[考研专业课课件] 赫尔《期货、期权及其他衍生产品》 课件 第27章 鞅与测度
期权期货及其衍生产品约翰赫尔官方课件
Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition, Copyright © John C. Hull 2012
12
Theoretical Justification for Cap Model
Working in a world that is FRN wrt a zero - coupon bond maturing at time t k 1 the option price is P (0, t k 1 ) Ek 1[max( Rk RK ,0)] Also Ek 1[ Rk ] Fk This leads to Black's model
where D is the (modified) duration of the forward bond at option maturity
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Both the bond price and the strike price should be cash prices not quoted prices
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Swaptions
A swaption or swap option gives the holder the right to enter into an interest rate swap in the future Two kinds
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Mechanics of Put Futures Option
When a put futures option is exercised the holder acquires
A short position in the futures A cash amount equal to the excess of the strike price over the futures price at the time of the most recent settlement
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Mechanics of Call Futures Options
When a call futures option is exercised the holder acquires
A long position in the futures A cash amount equal to the excess of the futures price at the time of the most recent settlement over the strike price
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Potential Advantages of Futures Options over Spot Options
赫尔《期权、期货及其他衍生产品》（第7版）课后习题详解（曲率、时间与Quanto调整）
赫尔《期权、期货及其他衍⽣产品》（第7版）课后习题详解（曲率、时间与Quanto调整）29.2 课后习题详解⼀、问答题1. 解释你如何去对⼀个在5年后付出100R 的衍⽣产品定价，其中R 是在4年后所观察到的1年期利率(按年复利)。
当⽀付时间在第4年时，会有什么区别?当⽀付时间在第6年时，会有什么区别?Explain how you would value a derivative that pays off 100R in five years where R is the one-year interest rate (annually compounded) observed in four years. What difference would it make if the payoff were in four years? What difference would it make if tile payoff were in six years?答：衍⽣产品的价值是，其中P(0，t)是⼀个t 期零息债券的价格，为期限在和之间的远期利率，以年复利计息。
当⽀付时间在第4年时，价值为，其中c 为由教材中⽅程（29-2）得到的曲率调整。
曲率调整公式为：其中，是远期利率在时间和之间的波动率。
表达式100(R4,5 + c)为在⼀个远期风险中性的世界中，⼀个4年后到期的零息债券的预期收益。
如果在6年后进⾏⽀付，由教材中的⽅程（29-4）得到其价值为：其中，ρ为(4,5)和(4,6)远期利率之间的相关系数。
作为估计，假定，近似计算其指数函数，得到衍⽣产品的价值为：。
2. 解释在下⾯情况下，有没有必要做出任何曲率或时间调整?(a)要对⼀种期权定价，期权每个季度⽀付⼀次，数量等于5年的互换利率超出3个⽉LIBOR利率的部分(假如超出的话)，本⾦为100美元，收益发⽣在利率被观察到后的90天。
(b)要对⼀种差价期权定价，期权每季度⽀付⼀次，数量等于3个⽉的LIBOR利率减去3个⽉的短期国库券利率，收益发⽣在利率被观察后的90天。
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Day Count Conventions in the U.S. (Page 129)
Treasury Bonds: Actual/Actual (in period)
Bond: 8% Actual/ Actual in period.
4% is earned between coupon payment dates. Accruals on an Actual basis. When coupons are paid on March 1 and Sept 1, how much interest is earned between March 1 and April 1?
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Conversion Factor
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Examples continued
T-Bill: 8% Actual/360:
8% is earned in 360 days. Accrual calculated by dividing the actual number of days in the period by 360. How much interest is earned between March 1 and April 1?
