勾股定理与方程ppt课件
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42 +（8-x）2 =x2 x=5
答：DE长为5.
16
例2.已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在同一
C'
平面内C'处，B C'与AD交于点E，AD=8，AB=4，求
DE的长.
A
E
D
小结：
B
C
1.如果一道题目中有多个直角三角形，要选择能够用 一个未知数表示出三条边的直角三角形（边也可为常 数），在这个三角形中利用勾股定理求解.
后跳到离树10m的地面C处，另外
一只猴子爬下树后恰好也走到地
D
面C处，如果两个猴子经过的距离
相等，问这棵树有多高？
A
5m
C
10m
B
22
思考2
解：如图，D为树顶，AB=5 m,BC=10 m.
设AD长为x m，则树高为(x+5)m.
∵AD + DC = AB + BC,
D
∴ DC = 10 + 5 – x = 15 - x.
18
练习
19
思考1
1、如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为
两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知
DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上
建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到
E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km
处？
D
C
A
E
B
20
思考1
解：
设AE= x km，则 BE=（25-x）km
解得x＝3 ∴
CD=DE=3cm
13
【问题2】如果一道题目中有多个直角三角形，我们如 何选择在哪个直角三角形中利用勾股定理求解呢？
例2.已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在
同一平面内C'处，B C'与AD交于点E，AD=8，
AB=4，求DE的长.
C'
A
E
D
B
C
14
例2.已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在同一平面内C'处，B C'与
根据勾股定理，得
D
AD2+AE2=DE2
BC2+BE2=CE2
15
又 DE=CE ∴ AD2+AE2= BC2+BE2
A xE
即：152+x2=102+（25-x）2
∴ x=10
答：E站应建在离A站10km处。
C 10 25-x B
21
思考2
在一棵树BD的5m高A处有两只
小猴子，其中一只猴子爬到树顶D
AD交于点E，AD=8，AB=4，求DE的长.
解： Q 四边形ABCD为矩形
方法一
AD / / BC
C'
1 3
A 8-X E
4
X
2 3
B
X 1
Q BCD沿BD折叠得到BCD
BCD BCD
D
2 3
1=2
BE DE
C 设DE为x，则BE=x，AE=8-x,
在RtABE中，由勾股定理得，
42 +（8-x）2 =x2
C
D
6
B
E6
A
12
例1
解：在Rt△ABC中
AC=6cm，BC=8cm
∴ AB=10cm
B
C
D
6
E6
A
由折叠可知AE＝AC＝6cm，CD＝DE,
∠C= ∠AED=90°
∴BE＝10-6＝4cm, ∠BED=90° 设CD＝DE＝xcm，则BD＝（8-x）cm
在Rt△BDE中
由勾股定理可得（8-x）2 ＝x2+42
2.解决折叠问题的关键：在动、静的转化中找出不变量.
17
例2.已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在同一
C'
平面内C'处，B C'与AD交于点E，AD=8，AB=4，求
DE的长.
A
E
D
注意：
B
C
1.基本图形：“平行、角平分线、等腰三角形”知二推一
2.折叠问题：折叠图形前后两个图形全等，最好 在图中标出相等的线段和角.
A
AB的中垂线DE交BC于点D
Ex
B
AD=BD
D 3-x C
BC=3
BD+CD = AD+CD = 3
10
在直角三角形 中（已知两边 的数量关系）
设其中 一边为x
求各边长
解
利用勾股定理
方
列wenku.baidu.com程
程
11
例1
如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm，BC=8cm, 现将直角边沿直线AD 折叠，使点C落在斜边AB上的点E，求CD 的长.
1
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
A
c
b
C
a
B
a2 b2 c2
2
勾股定理的常见表达式和变形式
3
在直角三角中，如果已知两边的长， 利用勾股定理就可以求第三边的长； 那么如果已知一条边长及另两边的 数量关系，能否求各边长呢？
4
感受新知1
5
（二）例题 【问题1】如何在实际问题中，利用勾股定理解决问题呢？
例1 .有一个水池,水面是一个边长为l0尺的 正方形.在水池正中央有一根芦苇.它高出 水面l尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的 中点,它的顶端恰好到达池边的水面.水的 深度与这根芦苇的长度分别是多少?
