2016-2017学年北京西城区北京市第十四中学高二上学期期末考试数学理试卷
北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷-理数-含答案
北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2017.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|02}A x x =<<，2{|10}B x x =-≤，那么AB =（A ）{|01}x x <≤ （B ）{|12}x x -<≤ （C ）{|10}x x -<≤（D ）{|12}x x <≤2．下列函数中，定义域为R 的奇函数是（A ）21y x =+（B ）tan y x = （C ）2xy =（D ）sin y x x =+3．已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点是(2,0)，则其渐近线的方程为（A ）0x ±= （B 0y ±= （C ）30x y ±=（D ）30x y ±=4．在极坐标系中，过点(2,)6P π且平行于极轴的直线的方程是（A ）sin 1=ρθ （B ）sin =ρθ（C ）cos 1=ρθ（D ）cos =ρθ5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的四个侧面的面积中最大的是 （A ）3（B ）（C ）6（D ）6．设,a b 是非零向量，且≠±a b ．则“||||=a b ”是“()()+⊥-a b a b ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件7．实数,x y 满足3,0,60.x x y x y ⎧⎪+⎨⎪-+⎩≤≥≥若z ax y =+的最大值为39a +，最小值为33a -，则a的取值范围是 （A ）[1,0]- （B ）[0,1]（C ）[1,1]-（D ）(,1][1,)-∞-+∞8．在空间直角坐标系O xyz -中，正四面体P ABC -的顶点A ，B 分别在x 轴，y 轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则||OP 的取值范围是 （A）1] （B ）[1,3] （C）1,2] （D）1]第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．复数1i1i+=-____．10．设等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．若11a =，34a =，则n a =____；6S =____．11．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为____．12．在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．若3c =，3C π=，sin 2sin B A =，则a =____．13．设函数30,()log ,,x a f x x x a =>⎪⎩≤≤ 其中0a >．① 若3a =，则[(9)]f f =____；② 若函数()2y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是____．14．10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，10名选手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的45．则第二名选手的得分是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数2π()sin(2)2cos 16f x x x ωω=-+-(0)ω>的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求()f x 在区间7π[0,]12上的最大值和最小值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ， 90BAD ︒∠=，PA PD =，AB PA ⊥，2AD =，1AB BC ==．（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若E 为PD 的中点，求证：//CE 平面PAB ； （Ⅲ）若DC 与平面PAB 所成的角为30︒，求四棱锥P ABCD -的体积．17．（本小题满分13分）手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A ，B 两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A ，B 两个型号的手机各7台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：其中，a ，b 是正整数，且a b <．（Ⅰ）该卖场有56台A 型手机，试估计其中待机时间不少于123小时的台数； （Ⅱ）从A 型号被测试的7台手机中随机抽取4台，记待机时间大于123小时的台数为X ，求X 的分布列；（Ⅲ）设A ，B 两个型号被测试手机待机时间的平均值相等，当B 型号被测试手机待机时间的方差最小时，写出a ，b 的值（结论不要求证明）．18．（本小题满分13分）已知函数()ln sin (1)f x x a x =-⋅-，其中a ∈R ．（Ⅰ）如果曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-，求a 的值； （Ⅱ）如果()f x 在区间(0,1)上为增函数，求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知直线:l x t =与椭圆22:142x y C +=相交于A ，B 两点，M 是椭圆C 上一点．（Ⅰ）当1t =时，求△MAB 面积的最大值；（Ⅱ）设直线MA 和MB 与x 轴分别相交于点E ，F ，O 为原点．证明：||||OE OF ⋅为定值．20．（本小题满分13分）数字1,2,3,,(2)n n ≥的任意一个排列记作12(,,,)n a a a ，设n S 为所有这样的排列构成的集合．集合12{(,,,)|n n n A a a a S =∈任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有}i j a i a j --≤；集合12{(,,,)|n n n B a a a S =∈任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有}i j a i a j ++≤．（Ⅰ）用列举法表示集合3A ，3B ； （Ⅱ）求集合nn A B 的元素个数；（Ⅲ）记集合n B 的元素个数为n b ．证明：数列{}n b 是等比数列．北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2017.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．B 4．A 5．C 6．C 7．C 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．i 10．12n -；63 11． 3-12 13[4,9) 14．16 注：第10，13题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2π()sin(2)(2cos 1)6f x x x ωω=-+-ππ(sin 2coscos 2sin )cos 266x x x ωωω=-+ [4分]12cos 22x x ωω=+ πsin(2)6x ω=+， [ 6分]所以()f x 的最小正周期 2ππ2T ω==, 解得 1ω=． [ 7分] （Ⅱ）由（Ⅰ）得 π()sin(2)6f x x =+．因为 7π12x ≤≤0，所以 ππ4π2663x +≤≤． [ 9分] 所以，当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取得最大值为1； [11分]当π4π263x +=，即7π12x =时，()f x 取得最小值为2-． [13分]解：（Ⅰ）因为90BAD ∠=，所以AB AD ⊥， [ 1分]又因为 AB PA ⊥，所以 AB ⊥平面PAD ． [ 3分] 所以 平面PAD ⊥平面ABCD ． [ 4分] （Ⅱ）取PA 的中点F ，连接BF ，EF ． [ 5分] 因为E 为PD 的中点，所以//EF AD ，12EF AD =，又因为 //BC AD ，12BC AD =，所以 //BC EF ，BC EF =．所以四边形BCEG 是平行四边形，//EC BF ． [7分]又 BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，所以//CE 平面PAB ． [ 8分] （Ⅲ）过P 作PO AD ⊥于O ，连接OC ．因为PA PD =，所以O 为AD 中点， 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD ．如图建立空间直角坐标系O xyz -． [ 9分] 设PO a =．由题意得，(0,1,0)A ，(1,1,0)B ，(1,0,0)C ，(0,1,0)D -，(0,0,)P a ． 所以(1,0,0)AB −−→=，(0,1,)PA a −−→=-，(1,1,0)DC −−→=． 设平面PCD 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,AB PA −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n即0,0.x y az =⎧⎨-=⎩令1z =，则y a =．所以(0,,1)a =n ． [11分] 因为DC 与平面PAB 所成角为30，所以|1|cos ,|2||||DC DC DC −−→−−→−−→⋅〈〉===|n n n ， 解得 1a =． [13分]所以四棱锥P ABCD -的体积11121113322P ABCD ABCD V S PO -+=⨯⨯=⨯⨯⨯=．[14分]解：（Ⅰ）被检测的7台手机中有5台的待机时间不少于123小时，因此，估计56台A 型手机中有556407⨯=台手机的待机时间不少于123小时． [ 3分] （Ⅱ）X 可能的取值为0,1,2,3． [ 4分]4711(0)35C P X ===； 133447C C 12(1)35C P X ===； 223447C C 18(2)35C P X ===； 3447C 4(3)35C P X ===． [ 8分] 所以，X 的分布列为：[10分]（Ⅲ）若A ，B 两个型号被测试手机的待机时间的平均值相等，当B 型号被测试手机的待机时间的方差最小时，124a =，125b =． [13分]18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(0,)+∞， [ 1分]导函数为1()cos(1)f x a x x'=-⋅-． [ 2分] 因为曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-，所以 (1)1f '=-， 即 11a -=-， [ 3分] 所以 2a =． [ 4分] （Ⅱ）因为()f x 在区间(0,1)上为增函数，所以 对于任意(0,1)x ∈，都有1()cos(1)0f x a x x'=-⋅-≥． [ 6分] 因为(0,1)x ∈时，cos(1)0x ->，所以 11()cos(1)0cos(1)f x a x a x x x '=-⋅-⇔⋅-≤≥． [ 8分] 令 ()cos(1)g x x x =⋅-，所以()cos(1)sin (1)g x x x x '=--⋅-． [10分] 因为 (0,1)x ∈时，sin (1)0x -<，所以 (0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 在区间(0,1)上单调递增，所以()(1)1g x g <=． [12分] 所以 1a ≤．即a 的取值范围是(,1]-∞． [13分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）将1x =代入22142x y +=，解得2y =±， 所以||AB = [ 2分] 当M 为椭圆C 的顶点()2,0-时，M 到直线1x =的距离取得最大值3， [ 4分]所以 △MAB面积的最大值是2． [ 5分] （Ⅱ）设,A B 两点坐标分别为(),A t n ，(),B t n -，从而 2224t n +=． [ 6分]设()00,M x y ，则有220024x y +=，0x t ≠，0y n ≠±． [ 7分]直线MA 的方程为 00()y ny n x t x t--=--， [ 8分] 令0y =，得000ty nx x y n -=-，从而 000ty nx OE y n-=-． [ 9分]直线MB 的方程为00()y ny n x t x t++=--， [10分] 令0y =，得000ty nx x y n +=+，从而 000ty nx OF y n+=+． [11分]所以000000=ty nx ty nx OE OF y n y n -+⋅⋅-+222200220=t y n x y n--()()222202204242=n y n y y n ---- [13分]22022044=y n y n -- =4．所以OE OF ⋅为定值． [14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）3{(1,2,3)}A =，3{(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1)}B =． [ 3分] （Ⅱ）考虑集合n A 中的元素123(,,,,)n a a a a ．由已知，对任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有i j a i a j --≤， 所以 ()()i j a i i a j j -+<-+， 所以 i j a a <．由,i j 的任意性可知，123(,,,,)n a a a a 是1,2,3,,n 的单调递增排列，所以{(1,2,3,,)}n A n =． [ 5分]又因为当k a k =*(k ∈N ，1)k n ≤≤时，对任意整数,,1i j i j n <≤≤， 都有 i j a i a j ++≤． 所以 (1,2,3,,)n n B ∈， 所以 n n A B ⊆． [ 7分]所以集合nn A B 的元素个数为1． [ 8分]（Ⅲ）由（Ⅱ）知，0n b ≠．因为2{(1,2),(2,1)}B =，所以22b =．当3n ≥时，考虑n B 中的元素123(,,,,)n a a a a ．（1）假设k a n =(1)k n <≤．由已知，1(1)k k a k a k ++++≤， 所以1(1)1k k a a k k n ++-+=-≥， 又因为11k a n +-≤，所以11k a n +=-． 依此类推，若k a n =，则11k a n +=-，22k a n +=-，…，n a k =．① 若1k =，则满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1个． ② 若2k =，则2a n =，31a n =-，42a n =-，…，2n a =． 所以 11a =．此时 满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1个． ③ 若2k n <<，只要1231(,,,)k a a a a -是1,2,3,,1k -的满足条件的一个排列，就可以相应得到1,2,3,,n 的一个满足条件的排列．此时，满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1k b -个． [10分]（2）假设n a n =，只需1231(,,,)n a a a a -是1,2,3,,1n -的满足条件的排列，此时 满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1n b -个． 综上 23111n n b b b b -=+++++，3n ≥． 因为 3221142b b b =++==，且当4n ≥时，23211(11)2n n n n b b b b b b ---=++++++=， [12分] 所以 对任意*n ∈N ，3n ≥，都有12n n b b -=． 所以 {}n b 成等比数列． [13分]。
北京市西城区高二数学上学期期末考试试题理
北京市西城区2016-2017学年高二数学上学期期末考试试题理试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.A（二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9. 命题“x ∃∈R ，使得2250x x ++=”的否定是______________________.10. 已知点)1,0(-M ,)3,2(N . 如果直线MN 垂直于直线032=-+y ax ，那么a 等于_______.11. 在正方体1111ABCD A BC D -中，异面直线1,AD BD 所成角的余弦值为_________.12. 一个正三棱柱的正视图、俯视图如图所示，则该三棱柱的侧视图的面积为_________.13. 设O 为坐标原点，抛物线24y x =的焦点为F ，P 为抛物线上一点. 若3PF =，则OPF △的面积为_________.14. 学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点确定为原点，对称轴确定为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，但是他无法确定碗底中心到原点的距离，请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的计算，帮助他求出抛物线的方程.你需要测量的数据是_________________________（所有测量数据用小写英文字母表示），算出的抛物线标准方程为___________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，E 是PA 的中点. (Ⅰ)求证：//PC 平面BDE ； (Ⅱ)证明：BD CE ⊥.16．（本小题满分13分）如图,PA ⊥平面ABC ,AB BC ⊥,22AB PA BC ===,M 为PB 的中点.A BCDPE正（主）视图俯视图(Ⅰ)求证:AM ⊥平面PBC ； (Ⅱ)求二面角A PC B --的余弦值.17．（本小题满分13分）已知直线l 过坐标原点O ，圆C 的方程为22640x y y +-+=.(Ⅰ)当直线l l 与圆C 相交所得的弦长；(Ⅱ)设直线l 与圆C 交于两点,A B ，且A 为OB 的中点，求直线l 的方程.18．（本小题满分13分）已知1F 为椭圆22143x y +=的左焦点，过1F 的直线l 与椭圆交于两点,P Q . （Ⅰ）若直线l 的倾斜角为45，求PQ ；（Ⅱ）设直线l 的斜率为k (0)k ≠，点P 关于原点的对称点为P '，点Q 关于x 轴的对称点为Q '，P Q ''所在直线的斜率为k '. 若2k '=，求k 的值.19．（本小题满分14分）如图，四棱锥E ABCD -中，平面EAD ⊥平面ABCD ,//DC AB ，BC CD ⊥，EA ED ⊥，且4AB =,2BC CD EA ED ====.（Ⅰ）求证:BD ⊥平面ADE ；（Ⅱ）求BE 和平面CDE 所成角的正弦值； （Ⅲ）在线段CE 上是否存在一点F ，使得平面BD ⊥平面CDE ，请说明理由.20．（本小题满分14分）如图，过原点O 引两条直线12,l l 与抛物线21:2W y px =和22:4W y px =（其中p 为常数，0p >）分别交于四个点1122,,,A B A B .（Ⅰ）求抛物线12,W W 准线间的距离； （Ⅱ）证明：1122//A B A B ；（Ⅲ）若12l l ⊥，求梯形1221A A B B 面积的最小值.EABCD北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷高二数学（理科）参考答案及评分标准2017.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.C ；2.D ；3. B ；4. D ；5. B ；6. A ；7. C ；8. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 对任意x ∈R ,都有0522≠++x x ； 10. 1；12.14. 碗底的直径m ，碗口的直径n ，碗的高度h ；2224n my x h-=.注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分）解: (Ⅰ)连结AC 交BD 于O ，连结OE ，因为四边形ABCD 是正方形，所以O 为AC 中点. 又因为E 是PA 的中点，所以//PC OE ， ………3分 因为PC ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以//PC 平面BDE . ……………6分 (Ⅱ)因为四边形ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥. ……8分因为PA ⊥底面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ， 所以PA BD ⊥. ……………10分又因为AC PA A =I ，所以BD ⊥平面PAC ， ……………12分 又CE ⊂平面PAC ，ABCDPE O所以BD CE ⊥. ……………13分16.（本小题满分13分）解: (Ⅰ)因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥.因为BC AB ⊥，PAAB A =，所以BC ⊥平面PAB . ……………2分 所以AM BC ⊥. ……………3分 因为PA AB =，M 为PB 的中点， 所以AM PB ⊥. ……………4分 所以AM ⊥平面PBC . ……………5分 (Ⅱ)如图，在平面ABC 内，作//Az BC ，则,,AP AB AZ 两两互相垂直， 建立空间直角坐标系A xyz -.则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,1),(1,1,0)A P B C M .(2,0,0)AP =，(0,2,1)AC =，(1,1,0)AM = . ……………8分设平面APC 的法向量为(,,)x y z =n ，则 0,0,AP AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,20.x y z =⎧⎨+=⎩令1y =，则2z =-.所以(0,1,2)=-n . ……………10分由(Ⅰ)可知(1,1,0)AM =为平面BPC 的法向量， 设,AM n 的夹角为α，则cos 5AM AMα⋅===n n . ……………12分 因为二面角A PCB --为锐角， 所以二面角A PC B --的余弦值为10. ……………13分 17.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由已知，直线l的方程为y =，圆C 圆心为(0,3)，………3分所以，圆心到直线l=……………5分所以，所求弦长为……………6分 (Ⅱ) 设11(,)A x y ，因为A 为OB 的中点，则11(2,2)B x y . ……………8分 又,A B 圆C 上，所以 22111640x y y +-+=，22111441240x y y +-+=，即22111310x y y +-+=. ……………10分解得11y =，11x =±， ……………11分 即(1,1)A 或(1,1)A -. ……………12分 所以，直线l 的方程为y x =或y x =-. ……………13分18.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设1122(,),(,)P x y Q x y ，由已知，椭圆的左焦点为(1,0)-，又直线l 的倾斜角为45，所以直线l 的方程为1y x =+， ……………1分 由221,3412y x x y =+⎧⎨+=⎩得27880x x +-=， ……………3分所以1287x x +=-，1287x x =-. ……………4分24||7PQ ==. ……………5分（Ⅱ）由22(1),3412y k x x y =+⎧⎨+=⎩得2222(34)84120k x k x k +++-=， ……………6分所以2122834k x x k -+=+，212241234k x x k -=+. ……………8分依题意1122(,),(,)P x y Q x y ''---，且11(1)y k x =+，22(1)y k x =+， 所以，12121212()y y k x x k x x x x --'==++， ……………10分其中12x x -== ……………11分结合2122834k x x k-+=+，可得k '=2=. ……………12分 解得279k =，k =……………13分19.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由BC CD ⊥,2BC CD ==.可得BD =由EA ED ⊥,且2EA ED ==，可得AD =又4AB =. 所以BD AD ⊥. (2)又平面EAD ⊥平面ABCD ， 平面ADE平面ABCD AD =，所以BD ⊥平面ADE . ……………4分 （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0)D ，B ，(C ，E ，(2,BE =-，(2,0,DE =,(DC =. …………6分设(,,)x y z =n 是平面CDE 的一个法向量，则0DE ⋅=n ,0DC ⋅=n ，即0,0.x z x y +=⎧⎨-+=⎩令1x =，则(1,1,1)=-n . ……………7分设直线BE 与平面CDE 所成的角为α， 则||sin |cos ,|||||BE BE BE ⋅=<>===⋅αn n n . ……………8分 所以BE 和平面CDE ……………9分 （Ⅲ）设CF CE =λ,[0,1]λ∈.又(DC =,CE =,(0,BD =-.则2(21,1,)DF DC CF DC CE =+=+=--+λλλλ. ……………10分 设(,,)x'y'z'=m 是平面BDF 一个法向量,则0BD ⋅=m ，0DF ⋅=m ，即0,(21)(1)0.y'x'y'z'=⎧⎨-+-++=⎩λλλ……………11分令1x'=,则21(1,0,)λλ-=-m . ……………12分若平面BDF ⊥平面CDE ，则0⋅=m n ，即2110λλ-+=，1[0,1]3λ=∈.……13分 所以，在线段CE 上存在一点F 使得平面BDF ⊥平面CDE . ……………14分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知，抛物线12,W W 的准线分别为2px =-和x p =-， ……………2分 所以，抛物线12,W W 准线间的距离为2p. ……………4分 （Ⅱ）设11:l y k x =，代入抛物线方程，得12,A A 的横坐标分别是212p k 和214pk . ………5分 12||||OA OA 12==，同理12||1||2OB OB =， ……………7分所以1122OA B OA B △△，所以1122//A B A B . ……………8分 （Ⅲ）设111(,)A x y ，122(,)B x y ，直线11A B 方程为111:A B l x ty m =+，代入曲线22y px =，得21220y pty pm --=，所以122y y pt +=，1212y y pm =-. ……………9分由12l l ⊥，得12120x x y y +=，又2112y px =，2222y px =，所以221212204y y y y p+=，由1212y y pm =-，得12m p =. ……………11分 所以直线11A B 方程为11:2A B l x ty p =+，11 同理可求出直线22A B 方程为22:4A B l x ty p =+.所以1112||2A B y y =-= ……………12分22||4A B = 平行线11A B l 与22A B l之间的距离为d =， 所以梯形1221A A B B的面积11221()62S A B A B d p =+⋅=……………13分 212p ≥当0t =时，梯形1221A A B B 的面积达最小，最小值为212p .……………14分。
