17.2勾股定理的逆定理1

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人教版八年级数学下册期末复习课件：17

a＝12m2－n2， b＝mn，其中 m＞n＞0，m、n 是互质的奇数． c＝12m2＋n2，
应用：当 n＝1 时，求有一边长为 5 的直角三角形的另外两条边长．
解：当 n＝1 时，a＝12(m2－1)，b＝m，c＝12(m2＋1)．∵直角三角形有一边长为 5，∴当 a＝5 时，12(m2－1)＝5，解得 m＝± 11(舍去)；当 b＝5 时，即 m＝5，∴a＝ 12，c＝13；当 c＝5 时，12(m2＋1)＝5，解得 m＝±3.∵m＞0，∴m＝3，∴a＝4，b＝ 3.综上所述，直角三角形的另外两条边长分别为 12,13 或 3,4.
△BCF 中，由勾股定理，得 BF＝ BC2＋CF2＝5.在 Rt△EDF 中，由勾股定理，得
EF＝ DE2＋DF2＝ 5.在△BEF 中，BE2＋EF2＝(2 5)2＋( 5)2＝25＝BF2，由勾股定
理的逆定理，得△BEF 是直角三角形，且∠BEF＝90°，∴BE⊥EF.
思维训练
15．阅读材料：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数 a、b、c，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为
___________________________________
_______.
• 解析：∵(a－b)(a2＋b2－c2)＝0，∴a＝b或a2 ＋b2＝c2.当只有a＝b成立时，△ABC是等腰三角形；当只有a2＋b2＝直c角2成立时，△ABC是直角三角形；当两个条件同时成立时， △ABC是等腰直角三角形．
能力提升
• 8．下列定理中，没有逆定理的是 ( B ) • A．等腰三角形的两个底角相等 • B．对顶角相等 • C．三边对应相等的两个三角形全等 • D．直角三角形两个锐角的和等于90°

《17.2勾股定理的逆定理》作业设计方案-初中数学人教版12八年级下册

《勾股定理的逆定理》作业设计方案（第一课时）一、作业目标1. 加深学生对勾股定理及逆定理的理解和认识。

2. 训练学生运用勾股定理和逆定理解决实际问题的能力。

3. 培养学生自主学习、合作探究的能力，形成对数学学习的良好习惯。

二、作业内容（一）学习勾股定理和逆定理的概念及其基本原理学生应熟悉勾股定理的定义及公式表达，掌握逆定理的定义及其与勾股定理的关联性。

通过阅读教材、观看教学视频等方式，理解勾股定理在几何学中的重要性。

（二）完成勾股定理的逆定理相关练习1. 基础练习：选择或填写与勾股定理相关的数值和答案。

2. 探究练习：运用勾股定理及逆定理，解决三角形中直角三角形的判断、已知两边求第三边等问题。

3. 小组合作练习：设计或找出与勾股定理有关的实际问题，小组内共同探讨解决方案。

（三）作业实践环节要求学生运用所学知识，自主寻找或设计实际问题，通过实践操作（如绘制图形、测量数据等）解决数学问题。

可以设置“数与形结合”的题目，比如，测量操场中的矩形面积等场景中的相关线段长度。

三、作业要求1. 学生应按照课本或教师的指导完成相关习题。

2. 在小组讨论环节中，要求每个学生都能积极发表观点，并能记录组内成员的意见。

3. 实践环节应保证作业的真实性和完整性，实践记录需包含解决问题的步骤及所用公式或原理的描述。

4. 作业应按时提交，如有特殊情况需提前向教师说明。

四、作业评价1. 作业的正确性：判断答案是否准确无误地应用了勾股定理及逆定理。

2. 解题思路的清晰性：评价学生解题思路是否清晰，能否正确运用所学知识解决问题。

3. 小组合作情况：评价小组内成员的参与度及合作情况，是否达到共同进步的目的。

4. 实践环节的完成度：评价学生实践环节的完成情况，是否真实地进行了实践操作并记录了过程。

五、作业反馈1. 教师将对学生的作业进行批改，及时指出错误并给出修改意见。

2. 对于优秀作业进行展示，鼓励学生互相学习。

3. 对于实践环节的作业，教师将组织学生进行分享交流，互相学习解决问题的方法和经验。

人教版数学八年级下册17.2《勾股定理的逆定理》说课稿1

人教版数学八年级下册17.2《勾股定理的逆定理》说课稿1一. 教材分析《勾股定理的逆定理》是人教版数学八年级下册第17.2节的内容。

这部分教材主要让学生了解并掌握勾股定理的逆定理，能够运用逆定理判断一个三角形是否为直角三角形。

教材通过实例引入，引导学生探究并发现勾股定理的逆定理，进而总结出一般性结论。

这部分内容是初中数学的重要知识点，也是中考的热点，对于学生来说，理解和掌握勾股定理的逆定理对于解决实际问题具有重要意义。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了勾股定理和直角三角形的性质，对于这些知识点有一定的了解。

