2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝1，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2，y 0＝－1，所以点P 的坐标为(1,2)或(2，－1)．故选C.7．已知直线l 被两条直线l 1：4x ＋y ＋3＝0和l 2：3x －5y －5＝0截得的线段的中点为P (－1,2)，则直线l 的一般式方程为( )A ．3x －y ＋5＝0B ．3x ＋y ＋1＝0C ．x －3y ＋7＝0D ．x ＋3y －5＝0答案 B解析设l 与l 1的交点坐标为A (a ，y 1)， l 与l 2的交点坐标为B (b ，y 2)， ∴y 1＝－4a －3，y 2＝3b5－1，由中点坐标公式得a ＋b 2＝－1，y 1＋y 22＝2，即a ＋b ＝－2，(－4a －3)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3b 5－1＝4，解得a ＝－2，b ＝0，∴A (－2,5)，B (0，－1)，∴l 的方程为3x ＋y ＋1＝0. 8．点(2,1)关于直线x －y ＋1＝0的对称点为________．答案 (0,3)解析设对称点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－1x 0－2＝－1，x 0＋22－y 0＋12＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝3，故所求对称点为(0,3)．9．(2018·厦门模拟)若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则实数c 的值是________．答案 2或－6解析直线6x ＋ay ＋c ＝0的方程可化为3x ＋a 2y ＋c2＝0，由题意得a 2＝－2且c2≠－1，解得a ＝－4，c ≠－2. 根据两平行直线的距离为21313可得⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1－c 232＋(－2)2＝21313，所以1＋c2＝±2，解得c ＝2或－6.10．以A (1,1)，B (3,2)，C (5,4)为顶点的△ABC ，其边AB 上的高所在的直线方程是________．答案 2x ＋y －14＝0解析由A ，B 两点得k AB ＝12，则边AB 上的高所在直线的斜率为－2，故所求直线方程是y －4＝－2(x －5)，即2x ＋y －14＝0.B 组能力关1．直线l ：4x ＋3y －2＝0关于点A (1,1)对称的直线的方程为( ) A ．4x ＋3y －4＝0 B ．4x ＋3y －12＝0 C ．4x －3y －4＝0 D ．4x －3y －12＝0答案 B解析在所求直线上任取一点P (x ，y )，则点P 关于点A 对称的点P ′(x ′，y ′)必在直线l 上．由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＋x ＝2，y ′＋y ＝2，得P ′(2－x,2－y )，所以4(2－x )＋3(2－y )－2＝0，即4x ＋3y －12＝0.2．(2018·宁夏银川九中模拟)已知b ＞0，直线(b 2＋1)x ＋ay ＋2＝0与直线x －b 2y －1＝0垂直，则ab 的最小值为( )A ．1B ．2C ．2 2D ．2 3答案 B解析由已知两直线垂直，得(b 2＋1)－ab 2＝0，即ab 2＝b 2＋1，又b ＞0，∴ab ＝b ＋1b .由基本不等式得b ＋1b ≥2 b ·1b ＝2，当且仅当b ＝1时等号成立，∴(ab )min ＝2.故选B.3．两条平行线l 1，l 2分别过点P (－1,2)，Q (2，－3)，它们分别绕P ，Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间距离的取值范围是( )A ．(5，＋∞)B ．(0,5]C ．(34，＋∞)D ．(0，34]答案 D解析当PQ 与平行线l 1，l 2垂直时，|PQ |为平行线l 1，l 2间的距离的最大值，为(－1－2)2＋[2－(－3)]2＝34，∴l 1，l 2之间距离的取值范围是(0，34]．故选D.4．(2018·广州综合测试二)已知三条直线2x －3y ＋1＝0,4x ＋3y ＋5＝0，mx －y －1＝0不能构成三角形，则实数m 的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23 B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，－23 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23，43 D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23 答案 D解析设l 1：2x －3y ＋1＝0，l 2：4x ＋3y ＋5＝0，l 3：mx －y －1＝0，易知l 1与l 2交于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－13，l 3过定点B (0，－1)．因为l 1，l 2，l 3不能构成三角形，所以l 1∥l 3或l 2∥l 3或l 3过点A .当l 1∥l 3时，m ＝23；当l 2∥l 3时，m ＝－43；当l 3过点A 时，m ＝－23，所以实数m 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23.故选D.5．已知曲线y ＝4x 在点P (1,4)处的切线与直线l 平行且两直线之间的距离为17，则直线l 的方程为________．答案 4x ＋y ＋9＝0或4x ＋y －25＝0解析 y ′＝－4x 2，所以曲线y ＝4x 在点P (1,4)处的切线的斜率k ＝－412＝－4，则切线方程为y －4＝－4(x －1)，即4x ＋y －8＝0.所以可设直线l 的方程为4x ＋y＋C ＝0，由|C ＋8|42＋1＝17，得C ＝9 或C ＝－25，所以所求直线方程为4x ＋y ＋9＝0或4x ＋y －25＝0.6．在△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，则直线BC 的方程为________．答案 6x －5y －9＝0解析由AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0可以知道k AC ＝－2，又A (5,1)，AC 边所在直线方程为2x ＋y －11＝0，联立直线AC 与直线CM 方程得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3，所以顶点C 的坐标为C (4,3)．设B (x 0，y 0)，AB 的中点M 为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0＋12，由M 在直线2x －y －5＝0上，得2x 0－y 0－1＝0， B 在直线x －2y －5＝0上，得x 0－2y 0－5＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，y 0＝－3，所以顶点B 的坐标为(－1，－3)．于是直线BC 的方程为6x －5y －9＝0.7．已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4)． (1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标； (2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程．解 (1)证明：直线l 的方程可化为a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，所以直线l 恒过定点(－2,3)．(2)由(1)知直线l恒过定点A(－2,3)，当直线l垂直于直线P A时，点P到直线l的距离最大．又直线P A的斜率k P A＝4－33＋2＝15，所以直线l的斜率k l＝－5.故直线l的方程为y－3＝－5(x＋2)，即5x＋y＋7＝0.。

2019-2020年高考数学大一轮复习第八章平面解析几何课时作业61 理新人教A版

2019-2020年高考数学大一轮复习第八章平面解析几何课时作业61理新人教A 版一、选择题1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析：由于直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1,1)，而(1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交．答案：A2．椭圆x 24＋y 23＝1的离心率为e ，点(1，e )是圆x 2＋y 2－4x －4y ＋4＝0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是( )A ．3x ＋2y －4＝0B ．4x ＋6y －7＝0C ．3x －2y －2＝0D ．4x －6y －1＝0解析：依题意得e ＝12，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点(1，12)的连线的斜率为2－122－1＝32，所求直线的斜率为－23，所以所求直线方程是y －12＝－23(x －1)．即4x ＋6y －7＝0. 答案：B3．直线l 过抛物线y 2＝8x 的焦点，且与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则( ) A ．y 1·y 2＝－64 B ．y 1·y 2＝－8 C ．x 1·x 2＝4D ．x 1·x 2＝16解析：由抛物线的焦点为F (2,0)，设直线l 的方程为my ＝x －2，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝8x⇒y2－8my －16＝0，又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，故y 1·y 2＝－16，x 1·x 2＝y 21y 2264＝16264＝4.故选C.答案：C4．已知直线y ＝12x 与双曲线x 29－y24＝1交于A ，B 两点，P 为双曲线上不同于A ，B 的点，当直线PA ，PB 的斜率k PA ，k PB 存在时，k PA ·k PB ＝( )A.49B.12C.23D ．与P 点位置有关解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12xx 29－y24＝1得y 2＝367，y 1＋y 2＝0，y 1y 2＝－367，x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－4×367.由k PA ·k PB ＝y 0－y 1x 0－x 1·y 0－y 2x 0－x 2＝y 20＋y 1y 2x 20＋x 1x 2＝y 20－367y 24＋－4×367＝y 20－36794y 20－367＝49知k PA ·k PB 为定值49，选A.答案：A5．已知A ，B 为抛物线C ：y 2＝4x 上的两个不同的点，F 为抛物线C 的焦点，若FA →＝－4FB →，则直线AB 的斜率为( )A ．±23B ．±32C ．±34D ．±43解析：焦点F (1,0)，直线AB 的斜率必存在，且不为0.故可设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入y 2＝4x 中化简得ky 2－4y －4k ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k，①y 1y 2＝－4，②又由FA →＝－4FB →可得y 1＝－4y 2，③ 联立①②③式解得k ＝±43.答案：D6．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋2相切，则此双曲线的离心率是( )A ．2B ．3 C. 6D ．9解析：双曲线的渐近线为y ＝±b a x ，不妨取y ＝b a x ，代入抛物线得b ax ＝x 2＋2，即x 2－b ax＋2＝0，则Δ＝b 2a 2－8＝0，即b 2＝8a 2，又b 2＝c 2－a 2＝8a 2，所以c 2＝9a 2，故e ＝c a＝3.答案：B 二、填空题7．直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1恒有公共点，则m 的取值范围是________．解析：直线y ＝kx ＋1过定点(0,1)，由题意知⎩⎨⎧m >0，m≠5，m ≥1，∴m ≥1，且m ≠5.答案：m ≥1，且m ≠58．设抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，经过点P (1,4)的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，则|AF →|＋|BF →|＝________.解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知x 1＋x 2＝2，且x 21＝4y 1，x 22＝4y 2，两式相减整理得，y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝12，所以直线AB 的方程为x －2y ＋7＝0.将x ＝2y －7代入x 2＝4y 整理得4y 2－32y ＋49＝0，所以y 1＋y 2＝8，又由抛物线定义得|AF →|＋|BF →|＝y 1＋y 2＋2＝10.答案：109．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e .直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，设|AM |＝e |AB |，则该椭圆的离心率e ＝________.解析：因为点A ，B 分别是直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴、y 轴的交点，所以点A ，B 的坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫－a e ，0，(0，a )．设点M 的坐标是(x 0，y 0)，由|AM |＝e |AB |，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝a e e －，y 0＝ea .(*)因为点M 在椭圆上，所以x 20a 2＋y 20b 2＝1，将(*)式代入，得e －2e 2＋e 2a 2b2＝1，整理得，e 2＋e －1＝0，解得e ＝5－12.答案：5－12三、解答题10．已知椭圆C 1：x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的离心率为32，抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点是椭圆的顶点．(1)求抛物线C 2的方程．(2)过点M (－1,0)的直线l 与抛物线C 2交于E ，F 两点，过E ，F 作抛物线C 2的切线l 1，l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．解：(1)∵椭圆C 1的长半轴长a ＝2，半焦距c ＝4－b 2，由e ＝c a ＝4－b 22＝32得b 2＝1，∴椭圆C 1的上顶点为(0,1)， ∴抛物线C 2的焦点为(0,1)， ∴抛物线C 2的方程为x 2＝4y .(2)由已知可得直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)．由x 2＝4y 得y ＝14x 2，∴y ′＝12x .∴切线l 1，l 2的斜率分别为12x 1，12x 2.当l 1⊥l 2时，12x 1·12x 2＝－1，即x 1x 2＝－4.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋x 2＝4y 得x 2－4kx －4k ＝0，∴Δ＝(4k )2－4×(－4k )>0，解得k <－1或k >0.①且x 1x 2＝－4k ＝－4，得k ＝1，满足①式． ∴直线l 的方程为x －y ＋1＝0.11．已知圆C ：(x ＋3)2＋y 2＝16，点A (3，0)，Q 是圆上一动点，AQ 的垂直平分线交CQ 于点M ，设点M 的轨迹为E .(1)求轨迹E 的方程；(2)过点P (1,0)的直线l 交轨迹E 于两个不同的点A ，B ，△AOB (O 是坐标原点)的面积S ＝45，求直线AB 的方程．解：(1)由题意|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝4>23，所以轨迹E 是以A ，C 为焦点，长轴长为4的椭圆，即轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意，直线AB 的斜率不可能为0，而直线x ＝1也不满足条件，故可设AB 的方程为x ＝my ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，x ＝my ＋1，消去x 得(4＋m 2)y 2＋2my －3＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2m4＋m 2，y 1·y 2＝－34＋m2.S ＝12|OP ||y 1－y 2|＝12y 1＋y 22－4y 1y 2＝2m 2＋3m 2＋4.由S ＝45，解得m 2＝1，即m ＝±1.故直线AB 的方程为x ＝±y ＋1，即x ＋y －1＝0或x －y －1＝0为所求．1．对于直线l ：y ＝k (x ＋1)与抛物线C ：y 2＝4x ，k ＝±1是直线l 与抛物线C 有唯一交点的____________条件．( )A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要解析：联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋，y 2＝4x ，消去y 并整理得，k 2x 2＋2(k 2－2)x ＋k 2＝0.当k ＝0时，上式变为－4x ＝0，解得x ＝0，l 与C 有唯一交点，当k ≠0时，Δ＝4(k 2－2)2－4k 4＝0，解得k ＝±1.故k ＝±1是直线l 与抛物线C 有唯一交点的充分不必要条件．答案：A2．已知椭圆x 225＋y 216＝1的焦点是F 1，F 2，如果椭圆上一点P 满足PF 1⊥PF 2，则下面结论正确的是( )A ．P 点有两个B ．P 点有四个C ．P 点不一定存在D ．P 点一定不存在解析：设椭圆的基本量为a ，b ，c ，则a ＝5，b ＝4，c ＝3.以F 1F 2为直径构造圆，可知圆的半径r ＝c ＝3<4＝b ，即圆与椭圆不可能有交点，所以P 点一定不存在．答案：D3．双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，l 1，l 2为其渐近线，F 为右焦点，过F 作l∥l 2且l 交双曲线C 于R ，交l 1于M ，若FR →＝λFM →，且λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23，则双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(1，2]B ．(2，3)C ．(3，5)D ．(5，＋∞)解析：由题意得令l 1：y ＝－b a x ，l 2：y ＝b ax ，l ：y ＝ba(x －c )，由l 交双曲线C 于R ，令⎩⎪⎨⎪⎧y ＝bax －c ，x 2a 2－y2b 2＝1，解此方程组得R ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 22c，b a ×a 2－c 22c ，故有FR →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－c 22c ，b a ×a 2－c 22c ，由l 交l 1于M ，令⎩⎪⎨⎪⎧y ＝bax －c ，y ＝－ba x ，解此方程组得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，－bc 2a ，故有FM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 2，－bc 2a ，由FR →＝λFM →，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－c 22c ，b a ×a 2－c 22c ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 2，－bc 2a ，所以a 2－c 22c ＝－λc 2，整理得a 2＝(1－λ)c 2，即e 2＝11－λ，又λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23，所以e 2∈(2,3)，即e ∈(2，3)．答案：B4．(xx·福建卷)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1：y ＝2x ，l 2：y ＝－2x .(1)求双曲线E 的离心率；(2)如图，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l 1，l 2于A ，B 两点(A ，B 分别在第一、四象限)，且△OAB 的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由．解：(1)因为双曲线E 的渐近线分别为y ＝2x ，y ＝－2x ，所以b a ＝2，所以c 2－a 2a＝2，故c ＝5a ，从而双曲线E 的离心率e ＝ca＝ 5.(2)由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a2＝1.设直线l 与x 轴相交于点C .当l ⊥x 轴时，若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点，则|OC |＝a ，|AB |＝4a ，又因为△OAB 的面积为8，所以12|OC |·|AB |＝8，因此12a ·4a ＝8，解得a ＝2，此时双曲线E 的方程为x 24－y 216＝1.故存在满足条件的双曲线E ，则E 的方程只能为x 24－y 216＝1.以下证明：当直线l 不与x 轴垂直时，双曲线E ：x 24－y 216＝1也满足条件．设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，依题意，得k >2或k <－2，则C ⎝⎛⎭⎪⎫－mk，0.记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y ＝2x 得y 1＝2m 2－k ，同理得y 2＝2m2＋k，由S △OAB ＝12|OC |·|y 1－y 2|得，12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－m k ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m 2－k －2m 2＋k ＝8，即m 2＝4|4－k 2|＝4(k 2－4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24－y216＝1得，(4－k 2)x 2－2kmx －m 2－16＝0.因为4－k 2<0，所以Δ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2＋16)＝－16(4k 2－m 2－16)，又因为m 2＝4(k 2－4)，所以Δ＝0，即l 与双曲线E 有且只有一个公共点．因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.2019-2020年高考数学大一轮复习第八章平面解析几何课时作业62理新人教A 版1．已知椭圆C 过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，62，点F (－2，0)是椭圆的左焦点，点P ，Q 是椭圆C 上的两个动点，且|PF |，|MF |，|QF |成等差数列．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A .解：(1)设椭圆C的方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋64b2＝1，a 2－b 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝2，∴椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)证明：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1，可知|PF |＝x 1＋22＋y 21＝x 1＋22＋2－x 212＝2＋22x 1，同理|QF |＝2＋22x 2， |MF |＝1＋22＋⎝⎛⎭⎪⎫622＝2＋22， ∵2|MF |＝|PF |＋|QF |， ∴2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22＝4＋22(x 1＋x 2)，∴x 1＋x 2＝2. (ⅰ)当x 1≠x 2时，由⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4.得x 21－x 22＋2(y 21－y 22)＝0， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－12·x 1＋x 2y 1＋y 2. 设线段PQ 的中点为N (1，n )，由k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12n，得线段PQ 的中垂线方程为y －n ＝2n (x －1)，∴(2x －1)n －y ＝0，该直线恒过一定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0. (ⅱ)当x 1＝x 2时，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－62，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，62或P ⎝⎛⎭⎪⎫1，62，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－62，线段PQ 的中垂线是x 轴，也过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.综上，线段PQ 的中垂线过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0. 2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且过点(2，2)．(1)求椭圆的标准方程；(2)四边形ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线AC ，BD 过原点O ，若k AC ·k BD ＝－b 2a2.求证：四边形ABCD 的面积为定值．解：(1)由题意e ＝ca ＝22，4a 2＋2b2＝1，又a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝8，b 2＝4，故椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋2y 2＝8.得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0，Δ＝(4km )2－4(1＋2k 2)(2m 2－8)＝8(8k 2－m 2＋4)>0，①由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－4km1＋2k2，x 1x 2＝2m 2－81＋2k 2.∵k AC ·k BD ＝－b 2a 2＝－12，∴y 1y 2x 1x 2＝－12，∴y 1y 2＝－12x 1x 2＝－12·2m 2－81＋2k 2＝－m 2－41＋2k 2.又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝k 22m 2－81＋2k 2＋km －4km 1＋2k 2＋m 2＝m 2－8k 21＋2k2，∴－m 2－41＋2k 2＝m 2－8k 21＋2k2，∴－(m 2－4)＝m 2－8k 2，∴4k 2＋2＝m 2.设原点到直线AB 的距离为d ，则S △AOB ＝12|AB |·d ＝121＋k 2·|x 2－x 1|·|m |1＋k2 ＝|m |2x 1＋x 22－4x 1x 2＝|m |2⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋2k 22－4×2m 2－81＋2k 2＝|m |28m2＋2k22＝22，∴S 四边形ABCD ＝4S △AOB ＝82，即四边形ABCD 的面积为定值．3．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到两点(－3，0)，(3，0)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为曲线C ，直线l 过点E (－1，0)且与曲线C 交于A ，B 两点．(1)求曲线C 的轨迹方程；(2)△AOB 的面积是否存在最大值，若存在，求出△AOB 的面积的最大值；若不存在，说明理由．解：(1)由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(－3，0)，(3，0)为焦点，长半轴长为2的椭圆．故曲线C 的轨迹方程为x 24＋y 2＝1.(2)△AOB 的面积存在最大值．因为直线l 过点E (－1,0)，所以可设直线l 的方程为x ＝my －1或y ＝0(舍)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，x ＝my －1. 整理得(m 2＋4)y 2－2my －3＝0，Δ＝(2m )2＋12(m 2＋4)>0.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其中y 1>y 2. 解得y 1＝m ＋2m 2＋3m 2＋4，y 2＝m －2m 2＋3m 2＋4. 则|y 2－y 1|＝4m 2＋3m 2＋4. 因为S △AOB ＝12|OE |·|y 1－y 2|＝2m 2＋3m 2＋4＝2m 2＋3＋1m 2＋3. 设t ＝m 2＋3，t ≥3，g (t )＝t ＋1t ，则g ′(t )＝1－1t 2，故当t ≥3时，g ′(t )>0恒成立，则g (t )在区间[3，＋∞)上为增函数，所以g (t )≥g (3)＝433. 所以S △AOB ≤32，当且仅当m ＝0时取等号．所以S △AOB 的最大值为32.1．(xx·新课标全国卷Ⅰ)已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点． (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．解：(1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3. 又ca ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1得 (1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1. 从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1. 又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1.所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1. 设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t. 因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0. 所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2. 2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点M (6，1)，离心率为22. (1)求椭圆的标准方程．(2)已知点P (6，0)，若A ，B 为已知椭圆上两动点，且满足PA →·PB →＝－2，试问直线AB是否恒过定点？若恒过定点，请给出证明，并求出该定点的坐标；若不过，请说明理由．解：(1)由题意得c a ＝22，① 因为椭圆经过点M (6，1)，所以6a 2＋1b2＝1.② 又a 2＝b 2＋c 2，③由①②③，解得a 2＝8，b 2＝c 2＝4.所以椭圆方程为x 28＋y 24＝1. (2)①当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线的方程为y ＝kx ＋m ，代入x 28＋y 24＝1，消去y 整理得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0.由Δ>0，得8k 2＋4－m 2>0，(*)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－82k 2＋1. 所以PA →·PB →＝(x 1－6)(x 2－6)＋y 1y 2＝(x 1－6)(x 2－6)＋(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝(k 2＋1)x 1x 2＋(km －6)(x 1＋x 2)＋6＋m 2＝－2，得(k 2＋1)x 1x 2＋(km －6)(x 1＋x 2)＋8＋m 2＝0，(k 2＋1)·2m 2－82k 2＋1＋(km －6)·－4km 2k 2＋1＋8＋m 2＝0，整理得(3m ＋22k )2＝0，从而m ＝－263k ，且满足(*)，所以直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －263，故直线AB 经过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫263，0. ②当直线AB 与x 轴垂直时，若直线为x ＝263，此时点A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫263，263，⎝ ⎛⎭⎪⎫263，－263，亦有PA →·PB →＝－2. 综上，直线AB 经过定点⎝⎛⎭⎪⎫263，0.。

