2019教育2.3等差数列的前n项和精品英语
2.3等差数列的前n项和
一、新课
1. 数列前n项和: 一般地，我们称a1+a2+…+an为数列{an}的前n项和， 常用Sn表示，即Sn=a1+a2+…+an
n 1 S1 , 2. Sn与an的关系 an S S , n 2 n 1 n
练习：试求下列数列的前100项和.
（1）2，2，2，2，……
（2）-1，1，-1，1，…… （3）1，2，3，4，……
200
0 5050
高斯(1777—1855） 德国著名数学家
1 2 3 100
1+100=101 2+ 99 =101 3+ 98 =101
5050
50+51=101
德国数学家高斯 （数学王子）
S100 50 （1+100）
a n 是等差数列 a n pn+q，
其意义是：等差数列是均匀变化或常数的的数列
等差数列的通项公式是：
an=a1
一般
*） +(n-1)d（n∈N
an是等差数列 an pn+q
a n 是等差数列的几何意义是
an=am +(n-m)d(n,m∈N*)
等差数列的项对应点都在直线上。
注：1.推导等差数列前n项和的方法“倒序相加法” 2.方程组思想的应用，“知三求一” ，“知三求 二” 3.等差数列{an}的前2n-1项和公式：
（2n 1 (a1 a2 n 1 ) ） S2 n 1 (2n 1)an 2
五、作业
1.书面作业：P46 习题2.3 A组 2 2.课后思考题：B组 2
1 3 15 例 3.在等差数列 an 中,已知 d , an , Sn , 2 2 2 3 求 a1 及 n . a1 பைடு நூலகம்
人教A版2019年高中数学必修5讲义：第二章 2.3 等差数列的前n项和_含答案
等差数列的前n 项和[新知初探]1．数列的前n 项和对于数列{a n }，一般地称a 1＋a 2＋…＋a n 为数列{a n }的前n 项和，用S n 表示，即S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .2．等差数列的前n 项和公式 [小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列的前n 项和就是指从数列的第1项a 1起，一直到第n 项a n 所有项的和( ) (2)a n ＝S n －S n －1(n ≥2)化简后关于n 与a n 的函数式即为数列{a n }的通项公式( ) (3)在等差数列{a n }中，当项数m 为偶数2n 时，则S 偶－S 奇＝a n ＋1( ) 解析：(1)正确．由前n 项和的定义可知正确． (2)错误．例如数列{a n }中，S n ＝n 2＋2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1. 又∵a 1＝S 1＝3，∴a 1不满足a n ＝S n －S n －1＝2n －1，故命题错误． (3)错误．当项数m 为偶数2n 时，则S 偶－S 奇＝nd . 答案：(1)√ (2)× (3)×预习课本P42～45，思考并完成以下问题2．等差数列{a n }中，a 1＝1，d ＝1，则S n 等于( ) A ．n B ．n (n ＋1) C ．n (n －1)D.n (n ＋1)2解析：选D 因为a 1＝1，d ＝1，所以S n ＝n ＋n (n －1)2×1＝2n ＋n 2－n 2＝n 2＋n 2＝n (n ＋1)2，故选D.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 4＝20，则S 6等于( )A ．16B ．24C ．36D ．48解析：选D 设等差数列{a n }的公差为d ， 由已知得4a 1＋4×32d ＝20， 即4×12＋4×32d ＝20，解得d ＝3，∴S 6＝6×12＋6×52×3＝3＋45＝48.4．在等差数列{a n }中，S 4＝2，S 8＝6，则S 12＝________.解析：由等差数列的性质，S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列，所以2(S 8－S 4)＝S 4＋(S 12－S 8)，S 12＝3(S 8－S 4)＝12.答案：12[典例] 已知等差数列{a n }．(1)a 1＝56，a 15＝－32，S n ＝－5，求d 和n ；(2)a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d .[解] (1)∵a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，∴d ＝－16.又S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－5， 解得n ＝15或n ＝－4(舍)．(2)由已知，得S8＝8(a1＋a8)2＝8(4＋a8)2＝172，解得a8＝39，又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.[活学活用]设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2＝3，a8＝11，则S9等于() A．13B．35C．49 D．63解析：选D∵{a n}为等差数列，∴a1＋a9＝a2＋a8，∴S9＝9(a2＋a8)2＝9×142＝63.[典例]已知数列{a n}的前n项和S n＝－2n2＋n＋2.(1)求{a n}的通项公式；(2)判断{a n}是否为等差数列？[解](1)∵S n＝－2n2＋n＋2，∴当n≥2时，S n－1＝－2(n－1)2＋(n－1)＋2＝－2n2＋5n－1，∴a n＝S n－S n－1＝(－2n2＋n＋2)－(－2n2＋5n－1)＝－4n ＋3.又a 1＝S 1＝1，不满足a n ＝－4n ＋3，∴数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－4n ＋3，n ≥2.(2)由(1)知，当n ≥2时，a n ＋1－a n ＝[－4(n ＋1)＋3]－(－4n ＋3)＝－4， 但a 2－a 1＝－5－1＝－6≠－4，∴{a n }不满足等差数列的定义，{a n }不是等差数列．[活学活用]1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝－n 2，则( ) A ．a n ＝2n ＋1 B ．a n ＝－2n ＋1 C ．a n ＝－2n －1D ．a n ＝2n －1解析：选B 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1；n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－n 2＋(n －1)2＝－2n ＋1，此时满足a 1＝－1.综上可知a n ＝－2n ＋1.2．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，根据条件求a n . (1)S n ＝2n 2＋3n ＋2； (2)S n ＝3n －1.解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝7，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋3n ＋2)－[2(n －1)2＋3(n －1)＋2]＝4n ＋1，又a 1＝7不适合上式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧7，n ＝1，4n ＋1，n ≥2.(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n －1)－(3n －1－1)＝2×3n －1，显然a 1适合上式，所以a n ＝2×3n －1(n ∈N *).[典例] (1)等差数列前n 项的和为30，前2n 项的和为100，则它的前3n 项的和为( ) A ．130 B ．170 C ．210D ．260(2)等差数列{a n }共有2n ＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n 等于________．(3)已知{a n }，{b n }均为等差数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝2n ＋2n ＋3，则a 5b 5＝________.[解析] (1)利用等差数列的性质： S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列． 所以S n ＋(S 3n －S 2n )＝2(S 2n －S n )， 即30＋(S 3n －100)＝2(100－30)， 解得S 3n ＝210.(2)因为等差数列共有2n ＋1项，所以S 奇－S 偶＝a n ＋1＝S 2n ＋12n ＋1，即132－120＝132＋1202n ＋1，解得n ＝10.(3)由等差数列的性质，知a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝a 1＋a 92×9b 1＋b 92×9＝S 9T 9＝2×9＋29＋3＝53. [答案] (1)C (2)10 (3)53[活学活用]1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝8，S 8＝20，则a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝( ) A ．18B ．17C ．16D ．15解析：选A 设{a n }的公差为d ，则a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝S 8－S 4＝12，(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)－S 4＝16d ，解得d ＝14，a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝S 4＋40d ＝18.2．等差数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为________．解析：因为a n ＝2n ＋1，所以a 1＝3， 所以S n ＝n (3＋2n ＋1)2＝n 2＋2n ， 所以S nn ＝n ＋2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为1，首项为3的等差数列，所以前10项和为3×10＋10×92×1＝75.答案：75[典例] 在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 17＝S 9，求前n 项和S n 的最大值． [解] 由S 17＝S 9，得 25×17＋17×(17－1)2d ＝25×9＋9×(9－1)2d ， 解得d ＝－2， [法一 公式法] S n ＝25n ＋n (n －1)2×(－2)＝－(n －13)2＋169. 由二次函数性质得，当n ＝13时，S n 有最大值169. [法二 邻项变号法]∵a 1＝25＞0，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝25－2(n －1)≥0，a n ＋1＝25－2n ≤0，得⎩⎨⎧n ≤1312，n ≥1212，即1212≤n ≤1312.又n ∈N *，∴当n ＝13时，S n 有最大值169.[活学活用]已知{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n ＝( )A ．11B ．17C ．19D ．21解析：选C ∵S n 有最大值，∴d <0，则a 10>a 11，又a 11a 10<－1，∴a 11<0<a 10，a 10＋a 11<0，S 20＝10(a 1＋a 20)＝10(a 10＋a 11)<0，S 19＝19a 10>0，∴S 19为最小正值．故选C.层级一 学业水平达标1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2－3n ，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A ．－32n 2＋n 2B ．－32n 2－n 2C.32n 2＋n 2D.32n 2－n 2解析：选A ∵a n ＝2－3n ，∴a 1＝2－3＝－1，∴S n ＝n (－1＋2－3n )2＝－32n 2＋n 2.2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 7>0，a 8<0，则下列结论正确的是( ) A ．S 7<S 8 B ．S 15<S 16 C ．S 13>0D ．S 15>0解析：选C 由等差数列的性质及求和公式得，S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7>0，S 15＝15(a 1＋a 15)2＝15a 8<0，故选C.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36D ．