高考总复习中学精品教学案：立体几何单元(教师版全套)
高考数学专题复习专题七立体几何教案文
高考数学专题复习专题七立体几何教案文第一篇：高考数学专题复习专题七立体几何教案文专题七立体几何自查网络核心背记一、空间几何体的结构特征（一）多面体1．棱柱可以看成是一个多边形（包含图形所围成的平面部分）上各点都沿同一个方向移动____所形成的几何体．2．主要结构特征：棱柱有两个面互相平行，而其余的交线都互相平行，其余的这些面都是四边形．3．侧棱和底面____的棱柱叫做直棱柱，底面为的直棱柱叫做正棱柱．4．有一个面是多边形，而其余各面都的三角形的多面体叫做棱锥．5．如果棱锥的底面是一，它的顶点又在过且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥，正棱锥各侧面都是一的等腰三角形，这些等腰三角形____都相等，叫做棱锥的斜高．6.棱锥被一的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．一——7.由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．正棱台各侧面都是全等的等腰梯形，这些一叫做棱台的斜高．正棱台中两底面中心连线，相应的边心距和．组成一个直角梯形；两底面中心连线，和两底面相应的外接圆半径组成一个直角梯形．（二）旋转体1．分别以一、直角梯形中——、——____所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱、圆锥、圆台．旋转轴叫做所围成的几何体的轴；在轴上的这条边叫做这个几何体的高；垂直于轴的边旋转而成的叫做这个几何体的底面；不垂直于轴的边旋转而成的叫做这个几何体的侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的母线，’ 2．-个半圆绕着____所在的直线旋转一周所形成的曲面叫球面，球面所围成的几何体称为 1球．球面也可以看做空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合．3．球的截面性质：球的截面是；球心和截面（不过球心）圆心的连线于截面；设球的半径为R，截面圆的半径为r，球心到截面圆的距离d就是球心0到截面圆心0i的距离，它们的关系是一．4．球的大圆、小圆：球面被的平面截得的圆叫做球的大圆；球面被的平面截得的圆叫做球的小圆．（三）投影1．当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影具有如下性质：①直线或线段的平行投影是____；②平行直线的平行投影是；③平行于投射面的线段，它的投影与这条线段；④与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形；⑤在同一直线或平行线上，两条线段的平行投影的比等于____． 2.-个．把一个图形照射在一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影．空间图形经过中心投影后，直线还是直线，但是平行线可能变成____．3．在物体的平行投影中，如果投射线与投射面____，则称这样的平行投影为正投影．4．除了平行投影的性质正投影还具备如下性质：直于投射面的直线或线段的正投影是．②于投射霹的平面图形的正投影是（四）斜二测画法与三视图1．斜二测画法的作图规则可以简记为：水平方向方向长度竖直方向线，变为方线，长度2.投射面与视图：通常，总是选取三个____的平面作为投射面，来得到三个投影图．一个投射面水平放置，叫做水平投射面，投射到水平投射面内的图形叫做，一个投射面放置在正前方，这个投射面叫做直立投射面．投射到直立投射面内的圆形叫做和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投射l面．投射到侧立投射面内的圆形叫做3.三视图定义：将空间图形向水平投射面，直立投射面、侧立投射面作正投影．然后把这个投影按一定的布局放在一个平面内，这样构成的图形叫做空闷图形的三视图．4．三视图的画法要求；三视图的主视图、俯视图、左视图分别是从物体的看到的物体的正投影围成的平面图形．5.一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在的下面，长度与一样；左视图放在主视图的，高度与____一样，宽度与——的宽度—样为了便于记忆．通常说：“长对正高平齐、宽相等”或“主左一样高、主俯—样长、左俯—样宽6．画三视图时应注意：被挡住的轮廓要画成瘦线，尺寸线用细实线标出；φ表示直径，R表示半径；单位不注明按mm计，二、空间几何体的表面积与体积（一）柱、锥、台的表面积公式1．设直棱柱的高为b，底面多边形的周长为c，则直棱柱侧面面积计算公式为——．设圆柱的底面半径为r 周长为C，侧面母线长为l，则圆柱的侧面积是____． 2.设正棱锥的底面边长为a，底面周长为C，斜高为h，则正n梭锥的侧面积计算公式为一·如果圆锥底面半径为r，周长为C，侧面母线长为l，那么圆锥的侧面积是一．3.如果设正棱台下底面边长为a、周长为C，上底面边长为a'、周长为C'斜高为h'，则正竹棱台的侧面积公式为____ ．如果圆台的上下底面半径分为r'，r，周长为C，C，侧面母线长为l，那么圆台的侧面积是（二）柱、锥、台的体积公式1.棱柱的底面面积为S，高为h，则体积为——’底面半径为r，高是h的圆柱体的体积计算公式是—一．2.若一个棱锥的底面面积为S．高为h，那么它的体积公式为____．若圆锥的底面圆的半径为r，高为h,则体积为____．3.若台体（棱台、圆台）上、下底面面积分别为S，S，高为h，则台体的体积公式为一，若圆台的上、下底面半径分别为r，r，高为h．则圆台的体积公式为（三）球的表面积与体积公式设球的半径为R．则球的表面积计算公式为-.即球面面积等于它的大圆面积的____．球的体积公式为三、平面的基本性质与推论（一）平面的定义平面是一个不加定义，只需理解的最基本的原始概念．在生活中平静的水面、镜面、书桌面都给我们平面的印象，立体几何中的平面就是由此抽象出来的．平面是处处平直的面，它是向四面八方一的．无大小、厚薄之分，它是不可度量的．（二）平面的基本性质及推论 1．平面的基本性质 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的都在这个平面内，这时我们说：直线在平面内或平面____直线．2.平面的基本性质2：经过____的三点，有且只有一个平面，即：____的三点确定一个平面．3.推论1：经过一条直线和____一点，有且只有一个平面．4.推论2：经过两条直线有且只有一个平面．5.推论3：经过两条直线有且只有一个平面．6．面面相交：如果两个平面有一条公共直线，则称之为两平面相交，这条公共直线也叫做两个平面的交线．平面口与p相交，交线是Z，符号表示为．7．平面的基本性质3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们一条经过一的公共直线．（三）异面直线1．_ ___的直线叫做异面直线．2．异面直线的判定：与一平面相交于一点的直线与平面内一的直线是异面直线，用符号表示为：若ABn口-B，B垂z，Zc口，则直线AB与直线z是异面直线．四、空间中的平行关系（一）平面的基本性质4与等角定理1．平面的基本性质4：平行子同一直线的两条直线____．符号表示为：若直线矗∥6．c∥6，那么——．2.等角定理：如果一个角的p边与另一个角的两边分别对应平行，并且一，那么这两个角相等．（二）空间四边形顺次连接____ 的四点A．B，C．D所梅成的图形叫做空闻四边形．其中，四个点A，B，C．D，每个点都Ⅱq它的____ ．所连接的相邻顶点fa-的线段叫做它的____．连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的____．（三）直线与平面平行1.直线a和平面口只有一个公共点A，叫做直线与平面____．这个公共点A叫做直线与平面的交点．记作____．2．直线a与平面a没有公共点，叫做直线与平面平行．记作一一．3.判定定理：如果____的一条直线和——的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行．4．性质定理：如果一条直线与一个平面平行，____ 的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行．（四）平面与平面平行1．两不重合平面有公共点就叫两平面相交，记作口n卢2 Z．若两个平面一，则称这两个平面为平行平面，“平面口平行于平面p"可以记作“口∥∥．2．平面与平面平行的判定定理；如果一个平面内有两条一直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．3．推论：如果—个平面内有两条____直线分别平行于另—个平面内的两条直线，则这两个平面平行．4．性质定理：如果两个____平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．符号语言表示为：口//p，a(l y=a，pffy=b净_，．。