2020高考数学理科大一轮复习课时作业：第八章平面解析几何课时作业50

课时作业50 圆的方程一、选择题1．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程是( A )A ．(x ＋1)2＋y 2＝2B ．(x ＋1)2＋y 2＝8C ．(x －1)2＋y 2＝2D ．(x －1)2＋y 2＝8解析：直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为(－1,0)．根据题意，圆C 的圆心坐标为(－1,0)．因为圆与直线x ＋y ＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r ＝d ＝|－1＋0＋3|12＋12＝2，则圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.故选A.2．(2019·河北邯郸联考)以(a,1)为圆心，且与两条直线2x －y ＋4＝0与2x －y －6＝0同时相切的圆的标准方程为( A )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝5B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝5C ．(x －1)2＋y 2＝5D ．x 2＋(y －1)2＝5解析：因为两平行直线2x －y ＋4＝0与2x －y －6＝0的距离为d ＝|－6－4|5＝2 5.故所求圆的半径为r ＝5，所以圆心(a,1)到直线2x－y＋4＝0的距离为5＝|2a＋3|5，即a＝1或a＝－4.又因为圆心(a,1)到直线2x－y－6＝0的距离也为r＝5，所以a＝1.因此所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝5.故选A.3．已知直线l：x＋my＋4＝0，若曲线x2＋y2＋6x－2y＋1＝0上存在两点P，Q关于直线l对称，则m的值为(D)A．2 B．－2C．1 D．－1解析：因为曲线x2＋y2＋6x－2y＋1＝0表示的是圆，其标准方程为(x＋3)2＋(y－1)2＝9，若圆(x＋3)2＋(y－1)2＝9上存在两点P，Q关于直线l对称，则直线l：x＋my＋4＝0过圆心(－3,1)，所以－3＋m ＋4＝0，解得m＝－1.4．(2019·贵阳市监测考试)经过三点A(－1,0)，B(3,0)，C(1,2)的圆与y轴交于M，N两点，则|MN|＝(A)A．2 3 B．2 2C．3 D．4解析：根据A，B两点的坐标特征可知圆心在直线x＝1上，设圆心为P(1，m)，则半径r＝|m－2|，所以(m－2)2＝22＋m2，解得m ＝0，所以圆心为P(1,0)，所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝4，当x＝0时，y＝±3，所以|MN|＝2 3.5．(2019·西安八校联考)若过点A(3,0)的直线l与曲线(x－1)2＋y2＝1有公共点，则直线l斜率的取值范围为(D)A ．(－3，3)B ．[－3，3]C ．(－33，33)D ．[－33，33]解析：解法1：数形结合可知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －3)，则圆心(1,0)到直线y ＝k (x －3)的距离应小于等于半径1，即|2k |1＋k 2≤1，解得－33≤k ≤33，故选D. 解法2：数形结合可知，直线l 的斜率存在，设为k ，当k ＝1时，直线l 的方程为x －y －3＝0，圆心(1,0)到直线l 的距离为|1－0－3|12＋(－1)2＝2>1，直线与圆相离，故排除A ，B ；当k ＝33时，直线l 的方程为x －3y －3＝0，圆心(1,0)到直线l 的距离为|1－3×0－3|12＋(－3)2＝1，直线与圆相切，排除C ，故选D.6．(2019·河南豫西五校联考)在平面直角坐标系xOy 中，以点(0,1)为圆心且与直线x －by ＋2b ＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为( B )A ．x 2＋(y －1)2＝4B ．x 2＋(y －1)2＝2C ．x 2＋(y －1)2＝8D ．x 2＋(y －1)2＝16解析：直线x －by ＋2b ＋1＝0过定点P (－1,2)，如图．∴圆与直线x －by ＋2b ＋1＝0相切于点P 时，圆的半径最大，为2，此时圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝2，故选B.二、填空题7．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.解析：因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a >0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a 5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.8．(2019·贵阳市摸底考试)过点M (2,2)的直线l 与坐标轴的正方向分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB 的面积为8，则△OAB 外接圆的标准方程是(x －2)2＋(y －2)2＝8. 解析：设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)，由直线l 过点M (2,2)，得2a ＋2b ＝1.又S △OAB ＝12ab ＝8，所以a ＝4，b ＝4，所以△OAB 是等腰直角三角形，且M 是斜边AB 的中点，则△OAB 外接圆的圆心是点M (2,2)，半径|OM |＝22，所以△OAB 外接圆的标准方程是(x －2)2＋(y －2)2＝8.9．(2019·湖南湘东五校联考)圆心在抛物线y ＝12x 2(x <0)上，且和该抛物线的准线及y 轴都相切的圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －12)2＝1. 解析：依题意设圆的方程为(x －a )2＋(y －12a 2)2＝r 2(a <0)，又该圆与抛物线的准线及y 轴均相切，所以12＋12a 2＝r ＝－a ⇒⎩⎨⎧a ＝－1，r ＝1.故所求圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －12)2＝1.三、解答题10．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程；(2)求圆P 的方程．解：(1)由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为(1,2)．则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0. ①又∵直径|CD |＝410，∴|P A |＝210，∴(a ＋1)2＋b 2＝40. ② 由①②解得⎩⎨⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩⎨⎧ a ＝5，b ＝－2.∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)．∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.11．(2019·山西长治六校联考)已知圆C 经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫74，174，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－318，338，直线x ＝0平分圆C ，直线l 与圆C 相切，与圆C 1：x 2＋y 2＝1相交于P ，Q 两点，且满足OP ⊥OQ .(1)求圆C 的方程；(2)求直线l 的方程．解：(1)依题意知圆心C 在y 轴上，可设圆心C 的坐标为(0，b )，圆C 的方程为x 2＋(y －b )2＝r 2(r >0)．因为圆C 经过A ，B 两点，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫742＋⎝ ⎛⎭⎪⎫174－b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3182＋⎝ ⎛⎭⎪⎫338－b 2，即716＋28916－172b ＋b 2＝3164＋1 08964－334b ＋b 2，解得b ＝4.又易知r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫742＋⎝ ⎛⎭⎪⎫174－42＝12，所以圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝12.(2)当直线l 的斜率不存在时，由l 与C 相切得l 的方程为x ＝±22，此时直线l 与C 1交于P ，Q 两点，不妨设P 点在Q 点的上方，则P 22，22，Q 22，－22或P －22，22，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，则OP →·OQ →＝0，所以OP ⊥OQ ，满足题意．当直线l的斜率存在时，易知其斜率不为0，设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)，∵OP⊥OQ且C1的半径为1，∴O到l的距离为2 2，又l与圆C相切，∴⎩⎪⎨⎪⎧|m|1＋k2＝22，①|m－4|1＋k2＝22，②由①②知|m|＝|m－4|，∴m＝2，代入①得k＝±7，∴l的方程为y＝±7x＋2.综上，l的方程为x＝±22或y＝±7x＋2.12．(2019·江西新余五校联考)已知圆O：x2＋y2＝9，过点C(2,1)的直线l与圆O交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，直线l的方程为(D)A．x－y－3＝0或7x－y－15＝0B．x＋y＋3＝0或7x＋y－15＝0C．x＋y－3＝0或7x－y＋15＝0D．x＋y－3＝0或7x＋y－15＝0解析：当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，则P ，Q 的坐标为(2，5)，(2，－5)，所以S △OPQ ＝12×2×25＝2 5.当直线l的斜率存在时，设l 的方程为y －1＝k (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫k ≠12，则圆心到直线PQ 的距离d ＝|1－2k |1＋k 2，由平面几何知识得|PQ |＝29－d 2，S △OPQ ＝12·|PQ |·d ＝12·29－d 2·d ＝(9－d 2)d 2≤ ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫9－d 2＋d 222＝92，当且仅当9－d 2＝d 2，即d 2＝92时，S △OPQ 取得最大值92.因为25<92，所以S △OPQ 的最大值为92，此时4k 2－4k ＋1k 2＋1＝92，解得k ＝－1或k ＝－7，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0.故选D.13．(2019·南宁、柳州联考)过点(2，0)作直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于－33.解析：令P (2，0)，如图，易知|OA |＝|OB |＝1，所以S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB ≤12，当∠AOB ＝90°时，△AOB 的面积取得最大值，此时过点O 作OH ⊥AB 于点H ，则|OH |＝22，于是sin∠OPH＝|OH| |OP|＝222＝12，易知∠OPH为锐角，所以∠OPH＝30°，则直线AB的倾斜角为150°，故直线AB的斜率为tan150°＝－33.14．如图，在等腰△ABC中，已知|AB|＝|AC|，B(－1,0)，AC边的中点为D(2,0)，则点C的轨迹所包围的图形的面积为4π.解析：解法1：设C坐标为(x，y)，则A坐标为(4－x，－y)，∵|AB|＝|AC|，∴(5－x)2＋y2＝(4－2x)2＋4y2，整理得(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，所以C的轨迹包围的图形面积为4π.解法2：由已知|AB|＝2|AD|，设点A(x，y)，则(x＋1)2＋y2＝4[(x －2)2＋y2]，所以点A的轨迹方程为(x－3)2＋y2＝4(y≠0)，设C(x′，y′)，由AC边的中点为D(2,0)知A(4－x′，－y′)，所以C的轨迹方程为(4－x′－3)2＋(－y′)2＝4，即(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，所以点C 的轨迹所包围的图形面积为4π.尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．(2019·福州高三考试)抛物线C ：y ＝2x 2－4x ＋a 与两坐标轴有三个交点，其中与y 轴的交点为P .(1)若点Q (x ，y )(1<x <4)在C 上，求直线PQ 斜率的取值范围；(2)证明：经过这三个交点的圆E 过定点．解：(1)由题意得P (0，a )(a ≠0)，Q (x,2x 2－4x ＋a )(1<x <4)，故k PQ ＝2x 2－4x ＋a －a x＝2x －4，因为1<x <4，所以－2<k PQ <4，所以直线PQ 的斜率的取值范围为(－2，4)．(2)证明：P (0，a )(a ≠0)．令2x 2－4x ＋a ＝0，则Δ＝16－8a >0，a <2，且a ≠0，解得x ＝1±4－2a 2，故抛物线C 与x 轴交于A (1－4－2a 2，0)，B (1＋4－2a 2，0)两点．故可设圆E 的圆心为M (1，t )，由|MP |2＝|MA |2，得12＋(t －a )2＝(4－2a 2)2＋t 2，解得t ＝a 2＋14，则圆E 的半径r ＝|MP |＝1＋(14－a 2)2.所以圆E 的方程为(x －1)2＋(y －a 2－14)2＝1＋(14－a 2)2，所以圆E 的一般方程为x 2＋y 2－2x －(a ＋12)y ＋a 2＝0，即x 2＋y 2－2x －12y ＋a (12－y )＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －12y ＝0，12－y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝12，故圆E 过定点(0，12)，(2，12)．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。