但是，学生可能对于如何运用勾股定理的逆定理来判断一个三角形是否为直角三角形还不够清晰。

因此，在教学过程中，我需要引导学生通过探究和发现来理解并掌握勾股定理的逆定理，并能够运用到实际问题中。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生理解和掌握勾股定理的逆定理，能够运用逆定理判断一个三角形是否为直角三角形。

2.过程与方法目标：通过探究和发现，培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和自主学习能力。

四. 说教学重难点1.教学重点：理解和掌握勾股定理的逆定理，能够运用逆定理判断一个三角形是否为直角三角形。

2.教学难点：如何引导学生通过探究和发现来理解并掌握勾股定理的逆定理。

五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用引导发现法、实例教学法和小组合作学习法等教学方法。

通过引导学生观察、思考和交流，激发学生的学习兴趣，培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。

同时，我将运用多媒体课件和教具等教学手段，帮助学生更好地理解和掌握知识点。

六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考如何判断一个三角形是否为直角三角形。

2.探究：引导学生观察和分析实例，发现勾股定理的逆定理，并总结出一般性结论。

3.讲解：对勾股定理的逆定理进行详细讲解，解释其含义和运用方法。

17.2.1勾股定理的逆定理(教案)

3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了勾股定理逆定理的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对逆定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活和学习中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
今天我们在课堂上学习了勾股定理的逆定理，这节课下来，我觉得有几个方面值得反思。首先，我在导入新课环节提出了与日常生活相关的问题，希望激发学生的兴趣，但从学生的反应来看，可能这个问题还不够贴近他们的生活实际，今后我需要在这方面多下功夫。
在讲授新课的过程中，我发现有些学生对勾股定理逆定理的概念理解不够透彻，可能是因为我讲得太快，没有给他们足够的消化时间。在今后的教学中，我要注意放慢讲解速度，让学生有更多机会提问和思考。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“勾股定理逆定理在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
实践活动环节，学生们分组讨论和实验操作都表现得不错，但我发现有些小组在分享成果时，其他同学并不是很关注，可能是因为我对成果展示的要求不够明确。下次我会强调成果展示的要求，让每个小组都能认真倾听，相互学习。
学生小组讨论环节，整体氛围较好，学生们积极发表自己的观点。但也有部分学生参与度不高，我需要在讨论过程中更多地关注这些学生，鼓励他们积极参与，提高课堂的互动性。

八下数学17.2(2)勾股定理的逆定理

试一试
[P76:2.]
八年级数学
说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗?
(1) 同旁内角互补，两条直线平行．
逆命题: 两条直线平行，同旁内角互补．成立
(2)如果两个角是直角，那么它们相等．
逆命题: 如果两个角相等，那么它们是直角．不成立
(3)全等三角形的对应边相等．
逆命题:对应边相等的两个三角形是全等三角形. 成立
D
12
A
13
4
B 3C
自主评价：
八年级数学
1、勾股定理的逆定理
2、什么叫做互逆命题、原命题与逆命题 3、什么称为互为逆定理。
作业：38页，复习题17, 第4、5、6题
(4) 如果两个实数相等，那么它们的平方相等．
逆命题:如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等. 不成立
八年级数学
例1 一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC都应为直角。工人师傅量得这个零件各边尺寸，这个零件符合要求吗？
此时四边形ABCD的面积是多少?
C
答案：符合 S四边形ABCD
C
S2
A
b
ca
S1
B
S3
C
S2 b
S1
a
c
A
B
S3
思维训练
八年级数学
7、已知a，b，c为△ABC的三边, 且满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. 试判断△ABC的形状.
八年级数学
8.如图，一块四边形地，测得四边长如图所示，且 ∠ABC＝90°，求这个四边形地的面积。（单位：米）
八年级数学