赫尔《期权、期货及其他衍生产品》教材精讲(利率衍生产品：标准市场模型)【圣才出品】
第28章利率衍生产品：标准市场模型1．讨论债券期权、利率上限与下限以及互换期权的运作方式。
2．讨论如何采用标准市场模型来对这些产品定价。
28.1 债券期权债券期权（Bond option）：指在将来某确定时刻T以某一确定价格K买入或卖出某个债券的权利。
主要在场外市场进行交易，债券期权常常隐含在一些债券内，其作用是在债券发行时达到吸引发行者或投资者的目的。
28.1.1 内含债券期权可赎回债券可赎回债券（callable bond）：这种债券含有允许发行债券的公司在将来某时刻以事先约定的价格买回债券的条款。
特性：1．持有人向发行人卖出了一个看涨期权。
2．该期权中的执行价格，即赎回价格（call price），是该债券发行人在赎回债券时必须支付给债券持有者的价格。
3．可提前赎回债券通常在债券发行的最初几年内不能赎回[称为锁定区间（lock-out period）]，此后的赎回价格通常是时间的递减函数。
4．看涨期权的价值反映在债券的收益率报价中，附有可赎回条款债券比没有可赎回条款债券的收益率要高。
【例28-1】在某个10年期可提前赎回债券在债券发行的最初两年内，债券发行人没有赎回债券的权利。
随后该债券的发行人有权在第三年和第四年以110美元的价格赎回；在第五年和第六年以107.50美元的价格赎回；在第七年和第八年以106美元的价格赎回；在第九年和第十年以103美元的价格将债券赎回。
可退还债券可退还债券（puttable bond）：这种债券含有允许债券持有人在将来某一时间内以预先约定价格提前将债券退还给债券发行人并收回现金的条款。
特性：1．债券持有人在买入债券时，也买入了债券的看跌期权。
2．对于债券持有人而言，由于看跌期权增加了债券本身的价值，附有可退还条款的债券比没有这种条款的债券收益率要低。
应用：贷款、储蓄、贷款许诺1．假定某金融机构的5年定期存款可以被提前提取而没有任何惩罚，那么它就包含一个债券美式看跌期权（存款是一个投资者有权在任何时刻以其面值卖给金融机构的债券）。
期权、期货及其他衍生产品第9版-赫尔】Ch(27)
h
3
Principal Protected Notes continued
Chapter 12 Trading Strategies Involving Options
h
1
Strategies to be Considered
Bond plus option to create principal protected note
Stock plus option
Two or more options of the same type (a spread)
Two or more options of different types (a combination)
h
2
Principal Protected Note
Allows investor to take a risky position without risking any principal Example: $1000 instrument consisting of
Viability depends on
Level of dividends Level of interest rates Volatility of the portfolio
Variations on standard product
Out of the money strike price Caps on investor return Knock outs, averaging features, etc
(NEW)赫尔《期权、期货及其他衍生产品》教材精讲讲义
(NEW)赫尔《期权、期货及其他衍生产品》教材精讲讲义简介赫尔的《期权、期货及其他衍生产品》是一本经典的金融学教材，被广泛用于大学金融学课程的教学。
本文档将对该教材进行精讲，涵盖主要内容和关键概念，旨在帮助读者深入理解和掌握期权、期货及其他衍生产品领域的知识。
本文档采用Markdown格式，方便阅读和使用。
第一章：期权市场简介1.1 期权的定义和特点期权是一种金融衍生工具，它赋予持有者在未来某个时间以特定价格买入或卖出某一标的资产的权利。
期权的特点包括灵活性、杠杆作用、风险限定和多样性等。
1.2 期权市场的组织和参与者期权市场包括交易所市场和场外市场。
交易所市场由交易所组织和管理，参与者包括期权合约买方、卖方、证券公司和交易所监管机构等。
1.3 期权定价模型期权定价模型是评估期权价格的数学模型，常用的模型包括布莱克-斯科尔斯模型和基于风险中性定价的模型。
第二章：期权定价理论2.1 基本期权定价理论基本期权定价理论包括不含股息的欧式期权定价、含股息的欧式期权定价以及美式期权定价等。
2.2 期权市场交易策略期权市场交易策略包括买入期权、卖出期权、期权组合以及期权套利等。
2.3 隐含波动率与期权定价隐含波动率是指根据期权市场价格反推出的波动率水平，它对期权价格的波动具有重要影响。
第三章：期权交易策略3.1 期权买入策略期权买入策略包括买入认购期权、买入认沽期权和买入期权组合等，旨在获得价差和方向性收益。
3.2 期权卖出策略期权卖出策略包括卖出认购期权、卖出认沽期权和卖出期权组合等，旨在获取权利金收入和时间价值消耗。
3.3 期权组合策略期权组合策略包括多头组合和空头组合，以及各种组合的调整和套利策略。
第四章：期货市场简介4.1 期货合约的基本特点期货合约是一种标准化的合约，约定了在未来某个时间以特定价格交割特定数量的标的资产。
4.2 期货交易所和市场参与者期货交易所是组织和管理期货市场的机构，市场参与者包括期货合约买方、卖方、交易所监管机构和期货经纪人等。