2019版高考数学(理)一轮复习全国经典版：第8章平面解析几何 8-8

13
板块一
板块二
板块三
板块四
高考一轮总复习 ·数学[理] （经典版）
两边平方并化简，得曲线方程 x2＋y2＋2x－3＝0，将方程配方，得(x＋1)2＋y2＝4. 所以所求曲线是圆心为 C(－1,0)，半径为 2 的圆．
14
板块一
板块二
板块三
板块四
高考一轮总复习 ·数学[理] （经典版）
板块二典例探究· 考向突破
15
板块一
板块二
板块三
板块四
高考一轮总复习 ·数学[理] （经典版）
考向例 1
定义法求轨迹方程
[2018· 大庆模拟]已知圆 C1： (x＋3)2＋y2＝1 和圆
C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切，求动圆圆心 M 的轨迹方程．
16
板块一
板块二
板块三
板块四
高考一轮总复习 ·数学[理] （经典版）
第8章
平面解析几何
第 8讲曲线与方程
1
板块一
板块二
板块三
板块四
高考一轮总复习 ·数学[理] （经典版）
2
板块一
板块二
板块三
板块四
高考一轮总复习 ·数学[理] （经典版）
板块一知识梳理· 自主学习
3
板块一
板块二
板块三
板块四
高考一轮总复习 ·数学[理] （经典版）
[考点自测] 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) (1)f(x0，y0)＝0 是点 P(x0，y0)在曲线 f(x，y)＝0 上的充要条件．( √ ) (2)方程 x2＋xy＝x 的曲线是一个点和一条直线．( × ) (3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是 x2＝y2.( × )

高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.1直线的倾斜角与斜率、直线的方程课时提升作业理

⾼考数学⼀轮复习第⼋章平⾯解析⼏何8.1直线的倾斜⾓与斜率、直线的⽅程课时提升作业理直线的倾斜⾓与斜率、直线的⽅程(25分钟50分)⼀、选择题(每⼩题5分,共35分)1.直线x+y+1=0的倾斜⾓是( )A. B. C. D.【解析】选D.由直线的⽅程得直线的斜率为k=-,设倾斜⾓为α,则tanα=-,⼜α∈[0,π),所以α=.2.设直线ax+by+c=0的倾斜⾓为α,且sinα+cosα=0,则a,b满⾜( )A.a+b=1B.a-b=1C.a+b=0D.a-b=0【解析】选D.由题意得sinα=-cosα,显然cosα≠0,则tanα=-1,所以-=-1,a=b,a-b=0.3.下列命题中,正确的是( )A.直线的斜率为tanα,则直线的倾斜⾓是αB.直线的倾斜⾓为α,则直线的斜率为tanαC.直线的倾斜⾓越⼤,则直线的斜率就越⼤D.直线的倾斜⾓α∈∪时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增【解析】选D.因为直线的斜率k=tanα,且α∈∪时,α才是直线的倾斜⾓,所以A不对; 因为任⼀直线的倾斜⾓α∈[0,π),⽽当α=时,直线的斜率不存在,所以B不对;当α∈时,斜率⼤于0;当α∈时,斜率⼩于0,C不对.4.倾斜⾓为120°,在x轴上的截距为-1的直线的⽅程是( )A.x-y+1=0B.x-y-=0C.x+y-=0D.x+y+=0【解析】选 D.由于倾斜⾓为120°,故斜率k=-.⼜直线过点(-1,0),所以⽅程为y=-(x+1),即x+y+=0.5.已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则实数a的值是( )A.1B.-1C.-2或-1D.-2或1【解析】选D.显然a≠0,由题意得a+2=,解得a=-2或1.6.(2016·西安模拟)点A(1,1)到直线xcosθ+ysinθ-2=0的距离的最⼤值是( )A.2B.2-C.2+D.4【解析】选C.由点到直线的距离公式,得d==2-sin,⼜θ∈R,所以d max=2+.7.已知a,b均为正数,且直线ax+by-6=0与直线2x+(b-3)y+5=0互相平⾏,则2a+3b的最⼩值为( )A.5B.25C.13D.15【解析】选B.因为直线ax+by-6=0与直线2x+(b-3)y+5=0互相平⾏,所以a(b-3)-2b=0,且5a+12≠0,所以3a+2b=ab,即+=1,⼜a,b均为正数,则2a+3b=(2a+3b)=4+9++≥13+2=25.当且仅当a=b=5时上式等号成⽴.⼆、填空题(每⼩题5分,共15分)8.已知直线的倾斜⾓是60°,在y轴上的截距是5,则该直线的⽅程为.【解析】因为直线的倾斜⾓是60°,所以直线的斜率为k=tan60°=.⼜因为直线在y轴上的截距是5,由斜截式得直线的⽅程为y=x+5.即x-y+5=0.答案:x-y+5=0【加固训练】过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x的斜率的-的直线的⽅程为. 【解析】设所求直线的斜率为k,依题意k=-×3=-.⼜直线经过点A(-1,-3),因此所求直线⽅程为y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.答案:3x+4y+15=09.已知A(3,5),B(4,7),C(-1,x)三点共线,则x= .【解析】因为k AB==2,k AC==-.⼜A,B,C三点共线,所以k AB=k AC,即-=2,解得x=-3.答案:-310.(2016·平顶⼭模拟)与直线x+y-1=0垂直的直线的倾斜⾓为.【解析】因为直线x+y-1=0的斜率为k1=-,所以与直线x+y-1=0垂直的直线的斜率为k2=-=.所以它的倾斜⾓为.答案:(20分钟40分)1.(5分)(2016·保定模拟)直线y=tan的倾斜⾓等于( )A. B. C. D.0【解析】选D.因为tan=,所以y=tan即y=,表⽰⼀条与x轴平⾏的直线,因此直线y=tan的倾斜⾓等于0.2.(5分)已知点A(-1,0),B(cosα,sinα),且|AB|=,则直线AB的⽅程为( )A.y=x+或y=-x-B.y=x+或y=-x-C.y=x+1或y=-x-1D.y=x+或y=-x-【解析】选B.|AB|===,所以cosα=,sinα=±,所以k AB=±,即直线AB的⽅程为y=±(x+1),所以直线AB的⽅程为y=x+或y=-x-.【加固训练】已知直线l过点(0,2),且其倾斜⾓的余弦值为,则直线l的⽅程为( )A.3x-4y-8=0B.3x+4y-8=0C.3x+4y+8=0D.3x-4y+8=0【解析】选D.因为cosα=,α∈[0,π),所以sinα=,k=tanα=,所以直线l的⽅程为y-2=x,即3x-4y+8=0.3.(5分)过点(1,3)作直线l,若经过点(a,0)和(0,b),且a∈N*,b∈N*,则可作出的直线l的条数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由题意得+=1?(a-1)(b-3)=3.⼜a∈N*,b∈N*,故有两个解或4.(12分)已知直线l过点P(0,1),且与直线l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0分别交于点A,B(如图).若线段AB被点P平分,求直线l的⽅程.【解析】因为点B在直线l2:2x+y-8=0上,故可设点B的坐标为(a,8-2a).因为点P(0,1)是线段AB的中点,得点A的坐标为(-a,2a-6).⼜因为点A在直线l1:x-3y+10=0上,故将A(-a,2a-6)代⼊直线l1的⽅程,得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4.所以点B的坐标是(4,0).因此,过P(0,1),B(4,0)的直线l的⽅程为+=1,即x+4y-4=0.【加固训练】已知直线l经过A(cosθ,sin2θ)和B(0,1)不同的两点,求直线l倾斜⾓的取值范围.【解析】当cosθ=0时,sin2θ=1-cos2θ=1,此时A,B重合.所以cosθ≠0.所以k==-cosθ∈[-1,0)∪(0,1].因此倾斜⾓的取值范围是∪.5.(13分)已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).(1)证明:直线l过定点.(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围.(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的⾯积为S,求S的最⼩值及此时直线l的⽅程.【解析】(1)⽅法⼀:直线l的⽅程可化为y=k(x+2)+1,故⽆论k取何值,直线l总过定点(-2,1). ⽅法⼆:设直线l过定点(x0,y0),则kx0-y0+1+2k=0对任意k∈R恒成⽴,即(x0+2)k-y0+1=0恒成⽴,所以x0+2=0,-y0+1=0,解得x0=-2,y0=1,故直线l总过定点(-2,1).(2)直线l的⽅程为y=kx+2k+1,则直线l在y轴上的截距为2k+1,要使直线l不经过第四象限,则解得k的取值范围是[0,+∞).(3)依题意,直线l在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为1+2k,所以A,B(0,1+2k).⼜-<0且1+2k>0,所以k>0.故S=|OA||OB|=×(1+2k)=≥(4+4)=4,当且仅当4k=,即k=时,取等号.故S的最⼩值为4,此时直线l的⽅程为x-2y+4=0.。