北京市西城区2017届高三上学期期末考试数学(理)试题【含答案】
北京市西城区2016-2017学年度第一学期高三期末理科数学2017．1一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}02A x x =<<，{}210B x x =-≤，那么AB =（ ）A ．{}01x x <≤B ．{}12x x -≤<C ．{}10x x -≤<D ．{}12x x ≤<2．下列函数中，定义域为R 的奇函数是（ ） A ．21y x =+B ．tan y x =C ．2x y =D ．sin y x x =+3．已知双曲线()22210y x b b-=>的一个焦点是()20， ，则其渐近线的方程为（ ）A．0x =B0y ±=C ．30x y ±=D ．30x y ±=4．在极坐标系中，过点26P π⎛⎫⎪⎝⎭， 且平行于极轴的直线的方程是（ ） A ．sin 1=ρθB．sin =ρθC ．cos 1=ρθD．cos =ρθ5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的四个侧面的面积中最大的是（ A ．3 B．C ．6 D．6．设，a b 是非零向量，且≠±a b ．则“||||=a b ”是“()()+⊥-a b a b ”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．实数x y ，满足3060x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，若z ax y =+的最大值为39a +，最小值为33a -，则a 的取值范围是（ ）A ．[]10-，B ．[]01，C ．[]11-，D ．(][)11-∞-+∞，，8．在空间直角坐标系O xyz -中，正四面体P ABC -的顶点A B 、分别在x 轴，y 轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则OP 的取值范围是（ ）A．1⎤⎦B ．[]13，C．12⎤⎦，D．11⎡⎤⎣⎦，二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．复数11ii+=-____________． 10．设等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．若11a =，34a =则n a =_____；6S =_____．11．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为____________． 12．在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c ，，．若3c =，3C π=，sin 2sin B A =，则a =____________．13．设函数()30log x af x x x a≤≤=>⎪⎩，，其中0a >．① 若3a =，则()9f f =⎡⎤⎣⎦___________；② 若函数()2y f x =-有两个零点，则a 的取值范围是____________．14．10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，10名选手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的45．则第二名选手的得分是____________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()2sin 22cos 16f x x x πωω⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭()0ω>的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）求()f x 在区间7012π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 上的最大值和最小值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，90BAD ︒∠=，PA PD =，AB PA ⊥，2AD =，1AB BC ==．（Ⅰ）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若E 为PD 的中点，求证：//CE 平面PAB ；（Ⅲ）若DC 与平面PAB 所成的角为30︒，求四棱锥P ABCD -的体积．手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A B 、两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A B 、两个型号的手机各7台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：其中，a b 、是正整数，且a b ．（Ⅰ）该卖场有56台A 型手机，试估计其中待机时间不少于123小时的台数；（Ⅱ）从A 型号被测试的7台手机中随机抽取4台，记待机时间大于123小时的台数为X ，求A B 、的分布列；（Ⅲ）设A B 、两个型号被测试手机待机时间的平均值相等，当B 型号被测试手机待机时间的方差最小时，写出a b 、的值（结论不要求证明）．已知函数()()ln sin 1f x x a x =-⋅-，其中a R ∈．（Ⅰ）如果曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-，求a 的值； （Ⅱ）如果()f x 在区间()01， 上为增函数，求a 的取值范围．已知直线:l x t =与椭圆22:142x y C +=相交于A ，B 两点，M 是椭圆C 上一点．（Ⅰ）当1t =时，求MAB ∆面积的最大值；（Ⅱ）设直线MA 和MB 与x 轴分别相交于点E ，F ，O 为原点．证明：OE OF ⋅为定值．数字()1232n n ≥， ， ，，的任意一个排列记作()12n a a a ，，，，设n S 为所有这样的排列构成的集合． 集合(){12n nnA a a a S=∈，，，任意整数1i j i j n ≤<≤、，，都有}i j a i a j -≤-； 集合(){12n nnB a a a S=∈，，，任意整数1i j i j n ≤<≤、，，都有}i j a i a j +≤+． （Ⅰ）用列举法表示集合3A ，3B ； （Ⅱ）求集合nn A B 的元素个数；（Ⅲ）记集合n B 的元素个数为n b ．证明：数列{}n b 是等比数列．北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2017.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．B 4．A 5．C 6．C 7．C 8．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．i 10．12n -；63 11． 3-12 13[4,9) 14．16 注：第10，13题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2π()sin(2)(2cos 1)6f x x x ωω=-+-ππ(sin 2coscos 2sin )cos 266x x x ωωω=-+ [ 4分]12cos 22x x ωω=+ πsin(2)6x ω=+， [ 6分]所以()f x 的最小正周期 2ππ2T ω==, 解得 1ω=． [ 7分] （Ⅱ）由（Ⅰ）得 π()sin(2)6f x x =+．因为 7π12x ≤≤0，所以 ππ4π2663x +≤≤． [ 9分] 所以，当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取得最大值为1； [11分]当π4π263x +=，即7π12x =时，()f x 取得最小值为2-． [13分]16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为90BAD ∠=，所以AB AD ⊥， [ 1分]又因为 AB PA ⊥，所以 AB ⊥平面PAD ． [ 3分] 所以 平面PAD ⊥平面ABCD ． [ 4分] （Ⅱ）取PA 的中点F ，连接BF ，EF ． [ 5分] 因为E 为PD 的中点，所以//EF AD ，12EF AD =，又因为 //BC AD ，12BC AD =，所以 //BC EF ，BC EF =．所以四边形BCEG 是平行四边形，//EC BF ． [7分]又 BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，所以//CE 平面PAB ． [ 8分] （Ⅲ）过P 作PO AD ⊥于O ，连接OC ．因为PA PD =，所以O 为AD 中点， 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD ．如图建立空间直角坐标系O xyz -． [ 9分] 设PO a =．由题意得，(0,1,0)A ，(1,1,0)B ，(1,0,0)C ，(0,1,0)D -，(0,0,)P a ． 所以(1,0,0)AB −−→=，(0,1,)PA a −−→=-，(1,1,0)DC −−→=． 设平面PCD 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,AB PA −−→−−→⎧⋅=⎪⎨⎪⋅=⎩n n即0,0.x y az =⎧⎨-=⎩令1z =，则y a =．所以(0,,1)a =n ． [11分] 因为DC 与平面PAB 所成角为30，所以|1|cos ,|2||||DC DC DC −−→−−→−−→⋅〈〉==|n n n ， 解得 1a =． [13分]所以四棱锥P ABCD -的体积11121113322P ABCD ABCD V S PO -+=⨯⨯=⨯⨯⨯=．[14分]17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）被检测的7台手机中有5台的待机时间不少于123小时，因此，估计56台A 型手机中有556407⨯=台手机的待机时间不少于123小时． [ 3分]（Ⅱ）X 可能的取值为0,1,2,3． [ 4分]4711(0)35C P X ===； 133447C C 12(1)35C P X ===；223447C C 18(2)35C P X ===； 3447C 4(3)35C P X ===． [ 8分]所以，X 的分布列为：[10分]（Ⅲ）若A ，B 两个型号被测试手机的待机时间的平均值相等，当B 型号被测试手机的待机时间的方差最小时，124a =，125b =． [13分]18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是(0,)+∞， [ 1分]导函数为1()cos(1)f x a x x'=-⋅-． [ 2分] 因为曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-，所以 (1)1f '=-， 即 11a -=-， [ 3分] 所以 2a =． [ 4分] （Ⅱ）因为()f x 在区间(0,1)上为增函数，所以 对于任意(0,1)x ∈，都有1()cos(1)0f x a x x'=-⋅-≥． [ 6分] 因为(0,1)x ∈时，cos(1)0x ->，所以 11()cos(1)0cos(1)f x a x a x x x '=-⋅-⇔⋅-≤≥． [ 8分]令 ()cos(1)g x x x =⋅-，所以()cos(1)sin (1)g x x x x '=--⋅-． [10分] 因为 (0,1)x ∈时，sin (1)0x -<，所以()(1)1g x g <=． [12分] 所以 1a ≤．即a 的取值范围是(,1]-∞． [13分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）将1x =代入22142x y +=， 解得y =， 所以||AB = [ 2分] 当M 为椭圆C 的顶点()2,0-时，M 到直线1x =的距离取得最大值3， [ 4分]所以 △MAB[ 5分] （Ⅱ）设,A B 两点坐标分别为(),A t n ，(),B t n -，从而 2224t n +=． [ 6分]设()00,M x y ，则有220024x y +=，0x t ≠，0y n ≠±． [ 7分] 直线MA 的方程为 00()y n y n x t x t--=--， [ 8分] 令0y =，得000ty nx x y n-=-，从而 000ty nx OE y n -=-． [ 9分] 直线M B 的方程为00()y n y n x t x t ++=--， [10分] 令0y =，得000ty nx x y n+=+，从而 000ty nx OF y n +=+． [11分] 所以000000=ty nx ty nx OE OF y n y n -+⋅⋅-+222200220=t y n x y n-- ()()2222002204242=n y n y y n ---- [13分]22022044=y n y n-- =4．所以OE OF ⋅为定值． [14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）3{(1,2,3)}A =，3{(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1)}B =． [ 3分] （Ⅱ）考虑集合n A 中的元素123(,,,,)n a a a a ．由已知，对任意整数,,1i j i j n <≤≤，都有i j a i a j --≤， 所以 ()()i j a i i a j j -+<-+，所以 i j a a <．由,i j 的任意性可知，123(,,,,)n a a a a 是1,2,3,,n 的单调递增排列， 所以{(1,2,3,,)}n A n =． [ 5分] 又因为当k a k =*(k ∈N ，1)k n ≤≤时，对任意整数,,1i j i j n <≤≤， 都有 i j a i a j ++≤．所以 (1,2,3,,)n n B ∈， 所以 n n A B ⊆． [ 7分] 所以集合n n A B 的元素个数为1． [ 8分] （Ⅲ）由（Ⅱ）知，0n b ≠．因为2{(1,2),(2,1)}B =，所以22b =．当3n ≥时，考虑n B 中的元素123(,,,,)n a a a a ．（1）假设k a n =(1)k n <≤．由已知，1(1)k k a k a k ++++≤， 所以1(1)1k k a a k k n ++-+=-≥，又因为11k a n +-≤，所以11k a n +=-．依此类推，若k a n =，则11k a n +=-，22k a n +=-，…，n a k =．① 若1k =，则满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1个． ② 若2k =，则2a n =，31a n =-，42a n =-，…，2n a =．所以 11a =．此时 满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1个． ③ 若2k n <<，只要1231(,,,)k a a a a -是1,2,3,,1k -的满足条件的一个排列，就可以相应得到1,2,3,,n 的一个满足条件的排列．此时，满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1k b -个． [10分]（2）假设n a n =，只需1231(,,,)n a a a a -是1,2,3,,1n -的满足条件的排列，此时满足条件的1,2,3,,n 的排列123(,,,,)n a a a a 有1n b -个． 综上 23111n n b b b b -=+++++，3n ≥． 因为 3221142b b b =++==， 且当4n ≥时，23211(11)2n n n n b b b b b b ---=++++++=， [12分] 所以 对任意*n ∈N ，3n ≥，都有12nn b b -=．所以 {}n b 成等比数列． [13分]。
2016-2017北京西城14中高二上期中数学【理】试题(原卷版)
北京市第十四中学2016—2017学年高二上学期期中考试数学试卷（理）1. 抛物线的准线方程是（）．A. B. C. D.2. 以下四组向量中，互相平行的有（）组．（），．（），．（），．（），．A. 一B. 二C. 三D. 四3. 已知两定点，，曲线上的点到、的距离之差的绝对值是，则该曲线的方程为（）．A. B. C. D.4. 执行如图所示的程序框图，输出的值是（）．...A. B. C. D.5. 顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程是（）．A. B. C. 或 D. 或6. 已知椭圆，若其长轴在轴长，且焦距为，则等于（）．A. B. C. D.7. 执行如图所示的程序框图，如图输出，那么判断框中可以是（）．A. B. C. D.8. 双曲线的实轴长是虚轴长的倍，则等于（）．A. B. C. 2 D. 49. 已知直三棱柱中，，，则异面直线和所成的角的大小是（）．A. B. C. D.10. 设、分别为双曲线（，）的左、右焦点，为双曲线右支上任一点．若的最小值为，则该双曲线离心率的取值范围是（）．A. B. C. D.11. 已知椭圆的两个焦点是，，点在该椭圆上，若，则的面积是__________．12. 已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是__________．13. 已知双曲线的顶点到渐近线的距离为，焦点到渐进线的距离为，则该双曲线的离心率为__________．14. 已知正四棱锥的体积为，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于__________．15. 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为__________．16. 在长方体中，，，为中点．（）证明：．（）求与平面所成角的正弦值．17. 已知抛物线与直线相交于，两点．（）求证：．（）当的面积等于时，求的值．18. 在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面，且，、分别为、的中点．（Ⅰ）求证：平面．（Ⅱ）求证：面平面．（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？说明理由．19. 已知椭圆的离心率是，且过点．（Ⅰ）求椭圆的方程．（Ⅱ）设椭圆与直线相交于不同的两点、，又点，当时，求实数的取值范围．。
2017年北京市西城区高二上学期期末数学试卷与解析答案(理科)
2016-2017学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（5分）双曲线的一个焦点坐标为（）A．B．C．（2，0） D．（0，2）2．（5分）已知椭圆的短轴长是焦距的2倍，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．3．（5分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若α∥β，l∥α，则l⊂βB．若α∥β，l⊥α，则l⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊂βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β4．（5分）设m∈R，命题“若m≥0，则方程x2=m有实根”的逆否命题是（）A．若方程x2=m有实根，则m≥0 B．若方程x2=m有实根，则m＜0C．若方程x2=m没有实根，则m≥0 D．若方程x2=m没有实根，则m＜0 5．（5分）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知双曲线的焦点在x轴上，焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，则双曲线的标准方程为（）A．﹣y2=1 B．x2﹣=1C．﹣=1 D．﹣=17．（5分）已知两点A（3，0），B（0，4），动点P（x，y）在线段AB上运动，则xy的最大值为（）A．B． C．3 D．48．（5分）用一个平面截正方体和正四面体，给出下列结论：①正方体的截面不可能是直角三角形；②正四面体的截面不可能是直角三角形；③正方体的截面可能是直角梯形；④若正四面体的截面是梯形，则一定是等腰梯形．其中，所有正确结论的序号是（）A．②③B．①②④C．①③D．①④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．（5分）命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是．10．（5分）已知点M（0，﹣1），N（2，3）．如果直线MN垂直于直线ax+2y﹣3=0，那么a等于．11．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AD，BD1所成角的余弦值为．12．（5分）一个正三棱柱的正视图、俯视图如图所示，则该三棱柱的侧视图的面积为．13．（5分）设O为坐标原点，抛物线y2=4x的焦点为F，P为抛物线上一点．若|PF|=3，则△OPF的面积为．14．（5分）学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点确定为原点，对称轴确定为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，但是他无法确定碗底中心到原点的距离，请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的计算，帮助他求出抛物线的方程．你需要测量的数据是（所有测量数据用小写英文字母表示），算出的抛物线标准方程为．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，E 是PA的中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BDE；（Ⅱ）证明：BD⊥CE．16．（13分）如图，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PA=2BC=2，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：AM⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．17．（13分）已知直线l过坐标原点O，圆C的方程为x2+y2﹣6y+4=0．（Ⅰ）当直线l的斜率为时，求l与圆C相交所得的弦长；（Ⅱ）设直线l与圆C交于两点A，B，且A为OB的中点，求直线l的方程．18．（13分）已知F1为椭圆+=1的左焦点，过F1的直线l与椭圆交于两点P，Q．（Ⅰ）若直线l的倾斜角为45°，求|PQ|；（Ⅱ）设直线l的斜率为k（k≠0），点P关于原点的对称点为P′，点Q关于x 轴的对称点为Q′，P′Q′所在直线的斜率为k′．若|k′|=2，求k的值．19．（14分）如图，四棱锥E﹣ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，且AB=4，BC=CD=EA=ED=2．（Ⅰ）求证：BD⊥平面ADE；（Ⅱ）求BE和平面CDE所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段CE上是否存在一点F使得平面BDF⊥平面CDE，请说明理由．20．（14分）如图，过原点O引两条直线l1，l2与抛物线W1：y2=2px和W2：y2=4px （其中P为常数，p＞0）分别交于四个点A1，B1，A2，B2．（Ⅰ）求抛物线W1，W2准线间的距离；（Ⅱ）证明：A1B1∥A2B2；（Ⅲ）若l1⊥l2，求梯形A1A2B2B1面积的最小值．