期权、期货及其他衍生产品第9版-赫尔】Ch(9)幻灯片PPT
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4
Historical Simulation to Calculate the One-Day VaR
Create a database of the daily movements in all market variables. The first simulation trial assumes that the percentage changes in all market variables are as on the first day The second simulation trial assumes that the percentage changes in all market variables are as on the second day and so on
Let vi be the value of a variable on day i
There are 500 simulation trials
The ith trial assumes that the value of the market
variable tomorrow is
v500
vi vi1
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赫尔《期权、期货及其他衍生产品》(第8版)笔记和课后习题详解
12． 释为什么远 合约既可以用于投 也可以用于对冲。
：如果
对 产 价 变动有 敞 ， 可以用
远 合约 进行对冲。如果当价 下 ，
获利，而价 上升
，
损失，那么 远 合约 长头寸可以将这
对冲；
如果当价 下 ，
损失，而价 上升 ，
获利，那么
远 合约 头寸可以将这
对冲。 此，远 合约 长头
寸 头寸都可以达到对冲 目 。如果
第6章 利率期货 6.1 复习笔记 6.2 课后习题详解
第7章 互 换
7.1 复习笔记 7.2 课后习题详解 第8章 证券化与2007年信用危机 8.1 复习笔记 8.2 课后习题详解 第9章 期权市场机制 9.1 复习笔记 9.2 课后习题详解 第10章 股票期权的性质 10.1 复习笔记
10.2 课后习题详解 第11章 期权交易策略
入2000 权（即20 合约）。如果股 价
良好， 二
方将
多收 。例如，如果股 价 上升到40美元，将从
二 方 获 2000×（40-30）-5800=14200（美元），而从
方
能获 200×（40-29）=2200（美元）。然而，当股 价 下
， 二 方 将导致 大 损失。例如，如果股 价 下 至25美
7．假定你卖出
权，执行价 为40美元， 为3 月，
股 当前价 为41美元，
权合约
100股股 。进
入这 合约，你做出 什么承诺？你 损 将 什么？
：你卖出
权。如果合约 另 方选择执行 权利，
以40美元/股 价 卖出 股 ，你 须同 以这 价 进100股
股 。 有当股 价 到40美元以下 ，这 权才 执
那里收到 权 为对将 可能损失 偿。
赫尔《期权、期货及其他衍生产品》(第9版)笔记和课后习题详解答案
赫尔《期权、期货及其他衍生产品》（第9版）笔记和课后习题详解答案赫尔《期权、期货及其他衍生产品》（第9版）笔记和课后习题详解完整版>精研学习?>无偿试用20％资料全国547所院校视频及题库全收集考研全套>视频资料>课后答案>往年真题>职称考试第1章引言1.1复习笔记1.2课后习题详解第2章期货市场的运作机制2.1复习笔记2.2课后习题详解第3章利用期货的对冲策略3.1复习笔记3.2课后习题详解第4章利率4.1复习笔记4.2课后习题详解第5章如何确定远期和期货价格5.1复习笔记5.2课后习题详解第6章利率期货6.1复习笔记6.2课后习题详解第7章互换7.1复习笔记7.2课后习题详解第8章证券化与2007年信用危机8.1复习笔记第9章OIS贴现、信用以及资金费用9.1复习笔记9.2课后习题详解第10章期权市场机制10.1复习笔记10.2课后习题详解第11章股票期权的性质11.1复习笔记11.2课后习题详解第12章期权交易策略12.1复习笔记12.2课后习题详解第13章二叉树13.1复习笔记13.2课后习题详解第14章维纳过程和伊藤引理14.1复习笔记14.2课后习题详解第15章布莱克-斯科尔斯-默顿模型15.1复习笔记15.2课后习题详解第16章雇员股票期权16.1复习笔记16.2课后习题详解第17章股指期权与货币期权17.1复习笔记17.2课后习题详解第18章期货期权18.1复习笔记18.2课后习题详解第19章希腊值19.1复习笔记第20章波动率微笑20.1复习笔记20.2课后习题详解第21章基本数值方法21.1复习笔记21.2课后习题详解第22章风险价值度22.1复习笔记22.2课后习题详解第23章估计波动率和相关系数23.1复习笔记23.2课后习题详解第24章信用风险24.1复习笔记24.2课后习题详解第25章信用衍生产品25.1复习笔记25.2课后习题详解第26章特种期权26.1复习笔记26.2课后习题详解第27章再谈模型和数值算法27.1复习笔记27.2课后习题详解第28章鞅与测度28.1复习笔记28.2课后习题详解第29章利率衍生产品：标准市场模型29.1复习笔记29.2课后习题详解第30章曲率、时间与Quanto调整30.1复习笔记30.2课后习题详解第31章利率衍生产品：短期利率模型31.1复习笔记31.2课后习题详解第32章HJM，LMM模型以及多种零息曲线32.1复习笔记32.2课后习题详解第33章再谈互换33.1复习笔记33.2课后习题详解第34章能源与商品衍生产品34.1复习笔记34.2课后习题详解第35章章实物期权35.1复习笔记35.2课后习题详解第36章重大金融损失与借鉴36.1复习笔记36.2课后习题详解。