2020版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第5讲课后作业理含解析

第8章平面解析几何第5讲A 组基础关1．已知椭圆的标准方程为x 2＋y 210＝1，则椭圆的焦点坐标为( )A ．(10，0)，(－10，0)B ．(0，10)，(0，－10)C ．(0,3)，(0，－3)D ．(3,0)，(－3,0)答案 C解析椭圆x 2＋y 210＝1的焦点在y 轴上，a 2＝10，b 2＝1，故c 2＝a 2－b 2＝9，c ＝3.所以椭圆的焦点坐标为(0,3)，(0，－3)．2．(2018·合肥三模)已知椭圆E ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)经过点A (5，0)，B (0,3)，则椭圆E 的离心率为( )A.23 B ．53C ．49D ．59答案 A解析由题意得a ＝3，b ＝5，所以c ＝a 2－b 2＝9－5＝2，离心率e ＝c a ＝23.3．设椭圆x 216＋y 212＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，且满足PF 1→·PF 2→＝9，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A ．8B ．10C ．12D ．15答案 D解析由椭圆方程x 216＋y 212＝1，可得c 2＝4，所以|F 1F 2|＝2c ＝4，而F 1F 2→＝PF 2→－PF 1→，所以|F 1F 2→|＝|PF 2→－PF 1→|，两边同时平方，得|F 1F 2→|2＝|PF 1→|2－2PF 1→·PF 2→＋|PF 2→|2，所以|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2→|2＋2PF 1→·PF 2→＝16＋18＝34，根据椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8，所以34＋2|PF 1||PF 2|＝64，所以|PF 1|·|PF 2|＝15.故选D.4．(2018·武汉调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)及点B (0，a )，过点B 与椭圆相切的直线交x 轴的负半轴于点A ，F 为椭圆的右焦点，则∠ABF ＝( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°答案 B解析由题意知，切线的斜率存在，设切线方程y ＝kx ＋a (k >0)，与椭圆方程联立，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋a ，x 2a 2＋y2b2＝1，消去y 整理得(b 2＋a 2k 2)x 2＋2ka 3x ＋a 4－a 2b 2＝0，由Δ＝(2ka 3)2－4(b 2＋a 2k 2)(a 4－a 2b 2)＝0，得k ＝c a ，从而y ＝c a x ＋a 交x 轴于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2c ，0，又F (c,0)，易知BA →·BF →＝0，故∠ABF ＝90°.5．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.43 B ．53 C ．54 D ．103答案 B解析由题意知椭圆的右焦点F 的坐标为(1,0)，则直线AB 的方程为y ＝2x －2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得交点(0，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43，∴S △OAB ＝12·|OF |·|y A －y B |＝12×1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2－43＝53.故选B.6．(2018·南宁模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4,1)，则椭圆的离心率是( )A.12 B ．22 C ．32D ．55答案 C解析设直线x －y ＋5＝0与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，因为AB 的中点M (－4,1)，所以x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝2.易知直线AB 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝1.⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得，x 1＋x 2x 1－x 2a 2＋y 1＋y 2y 1－y 2b 2＝0，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2，所以b 2a 2＝14，于是椭圆的离心率e ＝ca＝1－b 2a 2＝32.故选C.7．过椭圆x 225＋y 216＝1的中心任意作一条直线交椭圆于P ，Q 两点，F 是椭圆的一个焦点，则△PQF 周长的最小值是( )A ．14B ．16C ．18D ．20答案 C解析如图，设F 1为椭圆的左焦点，右焦点为F 2，根据椭圆的对称性可知|F 1Q |＝|PF 2|，|OP |＝|OQ |，所以△PQF 1的周长为|PF 1|＋|F 1Q |＋|PQ |＝|PF 1|＋|PF 2|＋2|PO |＝2a ＋2|PO |＝10＋2|PO |，易知2|OP |的最小值为椭圆的短轴长，即点P ，Q 为椭圆的上、下顶点时，△PQF 1即△PQF 的周长取得最小值为10＋2×4＝18.8．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过点P (－5,4)，则椭圆的标准方程为________．答案x 245＋y 236＝1 解析由题意设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由离心率e ＝55可得a 2＝5c 2，所以b 2＝4c 2，故椭圆的方程为x 25c 2＋y 24c 2＝1，将P (－5,4)代入可得c 2＝9，故椭圆的方程为x 245＋y 236＝1.9．设P ，Q 分别是圆x 2＋(y －1)2＝3和椭圆x 24＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是________．答案733解析根据已知条件作出如图所示的图形．记圆x 2＋(y －1)2＝3的圆心为M ，由三角形的性质可得|PQ |≤|PM |＋|MQ |＝3＋|MQ |，设点Q 坐标为(x ，y )，那么x 24＋y 2＝1，所以|QM |2＝x 2＋(y －1)2＝4(1－y 2)＋(y －1)2＝－3y 2－2y ＋5，y ∈[－1,1]，因此|QM |2≤163，即|QM |≤433，所以|PQ |≤433＋3＝733，所以P ，Q 两点间的最大距离为733. 10．(2018·厦门模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，且PF 2垂直于x 轴，若直线PF 1的斜率为33，则该椭圆的离心率为________．答案33解析因为点P 在椭圆上，且PF 2垂直于x 轴，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a . 又因为直线PF 1的斜率为33，所以在Rt △PF 1F 2中， PF 2F 1F 2＝33，即b 2a 2c ＝33.所以3b 2＝2ac . 3(a 2－c 2)＝2ac ，3(1－e 2)＝2e ，整理得3e 2＋2e －3＝0，又0<e <1，解得e ＝33. B 组能力关1．如果椭圆x 236＋y 29＝1的弦AB 被点M (x 0，y 0)平分，设直线AB 的斜率为k 1，直线OM (O 为坐标原点)的斜率为k 2，则k 1k 2的值为( )A ．4B ．14C ．－1D ．－14答案 D解析解法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为弦AB 被点M (x 0，y 0)平分，所以x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0.易知k 1＝y 1－y 2x 1－x 2，k 2＝y 0x 0. ⎩⎪⎨⎪⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y 229＝1，两式相减得，x 1＋x 2x 1－x 236＋y 1＋y 2y 1－y 29＝0，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－14·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－14·x 0y 0， ∴k 1k 2＝－14.解法二：设直线AB 的方程为y ＝k 1x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．代入椭圆方程并整理得，(1＋4k 21)x 2＋8k 1mx ＋4m 2－36＝0，x 1＋x 2＝－8k 1m 1＋4k 21，又中点M (x 0，y 0)在直线AB 上，所以y 1＋y 22＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k 21，从而得弦中点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 1m 1＋4k 21，m 1＋4k 21，∴k 2＝m1＋4k 21－4k 1m 1＋4k 21＝－14k 1，∴k 1k 2＝－14. 2．(2018·昆明诊断)椭圆x 29＋y 225＝1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，当m 取最大值时，点P 的坐标是________．答案 (－3,0)或(3,0)解析记椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10. 则m ＝|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝25，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝5，即点P 位于椭圆的短轴的顶点处时，m 取得最大值25.∴点P 的坐标为(－3,0)或(3,0)．3．(2018·内江三模)设P 是椭圆x 29＋y 24＝1第一象限弧上任意一点，过P 作x 轴的平行线与y轴和直线y ＝－23x 分别交于点M ，N .过P 作y 轴的平行线与x 轴和直线y ＝－23x 分别交于点R ，Q ，设O 为坐标原点，则△OMN 和△ORQ 的面积之和为________．答案 3解析设P (x 0，y 0)(0<x 0<3,0<y 0<2)，则M (0，y 0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 0，y ＝－23x ，解得y ＝y 0，x ＝－32y 0，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32y 0，y 0，所以S △OMN ＝12y 0×32y 0＝34y 20.同理可得R (x 0,0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0，y ＝－23x ，解得x ＝x 0，y ＝－23x 0，可得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，－23x 0.所以S △ORQ ＝12x 0×23x 0＝13x 20.又x 209＋y 204＝1，所以△OMN 和△ORQ 的面积之和为34y 20＋13x 20＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 209＋y 204＝3. 4．在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0，－3)，(0，3)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C .(1)写出C 的方程；(2)设直线y ＝kx ＋1与C 交于A ，B 两点，k 为何值时O A →⊥O B →？此时|AB |的值是多少？解 (1)设P (x ，y )，由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0，－3)，(0，3)为焦点，长半轴长为2的椭圆．它的短半轴长b ＝ 22－32＝1，故曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1，消去y ，并整理得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0，故x 1＋x 2＝－2k k 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4. ∵OA →⊥OB →，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0. ∵y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1，于是x 1x 2＋y 1y 2＝－3k 2＋4－3k 2k 2＋4－2k 2k 2＋4＋1＝－4k 2＋1k 2＋4.又x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴k ＝±12.当k ＝±12时，x 1＋x 2＝∓417，x 1x 2＝－1217.|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝1＋k 2x 2－x 12，而(x 2－x 1)2＝(x 2＋x 1)2－4x 1x 2 ＝42172＋4×1217＝43×13172， ∴|AB |＝54×43×13172＝46517. C 组素养关1．(2018·东北三省四市教研联合体模拟)在平面直角坐标系中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为12，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)已知P (－2,0)与Q (2,0)为平面内的两个定点，过(1,0)点的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求四边形APBQ 面积的最大值．解 (1)∵c a ＝12，∴a ＝2c ，椭圆的方程为x 24c 2＋y 23c2＝1，将⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32代入得14c 2＋912c 2＝1，∴c 2＝1.∵椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. (2)设l 的方程为x ＝my ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，x ＝my ＋1，消去x ，得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，有y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，有|AB |＝1＋m 2·121＋m 23m 2＋4＝121＋m23m 2＋4，点P (－2,0)到直线l 的距离为31＋m2，点Q (2,0)到直线l 的距离为11＋m2，从而四边形APBQ 的面积S ＝12×121＋m23m 2＋4×41＋m2＝241＋m 23m 2＋4(或S ＝12|PQ ||y 1－y 2|)．令t ＝1＋m 2，t ≥1，有S ＝24t 3t 2＋1＝243t ＋1t，设函数f (t )＝3t ＋1t ，f ′(t )＝3－1t2>0，所以f (t )在[1，＋∞)上单调递增，有3t ＋1t ≥4，故S ＝24t 3t 2＋1＝243t ＋1t≤6，所以当t ＝1，即m ＝0时，四边形APBQ 面积的最大值为6.2．(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点．线段AB 的中点为M (1，m )(m >0)．(1)证明：k <－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋FA →＋FB →＝0.证明：|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，并求该数列的公差．解 (1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1.两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0. 由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m.①由题设得m < ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14×3＝32，且m >0，即0<m <32，故k <－12.(2)由题意得F (1,0)．设P (x 3，y 3)，则由(1)及题设得(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0,0)，x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m <0.又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，|FP →|＝32. 于是|FA →|＝x 1－12＋y 21＝ x 1－12＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＝2－x 12.同理| FB →|＝2－x 22. 所以| FA →|＋|FB →|＝4－12(x 1＋x 2)＝3.故2|FP →|＝|FA →|＋|FB →|，即|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列．设该数列的公差为d ，则 2|d |＝||FB →|－|FA →||＝12|x 1－x 2|＝12x 1＋x 22－4x 1x 2. ②将m ＝34代入①得k ＝－1.所以l 的方程为y ＝－x ＋74，代入C 的方程，并整理得7x 2－14x ＋14＝0.故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝128，代入②解得|d |＝32128.所以该数列的公差为32128或－32128.。