2016-2017学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（5分）双曲线的一个焦点坐标为（）A．B．C．（2，0） D．（0，2）【解答】解：由双曲线得a2=3，b2=1，则c2=a2+b2=4，则c=2，故双曲线的一个焦点坐标为（2，0），故选：C2．（5分）已知椭圆的短轴长是焦距的2倍，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知：设椭圆的方程为：（a＞b＞0），由2b=2×2c，即b=2c，a2=b2+c2=4c2+c2=5c2，则a=c，∴椭圆的离心率e==，椭圆的离心率，故选D．3．（5分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若α∥β，l∥α，则l⊂βB．若α∥β，l⊥α，则l⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊂βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β【解答】解：由α，β是两个不同的平面，l是一条直线，知：在A中，若α∥β，l∥α，则l⊂β或l∥β，故A错误；在B中，若α∥β，l⊥α，则由线面垂直的判定定理得l⊥β，故B正确；在C中，若α⊥β，l⊥α，则l与β相交、平行或l⊂β，故C错误；在D中，若α⊥β，l∥α，则l与β相交、平行或l⊂β，故D错误．故选：B．4．（5分）设m∈R，命题“若m≥0，则方程x2=m有实根”的逆否命题是（）A．若方程x2=m有实根，则m≥0 B．若方程x2=m有实根，则m＜0C．若方程x2=m没有实根，则m≥0 D．若方程x2=m没有实根，则m＜0【解答】解：命题“若m≥0，则方程x2=m有实根”的逆否命题是命题“若方程x2=m 没有实根，则m＜0”，故选：D5．（5分）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线，且m⊥β，则α⊥β，反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥β，所以不一定能得到m⊥β，所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．故选B．6．（5分）已知双曲线的焦点在x轴上，焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，则双曲线的标准方程为（）A．﹣y2=1 B．x2﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：由题意可知：设双曲线的标准方程为（a＞0，b＞0），由2c=2，则c=，双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，即=，由c2=a2+b2，解得：a=2，b=1，∴双曲线的标准方程为：，故选A．7．（5分）已知两点A（3，0），B（0，4），动点P（x，y）在线段AB上运动，则xy的最大值为（）A．B． C．3 D．4【解答】解：由题意可得直线AB的方程为，∴线段AB的方程为，（x≥0，y≥0）∴1=≥2，∴xy≤3，当且仅当即x=且y=2时取等号，xy有最大值3，故选：C．8．（5分）用一个平面截正方体和正四面体，给出下列结论：①正方体的截面不可能是直角三角形；②正四面体的截面不可能是直角三角形；③正方体的截面可能是直角梯形；④若正四面体的截面是梯形，则一定是等腰梯形．其中，所有正确结论的序号是（）A．②③B．①②④C．①③D．①④【解答】解：①正方体的截面是三角形时，为锐角三角形，正确；②正四面体的截面不可能是直角三角形，不正确；③正方体的截面与一组平行的对面相交，截面是等腰梯形，不正确；④若正四面体的截面是梯形，则一定是等腰梯形，正确．故选D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．（5分）命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．【解答】解：因为命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题，可得命题的否定为：对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．故答案为：对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．10．（5分）已知点M（0，﹣1），N（2，3）．如果直线MN垂直于直线ax+2y﹣3=0，那么a等于1．【解答】解：∵点M（0，﹣1），N（2，3），∴k MN==2，∵直线MN垂直于直线ax+2y﹣3=0，∴2×=﹣1，解得a=1．故答案为1．11．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AD，BD1所成角的余弦值为．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，则A（1，0，0），D（0，0，0），B（1，1，0），D1（0，0，1），=（﹣1，0，0），=（﹣1，﹣1，1），设异面直线AD，BD1所成角为θ，则cosθ==．∴异面直线AD，BD1所成角的余弦值为．故答案为：．12．（5分）一个正三棱柱的正视图、俯视图如图所示，则该三棱柱的侧视图的面积为8．【解答】解：由正三棱柱的正视图、俯视图得到该三棱柱的侧视图是边长为4的等边三角形，∴由三视图可知，该正三棱柱的底边三角形的高为：=2，底面边长为：4，∴侧视图三角形的高为：4，该三棱柱的侧视图的面积为S=2×4=8．故答案为：8．13．（5分）设O为坐标原点，抛物线y2=4x的焦点为F，P为抛物线上一点．若|PF|=3，则△OPF的面积为．【解答】解：由抛物线方程得：抛物线的准线方程为：x=﹣1，焦点F（1，0），又P为C上一点，|PF|=3，∴x P=2，代入抛物线方程得：|y P|=2，∴S=×|OF|×2=．△POF故答案为：．14．（5分）学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点确定为原点，对称轴确定为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，但是他无法确定碗底中心到原点的距离，请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的计算，帮助他求出抛物线的方程．你需要测量的数据是碗底的直径2m，碗口的直径2n，碗的高度h（所有测量数据用小写英文字母表示），算出的抛物线标准方程为y2=x．【解答】解：碗底的直径2m，碗口的直径2n，碗的高度h；设方程为y2=2px（p＞0），则将点（a，m），（a+h，n）代入抛物线方程可得m2=2pa，n2=2p（a+h），可得2p=，∴抛物线方程为y2=x．故答案为碗底的直径2m，碗口的直径2n，碗的高度h；y2=x．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，E 是PA的中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BDE；（Ⅱ）证明：BD⊥CE．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）连结AC交BD于O，连结OE，因为四边形ABCD是正方形，所以O为AC中点．又因为E是PA的中点，所以PC∥OE，…（3分）因为PC⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，所以PC∥平面BDE．…（6分）（Ⅱ）因为四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC．…（8分）因为PA⊥底面ABCD，且BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD．…（10分）又因为AC∩PA=A，所以BD⊥平面PAC，…（12分）又CE⊂平面PAC，所以BD⊥CE．…（13分）16．（13分）如图，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PA=2BC=2，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：AM⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC．因为BC⊥AB，PA∩AB=A，所以BC⊥平面PAB．…（2分）所以AM⊥BC．…（3分）因为PA=AB，M为PB的中点，所以AM⊥PB．…（4分）所以AM⊥平面PBC．…（5分）解：（Ⅱ）如图，在平面ABC内，作Az∥BC，则AP，AB，Az两两互相垂直，建立空间直角坐标系A﹣xyz．则A（0，0，0），P（2，0，0），B（0，2，0），C（0，2，1），M（1，1，0）．=（2，0，0），=（0，2，1），=（1，1，0）．…（8分）设平面APC的法向量为=（x，y，z），则，令y=1，得=（0，1，﹣2）．…（10分）由（Ⅰ）可知=（1，1，0）为平面BPC的法向量，设二面角A﹣PC﹣B的平面角为α，则cosα===．…（12分）所以二面角A﹣PC﹣B的余弦值为．…（13分）17．（13分）已知直线l过坐标原点O，圆C的方程为x2+y2﹣6y+4=0．（Ⅰ）当直线l的斜率为时，求l与圆C相交所得的弦长；（Ⅱ）设直线l与圆C交于两点A，B，且A为OB的中点，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）由已知，直线l的方程为y=x，圆C圆心为（0，3），半径为，…（3分）所以，圆心到直线l的距离为=．…（5分）所以，所求弦长为2=2．…（6分）（Ⅱ）设A（x1，y1），因为A为OB的中点，则B（2x1，2y1）．…（8分）又A，B在圆C上，所以x12+y12﹣6y1+4=0，4x12+4y12﹣12y1+4=0．…（10分）解得y1=1，x1=±1，…（11分）即A（1，1）或A（﹣1，1）．…（12分）所以，直线l的方程为y=x或y=﹣x．…（13分）18．（13分）已知F1为椭圆+=1的左焦点，过F1的直线l与椭圆交于两点P，Q．（Ⅰ）若直线l的倾斜角为45°，求|PQ|；（Ⅱ）设直线l的斜率为k（k≠0），点P关于原点的对称点为P′，点Q关于x 轴的对称点为Q′，P′Q′所在直线的斜率为k′．若|k′|=2，求k的值．【解答】解：（Ⅰ）椭圆+=1，a=2，b=，c=1，椭圆的左焦点F1（﹣1，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），又直线l的倾斜角为45°，∴直线l的方程为y=x+1，…（1分）由，整理得：7x2+8x﹣8=0，…（3分）则x1+x2=﹣，x1•x2=﹣．…（4分）丨PQ丨=•=•=，∴|PQ|=；…（5分）（Ⅱ）由，整理得：（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，…（6分）则x1+x2=﹣，x1•x2=，…（8分）依题意P′（﹣x1，﹣y1），Q′（x2，﹣y2），且y1=k（x1+1），y2=k（x2+1），∴丨k′丨=丨丨=丨丨，…（10分）其中丨x1﹣x2丨==，…（11分）∴丨k′丨=丨丨=2．…（12分）解得：7k2=9，k=±，k的值±．．…（13分）19．（14分）如图，四棱锥E﹣ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，且AB=4，BC=CD=EA=ED=2．（Ⅰ）求证：BD⊥平面ADE；（Ⅱ）求BE和平面CDE所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段CE上是否存在一点F使得平面BDF⊥平面CDE，请说明理由．【解答】（I）证明：由BC⊥CD，BC=CD=2，可得．由EA⊥ED，且EA=ED=2，可得．又AB=4，所以BD⊥AD．又平面EAD⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面ADE．…（5分）（II）解：建立空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），，，，，，．设=（x，y，z）是平面CDE的一个法向量，则令x=1，则=（1，1，﹣1）．设直线BE与平面CDE所成的角为α，则sinα=所以BE和平面CDE所成的角的正弦值．…（10分）（III）解：设，λ∈[0，1]．，，．则．设=（x'，y'，z'）是平面BDF一个法向量，则令x'=1，则=（1，0，﹣）．若平面BDF⊥平面CDE，则•=0，即，．所以，在线段CE上存在一点F使得平面BDF⊥平面CDE．…（14分）20．（14分）如图，过原点O引两条直线l1，l2与抛物线W1：y2=2px和W2：y2=4px （其中P为常数，p＞0）分别交于四个点A1，B1，A2，B2．（Ⅰ）求抛物线W1，W2准线间的距离；（Ⅱ）证明：A1B1∥A2B2；（Ⅲ）若l1⊥l2，求梯形A1A2B2B1面积的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由已知，抛物线W1，W2的准线分别为x=﹣和x=﹣p，所以，抛物线W1，W2准线间的距离为（Ⅱ）设l1：y=k1x，代入抛物线方程，得A1，A2的横坐标分别是和．∴==，同理=，所以△OA1B1∽△OA2B2，所以A1B1∥A2B2．（Ⅲ）设A（x1，y1）B（x2，y2），直线A1B1方程为x=ty+m1，代入曲线y2=2px，得y2﹣2pty﹣2pm1=0，所以y1+y2=2pt，y1y2=﹣2pm1．由l1⊥l2，得x1x2+y1y2=0，又y12=2px1，y22=2px2，所以+y1y2=0，由y1y2=﹣2pm1，得m1=2p．所以直线A1B1方程为x=ty+2p，同理可求出直线A2B2方程为x=ty+4p，所以|A1B1|=|y1﹣y2|=2p•，|A2B2|=4p•，平行线A1B1与A2B2之间的距离为d=，所以梯形A1A2B2B1的面积≥12p2当t=0时，梯形A1A2B2B1的面积达最小，最小值为12p2．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
北京市西城区2016_2017学年高二数学上学期期末考试试题理
北京市西城区2016-2017学年高二数学上学期期末考试试题 理试卷满分：150分 考试时间：120分钟题号 一 二三本卷总分1516 17 18 19 20 分数一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 双曲线2213x y -=的一个焦点坐标为（ ） （A ）(2,0)（B ）(0,2)（C ）(2,0) （D ）(0,2)2. 已知椭圆的短轴长是焦距的2倍，则椭圆的离心率为（ ） （A ）12（B ）22（C ）15（D ）553. 设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ） （A ）若//αβ，//l α，则l β⊂ （B ）若//αβ，l α⊥，则 l β⊥ （C ）若αβ⊥，l α⊥，则l β⊂（D ）若αβ⊥，//l α，则 l β⊥4. 设m ∈R ,命题“若0m ≥，则方程2x m =有实根”的逆否命题是（ ） （A ）若方程2x m =有实根，则0m ≥ （B ）若方程2x m =有实根，则0m < （C ）若方程2x m =没有实根，则0m ≥ （D ）若方程2x m =没有实根，则0m <5. 已知βα,表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“βα⊥” 是“β⊥m ” 的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件6. 已知双曲线的焦点在x 轴上，焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线210x y -+= 平行，则双曲线的标准方程为（ ）（A ）2214-=x y （B ）2214-=y x （C ）22331205-=x y （D ）22331520-=x y7. 已知(3,0)A ，(0,4)B ，动点(,)P x y 在线段AB 上运动，则xy 的最大值为（ ） （A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）28. 用一个平面截正方体和正四面体，给出下列结论：① 正方体的截面不可能是直角三角形； ② 正四面体的截面不可能是直角三角形； ③ 正方体的截面可能是直角梯形；④ 若正四面体的截面是梯形，则一定是等腰梯形. 其中，所有正确结论的序号是（ ） （A ）②③ （B ）①②④ （C ）①③ （D ）①④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9. 命题“x ∃∈R ，使得2250x x ++=”的否定是______________________.10. 已知点)1,0(-M ,)3,2(N . 如果直线MN 垂直于直线032=-+y ax ，那么a 等于_______.11. 在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1,AD BD 所成角的余弦值为_________.12. 一个正三棱柱的正视图、俯视图如图所示，则该三棱柱的侧视图的面积为_________.13. 设O 为坐标原点，抛物线24y x =的焦点为F ，P 为抛物线上一点. 若3PF =，则OPF △的面积为_________.14. 学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点确定为原点，对称轴确定为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，但是他无法确定碗底中心到原点的距离，请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的计算，帮助他求出抛物线的方程.你需要测量的数据是_________________________（所有测量数据用小写英文字母表示），算出的抛物线标准方程为___________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，E 是PA 的中点. (Ⅰ)求证：//PC 平面BDE ； (Ⅱ)证明：BD CE ⊥.16．（本小题满分13分）如图,PA ⊥平面ABC ,AB BC ⊥,22AB PA BC ===,M 为PB 的中点. ABCDPE 正（主）视图俯视图242(Ⅰ)求证:AM ⊥平面PBC ； (Ⅱ)求二面角A PC B --的余弦值.17．（本小题满分13分）已知直线l 过坐标原点O ，圆C 的方程为22640x y y +-+=. (Ⅰ)当直线l 2l 与圆C 相交所得的弦长；(Ⅱ)设直线l 与圆C 交于两点,A B ，且A 为OB 的中点，求直线l 的方程.18．（本小题满分13分）已知1F 为椭圆22143x y +=的左焦点，过1F 的直线l 与椭圆交于两点,P Q . （Ⅰ）若直线l 的倾斜角为45，求PQ ；（Ⅱ）设直线l 的斜率为k (0)k ≠，点P 关于原点的对称点为P '，点Q 关于x 轴的对称点为Q '，P Q ''所在直线的斜率为k '. 若2k '=，求k 的值.y1A1B2B2A Ox19．（本小题满分14分）如图，四棱锥E ABCD -中，平面EAD ⊥平面ABCD ,//DC AB ，BC CD ⊥，EA ED ⊥，且4AB =,2BC CD EA ED ====.（Ⅰ）求证:BD ⊥平面ADE ；（Ⅱ）求BE 和平面CDE 所成角的正弦值； （Ⅲ）在线段CE 上是否存在一点F ，使得平面BDF ⊥平面CDE ，请说明理由.20．（本小题满分14分）如图，过原点O 引两条直线12,l l 与抛物线21:2W y px =和22:4W y px =（其中p 为常数，0p >）分别交于四个点1122,,,A B A B .（Ⅰ）求抛物线12,W W 准线间的距离； （Ⅱ）证明：1122//A B A B ；（Ⅲ）若12l l ⊥，求梯形1221A A B B 面积的最小值. EABCD北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷高二数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.； ； 3. B ； 4. D ； 5. B ； 6. A ； 7. C ； 8. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 对任意x ∈R ,都有0522≠++x x ； 10. 1； 11. 33； 12. 832；14. 碗底的直径m ，碗口的直径n ，碗的高度h ；2224n my x h-=.注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分）解: (Ⅰ)连结AC 交BD 于O ，连结OE ，因为四边形ABCD 是正方形，所以O 为AC 中点. 又因为E 是PA 的中点，所以//PC OE ， ………3分 因为PC ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以//PC 平面BDE . ……………6分 (Ⅱ)因为四边形ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥. ……8分因为PA ⊥底面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ， 所以PA BD ⊥. ……………10分 又因为ACPA A =，所以BD ⊥平面PAC ， ……………12分又CE ⊂平面PAC ，ABCDPE O所以BD CE ⊥. ……………13分16.（本小题满分13分）解: (Ⅰ)因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥.因为BC AB ⊥，PAAB A =，所以BC ⊥平面PAB . ……………2分 所以AM BC ⊥. ……………3分 因为PA AB =，M 为PB 的中点， 所以AM PB ⊥. ……………4分 所以AM ⊥平面PBC . ……………5分 (Ⅱ)如图，在平面ABC 内，作//Az BC ，则,,AP AB AZ 两两互相垂直， 建立空间直角坐标系A xyz -.则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,1),(1,1,0)A P B C M .(2,0,0)AP =，(0,2,1)AC =，(1,1,0)AM = . ……………8分设平面APC 的法向量为(,,)x y z =n ，则 0,0,AP AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,20.x y z =⎧⎨+=⎩令1y =，则2z =-.所以(0,1,2)=-n . ……………10分由(Ⅰ)可知(1,1,0)AM =为平面BPC 的法向量， 设,AM n 的夹角为α， 则10cos 52AM AMα⋅===n n . ……………12分 因为二面角A PC B --为锐角， 所以二面角A PC B --10……………13分 17.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由已知，直线l 的方程为2y x =，圆C 圆心为(0,3)，5………3分ABC P M xy z所以，圆心到直线l 的距离为333=. ……………5分所以，所求弦长为22. ……………6分 (Ⅱ) 设11(,)A x y ，因为A 为OB 的中点，则11(2,2)B x y . ……………8分 又,A B 圆C 上，所以 22111640x y y +-+=，22111441240x y y +-+=，即22111310x y y +-+=. ……………10分解得11y =，11x =±， ……………11分 即(1,1)A 或(1,1)A -. ……………12分 所以，直线l 的方程为y x =或y x =-. ……………13分18.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设1122(,),(,)P x y Q x y ，由已知，椭圆的左焦点为(1,0)-，又直线l 的倾斜角为45，所以直线l 的方程为1y x =+， ……………1分 由221,3412y x x y =+⎧⎨+=⎩得27880x x +-=， ……………3分所以1287x x +=-，1287x x =-. ……………4分 22212128824||1[()4]2()4777PQ k x x x x =++-=-+⨯=. ……………5分（Ⅱ）由22(1),3412y k x x y =+⎧⎨+=⎩得2222(34)84120k x k x k +++-=， ……………6分所以2122834k x x k -+=+，212241234k x x k -=+. ……………8分依题意1122(,),(,)P x y Q x y ''---，且11(1)y k x =+，22(1)y k x =+， 所以，12121212()y y k x x k x x x x --'==++， ……………10分其中2212121221()434k x x x x x x k+-=+-=+， ……………11分结合2122834k x x k-+=+，可得2312k k k +'=2=. ……………12分 解得279k =，377k =±. ……………13分19.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由BC CD ⊥,2BC CD ==.可得22BD =.由EA ED ⊥,且2EA ED ==，可得22AD =.又4AB =. 所以BD AD ⊥. …………2 又平面EAD ⊥平面ABCD ， 平面ADE平面ABCD AD =，所以BD ⊥平面ADE . ……………4分 （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0)D ，(0,22,0)B ，(2,2,0)C -，(2,0,2)E ，(2,22,2)BE =-，(2,0,2)DE =,(2,2,0)DC =-. …………6分设(,,)x y z =n 是平面CDE 的一个法向量，则0DE ⋅=n ,0DC ⋅=n ，即0,0.x z x y +=⎧⎨-+=⎩令1x =，则(1,1,1)=-n . ……………7分设直线BE 与平面CDE 所成的角为α， 则|||2222|2sin |cos ,|3||||233BE BE BE ⋅--=<>===⋅⋅αn n n . ……………8分 所以BE 和平面CDE 所成的角的正弦值23. ……………9分 （Ⅲ）设CF CE =λ,[0,1]λ∈.又(2,2,0)DC =-,(22,2,2)CE =-,(0,22,0)BD =-. EAB Dzxy则2(21,1,)DF DC CF DC CE =+=+=--+λλλλ. ……………10分设(,,)x'y'z'=m 是平面BDF 一个法向量,则0BD ⋅=m ，0DF ⋅=m ，即0,(21)(1)0.y'x'y'z'=⎧⎨-+-++=⎩λλλ……………11分令1x'=,则21(1,0,)λλ-=-m . ……………12分若平面BDF ⊥平面CDE ，则0⋅=m n ，即2110λλ-+=，1[0,1]3λ=∈.……13分所以，在线段CE 上存在一点F 使得平面BDF ⊥平面CDE . ……………14分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知，抛物线12,W W 的准线分别为2px =-和x p =-， ……………2分 所以，抛物线12,W W 准线间的距离为2p. ……………4分 （Ⅱ）设11:l y k x =，代入抛物线方程，得12,A A 的横坐标分别是212p k 和214pk . ………5分 12||||OA OA 22421122421144121616p p k k p p k k +==+，同理12||1||2OB OB =， ……………7分 所以1122OA B OA B △△，所以1122//A B A B . ……………8分 （Ⅲ）设111(,)A x y ，122(,)B x y ，直线11A B 方程为111:A B l x ty m =+，代入曲线22y px =，得21220y pty pm --=，所以122y y pt +=，1212y y pm =-. ……………9分由12l l ⊥，得12120x x y y +=，又2112y px =，2222y px =，所以221212204y y y y p+=，由1212y y pm =-，得12m p =. ……………11分 所以直线11A B 方程为11:2A B l x ty p =+，百度文库 - 让每个人平等地提升自我1111 同理可求出直线22A B 方程为22:4A B l x ty p =+. 所以2221112||1214A B t y y p t t =+-=++， ……………12分2222||414A B p t t =++， 平行线11A B l 与22A B l 之间的距离为21d t =+， 所以梯形1221A A B B 的面积211221()642S A B A B d p t =+⋅=+ ……………13分 212p ≥当0t =时，梯形1221A A B B 的面积达最小，最小值为212p .……………14分。
