2015-2016学年广东省仲元中学高一上学期期末考试数学
XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案
XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案XXX2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学一、选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设全集 $U=\{1,2,3,4,5,6\}$，集合 $M=\{1,4\}$，$N=\{1,3,5\}$，则 $N\cap (U-M)=()$A。
$\{1\}$ B。
$\{3,5\}$ C。
$\{1,3,4,5\}$ D。
$\{1,2,3,5,6\}$2.已知平面直角坐标系内的点 $A(1,1)$，$B(2,4)$，$C(-1,3)$，则 $AB-AC=()$A。
$22$ B。
$10$ C。
$8$ D。
$4$3.已知 $\sin\alpha+\cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt{10}}$，$\alpha\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，则 $\tan\alpha$ 的值是（）A。
$-\frac{3}{4}$ B。
$-\frac{4}{3}$ C。
$\frac{3}{4}$ D。
$\frac{4}{3}$4.已知函数 $f(x)=\sin(\omega x+\frac{\pi}{4})$（$x\inR,\omega>0$）的最小正周期为 $\pi$，为了得到函数$g(x)=\cos\omega x$ 的图象，只要将 $y=f(x)$ 的图象（）：A.向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位长度B.向右平移$\frac{\pi}{4}$ 个单位长度C.向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度D.向右平移$\frac{\pi}{2}$ 个单位长度5.已知 $a$ 与 $b$ 是非零向量且满足 $3a-b\perp a$，$4a-b\perp b$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。
$\frac{\pi}{4}$ B。
$\frac{\pi}{3}$ C。
广东仲元中学2016学年第一学期期中考试高一数学试题
19．（本小题满分 12 分）
已知函数 f ( x)
3x 5, x 0 x 5,0 x 1 .
2x 8, x 1
（ 1）求
f ( 3) ，
1 f( )，
f ( 1) 的值；
2
（ 2）建立直角坐标系画出这个函数的图象；
（ 3）指出 f ( x) 的最大值 .
.
14．函数 f ( x) x2 2(a 1)x 2 单调递减区间为 ( , 4] ，则实数 a 的值为
.
15．设函数 f x 满足 f x 1 f 1 log 2 x ，则 f 2 ___________． 2
16．已知函数 f ( x ) ex e x 1( e 是自然对数的底数 )，若 f ( a ) 2 016，则 f ( a ) 的
值为 ___________．
三、解答题：
17．（本题共 2 小题，每小 题 5 分，满分 10 分）
（ 1）计算： （ 2）解方程：
1 72
27
－
1 3
29 ＋ 64
－
log3(6x 9) 3
log2 9
.
log2 3
18. （本小 题满分 12 分）
已知集合 A { x | 2 x 5} ， B { x | m 4 x 3m 2} . （ 1）若 A B B ，求实数 m 的取值范围； （ 2）若 A B B ，求实数 m 的取值范围 .
f ( x) （ ）
1 A ． 2x
B ． log1 x
2
C． l o g2 x
6．已知幂函数 (x) 的图象过点（ 3， ），则 (4) =（ ）
D． x2
A．
B．1
x
7．函数 y
广东省仲元中学2015-2016学年高一下学期期中考试数学试题 含答案
广东仲元中学2015学年第二学期期中考试高一年级试数学试卷命题人：叶春风 审题人：苏宏英Ⅰ卷 选择题60分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．120-°的角所在象限是 ( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角2．已知一个扇形的周长是半径的4倍，则该扇形的圆心角的弧度数为（ )A ．21 B ．1C ．2D ．43．在四边形ABCD 中，AD AB AC +=，则下列结论一定正确的是（ ）A ． ABCD 一定是矩形B ． ABCD 一定是菱形C ． ABCD 一定是正方形D ．ABCD 一定是平行四边形4．已知角α的终边经过点)4,3(-P ，则αsin 的值为( ）A ．53- B ．53C ．54-D ．54 5．已知角[]πα,0∈，若21sin ≥α，则α的取值范围是( ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,6ππ B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,3ππ C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππD ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,3ππ 6．已知31cos sin =+αα，则=α2sin ( ）A ．91-B ．92C ．98-D ．32 7．向量)1,2(),2,1(=-=b a ，则（ ）A ． a ∥bB ． a ⊥bC ． a 与b 的夹角为60°D ． a 与b 的夹角为30°8．在边长为2的正方形ABCD 中，点M 满足CD CM λ=，10<<λ，则=⋅AB AM ()A ． 4B ．2C ．λ2D ．λ2- 9．函数x x y 22sin cos -=是（ ）A ．最小正周期为π的偶函数B ．最小正周期为π2的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π2的奇函数10．若函数x x f 2sin )(=,则)(x f 图象的一个对称中心的坐标为( )A ． )0,4(πB ．)0,3(πC ．)0,2(πD ． )0,(π11．要得到12cos -=x y 的图象,只需将函数x y 2sin =的图象（ )A ．向右平移4π个单位，再向上平移1个单位 B ．向左平移4π个单位,再向下平移1个单位 C ．向右平移2π个单位，再向上平移1个单位D ．向左平移2π个单位，再向下平移1个单位12．已知P是ABC∆所在平面内一点，D 为AB 的中点,若PB PA PC PD ++=+)1(2λ,且PBA∆与PBC ∆的面积相等，则实数λ的值为( ）A ．2-B ．1- C ．1D ．2Ⅱ卷 非选择题90分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分． 13．已知平面向量)1,2(-=a =_________． 14．计算22sin 15°＋22sin 75°＝________．15．已知向量)2,cos 3(α=a 与向量)sin 4,3(α=b 平行，则锐角α等于 ．16．已知ABC ∆，D 是线段BC 上一点，且DC BD 2=,若R AC AB AD ∈+=μλμλ,,，则=λ ，=μ ．三、解答题：本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 已知函数)6sin()(π+=x x f .(1)利用“五点法”画出函数()f x 在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-611,6ππ上的简图(先在答题卡中所给的表格中填上所需 的数值，再画图）；(2）当[]π,0∈x 时，求函数()f x 的最大值和最小值及相应的x 的值．18．（本小题满分12分)已知向量),4,3(),2,(),3,1(===c m b a 且c b a ⊥-)3( (1)求实数m 的值；（2)求向量a 与b 的夹角θ．19．(本小题满分12分）已知某海滨浴场海浪的高度y （米)是时间t (0≤t ≤24,单位：小时)的函数，记作：y ＝f (t ),下表 是某日各时的浪高数据：经长期观测,y ＝f （t ）的曲线可近似地看成是函数b t A y +=ωcos（1）根据以上数据，求函数b t A y +=ωcos 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式；(2）依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据（1)的结论，判断一天内的上午8∶00时至晚上20∶00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动?20．（本小题满分12分） 已知向量)1,2(),sin ,(cos -==b a θθ （1）若b a ⊥，求θθθθcos sin cos sin +-的值；（2）若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=-2,0,2πθb a ，求)4sin(πθ+的值．21．(本小题满分12分） 已知(3sin ,1)a x =,(cos ,2)b x =(1）若//a b ，求tan 2x 的值； (2)若()()f x a b b =-⋅,求()f x 的单调递增区间．22．(本小题满分12分） 已知函数x x x x f 2cos 2cos sin 32)(+=（1)求)24(πf 的值；（2)若函数)(x f 在区间[]m m ,-上是单调递增函数，求实数m 的最大值;(3）若关于x 的方程0)(=-a x f 在区间⎪⎭⎫⎝⎛2,0π内有两个实数根)(,2121x xx x <，分别求实数a 与2111x x +的取值范围．广东仲元中学2015学年期中考试高一数学答案一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，满分60分．CCDDC CBAAC BB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,满分20分．13．514．23 15．4π16． 31，32三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分) 解：（1)列表如下…………3分 图像（略） …………6分 (2）[],,0π∈x 61166πππ≤+≤∴x……………7分 由图像可知，当26ππ=+x ，即3π=x 时，函数()f x 取得最大值1,……………8分当6116ππ=+x ，即π=x 时,函数()f x 取得最小值1-，……………9分∴函数()f x 取得最大值时对应的x 的值为3π，函数()f x 取得最小值时对应的x 的值为π．……10分 18． （本题满分12分)解： （1）∵(1,3),(,2),(3,4)m ==a b c =， ∴3(1,3)(3,6)(13,3)m m -=-=--a b .……………2分 ∵(3)-⊥a b c ，∴(3)(13,3)(3,4)m -⋅--⋅a b c =3(13)(3)4m =-+-⨯990m =--= ……………5分 解得1m =-。
2015-2016年广东省广州市番禹区仲元中学高一下学期数学期末试卷及参考答案
数阵的形式，根据以上排列规律，数阵中的第 n 行（n≥3）的第 3 个（从左至右） 数是 ．
三、解答题（本大题 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算
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步骤） 17． （10 分）已知向量 =（cosx，﹣ ） ， =（ （x）= • （1）求 f（x）的最小正周期； （2）用五点作图法做出 f（x）在区间[0，π]上的草图； （3）写出 f（x）在区间[0， ]上的最大值和最小值． sinx，cos2x） ，x∈R，设函数 f
） C．{1，5} D．{2，4} ）
A．{1，3，5} B．{1，2，4，5}
2． （5 分）cos42°cos78°﹣sin42°sn78°=（ A． B．﹣ C． D．﹣
3． （5 分）若 a＞b＞c，则下列不等式成立的是（ A． ＞ B． ＜
）
C．ac＞bc D．ac＜bc cosα，则角 α 的取值范围是（ D． ） ）
的取值范围是（ A． B．
12． （5 分）若不等式 ln 则实数 a 的取值范围是（
A．[1，+∞） B． （﹣∞，2] C． （﹣∞，﹣
一、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13． （5 分）若 x＞1，则 x+ 的最小值是 ． ．
14． （5 分）已知 tanθ=7，则 sinθcosθ+cos2θ=
2015-2016 学年广东省广州市番禹区仲元中学高一（下）期末数 学试卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题的四个选项中 只有一项是符合题目要求的. 1． （5 分）设全集 U=N，集合 A={x∈N|x2﹣6x+5≤0}，B={2，3，4}，则 A∩（∁
【百强校】2015-2016学年广东省仲元中学高一上学期期中数学试卷(带解析)
试卷第1页，共6页绝密★启用前【百强校】2015-2016学年广东省仲元中学高一上学期期中数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：144分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、若必有则称集合为自倒关系集合．在集合的所有非空子集中，具有自倒关系的集合的个数为（ ）A ．B ．C ．D ．2、函数与在同一坐标系中的图象只可能是（ ）试卷第2页，共6页3、函数 的反函数的图象经过点，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．4、定义在的函数满足且有，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．5、方程的解所在的区间为（ ） A ．B ．C ．D ．6、函数 的值域为（ ） A ．B ．C ．D ．7、若，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．8、设偶函数的定义域为，当时函数是减函数，则，，的大小关系为（ ）A ．B ．C ．D ．9、函数在闭区间上的最大值和最小值之和为（ ）试卷第3页，共6页A ．B ．C ．D ．10、下列函数中表示同一函数的是（ ） A ．B ．C ．D ．11、函数的定义域是 （ ） A ．B ．C ．D ．12、设全集为，，则为（ ）A ．B ．C ．D ．试卷第4页，共6页第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、给出下列两个集合的对应：①;②;③;④;⑤;其中是到的函数有 个．14、己知函数，则．15、已知其中为常数，若，则的值等于 ．16、己知幂函数的图象过点，则．三、解答题（题型注释）17、已知定义在R 上的函数是奇函数，函数的定义域为．（1）求的值；（2）若在上递减，根据单调性的定义求实数的取值范围；试卷第5页，共6页（3）在（2）的条件下，若函数在区间上有且仅有两个不同的零点，求实数的取值范围．18、已知二次函数满足，且对于任意恒成立． （1）求的值及的表达式； （2）设定义域为D ，现给出一个数学运算程序：，按照这个运算规则，若给出，请你写出满足上述条件的集合的所有元素．19、己知集合，（1）若为非空集合，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围．20、设函数．（1）在答题卡中先完成表格，再在坐标轴上画出函数在区间上的图像；（2）求函数在区间上的值域．试卷第6页，共6页21、某商品的进货价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件;如果每件商品在该售价的基础上每上涨1元，则每个月少卖10件（但每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨元（为正整数），每个月的销售利润为元．（1）求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围．（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？22、（1）计算． （2）化简．参考答案1、D2、A3、A4、B5、C6、C7、B8、B9、C10、D11、A12、B13、14、15、16、17、（1）；（2）；（3）．