27解析：选B ∵a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，而由等差数列的性质可知，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6构成等差数列，所以S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3)，即a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝2×36－3×9＝45.4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n,7a 5＋5a 9＝0，且a 9>a 5，则S n 取得最小值时n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B 由7a 5＋5a 9＝0，得a 1d ＝－173.又a 9>a 5，所以d >0，a 1<0.因为函数y ＝d 2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 的图象的对称轴为x ＝12－a 1d ＝12＋173＝376，取最接近的整数6，故S n 取得最小值时n 的值为6.5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( )A ．1B ．－1C ．2D.12解析：选A S 9S 5＝92(a 1＋a 9)52(a 1＋a 5)＝9×2a 55×2a 3＝9a 55a 3＝95×59＝1. 6．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，则该数列的公差为________． 解析：数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝An 2＋Bn －A (n －1)2－B (n －1)＝2An ＋B －A ，当n ＝1时满足，所以d ＝2A .答案：2A7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S m ＝－2，S m ＋1＝0，S m ＋2＝3，则m ＝________.解析：因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，所以S m m ＋S m ＋2m ＋2＝2S m ＋1m ＋1，即－2m ＋3m ＋2＝0，解得m ＝4. 答案：48．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．解析：设等差数列{a n }的项数为2n ＋1， S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1 ＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝(n ＋1)a n ＋1，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝n (a 2＋a 2n )2＝na n ＋1， 所以S 奇S 偶＝n ＋1n ＝4433，解得n ＝3，所以项数2n ＋1＝7，S 奇－S 偶＝a n ＋1，即a 4＝44－33＝11为所求中间项． 答案：11 79．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，求数列{a n }的通项公式． 解：由已知条件，可得S n ＋1＝2n ＋1，则S n ＝2n ＋1－1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1－1)－(2n －1)＝2n ，又当n ＝1时，3≠21，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.10．在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项的和，已知a 1＋a 3＝22，S 5＝45. (1)求a n ，S n ；(2)设数列{S n }中最大项为S k ，求k .解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＝22，5a 3＝45，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝11，a 3＝9， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13，d ＝－2，所以a n ＝－2n ＋15，S n ＝－n 2＋14n .(2)由a n ≥0可得n ≤7，所以S 7最大，k ＝7.层级二 应试能力达标1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n ＝( ) A ．12 B ．14 C ．16D ．18解析：选B 因为S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，所以4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30，由S n ＝n (a 1＋a n )2＝210，得n ＝14.2．在等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S 2 011＝S 2 014，S k ＝S 2 009，则正整数k 为( ) A ．2 014 B ．2 015 C ．2 016D ．2 017解析：选C 因为等差数列的前n 项和S n 是关于n 的二次函数，所以由二次函数的对称性及S 2 011＝S 2 014，S k ＝S 2 009，可得2 011＋2 0142＝2 009＋k 2，解得k ＝2 016.故选C.3．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 1<0,2S 21＋S 25＝0，则S n 取最小值时，n 的值为( )A ．11B ．12C ．13D ．14解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ，由2S 21＋S 25＝0得，67a 1＋720d ＝0，又d >0，∴67a 11＝67(a 1＋10d )＝67a 1＋670d <0,67a 12＝67(a 1＋11d )＝67a 1＋737d >0，即a 11<0，a 12>0.故选A.4．已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选D ∵a nb n＝a 1＋a 2n －12b 1＋b 2n －12＝a 1＋a 2n －12(2n －1)b 1＋b 2n －12(2n －1)＝A 2n －1B 2n －1＝7(2n －1)＋452n －1＋3＝14n ＋382n ＋2＝7＋12n ＋1，∴当n 取1,2,3,5,11时，符合条件，∴符合条件的n 的个数是5. 5．若数列{a n }是等差数列，首项a 1<0，a 203＋a 204>0，a 203·a 204<0，则使前n 项和S n <0的最大自然数n 是________．解析：由a 203＋a 204>0⇒a 1＋a 406>0⇒S 406>0，又由a 1<0且a 203·a 204<0，知a 203<0，a 204>0，所以公差d >0，则数列{a n }的前203项都是负数，那么2a 203＝a 1＋a 405<0，所以S 405<0，所以使前n 项和S n <0的最大自然数n ＝405.答案：4056．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≤4，S 5≥15，则a 4的最小值为________． 解析：S 4＝2(a 1＋a 4)≤4⇒2a 3－d ≤2，S 5＝5a 3≥15⇒a 3≥3.因为2a 3－d ≤2，所以d －2a 3≥－2，又因为a 3≥3，所以2a 3≥6，所以d ≥4，所以a 4＝a 3＋d ≥7，所以a 4的最小值为7.答案：77．已知等差数列{a n }的公差d >0，前n 项和为S n ，且a 2a 3＝45，S 4＝28. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝S n n ＋c(c 为非零常数)，且数列{b n }也是等差数列，求c 的值． 解：(1)∵S 4＝28，∴(a 1＋a 4)×42＝28，a 1＋a 4＝14，a 2＋a 3＝14， 又a 2a 3＝45，公差d >0，∴a 2<a 3，∴a 2＝5，a 3＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝5，a 1＋2d ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4，∴a n ＝4n －3. (2)由(1)，知S n ＝2n 2－n ，∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c ， ∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. 又{b n }也是等差数列，∴b 1＋b 3＝2b 2，即2×62＋c ＝11＋c ＋153＋c， 解得c ＝－12(c ＝0舍去)．8．在等差数列{a n }中，a 10＝23，a 25＝－22.(1)数列{a n }前多少项和最大？(2)求{|a n |}的前n 项和S n .解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋9d ＝23，a 1＋24d ＝－22，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝50，d ＝－3， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋53.令a n >0，得n <533， ∴当n ≤17，n ∈N *时，a n >0；当n ≥18，n ∈N *时，a n <0，∴{a n }的前17项和最大．(2)当n ≤17，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－32n 2＋1032n . 当n ≥18，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－a 18－a 19－…－a n＝2(a 1＋a 2＋…＋a 17)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2⎝⎛⎭⎫－32×172＋1032×17－⎝⎛⎭⎫－32n 2＋1032n ＝32n 2－1032n ＋884. ∴S n＝⎩⎨⎧－32n 2＋1032n ，n ≤17，n ∈N *，32n 2－1032n ＋884，n ≥18，n ∈N *.。
等差数列前n项和公式的
等差数列前n项和公式是数学中重要的知识点，在学习过程中很容易被忽视，但它却能帮助我们简化许多复杂的计算过程。
那么，等差数列前n项和公式是什么呢？
等差数列前n项和公式，指的是，若给定等差数列：a1，a2，a3，……，an，其中每一项与前一项的差均相等，则前n项之和可表示为：Sn=a1+a2+a3+…+an=n(a1+an)/2，其中a1为等差数列中的第一项，an 为等差数列中的第n项。
要加以应用，就需要知道等差数列中每一项的值。
一般来说，等差数列中的每一项可用一个公式来表示，an=a1+(n-1)d，其中a1为等差数列中的第一项，d为等差数列中每一项与前一项的差值，n为项数。
利用这两个公式，我们就可以计算出等差数列的前n项和。
例如，有一个等差数列：4，7，10，13，16，其中每项与前项之差为3，要计算其前5项之和，则可以按照以下步骤操作：
1. 用第一个公式求出an=16，a1=4，n=5，d=3；
2. 用第二个公式计算Sn=5(4+16)/2=70；
以上就是等差数列前n项和的计算过程。
如果要计算等差数列前n项和的值，只需要按照以上方法，求出an和a1，n，d的值，即可轻松求出。
等差数列前n项和公式是数学知识中重要的内容，它不仅可以简化计算过程，而且可以给我们带来更多的想象空间，让我们更好地理解数学知识。
2.3等差数列前n项和
例2、已知一个等差数列 {a n }前10项的和是 310 , 前 20项的和是 1220 .由这些条件能确定这个 等差数 列的前 n项和的公式吗 ?
等差数列的前n项和计算公式
例3.已知数列{an}的前n项和为sn=n2+(1/2)n, 求这个数列的通项公式，这个数列是等差数 列吗？如果是，它的首项和公差分别是什么？
公式1 S n = n(a1 + an ) 2
2Sn=n(a1+an)
方法2：
+）
S n = a1 + (a1 + d ) + L + [a1 + n − 1)d ] （
S n = an + (an − d ) + L + [an − (n − 1)d ]
n(a1 + an ) 公式1 S n = 2
高 斯 的 故 事
高斯上小学时， 高斯上小学时，有一次数学老 师给同学们出了一道 题： 计算从1到 的自然数之和。 计算从 到100的自然数之和。那个老师认为，这些孩子算这道题目 的自然数之和 那个老师认为， 需要很长时间，所以他一写完题目，就坐到一边看书去了。谁知， 需要很长时间，所以他一写完题目，就坐到一边看书去了。谁知， 他刚坐下，马上就有一个学生举手说： 老师，我做完了。 他刚坐下，马上就有一个学生举手说：“老师，我做完了。”老师 大吃一惊，原来是班上年纪最小的高斯。老师走到他身边， 大吃一惊，原来是班上年纪最小的高斯。老师走到他身边，只见他 在笔记本上写着5050，老师看了，不由得暗自称赞。为了鼓励他， 在笔记本上写着 ，老师看了，不由得暗自称赞。为了鼓励他， 老师买了一本数学书送给他。 老师买了一本数学书送给他。
例4 已知等差数列 2 4 5,4 ,3 , ... 的前n项和为S n , 求使 7 7 得S n 最大的序号n的值.