北京市西城区2016-2017学年度第二学期期末考试高二数学(理科)试卷
北京市西城区2016—2017学年度第二学期期末试卷高二数学（理科）2017.7试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9. 曲线1y x=在2x =处切线的斜率为______. 10. 4)12(xx -展开式中的常数项是_______.（用数字作答） 11. 离散型随机变量ξ的分布列为且=ξE 1_________；2 _________.12. 某班举行的联欢会由5个节目组成，节目演出顺序要求如下 节目甲不能排在第一个，并且节目甲必须和节目乙相邻，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有_____种．13. 若函数32()f x ax ax x =-+在区间(1,0)-上恰有一个极值点，则a 的取值范围是_____．14. 已知，对于任意x ∈R ，e x ax b ≥+均成立.①若e a =，则b 的最大值为__________；②在所有符合题意的b a ,中，a b -的最小值为_________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）在数列{}n a 中，11=a ，121++=+n n a nn a ，其中1,2,3,n =.(Ⅰ) 计算2a ，3a ，4a ，5a 的值；(Ⅱ) 根据计算结果，猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.16．（本小题满分13分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为21与p ，且乙投球2次均未命中的概率为161. (Ⅰ)求甲投球2次，至少命中1次的概率；(Ⅱ)若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中3次的概率.17．（本小题满分13分）已知函数32()3f x x ax =+.(Ⅰ) 若1-=a ，求)(x f 的极值点和极值； (Ⅱ) 求)(x f 在[0,2]上的最大值.18．（本小题满分13分）一个袋中装有黑球，白球和红球共n (*n ∈N )个,这些球除颜色外完全相同. 已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是52. 现从袋中任意摸出2个球. (Ⅰ) 用含n 的代数式表示摸出的2球都是黑球的概率，并写出概率最小时n 的值.（直接写出n 的值）(Ⅱ) 若15=n ，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是74，设X 表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望.19．（本小题满分14分）已知函数2()f x ax bx =+和x x g ln )(=.(Ⅰ) 若1==b a ，求证：()f x 的图象在()g x 图象的上方；(Ⅱ) 若()f x 和()g x 的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同，求a 的取值范围.20．（本小题满分14分）已知函数()(1)e xf x x =-.（Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）证明：当0>a时，方程()f x a =在区间(1,)+∞上只有一个解；（Ⅲ）设()()ln(1)h x f x a x ax =---，其中0>a .若()0h x ≥恒成立，求a 的取值范围.北京市西城区2016 — 2017学年度第二学期期末试卷高二数学（理科）参考答案及评分标准2017.7一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. A ；2.D ；3. C ；4. B ；5. C ；6. D ；7. C ；8. B . 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 41-； 10. 24； 11. ,4211； 12. 42； 13. 1(,)5-∞-； 14. 0；1e-.注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分）解： (Ⅰ) 根据已知，24a =；99a =；416a =；525a =. …………… 4分 (Ⅱ)猜想2n a n =. (6)分证明：① 当1=n 时，由已知11=a ；由猜想，2111a ==，猜想成立. …………… 8分②假设当k n =（k ∈*N ）时猜想成立，即2k a k =， (10)分则1+=k n 时， 221)1(1212+=+⨯+=++=+k k kk a k k a k k . 所以，当1n k =+时，猜想也成立. ……………12分由①和②可知，2n a n =对任意的*n ∈N 都成立. (13)分16.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)设“甲投球一次命中”为事件A ，则11(),()22P A P A ==. …………… 2分故甲投球2次至少命中1 次的概率为31()1()()4P A A P A P A -⋅=-=. …………5分 (Ⅱ) 设“乙投球一次命中”为事件B . 由题意得1()(1)(1)16P B B p p ⋅=--=， ……………7分 解得43=p 或45(舍去)， 所以31(),()44P B P B ==. ……………8分甲、乙两人各投球2次共命中3次有两种情况：甲中两次，乙中一次；甲中一次，乙中两次. ……………9分甲中两次，乙中一次的概率为1211313()()()()2224432P A P A C P B P B =⨯⨯⨯⨯=.…11分 甲中一次，乙中两次的概率为1211339()()()()2224432C P A P A P B P B =⨯⨯⨯⨯=.…12分事件“甲中两次，乙中一次”与“甲中一次，乙中两次”是互斥的，所以，所求事件概率为93332328+=.所以甲、乙两人各投2次，共命中3次的概率为38. ……………13分 17.（本小题满分13分）解：(Ⅰ) 当1-=a 时，32()3f x x x =-，2()36f x x x '=-. ……………2分令2()360f x x x '=-=，得0x =或2x =.()f x '与()f x 在R 上的情况如下： (4)分所以，函数)(x f 的极大值点为0x =，极大值为0；极小值点为2x =，极小值为4-. (6)分(Ⅱ) 2()363(2)f x x ax x x a '=+=+. ……………7分①当0a =时，()0f x '≥（仅当0x =时，()0f x '=），函数)(x f 是增函数，)(x f 在[0,2]上的最大值为(2)8128f a =+=. (8)分②当0a >时，在区间(0,)+∞上()0f x '>，函数)(x f 是增函数.)(x f 在[0,2]上的最大值为(2)812f a =+. (10)分③当0a <时，()f x '与()f x 在区间(0,)+∞上的情况如下： (11)分此时，(0)0f =，(2)812f a =+. 当8120a +>，即203a -<<时，)(x f 在[0,2]上的最大值为(2)812f a =+. 12分当8120a +≤，即23a ≤-时，)(x f 在[0,2]上的最大值为(0)0f =. ………13分综上，当23a ≤-时，)(x f 在[0,2]上的最大值为0；当23a >-时，)(x f 在[0,2]上的最大值为812a +. 18.（本小题满分13分） 解：(Ⅰ) 依题意有n 52个黑球. 记“摸出的2球都是黑球”为事件A ， 则225222(1)41055()(1)2525n n C n n n P A C n n n --===--. ……………4分()P A 最小时5=n . (5)分(Ⅱ) 依题意有21565⨯=个黑球. ……………6分设袋中白球的个数为x (个)，记“从袋中任意摸出两个球至少得到一个白球”为事件B ，则2152154()17xC P B C -=-=，整理得2291200x x -+=，解得5x =或24x =（舍）. ……………8分所以袋中红球的个数为4(个).随机变量X 的取值为0,1,2. ……………9分21121511(0)21C P X C ===；1141121544(1)105C C P X C ===；242152(2)35C P X C ===. X 的分布列为：…………12分数学期望114428012211053515EX =⨯+⨯+⨯=. ……………13分19.（本小题满分14分）解：(Ⅰ) 当1==b a 时，2()f x x x =+.设2()ln h x x x x =+-，0x >. ……………1分则2121(21)(1)()21x x x x h x x x x x+--+'=+-==， (2)分所以，在区间1(0,)2上()0h x '<，()h x 是减函数；在区间1(,)2+∞上()0h x '>，()h x 是增函数. ……………4分所以，()h x 的最小值为1()2h =31ln 42-，又31ln 042->，所以()0h x >恒成立. 即()f x 的图象在()g x 图象的上方. ……………5分(Ⅱ) 设00(,)P x y ，其中00x >.由已知()2f x ax b '=+，1()g x x'=. 因为在点P 处的切线相同， 所以2000000012,,ln ax b y ax bx y x x +==+=. ……………7分消去0,b y 得200ln 10ax x +-=.根据题意，方程200ln 10ax x +-=有解. (8)分设2()ln 1F x ax x =+-，则()F x 在(0,)+∞上有零点. 2121()2ax F x ax x x+'=+=， 当0a ≥时，()0F x '>，函数()F x 在(0,)+∞上单调递增.当1a ≥时，(1)10F a =-≥，110F =+=≤，()F x 有零点.当01a ≤<时，(1)10F a =-≤，22(e )e 10F a =+>，()F x 有零点. …11分当0a <时，令()0F x '=，解得x =. ()F x '与()F x 在区间(0,)+∞上的情况如下：此时(1)10F a =-<.所以()F x 有零点. ……………13分综上，所求a 的取值范围为31[,)2e-+∞. ……………14分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知()e (1)e e x x x f x x x '=+-=. ……………2分所以，在区间(,0)-∞上()0f x '<，函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上()0f x '>，函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增. (4)（Ⅱ）设()()(1)e xg x f x a x a =-=--，0a >. ……………5分()e x g x x '=，由（Ⅰ）知，函数()g x 在区间(0,)+∞上单调递增.且(1)0g a =-<，11(1)e (e 1)0a a g a a a a +++=-=->.所以，()g x 在区间(1,)+∞上只有一个零点，方程()f x a =在区间(1,)+∞上只有一个解. ……………8分（Ⅲ）设()()ln(1)h x f x a x ax =---，0>a ，()h x 定义域为}1|{>x x ，()e (e )[(1)e ]111x x x a a x h x x a x x a x x x '=--=-=-----， ……………9分 令()0h x '=，则(1)e 0xx a --=，由（Ⅱ）知，()(1)e xg x x a =--在区间(1,)+∞上只有一个零点，是增函数， 不妨设()g x 的零点为0x ，则00(1)e 0xx a --=， ……………11分所以，()h x '与()h x 在区间(0,)+∞上的情况如下：0，00000()(1)e ln(1)x h x x a x ax =----，由00(1)e 0x x a --=，得001e x a x -=， 所以00000()e ln ln e ex x x a a h x a ax a a a =⋅--=-. ……………13分依题意0()0h x ≥，即ln 0a a a -≥，解得0e a <≤，所以，a 的取值范围为(0,e]. (14)。
2016西城区高二(上)期末数学(理科)
2016西城区高二（上）期末数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（5分）命题“若a＞1，则a＞0”的逆命题是（）A．若a＞0，则a＞1 B．若a≤0，则a＞1 C．若a＞0，则a≤1 D．若a≤0，则a≤1 2．（5分）圆心为（1，2），且与y轴相切的圆的方程是（）A．（x+1）2+（y+2）2=4 B．（x﹣1）2+（y﹣2）2=4 C．（x+1）2+（y+2）2=1 D．（x﹣1）2+（y﹣2）2=1 3．（5分）在空间中，给出下列四个命题：①平行于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行．其中真命题的序号是（）A．①B．②C．③D．④4．（5分）实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程是（）A．B．C．，或D．，或5．（5分）“直线L垂直于平面α内无数条直线”是“直线L垂直于平面α”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图中△ABC是边长为2的正三角形，俯视图的边界为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为（）A．B．1 C．D．27．（5分）已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在点P使得∠F1PF2是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（）A．B．C．D．8．（5分）已知四面体ABCD的侧面展开图如图所示，则其体积为（）A．2 B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣1＞0”的否定是．10．（5分）已知直线l1：2x﹣ay﹣1=0，l2：ax﹣y=0．若l1∥l2，则实数a=．11．（5分）已知双曲线的一个焦点是（2，0），则其渐近线的方程为．12．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BC1和B1D1所成角的大小为；直线BC1和平面B1D1DB所成角的大小为．13．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知平面α的一个法向量是=（1，﹣1，2），且平面α过点A（0，3，1）．若P（x，y，z）是平面α上任意一点，则点P的坐标满足的方程是．14．（5分）曲线C是平面内到定点F（0，1）和定直线l：y=﹣1的距离之和等于4的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C关于y轴对称；②若点P（x，y）在曲线C上，则|y|≤2；③若点P在曲线C上，则1≤|PF|≤4．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，Q是棱PA的中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BDQ；（Ⅱ）若PB=PD，求证：平面PAC⊥平面BDQ．16．（13分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设直线y=k（x﹣2）（k≠0）与抛物线相交于M，N两点，O为坐标原点，证明：OM⊥ON．17．（13分）如图，在直三棱柱ABC﹣A 1B1C1中，∠BAC=90°，，，AB=2，点D在棱B1C1上，且B1C1=4B1D．（Ⅰ）求证：BD⊥A1C；（Ⅱ）求二面角B﹣A1D﹣B1的大小．18．（13分）如图，在直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=4．点B，C在圆O上，且关于x轴对称．（Ⅰ）当点B的横坐标为时，求的值；（Ⅱ）设P为圆O上异于B，C的任意一点，直线PB，PC与x轴分别交于点M，N，证明：|OM|•|ON|为定值．19．（14分）如图1，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，面ABCD是直角梯形，M为侧棱PD上一点．该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图2所示．（Ⅰ）证明：BC⊥平面PBD；（Ⅱ）证明：AM∥平面PBC；（Ⅲ）线段CD上是否存在点N，使AM与BN所成角的余弦值为？若存在，找到所有符合要求的点N，并求CN的长；若不存在，说明理由．20．（14分）如图，已知四边形ABCD是椭圆3x2+4y2=12的内接平行四边形，且BC，AD分别经过椭圆的焦点F1，F2．（Ⅰ）若直线AC的方程为x﹣2y=0，求AC的长；（Ⅱ）求平行四边形ABCD面积的最大值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．【解答】互换原命题“若a＞1，则a＞0”的题设和结论，得到它的逆命题是“若a＞0，则a＞1”，故选：A．2．【解答】∵圆心C的坐标为（1，2），且所求圆与y轴相切，∴圆的半径r=1，则所求圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=1．故选：D．3．【解答】①平行于同一个平面的两条直线有三种可能的位置关系：相平行、相交、异面，故①错误；②垂直于同一个平面的两个平面有两种可能的位置关系：平行、相交，故②错误；③由平行公理可知：平行于同一条直线的两条直线互相平行，故③正确；④垂直于同一条直线的两条直线有三种可能的位置关系：相平行、相交、异面，故④错误．故选：C．4．【解答】实轴长为2，虚轴长为4的双曲线的标准方程是：或，故选：D．5．【解答】根据线面垂直的定义可知，直线L与平面α内任意无数条直线都垂直，当直线L与平面α内无数条直线都垂直时，直线l与平面α垂直不一定成立，∴“直线L与平面α内无数条直线都垂直”是“直线L与平面α垂直”的必要不充分条件．故选：C6．【解答】由三视图知几何体为正六棱锥，∵正视图中△ABC是边长为2的正三角形，底面六边形的边长为1，∴棱锥的高为2×=，由俯视图知侧视图的宽为2×=，∴侧视图的面积S=××=．故选C．7．【解答】如图，当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角∠F1PF2渐渐增大，当且仅当P点位于短轴端点P0处时，张角∠F1PF2达到最大值．由此可得：∵椭圆上存在点P使得∠F1PF2是钝角，∴△P0F1F2中，∠F1P0F2＞90°，∴Rt△P0OF2中，∠OP0F2＞45°，所以P0O＜OF2，即b＜c，∴a2﹣c2＜c2，可得a2＜2c2，∴e＞，∵0＜e＜1，∴＜e＜1．故选：B．8．【解答】由题意可知三棱锥的底面是等腰直角三角形，腰长为：，斜边为：2，3条侧棱相等为：．如图：△BOC≌△BOA≌△BOD，可得BO是三棱锥的高为2．四面体ABCD的体积为：==．故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．【解答】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∀x∈R，x2﹣1＞0”的否定是：∃x∈R，x2﹣1≤0．故答案为：∃x∈R，x2﹣1≤0．10．【解答】当a=0时，l1：2x﹣1=0，l2：y=0．则l1⊥l2，不满足条件，当a≠0时，直线l1：2x﹣ay﹣1=0，即为y=﹣，l2：ax﹣y=0即为y=ax，∵l1∥l2，∴=a，解得a=±，故答案为：．11．【解答】∵双曲线的一个焦点是（2，0），∴1+b2=4，∵b＞0，∴b=，又a=1，∴双曲线渐近线的方程为故答案为：．12．【解答】连结DC1，A1C1，设A1C1∩B1D1=O，连结BO，∵B1D1∥BD，∴∠DBC1是线BC1和B1D1所成角，∵BD=BC1=DC1，∴∠DBC1=60°，∴直线BC1和B1D1所成角的大小为60°；正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵B1D1⊥A1C1，BB1⊥A1C1，B1D1∩BB1=B1，∴C1O⊥平面B1D1DB，∴∠OBC1是直线BC1和平面B1D1DB所成角，∵，∴=，∴∠OBC1=30°．∴直线BC1和平面B1D1DB所成角为30°．故答案为：60°，30°．13．【解答】由题意可知=（x，y﹣3，z﹣1）；平面α的一个法向量是=（1，﹣1，2），所以•=0，即：（x，y﹣3，z﹣1）•（1，﹣1，2）=0；∴x﹣y+3+2z﹣2=0，即x﹣y+2z+1=0，所求点P的坐标满足的方程是x﹣y+2z+1=0．故答案为：x﹣y+2z+1=0．14．【解答】设P（x，y）是曲线C上的任意一点，因为曲线C是平面内到定点F（0，1）和定直线l：y=﹣1的距离之和等于4的点的轨迹，所以|PF|+|y+1|=4．即，解得y≥﹣1时，y=2﹣x2，当y＜﹣1时，y=x2﹣2；显然①曲线C关于y轴对称；正确．②若点P（x，y）在曲线C上，则|y|≤2；正确．③若点P在曲线C上，|PF|+|y+1|=4，|y|≤2，则1≤|PF|≤4．正确．故答案为：①②③．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：设AC交BD于点O，连结OQ．（1分）因为底面ABCD为菱形，所以O为AC中点．因为Q是PA的中点，所以OQ∥PC．（4分）因为OQ⊂平面BDQ，PC⊄平面BDQ，所以PC∥平面BDQ．（5分）（Ⅱ）证明：连结OP．（6分）因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC，O为BD中点．（8分）因为PB=PD，所以BD⊥PO．（10分）又因为：AO∩AC=0，所以BD⊥平面PAC．（11分）因为BD⊂平面BDQ，所以平面PAC⊥平面BDQ．（13分）．16．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为，（2分）所以，解得p=1，（4分）所以抛物线的方程为y2=2x．（5分）（Ⅱ）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2）．将y=k（x﹣2）代入y2=2x，消去y整理得k2x2﹣2（2k2+1）x+4k2=0．（7分）所以x1x2=4．（8分）由，，两式相乘，得，（9分）注意到y1，y2异号，所以y1y2=﹣4．（10分）所以直线OM与直线ON的斜率之积为，（12分）即OM⊥ON．（13分）17．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为ABC﹣A1B1C1直三棱柱，所以AA1⊥AB，AA1⊥AC．又AB⊥AC，所以AB，AC，AA1两两互相垂直．（1分）如图，以A为原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz．（2分）则B（2，0，0），，，，．由，得．（3分）所以，．因为，（4分）所以BD⊥A1C．（5分）（Ⅱ）解：，．设平面A1DB的一个法向量为=（x1，y1，z1），则（7分）所以取z1=1，得．（9分）又平面A1DB1的一个法向量为=（0，0，1），（10分）所以，（12分）因为二面角B﹣A1D﹣B1的平面角是锐角，所以二面角B﹣A1D﹣B1的大小是60°．（13分）18．【解答】（Ⅰ）解：因为点B在圆O上，横坐标为．不妨设，由对称性知，（2分）所以．（5分）（Ⅱ）解：设B（x0，y0），由对称性知C（x0，﹣y0），且．（6分）设P（x1，y1）（y1≠±y0），则．（7分），．（9分）在上述方程中分别令y=0，解得，．（11分）所以．所以|OM|•|ON|=4．（13分）19．【解答】（Ⅰ）证明：由俯视图可得，BD2+BC2=CD2，∴BC⊥BD．又∵PD⊥平面ABCD，∴BC⊥PD，∵BD∩PD=D，∴BC⊥平面PBD．（Ⅱ）证明：取PC上一点Q，使PQ：PC=1：4，连接MQ，BQ．由左视图知PM：PD=1：4，∴MQ∥CD，．在△BCD中，易得∠CDB=60°，∴∠ADB=30°．又BD=2，∴AB=1，．又∵AB∥CD，，∴AB∥MQ，AB=MQ．∴四边形ABQM为平行四边形，∴AM∥BQ．∵AM⊄平面PBC，BQ⊂平面PBC，∴直线AM∥平面PBC．（Ⅲ）解：线段CD上存在点N，使AM与BN所成角的余弦值为．证明如下：∵PD⊥平面ABCD，DA⊥DC，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz．∴．设，其中N（0，t，0）．∴，．要使AM与BN所成角的余弦值为，则有，∴，解得t=0或2，均适合N（0，t，0）．故点N位于D点处，此时CN=4；或CD中点处，此时CN=2，有AM与BN所成角的余弦值为．20．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由，消去y可得：4x2=12，解得，（2分）所以A，C两点的坐标为和，（4分）所以．（5分）（Ⅱ）解：①当直线AD的斜率不存在时，此时易得，，，，所以平行四边形ABCD的面积为|AB|•|AD|=6．（6分）②当直线AD的斜率存在时，设直线AD的方程为y=k（x﹣1），将其代入椭圆方程，整理得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0．（8分）设点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．则，．（10分）连结AF1，DF1，则平行四边形ABCD的面积．（11分）又=．（13分）又（3+4k2）2﹣16k2（k2+1）=9+8k2，所以．综上，平行四边形ABCD面积的最大值是6．（14分）。