勾股定理的逆定理教案

17．2勾股定理的逆定理课题17．2勾股定理的逆定理（1）目标知识与技能目标1．掌握直角三角形的判别条件．2．熟记一些勾股数．3．掌握勾股定理的逆定理的探究方法．过程与方法目标1．用三边的数量关系来判断一个三角形是否为直角三角形，•培养学生数形结合的思想．2．通过对Rt△判别条件的研究，培养学生大胆猜想，勇于探索的创新精神．情感与态度目标1．通过介绍相关历史资料，激发学生解决问题的愿望．2．通过对勾股定理逆定理的探究，培养学生学习数学的兴趣和创新精神．教学重点探究勾股定理的逆定理，理解互逆命题，原命题、逆命题的相关概念及关系．教学难点归纳、猜想出命题2的结论．教学过程一、创设问题情境，引入新课（1）总结直角三角形有哪些性质．（2）一个三角形，满足什么条件是直角三角形？设计意图：通过对前面所学知识的归纳总结，联想到用三边的关系是否能够判断一个三角形为直角三角形，提升学生发现反思问题的水平．师生行为：学生分组讨论，交流总结；教师引导学生回忆．二、合作交流，解读探究（一）问题：据说古埃及人用以下列图的方法画直角；把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结、4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，•其中一个角便是直角．这个问题意味着，假设围成的三角形的三边分别为3、4、5，•有下面的关系“32+42=52”，那么围成的三角形是直角三角形．画画看，假设三角形的三边分别为 2.5cm、6cm、6.5cm，有下面的关系，•“2.52+62=6.52，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为4cm、7.5cm、8.5cm，设计意图：由特殊猜想得到的结论，会让一些同学产生疑虑，我们的猜想是否准确，必须有严密的推理证明过程，才能让大家用的放心．通过对命题2的证明，•还能够提升学生的逻辑推理水平．练习：1．假设三条线段长a，b，c满足a2=c2-b2，•这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？2．说出以下命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗？（1）两条直线平行，内错角相等．（2）假设两个实数相等，那么它们的绝对值相等．（3）全等三角形的对应角相等．（4）在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．三、巩固提升【例1】一个零件的形状如以下列图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC 都应为直角．工人师傅量出了这个零件各边尺寸，那么这个零件符合要求吗？解：在△ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2，所以△ABD是直角三角形，∠A是直角．在△BCD中，BD2+BC2=25+144=169=132=CD2，所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角．所以这个零件符合要求．【例2】（1）判断以a=10，b=8，c=6为边组成的三角形是不是直角三角形．解：因为a2+b2=100+64=164≠c2．即a2+b2≠c2，所以由a，b，c不能组成直角三角形。

17.2勾股定理的逆定理(优质课)教学设计

17.2勾股定理的逆定理(优质课)优秀教学设计1000字教学设计：勾股定理的逆定理教学目标：1. 理解勾股定理的逆定理。

2. 能够使用逆定理解决三角形直角问题。

3. 培养学生自信心和解决问题的能力。

教学过程：一、导入：老师可以让学生回顾一下勾股定理，强调直角三角形的特征和斜边平方等于两条直角边平方和的关系。

二、新知：老师让学生学习勾股定理的逆定理。

首先，老师列出勾股定理的公式：a²+b²=c²。

然后，老师强调因为右边的平方和等于左边的平方和，所以如果c²=a²+b²那么这个三角形是直角三角形。

三、讲解：老师为学生讲解勾股定理的逆定理。

勾股定理的逆定理是：如果一个三角形的三边中，某两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。

四、练习：老师让学生完成以下练习，巩固勾股定理的逆定理的运用能力。

1、在图中，AB=25，BC=24，AC=7，则△ABC是什么三角形？2、在图中，AB=10，AC=6，BC=8，则△ABC是什么三角形？3、在图中，AB=13，AC=12，则BC的值是多少？五、展示：老师通过学生的练习，展示勾股定理的逆定理的应用。

六、总结：老师总结课程，让学生复习并归纳勾股定理和勾股定理的逆定理，以及它们在解决直角三角形问题中的应用。

七、作业：老师布置勾股定理和勾股定理的逆定理的作业，要求学生在完成作业的同时，运用勾股定理和勾股定理的逆定理解决问题。

教学方法：讲解、练习、展示、总结教学工具：黑板、彩色粉笔、PPT评估方法：学生完成的课堂练习和作业，以及他们在课堂上所展示的应用。

教学反思：教师需要注意在讲解中，既要强调勾股定理的逆定理的概念和公式，也要注重其实际应用。

在练习和布置作业中，老师需要注意难易程度的掌控，要让学生既能够完成，又能够得到提高。

在展示中，老师应该强调问题的解决方法，并及时纠正错误。

在总结时，老师需要重点强调勾股定理和勾股定理的逆定理的区别和应用，以及怎样能够更好地运用勾股定理和逆定理解决问题。

初中数学_勾股定理的逆定理(1)教学设计学情分析教材分析课后反思

勾股定理的逆定理（1）教学设计教学设计思路本节从古埃及人画直角的方法谈起，然后让学生画一些三角形（已知三边，并且两边的平方和等于第三边的平方）．从而发现画出的三角形是直角三角形．猜想如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，即教科书中的命题2，把命题2的条件、结论与上节命题1的条件、结论作比较，引出逆命题的概念。