赫尔《期权、期货及其他衍生产品》教材精讲(鞅与测度)【圣才出品】
第27章鞅与测度1．解释当无风险利率为随机时风险中性定价的理论基础2．了解等价鞅测度，并利用它来推广布莱克模型27.1 风险市场价格考虑只依赖于一个变量θ的衍生产品性质。
假设θ所服从的过程是（27-1）式中dz——维纳过程m——θ增长率的期望s——θ增长率的波动率假定这些参数只依赖于θ和t，变量θ可以代表与金融市场不大相关的东西。
f1、f2——两个依赖于θ和t的衍生产品价格可以是期权，也可以是在以后某个时间以θ和t函数形式提供收益的产品价格。
在所考虑的时间区间中，f1与f2不提供任何收入。
假设f1与f2所服从的过程为与式中，μ1，μ2，σ1和σ2都是θ和t的函数，其中的“dz”项必须与式（27-1）中的dz一致，因为它们代表f1与f1中不确定性的惟一来源。
联系价格f1与f2把f1与f1的过程离散化（27-2）和（27-3）利用σ2f2个单位的第一个衍生产品和-σ1f1单位的第二个衍生产品建立一个瞬时无风险的组合，将△z去掉。
如果用Π来表示这个组合的价值，那么（27-4）和将式（27-2）和式（27-3）代入（27-5）由于这个组合是瞬时无风险的，它必须挣取无风险利率。
因此，将式（27-4）和式（27-5）代入上式可以得到或（27-6）注意式（27-6）的左边只依赖于f1过程中的参数，而右端只依赖于f2过程中的参数。
定义λ为式（27-6）两边的值，那么（27-7）如果一个衍生产品价格只依赖于θ和t的，并且服从那么（27-8）参数λ被称为θ的风险市场价格。
它可能依赖于θ和t，但却不依赖于衍生产品f的特征。
如果没有套利机会，那么在任何时间上如果衍生产品，只依赖于θ和t，（μ-r）/σ的值都必须是一样的。
变量θ的风险市场价格对于依赖于θ的证券在其风险与收益之间的平衡关系起着一个度量的作用。
式（27-8）可以写成（27-9）注意：变量σ可以不严格地理解成在f中的θ风险。
右边，θ风险的数量乘上σ风险的市场价格；左边，衍生产品在所得收益里高于无风险利率的部分，即风险的补偿。
赫尔《期权、期货及其他衍生产品》(第9版)笔记和课后习题详解答案
赫尔《期权、期货及其他衍生产品》（第9版）笔记和课后习题详解完整版>精研学习䋞>无偿试用20％资料全国547所院校视频及题库全收集考研全套>视频资料>课后答案>往年真题>职称考试第1章引言1.1复习笔记1.2课后习题详解第2章期货市场的运作机制2.1复习笔记2.2课后习题详解第3章利用期货的对冲策略3.1复习笔记3.2课后习题详解第4章利率4.1复习笔记4.2课后习题详解第5章如何确定远期和期货价格5.1复习笔记5.2课后习题详解第6章利率期货6.1复习笔记6.2课后习题详解第7章互换7.1复习笔记7.2课后习题详解第8章证券化与2007年信用危机8.1复习笔记8.2课后习题详解第9章OIS贴现、信用以及资金费用9.1复习笔记9.2课后习题详解第10章期权市场机制10.1复习笔记10.2课后习题详解第11章股票期权的性质11.1复习笔记11.2课后习题详解第12章期权交易策略12.1复习笔记12.2课后习题详解第13章二叉树13.1复习笔记13.2课后习题详解第14章维纳过程和伊藤引理14.1复习笔记14.2课后习题详解第15章布莱克-斯科尔斯-默顿模型15.1复习笔记15.2课后习题详解第16章雇员股票期权16.1复习笔记16.2课后习题详解第17章股指期权与货币期权17.1复习笔记17.2课后习题详解第18章期货期权18.1复习笔记18.2课后习题详解第19章希腊值19.1复习笔记19.2课后习题详解第20章波动率微笑20.1复习笔记20.2课后习题详解第21章基本数值方法21.1复习笔记21.2课后习题详解第22章风险价值度22.1复习笔记22.2课后习题详解第23章估计波动率和相关系数23.1复习笔记23.2课后习题详解第24章信用风险24.1复习笔记24.2课后习题详解第25章信用衍生产品25.1复习笔记25.2课后习题详解第26章特种期权26.1复习笔记26.2课后习题详解第27章再谈模型和数值算法27.1复习笔记27.2课后习题详解第28章鞅与测度28.1复习笔记28.2课后习题详解第29章利率衍生产品：标准市场模型29.1复习笔记29.2课后习题详解第30章曲率、时间与Quanto调整30.1复习笔记30.2课后习题详解第31章利率衍生产品：短期利率模型31.1复习笔记31.2课后习题详解第32章HJM，LMM模型以及多种零息曲线32.1复习笔记32.2课后习题详解第33章再谈互换33.1复习笔记33.2课后习题详解第34章能源与商品衍生产品34.1复习笔记34.2课后习题详解第35章章实物期权35.1复习笔记35.2课后习题详解第36章重大金融损失与借鉴36.1复习笔记36.2课后习题详解。
期权、期货及其他衍生产品第9版-赫尔】Ch(5)
(equations 27.2 and 27.3, page 631)
dS (r q)dt S
V dzS
dV a(VL V )dt V adzV
When V and S are uncorrelated a European
option price is the Black-Scholes-Merton price
integrated over the distribution of the average
variance rate
Conditional on g, ln ST is normal. Its variance proportional to g