18、（1），；（2）．19、（1）；（2）．20、（1）详见解析；（2）．21、（1）其中为正整数且；（2）元．22、（1）；（2）0．【解析】1、试题分析：在自倒关系集合中，满足自倒关系的有-1，1，，，所以满足自倒关系的集合就是含有这4组元素的非空子集的个数，所以是，故选D．考点：新定义【易错点睛】本题考查了集合与元素的关系，以新定义的形式考察，属于中档题型，本题具有自倒关系的元素有-1，1，，，而容易出错就在有时会忽略了1和-1也具有自倒关系，本题渗透了集合的关系，体现了基础与应用性．2、试题分析：两个函数的单调性相反，故排除C和D ，过点，B排除，A 中的，故选A．考点：指数函数，对数函数的图像【方法点睛】主要考察了指对函数的图像，属于基础题型，当题设所给的是同底的指对函数的图像时，先判断两个函数的单调性是否一致，便于排除选项，然后再在单调性一致的图像中，考察指对函数的一些性质，或者分或两种情况观察图像是否正确．3、试题分析：根据题意，函数经过点，即，那么，故选A．考点：对数函数4、试题分析：故选B．考点：分段函数5、试题分析：设是增函数，，，，即，故选C．考点：函数的零点6、试题分析：当时，，所以，故选C．考点：对数函数7、试题分析：，所以，故选B．考点：指数运算8、试题分析：根据偶函数，所以，因为，所以，即，故选B．考点：函数的性质9、试题分析：，所以当时取得最小值0，当时取得最大值4，所以最大值和最小值的和是4，故选C．考点：二次函数的最值10、试题分析：的定义域为R ，的定义域是，故A不正确；的定义是R ，的定义域是，故B 不正确；的定义域是，解得，的定义域是，解得，所以两个函数的定义域不同，故C 不正确；和的定义域都是，并且化简后就是，故D正确．考点：函数的定义【方法点睛】考察了函数的表示以及函数的三个要素，属于基础题型，函数的三个要素包含定义域，对应关系和值域，只有两个函数的定义域相同，对应法则也相同，才是同一函数，当两个函数的定义域相同时，再看两个函数能否变形为同一个函数解析式．11、试题分析：，解得，故选A．考点：对数函数12、试题分析：，所以，故选B．考点：集合的运算13、试题分析：①②正确，满足映射的定义；③，但是0没有倒数，所以不正确；④不是正实数，所以不正确；⑤当时，，时，，当时，，故不正确，所以其中是到的函数有2个．考点：函数定义【方法点睛】本题主要考察了函数的定义，属于基础题型，两个非空数集和，集合中的任何一个元素在集合都有唯一确定的元素和其对应，这样的对应叫做到的函数，重点是抓住任何两字，看集合A中的任何一个元素是否在对应关系的作用下，在集合B中有元素和其对应，如果满足就是函数，否则不是．14、试题分析：，所以考点：分段函数15、试题分析：，所以判断是奇函数，，所以，即考点：奇函数【方法点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求函数值，属于基础题型，谨记一些法则，比如，奇函数+奇函数=奇函数，奇函数奇函数=偶函数，奇函数+偶函数=非奇非偶函数，所以本题并不是奇函数，但是奇函数，所以间接利用，求，最后求16、试题分析：设，当时，，所以，即函数是，那么考点：幂函数17、试题分析：（1）根据奇函数的定义可得，整理即得；（2）根据单调减函数的定义，当在上递减，可设任意实数，当时，，整理即得实数的取值范围；（3）整理可得，函数在区间上有且仅有两个不同的零点等价于方程在区间上有且仅有一个非零的实根，通过讨论判别式等于零和大于零两种情况分别求出实数的范围．试题解析：（1）函数是奇函数∴．∴得．（2）∵在上递减∴任给实数，当时∴∴（3）由（1）得，令，即．化简得．或．若是方程的根，则，此时方程的另一根为1，不符合题意．函数在区间上有且仅有两个不同的零点等价于方程（※）在区间上有且仅有一个非零的实根．①当时，得．若，则方程（※）的根为，符合题意;若，则与（2）条件下矛盾，不符合题意．．②当时，令由得．综上所述，所求实数的取值范围是．考点：函数的单调性、奇偶性；函数的零点．【方法点晴】本题主要考查了函数的单调性、奇偶性；函数的零点问题，属于中档题．根据函数的奇偶性和单调性求参数的范围是常见题型，其中一种重要方法就是根据定义代入整理，即可得到参数的值或范围；研究函数的零点个数常常转化为方程的根的个数，本题中，通过化简转化为讨论一元二次方程在给定区间上的解的个数问题，结合图象列出关于判别式、开口方向、对称轴的范围及区间端点的符号（多数时候只需要其中的一项或几项即可）满足的不等式组，即可求得参数范围.18、试题分析：（1）将代入不等式得到，设，根据，得到两个方程，然后再根据恒成立，转化为，计算结果；（2）第一步先计算，然后代入求，再求……会发现呈现周期性，元素会重复出现，根据元素的互异性得到集合．试题解析：解:（1）设，由，令得，∴联立得得又，即，对恒成立，∴所以有即故（2）由由题意，，，，，后面的数重复出现，根据集合的互异性，故考点：1．二次函数；2．元素与集合．19、试题分析：（1）若，那么，求解；（2）若，分，或是两种情况讨论．当时，即，当时，即或，求解．试题解析：解：（1）作出数轴可知若则有，解得：可得实数的取值范围为（2）则有如下三种情况：1），即，解得：；2），，则有解得：无解；3），，则有解得：．综上可得时实数的取值范围为考点：集合的关系运算【易错点睛】本题主要考察了两个集合的关系，属于基础题型，第一问容易出错在有等号函数没等号上面，这就要求我们做题时要细心，第二问当时，易忽略的情况，以及时，或是一种或的关系，而不是且的关系，做题时切记或是求并集，且求交集．20、试题分析：（1）计算数据填写表格，并且根据表格中数据画点，再描点画出一条光滑的曲线；（2）首先根据图像得到的值域，然后再求的值域．试题解析：解:（1）填表如下（2）若时，则当时，取最小值0;当时，取最大值8;若时，所以，在区间上的值域为又因为函数，所以在区间上的值域为．考点：函数的图像21、试题分析：（1）首先计算每一件的利润=售价-成本=，每月生产件，然后相乘就是与的函数关系式；（2）将函数整理为关于的二次函数，并且配方，根据定义域求函数的最大值，主要定义域．试题解析：解：（1）依题意可得每件商品的售价上涨元（为正整数），则每件商品对应的利润为元，而对应的销售量为，所以每个月的销售利润为，其中为正整数且．（2）由可得利润是关于的一元二次函数开口向下且对称轴为，所以当取时，即每件商品的售价定为元或元时，每个月的利润最大，最大利润为元考点：函数的应用22、试题分析：（1）考察了根式运算与指数运算，，，当为偶数时，；（2）考察了对数运算的公式，其中，，，代入计算结果．试题解析：解：（1）．（2）．考点：指对运算。
广东省仲元中学2015_2016学年高二数学上学期期末考试试卷(含解析)
广东省仲元中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试卷（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1A x x =≤ ，集合B Z = ，则A B =∩ （ ）{}.0A {}.11B x x -≤≤ {}.1,0,1C - .D ∅【答案】C考点：集合的基本运算.2.命题“000(0,), lnx 1x x ∃∈∞=- ”的否定是（ ）A ．000(0,),lnx 1x x ∃∈∞≠-B ．000(0,),lnx 1x x ∃∉∞=-C ．(0,),lnx x 1x ∀∈∞≠-D ．(0,),lnx x 1x ∀∉∞=- 【答案】C 【解析】试题分析：由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-，故应选C .【名师点睛】本题主要考查特称命题的否定，其解题的关键是正确理解并识记其否定的形式特征.先把存在量词（或全称量词）改为全称量词（或存在量词），再否定结论即可；扎根基础知识，强调教材的重要性，充分体现了教材在高考中的地位和重要性，考查了基本概念、基本规律和基本操作的识记能力. 考点：含一个量词的命题的否定.3.实数m 是[]0,6上的随机数，则关于x 的方程240x mx -+=有实根的概率为（ ）A ．14 B ． 13 C ．12 D ．23【答案】B 【解析】试题分析：要使关于x 的方程240x mx -+=有实根，则2()160m ∆=--≥，解得44m m ≥≤-或，实数m 是[]0,6上的随机数，所以[]4,6m ∈，则关于x 的方程240x mx -+=有实根的概率为641603-=-，所以选B. 考点：几何概型.4.已知1a =，2b = ，a 与b 的夹角为3π，那么4a b - 等于（ ）A ．2B ．6C ．．12 【答案】C考点：向量模的运算.5.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）A ．y=cosxB ．y=sinxC ．y=lnxD ．y=x 2+1 【答案】A 【解析】试题分析：函数A ．y=cosx ；B ．y=sinx ； C ．y=lnx ；D ．y=x 2+1中，是偶函数的是A ．y=cosx；D ．y=x 2+1函数D ．y=x 2+1恒大于等于1，不存在零点，所以应选A.考点：函数的零点及奇偶性.6.已知正数组成的等比数列{}n a ，若120100a a ⋅=，那么714a a +的最小值为（ ）A ．20B ．25C ．50D ．不存在 【答案】A 【解析】试题分析：在正数组成的等比数列{}n a 中， 因为120100a a ⋅=，由等比数列的性质可得120417100a a a a ⋅=⋅=，那么71420a a +≥=，当且仅当71410a a ==取等号，所以714a a +的最小值为20. 考点：等比数列的性质及基本不等式.7.设0.13()2a = ，lg(sin 2)b = ，3log 2c = ，则,,a b c 的大小关系是（ ）. A a b c ＞＞ . B a c b ＞＞ . C b ＞a ＞c . D b c a ＞＞【答案】B考点：比较大小.8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）2)A π+ 4)B π+ 2)C π+ 2)D π+ 【答案】C 【解析】试题分析：由三视图可知该几何体是由一个圆柱和半个圆锥组成，圆柱的体积为2122,ππ⨯⨯=半个圆锥的体积2111,32π⨯⨯=所以该几何体的体积为2π+6=2)π所以选. C 考点：利用三视图求体积.9.已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧+≥≤12x y y ，若可行域内存在点使得02=-+a y x 成立，则a 的最大值为（ ）A ．1-B ．1C ．4D ．5【答案】D考点：线性规划.10.已知条件p ：x 2-2x-3＜0，条件q ：x ＞a ，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为（ ）A ．a ＞3B ．a≥3C ．a ＜－1D ．a≤－1 【答案】D 【解析】试题分析： 由x 2-2x-3＜0可得13x -<<，设{}|13A x x =-<<，{}|B x x a =>，因为p是q 的充分不必要条件，所以A B A B ⊆≠且，可得1a ≤-. 考点：充分条件与必要条件.【名师点睛】判断充分条件和必要条件的方法(1)命题判断法：设“若p ，则q ”为原命题，那么：①原命题为真，逆命题为假时，p 是q 的充分不必要条件； ②原命题为假，逆命题为真时，p 是q 的必要不充分条件； ③原命题与逆命题都为真时，p 是q 的充要条件；④原命题与逆命题都为假时，p 是q 的既不充分也不必要条件． (2)集合判断法：从集合的观点看，建立命题p ，q 相应的集合：p ：A ＝{x |p (x )成立}，q ：B ＝{x |q (x )成立}，那么：①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；若A B 时，则p 是q 的充分不必要条件； ②若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件；若B A 时，则p 是q 的必要不充分条件； ③若A ⊆B 且B ⊆A ，即A ＝B 时，则p 是q 的充要条件． (3)等价转化法：p 是q 的什么条件等价于非q 是非p 的什么条件．11.若函数[)[]⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈=1,0,40,1,41)(x x x f x x ）（ 则411log 33f f ⎧⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭ （ ）A.31 B.3 C.41D.4 【答案】D考点：分段函数的应用.12.P 为双曲线221916x y -=的右支上一点，,M N 分别是22(5)4x y ++=圆和22(5)1x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为（ ）. 8A . 9B . 10C . 7D【答案】B【解析】试题分析：在双曲线221916x y -=中，123,4,5,F (5,0),(5,0),a b c F ===-P 为双曲线221916x y -=的右支上一点，所以12|PF |||26PF a -== ,M N 分别是22(5)4x y ++=圆和22(5)1x y -+=上的点，则112222|PM||PF ||MF |,|||PF ||N |,|||PF ||N |PN F PN F ≤+≥-∴-≤-+则11221212||||||||||||||||6219PM PN PF MF PF NF PF PF MF NF -≤+-+=-++=++=所以PM PN -最大值为9. 考点：双曲线的定义的应用.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13.在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点)1,2(-P ,则α2sin 的值为________.【答案】54-考点：三角函数的定义及二倍角公式.14.已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12-，则切点的横坐标为________. 【答案】2 【解析】试题分析：函数23ln 4x y x =-的定义域为(0,)+∞，设因为切点坐标为00(,)x y ，所以000331,|222x x x x y k y x x =''=-∴==-=-，解得03x =-（舍去）或02x =,所以应填2. 考点：导数的几何意义.15.已知直线10ax y +-=与圆()()22:11C x y a -++=相交于A,B 两点，且ABC ∆为等腰直角三角形，则实数a 的值为________.【答案】1或-1 【解析】试题分析：设AB 的中点为D ，由题意可得CD=BD且2221,CD BD BC CD +==∴=，圆()()22:11C x y a -++=的圆心坐标为C(1,)a -，所以2CD ==，解得1a =±. 考点：直线与圆的位置关系.16.三棱柱111ABC A B C -中，ABC 1平面⊥AA，所有顶点在同一个球面上，13,4,90AB AC AA BAC ===∠= ，则该球的表面积为________.【答案】π49考点：三棱柱外接球的体积.三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在等比数列{}n a 中，公比1q >， 22a =，前三项和37S =． (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)记2log n n b a =，121n n n c b b ++=⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】(Ⅰ)12n n a -=，(Ⅱ) 1n n +. 【解析】试题分析：(Ⅰ)由在等比数列{}n a 中，公比1q >， 22a =，前三项和37S =可得212a a q ==；231(1)7S a q q =++= 从而求出得1,a q 可得数列{}n a 的通项公式(Ⅱ)由(Ⅰ)数列{}n a 的通项公式, 可得数列{}n b 的通项公式，再由已知可得数列∴{}n c 的通项公式，由通项公式的特点，选择裂项求和求得数列{}n c 的前n 项和n T.考点：求数列的通项公式及裂项求和法求数列的前n 项和.【方法点睛】（1）观测数列的通项公式特点形式，看使用什么方法求和.使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源和目的.（2）在做题时注意观察式子特点选择有关公式和性质进行化简，这样给做题带来方便，掌握常见求和方法，如分组转化求和，裂项法，错位相减.18.某同学用“五点法”画函数)2,0()sin()(πϕωϕω<>+=x A x f 在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：（I ）请直接写出上表的1x 、2x 、3x ，并直接写出函数的解析式； （II ）将()f x 的图象沿X 轴向右平移23个单位得到函数()g x 的图象，P 、Q 分别为函数()g x 图象的最高点和最低点（如图），求OQP ∠的大小.