然后学习勾股定理逆定理的证明，经历证明勾股定理逆定理的过程，得出命题2是正确的，引出勾股定理的逆定理的概念，最后是利用勾股定理的逆定理解决实际问题的例子，可以进一步理解勾股定理的逆定理，体会数学与现实世界的联系。

教学目标1.知识与技能：（1）理解勾股定理的逆定理的证明方法并能证明勾股定理的逆定理。

（2）掌握勾股定理的逆定理，并能应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形。

2.过程与方法（1）通过对勾股定理的逆定理的探索，经历知识的发生、发展与形成过程。

（2）通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合方法的应用。

（3）通过对勾股定理的逆定理的证明，体会数形结合方法在问题解决中的作用，并能应用勾股定理的逆定理来解决相关问题。

3．情感态度（1）通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形的内在联系，感受定理与逆定理之间的和谐与辨证统一的关系（2）在探索勾股定理的逆定理的活动中，通过一系列的富有探究性的问题，渗透与他人交流、合作的意识和探究精神。

教学方法启发引导、分组讨论，合作探究教学媒体多媒体课件演示。

教学过程设计（一）创设问题情境，引入新课大家思考一下有没有其他的方法来说明一个三角形是直角三角形呢？前面我们学习了勾股定理，可不可以用三角形三边的关系来判定它是否为直角三角形呢？我们来看一下古埃及人如何做？（二）讲授新课活动1问题：据说古埃及人用下图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结、4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。

17.2 勾股定理逆定理

想一想:
互逆命题与互逆定理有何关系?
下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？
(1) a=25 b=20 c=15
(2) a=13 b=14 c=15 (3) a=1 b=2 c= 3 (4) a=9 b=40 c=41
0 是 ∠ A=90 ____ _____ ;
1．三角形三边长分别为6、8、10，那么它最短边上的高为______． 2．测得一个三角形花坛的三边长分别为 5cm，12cm，13cm，则这个花坛的面积是 ________． 3．直角三角形三边是连续整数，则这三角形的各边分别为＿＿＿
4．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm，则它的面积是＿＿＿
已知∠ACB=90°,
CD⊥AB,AC=3,BC=4.
A D 3 C B
求CD的长.
解由三角形面积公式得
S ABC 1 1 AB CD BC AC 2 2
4
所以 AB· CD＝BC· AC
BC AC CD AB
3 4 12 5 5
已知:在△ ABC中, AB=15cm，AC=20cm，练习 BC=25cm，AD是BC边上的高。求AD的长。
练:说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗? (1)两条直线平行，内错角相等．
逆命题: 内错角相等，两条直线平行. 成立成立
(2)如果两个实数相等，那么它们的立方相等．
逆命题:如果两个实数的立方相等，那么这两个实数相等.
(3)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．
逆命题:如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等. 不成立
小正方形的边长是１，请剪拼出一个面积是5的正方形。

《勾股定理的逆定理》优质公开课1

人教版数学八年级下册
第十七章
17.2.1 勾股定理的逆定理
学习目标
1.能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形.
2.灵活运用勾股定理及其逆定理解决问题. 3.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系．
导入新知
同学们，古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉成一个三角形 (如图)，他们认为其中一个角便是直角．你知道这是什么道理吗？
新知小结
用数学几何知识解决生活实际问题的关键是：建模思想，即将实际问题转化为数学问题；这里要特别注意弄清实际语言与数学语言间的关系；如本例中：“点与点之间的最短路线”就是“连接这两点的线段”，“点与直线的最短距离”就是“点到直线的垂线段的长”．
巩固新知
1 如果三条线段长a，b，c满足a2=c2–b2，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？
导引：根据题目要求，先判断原命题的真假，再将原命题的题设和结论互换，写出原命题的逆命题，最后判断逆命题的真假．
解：(1)原命题是真命题．逆命题为：如果两条直线只有一个交点，那么它们相交．逆命题是真命题．
(2)原命题是假命题．逆命题为：如果a2＞b2，那么a ＞b.逆命题是假命题．
(3)原命题是真命题．逆命题为：如果两个数的和为零，那么它们互为相反数．逆命题是真命题．
A．1个便是直角．你知道这是什么道理吗？
B．2个
C．3个 D．4个
合作探究
知识点 3 勾股数
1. 勾股数：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数．常见的勾股数有：3，4，5；5，12，13； 8，15，17；7，24，25；9，40，41；….
2．判断勾股数的方法： (1)确定是否是三个正整数； (2)确定最大数； (3)计算：看较小两数的平方和是否等于最大数的