浙江专版2019版高考数学一轮复习学案：第八章平面解析

第八章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)． 2．斜率公式(1)直线l 的倾斜角为α(α≠π2)，则斜率k ＝tan_α.(2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 3．直线方程的五种形式4．线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．[小题体验]1．若过点M (－1，m )，N (m ＋1,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( )A ．1 B.12 C ．2D.13解析：选A 由4－mm ＋2＝1，得m ＝1.故选A.2．直线3x －3y ＋1＝0的倾斜角α为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．135°解析：选B 直线方程可变形为y ＝3x ＋33，tan α＝3， ∵0°≤α<180°，∴α＝60°.故选B.3．(2018²嘉兴检测)直线l 1：x ＋y ＋2＝0在x 轴上的截距为________；若将l 1绕它与y 轴的交点顺时针旋转90°，则所得到的直线l 2的方程为________________．解析：对于直线l 1：x ＋y ＋2＝0，令y ＝0，得x ＝－2，即直线l 1在x 轴上的截距为－2；令x ＝0，得y ＝－2，即l 1与y 轴的交点为(0，－2)，直线l 1的倾斜角为135°，∴直线l 2的倾斜角为135°－90°＝45°，∴l 2的斜率为1，故l 2的方程为y ＝x －2，即x －y －2＝0.答案：－2 x －y －2＝01．点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x 轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x ，y 轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．2．截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．3．求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．[小题纠偏]1．过点(5,2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距2倍的直线方程是( ) A ．2x ＋y －12＝0B ．2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0C ．x －2y －1＝0D ．x －2y －1＝0或2x －5y ＝0解析：选B 当直线过原点时所求方程为2x －5y ＝0；当直线不过原点时，可设其截距式为x a ＋y 2a ＝1，由该直线过点(5,2)，解得a ＝6，对应方程为x 6＋y12＝1，即2x ＋y －12＝0，故选B.2．过点(5,10)，且到原点的距离为5的直线方程是________．解析：当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0满足题意；当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)，即kx －y ＋10－5k ＝0.由距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34. 故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0. 答案：x －5＝0或3x －4y ＋25＝0考点一直线的倾斜角与斜率基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．设直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a ，b 满足( ) A ．a ＋b ＝1 B ．a －b ＝1 C ．a ＋b ＝0D ．a －b ＝0解析：选D 由题意得sin α＝－cos α，显然cos α≠0，则tan α＝－1，∴－ab＝－1，a ＝b ，a －b ＝0.2．经过P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A (1，－2)，B (2,1)的线段总有公共点，则直线l 的斜率k 和倾斜角α的取值范围分别为________，________.解析：如图所示，结合图形，若l 与线段AB 总有公共点，则k PA ≤k ≤k PB ，而k PB >0，k PA <0，故k <0时，倾斜角α为钝角，k ＝0时，α＝0，k >0时，α为锐角．又k PA ＝－2－－11－0＝－1，k PB ＝1－－12－0＝1，∴－1≤k ≤1.又当0≤k ≤1时，0≤α≤π4；当－1≤k <0时，3π4≤α<π.故倾斜角α的取值范围为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.答案：[－1,1] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π3．若A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)三点共线，求1a ＋1b的值．解：∵k AB ＝0－2a －2＝－2a －2，k AC ＝b －20－2＝－b －22，且A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC ，即－2a －2＝－b －22，整理得ab ＝2(a ＋b )，将该等式两边同除以2ab 得1a ＋1b ＝12. [谨记通法]1．倾斜角与斜率的关系当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2且由0增大到π2⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2时，k 的值由0增大到＋∞.当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，k 也是关于α的单调函数，当α在此区间内由π2⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2增大到π(α≠π)时，k 的值由－∞趋近于0(k ≠0)．2．斜率的3种求法(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率．(2)公式法：若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率．(3)方程法：若已知直线的方程为Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)，则l 的斜率k ＝－A B. 考点二直线的方程重点保分型考点——师生共研[典例引领]求适合下列条件的直线方程：(1)经过点(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点(－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍； (3)经过点(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．解：(1)设直线方程在x ，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0，即直线方程过点(0,0)和(4,1)， ∴直线方程为y ＝14x ，即x －4y ＝0；若a ≠0，则设直线方程为x a ＋y a＝1， ∵直线方程过点(4,1)，∴4a ＋1a＝1，解得a ＝5，∴直线方程为x ＋y －5＝0.综上可知，所求直线的方程为x －4y ＝0或x ＋y －5＝0.(2)由已知，设直线y ＝3x 的倾斜角为α ，则所求直线的倾斜角为2α. ∵tan α＝3，∴tan 2α＝2tan α1－tan α＝－34. 又直线经过点(－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3,4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)．即所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.[由题悟法]求直线方程的2个注意点(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．[即时应用]求倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的14，且分别满足下列条件的直线方程：(1)经过点(3，－1)； (2)在y 轴上的截距是－5.解：∵直线y ＝－3x ＋1的倾斜角α＝120°. ∴所求直线的倾斜角为30°，即斜率k ＝33. (1)所求直线方程为y ＋1＝33(x －3)，即3x －3y －6＝0. (2)所求直线方程为y ＝33x －5，即3x －3y －15＝0.考点三直线方程的综合应用题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]直线方程的综合应用是常考内容之一，它常与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多为客观题．常见的命题角度有：(1)与基本不等式相结合的最值问题；(2)与导数的几何意义相结合的问题； (3)由直线方程解决参数问题．[题点全练]角度一：与基本不等式相结合的最值问题1．过点P (2,1)作直线l ，与x 轴和y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，求： (1)△AOB 面积的最小值及此时直线l 的方程；(2)直线l 在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l 的方程； (3)|PA |²|PB |的最小值及此时直线l 的方程．解：(1)设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)，则可得A ⎝⎛⎭⎪⎫2－1k，0，B (0,1－2k )．∵直线l 与x 轴，y 轴正半轴分别交于A ，B 两点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2k －1k ＞0，1－2k ＞0，得k ＜0.∴S △AOB ＝12²|OA |²|OB |＝12²⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1k ²(1－2k )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4－1k －4k ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ² －4k ＝4，当且仅当－1k＝－4k ，即k ＝－12时，△AOB 的面积有最小值4，此时直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.(2)∵A ⎝⎛⎭⎪⎫2－1k，0，B (0,1－2k )(k ＜0)，∴截距之和为2－1k ＋1－2k ＝3－2k －1k≥3＋2－2k ²⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ＝3＋22，当且仅当－2k ＝－1k ，即k ＝－22时等号成立．故截距之和的最小值为3＋22，此时直线l 的方程为y －1＝－22(x －2)，即x ＋2y －2－2＝0.(3)∵A ⎝⎛⎭⎪⎫2－1k，0，B (0,1－2k )(k ＜0)，∴|PA |²|PB |＝1k 2＋1²4＋4k 2＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－k ＋－k ≥4，当且仅当－k ＝－1k，即k ＝－1时上式等号成立．故|PA |²|PB |的最小值为4，此时直线l 的方程为y －1＝－(x －2)，即x ＋y －3＝0.角度二：与导数的几何意义相结合的问题2．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12B.[]－1，0C ．[0,1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1解析：选A 由题意知y ′＝2x ＋2，设P (x 0，y 0)，则k ＝2x 0＋2.因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，所以0≤k ≤1，即0≤2x 0＋2≤1，故－1≤x 0≤－12.角度三：由直线方程解决参数问题3．已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a 的值．解：由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12³(2－a )³2＋12³(a 2＋2)³2＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154，当a ＝12时，四边形的面积最小，故a ＝12.[通法在握]处理直线方程综合应用的2大策略(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．[演练冲关]1．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |²|PB |的最大值是________．解析：易求定点A (0,0)，B (1,3)．当P 与A 和B 均不重合时，因为P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知两直线垂直，则PA ⊥PB ，所以|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|PA |²|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝5(当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立)，当P 与A 或B重合时，|PA |²|PB |＝0，故|PA |²|PB |的最大值是5.答案：52．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k ≥0，故k 的取值范围为[)0，＋∞.(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k，0，B (0,1＋2k )．又－1＋2k k<0且1＋2k >0，∴k >0.故S ＝12|OA ||OB |＝12³1＋2k k ³(1＋2k )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4，当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33B. 3C ．－ 3D ．－33解析：选A 设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.2．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋1＝0解析：选D 直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0.3．(2018²湖州质检)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13C ．－32D.23解析：选B 依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3，从而可得直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.4.如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( ) A ．k 1＜k 2＜k 3 B ．k 3＜k 1＜k 2 C ．k 3＜k 2＜k 1 D ．k 1＜k 3＜k 2解析：选D 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2＞α3，所以0＜k 3＜k 2，因此k 1＜k 3＜k 2，故选D.5．(2018²豫西五校联考)曲线y ＝x 3－x ＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为________．解析：设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ(θ∈[0，π))，因为y ′＝3x 2－1≥－1，所以tan θ≥－1，结合正切函数的图象可知，θ的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π二保高考，全练题型做到高考达标1．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π解析：选B 由直线方程可得该直线的斜率为－1a 2＋1，又－1≤－1a 2＋1<0，所以倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.2．已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为( )A ．y ＝3x ＋2B ．y ＝3x －2C ．y ＝3x ＋12D ．y ＝－3x ＋2解析：选A ∵直线x －2y －4＝0的斜率为12，∴直线l 在y 轴上的截距为2， ∴直线l 的方程为y ＝3x ＋2，故选A.3．(2018²温州五校联考)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0的图象可能是( )解析：选B 当a >0，b >0时，－a <0，－b <0，选项B 符合．4．若直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞)解析：选C 令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，因为14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2,0)∪(0,2]． 5．函数y ＝a1－x(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在mx ＋ny －1＝0(mn >0)上，则1m＋1n的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．1解析：选B ∵函数y ＝a1－x(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A (1,1)．∴把A (1,1)代入直线方程得m ＋n ＝1(mn >0)． ∴1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n (m ＋n )＝2＋n m ＋mn≥2＋2n m ²m n ＝4(当且仅当m ＝n ＝12时取等号)， ∴1m ＋1n的最小值为4.6．(2018²温州调研)已知三角形的三个顶点为A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为________．解析：∵BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，∴BC 边上中线所在直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x＋13y ＋5＝0.答案：x ＋13y ＋5＝07．直线l ：(a －2)x ＋(a ＋1)y ＋6＝0，则直线l 恒过定点________．解析：直线l 的方程变形为a (x ＋y )－2x ＋y ＋6＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－2x ＋y ＋6＝0，解得x ＝2，y ＝－2，所以直线l 恒过定点(2，－2)．答案：(2，－2)8．已知直线l 过坐标原点，若直线l 与线段2x ＋y ＝8(2≤x ≤3)有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________．解析：如图所示，设直线l 与线段2x ＋y ＝8(2≤x ≤3)的公共点为P (x ，y )．则点P (x ，y )在线段AB 上移动，且A (2,4)，B (3,2)，设直线l 的斜率为k . 又k OA ＝2，k OB ＝23.可知23≤k ≤2.故直线l 的斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，29．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k－3,3k＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎪⎫4k＋3＝±6，解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ²b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.10.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)的直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33，所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12²m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)．又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知曲线y ＝1e x ＋1，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．解析：y ′＝－exe x ＋12＝－1e x＋1ex ＋2，因为e x >0，所以e x＋1e x ≥2e x ²1e x ＝2(当且仅当e x ＝1ex ，即x ＝0时取等号)，所以ex＋1ex ＋2≥4，故y ′＝－1e x＋1ex ＋2≥－14(当且仅当x ＝0时取等号)．所以当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.该切线在x 轴上的截距为2，在y 轴上的截距为12，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12³2³12＝12.答案：122.已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，当△ABO 的面积取最小值时，求直线l 的方程．解：法一：设A (a,0)，B (0，b )(a >0，b >0)，则直线l 的方程为x a ＋y b＝1. 因为l 过点P (3,2)，所以3a ＋2b＝1. 因为1＝3a ＋2b ≥26ab，整理得ab ≥24，所以S △ABO ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b，即a ＝6，b ＝4时取等号．此时直线l 的方程是x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.法二：依题意知，直线l 的斜率k 存在且k <0，可设直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)，则A ⎝⎛⎭⎪⎫3－2k，0，B (0,2－3k )，S △ABO ＝12(2－3k )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋－9k ＋4－k≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2 －9k ²4－k＝12³(12＋12)＝12，当且仅当－9k ＝4－k ，即k ＝－23时，等号成立．所以所求直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0.第二节两条直线的位置关系1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直：①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1²k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．3．三种距离公式1．(2018²金华四校联考)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m ＝( )A ．2B ．－3C ．2或－3D ．－2或－3解析：选C ∵直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，∴2m ＝m ＋13≠4－2，解得m ＝2或－3.2．过两直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点和原点的直线方程为( ) A ．19x －9y ＝0 B ．9x ＋19y ＝0 C ．19x －3y ＝0D ．3x ＋19y ＝0解析：选D 由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，2x ＋y ＋5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－197，y ＝37，则所求直线方程为y ＝37－197x ＝－319x ，即3x ＋19y ＝0.3．(2018²浙江五校联考)已知动点P 的坐标为(x,1－x )，x ∈R ，则动点P 的轨迹方程为________，它到原点距离的最小值为________．解析：设点P 的坐标为(x ，y )，则y ＝1－x ，即动点P 的轨迹方程为x ＋y －1＝0.原点到直线x ＋y －1＝0的距离为d ＝|0＋0－1|1＋1＝22，即为所求原点到动点P 的轨迹的最小值．答案：x ＋y －1＝0221．在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x ，y 的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．[小题纠偏]1．已知P ：直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行，Q ：a ＝－1，则P 是Q 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由于直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行的充要条件是1³a －(－1)³1＝0，即a ＝－1.所以P 是Q 的充要条件．2．(2018²安庆模拟)若直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，则m ＝( ) A ．7 B ．172C ．14D ．17解析：选B 直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)，即2x ＋6y ＋2m ＝0，因为它与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，所以|2m ＋3|4＋36＝10，解得m ＝172.考点一两条直线的位置关系(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2018²诸暨模拟)已知a ，b 为正数，且直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0平行，则2a ＋3b 的最小值为________．解析：由两直线平行可得，a (b －3)＝2b ，即2b ＋3a ＝ab ，2a ＋3b＝1.又a ，b 为正数，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )²⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b＝13＋6a b ＋6b a≥13＋26a b ²6ba＝25，当且仅当a ＝b ＝5时取等号，故2a ＋3b 的最小值为25.答案：252．已知直线l 1：x ＋3y ＝7与直线l 2：kx －y ＝2，以及与x 轴，y 轴围成的凸四边形有外接圆，求实数k 的值．解：如图所示，由直线l1，l 2及x 轴，y 轴所围成四边形为OABC ，其有外接圆的充要条件是对角互补．∵∠COA ＝90°，∴∠CBA ＝90°，即l 1⊥l 2.∴k ²⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1，解得k ＝3. 3．已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试确定m ，n 的值，使 (1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)； (2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8＋n ＝0，2m －m －1＝0，解得m ＝1，n ＝7.即m ＝1，n ＝7时，l 1与l 2相交于点P (m ，－1)．(2)∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－16＝0，－m －2n ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.即m ＝4，n ≠－2或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2. (3)当且仅当2m ＋8m ＝0，即m ＝0时，l 1⊥l 2. 又－n8＝－1，∴n ＝8.即m ＝0，n ＝8时，l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.[谨记通法]1．已知两直线的斜率存在，判断两直线平行垂直的方法 (1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等； (2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.[提醒] 当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况． 2．由一般式确定两直线位置关系的方法[提醒] 在判断两直线位置关系时，比例式1A 2与1B 2，1C 2的关系容易记住，在解答选择、填空题时，建议多用比例式来解答．考点二距离问题重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．(2018²衢州模拟)若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( )A. 2B.823C. 3D.833解析：选B 因为l 1∥l 2，所以1a －2＝a 3≠62a，解得a ＝－1，所以l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，所以l 1与l 2之间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－232＝823.2．直线3x ＋4y －3＝0上一点P 与点Q (2，－2)的连线的最小值是________．解析：∵点Q 到直线的距离即为P ，Q 两点连线的最小值， ∴|PQ |min ＝|3³2＋4³ －2 －3|32＋42＝1. 答案：13．若直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等，则直线l 的方程为________．解析：法一：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13.∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意．故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1. 法二：当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－13，∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当l 过AB 中点时，AB 的中点为(－1,4)． ∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1. 答案：x ＋3y －5＝0或x ＝－1[由题悟法]处理距离问题的2大策略(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．(2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而使计算简便．[即时应用]1．已知P 是直线2x －3y ＋6＝0上一点，O 为坐标原点，且点A 的坐标为(－1,1)，若|PO |＝|PA |，则P 点的坐标为________．解析：法一：设P (a ，b )，则⎩⎨⎧2a －3b ＋6＝0，a 2＋b 2＝ a ＋1 2＋ b －1 2，解得a ＝3，b ＝4.∴P 点的坐标为(3,4)．法二：线段OA 的中垂线方程为x －y ＋1＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋6＝0，x －y ＋1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，则P 点的坐标为(3,4)．答案：(3,4)2．已知直线l ：ax ＋y －1＝0和点A (1,2)，B (3,6)．若点A ，B 到直线l 的距离相等，则实数a 的值为________．解析：法一：要使点A ，B 到直线l 的距离相等，则AB ∥l ，或A ，B 的中点(2,4)在直线l 上．所以－a ＝6－23－1＝2或2a ＋4－1＝0，解得a ＝－2或－32.法二：要使点A ，B 到直线l 的距离相等，则|a ＋1|a 2＋1＝|3a ＋5|a 2＋1，解得a ＝－2或－32.答案：－2或－32考点三对称问题题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型．常见的命题角度有： (1)点关于点对称； (2)点关于线对称；(3)线关于线对称．[题点全练]角度一：点关于点对称1．过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________．解析：设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，把B 点坐标代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以由两点式得直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 答案：x ＋4y －4＝02．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，则直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程为________．解析：法一：在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如M (1,1)，N (4，3)，则M ，N 关于点A 的对称点M ′，N ′均在直线l ′上．易知M ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0. 法二：设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )，∵P ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0，即2x －3y －9＝0. 答案：2x －3y －9＝0 角度二：点关于线对称3．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程．解：(1)设A ′(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1³23＝－1，2³x －12－3³y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.∴A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2³a ＋22－3³b ＋02＋1＝0，b －0a －2³23＝－1.解得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0.得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. 角度三：线关于线对称4．直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是( ) A ．x －2y ＋3＝0 B ．x －2y －3＝0 C ．x ＋2y ＋1＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选A 设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－ y －y 0 ，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， ∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0，即x －2y ＋3＝0.[通法在握]1．中心对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于点对称：若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1，进而求解．(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 2．轴对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称：若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1²⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)． (2)直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．[演练冲关]1．与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为________．解析：设A (x ，y )为所求直线上的任意一点，则A ′(x ，－y )在直线3x －4y ＋5＝0上，即3x －4(－y )＋5＝0，故所求直线方程为3x ＋4y ＋5＝0. 答案：3x ＋4y ＋5＝02已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．解析：设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －－3 ²1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0. 答案：6x －y －6＝03．已知△ABC 中，顶点A (4,5)，点B 在直线l ：2x －y ＋2＝0上，点C 在x 轴上，求△ABC 周长的最小值．解：设点A 关于直线l ：2x －y ＋2＝0的对称点为A1(x 1，y 1)，点A 关于x 轴的对称点为A 2(x 2，y 2)，连接A 1A 2交l 于点B ，交x 轴于点C ，则此时△ABC 的周长取最小值，且最小值为||A 1A 2.∵A 1与A 关于直线l ：2x －y ＋2＝0对称，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1－5x 1－4³2＝－1，2³x 1＋42－y 1＋52＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝7.∴A 1(0,7)．易求得A 2(4，－5)，∴△ABC 周长的最小值为||A 1A 2＝4－0 2＋－5－7 2＝410.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交但不垂直D ．不能确定解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋m ＝0，x ＋2y ＋n ＝0，可得3x ＋2m －n ＝0，由于3x ＋2m －n ＝0有唯一解，故方程组有唯一解，故两直线相交，两直线的斜率分别为－2，－12，斜率之积不等于－1，故不垂直．2．(2018²浙江名校协作体联考)“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选 C 因为直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a a －2 ＝3³1，a ³1≠3³1，解得a ＝－1，故选C.3．(2018²丽水调研)已知直线l 1过点(－2,0)且倾斜角为30°，直线l 2过点(2,0)且与直线l 1垂直，则直线l 1与直线l 2的交点坐标为( )A ．(3，3)B ．(2，3)C ．(1，3)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 解析：选C 直线l 1的斜率为k 1＝tan 30°＝33，因为直线l 2与直线l 1垂直，所以k 2＝－1k 1＝－3，所以直线l 1的方程为y ＝33(x ＋2)，直线l 2的方程为y ＝－3(x －2)．两式联立，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，即直线l 1与直线l 2的交点坐标为(1，3)．4．(2018²诸暨期初)已知点A (7，－4)关于直线l 的对称点为B (－5,6)，则该对称直线l 的方程为( )A ．6x ＋5y －1＝0B ．5x ＋6y ＋1＝0C ．5x －6y －1＝0D ．6x －5y －1＝0解析：选D 由题可得，直线l 是线段AB 的垂直平分线．因为A (7，－4)，B (－5,6)，所以k AB ＝6＋4－5－7＝－56，所以k l ＝65.又因为A (7，－4)，B (－5,6)的中点坐标为(1,1)．所以直线l 的方程为y －1＝65(x －1)，即6x －5y －1＝0.5．若直线2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝－10，y ＝x ＋1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－9，y ＝－8.即直线2x －y ＝－10与y ＝x ＋1相交于点(－9，－8)．又因为直线2x －y ＝－10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，所以－8＝－9a －2，解得a ＝23.答案：23二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018²舟山调研)在直角坐标平面内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|MQ |2的值为( )A.102B ．10C ．5D ．10解析：选D 由题意知P (0,1)，Q (－3,0)，∵过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直， ∴M 位于以PQ 为直径的圆上， ∵|PQ |＝9＋1＝10， ∴|MP |2＋|MQ |2＝|PQ |2＝10.2．(2018²慈溪模拟)曲线y ＝2x －x 3在x ＝－1处的切线为l ，则点P (3,2)到直线l 的距离为( )A.722 B.922C.1122D.91010解析：选A 由题可得，切点坐标为(－1，－1)．y ′＝2－3x 2，由导数的几何意义可知，该切线的斜率为k ＝2－3＝－1，所以切线的方程为x ＋y ＋2＝0.所以点P (3,2)到直线l 的距离为d ＝|3＋2＋2|12＋12＝722. 3．(2018²绵阳模拟)若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( )A.95 B.185 C.2910D.295解析：选C 因为36＝48≠－125，所以两直线平行，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910.4．(2018²厦门模拟)将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n 等于( )A.345B.365C.283D.323解析：选A 由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，则⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2³7＋m2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝315，故m ＋n ＝345.5．从点(2,3)射出的光线沿与向量a ＝(8,4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为( )A ．x ＋2y －4＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋6y －16＝0D ．6x ＋y －8＝0解析：选A 由直线与向量a ＝(8,4)平行知，过点(2,3)的直线的斜率k ＝12，所以直线的方程为y －3＝12(x －2)，其与y 轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式可得反射光线所在的直线方程为x ＋2y －4＝0.6．(2018²余姚检测)已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为________．解析：显然直线l 的斜率不存在时，不满足题意；设所求直线方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2， ∴k ＝2或k ＝－23.∴所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0.答案：2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝07.如图所示，已知两点A (4,0)，B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程为________．解析：易得AB 所在的直线方程为x ＋y ＝4，由于点P 关于直线AB 对称的点为A 1(4,2)，点P 关于y 轴对称的点为A 2(－2,0)，则光线所经过的路程即A 1与A 2两点间的距离．于是|A 1A 2|＝ 4＋2 2＋ 2－0 2＝210.答案：2108．(2018²绍兴一中检测)两平行直线l 1，l 2分别过点P (－1,3)，Q (2，－1)，它们分别绕P ，Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间的距离的取值范围是________．解析：∵l 1∥l 2，且P ∈l 1，Q ∈l 2，∴l 1，l 2间的最大距离为|PQ |＝[2－－1 ]2＋－1－3 2＝5，又l 1与l 2不重合，∴l 1，l 2之间距离的取值范围是(0,5]．答案：(0,5]9．已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且直线l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解：(1)∵l 1⊥l 2，∴a (a －1)－b ＝0.①又∵直线l 1过点(－3，－1)，∴－3a ＋b ＋4＝0.② 联立①②解得a ＝2，b ＝2. (2)∵直线l 2的斜率存在，l 1∥l 2， ∴直线l 1的斜率存在． ∴k 1＝k 2，即a b＝1－a .又∵坐标原点到这两条直线的距离相等， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b .故a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2.10．已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．解：依题意知：k AC ＝－2，A (5,1)， ∴l AC 的方程为2x ＋y －11＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，得C (4,3)．设B (x 0，y 0)，则AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0＋12，代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，得B (－1，－3)，∴k BC ＝65，∴直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知线段AB 的两个端点A (0，－3)，B (3,0)，且直线y ＝2λx ＋λ＋2与线段AB 总相交，则实数λ的取值范围为________．解析：如图所示，因为y ＝2λx ＋λ＋2恒过定点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2，连接AC ，CB ，所以直线AC 的斜率k AC ＝－10，直线BC 的斜率k BC ＝－47. 又直线y ＝2λx ＋λ＋2与线段AB 总相交，所以k AC ≤2λ≤k BC ，所以λ的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5，－27. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5，－27 2．已知直线l ：(2a ＋b )x ＋(a ＋b )y ＋a －b ＝0及点P (3,4)． (1)证明直线l 过某定点，并求该定点的坐标． (2)当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为a (2x ＋y ＋1)＋b (x ＋y －1)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，所以直线l 恒过定点(－2,3)．(2)由(1)知直线l 恒过定点A (－2,3)，当直线l 垂直于直线PA 时，点P 到直线l 的距离最大．又直线PA 的斜率k PA ＝4－33＋2＝15，所以直线l 的斜率k l ＝－5.故直线l 的方程为y －3＝－5(x ＋2)，即5x ＋y ＋7＝0.第三节圆的方程1．圆的定义及方程点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2. [小题体验]1．若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．3D ．－3解析：选B 圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5， ∵直线经过圆的圆心(－1,2)， ∴3³(－1)＋2＋a ＝0，得a ＝1.2．(2018²浙江五校联考)若点(2a ，a ＋1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，15D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，1解析：选A 因为点在圆内，所以(2a )2＋(a ＋1－1)2<5，解得－1<a <1.故实数a 的取值范围是(－1,1)．3．(2018²湖州调研)若圆C 与圆x 2＋y 2＋2x ＝0关于直线x ＋y －1＝0对称，则圆心C 的坐标为________；圆C 的一般方程是________．解析：已知圆x 2＋y 2＋2x ＝0的圆心坐标是(－1,0)、半径是1，设圆C 的圆心(a ，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧b a ＋1＝1，a －12＋b2－1＝0，由此解得a ＝1，b ＝2，即圆心C 的坐标为(1,2)，因此圆C 的方程是(x －1)2＋(y －2)2＝1，即x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0.答案：(1,2) x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0对于方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时易忽视D 2＋E 2－4F ＞0这一成立条件．[小题纠偏](2016²浙江高考)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．解析：由二元二次方程表示圆的条件可得a 2＝a ＋2，解得a ＝2或－1.当a ＝2时，方程为4x 2＋4y 2＋4x ＋8y ＋10＝0，即x 2＋y 2＋x ＋2y ＋52＝0，配方得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝－54＜0，不表示圆；当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，配方得(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5.答案：(－2，－4) 5考点一圆的方程基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．圆心在y 轴上且经过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0D ．x 2＋y 2－10x ＝0解析：选B 设圆心为(0，b )，半径为r ，则r ＝|b |，所以圆的方程为x 2＋(y －b )2＝b 2. 因为点(3,1)在圆上，所以9＋(1－b )2＝b 2，解得b ＝5.所以圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.。