等差数列的前n项和(精练)(解析版)
4.2.2 等差数列的前n 项和1．（2020·宜宾市叙州区第一中学校高三三模（文））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，9445,31n S a -==，若198n S =，则n =（ ） A ．10 B ．11C ．12D ．13【答案】B【解析】945S =1955945()952a a a a ⇒=+=⇒= ,所以154()()198(531)11222n n n n n nS a a a a n -=+=+∴=+∴= ,选B.2．（2020·东北育才学校高二月考（文））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若74328a a =+，则25S =（ ） A ．50 B ．100C ．150D ．200【答案】D【解析】设等差数列{a n }首项为1a ，公差为d,∵74328a a =+，∴3(()116)238a d a d +=++,∴1a +12d=8，即138a = 故S 25=()125252a a +=132522a ⨯=25a 13=200故选：D ． 3．（2020·四川省泸县第二中学开学考试（文））等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =，且936S S =，则{}n a 的公差d =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】由等差数列性质知()()1319329353939,?654922a a a a S a S S a ++=======，则56a =.所以5213a a d -==.故选A. 4．（2020·云南高一期末）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则小满日影长为（ ） A ．1.5尺B ．2.5尺C ．3.5尺D ．4.5尺题组一 等差数列的基本量【答案】C【解析】从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列{}n a ,冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,前九个节气日影长之和为85.5尺,∴()()111913631.598985.52a a d a d S a d ⎧++++=⎪⎨⨯=+=⎪⎩,解得113.5a =,1d =-,∴小满日影长为1113.510(1) 3.5a =+⨯-=（尺）.故选C .5．（2020·陕西省洛南中学高二月考）在等差数列{}n a 中，已知12232,10a a a a +=+=，求通项公式n a 及前n 项和n S .【答案】45n a n =-，223n S n n =- *(1,)n n N ≥∈【解析】令等差数列{}n a 的公差为d ，则由12232,10a a a a +=+=，知：11222310a d a d +=⎧⎨+=⎩，解之得11{4a d =-=； ∴根据等差数列的通项公式及前n 项和公式，有：()()1114145n a a n d n n =+-=-+-=-，21232nn a a S n n n +=⋅=- *(1,)n n N ≥∈；1．（2020·湖北黄州·黄冈中学其他（理））已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S =（ ） A ．42 B ．21C ．7D ．3【答案】B【解析】由等差数列的性质可得6354553a a a a a a +-=+-=，()1747772732122a a a S +⨯∴===⨯=.故选：B.2．（2019·贵州六盘水·高二期末（理））在等差数列{}n a 中，358a a +=，则7S =（ ）题组二 前n 项和S n 与等差中项A ．12B ．28C ．24D ．35【答案】B【解析】等差数列{}n a 中，358a a +=，故17358a a a a +=+=，所以()7717782822S a a +⨯===.故选：B. 3．（2020·湖北荆州·高二期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若57942a a a ++=，则13S =（ ） A ．36 B ．72C ．91D ．182【答案】D【解析】数列{}n a 为等差数列，则5797342a a a a ++==，解得714a = 则()113137131313141822a a S a+=⨯==⨯=故选：D4．（2019·黄梅国际育才高级中学月考）若两个等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为A n 、B n ，且满足4255n n A n B n +=-，则513513a a b b ++的值为（ ）A ．78B ．79C ．87D ．1920【答案】A【解析】等差数列{}n a 、{}n b 前n 项和分别为n A ，n B ，由4255n n A n B n +=-， 得1131171131751717511177)2)217(4172717(51758a a a a a a Ab b b b b b B +++⨯+=====+++⨯-．故选：A . 5．（2020·赣州市赣县第三中学期中）设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，等差数列{}n b 前n 项和为n T ，若20121n n S n T n -=-．则33a b =（ ） A ．595B ．11C ．12D ．13【答案】B【解析】因为等差数列{}n a 前n 项和为n S ，所以1()2n n n a a S +=， 当n 是奇数时，112()2n n n n a a S na ++==，所以33533555a a Sb b T ==,故选：B6．（2020·广西田阳高中高二月考（理））已知等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且521n n S n T n +=-，则76a b =（ ） A ．67B ．1211C ．1825D ．1621【答案】A【解析】因为等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且521n n S n T n +=-， 所以可设(5)n S kn n =+，(21)n T kn n =-， 所以77618a S S k =-=，66521b T T k =-=，所以7667a b =.故选：A 7．（2020·商丘市第一高级中学高一期末）等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，且7453n n S n T n +=-，则使得nna b 为整数的正整数n 的个数是( ) A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】∵等差数列{a n }、{b n }，∴121121,22n n n n a a b ba b --++== ， ∴()()121211212122n n n n n n n n n a a a na S n b b b nb T ----+===+ ,又7453n n S n T n +=- ， ∴()()7214566721324n n n a b n n -+==+--- ， 经验证,当n=1,3,5,13,35时,n n a b 为整数，则使得nna b 为整数的正整数的n 的个数是5.本题选择C 选项.1．（2020·榆林市第二中学高二月考）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若488,20S S ==,则题组三 前n 项和S n 的性质13141516a a a a +++= ( )A ．12B ．8C ．20D ．16【答案】C【解析】∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，488,20S S ==， 由等差数列的性质得：4841281612,,,S S S S S S S ---成等比数列 又4848,20812,S S S =-=-=∴128122012416,S S S -=-=+=16121314151616420S S a a a a -=+++=+=．故选：C ．2．（2020·重庆其他（文））等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知312S =，651S =，则9S 的值等于（ ） A ．66 B ．90C ．117D ．127【答案】C【解析】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,由题意可得63963,,S S S S S --成等差数列，故()()363962S S S S S -=+-，代入数据可得()()9251121125S -=+-，解得9117S =故选C3．（2020·江苏徐州·高二期中）已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项之和，且315S =，648S =，则9S 的值为（ ）. A ．63 B ．81C ．99D ．108【答案】C【解析】由n S 为等差数列{}n a 的前n 项之和，则3S ,639633(1),,......m m S S S S S S ---- 也成等差数列， 则3S ，6396,S S S S --成等差数列，所以633962()()S S S S S -=+-，由315S =，648S =， 得999S =，故选：C.4．（2020·昆明市官渡区第一中学高二期末（理））等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1020S =，2015S =，则30S =( ) A ．10 B ．20C ．30-D ．15-【答案】D【解析】由等差数列{}n a 的前n 项和的性质可得：10S ，1200S S -，3020S S -也成等差数列，20101030202()()S S S S S ∴-=+-，302(1520)2015S ∴⨯-=+-，解得3015S =-．故选D ．5．（2020·朔州市朔城区第一中学校期末（文））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ） A ．63 B ．45 C ．36 D ．27【答案】B【解析】由等差数列性质知S 3、S 6﹣S 3、S 9﹣S 6成等差数列，即9，27，S 9﹣S 6成等差，∴S 9﹣S 6=45 ∴a 7+a 8+a 9=45故选B ．6．（2020·新疆二模（文））在等差数列{}n a 中，12018a =-，其前n 项和为n S ，若101221210S S -=，则2020S =（ ） A ．-4040 B ．-2020 C ．2020 D ．4040【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的前n 项和为2+n S An Bn =，则+nS An B n=， 所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列．因为101221210S S -=，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的公差为1，又11201811S a ==-，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2018-为首项，1为公差的等差数列， 所以202020182019112020S =-+⨯=，所以20202020S =故选：C 8．（2020·河北路南·唐山一中）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若12017a =-， 20142008620142008S S -=，则2017S =__________． 【答案】2017- 【解析】n S 是等差数列{}n a 的前n 项和， n S n ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是等差数列，设其公差为d ，201420086,66,120142008S S d d -=∴==， 112017,20171S a =-∴=-，()()20172017112018,2018201720172017nS n n S n∴=-+-⨯=-+∴=-+⨯=-， 故答案为2017-．9．（2020·湖南怀化·高二期末）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若12a =-，20202018220202018S S -=，则20192019S =________. 【答案】2016 【解析】n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，n S n ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是等差数列，设其公差为d .20202018 220202018S S -=，22d ∴=，1d =.12a =-，1S21∴=-. 2(1)13n S n n n ∴=-+-⨯=-.2019S20162019∴=.故答案为：2016.1．（2020·安徽铜陵·）设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且10a >，若59S S =，则当n S 最大时，n=（ ） A ．6 B ．7C ．10D ．9【答案】B【解析】由等差数列中，59S S =，可得，故，其中，可知当时，最大．2．（2020·河北运河·沧州市一中月考）等差数列{}n a 中，10a >，201520160a a +>，201520160a a <，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是（ ） A ．2015 B ．2016C ．4030D ．4031【答案】C【解析】由题意知201520160,0a a ><，所以14030201520160a a a a +=+>，而14031201620a a a +=<，则有()140304*********a a S ⨯+=>，而()140314031403102a a S ⨯+=<，所以使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是4030，故选C ．3．（2020·河北路南·唐山一中期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且856a a -=-，9475S S -=，题组四 前n 项和S n 的最值则n S 取得最大值时n =（ ） A ．14 B ．15C ．16D ．17【答案】A【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则11369364675d a d a d =-⎧⎨+--=⎩，解得1227d a =-⎧⎨=⎩，故292n a n =-，故当114n ≤≤时，0n a >；当15n ≥时，0n a <， 所以当14n =时，n S 取最大值.故选：A.4．（2020·广西南宁三中开学考试）已知等差数列{}n a 的通项公式为29n a n =-，则使得前n 项和n S 最小的n 的值为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】由290n a n =-≤，解得92n ≤，14n ∴≤≤时，0n a <；5n ≥时，0n a > 则使得前n 项和n S 最小的n 的值为4故选：B5．