高中立体几何教案5篇
高中立体几何教案5篇第一篇：高中立体几何教案高中立体几何教案第一章直线和平面两个平面平行的性质教案教学目标1．使学生掌握两个平面平行的性质定理及应用；2．引导学生自己探索与研究两个平面平行的性质定理，培养和发展学生发现问题解决问题的能力．教学重点和难点重点：两个平面平行的性质定理；难点：两个平面平行的性质定理的证明及应用．教学过程一、复习提问教师简述上节课研究的主要内容（即两个平面的位置关系，平面与平面平行的定义及两个平面平行的判定定理），并让学生回答：（1）两个平面平行的意义是什么？（2）平面与平面的判定定理是怎样的？并用命题的形式写出来？（教师板书平面与平面平行的定义及用命题形式书写平面与平面平行的判定定理）（目的：（1）通过学生回答，来检查学生能否正确叙述学过的知识，正确理解平面与平面平行的判定定理．（2）板书定义及定理内容，是为学生猜测并发现平面与平面平行的性质定理作准备）二、引出命题（教师在对上述问题讲评之后，点出本节课主题并板书，平面与平面平行的性质）师：从课题中，可以看出，我们这节课研究的主要对象是什么？生：两个平面平行能推导出哪些正确的结论．师：下面我们猜测一下，已知两平面平行，能得出些什么结论．（学生议论）师：猜测是发现数学问题常用的方法．“没有大胆的猜想，就作不出伟大的发现．”但猜想不是盲目的，有一些常用的方法，比如可以对已有的命题增加条件，或是交换已有命题的条件和结论．也可通过类比法即通过两个对象类似之处的比较而由已经获得的知识去引出新的猜想等来得到新的命题．（不仅要引导学生猜想，同时又给学生具体的猜想方法）师：前面，复习了平面与平面平行的判定定理，判定定理的结论是两平面平行，这对我们猜想有何启发？生：由平面与平面平行的定义，我猜想：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个面．师：很好，把它写成命题形式．（教师板书并作图，同时指出，先作猜想、再一起证明）猜想一：已知：平面α∥β，直线a 求证：a∥β．生：由判定定理“垂直于同一条直线的两个平面平行”．我猜想：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面．[教师板书]α，猜想二：已知：平面α∥β，直线l⊥α．求证：l⊥β．师：这一猜想的已知条件不仅是“α∥β”，还加上了“直线l⊥α”．下面请同学们看课本上关于判定定理“垂直于同一直线的两平面平行”的证明．在证明过程中，“平面γ∩α=a，平面γ∩β=a′”．a与a′是什么关系？生：a∥a′．师：若改为γ不是过AA′的平面，而是任意一个与α，β都相交的平面γ．同学们考虑一下是否可以得到一个猜想呢？（学生讨论）生：如果一个平面与两个平行平面中的一个相交，也必与另一个平面相交．” [教师板书] 猜想三：已知：平面α∥β，平面γ∩α=a，求证：γ与β一定相交．师：怎么作这样的猜想呢？生：我想起平面几何中的一个结论：“一条直线与两条平行线中的一条相交，也必与另一条相交．”师：很好，这里实质用的是类比法来猜想．就是把原来的直线类似看作平面．两平行直线类似看作两个平行平面，从而得出这一猜想．大家再考虑，猜想三中，一个平面与两个平行平面相交，得到的交线有什么位置关系？生：平行师：请同学们表达出这个命题．生：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． [教师板书]猜想四：已知：平面α∥β，平面γ∩α=a，γ∩β=b．求证：a∥b．[通过复习定理的证明方法，既发现了猜想三，猜想四，同时又复习了定理的证明方法，也为猜想四的证明，作了铺垫] 师：在得到猜想三时，我们用到了类比法，实际上，在立体几何的研究中，将所要解决的问题与平面几何中的有关问题作类比，常常能给我们以启示，发现立体几何中的新问题．比如：在平面几何中，我们有这样一条定理：“夹在两条平行线间的平行线段相等”，请同学们用类比的方法，看能否得出一个立体几何中的猜想？生：把两条平行线看作两个平行平面，可得猜想：夹在两个平行平面间的平行线段相等． [教师板书] 猜想五：已知：平面α∥β，AA′∥BB′，且A，B∈α，B，B′∈β．求证：AA′=BB′．[该命题，在教材中是一道练习题，但也是平面与平面平行的性质定理，为了完整体现平面与平面平行的性质定理，故尔把它放在课堂上进行分析]三、证明猜想师：通过分析，我们得到了五个猜想，猜想的结论往往并不完全可靠．得到猜想，并不意谓着我们已经得到了两个平面平行的性质定理，下面主要来论证我们得到的猜想是否正确．[师生相互交流，共同完成猜想的论证] 师：猜想一是由平面与平面平行的定义得到的，因此在证明过程中要注意应用定义．[猜想一证明] 证明：因为α∥β，所以α与β无公共点．又因为a α，所以 a与β无公共点．故a∥β．师：利用平面与平面平行的定义及线面平行的定义，论证了猜想一的正确性．这便是平面与平面平行的性质定理一．简言之，“面面平行，则线面平行．”[教师擦掉“猜想一”，板书“性质定理一”] [论证完猜想一之后，教师与学生共同研究了“猜想二”，发现，若论证了“猜想四”的正确性质，“猜想二”就容易证了，因而首先讨论“猜想三，猜想四”] 师：“猜想三”是类比平面几何中的结论得到的，还记得初中时，是怎么证明的？[学生回答：反证法] 师：那么，大家可否类比初中的证明方法来证明“猜想三”呢？生：用反证法：假设γ与β不相交，则γ∥β．这样过直线a有两个平面α和γ与β平行．与“过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行”矛盾．故γ与β相交．师：很好．由此可知：不只是发现问题时可用类比法，就是证明方法也可用类比方法．不过猜想三，虽已证明为正确的命题，但教材中并把它作为平面与平面平行的性质定理，大家在今后应用中要注意．[猜想四的证明] 师：猜想四要证明的是直线a∥b，显然a，b共面于平面γ，只需推导出a与b无公共点即可．生：（证法一）因为a∥β，所以 a与β无公共点．又因为a α，b β．所以 a与b无公共点．又因为a γ，b 所以a∥b．师：我们来探讨其它的证明方法．要证线线平行，可以转化为线面平行．生：（证法二）因为a α，又因为α∥β，所以a∥β．又因为a γ，且γ∩β=b，所以a∥b．师：用两种不同证法得出了“猜想四”是正确的．这是平面和平面平行的性质定理二．[教师擦掉“猜想四”，板书“性质定理二”] 师：平面与平面平行的性质定理二给出了在两个平行平面内找一对平行线的方法．即：“作一平面，交两面，得交线，则线线平行．”同时也给我们证明两条直线平行的又一方法．简言之，“面面平行，则线线平行”．[猜想二的证明] 师：猜想二要证明的是直线l⊥β，根据线面垂直的判定定理，就要证明l和平面β内的两条相交直线垂直．那么如何在平面β内作两条相交直线呢？[引导学生回忆：“垂直于同一直线的两个平面平行”的定理的证明] γ，生：（证法一）设l∩α=A，l∩β=B．过AB作平面γ∩α=a，γ∩β=a′．因为α∥β，所以a∥a′．再过AB作平面δ∩α=b，δ∩β=b′．同理b∥b′．又因为l⊥α，所以l⊥a，l⊥b，所以l⊥a′，l⊥b′，又a′∩b′=β，故l⊥β．师：要证明l⊥β，根据线面垂直的定义，就是要证明l和平面β内任何一条直线垂直．生：（证法二）在β内任取一条直线b，经过b作一平面γ，使γ∩α=a，因为α∥β，所以a∥b，因此l⊥α，a α，故l⊥a，所以l⊥b．又因为b为β内任意一条直线，所以l⊥β．[教师擦掉“猜想二”，板书“性质定理三”] [猜想五的证明] 证明：因为AA′∥BB′，所以过AA′，BB′有一个平面γ，且γ∩α=AB，γ∩β=A′B′．因为α∥β，所以AB∥A′B′，因此AA′ B′B为平行四边形．故AA′=BB′．[教师擦掉“猜想五”，板书“性质定理四”] 师：性质定理四，是类比两条平行线的性质得到的．平行线的性质有许多，大家还能类比得出哪些有关平行平面的猜想呢？你能证明吗？请大家课下思考．[因类比法是重要的方法，但平行性质定理已得出，故留作课下思考]四、定理应用师：以上我们通过探索一猜想一论证，得出了平面与平面平行的四个性质定理，下面来作简单的应用．例已知平面α∥β，AB，CD为夹在α，β间的异面线段，E、F分别为AB，CD的中点．求证：EF∥α，EF∥β．师：要证EF∥β，根据直线与平面平行的判定定理，就是要在β内找一条直线与EF平行．证法一：连接AF并延长交β于G．因为AG∩CD=F，所以 AG，CD确定平面γ，且γ∩α=AC，γ∩β=DG．因为α∥β，所以AC∥DG，所以∠ACF=∠GDF，又∠AFC=∠DFG，CF=DF，所以△ACF≌△DFG．所以AF=FG．又 AE=BE，所以EF∥BG，BG 故EF∥β．同理：EF∥α．师：要证明EF∥β，只须过EF作一平面，使该平面与β平行，则根据平面与平面平行性质定理即可证．证法二：因为AB与CD为异面直线，所以A CD．β．