2019版高考数学一轮复习第八章平面解析几何第

.
[小题体验]
1．若直线 3x＋ y＋ a＝ 0过圆 x2＋ y2＋ 2x－ 4y＝ 0的圆心，则 a 的值为 A．－ 1 C． 3 B． 1 D．－ 3 ( )
解析：圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝5， ∵直线经过圆的圆心(－1,2)， ∴3×(－1)＋2＋a＝0，得a＝1.
答案：B
2． (2018· 浙江五校联考)若点(2a， a＋ 1)在圆 x2＋ (y－ 1)2＝ 5的内部，则实数 a的取值范围是 A． (－ 1,1)
答案：B
2． (2018· 永康模拟 )设 a∈ R，则 “a>1”是“方程 x2＋ 2ax＋ y2＋ 1 ＝ 0的曲线是圆”的 A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ( )
解析：因为方程是圆，所以可转化为(x＋a)2＋y2＝a2－1，即a2－1>0，解得a>1或a<－1.所以当“a>1”时，有a2－1>0，得曲线方程是圆的方程；当曲线方程是圆的方程时，有a>1 或a<－1，不一定得到a>1.所以是充分不必要条件．
1 C．－ 1， 5
(
)
B． (0,1)
1 D．－， 1 5
解析：因为点在圆内，所以(2a)2＋(a＋1－1)2<5，解得－ 1<a<1.故实数a的取值范围是(－1,1)．
答案：A
3．(2018· 湖州调研 )若圆 C与圆 x2＋y2＋ 2x＝0关于直线 x＋ y－1 ＝ 0对称，则圆心 C的坐标为 ________；圆 C的一般方程是 ________．
2.点与圆的位置关系点 M(x0， y0)与圆 (x－ a)2＋ (y－ b)2＝ r2 的位置关系：

