上海市七宝中学2020-2021学年第一学期高三数学期中试题(含答案)
2020-2021上海七宝实验中学高中必修一数学上期中第一次模拟试卷(含答案)
2020-2021上海七宝实验中学高中必修一数学上期中第一次模拟试卷(含答案)一、选择题1．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B =( ) A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,52．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭3．函数()sin lg f x x x =-的零点个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．34．函数()1ln f x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．5．设x ∈R ，若函数f （x ）为单调递增函数，且对任意实数x ，都有f （f （x ）-e x ）=e +1（e 是自然对数的底数），则f （ln1.5）的值等于（ ） A ．5.5B ．4.5C ．3.5D ．2.56．设函数22,()6,x x x af x ax x a⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是定义在R 上的增函数，则实数a 取值范围（ ）A ．[)2,+∞B ．[]0,3C ．[]2,3D ．[]2,47．已知111,2,,3,23a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若()af x x =为奇函数，且在(0,)+∞上单调递增，则实数a的值是( ) A ．1,3-B ．1,33C ．11,,33-D ．11,,3328．函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是 A ．（-2，-1）B ．（-1,0）C ．（0,1）D ．（1,2）9．三个数0.377,0.3,ln 0.3a b c ===大小的顺序是（ ） A ．a c b >> B ．a b c >> C ．b a c >> D ．c a b >>10．已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =I ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,2]-∞-B ．[2,)+∞C ．(,2]-∞D ．[2,)-+∞11．设a ＝2535⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝3525⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，c ＝2525⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a>c>bB ．a>b>cC ．c>a>bD ．b>c>a12．已知函数()f x 的定义域为R .当0x <时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-.则(6)f =（ ） A ．2-B ．1-C ．0D ．2二、填空题13．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为____元． 14．已知函数f(x)＝log a x ＋x －b(a ＞0，且a≠1)．当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f(x)的零点为x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n= . 15．关于下列命题：①若函数2xy =的定义域是{|0}x x ≤，则它的值域是{|1}y y ≤；② 若函数1y x =的定义域是{|2}x x >，则它的值域是1|2y y ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭； ③若函数2y x =的值域是{|04}y y ≤≤，则它的定义域一定是{|22}x x -≤≤；④若函数2log y x =的值域是{|3}y y ≤，则它的定义域是{|08}x x <≤.其中不正确的命题的序号是_____________( 注：把你认为不正确的命题的序号都填上). 16．如果函数221xx y a a =+-（0a >，且1a ≠）在[]1,1-上的最大值是14，那么a 的值为__________.17．已知函数()log ,03,40a x x f x x x >⎧=⎨+-≤<⎩，其中0a >且1a ≠，若函数()f x 的图象上有且只有一对点关于y 轴对称，则a 的取值范围是__________．18．已知函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则m的取值范围为______．19．非空有限数集S 满足：若,a b S ∈，则必有ab S ∈．请写出一个．．满足条件的二元数集S ＝________．20．已知函数()()0f x ax b a =->，()()43ff x x =-，则()2f =_______．三、解答题21．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x <0时，()111f x x =+-. (1)求f (2)的值；(2)用定义法判断y ＝f (x )在区间(－∞，0）上的单调性． (3)求0()x f x >时，的解析式22．已知函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><，在同一周期内，当12x π=时，()f x 取得最大值4：当712x π=时，()f x 取得最小值4-. （1）求函数()f x 的解析式； （2）若,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()()21h x f x t =+-有两个零点，求实数t 的取值范围. 23．已知函数24()(0,1)2x xa af x a a a a-+=>≠+是定义在R 上的奇函数. （1）求a 的值：（2）求函数()f x 的值域；（3）当[]1,2x ∈时，()220xmf x +->恒成立，求实数m 的取值范围.24．已知函数())2log f x x =是R 上的奇函数，()2g x t x a =--.（1）求a 的值；（2）记()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为M ，若对任意的3,24x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()M g x ≤恒成立，求t 的取值范围.25．定义在R 上的函数()y f x =对任意,x y R ∈都有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0.f x >（1）求证:()f x 为奇函数； （2）求证:()f x 为R 上的增函数； （3）若()()327930xxx x f k f ⋅+-+>对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．26．设全集U=R ，集合A={x|1≤x ＜4}，B={x|2a≤x ＜3-a}．（1）若a=-2，求B∩A ，B∩(∁U A)；（2）若A∪B=A ，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C2．C解析：C 【解析】 【分析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果.【详解】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.3．D解析：D【分析】画出函数图像，根据函数图像得到答案. 【详解】如图所示：画出函数sin y x =和lg y x =的图像，共有3个交点. 当10x >时，lg 1sin x x >≥，故不存在交点. 故选：D .【点睛】本题考查了函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.4．B解析：B 【解析】 【分析】通过函数在2x =处函数有意义，在2x =-处函数无意义，可排除A 、D ；通过判断当1x >时，函数的单调性可排除C ，即可得结果. 【详解】当2x =时，110x x -=>，函数有意义，可排除A ；当2x =-时，1302x x -=-<，函数无意义，可排除D ；又∵当1x >时，函数1y x x=-单调递增， 结合对数函数的单调性可得函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，可排除C ； 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.5．D解析：D 【解析】利用换元法 将函数转化为f （t ）=e+1，根据函数的对应关系求出t 的值，即可求出函数f （x ）的表达式，即可得到结论 【详解】 设t=f （x ）-e x ，则f （x ）=e x +t ，则条件等价为f （t ）=e+1， 令x=t ，则f （t ）=e t +t=e+1， ∵函数f （x ）为单调递增函数， ∴t=1， ∴f （x ）=e x +1，即f （ln5）=e ln1.5+1=1.5+1=2.5， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键．6．D解析：D 【解析】 【分析】画出函数22y xx =--的图象，结合图象及题意分析可得所求范围． 【详解】画出函数22y x x =--的图象如下图所示，结合图象可得，要使函数()22,,6,,x x x a x ax x a ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是在R 上的增函数，需满足22226a a a a ≥⎧⎨--≥-⎩，解得24x ≤≤．所以实数a 取值范围是[]2,4． 故选D ． 【点睛】解答本题的关键有两个：（1）画出函数的图象，结合图象求解，增强了解题的直观性和形象性；（2）讨论函数在实数集上的单调性时，除了考虑每个段上的单调性之外，还要考虑在分界点处的函数值的大小关系．7．B解析：B 【解析】 【分析】先根据奇函数性质确定a 取法，再根据单调性进行取舍，进而确定选项. 【详解】因为()af x x =为奇函数，所以11,3,3a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭因为()()0,f x +∞在上单调递增，所以13,3a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭因此选B. 【点睛】本题考查幂函数奇偶性与单调性，考查基本判断选择能力.8．B解析：B 【解析】试题分析：因为函数f(x)=2x +3x 在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=153022-=-<,f （0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B ． 考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用．点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间．9．B解析：B 【解析】试题分析：根据指数函数和对数函数的单调性知：0.30771a =>=，即1a >；7000.30.31b <=<=，即01b <<；ln0.3ln10c =<=，即0c <；所以a b c >>，故正确答案为选项B ．考点：指数函数和对数函数的单调性；间接比较法．10．B解析：B 【解析】由题意可得{}|2A x x =<，结合交集的定义可得实数a 的取值范围是[)2,+∞ 本题选择B 选项.11．A解析：A 【解析】试题分析：∵函数2()5xy =是减函数，∴c b >；又函数25y x =在(0,)+∞上是增函数，故a c >.从而选A考点：函数的单调性.12．D解析：D 【解析】 试题分析：当时,11()()22f x f x +=-,所以当时,函数是周期为的周期函数,所以,又函数是奇函数,所以,故选D ．考点：函数的周期性和奇偶性．二、填空题13．1120【解析】【分析】明确折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式结合y ＝30＞25代入可得某人在此商场购物总金额减去折扣可得答案【详解】由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式y ∵y ＝解析：1120 【解析】 【分析】明确折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，结合y ＝30＞25，代入可得某人在此商场购物总金额, 减去折扣可得答案． 【详解】由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，y ()()006000.0560060011000.11100251100x x x x x ⎧≤⎪=-≤⎨⎪-+⎩，＜，＜，＞ ∵y ＝30＞25 ∴x ＞1100∴0.1（x ﹣1100）+25＝30 解得，x ＝1150， 1150﹣30＝1120，故此人购物实际所付金额为1120元． 【点睛】本题考查的知识点是分段函数，正确理解题意，进而得到满足条件的分段函数解析式是解答的关键．14．2【解析】【分析】把要求零点的函数变成两个基本初等函数根据所给的ab 的值可以判断两个函数的交点的所在的位置同所给的区间进行比较得到n 的值【详解】设函数y=logaxm=﹣x+b 根据2＜a ＜3＜b ＜4解析：2 【解析】 【分析】把要求零点的函数，变成两个基本初等函数，根据所给的a ，b 的值，可以判断两个函数的交点的所在的位置，同所给的区间进行比较，得到n 的值. 【详解】设函数y=log a x ，m=﹣x+b 根据2＜a ＜3＜b ＜4，对于函数y=log a x 在x=2时，一定得到一个值小于1，而b-2>1，x=3时，对数值在1和2 之间，b-3<1在同一坐标系中画出两个函数的图象， 判断两个函数的图形的交点在（2，3）之间，∴函数f （x ）的零点x 0∈（n ，n+1）时，n=2．故答案为2.考点：二分法求方程的近似解；对数函数的图象与性质．15．①②③【解析】【分析】通过定义域和值域的相关定义及函数的增减性即可判断①②③④的正误【详解】对于①当时故①不正确；对于②当时则故②不正确；对于③当时也可能故③不正确；对于④即则故④正确【点睛】本题主解析：①②③ 【解析】 【分析】通过定义域和值域的相关定义，及函数的增减性即可判断①②③④的正误. 【详解】对于①，当0x ≤时，01y <≤，故①不正确；对于②，当2x >时，则1102x <<，故②不正确；对于③，当04y ≤≤时，也可能02x ≤≤，故③不正确；对于④，即2log 3x ≤，则08x <≤，故④正确.【点睛】本题主要考查定义域和值域的相关计算，利用函数的性质解不等式是解决本题的关键，意在考查学生的计算能力.16．3或【解析】【分析】令换元后函数转化为二次函数由二次函数的性质求得最大值后可得但是要先分类讨论分和求出的取值范围【详解】设则对称轴方程为若则∴当时解得或（舍去）若则∴当时解得或（舍去）答案：3或【点解析：3或13【解析】 【分析】令x t a =，换元后函数转化为二次函数，由二次函数的性质求得最大值后可得a ．但是要先分类讨论，分1a >和01a <<求出t 的取值范围． 【详解】设0x t a =>，则221y t t =+-，对称轴方程为1t =-. 若1,[1,1]a x >∈-，则1,xt a a a ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，∴当t a =时，2max 2114y a a =+-=，解得3a =或5a =-（舍去）.若01a <<，[1,1]x ∈-，则1,xt a a a⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦∴当1t a =时，2max 112114y a a ⎛⎫=+⨯-= ⎪⎝⎭解得13a =或15a =-（舍去）答案：3或13【点睛】本题考查指数型复合函数的最值，本题函数类型的解题方法是用换元法把函数转化为二次函数求解．注意分类讨论．17．【解析】将在轴左侧的图象关于轴对称到右边与在轴右侧的图象有且只有一个交点当时一定满足当时必须解得综上的取值范围是点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关解析：(0,1)1,4⋃（） 【解析】将()f x 在y 轴左侧的图象关于y 轴对称到右边，与()f x 在y 轴右侧的图象有且只有一个交点.当01a <<时一定满足，当1a >时必须log 41a >，解得4a <.综上a 的取值范围是()0,11,4⋃（）.点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．18．或【解析】【分析】分类讨论的范围利用对数函数二次函数的性质进一步求出的范围【详解】解：∵函数若有最大值或最小值则函数有最大值或最小值且取最值时当时由于没有最值故也没有最值不满足题意当时函数有最小值没 解析：{|2m m >或2}3m <-【解析】【分析】分类讨论m 的范围，利用对数函数、二次函数的性质，进一步求出m 的范围.【详解】解：∵函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值， 则函数2(2)2y mx m x m =+-+-有最大值或最小值，且y 取最值时，0y >. 当0m =时，22y x =--，由于y 没有最值，故()f x 也没有最值，不满足题意. 当0m >时，函数y 有最小值，没有最大值，()f x 有最大值，没有最小值.故y 的最小值为24(2)(2)4m m m m ---，且 24(2)(2)04m m m m--->， 求得 2m >；当0m <时，函数y 有最大值，没有最小值，()f x 有最小值，没有最大值.故y 的最大值为24(2)(2)4m m m m ---，且 24(2)(2)04m m m m--->， 求得23m <-. 综上，m 的取值范围为{|2m m >或2}3m <-.故答案为：{|2m m >或2}3m <-.【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，二次函数的最值，属于中档题.19．{01}或{－11}【解析】【分析】因中有两个元素故可利用中的元素对乘法封闭求出这两个元素【详解】设根据题意有所以必有两个相等元素若则故又或所以（舎）或或此时若则此时故此时若则此时故此时综上或填或【解析：{0,1}或{－1,1}，【解析】【分析】因S 中有两个元素，故可利用S 中的元素对乘法封闭求出这两个元素．【详解】设{}(),S a b a b =<，根据题意有22,,a ab b S ∈，所以22,,a b ab 必有两个相等元素．若22a b =，则=-a b ，故2ab a =-，又2a a =或2a b a ==-，所以0a =（舎）或1a =或1a =-，此时{}1,1S =-．若 2a ab =，则0a =，此时2b b =，故1b = ，此时{}0,1S =．若2b ab =，则0b =，此时2a a =，故1a =，此时{}0,1S =．综上，{}0,1S =或{}1,1S =-，填{}0,1或{}1,1-．【点睛】集合中元素除了确定性、互异性、无序性外，还有若干运算的封闭性，比如整数集，对加法、减法和乘法运算封闭，但对除法运算不封闭（两个整数的商不一定是整数），又如有理数集，对加法、减法、乘法和除法运算封闭，但对开方运算不封闭．一般地，若知道集合对某种运算封闭，我们可利用该运算探究集合中的若干元素．20．【解析】【分析】先由求出的值可得出函数的解析式然后再求出的值【详解】由题意得即解得因此故答案为【点睛】本题考查函数求值解题的关键就是通过题中复合函数的解析式求出函数的解析式考查运算求解能力属于中等题 解析：3【解析】【分析】先由()()43f f x x =-求出a 、b 的值，可得出函数()y f x =的解析式，然后再求出()2f 的值.【详解】由题意，得()()()()()243f f x f ax b a ax b b a x ab b x =-=⋅--=-+=-， 即2430a ab b a ⎧=⎪+=⎨⎪>⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，()21f x x ∴=-，因此()23f =，故答案为3. 【点睛】本题考查函数求值，解题的关键就是通过题中复合函数的解析式求出函数的解析式，考查运算求解能力，属于中等题.三、解答题21．（1）23-；（2）见解析；（3）()1x f x x -=+ 【解析】【分析】(1)利用函数的奇偶性求解.(2)函数单调性定义，通过化解判断函数值差的正负；（3）函数为R 奇函数，x 〈0的解析式已知，利用奇函数图像关于原点对称，即可求出x 〉0的解析式.【详解】（1）由函数f (x )为奇函数，知f (2)＝-f (－2)＝23-· (2)在(－∞，0）上任取x 1，x 2，且x 1<x 2， 则()()1212121111111111f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+=- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭ ()()211211x x x x -=-- 由x 1－1<0，x 2－1<0，x 2－x 1>0，知f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．由定义可知，函数y ＝f (x )在区间(－∞，0]上单调递减．·（3）当x >0时，－x <0，()111f x x -=-+ 由函数f (x )为奇函数知f (x )＝-f (－x )， ()1111x f x x x -∴=-+=++ 【点睛】 本题考查了函数奇偶性的应用和单调性的定义，利用奇偶性求函数值和解析式主要应用奇偶性定义和图像的对称性；利用定义法证明函数单调性关键是作差后式子的化解，因为需要判断结果的正负，所以通常需要将式子化成乘积的形式.22．（1）()4sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （2）19t +< 【解析】【分析】（1）根据三角函数性质确定振幅、周期以及初相，即得解析式；（2）先确定23x π+范围，再结合正弦函数图象确定实数t 满足的条件，解得结果. 【详解】（1）解：由题意知74,212122T A πππ==-=，得周期T π=即2ππω=得，则2ω=，则()()4sin 2f x x ϕ=+ 当12x π=时，()f x 取得最大值4，即4sin 2412πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，得πsin φ16骣琪+=琪桫 得2()62k k Z ππϕπ+=+∈，，得23()k k Z πϕπ=+∈， ,ϕπ<∴Q 当0k =时，=3πϕ，因此()4sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （2）()()210h x f x t =+-=，即()12t f x -=当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，则220,33x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 当232x ππ+=时，4sin 42π=要使()12t f x -=有两个根，则142t -≤<，得19t +≤<即实数t 的取值范围是19t +<【点睛】本题考查三角函数解析式以及利用正弦函数图象研究函数零点，考查综合分析求解能力，属中档题.23．（1）2a =（2）()1,1-（3）(10,3)+∞ 【解析】【分析】（1）利用函数是奇函数的定义求解a 即可(2)判断函数的单调性，求解函数的值域即可(3)利用函数恒成立，分离参数m ,利用换元法，结合函数的单调性求解最大值，推出结果即可.【详解】（1）∵()f x 是R 上的奇函数，∴()()f x f x -=- 即：242422x x x x a a a a a a a a---+-+=-++. 即2(4)2422x x x x a a a a a a a a+-+⋅-+-=+⋅+ 整理可得2a =.（2）222212()12222121x x x x x f x ⋅--===-⋅+++在R 上递增 ∵211x +>，22021x ∴-<-<+, 211121x ∴-<-<+ ∴函数()f x 的值域为()1,1-.（3）由()220xmf x +-> 可得，()2 2xmf x >-，21()2221x x x mf x m -=>-+. 当[]1,2x ∈时，(21)(22)21x x x m +->- 令(2113)x t t -=≤≤）， 则有(2)(1)21t t m t t t+->=-+， 函数21y t t =-+在1≤t ≤3上为增函数， ∴max 210(1)3t t -+=， 103m ∴>， 故实数m 的取值范围为(10,3)+∞ 【点睛】 本题主要考查了函数恒成立条件的应用，函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，属于中档题.24．(1) 1a = (2) [)4,+∞【解析】【分析】（1）根据函数()f x 是R 上的奇函数，得到()00f = ，即可求得a 的值；（2）由（1）可得函数()g x 的解析式，分别求得函数()f x 和()g x 的单调性与最值，进而得出关于t 的不等式，即可求解.【详解】（1）因为())2log f x x =是R 上的奇函数，所以()00f = ，即log 0=，解得1a =.（2）由（1）可得())2log f x x =，()212121x t g x t x x t -++⎧=--=⎨+-⎩ 1,21,2x x ≥< . 因为奇函数())22log log f x x ==，所以()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，则()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为233log 144M f ⎫⎛⎫⎛⎫⎪=-=-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭， 因为()2121x t g x x t -++⎧=⎨+-⎩ 1,21,2x x ≥<，所以()g x 在31,42⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上是增函数，在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，则()g x 的最小值为34g ⎛⎫- ⎪⎝⎭和()2g 中的较小的一个. 因为33521442g t t ⎛⎫⎛⎫-=⨯-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22213g t t =-⨯++=-， 所以()()min 23g x g t ==-， 因为对任意的3,24x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()M g x ≤恒成立，所以13t ≤-， 解得4t ≥.故t 的取值范围为[)4,+∞.【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的综合应用，以及恒成立问题的求解，其中解答中熟记函数的基本性质，合理应用奇偶性、单调性和最值列出相应的方程或不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 25．（1）详见解析（2）详见解析（3）3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用赋值法与定义判断奇偶性；（2）利用定义证明函数的单调性；（3）利用函数的奇偶性与函数的单调性，可将不等式()()327930x x x x f k f ⋅+-+>具体化，利用换元法，转化为一个关于k 的二次不等式，求最值即可得到k 的取值范围．【详解】(1)证明：令0x y ==，得()()()000f f f =+得()00f =令y x =-，得()()()0f x x f x f x +-=+-=⎡⎤⎣⎦()()f x f x ∴-=-()f x ∴为奇函数（2）任取12,,x x R ∈且12x x <()()()()121211f x f x f x f x x x -=--+⎡⎤⎣⎦()()()()121121f x f x x f x f x x =---=--12x x <Q 210x x ∴->()210f x x ∴->()210f x x ∴--<即()()12f x f x <∴()f x 是R 的增函数…（3）()()327930x x x x f k f ⋅+-+>Q()()32793x x x xf k f ∴⋅>--+ ()f x Q 是奇函数()()32793x x x x f k f ∴⋅>-+-()f x Q 是增函数32793x x x x k ∴⋅>-+-931x x k ∴>-+-令931x xy =-+-，下面求该函数的最大值令()30x t t => 则()210y t t t =-+-> 当12t =时，y 有最大值，最大值为34- 34k ∴>- ∴k 的取值范围是3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查的知识点是抽象函数函数值的求法，单调性的判断及单调性的应用，其中抽象函数“凑”的思想是解答的关键．26．（1）B∩A=[1，4），B∩(∁U A)= [-4,1)∪[4,5)；（2）1 [,) 2.【解析】【分析】(1)利用补集的定义求出A的补集,然后根据交集的定义求解即可直接求解即可；(2 )分类讨论B是否是空集，列出不等式组求解即可.【详解】（1）∵A={x|1≤x＜4}，∴∁U A={x|x＜1或x≥4}，∵B={x|2a≤x＜3-a}，∴a=-2时，B={-4≤x＜5}，所以B∩A=[1，4），B∩(∁U A)={x|-4≤x＜1或4≤x＜5}=[-4,1)∪[4,5).（2）A∪B=A⇔B⊆A，①B=∅时，则有2a≥3-a，∴a≥1,②B≠∅时，则有，∴,综上所述，所求a的取值范围为.【点睛】本题主要考查集合的交集、集合的补集以及空集的应用，属于简答题.要解答本题，首先必须熟练应用数学的转化与划归思想及分类讨论思想，将并集问题转化为子集问题，其次分类讨论进行解答，解答集合子集过程中，一定要注意空集的讨论，这是同学们在解题过程中容易疏忽的地方，一定不等掉以轻心.。
2021届上海市闵行区七宝中学高三上学期期中考试数学试题(解析版)