在A，CD确定的平面内过A作AG∥CD，交β于G，取AG中点H，连结AC，HF．因为α∥β，所以AC∥DG∥EF．因为DG β，所以HF∥β．又因为 E为AB的中点，因此EH∥BG，所以EH∥β．又EH∩FH=H，因此平面EFH∥β，EF 所以EF∥β．同理，EF∥α．平面EFH，师：从以上两种证明方法可以看出，虽然是解决立体几何问题，但都是通过转化为平面几何的问题来解决的．这是解决立体几何问题的一种技能，只是依据的不同，转化的方式也不同．五、平行平面间的距离师：和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段．两个平行平面有几条公垂线？这些公垂线的位置关系是什么？生：两个平行平面有无数条公垂线，它们都是平行直线．师：夹在两平行平面之间的公垂线段有什么数量关系？根据是什么？生：相等，根据“夹在两个平行平面间的平行线段相等．”师：可见夹在两个平行平面的公垂线段长度是唯一的．而且是夹在两个平行平面间的所有线段中最短的．因此我们把这公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离．显然两个平行平面的距离等于其中一个平面上的任一点到另一个平面的垂线段的长度．六、小结1．由学生用文字语言和符号语言来叙述两个平面平行的性质定理．教师总结本节课是由发现与论证两个过程组成的．简单的说就是：由具体问题具体素材用类比等方法猜想命题，并由转化等方法论证猜想的正确性，得到结论．2．在应用定理解决立体几何问题时，要注意转化为平面图形的问题来处理．大家在今后学习中一定要注意掌握这一基本技能．3．线线平行、线面平行与面面平行的判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系．在学习中应发现其内在的科学规律：低一级位置关系判定着高一级位置关系；高一级位置关系一定能推导低一级位置关系．下面以三种位置关系为纲应用转化的思想整理如下：七、布置作业课本：p．38，习题五5，6，7，8．课堂教学设计说明1．本节课的中心是两个平行平面的性质定理．定理较多，若采取平铺直叙，直接地给出命题，那样就绕开了发现、探索问题的过程，虽然比较省事，但对发展学生的思维能力是不利的．在设计本教案时，充分考虑到教学研究活动是由发现与论证这样两个过程组成的．因而把“如何引出命题”和“如何猜想”作为本节课的重要活动内容．在教师的启发下，让学生利用具体问题；运用具体素材，通过类比等具体方法，发现命题，完成猜想．然后在教师的引导下，让学生一一完成对猜想的证明，得到两个平面平行的性质定理．也就在这一“探索”、“发现”、“论证”的过程中，培养了学生发现问题，解决问题的能力．在实施过程中，让学生处在主体地位，教师始终处于引导者的位置．特别是在用类比法发现猜想时，学生根据两条平行线的性质类比得出许多猜想．比如：根据“平行于同一条直线的两条直线平行”得到“平行于同一个平面的两个平面平行．”根据“两条直线平行，同位角相等”等，得到“与两个平行平面都相交的直线与两个平面所成的角相等”等等，当然在这些猜想中，有的是正确的，有的是错误的，这里不一一叙述．这就要求教师在教学过程中，注意变化，作适当处理．学生在整节课中，思维活跃，沉浸在“探索、发现”的思维乐趣中，也正是在这种乐趣中，提高了学生的思维能力．2．在对定理的证明过程中，课上不仅要求证出来，而且还考虑多种证法．对于定理的证明，是解决问题的一些常用方法，也可以说是常规方法，是要学生认真掌握的．因此教师要把定理的证明方法，作为教学的重点内容进行必要的讲解，培养学生解决问题的能力．3．转化是重要的数学思想及数学思维方法．它在立体几何中处处体现．实质上处理空间图形问题的基本思想方法就是把它转化为平面图形的问题，化繁为简．特别是在线线平行，线面平行，面面平行三种平行的关系上转化的思想也有较充分的体现，因而在小结中列出三个平行关系相互转让的关系图，一方面便于学生理解，记忆，同时通过此表，能马上发现三者相互推导的关系，能打开思路，发现线索，得到最佳的解题方案．第二篇：高中立体几何高中立体几何的学习高中立体几何的学习主要在于培养空间抽象能力的基础上，发展学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
立体几何复习教案
专题9 立体几何复习（二）教案第课时教案序号 1一、知识梳理1. 异面直线所成的角：m、n是两条异面直线，经过空间任一点O，作直线m，∥m ,n，∥n ,我们把直线m，和n，所成的锐角（或直角）叫做异面直线m,n所成的角.当两条异面直线所成的角为直角时称这两条异面直线垂直，记作m⊥n .2. 直线与平面所成角（1）斜线及其在平面内的射影:一条直线和一个平面相交，但不和它垂直,这条直线称为平面的斜线,斜线和平面的交点称为斜足.过斜线上一点（除斜足外）向平面引垂线，过垂足与斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.（2）直线与平面所成的角：平面的一条斜线与它在平面内的射影所成的锐角，称为这条斜线与这个平面所成的角.（3）特殊情况：一条直线垂直于平面，则线面所成角是直角；一条直线与平面平行或在平面内，则线面所成的角是0°角.（4）直线与平面所成角的取值范围是3.二面角（1）半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面.（2）二面角:由一条直线引两个半平面所组成的图形称为二面角,这条直线称为二面角的棱,构成二面角的两个半平面称为二面角的面.（3）二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点,过这点在二面角的两个半平面内分别作棱的垂线,这两条垂线相交所成的角称为二面角的平面角.二面角的大小可用它的平面角来度量.平面角是直角的二面角叫做直二面角.4.各类几何体及其面积、体积二、考点解析例1：例1变式训练：例2:将圆心角为120°，面积为3π的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积例2变式训练：例3：三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的体积是其余两球体积和的 （ ） 例3变式训练： 若球的大圆的面积扩大为原来的3倍，则它的体积扩大为原来的（ ） 例4：DO CBA P例4变式训练：在正四面体ABCD中，求相邻两个平面所成的二面角的平面角的余弦值大小。
三、错题分析纠正下题解法中的错误：。
立体几何专题复习教学设计
立体几何专题复习教学设计第一篇：立体几何专题复习教学设计立体几何专题教学设计【考情分析】立体几何主要培养学生的发展空间想像能力和推理论证能力。
立体几何是高考必考的内容，试题一般以“两小题一大题或一大题一小题”的形式出现，分值在17—22分左右。
近三年的试题中必有一个选择题是以三视图为背景，来考查空间几何体的表面积或体积。
立体几何在高考中的考查难度一般为中等，从解答题来看，立体几何大题所处的位置为前4道，有承上启下的作用。
主要考查的知识点有： 1.客观题考查的知识点：(1)判断：线线、线面、面面的位置关系；(2)计算：求角(异面直线所成角、线面角、二面角)；求距离(主要是点面距离、球面距离)；求表面积、体积；(3)球内接简单几何体(正方体、长方体、正四面体、正三棱锥、正四棱柱)(4)三视图、直观图（由几何体的三视图作出其直观图，或由几何体的直观图判断其三视图）2.主观题考查的知识点：(1)有关几何体：四棱锥、三棱锥、(直、正)三、四棱柱；(2)研究的几何结构关系：以线线、线面(尤其是垂直)为主的点线面位置关系；(3)研究的几何量：二面角、线面角、异面直线所成角、线线距、点面距离、面积、体积。
其中，解答题的第二问一般都是求一个空间角，而且都能通过传统方法（几何法）和空间向量两种方法加以解决。