（2020·四川青羊·石室中学高一期末）在等差数列{}n a 中，其前n 项和是n S ，若90S >，100S <，则在912129,,,S S S a a a ⋯中最大的是（ ） A ．11S aB ．88S aC ．55S aD ．99S a【答案】C 【解析】由于191109510569()10()9050222a a a a S a S a a ++====+＞，（）＜ ，所以可得5600a a ＞，＜． 这样569121256900...0,0,...0S S S S S a a a a a ，，，>>><<，而125125S S S a a a ⋯⋯＜＜＜，＞＞＞>0， ， 所以在912129...S S S a a a ，，，中最大的是55S a ．故选C ．6．（2020·福建宁德·期末）公差为d 的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，110S >，120S <，下列说法正确的有（ ） A ．0d < B ．70a >C ．{}n S 中5S 最大D ．49a a <【答案】AD【解析】根据等差数列前n 项和公式得：()111111102a a S +=>，()112121202a a S +=<所以1110a a +>，1120a a +<， 由于11162a a a +=，11267a a a a +=+，所以60a >，760a a <-<，所以0d <，{}n S 中6S 最大，由于11267490a a a a a a +=+=+<，所以49a a <-，即：49a a <.故AD 正确，BC 错误.故选：AD.7．（2020·黑龙江让胡路·大庆一中高一期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若780a a +>，790a a +<则n S 取最大值时n 的值是（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】D【解析】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且780a a +>，790a a +<，12130a d ∴+>且12140a d +<，10,0,a d ∴><且780,0a a ><，所以当S n 取最大值时7n =.故选：D8．（2020·浙江其他）已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且34S =，714S =，则23n n S a +-最小时，n 的值为（ ）. A ．2 B ．1或2C ．2或3D ．3或4【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为34S =，714S =，所以1132342767142a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩，解得11a =，13d =，所以2223(1)11550[1(2)]23318n n n n n n S an n +----=+⨯-++=， 因为n ∈+N ，所以当2n =或3n =时，其有最小值.选：C1．（2020·山西大同·高三其他（理））若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知129,a a Z =∈，且()5*n S S n N ≤∈，则12n a a a +++=________.【答案】2210,51050,5n n n n n n ⎧-≤⎨-+>⎩【解析】∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，129,a a Z =∈，且5n S S ≤，56940,950a d a d ∴=+≥=+<， 2,2a Z d ∈∴=-，2(1)9(2)102n n n S n n n -∴=+⨯-=-， ∴当5n ≤时，212..10n a a a n n ++⋯+=-；当5n >时，()()21212345210n a a a a a a a a n n++⋯⋯+=++++--()222105510n n =⨯-+-21050n n =-+，212210,5..1050,5n n n n a a a n n n ⎧-≤∴++⋯+=⎨-+>⎩.故答案为：2210,51050,5n n n n n n ⎧-≤⎨-+>⎩. 2．（2020·黑龙江香坊·哈尔滨市第六中学校高三三模（理））已知等差数列{}n a 前三项的和为3-，前三项的积为15，（1）求等差数列{}n a 的通项公式；（2）若公差0d >，求数列{}n a 的前n 项和n T .题组五 含有绝对值的求和【答案】（1）49n a n =-或74n a n =-（2）25,1{2712,2n n T n n n ==-+≥【解析】（1）设等差数列的{}n a 的公差为d 由1233a a a ++=-，得233a =-所以21a =- 又12315a a a =得1315a a =-，即1111(2)15a d a a d +=-⎧⎨+=-⎩所以154a d =-⎧⎨=⎩，或134a d =⎧⎨=-⎩即49n a n =-或74n a n =- （2）当公差0d >时，49n a n =-1）当2n ≤时，490n a n =-<，112125,6T a T a a =-==--= 设数列{}n a 的前项和为n S ，则2(549)272n n S n n n -+-=⨯=-2）当3n ≥时，490n a n =->123123n n n T a a a a a a a a =++++=--+++()()123122n a a a a a a =++++-+2222712n S S n n =-=-+当1n =时，15T =也满足212171127T ≠⨯-⨯+=， 当2n =时，26T =也满足222272126T =⨯-⨯+=，所以数列{}n a 的前n 项和25127122n n T n n n =⎧=⎨-+≥⎩ 3．（2020·全国高三（文））在等差数列{}n a 中，28a =，64a =-. （1）求n a 的通项公式； （2）求12||||||n n T a a a =+++的表达式.【答案】（1）314n a n =-+；（2）2232542232552522n n n n T n n n ⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩. 【解析】（1）设公差为d ，则11854a d a d +=⎧⎨+=-⎩，解得111a =，3d =-，所以314n a n =-+.（2）由314n a n =-+0≥可得4n ≤， 所以当4n ≤时，112()(11314)22n n n n a a n n T a a a +-+=+++===232522n n -+， 当5n ≥时，12345()n n T a a a a a a =+++-++1234122()()n a a a a a a a =+++-+++114()4()222n n a a a a ++=⨯-(253)522n n -=-23255222n n =-+. 所以2232542232552522n n n n T n n n ⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩. 4．（2020·石嘴山市第三中学高三其他（理））已知数列{}n a 满足：313a =-，()141,n n a a n n N -=+>∈. （1）求1a 及通项n a ；（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，则数列1S ，2S ，3S ，…n S …中哪一项最小？并求出这个最小值. （3）求数列{}n a 的前10项和.【答案】（1）121a =-，425n a n =-；（2）6S 最小，666S =-；（3）前10项和为：102. 【解析】（1）()142n n a a n -=+≥，∴当3n =时，324a a =+，217a =-，214a a =+，121a =-，由14n n a a --=知数列为首项是21-，公差为4的等差数列， 故425n a n =-；（2）425n a n =-，故610a =-<，730a =>，故6S 最小，()6656214662S ⨯=⨯-+⨯=-； （3）当16n ≤≤时，0n a <；当7n ≥时，0n a >，()()10121012678910……T a a a a a a a a a a ∴=+++=-+++++++()()()61061061092102142661022S S S S S ⨯=-+-=-=⨯-+⨯-⨯-=. 5．（2020·湖北武汉）已知数列{}n a 是等差数列，公差为d ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，172a a +=-，315S =. （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求数列{}n a 的前n 项和T n .【答案】（1）()*311n a n n N =-+∈；（2）2(193),3231960,42n n n n T n n n -⎧≤⎪⎪=⎨-+⎪≥⎪⎩. 【解析】（1）∵{}n a 是等差数列，公差为d ，且172a a +=-，315S =，∴11262323152a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得18a =，3d =-， ∴()()()11813311n a a n d n n =+-=+--=-+， ∴数列{}n a 的通项公式为：()*311n a n n N=-+∈.（2）令0n a ≥，则3110n -+≥，∴311n ≤，∴233n ≤，*n N ∈. ∴3n ≤时，0n a >；4n ≥时，0n a <， ∵18a =，311n a n =-+，∴3n ≤时，12(8311)2n n n n T a a a -+=++⋅⋅⋅+=()1932n n -=， 当4n ≥时，()121234n n n T a a a a a a a a =++⋅⋅⋅+=+++--⋅⋅⋅-()()12312322n n a a a a a a S S =++-++⋅⋅⋅+=-23(199)(193)319602222n n n n ⨯---+=⨯-=.∴2(193),3231960,42n n n n T n n n -⎧≤⎪⎪=⎨-+⎪≥⎪⎩. 6．（2020·任丘市第一中学）在公差是整数的等差数列{}n a 中，17a =-，且前n 项和4n S S ≥． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）令n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）29n a n =-；（2）()228,4832,5n n n n T n N n n n *⎧-+≤=∈⎨-+≥⎩. 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则d Z ∈，由题意知，{}n S 的最小值为4S ，则4500a a ≤⎧⎨≥⎩，17a =-，所以370470d d -≤⎧⎨-≥⎩，解得7743d ≤≤，d Z ∈，2d ∴=，因此，()()1172129n a a n d n n =+-=-+-=-； （2）29n n b a n ==-.当4n ≤时，0n a <，则n n n b a a ==-，()272982n n n n T S n n -+-∴=-=-=-+；当5n ≥时，0n a >，则n n n b a a ==，()22428216832n n T S S n n n n ∴=-=--⨯-=-+.综上所述：()228,4832,5n n n n T n N n n n *⎧-+≤=∈⎨-+≥⎩.。
等差数列的前n项和PPT教学课件
讲授新课
1. 等差数列的前n项和公式一
讲授新课
1. 等差数列的前n项和公式一
Sn
n(a1an) 2
讲授新课
2. 等差数列的前n项和公式二
讲授新课
2. 等差数列的前n项和公式二
n(n1)d Snn1a 2
讲授新课
2. 等差数列的前n项和公式二
n(n1)d Snn1a 2还可化成 Nhomakorabea 思考:
1. 等差数列中，S10，S20－S10，S30－S20 成等差数列吗？
2. 等差数列前m项和为Sm，则Sm， S2m－Sm，S3m－S2m是等差数列吗？
PPT教学课件
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2020/12/10
25
Snd 2n2(a1d 2)n
讲解范例:
例1. (1)已知等差数列{an}中，a1＝4， S8＝172，求a8和d;
(2)等差数列－10，－6，－2，2， …前多少项的和是54？
讲解范例:
例 2. 2000 年 11 月 14 日教育部下发了《关 于在中小学实施“校校通”工程的通知》.某 市据此提出了实施“校校通”工程的总目标： 从 2001 年起用 10 年的时间，在全市中小 学建成不同标准的校园网. 据测算，2001 年该市用于“校校通”工程的经费为 500 万 元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投 入的资金都比上一年增加 50 万元.那么从 2001 起的未来 10 年内，该市在“校校通” 工程中的总投入是多少？
教师问：“你是如何算出答案的？” 高斯回答说：“因为1+100=101；2+99=101；… 50+51=101，所以101×50=5050”.
2.3等差数列的前n项和
课堂练习
* M m m 7 n , n N 且m 100 的元素个数， 4．求集合
并求这些元素的和.
解： 由 7 n 100 得 n
100 2 14 . 7 7
∴正整数 n 共有14个即 M 中共有14个元素. 即：7，14，21，…，98 是以 a1 7 为首项， 以 a14 98 为末项的等差数列.
n(n 1)d S n na1 . 2
在已知首项和公差时使用此公式.
例1.2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施 “校校通”工程的通知》.某市据此提出了实施“校校通” 工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学 建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通” 工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年 投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来 10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？
于是当n取正整数7或8时，Sn取最大值。
本例解法是利用通项 an的正负情况与前 n项和S n 的变化情况的关系，
课堂练习
1.等差数列-10，-6，-2，2， „的前多少项的和为54？ 解： 设题中的等差数列是｛an｝，前n项和为Sn. 则a1＝-10，d＝-6-（-10）＝4，Sn＝54. 由等差数列前n项和公式，得
例2. 己知一个等差数列｛an｝前10项的和 是310,前20项的和是1220.由这些条件能确 定这个等差数列的前n项和的公式吗?