【答案】（I ）()3sin()23f x x ππ=+（II ）=30o θ考点：求函数的解析式及余弦定理.19.某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图．（I ）求直方图中x 的值；（II ）求月平均用电量的众数和中位数；（III ）在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？【答案】（I ）0.0075，（II ）230,224；（III ）5（III ）月平均用电量为[)220,240的用户有0.01252010025⨯⨯=户，月平均用电量为[)240,260的用户有0.0075201001⨯⨯=户，月平均用电量为[)260,280的用户有0.005201001⨯⨯=户，月平均用电量为[]280,300的用户有0.0025201005⨯⨯=户，抽取比例11125151055==+++， 所以月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取12555⨯=户. ………………12分. 考点：频率分布直方图及分层抽样. 20.如图，四棱锥CD P -AB ，底面CD AB 是C 60∠AB = 的菱形，侧面D PA 是边长为2的正三角形，且与底面ABCD 垂直，M 为C P 的中点．（I ）求证：C D P ⊥A ；（II ）求直线DM 与平面C PA 所成的角的正弦值．【答案】（I ）证明见解析；（II ）562（II ）方法1：由（1）可知D PO ⊥A ，又平面D PA ⊥平面CD AB ，平面D PA 平面CD D AB =A ，PO ⊂平面D PA ， 所以PO ⊥平面CD AB ．即PO 为三棱锥CD P -A 的高．在Rt C ∆PO 中，C PO =O =，C P =方法2：用空间向量来计算.考点：线线垂直，直线与平面所成的角的正弦值.【方法点睛】利用向量法证明立体几何问题：(1)利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.(2)证明证线线垂直，只需要证明直线的方向向量垂直；（3)把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;(4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.21.（本小题满分12分） 已知椭圆()1112222>=-+a a y a x 的左右焦点为F 1，F 2，抛物线C ：y 2=2px 以F 2为焦点且与椭圆相交于点M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2），点M 在x 轴上方，直线F 1M 与抛物线C 相切．（I ）求抛物线C 的方程和点M 、N 的坐标；（II ） 设A ，B 是抛物线C 上两动点，如果直线MA ，MB 与y 轴分别交于点P ，Q ．△MPQ 是以MP ，MQ 为腰的等腰三角形，探究直线AB 的斜率是否为定值？若是求出这个定值，若不是说明理由．【答案】（1）（1，2）、（1，﹣2）；（2）-1.代入抛物线C 得21221)1(4)1(+=+x x x y ，即2121)1(4)1(4+=+x x x x ．∴0)1(12121=++-x x x x x ∵F 1M 与抛物线C 相切，∴△=04)1(21221=-+x x ， ∴x 1=1．∴M、N 的坐标分别为（1，2）、（1，﹣2）． ……………6分（2）直线AB 的斜率为定值﹣1． ……………7分考点：求抛物线方程及定值问题22.（本小题满分12分）已知函数()()(),ln x g x f x g x ax x==-. （I ）求函数()g x 的单调区间；（II ）若函数()()1,f x +∞在上是减函数，求实数a 的最小值．【答案】（I ）当e >x 时,0)(>'x g ， 所以函数)(x g 的增区间是),e (+∞ ，当e 0<<x 且1≠x 时,0)(<'x g ，所以函数)(x g 的单调减区间是)e ,1(),1,0(;（II ）14【解析】试题分析：（I ）先求出函数)(x g 的定义域为),1()1,0(+∞ , 再求出()g x '，由0)(>'x g ，得到函数)(x g 的增区间，由0)(<'x g ，可得函数)(x g 的单调减区间（II ）因f (x )在(1,)+∞上为减函数，()0f x '≤在(1,)+∞上恒成立，可得当(1,)x ∈+∞时，max ()0f x '≤．从而可得a 的最小值试题解析：（I ）由已知得函数)(x g 的定义域为),1()1,0(+∞ , ……1分函数22)(ln 1ln )(ln 1ln )(x x x x x x x g -=⋅-=', ………………2分 当e >x 时,0)(>'x g ， 所以函数)(x g 的增区间是),e (+∞;………………4分当e 0<<x 且1≠x 时,0)(<'x g ，所以函数)(x g 的单调减区间是)e ,1(),1,0(, …6分考点：函数的单调性及导数的关系，求参数的取值范围【方法点睛】(1)函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础，因此，我们一定要树立函数的定义域优先意识；（2）可导函数()x f 在指定的区间D 上单调递增（减），求参数问题，可转化为()0≥'x f ()()0≤'x f 或恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到. (3)对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：（1）()()max x f a x f a ≥⇔≥恒成立，（2）()()min x f a x f a ≤⇔≤恒成立。
广东省仲元中学15—16学年上学期高二期末考试数学(理)试题(附答案)
广东仲元中学2015学年第一学期期末考试高二年级数学（理科）试卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}1A x x =≤ ，集合B Z = ，则A B =∩ （ ）{}.0A {}.11B x x -≤≤ {}.1,0,1C - .D ∅2．命题“000(0,), lnx 1x x ∃∈∞=- ”的否定是（ ）A ．000(0,),lnx 1x x ∃∈∞≠-B ．000(0,),lnx 1x x ∃∉∞=-C ．(0,),lnx x 1x ∀∈∞≠-D ．(0,),lnx x 1x ∀∉∞=-3．实数m 是[]0,6上的随机数，则关于x 的方程240x mx -+=有实根的概率为（ ）A ．14 B ． 13 C ．12 D ．234、已知1a =，2b =，a 与b 的夹角为3π，那么4a b -等于（ ）A ．2B ．6C ．D ．12 5. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）A ．y=cosxB ．y=sinxC ．y=lnxD ．y=x 2+16. 已知正数组成的等比数列{}n a ，若120100a a ⋅=，那么714a a +的最小值为（ ）A ．20B ．25C ．50D ．不存在7.设0.13()2a = ，lg(sin 2)b = ，3log 2c = ，则,,a b c 的大小关系是（ ）. A a b c ＞＞ . B a c b ＞＞ . C b ＞a ＞c . D b c a ＞＞8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）2)A π+ 4)B π2)C π . 2)D π第8题9. 已知实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧+≥≤12x y y ，若可行域内存在点使得02=-+a y x 成立，则a 的最大值为（ ） A ．1-B ．1C ．4D ．510．已知条件p ：x 2-2x-3＜0，条件q ：x ＞a ，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为（ ）A ．a ＞3B ．a≥3C ．a ＜－1D ．a≤－111.若函数[)[]⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈=1,0,40,1,41)(x x x f x x）（ 则411log 33f f ⎧⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭ （ ）A.31 B.3 C.41D.4 12.P 为双曲线221916x y -=的右支上一点，,M N 分别是22(5)4x y ++=圆和22(5)1x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为（ ）. 8A . 9B . 10C . 7D二．填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分。
广东省仲元中学2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题带答案
广东仲元中学2015学年上学期期终考试高一数学试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.直线10x -=的倾斜角是（ ）A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 2.不等式2320x x -+-≥的解集是（ ）A ．{}|21x x x ><或B ．{}|21x x x ≥≤或 C ．{}|12x x ≤≤ D ．{}|12x x <<3.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）A ．y =B ．2(1)y x =-C ．2x y -=D ．0.5log y x = 4.设l 为直线，αβ、是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若//,//l l αβ，则//αβB ．若//,//l αβα，则//l βC ．若,//l l αβ⊥，则αβ⊥D ．若,//l αβα⊥，则l β⊥5.已知两直线12:40,:(1)320l x mx l m x my m ++=-++=．若12//l l ，则m 的值为（ ）A ．4B ．0或4C ．-1或12 D ．12 6.若方程220x y x y m +-++=表示圆，则实数m 的取值范围是（ ）A ．12m <B ．12m > C ．1m < D ．1m > 7.函数1()()22x f x x =-+的零点所在的一个区间是（ ） A ．(1,0)- B ．(0,1) C ．(1,2) D ．(2,3)8.在空间直角坐标系中，给定点(2, 1.3)M -，若点A 与点M 关于平面xOy 对称，点B 与点M 关于x 轴对称，则AB =（ ）A ．2B ．4C ．．9.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为（ ）A ．38663cm πB ．35003cm πC ．320483cm πD ．313723cm π 10. 00(,)M x y 为圆2220)x y a a +=>（外一点，则直线200x x y y a += 与该圆的位置关系为（ ）A ．相切B ．相离C ．相交D ．相切或相离11.若2156,(),log ,2x x P Q x R <<===,,P Q R 的大小关系是（ ）A ．Q P R <<B ．P Q R <<C ．Q R P <<D ．P R Q <<12.设函数()f x =K ，定义函数(),()(),()g f x f x K f x K f x K ≥⎧=⎨<⎩，若对于函数()f x =x ，恒有()()g f x f x =，则（ ）A ．K 的最小值为1B ．K 的最大值为1C ．K 的最小值为．K 的最大值为第Ⅱ卷（本卷共计90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）．13. P 为圆221x y +=的动点，则点P 到直线34100x y --=的距离的最大值为________．14.已知直线21y kx k =-+与圆22(2)(1)3x y -+-=相交于,M N 两点，则MN 等于__________．15.若函数()log (1)(0,1)a f x x m a a =-+>≠且恒过定点(,2)n ，则m n +的值为________．16.设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，1()4x f x a +=-（a 为常数），则(1)f -的值为________． 三、解答题：本大题共6小题，满分共70分.解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程.17.（满分10分）设函数()(01)f x a =<<的定义域为集合A ，已知集合{}{}|13,|B x x C x x m =<<=≥，全集为R ．（1）求()R C A B ；（2）若()A B C φ≠ ，求实数m 的取值范围．19.（本题满分12分）如图所示，已知AB ⊥平面BCD ，,M N 分别是,AC AD 的中点，BC CD ⊥．（1）求证：//MN 平面BCD ；（2）求证：平面ABC ⊥平面ACD ．20.（本小题12分）如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，1,2AA AD a AB a ===，E 为11C D 的中点． （1）求证：DE ⊥平面BEC ；（2）求三棱锥C BED -的体积．21.（本题满分12分）已知圆22:4O x y +=，圆O 与X 轴交于,A B 两点，过点B 的圆的切线为,l P 是圆上异于,A B 的一点，PH 垂直于X 轴，垂足为H ，E 是PH 的中点，延长,AP AE 分别交l 于,F C ．（1）若点(1P ，求以FB 为直径的圆的方程，并判断P 是否在圆上；（2）当P 在圆上运动时，证明：直线PC 恒与圆O 相切．22.（本题满分14分）函数()log (4)1(0,1)a f x x a a =-->≠所经过的定点为(,)m n ，圆C 的方程为222()()(0)x m y n r r -+-=>10y ++-=被圆C（1）求m n 、以及r 的值；（2）设点(2,1)P -，探究在直线1y =-上是否存在一点B （异于点P ），使得对于圆C 上任意一点T 到,P B 两点的距离之比TB k TP =（k 为常数）．若存在，请求出点B 坐标以及常数k 的值，若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题：DCACB ADABC DB二、填空题：13．3； 14． 15．4； 16．-12三、解答题：17．解：（1）因01a <<，由log (2)0a x -≥得021x <-≤，所以{}|23A x x =<≤，．．．．．2分{}|23R C A x x x =≤>或， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 {}{}{}()|23|13|12R C A B x x x x x x x =≤><<=<≤ 或，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由（1）知{}|23A x x =<≤，因{}|13B x x =<<，所以{}|13A B x x =<≤ ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分又{}|C x x m =≥， ()A B C φ≠ ，所以3m ≤， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分18．解：如图易知直线l 的斜率k 存在，设直线l 的方程为5(5)y k x -=-， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分， 圆22:25C x y +=的圆心为(0,0)，半径5r =，圆心到直线l 的距离，d =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分∴由222(55)251k k-+=+，可得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 22520k k -+=，∴2k =或12k =，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 l 的方程为250x y --=或250x y -+=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分∴AE CD ⊥，又∵BC CD ⊥．且AB BC B = ，∴CD ⊥平面ABC ，又∵CD ⊂平面ACD ，∴平面ABC ⊥平面ACD ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分20．