【课时安排】本专题复习时间为三课时：例2．设α、β为互不重合的平面，m、n为互不重合的直线，给出下列四个命题：①若m⊥α，n⊂α，则m⊥n；②若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则α//β；③若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，m⊥n，则n⊥β；④若m⊥α，α⊥β，m//n，则n//β．其中所有正确命题的序号是．解决策略：培养学生善于利用身边的工具与情境（如纸笔、桌面、墙角等）构造具体模型，充分利用正方体这个有力的载体，将抽象问题具体化处理，提高他们的空间想象能力．本类题为高考常考题型，其本质实为多项选择题．主要考查空间中线面之间的位置关系，要求熟悉有关公理、定理及推论，并具备较好的空间想象能力，做到不漏选多选．基本题型三：空间中点线面位置关系的证明（解答题）例3．如图，已知在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥面ABC，AC=BC，M、N、P、Q分别是AA1、BB1、AB、B1C1的中点．（1）求证：面PCC1⊥面MNQ；（2）求证：PC1∥面MNQ．解决策略：证明或探究空间中线线、线面与面面平行与垂直的位置关系，一要熟练掌握所有判定与性质定理，梳理好几种位置关系的常见A1 B1证明方法，如证明线面平行，既可以构造线线平行，也可以构造面面M平行；二要掌握解题时由已知想性质、由求证想判定，即分析法与综合法相结合来寻找证明的思路；三要严格要求学生注意表述规范，推理严谨，避免使用一些正确但不能作为推理依据的结论．此外，要特A N P B 别注重培养学生的空间想象能力，会分析一些非常规放置的空间几何体（如侧面水平放置的棱锥、棱柱等），会画空间图形的三视图与直观图，且会把三视图、直观图还原成空间图形．基本题型四：运用空间向量证明与计算（解答题）例4.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，且PD＝AB＝a，E是PB的中点．P（1）在平面PAD内求一点F，使得EF⊥平面PBC；（2）求二面角F-PC-E的余弦值大小．解决策略：要注意培养学生对空间几何体合理建系的意识，会求平面的法向量；要求学生理解用向量判定空间线面位置关系、求解夹角与E 距离的原理，并掌握一般求解步骤．其中，线线角、线面角与二面角是本类题型中的重点考查对象，应加强训练．此外，在探究点的位置等问题中，要引导学生根据共线向量，用已知点的坐标表示未知点的坐标，根据题设通过解方程（组）来解决问题的方法．【复习建议】 A B C1．三视图是新课标新增的内容，考查形式越来越灵活，因此与三视图相关内容应重点训练。
人教A版高中数学必修教案：立体几何全部教案
人教A版高中数学必修教案：立体几何全部教案第一章：绪论1.1 立体几何的概念教学目标：1. 理解立体几何的概念，掌握立体几何的研究对象和基本元素。
2. 掌握空间点、线、面的位置关系，培养空间想象能力。
教学重点：立体几何的概念，空间点、线、面的位置关系。
教学难点：立体几何的概念的理解，空间点、线、面的位置关系的应用。
教学过程：一、导入：引导学生回顾平面几何的基本概念，引出立体几何的概念。
二、新课：讲解立体几何的研究对象和基本元素，通过实物展示和图形绘制，介绍空间点、线、面的位置关系。
三、练习：学生自主完成练习题，巩固所学知识。
四、小结：总结本节课的主要内容，强调立体几何的概念和空间点、线、面的位置关系的重要性。
第二章：直线与平面2.1 直线与平面的位置关系教学目标：1. 理解直线与平面的位置关系，掌握直线与平面平行和直线与平面垂直的判定方法。
2. 培养空间想象能力和逻辑思维能力。
教学重点：直线与平面的位置关系，直线与平面平行和直线与平面垂直的判定方法。
教学难点：直线与平面平行和直线与平面垂直的判定方法的运用。
教学过程：一、导入：通过实例引入直线与平面的位置关系。
二、新课：讲解直线与平面的位置关系，介绍直线与平面平行和直线与平面垂直的判定方法。
三、练习：学生自主完成练习题，巩固所学知识。
四、小结：总结本节课的主要内容，强调直线与平面的位置关系和判定方法的重要性。
第三章：平面与平面3.1 平面与平面的位置关系教学目标：1. 理解平面与平面的位置关系，掌握平面与平面平行和平面与平面垂直的判定方法。
2. 培养空间想象能力和逻辑思维能力。
教学重点：平面与平面的位置关系，平面与平面平行和平面与平面垂直的判定方法。
教学难点：平面与平面平行和平面与平面垂直的判定方法的运用。
教学过程：一、导入：通过实例引入平面与平面的位置关系。
二、新课：讲解平面与平面的位置关系，介绍平面与平面平行和平面与平面垂直的判定方法。
三、练习：学生自主完成练习题，巩固所学知识。
高三数学立体几何专题复习教案
（解题思想方法归纳）
问题一： 证明线线平行
1．证明两直线 、 平行，若直线 和直线 共面时，则可以用平面几何中常用的一些方法（如证明 和 是一个平行四边形的一组对边）证明它们无公共点。
在立体几何中一般还有以下几种思路：
①根据公理4
②根据“线面平行Байду номын сангаас的性质定理
③根据“线面垂直”的性质定理，若直线 和 都与平面 垂直，则 // 。
②利用中位法。如给出异面直线AB和CD，连接AC、AD、BC，然后再分别取这三条线段的中点E、F、G，连接EF、EG、FG得到△EFG，则∠FEG就是所求角或所求角的补角。这种方法优点是作异面直线所成角比较容易，但缺点是△EFG中有一边GF的长度不容易求。
3．向量方法：
转化成求两个向量的夹角（即等于所求的异面直线所成的角或其补角的大小）
2．向量方法：
①转化为证明向量共线。
②根据共面向量定理。
③证明向量与平面的法向量相互垂直。
问题三： 证明面面平行
1．传统几何方法：
①根据两个平面平行的定义
②根据两个平面平行的判定定理
③垂直于同一条直线的两个平面平行
④平行于同一平面的两个平面平行
2．思维过程：
线线平行 线面平行 面面平行
线线平行 线面垂直 面面平行
问题八： 求平面的斜线与平面所成角
1．传统几何方法：
①转化为求斜线与它在平面内的射影所成的角，通过直角三角形求解。
②利用三面角定理（即最小角定理） 求 。
2．向量方法：设 为平面 的法向量，直线 与平面 所成的角为 ，则
问题九： 求二面角
1．作出二面角的平面角并通过解三角形计算。作平面角常用方法如下：
立体几何复习教案
立体几何复习教案教案：立体几何复习教学内容：立体几何的基本概念和性质复习教学目标：1.复习立体几何的基本概念，如立体图形、多面体等。
2.复习立体几何的性质，如表面积、体积等。
3.强化学生对立体几何的理解和应用能力。
教学重点：1.立体几何的基本概念的复习。
2.立体几何的性质的复习。
教学难点：对立体几何的应用能力的强化。
教学准备：教学用具：课件、多面体模型等。
教学过程：Step 1：引入立体几何的复习通过引导学生回忆立体几何的基本概念，如点、线、面、体等，并简要介绍立体几何的应用领域和重要性。
Step 2：复习立体几何的基本概念1.复习点、线、面的概念。
2.复习立体图形的概念及种类，如球体、圆柱体、锥体、棱柱体等。
3.复习多面体的概念及种类，如四面体、六面体等。
Step 3：复习立体几何的性质1.复习表面积的计算方法，并通过实例进行计算练习。
2.复习体积的计算方法，并通过实例进行计算练习。
3.复习立体几何图形的旋转、翻转和镜像等性质。
Step 4：巩固立体几何的知识进行一些小组讨论和练习题，强化学生对立体几何的理解和应用能力。
Step 5：拓展应用通过引导学生思考，在实际生活、工程等领域中应用立体几何的情况，拓展学生的思维和应用能力。
Step 6：复习总结对本堂课所学内容进行总结和复习，帮助学生巩固所学知识。
Step 7：作业布置布置一些与立体几何相关的作业，以进一步巩固学生的学习成果。
教学评价：在整个教学过程中，通过学生回答问题、小组讨论和练习题等方式进行评价，以了解学生对立体几何知识的掌握程度和应用能力的发展情况。
教学反思：通过本堂课的复习教学，学生对立体几何的基本概念和性质有了较好的理解和掌握，学生对立体几何的应用能力也有了一定的提高。
在教学过程中，可以适当引入更多的生活实例，并加强练习的设置，以进一步巩固学生的学习成果。
立体几何定理复习课教案
立体几何定理复习课教案《立体几何定理复习课教案》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！学习主题介绍学习主题：立体几何定理复习课使用教材：人教版版年级册章节教学内容：立体几何是高考的必考内容，不管是选择，填空题，还是解答题都会考查平行与垂直相关定理的转化。
所以本节课的主要内容是利用思维导图，帮助学生复习整理立体几何部分定理的内容和定理使用的条件及熟练掌握定理的应用。
学习目标分析课程标准中与本学习主题相关的语句：1.以立体几何的定义，公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定，理解线面平行，面面平行，线面垂直，面面垂直的性质定理和判定定理，并能够证明。
2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。
3.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系。
4.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)5.能用空间向量的方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的应用。
根据课程标准所设定的学习目标：1、知识与能力：熟练掌握立体几何中的线线、线面、面面平行与垂直的判定定理和性质定理。
能用向量方法解决直线与直线，直线与平面，平面与平面的夹角的计算问题。
2、过程与方法：加强数学语言的训练，培养数学交流能力;培养学生转化的思想，把空间问题转化为平面问题解决问题。
3、情感态度与价值观：调动学生的积极性，让他们主动参与到学习中去。
学生特征分析学生是否对本课的学习内容有所了解?有一定的了解学习本课内容必须具备的知识掌握情况如何?会而不熟，不精本课将采用什么样的方式组织学生学习，学生是否有过这种经历。