2017西城区高二(上)期末数学(理科)
2017西城区高二（上）期末数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（5分）双曲线的一个焦点坐标为（）A．B．C．（2，0） D．（0，2）2．（5分）已知椭圆的短轴长是焦距的2倍，则椭圆的离心率为（）A．B． C．D．3．（5分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若α∥β，l∥α，则l⊂βB．若α∥β，l⊥α，则l⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊂βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β4．（5分）设m∈R，命题“若m≥0，则方程x2=m有实根”的逆否命题是（）A．若方程x2=m有实根，则m≥0 B．若方程x2=m有实根，则m＜0C．若方程x2=m没有实根，则m≥0 D．若方程x2=m没有实根，则m＜05．（5分）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知双曲线的焦点在x轴上，焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，则双曲线的标准方程为（）A．﹣y2=1 B．x2﹣=1C．﹣=1 D．﹣=17．（5分）已知两点A（3，0），B（0，4），动点P（x，y）在线段AB上运动，则xy的最大值为（）A．B．C．3 D．48．（5分）用一个平面截正方体和正四面体，给出下列结论：①正方体的截面不可能是直角三角形；②正四面体的截面不可能是直角三角形；③正方体的截面可能是直角梯形；④若正四面体的截面是梯形，则一定是等腰梯形．其中，所有正确结论的序号是（）A．②③B．①②④C．①③D．①④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．（5分）命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是．10．（5分）已知点M（0，﹣1），N（2，3）．如果直线MN垂直于直线ax+2y﹣3=0，那么a等于．11．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AD，BD1所成角的余弦值为．12．（5分）一个正三棱柱的正视图、俯视图如图所示，则该三棱柱的侧视图的面积为．13．（5分）设O为坐标原点，抛物线y2=4x的焦点为F，P为抛物线上一点．若|PF|=3，则△OPF的面积为．14．（5分）学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点确定为原点，对称轴确定为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，但是他无法确定碗底中心到原点的距离，请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的计算，帮助他求出抛物线的方程．你需要测量的数据是（所有测量数据用小写英文字母表示），算出的抛物线标准方程为．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，E是PA的中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BDE；（Ⅱ）证明：BD⊥CE．16．（13分）如图，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PA=2BC=2，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：AM⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．17．（13分）已知直线l过坐标原点O，圆C的方程为x2+y2﹣6y+4=0．（Ⅰ）当直线l的斜率为时，求l与圆C相交所得的弦长；（Ⅱ）设直线l与圆C交于两点A，B，且A为OB的中点，求直线l的方程．18．（13分）已知F1为椭圆+=1的左焦点，过F1的直线l与椭圆交于两点P，Q．（Ⅰ）若直线l的倾斜角为45°，求|PQ|；（Ⅱ）设直线l的斜率为k（k≠0），点P关于原点的对称点为P′，点Q关于x轴的对称点为Q′，P′Q′所在直线的斜率为k′．若|k′|=2，求k的值．19．（14分）如图，四棱锥E﹣ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，且AB=4，BC=CD=EA=ED=2．（Ⅰ）求证：BD⊥平面ADE；（Ⅱ）求BE和平面CDE所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段CE上是否存在一点F使得平面BDF⊥平面CDE，请说明理由．20．（14分）如图，过原点O引两条直线l1，l2与抛物线W1：y2=2px和W2：y2=4px（其中P为常数，p＞0）分别交于四个点A1，B1，A2，B2．（Ⅰ）求抛物线W1，W2准线间的距离；（Ⅱ）证明：A1B1∥A2B2；（Ⅲ）若l1⊥l2，求梯形A1A2B2B1面积的最小值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．【解答】由双曲线得a2=3，b2=1，则c2=a2+b2=4，则c=2，故双曲线的一个焦点坐标为（2，0），故选：C2．【解答】由题意可知：设椭圆的方程为：（a＞b＞0），由2b=2×2c，即b=2c，a2=b2+c2=4c2+c2=5c2，则a=c，∴椭圆的离心率e==，椭圆的离心率，故选D．3．【解答】由α，β是两个不同的平面，l是一条直线，知：在A中，若α∥β，l∥α，则l⊂β或l∥β，故A错误；在B中，若α∥β，l⊥α，则由线面垂直的判定定理得l⊥β，故B正确；在C中，若α⊥β，l⊥α，则l与β相交、平行或l⊂β，故C错误；在D中，若α⊥β，l∥α，则l与β相交、平行或l⊂β，故D错误．故选：B．4．【解答】命题“若m≥0，则方程x2=m有实根”的逆否命题是命题“若方程x2=m没有实根，则m＜0”，故选：D5．【解答】由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线，且m⊥β，则α⊥β，反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥β，所以不一定能得到m⊥β，所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．故选B．6．【解答】由题意可知：设双曲线的标准方程为（a＞0，b＞0），由2c=2，则c=，双曲线的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，即=，由c2=a2+b2，解得：a=2，b=1，∴双曲线的标准方程为：，故选A．7．【解答】由题意可得直线AB的方程为，∴线段AB的方程为，（x≥0，y≥0）∴1=≥2，∴xy≤3，当且仅当即x=且y=2时取等号，xy有最大值3，故选：C．8．【解答】①正方体的截面是三角形时，为锐角三角形，正确；②正四面体的截面不可能是直角三角形，不正确；③正方体的截面与一组平行的对面相交，截面是等腰梯形，不正确；④若正四面体的截面是梯形，则一定是等腰梯形，正确．故选D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．【解答】因为命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题，可得命题的否定为：对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．故答案为：对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．10．【解答】∵点M（0，﹣1），N（2，3），∴k MN==2，∵直线MN垂直于直线ax+2y﹣3=0，∴2×=﹣1，解得a=1．故答案为1．11．【解答】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，则A（1，0，0），D（0，0，0），B（1，1，0），D1（0，0，1），=（﹣1，0，0），=（﹣1，﹣1，1），设异面直线AD，BD1所成角为θ，则cosθ==．∴异面直线AD，BD1所成角的余弦值为．故答案为：．12．【解答】由正三棱柱的正视图、俯视图得到该三棱柱的侧视图是边长为4的等边三角形，∴由三视图可知，该正三棱柱的底边三角形的高为：=2，底面边长为：4，∴侧视图三角形的高为：4，该三棱柱的侧视图的面积为S=2×4=8．故答案为：8．13．【解答】由抛物线方程得：抛物线的准线方程为：x=﹣1，焦点F（1，0），又P为C上一点，|PF|=3，∴x P=2，代入抛物线方程得：|y P|=2，=×|OF|×2=．∴S△POF故答案为：．14．【解答】碗底的直径2m，碗口的直径2n，碗的高度h；设方程为y2=2px（p＞0），则将点（a，m），（a+h，n）代入抛物线方程可得m2=2pa，n2=2p（a+h），可得2p=，∴抛物线方程为y2=x．故答案为碗底的直径2m，碗口的直径2n，碗的高度h；y2=x．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）连结AC交BD于O，连结OE，因为四边形ABCD是正方形，所以O为AC中点．又因为E是PA的中点，所以PC∥OE，…（3分）因为PC⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，所以PC∥平面BDE．…（6分）（Ⅱ）因为四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC．…（8分）因为PA⊥底面ABCD，且BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD．…（10分）又因为AC∩PA=A，所以BD⊥平面PAC，…（12分）又CE⊂平面PAC，所以BD⊥CE．…（13分）16．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC．因为BC⊥AB，PA∩AB=A，所以BC⊥平面PAB．…（2分）所以AM⊥BC．…（3分）因为PA=AB，M为PB的中点，所以AM⊥PB．…（4分）所以AM⊥平面PBC．…（5分）解：（Ⅱ）如图，在平面ABC内，作Az∥BC，则AP，AB，Az两两互相垂直，建立空间直角坐标系A﹣xyz．则A（0，0，0），P（2，0，0），B（0，2，0），C（0，2，1），M（1，1，0）．=（2，0，0），=（0，2，1），=（1，1，0）．…（8分）设平面APC的法向量为=（x，y，z），则，令y=1，得=（0，1，﹣2）．…（10分）由（Ⅰ）可知=（1，1，0）为平面BPC的法向量，设二面角A﹣PC﹣B的平面角为α，则cosα===．…（12分）所以二面角A﹣PC﹣B的余弦值为．…（13分）17．【解答】（Ⅰ）由已知，直线l的方程为y=x，圆C圆心为（0，3），半径为，…（3分）所以，圆心到直线l的距离为=．…（5分）所以，所求弦长为2=2．…（6分）（Ⅱ）设A（x1，y1），因为A为OB的中点，则B（2x1，2y1）．…（8分）又A，B在圆C上，所以x12+y12﹣6y1+4=0，4x12+4y12﹣12y1+4=0．…（10分）解得y1=1，x1=±1，…（11分）即A（1，1）或A（﹣1，1）．…（12分）所以，直线l的方程为y=x或y=﹣x．…（13分）18．【解答】（Ⅰ）椭圆+=1，a=2，b=，c=1，椭圆的左焦点F1（﹣1，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），又直线l的倾斜角为45°，∴直线l的方程为y=x+1，…（1分）由，整理得：7x2+8x﹣8=0，…（3分）则x1+x2=﹣，x1•x2=﹣．…（4分）丨PQ丨=•=•=，∴|PQ|=；…（5分）（Ⅱ）由，整理得：（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，…（6分）则x1+x2=﹣，x1•x2=，…（8分）依题意P′（﹣x1，﹣y1），Q′（x2，﹣y2），且y1=k（x1+1），y2=k（x2+1），∴丨k′丨=丨丨=丨丨，…（10分）其中丨x1﹣x2丨==，…（11分）∴丨k′丨=丨丨=2．…（12分）解得：7k2=9，k=±，k的值±．．…（13分）19．【解答】（I）证明：由BC⊥CD，BC=CD=2，可得．由EA⊥ED，且EA=ED=2，可得．又AB=4，所以BD⊥AD．又平面EAD⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面ADE．…（5分）（II）解：建立空间直角坐标系D﹣xyz，则D（0，0，0），，，，，，．设=（x，y，z）是平面CDE的一个法向量，则令x=1，则=（1，1，﹣1）．设直线BE与平面CDE所成的角为α，则sinα=所以BE和平面CDE所成的角的正弦值．…（10分）（III）解：设，λ∈[0，1]．，，．则．设=（x'，y'，z'）是平面BDF一个法向量，则令x'=1，则=（1，0，﹣）．若平面BDF⊥平面CDE，则•=0，即，．所以，在线段CE上存在一点F使得平面BDF⊥平面CDE．…（14分）20．【解答】（Ⅰ）由已知，抛物线W1，W2的准线分别为x=﹣和x=﹣p，所以，抛物线W1，W2准线间的距离为（Ⅱ）设l1：y=k1x，代入抛物线方程，得A1，A2的横坐标分别是和．∴==，同理=，所以△OA1B1∽△OA2B2，所以A1B1∥A2B2．（Ⅲ）设A（x1，y1）B（x2，y2），直线A1B1方程为x=ty+m1，代入曲线y2=2px，得y2﹣2pty﹣2pm1=0，所以y1+y2=2pt，y1y2=﹣2pm1．由l1⊥l2，得x1x2+y1y2=0，又y12=2px1，y22=2px2，所以+y1y2=0，由y1y2=﹣2pm1，得m1=2p．所以直线A1B1方程为x=ty+2p，同理可求出直线A2B2方程为x=ty+4p，所以|A1B1|=|y1﹣y2|=2p•，|A2B2|=4p•，平行线A1B1与A2B2之间的距离为d=，所以梯形A1A2B2B1的面积≥12p2当t=0时，梯形A1A2B2B1的面积达最小，最小值为12p2．。
北京市西城区2016-2017学年高二上学期期末考试数学理科试卷
写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分 13 分）
如图，四棱锥 P ABCD 的底面是正方形，侧棱
PA 底面 ABCD ， E 是 PA 的中点.
(Ⅰ)求证： PC // 平面 BDE ；
P
(Ⅱ)证明： BD CE .
E
A
D
B
C
16．（本小题满分 13 分）
如 图 , PA 平 面 , , , ABC AB BC AB PA 2BC 2 M 为
， x1 1
……………11 分
即
A(1,1)
或
A(1,1) .
……………12 分
所 以 ， 直 线 l 的 方 程 为 yx或
. y x
……………13
分
18.（本小题满分 13 分）
解：（Ⅰ）设 P(x1, y1), Q(x2, y2) ，由已知，椭圆的左焦 点为 (1,0) ，
又直线 l 的倾斜角为 45 ，所以直线 l 的方程为
16.（本小题满分 13 分）
解 : (Ⅰ) 因 为 PA 平 面 ABC ， BC 平 面 ABC ， 所 以
PA BC .
因为 BC AB ， PA AB A ，
所
以
BC 平
面
. PAB
……………2 分
所
以
AM BC .
……………3 分
因 为 PA AB ， M 为 PB 的
中点，
2
( 8)2 4 8 24
7
77
…
…………5 分
（
Ⅱ
）
由
得 y k(x 1),
3x2 4 y2 12
， (3 4k 2 )x2 8k 2x 4k 2 12 0
北京市西城区2016— 2017学年度第二学期期末考试高二
北京市西城区2016 — 2017学年度第二学期期末试卷高二数学（理科）参考答案及评分标准2017.7一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. A ；2.D ；3. C ；4. B ；5. C ；6. D ；7. C ；8. B . 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 41-； 10. 24； 11. ,4211； 12. 42； 13. 1(,)5-∞-； 14. 0；1e-. 注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分）解： (Ⅰ) 根据已知，24a =；99a =；416a =；525a =. …………… 4分 (Ⅱ)猜想2n a n =. …………… 6分证明：① 当1=n 时，由已知11=a ；由猜想，2111a ==，猜想成立. …………… 8分 ②假设当k n =（k ∈*N ）时猜想成立，即2k a k =， ……………10分 则1+=k n 时， 221)1(1212+=+⨯+=++=+k k kk a k k a k k . 所以，当1n k =+时，猜想也成立. ……………12分 由①和②可知，2n a n =对任意的*n ∈N 都成立. ……………13分 16.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)设“甲投球一次命中”为事件A ，则11(),()22P A P A ==. …………… 2分 故甲投球2次至少命中1 次的概率为31()1()()4P A A P A P A -⋅=-=. …………5分(Ⅱ) 设“乙投球一次命中”为事件B .由题意得1()(1)(1)16P B B p p ⋅=--=， ……………7分解得43=p 或45(舍去)，所以31(),()44P B P B ==. ……………8分甲、乙两人各投球2次共命中3次有两种情况：甲中两次，乙中一次；甲中一次，乙中两次. ……………9分甲中两次，乙中一次的概率为1211313()()()()2224432P A P A C P B P B =⨯⨯⨯⨯=.…11分 甲中一次，乙中两次的概率为1211339()()()()2224432C P A P A P B P B =⨯⨯⨯⨯=.…12分事件“甲中两次，乙中一次”与“甲中一次，乙中两次”是互斥的，所以，所求事件概率为93332328+=. 所以甲、乙两人各投2次，共命中3次的概率为38. ……………13分 17.（本小题满分13分）解：(Ⅰ) 当1-=a 时，32()3f x x x =-，2()36f x x x '=-. ……………2分令2()360f x x x '=-=，得0x =或2x =.(f '……………4分所以，函数)(x f 的极大值点为0x =，极大值为0；极小值点为2x =，极小值为4-.……………6分(Ⅱ) 2()363(2)f x x ax x x a '=+=+. ……………7分①当0a =时，()0f x '≥（仅当0x =时，()0f x '=），函数)(x f 是增函数，)(x f 在[0,2]上的最大值为(2)8128f a =+=. ……………8分②当0a >时，在区间(0,)+∞上()0f x '>，函数)(x f 是增函数.)(x f 在[0,2]上的最大值为(2)812f a =+. ……………10分③当0a <时，()f x '与()f x 在区间(0,)+∞上的情况如下：……………11分此时，(0)0f =，(2)812f a =+.当8120a +>，即203a -<<时，)(x f 在[0,2]上的最大值为(2)812f a =+. 12分 当8120a +≤，即23a ≤-时，)(x f 在[0,2]上的最大值为(0)0f =. ………13分综上，当23a ≤-时，)(x f 在[0,2]上的最大值为0；当23a >-时，)(x f 在[0,2]上的最大值为812a +.18.（本小题满分13分）解：(Ⅰ) 依题意有n 52个黑球. 记“摸出的2球都是黑球”为事件A ， 则225222(1)41055()(1)2525n n C n n n P A C n n n --===--. ……………4分()P A 最小时5=n . ……………5分(Ⅱ) 依题意有21565⨯=个黑球. ……………6分 设袋中白球的个数为x (个)，记“从袋中任意摸出两个球至少得到一个白球”为事件B ，则2152154()17xC P B C -=-=，整理得2291200x x -+=，解得5x =或24x =（舍）. ……………8分 所以袋中红球的个数为4(个).随机变量X 的取值为0,1,2. ……………9分21121511(0)21C P X C ===；1141121544(1)105C C P X C ===；242152(2)35C P X C ===. X…………12分数学期望114428012211053515EX =⨯+⨯+⨯=. ……………13分 19.（本小题满分14分）解：(Ⅰ) 当1==b a 时，2()f x x x =+.设2()ln h x x x x =+-，0x >. ……………1分则2121(21)(1)()21x x x x h x x x x x +--+'=+-==， ……………2分所以，在区间1(0,)2上()0h x '<，()h x 是减函数；在区间1(,)2+∞上()0h x '>，()h x 是增函数. ……………4分所以，()h x 的最小值为1()2h =31ln 42-，又31ln 042->，所以()0h x >恒成立. 即()f x 的图象在()g x 图象的上方. ……………5分 (Ⅱ) 设00(,)P x y ，其中00x >.由已知()2f x ax b '=+，1()g x x'=. 因为在点P 处的切线相同， 所以2000000012,,ln ax b y ax bx y x x +==+=. ……………7分 消去0,b y 得200ln 10ax x +-=.根据题意，方程200ln 10ax x +-=有解. ……………8分设2()ln 1F x ax x =+-，则()F x 在(0,)+∞上有零点.2121()2ax F x ax x x+'=+=， 当0a ≥时，()0F x '>，函数()F x 在(0,)+∞上单调递增. 当1a ≥时，(1)10F a =-≥，110F=+-=≤，()F x 有零点. 当01a ≤<时，(1)10F a =-≤，22(e )e 10F a =+>，()F x 有零点. …11分当0a <时，令()0F x '=，解得x =()F x '与()F x 在区间(0,)+∞上的情况如下：令302≥，得 312e a ≥-.此时(1)10F a =-<.所以()F x 有零点. ……………13分 综上，所求a 的取值范围为31[,)2e -+∞. ……………14分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知()e (1)e e xxxf x x x '=+-=. ……………2分所以，在区间(,0)-∞上()0f x '<，函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上()0f x '>，函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增. ……………4分（Ⅱ）设()()(1)e xg x f x a x a =-=--，0a >. ……………5分()e x g x x '=，由（Ⅰ）知，函数()g x 在区间(0,)+∞上单调递增.且(1)0g a =-<，11(1)e(e 1)0a a g a a a a +++=-=->.所以，()g x 在区间(1,)+∞上只有一个零点，方程()f x a =在区间(1,)+∞上只有一个解. ……………8分 （Ⅲ）设()()ln(1)h x f x a x ax =---，0>a ，()h x 定义域为}1|{>x x ，()e (e )[(1)e ]111x x x a a x h x x a x x a x x x '=--=-=-----， ……………9分 令()0h x '=，则(1)e 0xx a --=，由（Ⅱ）知，()(1)e xg x x a =--在区间(1,)+∞上只有一个零点，是增函数，不妨设()g x 的零点为0x ，则00(1)e 0x x a --=， ……………11分 所以，()h x '与()h x 在区间(0,)+∞上的情况如下：所以，函数()h x 的最小值为0()h x ，00000()(1)e ln(1)x h x x a x ax =----，由00(1)e 0x x a --=，得001e x ax -=，所以00000()e ln ln e e x x x a ah x a ax a a a =⋅--=-. ……………13分依题意0()0h x ≥，即ln 0a a a -≥，解得0e a <≤，所以，a 的取值范围为(0,e]. ……………14分。