a1 an 解：由题意知 S10 10 310 2 a1 a10 62； 得
①
所以
a1 a20 122； ②-①，得 10 d 60
2.3 等差数列的前n项和 作业 及 答案
等差数列性质及前n 项和 作业1．在等差数列{a n }中，已知a 1＝10，d ＝2，S n ＝580，则n 等于( )A ．10B.15 C ．20 D ．30解析：选C.因为S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝10n ＋12n (n －1)×2＝n 2＋9n ，所以n 2＋9n ＝580，解得n ＝20或n ＝－29(舍)．2．设{a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和．若S 10＝S 11，则a 1＝( )A ．18B.20 C ．22 D ．24解析：选B.由S 10＝S 11，得a 11＝S 11－S 10＝0，所以a 1＝a 11＋(1－11)d ＝0＋(－10)×(－2)＝20.3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d 为( )A ．1B.53 C ．2 D ．3解析：选C.因为S 3＝（a 1＋a 3）×32＝6，而a 3＝4，所以a 1＝0，所以d ＝a 3－a 12＝2. 4．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则前9项的和S 9等于( )A ．66B.99 C ．144 D ．297解析：选B.根据等差数列的性质得(a 1＋a 4＋a 7)＋(a 3＋a 6＋a 9)＝3(a 1＋a 9)＝66，所以S 9＝9（a 1＋a 9）2＝99. 5．已知等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1＝－11，S 1010－S 88＝2，则S 11＝( ) A ．－11B.11 C ．10 D ．－10解析：选A.因为{a n }为等差数列，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，首项S 11＝a 1＝－11，设⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的公差为d ，则S 1010－S 88＝2d ＝2，所以d ＝1，所以 S 1111＝－11＋10d ＝－1，所以S 11＝－11. 6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则{a n }的通项公式a n ＝________．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝12，3a 1＋3d ＝12⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2，故a n ＝2n . 答案：2n7．在等差数列{a n }中，a n >0，a 7＝12a 4＋4，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 19＝________． 解析：因为在等差数列{a n }中，a n >0，a 7＝12a 4＋4，所以a 1＋6d ＝12(a 1＋3d )＋4，解得a 1＋9d ＝a 10＝8，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 19＝192(a 1＋a 19)＝19a 10＝152. 答案：1528．在等差数列{a n }中，a 1＞0，a 10·a 11＜0，若此数列前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18＝________．解析：由a 1＞0，a 10·a 11＜0知d ＜0，且a 10＞0，a 11＜0，所以T 18＝a 1＋a 2＋…＋a 10－a 11－a 12－…－a 18＝2S 10－S 18＝60.答案：609．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 10＝30，a 20＝50.(1)求通项公式a n ；(2)若S n ＝242，求n .解：(1)由a 10＝30，a 20＝50，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝30a 1＋19d ＝50，解得a 1＝12，d ＝2. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋10.(2)由S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝242， 得12n ＋n （n －1）2×2＝242， 解得n ＝11或n ＝－22(舍去)．10．已知等差数列{a n }满足a 2＝3，a 3＋a 5＝2.(1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }的前n 项和S n 及S n 的最大值．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，因为等差数列{a n }满足a 2＝3，a 3＋a 5＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝3，2a 1＋6d ＝2，解得a 1＝4，d ＝－1，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4＋(n －1)×(－1)＝5－n .(2)因为等差数列{a n }中，a 1＝4，d ＝－1，a n ＝5－n ，所以S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n （4＋5－n ）2＝－12n 2＋92n ＝－12⎝⎛⎭⎫n －922＋818，因为n ∈N *， 所以n ＝4或n ＝5时，S n 取最大值为10.[B 能力提升]11．(2019·昆明一中期末)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若m >1，且a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m 等于( )A ．38B.20 C ．10 D ．9解析：选C.S 2m －1＝（2m －1）（a 1＋a 2m －1）2＝(2m －1)a m ，a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0⇔2a m ＝a 2m ，由S 2m －1＝38，可知a m >0，所以a m ＝2，(2m －1)×2＝38，解得m ＝10，故选C.12．(2019·河北沧州一中高二(上)期中考试)在等差数列{a n }中，前m (m 为奇数)项和为135，其中偶数项之和为63，且a m －a 1＝14，则a 100的值为________．解析：因为在前m 项中偶数项之和为S 偶＝63，所以奇数项之和为S 奇＝135－63＝72，设等差数列{a n }的公差为d ，则S 奇－S 偶＝2a 1＋（m －1）d 2＝72－63＝9.又a m ＝a 1＋d (m －1)，所以a 1＋a m 2＝9，因为a m －a 1＝14，所以a 1＝2，a m ＝16.因为m （a 1＋a m ）2＝135，所以m ＝15，所以d ＝14m －1＝1，所以a 100＝a 1＋99d ＝101. 答案：10113．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 5＝a 4＋7，S 10＝100.(1)求{a n }的通项公式；(2)求满足不等式S n <3a n －2的n 的值．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由a 3＋a 5＝a 4＋7，得2a 1＋6d ＝a 1＋3d ＋7，①由S 10＝100得10a 1＋45d ＝100，②解得a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.(2)因为a 1＝1，a n ＝2n －1，所以S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n 2， 由不等式S n <3a n －2，得n 2<3(2n －1)－2，所以，n 2－6n ＋5<0，解得1<n <5，因为n ∈N *，所以n 的值为2，3，4.14．(选做题)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝100n －n 2(n ∈N *)．(1)判断{a n }是不是等差数列，若是，求其首项、公差；(2)设b n ＝|a n |，求数列{b n }的前n 项和．解：(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(100n －n 2)－[100(n －1)－(n －1)2]＝101－2n . 因为a 1＝S 1＝100×1－12＝99符合上式，所以a n ＝101－2n (n ∈N *)．因为a n ＋1－a n ＝－2为常数，所以数列{a n }是首项为99，公差为－2的等差数列．(2)令a n ＝101－2n ≥0，得n ≤50.5，因为n ∈N *，所以n ≤50(n ∈N *)．①当1≤n ≤50(n ∈N *)时，a n >0，此时b n ＝|a n |＝a n ，所以数列{b n }的前n 项和S ′n ＝100n －n 2.②当n ≥51(n ∈N *)时，a n <0，此时b n ＝|a n |＝－a n ，由b 51＋b 52＋…＋b n ＝－(a 51＋a 52＋…＋a n )＝－(S n －S 50)＝S 50－S n ，得数列{b n }的前n 项和S ′n ＝S 50＋(S 50－S n )＝2S 50－S n ＝2×2 500－(100n －n 2)＝5 000－100n ＋n 2.由①②得数列{b n }的前n 项和为S ′n ＝⎩⎪⎨⎪⎧100n －n 2（n ∈N *，1≤n ≤50），5 000－100n ＋n 2（n ∈N *，n ≥51）.数列的概念与简单表示法、等差数列(强化练)一、选择题1．已知数列3，3，15，…，3（2n －1），…，那么9在此数列中的项数是( )A ．12B.13 C ．14D ．15 解析：选C.根据题意，a n ＝3（2n －1）.由a n ＝3（2n －1）＝9，解得n ＝14，即9是此数列的第14项．故选C.2．(2019·湖北荆州检测)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＝3，a 8＝8，则a 12的值是( )A ．15B.30 C ．31 D ．64 解析：选A.设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 3＋a 4＋a 5＝3，所以3a 4＝3，即a 1＋3d＝1.又由a 8＝8得a 1＋7d ＝8，联立解得a 1＝－174，d ＝74，则a 12＝－174＋74×11＝15.故选A. 3．若数列{a n }是公差为1的等差数列，则{a 2n －1＋2a 2n }是( )A ．公差为3的等差数列B ．公差为4的等差数列C ．公差为6的等差数列D ．公差为9的等差数列解析：选C.设数列{a n }的公差为d ，令b n ＝a 2n －1＋2a 2n ，则b n ＋1＝a 2n ＋1＋2a 2n ＋2，所以b n ＋1－b n ＝a 2n ＋1＋2a 2n ＋2－(a 2n －1＋2a 2n )＝(a 2n ＋1－a 2n －1)＋2(a 2n ＋2－a 2n )＝2d ＋4d ＝6d ＝6×1＝6.4．(2019·长春十一中月考)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( )A ．100B.99 C ．98 D ．97解析：选C.设等差数列{a n }的公差为d ，因为{a n }为等差数列，且S 9＝9a 5＝27，所以a 5＝3.又a 10＝8，解得5d ＝a 10－a 5＝5，所以d ＝1，所以a 100＝a 5＋95d ＝98.5．(2019·湖南濮阳月考)已知等差数列{a n }一共有9项，前4项和为3，最后3项和为4，则中间一项的值为( )A.1720B.5960 C ．1 D ．6766解析：选D.设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎨⎧a 1＝1322，d ＝766. 所以中间一项为a 5＝a 1＋4d ＝1322＋4×766＝6766.故选D. 6．数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2 020等于( ) A ．1 006B.2 020 C ．505 D ．1 010解析：选D.由题意知，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝2，…，故a 4k ＋1＋a 4k ＋2＋a 4k ＋3＋a 4k ＋4＝2，k ∈N ，故S 2 020＝505×2＝1 010.7．