（本小题12分）解：（1）证明：∵BC ⊥侧面11CDD C ，DE ⊂侧面11CDD C ，∴DE BC ⊥，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分在CDE ∆中，2,CD a CE DE ==，则有222CD CE DE =+，∴090DEC ∠=，即DE EC ⊥，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 又∵BC EC C = ，∴DE ⊥平面BCE ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）∵BC ⊥侧面11CDD C 且CE ⊂侧面11CDD C ，∴CE BC ⊥，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分则211222BCE S BC CE a a ∆==⨯= ， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 又∵DE ⊥平面BDE ，DE 就是三棱锥E BCD -的高， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分则2113323C BEDE BCD D BCE BCE a V V V DE S ---∆====⨯= ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分21．【解析】（1）由(1(2,0)P A -，∴直线AP 的方程为2),y x E =+，令2x =，得(2,3F ，由(1,2E ，(2,0)A -,则直线AE 的方程为(2)6y x =+，令2x =，得(2,3C ，∴C 为线段FB 的中点，以FB 为直径的圆恰以C 为圆心，半径等于3，所以，所求圆的方程为224(2)(3x y -+=，且P 在圆上， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （其他解法同样给分）（2）设00(,)P x y ，则00(,)2y E x ，直线AE 的方程为00(2)2(2)y y x x =++， 在此方程中令2x =，得002(2,)2y C x +， 直线PC 的斜率000000002200002224PC y y x x y x y x k x x y y -+==-=-=---， 若00x =，则此时PC 与y 轴垂直，即PC OP ⊥，若00x ≠，则此时直线OP 的斜率为00CP y k x =∴00001PC OP x y k k y x == ，即PC OP ⊥，则直线PC 与圆O 相切，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 22．解：（1）在函数()log (4)1(0,1)a f x x a a =-->≠中，当5x =时，1y =-，所以其经过的定点为点(5,1)-，即5,1m n ==-， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分由于直线AP 被圆C圆C 半径为r ，设圆心到直线AP 的距离为d ，由于圆心(5,1)-10y ++-=的距离为d ==，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分那么222d r +=，解之有5r =，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）假设在直线1y =-上存在一点B （异于点P ），使得对于圆C 上任意一点T 到P ，B 两点的距离之比TBk TP =（k 为常数）．圆与直线1y =-的交点为(0,1),(10,1)S Q --，设(,1)(2)B m m -≠，而若点T 在S 和Q 时，则有：SBQBSP QP =， 即：1028m m -=，解得103m =-，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 下面证明：设(,)T x y 为圆上任意一点，则：TB TP ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分，TB TP ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分53===， 所以在直线1y =-上存在一点10(,1)3B --，使得对于圆C 上任意一点T 到P ，B 两点的距离之比53TB TP =， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分。
广东省仲元中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题Word版含答案
广东仲元中学2015学年第一学期期中考试高一年级数学学科必修一模块试卷第I 卷 （本卷共计60 分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）1．设全集为U R =，{}|0A x x =>，{}|1B x x =>则U B A ⋂ð为（ ）A ．{}|0x x <B ．{}|01x x <≤C ．{}|1x x >D ．{}|01x x ≤<2．函数()()ln 1f x x =-的定义域是 ( )A ．(),1-∞B ．(],1-∞C ．[)1,+∞D ．()1,+∞3．下列函数中表示同一函数的是（ ）AC4．函数221y x x =-+在闭区间[]0,3上的最大值和最小值之和为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．55．设偶函数()f x 的定义域为R ，当[)0,x ∈+∞时函数()f x 是减函数，则()3f -，()fπ，()3.14f -的大小关系为（ ）A ．()()()3.143f f f π=->-B ．()()()3.143f f f π<-<-C ．()()()3.143f f f π>->-D ．()()()3 3.14f f f π<-<-6．若21025x-=，则10x 的值为（ ）A7．函数()31log ,9y x x =+> 的值域为（ ）A ．[)2,+∞B ．[)3,+∞C ．()3,+∞D ．R8．方程3log 3x x +=的解所在的区间为（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,+∞9．定义在*N 的函数()f x 满足()12f =，则()12f 的值为（ ）A．110.函数()log 01a y x a a =>≠且 的反函数的图象经过点()2,4，则a 的值为（ ） A ．2 B ．4C11．函数xy a =与()log 01a y x a a =->≠且在同一坐标系中的图象只可能是（ ）A ．B ．12. 若,x A ∈必有1A x ∈则称集合A 为自倒关系集合.所有非空子集中，具有自倒关系的集合的个数为（ ） A ．6 B ．9 C ．12 D ．15第II 卷 （本卷共计90 分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．己知幂函数()y f x =的图象过点，则()4f = ．14．已知3()4f x ax bx =+-其中,a b 为常数，若(2)2f -=，则(2)f 的值等于 ．15．己知函数()2,02,0x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩，则()[2]f f -= ．16．给出下列两个集合,A B A B →及的对应f ：①{}{}1,0,1,1,0,1:A B f A=-=-,中的数的平方; ②{}{}0,1,1,0,1:A B f A==-,中的数的开方; ③Z,:A B Q f A ==,中的数的倒数;④{},:A R B f A==正实数,中的数取绝对值; ⑤{}{}1234,246810:2,,A B f n m n A m B ===∈∈，，，，，，，,其中; 其中是A 到B 的函数有 个.三、解答题：（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题10分）（1）(5分)（2）(5分)化简223log 3log 2lg 2lg 5ln e ⋅++-.18．(本小题12分) 某商品的进货价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件;如果每件商品在该售价的基础上每上涨1元，则每个月少卖10件（但每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x 元（x 为正整数），每个月的销售利润为y 元. （1）求y 与x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围.（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？19．（本小题12分）设函数()22f x x x =-． （1）在答题卡中先完成表格，再在坐标轴上画出函数()f x 在区间[]2,3-上的图像；（2）求函数()()2g x f x =+在区间[]2,3-上的值域.20． （本小题12分）己知集合{}|2135A x a x a =+≤≤-，{}|116B x x x =<->或 （1）若A 为非空集合，求实数a 的取值范围； （2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围．21. (本小题12分) 已知二次函数)(x f 满足0)1(=-f ,且()()2421x f x x ≤≤+对于任意R x ∈恒成立.(1)求)1(f 的值及)(x f 的表达式；(2)设)(1)(2x f x x g -=定义域为D ，现给出一个数学运算程序：)(......)()(123121-=→→=→=→n n x g x x g x x g x x ,按照这个运算规则，若给出371=x ,请你写出满足上述条件的集合{}n x x x x D ,......,,,321=的所有元素.22.（本小题12分）已知定义在R 上的函数()2()1x a f x a R x +=∈+是奇函数,函数()1mxg x x=+的定义域为(1,)-+∞． （1）求a 的值； （２）若()1mxg x x=+在(1,)-+∞上递减，根据单调性的定义求实数m 的取值范围； （３）在（２）的条件下，若函数()()()h x f x g x =+在区间()-1,1上有且仅有两个不同的零点，求实数m 的取值范围.广东仲元中学2015学年第一学期期中考试高一年级数学学科必修一模块试卷参考答案一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）BADCB BCCBA AD二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．2 14．10- 15．16 16． 2三、解答题：（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（1分（2）()223221log 3log 2lg 2lg 5ln log 3lg 2lg 52ln log 3e e ⋅++-=⋅++- 1120=+-=..............10分18. （本小题满分12分） 解：（1）依题意可得每件商品的售价上涨x 元（x 为正整数），则每件商品对应的利润为504010x x -+=+元，而对应的销售量为21010x -，...............2分所以每个月的销售利润为()()()2102101010 5.52402.5y x x x =+-=--+，其中x 为正整数且015x <≤. ..............6分（2）由()()()2102101010 5.52402.5y x x x =+-=--+ 可得利润y 是关于x 的一元二次函数开口向下且对称轴为5.5，所以当x 取56和时， ..............10分 即每件商品的售价定为45元或46元时，每个月的利润最大，最大利润为2400元。
广东省仲元中学2015届高考理数考前交流卷
广东仲元中学2015届高三数学（理科）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．共4页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．选择题答案的序号填涂在答题卡指定的位置上，非选择题应在答题卡上对应的位置作答. 超出答题区域书写的答案无效．2．作选考题时，按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．参考数据：球的表面积公式24R S π=，其中S 是球的表面积，R 是球的半径．第I 卷（选择题 共40分）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 设全集{}54,3,2,10，，=U ，集合A ={}531，，，B ={}3,0，则()U A C B =I A. φ B. {}3 C. {}542，，D. {}51， 2．复数iz 211-=在复平面上所对应的点在 A ． 第一象限C. 第三象限D. 第四象限 3．已知ABC ∆中，=a ，3=b ，060=B ，那么角A 等于A. 135°B. 45°或135°C. 30°D. 45° 4.在ABC ∆中，)1,1(=，),2(m =， 且090=∠B ，则实数m 的值为 A ．2 B ．0 C ．—1 D ．—25．设变量x y ，满足约束条件142x y x y y --⎧⎪+⎨⎪⎩≥，≤，≥则目标函数24z x y =+的最大值为（ ）Ａ．10Ｂ．12Ｃ．13Ｄ．146.已知函数)(log )(b x x f a +=的大致图象如左图，其中b a ,为常数，则函数b a x g x+=)(的大致图象是7．等差数列{}n a 的通项32-=n a n ，记其公差为d ，等比数列{}n b 的通项13+=n n b ，记其公比为q ，且11a b a =，那么执行如右图所示的程序框图，输出的结果为 A ．9 B ． 3 C ．2 D ．—98. 记实数1x ，2x ，……n x 中的最大数为max {}12,,......n x x x ，最小数为min {}12,,......n x x x 。
【全国百强校】广东省广州市番禺区仲元中学2016-2017学年高一上学期期末考试数学试题