2016-2017学年北京市西城区高三(上)期末数学试卷与解析word(理科)
2016-2017学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x2﹣1≤0}，那么A∪B=（）A．{x|0＜x≤1}B．{x|﹣1≤x＜2}C．{x|﹣1≤x＜0}D．{x|1≤x＜2} 2．（5分）下列函数中，定义域为R的奇函数是（）A．y=x2+1 B．y=tanx C．y=2x D．y=x+sinx3．（5分）已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的一个焦点是（2，0），则其渐近线的方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±3y=0 D．3x±y=04．（5分）在极坐标系中，已知点P（2，），则过点P且平行于极轴的直线的方程是（）A．ρsinθ=1B．ρsinθ=C．ρcosθ=1 D．ρcosθ=5．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的四个侧面的面积中最大的是（）A．3 B．C．6 D．6．（5分）设，是非零向量，且≠±．则“||=||”是“（）⊥（）”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）实数x，y满足若z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a ﹣3，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0]B．[0，1]C．[﹣1，1]D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）8．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中．正四面体P﹣ABC的顶点A，B分别在x轴，y轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则|OP|的取值范围是（）A．[﹣1，+1] B．[1，3]C．[﹣1，2] D．[1，+1]二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）复数等于．10．（5分）设等比数列{a n}的各项均为正数，其前S n项和为a1=1，a3=4，则a n=；S6=．11．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为．12．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c=3，C=，sinB=2sinA，则a=．13．（5分）设函数f（x）=，其中a＞0①若a=3，则f[f（9）]=；②若函数y=f（x）﹣2有两个零点，则a的取值范围是．14．（5分）10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，10名选手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的．则第二名选手的得分是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数f（x）=sin（2ωx﹣）+2cos2ωx﹣1（ω＞0）的最小正周期为π（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=PD，AB⊥PA，AD=2，AB=BC=1（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面ABCD（Ⅱ）若E为PD的中点，求证：CE∥平面PAB（Ⅲ）若DC与平面PAB所成的角为30°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．17．（13分）手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A，B两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A，B两个型号的手机各7台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：其中，a，b是正整数，且a＜b（Ⅰ）该卖场有56台A型手机，试估计其中待机时间不少于123小时的台数；（Ⅱ）从A型号被测试的7台手机中随机抽取4台，记待机时间大于123小时的台数为X，求X 的分布列；（Ⅲ）设A，B两个型号被测试手机待机时间的平均值相等，当B型号被测试手机待机时间的方差最小时，写出a，b的值（结论不要求证明）．18．（13分）已知函数f（x）=lnx﹣a•sin（x﹣1），其中a∈R．（Ⅰ）如果曲线y=f（x）在x=1处的切线的斜率是﹣1，求a的值；（Ⅱ）如果f（x）在区间（0，1）上为增函数，求a的取值范围．19．（14分）已知直线l：x=t与椭圆C：=1相交于A，B两点，M是椭圆C上一点（Ⅰ）当t=1时，求△MAB面积的最大值；（Ⅱ）设直线MA和MB与x轴分别相交于点E，F，O为原点．证明：|OE|•|OF|为定值．20．（13分）数字1，2，3，…，n（n≥2）的任意一个排列记作（a1，a2，…，a n），设S n为所有这样的排列构成的集合．集合A n={（a1，a2，…，a n）∈S n|任意整数i，j，1≤i＜j≤n，都有a i+i≤a j﹣j}；集合B n={（a1，a2，…，a n}∈S n|任意整数i，j，1≤i＜n，都有a i+i≤a j+j}．（Ⅰ）用列举法表示集合A3，B3（Ⅱ）求集合A n∩B n的元素个数；（Ⅲ）记集合B n的元素个数为b n．证明：数列{b n}是等比数列．2016-2017学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x2﹣1≤0}，那么A∪B=（）A．{x|0＜x≤1}B．{x|﹣1≤x＜2}C．{x|﹣1≤x＜0}D．{x|1≤x＜2}【解答】解：∵集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x2﹣1≤0}={x|﹣1≤x≤1}，∴A∪B={﹣1≤x＜2}．故选：B．2．（5分）下列函数中，定义域为R的奇函数是（）A．y=x2+1 B．y=tanx C．y=2x D．y=x+sinx【解答】解：A．y=x2+1是偶函数，不满足条件．B．y=tanx是奇函数，但函数的定义域不是R，不满足条件．C．y=2x为增函数，为非奇非偶函数，不满足条件．D．y=x+sinx是奇函数，满足条件．故选：D3．（5分）已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的一个焦点是（2，0），则其渐近线的方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±3y=0 D．3x±y=0【解答】解：由题意可得c=2，即1+b2=4，解得b=，可得渐近线方程为y=±x．故选B．4．（5分）在极坐标系中，已知点P（2，），则过点P且平行于极轴的直线的方程是（）A．ρsinθ=1B．ρsinθ=C．ρcosθ=1 D．ρcosθ=【解答】解：∵点P（2，）的直角坐标为（，1），此点到x轴的距离为1，故经过此点到x轴的距离为1的直线的方程是y=1，故过点P且平行于极轴的直线的方程是ρsinθ=1，故选A．5．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的四个侧面的面积中最大的是（）A．3 B．C．6 D．【解答】解：由三视图得几何体是四棱锥P﹣ABCD，如图所示：且PE⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，AB=4、AD=2，面PDC是等腰三角形，PD=PC=3，则△PDC的高为=，所以△PDC的面积为：×4×=2，因为PE⊥平面ABCD，所以PE⊥BC，又CB⊥CD，PE∩CD=E，所以BC⊥面PDC，即BC⊥PC，同理可证AD⊥PD，则两个侧面△PAD、△PBC的面积都为：×2×3=3，侧面△PAB的面积为：×4×=6，所以四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中面积最大是：6，故选C．6．（5分）设，是非零向量，且≠±．则“||=||”是“（）⊥（）”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若“（）⊥（）”，则“（）•（）=0，即“||2=||2”，即||=||，反之当||=||，则（）•（）=||2﹣||2=0，即（）⊥（），故“||=||”是“（）⊥（）”的充要条件，故选：C7．（5分）实数x，y满足若z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a ﹣3，则a的取值范围是（）A．[﹣1，0]B．[0，1]C．[﹣1，1]D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=ax+y得y=﹣ax+z，∵z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a﹣3，∴当直线y=﹣ax+z经过点B（3，9）时直线截距最大，当经过点A（3，﹣3）时，直线截距最小．则直线y=﹣ax+z的斜率﹣a满足，﹣1≤﹣a≤1，即﹣1≤a≤1，故选：C8．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中．正四面体P﹣ABC的顶点A，B分别在x轴，y轴上移动．若该正四面体的棱长是2，则|OP|的取值范围是（）A．[﹣1，+1] B．[1，3]C．[﹣1，2] D．[1，+1]【解答】解：如图所示，若固定正四面体P﹣ABC的位置，则原点O在以AB为直径的球面上运动，设AB的中点为M，则PM==；所以原点O到点P的最近距离等于PM减去球M的半径，最大距离是PM加上球M的半径；所以﹣1≤|OP|≤+1，即|OP|的取值范围是[﹣1，+1]．故选：A．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）复数等于i．【解答】解：复数===i．故答案为：i．10．（5分）设等比数列{a n}的各项均为正数，其前S n项和为a1=1，a3=4，则a n= 2n﹣1；S6=63．【解答】解：设正数等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a1=1，a3=4，∴q2=4，q＞0，解得q=2．则a n=2n﹣1．S6==63．故答案为：2n﹣1；63．11．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为10．【解答】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S=﹣12+22﹣32+42的值∵S=﹣12+22﹣32+42=10故答案为：1012．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c=3，C=，sinB=2sinA，则a=．【解答】解：△ABC中，∵c=3，C=，sinB=2sinA，∴由正弦定理可得b=2a．再由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2ab•cosC，即9=a2+4a2﹣2a•2a•cos，求得a=，故答案为：．13．（5分）设函数f（x）=，其中a＞0①若a=3，则f[f（9）]=；②若函数y=f（x）﹣2有两个零点，则a的取值范围是[4，9）．【解答】解：①当a=3时，f（9）=log39=2，∴f（2）=，∴f[f（9）]=，②分别画出y=f（x）与y=﹣2的图象，如图所示，函数y=f（x）﹣2有两个零点，结合图象可得4≤a＜9，故a的取值范围是[4，9）故答案为：，[4，9）14．（5分）10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，10名选手的得分各不相同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的．则第二名选手的得分是16．【解答】解：每个队需要进行9场比赛，则全胜的队得：9×2=18（分），而最后五队之间赛10场，至少共得：10×2=20（分），所以第二名的队得分至少为20×=16（分）．故答案是：16三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数f（x）=sin（2ωx﹣）+2cos2ωx﹣1（ω＞0）的最小正周期为π（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=sin（2ωx﹣）+2cos2ωx﹣1=sin2ωxcos﹣cos2ωxsin+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx=sin（2ωx+），所以f（x）的最小正周期T=，解得ω=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=sin（2x+），因为0≤x≤，所以≤2x+≤，所以，当2x+=，即x=时，f（x）取得最大值为1；当2x+=，即x=时，f（x）取得最小值为﹣．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=PD，AB⊥PA，AD=2，AB=BC=1（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面ABCD（Ⅱ）若E为PD的中点，求证：CE∥平面PAB（Ⅲ）若DC与平面PAB所成的角为30°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．【解答】（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）因为∠BAD=90°，所以AB⊥AD，（1分）又因为AB⊥PA，所以AB⊥平面PAD．（3分）所以平面PAD⊥平面ABCD．（4分）解：（Ⅱ）取PA的中点F，连接BF，EF．（5分）因为E为PD的中点，所以EF∥AD，，又因为BC∥AD，，所以BC∥EF，BC=EF．所以四边形BCEG是平行四边形，EC∥BF．（7分）又BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，所以CE∥平面PAB．（8分）（Ⅲ）过P作PO⊥AD于O，连接OC．因为PA=PD，所以O为AD中点，又因为平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD．如图建立空间直角坐标系O﹣xyz．（9分）设PO=a．由题意得，A（0，1，0），B（1，1，0），C（1，0，0），D（0，﹣1，0），P（0，0，a）．所以=（1，0，0），=（0，1，﹣a），=（1，1，0）．设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则，令z=1，则y=a．所以=（0，a，1）．（11分）因为DC与平面PAB所成角为30°，所以|cos＜＞|===sin30°=，解得a=1．（13分）（14分）所以四棱锥P﹣ABCD的体积．17．（13分）手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A，B两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A，B两个型号的手机各7台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：其中，a，b是正整数，且a＜b（Ⅰ）该卖场有56台A型手机，试估计其中待机时间不少于123小时的台数；（Ⅱ）从A型号被测试的7台手机中随机抽取4台，记待机时间大于123小时的台数为X，求X 的分布列；（Ⅲ）设A，B两个型号被测试手机待机时间的平均值相等，当B型号被测试手机待机时间的方差最小时，写出a，b的值（结论不要求证明）．【解答】解：（Ⅰ）被检测的7台手机中有5台的待机时间不少于123小时，因此，估计56台A型手机中有台手机的待机时间不少于123小时．（Ⅱ）X可能的取值为0，1，2，3，；；；．所以，X 的分布列为：（Ⅲ）若A，B两个型号被测试手机的待机时间的平均值相等，当B型号被测试手机的待机时间的方差最小时，a=124，b=125．18．（13分）已知函数f（x）=lnx﹣a•sin（x﹣1），其中a∈R．（Ⅰ）如果曲线y=f（x）在x=1处的切线的斜率是﹣1，求a的值；（Ⅱ）如果f（x）在区间（0，1）上为增函数，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），[（1分）]导函数为．[（2分）]因为曲线y=f（x）在x=1处的切线的斜率是﹣1，所以f'（1）=﹣1，即1﹣a=﹣1，[（3分）]所以a=2．[（4分）]（Ⅱ）因为f（x）在区间（0，1）上为增函数，所以对任意x∈（0，1），都有．[（6分）]因为x∈（0，1）时，cos（x﹣1）＞0，所以．[（8分）]令g（x）=x•cos（x﹣1），所以g'（x）=cos（x﹣1）﹣x•sin（x﹣1）．[（10分）]因为x∈（0，1）时，sin（x﹣1）＜0，所以x∈（0，1）时，g'（x）＞0，g（x）在区间（0，1）上单调递增，所以g（x）＜g（1）=1．[（12分）]所以a≤1．即a的取值范围是（﹣∞，1]．[（13分）]19．（14分）已知直线l：x=t与椭圆C：=1相交于A，B两点，M是椭圆C上一点（Ⅰ）当t=1时，求△MAB面积的最大值；（Ⅱ）设直线MA和MB与x轴分别相交于点E，F，O为原点．证明：|OE|•|OF|为定值．【解答】解：（Ⅰ）当t=1时，将x=1代入，解得：，∴．[（2分）]当M为椭圆C的顶点（﹣2，0）时，M到直线x=1的距离取得最大值3，[（4分）]∴△MAB面积的最大值是．[（5分）]（Ⅱ）设A，B两点坐标分别为A（t，n），B（t，﹣n），从而t2+2n2=4．[（6分）]设M（x0，y0），则有，x0≠t，y0≠±n．[（7分）]直线MA的方程为，[（8分）]令y=0，得，从而．[（9分）]直线MB的方程为，[（10分）]令y=0，得，从而．[（11分）]所以=，=，[（13分）]==4．∴|OE|•|OF|为定值．[（14分）]20．（13分）数字1，2，3，…，n（n≥2）的任意一个排列记作（a1，a2，…，a n），设S n为所有这样的排列构成的集合．集合A n={（a1，a2，…，a n）∈S n|任意整数i，j，1≤i＜j≤n，都有a i+i≤a j﹣j}；集合B n={（a1，a2，…，a n}∈S n|任意整数i，j，1≤i＜n，都有a i+i≤a j+j}．（Ⅰ）用列举法表示集合A3，B3（Ⅱ）求集合A n∩B n的元素个数；（Ⅲ）记集合B n的元素个数为b n．证明：数列{b n}是等比数列．【解答】解：（Ⅰ）A3={（1，2，3）}，B3={（1，2，3），（1，3，2），（2，1，3），（3，2，1）}．（Ⅱ）考虑集合A n中的元素（a1，a2，a3，…，a n）．由已知，对任意整数i，j，1≤i＜j≤n，都有a i﹣i≤a j﹣j，所以（a i﹣i）+i＜（a j﹣j）+j，所以a i＜a j．由i，j的任意性可知，（a1，a2，a3，…，a n）是1，2，3，…，n的单调递增排列，所以A n={（1，2，3，…，n）}．又因为当a k=k（k∈N*，1≤k≤n）时，对任意整数i，j，1≤i＜j≤n，都有a i+i≤a j+j．所以（1，2，3，…，n）∈B n，所以A n⊆B n．所以集合A n∩B n的元素个数为1．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，b n≠0．因为B2={（1，2），（2，1）}，所以b2=2．当n≥3时，考虑B n中的元素（a1，a2，a3，…，a n）．（1）假设a k=n（1≤k＜n）．由已知，a k+k≤a k+1+（k+1），所以a k+1≥a k+k﹣（k+1）=n﹣1，又因为a k+1≤n﹣1，所以a k+1=n﹣1．依此类推，若a k=n，则a k+1=n﹣1，a k+2=n﹣2，…，a n=k．①若k=1，则满足条件的1，2，3，…，n的排列（a1，a2，a3，…，a n）有1个．②若k=2，则a2=n，a3=n﹣1，a4=n﹣2，…，a n=2．所以a1=1．此时满足条件的1，2，3，…，n的排列（a1，a2，a3，…，a n）有1个．③若2＜k＜n，只要（a1，a2，a3，…a k﹣1）是1，2，3，…，k﹣1的满足条件的一个排列，就可以相应得到1，2，3，…，n的一个满足条件的排列．此时，满足条件的1，2，3，…，n的排列（a1，a2，a3，…，a n）有b k﹣1个．（2）假设a n=n，只需（a1，a2，a3，…a n﹣1）是1，2，3，…，n﹣1的满足条件的排列，此时满足条件的1，2，3，…，n的排列（a1，a2，a3，…，a n）有b n﹣1个．综上b n=1+1+b2+b3+…+b n﹣1，n≥3．因为b3=1+1+b2=4=2b2，且当n≥4时，b n=（1+1+b2+b3+…+b n﹣2）+b n﹣1=2b n﹣1，所以对任意n∈N*，n≥3，都有．所以{b n}成等比数列．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。
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北京市西城区2016— 2017学年度第二学期期末试卷高二数学（理科）2017.7试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9. 曲线1y x=在2x =处切线的斜率为______. 10. 4)12(xx -展开式中的常数项是_______.（用数字作答）11. 离散型随机变量ξ的分布列为:且2=ξE ，则1p =_________；2p = _________.12. 某班举行的联欢会由5个节目组成，节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个，并且节目甲必须和节目乙相邻，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有_____种．13. 若函数32()f x ax ax x =-+在区间(1,0)-上恰有一个极值点，则a 的取值范围是_____．14. 已知，对于任意x ∈R ，e xax b ≥+均成立.①若e a =，则b 的最大值为__________；②在所有符合题意的b a ,中，a b -的最小值为_________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）在数列{}n a 中，11=a ，121++=+n n a nn a ，其中1,2,3,n =.(Ⅰ) 计算2a ，3a ，4a ，5a 的值；(Ⅱ) 根据计算结果，猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.16．（本小题满分13分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为21与p ，且乙投球2次均未命中的概率为161. (Ⅰ)求甲投球2次，至少命中1次的概率；(Ⅱ)若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中3次的概率.17．（本小题满分13分）已知函数32()3f x x ax =+.(Ⅰ) 若1-=a ，求)(x f 的极值点和极值； (Ⅱ) 求)(x f 在[0,2]上的最大值.18．（本小题满分13分）一个袋中装有黑球，白球和红球共n (*n ∈N )个,这些球除颜色外完全相同. 已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是52. 现从袋中任意摸出2个球. (Ⅰ) 用含n 的代数式表示摸出的2球都是黑球的概率，并写出概率最小时n 的值.（直接写出n 的值）(Ⅱ) 若15=n ，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是74，设X 表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望. 19．（本小题满分14分）已知函数2()f x ax bx =+和x x g ln )(=.(Ⅰ) 若1==b a ，求证：()f x 的图象在()g x 图象的上方；(Ⅱ) 若()f x 和()g x 的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同，求a 的取值范围. 20．（本小题满分14分）已知函数()(1)e xf x x =-. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明：当0>a 时，方程()f x a =在区间(1,)+∞上只有一个解；（Ⅲ）设()()ln(1)h x f x a x ax =---，其中0>a .若()0h x ≥恒成立，求a 的取值范围.北京市西城区2016 — 2017学年度第二学期期末试卷高二数学（理科）参考答案及评分标准2017.7一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. A ；2.D ；3. C ；4. B ；5. C ；6. D ；7. C ；8. B . 