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝a n ＋1a n ，那么a 31＝( )A ．－358B.－259 C ．－130D ．－261 解析：选B.由已知可得1a n ＋1－1a n＝－1，设b n ＝1a n ，则数列{b n }是以12为首项，公差为－1的等差数列，所以b 31＝12＋(31－1)×(－1)＝－592，故a 31＝－259. 8．《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何．”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布( )A ．30尺B.90尺 C ．150尺 D ．180尺解析：选B.由题意知，该女子每天织布的数量组成等差数列{a n }，其中a 1＝5，a 30＝1，所以S 30＝30×（5＋1）2＝90，即共织布90尺． 9．已知数列{a n }满足：a 1＝17，对于任意的n ∈N *都有a n ＋1＝72a n (1－a n )，则a 2 019－a 2 020＝( )A ．－27B.27 C ．－37 D ．37解析：选D.a 1＝17，a 2＝72×17×67＝37，a 3＝72×37×47＝67，a 4＝72×67×17＝37，….归纳可知，当n 为大于1的奇数时，a n ＝67；当n 为正偶数时，a n ＝37.故a 2 019－a 2 020＝37. 10．在等差数列{a n }中，首项a 1>0，公差d ≠0，前n 项和为S n (n ∈N *)．有下列命题： ①若S 3＝S 11，则必有S 14＝0；②若S 3＝S 11，则必有S 7是S n 中最大的项；③若S 7>S 8，则必有S 8>S 9；④若S 7>S 8，则必有S 6>S 9.其中正确命题的个数是( )A ．1B.2 C ．3 D ．4解析：选 D.根据等差数列的性质，若S 11－S 3＝4(a 7＋a 8)＝0，则a 7＋a 8＝0，S 14＝14（a 1＋a 14）2＝7(a 7＋a 8)＝0，根据等差数列S n 的图象，当S 3＝S 11时，对称轴是n ＝3＋112＝7，那么S 7是最大值；若S 7>S 8，则a 8<0，那么d <0，所以a 9<0，所以S 9－S 8<0，即S 8>S 9，S 9－S 6＝a 7＋a 8＋a 9＝3a 8<0，即S 6>S 9.故①②③④正确．二、填空题11．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋a n ＋1(n ∈N *)，则a 6＝________． 解析：因为a n ＋2＝a n ＋a n ＋1，所以a 3＝a 1＋a 2＝2，a 4＝a 2＋a 3＝3，a 5＝a 3＋a 4＝5，a 6＝a 4＋a 5＝8.答案：812．已知等差数列{a n }中，a 2与a 6的等差中项为5，a 3与a 7的等差中项为7，则a n ＝________．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，依题意，a 4＝5，a 5＝7，又a 5＝a 4＋d ，得d ＝2. 所以a 1＝a 4－3d ＝5－3×2＝－1，故a n ＝a 1＋2(n －1)＝2n －3.答案：2n －313．已知等差数列{a n }中，a 2＝2，a 4＝8，若ab n ＝3n －1，则b 2 018＝________．解析：由a 2＝2，a 4＝8，得公差d ＝8－22＝3，所以a n ＝2＋(n －2)×3＝3n －4，所以a n＋1＝3n －1.又由数列{a n }的公差不为0，所以结合ab n ＝3n －1，可得b n ＝n ＋1，故b 2 018＝2 019.答案：2 01914．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意正整数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________． 解析：因为{a n }，{b n }为等差数列，所以a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6.因为S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941，所以a 6b 6＝1941. 答案：1941三、解答题15．在等差数列{a n }中，(1)已知a 2＝－1，S 15＝75，求a n 与S n ；(2)已知d ＝2，S 100＝10 000，求a 1与a n .解：(1)设{a n }的公差为d .因为{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，a 2＝－1，S 15＝75，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝a 1＋d ＝－1，S 15＝15a 1＋15×142d ＝75，解得a 1＝－2，d ＝1，所以a n ＝－2＋(n －1)×1＝n －3.S n ＝－2n ＋n （n －1）2×1＝n 2－5n 2. (2)因为S 100＝100a 1＋100×（100－1）2×2＝10 000， 所以a 1＝1，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1.16．设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n .解：设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d .因为S 7＝7，S 15＝75，所以⎩⎪⎨⎪⎧7a 1＋21d ＝7，15a 1＋105d ＝75.所以a 1＝－2，d ＝1. 所以S n ＝n 2－5n 2，所以S n n ＝12n －52， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，其首项为－2，公差为12. 所以T n ＝－2n ＋n （n －1）2×12＝14n 2－94n . 17．(2019·福建外国语中学调研)已知等差数列{a n }的公差d >0，前n 项和为S n ，且a 2a 3＝45，S 4＝28.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝S n n ＋c(c 为非零常数)，且数列{b n }也是等差数列，求c 的值． 解：(1)因为S 4＝28，所以（a 1＋a 4）×42＝28， 所以a 1＋a 4＝14，则a 2＋a 3＝14，又a 2a 3＝45，公差d >0，所以a 2<a 3，a 2＝5，a 3＝9，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝5，a 1＋2d ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4， 所以a n ＝4n －3.(2)由(1)知S n ＝2n 2－n ，所以b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－n n ＋c ， 所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. 又{b n }是等差数列，所以b 1＋b 3＝2b 2，即2×62＋c ＝11＋c ＋153＋c ， 解得c ＝－12(c ＝0舍去)． 18．某工厂用分期付款的方式购买40套机器设备，共需1 150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的第1个月开始算分期付款的第1个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部按期付清后，买这40套机器设备实际花了多少钱？解：因为购买设备时已付150万元，所以欠款为1 000万元，依据题意，知其后应分20次付款，则每次付款的数额顺次构成数列{a n}，且a1＝50＋1 000×1%＝60，a2＝50＋(1 000－50)×1%＝59.5，a3＝50＋(1 000－50×2)×1%＝59，…，a n＝50＋[1 000－50(n－1)]×1%＝60－0.5(n－1)(1≤n≤20，n∈N*)，所以数列{a n}是以60为首项，－0.5为公差的等差数列，所以a10＝60－9×0.5＝55.5，S20＝20[60＋（60－19×0.5）]2＝1 105.所以全部按期付清后，买这40套机器设备实际共花费了1 105＋150＝1 255(万元)．故分期付款的第10个月应付55.5万元，全部按期付清后，买这40套机器设备实际花了1 255万元．。
2.2.3等差数列的前n项和
30
，S
2n
100
，
求S 。
3n
变式 2．已知等差数列前 n 项和为 S ，前 2 n 项 和为 S 2 n ，前 3n 项的和为 S 3 n ，证明 S ，S 2 n - S ，
n
n n
S 3n
- S 2 n 成等差数列
等差数列前n项和性质：
1 . 已 知 a n 是 公 差 为 d 的 等 差 数 列 ， 若 b1 a 1 a 2 a k , b 2 a k 1 a k 2 a 2 k， b3 a 2 k 1 a 2 k 2 a 3 k , , 则 : b1 , b 2 , b 3 , , 成 等 差 数 列 , 公 差 为 : kd
高斯算法用到了等差数列的什么性质？
m n p q am an a p aq .
情景2
如图，是一堆钢管，自上而下每层钢管数为4、 5、6、7、8、9、10，求钢管总数。
即求：S=4+5+6+7+8+9+10.
高斯算法：
还有其它算 法吗？
S=（4+10) +（5+9）+（6+8）+7 = 14×3+7=49.
d
思考：
(1)两个求和公式有何异同点？ (2)在等差数列 a n 中，如果已知五个元素 中 a1 , a n , n , d , S n 的任意三个, 请问: 能否求出其 余两个量 ?
S n na 1
n （ n 1) 2
d
a n a 1 ( n 1 )d
结论：知 三 求 二
2
2.3.1 等差数列的前n项和(2)
由 58 5k 1 82 得 11 2 k 16 1 k N * 5 5 k 12 ， 13 ， 14 ， 15 ， 16
故在所求得的数列中 ，
S5 a61 a66 a71 a76 a81 5(a61 a81) 2 5(470 590) 2650 . 2
当 n 2k 1 (k N ) 时，
*
(2k 1)(a1 a2k 1 ) (2k 1)(ak ak ) (2k 1)ak S2k 1 2 2
当 n 2k (k N ) 时，
*
2k (a1 a2k ) k (ak ak 1 ) . S2 k 2
能被 5 整除的所有项之和为 ：
1 2.已知等差数列{an } 的奇数项和为51，偶数项和为42 ， 2 首项为1，项数为奇数，求此数 列的末项及通项公式.
解：设此数列含有 n=2m+1 项 ，则由题意有： ① S奇 a1 a3 a5 a2m1 51
② S偶 a2 a4 a6 a2m 42 1 2 由 ① - ② 得： S奇 S偶 a1 md am1 8 1 2 (2m 1)2m d 由 ①+② 得： S奇 S偶 (2m 1)a1 2 (2m 1)(a1 md) (2m 1)am1 93 1 2
2.3.2 等差数列的前n项和(2)
等差数列{an}
n(a1 an ) 前n和公式：公式 1：Sn 2
n( n 1) 公式 2：Sn na1 d 2
通项公式： an a1 (n 1)d
知三可求二. 共5个量，由三个公式联系，
n(a1 an ) 公式1 Sn 2
2.3 等差数列的前n项和
n（n −1) Sn = na1 + d 2
n（ a1 + a n ) = 2
a 32−14.5 26 × (14 . 5 + 32 )n = a1 + (n −1)d n= +1 = 26,∴ S 26 = = 604 . 5 . 0.7 2
公式应用
选用公式
根据下列条件， 根据下列条件，求相应的等差数列
德国古代著名数学家高斯9岁的时候很快 德国古代著名数学家高斯 岁的时候很快 就解决了这个问题： ＋ ＋ ＋ 就解决了这个问题 ： 1＋ 2＋ 3＋ … ＋ 100=？ ？ 你知道高斯是怎样算出来的吗？ 你知道高斯是怎样算出来的吗？
赶快开动脑筋，想一想！ 赶快开动脑筋，想一想！
1+2+3+···+100=?
等差数列的前n项 和
等差数列的前n项和 等差数列的前 项和
知识目标：掌握等差数列的前 项和公式 知识目标 掌握等差数列的前n项和公式， 掌握等差数列的前 项和公式， 并能运用公式解决简单问题。 并能运用公式解决简单问题。 情感目标：提高分析和解决问题的能力 提高分析和解决问题的能力， 情感目标 提高分析和解决问题的能力， 培养创新精神，强化实践能力。 培养创新精神，强化实践能力。 教学重点：等差数列前 项和公式及其应用 教学重点 等差数列前n项和公式及其应用。 等差数列前 项和公式及其应用。 教学难点：获得推导公式的思路 教学难点 获得推导公式的思路 教学方法： 教学方法：启发诱导 自学探究
牛刀小试
1. 已知等差数列｛an｝， 7=7,则其前 项的和 已知等差数列｛ ｝，a 则其前13 则其前 S13是多少？ 是多少？
S 13
13(a1 + a13 ) = = 13a 7 = 13 × 7 = 91 2
等差数列的前n项和 课件
法二：由 S5＝5a12＋a5＝24，得 a1＋a5＝458， ∴a2＋a4＝a1＋a5＝458.