2020-2021年七宝中学高三期中考数学试卷一、填空题1.已知全集U R =，集合{}12A x x =->，则U C A =_________.2.若函数2()(4)4,(5)f x x x =-+≥，则1(5)f-=_________.3. ()214732limn n n→∞++++-=_________.4.已知数列{}n a 为等差数列，且191,25a a ==-，则5a =_________.5.设函数2()41f x x mx =-+在(],2-∞上是减函数，则实数的取值范围是_________.6.已知222a b +=，则a b +的取值范围是_________.7.若函数()2sin sin 2f x x x =-在区间[]0,a 上的零点个数为3个，则实数a 的取值范围是_________.8.已知两变量x 、y 之间的关系为lg()lg lg y x y x -=-，则以x 为自变量的函数y 的最小值是_________.9.已知函数()xf x a b =-（0a >且1,a b R ≠∈），()1g x x =+若对任意实数x 均有()()0f x g x ⋅≤，则14a b+的最小值为_________. 10.设函数()sin()(0,0)6f x A x A πωω=->>，[]0,2x π∈若()f x 恰有4个零点，则下述结论中：①0()()f x f x ≥恒成立，则0x 的值有且仅有2个；②存在0ω>，使得()f x 在80,19π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；③方程1()2f x A =一定有4个实数根，其中真命题的序号为_________.11.函数11()22f x x =-≤≤的图像绕着原点旋转弧度θ(0)θπ≤≤，若得到的图像仍是函数图像，则θ可取值的集合为_________.12.对任意闭区间I ，用I M 表示函数sin y x =在I 上的最大值，若有且仅有一个正数a 使得[][]0,,2a a a M kM =成立，则实数k 的取值范围是_________.二、选择题13.下列各组不等式中，解集完全相同的是（ ）A.2611x x x x +<++与26x x <+B.2(2)(1)0x x x x-+<与(2)(1)0x x -+< C.(2)(1)01x x x +->-与20x +> D.2232111x x x x x x -+>-+-+与321x x ->+ 14.若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 是递增数列”是“{}n S 为递增数列”的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件15.已知集合,M P 都是非空集合，若命题“M 中的元素都是P 中的元素”是假命题,则下列说法必定为真命题的是（ ）A.M P =∅B.M 中至多有一个元素不属于PC.P 中有不属于M 的元素D. M 中有不属于P 的元素16.单调递增的数列{}n a 中共有N 项，且对任意,,(1),i j k i j k N ≤<<≤i j a a +，j k a a +和k i a a +中至少有一个是{}n a 中的项，则N 的最大值为（ ）A.9B.8C.7D.6 三、解答题17.如图，已知长方体1111ABCD A B C D -中，AB ，BC =1AA =.（1）求异面直线1AB 与1BC 所成角的大小； （2）求点C 到平面1ABD 的距离.18.已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且(cos 2cos )(2)cos c B A a b C -=-.（1）求ab的值； （2）若3cos ,24C c ==，求ABC ∆的面积.19. 某供应商为华为公司提供芯片，由以往的经验表明，不考虑其他因素，该芯片次品率p 与日产量x （万枚）间的关系为：1,04,62,4,3x xp x ⎧<≤⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎩，已知每生产1枚合格芯片供应商可盈利30元，每出现1件次品亏损15元.（1）将日盈利额y （万元）表示为日常量x （万枚）的函数；（2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万枚？（注：次品率=100%⨯次品数产品总数）.20.已知双曲线2222:1x y C a b-=过点M ，且右焦点为(2,0)F .（1）求双曲线C 的方程；（2）过点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于,A B 两点，交y 轴于点P ，若PA mAF =，PB nBF =，求证：m n +为定值.（3）在（2）的条件下，若点Q 是点P 关于原点O 的对称点，求证：三角形QAB 的面积2310QAB S ∆>；21.若实数列{}n a 满足条件212,1,2,n n n a a a n +++≥=，则称{}n a 是一个“凸数列”.（1）判断数列2n a n n =-+和3()2n n b =是否为“凸数列”?（2）若{}n a 是一个“凸数列”，证明：对正整数,,k m n ，当1k m n ≤<<时， 有n m m ka a a a n m m k--≥--； （3）若{}n a 是一个“凸数列”证明：对1i n ≤≤，有111(1)i n iia a a nn++≤-+.2020-2021年七宝中学高三期中考数学试卷一、填空题1.已知全集U R =，集合{}12A x x =->，则U C A =_________. 【解析】{}()()12,13,A x x =->=-∞-+∞，所以[]1,3U C A =-.2.若函数2()(4)4,(5)f x x x =-+≥，则1(5)f -=_________.【解析】令2()(4)45(5)f x x x =-+=≥，解得5x =，所以1(5)5f-=.3. ()214732limn n n→∞++++-=_________.【解析】()214732lim n n n →∞++++-=2(132)32lim 2n x n n →∞+-=. 4.已知数列{}n a 为等差数列，且191,25a a ==-，则5a =_________. 【解析】由等差数列的性质，得()5191122a a a =+=-.5.设函数2()41f x x mx =-+在(],2-∞上是减函数，则实数的取值范围是_________.【解析】由题意得22m ≥，所以1m ≥.6.已知222a b +=，则a b +的取值范围是_________.【解析】令2,2a θb θ==，则[]222sin 2,24a b ⎛⎫+==+∈- ⎪⎝⎭πθθθ.7.若函数()2sin sin 2f x x x =-在区间[]0,a 上的零点个数为3个，则实数a 的取值范围是_________. 【解析】令()2sin sin 20f x x x =-=，得2sin 2sin cos 0x x x -=，即sin (1cos )0x x -=， 故当[)0,x ∈+∞时，零点分别为0,,2,3,πππ，所以23πa π≤<.8.已知两变量x 、y 之间的关系为lg()lg lg y x y x -=-，则以x 为自变量的函数y 的最小值是_________.【解析】由lg()lg lg y x y x -=-得00y x x y y x x ⎧⎪->⎪>⎨⎪⎪-=⎩，所以2(1)x y x -=，显然1x ≠，所以201x y x =>-，故1x >， 所以22[(1)1]1124111x x y x x x x -+===-++≥---，当且仅当2x =时取等号， 故以x 为自变量的函数y 的最小值是4.9.已知函数()xf x a b =-（0a >且1,a b R ≠∈），()1g x x =+若对任意实数x 均有()()0f x g x ⋅≤，则14a b+的最小值为_________.【解析】作出(),()f x g x 的图像，如图所示，则()x f x a b =-过点(1,0)-，所以10a b --=，即1ab =，因为0a >，所以0b >，所以1444b a b b+=+≥，当且仅当1,22a b ==时取等号，故14a b+的最小值为4. 10.设函数()sin()(0,0)6f x A x A πωω=->>，[]0,2x π∈，若()f x 恰有4个零点，则下述结论中：①0()()f x f x ≥恒成立，则0x 的值有且仅有2个；②存在0ω>，使得()f x 在80,19π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；③方程1()2f x A =一定有4个实数根，其中真命题的序号为_______. 【解析】因为()f x 恰有4个零点，所以160,1,2,36k ππωx k πx k ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭-=⇒=⇒=，所以1134662πx πωω⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤<，即19251212ω≤<，①()0f x A =即0262ππωx k π-=+，由上述知0,1k =， 故0x 的值有且仅有2个，正确；②当0x =时，66ππωx -=-，当819πx =时，81962πππω⋅-≤，解得1912ω≤，又19251212ω≤<，故存在1912ω=，使得()f x 在80,19π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，正确； ③11()sin 262πf x A ωx ⎛⎫=⇒-= ⎪⎝⎭，而2[3,4)6ππωππ-∈，所以6πωx -可取51317,,,6666ππππ，共4个解，正确， 综上，真命题的序号是①②③.11.函数11()22f x x =-≤≤的图像绕着原点旋转弧度θ(0)θπ≤≤，若得到的图像仍是函数图像，则θ可取值的集合为_________.【解析】20,,33πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦12.对任意闭区间I ，用I M 表示函数sin y x =在I 上的最大值，若有且仅有一个正数a 使得[][]0,,2a a a M kM =成立，则实数k 的取值范围是_________.【解析】①当0,4πa ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]20,,sin ,sin 22a a a πa M a M a ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦， 由[][]0,,2a a a M kM =，得sin sin 2a k a =，所以12cos k a=；②当,42ππa ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]2,,sin ,12a a a πa πM a M ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦，由[][]0,,2a a a M kM =，得sin k a =；③当,2πa π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]2[,2],1,sin a a a a ππM M a ∈==，由[][]0,,2a a a M kM =，得1sin k a =，所以1sin k a=； ④当5,4πa π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]52[2,],1,sin 22a a a a ππM M a ∈==， 由[][]0,,2a a a M kM =，得1sin 2k a =，所以1sin 2k a=， ⑤当5,+4πa ⎡⎤∈∞⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]52[,3],1,12a a a a ππM M ∈==由[][]0,,2a a a M kM =，得1k =，所以1,0,2cos 4sin ,,421,,sin 215,,sin 2451,,4πa a ππa a πk a πaπa πaπa ⎧⎡⎤∈⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎡⎤∈⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎪⎡⎤=∈⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎡⎤∈⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎡⎤⎪∈+∞⎢⎥⎪⎣⎦⎩，作出图像，得实数k 的取值范围是1,12⎛⎫⎪⎝⎭. 【变式1】2020-2021年上海市普陀区0.5模12题.对任意闭区间I ，用I M 表示函数sin y x =在上的最大值，若正数a 满足[][]0,,22a a a M M =⋅，则a的值为_________.【解析】①当0,4πa ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]20,,sin ,sin 22a a a πa M a M a ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦， 由[][]0,,2a a a M M =，得sin 2a a =，所以cos 4a =，无解； ②当,42ππa ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]2,,sin ,12a a a πa πM a M ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦，由[][]0,,2a a a M M =，得sin a =③当,2πa π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[][0,][,2]2,2,1,sin a a a a ππM M a ∈==，由[][]0,,2a a a M M =，得1a =，所以sin 2a =，34πa =； ④当5,4πa π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]522,,1,sin 22a a a a ππM M a ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦，由[][]0,,2a a a M M =，得12a =，所以sin 2a =98πa =；⑤当5,+4πa ⎡⎤∈∞⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]52,3,1,12a a a a ππM M ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦由[][]0,,2a a a M M =，得无解，综上，34πa =或98πa =.【变式2】2019-2020年上海市七宝中学高三下三模第11题.用I M 表示函数sin y x =在闭区间I 上的最大值，若正数a 满足[0,][,2]2a a a M M ≥，则a 的最大值为 .【解析】①当0,4πa ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]20,,sin ,sin 22a a a πa M a M a ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦，由[0,][,2]2a a a M M ≥，得sin 2sin 2a a ≥，所以1cos 4a ≤，无解； ②当,42ππa ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]2,,sin ,12a a a πa πM a M ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦，由[0,][,2]2a a a M M ≥，得sin 2a ≥，无解；③当,2πa π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[][0,][,2]2,2,1,sin a a a a ππM M a ∈==，由[0,][,2]2a a a M M ≥，得12sin a ≥，所以1sin 2a ≤，5,6πa π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦； ④当5,4πa π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]522,,1,sin 22a a a a ππM M a ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦， 由[0,][,2]2a a a M M ≥，得12sin 2a ≥，所以1sin 22a ≤，13,12πa π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；⑤当5,+4πa ⎡⎤∈∞⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]52,3,1,12a a a a ππM M ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦由[0,][,2]2a a a M M ≥，得无解，综上，513,612ππa ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故a 的最大值为1312π. 二、选择题13.下列各组不等式中，解集完全相同的是（ D ）A.2611x x x x +<++与26x x <+B.2(2)(1)0x x x x-+<与(2)(1)0x x -+< C.(2)(1)01x x x +->-与20x +> D.2232111x x x x x x -+>-+-+与321x x ->+ 14.若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 是递增数列”是“{}n S 为递增数列”的（ D ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件15.已知集合,M P 都是非空集合，若命题“M 中的元素都是P 中的元素”是假命题,则下列说法必定为真命题的是（ D ）A.M P =∅B.M 中至多有一个元素不属于PC.P 中有不属于M 的元素D.M 中有不属于P 的元素16.单调递增的数列{}n a 中共有N 项，且对任意,,(1),i j k i j k N ≤<<≤i j a a +，j k a a +和k i a a +中至少有一个是{}n a 中的项，则N 的最大值为（ ）A.9B.8C.7D.6【解析】本题为2016年清华大学自招与领军计划试题.法一：假设0a b c d <<<<是{}n a 中大于0的最大的4项，对于,,b c d 来说， 因为,b d d c d d +>+>，所以b d +和c d +都不是{}n a 中的项， 又由题意得,b c b d ++和c d +中至少有一个是{}n a 中的项， 所以b c +是{}n a 中的项，且b c c +>，所以b c d +=，对于,,a c d 来说，因为,a d d c d d +>+>，所以a d +和c d +都不是{}n a中的项，又由题意得,b c b d ++和c d +中至少有一个是{}n a 中的项， 所以a c +是{}n a 中的项，且a c c +>，所以a c d +=， 所以a d =，矛盾，所以{}n a 中大于0的最多有3项，同理，{}n a 中小于0的最多有3项，加上0，故N 的最大值为7， 此时存在数列{}:3,2,1,0,1,2,3n a ---满足题意，故选C.法二：假设存在三项1,,m N N a a a -为正，则1,N N m N a a a a -++都不是{}n a 中的项， 所以1m N a a -+是{}n a 中的项，且11m N N a a a --+>， 所以1m N N a a a -=-，所以数列{}n a 中最多有3个正项，同理数列{}n a 中最多有3个负项，加上0，故N 的最大值为7， 此时存在数列{}:3,2,1,0,1,2,3n a ---满足题意，故选C.三、解答题17.如图，已知长方体1111ABCD A B C D -中，AB，BC =1AA =.（1）求异面直线1AB 与1BC 所成角的大小； （2）求点C 到平面1ABD 的距离.【解析】（1）连接111,AD B D ，则11AD BC ∥， 所以11B AD ∠即为所求角，或其补角，1AB ==，13AD ==，11B D ==在11B AD ∆中，由余弦定理得22211111111cos 22AB AD B D B AD AB AD +-∠==，所以114πB AD ∠=，即异面直线1AB 与1BC 所成角的大小为4π； （2）1111322ABD S AB AD ∆=⨯==，11222ABC S AB BC ∆=⨯==，1DD =， 设点C 到平面1ABD 的距离为h ，由等体积法，得11C ABD D ABC V V --=，即111133ABD ABC S S h DD ∆∆⨯=⨯，所以h =所以点C 到平面1ABD 18.已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且(cos 2cos )(2)cos c B A a b C -=-.B 1D 1A 1D C 1CBA（1）求ab的值； （2）若3cos ,24C c ==，求ABC ∆的面积. 【解析】（1）由已知及正弦定理得sin (cos 2cos )(2sin sin )cos C B A A B C -=-，得sin()2sin()B C A C +=+，因为A B C π++=，所以sin 2sin A B =，由正弦定理得2ab=； （2）因为3cos ,2,24aC c b===，由余弦定理得222324a b c ab +-=，即222(2)4344b b b +-=，解得b =，所以2a b ==sin C ==所以11sin 22ABC S ab C ∆==⨯=.20. 某供应商为华为公司提供芯片，由以往的经验表明，不考虑其他因素，该芯片次品率p 与日产量x （万枚）间的关系为：1,04,62,4,3x xp x ⎧<≤⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎩，已知每生产1枚合格芯片供应商可盈利30元，每出现1件次品亏损15元.（3）将日盈利额y （万元）表示为日常量x （万枚）的函数；（4）为使日盈利额最大，日产量应为多少万枚？（注：次品率=100%⨯次品数产品总数）.【解析】（1）当4x >时，23p =，所以123015033y x x =⋅⋅-⋅⋅=， 当04x <≤时，16p x=-， 所以21115(921301566)6x x y x x x x x -⎛⎫=-⋅⋅-⋅⋅= ⎪---⎝⎭， 所以()21592,04(6)0,4x x x y x x ⎧-⎪<≤=⎨-⎪>⎩；（2）当04x <≤时，22)15(96x x y x-=-，令[)62,6t x =-∈，则()215962(6)1815(152)t t y t tt⎡⎤---⎣⎦==--，所以15(1545y ≤-=万元， 当且仅当182t t=，即3,3t x ==时取等号，所以为使日盈利额最大，日产量应为3万枚.20.已知双曲线2222:1x y C a b-=过点M ，且右焦点为(2,0)F .（1）求双曲线C 的方程；（2）过点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于,A B 两点，交y 轴于点P ，若PA mAF =，PB nBF =，求证：m n +为定值.（3）在（2）的条件下，若点Q 是点P 关于原点O 的对称点，求证：三角形QAB 的面积2310QAB S ∆>； 【解析】（1）由题意得22921,2c a b-==，又222c a b =+，解得223,1a b ==， 所以双曲线C 的方程为2213x y -=； （2）法一：设()()1122,,,,(0,)A x y B x y P t ，由PA mAF =得11211m x mt y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，又点A 在双曲线上，所以2221131m t m m ⎛⎫⎪+⎛⎫⎝⎭-= ⎪+⎝⎭，整理得226330m m t ---=， 同理，由PB nBF =，得226330n n t ---=，因为,A B 两点不重合，所以m n ≠，所以,m n 是方程226330x x t ---=的两根，所以6m n +=，为定值；法二：设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得直线l 的斜率存在，所以设直线:(2)l y k x =-，所以(0,2)P k -，由2213(2)x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(31)121230k x k x k --++=，所以2212122212123,3131k k x x x x k k ++==--，由PA mAF =，PB nBF =得1122(2),(2)x m x x n x =-=-，所以1212211212(2)(2)22(2)(2)x x x x x x m n x x x x -+-+=+=---- 22121222212122()2242(123)6642()4(31)241231x x x x k x x x x k k k +--+-====-++--++-， 所以6m n +=，为定值；（3）在（2）法二的基础上，得(0,2)Q k ，1212122QAB QPB QPA S S S PQ x x k x x ∆∆∆=-=⨯-=-， 所以()()222221212124()44QABS k x x k x x x x ∆⎡⎤=-=+-⎣⎦()22242222222212123144(4812)(31)444313131k k k k k k k k k k ⎡⎤⎛⎫+-+-=⎢-⎥= ⎪--⎢⎥⎝⎭-⎣⎦()()222222221212(1)4483131k k k kkk++==--，因为直线l 与双曲线C 的右支交于,A B 两点，所以22121222121230,03131k k x x x x k k ++==--＞＞， 所以2310t k =-＞， 所以()()2222222111(1)48(1)(4)334848931QABt t k k t t S t t k ∆++⎛⎫+ ⎪+++⎝⎭===-22224854484519215139998t t t t t t ++⎛⎫⎛⎫==++=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为0t ＞，所以10t＞，所以()222192151925163398983QABS t ∆⎛⎫⎛⎫=+--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞， 所以232.31310QAB S ∆>≈>，证毕. 21.若实数列{}n a 满足条件212,1,2,n n n a a a n +++≥=，则称{}n a 是一个“凸数列”.（1）判断数列2n a n n =-+和3()2nn b =是否为“凸数列”?（2）若{}n a 是一个“凸数列”，证明：对正整数,,k m n ，当1k m n ≤<<时，有n m m ka a a a n m m k--≥--；（3）若{}n a 是一个“凸数列”证明：对1i n ≤≤，有111(1)i n iia a a n n++≤-+. 【解析】（1）因为222212(2)(2)2(1)2(1)n n n a a a n n n n n n +++-=-+-+++++-+20=-＜，所以数列2n a n n =-+不为“凸数列”，因为+21233339221322224nn n nn n n b b b ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-=+- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭13042n⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，所以数列3()2n n b =为“凸数列”；（2）由题意得112(2,3,)k k k a a a k -++≥=，所以11k k k k a a a a +--≥-，而()()()()11211()n m n n n n m m m m a a a a a a a a n m a a ---++-=-++++-≥--，所以1mm m n a a a a n m+-≥--，又()()()()11211()k m k m m m m k m m a a a a a a a a m k a a ---+--=-++++-≤--，所以1m km m a a a a m k --≤--，故n m m k a a a a n m m k--≥--，证毕；（3）①当1i =时，111(1)i n ii a a a nn ++≤-+即21111(1)n a a a n n+≤-+， 由（2）得()1221(1)n a a n a a +-≥--，所以211(1)n na n a a +≤-+，故21111(1)n a a a n n+≤-+，成立； ②当i n =时，111(1)i n i ia a a nn++≤-+即11n n a a ++≤，显然成立， ③当1i n ＜＜时，由（2）得1111n i i a a a a n i i+++--≥-，所以1111()()n i i ia ia n i a n i a +++-≥---，所以111()i n na ia n i a ++≤+-，故111(1)i n i ia a a n n++≤-+成立， 综上所述，对1i n ≤≤，有111(1)i n i ia a a n n++≤-+.。
上海2020-2021学年七宝中学高三上学期期中仿真密卷(数学学科)参考答案