用思维导图的方式组织学习，学生从没这种经历学生对本课所采用的学习组织方式的态度如何。
期待是否有使用思维导图学习的经历?没有如学生已经使用过思维导图学习，他们使用的经验和态度如何?如无使用思维导图的经历，预计学生对使用思维导图学习的兴趣和态度如何。
【公开课教案】《高三立体几何综合复习》教学设计
《高三立体几何综合复习》教学设计一、教材分析立体几何是高中数学的重要概念之一。
最近几年高考对立体几何的要求发生了很大的变化，注重空间的平行与垂直关系的判定，淡化空间角和空间距离的考查，因此立体几何的难度和以往相比有大幅度的降。
因此依据考试说明的要求在高三复习中制定以下目标：1.高度重视立体几何基础知识的复习，扎实地掌握基本概念、定理和公式等基础知识。
2.复习过程中指导学生通过网络图或框图主动建构完整的知识体系，尤其要以线线、线面、面面三种位置关系形成网络，能够熟练地转化和迁移。
3.重视模型复习，强化学生的“想图、画图、识图、解图”的能力，重视图形语言、文字语言、符号语言转化的训练。
尤其重视对所画的立体图形、三视图与真实图形思维理解上的一致性。
4.在完成解答题时，要重视培养学生规范书写，注意表述的逻辑性及准确性，要注意训练学生思考的严谨性，在计算相关量时应做到“一作、二证、三算”。
做好本节课的复习，对学生系统地掌握直线和平面的知识乃至于创新能力的培养都具有重要的意义。
二、学情分析在传统的高中数学立体几何的学习中，采取的基本方法：面面俱到的知识点整理，典型的例题解答，课堂的跟踪训练，灌输解题规律，这种模式由于缺乏新意，学生思维难以兴奋，发散性思维受到抑制，创新意识逐渐消弱，学习的效果可想而知。
因此立体几何的学习只有深入到学科知识的内部，充分调动学生的思维，触及学生的兴奋点，这样才能达到高效学习的目的。
三、设计思想在新课程理念下，在立体几何教学中我进行了研究性学习的尝试，所谓研究性学习就是应用研究性学习的理念、方法去指导立体几何，学生在教师的引导下尽可能地采取自主性、探究性的学习方式，不仅要注意基础知识的学习，更应该关注自身综合素质、创新意识的提高。
让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权。
四、媒体手段利用电子白板，幻灯片课件，几何画板软件。
让学生分组自己动手利用几何画板绘制立体图形，分组讨论得出结论，充分调动学生的学习的积极性主动性，自主的发现问题，找到解决问题的方法。
高三数学第七章《立体几何》教学案
1．写出下列简单多面体的结构特征，并简单画出示意图。
(1)棱柱(2)棱锥(3)棱台2．圆柱、圆锥、圆台、球各是由什么图形，怎么旋转得到的？3.空间几何体的三视图分别是从哪个方向观察得到的呢？如何画三视图？4．如何画空间几何体的直观图？1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．( ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( ) (3)用斜二测画法画水平放置的∠A 时，若∠A 的两边分别平行于x 轴和y 轴，且∠A ＝90°，则在直观图中，∠A ＝90°.( )(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．( )2．(教材改编)如图7-1-1，长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′中被截去一部分，其中EH ∥A ′D ′，则剩下的几何体是( )A ．棱台 B.四棱柱C ．五棱柱 D.简单组合体3．(2014·全国卷Ⅰ)如图7-1-2，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )图7-1-24．(2016·天津高考)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图7-1-3所示，则该几何体的侧(左)视图为( )图7-1-35．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于________。
空间几何体的结构特征(1)下列说法正确的是( )A ．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B ．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形图7-1-1A. 三棱B ．三棱柱 C ．四棱锥D ．四棱柱C ．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D ．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点 (2)以下命题：①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； ②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面； ④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． 其中正确的命题为[变式训练1] 下列结论正确的是( ) A ．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B ．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C ．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D ．圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线空间几何体的三视图☞角度1 由空间几何体的直观图判断三视图一几何体的直观图如图7-1-4，下列给出的四个俯视图中正确的是( )A B C D图7-1-4(1)某四棱锥的三视图如图7-1-5所示，该四棱锥最长棱棱长为( )图7-1-5A ．1 B.2C. 3 D.2(2)(2016·全国卷Ⅱ)如图7-1-6是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )图7-1-6空间几何体的直观图(2017·桂林模拟)已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为( )A.34a 2B.38a 2C.68a 2D.616a 2[变式训练2] (2017·邯郸三次联考)有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图7-1-7所示)，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，则这块菜地的面积为________．课堂小结：巩固练习：课时分层（三十八）A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π图7-1-7规律总结规律总结1．什么是多面体的侧面积和表面积？2．画出圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图，并写出圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式。
高三专题复习 立体几何 教学设计
C．如果aa，a，那么a//D．如果a//b，b//a，那么a//a
4．如图，在正三棱锥A—BCD中，∠BAC=30°，AB=a,平行于AD、BC的截面EFGH分别交AB、BD、DC、CA于点E、F、G、H.
(1)判定四边形EFGH的形状，并说明理由.
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
4.证题方法
5.空间线面的位置关系
平行—没有公共点
共面
(1)直线与直线 相交—有且只有一个公共点
异面(既不平行，又不相交)
直线在平面内—有无数个公共点
(2)直线和平面 直线不在平面内 平行—没有公共点
高三数学第一轮专题复习
—立体几何教学设计
【考纲要求】
1.掌握平面的基本性质，空间两条直线、直线和平面、两个平面的位置关系(特别是平行和垂直关系).
2.能运用有关概念以及有关两条直线、直线和平面、两个平面的平行和垂直关系的性质与判定，进行论证和解决有关问题.
【知识结构】
1.平面通常用一个平行四边形来表示.平面常用希腊字母α、β、γ…或拉丁字母M、N、P来表示，也可用表示平行四边形的两个相对顶点字母表示，如平面AC.
(2)设P是棱AD上的点，当AP为何值时，平面PBC⊥平面EFGH，请给出证明.
4.(1)证明：
同理EF∥FG，∴EFGH是平行四边形
∵A—BCD是正三棱锥，∴A在底面上的射影O是△BCD的中心，
∴DO⊥BC，∴AD⊥BC，
∴HG⊥EH，四边形EFGH是矩形.