等差数列的前n项和公式推导 探究 1 如图 2-3-1，某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有 4 根钢管，下 面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有 9 根．假设在这堆钢管旁边再倒 放上同样一堆钢管，如图所示，则这样共有多少钢管？原来有多少根钢管？
图 2-3-1
【提示】 在原来放置的钢管中，从最上面一层开始，往下每一层的钢管数 分别记为 a1，a2，…，a6，则数列{an}构成一个以 a1＝4 为首项，以 d＝1 为公差 的等差数列，设此时钢管总数为 S6，现再倒放上同样一堆钢管，则这堆钢管每层 有 a1＋a6＝a2＋a5＝a3＋a4＝…＝a6＋a1＝13(根)，
此时钢管总数为 2S6＝(a1＋a6)×6＝13×6＝78(根)， 原来钢管总数为 S6＝a1＋2 a6×6＝39(根)．
探究 2 通过探究 1，你能推导出等差数列{an}的求和公式吗？
【提示】 Sn＝a1＋a2＋…＋an，① 把数列{an}各项顺序倒过来相加得 Sn＝an＋an－1＋…＋a2＋a1，② ①＋②得 2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an＋a1)＝n(a1＋an)， 则 Sn＝a1＋2ann.
【精彩点拨】 因为每隔 20 分钟到达一辆车，所以每辆车的工作量构成一 个等差数列．工作量的总和若大于欲完成的工作量，则说明 24 小时内可完成第 二道防线工程．
【自主解答】 从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位：小时)依次设 为 a1，a2，…，a25.由题意可知，此数列为等差数列，且 a1＝24，公差 d＝－13.
某抗洪指挥部接到预报，24 小时后有一洪峰到达，为确保安全，指 挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参 战军民连续奋战外，还需调用 20 台同型号翻斗车，平均每辆车工作 24 小时．从 各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔 20 分钟能有一辆翻 斗车到达，一共可调集 25 辆，那么在 24 小时内能否构筑成第二道防线？
2.3.等差数列前n项和
5 [2×5+(n-1)( − 7 ×
75 nБайду номын сангаас− 5 n 14
2
)] (
15 n- 2
2+ 1125 )
=
=
−
5 14
56
于是， 取与15/2最接近的整数 或8时，Sn 最接近的整数7或 时 于是，当n取与 取与 最接近的整数 取得最大值。 取得最大值。
上页 下页
倒序相加法 已知等差数列｛ 的首项为a 已知等差数列｛ an ｝的首项为 1，项数 项为a 求前n项和S 是n，第n项为an，求前n项和Sn . ， 项为
Q S n = a1 + a2 + a3 + L + an
= a1 + ( a1 + d ) + ( a1 + 2 d ) + L + a1 + ( n − 1) d
可知三 求一
由于an = a1 + ( n −1) d, 故
n(n − 1) S n = na1 + d 2
上页 下页
公式与梯形面积： 公式与梯形面积：
补成平形四边形
a1
an
分割成一个平行四 边形和一个三角形
a1
n
n
an
a1
a1
(n − 1)d
( a1 + a n ) ⋅ n Sn = 2
n( n − 1) d S n = a1n + 2
上页 下页
倒序相加法
计算： 1 +
分析： 分析：这 其实是求 一个具体 的等差数 列前n项 列前 项 和.
等差数列的前n项和课件
由等差数列的前n项和公式Sn=na1+
Sn
d 2
n2
(a1
d )n， 2
n
n
1
变形得：
d，
2
请根据该式子思考下面的问题：
探究1：等差数列的前n项和是否可以看成是关于n的二次函数？
提示：可以，若令A= ，B=a1- ，则
可化为
Sn=An2+Bn，显然是d2关于n的二d2次函数Sn.
d 2
n2
(a1
d)n 2
(3)当Sn是n的二次函数时，{an}不一定是等差数列.如果 Sn=an2+bn+c，则在c=0时{an}是等差数列，在c≠0时{an}不是 等差数列；反过来{an}是等差数列，Sn的表达式可以写成 Sn=an2+bn的形式，但当{an}是不为零的常数列时，Sn=na1是n 的一次函数.
二、等差数列前n项和的性质
所以S110=-120+S100=-110.
【规律总结】等差数列前n项和的几个常用性质 已知数列{an}为等差数列，其前n项和为Sn，在解题中常用的 性质有： (1)Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…成等差数列. (2)若项数为2n-1项，则S2n-1=(2n-1)an.
类型三 数列Sn与an的关系问题
【解题指南】1.根据李强每天跑的路程构成一个首项为 5 000m，公差为400m的等差数列，转化为求和. 2.(1)甲每分钟运动的路程构成了一个首项a1=2，公差d=1的 等差数列，由甲运动的路程与乙运动的路程之和为70求解. (2)到第二次相遇，甲、乙两人共运动了3×70m，建立方程求 解.
【自主解答】1.将李强每一天跑的路程记为数列{an}， 则a1=5 000m，公差d=400m.
等差数列的前n项和 课件
3.根据下列条件，求相应的等差数列{an}的有关未知
数：
(1)d= ，an= ，Sn=- ，求a1及n.
(2)a1=12 ，a15=32- ，Sn1=25-5，求n和d.
5
3
6
2
【解题探究】1.典例1中，为了简化计算可以利用等差
数列的什么性质？
提示：利用等差数列的性质得2a3=a1+a5，所以S5=5a3， 即可求解. 2.典例2中，数列{an}是等差数列吗？若是，其首项和 公差分别是什么？ 提示：数列{an}为等差数列，其首项为1，公差为 1 .
S1<S2<S3<…<S6>S7>S8>…，
又因为S11=11(a1 a=11)11a6>0， S12=12(a1 a1=2 )6(a26+a7)<0， 所以使Sn2>0的n的最大值为11.
答案：11
2.(1)设{an}的公差为d，由已知条件，
aa11
d 1， 4d 5，
解出a1=3，d=-2. 所以an=a1+(n-1)d=-2n+5.
(2)方法一：因为an=-2n+5=25( -n)， 2
所以当1≤n≤2时，an>0；
当n≥3时，an<0，
所以n=2时，Sn取到最大值4.
方法二：Sn=na1+n(n 1)d=-n2+4n 2
=4-(n-2)2.
所以n=2时，Sn取到最大值4.
【延伸探究】典例1中的“ a7 <-1”改为“ a11 1
(2)若由an=Sn-Sn-1(n≥2)中令n=1求得a1与利用a1=S1求
得的a1相同，则说明an=Sn-Sn-1(n≥2)也适合n=1的情况，
2.3等差数列前n项和
d 0
n(n 1) 13 n(n 1) d 2 S n na1 d nd d (n 14 n) 2 2 2 2
d (n 7) 2 49 2
d 0
所以当n=7时，S7最大.
小结：在求等差数列的前n项和的最大值或最小值时， 我们要充分利用数列与函数的关系分析解决问题，因而 有如下方法: 1.通项法：求使 an 0(或 an 0）成立的最大的 S n S n1 , 即递增， n即可. 这是因为：当 an 0 时， S n S n1 , 即递减 . 当 an 0 时，
1+2+3++100=?
10岁的高斯如何求和
高斯（Gauss，1777-1855）德国数学 家，是历史上最伟大的数学家之一， 被誉为“数学王子”
设：S=1 + 2+ 3+ … +98+99+100 则 S=100+99+98+ … + 3+ 2+ 1 相加得2S=(1+100) ×100=10100,∴S=5050.
一般问题
从1开始前n个自然数的求和问题 1+2+3++n=？ 倒序相加 1 + 2 + 3 ++(n-1)+n +1 + + (n+1)+(n+1)
2
n+(n-1)+(n-2)++ 2 (n+1)+(n+1) + (n+1)
等差数列的前n项和
_______________________________________________
第一章 1.1 第1课时
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修5
2．等差数列{an}的前 n 项和公式是：
_①___S_n_＝__n__a_1_2＋__a_n_______②___S__n＝___n_a_1_＋__n__n_2－__1__d__ (1) ②式可以改写成：Sn＝d2n2＋(a1－d2)n.当 d≠0 时，Sn
[分析] 根据条件给出的 Sn 与 an 的关系，可推出数列的递 推公式，然后选择方法求解．
[答案]
1 nn＋1
第一章 1.1 第1课时
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[解析] ∵Sn＝n2·an，① ∴Sn－1＝(n－1)2an－1(n≥2)．② ①－②得 an＝n2·an－(n－1)2·an－1.