上海2020-2021学年七宝中学高三上学期期中仿真密卷数学学科参考答案一. 填空题1. (,3][1,0)-∞--2. 79-3. 24. 3log 1x +（1(0,)3x ∈） 5. 312n n a n n =⎧=⎨≥⎩6. 507. 10108.9. 110. 1}-11. (3--- 12.1288二. 选择题13. B 14. C 15. C 16. B 三.解答题17．如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，求二面角B –EC –C 1的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2【解析】【分析】（1）利用长方体的性质，可以知道11B C ⊥侧面11A B BA ，利用线面垂直的性质可以证明出11B C EB ⊥，这样可以利用线面垂直的判定定理，证明出BE ⊥平面11EB C ；（2）以点B 坐标原点，以1,,BC BA BB 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设正方形ABCD 的边长为a ，1B B b =，求出相应点的坐标，利用1BE EC ⊥，可以求出,a b 之间的关系，分别求出平面EBC 、平面1ECC 的法向量，利用空间向量的数量积公式求出二面角1B EC C --的余弦值的绝对值，最后利用同角的三角函数关系，求出二面角1B EC C --的正弦值. 【详解】证明（1）因为1111ABCD A B C D -是长方体，所以11B C ⊥侧面11A B BA ，而BE ⊂平面11A B BA ，所以11BE B C ⊥又1BE EC ⊥，1111B C EC C ⋂=，111,B C EC ⊂平面11EB C ，因此BE ⊥平面11EB C ； （2）以点B 坐标原点，以1,,BC BA BB 分别为,,x y z 轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，1(0,0,0),(,0,0),(,0,),(0,,)2bB C a C a b E a ，因为1BE EC ⊥，所以2210(0,,)(,,)002224b b b BE EC a a a a b a ⋅=⇒⋅-=⇒-+=⇒=，所以(0,,)E a a ，1(,,),(0,0,2),(0,,)EC a a a CC a BE a a =--==，设111(,,)m x y z =是平面BEC 的法向量，所以111110,0,(0,1,1)0.0.ay az m BE m ax ay az m EC +=⎧⎧⋅=⇒⇒=-⎨⎨--=⋅=⎩⎩，设222(,,)n x y z =是平面1ECC 的法向量，所以2122220,0,(1,1,0)0.0.az n CC n ax ay az n EC =⎧⎧⋅=⇒⇒=⎨⎨--=⋅=⎩⎩， 二面角1B EC C --的余弦值的绝对值为122m n m n⋅==⨯⋅，所以二面角1B EC C --=【点睛】本题考查了利用线面垂直的性质定理证明线线垂直，考查了利用空间向量求二角角的余弦值，以及同角的三角函数关系，考查了数学运算能力.18．在ABC ∆在在在在A在B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos 6b A a B π⎛⎫=-⎪⎝⎭. ，1）求角B 的大小；，2）设a =2，c =3，求b 和()sin 2A B -的值.【答案】(Ⅰ)3πⅠ(Ⅰ)b =【解析】分析：ⅠⅠⅠ由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得tanB=，则B =π3Ⅰ ⅠⅡ）在△ABC 中，由余弦定理可得b Ⅰ结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得()214sin A B -=详解：ⅠⅠ）在△ABC 中，由正弦定理a bsinA sinB=，可得bsinA asinB =Ⅰ 又由π6bsinA acos B ⎛⎫=-⎪⎝⎭，得π6asinB acos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭Ⅰ即π6sinB cos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得tanB =又因为()0πB ∈，，可得B =π3Ⅰ ⅠⅡ）在△ABC 中，由余弦定理及a =2Ⅰc =3ⅠB =π3Ⅰ 有22227b a c accosB =+-=，故b由π6bsinA acos B ⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得sinA =a <c，故cosA =Ⅰ因此22sin A sinAcosA ==Ⅰ212217cos A cos A =-=．所以，()222sin A B sin AcosB cos AsinB -=-=1127-= 点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．19．华为董事会决定投资开发新款软件，估计能获得10万元到1000万元的投资收益，讨论了一个对课题组的奖励方案:奖金y (单位:万元)随投资收益x (单位:万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%. （1）请分析函数11005x y =-是否符合华为要求的奖励函数模型，并说明原因； （2）若华为公司采用模型函数110100100510100100010x x y x a x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨-⎪<≤⎪+⎩作为奖励函数模型，试确定正整数a 的取值集合.【答案】（1）不符合，原因见解析（2）a 的取值集合为{}910911912，， 【解析】【分析】（1）根据题意，总结奖励模型需要满足的条件①()f x 在定义域[10,1000]上是增函数；②()9f x ≤恒成立；③()5xf x ≤恒成立；判断单调性及最值，即可求解； （2）由题意，依此判断分段函数的单调性，最大值和()5xf x ≤，即可求解参数范围，由a 为正整数，即可确定取值集合. 【详解】（1）设奖励函数模型为()y f x =，按公司对函数模型的基本要求，函数()y f x =满足:当[10,1000]x ∈时，①()f x 在定义域[10,1000]上是增函数；②()9f x ≤恒成立；③()5x f x ≤恒成立.对于函数模型11005x y =-.当[10,1000]x ∈时，11005x y =-是增函数，max1000149()(1000)910055f x f ==-=>所以()9f x ≤不恒成立.故该函数模型不符合公司要求.（2）对于函数模型110100100510100100010x x y x a x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨-⎪<≤⎪+⎩，当10100x ≤≤时，()f x 在定义域[10,100]上是增函数，且()9f x ≤恒成立；当1001000x <≤时，10100()101010x a a f x x x ---==+++，只有1000410005110a a --<⎧⎪-⎨≤⎪⎩时，()f x 在定义域[10,1000]上是增函数；要使()9f x ≤在[10,1000]x ∈恒成立，(1000)9f ≤，即100041000[100,912]5110(1000)9a aa f --<⎧⎪-⎪≤⇒∈⎨⎪≤⎪⎩；要使()5x f x ≤恒成立对[10,1000]x ∈恒成立，即11010010055101001000105x xx x a x x x ⎧-<≤≤⎪⎪⎨-⎪<<≤⎪+⎩，即24050x x a -+≥恒成立，所以910a ≥； 综上所述，910a ≥，所以满足条件的正整数a 的取值集合为{}910911912，，【点睛】本题结合实际问题，考查了（1）函数的单调性，最值和恒成立问题；（2）由函数的单调性最值和不等式确定参数的取值范围；考查计算能力，考查数学建模思想，属于中等题型.20．已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>经过点(2,1)A，离心率为2，过点(3,0)B 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M N 、， （1）求椭圆C 的方程； （2）求BM BN ⋅的取值范围；（3）设直线AM 和AN 的斜率分别为AM k 和AN k ，求证:AM AN k k +为定值.【答案】（1）22163x y+= （2）(2,3] （3）证明见解析 【解析】【分析】（1）根据离心率和(2,1)A 代入椭圆方程可求得a 和c ，进而求得b ，方程可得；（2）由题意显然直线l 方程为()3y k x =-，联立直线与椭圆的方程22(3)163y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()222212121860k xk x k +-+-=.因为直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，∴>0∆，可得11k -<<，再用坐标表示出BM BN ⋅，即可求取值范围. （3）由（2）用坐标表示出AM AN k k +化简即可.【详解】（1）由题意得22222411a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，解得a =b =∴椭圆C 的方程为22163x y +=.（2）由题意显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()3y k x =-，由22(3)163y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222212121860k x k x k +-+-=.∵直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ， ∴()()()42221444121862410k kkk ∆=-+-=->，解得11k -<<.设M ，N 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则21221212k x x k+=+，212218612k x x k -=+， 又()113y k x =-，()223y k x =-，()()121233BM BN x x y y =--+⋅()()21212139k x x x x =+-++⎡⎤⎣⎦ ()2223333122212k k k +==+++， ∵11k -<<，∴()233232212k <+≤+， ∴BM BN ⋅的范围为(]2,3. （3）由（2）得121211=22AMAN y y k k x x --++--()()()()()()122112312312=22kx k x kx k x x x ---+-----()()()12121212251124=24kx x k x x k x x x x -++++-++()()()()()2222222186511212412=18624412k k k k k k k k k --+⋅+++--++2244=22k k -+- 2=-所以AM AN k k +为定值，=2AM AN k k +- 【点睛】本题考查主要考查椭圆的标准方程求解，运用韦达定理解决直线与椭圆相交问题，椭圆定点问题，考查逻辑推理能力和计算求解能力，综合性较强，有一定难度.21．已知定义在R 上的函数()f x 和数列{}n a 满足下列条件:121,a a a a =≠，当n *∈N 且2n ≥时，1()n n a f a -=且11()()()n n n n f a f a k a a ---=-，其中a k 、均为非零常数.（1）数列{}n a 是等差数列，求k 的值；（2）令1()n n n b a a n N *+=-∈，若11b =，求数列{}n b 的通项公式；（3）证明:{}n a 数列是等比数列的充要条件是()(1)f x kx k =≠. 【答案】（1）1（2）n b ()1210n ka a -=-≠（3）证明见解析【解析】 【分析】（1）由题意知1()n n a f a -=，11()()()n n n n f a f a k a a ---=-()2n ≥，得()()112n n n n a a k a n a --=-≥-，再由等差数列，即可求解k 值；（2）由1210b a a =-≠，可得()()()23221210b a a f a f a k a a =-=-=-≠，因此()()()1111n n n n n n n n b a a f a f a k a a kb +---=-=-=-=，由此可知，数列{}n b 是一个公比为k 的等比数列.（3）先进行充分性证明：若()(1)f x kx k =≠则{}n a 数列是等比数列；再进行必要性证明：若{}n a 数列是等比数列，则()(1)f x kx k =≠.【详解】（1）由已知()1n n a f a -=，()()()()112,3,4,n n n n f a f a k a a n ---=-=⋅⋅⋅， 得()()()()1112,3,4,n n n n n n a a f a f a k a a n +---=-=-=⋅⋅⋅， 由数列{}n a 是等差数列，得()112,3,4,n n n n a a a n a +-=-=-⋅⋅⋅， 所以，()11n n n n a a k a a ---=-，()2,3,4,n =⋅⋅⋅，得1k =.（2）由1210b a a =-≠，可得()()()23221210b a a f a f a k a a =-=-=-≠，且当2n >时，()()()111n n n n n n n b a a f a f a k a a +--=-=-=-()1210n k a a -==-≠，所以，当2n ≥时，()()()1111111n n n n n n n n n n n n n n f a f a k a a b a a k b a a a a a a --+-------====---，因此，数列{}n b 是一个公比为k 的等比数列. 故通项公式为()1210n n b ka a -=-≠（3）{}n a 是等比数列的充要条件是()()1f x kx k =≠，充分性证明:若()()1f x kx k =≠，则由已知10a a =≠，()()12,3,4,n n a f a n -==⋅⋅⋅ 得()12,3,4,n n n a ka -==⋅⋅⋅，所以，{}n a 是等比数列. 必要性证明:若{}n a 是等比数列，由（2）知，()()1*21n n b ka a n N-=-∈，()()()12121211n n n b b b a a a a a a --++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-()12n a a n =-≥，()1121n n a a b b b -=+++⋅⋅⋅+.当1k =时，()()()12112n a a a a n n =+--≥.上式对1n =也成立， 所以，数列{}n a 的通项公式为:()()()()*1n a a f a an n N =+--∈.所以，当1k =时，数列{}n a 是以a 为首项，()f a a -为公差的等差数列. 所以，1k ≠.当1k ≠时，()()1121121n n k a a a a n k--=+-≥-. 上式对1n =也成立，所以，()11()1n n k a a f a a k --=+--1()(())11n f a a f a a k a k k---=+---. 所以，()0()1f a aa f a ka k-+=⇒=-.Ⅰ，等式()(1)f x kx k =≠对于任意实数a 均成立.所以()(1)f x kx k =≠.【点睛】本题考查等差数列的定义，利用等比数列定义证明，求解等比数列通项公式及证明，考查分类讨论思想，考查计算能力，属于难题.。
2020-2021上海上海中学高三数学上期中一模试题带答案
2020-2021上海上海中学高三数学上期中一模试题带答案一、选择题1．已知函数22()()()n n f n n n 为奇数时为偶数时⎧=⎨-⎩，若()(1)n a f n f n =++，则123100a a a a ++++=LA ．0B ．100C ．100-D ．102002．下列命题正确的是 A ．若 a ＞b,则a 2＞b 2 B ．若a ＞b ，则 ac ＞bc C ．若a ＞b ，则a 3＞b 3D ．若a>b ，则 1a ＜1b3．设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ） A ．2B ．-2C ．12D ．12-4．已知,x y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则3x y -的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．165．若ABC V 的对边分别为,,a b c ，且1a =，45B ∠=o ,2ABC S =V ,则b =（ ） A ．5B ．25CD．6．已知等比数列{}n a 中，31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，则59b b +=（ ） A ．2B ．4C ．16D ．87．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若sin cos 0b A B -=,且2b ac =，则a cb+的值为( ) A ．2BCD ．48．,x y 满足约束条件362000x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b+的最小值为 ( )A ．256B ．25C ．253D ．59．若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则 A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a <<D ．b a c <<10．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（ ） A ．2B ．92 C ．143D ．511．“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为（ ） A ．134B ．135C ．136D ．13712．已知正项数列{}n a 中，*12(1)()2n n n a a a n N ++++=∈L ，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．n a n =B ．2n a n =C ．2n na =D ．22n n a =二、填空题13．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a =，且()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为______.14．在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若32sin sin sin ,cos 5B AC B =+=，且6ABC S ∆=，则b =__________． 15．设是定义在上恒不为零的函数，对任意，都有，若，，，则数列的前项和的取值范围是__________．16．在无穷等比数列{}n a 中，123,1a a ==，则()1321lim n n a a a -→∞++⋯+=______． 17．已知在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2a b c +=，则C ∠的取值范围为________18．我国古代数学名著《九章算术》里有问题：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：__________日相逢？19．在△ABC 中，2BC =，7AC =，3B π=，则AB =______；△ABC 的面积是______．20．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a +++L 等于__________．三、解答题21．已知数列{}n a 是一个公差为()0d d ≠的等差数列，前n 项和为245,,,n S a a a 成等比数列，且515=-S ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{nS n}的前10项和． 22．已知,,a b c 分别是ABC △的角,,A B C 所对的边，且222,4c a b ab =+-=． （1）求角C ；（2）若22sin sin sin (2sin 2sin )B A C A C -=-，求ABC △的面积． 23．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =.（Ⅰ）求b 和sin A 的值； （Ⅱ）求πsin(2)4A +的值. 24．设数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和.25．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果A 、B 、C 成等差数列且3b =（1）当4A π=时，求ABC ∆的面积S ；（2）若ABC ∆的面积为S ，求S 的最大值．26．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知2223,33A b c a π=+-=． （1）求a 的值；（2）若1b =，求ABC ∆的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】试题分析：由题意可得，当n 为奇数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-+=--当n 为偶数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-++=+所以()1231001399a a a a a a a ++++=+++L L ()()()2410021359999224610099100a a a ++++=-++++-++++++=L L L ，故选B.考点：数列的递推公式与数列求和.【方法点晴】本题主要考查了数列的递推公式与数列求和问题，考查了考生的数据处理与运算能力，属于中档题.本题解答的关键是根据给出的函数()22(){()n n f n n n =-当为奇数时当为偶数时及()(1)n a f n f n =++分别写出n 为奇数和偶数时数列{}n a 的通项公式，然后再通过分组求和的方法得到数列{}n a 前100项的和.2．C解析：C 【解析】对于A ，若1a =，1b =-，则A 不成立；对于B ，若0c =，则B 不成立；对于C ，若a b >，则33a b >，则C 正确；对于D ，2a =，1b =-，则D 不成立.故选C3．D解析：D 【解析】 【分析】把已知2214S S S =用数列的首项1a 和公差d 表示出来后就可解得1a ．，【详解】因为124S S S ，，成等比数列，所以2214S S S =，即211111(21)(46).2a a a a -=-=-，故选D. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法．本题属于基础题．解析：A 【解析】 【分析】作出可行域，变形目标函数并平移直线3y x =，结合图象，可得最值． 【详解】作出x 、y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩所对应的可行域（如图ABC V ），变形目标函数可得3y x z =-，平移直线3y x =可知， 当直线经过点(2,2)A 时，截距z -取得最大值， 此时目标函数z 取得最小值3224⨯-=. 故选：A.【点睛】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．5．A解析：A 【解析】在ABC ∆中，1a =，045B ∠=，可得114522ABC S csin ∆=⨯⨯︒=，解得42c =． 由余弦定理可得：()222222142214252b ac accosB =+-=+-⨯⨯⨯=． 6．D解析：D 【解析】 【分析】利用等比数列性质求出a 7，然后利用等差数列的性质求解即可．等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7， 可得a 72＝4a 7，解得a 7＝4，且b 7＝a 7， ∴b 7＝4，数列{b n }是等差数列，则b 5+b 9＝2b 7＝8． 故选D ． 【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式以及简单性质的应用，考查计算能力．7．A解析：A 【解析】 【分析】由正弦定理，化简求得sin 0B B =，解得3B π=，再由余弦定理，求得()224b a c =+，即可求解，得到答案．【详解】在ABC ∆中，因为sin cos 0b A B -=,且2b ac =，由正弦定理得sin sin cos 0B A A B =， 因为(0,)A π∈，则sin 0A >，所以sin 0B B =，即tan B =3B π=，由余弦定理得222222222cos ()3()3b a c ac B a c ac a c ac a c b =+-=+-=+-=+-， 即()224b a c =+，解得2a cb+=，故选A ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.8．A解析：A 【解析】 【分析】先画不等式组表示的平面区域，由图可得目标函数(0,0)z ax by a b =+>>何时取最大值，进而找到a b ，之间的关系式236,a b +=然后可得23123()(23)6a b a b a b+=++，化简变形用基本不等式即可求解。
2022-2023年上海市七宝中学高三上学期期中数学试卷及答案
2022-2023 年七宝中学高三上期中一、填空题1.函数()3cos 21f x x =+最小值为_______________.2.函数()f x =_______________. 3.若{}222A y y x x ==−+，且a A ∈，则12a +的取值范围是______. 4.3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加志愿者服务活动，则周六没有同学参加活动的概率为________5.若52ax ⎛+ ⎝的展开式中的常数项为52−，则实数a 的值为________.6.函数lgsin y x =的单调递增区间是___________7.函数()cos f x x ω=()0,Z x ω>∈的值域中仅有5个不同的值，则ω的最小值为 __．8.设()cos 2cx f x ax bx =++（x R ∈），,,a b c R ∈且为常数，若存在一公差大于0的等差数列{}n x （*n ∈N ），使得{()}n f x 为一公比大于1的等比数列，请写出满足条件的一组a 、b 、c 的值__________．（答案不唯一，一组即可）9.已知P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）两点均在双曲线Γ：2221x y a−=（a ＞0）的右支上，若1212x x y y >恒成立，则实数a 的取值范围为 __．10.已知函数f (x )=-x 2+x +m +2，若关于x 的不等式f (x )≥|x |的解集中有且仅有1个整数，则实数m 的取值范围为____________ .11.已知数列{}n a 满足2*11()n n n a a a n N +=−+∈，设12111n n S a a a =++，且10910231a S a −=−，则数列{}n a 的首项1a 的值为______．12.若对任意(1,)x ∈+∞，不等式1(ln 1)ln x x a x e x a−+−>恒成立，则a 范围__________． 二、选择题13.已知数据1x ,2x ,3x ，n x ⋅⋅⋅是上海普通职n (3n ≥，n N *∈)个人年收入，设这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入1n x +，则这1n +个数据中，下列说法正确（ ）A .年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B .年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C .年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D .年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差可能不变14.将函数sin 43y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像上的各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再沿着x 轴向右平移6π个单位，得到的函数的一个对称中心可以是（） A .,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭B .,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭C . 5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭D .,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭15.双曲线2213x y −=绕坐标原点O 逆时针旋转α后可以成为函数()f x 的图像,则α的角度可以为（ ）A .30°B .45°C .60°D .90°16.定义域为R 的函数()f x 的图象关于直线1x =对称，当[]0,1x ∈时，()f x x =，且对任意x ∈R 只有()()2f x f x +=−，()()()2025,0log ,0f x x g x x x ⎧≥⎪=⎨−−<⎪⎩，则方程()()0g x g x −−=实数根的个数为（）A .2024B .2025C .2026D .2027三、解答题17.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以AB 边所在直线为旋转轴旋转120︒得到的封闭图形.（1）设1BC =，2AB =，求这个几何体的表面积；（2）设G 是弧DF 的中点，设P 是弧CE 上的一点，且AP BE ⊥.求异面直线AG 与BP 所成角的大小.18. 了解某城中村居民收入情况，小明利用周末时间对该地在岗居民月收入进行了抽样调查，并将调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据直方图估算：（1）在该地随机调查一位在岗居民，该居民收入在区间[)1000,1500内的概率；（2）该地区在岗居民月收入的平均数和中位数；19.设函数()()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<，该函数图像上相邻两个最高点之间的距离为4π，且()f x 为偶函数.（1）求ω和ϕ的值；（2）在ABC 中，角A B C ､､的对边分别为a b c ､､，若()2cos cos −=a c B b C ，求()()22fA f C +的取值范围. 20.从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14. (1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为n a 万元，旅游业总收入为n b 万元，写出,n na b 表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？21.令()()(){}()()()()()()(),max ,R ,f x f x g x H x f x g x x g x f x g x ⎧≥⎪==∈⎨<⎪⎩. （1）若()212f x x =−，()22g x x x =−，试写出()H x 的解析式并求()H x 的最小值； （2）已知()f x 是严格增函数，()g x 是周期函数，()h x 是严格减函数，x ∈R ，求证：()()(){}max ,G x H x h x =是严格增函数的充要条件：对任意的x ∈R ，()()f x g x ≥，()()f x h x ≥.参考答案一、填空题1.2−2. (]3,1−3. 10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦4. 185. 12−6. π2π,2π2k k k Z7. 29π或29π8.1,0,1a b c ===9. [)1,+∞10. [)2,1−−11.3212.[)1,+∞二、选择题13.B 14. D 15. C 16. D三、解答题17.（1）42π+（2）6π18.（1）0.1（2）平均数为2400，中位数为240019.（1）1,22πωϕ== （2）5,32⎛⎤ ⎥⎝⎦20.（1）4540001,1600154n n n n a b ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯−=⨯−⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（2）至少经过5年21.（1）()22212,3112,132,1x x x H x x x x x x ⎧−<−⎪⎪⎪=−−≤≤⎨⎪−>⎪⎪⎩，()H x 的最小值为1−（2）证明略。
七宝中学高三上期中数学试卷2
一. 填空题
1.集合 【答案】 【解析】 【分析】
的真子集有________个
直接写出集合 A 的真子集即得解.
【详解】集合 A 的真子集有 ，{0}，{1}，{2018}，{0,1}，{0,2018}，{1,2018}，所以集合 A 的真子集个数
为 7,故答案为：7
【点睛】本题主要考查集合的真子集及其个数，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
所以 a＜3x-1 或 a＞x+1 在[0,1]上恒成立，
所以 a<-1 或 a>2,因为 a>0,
综合得 a>2.
故答案为：a>2
【点睛】本题主要考查绝对值不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
10.已知常数 ，函数 【答案】
的图像经过点 、
，若
，则 ________
二. 选择题
13.“函数
存在反函数”是“函数 在 上为增函数”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
函数
存在反函数，至少还有可能函数 在 上为减函数，充分条件不成立；而必有条件显然成立。
视频
14.若函数 的反函数为 ，则函数 与
2.设全集 ，
，
，则图中阴影部分所表示的集合是________（用区间表示）
【答案】 【解析】 【分析】 先化简集合 M 和 N，再求 M∩N,再求
即得阴影部分所表示的集合.
【详解】由题得 M={x|x>2 或 x<-2}，N={x|x≥0}，所以 M∩N={x|x＞2}，
所以
上海市闵行区七宝中学2020-2021学年高三上学期期中考试数学试题(含解析)
1+ 4 + 7 + + (3n − 2)
3. lim n→
n2
= _________.
4.已知数列an 为等差数列，且 a1 = 1, a9 = −25 ，则 a5 = _________.
5.设函数 f (x) = x2 − 4mx +1在 (−, 2 上是减函数，则实数的取值范围是_________.
与日产量
x
（万枚）间的关系为：
p
=
6
1 −
x 2 3
,0 ,x
x 4,
4,
，已知每生产
1
枚合格芯片供应商
可盈利 30 元，每出现1件次品亏损15 元.
（1）将日盈利额 y （万元）表示为日常量 x （万枚）的函数； 次品数
（2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万枚？（注：次品率 = 产品总数 100% ）.
A. x2 x + 6 与 x2 x + 6 x +1 x +1
C. (x + 2)(x −1) 0 与 x + 2 0 x −1
B.