2020年高考数学理科一轮温习第8章平面解析几何第3讲课后作业

A 组基础关1．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( ) A ．x 2＋(y －2)2＝5 B ．(x －2)2＋y 2＝5 C ．x 2＋(y ＋2)2＝5 D ．(x －1)2＋y 2＝5答案 B解析因为所求圆的圆心与圆(x ＋2)2＋y 2＝5的圆心(－2，0)关于原点(0,0)对称，因此所求圆的圆心为(2,0)，半径为5，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝5.2．假设a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，那么方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示的圆的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B解析方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆的条件为a 2＋4a 2－4(2a 2＋a －1)>0，即3a 2＋4a －4<0，解得－2<a <23.又a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，1，34，∴仅当a ＝0时，方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，应选B.3．(2016·全国卷Ⅱ)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，那么a ＝( )A ．－43 B ．－34 C ． 3 D ．2答案 A解析圆的方程可化为(x －1)2＋(y －4)2＝4，那么圆心坐标为(1,4)，圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.应选A.4．(2018·太原模拟)两条直线y ＝x ＋2a ，y ＝2x ＋a 的交点P 在圆(x －1)2＋(y －1)2＝4的内部，那么实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－15∪(1，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－15，1 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－15∪[1，＋∞) 答案 A解析联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋2a ，y ＝2x ＋a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝3a ，∴两条直线y ＝x ＋2a ，y ＝2x ＋a 的交点P (a,3a )． ∵交点P 在圆(x －1)2＋(y －1)2＝4的内部， ∴(a －1)2＋(3a －1)2<4，化为5a 2－4a －1<0，解得－15<a <1， ∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，1.5．(2018·成都高新区月考)已知圆C 通过点A (1,1)和B (2，－2)，且圆心C 在直线l ：x －y ＋1＝0上，那么该圆的面积是( )A ．5πB ．13πC ．17πD ．25π答案 D解析解法一：设圆心为(a ，a ＋1)，半径为r (r >0)，那么圆的标准方程为(x －a )2＋(y －a －1)2＝r 2，又圆通过点A (1，1)和点B (2，－2)，故有⎩⎪⎨⎪⎧ (1－a )2＋(－a )2＝r 2，(2－a )2＋(－3－a )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，r ＝5，故该圆的面积是25π.解法二：由题意可知圆心C 在AB 的中垂线 y ＋12＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，即x －3y －3＝0上．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y －3＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－2，故圆心C 为(－3，－2)，半径r ＝|AC |＝5，圆的面积是25π.6．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1答案 A解析设圆上任意一点为(x 1，y 1)，中点为(x ，y )，那么⎩⎨⎧x ＝x 1＋42，y ＝y 1－22，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －4，y 1＝2y ＋2，代入x 2＋y 2＝4，得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.7．(2018·全国卷Ⅲ)直线x ＋y ＋2＝0别离与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，那么△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2,6]B ．[4,8]C ．[2，32]D ．[22，32]答案 A解析 ∵直线x ＋y ＋2＝0别离与x 轴，y 轴交于A ，B 两点， ∴A (－2,0)，B (0，－2)，那么|AB |＝2 2.∵点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，圆心为(2,0)，半径为2，∴圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离d 1＝|2＋0＋2|2＝22，故点P 到直线x ＋y ＋2＝0的距离d 2的范围为[2，3 2 ]，则S △ABP ＝12|AB |d 2＝2d 2∈[2,6]．应选A.8．(2018·宜昌模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当圆C 的面积取最大值时，圆心C 的坐标为________．答案 (0，－1)解析圆C 的方程可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34k 2＋1.因此当k ＝0时圆C 的面积最大，现在圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)．9．已知实数x ，y 知足(x ＋2)2＋(y －3)2＝1，那么|3x ＋4y －26|的最小值为________．答案 15解析解法一：|3x ＋4y －26|最小值的几何意义是圆心到直线3x ＋4y －26＝0的距离减去半径后的5倍，|3x ＋4y －26|min ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|3a ＋4b －26|32＋42－r ，(a ，b )是圆心坐标，r 是圆的半径．圆的圆心坐标为(－2,3)，半径是1，因此圆心到直线的距离为|3×(－2)＋4×3－26|5＝4，因此|3x ＋4y －26|的最小值为5×(4－1)＝15.解法二：令x ＋2＝cos θ，y －3＝sin θ，那么x ＝cos θ－2，y ＝sin θ＋3，|3x ＋4y －26|＝|3cos θ－6＋4sin θ＋12－26|＝|5sin(θ＋φ)－20|，其中tan φ＝34，因此其最小值为|5－20|＝15.10．在平面直角坐标系内，假设曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第四象限内，那么实数a 的取值范围为________．答案 (－∞，－2)解析圆C 的标准方程为(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，因此圆心为(－a,2a )，半径r ＝2，故由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，|－a |>2，|2a |>2，解得a <－2，故实数a 的取值范围为(－∞，－2)．B 组能力关1．圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a >0，b >0)对称，那么1a ＋3b 的最小值是( ) A ．2 3 B ．203 C ．4 D ．163答案 D解析由圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0知其标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，∵圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a >0，b >0)对称，∴该直线通过圆心(－1,3)，即－a －3b ＋3＝0，∴a ＋3b ＝3(a >0，b >0)，∴1a ＋3b ＝13(a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋3b ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋23a b ·3b a ＝163，当且仅当3b a ＝3ab ，即a ＝b 时取等号．应选D.2．(2018·银川模拟)方程|y |－1＝1－(x －1)2表示的曲线是( ) A ．一个椭圆 B ．一个圆 C ．两个圆 D ．两个半圆答案 D解析由题意知|y |－1≥0，那么y ≥1或y ≤－1，当y ≥1时，原方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1(y ≥1)，其表示以(1,1)为圆心，1为半径的上半圆；当y ≤－1时，原方程可化为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1(y ≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心，1为半径的下半圆．因此方程|y |－1＝1－(x －1)2表示的曲线是两个半圆．选D.3．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 别离是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，那么|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4B ．17－1C ．6－2 2D ．17答案 A解析圆C 1，C 2的图形如下图．设P是x轴上任意一点，那么|PM|的最小值为|PC1|－1，同理，|PN|的最小值为|PC2|－3，那么|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.作C1关于x轴的对称点C′1(2，－3)，连接C′1C2，与x轴交于点P，连接PC1，可知|PC1|＋|PC2|的最小值为|C′1C2|，那么|PM|＋|PN|的最小值为52－4.应选A.4．已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)假设M(m，n)，求n－3m＋2的最大值和最小值．解(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，因此圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝2 2. 又|QC|＝(2＋2)2＋(7－3)2＝42>2 2.因此点Q在圆C外，因此|MQ|max＝42＋22＝62，|MQ|min＝42－22＝2 2.(2)可知n－3m＋2表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，那么n－3m＋2＝k.因为直线MQ与圆C有交点，因此|2k－7＋2k＋3|1＋k2≤22，可是2－3≤k≤2＋3，因此n－3m＋2的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.5．在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为22，在y轴上截得线段长为23.(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)假设P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程．解 (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r ，那么y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，因此y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1.因此P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.(2)设P 的坐标为(x 0，y 0)，那么|x 0－y 0|2＝22，即|x 0－y 0|＝1.因此y 0＝x 0±1.当y 0＝x 0＋1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0＋1)2－x 20＝1，因此⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1，因此r 2＝3，因此圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3；当y 0＝x 0－1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0－1)2－x 20＝1，因此⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1，因此r 2＝3，因此圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3.综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y ±1)2＝3.。

近年高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.5椭圆课后作业文(2021年整理)

2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.5 椭圆课后作业文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.5 椭圆课后作业文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.5 椭圆课后作业文的全部内容。

8．5 椭圆[重点保分两级优选练]A级一、选择题1．(2018·江西五市八校模拟）已知正数m是2和8的等比中项,则圆锥曲线x2＋错误!＝1的焦点坐标为（）A．(±错误!，0) B．(0，±错误!)C．(±3，0）或(±5，0）D．（0，±错误!)或（±错误!,0）答案B解析因为正数m是2和8的等比中项，所以m2＝16，则m＝4，所以圆锥曲线x2＋y2m＝1即为椭圆x2＋错误!＝1，易知其焦点坐标为（0，±错误!)，故选B.2．(2017·湖北荆门一模)已知θ是△ABC的一个内角，且sinθ＋cosθ＝错误!，则方程x2sinθ－y2cosθ＝1表示( ）A．焦点在x轴上的双曲线B．焦点在y轴上的双曲线C．焦点在x轴上的椭圆D．焦点在y轴上的椭圆答案D解析因为(sinθ＋cosθ）2＝1＋2sinθcosθ＝错误!，所以sinθcosθ＝－错误!＜0，结合θ∈(0,π)，知sinθ〉0,cosθ<0，又sinθ＋cosθ＝错误!＞0，所以sinθ＞－cosθ＞0，故错误!＞错误!＞0，因为x2sinθ－y2cosθ＝1可化为错误!＋错误!＝1,所以方程x2sinθ－y2cosθ＝1表示焦点在y轴上的椭圆．故选D。

2020高考数学理科大一轮复习课时作业：第八章平面解析几何课时作业56

课时作业56 最值、范围、证明问题第一次作业基础巩固练1．已知动圆C 与圆C 1：(x －2)2＋y 2＝1相外切，又与直线l ：x ＝－1相切．(1)求动圆圆心轨迹E 的方程；(2)若动点M 为直线l 上任一点，过点P (1,0)的直线与曲线E 相交于A ，B 两点，求证：k MA ＋k MB ＝2k MP .解：(1)由题知，动圆C 的圆心到点(2,0)的距离等于到直线x ＝－2的距离，所以由抛物线的定义可知，动圆C 的圆心轨迹是以(2,0)为焦点，x ＝－2为准线的抛物线，所以动圆圆心轨迹E 的方程为y 2＝8x .(2)证明：由题知当直线AB 的斜率为0时，不符合题意，所以可设直线AB 的方程为x ＝my ＋1，联立⎩⎨⎧x ＝my ＋1，y 2＝8x ，消去x ，得y 2－8my －8＝0，Δ＝64m 2＋32>0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (－1，t )，则y 1＋y 2＝8m ，y 1·y 2＝－8，x 1＋x 2＝8m 2＋2，x 1·x 2＝1，而2k MP ＝2·t－1－1＝－t ，k MA ＋k MB ＝y 1－tx 1＋1＋y 2－t x 2＋1 ＝y 1x 2＋y 2x 1＋y 1＋y 2－t (x 1＋x 2)－2t x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝18y 1y 2(y 1＋y 2)＋y 1＋y 2－t (x 1＋x 2)－2t x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＝－t (8m 2＋4)8m 2＋4＝－t ，所以k MA ＋k MB ＝2k MP .2. 如图，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，右焦点为F (1,0)，过点A 且斜率为1的直线交椭圆E 于另一点B ，交y 轴于点C ，AB →＝6BC →.(1)求椭圆E 的方程；(2)过点F 作直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，连接MO (O 为坐标原点)并延长交椭圆E 于点Q ，求△MNQ 面积的最大值及取最大值时直线l 的方程．解：(1)由题知A (－a,0)，C (0，a )，故B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 7，6a 7，代入椭圆E 的方程得149＋36a 249b 2＝1，结合a 2－b 2＝1，得a 2＝4，b 2＝3，故椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题知，直线l 不与x 轴重合，故可设l ：x ＝my ＋1，代入x 24＋y 23＝1得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，连接ON ，由Q 与M 关于原点对称知， S △MNQ ＝2S △MON ＝|y 1－y 2| ＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝12m 2＋13m 2＋4＝123m 2＋1＋1m 2＋1，∵m 2＋1≥1， ∴3m 2＋1＋1m 2＋1≥4， ∴S △MNQ ≤3，当且仅当m ＝0时，等号成立，∴△MNQ 面积的最大值为3，此时直线l 的方程为x ＝1. 3．(2019·河南洛阳统考)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，过焦点F 的直线交C 于A ，B 两点，D 是抛物线的准线l 与y 轴的交点．(1)若AB ∥l ，且△ABD 的面积为1，求抛物线的方程； (2)设M 为AB 的中点，过M 作l 的垂线，垂足为N .证明：直线AN 与抛物线相切．解：(1)∵AB ∥l ，∴|FD |＝p ，|AB |＝2p . ∴S △ABD ＝p 2＝1.∴p ＝1，故抛物线C 的方程为x 2＝2y .(2)证明：显然直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋p2，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 212p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 222p . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋p 2，x 2＝2py消去y 整理得，x 2－2kpx －p 2＝0.∴x 1＋x 2＝2kp ，x 1x 2＝－p 2. ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫kp ，k 2p ＋p 2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫kp ，－p 2. ∴k AN ＝x 212p ＋p 2x 1－kp ＝x 212p ＋p 2x 1－x 1＋x 22＝x 21＋p 22p x 1－x 22＝x 21－x 1x 22p x 1－x 22＝x 1p .又x 2＝2py ，∴y ′＝xp .∴抛物线x 2＝2py 在点A 处的切线斜率k ＝x 1p .∴直线AN 与抛物线相切．4．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为F 2(1,0)，且该椭圆过定点M ⎝⎛⎭⎪⎫1，22.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设点Q (2,0)，过点F 2作直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，且F 2A →＝λF 2B →，λ∈[－2，－1]，以QA ，QB 为邻边作平行四边形QACB ，求对角线QC 长度的最小值．解：(1)由题易知c ＝1，1a 2＋12b 2＝1，又a 2＝b 2＋c 2，解得b 2＝1，a 2＝2，故椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线l ：x ＝ky ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋1，x 22＋y 2＝1得(k 2＋2)y 2＋2ky －1＝0，Δ＝4k 2＋4(k 2＋2)＝8(k 2＋1)>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则可得y 1＋y 2＝－2kk 2＋2，y 1y 2＝－1k 2＋2.QC →＝QA →＋QB →＝(x 1＋x 2－4，y 1＋y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4(k 2＋1)k 2＋2，－2k k 2＋2， ∴|QC →|2＝|QA →＋QB →|2＝16－28k 2＋2＋8(k 2＋2)2，由此可知，|QC →|2的大小与k 2的取值有关．由F 2A →＝λF 2B →可得y 1＝λy 2，λ＝y 1y 2，1λ＝y 2y 1(y 1y 2≠0)．从而λ＋1λ＝y 1y 2＋y 2y 1＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2y 1y 2＝－6k 2－4k 2＋2，由λ∈[－2，－1]得⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋1λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，－2，从而－52≤－6k 2－4k 2＋2≤－2，解得0≤k 2≤27.令t ＝1k 2＋2，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤716，12，∴|QC →|2＝8t 2－28t ＋16＝8⎝⎛⎭⎪⎫t －742－172，∴当t ＝12时，|QC |min ＝2.5．(2019·合肥模拟)已知中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆C ，其上一点P 到两个焦点F 1，F 2的距离之和为4，离心率为32.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝kx ＋1与曲线C 交于A ，B 两点，求△OAB 面积的取值范围．解：(1)设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4，e ＝c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，c ＝3，b ＝1，故椭圆C 的方程为y 24＋x 2＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，y ＝kx ＋1得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0，故x 1＋x 2＝－2kk 2＋4，x 1x 2＝－3k 2＋4，设△OAB 的面积为S ，由x 1x 2＝－3k 2＋4<0，知S ＝12×1×|x 1－x 2| ＝12(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2k 2＋3(k 2＋4)2，令k 2＋3＝t ，知t ≥3，∴S ＝21t ＋1t ＋2. 对函数y ＝t ＋1t (t ≥3)，知y ′＝1－1t 2＝t 2－1t 2>0，∴y ＝t ＋1t 在t ∈[3，＋∞)上单调递增，∴t ＋1t ≥103， ∴0<1t ＋1t ＋2≤316，∴0<S ≤32.故△OAB 面积的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤0，32.第二次作业高考·模拟解答题体验1．(2019·四川成都七中模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且离心率为22，过左焦点F 1的直线l 与C 交于A ，B 两点，△ABF 2的周长为4 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)当△ABF 2的面积最大时，求l 的方程．解：(1)由椭圆的定义知4a ＝42，a ＝2，由e ＝ca 知c ＝ea ＝1，b 2＝a 2－c 2＝1. 所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)知F 1(－1,0)，F 2(1,0)，|F 1F 2|＝2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：x ＝my －1，联立x ＝my －1与x 22＋y 2＝1，得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0，|y 1－y 2|＝22m 2＋1m 2＋2， S △ABF 2＝22m 2＋1(m 2＋2)2＝221m 2＋1＋1m 2＋1＋2，当m 2＋1＝1，m ＝0时，S △ABF 2最大为2，l ：x ＝－1. 2．(2019·广东佛山模拟)已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆M 的离心率为12，椭圆上异于长轴顶点的任意点A 与左、右两焦点F 1，F 2构成的三角形中面积的最大值为 3.(1)求椭圆M 的标准方程；(2)若A 与C 是椭圆M 上关于x 轴对称的两点，连接CF 2与椭圆的另一交点为B ，求证：直线AB 与x 轴交于定点P ，并求P A →·F 2C →的取值范围．解：(1)由题意知c a ＝12，12·2c ·b ＝3，a 2＝b 2＋c 2，解得c ＝1，a ＝2，b ＝ 3.所以椭圆M 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 1，－y 1)，直线AB ：y ＝kx ＋m .将y ＝kx ＋m ，代入x 24＋y 23＝1得， (4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0. 则x 1＋x 2＝－8km4k 2＋3，x 1x 2＝4m 2－124k 2＋3.因为B ，C ，F 2共线，所以kBF 2＝kCF 2，即kx 2＋m x 2－1＝－(kx 1＋m )x 1－1，整理得2kx 1x 2＋(m －k )(x 1＋x 2)－2m ＝0，所以2k 4m 2－124k 2＋3－(m －k )8km 4k 2＋3－2m ＝0，解得m ＝－4k .所以直线AB ：y ＝k (x －4)，与x 轴交于定点P (4,0)．因为y 21＝3－34x 21，所以P A →·F 2C →＝(x 1－4，y 1)·(x 1－1，－y 1)＝x 21－5x 1＋4－y 21＝74x 21－5x 1＋1＝74⎝⎛⎭⎪⎫x 1－1072－187.因为－2<x 1<2，所以P A →·F 2C →的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－187，18.3．(2019·广东华南师大附中模拟)已知点C 是圆F ：(x －1)2＋y 2＝16上任意一点，点F ′与圆心F 关于原点对称．线段CF ′的中垂线与CF 交于P 点．(1)求动点P 的轨迹方程E ；(2)设点A (4,0)，若直线PQ ⊥x 轴且与曲线E 交于另一点Q ，直线AQ 与直线PF 交于点B ，证明：点B 恒在曲线E 上，并求△P AB 面积的最大值．解：(1)由题意得，F 点坐标为(1,0)，因为P 为CF ′中垂线上的点，所以|PF ′|＝|PC |.又|PC |＋|PF |＝4，所以|PF ′|＋|PF |＝4>|FF ′|＝2，由椭圆的定义知，2a ＝4，c ＝1，所以动点P 的轨迹方程E 为x 24＋y 23＝1.(2)设P 点坐标为(m ，n )(n ≠0)，则Q 点的坐标为(m ，－n )，且3m 2＋4n 2＝12，所以直线QA ：y ＝n4－m (x －4)，即nx －(4－m )y －4n ＝0，直线PF ：y ＝nm －1(x －1)，即nx －(m －1)y －n ＝0.联立方程组⎩⎨⎧nx －(4－m )y －4n ＝0，nx －(m －1)y －n ＝0，解得x B ＝5m －82m －5，y B ＝3n2m －5，则x 2B4＋y 2B 3＝(5m －8)24(2m －5)2＋(3n )23(2m －5)2＝25m 2－80m ＋64＋12n 24(2m －5)2＝16m 2－80m ＋1004(2m －5)2＝1，所以点B 恒在椭圆E 上．设直线PF ：x ＝ty ＋1，P (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由⎩⎨⎧ x ＝ty ＋1，3x 2＋4y 2＝12，消去x 整理得(3t 2＋4)y 2＋6ty －9＝0，所以y 1＋y 2＝－6t 3t 2＋4，y 1y 2＝－93t 2＋4，所以|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝(－6t 3t 2＋4)2＋363t 2＋4＝12t 2＋13t 2＋4，从而S △P AB ＝12|F A ||y 1－y 2|＝18t 2＋13t 2＋4＝18t 2＋13(t 2＋1)＋1＝183t 2＋1＋1t 2＋1.令μ＝t 2＋1(μ≥1)，则函数g (μ)＝3μ＋1μ在[1，＋∞)上单调递增，故g (μ)min ＝g (1)＝4，所以S △P AB ≤184＝92，即当t ＝0时，△P AB 的面积取得最大值，且最大值为92.4．(2019·河北邢台模拟)已知椭圆W ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距与椭圆Ω：x 24＋y 2＝1的短轴长相等，且W 与Ω的长轴长相等，这两个椭圆在第一象限的交点为A ，直线l 与直线OA (O 为坐标原点)垂直，且l 与W 交于M ，N 两点．(1)求W 的方程；(2)求△MON 的面积的最大值．解：(1)由题意可得⎩⎨⎧ a 2＝4，a 2－b 2＝1，∴⎩⎨⎧ a 2＝4，b 2＝3，故W 的方程为y 24＋x 23＝1.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧ y 24＋x 23＝1，x 24＋y 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝3613，y 2＝413，∴y 2x 2＝19.又A 在第一象限，∴k OA ＝y x ＝13.故可设l 的方程为y ＝－3x ＋m .联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－3x ＋m ，y 24＋x 23＝1，得31x 2－18mx ＋3m 2－12＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝18m 31，x 1x 2＝3m 2－1231.∴|MN |＝1＋(－3)2×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10×4331－m 231. 又O 到直线l 的距离为d ＝|m |10，则△MON 的面积S ＝12d ·|MN | ＝23|m |31－m 231，∴S ＝23m 2(31－m 2)31≤331(m 2＋31－m 2)＝3，当且仅当m 2＝31－m 2，即m 2＝312时，满足Δ>0，故△MON 的面积的最大值为 3. 5．(2018·天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B ，已知椭圆的离心率为53，点A 的坐标为(b,0)，且|FB |·|AB |＝6 2.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx (k >0)与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若|AQ ||PQ |＝524sin ∠AOQ (O 为原点)，求k 的值．解：(1)设椭圆的焦距为2c ，由已知有c 2a 2＝59，又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b .由已知可得，|FB |＝a ，|AB |＝2b ，由|FB |·|AB |＝62，可得ab ＝6，从而a ＝3，b ＝2.所以，椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点Q 的坐标为(x 2，y 2)．由已知有y 1>y 2>0，故|PQ |sin ∠AOQ ＝y 1－y 2.又因为|AQ |＝y 2sin ∠OAB，而∠OAB ＝π4，故|AQ |＝2y 2.由|AQ ||PQ |＝524sin ∠AOQ ，可得5y 1＝9y 2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，x 29＋y 24＝1，消去x ，可得y 1＝6k9k 2＋4 . 易知直线AB 的方程为x ＋y －2＝0，由方程组⎩⎨⎧ y ＝kx ，x ＋y －2＝0，消去x ，可得y 2＝2k k ＋1. 由5y 1＝9y 2，可得5(k ＋1)＝39k 2＋4，两边平方，整理得56k 2－50k ＋11＝0，解得k ＝12，或k ＝1128.所以，k 的值为12或1128.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。