6
例1 .有一个水池,水面是一个边长为l0尺的正方形.在水池正中 央有一根芦苇.它高出水面l尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的 中点,它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长 度分别是多少?
D C
5A
X
X+1
B
解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺， 由勾股定理，得 x2 +52 =（x+1）2
x=12 芦苇长：12+1=13 答：水深12尺，芦苇长为13尺.
8
解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，
由勾股定理，得 x2 +52 =（x+1）2
x=12
芦苇长：12+1=13
D
C
答：DE长为5.
x=5
15
C'
方法二
解：Q 四边形ABCD为矩形
A
E5
CD AB 4，A C 90
4
D
Q BCD沿BD折叠得到BCD
BCD BCD
CD CD 4，C C=90 B
C
在AEB和CED中
A C 90 4=5 AB CD AEB CED
BE DE
设DE为x，则BE=x，AE=8-x, 在RtABE中，由勾股定理得，
答：水深12尺，芦苇长为13尺.
X
5A X+1
小结：
B
解决与勾股定理有关的实际问题时，先
要抽象出几何图形，从中找出直角三角形，再 设未知数，找出各边的数量关系，最后根据勾 股定理求解.
9
感受新知2
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°, AC=1， BC=3. AB的中垂线DE交BC于点D, 连结AD， 则AD的长为——.
设计意图： 1.能利用勾股定理解决简单的实际问题； 2.通过用代数式、方程等表述数量关系的过程，体 会模型的思想，建立符号意识；
3.初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和 提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的 实际问题，增强应用意识，提高实践能力；
4.本题是我国古代数学著作《九章算术》中的问题 ，展现我国古人在勾股定理应用研究方面的成果. 7
答：DE长为5.
16
例2.已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在同一
C'
平面内C'处，B C'与AD交于点E，AD=8，AB=4，求
DE的长.
A
E
D
小结：
B
C
1.如果一道题目中有多个直角三角形，要选择能够用 一个未知数表示出三条边的直角三角形（边也可为常 数），在这个三角形中利用勾股定理求解.
后跳到离树10m的地面C处，另外
一只猴子爬下树后恰好也走到地
D
面C处，如果两个猴子经过的距离
相等，问这棵树有多高？
A
5m
C
10m
B
22
思考2
解：如图，D为树顶，AB=5 m,BC=10 m.
设AD长为x m，则树高为(x+5)m.
∵AD + DC = AB + BC,
D
∴ DC = 10 + 5 – x = 15 - x.
18
练习
19
思考1
1、如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为
两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知
DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上
建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到
E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km
处？
D
C
A
E
B
20
思考1
解：
设AE= x km，则 BE=（25-x）km
解得x＝3 ∴
CD=DE=3cm
13
【问题2】如果一道题目中有多个直角三角形，我们如 何选择在哪个直角三角形中利用勾股定理求解呢？
例2.已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在
同一平面内C'处，B C'与AD交于点E，AD=8，
AB=4，求DE的长.
C'
A
E
D
B
C
14
例2.已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在同一平面内C'处，B C'与
根据勾股定理，得
D
AD2+AE2=DE2
BC2+BE2=CE2
15
又 DE=CE ∴ AD2+AE2= BC2+BE2
A xE
即：152+x2=102+（25-x）2
∴ x=10
答：E站应建在离A站10km处。
C 10 25-x B
21
思考2
在一棵树BD的5m高A处有两只
小猴子，其中一只猴子爬到树顶D
AD交于点E，AD=8，AB=4，求DE的长.