(x
−
2x)(x x2
+1)
0
与
(x
−
2)(x
+1)
0
D.
x−3 x2 − x +1
2x x2 −
+1 与 x +1
x−3
2x
+1
14.若数列an 的前 n 项和为 Sn ，则“an 是递增数列”是“Sn 为递增数列”的（ ）
6 结论中：① f (x0 ) f (x) 恒成立，则 x0 的值有且仅有 2 个；②存在 0 ，使得 f (x) 在
2021-2022学年上海市闵行区七宝中学高三(上)期中数学试卷
2021-2022学年上海市闵行区七宝中学高三（上）期中数学试卷试题数：21，总分：01.（填空题，3分）已知集合A={x|log 2x≥0}，B={x|2x -4＞0}，则A∩ B =___ ．2.（填空题，3分）若1，a ，2x ，b ，25成等比数列，则实数x 的值是 ___ ．3.（填空题，3分）已知函数 f (x )={x 2−ax ，−2022≤x ≤0bx 2+cx ，0≤x ≤d 是奇函数，则实数a+b+c+d=___ ．4.（填空题，3分）将函数y=sin2x 的图像向左平行移动 π6 个单位长度，再将得到的图像上各点的横坐标缩小到原来的 12 （纵坐标不变），得到的函数图像的解析式是 ___ ．5.（填空题，3分）已知等差数列{a n }的前和为S n ，若a 1=2，S 5=S 12，且S m =0，则m=___ ．6.（填空题，3分）关于x 的不等式mx 2-nx+p ＞0（m ，n ，p∈R ）的解集为（-1，2），则函数 f (x )=log 2nx−pnx−m 的定义域是 ___ ．7.（填空题，3分）函数y=f （x ）图像C 如图所示，若C 上存在n （n∈N *，n≥2）个点（x i ，y i ）（i=1，2，⋯，n ）满足f (x 1)x 1=f (x 2)x 2=⋯=f (x n )x n，则n 的取值集合是 ___ ．8.（填空题，3分）已知△ABC 中的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a+2b=3，a 2≤bc ，且 √3 cosA （bcosA+acosB ）-csinA=0．则△ABC 的面积是 ___ ．9.（填空题，3分）已知函数f （x ）=sinωx+acosωx （a ＞0，ω＞0）的最大值为2，则使函数f （x ）在区间[0，3]上至少取得两次最大值，则ω取值范围是 ___ ．10.（填空题，3分）已知函数f （x ）= {e (x+1)2，x ≤0x +4x−3，x ＞0，函数y=f （x ）-a 有四个不同零点，从小到大依次为x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2+x 3x 4的取值范围为 ___ ．11.（填空题，3分）设ave{a ，b ，c}表示实数a ，b ，c 的平均数，max{a ，b ，c}表示实数a ，b ，c 的最大值．设A=ave{- 12 x+2，x ， 12 x+1}，M=max{- 12 x+2，x ， 12 x+1}，若M=3|A-1|，则x 的取值范围是___ ．12.（填空题，3分）数列{a n}中，a n表示与√n最接近的整数，则满足1a1+1a2+1a3+⋅⋅⋅+1a n＞20的正整数n的最小取值为 ___ ．13.（单选题，3分）地铁某换乘站设有编号为m1，m2，m3，m4的四个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如表：安全出口编号m1，m2m2，m3m3，m4m1，m3疏散乘客时间（s）120 140 190 160则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（）A.m1B.m2C.m3D.m414.（单选题，3分）若正实数a，b，c满足3−a=log0.4b=c23=14，则（）A.c a＞b aB.logc a＜logb aC.log a b＞log b cD.c a-1＜b c-115.（单选题，3分）我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则下列说法不正确的是（）A.小寒比大寒的晷长长一尺B.春分和秋分两个节气的晷长相同C.小雪的晷长为一丈五寸D.立春的晷长比立秋的晷长长16.（单选题，3分）已知a、b、c是三角形的三边，对于f(a，b，c)=ab+c +ba+c+ca+b，有下列说法：① f（a，b，c）有最小值3；② f（a，b，c）有最大值是3．（）2A. ① 对，② 错B. ① 错，② 对C. ① ② 都对D. ① ② 都错17.（问答题，14分）如图，圆O的半径为2，l为圆O外一条直线，圆心O到直线l的距离．点P从P0处开始以2秒一周的速度绕点O在圆周|OA|=3．P0为圆周上一点，且∠AOP0= π6上按逆时针方向作匀速圆周运动（这里的角均指逆时针旋转角）．（1）求t秒钟后，点P到直线l的距离用y=f（t）（t≥0）的解析式；（2）当|P0P|=2 √3时，求t的值．18.（问答题，14分）如图，四棱锥P-ABCD在底面是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，AB=3，AD=4．（1）求证：MN || 平面PAD；（2）若直线MN与平面ABCD所成的角为45°，求直线MN与平面PAC所成的角的大小．19.（问答题，14分）某中学食堂定期从粮店以每吨1500元的价格购买大米，每次购进大米需支付运输费100元．食堂每天需用大米1吨，贮存大米的费用为每吨每天2元（不满一天按一天计），假定食堂每次均在用完大米的当天购买．（1）该食堂隔多少天购买一次大米，可使每天支付的总费用最少？（2）粮店提出价格优惠条件：一次购买量不少于20吨时，大米价格可享受九五折（即原价的95%），问食堂可否接受此优惠条件？请说明理由．20.（问答题，16分）如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于该椭圆的另一个焦点F2上．椭圆有光学性质：从一个焦点出发的光线，经过椭圆面反射后经过另一个焦点，即椭圆上任意一点P处的切线与直线PF1、PF2的夹角相等．已知BC⊥F1F2，垂足为F1，|F1B|=3m，|F1F2|=4cm，以F1F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立如图的平面直角坐标系．（1）求截口BAC所在椭圆C的方程；（2）点P为椭圆C上除长轴端点和短轴端点外的任意一点．① 是否存在m，使得P到F2和P到直线x=m的距离之比为定值，如果存在，求出的m值，如果不存在，请说明理由；② 若∠F1PF2的角平分线PQ交y轴于点Q，设直线PQ的斜率为k，直线PF1、PF2的斜率分别为k1，k2，请问kk2+kk1是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．21.（问答题，18分）已知函数f（x）=|2x+4|+|x-2|．（1）解不等式f（x）＞7；（2）设函数f（x）的最小值为M，若正实数a，b，c满足a+2b+3c=M，求3a +2b+1c的最小值；（3）若数列{a n}满足a1=a（a≤-2或a≥0，a为常数），3a n+1=f（a n）（n∈N*），求数列{a n}的前项和S n．2021-2022学年上海市闵行区七宝中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21，总分：01.（填空题，3分）已知集合A={x|log2x≥0}，B={x|2x-4＞0}，则A∩ B =___ ．【正确答案】：[1]{x|1≤x≤2}【解析】：求出集合A，B，从而求出B，由此能求出A∩ B．【解答】：解：∵集合A={x|log2x≥0}={x|x≥1}，B={x|2x-4＞0}={x|x＞2}，∴ B={x|x≤2}，∴A∩ B={x|1≤x≤2}．故答案为：{x|1≤x≤2}．【点评】：本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.（填空题，3分）若1，a，2x，b，25成等比数列，则实数x的值是 ___ ．【正确答案】：[1]log25【解析】：根据题意可得（2x）2=1×25=25，从而即可求出x的值．【解答】：解：∵1，a，2x，b，25成等比数列，∴（2x）2=1×25=25，又2x＞0，则2x=5，∴x=log25．故答案为：log25．【点评】：本题考查等比数列的通项公式，考查学生基本的运算求解能力，属于基础题．3.（填空题，3分）已知函数f(x)={x2−ax，−2022≤x≤0bx2+cx，0≤x≤d是奇函数，则实数a+b+c+d=___ ．【正确答案】：[1]2021【解析】：由奇函数的定义和定义域关于原点对称，结合分段函数的解析式，可得a，b，c，d，可得所求和．【解答】：解：函数f(x)={x2−ax，−2022≤x≤0bx2+cx，0≤x≤d是奇函数，可得定义域关于原点对称，则d=2022，由-2022≤x≤0，f（x）=x2-ax，设0≤x≤2022，则-2022≤-x≤0，f（-x）=x2+ax，由f（x）为奇函数，可得f（x）=-f（-x）=-x2-ax，即有当0≤x≤2022时，f（x）=-x2-ax，又当0≤x≤2022时，f（x）=bx2+cx，所以b=-1，c=-a，则a+b+c+d=a-1-a+2022=2021，故答案为：2021．【点评】：本题考查函数的奇偶性的定义和运用，考查转化思想和方程思想、运算能力，属于基础题．4.（填空题，3分）将函数y=sin2x的图像向左平行移动π6个单位长度，再将得到的图像上各点的横坐标缩小到原来的12（纵坐标不变），得到的函数图像的解析式是 ___ ．【正确答案】：[1]y=sin（4x+ π3）【解析】：由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图像变换规律，得出结论．【解答】：解：将函数y=sin2x的图像向左平行移动π6个单位长度，得到y=sin（2x+ π3）的图像，再把所得图像上各点的横坐标缩小到原来的12（纵坐标不变），得到的函数图像的解析式为y=sin（4x+ π3），故答案为：y=sin（4x+ π3）．【点评】：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图像变换规律，属于基础题．5.（填空题，3分）已知等差数列{a n}的前和为S n，若a1=2，S5=S12，且S m=0，则m=___ ．【正确答案】：[1]17【解析】：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5=S 12可得5a 1+10d=12a 1+66d ，即a 1+8d=0，结合a 1=2即可求出d=- 14 ，进一步利用S m =2m+ m (m−1)2 ×（- 14 ）=- 18m 2+ 178 m=0求出m 的值即可．【解答】：解：设等差数列{a n }的公差为d ， 由S 5=S 12，得5a 1+10d=12a 1+66d ，即a 1+8d=0， 又a 1=2，所以d=- 14 ， 所以S m =2m+m (m−1)2 ×（- 14 ）=- 18m 2+ 178 m ， 令S m =0，得m 2-17m=0，解得m=17，或m=0（舍去）． 故答案为：17．【点评】：本题考查等差数列的前n 项和公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．6.（填空题，3分）关于x 的不等式mx 2-nx+p ＞0（m ，n ，p∈R ）的解集为（-1，2），则函数 f (x )=log 2nx−pnx−m 的定义域是 ___ ． 【正确答案】：[1]（-∞，-2）∪（1，+∞）【解析】：根据不等式的性质求出 n m =1， n p =- 12 ，代入f （x ），结合对数函数的性质求出函数的定义域即可．【解答】：解：关于x 的不等式mx 2-nx+p ＞0（m ，n ，p∈R ）的解集为（-1，2）， 所以m ＜0，并且-1，2是mx 2-nx+p=0的两个根，由韦达定理知 pm =-2＜0， ∴p ＞0， n m =1，∴ n p =- 12， ∴ f (x )=log 2nx−p nx−m =log 2（ p m • np x−1n m x−1）=log 2（ −12x−1x−1 ×（- 12 ）），由- 12 • −12x−1x−1＞0，解得：x ＞1或x ＜-2，故函数f （x ）的定义域是（-∞，-2）∪（1，+∞）， 故答案为：（-∞，-2）∪（1，+∞）．【点评】：本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质以及不等式问题，是基础题． 7.（填空题，3分）函数y=f （x ）图像C 如图所示，若C 上存在n （n∈N *，n≥2）个点（x i ，y i ）（i=1，2，⋯，n ）满足f (x 1)x 1=f (x 2)x 2=⋯=f (x n )x n，则n 的取值集合是 ___ ．【正确答案】：[1]{2，3，4}【解析】：y= f(x)x的几何意义为动点到原点的斜率，利用数形结合进行判断即可．【解答】：解：y= f(x)x 的几何意义为动点到原点的斜率，满足f(x1)x1=f(x2)x2=⋯=f(x n)x n的几何意义为到原点斜率相同点的个数，由图象知在① ③ ⑤ 位置有两个点的斜率相同，此时n=2，在② ④ 位置有三个点的斜率相同，此时n=3，在③ 位置有四个点的斜率相同，此时n=4，即n的取值集合是{2，3，4}，故答案为：{2，3，4}【点评】：本题主要考查直线斜率的应用，利用数形结合是解决本题的关键，是中档题．8.（填空题，3分）已知△ABC中的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a+2b=3，a2≤bc，且√3 cosA（bcosA+acosB）-csinA=0．则△ABC的面积是 ___ ．【正确答案】：[1] √34【解析】：由正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tanA的值，结合范围A∈（0，π），可得A= π3，由余弦定理，基本不等式可得a2≥bc，结合已知可求a2=bc，结合已知可求b，c的值，根据三角形的面积公式即可求解．【解答】：解：因为√3 cosA（bcosA+acosB）-csinA=0，由正弦定理可得√3 cosA（sinBcosA+sinAcosB）-sinCsinA=0，可得：√3 cosAsin（A+B）-sinCsinA=0，即√3 cosAsinC-sinCsinA=0，因为sinC≠0，所以√3 cosA-sinA=0，即tanA= √3，因为A∈（0，π），所以A= π3，由余弦定理可得a2=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，当且仅当b=c时等号成立，又a2≤bc，所以a2=bc，b=c，可得a=b=c，又a+2b=3，可得a=b=c=1，可得△ABC的面积S= 12 bcsinA= 12×1×1×√32= √34．故答案为：√34．【点评】：本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．9.（填空题，3分）已知函数f（x）=sinωx+acosωx（a＞0，ω＞0）的最大值为2，则使函数f（x）在区间[0，3]上至少取得两次最大值，则ω取值范围是 ___ ．【正确答案】：[1][ 1318，+∞）【解析】：将函数恒等变形，可得函数的最大值，可得a的值，由x的范围，求出ωx+ π3的范围，再由在区间上取两次最大值，可得ω的范围．【解答】：解：因为a＞0，函数f（x）=sinωx+acosωx= √1+a2 sin（ωx+φ），因为函数的最大值为2，则√1+a2 =2，解得a= √3，所以f（x）=2sin（ωx+ π3），因为x∈[0，3]，则ωx+ π3∈[ π3，3ω+ π3]，函数f（x）至少取得两次最大值，则3ω+ π3≥ 52π，解得：ω≥ 1318，故答案为：[ 1318 ，+∞）．【点评】：本题考查三角函数的恒等变形的应用，属于中档题．10.（填空题，3分）已知函数f （x ）= {e (x+1)2，x ≤0x +4x −3，x ＞0，函数y=f （x ）-a 有四个不同零点，从小到大依次为x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2+x 3x 4的取值范围为 ___ ．【正确答案】：[1][4，5）【解析】：通过f （x ）的单调性，画出f （x ）的图象和直线y=a ，考虑四个交点的情况，得到x 1=-2-x 2，-1＜x 2≤0，x 3x 4=4，再由二次函数的单调性，可得所求范围．【解答】：解：当x ＞0时，f （x ）=x+ 4x -3≥2 √x •4x -3=1，可得f （x ）在x ＞2递增，在0＜x ＜2处递减，由f （x ）=e (x+1)2 ，x≤0，x ＜-1时，f （x ）递减；-1＜x ＜0时，f （x ）递增，可得x=-1处取得极小值1，作出f （x ）的图象，以及直线y=a ，可得e (x 1+1)2 =e (x 2+1)2 =x 3+ 4x 3 -3=x 4+ 4x 4 -3， 即有x 1+1+x 2+1=0，可得x 1=-2-x 2，-1＜x 2≤0，x 3-x 4= 4x 4 - 4x 3 =4(x 3−x 4)x 3•x 4， 可得x 3x 4=4，x 1x 2+x 3x 4=4-2x 2-x 22=-（x 2+1）2+5，在-1＜x 2≤0递减，可得所求范围为[4，5）．故答案为：[4，5）．【点评】：本题考查函数方程的转化思想，以及数形结合思想方法，考查二次函数的最值求法，化简整理的运算能力，属于中档题．11.（填空题，3分）设ave{a，b，c}表示实数a，b，c的平均数，max{a，b，c}表示实数a，b，c的最大值．设A=ave{- 12 x+2，x，12x+1}，M=max{- 12x+2，x，12x+1}，若M=3|A-1|，则x的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]{x|x=-4或x≥2}【解析】：由已知中max{a，b，c}表示a，b，c三个实数中的最大数，若M=3|A-1|=|x|，M 是一个分段函数，所以要对x的取值进行讨论，从而求出满足条件的x范围．【解答】：解：由题意易得A= 13x+1，故3|A-1|=|x|= {−x，x＜0x，x≥0，∵M=3|A-1|，∴当x＜0时，-x= −12x+2，得x=-4；当0≤x＜1时，x= −12x+2，得x= 43，舍去；当1≤x＜2时，x= 12x+1，得x=2，舍去；当x≥2时，x=x，恒成立，综上所述，x=-4或x≥2．故答案为：{x|x=-4或x≥2}．【点评】：点评：本题考查的知识点是分段函数的最值，运用了分类讨论思想和数形结合思想，结合函数的图象会更好理解．12.（填空题，3分）数列{a n}中，a n表示与√n最接近的整数，则满足1a1+1a2+1a3+⋅⋅⋅+1a n＞20的正整数n的最小取值为 ___ ．【正确答案】：[1]111【解析】：根据题意，归纳可得使得a n=m的正整数有2m个，且最小的是m2-m+1，最大的是m2+m，由此可得1a1+1a2+1a3+⋅⋅⋅+1a n= 2×11+4×12+6×13+8×14+⋯，利用验证法分析可得答案．【解答】：解：根据题意，a n表示与√n最接近的整数，n=1，2时，a n=1；n=3，4，5，6时，a n=2；n=7，8，…，12时，a n=3；n=13，14，…，20时，a n=4；…………故使得a n=m的正整数有2m个，且最小的是m2-m+1，最大的是m2+m，故有1a1+1a2+1a3+⋅⋅⋅+1a n= 2×11+4×12+6×13+8×14+⋯，若1a1+1a2+1a3+⋅⋅⋅+1a n＞20，验证可得：n的最小取值为2+4+6+⋅⋅⋅+20+1=111，故答案为：111．【点评】：本题考查数列的求和，涉及数列的表示方法，属于中档题．13.（单选题，3分）地铁某换乘站设有编号为m1，m2，m3，m4的四个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如表：安全出口编号m1，m2m2，m3m3，m4m1，m3A.m1B.m2C.m3D.m4【正确答案】：B【解析】：分别比较有相同安全出口的编号的时间，得到各个安全出口的疏散乘客的快慢，再比较即可．【解答】：解：由同时开放m2，m3疏散1000名乘客所需的时间为140s，同时开放m3，m4疏散1000名乘客所需的时间为190s，所以m2比m4疏散乘客快，由同时开放m3，m4疏散1000名乘客所需的时间为190s，同时开放m1，m3疏散1000名乘客所需的时间为160s，所以m1比m4疏散乘客快，由同时开放m2，m3疏散1000名乘客所需的时间为140s，同时开放m1，m3疏散1000名乘客所需的时间为160s，所以m2比m1疏散乘客快，由同时开放m1，m2疏散1000名乘客所需的时间为120s，同时开放m2，m3疏散1000名乘客所需的时间为140s，所以m1比m3疏散乘客快，综上所述：m2＞m1，m1＞m3，m1＞m4，m2＞m3，所以疏散乘客最快的一个安全出的编号是m2，故选：B．【点评】：本题主要考查了简单的合情推理，是基础题．，则（）14.（单选题，3分）若正实数a，b，c满足3−a=log0.4b=c23=14A.c a＞b aB.logc a＜logb aC.log a b＞log b cD.c a-1＜b c-1【正确答案】：D【解析】：由对数，指数的运算化简可得0＜c＜0.4＜b＜1＜a，从而依次对四个选项判断即可．【解答】：解：∵ 3−a=14，即3a=4，∴a＞1，∵ 0＜log0.4b=14＜1，∴0.4＜b＜1，∵ c23=14，∴ c=18，∴0＜c＜0.4＜b＜1＜a，∴c a＜b a，log c a＞log b a，log a b＜0＜log b c，∴A，B，C项错误；∵a-1＞0，c-1＜0，∴0＜c a-1＜1＜b c-1，D项正确．故选：D．【点评】：本题考查指数、对数，幂的大小比较，同时考查了对数函数、指数函数的性质应用，属于基础题．15.（单选题，3分）我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始．已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则下列说法不正确的是（）A.小寒比大寒的晷长长一尺B.春分和秋分两个节气的晷长相同C.小雪的晷长为一丈五寸D.立春的晷长比立秋的晷长长【正确答案】：C【解析】：先计算从夏至到冬至的晷长构成等差数列{a n}的基本量以及由冬至到夏至的晷长构成等差数列{b n}的基本量，再对选项各个节气对应的数列的项进行计算，判断说法的正误即可．【解答】：解：由题意可知，由夏至到冬至的晷长构成等差数列{a n}，其中a1=15，a13=135，则d=10，同理可得，由冬至到夏至的晷长构成等差数列{b n}，其中b1=135，b13=15，则d'=-10，故大寒与小寒相邻，小寒比大寒的晷长长10寸，即一尺，故选项A正确；因为春分的晷长为b7，所以b7=b1+6d'=135-60=75，因为秋分的晷长为a7，所以a7=a1+6d=15+60=75，故春分和秋分两个节气的晷长相同，故选项B正确；因为小雪的晷长为a11，所以a11=a1+10d=15+100=115，又115寸即一丈一尺五寸，故小雪的晷长为一丈一尺五寸，故选项C错误；因为立春的晷长和立秋的晷长分别为b4，a4，所以a4=a1+3d=15+30=45，b4=b1+3d'=135-30=105，所以b4＞a4，故立春的晷长比立秋的晷长长，故选项D正确．故选：C．【点评】：本题考查了数列知识的应用，解题的关键是看懂题意，构造等差数列，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题．16.（单选题，3分）已知a、b、c是三角形的三边，对于f(a，b，c)=ab+c +ba+c+ca+b，有下列说法：① f（a，b，c）有最小值32；② f（a，b，c）有最大值是3．（）A. ① 对，② 错B. ① 错，② 对C. ① ② 都对D. ① ② 都错【正确答案】：A【解析】：（1）根据已知条件，结合换元法和基本不等式的公式，即可求解．（2）根据已知条件，结合三角形两边之和大于第三边，即可求解．【解答】：解：① 令x=b+c，y=a+c，z=a+b，x＞0，y＞0，z＞0，则a= −x+y+z2，b= x−y+z2，c= x+y−z2，故ab+c +ba+c+ca+b= −x+y+z2x +x−y+z2y+ x+y−z2z= y2x +x2y+z2x+x2z+z2y+y2z−32≥ 2√y2x•x2y+ 2√z2x•x2z+ 2√z2y•y2z−32=32，当且仅当{y2x =x2yz 2x =x2zz 2y =y2z，即x=y=z，即a=b=c时，等号成立，故① 正确，② 由三角形两边之和大于第三边可知，0＜a＜b+c，故ab+c ＜1，同理可得ba+c＜1，ca+b＜1，故f(a，b，c)=ab+c +ba+c+ca+b＜3，故② 错误．故选：A．【点评】：本题主要考查函数最值，掌握基本不等式的公式是解本题的关键，属于中档题．17.（问答题，14分）如图，圆O的半径为2，l为圆O外一条直线，圆心O到直线l的距离|OA|=3．P0为圆周上一点，且∠AOP0= π6．点P从P0处开始以2秒一周的速度绕点O在圆周上按逆时针方向作匀速圆周运动（这里的角均指逆时针旋转角）．（1）求t秒钟后，点P到直线l的距离用y=f（t）（t≥0）的解析式；（2）当|P0P|=2 √3时，求t的值．【正确答案】：【解析】：（1）由题意，周期为2，t秒钟后，旋转角为ωt，求出点P的横坐标，从而求出点P到直线l的距离．（2）当|P0P|=2 √3时，∠POP0= 2π3，进而即可求解．【解答】：解：（1）由题意，周期为2，则t秒钟后，旋转角为ωt= 2πTt=πt，则此时点P的横坐标为x=2cos（πt+ π6），所以点P到直线l的距离为f（t）=3-2cos（πt+ π6），t≥0．