17.2第1课时勾股定理的逆定理课件人教版数学八年级下册【01】

（11）
（3）
（10）（9）
（4）（5）（6）（7）（8）
问题2：下面有两组数分别是一个三角形的三边长 a， b， c.请分别作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
①5，12，13； ②8，15，17.
是
90 120 150
180
60 30
12 13
0
(1) a = 7，b = 24，c = 25； (2) a =3，b = 4，c = 6.
解：(1)∵ 72 + 242 = 625，252 = 625，∴ 72 + 242 = 252，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C 是直角.
(2) ∵ 32 + 42 =25，62 = 36， ∴ 32 + 42 ≠ 62，不符合勾股定理的逆定理，这个三角形不是直角三角形.
为大于 1 的正整数). 试问△ABC 是直角三角形吗？
若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由.
解：∵ AB²+ BC²= (n²- 1)²+ (2n)² = n4 - 2n²+ 1 + 4n² = n4 + 2n²+ 1 = (n²+ 1)² = AC²，
∴△ABC 是直角三角形，边 AC 所对的角是直角.
复习引入问题1 勾股定理的内容是什么?
B
a
c
如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边为 c，那么 a2 + b2 = c2. C
b
A
问题2 求以线段 a、b 为直角边的直角三角形的
斜边 c 的长： ① a＝3，b＝4； c = 5 ② a＝6，b＝8； c = 10

人教版数学八年级下册17.2《勾股定理的逆定理》要点讲解

勾股定理的逆定理要点讲解一、勾股定理的逆定理1 .勾股定理的逆定理“如果直角三角形两直角边分别为a、b 、c，且满足a2＋b2＝c2．那么这个三角形是直角三角形．” 我们在判断一个三角形是不是直角三角形时，可直接运用这个逆定理．如图1所示，在△ABC中，如果AC2＋BC2＝AB2，那么△ABC就是直角三角形．2.勾股定理的逆定理与勾股定理的联系与区别联系：（1）两者都与a2＋b2＝c2有关，（2）两者所讨论的问题都是直角三角形区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个直角三角形三边的数量关系，“a2＋b2＝c2”；勾股定理的逆定理则是以“一个三角形的三边满足a2＋b2＝c2”为条件，进而得到这个三角形是直角三角形，是判别一个三角形是否是直角三角形的一个方法．特别说明：勾股定理的逆定理和勾股定理一样，不是凭空想象出来的，而是古代科学家们在实践中逐步发现和认识的，所以我们在学习勾股定理时，也应通过实践来认识和理解它．如通过勾股数画图、剪纸、户外实践等活动认识和理解逆定理，这样才能使我们的印象深刻，认识清楚，理解透彻．二、勾股定理的逆定理的应用勾股定理的逆定理是判断一个三角形是不是直角三角形的重要依据，是运用直角三角形各种性质的先决条件，它体现了数形结合的重要数学思想，在生产实践与现实生活中有着广泛的应用．例2 如图2所示，在△ABD中，∠A 是直角，AB＝3，AD ＝4，BC＝12，DC＝13，△DBC是直角三角形吗？为什么？图2分析：要判断△DBC是不是直角三角形，首先要有它的三条边，而其中的BD边需要通过Rt△BAD得到，所以，解答这个问题的步骤应是，先由Rt△BAD 中的AB、AD求得BD，再根据勾股定理的逆定理进行判定．解：是直角三角形．理由：在Rt△BAD中，根据勾股定理，得BD2＝AD2＋AB2＝33＋42＝25，所以BD＝5 ．在△DBC中，BD2＋BC2＝25＋144＝169＝132＝CD2．所以△DBC是直角三角形．例3 如图3所示，在某市的地图上有三个景点A、B、C，已知景点A、B 之间的距离为0.4cm，景点C、B之间的距离为0.3cm，景点A、C之间的距离为0.5cm，问这三个景点为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？分析：要判别三角形是不是直角三角形只要验证AB2＋BC2＝AC2即可．解：因为0.3 2＋0.42＝0.52，所以这个三角形一定是直角三角形．说明：在运用勾股定理的逆定理判断三角形是不是直角三角形时，一是要根据三角形中的三条边，看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方；二是注意将一组勾股数同时扩大或缩小同样的倍数所得数仍是勾股数．。