解： Q 四边形ABCD为矩形
方法一
AD / / BC
C'
1 3
A 8-X E
4
X
2 3
B
X 1
Q BCD沿BD折叠得到BCD
BCD BCD
D
2 3
1=2
BE DE
C 设DE为x，则BE=x，AE=8-x,
在RtABE中，由勾股定理得，
42 +（8-x）2 =x2
C
D
6
B
E6
A
12
例1
解：在Rt△ABC中
AC=6cm，BC=8cm
∴ AB=10cm
B
C
D
6
E6
A
由折叠可知AE＝AC＝6cm，CD＝DE,
∠C= ∠AED=90°
∴BE＝10-6＝4cm, ∠BED=90° 设CD＝DE＝xcm，则BD＝（8-x）cm
在Rt△BDE中
由勾股定理可得（8-x）2 ＝x2+42
2.解决折叠问题的关键：在动、静的转化中找出不变量.
17
例2.已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在同一
C'
平面内C'处，B C'与AD交于点E，AD=8，AB=4，求
DE的长.
A
E
D
注意：
B
C
1.基本图形：“平行、角平分线、等腰三角形”知二推一
2.折叠问题：折叠图形前后两个图形全等，最好 在图中标出相等的线段和角.
A
AB的中垂线DE交BC于点D
Ex
B
AD=BD
D 3-x C
BC=3
BD+CD = AD+CD = 3
10
在直角三角形 中（已知两边 的数量关系）
设其中 一边为x
求各边长
解
利用勾股定理
方
列wenku.baidu.com程
程
11
例1
如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 AC=6cm，BC=8cm, 现将直角边沿直线AD 折叠，使点C落在斜边AB上的点E，求CD 的长.
1
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
A
c
b
C
a
B
a2 b2 c2
2
勾股定理的常见表达式和变形式
3
在直角三角中，如果已知两边的长， 利用勾股定理就可以求第三边的长； 那么如果已知一条边长及另两边的 数量关系，能否求各边长呢？
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感受新知1
5
（二）例题 【问题1】如何在实际问题中，利用勾股定理解决问题呢？
例1 .有一个水池,水面是一个边长为l0尺的 正方形.在水池正中央有一根芦苇.它高出 水面l尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的 中点,它的顶端恰好到达池边的水面.水的 深度与这根芦苇的长度分别是多少?
6
例1 .有一个水池,水面是一个边长为l0尺的正方形.在水池正中 央有一根芦苇.它高出水面l尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的 中点,它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长 度分别是多少?
D C
5A
X
X+1
B
解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺， 由勾股定理，得 x2 +52 =（x+1）2
x=12 芦苇长：12+1=13 答：水深12尺，芦苇长为13尺.
8
解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，
由勾股定理，得 x2 +52 =（x+1）2
x=12
芦苇长：12+1=13
D
C
答：DE长为5.
x=5
15
C'
方法二
解：Q 四边形ABCD为矩形
A
E5
CD AB 4，A C 90
4
D
Q BCD沿BD折叠得到BCD
BCD BCD
CD CD 4，C C=90 B
C
在AEB和CED中
A C 90 4=5 AB CD AEB CED
BE DE
设DE为x，则BE=x，AE=8-x, 在RtABE中，由勾股定理得，
答：水深12尺，芦苇长为13尺.
X
5A X+1
小结：
B
解决与勾股定理有关的实际问题时，先
要抽象出几何图形，从中找出直角三角形，再 设未知数，找出各边的数量关系，最后根据勾 股定理求解.
9
感受新知2
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°, AC=1， BC=3. AB的中垂线DE交BC于点D, 连结AD， 则AD的长为——.
设计意图： 1.能利用勾股定理解决简单的实际问题； 2.通过用代数式、方程等表述数量关系的过程，体 会模型的思想，建立符号意识；
3.初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和 提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的 实际问题，增强应用意识，提高实践能力；
4.本题是我国古代数学著作《九章算术》中的问题 ，展现我国古人在勾股定理应用研究方面的成果. 7