(2)作CP⊥AD于P点，连结BP，∵AD⊥BC，∴AD⊥面BCP
高三数学高考二轮复习教案、考案(3)立体几何(精品) 教案
立体几何初步【专题要点】1．在掌握直线与平面的位置关系(包括直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系)的基础上，研究有关平行和垂直的的判定依据(定义、公理和定理)、判定方法及有关性质的应用；在有关问题的解决过程中，进一步了解和掌握相关公理、定理的内容和功能，并探索立体几何中论证问题的规律；在有关问题的分析与解决的过程中提高逻辑思维能力、空间想象能力及化归和转化的数学思想的应用．2．在掌握空间角(两条异面直线所成的角，平面的斜线与平面所成的角及二面角)概念的基础上，掌握它们的求法(其基本方法是分别作出这些角，并将它们置于某个三角形内通过计算求出它们的大小)；在解决有关空间角的问题的过程中，进一步巩固关于直线和平面的平行垂直的性质与判定的应用，掌握作平行线(面)和垂直线(面)的技能；通过有关空间角的问题的解决，进一步提高学生的空间想象能力、逻辑推理能力及运算能力．3．通过复习，使学生更好地掌握多面体与旋转体的有关概念、性质，并能够灵活运用到解题过程中．通过教学使学生掌握基本的立体几何解题方法和常用解题技巧，发掘不同问题之间的内在联系，提高解题能力．4．在学生解答问题的过程中，注意培养他们的语言表述能力和“说话要有根据”的逻辑思维的习惯、提高思维品质．使学生掌握化归思想，特别是将立体几何问题转化为平面几何问题的思想意识和方法，并提高空间想象能力、推理能力和计算能力．5．使学生更好地理解多面体与旋转体的体积及其计算方法，能够熟练地使用分割与补形求体积，提高空间想象能力、推理能力和计算能力．【考纲要求】（1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图，能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系（2）了解空两条直线的位置关系，掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念（对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离）（3）了解空间直线和平面的位置关系，掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理，理解直线和平面垂直的判定定理和性质定理，掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念，了解三垂线定理及其逆定理（4）了解平面与平面的位置关系，掌握两个平面平行的判定定理和性质定理。
高三数学专题立体几何复习教案
高三数学专题立体几何复习教案一、教学目标1、掌握以三视图为命题载体，熟悉一些典型的几何体模型，如长(正)方体、三棱柱、三棱锥等几何体的三视图，与学生共同研究空间几何体的结构特征（数量关系、位置关系）.2、外接球问题关键是找到球与多面体的联系元素，如球心与截面圆心的关系即“心心相映法”，线面垂直的多面体可补成直棱柱再找外接球球心即“补体法”，进而构建球半径R、截面圆半径r、球心到截面距离d三者之间的勾股定理。
3、在三视图与直观图的互换过程中，培养学生养成构建长方体为“母体”的解题意识，通过寻找外接球球心问题，引导学生更好地理解球与多面体的关系，培养学生的分割与补形的解题意识，特别是将立体几何问题转化为平面几何问题的思想意识和方法，并提高空间想象能力、推理能力、计算能力和动手操作能力，体现化归与转化的基本思想.．二、学情分析立体几何是培养学生空间想象力的数学分支，根据学生实际学情，依据考纲依靠课本，在立体几何的复习过程中要想办法让学生建立起完整的知识网络，要突出这门学科的主干，让学生多一点思考,少一点计算。
高考立体几何试题一般是两小题一大题, 其中三视图与直观图、多面体与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点，要注意重视空间想象，会识图会画图会想图,提高识图、理解图、应用图的能力，解题时应多画、多看、多想，这样才能提高空间想象能力和解决问题的能力，突出转化、化归的基本思想．三、重点：三视图与直观图的数量、位置的转化；多面体与球相关的外接与内切问题；难点：化归思想，特别是将立体几何问题转化为平面几何问题的思想意识和方法；四、教学方法：问题引导式五、教学过程专题：立体几何问题1：三视图1．一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )2.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是3．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）1111111 1D. 3问题2：球与多面体4.（2016厦门3月质检15）已知四棱锥P ABCD-的底面ABCD是边长为a的正方形，其外接球的表面积为28π，△PAB是等边三角形，平面PAB⊥平面ABCD，则a=▲．延伸1：已知四棱锥P ABCD-的底面ABCD是边长为a的正方形，其外接球的表面积为π24，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是等腰直角三角形，PA⊥AB，则a=▲．延伸2：已知四棱锥P ABCD-的底面ABCD是边长为a的正方形，其外接球的表面积为π24，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是等腰直角三角形，PA⊥PB，则a=▲．延伸3：已知四棱锥P ABCD-的底面ABCD是边长为a的正方形，其外接球的表面积为240π，△PAB 是等腰三角形，PA=PB=2a，平面PAB⊥平面ABCD，则a=▲．延伸4：已知四棱锥P ABCD-的底面ABCD是边长为a的正方形，其外接球的表面积为π24，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB中，PA = 2a，PB= a2，则a=▲．延伸5：：已知四棱锥P ABCD-，底面ABCD是AB=a，BC=2a的矩形，其外接球的表面积为28π，△PAB 是等边三角形，平面PAB⊥平面ABCD，则a=▲．延伸6：在三棱锥P ABC -中，23PA =，2PC =，7AB =，3BC =，2ABC π∠=，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（）（A ）4π （B ）163π （C ）323π （D ）16π问题3：立体几何与空间向量1.平行垂直的证明主要利用线面关系的转化 线∥线线∥面面∥面判定线⊥线线⊥面面⊥面性质线∥线线⊥面面∥面←→−←→−−→−−←→−←→−←−−−←→−←→−2.空间向量在几何中的应用1.线线角：设直线a ，b 的方向向量为a ，b ，其夹角为θ，则222222212121212121,cos cos zy x z y x z z y y x x ba b a b a ++•++++=••=><=θ2.线面角：设直线l 的方向向量为AB , 平面α的法向量为n ，直线l 与平面所成的角为θ，则有222222212121212121,cos sin zy x z y x z z y y x x nAB n AB n AB ++•++++=••=><=θ3.面面角：平面α的法向量为1n ，平面β的法向量为2n ，平面α与平面β的夹角为θ，则有222222212121212121212121,cos cos z y x z y x z z y y x x n n n n n n ++•++++=••=><=θ4.点面距离：222222212121,cos zy x z z y y x x nn PA n PA PA d ++++=•=><•=5.如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，且︒=∠60DAB ，侧面PAD 为等边三角形，且与底面ABCD 垂直，M 为PC 的中点． （1）求证：PA||平面BDM （2）求证：AD ⊥PB ；nBAnAP（3）求直线AB 与平面BDM 所成角的正弦值． (4)求二面角A －BD －M 的余弦值 MBCAD P题目背景变换为以下几种，如何建立坐标系？延伸1: 如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是梯形，AB||CD,AB=4,CD=2,︒=∠60DAB ，侧面PAD 为边长为2的等边三角形，且与底面ABCD 垂直．延伸2: 如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，AB=4,AD=2,且︒=∠60DAB ，侧面PAD 为等边三角形，且与底面ABCD 垂直．限时训练1.某几何体三视图如图一所示，则该几何体的体积为( )A ．8－2πB ．8－πC ．8－π2D ．8－π42.已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在半径为2的球面上，且PA ⊥平面ABC ，若2AB =，3AC =，2BAC π∠=，则棱PA 的长为（ ）A ．32B ．3C ．3D ．9 3.一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．若三棱锥SABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，2AB SA SB SC ====，则该三棱锥的外接球的表面积为( )图一A ．83π B ．433π C ．43π D ．163π5.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．6.如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB = 16，BC = 10，AA 1 = 8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E =D 1F = 4，过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。
(完整word版)高三数学二轮专题复习教案设计――立体几何