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 41-； 10. 24； 11. ,4211； 12. 42； 13. 1(,)5-∞-； 14. 0；1e-. 注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分）解： (Ⅰ) 根据已知，24a =；99a =；416a =；525a =. …………… 4分 (Ⅱ)猜想2n a n =. …………… 6分证明：① 当1=n 时，由已知11=a ；由猜想，2111a ==，猜想成立. …………… 8分 ②假设当k n =（k ∈*N ）时猜想成立，即2k a k =， ……………10分 则1+=k n 时， 221)1(1212+=+⨯+=++=+k k kk a k k a k k . 所以，当1n k =+时，猜想也成立. ……………12分 由①和②可知，2n a n =对任意的*n ∈N 都成立. ……………13分 16.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)设“甲投球一次命中”为事件A ，则11(),()22P A P A ==. …………… 2分故甲投球2次至少命中1 次的概率为31()1()()4P A A P A P A -⋅=-=. …………5分(Ⅱ) 设“乙投球一次命中”为事件B .由题意得1()(1)(1)16P B B p p ⋅=--=， ……………7分解得43=p 或45(舍去)， 所以31(),()44P B P B ==. ……………8分甲、乙两人各投球2次共命中3次有两种情况：甲中两次，乙中一次；甲中一次，乙中两次. ……………9分甲中两次，乙中一次的概率为1211313()()()()2224432P A P A C P B P B =⨯⨯⨯⨯=.…11分 甲中一次，乙中两次的概率为1211339()()()()2224432C P A P A P B P B =⨯⨯⨯⨯=.…12分事件“甲中两次，乙中一次”与“甲中一次，乙中两次”是互斥的，所以，所求事件概率为93332328+=. 所以甲、乙两人各投2次，共命中3次的概率为38. ……………13分 17.（本小题满分13分）解：(Ⅰ) 当1-=a 时，32()3f x x x =-，2()36f x x x '=-. ……………2分令2()360f x x x '=-=，得0x =或2x =.……………4分所以，函数)(x f 的极大值点为0x =，极大值为0；极小值点为2x =，极小值为4-.……………6分(Ⅱ) 2()363(2)f x x ax x x a '=+=+. ……………7分①当0a =时，()0f x '≥（仅当0x =时，()0f x '=），函数)(x f 是增函数，)(x f 在[0,2]上的最大值为(2)8128f a =+=. ……………8分②当0a >时，在区间(0,)+∞上()0f x '>，函数)(x f 是增函数.)(x f 在[0,2]上的最大值为(2)812f a =+. ……………10分③当0a <时，()f x '与()f x 在区间(0,)+∞上的情况如下：……………11分此时，(0)0f =，(2)812f a =+. 当8120a +>，即203a -<<时，)(x f 在[0,2]上的最大值为(2)812f a =+. 12分 当8120a +≤，即23a ≤-时，)(x f 在[0,2]上的最大值为(0)0f =. ………13分 综上，当23a ≤-时，)(x f 在[0,2]上的最大值为0；当23a >-时，)(x f 在[0,2]上的最大值为812a +.18.（本小题满分13分） 解：(Ⅰ) 依题意有n 52个黑球. 记“摸出的2球都是黑球”为事件A ， 则225222(1)41055()(1)2525n n C n n n P A C n n n --===--. ……………4分()P A 最小时5=n . ……………5分(Ⅱ) 依题意有21565⨯=个黑球. ……………6分 设袋中白球的个数为x (个)，记“从袋中任意摸出两个球至少得到一个白球”为事件B ，则2152154()17xC P B C -=-=，整理得2291200x x -+=，解得5x =或24x =（舍）. ……………8分 所以袋中红球的个数为4(个).随机变量X 的取值为0,1,2. ……………9分21121511(0)21C P X C ===；1141121544(1)105C C P X C ===；242152(2)35C P X C ===. X…………12分数学期望114428012211053515EX =⨯+⨯+⨯=. ……………13分19.（本小题满分14分）解：(Ⅰ) 当1==b a 时，2()f x x x =+.设2()ln h x x x x =+-，0x >. ……………1分则2121(21)(1)()21x x x x h x x x x x +--+'=+-==， ……………2分所以，在区间1(0,)2上()0h x '<，()h x 是减函数；在区间1(,)2+∞上()0h x '>，()h x 是增函数. ……………4分所以，()h x 的最小值为1()2h =31ln 42-，又31ln 042->，所以()0h x >恒成立. 即()f x 的图象在()g x 图象的上方. ……………5分 (Ⅱ) 设00(,)P x y ，其中00x >.由已知()2f x ax b '=+，1()g x x'=. 因为在点P 处的切线相同， 所以2000000012,,ln ax b y ax bx y x x +==+=. ……………7分 消去0,b y 得200ln 10ax x +-=.根据题意，方程200ln 10ax x +-=有解. ……………8分设2()ln 1F x ax x =+-，则()F x 在(0,)+∞上有零点.2121()2ax F x ax x x+'=+=， 当0a ≥时，()0F x '>，函数()F x 在(0,)+∞上单调递增. 当1a ≥时，(1)10F a =-≥，110F =+-=≤，()F x 有零点.当01a ≤<时，(1)10F a =-≤，22(e )e 10F a =+>，()F x 有零点. …11分 当0a <时，令()0F x '=，解得x =()F x '与()F x 在区间(0,)+∞上的情况如下：令3ln 02≥，得 312e a ≥-.此时(1)10F a =-<.所以()F x 有零点. ……………13分 综上，所求a 的取值范围为31[,)2e-+∞. ……………14分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知()e (1)e e x x x f x x x '=+-=. ……………2分所以，在区间(,0)-∞上()0f x '<，函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上()0f x '>，函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增. ……………4分 （Ⅱ）设()()(1)e x g x f x a x a =-=--，0a >. ……………5分()e x g x x '=，由（Ⅰ）知，函数()g x 在区间(0,)+∞上单调递增.且(1)0g a =-<，11(1)e (e 1)0a a g a a a a +++=-=->.所以，()g x 在区间(1,)+∞上只有一个零点，方程()f x a =在区间(1,)+∞上只有一个解. ……………8分 （Ⅲ）设()()ln(1)h x f x a x ax =---，0>a ，()h x 定义域为}1|{>x x ，()e (e )[(1)e ]111x x x a a x h x x a x x a x x x '=--=-=-----， ……………9分 令()0h x '=，则(1)e 0x x a --=，由（Ⅱ）知，()(1)e x g x x a =--在区间(1,)+∞上只有一个零点，是增函数， 不妨设()g x 的零点为0x ，则00(1)e 0x x a --=， ……………11分 所以，()h x '与()h x 在区间(0,)+∞上的情况如下：所以，函数()h x 的最小值为0()h x ，00000()(1)e ln(1)x h x x a x ax =----，由00(1)e 0x x a --=，得001e x ax -=，所以00000()e ln ln e e x x x a ah x a ax a a a =⋅--=-. ……………13分依题意0()0h x ≥，即ln 0a a a -≥，解得0e a <≤，所以，a 的取值范围为(0,e]. ……………14分。
北京市西城区度第二学期期末考试高二数学(理科)试卷
北京市西城区2016— 2017学年度第二学期期末试卷高二数学（理科）2017.7试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9. 曲线1y x=在2x =处切线的斜率为______. 10. 4)12(xx -展开式中的常数项是_______.（用数字作答）11. 离散型随机变量ξ的分布列为:且2=ξE ，则1p =_________；2p = _________.12. 某班举行的联欢会由5个节目组成，节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个，并且节目甲必须和节目乙相邻，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有_____种．13. 若函数32()f x ax ax x =-+在区间(1,0)-上恰有一个极值点，则a 的取值范围是_____．14. 已知，对于任意x ∈R ，e xax b ≥+均成立.①若e a =，则b 的最大值为__________；②在所有符合题意的b a ,中，a b -的最小值为_________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）在数列{}n a 中，11=a ，121++=+n n a nn a ，其中1,2,3,n =.(Ⅰ) 计算2a ，3a ，4a ，5a 的值；(Ⅱ) 根据计算结果，猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.16．（本小题满分13分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为21与p ，且乙投球2次均未命中的概率为161. (Ⅰ)求甲投球2次，至少命中1次的概率；(Ⅱ)若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中3次的概率.17．（本小题满分13分）已知函数32()3f x x ax =+.(Ⅰ) 若1-=a ，求)(x f 的极值点和极值； (Ⅱ) 求)(x f 在[0,2]上的最大值.18．（本小题满分13分）一个袋中装有黑球，白球和红球共n (*n ∈N )个,这些球除颜色外完全相同. 已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是52. 现从袋中任意摸出2个球. (Ⅰ) 用含n 的代数式表示摸出的2球都是黑球的概率，并写出概率最小时n 的值.（直接写出n 的值）(Ⅱ) 若15=n ，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是74，设X 表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望. 19．（本小题满分14分）已知函数2()f x ax bx =+和x x g ln )(=.(Ⅰ) 若1==b a ，求证：()f x 的图象在()g x 图象的上方；(Ⅱ) 若()f x 和()g x 的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同，求a 的取值范围. 20．（本小题满分14分）已知函数()(1)e xf x x =-. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明：当0>a 时，方程()f x a =在区间(1,)+∞上只有一个解；（Ⅲ）设()()ln(1)h x f x a x ax =---，其中0>a .若()0h x ≥恒成立，求a 的取值范围.北京市西城区2016 — 2017学年度第二学期期末试卷高二数学（理科）参考答案及评分标准2017.7一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. A ；2.D ；3. C ；4. B ；5. C ；6. D ；7. C ；8. B . 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 41-； 10. 24； 11. ,4211； 12. 42； 13. 1(,)5-∞-； 14. 0；1e-. 注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分）解： (Ⅰ) 根据已知，24a =；99a =；416a =；525a =. …………… 4分 (Ⅱ)猜想2n a n =. …………… 6分证明：① 当1=n 时，由已知11=a ；由猜想，2111a ==，猜想成立. …………… 8分 ②假设当k n =（k ∈*N ）时猜想成立，即2k a k =， ……………10分 则1+=k n 时， 221)1(1212+=+⨯+=++=+k k kk a k k a k k . 所以，当1n k =+时，猜想也成立. ……………12分 由①和②可知，2n a n =对任意的*n ∈N 都成立. ……………13分 16.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)设“甲投球一次命中”为事件A ，则11(),()22P A P A ==. …………… 2分故甲投球2次至少命中1 次的概率为31()1()()4P A A P A P A -⋅=-=. …………5分(Ⅱ) 设“乙投球一次命中”为事件B .由题意得1()(1)(1)16P B B p p ⋅=--=， ……………7分解得43=p 或45(舍去)， 所以31(),()44P B P B ==. ……………8分甲、乙两人各投球2次共命中3次有两种情况：甲中两次，乙中一次；甲中一次，乙中两次. ……………9分甲中两次，乙中一次的概率为1211313()()()()2224432P A P A C P B P B =⨯⨯⨯⨯=.…11分 甲中一次，乙中两次的概率为1211339()()()()2224432C P A P A P B P B =⨯⨯⨯⨯=.…12分事件“甲中两次，乙中一次”与“甲中一次，乙中两次”是互斥的，所以，所求事件概率为93332328+=. 所以甲、乙两人各投2次，共命中3次的概率为38. ……………13分 17.（本小题满分13分）解：(Ⅰ) 当1-=a 时，32()3f x x x =-，2()36f x x x '=-. ……………2分令2()360f x x x '=-=，得0x =或2x =.……………4分所以，函数)(x f 的极大值点为0x =，极大值为0；极小值点为2x =，极小值为4-.……………6分(Ⅱ) 2()363(2)f x x ax x x a '=+=+. ……………7分①当0a =时，()0f x '≥（仅当0x =时，()0f x '=），函数)(x f 是增函数，)(x f 在[0,2]上的最大值为(2)8128f a =+=. ……………8分②当0a >时，在区间(0,)+∞上()0f x '>，函数)(x f 是增函数.)(x f 在[0,2]上的最大值为(2)812f a =+. ……………10分③当0a <时，()f x '与()f x 在区间(0,)+∞上的情况如下：……………11分此时，(0)0f =，(2)812f a =+. 当8120a +>，即203a -<<时，)(x f 在[0,2]上的最大值为(2)812f a =+. 12分 当8120a +≤，即23a ≤-时，)(x f 在[0,2]上的最大值为(0)0f =. ………13分 综上，当23a ≤-时，)(x f 在[0,2]上的最大值为0；当23a >-时，)(x f 在[0,2]上的最大值为812a +.18.（本小题满分13分） 解：(Ⅰ) 依题意有n 52个黑球. 记“摸出的2球都是黑球”为事件A ， 则225222(1)41055()(1)2525n n C n n n P A C n n n --===--. ……………4分()P A 最小时5=n . ……………5分(Ⅱ) 依题意有21565⨯=个黑球. ……………6分 设袋中白球的个数为x (个)，记“从袋中任意摸出两个球至少得到一个白球”为事件B ，则2152154()17xC P B C -=-=，整理得2291200x x -+=，解得5x =或24x =（舍）. ……………8分 所以袋中红球的个数为4(个).随机变量X 的取值为0,1,2. ……………9分21121511(0)21C P X C ===；1141121544(1)105C C P X C ===；242152(2)35C P X C ===. X…………12分数学期望114428012211053515EX =⨯+⨯+⨯=. ……………13分19.（本小题满分14分）解：(Ⅰ) 当1==b a 时，2()f x x x =+.设2()ln h x x x x =+-，0x >. ……………1分则2121(21)(1)()21x x x x h x x x x x +--+'=+-==， ……………2分所以，在区间1(0,)2上()0h x '<，()h x 是减函数；在区间1(,)2+∞上()0h x '>，()h x 是增函数. ……………4分所以，()h x 的最小值为1()2h =31ln 42-，又31ln 042->，所以()0h x >恒成立. 即()f x 的图象在()g x 图象的上方. ……………5分 (Ⅱ) 设00(,)P x y ，其中00x >.由已知()2f x ax b '=+，1()g x x'=. 因为在点P 处的切线相同， 所以2000000012,,ln ax b y ax bx y x x +==+=. ……………7分 消去0,b y 得200ln 10ax x +-=.根据题意，方程200ln 10ax x +-=有解. ……………8分设2()ln 1F x ax x =+-，则()F x 在(0,)+∞上有零点.2121()2ax F x ax x x+'=+=， 当0a ≥时，()0F x '>，函数()F x 在(0,)+∞上单调递增. 当1a ≥时，(1)10F a =-≥，110F =+-=≤，()F x 有零点.当01a ≤<时，(1)10F a =-≤，22(e )e 10F a =+>，()F x 有零点. …11分 当0a <时，令()0F x '=，解得x =()F x '与()F x 在区间(0,)+∞上的情况如下：令3ln 02≥，得 312e a ≥-.此时(1)10F a =-<.所以()F x 有零点. ……………13分 综上，所求a 的取值范围为31[,)2e-+∞. ……………14分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知()e (1)e e x x x f x x x '=+-=. ……………2分所以，在区间(,0)-∞上()0f x '<，函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上()0f x '>，函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增. ……………4分 （Ⅱ）设()()(1)e x g x f x a x a =-=--，0a >. ……………5分()e x g x x '=，由（Ⅰ）知，函数()g x 在区间(0,)+∞上单调递增.且(1)0g a =-<，11(1)e (e 1)0a a g a a a a +++=-=->.所以，()g x 在区间(1,)+∞上只有一个零点，方程()f x a =在区间(1,)+∞上只有一个解. ……………8分 （Ⅲ）设()()ln(1)h x f x a x ax =---，0>a ，()h x 定义域为}1|{>x x ，()e (e )[(1)e ]111x x x a a x h x x a x x a x x x '=--=-=-----， ……………9分 令()0h x '=，则(1)e 0x x a --=，由（Ⅱ）知，()(1)e x g x x a =--在区间(1,)+∞上只有一个零点，是增函数， 不妨设()g x 的零点为0x ，则00(1)e 0x x a --=， ……………11分 所以，()h x '与()h x 在区间(0,)+∞上的情况如下：所以，函数()h x 的最小值为0()h x ，00000()(1)e ln(1)x h x x a x ax =----，由00(1)e 0x x a --=，得001e x ax -=，所以00000()e ln ln e e x x x a ah x a ax a a a =⋅--=-. ……………13分依题意0()0h x ≥，即ln 0a a a -≥，解得0e a <≤，所以，a 的取值范围为(0,e]. ……………14分。
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北京市西城区高二数学上学期期末考试试题试卷满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．已知椭圆222:1(0)4x y C a a+=>的一个焦点为(2,0),则a 的值为（ ）A ． ．6 D ．8 2．已知数列{}n a 满足12a =，12n n a a -=+(,2)n n *∈≥N ，则3a =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．83．已知命题p :1x ∃<,21x ≤,则p ⌝为（ ）A ．1x ∀≥,21x ≤B ．1x ∃<,21x >C ．1x ∀<,21x >D ．1x ∃≥,21x >4．已知,a b ∈R ,若a b <,则（ ）A ．2a b <B ．2ab b <C ．22a b <D ．33a b <5．已知向量(1,2,1),(3,,)x y =-=a b ,且//a b ,那么||=b （ ）A ．B ．6C ．9D ．186．已知直线a ,b 分别在两个不同的平面,αβ内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7. 已知向量(1,,2)x =a ，(0,1,2)=b ，(1,0,0)=c ，若,,a b c 共面，则x 等于 （ ）A. 1-B. 1C.1 或1-D. 1 或08. 德国著名数学家高斯，享有“数学王子”之美誉.他在研究圆内整点问题时，定义了一 个函数()[]f x x =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，比如[]=3π. 根据以上定义，当1x 时，数列()x f x -，()f x ，x （ ）A ．是等差数列，也是等比数列B ．是等差数列，不是等比数列C ．是等比数列，不是等差数列D ．不是等差数列，也不是等比数列9．设有四个数的数列{}n a ，该数列前3项成等比数列，其和为m ，后3项成等差数列，其和为6. 则实数m 的取值范围为（ ） A.6m ≥ B. 32m ≥C. 6m ≤D. 2m ≥ 10. 曲线33:1C x y +=.给出下列结论：①曲线C 关于原点对称；②曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1；③曲线C 只经过2个整点（即横、纵坐标均为整数的点）. 其中，所有正确结论的序号是（ ）A. ①②B. ②C. ②③D. ③二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11.设P 是椭圆221259x y +=上的点,P 到该椭圆左焦点的距离为2，则P 到右焦点的距离为__________. 12. 不等式01xx <-的解集为_________. 13. 能说明“若a b >，则11a b<”为假命题的一组a 、b 值是a = ，b = .14．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c ,则其离心率的值是__________.15．某渔业公司今年初用100万元购进一艘渔船用于捕捞，已知第一年捕捞工作需各种费用4万元，从第二年开始,每年所需费用均比上一年增加2万元.若该渔船预计使用n 年，其总花费（含购买费用）为________ 万元； 当n =______时，该渔船年平均花费最低（含购买费用）.16. 若1239,,,,x x x x K 表示从左到右依次排列的9盏灯，现制定开灯与关灯的规则如下：（1）对一盏灯进行开灯或关灯一次叫做一次操作；（2）灯1x 在任何情况下都可以进行一次操作；对任意的{|29}i x x ∈∈≤≤N ，要求灯i x的左边有且只有．．．．灯1i x -是开灯状态时才可以对灯i x 进行一次操作. 如果所有灯都处于开灯状态，那么要把灯4x 关闭最少需要 次操作；如果除灯6x 外，其余8盏灯都处于开灯状态，那么要使所有灯都开着最少需要 次操作.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分13分）已知等比数列{}n a 的公比为2，且3a ，44a +，5a 成等差数列. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n a 的前n 项和为n S ，且62n S =，求n 的值.18．（本小题满分13分）已知函数2()f x x ax =+，a ∈R . （Ⅰ）若()(1)f a f >，求a 的取值范围；（Ⅱ）若()4f x ≥-对x ∀∈R 恒成立，求a 的取值范围； （Ⅲ）求关于x 的不等式()0f x >的解集.19．（本小题满分13分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右焦点为(1,0)F .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设点A 为椭圆C 的上顶点，点B 在椭圆上且位于第一象限，且90AFB ∠=o ，求AFB ∆的面积.20．