广东2016学年第一学期期末考试高一年级水平考试数学学科试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知，，则（）．A. B. C. D.2. 函数的零点为，（）．A. B. C. D.3. 函数（）．A. 是奇函数且在区间上单调递增B. 是奇函数且在区间上单调递减C. 是偶函数且在区间上单调递增D. 是偶函数且在区间上单调递减4. 函数，则（）．A. B. C. D.5. 已知三条不重合的直线、、，两个不重合的平面、，有下列命题：①若，，则；②若，且，则；③若，，，，则；④若，，，，则．其中正确的命题个数是（）．A. B. C. D.6. 已知直线，且，则的值为（）．A. 或B.C.D. 或7. 已知，，点在轴上且到、两点的距离相等，则点坐标为（）．A. B. C. D.8. 已知圆与圆相离，则的取值范围（）．A. B. C. D.9. 某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的表面体为（）．学*科*网...A. B.C. D.10. 设直三棱柱的体积为，点、分别在侧棱、上，且，则四棱锥的体积为（）．A. B. C. D.11. 如图（）四边形为直角梯形，动点从点出发，由沿边运动，设点运动的路程为，面积为．若函数的图象如图（），则的面积为（）．A. B. C. D.12. 若，分别是方程，的解，则关于的方程的解的个数是（）．A. B. C. D.第Ⅱ卷（本卷共计90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）．13. 在直角坐标系中，直线的倾斜角__________．14. 计算：__________．15. 由直线上任意一点向圆引切线，则切线长的最小值为__________．16. 将正方形沿对角线折成直二面角，有如下四个结论：①；②是等边三角形；③与所成的角为，④取中点，则为二面角的平面角．其中正确结论是__________．（写出所有正确结论的序号）三、解答题．本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程．17. 已知集合，，，全集为实数集．（）求和．（）若，求实数的范围．18. 已知圆的圆心在直线上，半径为，且圆经过点和点．①求圆的方程．②过点的直线截图所得弦长为，求直线的方程．19. 如图所示，四棱锥中，底面为矩形，平面，，点为的中点．（）求证：平面．（）求证：平面平面．20. 已知二次函数．（）若函数在上单调递减，求实数的取值范围．（）是否存在常数，当时，在值域为区间且？21. 如图，四边形中，，，，，、分别在、上，，现将四边形沿折起，使平面平面．（）若，是否存在折叠后的线段上存在一点，且，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．（）求三棱锥的体积的最大值，并求此时点到平面的距离．22. 如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点．．①设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程．②设点满足存在圆上的两点和，使得四边形为平行四边形，求实数的取值范围．广东2016学年第一学期期末考试高一年级水平考试数学学科试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知，，则（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由已知可得，故选C．考点：集合的基本运算．2. 函数的零点为，（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】函数连续，且，，∵在定义域上单调递增，∴的存在唯一的零点．本题选择B选项.3. 函数（）．A. 是奇函数且在区间上单调递增B. 是奇函数且在区间上单调递减C. 是偶函数且在区间上单调递增D. 是偶函数且在区间上单调递减【答案】A【解析】由可知是奇函数，排除，，且，由可知错误，故选．4. 函数，则（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：，．故A正确．考点：分段函数求值．5. 已知三条不重合的直线、、，两个不重合的平面、，有下列命题：①若，，则；②若，且，则；③若，，，，则；④若，，，，则．其中正确的命题个数是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：当在平面内时,，①错误；两个平面的垂线平行,且两个平面不重合,则两个平面平行,②正确；③中,当时,平面可能相交,③错误；④正确.故选B.考点：空间线面位置关系.6. 已知直线，且，则的值为（）．A. 或B.C.D. 或【答案】D【解析】当时，直线，，此时满足，因此适合题意；当时，直线，化为，可得斜率，化为，可得斜率．∵，∴，计算得出，综上可得：或．本题选择D选项.7. 已知，，点在轴上且到、两点的距离相等，则点坐标为（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】设点，则∵，，点到、两点的距离相等，∴，∴，∴点坐标为．本题选择C选项.8. 已知圆与圆相离，则的取值范围（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】∵圆的圆心为，半径为，圆的标准方程为，则．又两圆相离，则：，本题选择D选项.学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...9. 某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的表面体为（）．A. B.C. D.【答案】C【解析】几何体是一个组合体，包括一个三棱柱和半个圆柱，三棱柱的是一个底面是腰为的等腰直角三角形，高是，其底面积为：，侧面积为：；圆柱的底面半径是，高是，其底面积为：，侧面积为：；∴组合体的表面积是，本题选择C选项.点睛：(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．10. 设直三棱柱的体积为，点、分别在侧棱、上，且，则四棱锥的体积为（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：假设重合，重合,则考点：棱柱棱锥的体积11. 如图（）四边形为直角梯形，动点从点出发，由沿边运动，设点运动的路程为，面积为．若函数的图象如图（），则的面积为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，当在上时，；当在上时，．根据勾股定理，可得，所以．本题选择B选项.12. 若，分别是方程，的解，则关于的方程的解的个数是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】∵，分别是方程，的解，∴，，∴，，作函数与的图象如下：结合图象可以知道，有且仅有一个交点，故，即．分类讨论：（）当时，方程可化为，计算得出，．（）当时，方程可化为，计算得出，；故关于的方程的解的个数是，本题选择B选项.点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．第Ⅱ卷（本卷共计90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）．13. 在直角坐标系中，直线的倾斜角__________．【答案】【解析】试题分析：直线化成，可知，而，故．考点：直线的倾斜角与斜率．14. 计算：__________．【答案】-1【解析】．故答案为-1.15. 由直线上任意一点向圆引切线，则切线长的最小值为__________．【答案】2【解析】线段即为切线长，因为圆的切线要与过切点的半径垂直，所以，是定值，所以要求的最小值，只需求的最小值，当垂直直线时，的长度最小，由点到直线的距离公式得，此时．故答案为．16. 将正方形沿对角线折成直二面角，有如下四个结论：①；②是等边三角形；③与所成的角为，④取中点，则为二面角的平面角．其中正确结论是__________．（写出所有正确结论的序号）【答案】①，②【解析】如图所示，取中点，则，，所以平面，从而可得，故①正确；设正方形边长为，则，所以，又因为，所以是等边三角形，故②正确；分别取，的中点为，，连接，，．则，且，，且，则是异面直线，所成的角．在中，，，∴．则是正三角形，故，③错误；如上图所示，由题意可得：，则,由可得，据此可知：为二面角的平面角，说法④正确.故答案为：①，②，④.点睛：(1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．三、解答题．本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程．17. 已知集合，，，全集为实数集．（）求和．（）若，求实数的范围．【答案】(1)，.(2)．【解析】试题分析：(1)由题意可得：，，，则，.(2)由题意结合集合C可得．试题解析：（），，，所以，,则.（），所以．18. 已知圆的圆心在直线上，半径为，且圆经过点和点．①求圆的方程．②过点的直线截图所得弦长为，求直线的方程．【答案】①.②.或．【解析】试题分析：①.由题意设出圆心坐标，结合圆经过的点得到方程组，求解方程组计算可得圆的方程为．②.分类讨论直线的斜率存在和斜率不存在两种情况可得直线的方程为或．试题解析：①由题意可知，设圆心为．则圆为：，∵圆过点和点，∴，则．即圆的方程为．②设直线的方程为即，∵过点的直线截图所得弦长为，∴，则．当直线的斜率不存在时，直线为，此时弦长为符合题意，即直线的方程为或．19. 如图所示，四棱锥中，底面为矩形，平面，，点为的中点．（）求证：平面．（）求证：平面平面．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】试题分析：(1)连接交于，连接．利用几何关系可证得，结合线面平行的判断定理则有直线平面．(2)利用线面垂直的定义有，结合可证得平面，则，由几何关系有，则平面，利用面面垂直的判断定理即可证得平面平面．试题解析：（）连接交于，连接．因为矩形的对角线互相平分，所以在矩形中，是中点，所以在中，是中位线，所以，因为平面，平面，所以平面．（）因为平面，平面，所以；在矩形中有，又，所以平面，因为平面，所以；由已知，三角形是等腰直角三角形，是斜边的中点，所以，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面．20. 已知二次函数．（）若函数在上单调递减，求实数的取值范围．（）是否存在常数，当时，在值域为区间且？【答案】(1)．(2)存在常数，，满足条件．【解析】试题分析：(1)结合二次函数的对称轴得到关于实数m的不等式，求解不等式可得实数的取值范围为．(2)在区间上是减函数，在区间上是增函数．据此分类讨论：①当时，．②当时，．③当，．综上可知，存在常数，，满足条件．试题解析：（）∵二次函数的对称轴为，又∵在上单调递减，∴，，即实数的取值范围为．（）在区间上是减函数，在区间上是增函数．①当时，在区间上，最大，最小，∴，即，解得．②当时，在区间上，最大，最小，∴，解得．③当，在区间上，最大，最小，∴，即，解得或，∴．综上可知，存在常数，，满足条件．点睛：二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．21. 如图，四边形中，，，，，、分别在、上，，现将四边形沿折起，使平面平面．（）若，是否存在折叠后的线段上存在一点，且，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．（）求三棱锥的体积的最大值，并求此时点到平面的距离．【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.【解析】试题分析：(1)存在，使得平面，此时，即，利用几何关系可知四边形为平行四边形，则，利用线面平行的判断定理可知平面成立．(2)由题意可得三棱锥的体积，由均值不等式的结论可知时，三棱锥的体积有最大值，最大值为．建立空间直角坐标系，则，平面的法向量为，故点到平面的距离．试题解析：（）存在，使得平面，此时．证明：当，此时，过作，与交，则，又，故，∵，，∴，且，故四边形为平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面成立．（）∵平面平面，平面，，∴平面，∵，∴，，，故三棱锥的体积，∴时，三棱锥的体积有最大值，最大值为．建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，．，，．设平面的法向量为，则，∴，取，则，，∴．∴点到平面的距离．22. 如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆及其上一点．．①设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，求圆的标准方程．②设点满足存在圆上的两点和，使得四边形为平行四边形，求实数的取值范围．【答案】①.．②.．【解析】试题分析：①.由题意利用待定系数法可得圆的标准方程为．②.由题意四边形为平行四边形，则，据此有，求解不等式可得实数的取值范围是．试题解析：①圆的标准方程为：，则圆心为，．设，半径为，则，在同一竖直线上．则，，即圆的标准方程为．②∵四边形为平行四边形，∴，∵，在圆上，∴，则，即．。
2015-2016年广东省广州市番禹区仲元中学高一(上)期中数学试卷及参考答案
2015-2016学年广东省广州市番禹区仲元中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知全集U=R，A={x|x＞0}，B={x|x＞1}，则A∩∁U B（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|0≤x＜1}D．{x|0≤x≤1}2．（5分）函数f（x）=ln（1﹣x）的定义域为（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）3．（5分）下列函数中表示同一函数的是（）A．y=与y=（）4B．y=与y=C．y=与y=• D．y=与y=4．（5分）函数y=x2﹣2x+1在闭区间[0，3]上的最大值和最小值之和为（）A．2 B．3 C．4 D．55．（5分）设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，+∞）时函数f（x）是减函数，则f（﹣3），f（π），f（﹣3.14）的大小关系为（）A．f（π）=f（﹣3.14）＞f（﹣3）B．f（π）＜f（﹣3.14）＜f（﹣3）C．f（π）＞f（﹣3.14）＞f（﹣3）D．f（π）＜f（﹣3）＜f（﹣3.14）6．（5分）若10﹣2x=25，则10x的值为（）A．B．C．D．7．（5分）函数y=1+log3x，（x＞9）的值域为（）A．[2，+∞）B．[3，+∞）C．（3，+∞）D．R8．（5分）方程log3x+x=3的解所在的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，+∞）9．（5分）定义在N*的函数f（x）满足f（1）=2且有f（n+1）=，则f（12）的值为（）A．B．C．D．110．（5分）函数y=log a x（a＞0且a≠1）的反函数的图象经过点（2，4），则a 的值为（）A．2 B．4 C．D．11．（5分）函数y=a x与y=﹣log a x（a＞0，且a≠1）在同一坐标系中的图象只可能是（）A．B．C．D．12．（5分）若x∈A则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M={﹣1，0，，，1，2，3，4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（）A．15 B．16 C．28D．25二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知幂函数y=xα的图象过点，则f（4）=．14．（5分）已知f（x）=ax3+bx﹣4，其中a，b为常数，若f（﹣2）=2，则f（2）的值等于．15．（5分）已知函数f（x）=，则f[f（﹣2）]=．16．（5分）给出下列两个集合A，B及A→B的对应f：①A={﹣1，0，1}，B={﹣1，0，1}，f：A中的数的平方；②A={0，1}，B={﹣1，0，1}，f：A中的数的开方；③A=Z，B=Q，f：A中的数的倒数；④A=R，B={正实数}，f：A中的数取绝对值；⑤A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8，10}，f：n=2m，其中n∈A，m∈B；其中是A到B的函数有个．三、解答题：（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）计算．（2）化简log23•log32+lg2+lg5﹣lne2．18．（12分）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品在该售价的基础上每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（14分）（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？19．（12分）设函数f（x）=|x2﹣2x|．（1）先完成表格，再在坐标轴上画出函数f（x）在区间[﹣2，3]上的图象；（2）求函数g（x）=f（x）+2在区间[﹣2，3]上的值域．20．（12分）已知集合A={x|2a+1≤x≤3a﹣5}，B={x|x＜﹣1或x＞16}（1）若A为非空集合，求实数a的取值范围；（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．21．（12分）已知二次函数f（x）满足f（﹣1）=0，且4x≤f（x）≤2（x2+1）对于任意x∈R恒成立．（1）求f（1）的值及f（x）的表达式；（2）设g（x）=定义域为D，现给出一个数学运算程序：x1→x2=g（x1）→x3=g （x2）→…x n=g（x n﹣1），按照这个运算规则，若给出x1=，请你写出满足上述条件的集合D={x1，x2，x3，…，x n}的所有元素．22．（12分）已知定义在R上的函数f（x）=（a∈R）是奇函数，函数g（x）=的定义域为（﹣1，+∞）．（1）求a的值；（2）若g（x）=在（﹣1，+∞）上递减，根据单调性的定义求实数m的取值范围；（3）在（2）的条件下，若函数h（x）=f（x）+g（x）在区间（﹣1，1）上有且仅有两个不同的零点，求实数m的取值范围．2015-2016学年广东省广州市番禹区仲元中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知全集U=R，A={x|x＞0}，B={x|x＞1}，则A∩∁U B（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|0≤x＜1}D．{x|0≤x≤1}【解答】解：∵C U B={x|x≤1}，∴A∩C U B={x|0＜x≤1}，故选：B．2．（5分）函数f（x）=ln（1﹣x）的定义域为（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：要使原函数有意义，则1﹣x＞0，解得：x＜1所以原函数的定义域（﹣∞，1）．故选：A．3．（5分）下列函数中表示同一函数的是（）A．y=与y=（）4B．y=与y=C．