17.2 勾股定理的逆定理

17.2 勾股定理的逆定理一．选择题（共2小题）1．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法错误的是（）A．如果∠C﹣∠B=∠A，则△ABC是直角三角形B．如果c2=b2﹣a2，则△ABC是直角三角形C．如果∠A：∠B：∠C=1：2：3，则△ABC是直角三角形D．如果a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形【分析】根据勾股定理的逆定理以及三角形的内角和定理即可作出判断．【解答】解：A、∠C﹣∠B=∠A，即∠A+∠B=∠C，又∵∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，那么△ABC是直角三角形，说法正确；B、c2=b2﹣a2，即a2+c2=b2，那么△ABC是直角三角形且∠B=90，说法正确；C、∠A：∠B：∠C=1：2：3，又∵∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，则△ABC是直角三角形，说法正确；D、a=3，b=5，c=4，32+52≠42，但是32+42=52，则△ABC可能是直角三角形，故原来说法错误．故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，熟练掌握勾股定理，由三边满足的关系确定斜边、直角是解决问题的关键．2．△ABC的三边分别为a，b，c，下列条件：①∠A=∠B﹣∠C；②a2=（b+c）（b ﹣c）；③a：b：c=3：4：5．其中能判断△ABC是直角三角形的条件个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】根据三角形的内角和定理和已知求出最大角∠B的度数，即可判断①；根据已知得出a2+c2=b2，根据勾股定理的逆定理即可判断②；设a=3k，b=4k，c=5k求出a2+c2=b2，根据勾股定理的逆定理即可判断③．【解答】解：①∵∠A=∠B﹣∠C，∴∠A+∠C=∠B，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠B=180°，∴∠B=90°，∴△ABC是直角三角形，∴①正确；②a2=（b+c）（b﹣c），∴a2=b2﹣c2，∴a2+c2=b2，∴△BAC是直角三角形，∴②正确；③∵a：b：c=3：4：5，∴设a=3k，b=4k，c=5k，∵a2+b2=25k2，c2=25k2，∴a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形，∴③正确；故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理的应用，主要考查学生的辨析能力，题目比较典型，难度适中．二．填空题（共3小题）3．如图，已知△ABC中，AB=AC=cm，∠BAC=120°，点P在BC上从C向B运动，点Q在AB、AC上沿B→A→C运动，点P、Q分别从点C、B同时出发，速度均为1cm/s，当其中一点到达终点时两点同时停止运动，则当运动时间t=1或2或（6﹣9）s时，△PAQ为直角三角形．【分析】分三种情形分别求解即可解决问题；【解答】解：①当PA⊥AB时，△PAQ是直角三角形．∵∠B=30°，AB=，∴PA=1，PB=2，∵BC=3，∴PC=1，∴t=1s时，△PAQ是直角三角形．②当PQ⊥AB时，△PAQ是直角三角形．此时BQ=PB，∴t=（3﹣t），∴t=6﹣9，∴t=（6﹣9）s时，△PAQ是直角三角形．③当点Q在AC上时，PA⊥AC时，△PAQ是直角三角形，此时PC=2，t=2，∴t=2s时，△PAQ是直角三角形．综上所述，t=1或2或（6﹣9）s时，△PAQ是直角三角形．故答案为1或2或（6﹣9）．【点评】本题考查等腰三角形的性质、解直角三角形、直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的射线思考问题，属于中考常考题型．4．如图，某小区有一块直角三角形绿地，量得直角边AC=4m，BC=3m，考虑到这块绿地周围还有足够多的空余部分，于是打算将这块绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以AC为一条直角边的直角三角形，则扩充的方案共有3种．【分析】由于扩充所得的等腰三角形腰和底不确定，若设扩充所得的三角形是△ABD，则应分为①AB=AD，②AB=BD，③AD=BD，3种情况进行讨论．【解答】解：如图所示：故答案是：3．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，关键是正确进行分类讨论．5．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，已知小巷的宽度是2.2米，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到坐墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端距离地面2米．【分析】先根据勾股定理求出AB的长，同理可得出A′D的长，进而可得出结论．【解答】解：如图．在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，∴AB2=0.72+2.42=6.25．在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，BD=2.2﹣0.7=1.5（米），BD2+A′D2=A′B2，∴A′D2+1.52=6.25，∴A′D2=4，∵A′D＞0，∴A′D=2米，故答案是：2．