（2）当|P0P|=2 √3时，∠POP0= 2π3，可得P旋转了πt= 2π3+2kπ，k∈N，或πt= 4π3+2kπ，k∈N，解得t= 23 +2k，k∈N，或t= 43+2k，k∈N．【点评】：本题考查已知三角函数模型的应用问题，关键是搞清旋转角，理解三角函数的定义．18.（问答题，14分）如图，四棱锥P-ABCD在底面是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，AB=3，AD=4．（1）求证：MN || 平面PAD；（2）若直线MN与平面ABCD所成的角为45°，求直线MN与平面PAC所成的角的大小．【正确答案】：【解析】：（1）只要证明MN方向向量与平面PAD的法向量数量积为零；（2）用向量数量积计算直线与平面成角正弦值，再解三角方程求解．【解答】：（1）证明：由题意知AB、AD、AP两两垂直，建系如图，平面PAD的法向量是m⃗⃗ =（1，0，0），设P（0，0，2h），M（32，0，0），N（32，2，h），MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，2，h），因为MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • m⃗⃗ =0，MN⊄平面PAD，所以MN || 平面PAD ．（2）解：由（1）知 MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，2，h ）， 平面ABCD 的法向量为 n ⃗ =（0，0，1），又因为直线MN 与平面ABCD 所成的角为45°， 所以 |MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ ||MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |•|n ⃗ | = ℎ√4+ℎ2•1=sin45°= √22 ， 解得h=2， MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，2，2）， OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，2，0）， AP⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，0，4）， 令 k⃗ =（1，-1，0）， 因为 OC ⃗⃗⃗⃗⃗ • k ⃗ =0， AP⃗⃗⃗⃗⃗ • k ⃗ =0， 所以 k⃗ 是平面PAC 的法向量， 所以直线MN 与平面PAC 所成的角正弦值为 |MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •k ⃗ ||MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |•|k⃗ | = 22√2•√2 = 12 ， 所以直线MN 与平面PAC 所成的角的大小为30°．【点评】：本题考查了直线与平面的位置关系，考查了直线与平面成角问题，属于中档题．19.（问答题，14分）某中学食堂定期从粮店以每吨1500元的价格购买大米，每次购进大米需支付运输费100元．食堂每天需用大米1吨，贮存大米的费用为每吨每天2元（不满一天按一天计），假定食堂每次均在用完大米的当天购买．（1）该食堂隔多少天购买一次大米，可使每天支付的总费用最少？（2）粮店提出价格优惠条件：一次购买量不少于20吨时，大米价格可享受九五折（即原价的95%），问食堂可否接受此优惠条件？请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）设每n天购一次，即购n吨，则库存总费用为2[n+（n-1）+…+2+1]=n （n+1）．即可得到平均每天费用y1= 1n[n(n+1)+100]+1500，利用基本不等式即可得出最小值．（2）若接受优惠，每m天购一次，即购m吨（m≥20），则平均每天费用y2= 1m[m(m+ 1)+100]+1500×0.95．利用导数研究其单调性，即可得出其最小值．【解答】：解：（1）设每n天购一次，即购n吨，则库存总费用为2[n+（n-1）+…+2+1]=n（n+1）．则平均每天费用y1= 1n [n(n+1)+100]+1500 n= n+100n+1501≥1521．当且仅当n=10时取等号．∴该食堂隔10天购买一次大米，可使每天支付的总费用最少．（2）若接受优惠，每m天购一次，即购m吨（m≥20），则平均每天费用y2= 1m[m(m+1)+100]+1500×0.95= m+100m+1426（m∈[20，+∞））．令f（m）= m+100m(m∈[20，+∞))．则f′(m)=1−100m2=m2−100m2＞0，故当m∈[20，+∞）时，函数f（m）单调递增，故当m=20时，（y2）min=1451＜1521．∴食堂可接受此优惠条件．【点评】：正确审清题意，利用等差数列的前n项和公式得出表达式，熟练掌握基本不等式求最值和利用导数研究函数的单调性等是解题的关键．20.（问答题，16分）如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于该椭圆的另一个焦点F2上．椭圆有光学性质：从一个焦点出发的光线，经过椭圆面反射后经过另一个焦点，即椭圆上任意一点P处的切线与直线PF1、PF2的夹角相等．已知BC⊥F1F2，垂足为F1，|F1B|=3m，|F1F2|=4cm，以F1F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立如图的平面直角坐标系．（1）求截口BAC所在椭圆C的方程；（2）点P为椭圆C上除长轴端点和短轴端点外的任意一点．① 是否存在m，使得P到F2和P到直线x=m的距离之比为定值，如果存在，求出的m值，如果不存在，请说明理由；② 若∠F1PF2的角平分线PQ交y轴于点Q，设直线PQ的斜率为k，直线PF1、PF2的斜率分别为k1，k2，请问kk2+kk1是否为定值，若是，求出这个定值，若不是，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）设所求椭圆方程为x 2a2+y2b2=1，由椭圆的性质求得a=|BF1|+|BF2|2，b，可得椭圆的方程；（2）① 存在，设椭圆上的点P（x0，y0），直接计算|PF2|d，即可探索出存在m；② 由（1）得椭圆的方程为x216+y29=1，设椭圆上的点P（x0，y0），有k1=y0x0+2，k2=y0 x0−2，证明椭圆x216+y212=1在点P（x0，y0）处的切线方程为x0x16+y0y12=1，再由右光学性质得直线PQ⊥l，由此可求得定值．【解答】：解：（1）设所求椭圆方程为x 2a2+y2b2=1，则|F2B|=√|F1F2|2+|BF1|2=√42+32=5，由椭圆的性质：|BF1|+|BF2|=2a，所以a=|BF1|+|BF2|2=12(3+5)=4，b=√a2−c2=√42−22=2√3，所以椭圆的方程为x 216+y212=1．（2）由椭圆的方程为x 216+y212=1，则F1（-2，0），F2（2，0）．① 存在直线x=8，使得P到F2和P到直线x=m的距离之比为定值．设椭圆上的点P（x0，y0），则|PF2|=√(x0−2)2+y2，P到直线x=m的距离d=|m-x0|，所以|PF2|d =√(x0−2)2+y02|m−x0|=√(x0−2)2+12−34x02(m−x0)2=√14(x0−8)2(m−x0)2，所以，当m=8时，|PF2|d =12（定值）．即存在m=8，使得P到F2和P到直线x=8的距离之比为定值12．② 设椭圆上的点P（x0，y0），则k1=y0x0+2，k2=y0x0−2，又椭圆x 216+y212=1在点P（x0，y0）处的切线方程为x0x16+y0y12=1，证明如下：对于椭圆x 216+y212=1，当y＞0，y=√12−3x 24，则y′=4√12−3x24所以椭圆x 216+y212=1在P（x0，y0）处的切线方程为y−y0=04√12−024x−x0)，又由x0216+y0212=1，可以整理切线方程为：y−y0=04√y02x−x0)=−3x04y0(x−x0)，即切线方程为4y0（y-y0）=-3x0（x-x0），即3x0x+4y0y=4y02+3x02=48，也即x0x16+ y0y12=1．所以椭圆x 216+y212=1在点P（x0，y0）处的切线方程为x0x16+y0y12=1，同理可证：当y＜0，椭圆x 216+y212=1在点P（x0，y0）处的切线方程为x0x16+y0y12=1，综述：椭圆x 216+y212=1在点P（x0，y0）处的切线方程为x0x16+y0y12=1，所以在点P（x0，y0）处的切线l的斜率为−3x04y0，又由光学性质可知：直线PQ⊥l，所以−3x04y0⋅k=−1，则k=4y03x0．所以kk1=4y03x0⋅x0+2y0=4(x0+2)3x0，k k2=4y03x0⋅x0−2y0=4(x0−2)3x0，那么kk1+kk2=4(x0+2)3x0+4(x0−2)3x0=83．【点评】：本题主要考查椭圆方程的求解，椭圆中的探索性问题等知识，属于中等题．21.（问答题，18分）已知函数f（x）=|2x+4|+|x-2|．（1）解不等式f（x）＞7；（2）设函数f （x ）的最小值为M ，若正实数a ，b ，c 满足a+2b+3c=M ，求 3a +2b +1c 的最小值；（3）若数列{a n }满足a 1=a （a≤-2或a≥0，a 为常数），3a n+1=f （a n ）（n∈N *），求数列{a n }的前项和S n ．【正确答案】：【解析】：（1）直接利用绝对值不等式的解法求出结果； （2）利用基本不等式的应用求出最小值；（3）利用分类讨论思想的应用和数列的递推关系式和数列的通项公式的求法和数列的求和的应用求出结果．【解答】：解：（1）函数f （x ）=|2x+4|+|x-2|． 所以：|2x+4|+|x-2|＞7， 令2x+4=0，解得x=-2， 令x-2=0，解得x=2，故当x ＜-2时，-2x-4+2-x ＞7，整理得-3x ＞9，故x ＜-3；所以x ＜-3． 当-2≤x≤2时，2x+4+2-x ＞7，整理得x ＞1，故1＜x≤2， 当x ＞2时，2x+4+x-2＞7，整理得：3x ＞5，即 x ＞53 ，故x ＞2． 故不等式的解集为：{x|x ＜-3或x ＞1}．（2）由于函数f （x ）=|2x+4|+|x-2|= {−3x −2(x ＜−2)x +6(−2≤x ≤2)3x +2(x ＞2) ，故函数f （x ）的最小值为4． 即M=4，由于a+2b+3c=4， 所以(a+2b+3c )4•(3a +2b +1c ) = 14(10+2a b+ac +6b a+2b c+9c a+6cb) ≥4+2√3 ，当且仅当a= √3b=3c 时等号成立，故函数的最小值为 4+2√3 ． （3） ① 当a≤-2时，3a 2=f （a 1）=-3a-2， 解得 a 2=−a −23 ＜-2，3a3=f（a2）=-3a2-2，解得a3=a；同理a4=−a−23，a5=a，........，所以a n+a n+1=−23；当n为偶数时，S n=（a1+a2）+（a3+a4）+...+（a n-1+a n）= −23×n2=−n3；当n为奇数时，S n=a1+（a2+a3）+...+（a n-1+a n）= a−23×n−12=a−n−13；故S n={−n3(n为偶数)a−n−13(n为奇数)．② 当0≤a＜2时，3a2=f（a1）=a+6，解得a2=a3+2＞2；所以3a3=f（a2）=3a2+2，解得a3=a3+83＞2，故当n≥2时，a n+1−a n=23，所以当n≥2时，数列{a n}是以23为公差，a3+2为首项的等差数列；当n=1时，a1=S1=a，所以S n=a+(23+a)(n−1)+(n−1)(n−2)2×23=a+(n−1)(n+4+a)3；所以S n={a(n=1)a+(n−1)(n+4+a)3(n≥2)．③ 当a≥2时，由于3a n+1=f（a n），整理得a n+1−a n=23（常数），数列{a n}是以23为公差，以a为首项的等差数列；所以S n=na+n(n−1)2×23=n(n+3a−1)3．【点评】：本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，基本不等式，绝对值不等式的解法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．。
上海市七宝中学2020届高三数学上学期期中试题(含解析)
上海市七宝中学2020届高三数学上学期期中试题（含解析）一. 填空题1.集合的真子集有________个【答案】【解析】【分析】直接写出集合A的真子集即得解.【详解】集合A的真子集有，{0}，{1}，{2020}，{0,1}，{0,2020}，{1,2020}，所以集合A 的真子集个数为7,故答案为：7【点睛】本题主要考查集合的真子集及其个数，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.2.设全集，，，则图中阴影部分所表示的集合是________（用区间表示）【答案】【解析】【分析】先化简集合M和N，再求M∩N,再求即得阴影部分所表示的集合.【详解】由题得M={x|x>2或x<-2}，N={x|x≥0}，所以M∩N={x|x＞2}，所以.所以阴影部分所表示的集合为[0,2].故答案为：【点睛】本题主要考查韦恩图和集合的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.3.命题“若实数、满足，则或”是________命题（填“真”或“假”）【答案】真【解析】【分析】先考虑其逆否命题“a＞2且b＞3则a+b＞5”的真假，即得原命题的真假.【详解】由题得原命题的逆否命题为“a＞2且b＞3则a+b＞5”，由不等式同向可加的性质得其逆否命题为真命题，所以原命题是真命题.故答案为：真【点睛】（1）本题主要考查原命题及其逆否命题，考查命题真假性的判断，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 互为逆否关系的命题同真同假，即原命题与逆否命题的真假性相同，原命题的逆命题和否命题的真假性相同.所以，如果某些命题（特别是含有否定概念的命题）的真假性难以判断，一般可以判断它的逆否命题的真假性.4.某个时钟时针长6，则在本场考试时间内，该时针扫过的面积是________【答案】【解析】【分析】直接利用扇形的面积公式求解.【详解】由题得该时针扫过的面积为故答案为：【点睛】本题主要考查扇形面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.5.函数是奇函数，则实数的值为________【答案】【解析】【分析】化简f(-x)+f(x)=0即得a=±1，再检验得a=-1.【详解】由题得，所以所以，经检验a=1不符合题意，所以舍去，故答案为：-1【点睛】本题主要考查奇函数的性质和对数的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.6.函数在上单调递增，则实数的取值范围为________【答案】【解析】【分析】先对函数求导得在（1,2）上恒成立，再分离参数求出a的范围.【详解】由题得在（1,2）上恒成立，所以.故答案为：【点睛】(1)本题主要考查利用导数研究不等式的单调性和恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 一般地，函数在某个区间可导，在某个区间是增函数≥0 .7.在△中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则△的面积为________【答案】【解析】【分析】利用余弦定理可得b，再利用三角形面积计算公式即可得出．【详解】∵a=，∴a2=b2+c2﹣2bccosA，∴3=4+b2﹣4b×，化为b2﹣2b+1=0，解得b=1．∴S△ABC===．故答案为：．【点睛】本题主要考查了余弦定理、三角形面积计算公式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力与计算能力．8.已知函数，则的解集是________【答案】【解析】【分析】由于函数是定义域在上的增函数，所以,解不等式即得解.【详解】由于函数是定义域在上的增函数，所以故答案为：【点睛】(1)本题主要考查幂函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)处理函数的问题，一定要注意“定义域优先的原则”，本题不要漏了3x-1≥0.9.若关于的不等式在上恒成立，则正实数的取值范围为________【答案】【解析】【分析】由题得|2x-a|>-x+1,再分1＜x≤2和0≤x≤1两种情况讨论恒成立问题，即得解.【详解】由题得|2x-a|>-x+1,当1＜x≤2时，-x+1<0,所以不等式恒成立.当0≤x≤1时，-x+1≥0，所以2x-a＞-x+1或2x-a＜x-1，所以a＜3x-1或a＞x+1在[0,1]上恒成立，所以a<-1或a>2,因为a>0,综合得a>2.故答案为：a>2【点睛】本题主要考查绝对值不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.10.已知常数，函数的图像经过点、，若，则________ 【答案】【解析】【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值．【详解】函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．则：，整理得：=1，解得：2p+q=a2pq，由于：2p+q=16pq，所以：a2=16，由于a＞0，故：a=4．故答案为：4【点睛】本题主要考查函数的性质和指数幂的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.11.已知函数，若，则的最大值是________ 【答案】【解析】【分析】设g(x)=f(x)-3,再判断函数g(x)的奇偶性和单调性，再由得，再利用三角换元求的最大值.【详解】设g(x)=f(x)-3,所以g(x)=,所以所以g(-x)=-g(x),所以函数g(x)是奇函数，由题得，所以函数g（x）是减函数，因为，所以，所以g=0,所以g=g(1-,所以不妨设，所以==，所以的最大值为.故答案为：【点睛】（1）本题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查函数的图像和性质，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)本题的解题关键有三点，其一是构造函数g(x)得到函数g(x)的奇偶性和单调性，其二是由得，其三是利用三角换元求的最大值.12.已知函数，如果函数恰有三个不同的零点，那么实数的取值范围是________【答案】【解析】【分析】先求出函数的解析式，作出函数的图像，由题得有三个不同的实根，数形结合分析得到实数k的取值范围.【详解】当1＜x≤2时，f(x)=-x+2,当时，1＜2x≤2，所以f(x)=,当时，＜2x≤1，所以f(x)=,当时，＜2x≤，所以f(x)=,当时，＜2x≤，所以f(x)=,所以函数的图像为：其图像为线段PA,EB,GC,HD,,(不包括上端点A,B,C,D,)直线y=k(x-1)表示过定点P(1,0)的直线系，由题得C(),D(),当直线在PD(可以取到)和直线PC（不能取到）之间时，直线和函数f(x)的图像有三个不同的交点，由题得.所以k的取值范围为.故答案为：【点睛】（1）本题主要考查函数的图像和性质，考查求函数的解析式，考查函数的零点问题，意在考查学生读这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.（2）解答本题的关键是求出函数f(x)的解析式作出函数的图像.(3)函数的零点问题常用的方法有：方程法、图像法、方程+图像法.二. 选择题13.“函数存在反函数”是“函数在上为增函数”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】函数存在反函数，至少还有可能函数在上为减函数，充分条件不成立；而必有条件显然成立。
上海市2020届高三数学上学期期中试题(含解析)
上海市2021届高三数学上学期期中试题（含解析）一. 填空题 1.设函数()f x A ，R 为全体实数集，则R C A =________【答案】{|11}x x -<< 【解析】 【分析】被开方数需大于等于0求得集合A ，再求A R.【详解】由题意得：2{|10}{|1A x x x x =-≥=≥或1}x ≤-， 因为R 为全体实数集，所以{|11}A x x =-<<R.故答案为：{|11}x x -<<.【点睛】本题考查函数定义域的求法、集合间的补集运算，考查对定义域概念的理解和基本的运算求解能力.2.若复数1z ，2z 满足112i z =+，234i z =+（i 是虚数单位），则12||z z ⋅=________【答案】【解析】 【分析】先要据复数相乘得到12510i z z ⋅=-+，再利用复数求模的公式，即得答案. 【详解】因为12(12i)(34i)510i z z ⋅=+⋅+=-+，所以12||z z ⋅==.故答案为：【点睛】本题考查复数相乘、复数模的计算，考查基本运算求解能力.3.在二项式51)x-的展开式中，展开式的系数和为________【答案】32 【解析】 【分析】利用赋值法令1x =即可得到展开式各项的系数和.【详解】由二项式51)x的展开式知，展开式的系数和是由展开式的各项的系数相加，所以1x =得：展开式的系数和为5(31)32-=. 故答案为：32.【点睛】本题考查二项展开式各项系数和的计算，求解过程中要学会用赋值法进行求解，考查对展开式各项系数的理解和基本的运算求解能力.4.双曲线22221x y a b-=的一个焦点是(5,0)，一条渐近线是340y x -=， 那么双曲线的方程是________【答案】221916x y -=【解析】 【分析】由双曲线的焦点坐标得c ，再由渐近线方程得ba，结合222c a b =+，从而求得,a b ，进而求得双曲线的方程.【详解】因为双曲线的焦点是(5,0)，所以5c =， 因为渐近线是340y x -=，所以43b a =，又222c a b =+， 所以3,4a b ==，所以双曲线的方程是221916x y -=.故答案为：221916x y -=.【点睛】本题考查利用待定系数法求双曲线方程，考查焦点坐标、渐近线方程的概念，考查基本运算求解能力，注意222c a b =+而不能记成222a b c =+. 5.若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，11a =，4d =，则2lim 1nn S n →∞=+________【答案】2 【解析】【分析】利用等差数列的前n 项和公式求得n S ，再代入极限式子中，分子分母同时除以2n ，进而计算求得答案.【详解】因为21(1(14222n S n n n n n a n d n n --=⋅+⋅=+⋅=-））， 所以2222122lim lim lim 21111n n n n S n n n n n n→∞→∞→∞--===+++. 故答案为：2. 【点睛】本题考查等差数列求和、数列极限，考查数列中的基本量法求和，考查基本的运算求解能力.6.已知函数34()log (2)f x x=+，则方程1()4f x -=的解x =________ 【答案】1 【解析】 【分析】根据互为反函数的两个函数间的关系知，欲求满足1()4f x -=的x 值，即求(4)f 的值． 【详解】由题意得x 值即为(4)f 的值，因为34()log (2)f x x =+， 所以34(4)log (2)14f =+=，所以1x =. 故答案为：1x =.【点睛】本题考查原函数与反函数之间的关系，即原函数过点(,)x y ，则反函数过点(,)y x ，考查对概念的理解和基本运算求解能力. 7.行列式sin 4cos 35x x的最大值为________【答案】13 【解析】 【分析】由行列式计算结合辅助角公式得13sin()x ϕ-，再由三角函数的值域，求得行列式的最大值. 【详解】因为sin 4cos 5sin 12cos 13sin()1335x x x x x ϕ=-=-≤，其中12tan 5ϕ=， 所以sin 4cos 35x x的最大值为13.故答案为：13.【点睛】本题考查行列式的计算、辅助角公式的运用及三角函数的最值，考查逻辑推理和运算求解能力.8.如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．【答案】43【解析】分析：先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果.详解：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的2，，所以该多面体的体积为21421(2).33⨯⨯⨯=点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．9.某学生选择物理、化学、地理三门学科参加等级考，已知每门学科考A +得70分，考A 得67分，考B +得64分，该生每门学科均不低于64分，则其总分至少为207分的概率为________ 【答案】427【解析】 【分析】先求出基本事件总数33327n =⨯⨯=，其总分至少为207分包含的基本事件个数3213314m C C C =+=，由此能求出其总分至少为207分的概率．【详解】某学生选择物理、化学、地理这三门学科参加等级考，每门学科考A +得70分，考A 得67分，考B +得64分，该生每门学科均不低于64分， 基本事件总数33327n =⨯⨯=，其总分至少为207分包含的基本事件个数：3213314m C C C =+=，∴则其总分至少为207分的概率427m p n ==． 故答案为：427． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.已知数列{}n a 中，其中199199a =，11()an n a a -=，那么99100log a =________【答案】1 【解析】 【分析】由已知数列递推式可得数列99{log }n a 是以199991991log 9999log a ==为首项，以19999为公比的等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解．【详解】由11()an n a a -=，得991991log log n n a a a -=，∴199991991l 9og log 9n n a a a -==， 则数列99{log }n a 是以199991991log 9999log a ==为首项，以19999为公比的等比数列， ∴19999991001log (99)199a =⋅=． 故答案为：1．【点睛】本题考查数列的递推关系、等比数列通项公式，考查运算求解能力，特别是对复杂式子的理解．11.已知a 、b 、2c 是平面内三个单位向量，若a b ⊥，则|4|2|32|a c a b c +++-的最小值是________【答案】【解析】 【分析】设2(,)c e x y ==，(1,0)a =，(0,1)b =，将问题转化为求|2||64|a e a b e +++-的最小值，再证明|2||2|a e a e +=+，从而将原问题转化为求|2||64|a e a b e +++-的最小值. 【详解】令2c e =，设(1,0)a =，(0,1)b =，e 对应的点C 在单位圆上， 所以问题转化为求|2||64|a e a b e +++-的最小值.因为2222(2)(2)330a e a e e a +-+=-=，所以|2||2|a e a e +=+，所以|64|(|22)|a e a b e x ++-=++ 表示C 点到点(2,0)-和(6,4)的距离之和， 过点(2,0)-和(6,4)的直线为220x y ，原点到直线220x y1=<，所以与单位圆相交，所以|2||64|a e a b e +++-的最小值为：点(2,0)-和(6,4)之间的距离，即故答案为：【点睛】本题考查平面向量的坐标运算与解析几何中直线与圆的位置关系的交会，求解的关键在于问题的等价转化，即将最小值转化为两点问的距离，考查数形结合思想、转化与化归思想的灵活运用，综合性很强．12.已知二次函数2()2019f x ax bx c =++（0a >），若存在0x ∈Z ，满足01|()|2019f x ≤，则称0x 为函数()f x 的一个“近似整零点”，若()f x 有四个不同的“近似整零点”，则a 的取值范围是________ 【答案】21(0,]2019【解析】【分析】设函数的四个“近似整零点”为,1,2,3m m m m +++，再利用绝对值不等式和01|()|2019f x ≤，求得a 的取值范围. 【详解】设函数的四个“近似整零点”为,1,2,3m m m m +++， 所以42019()(3)(1)(2)a f m f m f m f m ⨯=++-+-+|()||(3)||(1)||(2)|f m f m f m f m ≤++++++142019≤⨯所以212019a ≤. 故答案为：21(0,]2019. 【点睛】本题考查“近似整零点”的定义，求解的关键是读懂新定义，且理解“近似整零点”只与图象的开口大小有关，且四个整零点之间的最小距离为3，此时a 可取到最大值. 二. 选择题13.若函数()sin()f x x ϕ=+是偶函数，则ϕ的一个值可能是（ ） A. 0 B.2π C. πD. 2π【答案】B 【解析】 【分析】由函数的奇偶性的定义可得ϕ需满足的条件为2k πϕπ=+，k Z ∈，结合选项可得答案．【详解】函数()sin()f x x ϕ=+是偶函数，()()f x f x ∴-=，即sin()sin()x x ϕϕ-+=+，2x x k ϕϕπ∴-+=++或2x x k ϕϕππ-+++=+，k Z ∈，当2x x k ϕϕπ-+=++时，可得x k π=-，不满足偶函数定义中的任意性； 当2x x k ϕϕππ-+++=+时，2k πϕπ=+，k Z ∈，当0k =时，2ϕπ=. 故选：B.【点睛】本题考查正弦函数图象，涉及函数的奇偶性，求解过程中也可以采用代入法求解，重点学校 试卷 可修改 欢迎下载即直接把四个选项代入一一进行验证求得ϕ的值． 14.设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的( ) A. 充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定. 【详解】化简不等式，可知 05x <<推不出11x -<； 由11x -<能推出05x <<，故“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件， 故选B 。
2024—2025学年上海市七宝中学高三上学期期中考试数学试卷
2024—2025学年上海市七宝中学高三上学期期中考试数学试卷一、填空题(★) 1. 函数的定义域为 __________ ．(★★) 2. 计算 ______ ．(★★) 3. 已知是1与9的等比中项，则正实数 ______ ．(★) 4. 在的展开式中，的系数为 ______ （用数字作答）．(★) 5. 在复平面内，复数对应的点位于第 ______ 象限.(★★) 6. 已知，则 ______ ．(★) 7. 已知集合，其中可以相同，用列举法表示集合中最小的4个元素所构成的集合为 ______ ．(★★★) 8. 已知是函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则的极大值点为 ______ （从中选择作答）．(★★★) 9. 已知函数．在中，，且，则 ______ ．(★★★) 10. 如图，线段相交于，且长度构成集合，则的取值个数为 ______ ．(★★★) 11. 抛物线的焦点为，准线为是拋物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在准线上的投影为，则的最大值是 ______ ．(★★★★) 12. 平面上到两个定点距离之比为常数的动点的轨迹为圆，且圆心在两定点所确定的直线上，结合以上知识，请尝试解决如下问题：已知满足，则的取值范围为 ______ ．二、单选题(★★★) 13. 已知是非零实数，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．D．(★★) 14. 已知直线，动直线，则下列结论正确的为（）A．不存在，使得的倾斜角为B．对任意的，与都不垂直C．存在，使得与重合D．对任意的，与都有公共点(★★★★) 15. 一组学生站成一排.若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（）A．B．C．D．(★★★★) 16. 若，有限数列的前项和为，且对一切都成立．给出下列两个命题：①存在，使得是等差数列；②对于任意的，都不是等比数列．则（）A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题C．①②都是真命题D．①②都是假命题三、解答题(★★★) 17. 如图，为正方体，动点在对角线上（不包含端点），记．(1)求证：；(2)若异面直线与所成角为，求的值．(★★★) 18. 已知点、、，是坐标原点.（1）若，求的值；（2）若实数、满足，，求的最大值.(★★★) 19. 生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹.为了解某地中学生和大学生对跑步软件的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软件，结果如下：假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响.(1)从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用跑步软件一的概率；(2)采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取人，再从这人中随机抽取人.记为这人中最喜爱使用跑步软件二的人数，求的分布列和数学期望；(3)记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；样本中的大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；，，，，，，，的方差为.写出，，的大小关系.（结论不要求证明）(★★★★) 20. 在平面直角坐标系中，，分别是椭圆的左右焦点，设不经过的直线与椭圆交于两个不同的点，焦点到直线的距离为．(1)求该椭圆的离心率；(2)若直线经过坐标原点，求面积的最大值；(3)如果直线的斜率依次成等差数列，求的取值范围．(★★★) 21. 若斜率为的两条平行直线，曲线满足以下两条性质：（Ⅰ）分别与曲线至少有两个切点；（Ⅱ）曲线上的所有点都在之间或两条直线上．则称直线为曲线的一对“双夹线”，把“双夹线”之间的距离称为曲线在“方向上的宽度”，记为，已知曲线.(1)判断时，曲线是否存在“双夹线”，并说明理由；(2)若，试问：和是否是函数的一对“双夹线”？若是，求此时的值；若不是，请说明理由；(3)对于任意的正实数，函数是否都存在“双夹线”？若是，求的所有取值构成的集合；若不是，请说明理由.。
七宝高三考题考试
上海市七宝中学2020┄2021学年度第一学期期中考试高三化学试卷出卷：侯良安审卷：杨永桃说明：请将正确答案写在答题卷上。
答案不能写在试题卷上，写在试题卷上一律不给分。
（满分150分，时间120分钟）本卷可能用到的相对原子质量：H-1 N-14 O-16 S-32 Cl-35.5 Na-23 Mg-24 Al-27 Fe-56 Cu-64 Ag-108第Ⅰ卷（共66分）一、选择题（本题共10分，每小题2分，只有一个正确选项）1．水华现象是指水体由于出现富营养化，使某些藻类迅速繁殖，从而导致水体生态系统的破坏。
下列能够使水体富营养化的物质是：Ａ．含硫的化合物Ｂ．含氮、磷的化合物Ｃ．含氯的化合物Ｄ．含碳的化合物2．下列各组物质的沸点不是按从高到低排列的是Ａ．金刚石、金刚砂、晶体硅Ｂ．金属钠、金属钾、金属铷Ｃ．水、硫化氢、硒化氢Ｄ．氧化镁、氯化钠、金属钾3．N的质量数为14，在微粒[NH3T]+中，电子数、质子数、中子数之比为Ａ． 10︰7︰11 Ｂ． 11︰9︰10 Ｃ． 10︰11︰8 Ｄ． 10︰11︰94．某些晶体在一定条件下可以导电，下列说法一定正确的是Ａ．其水溶液导电的一定是离子晶体Ｂ．熔融态导电的一定是离子晶体Ｃ．固态导电的一定是金属晶体Ｄ．固态不导电熔融态导电的一定是离子晶体5．反应C（s）+ H2O（g）CO（g）+ H2（g）在一可变容积的密闭容器中进行，下列条件的改变对其反应速率几乎不影响的是A．加入生石灰固体B．将容器体积缩小一半C．保持体积不变，充入N2使体系压强增大D．保持压强不变，充入N2使体系体积增大二、选择题（本题共36分，每小题3分，只有一个正确选项）6．常温下，浓度均为1mol·L-1的（NH4）2SO4、（NH4）2CO3、NH4HCO3 、NH4HSO4、（NH4）2 Fe（SO4）2五种溶液中，其NH4+的浓度分别为a 、b、c、d、e（单位mol/L）则NH4+的浓度大小判断正确的是A a=b=e﹥c﹥dB e﹥a﹥b﹥﹥d﹥cC b﹥d﹥e﹥a﹥cD d﹥b﹥a﹥c﹥e7．密闭定容容器中有可逆反应：nA（g） pC（g）+ qD（g）在一定温度下建立化学平衡后，保持温度不变，设法增大A的浓度，则A的平衡转化率是Ａ．减少Ｂ．不变Ｃ．增大Ｄ．以上说法都可能正确8．砒霜的主要成分是三氧化二砷，有剧毒，是两性（偏酸性）氧化物，其晶体易升华，微溶于水，可生成酸，该酸的盐也有毒性；该酸的碱金属盐可溶于水，其它盐几乎不溶于水。
七宝中学高三上期中数学试卷1
七宝中学高三期中数学试卷一.填空题1.已知集合{|||2}A x x =≤，5{|0}1x B x x +=≤-，则A B = 2.已知12cos 5sin cos()A θθθϕ-=+(0)A >，则tan ϕ=3.已知函数()arcsin(21)f x x =+，则1()6f π-=4.若函数6,2()3log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩(0a >且1)a ≠的值域是[4,)+∞，则实数a 的取值范围是5.已知函数()31x f x =-，2()21g x x x =--，若存在实数a 、b ，使得()()f a f b =，则b 的取值范围是6.已知函数224,0()4,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若2(2)()f m f m ->，则实数m 的范围是7.已知θ为锐角，且1cos()45πθ+=，则cos θ=8.已知0a >，0b >且1a b +=，则22(2)(2)a b +++的最小值是9.已知偶函数()f x 对任意x R ∈都有(4)()2(2)f x f x f +-=，则(2018)f =10.若函数()|1||2|6|3|f x x m x x =-+-+-在2x =时取得最小值，则实数m 的取值范围是11.已知()2sin()f x x ω=(0)ω>在2[,43ππ-上单调递增，则ω的取值范围是12.若定义在[,]m m -(0)m >上的函数42()cos 1x x a f x x x a ⋅+=++(0,1)a a >≠的最大值和最小值分别是M 、N ，则M N +=13.在某一个圆中，长度为2、3、4的平行弦分别对应于圆心角α、β、αβ+，其中αβπ+<，则这个圆的半径是14.若正实数,x y 满足244x y xy ++=，且不等式2(2)22340x y a a xy +++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是二.选择题15.函数22()sin 3cos f x x x =+的最小正周期是（）A.4π B.2πC.πD.2π16.已知()y f x =是周期为2π的函数，当[0,2)x π∈时，()sin2x f x =，则1()2f x =的解集为（）A.{|2,}3x x k k Z ππ=+∈ B.5{|2,}3x x k k Z ππ=+∈C.{|2(1),}3k x x k k Z ππ=+-∈ D.{|2,}3x x k k Z ππ=±∈17.“1132x <<”是“不等式|1|1x -<成立”的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要18.设函数()x x x f x a b c =+-，其中0c a >>，0c b >>，若a 、b 、c 是△ABC 的三条边长，则下列结论中正确的是（）①对一切(,1)x ∈-∞都有()0f x >；②存在x R +∈，使x xa 、x b 、x c 不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC 为钝角三角形，则存在(1,2)x ∈，使()0f x =；A.①②B.①③C.②③D.①②③三.解答题19.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sin cos sin cos 3sin cos C B B C A B +=；（1）求cos B 的值；（2）若2BA BC ⋅= ，且b =，求a c +的值；20.已知函数()x f x ax b =+，,a b R ∈，0a ≠，0b ≠，1(1)2f =，且方程()f x x =有且仅有一个实数解；（1）求a 、b 的值；（2）当11(,]42x ∈时，不等式(1)()()1x f x m m x +⋅>--恒成立，求实数m 的范围；21.已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的周期为π，图像的一个对称中心为(,0)4π，将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像向右平移0.5π个单位长度后得到函数()g x 的图像；（1）求函数()f x 与()g x 的解析式；（2）当1a ≥，求实数a 与正整数n ，使()()()F x f x ag x =+在(0,)n π恰有2019个零点；22.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a a =()a R ∈，13,32,3n n n n n a a a a a +->⎧=⎨≤⎩，*n N ∈；（1）若06n a <≤，求证：106n a +<≤；（2）若5a =，求2016S ；（3）若321m a =-*()m N ∈，求42m S +的值；23.已知函数2()5b f x ax x=++(,)a b R ∈满足(1)(1)14f f +-=；（1）求a 的值，并对常数b 的不同取值讨论函数()f x 奇偶性；（2）若()f x在区间(,-∞上单调递减，求b 的最小值；（3）在（2）的条件下，当b 取最小值时，证明：()f x 恰有一个零点q 且存在递增的正整数数列{}n a ，使得31225n a a a a q q q q =+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅成立；参考答案一.填空题1.[2,1)- 2.512 3.14- 4.(1,2] 5.(,0)(2,)-∞+∞ 6.(2,1)-7.43210+8.2529.010.[5,)+∞11.304ω<≤12.613.8151514.5(,3][,)2-∞-+∞ 二.选择题15.C16.D 17.A 18.D三.解答题19.（1）1cos 3B =；（2）a c +=；20.（1）1a =，1b =；（2）5(1,4-；21.（1）()cos 2f x x =，()sin g x x =；（2）1a =，1346n =；22.（1）略；（2）4708；（3）13921221m m -⋅--；23.（1）2a =；当0b =时，为偶函数；当0b ≠时，为非奇非偶函数；（2）2-；（3）1(,1)4q ∈，3251q q=-，32n a n =-；。
2020-2021学年上海中学高三上学期期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年上海中学高三上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1.若x，y，z为实数，则下列命题正确的是()A. 若x>y，则1x <1yB. 若x>y，则sinx>sinyC. 若x<y，则x2<y2D. 若x−yz2<0，则x<y 2.在等比数列{a n}中，a3=3，a6=6，则a9=()A. 19B. 112C. 9D. 123.已知且，且，那么函数的图象可能是()A. B.C. D.4.命题“存在x∈R，使得x2+2x<1”的否定是()A. 对任意x∈R，都有x2+2x>1B. 对任意x∈R，都有x2+2x≥1C. 存在x∈R，使得x2+2x>1D. 存在x∈R，使得x2+2x≥1二、单空题（本大题共12小题，共54.0分）5.设集合A={a,2a2}，B={1,a+b}，若A∩B={−1}，则实数b=______．6.已知函数g(x)的图象与函数f(x)=log2(3x−1)的图象关于直线y=x对称，则g(3)=______．7.已知a=log132，b=(13)12，c=(23)12，则a，b，c大小关系为______．8.已知p：a−4<x<a+4，q：(x−2)(x−3)<0，若¬p是¬q的充分条件，则实数a的取值范围是_____．9.若动直线与函数与的图像分别交于两点，则的最大值为．10. 某学校有一块面积为的锐角空地，欲修一个面积最大的内接矩形作为小运动场(如图所示)，已知，则小运动场的最大面积为 ． 11. 设全集U =R ，集合A ={x ｜x 2<1}，B ={x ｜x 2−2x >0)则A ∩(C R B )=________．12. 已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N ∗.若a 3=16，S 20=20，则S 10的值为 ．13. 已知集合A ={x|x ≥4或x <−5}，B ={x|a +1≤x ≤a +3,a ∈R}，若B ⊆A ，则a 的取值范围为______．14. 已知函数f(x)={log 2x,0<x <2(23)x +59,x ≥2.若函数g(x)=f(x)−k 有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是______．15. 从数列{12n }(n ∈N ∗)中可以找出无限项构成一个新的等比数列{b n }，使得该新数列的各项和为17，则此数列{b n }的通项公式为______．16. 已知函数f(x)=|x 2−1|，g(x)=x 2+ax +2，x ∈R ，若函数ℎ(x)=f(x)+g(x)+2在(0,2)上有两个不同的零点x 1，x 2，则a 的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. 设0<x 1<x 2<π2．(Ⅰ)证明：x 1>sinx 1(Ⅱ)x 1sinx 2cosx 1>x 2sinx 1cosx 2．18. 已知函数f(x)=|x −1|−2|x +a|．(Ⅰ)当a =3时，求不等式f(x)>2的解集；(Ⅱ)若f(x)+x +1≤0的解集为A ，且[−2,−1]⊆A ，求a 的取值范围．19. 若为正实数且满足． (1)求的最大值为；(2)求的最大值．20. 已知f 1(x)=|3x −1|，f 2(x)=|a ⋅3x −9|(a >0)，x ∈R ，且f(x)={f 1(x),f 1(x)≤f 2(x)f 2(x),f 1(x)>f 2(x)． (1)当a =1时，求f(x)的解析式；(2)在(1)的条件下，若方程f(x)−m =0有4个不等的实根，求实数m 的范围；(3)当2≤a <9时，设f(x)=f 2(x)所对应的自变量取值区间的长度为l(闭区间[m,n]的长度定义为n −m)，试求l 的最大值．21. 已知数列g(x)的前n 项和为(t,3)，a 1=12,S n =n 2a n −n(n −1)，n =1，2，…．(Ⅰ)证明：数列{n+1n S n }是等差数列，并求S n ； (Ⅱ)设b n =S n n 3+3n 2，求证：b 1+b 2+⋯+b n <512．【答案与解析】1.答案：D解析：解：对于选项A：x=1，y=0，故1y没意义，故错误．对于选项B：x=2π，y=π2，所以sin2π=0<sinπ2=1，故错误．对于选项C：x=−2，y=−1，则x2>y2，故错误．对于选项D：x−yz2<0，所以x<y，故正确．故选：D．直接利用不等式的性质的应用和三角函数的值的应用求出结果．本题考查的知识要点：不等式的性质，赋值法，三角函数的值，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．2.答案：D解析：解：根据题意，在等比数列{a n}中，a3=3，a6=6，则有(a6)2=a3×a9，变形可得a9=(a6)2a3=363=12；故选：D．根据题意，由等比中项的性质可得(a6)2=a3×a9，变形计算可得答案．本题考查等比数列的性质以及应用，注意等比中项的定义，属于基础题．3.答案：A解析：由得到，函数过点(0,1)且单调递减，故选A．4.答案：B解析：解：命题为特称命题，则命题的否定为对任意x∈R，都有x2+2x≥1，故选：B．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．5.答案：0解析：解：∵A∩B={−1}，∴−1∈A，−1∈B，∴{a=−1a+b=−1，解得b=0．故答案为：0．根据A ∩B ={−1}，得到关于a ，b 的方程组，解出即可．本题考查了集合的交集的运算，考查对应思想，是一道基础题．6.答案：2解析：解：∵函数g(x)的图象与函数f(x)=log 2(3x −1)的图象关于直线y =x 对称， ∴对于函数f(x)=log 2(3x −1)，令f(x)=3得：log 2(3x −1)=3，∴3x −1=23=8，∴x =2，∴f(2)=3，即g(3)=2，故答案为：2．利用反函数的定义f(x)=3得x =2，所以f(2)=3，即g(3)=2．本题主要考查了反函数的定义及其性质，是基础题．7.答案：c >b >a解析：解：∵a =log 132<log 131=0， 又∵函数y =x 12在(0,+∞)是增函数，∴(23)12>(13)12>0．所以，c >b >a ．故答案为c >b >a ．由对数式的运算性质得到a <0，由幂函数的单调性得到c >b >0，所以答案可求． 本题考查了对数式的运算性质，考查了幂函数的性质，是基础的不等式大小比较问题． 8.答案：[−1,6]解析：解：p ：a −4<x <a +4，q ：(x −2)(x −3)<0⇔2<x <3．又¬p 是¬q 的充分条件，即¬p ⇒¬q ，它的等价命题是q ⇒p ．所以{a −4≤2a +4≥3，解得−1≤a ≤6， 故答案为[−1,6]．解出p ，q 所对应的x 的范围，根据包含关系得出结论．若A ={x|x 满足条件p}，B ={x|x 满足条件q}：①A ⊊B ，则p 是q 的充分不必要条件；②A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；若A =B ，则p 是q 的充要条件．。
2020-2021学年上海上海高三上数学期中试卷