高三数学二轮专题复习教案――立体几何一、本章知识结构：二、重点知识回顾1、空间几何体的结构特征（1）棱柱、棱锥、棱台和多面体棱柱是由满足下列三个条件的面围成的几何体：①有两个面互相平行；②其余各面都是四边形；③每相邻两个四边形的公共边都互相平行；棱柱按底面边数可分为：三棱柱、四棱柱、五棱柱等．棱柱性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形.③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.棱锥是由一个底面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形所围成的几何体．棱锥具有以下性质：①底面是多边形；②侧面是以棱锥的顶点为公共点的三角形；③平行于底面的截面和底面是相似多边形，相似比等于从顶点到截面和从顶点到底面距离的比．截面面积和底面面积的比等于上述相似比的平方．棱台是棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分．由棱台定义可知，所有侧棱的延长线交于一点，继而将棱台还原成棱锥．多面体是由若干个多边形围成的几何体．多面体有几个面就称为几面体，如三棱锥是四面体．（2）圆柱、圆锥、圆台、球分别以矩形的一边，直角三角形的一直角边，直角梯形垂直于底边的腰所在的直线，半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周而形成的几何体叫做圆柱、圆锥、圆台、球圆柱、圆锥和圆台的性质主要有：①平行于底面的截面都是圆；②过轴的截面（轴截面）分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形；③圆台的上底变大到与下底相同时，可以得到圆柱；圆台的上底变小为一点时，可以得到圆锥．2、空间几何体的侧面积、表面积（1）棱柱侧面展开图的面积就是棱柱的侧面积，棱柱的表面积就是它的侧面积与两底面面积的和．因为直棱柱的各个侧面都是等高的矩形，所以它的展开图是以棱柱的底面周长与高分别为长和宽的矩形．如果设直棱柱底面周长为c，高为h，则侧面积S ch=侧．若长方体的长、宽、高分别是a、b、c，则其表面积2() S ab bc ca=++表．（2）圆柱的侧面展开图是一个矩形．矩形的宽是圆柱母线的长，矩形的长为圆柱底面周长．如果设圆柱母线的长为l，底面半径为r，那么圆柱的侧面积2πS rl=侧，此时圆柱底面面积2πS r=底.所以圆柱的表面积222π2π2π()S S S rl r r r l=+=+=+侧底．（3）圆锥的侧面展开图是以其母线为半径的扇形．如果设圆锥底面半径为r，母线长为l，则侧面积πS rl=侧，那么圆锥的表面积是由其侧面积与底面面积的和构成，即为2πππ()S S S rl r r r l=+=+=+侧底．（4）正棱锥的侧面展开图是n个全等的等腰三角形．如果正棱锥的周长为c，斜高为h'，则它的侧面积12S ch'=侧．（5）正棱台的侧面积就是它各个侧面积的和．如果设正棱台的上、下底面的周长是c c'，，斜高是h'，那么它的侧面积是12S ch'=侧．（6）圆台侧面展开图是以截得该圆台的圆锥母线为大圆半径，圆锥与圆台的母线之差为小圆半径的一个扇环．如果设圆台的上、下底面半径分别为r r'，，母线长为l，那么它的侧面积是π()S r r l'=+侧．圆台的表面积等于它的侧面积与上、下底面积的和，即2222π()πππ() S S S S r r l r r r r r l rl''''=++=+++=+++侧上底下底．（7）球的表面积24πS R =，即球的表面积等于其大圆面积的四倍． 3、空间几何体的体积（1）柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积S 和高h 的积，即V Sh=柱体．其中底面半径是r ，高是h 的圆柱的体积是2πV r h=圆柱．（2）如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是S ，高是h ，那么它的体积是13V Sh=锥体．其中底面半径是r ，高是h 的圆锥的体积是21π3V r h=圆锥，就是说，锥体的体积是与其同底等高柱体体积的13．（3）如果台体（棱台、圆台）的上、下底面积分别是S S '，，高是h，那么它的体积是1()3V S S h=+台体．其中上、下底半径分别是r R ，，高是h 的圆台的体积是221π()3V r Rr R h=++圆台．（4）球的体积公式：334R V π=.4、中心投影和平行投影（1）中心投影：投射线均通过投影中心的投影。
高三一轮复习数学立体几何(师生共用)导学案基础知识
高三数学总复习高考复习科目：数学 高中数学总复习（九） I. 基础知识要点一、平面（1）公理1： 。
（2）公理2： 。
（3）公理3： 。
推论1： ，推论2： ， 推论3： 。
（4）公理4（平行公理）： 。
（5）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如下图）.（二面角的取值范围[)οο180,0∈θ） （直线与直线所成角(]οο90,0∈θ）（斜线与平面成角()οο90,0∈θ） （直线与平面所成角[]οο90,0∈θ）（向量与向量所成角])180,0[οο∈θ推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.（6）垂线段和斜线段长定理：从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段中， ①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上（7）三余弦定理（最小角定理）： 。
二、空间直线1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面.相交直线—共面有反且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）三、空间三维关系判定1.平行的判定：面面平行（高维）线面平行（中维）线线平行（低维）⇔⇔低证中： 。
中证低： 。
低证高： 。
高证低： 。
12方向相同12方向不相同高证中： 。
中证高： 。
2.垂直的判定：面面垂直（高维）线面垂直（中维）线线垂直（低维）⇔⇔低证中： 。
中证低： 。
低证高： 。
高证低： 。
高证中： 。
中证高： 。
3. 三个推论：推论1： 。
推论2： 。
推论3： 。
4. 三个唯一性: (1)过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，(2) 过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.(3) 。
高考数学立体几何备考复习教案
高考数学立体几何备考复习教案一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握立体几何的基本概念、性质和定理，提高空间想象能力。
2. 过程与方法：通过复习，使学生掌握立体几何的解题方法，提高解题能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生学习立体几何的兴趣，培养学生的创新意识。
二、教学内容1. 立体几何的基本概念：点、线、面的位置关系，空间向量。
2. 立体几何的性质：平行公理，空间向量的运算律。
3. 立体几何的定理：平行线、异面直线、线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定与性质。
4. 立体几何的计算：体积、表面积、角、距离的计算。
5. 立体几何的综合应用：空间几何体的结构特征，几何体的运动变化。
三、教学重点与难点1. 教学重点：立体几何的基本概念、性质和定理，立体几何的计算方法。
2. 教学难点：立体几何的综合应用，空间想象能力的培养。
四、教学方法1. 采用讲解、示范、练习、讨论、探索相结合的方法，引导学生掌握立体几何的基本概念、性质和定理。
2. 通过案例分析、几何画板演示等手段，培养学生的空间想象能力。
3. 组织学生进行合作学习，提高学生的解题能力。
五、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 练习与作业：检查学生完成的练习和作业，评估学生的掌握程度。
3. 考试成绩：定期进行立体几何的测试，分析学生的成绩，了解学生的学习效果。
教案第一课时：立体几何的基本概念1. 教师讲解立体几何的基本概念，如点、线、面的位置关系，空间向量。
2. 学生通过案例分析，理解并掌握基本概念。
第二课时：立体几何的性质1. 教师讲解立体几何的性质，如平行公理，空间向量的运算律。
2. 学生通过几何画板演示，直观地理解立体几何的性质。
第三课时：立体几何的定理1. 教师讲解立体几何的定理，如平行线、异面直线、线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定与性质。
2. 学生通过案例分析，掌握立体几何的定理。
届高三数学一轮复习教案：(教师用)第七章立体几何1
届高三数学一轮复习教案：(教师用)第七章立体几何1立体几何初步【知识图解】【方法点拨】立体几何研究的是现实空间，认识空间图形，可以培养学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力。
空间的元素是点、线、面、体，对于线线、线面、面面的位置关系着重研究它们之间的平行与垂直关系，几何体着重研究棱柱、棱锥和球。
在复习时我们要以下几点：1．注意提高空间想象能力。
在复习过程中要注意：将文字语言转化为图形，并明确已知元素之间的位置关系及度量关系；借助图形来反映并思考未知的空间形状与位置关系；能从复杂图形中逻辑的分析出基本图形和位置关系，并借助直观感觉展开联想与猜想，进行推理与计算。
2．归纳总结，分门别类。
从知识上可以分为：平面的基本性质、线线、线面、面面的平行与垂直、空间中角与距离的计算。
3．抓主线，攻重点。
针对一些重点内容加以训练，平行和垂直是位置关系的核心，而线面垂直又是核心的核心，角与距离的计算已经降低要求。
4．复习中要加强数学思想方法的总结与提炼。
立体几何中蕴含着丰富的思想方法，如：将空间问题转化成平面图形来解决、线线、线面与面面关系的相互转化、空间位置关系的判断及角与距离的求解转化成空间向量的运算。
第1课空间几何体练兵【考点导读】1．观察认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2．能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图；3．通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；4.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式。
【基础练习】1．一个凸多面体有8个顶点，①如果它是棱锥，那么它有14 条棱，8 个面；②如果它是棱柱，那么它有12 条棱6 个面。
2. A B C 是正ABC的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若A B C ，那么ABC的面积为。