y=与y=• D．y=与y=【解答】解：对于A，函数y==x2（x∈R），与函数y==x2（x≥0）的定义域不同，所以不是同一函数；对于B，函数y==x（x∈R），与函数y==x（x≠0）的定义域不同，所以不是同一函数；对于C，函数y==（x≤﹣1或x≥0），与函数y=•=（x≥0）的定义域不同，所以不是同一函数；对于D，函数y=（x≠0），与函数y==（x≠0）的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数．故选：D．4．（5分）函数y=x2﹣2x+1在闭区间[0，3]上的最大值和最小值之和为（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：函数y=x2﹣2x+1的图象是开口朝上，且以直线x=1为对称轴的抛物线，若x∈[0，3]，则当x=1时，函数取最小值0，当x=3时，函数取最大值4，故函数y=x2﹣2x+1在闭区间[0，3]上的最大值和最小值之和为4，故选：C．5．（5分）设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，+∞）时函数f（x）是减函数，则f（﹣3），f（π），f（﹣3.14）的大小关系为（）A．f（π）=f（﹣3.14）＞f（﹣3）B．f（π）＜f（﹣3.14）＜f（﹣3）C．f（π）＞f（﹣3.14）＞f（﹣3）D．f（π）＜f（﹣3）＜f（﹣3.14）【解答】解：由题意函数f（x）为偶函数，∴f（x）=f（|x|）．∵|﹣3|＜|﹣3.14|＜π，函数f（x）当x∈[0，+∞）时，f（x）是减函数，∴f（|﹣3|）＞f（|﹣3.14|）＞f（π），∴f（π）＜f（﹣3.14）＜f（﹣3）．故选：B．6．（5分）若10﹣2x=25，则10x的值为（）A．B．C．D．【解答】解：10﹣2x=（10x）﹣2=25=52=（）﹣2，∴10x=，故选：B．7．（5分）函数y=1+log3x，（x＞9）的值域为（）A．[2，+∞）B．[3，+∞）C．（3，+∞）D．R【解答】解：∵x＞9，∴log3x＞2，∴函数y=1+log3x，（x＞9）的值域为（3，+∞），故选：C．8．（5分）方程log3x+x=3的解所在的区间是（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，+∞）【解答】解：构造函数f（x）=log3x+x﹣3，方程log3x+x=3的解所在的区间是函数f（x）=log3x+x﹣3零点所在的区间，由于f（0）不存在，f（1）=﹣2，f（2）=log32﹣1＜0，f（3）=1＞0故零点存在于区间（2，3）方程log3x+x=3的解所在的区间是（2，3）故选：C．9．（5分）定义在N*的函数f（x）满足f（1）=2且有f（n+1）=，则f（12）的值为（）A．B．C．D．1【解答】解：f（12）=f（11+1）=f（11）=f（10+1）=f（10）=f（9+1）=f （9）=f（8+1）=×f（8）=f（7）=f（6）=f（5）=f（4）=f（3）=f（2）=f（1）=×2=，故选：B．10．（5分）函数y=log a x（a＞0且a≠1）的反函数的图象经过点（2，4），则a 的值为（）A．2 B．4 C．D．【解答】解：∵函数y=log a x（a＞0且a≠1）的反函数的图象经过点（2，4），∴原函数y=log a x（a＞0且a≠1）经过点（4，2），∴2=log a4，∴a2=4，解得a=2．故选：A．11．（5分）函数y=a x与y=﹣log a x（a＞0，且a≠1）在同一坐标系中的图象只可能是（）A．B．C．D．【解答】解：根据y=﹣log a x的定义域为（0，+∞）可排除选项B，选项C，根据y=a x的图象可知0＜a＜1，y=﹣log a x的图象应该为单调增函数，故不正确选项D，根据y=a x的图象可知a＞1，y=﹣log a x的图象应该为单调减函数，故不正确故选：A．12．（5分）若x∈A则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M={﹣1，0，，，1，2，3，4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（）A．15 B．16 C．28D．25【解答】解：具有伙伴关系的元素组有﹣1，1，、2，、3共四组，它们中任一组、二组、三组、四组均可组成非空伙伴关系集合，由组合数公式可得其个数依次为C41+C42+C43+C44=15故选：A．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知幂函数y=xα的图象过点，则f（4）=2．【解答】解：∵已知幂函数y=xα的图象过点，则2α=，∴α=，故函数的解析式为y f（x）=，∴f（4）==2，故答案为2．14．（5分）已知f（x）=ax3+bx﹣4，其中a，b为常数，若f（﹣2）=2，则f（2）的值等于﹣10．【解答】解：∵f（﹣2）=﹣8a﹣2b﹣4=2∴8a+2b=﹣6∴f（2）=8a+2b﹣4=﹣10故答案为：﹣1015．（5分）已知函数f（x）=，则f[f（﹣2）]=16．【解答】解：∵f（x）=，∴f（﹣2）=﹣2×（﹣2）=4，f[f（﹣2）]=f（4）=42=16．故答案为：16．16．（5分）给出下列两个集合A，B及A→B的对应f：①A={﹣1，0，1}，B={﹣1，0，1}，f：A中的数的平方；②A={0，1}，B={﹣1，0，1}，f：A中的数的开方；③A=Z，B=Q，f：A中的数的倒数；④A=R，B={正实数}，f：A中的数取绝对值；⑤A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8，10}，f：n=2m，其中n∈A，m∈B；其中是A到B的函数有2个．【解答】解：①A={﹣1，0，1}，B={﹣1，0，1}，f：A中的数的平方；满足函数的定义，正确②A={0，1}，B={﹣1，0，1}，f：A中的数的开方；不是函数关系，∵（±1）2=1，∴1有2个对应元素，不满足唯一性，不是函数关系．③A=Z，B=Q，f：A中的数的倒数；不是函数关系，∵0的倒数不存在，∴0没有对应元素，不是函数关系．④A=R，B={正实数}，f：A中的数取绝对值；不是函数关系，∵0的绝对值是0，∴0没有对应元素，不是函数关系．⑤A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8，10}，f：n=2m，其中n∈A，m∈B；满足函数关系，故答案为：2三、解答题：（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（1）计算．（2）化简log23•log32+lg2+lg5﹣lne2．【解答】解：（1）；（2），=1+1﹣2，=0．18．（12分）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品在该售价的基础上每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（14分）（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？【解答】解：（1）当每件商品的售价上涨x元时，每件产品的利润为50+x﹣40，此时的销量为210﹣10x，∴每个月的销售利润为y元与每件商品的售价上涨x元满足y=（210﹣10x）（50+x﹣40）=﹣10x2+110x+2100（0＜x≤15且x为正整数）；（2）y=﹣10（x﹣5.5）2+2402.5．∵a=﹣10＜0，∴当x=5.5时，y有最大值2402.5．∵0＜x≤15，且x为正整数，当x=5时，50+x=55，y=2400（元），当x=6时，50+x=56，y=2400（元）∴当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元；19．（12分）设函数f（x）=|x2﹣2x|．（1）先完成表格，再在坐标轴上画出函数f（x）在区间[﹣2，3]上的图象；（2）求函数g（x）=f（x）+2在区间[﹣2，3]上的值域．【解答】解：（1）填表如下..…（2分）…（6分）（2）∵..…（8分）若x∈[﹣2，0]∪[2，3]时，则当x=0或2时，f（x）取最小值0；当x=﹣2时，f（x）取最大值8；∴f（x）∈[0，8]若x∈（0，2）时，f（x）∈（0，1]∴f（x）在区间[﹣2，3]上的值域为[0，8]..…（10分）∵函数g（x）=f（x）+2，∴g（x）在区间[﹣2，3]上的值域为[2，10]．…（12分）20．（12分）已知集合A={x|2a+1≤x≤3a﹣5}，B={x|x＜﹣1或x＞16}（1）若A为非空集合，求实数a的取值范围；（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）若A≠∅则有2a+1≤3a﹣5，解得：a≥6可得实数a的取值范围为[6，+∞）；（2）A⊆B则有如下三种情况：1）A=∅，即3a﹣5＜2a+1，解得：a＜6；…（6分）2）A≠∅，A⊆（﹣∞，﹣1]，则有解得：a无解；…（8分）3）A≠∅，A⊆（16，+∞]，则有解得：．…（10分）综上可得A⊆B时实数a的取值范围为…（12分）21．（12分）已知二次函数f（x）满足f（﹣1）=0，且4x≤f（x）≤2（x2+1）对于任意x∈R恒成立．（1）求f（1）的值及f（x）的表达式；（2）设g（x）=定义域为D，现给出一个数学运算程序：x1→x2=g（x1）→x3=g （x2）→…x n=g（x n﹣1），按照这个运算规则，若给出x1=，请你写出满足上述条件的集合D={x1，x2，x3，…，x n}的所有元素．【解答】解：（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由4x≤f（x）≤2（x2+1），令x=1得4≤f（1）≤4，∴f（1）=4，…（2分）联立f（﹣1）=0，得，…（5分）得b=2，a+c=2，…（4分）又ax2+bx+c≥4x，即ax2﹣2x+c≥0，对x∈R恒成立，∴…（6分）∴有（a+c）2﹣4ac≤0，即（a﹣c）2≤0，∴a=1，c=1，∴f（x）=（x+1）2，…（7分）（2）由，…（8分）由题意，，，，，后面的数重复出现，根据集合的互异性，故．…（12分）22．（12分）已知定义在R上的函数f（x）=（a∈R）是奇函数，函数g（x）=的定义域为（﹣1，+∞）．（1）求a的值；（2）若g（x）=在（﹣1，+∞）上递减，根据单调性的定义求实数m的取值范围；（3）在（2）的条件下，若函数h（x）=f（x）+g（x）在区间（﹣1，1）上有且仅有两个不同的零点，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵函数是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴得a=0；（2）∵在（﹣1，+∞）上递减，∴任给实数x1，x2，当﹣1＜x1＜x2时，g（x1）＞g（x2），∴，∴m＜0；（3）由（1）得，令h（x）=0，即，化简得x（mx2+x+m+1）=0，∴x=0或mx2+x+m+1=0，若0是方程mx2+x+m+1=0的根，则m=﹣1，此时方程mx2+x+m+1=0的另一根为1，不符合题意，∴函数h（x）=f（x）+g（x）在区间（﹣1，1）上有且仅有两个不同的零点，等价于方程mx2+x+m+1=0（※）在区间（﹣1，1）上有且仅有一个非零的实根，①当△=12﹣4m（m+1）=0时，得，若，则方程（※）的根为，符合题意；若，则与（2）条件下m＜0矛盾，不符合题意，∴，②当△＞0时，令h（x）=mx2+x+m+1，由，得﹣1＜m＜0，综上所述，所求实数m的取值范围是．。
广州市2015-2016学年高一数学上学期期末试卷(含答案)
广州市2015-2016学年高一数学上学期期末试卷（含答案）本试卷分选择题和非选择题两部分, 共4页. 满分150分. 考试用时120分钟.注意事项:1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.4．本次考试不允许使用计算器.5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式：球的表面积公式24S R π=,球的体积公式343R V π=，其中R 为球的半径.第一部分 选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题, 每小题5分, 满分50分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1. 若全集{}{}{}1,2,3,4,1,2,2,3U M N ===，则()U M N I ð是（ ） A .{}1,2,3 B .{}2 C .{}1,3,4 D .{}42.与直线3420x y ++=平行的直线方程是（ ） A. 3460x y +-= B. 6840x y ++= C. 4350x y -+= D. 4350x y --=3. 函数y =）A. {|0}x x >B. {|3}x x >C. {|0}x x ≥D. {|3}x x ≥4. 设点B 是点A （2，﹣3，5）关于xOy 面的对称点，则A 、B 两点距离为（ ）5. 函数11()22xy =-的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6. 如图是底面半径为1，母线长均为2的圆锥和圆柱的组合体，则该组合体的侧视图的面积7. 圆22(1)(2)1x y ++-=与圆229x y +=的位置关系是（ ）A. 相交B. 外切C. 相离D. 内切8. 函数2()49g x x x =-+在[2,0]-上的最小值为（ ） A. 5 B. 9 C. 21 D. 69. 圆0422=-+x y x 在点P(1，3)处的切线方程是 ( )A ．023=-+y xB ．023=+-y xC ．043=+-y xD . 043=-+y x10. 已知l m αβ⊥⊂直线平面，直线平面， 下列命题正确的是（ ）// // // //l m l m l m l mαβαβαβαβ⊥⇒⇒⊥⊥⇒⇒⊥①②③④A. ①②B. ③④C. ②④D. ①③第二部分 非选择题（共100分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.11. 计算 l g 50l g 5-=12．已知点(5,2), (4,1)A B , 则直线AB 的倾斜角是 13. 若球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于14. 定义在R 上的偶函数()y f x =在[0,)+∞上递减，且1()02f =，则满足(1)0f x +<的x 的取值范围三、 解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出说明、证明过程和演算步骤．15.（本小题满分12分）已知函数1()3x x f x a =+，且10(1)3f =．（1）求a 的值；（2）判定)(x f 的奇偶性,并说明理由；（3）令函数()()5g x f x =-，且()8g a =，求()g a -的值．16.（本小题满分12分）已知在平面直角坐标系xoy 中，直线AB 的方程为3260x y -+=，直线AC 的方程为23220x y +-=，直线BC 的方程为340x y m +-=．（1）求证：ABC ∆为直角三角形；（2）当ABC ∆的BC 边上的高为1时，求m 的值．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点，已知PA ⊥AC ，PA=6，BC=8，DF=5．求证： （1）直线PA ∥平面DEF ； （2）平面BDE ⊥平面ABC ．18.（本小题满分14分）某市一家庭一月份、二月份、三月份天然气用量和支付费用如下表所示：该市的家用天然气收费方法是：天然气费=基本费+超额费+保险费．现已知，在每月用气量不超过a 立方米时，只交基本费6元；用气量超过a 立方米时，超过部分每立方米付b 元；每户的保险费是每月c 元（c ≤5）．设该家庭每月用气量为x 立方米时，所支付的天然气费用为y 元．求y 关于x 的函数解析式．19.（本小题满分14分）已知圆C 的半径为3，圆心C 在直线20x y +=上且在x 轴的下方，x 轴被圆C 截得的弦长BD为（1）求圆C 的方程;（2）若圆E 与圆C 关于直线2450x y -+=对称，(,)P x y 为圆E 上的动点， 求.20.（本小题满分14分）已知函数()ln (0)f x x mx m =+>，其中e 2.71828=L 为自然对数的底数． （1）若函数()f x 的图像经过点1(,0)e,求m 的值； （2）试判断函数()f x 的单调性,并予以说明; （3）试确定函数()f x 的零点个数．参考答案一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共10小题, 每小题5分, 满分50分.二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共4小题, 每小题5分, 满分20分.11. 1 12. 45o13. 3 14. 