2020-2021学年上海上海高三上数学期中试卷一、选择题1. 已知a，b都是实数，则“a>b”是“a2>b2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断，此题的关键是对不等式性质的理解．【解答】解：a，b都是实数，a>b，不能推出a2>b2，如−2>−3，但(−2)2<(−3)2，充分性不成立；a2>b2，不能推出a>b，如(−3)2>(−2)2，但−3<−2，必要性不成立．所以“a>b”是“a2>b2”的既不充分也又不必要条件．故选D．2. 等差数列{a n}中，已知a1=13，a2+a5=4，a n=33，则n的值为（）A.48B.49C.50D.51【答案】C【考点】等差数列的通项公式【解析】先由等差数列的通项公式和已知条件解出d，进而写出a n的表达式，然后令a n=33，解方程即可．【解答】解：设{a n}的公差为d，∵a1=13，a2+a5=4，∴13+d+13+4d=4，即23+5d=4，解得d=23．∴等差数列{a n}的通项公式为a n=13+23(n−1)=23n−13，令a n=33，即23n−13=33，解得n=50．故选C．3. 下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( )A.y=tan xB.y=3xC.y=x 13 D.y=lg|x|【答案】C【考点】奇偶性与单调性的综合函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明【解析】此题暂无解析【解答】解：A，y=tan x是奇函数，在(kπ−12π,kπ+12π)，k∈Z上单调递增，但是在整个定义域内不是单调递增函数，故A错误；B，f(−x)=3−x=13x≠−f(x)，不是奇函数，故B错误；C，f(−x)=(−x)13=−x13=−f(x)，是奇函数，根据幂函数的性质可知，函数y=x13在R上单调递增，故C正确；D，f(−x)=lg|−x|=lg|x|=f(x)，所以y=lg|x|是偶函数，不符合题意，故D错误. 故选C.4. 如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点、角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x 的函数f(x)，则y=f(x)在区间[0,π]上的图象大致为( )A. B.C. D.【答案】B【考点】函数的图象与图象变化【解析】此题暂无解析【解答】解：当0≤x≤π2时，OM=1⋅cos x=cos x，则点M到直线OP的距离f(x)=OM⋅sin x=cos x sin x=12sin2x；当π2<x≤π时，OM=1⋅cos(π−x)=−cos x，则点M到直线OP的距离f(x)=OM⋅sin x=−cos x sin x=−12sin2x；综上所述，y=f(x)在[0，π]上的解析式为：f(x)=|12sin2x|，由正弦函数的性质可得：f(x)max=12.故选B.二、填空题lim n→∞nn+1=________.【答案】1【考点】极限及其运算【解析】直接利用极限的运算求解即可. 【解答】解：limn→∞n n+1=limn→∞n+1−1 n+1=limn→∞(1−1n+1)=lim n→∞1−lim n→∞1n +1=1.故答案为：1.若函数f (x )=sin ax (a >0)的最小正周期为4π，则实数a =________.【答案】12【考点】三角函数的周期性及其求法【解析】直接利用公式求解即可.【解答】解：∵ 函数f (x )=sin ax (a >0)的最小正周期为4π，∴ T =2πa=4π， 解得a =12.故答案为：12.已知f(x)=√x −3+4(x ≥3)，则f −1(5)=________．【答案】4【考点】反函数【解析】因为反函数的自变量是原函数的函数值，所以令f(x)=√x −3+4=5可得x =4，进而得到答案．【解答】解：因为反函数的自变量是原函数的函数值，所以令f(x)=√x −3+4=5可得x =4，所以f −1(5)=4．故答案为：4．方程lg (x −3)+lg x =1的解x =________．【答案】5【考点】对数的运算性质【解析】在保证对数式的真数大于0的前提下由对数的和等于乘积的对数去掉对数符号，求解一元二次方程得答案．【解答】解：由lg (x −3)+lg x =1，即lg x(x −3)=1得：{x −3>0，x >0，lg x(x −3)=1，即{x >3，x(x −3)=10，解得：x =5.故答案为：5．已知cos α=−35，α∈(π2,π)，则sin 2α=________．【答案】−2425【考点】二倍角的正弦公式同角三角函数间的基本关系 【解析】直接利用同角三角函数的基本关系式求解正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可．【解答】解：由题可得cos α=−35，α∈(π2,π)，所以sin α=√1−cos 2α=√1−(−35)2=45，所以sin 2α=2sin αcos α=2×45×(−35)=−2425．故答案为：−2425．方程sin x =cos x ，x 在[0, 2π)上的解集为________．【答案】{π4，5π4} 【考点】同角三角函数间的基本关系函数的求值【解析】方程sin x =cos x ，即 tan x =1，当 x 在[0, 2π)上时，x =π4，或 x =5π4．【解答】解：方程sin x =cos x ，即 tan x =1，当x 在[0, 2π)上时，x =π4或 x =5π4， 故答案为：{π4，5π4}．若正项等比数列{a n}满足：a3+a5=4，则a4的最大值为________．【答案】2【考点】等比中项基本不等式在最值问题中的应用【解析】利用数列{a n}是各项均为正数的等比数列，可得a3a5=a42，再利用基本不等式，即可求得a4的最大值．【解答】解：∵数列{a n}是各项均为正数的等比数列，∴a3a5=a42.∵等比数列{a n}各项均为正数，∴4=a3+a5≥2√a3a5=2√a42=2a4，当且仅当a3=a5=2时，取等号，∴a4≤2，a4的最大值为2．故答案为：2．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，在区间(0,+∞)上单调递减，且f(2)=0，则不等式f(x)<0的解集为________.【答案】(−2,0)∪(2,+∞)【考点】奇偶性与单调性的综合函数奇偶性的性质【解析】通过奇函数的f(0)=0和f(2)=0确定函数的单调性，进而画出函数的图像，根据图像直接写出f(x)<0的解.【解答】解：f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)=0，且f(2)=0，所以f(−2)=−f(2)=0，f(x)在(0,+∞)上单调递减，则f(x)在(−∞,0)上单调递减，可得函数图象草图如图，则不等式f(x)<0的解集为(−2,0)∪(2,+∞).故答案为：(−2,0)∪(2,+∞).函数f(x)=|x−2|−ln x在定义域内的零点的个数为________．【答案】2【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】先求出函数的定义域，再把函数转化为对应的方程，在坐标系中画出两个函数y1=|x−2|，y2=ln x(x>0)的图象求出方程的根的个数，即为函数零点的个数．【解答】解：由题意，函数f(x)的定义域为(0, +∞)，由函数零点的定义，f(x)在(0, +∞)内的零点即是方程|x−2|−ln x=0的根．令y1=|x−2|，y2=ln x(x>0)，在一个坐标系中画出两个函数的图象如图，由图得，两个函数图象有两个交点，故方程有两个根，即对应函数f(x)有两个零点．故答案为：2.已知△ABC的外接圆半径为R，且2R(sin2A−sin2C)=(√2a−b)sin B（其中a，b分别是∠A，∠B的对边），那么∠C的大小为________．【答案】45∘【考点】正弦定理余弦定理【解析】先利用正弦定理，将边转化为角，再利用三角形的内角和及和角的三角函数，变形展开，化简即可得到结论．【解答】解：∵△ABC的外接圆半径为R，且2R(sin2A−sin2C)=(√2a−b)sin B，由正弦定理可得，a sin A −c sin C =(√2a −b)sin B ，a 2−c 2=√2ab −b 2，∴ cos C =a 2+b 2−c 22ab =√22， ∴ ∠C =45∘.故答案为：45∘．把数列{a n }的所有项按照从小到大的原则写成如图所示的数表：其中，a n =2n −1，且第k 行有2k−1个数，第t 行的第s 个数（从左数起）记为A(t, s)，则A(8, 18)=________．【答案】289【考点】等比数列的前n 项和【解析】跟据第k 行有2k−1个数知每行数的个数成等比数列，要求A(t, s)，先求A(t, 1)，就必须求出前t −1行一共出现了多少个数，根据等比数列求和公式可求，而由a n =2n −1可知，每一行数的分母成等差数列，可求A(t, s)，令t =8，s =18，可求A(8, 18)【解答】解：由第k 行有2k−1个数，知每一行数的个数构成等比数列，首项是1，公比是2， ∴ 前k −1行共有1−2k−11−2=2k−1−1个数，∴ 第k 行第一个数是A(k, 1)=2×2k−1−1=2k −1，∴ A(k, s)=2k −1+2(s −1)，∴ A(8, 18)=28−1+2(18−1)=289.故答案为：289．设函数y =f (x )的定义域为D ，如果存在非零常数T ，对于任意x ∈R ，都有f (x +T )=T ⋅f (x )，则称函数y =f (x )是“似周期函数”，非零常数T 为函数y =f (x )的“似周期”，现有下面四个关于“似周期函数”的命题：(1)如果“似周期函数”y =f (x )的“似周期”为−1，那么它是周期为2的周期函数；(2)函数f (x )=x 是“似周期函数”；(3)函数f (x )=(12)x是“似周期函数”；(4)如果函数f (x )=cos ωx 是“似周期函数”，那么“ω=kπ， k ∈Z .其中真命题的序号是________.【答案】(1)，(3)，(4)【考点】命题的真假判断与应用函数的周期性函数新定义问题【解析】对于①，如果“似周期函数y=f(x)的“似周期”为−1，则f(x−1)=−f(x)，即f(x−1)=−f(x)=−(f(x+1))=f(x+1)，至此可以判断其正误；接下来利用“似周期函数”的定义分析判断其它小题的正误，问题即可解答．【解答】解：对于(1)：根据题意有f(x−1)=−f(x)，令x=x+1可得有f(x)=−f(x+1)，两式联立得f(x−1)=f(x+1)，因此f(x)是周期为2的周期函数，故此命题正确；对于(2)：假设f(x)=x是似周期函数，则对任意x∈D，存在T满足x+T=Tx，令x=1，显然此式不成立，故此命题错误；对于(3)：对任意x∈D，存在T满足2−(x+T)=T⋅2−x，化简得2−T=T，利用零点存在性定理或者画出函数y=2−x与y=x观察交点个数，显然此方程有唯一解，故此命题正确；对于(4)：如果函数f(x)=cosωx是“似周期函数”，则有cos[ω(x+T)]=T cosωx对任意x∈D恒成立，观察左右两个函数的值域，故必有T=±1即cos[ω(x+T)]=cos(ωx+ωT)=±cosωx，两边平方得cos2(ωx+ωT)=cos2ωx，即cos(2ωx+2ωT)+12=cos2ω+12，因此cos(2ωx+2ωT)=cos2ωx，根据诱导公式，有2ωT=2kπ，结合T=±1，所以ω=kπ(k∈Z)，故此命题正确.故答案为：(1)，(3)，(4).三、解答题已知集合A是函数y=√2−x2+x+2−1的定义域，集合B={x|x−ax−1<0，x∈R}．(1)若a=3，求A∩B；(2)若B⊆A，求实数a的取值范围．【答案】解：(1)由二次根式有意义的条件可知集合A满足2−x2+x+2−1≥0，即−x2+x+2≥0，即(x−2)(x+1)≤0，解得−1≤x≤2，所以集合A=[−1,2]；当a=3时，由集合B可得，x−3x−1<0，即(x−3)(x−1)<0，解得1<x<3，所以集合B=(1,3).A∩B=(1,2].(2)x−a x−1<0，即(x −a)(x −1)<0，当a <1时，B =(a,1) ；当a =1时，B =⌀；当a >1时，B =(1,a ).因为B ⊆A ，所以{a <1，a ≥−1或a =1或{a >1，a ≤2，所以−1≤a <1或a =1或1<a ≤2，所以−1≤a ≤2.【考点】函数的定义域及其求法交集及其运算集合的包含关系判断及应用【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由二次根式有意义的条件可知集合A 满足2−x 2+x+2−1≥0，即−x 2+x +2≥0，即(x −2)(x +1)≤0，解得−1≤x ≤2，所以集合A =[−1,2]；当a =3时，由集合B 可得，x−3x−1<0，即(x −3)(x −1)<0，解得1<x <3，所以集合B =(1,3).A ∩B =(1,2].(2)x−a x−1<0，即(x −a)(x −1)<0，当a <1时，B =(a,1) ；当a =1时，B =⌀；当a >1时，B =(1,a ).因为B ⊆A ，所以{a <1，a ≥−1或a =1或{a >1，a ≤2，所以−1≤a <1或a =1或1<a ≤2，所以−1≤a ≤2.设函数f (x )=4x −1(x ≥0)的反函数为f −1(x )，g (x )=log 4(3x +1).(1)求f −1(x )；(2)设函数ℎ(x )=g (x )−f −1(x )，判断函数ℎ(x )在区间(0,+∞)上的单调性并用定义证明．【答案】解：(1)因为x≥0，所以y=f(x)=4x−1≥0，所以4x=y+1，所以x=log4(y+1)，所以f−1(x)=log4(x+1)(x≥0)．(2)ℎ(x)=log4(3x+1)−log4(x+1)=log4(3x+1x+1)在区间(0,+∞)上单调递增.证明：任取x1，x2∈(0,+∞)，且x1<x2，ℎ(x1)=log43x1+1x1+1+，ℎ(x2)=log4(3x2+1x2+1)，则3x1+1x1+1−3x2+1x2+1=3x1x2+3x1+x2+1−3x1x2−3x2−x1−1(x1+1)(x2+1)=2(x1−x2)(x1+1)(x2+1)，因为0<x1<x2，所以x1−x2<0，x1+1>0，x2+1>0所以0<3x1+1x1+1<3x2+1x2+1，所以log4(3x1+1x1+1)<log4(3x2+1x2+1)，即ℎ(x1)<ℎ(x2)．所以函数ℎ(x)在区间(0,+∞)上单调递增．【考点】反函数复合函数的单调性函数单调性的判断与证明【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)因为x≥0，所以y=f(x)=4x−1≥0，所以4x=y+1，所以x=log4(y+1)，所以f−1(x)=log4(x+1)(x≥0)．(2)ℎ(x)=log4(3x+1)−log4(x+1)=log4(3x+1x+1)在区间(0,+∞)上单调递增.证明：任取x1，x2∈(0,+∞)，且x1<x2，ℎ(x1)=log43x1+1x1+1+，ℎ(x2)=log4(3x2+1x2+1)，则3x1+1x1+1−3x2+1x2+1=3x1x2+3x1+x2+1−3x1x2−3x2−x1−1(x1+1)(x2+1)=2(x1−x2)(x1+1)(x2+1)，因为0<x1<x2，所以x1−x2<0，x1+1>0，x2+1>0所以0<3x1+1x1+1<3x2+1x2+1，所以log4(3x1+1x1+1)<log4(3x2+1x2+1)，即ℎ(x1)<ℎ(x2)．所以函数ℎ(x)在区间(0,+∞)上单调递增．如图，现在要在一块半径为1米，圆心角为π3的扇形纸板AOB上剪出一个矩形MNPQ，使点P在弧AB上，点Q在OA上，点M，N在OB上，设∠BOP=θ，矩形MNPQ的面积为S．(1)求S关于θ的函数关系式；(2)求S的最大值及相应θ的值．【答案】解：(1)由题可得PN=OP⋅sinθ=sinθ，tan∠AOB=tanπ3=√3，MN=ON−OM=OP⋅cosθ−QM tan∠AOB=cosθ−√33sinθ，所以S=sinθ(cosθ−√33sinθ)(0<θ<π3).(2)S=sinθ(cosθ−√33sinθ)=sinθcosθ−√33sin2θ=12sin2θ−√3(1−cos2θ)6=12sin2θ+√36cos2θ−√36=√33(√32sin2θ+12cos2θ)−√36=√33sin(2θ+π6)−√36，因为0<θ<π3，所以π6<2θ+π6<5π6，当2θ+π6=π2即θ=π6时S取得最大值，S max=√36.答：当θ=π6时，矩形MNPQ的面积最大值为√36.【考点】在实际问题中建立三角函数模型任意角的三角函数二倍角的余弦公式二倍角的正弦公式两角和与差的正弦公式三角函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由题可得PN=OP⋅sinθ=sinθ，tan∠AOB=tanπ3=√3，MN=ON−OM=OP⋅cosθ−QM tan∠AOB=cosθ−√33sinθ，所以S=sinθ(cosθ−√33sinθ)(0<θ<π3).(2)S=sinθ(cosθ−√33sinθ)=sinθcosθ−√33sin2θ=1sin2θ−√3(1−cos2θ)=12sin2θ+√36cos2θ−√36=√33(√32sin2θ+12cos2θ)−√36=√33sin(2θ+π6)−√36，因为0<θ<π3，所以π6<2θ+π6<5π6，当2θ+π6=π2即θ=π6时S 取得最大值， S max =√36. 答：当θ=π6时，矩形MNPQ 的面积最大值为√36.已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =n −a n (n ∈N ∗). (1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值；(2)设b n =a n −1，求证：数列{b n }是等比数列；(3)设c n =b n ⋅(n −n 2)(n ∈N ∗)，如果对任意n ∈N ∗，都有c n <t5，求正整数t 的最小值． 【答案】(1)解：当n =1时，可得S 1=a 1=1−a 1，整理得2a 1=1，解得a 1=12； 当n =2时，可得S 2=12+a 2=2−a 2，整理得2a 2=32，解得a 2=34； 当n =3时，可得S 3=12+34+a 3=3−a 3，整理得2a 3=74，解得a 3=78；当n =4时，可得S 4=12+34+78+a 4=4−a 4，整理得2a 4=158，解得a 4=1516. 所以a 1=12，a 2=34，a 3=78，a 4=1516．(2)因为S n =n −a n ，所以n ≥2时， S n−1=(n −1)−a n−1，所以n ≥2时， a n =S n −S n−1=1−a n +a n−1， 得a n =12a n−1+12，所以n ≥2时， a n −1=12a n−1−12=12(a n−1−1)，即n ≥2时， b n =12b n−1 ， b 1=a 1−1=−12≠0，所以数列{b n }是等比数列，且首项为−12，公比为12． (3)由(2)可得， b n =−12n ，所以 C n =b n ⋅(n −n 2)=n 2−n 2n，所以C n+1−C n=(n +1)2−(n +1)2n+1−n 2−n 2n=n(3−n)2n+1，所以C 1<C 2<C 3=C 4>C 5>⋯ 所以C n 有最大值C 3=C 4=34． 对任意n ∈N ∗，都有C n <t 5，当且仅当34<t 5，即t >154时，正整数t 的最小值是4．【考点】数列递推式数列与不等式的综合 【解析】 【解答】(1)解：当n =1时，可得S 1=a 1=1−a 1，整理得2a 1=1，解得a 1=12； 当n =2时，可得S 2=12+a 2=2−a 2，整理得2a 2=32，解得a 2=34； 当n =3时，可得S 3=12+34+a 3=3−a 3，整理得2a 3=74，解得a 3=78；当n =4时，可得S 4=12+34+78+a 4=4−a 4，整理得2a 4=158，解得a 4=1516. 所以a 1=12，a 2=34，a 3=78，a 4=1516．(2)因为S n =n −a n ，所以n ≥2时， S n−1=(n −1)−a n−1，所以n ≥2时， a n =S n −S n−1=1−a n +a n−1， 得a n =12a n−1+12，所以n ≥2时， a n −1=12a n−1−12=12(a n−1−1)， 即n ≥2时， b n =12b n−1 ， b 1=a 1−1=−12≠0，所以数列{b n }是等比数列，且首项为−12，公比为12．(3)由(2)可得，b n=−12n，所以C n=b n⋅(n−n2)=n2−n2n，所以C n+1−C n=(n+1)2−(n+1)2n+1−n2−n2n=n(3−n)2n+1，所以C1<C2<C3=C4>C5>⋯所以C n有最大值C3=C4=34．对任意n∈N∗，都有C n<t5，当且仅当34<t5，即t>154时，正整数t的最小值是4．已知函数f(x)=x|x−a|的定义域为D，其中a为常数．(1)若D=R，且f(x)是奇函数，求a的值；(2)若a≤−1，D=[−1,0]，函数f(x)的最小值是g(a)，求g(a)的最大值；(3)若a>0，在[0,a]上存在n个点x i(i=1，2，⋯，n，n≥3），满足x1=0，x n=a，x1<x2<⋯<x n，使得|f(x1)−f(x2)|+|f(x2)−f(x3)|+⋯+|f(x n−1)−f(x n)|= 8，求实数a的取值范围．【答案】解：(1)因为f(x)是奇函数，所以f(x)+f(−x)=0对任意x∈R恒成立，所以x|x−a|=−(−x)|−x−a|=x|x+a|，即|x2−ax|=|x2+ax|即ax=0对任意x∈R恒成立，所以a=0.(2)f(x)=x|x−a|={(x−a2)2−a24，x≥a，−(x−a2)2+a24，x<a，因为a≤−1，所以[−1,0]⊆[a,+∞），所以f(x)=(x−a2)2−a24，x∈[−1,0]．①当−2≤a≤−1时，−1≤a2≤−12，f(x)在[−1,a2]上单调递减，在[a2,0]上单调递增，[f(x)]min=−a24．②当a<−2时，a2<−1，f(x)在[−1,0]上单调递增，[f(x)]min=f(−1)=a+1．综上所述，g(a)={−a24，−2≤a≤−1，a+1，a<−2，若−2≤a≤−1，则−1≤g(a)≤−14；若a<−2，则g(a)<−1，所以当a=−1时，[g(a)]max=−14．(3)因为a>0，且f(x)在[0,a2]上单调递增，在[a2,a]上单调递减，所以f(x)max=f(a2)，f(x)min=f(0)，而|f(x1)−f(x2)|+|f(x2)−f(x3)|+⋯+|f(x n−1)−f(x n)|≤2[f(x)max−f(x)min]，要使满足条件的点存在，必须且只需2[f(a2)−f(0)]≥8，即a 22≥8，解得a≥4．【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明函数的最值及其几何意义函数的单调性及单调区间【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)因为f(x)是奇函数，所以f(x)+f(−x)=0对任意x∈R恒成立，所以x|x−a|=−(−x)|−x−a|=x|x+a|，即|x2−ax|=|x2+ax|即ax=0对任意x∈R恒成立，所以a=0.(2)f(x)=x|x−a|={(x−a2)2−a24，x≥a，−(x−a2)2+a24，x<a，因为a≤−1，所以[−1,0]⊆[a,+∞），所以f(x)=(x−a2)2−a24，x∈[−1,0]．①当−2≤a≤−1时，−1≤a2≤−12，f(x)在[−1,a2]上单调递减，在[a2,0]上单调递增，[f(x)]min=−a24．②当a<−2时，a2<−1，f(x)在[−1,0]上单调递增，[f(x)]min=f(−1)=a+1．综上所述，g(a)={−a24，−2≤a≤−1，a+1，a<−2，若−2≤a≤−1，则−1≤g(a)≤−14；若a<−2，则g(a)<−1，所以当a=−1时，[g(a)]max=−14．(3)因为a>0，且f(x)在[0,a2]上单调递增，在[a2,a]上单调递减，所以f(x)max=f(a2)，f(x)min=f(0)，而|f(x1)−f(x2)|+|f(x2)−f(x3)|+⋯+|f(x n−1)−f(x n)|≤2[f(x)max−f(x)min]，要使满足条件的点存在，必须且只需2[f(a2)−f(0)]≥8，即a 22≥8，解得a≥4．。
高三数学上学期期中试题含解析试题_1