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立体几何初步1．理解平面的基本性质，会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图、能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能根据图形想象它们的位置关系．2．了解空间两条直线、直线和平面、两个平面的位置关系．3．掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；理解直线和平面垂直的概念；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；掌握三垂线定理及其逆定理．4．掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念；掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理．5．了解多面体、凸多面体、正多面体的概念．6．了解棱柱，棱锥的概念；了解棱柱，棱锥的性质；会画其直观图．本章的定义、定理、性质多，为了易于掌握，可把主要知识系统化．首先，归纳总结，理线串点，可分为四块：A、平面的三个基本性质，四种确定平面的条件；B、两个特殊的位置关系，即线线，线面，面面的平行与垂直．C、三个所成角；即线线、线面、面面所成角；D、四个距离，即两点距、两线距、线面距、面面距．R P Q α CB A其次，平行和垂直是位置关系的核心，而线面垂直又是核心中的核心，线面角、二面角、距离等均与线面垂直密切相关，把握其中的线面垂直，也就找到了解题的钥匙．再次，要加强数学思想方法的学习，立体几何中蕴涵着丰富的思想方法，化空间图形为平面图形解决，化几何问题为坐标化解决，自觉地学习和运用数学思想方法去解题，常能收到事半功倍的效果．第1课时 平面的基本性质公理1 如果一条直线上的 在同一个平面内，那么这条直线上的 都在这个平面内 (证明直线在平面内的依据)．公理2如果两个平面有 个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是 (证明多点共线的依据)．公理3 经过不在 的三点，有且只有一个平面(确定平面的依据)．推论1 经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面．推论2 经过两条 直线，有且只有一个平面．推论3 经过两条 直线，有且只有一个平面．例1．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C 与平面BDC 1交于O ，AC 、BD 交于点M ．求证：点C 1、O 、M 共线．证明：A 1A ∥CC 1⇒确定平面A 1C A 1C ⊂面A 1C ⇒O ∈面A 1C ⇒O ∈A 1C面BC 1D∩直线A 1C ＝O O ∈面BC 1DO 在面A 1C 与平面BC 1D 的交线C 1M 上∴C 1、O 、M 共线变式训练1：已知空间四点A 、B 、C 、D 不在同一平面内，求证：直线AB 和CD 既不相交也不平行．提示：反证法．例2. 已知直线l 与三条平行线a 、b 、c 都相交．求证：l 与a 、b 、c 共面．证明：设a ∩l ＝A b ∩l ＝B c ∩l ＝C a ∥b ⇒ a 、b 确定平面α ⇒l ⊂β A ∈a, B ∈bb ∥c ⇒b 、c 确定平面β 同理可证l ⊂β所以α、β均过相交直线b 、l ⇒ α、β重合⇒ c ⊂α ⇒a 、b 、c 、l 共面变式训练2：如图，△ABC 在平面α外，它的三条边所在的直线AB 、BC 、CA 分别交平面α于P 、Q 、R 点．求证：P 、Q 、R 共线．证明：设平面ABC∩α＝l ，由于P ＝AB∩α，即P ＝平面ABC∩α＝l ，即点P 在直线l 上．同理可证点Q 、R 在直线l 上．∴P 、Q 、R 共线，共线于直线l ．例3. 若△ABC 所在的平面和△A 1B 1C 1所在平面相交，并且直线AA 1、BB 1、CC 1相交于一点O ，求证： (1) AB 和A 1B 1、BC 和B 1C 1分别在同一个平面内；A BA(2) 如果AB 和A 1B 1，BC 和B 1C 1分别相交，那么交点在同一条直线上．证明：(1) ∵AA 1∩BB 1＝0，∴AA 1与BB 1确定平面α，又∵A ∈a ，B ∈α，A 1∈α，B 1∈α，∴AB ⊂α，A 1B 1⊂α，∴AB 、A 1B 1在同一个平面内同理BC 、B 1C 1、AC 、A 1C 1分别在同一个平面内(2)设AB∩A 1B 1＝X ，BC∩B 1C 1＝Y ，AC∩A 1C 1＝Z ，则只需证明X 、Y 、Z 三点都是平面A 1B 1C 1与ABC 的公共点即可．变式训练3：如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 中点，F 为AA 1中点，求证：(1) E 、C ．D 1、F 四点共面；(2) CE 、D 1F 、DA 三线共点．证明(1) 连结A 1B 则EF ∥A 1B A 1B ∥D 1C ∴EF ∥D 1C ∴E 、F 、D 1、C 四点共面(2) 面D 1A∩面CA ＝DA∴EF ∥D 1C 且EF ＝21D 1C ∴D 1F 与CE 相交 又D 1F ⊂面D 1A ，CE ⊂面AC∴D 1F 与CE 的交点必在DA 上∴CE 、D 1F 、DA 三线共点．例4.求证：两两相交且不通过同一点的四条直线必在同一平面内．证明：(1) 若a 、b 、c 三线共点P ，但点p ∉d ，由d 和其外一点可确定一个平面α又a∩d ＝A ∴点A ∈α ∴直线a ⊂α同理可证：b 、c ⊂α ∴a 、b 、c 、d 共面(2)若a 、b 、c 、d 两两相交但不过同一点∵a ∩b ＝Q ∴a 与b 可确定一个平面β又c ∩b ＝E ∴E ∈β同理c ∩a ＝F ∴F ∈β∴直线c 上有两点Ｅ、Ｆ在β上 ∴c ⊂β同理可证：d ⊂β 故a 、b 、c 、d 共面由(1) (2)知：两两相交而不过同一点的四条直线必共面变式训练4：分别和两条异面直线AB 、CD 同时相交的两条直线AC 、BD 一定是异面直线，为什么?解：假设AC 、BD 不异面，则它们都在某个平面α内，则A 、B 、C 、D ∈α.由公理1知AC α⊂≠,BD α⊂≠.这与已知AB 与CD 异面矛盾，所以假设不成立,即AC 、BD 一定是异面1．证明若干点共线问题，只需证明这些点同在两个相交平面．2．证明点、线共面问题有两种基本方法：①先假定部分点、线确定一个平面，再证余下的点、线在此平面内；②分别用部分点、线确定两个(或多个)平面，再证这些平面重合．3．证明多线共点，只需证明其中两线相交，再证其余的直线也过交点．第2课时 空间直线OC B AA BCA B E C DF A 1 B 1C 1D 11．空间两条直线的位置关系为 、 、 ．2．相交直线 一个公共点，平行直线 没有公共点，异面直线：不同在任 平面，没有公共点．3．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相 ．4．等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两角 ．5．异面直线的判定定理过平面外一点与平面内一点的直线和平面内 的直线是异面直线(作用：判定两条直线是异面直线)6．异面直线的距离：和两条异面直线 的直线称为异面直线的公垂线．两条异面直线例1. 如图，在空间四边形ABCD 中，AD ＝AC ＝BC ＝BD ＝a ，AB ＝CD ＝b ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点．(1) 求证：EF 是AB 和CD 的公垂线；(2) 求AB 和CD 间的距离．证明：(1) 连结CE 、DE⇒⎪⎭⎪⎬⎫===BE AE BD AD BC AC ⎭⎬⎫⊥⊥DE AB CE AB ⇒AB ⊥面CDE ∴AB ⊥EF 同理CD ⊥EF ∴EF 是AB 和CD 的公垂线(2) △ECD 中，EC ＝422b a -＝ED∴EF ＝222b a -变式训练1：在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小．解：设BD 的中点G ，连接FG ，EG 。
在△EFG 中 EF ＝3FG ＝EG ＝1∴∠EGF ＝120° ∴AD 与BC 成60°的角。
例2. S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角．证明：连结CM ，设Q 为CM 的中点，连结QN 则QN ∥SM ∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角 连结BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中 BN ＝a 25 NQ ＝21SM ＝42a BQ ＝a 414∴COS ∠QNB ＝5102222=⋅-+NQ BN BQ NQ BNA EBCFDB M N CS∴∠QNB ＝arc cos510变式训练2：正∆ABC 的边长为a ，S 为∆ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC 和AB 的中点．(1) 求异面直线SC 和AB 的距离； (2) 求异面直线SA 和EF 所成角． 答案：(1)a 22 (2) 45°例3. 如图，棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P分别为A 1B 1、BB 1、CC 1的中点．(1) 求异面直线D 1P 与AM ，CN 与AM 所成角；(2) 判断D 1P 与AM 是否为异面直线？若是，求其距离．解：(1) D 1P 与AM 成90°的角CN 与AM 所成角为arc cos 52.(2) 是．NP 是其公垂线段, D 1P 与AN 的距离为1. 变式训练3：如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， ∠BCA ＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点， 若BC ＝CA ＝CC 1，求NM 与AN 所成的角．解：连接MN ，作NG ∥BM 交BC 于G ，连接AG ， 易证∠GNA 就是BM 与AN 所成的角．设：BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AG ＝AN ＝5，GN ＝B 1M ＝6，cos ∠GNA ＝1030562556=⨯⨯-+。
例4．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PA ⊥底面ABCD ，AE ⊥PD ，EF ∥CD ，AM ＝EF ．(1) 证明MF 是异面直线AB 与PC 的公垂线；(2) 若PA ＝3AB ，求直线AC 与平面EAM 所成角的正弦值． （1）证明：∵EF ∥CD AM ∥CD∴ AM ∥EF ，又AM ＝EF ∴ AMFE 为平行四边形∵ AB ⊥PA ，AB ⊥AD ∴ AB ⊥面PAD∴ AB ⊥AE ，又AE ∥MF ，∴ AB ⊥MF又∵AE ⊥PD CD ⊥AE ∴ AE ⊥面PCD∴ AE ⊥PC ∴ MF ⊥PC ∴ MF 为AB 与PC 的公垂线．(2) 设AB ＝1，则PA ＝3，建立如图所示坐标系．由已知得AE ＝(0，109，103)， ＝(1，0，0)面MFEA 的法向量为＝(0，1，－3)，＝(1，1，0)，cos<，>＝105．∴ AC 与面EAM 所成的角为2π－arc cos 105，其正弦值为105． ACBNM ACBP C 1 D 1M B 1A 1DNC BADB E FA M PA 1变式训练4：如图，在正方体1111D C B A ABCD -中， E 、F 分别是1BB 、CD 的中点． （１）证明F D AD 1⊥； （２）求AE 与F D 1所成的角。