There are 3 parameters
v, the variance rate of the gamma process 2, the average variance rate of ln S per unit time
Total accumulated variance at the end of three years is 12 + 222
The 3-year average volatility is given by
32 12 222;
12 222 3
.
10
Stochastic Volatility Models
.
9
Time Varying Volatility
The variance rate substituted into BSM
should be the average variance rate
Suppose the volatility is 1 for the first year and 2 for the second and third
期权、期货及其他衍生产品第9版-赫尔】Ch(28)
.
5
Properties of Implied Distribution for Foreign Currency Options
Both tails are heavier than the lognormal distribution It is also “more peaked” than the lognormal distribution
.
7
Historical Analysis of Exchange Rate Changes
>1 SD >2SD >3SD >4SD >5SD >6SD
Real World (%) Normal Model (%)
25.04
31.73
5.27
4.50.01
0.08
0.00
.
13
Ways of Characterizing the
Volatility Smiles
Plot implied volatility against K S0 Plot implied volatility against K F0
Note: traders frequently define an option as at-the-money when K equals the forward price, F0, not when it equals the spot price S0
0.03
0.00
.
8
The Volatility Smile for Equity Options (Figure 20.3, page 436)
Implied Volatility
期权,期货及其衍生品第27弹
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13
Zero-Coupon Bond Maturing at time T as Numeraire
The equation
f0 g0
E g
fT gT
becomes
f0 P (0,T )ET [ fT ]
w here P ( 0,T ) is the zero - coupon bond price
If Eg denotes expectations in a world that is FRN wrt g
f0 g0
E
g
f
T
gT
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In a worldwherethemarketpriceof risk is l df (r ls) f dt sf dz
Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition,
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8
The Equivalent Martingale Measure Result (Page 635-36)
14
Forward Prices
In a world that is FRN wrt P(0,T), the expected value of a security at time T is its forward price
Options, Futures, and Other Derivatives, 8th Edition,
期权、期货及其他衍生产品第9版-赫尔】Ch(27)_OK
K1
K2
ST
7/28/2021
9
Box Spread
A combination of a bull call spread and a bear put spread If all options are European a box spread is worth the present value of the difference between the strike prices If they are American this is not necessarily so (see Business Snapshot 11.1)
7/28/2021
3
Principal Protected Notes continued
Viability depends on
Level of dividends Level of interest rates Volatility of the portfolio
Variations on standard product
Profit
Profit
K
ST
K ST
(a) Profit