七宝中学2021届高三数学上学期期中试题〔含解析〕一. 填空题2{|20}A x x x a =-+=，假设3A ∈，那么集合A 可用列举法表示为________【答案】{3,1}- 【解析】 【分析】将3代入220x x a -+=求出参数a ，再解出二次方程的根，用列举法表示即可 【详解】3A ∈，将3代入220x x a -+=可得：960a -+=，3a =-，原方程为：2230x x --=，解得123,1x x ==-，故集合{1,3}A =- 故答案为：{3,1}-【点睛】此题考察元素与集合的关系，列举法表示集合，属于根底题x 的不等式2420x x -++>的解集为________【答案】(6,7)- 【解析】 【分析】先将不等式转化为二次项系数大于零的不等式，再采用十字相乘法进展求解即可【详解】()()()224204207606,7x x x x x x x -++>⇔--<⇔-+<⇒∈-故答案为：(6,7)-【点睛】此题考察一元二次不等式的解法，在二次项系数大于0的前提下遵循“大于取两边，小于取中间〞原那么，属于根底题21()(1)mf x m x +=-是幂函数，那么(2)f -=________【答案】-32 【解析】 【分析】根据幂函数的根本形式进展求解即可 【详解】21()(1)mf x m x +=-是幂函数，∴11m -=，52,()m f x x ==，那么()5(2)232f -=-=-故答案为：-32【点睛】此题考察幂函数的根本形式，详细函数值的求法，幂函数根本形式为：()af x x =，x 前面的系数必须为1，属于根底题4.(,)2παπ∈，1sin 3α=，那么tan2α=________【答案】7-【解析】 【分析】根据同角三角函数先求出tan α，再用正切的二倍角公式求解即可【详解】(,)2παπ∈，∴由1sin tan 34αα=⇒=-，22tan tan 21tan ααα==-故答案为：7-【点睛】此题考察同角三角函数根本求法，正切角的二倍角公式，属于根底题sin (3sin 4cos )1y x x x =++〔x ∈R 〕的最大值为M ，最小正周期为T ，那么有序数对(,)M T 为_____【答案】(5,)π【解析】 【分析】结合二倍角公式和辅助角公式化简，进一步求值即可 【详解】()21cos255sin (3sin 4cos )1=3sin 4sin cos 132sin 2+1=sin 2222x y x x x x x x x x ϕ-=++++=⋅+-+当()sin 2=1x ϕ-时，max 5y M ==，22T ππ==，故有序数对为(5,)π 故答案为：(5,)π【点睛】此题考察三角函数的化简，辅助角公式的使用，形如：221cos21+cos2sin ,cos 22αααα-==应强化记忆，属于根底题 {}n a 中，假设519a =，935a =，那么10a =________【答案】39 【解析】 【分析】先由95a a -求得公差，再求10a 即可 【详解】数列是等差数列，∴9535194a a d -=-=，4d =，10935439a a d =+=+=故答案为：39【点睛】此题考察等差数列根本量的求解，属于根底题231()21x x f x x m x ⎧≤=⎨-+>⎩的值域为(,3]-∞，那么实数m 的取值范围是________ 【答案】(2,5] 【解析】 【分析】分类讨论，先由1x ≤求出3x 的取值范围，再结合1x >时二次函数的单调性求解值域即可【详解】当1x ≤时，1333x ≤=，()(]0,3f x ∈；当1x >时，()22x m f x -=+是减函数，()(),2f x m ∈-∞-，要满足()(,3]f x ∞∈-，此时应满足(]20,3m -∈ ，即(2,5]m ∈ 故答案为：(2,5]【点睛】此题考察根据分段函数值域求解参数问题，解题关键在于确定在临界点处的取值范围，属于中档题R 上的奇函数()y f x =，当0x >时，2()lg(33)f x x x =-+，那么()f x 在R 上的零点个数为________个. 【答案】5 【解析】 【分析】先求出0x >时2()lg(33)0f x x x =-+=的解，再根据奇函数的性质求出零点个数即可 【详解】当0x >时，令2()lg(33)0f x x x =-+=，即2lg(33)lg1x x -+=，解得121,2x x ==根据奇函数的对称性可得()()()()11220f f f f =--==--=，故341,2x x =-=-也是函数的零点，又()y f x =定义域为R ，所以()00f =，故50x =也是函数的零点，合计5个零点 故答案为：5【点睛】此题考察奇函数的对称性，函数零点个数的求法，属于根底题2{|(8)(1)0,}A x mx m x x Z =--->∈中的元素个数最少时，实数m 的取值范围是_____【答案】[4,2]-- 【解析】 【分析】对m 进展分类讨论，在考虑集合中元素个数最少的条件下，进一步确定参数m 所满足的条件即可【详解】①当0m =时，集合{}1A x Z x =∈<当0m ≠时，令2880mx m x m m--=⇒=+，101x x -=⇒=②当0m >时，8m m +≥81A x Z x x m m ⎧⎫=∈<>+⎨⎬⎩⎭或③当0m <时，8m m +≤-81A x Z m x m ⎧⎫=∈+<<⎨⎬⎩⎭，此时集合A 的元素个数为有限个，而①②两种情况都有无限个元素，故此种条件下符合，[)6,5---，根据对勾函数性质，当且仅当()80,m m m m=<=-A 元素个数最少，需满足865m m -≤+<-，化简得22680580m m m m ⎧++≤⎨++>⎩，即[]4,2m ∈--故答案为：[4,2]--【点睛】此题考察集合的运算，一元二次不等式含参解法，对勾函数性质，属于中档题 ()f x 的定义域为R ，且当[0,1]x ∈时，3()log (32)f x x =-，那么当[2019,2020]x ∈时，()f x 的解析式为________【答案】3()log (24037)f x x =- 【解析】 【分析】根据2T =，需将[2019,2020]x ∈进展区间转化，2020[1,0]x -∈-，结合偶函数，求出()f x 在[]1,0x ∈-的表达式，即可求解【详解】由题可知2T =，当[2019,2020]x ∈，()()2020f x f x =-，令2020[1,0]t x =-∈-； 当[]1,0t ∈-时，[]0,1t -∈，那么3()log (32)f t t -=+，又函数为偶函数， 故()3()log (32)f t f t t -==+，将2020t x =-代入可得()()()()33log 322020log 24037f t x x =+-=-，即()()3log 24037f x x =-故答案为：()()3log 24037f x x =-【点睛】此题考察周期函数解析式的求法，偶函数的性质，解题关键在于将不在符合条件的定义域通过周期代换和奇偶性转化为给定区间或者对称区间，再进一步求解{}n a 的通项公式和为(73)2n n n S +=，*n N ∈，现从前m 项：12,,,m a a a ⋅⋅⋅中抽出一项〔不是1a 也不是m a 〕，余下各项的算术平均数为40，那么抽出的是第________项 【答案】6 【解析】 【分析】 由(73)2n n n S +=可先算出n a ，先令40n a =，算出n ，再结合等差数列的性质进一步判断 【详解】由(73)2n n n S +=得()()()-1-17-132n n n S +=，172(2),n n nS S a n n --==-≥〔验证当1n =时也符合〕故72n a n =-，令72=40n a n =-，得6n =，即640a =，根据等差数列的性质，6111210572a a a a a a a =+=+==+，由题可知，余下各项的算术平均数是40，说明余下每两项的算数平均数只要满足前式性质即可，根据11611S a =得算数平均数为640a =，那么11m =，抽出的是数列的第6项故答案为：6【点睛】此题考察等差数列的性质，可简记为：对于等差数列，(),,,m n p q m n p q a a a a m n p q N ++=+⇒+=+∈，属于根底题()f x 满足22(1)(1)()()4f x f x f x f x +-++-=，那么(1)(2020)f f +的最大值是______【答案】4 【解析】可将x 换为1x +，得出22(2)(2)()()f x f x f x f x +-+=-，令()2()()g x f x f x =-，可得()g x 周期为2，()()(1)(2020)10g g g g +=+ ，再结合根本不等式求解即可【详解】由题意22(1)(1)()()4f x f x f x f x +-++-=，①将x 换为1x +，得出22(2)(2)(1)(1)4f x f x f x f x +-+++-+=，② 由②-①得：22(2)(2)()()f x f x f x f x +-+=-，令()2()()g x f x f x =-，那么()g x 周期为2，所以()(2020)0g g =令0x =，得22(1)(1)+(0)(0)=4f f f f -- 即()()()()222210=(1)(2020)=(1)(1)+(2020)(2020)=(2020)+(1)(2020)1=4g g g g f f f f f f f f ++---+，()22(2020)+(1)4(2020)1f f f f =++令()()2020,1a f b f ==，那么224a b a b +=++，由()()()()22222222a b a b a b a b ++≥+⇒+≥即()242a b a b +++≥，化简得()()420a b a b +-++≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，[]2,4a b +∈-故()()20201a b f f +=+的最大值为4， 故答案为：4【点睛】此题考察复合函数周期性的推导，根本不等式求最值，推理运算才能，属于中档题 二. 选择题13.“x 是1和4的等比中项〞是“2x =〞的〔 〕 A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件D. 即非充分也非毕必要条件【解析】 【分析】将条件“x 是1和4的等比中项〞化简，得2x =±，结合充分必要条件判断即可 【详解】由“x 是1和4的等比中项〞可得242x x =⇒=±，显然在命题“假设x 是1和4的等比中项，那么2x =〞中，结论可以推出条件，条件推不出结论，故为必要非充分条件 应选：B【点睛】此题考察等比中性性质，必要不充分条件，属于根底题14.假设△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 6:7:10A B C =，那么△ABC 〔 〕 A. 一定是钝角三角形 B. 一定是锐角三角形C. 一定是直角三角形D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】结合三角形大边对大角原那么和正弦定理，余弦定理判断最大角的余弦值即可 【详解】由sin :sin :sin 6:7:10::6:7:10A B C a b c =⇒=，可令6,7,10a b c ===由大边对大角原那么确定C 最大，由余弦定理2225cos 0228a b c C ab +-==-< 可判断C 为钝角 应选：A【点睛】此题考察正弦定理、余弦定理解三角形的应用，三角形形状的判断，属于根底题 ()f x 为R 上的单调函数，1()f x -是它的反函数，点(2,3)A -和点(2,1)B 均在函数()f x 的图像上，那么不等式1|(3)|2x f -<的解集为〔 〕 A. (0,1) B. (1,3)C. (1,1)-D. (0,3)【答案】A 【解析】 【分析】由()f x 给出的两点确定单调性，再由()f x 与1()f x -的对应关系进一步求解即可 【详解】由311222AB k -==---和()f x 为R 上的单调函数，可得()f x 为R 上的单调递减函数， 那么1()f x -在定义域内也为单调递减函数；原函数过点(2,3)A -和点(2,1)B ，那么1()f x -过()()1,2,3,2- 那么11|(3)|22(3)2133x x x f f --<⇔-<<⇔<<，解得(0,1)x ∈ 应选：A【点睛】此题考察原函数与反函数的性质，原函数假设单调，那么原函数与反函数单调性一样，原函数定义域〔值域〕与反函数值域〔定义域〕一样，属于中档题16.如图，△ABC 的周长为k ，在AB 、AC 上分别取点M 、N ，使MN ∥BC ，且与△ABC 的内切圆相切，那么MN 的最大值为〔 〕A.6kB.8k C.9k D.12k 【答案】B 【解析】 【分析】可设BC x =，MN y =，由AMNABC ∆∆和切线长定理可代换出x 与y 的关系，最终将y 代换成关于x 的二次函数，再求最值即可【详解】设BC x =，MN y =，,,D E F 分别为三个边的切点，那么,,,BE BD CF CD ME MG NF NG ====那么AMN ∆周长为2AE AF k x +=-2==AMN MN k x y ABC BC k x ∆-=∆周长周长，那么()22248x k x k ky x k k -⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭当4k x =时，y 有最大值8k应选：B【点睛】此题考察三角形中线段最值的求解，相似三角形，二次函数求最值，解题关键是代换出线段与周长关系，属于中档题 三. 解答题sin ()2xf x =，将函数()y f x =的图像上每个点的纵坐标扩大到原来的2倍，再将图像上每个点的横坐标缩短到原来的12，然后向左平移6π3()y g x =的图像.〔1〕当[0,]2x π∈时，求()g x 的值域；〔2〕锐角△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，假设3()f A =，4a =，5b c +=，求△ABC 的面积.【答案】〔1〕[0,12+；〔2【解析】【分析】〔1〕现根据平移法那么求得()g x ，再求()g x 值域即可；〔2〕由()f A =求得A ，再结合正弦的面积公式，余弦定理联立求解，即可求得面积. 【详解】〔1〕sin ()2xf x =，将函数()y f x =的图像上每个点的纵坐标扩大到原来的2倍，得()sin f x x =；再将图像上每个点的横坐标缩短到原来的12，得到()sin 2f x x =；然后向左平移6π个单位，得到()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当[0,]2x π∈，42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，sin 23x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，()sin 20,2213g x x π⎡⎛⎫=+++⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦〔2〕sin ()23A f A A π==⇒=或者23π〔由题意三角形为锐角三角形，故舍去23π〕， 1sin 2ABC S bc A ∆=，①()222222cos 22b c bc a b c aA bcbc+--+-==，②又4a =，5b c +=，代入①②得bc =3,那么ABC S ∆ 【点睛】此题考察三角函数的化简、值域求解，三角函数图像平移法那么，正弦定理余弦定理结合求面积，属于根底题()2x f x k =+〔k 为常数〕，(,2)A k -是函数1()y f x -=图像上的点.〔1〕务实数k 的值及函数1()y f x -=的解析式；〔2〕将1()y fx -=按向量(2,0)a =平移，得到函数()y g x =的图像，假设不等式1()f x g m --≤有解，试务实数m 的取值范围.【答案】〔1〕2k =-，12()log (2)f x x -=+；〔2〕32m ≥. 【解析】 【分析】〔1〕由原函数与反函数的对应关系知()2,k -过原函数，代入()2x f x k =+即可求得k 值，进一步求得1()y fx -=的解析式〔2〕先根据向量平移法那么求得()g x ，原式1()f x g m --≤有解可转化为22log (2)log x m +-≤有解，再由根本不等式求解即可【详解】〔1〕由题知，反函数过(,2)A k -，那么原函数过()2,k -，2(2)22f k k k =+=-⇒=-，那么()22xf x =-，由()22222log 2x x y y x y =-⇒=+⇒=+，即12()log (2)f x x -=+〔2〕12()log (2)f x x -=+按向量(2,0)a =平移得2()log g x x =，那么1()f x g m --≤有解⇔22log (2)log x m +-()0x >有解，即2222log (2)log log log x +-==≥1x =时等号取到〕，223log log 2≥=，要使1()fx g m --≤有解，那么32m ≥【点睛】此题主要考察原函数与反函数的性质，反函数的求法，含参不等式有解的求法，根本不等式求最值，属于中档题19.大店创业专卖某种文具，他将这种文具以每件2元的价格售出，开场第一个月就到达1万件，此后每个月都比前一个月多售出1.5万件，持续至第10个月，在第11个月出现下降，第11个月出售了13万件，第12个月出售了9万件，第13个月出售了7万件，另据观察，第18个月销量仍比上个月低，而他前十个月每月投入的本钱与月份的平方成正比，第4个月本钱为8000元，但第11个月起每月本钱固定为3万元，现打算用函数2()f x ax bx c =++〔0a ≠〕或者()x f x km n =+〔0k ≠，0m >，1m ≠〕来模拟销量下降期间的月销量. 〔1〕请判断销量下降期间采用哪个函数模型来模拟销量函数更合理，并写出前20个月销量与月份x 之间的函数关系式；〔2〕前20个月内，该网店获得的月利润的最高纪录是多少，出如今哪个月？ 【答案】〔1〕()x f x km n =+更合理，141.50.5,110()25,11xx x f x x N x +--≤≤⎧=∈⎨+≥⎩，；〔2〕24万，第10个月 【解析】 【分析】〔1〕分别采用待定系数法，算出2()f x ax bx c =++和()x f x km n =+表达式，再检验18x =时是否符合题设即可〔2〕列出利润()w x 关于x 的表达式，根据函数性质分别计算两分段函数的利润最大值，即可求解【详解】〔1〕假设从第11个月开场，月销量符合2()f x ax bx c =++的变化趋势，那么()()()11,13,12,9,13,7均在()f x 上，即1211113114412927169137189a b c a a b c b a b c c ++==⎧⎧⎪⎪++=⇒=-⎨⎨⎪⎪++==⎩⎩，22()1789f x x x =+-，对称轴为272x =，当14x ≥时，不符合题意，故此模型舍去； 假设从第11个月开场，月销量符合()x f x km n =+的变化趋势，那么()()()11,13,12,9,13,7均在()f x 上，即1411121321319275k km n km n m km n n ⎧=⎧+=⎪⎪⎪+=⇒=⎨⎨⎪⎪+=⎩=⎪⎩，1425()x f x -=+，当17x =时，14174125)8(17f -+==，141886(181)125f -+==，()()1817f f <， 故()x f x km n =+更合理，此时1425()x f x -=+，11x ≥；由题知前10个月符合一次函数模型，设() 1.5f x x b =+，将()1,1代入，解得0.5b =，那么() 1.50.5f x x =+，110x ≤≤，故 141.50.5,110()25,11x x x f x x N x +--≤≤⎧=∈⎨+≥⎩，〔2〕设前10个月本钱〔万元〕与月份的关系为()2h x nx =，将()4,0.8代入解得120n =，那么()220x h x =，前10个月利润可表示为()()()()()22121.50.530442020x w x f x h x x x =-=--=--+，当10x =时取到最大值，()max 24w x =；当11x ≥时，1425()x f x -=+单调递减，第11个月利润有最大值， ()max =132323w x ⨯-=；故月利润最高记录为24万元，出如今第10个月.【点睛】此题考察函数拟合模型的实际应用，分段函数的求法，实际问题中的利润最大值问题，运算才能，属于中档题20.{}n a 是公差为d 的等差数列，它的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，4224S S =+，219b =，249T =. 〔1〕求公差d 的值；〔2〕假设对任意的*n N ∈，都有7n S S ≥成立，求1a 的取值范围； 〔3〕假设11a =，判别2202012n nS T -=-是否有解，并说明理由.【答案】〔1〕1d =；〔2〕[7,6]--；〔3〕无解，理由见解析 【解析】【分析】〔1〕由4224S S =+化简即可求得；〔2〕由〔1〕0d >，7n S S ≥可知，780,0a a ≤≥，再解1a 范围即可；〔3〕由219b =，249T =可求得11313b q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，进而求得11=123n n T ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，同时11a =可求得()12n n n S +=，设2()12n n f n S T =--，可证2()12n nf n S T =--单调递增，通过对n 赋值可判断不存在n 值，使2202012n nS T -=-有解【详解】〔1〕()4211432442242S S a d a d ⨯=+⇔+=++，化简得1d = 〔2〕10d =>，7n S S ≥，780,0a a ∴≤≥，即11160[7,6]70a d a a d +≤⎧⇒∈--⎨+≥⎩ 〔3〕等比数列满足219b =，249T =，即1111949b q b b q ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得11313b q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，1113311=112313nn n T ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎡⎤⎝⎭⎛⎫⎝⎭∴=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，11a =，那么()()()1111222n n n d n n n n S na n --+=+=+= 2223121112123nnnT ==⋅-⎡⎤⎛⎫-⋅-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，假设2()12n n f n S T =--，即()1()232n n n f n +=⋅- ()()112(1)232n n n f n ++++=⋅-，()()()1121(1)()2323431022n n n n n n n f n f n n ++++⎡⎤+-=⋅--⋅-=⋅-->⎢⎥⎣⎦，n N +∈，那么()1()232n n n f n +=⋅-为单调递增函数，()6671(6)23=14372f ⨯+=⨯-， ()7771(7)23=43462f ⨯+=⨯-，即(6)2020(7)f f <<，∴不存在正整数n ，使2202012n nS T -=-有解【点睛】此题考察等差数列、等比数列根本量的求解，前n 项和公式，函数的单调性，逻辑推理才能，属于中档题21.012,,,,n a a a a ⋅⋅⋅为正整数且0121n a a a a >>>⋅⋅⋅>>，将等式123011111(1)(1)(1)(1)2(1)n a a a a a -+-+-+⋅⋅⋅+-=-记为()*式. 〔1〕求函数1()1f x x=-，[2,)x ∈+∞的值域； 〔2〕试判断当1n =时〔或者2时〕，是否存在0a ，1a 〔或者0a ，1a ，2a 〕使()*式成立，假设存在，写出对应0a ，1a 〔或者0a ，1a ，2a 〕，假设不存在，说明理由； 〔3〕求所有能使()*式成立的i a 〔0i n ≤≤〕所组成的有序实数对012(,,,,)n a a a a ⋅⋅⋅. 【答案】〔1〕1[,1)2；〔2〕不存在，理由见解析；〔3〕(24,4,3,2)和(60,5,3,2).【解析】 【分析】〔1〕先判断1()1f x x=-的单调性，再根据定义域进一步求值域； 〔2〕由题干和〔1〕知，2101a a a <<<时，210111(1)(1)(1)a a a -<-<-，结合()*式判断可确定不存在；〔3〕可通过试值法，先确定32a =，再通过试值法进一步确定23a =，最终锁定101121+66a a =>， 那么136a <<，分别讨论14a =和15a =进一步确定0a 即可 【详解】〔1〕设122x x ≤<，221()1f x x =-，111()1f x x =-，()()21211212110x x f x f x x x x x --=-=> 故1()1f x x=-在[2,)x ∈+∞上单增，()()min 112122f x f ==-=，当x →+∞时，1()11f x x=-→，那么()1[,1)2f x ∈〔2〕由〔1〕知，设()11n nf a a =-为单调递增函数，那么2101a a a <<<时，210111(1)(1)(1)a a a -<-<-，当1n =时，101111a a -<-，所以()*式不成立； 当2n =时，210111(1)(1)(1)a a a -<-<-，210111(1)(1)2(1)a a a -+-<-，()*式也不成立，故当1n =时〔或者2时〕，不存在0a ，1a 〔或者0a ，1a ，2a 〕使()*式成立 〔3〕由()111,12n n f a a ⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭得，123011111(1)(1)(1)(1)2(1)22n n a a a a a <-+-+-+⋅⋅⋅+-=-<，即4n <，又由〔2〕可知，1,2n n ==()*式不成立，故要使()*式成立，只能取3n =，当3n =时12301111(1)(1)(1)2(1)a a a a -+-+-=-，即012321111a a a a +=++，由题012,,,,n a a a a ⋅⋅⋅为正整数且0121n a a a a >>>⋅⋅⋅>>， 假设33a =，否那么原式为右边至多为1111345++<，()*式不成立那么32a =，同理23a =，否那么原式右边至多为1111245++<，因此可得012111132a a +=++，化简得101121+66a a =>，所以136a <<，当14a =时0=24a ；当15a =时，0=60a综上所述，012(,,,,)n a a a a ⋅⋅⋅的所有可能解为：()24,4,3,2或者()60,5,3,2【点睛】此题考察函数单调性的证明，放缩法的应用，试值法求解详细数值，对于逻辑推理才能有较高要求，属于难题。