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面ABP ，//BC AD ， 90PAB ∠=o .2PA AB ==，3AD =，BC m =，E 是PB 的中点.（Ⅰ）证明：AE ⊥平面PBC ； （Ⅱ）若二面角C AE D --，求m 的值； （Ⅲ）若2m =，在线段AD 上是否存在一点F ，使得PF ⊥CE . 若存在，确定F 点的位置；若不存在，说明理由.21．（本小题满分14分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>，抛物线C 上横坐标为1的点到焦点F 的距离为3. （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）过(1,0)-的直线l 交抛物线C 于不同的两点,A B ，交直线4x =-于点E ，直线BF 交直线1x =-于点D . 是否存在这样的直线l ，使得//DE AF ? 若不存在，请说明理由；若存在，求出直线l 的方程.22．（本小题满分13分）若无穷数列123,,,a a a L 满足：对任意两个正整数,i j (3)j i -≥，11i j i j a a a a -++=+与11i j i j a a a a +-+=+至少有一个成立，则称这个数列为“和谐数列”.DABCPE（Ⅰ）求证：若数列{}n a 为等差数列，则{}n a 为“和谐数列”；（Ⅱ）求证：若数列{}n a 为“和谐数列”，则数列{}n a 从第3项起为等差数列；（Ⅲ）若{}n a 是各项均为整数的“和谐数列”，满足10a =，且存在*p ∈N 使得p a p =， 123p a a a a p ++++=-L ，求p 的所有可能值.北京市西城区2019 — 2020学年度第一学期期末试卷高二数学参考答案 2020.1一、 选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1. A2. B3.C4. D5. A6. A7. B8. D9. B 10. C 二、 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.11.8 12. {01}x x << 13. 1,1-（答案不唯一） 14.2 15.23100n n ++；10 16. 3；21 注：13、15、16题第一个空2分，第二个空3分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为{}n a 为公比为2的等比数列，所以23114a a q a ==，418a a =，5116a a =， ………………3分 依题意得 4352(4)a a a +=+， ………………5分 即1112(84)416a a a +=+， ………………6分 整理得148a =， 解得12a =.………………7分所以数列{}n a 的通项公式为2n n a =. ………………8分 （Ⅱ）依题意 111nn q S a q-=⋅-， ………………10分11222212n n +-=⋅=--. ………………11分所以12262n +-=，整理得1264n +=， ………………12分 解得 5.n =所以n 的值是5. ………………13分18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由()(1)f a f >得221a a a +>+，整理得2210a a -->， ………………2分 解得1{|2a a <-或1}a >. ………………4分（Ⅱ）()4f x ≥-对x ∀∈R 恒成立，则min ()4f x ≥-， ………………6分所以244a -≥-， ………………7分整理得2160a -≤，解得{|44}a a -≤≤. ………………8分 （Ⅲ）解20x ax +=，得120,x x a ==-，①当0a ->时，即0a <时,0x <或 x a >-； ………………10分 ②当0a -<时，即0a >时,x a <-或 0x >； ………………12分 ③当0a -=时，即0a =时,0x ≠ . ………………13分 综上，当0a <时，不等式的解集为{|0x x <或}x a >-；当0a >时，不等式的解集为{|x x a <-或0}x >；当0a =时，不等式的解集为{|0}x x ≠.19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）依题意 1c =，c a =………………2分解得a =1b ， ………………4分 所以椭圆C 的方程为2212x y +=. ………………5分（Ⅱ）设点00(,)B x y ，因为点B 在椭圆上，所以220012x y +=…①， ………………7分因为90AFB ∠=o ，所以1FA FB k k ⋅=-，得0011yx =-…②， ………………8分由①②消去0y 得，200340x x -=，解得00x =（舍），043x =， ………………10分 代入方程②得013y =，所以41(,)33B ， ………………11分所以||BF =，又||AF = ………………12分 所以AFB ∆的面积111=||||2233AFB S AF BF ∆⨯⨯=⨯. ………………13分20. （本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为 AD ⊥平面PAB ，//BC AD ，所以 BC ⊥平面PAB . ………………1分 又因为 AE ⊂平面PAB ，所以 AE BC ⊥. ………………2分 在PAB ∆中，PA AB =，E 是PB 的中点，所以 AE PB ⊥. ………………3分 又因为 BC PB B =I ，所以 AE ⊥平面PBC . ………………4分 （Ⅱ）解：因为 AD ⊥平面PAB ，所以AD AB ⊥，AD PA ⊥. ………………5分 又因为 PA AB ⊥，所以 如图建立空间直角坐标系A xyz -. 则(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(0,2,)C m ，(1,1,0)E ， (2,0,0)P ，(0,0,3)D ，(0,2,)AC m =u u u r ，(1,1,0)AE =u u u r. ………6分设平面AEC 的法向量为(,,)x y z =n .则 0,0,AC AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n ………………7分 即 20,0.y mz x y +=⎧⎨+=⎩ 令1x =，则1y =-，2z m =，于是2(1,1,)m=-n . ………………8分因为AD ⊥平面PAB ，所以AD PB ⊥. 又PB AE ⊥， 所以PB ⊥平面AED .又因为(2,2,0)PB =-u u u r，所以 取平面AED 的法向量为(1,1,0)=-m . ………………9分所以cos,||||⋅〈〉==⋅n mn mn m………………10分=21m=.又因为0m>，所以1m=. ………………11分（Ⅲ）结论：不存在.理由如下：证明：设(0,0,)F t(03)t≤≤.当2m=时，(0,2,2)C.(2,0,)PF t=-u u u r，(1,1,2)CE=--u u u r. ………………12分由PF CE⊥知，0PF CE⋅=u u u r u u u r，220t--=，1t=-.这与03t≤≤矛盾. ………13分所以，在线段AD上不存在点F，使得PF CE⊥. ………………14分21. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为横坐标为1的点到焦点的距离为3，所以132p+=，解得4p=，………2分所以28y x=，………………3分所以准线方程为2x=-. ………………4分（Ⅱ）显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为(1)y k x=+(0)k≠，1122(,),(,)A x yB x y.联立得28,(1),y xy k x⎧=⎪⎨=+⎪⎩消去y得2222(28)0k x k x k+-+=. ………………5分由224(28)40k k∆=-->，解得k<.所以k<且0k≠.由韦达定理得212282kx xk-+=，121x x=. ………………7分方法一：直线BF的方程为22(2)2yy xx=--，又1Dx=-，所以2232Dyyx-=-，所以223(1,)2yDx---，………………8分因为//DE AF，所以直线DE与直线AF的斜率相等. ………………9分又(4,3)E k--，所以221133232ykx yx-+-=--. ………………10分整理得121222y ykx x=+--，即1212(1)(1)22k x k xkx x++=+--，………………11分化简得121211122x xx x++=+--，121212122()412()4x x x xx x x x-+-=-++，即12+7x x=. ………………12分所以2282=7k k-，整理得289k =， ………………13分解得k =经检验，k =.所以存在这样的直线l ，直线l的方程为1)y x +或1)y x =+.………14分 方法二：因为//DE AF ，所以||||||||BA BF BE BD =，所以21222241x x x x x --=++. ………………10分 整理得1212()8x x x x ++=，即2282=7k k-， ………………12分 整理得289k =. ………………13分解得k =k =. 所以存在这样的直线l ，直线l的方程为1)y x +或1)y x =+.………14分 22.（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为数列{}n a 为等差数列，所以 对任意两个正整数,i j (3)j i -≥，有 11i i j j a a a a d +--=-=， ………………2分 所以 11i j i j a a a a +-+=+ .所以 数列{}n a 为“和谐数列”. ………………4分 （Ⅱ）证明：因为数列{}n a 为“和谐数列”，所以 当1i =,4j =时，只能11i j i j a a a a +-+=+成立, 11i j i j a a a a -++=+不成立.所以 2314a a a a +=+，即2143a a a a -=-. ………………6分 当1i =，5,6,7,8,9j =L 时，也只能11i j i j a a a a +-+=+成立，11i j i j a a a a -++=+不成立.所以 2415a a a a +=+，2516a a a a +=+,2617a a a a +=+,L 即 21546576a a a a a a a a -=-=-=-=L ，所以 21435465a a a a a a a a -=-=-=-=L . ………………7分令21a a d -=，则数列{}n a 满足1(4)n n a a d n --=≥.所以，数列{}n a 从第3项起为等差数列. ………………8分 （Ⅲ）解：①若1p =，则11p a a ==，与10a =矛盾，不合题意.②若2p =，则10a =，22a =，但1222a a +=≠-，不合题意. ………………9分 ③若3p =，则10a =，33a =，由1233a a a ++=-，得26a =-，此时数列{}n a 为：0,6,3,3,9,---L ，符合题意. ………………10分 ④若4p ≥，设21a a d -=，则12(2)0[(3)][(4)][]p p a a a d p p d p p d p d p p -+++=++--+--++-+=-L L 144444444424444444443.所以，(1)[(3)][(4)]()()0p p p d p p d p d p p d ---+--++-+++=L 1444444444442444444444443即 [()(3)](1)02p d p p d p ++---=.因为 10p -≠，所以(3)0p d p p d ++--=. ………………11分所以 4p =不合题意.所以 228882444p p d p p p -+===+---. ………………12分 因为p 为整数，所以84p -为整数，所以5,6,8,12p =. 综上所述，p 的所有可能值为3,5,6,8,12. ………………13分。
北京市西城区14中2016-2017学年高二上学期期中考试数学(理)试题含解析
北京市第十四中学2016—2017学年度第一学期高二 数学学科2016年11月期中试卷（理）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分，在每小题该出的四个选项中,只有一项符合题目的要求,把正确答案填涂在答题卡上．1．抛物线24x y=的准线方程是（ ）．A ．1y =B ．1y =-C ．1x =-D ．1x = 【答案】B【解析】抛物线24xy=中，24p =，2p =，∴准线方程为12py ==-．故选B ．2．以下四组向量中，互相平行的有( )组． （1）(1,2,1)a =，(1,2,3)b =-．（2）(8,4,6)a =-，(4,2,3)b =-． （3）(0,1,1)a =-，(0,3,3)b =-．(4）(3,2,0)a =-，(4,3,3)b =-．A ．一B ．二C ．三D ．四 【答案】B【解析】若a 与b 平行，则存在实数λ使得a b λ=,经验证，只有(2）2a b =,（3）3a b =，两组满足条件．故选B ．3．已知两定点1(5,0)F ，2(5,0)F -，曲线上的点P 到1F 、2F 的距离之差的绝对值是6，则该曲线的方程为（ )． A ．221916x y -= B ．221169x y -= C ．2212536x y -= D ．2212536y x -= 【答案】A【解析】由题意知，P 的轨迹是以1(5,0)F ，2(5,0)F -为焦点，以实数轴长为6的双曲线,且3a =，5c =,4b =，所以双曲线方程为：221916x y -=．故选A ．4．执行如图所示的程序框图，输出的值是（ )．A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】B【解析】n 的起始值是5,k 的起始值是0，进入第一个判断框，否,16n =，1k =进入第二个判断框，否,继续循环． 进入第一个判断框，回答是,8n =，2k =，进入第二个判断框,否，继续循环．进入第一个判断框,回答是，4n =，3k =,进入第二个判断框,否，继续循环．进入第一个判断框，回答是2n =，4k =，进入第二个判断框，否，继续循环．进入第一个判断框，回答是,1n =,5k =，进入第二个判断框,回答是，结束循环,输出k ,即输出5．，故选B ．5．顶点在原点，且过点(4,4)-的抛物线的标准方程是（ ）．A ．24yx=- B ．24xy= C ．24yx=-或24xy= D ．24y x=或24x y =-【答案】C【解析】∵抛物线的顶点在原点，且过点(4,4)-， ∴设抛物线的标准方程为22(0)x py p =>或22(0)ypx p =->，将点(4,4)-代入22xpy=，得168p =，2p =，此时抛物线的标准方程为24x y=． 将点(4,4)-代入22ypx=-，（0p >，），同理得，2p =，此时抛物线的标准方程为24yx=-．综上,顶点在原点，且过点(4,4)-的抛物线的标准方程是：24x y=或24yx=-．故选C ．6．已知椭圆221102x y m m =--+，若其长轴在y 轴长，且焦距为4，则m 等于（ ）．A ．4B ．5C ．7D ．8 【答案】D【解析】由题意可知22a m =-，210bm=-，22124cm =-=，解得8m =．故选D ．7．执行如图所示的程序框图，如图输出341a =，那么判断框中可以是( ）．A ．4?k <B ．5?k >C ．6?k <D ．7?k < 【答案】C【解析】由程序框图可知,进行的循环依次是:1a =,2k =．;5a =，3k =．;21a =，4k =；．85a =,5k =;．341a =，6k =．∵输出341a =，∴当6k =时开始不满足判定条件,∴判定条件为6k <？ 故选C ．8．双曲线221xmy -=的实轴长是虚轴长的2倍，则m 等于( )．A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】D【解析】双曲线221x my -=可化代为2211y x m-=．∴21a =，21bm=，又∵实轴长是虚轴长的2倍，∴2a b =，224ab =，∴41m=，解得4m =．故选D ．9．已知直三棱柱111ABC A B C -中,1AA AB AC ==,AB AC ⊥，则异面直线1AB 和1BC 所成的角的大小是( ）．A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2【答案】 【解析】A根据题意，以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴,1AA 为z 正轴建立如图空间直角坐标系．∵1AB AC AA ==,∴设11AB AC AA ===．则(0,0,0)A ,1(1,0,1)B ，(1,0,0)B ，1(0,1,1)C ，1(1,0,1)AB =，1(1,1,1)BC =-，110AB BC ⋅=,∴11AB BC ⊥，即11AB BC ⊥,∴1AB 和1BC 所成的角是π2．故选D ．10．设1F 、2F 分别为双曲线2221x y a b-=（0a >，0b >)的左、右焦点，P 为双曲线右支上任一点．若212PF PF 的最小值为8a ，则该双曲线离心率e 的取值范围是（ ）．A ．(0,2)B ．(1,3]C ．[2,3)D ．[]3,∞+ 【答案】B【解析】由定义得21||||2PF PF a -=，∴21||||2PF PF a =+．∴222211111||(||2)44||8||||||PF PF a a a PF a PF PF PF ==≥+++．当且仅当2114||||a PF PF =，即1||2PF a =时等号成立．又∵1||PF c a -≥，∴2c a a -≤，3c a ≤． ∴3c e a=≤，又∵1e >，∴13e <≤，∴离心率e 的取值范围是(1,3]．故选B ．二、填空题：共5小题,每小题4分，共20分．请将答案填写在答题卡相应位置． 11．已知椭圆22142x y =+的两个焦点是1F ，2F ，点P 在该椭圆上，若122PF PF-=，则12PF F △的面积是__________．【答案】【解析】由题意12||||4PF PF =+，12||||2PF PF -=，∴1||3PF =,2||1PF =．∵12||F F =，∴212PF F F ⊥，∴1212211||||122PF F SF F PF =⨯⨯=⨯△12．已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，一条渐近线方程为34y x =，则该双曲线的离心率是__________．【答案】54【解析】∵双曲线的焦点在x 轴,且一条渐近线方程为34y x=，∴34b a =，∴5=4c e a =．13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐进线的距离为6，则该双曲线的离心率为__________．【答案】3【解析】顶点(,0)a 到渐进线0bx ay -=的距离为2ab c=， 焦点(,0)c 到渐近线0bx ay -=的距离为6b =, ∴3c a=，即双曲线的离心率为3．14．已知正四棱锥的体积为12,底面对角线的长为所成的二面角等于__________． 【答案】60︒【解析】正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为∴底面边长为，底面面积为12． 设正四棱锥的高为h，则13V Sh=,解得3h =．=．∴二面角等于60︒．15．已知抛物线2:8C y x=的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ,点A 在C 上且AK ，则AFK △的面积为__________．【答案】8 【解析】。
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2016~2017学年北京西城区北京市第十四中学高二上学期理科期末数学试卷
选择
1. 某单位有老年人36人，中年人72人，青年人108人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为36的样本，则老年人、中年人分别抽取的人数是（ ）．
A. 6，12，18
B. 7，11 ，19
C.6，13，17
D.7，12，17
2. 甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是（ ）． A.
61 B. 21 C. 31 D. 32
3. 设椭圆1a x 22
22=+b
y 的焦点在X 轴上，a ∈ {1, 2, 3, 4, 5} ，b ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}，则这样
的椭圆共有（ ）个．
A. 70
B. 35
C. 30
D.20
4. 执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（ ）．
A. 4
B. 5
C. 6
D.7
X 的方差D(X) 等于（ ）．
A.
9 B. 9 C. 3 D. 3 6. 盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机的抽取 4个，那么概率是103的事件为（ ）．
A. 恰有1只是坏的
B. 4只全是好的
C. 恰有2只是好的
D. 至多有2只是坏的
7. 若n x x )13-
（的展开式中各项系数之和为256，则展开式的常数项为（ ）． A. 540-
B. 162-
C. 162
D.
5670
8. 已知双曲线 ）（0,01-a x 22
22 b a b
y =的离心率为2，且有一个焦点与抛物线y 2 = 4x 的焦点重合，则ab 的值为（ ）．
A.
334 B. 362 C. 43 D. 4
6
9. 现要给4个唱歌节目和2个小品节目排列演出顺序，要求2个小品节目之间恰有3个唱歌节目，那么演出顺序的排列种数是（ ）．
A.48
B. 96
C. 192
D.288
10. 某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：
①他第3次击中目标的概率是0.9；
②他恰好击中目标3次的概率是 0.93 X0.1；
③他至少击中目标1次的概率是1-0.14；
A. ①
B. ①②
C. ①③
D. ①②③
填空
11. 一个容量为 20的样本数据分组后，组距与频数如下：(10, 20] 2； (20, 30] ，3； (30, 40] ，4；(40, 50] ，5；(50, 60] ，4；(60, 70] ，2．则样本在区间[50, +∞) 上的频率为 ．
12. 有一个简单的随机样本：10，12，9，14，13，则样本平均数为=x ．样本方差 =2s
．
13. 管理人员从一池塘中捞出30条鱼做上标记，然后放回池塘，将带标记的鱼完全混合于鱼群中．10天后，再捕上50条，发现其中带有标记的鱼有2条，根据以上数据可以估计该池塘有 条鱼．
14. 一个盒子中装有4只产品，其中3只一等品，1只二等品，从中取产品两次，每次任取1只，做不放回抽样．设事件A 为“第一 次取到的是一等品”，事件B 为“第二次取到的是一等品”，则P (B|A) = ．
15. 对于曲线C: F (x, y) = 0上任意一点P (x, y)，若存在非负数M 和m ，使得m ⩽ |OP | ⩽ M 恒成立（其中O 为坐标原点），则称M 的最小值为曲线C 的外确界，m 的最大值为曲线 C 的内确界．
（1）已知曲线C 上任意一点P (x, y)到点F 1(−1, 0)，F 2(1, 0)的距离之和为4，则曲线C 的外确界为 ．
（2）已知曲线C 上任意一点P (x, y)到点F (0, −2)和到直线y= −4的距离相等，则曲线C 的内确界为 ．
解答
16. 春节吃饺子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个饺子，其中羊肉胡萝卜馅饺子2个，牛肉大葱馅饺子3个，素三鲜馅饺子5个，这三种饺子的外观完全相同，从中任意取3个．
（1） 求三种饺子各取到1个的概率．
（2） 设X 表示取到的羊肉胡萝卜馅饺子个数，求 X 的分布列与数学期望．
17. 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束，除第五局甲队获胜的概率是21外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是3
2，假设各局比赛结果相互独立．
（1） 分别求甲队以3比0；3比1；3比2胜利的概率．
（2） 若比赛结果为3比0或3比1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3比2，则胜利方得2分，对方得1分，求 乙队得分X 的分布列及数学期望．
18. 如图，在三棱锥P-ABC 中， PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ．
（1） 求证： AC ⊥PB ．
（2） 设O ，D 分别为AC ，AP 的中点，点G 为OAB ∆内一点，且满足
)(3
1+=，求证：DG//平面PBC ． （3） 若AB=AC=2，PA=4，求二面角A-PB-C 的余弦值．
19. 已知椭圆G:
）（01a x 22
22 b a b y =+过点A (1, 36) 和点B (0, −1) ． （1） 求椭圆G 的方程；
（2） 设过点P (0, 2
3)的直线l 与椭圆G 交于M , N 两点，且|BM | = |BN |，求直线l 的方程．
选择
1. A
2. C
3. D
4. C
5. B
6. C
7. D
8. C
9. B 10. C
填空
11. 0.3; 12. 11.6; 3.44 13. 750 14.
32
15. 2 22
解答 16. 1）4
1
E(X) =
5．
17. 1）甲队以3比0胜利的概率为
278； 甲队以3比1胜利的概率为27
8； 甲队以3比2胜利的概率为27
4； （2）X 的分布列如下表所示：
EX =
9．
18. 1）证明见解析
（2）证明见解析
（3）3
2 19. 1）椭圆G 的方程为13
x 22
=+y ． （2）直线l 的方程为36+±=x y ．。