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．三．解答题（共10小题）6．嘉嘉参加机器人设计活动，需操控机器人在5×5的方格棋盘上从A点行走至B点，且每个小方格皆为正方形，主办单位规定了三条行走路径R1，R2，R3，其行经位置如图与表所示：路径编号图例行径位置第一条路径R1_A→C→D→B第二条路径R2…A→E→D→F→B 第三条路径R3▂A→G→B已知A、B、C、D、E、F、G七点皆落在格线的交点上，且两点之间的路径皆为直线，在无法使用任何工具测量的条件下，请判断R1、R2、R3这三条路径中，最长与最短的路径分别为何？请写出你的答案，并完整说明理由．【分析】利用勾股定理分别计算出三条路径的长，比较大小即可得．【解答】解：第一条路径的长度为++=2+，第二条路径的长度为++1+=+++1，第三条路径的长度为+=2+，∵2+＜2+＜+++1，∴最长路径为A→E→D→F→B；最短路径为A→G→B．【点评】本题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理求得每条线段的长度．7．阅读：所谓勾股数就是满足方程x2+y2=z2的正整数解，即满足勾股定理的三个正整数构成的一组数．我国古代数学专著《九章算术》一书，在世界上第一次给出该方程的解为：x=（m2﹣n2），y=mn，z=（m2+n2），其中m＞n ＞0，m，n是互质的奇数．应用：当n=3时，求一边长为8的直角三角形另两边的长．【分析】讨论：（1）当x=8 时，利用（m2﹣32）=8计算出m，然后分别计算出y和z；（2）当y=8时，利用3m=8，解得m=，不合题意舍去；（3）当z=8时，利用（m2+32）=8求出m=±，不合题意舍去，从而得到当n=3时，一边长为8的直角三角形另两边的长．【解答】解：分三种情况：（1）当x=8 时，（m2﹣32）=8，解得m1=5，m2=﹣5（舍去），∴y=mn=15，z=（52+32）=17；（2）当y=8时，3m=8，解得m=而m为奇数，所以舍去；（3）当z=8时，（m2+32）=8，解得m=±，而m为奇数∴m=±舍去，综上所述，当n=3时，一边长为8的直角三角形另两边的长分别为15，17．【点评】本题考查了勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．记住常用的勾股数再做题可以提高速度．8．阅读：所谓勾股数就是满足方程x2+y2=z2的正整数解，即满足勾股定理的三个正整数构成的一组数．我国古代数学专著《九章算术》一书，在世界上第一次给出该方程的解为：x=，y=mn，z=，其中m＞n ＞0，m、n是互质的奇数．应用：当n=5时，求一边长为12的直角三角形另两边的长．【分析】分类讨论：x=12；y=12；z=12，结合已知条件，借助于方程解答．【解答】解：∵n=5，直角三角形一边长为12，∴有三种情况：①当x=12 时，．解得m1=7，m2=﹣7（舍去）．∴y=mn=35．∴．∴该情况符合题意．②当y=12时，5m=12，．∵m为奇数，∴舍去．③当z=12时，，m2=﹣1，此方程无实数解．综上所述：当n=5时，一边长为12的直角三角形另两边的长分别为35，37．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，分类讨论是解题的关键．9．清明时节，某校八年级近300名师生前往山东曲阜、台儿庄两地，参加为期三天的研学旅行活动．途中在某服务区短暂停歇后，1号大巴车以80km/h的速度离开服务区向西北方向行驶，3号大巴车在同时同地以60km/h的速度向东北方向行驶，问：它们离开服务区0.5h后相距多远？【分析】根据路程=速度×时间，以及勾股定理求出所求即可．【解答】解：根据题意得：80×0.5=40（km），60×0.5=30（km），根据勾股定理得：=50（km），则0.5h后两辆大巴车相距50km．【点评】此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．10．（1）如图1是一家唇膏卖家的礼品装，卖家采用了正三梭柱形盒子，里面刚好横放一支圆柱形唇膏，右图是其横载面，△ABC为正三角形．求这个包装盒空间的最大利用率（圆柱体积和纸盒容积的比）；（2）一个长宽高分别为l，b．h的长方体纸箱装满了一层高为h的圆柱形易拉罐如图2．求纸箱空间的利用率（易拉罐总体积和纸箱容积的比）；（3）比较上述两种包装方式的空间利用率哪个大？【分析】（1）如图1，设⊙O半径为r，纸盒长度为h'，则CD=r，BC=2r．根据圆柱的体积和棱柱的体积公式分别求得圆柱型唇膏和纸盒的体积，然后求其比值；（2）求得易拉罐总体积和纸箱容积，然后求得比值；（3）利用（1）（2）的数据进行解答．【解答】解：（1）由题意，⊙O是△ABC内接圆，D为切点，如图1，连结OD，OC．设⊙O半径为r，纸盒长度为h'，则CD=r，BC=2r 则圆柱型唇膏和纸盒的体积之比为：（）（2）易拉罐总体积和纸箱容积的比：=；（3）∵=∴第二种包装的空间利用率大．【点评】考查了勾股定理的应用，圆的有关计算，立体图形的体积公式，综合性较强，需要学生对所学知识的系统掌握．11．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，点E是AD的中点，求CE的长．【分析】先由勾股定理求得AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判定△ADC是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．