近年届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第六节双曲线课时作业(2021年整理)

2019届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第六节双曲线课时作业编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第六节双曲线课时作业）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第六节双曲线课时作业的全部内容。

第六节双曲线课时作业A组——基础对点练1．已知F为双曲线C：x2－my2＝3m（m>0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A.错误!B．3C。

错误!m D．3m解析：双曲线方程为错误!－错误!＝1,焦点F到一条渐近线的距离为错误!。

选A。

答案：A2．已知双曲线错误!－错误!＝1（a>0)的离心率为2，则a＝( ）A．2 B．错误!C。

错误!D．1解析：因为双曲线的方程为错误!－错误!＝1，所以e2＝1＋错误!＝4，因此a2＝1，a＝1.选D。

答案：D3．双曲线x2－4y2＝－1的渐近线方程为( ）A．x±2y＝0 B．y±2x＝0C．x±4y＝0 D．y±4x＝0解析：依题意，题中的双曲线即错误!－x2＝1，因此其渐近线方程是错误!－x2＝0,即x±2y＝0，选A。

答案：A4．已知双曲线错误!－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，且满足|PF1｜＋|PF2|＝2错误!，则△PF1F2的面积为（）A．1 B．错误!C。

错误!D．错误!解析：在双曲线错误!－y2＝1中，a＝错误!,b＝1，c＝2。

不防设P点在双曲线的右支上,则有｜PF1|－|PF2|＝2a＝23，又|PF1|＋|PF2｜＝2错误!，∴|PF1|＝错误!＋错误!,｜PF 2|＝错误!－错误!.又｜F 1F 2｜＝2c ＝4，而|PF 1｜2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴PF 1⊥PF 2，∴S △PF 1F 2＝错误!×|PF 1｜×｜PF 2｜＝错误!×(错误!＋3)×(5－错误!)＝1.故选A 。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2019-2020年高考数学大一轮复习第八章平面解析几何课时作业62理新人教A 版1．已知椭圆C 过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，62，点F (－2，0)是椭圆的左焦点，点P ，Q 是椭圆C 上的两个动点，且|PF |，|MF |，|QF |成等差数列．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A .解：(1)设椭圆C的方程为x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋64b2＝1，a 2－b 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝2，∴椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)证明：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由椭圆的标准方程为x 24＋y 22＝1，可知|PF |＝x 1＋22＋y 21＝x 1＋22＋2－x 212＝2＋22x 1，同理|QF |＝2＋22x 2， |MF |＝＋22＋⎝⎛⎭⎪⎫622＝2＋22， ∵2|MF |＝|PF |＋|QF |， ∴2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22＝4＋22(x 1＋x 2)，∴x 1＋x 2＝2. (ⅰ)当x 1≠x 2时，由⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4.得x 21－x 22＋2(y 21－y 22)＝0， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－12·x 1＋x 2y 1＋y 2. 设线段PQ 的中点为N (1，n )，由k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12n，得线段PQ 的中垂线方程为y －n ＝2n (x －1)，∴(2x －1)n －y ＝0，该直线恒过一定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0. (ⅱ)当x 1＝x 2时，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－62，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，62或P ⎝⎛⎭⎪⎫1，62，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－62，线段PQ 的中垂线是x 轴，也过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.综上，线段PQ 的中垂线过定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0. 2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且过点(2，2)．(1)求椭圆的标准方程；(2)四边形ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线AC ，BD 过原点O ，若k AC ·k BD ＝－b 2a2.求证：四边形ABCD 的面积为定值．解：(1)由题意e ＝ca ＝22，4a 2＋2b2＝1，又a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝8，b 2＝4，故椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)证明：设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋2y 2＝8.得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0，Δ＝(4km )2－4(1＋2k 2)(2m 2－8)＝8(8k 2－m 2＋4)>0，① 由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－4km1＋2k2，x 1x 2＝2m 2－81＋2k 2.∵k AC ·k BD ＝－b 2a 2＝－12，∴y 1y 2x 1x 2＝－12，∴y 1y 2＝－12x 1x 2＝－12·2m 2－81＋2k 2＝－m 2－41＋2k 2.又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝k 22m 2－81＋2k 2＋km －4km 1＋2k 2＋m 2＝m 2－8k 21＋2k2，∴－m 2－41＋2k 2＝m 2－8k 21＋2k2，∴－(m 2－4)＝m 2－8k 2，∴4k 2＋2＝m 2.设原点到直线AB 的距离为d ，则S △AOB ＝12|AB |·d ＝121＋k 2·|x 2－x 1|·|m |1＋k2 ＝|m |2x 1＋x 22－4x 1x 2＝|m |2⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋2k 22－4×2m 2－81＋2k 2＝|m |28m2＋2k22＝22，∴S 四边形ABCD ＝4S △AOB ＝82，即四边形ABCD 的面积为定值．3．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到两点(－3，0)，(3，0)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为曲线C ，直线l 过点E (－1，0)且与曲线C 交于A ，B 两点．(1)求曲线C 的轨迹方程；(2)△AOB 的面积是否存在最大值，若存在，求出△AOB 的面积的最大值；若不存在，说明理由．解：(1)由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(－3，0)，(3，0)为焦点，长半轴长为2的椭圆．故曲线C 的轨迹方程为x 24＋y 2＝1.(2)△AOB 的面积存在最大值．因为直线l 过点E (－1,0)，所以可设直线l 的方程为x ＝my －1或y ＝0(舍)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，x ＝my －1.整理得(m 2＋4)y 2－2my －3＝0，Δ＝(2m )2＋12(m 2＋4)>0. 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其中y 1>y 2.解得y 1＝m ＋2m 2＋3m 2＋4，y 2＝m －2m 2＋3m 2＋4.则|y 2－y 1|＝4m 2＋3m 2＋4.因为S △AOB ＝12|OE |·|y 1－y 2|＝2m 2＋3m 2＋4＝2m 2＋3＋1m 2＋3.设t ＝m 2＋3，t ≥3，g (t )＝t ＋1t ，则g ′(t )＝1－1t2，故当t ≥3时，g ′(t )>0恒成立，则g (t )在区间[3，＋∞)上为增函数，所以g (t )≥g (3)＝433.所以S △AOB ≤32，当且仅当m ＝0时取等号．所以S △AOB 的最大值为32.1．(xx·新课标全国卷Ⅰ)已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点． (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．解：(1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3.又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1. 从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1. 又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1.所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1. 设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t.因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0.所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2. 2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点M (6，1)，离心率为22.(1)求椭圆的标准方程．(2)已知点P (6，0)，若A ，B 为已知椭圆上两动点，且满足PA →·PB →＝－2，试问直线AB 是否恒过定点？若恒过定点，请给出证明，并求出该定点的坐标；若不过，请说明理由．解：(1)由题意得c a ＝22，① 因为椭圆经过点M (6，1)，所以6a 2＋1b2＝1.②又a 2＝b 2＋c 2，③由①②③，解得a 2＝8，b 2＝c 2＝4. 所以椭圆方程为x 28＋y 24＝1.(2)①当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线的方程为y ＝kx ＋m ，代入x 28＋y 24＝1，消去y 整理得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0.由Δ>0，得8k 2＋4－m 2>0，(*)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－82k 2＋1.所以PA →·PB →＝(x 1－6)(x 2－6)＋y 1y 2 ＝(x 1－6)(x 2－6)＋(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋(km －6)(x 1＋x 2)＋6＋m 2＝－2，得(k 2＋1)x 1x 2＋(km －6)(x 1＋x 2)＋8＋m 2＝0， (k 2＋1)·2m 2－82k 2＋1＋(km －6)·－4km 2k 2＋1＋8＋m 2＝0，整理得(3m ＋22k )2＝0，从而m ＝－263k ，且满足(*)，所以直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －263，故直线AB 经过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫263，0.②当直线AB 与x 轴垂直时，若直线为x ＝263，此时点A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫263，263，⎝ ⎛⎭⎪⎫263，－263，亦有PA →·PB →＝－2.综上，直线AB 经过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫263，0.。

2019-2020年高考数学大一轮复习 第八章 平面解析几何课时作业62 理 新人教A版

2020年高考数学一轮总复习 第八章平面解析几何 课时规范练理含解析

高考数学(理)一轮复习教师用书： 第八章 平面解析几何 Word版含解析