13{|,}22x x x x >-<∈R 或- 三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出说明、证明过程和演算步骤．15.（本小题满分12分）解：（1）因为10(1)3f =，所以10133a =+， -------------1分所以3a =． ----------3分 （2）由（1）得1()33x x f x =+ ，所以 )(x f 的定义域为(,)-∞+∞ ----------------4分 11()3333x x x x f x ---=+=+ -----------------5分 所以 ()()f x f x =- ----------------6分 所以)(x f 为偶函数． ---------------7分 （3）因为()()5g x f x =-，()8g a = 所以()()5f x g x =+ ---------8分 所以()()513f a g a =+= ----------9分 因为)(x f 为偶函数所以()()+513f a g a -=-= ----------11分 所以()8g a -=． ---------12分16.（本小题满分12分） 解：（1）直线AB 的斜率为32AB k =， ---------2分 直线AC 的斜率为23ACk =-， ---------4分所以k AB •k AC =﹣1， ---------5分 所以直线AB 与AC 互相垂直， --------- 6分 因此，ABC ∆为直角三角形；（2）解方程组326023220x yx y-+=⎧⎨+-=⎩，得26,xy=⎧⎨=⎩，即A（2，6）--------8分设点A到直线BC的距离为d，305md-==，-------10分依题意有当d=1，即3015m-=，即|30﹣m|=5，解得m=25或35．------12分17．（本小题满分14分）证明：（1）因为D、E为PC、AC的中点，所以DE∥PA，----2分又因为PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，所以PA∥平面DEF；-----4分（2）因为D、E为PC、AC的中点，所以DE=12PA=3；------5分又因为E、F为AC、AB的中点，所以EF=BC=4；-----6分又DF=5所以DE2+EF2=DF2，------8分所以∠DEF=90°，所以DE⊥EF；-------9分因为DE∥PA，PA⊥AC，所以DE⊥AC；-------10分因为AC∩EF=E，所以DE⊥平面ABC；--------12分因为DE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC．----------14分18．（本小题满分14分）解：根据题意，6, 06(),c x ayb x ac x a+≤≤⎧=⎨+-+>⎩①②------2分因为0＜c≤5，所以6+c≤11．由表格知，二、三月份的费用大于11，因此，二、三月份的用气量均超过基本量a，于是有386(20)506(26).b a cb a c=+-+⎧⎨=+-+⎩------6分解得b=2，2a=8+c．（3）-------8分因为0＜c ≤5，所以842ca +=>． ---------10分 所以6+c =8，c =2． ---------12分 因此，a =5，b =2，c =2．所以，8, 0522, 5x y x x ≤≤⎧=⎨->⎩-------------14分19．（本小题满分14分）解：（1）设圆心坐标(,2)a a -，则圆方程为22()(2)9x a y a -++= ---------1分作CA x ⊥轴于点A ，在3,Rt ABC CB AB ∆=中，2CA ∴=,- --------2分 所以|2|2a -= --------3分 所以1a =± ---------4分 又因为点C 在x 轴的下方，所以 1,a =- --------5分 所以圆C 的方程为：22(1)(2)9x y -++= --------6分 （2）方法一：由（1）知，圆C 的圆心坐标为(1.2)-点(1.2)C -到直线2450x y -+= 的距离为2d ==， --------8分因为圆E 与圆C 关于直线2450x y -+=对称，所以2CE d ==圆E 的半径为3 -------10分因为(,)P x y 为圆E PC = -------11分 因为PC EC EP ≤+所以PC 的最大值为3， -------12分PC 的最小值为3 --------13分3] --------14分方法二：由（1）知，圆C 的圆心坐标为(1.2)-设圆心E (,)m n ， 由题意可知点E 与点C 关于直线2450x y -+=对称，所以有1224502221112mn n m +-⎧⨯-⨯+=⎪⎪⎨+⎪⨯=-⎪-⎩ 24m n =-⎧⇒⎨=⎩ - ------9分所以点E (2,4)- 且圆E 的半径为3所以||EC =， -------10分因为(,)P x y 为圆EPC = -------11分 因为PC EC EP ≤+所以PC的最大值为3， -------12分PC的最小值为3 --------13分3] --------14分20．（本小题满分14分）解：（1）因为函数()f x 的图像经过点1(,0)e所以 10lne em=+ -------1分 所以 e m = -------2分 （2）因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞ ，设120x x << -------3分 所以 111()ln f x x mx =+， 222()ln f x x mx =+， -------4分 所以 1121212122()()ln ln ()ln()x f x f x x x m x x m x x x -=-+-=+- 因为120,0x x m <<>， 所以121x x <，所以1122ln ()0xm x x x +-< --------5分 所以 1212()()0, ()()f x f x f x f x -<<即 --------6分 所以 ()f x 在定义域上单调递增． --------7分 （3）函数()f x 的零点只有一个① 当(0,e)m ∈时，(1)ln10f m m =+=>111e (e )ln e e 10e em m f m ----=+=-+=< --------8分 且函数()f x 在1[,1]e上的图象是连续不间断曲线所以由零点定理可得 函数()f x 在1(e ,1)-上存在一个零点， --------9分 又由（2）得()f x 在定义域上单调递增，所以函数()f x 的零点只有一个． --------10分 ② 当e m =时，1e()10e ef =-+=，又由（2）得()f x 在定义域上单调递增， 所以函数()f x 的零点只有一个． --------11分 方法一：③ 当(e,+)m ∈∞时，设0e 0x m =-> 则(1)ln10f m m =+=>00000022-20000+2+2+1e 1(e )ln e e 22e e x x x x x x x x f m x x e -----+=+=--+=--++ -----12分 因为00x >，所以000+1+211,1e e x x x <<，所以 000000211222=0e x x x x x x e ++--++<--+-<，即02(e )0x f --< -------13分且函数()f x 在02(e,1)x --上的图象是连续不间断曲线所以由零点定理可得 函数()f x 在02(e ,1)x --上存在一个零点，又由（2）得()f x 在定义域上单调递增，所以函数()f x 的零点只有一个． --------14分 方法二：③ 当(e,+)m ∈∞时，设()e (e)xmg x m x=-> 则(1)e 0,()e e 10mm mg m g m m=-<=-=->， 且函数()g x 在[1,]m 上的图象是连续不间断曲线所以存在0(1,),x m ∈使得0()0g x =，即00e xm x = ----------12分 从而有00000(e)0x x f x me x x --=-+=-+= -----------13分且函数()f x 在(0,)+∞上的图象是连续不间断曲线又由（2）得()f x 在定义域上单调递增，所以当(e,+)m ∈∞时，函数()f x 的零点只有一个． --------14分。
广东省仲元中学2015-2016学年高一数学下学期期末考试试题
广东仲元中学2015学年第二学期期末考试高一数学学科试卷第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1、设全集U N =,集合2{|650},{2,3,4}A x N x x B =∈-+≤=，则()U A C B =I （ ） A. {1,3,5} B. {1,2,4,5} C. {1,5} D. {2,4} 2、cos 42cos78sin 42sin 78oooo-=（ ）A ．12-B ．12 C ．2- D ．23、若a b c >>，则下列不等式成立的是（ ） A.11a c b c >-- B. 11a cb c<-- C. ac bc > D. ac bc <4、设02απ≤<，若sin αα>，则角α的取值范围是（ ）A. ()32ππ，B. ()3ππ， C. 4()33ππ， D. 2()33ππ，5、要得到函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32πx sin y的图象，只需将函数x sin y 2=的图象（ ）A ．向左平移3π个单位 B ．向左平移6π个单位 C ．向右平移3π个单位 D ．向右平移6π个单位 6、ABC ∆中，02,3,60AB AC B ==∠=，则cos C =（ ）A ．3 B ．3± C ．3- D ．37、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若45=10=35a S ，，则公差d =（ ） A.1 B.2 C.3 D.48、已知数列{}n a 是公差为1，各项均为正数的等差数列，若131,,a a 成等比数列，则过点6(2,)P a 和5(,8)Q a 的直线的斜率是（ ）A.34 B. 14 C. 14- D. 139、若函数2()2sin ()sin()(0)26w f x x wx w π=+->，且()f x 的最小正周期为π，则实数w =（ ）A.12 B.1 C. 32D.2 10、已知()3*211n a n N n =∈-，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则使0n S >的n 的最小值为（ ）A ．13B ．12C ．11D ．1011、已知,,a b c r r r 是同一个平面内的三个单位向量，且a b ⊥r r ，则()()a c b c -⋅-r r r r的取值范围是（ ）A.[-B.[C. 2,2]D.[112、若不等式12(12)4lnln 44x xa x ++-≥对任意(,2]x ∈-∞恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. [1,)+∞B. ,2]∞（-C. 43,]32∞-（- D. 43)32-∞[,+第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、 填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分) 13、若1x >，则11x x +-的最小值为____________ 14、已知tan 7θ=，则2sin cos cos θθθ+=__________15、在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别为,,a b c ，若5,7,3a b B π===，则ABC S ∆=______16、数列1，2，3，4，5，6，…，n ，…是一个首项为1，公差为1的等差数列，其通项公式n a n=，前n 项和(1)2n n n S +=.若将该数列排成如下的三角形数阵的形式1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 … … … … … … … …根据以上排列规律，数阵中的第n 行（3≥n ）的第3个（从左至右）数是__________.三、解答题(本大题6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17、（本小题满分10分）已知向量1(cos ,),,cos 2),2a xb x x x R =-=∈r r，设函数()f x a b =⋅r r1）求()f x 的最小正周期；2）用五点作图法做出()f x 在区间[0,]π上的草图； 3）写出()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.18、（本小题满分12分）某工厂生产A ，B 两种型号的童车，每种童车都要经过机械、油漆和装配三个车间进行加工，根据该厂现有的设备和劳动力等条件，可以确定各车间每日的生产能力，我们把它们拆合成有效工时来表示.现将各车间每日可利用的有效工时数、每辆童车的各个车间加工时所花费的工时数以及每辆童车可获得的利润情况列成下表：试问这两种型号的童车每日生产多少辆，才能使工厂所获得的利润最大？19、（本小题满分12分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且()*n N n n n S ∈+=22， 数列{}n a 满足()*n n N n b log a ∈+=342.1）求n n b a ，； 2）求数列{}n n b a ⋅的前n 项和n T .20、（本小题满分12分）在ABC ∆中，已知,cos ,36AB B AC ==边上的中线BD =，求sin A 的值.21、（本小题满分12分）设二次函数2()(0)f x ax bx c a =++>，方程()0f x x -=的两个根12,x x 满足1210x x a<<<． 1）当1(0,)x x ∈时，证明1()x f x x <<；2）设函数()f x 的图像关于直线0=x x 对称，证明102x x <．22、（本小题满分12分）已知数列1{}1n a a =中，且221(1)k k k a a -=+-， 2+123kk k a a =+，其中1,2,3k =L .1）求35,a a ；2）求{}n a 的通项公式.广东仲元中学2015学年第二学期期末考试高一数学学科答案选择填空题CABCBD CBDCDC 317、解：（1）………………2分的最小正周期为…………………………………………………………3分（2）列表得……5分作图：（草图，仅供参考）…………8分（3）由图像可得在上的最大值为1，最小值为……………………10分18、解：设（单位辆）分别是A,B两种型号童车的日生产量，工厂每日可获得利润为元，则，其中满足约束条件：………………………………………1分，即，………………4分作出可行域如由图：……………………………………7分将化成直线，当变化时，直线的斜率为，在轴上的截距为的一簇平行直线，当直线在轴上的截距最大时取最大值.由图易知，直线过A点时，取最大值，由得………………………………9分由于A点不是整数点，在可行域的整数点中，是最优解.此时（元）…………………………………………………………………11分答：生产A种童车2辆，B种童车32辆，能使工厂获得最大利润，最大利润为332元. ………………………………………………………………………………………………12分19、解:(1) 由，得，当时，.又也适合上式，所以………………………………………3分由，得……………………………………6分(2)由(1)知，所以………………………………8分所以故………………………………………………………………12分20、解法一：设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且，……2分设BE=x，在ΔBDE中利用余弦定理可得：，…4分，解得，（舍去）.…………………………5分故BC=2，从而，即，………7分又在内，，……………………………………………………………9分由正弦定理得，…………………………………………12分解法二：在内，由得，………………………………2分以B为坐标原点，为x轴正向建立直角坐标系，不妨设点A位于第一象限，则，……………………………………4分设=（x，0），则…………………………6分，………………………………………………8分解得：，（舍去），故，………………………9分于是，……………………11分∴.…………………………………………………12分解法三：过A作AH⊥BC交BC于H，延长BD到P使BD=DP，连接AP、PC做PN⊥BC交BC的延长线于N，则，…………3分，…………5分而，,………8分………………10分故由正弦定理得，∴………………12分21、证明:(Ⅰ)令因为是方程的根，所以设当时，由于得，又得，即.由得，，，,得，由此得.(Ⅱ)依题意知因为是方程的根，即是方程的根,∴，因为，所以．22、解：（I）所以.(II) ，所以，同理，………………所以由此得，于是的通项公式为：当n为奇数时，，当n为偶数时，.。