【解答】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，∵AB=3，BC=4，∴，∵CD=12，AD=13，∵AC2+CD2=52+122=169，AD2=169，∴AC2+CD2=AD2，∴∠C=90°，∴△ACD是直角三角形，∵点E是AD的中点，∴CE=．【点评】本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理及直角三角形的性质，能根据勾股定理的逆定理判断出△ADC是直角三角形是解答此题的关键．12．某研究性学习小组进行了探究活动．如图，已知一架竹梯AB斜靠在墙角MON处，竹梯AB=13m，梯子底端离墙角的距离BO=5m．（1）求这个梯子顶端A距地面有多高；（2）如果梯子的顶端A下滑4m到点C，那么梯子的底部B在水平方向上滑动的距离BD=4m吗？为什么？（3）亮亮在活动中发现无论梯子怎么滑动，在滑动的过程中梯子上总有一个定点到墙角O的距离始终是不变的定值，会思考问题的你能说出这个点并说明其中的道理吗？【分析】（1）在Rt△AOB中利用勾股定理求得AO的长即可；（2）在梯子长度不变的情况下，求出DO的长后减去BO的长求得BD即可作出判断；（3）由直角三角形斜边上的中线的性质回答问题．【解答】解：（1）∵AO⊥DO，∴AO=，=，=12m，∴梯子顶端距地面12m高；（2）滑动不等于4m，∵AC=4m，∴OC=AO﹣AC=8m，∴OD=，=，∴BD=OD﹣OB=，∴滑动不等于4m．（3）AB上的中点到墙角O的距离总是定值，因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是在直角三角形中弄清直角边和斜边．13．如图，一根长度为50cm的木棒的两端系着一根长度为70cm的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子蜡烛，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，这个点将绳子分成的两段各有多长？【分析】设使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形的位置为点C，则AC+BC=70cm，设AC=x，则BC=（70﹣x）cm，利用勾股定理建立方程，解方程即可求出x的值．【解答】解：已知如图：设AC=x，则BC=（70﹣x）cm，由勾股定理得：502=x2+（70﹣x）2，解得：x=40或30，若AC为斜边，则502+（70﹣x）2=x2，解得：x=，若BC为斜边，则502+x2=（70﹣x）2，解得：x=．故这个点将绳子分成的两段各有30cm或40cm或cm或cm．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确的记忆勾股定理确定好斜边与直角边是解决问题的关键．14．定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．（1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM=1.5，MN=2.5，BN=2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB=24，AM=6，求BN的长．【分析】（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点M、N是线段AB的勾股分割点．（2）设BN=x，则MN=12﹣AM﹣BN=7﹣x，分三种情形①当AM为最大线段时，依题意AM2=MN2+BN2，②当MN为最大线段时，依题意MN2=AM2+NB2，③当BN为最大线段时，依题意BN2=AM2+MN2，分别列出方程即可解决问题．【解答】解：（1）是．理由：∵AM2+BN2=1.52+22=6.25，MN2=2.52=6.25，∴AM2+NB2=MN2，∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，∴点M、N是线段AB的勾股分割点．（2）设BN=x，则MN=24﹣AM﹣BN=18﹣x，①当MN为最大线段时，依题意MN2=AM2+NB2，即（18﹣x）2=x2+36，解得x=8；②当BN为最大线段时，依题意BN2=AM2+MN2．即x2=36+（18﹣x）2，解得x=10，综上所述，BN=8或10．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解，属于中考常考题型．15．如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了5km到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了5km到达目的地C点．（1）求A、C两点之间的距离；（2）确定目的地C在营地A的什么方向上．【分析】（1）根据平行线的性质，可得∠ABF，根据直角三角形的判定，可得∠ABC，根据勾股定理，可得答案；（2）根据直角三角形的性质，可得∠CAB，根据角的和差，可得答案．【解答】解：（1）过B点作直线EF∥AD，∴∠DAB=∠ABF=60°，∵∠EBC=30°，∴∠ABC=180°﹣∠ABF﹣∠EBC=180°﹣60°﹣30°=90°，∴△ABC为直角三角形，由已知可得：BC=5km，AB=5km，由勾股定理可得：AC2=BC2+AB2，所以AC==10（km），即：A、C两点之间的距离为10km；（2）在Rt△ABC中，∵BC=5km，AC=10km，∴∠CAB=30°，∵∠DAB=60°，∴∠DAC=30°，即点C在点A的北偏东30°的方向上．【点评】本题考查了勾股定理的应用，利用了方向角，平行线的性质，直角三角形的性质，勾股定理．。