第一章 1.1 第1课时
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[解析] (1)1 到 200 的所有整数和
1＋200×200
S＝
2
＝20 100，
2＋200×100
其中偶数和为 P＝
2
＝10 100，
3＋195×33267，
∴满足条件的所有数的和为
n－1 整理得 an＝n＋1·an－1，
即
an
n－1 ＝ (n≥2)．
an－1 n＋1
∴aan1＝aa21·aa32·…·aan－n 1
第一章 1.1 第1课时
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＝13·24·35·46…n－n 2·nn－ ＋11 ＝2. nn＋1
等差数列前n项和
等差数列的前n 项和1. 数列的前n 项和：对于数列{}n a ，一般地，我们称n a a a a +⋅⋅⋅+++321为数列{}n a 的前n 项和，用n S 表示，即n n a a a a S +⋅⋅⋅+++=321 .2. 等差数列的前n 项和公式：()()d n n na a a n S n n 21211-+=+= 3. 等差数列的前n 项和公式与函数的关系：n d a n d S n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=2212 数列{}n a 是等差数列的充要条件是其前n 项和公式()n f S n =是n 的二次函数或一次函数且不含常数项. 即Bn An S n +=2 ()022≠+B A在等差数列{}n a 中，001＜，＞d a ，则n S 存在最大值；若001＞，＜d a ，则n S 存在最小值.4. 等差数列与等差数列各项的和有关的性质：（1）若{}n a 是等差数列，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 也成等差数列，其首项与{}n a 首项相同，公差是{}n a 公差的21. （2）m m m S S S 32，，分别为{}n a 的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则m m m m m S S S S S 232--，，成等差数列.（3）关于等差数列奇数项与偶数项的性质若项数为2n ，则nd S S =-奇偶， 1+=n n a a S S 偶奇若项数为2n-1，则()n n na S a n S =-=奇偶，1，n a S S =-偶奇，1-=n n S S 偶奇 （4）两个等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和n n T S 、之间的关系为1212--=n n n n T S b a .5.例1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足02111=+=-n n n S S a a ， ()2≥n .（1）求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1是等差数列； （2）求{}n a 的通项n a .例2. 已知等差数列{}n a 中：（1）；及，求，，m m a m S d a 1521231-=-== （2）；，求，，d S a a n n 102251211-=-== （3）42524a a S +=，求.例3. 在等差数列{}n a 中，的最大值项和，求前，n S n S S a 917125==.例4. 已知一个等差数列{}n a 前10项的和是310，前20项的和是1220，求它的前30项的和.例5. 两个等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n n T S 、，若132+=n n T S n n ，求n n b a .例6. 数列()⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n 的前n 项和()11541431321211+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯+⨯=n n S n ，研究一下，能否找到求n S 的一个公式. 你能对这个问题作一些推广吗？例7.【课堂训练】1. 等差数列{a n }的前n 项和为S n , 且S 3=6, a 3=4, 则公差d 等于( )A. 1B. 35C. 2D. 32. 设{a n }为等差数列, 公差d=-2, S n 为其前n 项和. 若S 10=S 11, 则a 1=( )A. 18B. 20C. 22D. 243. 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和, 若a 1=1, 公差d=2, S k+2-S k =24, 则k=( )A. 8B. 7C. 6D. 54. 等差数列{a n }的前n 项和为S n , 已知0211=-++-m m m a a a , S 2m-1=38, 则m=() A. 38 B. 20 C. 10 D. 95. 若等差数列{a n }的前5项的和S 5=25, a 2=3, 则a 7等于( )A. 12B. 13C. 14D. 156. 已知等差数列{a n }满足a 2+a 4=4, a 3+a 5=10, 则它的前10项的和S 10=( )A. 138B. 135C. 95D. 237. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n . 若S 9=72, 则a 2+a 4+a 9= .8. 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和, 若S 3=3, S 6=24, 则a 9= .9. 已知{a n }是等差数列, S n 为其前n 项和, n ∈N *. 若a 3=16, S 20=20, 则S 10的值为 .10. 数列{a n }的通项公式a n =ncos2πn +1, 前n 项和为S n , 则S 2 012= .11. 已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2-n+1, 则数列{a n }的通项公式a n = .12. 在数列{a n }中, a 1=2, 其前n 项和为S n , 若数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是一个公差为2的等差数列, 则a 3= .13. 已知{a n }是一个等差数列, 且a 2=1, a 5=-5.(1) 求{a n }的通项a n ;(2) 求{a n }前n 项和S n 的最大值.14. 在等差数列{a n }中:(1) 若a 3+a 99=200, 求S 101;(2) 若a 4+a 9+a 10+a 15=20, 求S 18.15. 已知数列{a n }的前n 项和为S n , 且满足S n =1211+--n n S S (n≥2), a 1=2. (1) 求证: ⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1是等差数列; (2) 求{a n }的表达式.【强化训练】1. 在数列{a n }中, a n+1=a n +a(n ∈N *, a 为常数), 数列{a n }的前n 项和为S n . 若平面上三个不共线的非零向量OC OB OA ，，满足: OC =a 1+a 2 014OB , A, B, C 三点共线且该直线不过O 点, 则S 2 014等于( )A. 1 005B. 1 007C. 2 012D. 2 0142. 等差数列{a n }中, S 15> 0, S 16< 0, 则使a n > 0成立的n 的最大值为( )A. 6B. 7C. 8D. 93. 把正整数按下列方法分组: (1), (2,3), (4,5, 6), …, 其中每组都比它的前一组多一个数, 设S n 表示第n 组中各数的和, 那么S 21等于 .4. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n , 且6S 5-5S 3=5, 则a 4= .5. 设a 1, d 为实数, 首项为a 1, 公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n , 满足S 5S 6+15=0, 则d 的取值范围是 .6. 已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1为a(a ∈R), 设数列的前n 项和为S n , 且11a ，21a ，41a 成等比数列. (1) 求数列{a n }的通项公式及S n ;(2) 记n n S S S S A 1111321+⋅⋅⋅+++=，1222211111-+⋅⋅⋅+++=n a a a a B n . 当n≥2时, 试比较A n 与B n 的大小.。
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第二章 数列
做一做 2.根据下列各题中的条件， 求相应的等差数列{an}的前n项 和Sn： (1)a1＝5，an＝95，n＝10； (2)a1＝100，d＝－2，n＝50. 答案：(1)500 (2)2550
栏目 导引
第二章 数列
3．等差数列的前 n 项和的性质 (1)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等差数列； (2)若 S 奇表示奇数项的和，S 偶表示偶数项的和，公差为 d， ①当项数为偶数 2n 时，S 偶－S 奇＝nd，SS奇偶＝aan＋n1； ②当项数为奇数 2n－1 时，S 奇－S 偶＝an，SS奇 偶＝n－n 1， S2n－1＝(2n－1)an.
栏目 导引
第二章 数列
做一做 3.已知等差数列{an}的前n项和Sn，且S10＝10，S20＝30， 求S30. 解：因为数列{an}是等差数列， 所以S10，S20－S10，S30－S20成等差数列， ∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20， 即2×20＝10＋S30－30， ∴S30＝60.
n＝1 n≥2 .栏目 来自引第二章 数列做一做
1.已知：数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋1，求数列{an} 的通项公式． 解：当 n＝1 时，a1＝S1＝2， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1 ＝n2＋1－(n－1)2－1＝2n－1， ∵a1＝2，不满足 an＝2n－1， ∴an＝22， n－1，nn＝≥21. ，
整理得2a1＋11d＝14， 解得a1＝－15，
2a1＋19d＝46，
d＝4，
∴Sn＝－15n＋nn2－1×4＝2n2－17n，
∴S28＝2×282－17×28＝1092.
栏目
导引
第二章 数列
法二：设 Sn＝an2＋bn.∵S12＝84，S20＝460， ∴122022aa＋ ＋1220bb＝ ＝84460，， 整理得1220aa＋ ＋bb＝ ＝72，3， 解得ab＝＝2－17 ，∴Sn＝2n2－17n，S28＝1092. 法三：∵{an}为等差数列，∴{Snn}是等差数列． ∵12,20,28 成等差数列， ∴S1122，S2200，S2288成等差数列，∴2×S2200＝S1122＋S2288， 解得 S28＝1092.
栏目 导引
第二章 数列
题型三 等差数列前n项和的最值 例3 在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9.试求前n项和Sn的
最大值．
【解】 法一：由 S17＝S9，得 25×17＋17172－1d＝25×9＋99－ 2 1d， 解得 d＝－2， ∴Sn＝25n＋nn2－1×(－2)＝－(n－13)2＋169， 由二次函数性质得，当 n＝13 时，Sn 有最大值 169.
栏目 导引
第二章 数列
2．等差数列的前n项和 等差数列的前n项和公式
已知量 求和公式
首项、末项与项数 Sn＝na12＋an
首项、公差与项数 Sn＝na1＋nn－2 1d
栏目 导引
第二章 数列
想一想 在公式 Sn＝na1＋nn2－1d 中，Sn 一定是关于 n 的二次 函数吗？
提示：不一定，d＝0时不是．
栏目 导引
第二章 数列
【名师点评】 已知数列的前n项和Sn，求an，要分三步进行 ：第一步：令n＝1求a1；第二步：令n≥2，求an＝Sn－Sn－1； 第三步：验证a1与an的关系，来确定an.
栏目 导引
第二章 数列
互动探究 1．把例1中的Sn＝3＋2n改为Sn＝－1＋2n，再求an. 解：∵Sn＝－1＋2n， ∴a1＝S1＝－1＋2＝1， 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝－1＋2n－(－1＋2n－1)＝2n－2n－1＝2n－1 当n＝1时，a1＝1符合an＝2n－1， ∴an＝2n－1.
栏目 导引
第二章 数列
题型二 等差数列前n项和的有关计算
例2 等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12＝84，S20＝460
，求S28.
【解】
法一：设{an}的公差为
d，则
Sn＝na1＋n
n－1 2 d.
12a1＋12×2 11d＝84
由已知条件，得
，
20a1＋20×2 19d＝460
解决相关问题．
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第二章 数列
新知初探思维启动
1．数列前 n 项和 Sn 与 an 的关系 (1)Sn 记法：数列{an}中，前 n 项的和记为 Sn＝a1＋a2＋a3 ＋…＋an－1＋an. (2)an 与 Sn 的关系：若数列的前 n 项和为 Sn，则通项公式
an＝SS1n－Sn－1
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第二章 数列
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 已知Sn求an
例1 已知数列{an}的前n项和Sn＝3＋2n，求an.
【解】 ∵Sn＝3＋2n， ∴Sn－1＝3＋2n－1，an＝Sn－Sn－1， ＝2n－1(n≥2)，而 a1＝S1＝5，
∴an＝52，n－1，
n＝1， n≥2.
第二章 数列
2．3 等差数列的前n项和
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第二章 数列
学习导航
学习目标
实例
了解
――→
等差数列前n 项和公式的 推导过程
理解
――→
等差数列前n 项和公式的推 导思想
掌握
――→
等差数列前n 项和公式的应用
重点难点 重点：掌握等差数列前 n 项和公式，会用公式 解决一些问题．
难点：理解等差数列前 n 项和公式中的数学思想并能够 利用公式及性质
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第二章 数列
【名师点评】 运用等差数列的前n项和公式列方程组解题， 主要是解决“知三求二”的问题，即公式中涉及的a1，d，n， an，Sn，已知其中三个量，可求另外两个量，解答的方法就 是解方程组．
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第二章 数列
跟踪训练
2．在等差数列{an}中： (1)若a4＋a17＝20，求S20； (2)若S4＝1，S8＝4，求S20. 解：(1)由等差数列的性质知：a1＋a20＝a4＋a17＝20， ∴S20＝220(a1＋a20)＝220(a4＋a17)＝220×20＝200. (2)S4＝1，S8－S4＝3， 而 S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12，S20－S16 成等差数列， 即 1,3,5,7,9，成等差数列， ∴S20＝S4＋(S8－S4)＋(S12－S8)＋(S16－S12)＋(S20－S16)＝1 ＋3＋5＋7＋9＝25.