广东高一高中数学期末考试带答案解析
广东高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.下列选项中元素的全体可以组成集合的是（）A．2013年1月风度中学高一级高个子学生B．校园中长的高大的树木C．2013年1月风度中学高一级在校学生D．学校篮球水平较高的学生2.下列图形中，表示的是（）3.设集合，，则（）A．B．C．D．4.如果直线与直线平行，那么系数等于（）.A．6B．－3C．－D．5.下列函数中，在区间上是增函数的是（）A．B．C．D．6.下列表示中,正确的是 ( )A．B．C．D．7.函数的零点所在区间为（）A．（1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）8.直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则（）A．B．C．D．9.已知函数，则（）A．－2B．10C．2D．－1010.已知幂函数的图象过点，则的值为（）A．B．C．D．二、填空题1.设U={三角形}，M={直角三角形}，N={等腰三角形}，则M N=2.的定义域是3.已知直线过点A(1，2),B(2，3),则直线的斜率为4.已知奇函数在R上单调递减，则f(-1) f(3)(用＜、﹦、＞填空）三、解答题1.(本题12分)设全集，设集合，，求：(1) (2)2.（本题12分）解不等式．3.(本题14分) 已知集合A={}，集合B={1,2}，且,求的取值的集合.4.（本题14分）过点向直线作垂线，垂足为.求直线的方程.5.（本题14分）已知函数。
（Ⅰ）求函数的定义域；（Ⅱ）用定义判断的奇偶性；6.（本题14分）设函数的定义域为,（Ⅰ）若,求的取值范围；（Ⅱ）求的最大值与最小值，并求出最值时对应的的值．广东高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.下列选项中元素的全体可以组成集合的是（）A．2013年1月风度中学高一级高个子学生B．校园中长的高大的树木C．2013年1月风度中学高一级在校学生D．学校篮球水平较高的学生【答案】C【解析】高个子、高大、水平较高都是模糊的概念，不是确切的标准，所以不能构成集合，只有C中的元素是确定的，所以能构成集合.【考点】本小题主要考查集合的概念的应用.点评：集合元素具有确定性、互异性和无序性三个特点，缺一不可.2.下列图形中，表示的是（）【答案】C【解析】表示集合是集合的子集，所以应该选C.【考点】本小题主要考查韦恩图的识别和集合关系的应用.点评：韦恩图在集合的运算中应用很广，要灵活应用.3.设集合，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】本小题是求两个集合的交集，借助于数轴可知.【考点】本小题主要考查集合的运算.点评：集合的运算一般要借助数轴辅助进行.4.如果直线与直线平行，那么系数等于（）.A．6B．－3C．－D．【答案】A【解析】两直线平行，则两直线的斜率相等，所以【考点】本小题主要考查两直线平行的应用，考查学生的运算求解能力.点评：两直线平行，则斜率相等，要注意排除掉两直线重合的情况.5.下列函数中，在区间上是增函数的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据基本初等函数的单调性知，在上单调递减；在上单调递减；在上单调递增；在上单调递减.【考点】本小题主要考查基本初等函数的单调性.点评：考查函数的单调性，要记住基本初等函数的单调性，结合图象解决问题.6.下列表示中,正确的是 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】空集是不含任何元素的集合，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.【考点】本小题主要考查空集的性质和集合中符号的应用.点评：表示元素和集合之间的关系，表示集合与集合之间的关系，不要混用符号.7.函数的零点所在区间为（）A．（1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）【答案】C【解析】依次将区间端点代入函数，可知，根据函数的零点存在定理可知该函数的零点在区间（1，2）中.【考点】本小题主要考查函数的零点存在定理的应用.点评：函数的零点存在定理可以包保证在该区间内有零点，但是有几个零点不确定.8.直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，得令，得【考点】本小题主要考查函数的截距的求法，考查学生的运算求解能力.点评：要分清直线的截距和距离不是一回事，距离大于零，而解决可正可负也可以为零.9.已知函数，则（）A．－2B．10C．2D．－10【答案】B【解析】【考点】本小题主要考查分段函数的求值，考查学生的运算求解你能力.点评：分段函数不论分成几段，仍是一个函数，求值时代入相应的函数解析式求值即可.10.已知幂函数的图象过点，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设幂函数，因为图象过点，所以【考点】本小题主要考查幂函数解析式的求解和幂函数的求值，考查学生的运算求解能力.点评：幂函数是形式定义，所以可以设函数为，然后代入求解即可.二、填空题1.设U={三角形}，M={直角三角形}，N={等腰三角形}，则M N=【答案】{等腰直角三角形}【解析】本题是求既是直角三角形又是等腰三角形的三角形的集合，所以是{等腰直角三角形}.【考点】本小题主要考查集合的运算.点评：结合实际意义求解即可.2.的定义域是【答案】【解析】要使函数有意义，需要使，所以定义域为.【考点】本小题主要考查对数函数定义域的求解.点评：函数的定义域和值域必须写成集合或区间的形式，其余的形式不对.3.已知直线过点A(1，2),B(2，3),则直线的斜率为【答案】1【解析】根据两点间的斜率公式可知，该直线的斜率为【考点】本小题主要考查两点间斜率公式的应用，考查学生的运算求解能力.点评：两点间斜率公式应用非常广泛，应用时注意斜率是否存在.4.已知奇函数在R上单调递减，则f(-1) f(3)(用＜、﹦、＞填空）【答案】＞【解析】因为奇函数在R上单调递减，且所以【考点】本小题主要考查利用函数的单调性比较函数值的大小，考查学生的应用能力.点评：函数的单调性和奇偶性是函数中比较重要的两条性质，经常结合考查，要牢固掌握，灵活应用.三、解答题1.(本题12分)设全集，设集合，，求：(1) (2)【答案】（1）={x｜x-1或x>5}（2）={x｜x-1或x3}【解析】（1）因为集合，全集，所以={x｜x-1或x>5}. ……6分（2）,所以={x｜x-1或x3}. ……12分【考点】本小题主要考查集合的运算，考查学生的运算求解能力.点评：解决集合的运算要弄清全集是什么，必要时要借助数轴辅助解决.2.（本题12分）解不等式．【答案】【解析】原不等式可化为：．……4分单调递增，∴．……10分∴原不等式解集为……12分【考点】本小题主要考查指数不等式的求解，考查学生的转化能力和运算求解能力.点评：解不等式时，最后要把解写出集合或区间的形式.3.(本题14分) 已知集合A={}，集合B={1,2}，且,求的取值的集合.【答案】【解析】因为,所以；……2分当A=时，显然; ……5分当A={1}时，；……8分当A={2}时，；……11分所以. ……12分【考点】本小题主要考查集合关系的应用，考查学生分类讨论思想的应用.点评：当时，不要漏掉A=的情况.4.（本题14分）过点向直线作垂线，垂足为.求直线的方程.【答案】【解析】由题意可知所在的直线的斜率为=，……4分设直线的斜率为，……8分∴直线的方程为:, ……12分即. ……14分【考点】本小题主要考查两直线垂直的斜率关系的应用和直线方程的求解，考查学生的运算求解能力.点评：两直线垂直，则斜率乘积等于-1，另外求直线方程时，如果不加以说明，通常要将结果写出一般式.5.（本题14分）已知函数。
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2015-2016学年广东省仲元中学高一上学期期末考试数学一、选择题（共12小题；共60分）1. 直线x+3y−1=0的倾斜角是 A. π6B. π3C. 2π3D. 5π62. 已知集合M=x x2−3x−4≤0，集合N=x ln x≥0，则M∩N= A. x1≤x≤4B. x x≥1C. x−1≤x≤4D. x x≥−13. 下列函数中，在区间0,+∞上为增函数的是 A. y=x2B. y=x−12C. y=2−xD. y=log0.5x4. 设l为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A. 若l∥α，l∥β，则α∥βB. 若α∥β，l∥α，则l∥βC. 若l⊥α，l∥β，则α⊥βD. 若α⊥β，l∥α，则l⊥β5. 已知两直线l1:x+my+4=0，l2:m−1x+3my+2m=0．若l1∥l2，则m的值为 A. 4B. 0或4C. −1或12D. 126. 若方程x2+y2−x+y+m=0表示圆，则实数m的取值范围是 A. m<12B. m>12C. m<1D. m>17. 函数f x=12x−x+2的零点所在的一个区间是 A. −1,0B. 0,1C. 1,2D. 2,38. 在空间直角坐标系中，给定点M2,−1,3，若点A与点M关于平面xOy对称，点B与点M关于x轴对称，则AB= A. 2B. 4C. 25D. 379. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 A. 866π3 cm3 B. 500π3cm3 C. 2048π3cm3 D. 1372π3cm310. M x0,y0为圆x2+y2=a2a>0外一点，则直线x⋅x0+y⋅y0=a2与该圆的位置关系为A. 相切B. 相离C. 相交D. 相切或相离11. 若5<x<6，P=12x，Q=log2x，R=x则P，Q，R的大小关系是 A. Q<P<RB. P<Q<RC. Q<R<PD. P<R<Q12. 设函数f x=2 −x 2+2x+54，对于给定的正数K，定义函数f g x=f x,f x≥KK,f x<K，若对于函数f x=2 −x 2+2x+4定义域内的任意x，恒有f g x=f x，则 A. K的最小值为1B. K的最大值为1C. K的最小值为22D. K的最大值为22二、填空题（共4小题；共20分）13. P为圆x2+y2=1上的动点，则点P到直线3x−4y−10=0的距离的最大值为______．14. 已知直线y=kx−2k+1与圆x−22+y−12=3相交于M，N两点，则MN等于______．15. 若函数f x=log a x−1+m a>0,且a≠1恒过定点n,2，则m+n的值为______．16. 设f x为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f x=a x+1−4（a为常数），则f−1的值为______．三、解答题（共6小题；共78分）17. 设函数f x=log a x−20<a<1的定义域为集合A，已知集合B=x1<x<3，C=x x≥m，全集为R．（1）求∁R A∩B；（2）若A∪B∩C≠∅，求实数m的取值范围．18. 直线l经过点P5,5，且和圆C:x2+y2=25相交，截得弦长45，求l的方程．19. 如图所示，已知AB⊥平面BCD，M，N分别是AC，AD的中点BC⊥CD．（1）求证：MN∥平面BCD；（2）求证：平面ABC⊥平面ACD．20. 如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=AD=a，AB=2a，E为C1D1的中点．（1）求证：DE⊥平面BEC；（2）求三棱锥C−BED的体积．21. 已知圆O:x2+y2=4，圆O与X轴交于A，B两点，过点B的圆的切线为l，P是圆上异于A，B的一点，PH垂直于x轴，垂足为H，E是PH的中点，延长AP，AE分别交l于F，C．（1）若点P 1,3，求以FB为直径的圆的方程，并判断P是否在圆上；（2）当P在圆上运动时，证明：直线PC恒与圆O相切．22. 函数f x=log a x−4−1a>0,a≠1所经过的定点为m,n，圆C的方程为x−m2+y−n2=r2r>0，直线3x+y+1−23=0被圆C所截得的弦长为73．（1）求m，n以及r的值；（2）设点P2,−1，探究在直线y=−1上是否存在一点B（异于点P），使得对于圆C上任=k（k为常数）．若存在，请求出点B坐标以及常意一点T到P，B两点的距离之比 TBTP数k的值，若不存在，请说明理由．答案第一部分1. D2. A3. A4. C5. B6. A7. D8. A9. B 10. C11. D 12. B第二部分13. 314. 2315. 416. −12第三部分17. （1）因0<a<1，由log a x−2≥0得0<x−2≤1，所以A=x2<x≤3，∁R A= x x≤2或x>3，∁R A∩B= x x≤2或x>3∩x1<x<3=x1<x≤2.（2）由（1）知A=x2<x≤3，因B=x1<x<3，所以A∪B=x1<x≤3，又C=x x≥m，A∪B∩C≠∅，所以m≤3．18. 易知直线l的斜率k存在，设直线l的方程为y−5=k x−5，圆C:x2+y2=25的圆心为0,0，半径r=5，圆心到直线l的距离d=1+k2，所以有5−5k 21+k2+252=25，可得2k2−5k+2=0，所以k=2或k=12．l的方程为2x−y−5=0或x−2y+5=0．19. （1）因为M，N分别是AC，AD的中点，所以MN∥CD．又MN⊄平面BCD且CD⊂平面BCD，所以MN∥平面BCD．（2）因为AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，所以AB⊥CD，又因为BC⊥CD．且AB∩BC=B，所以CD⊥平面ABC，又因为CD⊂平面ACD，所以平面ABC⊥平面ACD．20. （1）因为BC⊥侧面CDD1C1，DE⊂侧面CDD1C1，所以DE⊥BC，在△CDE中，CD=2a，CE=DE=2a，则有CD2=CE2+DE2，所以∠DEC=90∘，即DE⊥EC，又因为 BC ∩EC =C ， 所以 DE ⊥平面BEC ．（2） 因为 BC ⊥侧面CDD 1C 1，CE ⊂侧面CDD 1C 1， 所以 CE ⊥BC ，则 S △BCE =12⋅BC ⋅CE =12×a × 2a =22a 2， 又因为 DE ⊥平面BCE ，DE 就是 三棱锥 E −BCD 的高，则V C−BED =V E−BCD =V D−BCE =13⋅DE ⋅S △BCE =13× 2a ×22a 2=a 33.21. （1） 由 P 1, ，A −2,0 ，得直线 AP 的方程为 y = 33x +2 ，E 1,32． 令 x =2，得 F 2,4 33 ，由 E 1,32 ，A −2,0 , 则直线 AE 的方程为 y =36x +2 ，令 x =2，得 C 2,2 33，所以 C 为线段 FB 的中点，以 FB 为直径的圆恰以 C 为圆心，半径等于2 33，所以，所求圆的方程为 x −22+ y −2 332=43，且 P 在圆上．（其他解法同样给分）（2） 设 P x 0,y 0 ，则 E x 0,y02 ，直线 AE 的方程为 y =y 02x 0+2 x +2 ，在此方程中令 x =2，得 C 2,2y 0x 0+2，直线 PC 的斜率k PC=2y 00−y 02−x 0=−x 0y4−x 02=−x 0y 0y 02=−x 0y 0,若 x 0=0，则此时 PC 与 y 轴垂直，即 PC ⊥OP ，若 x 0≠0，则此时直线 OP 的斜率为 k OP =y0x 0，所以 k PC ⋅k OP =−x 0y 0⋅y0x 0=−1，即 PC ⊥OP ，则直线 PC 与圆 O 相切．22. （1） 在函数 f x =log a x −4 −1 a >0,a ≠1 中，当 x =5 时，y =−1，所以其经过的定点为点 5,−1 ，即 m =5，n =−1．由于直线被圆 C 所截得的弦长为 73，圆 C 半径为 r ，设圆心到直线的距离为 d ， 由于圆心 5,−1 到直线 3x +y +1−2 3=0 的距离为 d = 3− 33+1=3 32，那么 d2+ 7322=r 2，解之有 r =5．（2） 假设在直线 y =−1 上存在一点 B （异于点 P ），使得对于圆 C 上任意一点 T 到 P ，B 两点的距离之比 TBTP =k （k 为常数）．圆与直线 y =−1 的交点为 S 0,−1 ，Q 10,−1 ，设 B t ,−1 t ≠2 ，而若点 T 在 S 或 Q 时，则有SB SP=QB QP，即t 2=t−10 8，解得 t =−103．此时 TBTP =53 .下面证明：对于圆 C 上任意一点 T 到 P ，B 两点的距离之比 TBTP =53 . 设 T x ,y 为圆上任意一点，则 TB = x +103+ y +1 2， TP = x −22+ y +1 2，TB TP =x+10+y+1222=x2+y+12+203x+10092+y+12−4x+4 =10x+203x+10096x+4=5,所以在直线y=−1上存在一点B −103,−1，使得对于圆C上任意一点T到P，B两点的距离之比TB TP =53．。