(b) Profit
7/28/2021
K ST
(c)
K
ST
(d)
5
Bull Spread Using Calls
(Figure 12.2, page 258)
Profit
ST
K1
K2
7/28/2021
6
Bull Spread Using Puts
Figure 12.12, page 269
Profit
K1
期权、期货及其他衍生产品第9版-赫尔】Ch(26)_OK
7/28/2021
1
The Stock Price Assumption
Consider a stock whose price is S In a short period of time of length Dt, the return
ST S0 e xT
x = 1 ln ST T S0
x
2 2
,
2 T
7/28/2021
5
The Expected Return
The expected value of the stock price is S0emT
The expected return on the stock is
m – s 2/2 not m
ˆ s
7/28/2021
10
Nature of Volatility (Business Snapshot 15.2,
page 329)
Volatility is usually much greater when the market is open (i.e. the asset is trading) than when it is closed
time expressed with continuous compounding (or, to a good approximation, with a compounding
frequency of Dt)
7/28/2021
7
Mutual Fund Returns (See Business Snapshot
It follows from this assumption that
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2 f2 f1 1 f1 f2 （27-4）
和
2 f2f1 1 f1f2
将式（27-2）和式（27-3）代入
1 2 f1 f2 21 f1 f2 t （27-5）
由于这个组合是瞬时无风险的，它必须挣取 无风险利率。因此， r t 将式（27-4）和式（27-5）代入上式可以得
df rfdt fdz
即为传统风险中性世界（traditional risk． neutral world）。
由式（27-9）可以得出
r
于是
df r fdt fdz （27-10）
一个变量的风险市场价格决定了所有依赖于 这个变量的证券的增长率。当从一个风险市场价 格换成另外一个时，证券价格增长率的期望值会 改变，但它的波动率却不会改变。
r
（27-9）
注意：变量σ可以不严格地理解成在f中的θ
风险。 右边，θ风险的数量乘上σ风险的市场价格; 左边,衍生产品在所得收益里高于无风险利率的部 分，即风险的补偿。
【例27-1】考虑这样一个衍生产品，它的价
格和原油价格之间有正的相关性，而且不依赖别 的随机变量。假设它提供12％的年预期收益率与 20％的年波动率，如果无风险利率为每年8％ 原油的风险市场价格是
0.12 0.08 0.2 0.2
注意：原油是消费资产而不是投资资产，因
而不能在式（27-8）中让μ等于在原油上投资的
收益率期望，σ要等于原油价格的波动率。
【例27-2】考虑两个证券，它们都与90天的
利率有正的相关性。假如第一个证券的收益率期 望是每年3％，而波动率是每年20％。第二个证券 的波动率是每年30％。假设瞬时无风险利率是每 年6％。利用第一个证券的收益率期望与波动率可 以计算风险市场价格为
到
1 2 2 1 r 2 r 1 1 r 2 r 或 1 2
（27-6）
注意式（27-6）的左边只依赖于f1过程中的
参数，而右端只依赖于f2过程中的参数。定义λ
为式（27-6）两边的值，那么 1 r 2 r （27-7） 1 2 如果一个衍生产品价格只依赖于θ和t的，并 且服从 那么
n df dt i dzi f i 1
（27-12）
μ——证券的收益率期望
σidzi——在这个收益中可以归咎于θi的部 分 μ和σi都可能依赖于θ和时间。
证明了
r i i
i 1 n
（27-13）
式中λi是θi的风险市场价格。 这个方程将投资者对一个证券的额外收益率
券会降低而不是增加一个典型投资者的投资组合 风险时，情况λiσi<0才会成立。
【例27-3】一只股票依赖于三个标的变量：
原油价格、黄金价格和一个股票指数。假如这三 个变量的风险市场价格分别是0.2、-0.1和0.4， 假定三个变量的σi分别是0.05、0.1和0.15，这 只股票中比无风险利率高出的额外收益率为 0.2×0.05-0.1×0.1+0.4×0.15=0.06 即每年6.0％。如果有其他变量也影响这只股 票的价格，那么只要这些变量的风险市场价格为
0.03 0.06 0.15 0.2 第二个证券的收益率期望为
0.06 0.15 0.3 0.015
其他世界
衍生产品价格f服从 df fdt fdz 式中μ依赖于投资者对风险的选择。 在一个风险市场价格为0的世界里，λ等于0。 从式（27-9）可以得到μ=r，于是f服从
表与金融市场不大相关的东西。
f1、f2——两个依赖于θ和t的衍生产品价格
可以是期权，也可以是在以后某个时间以θ 和t函数形式提供收益的产品价格。在所考虑的时 间区间中，f1与f2不提供任何收入。 假设f1与f2所服从的过程为 df1 df 2 1dt 1dz 与 2dt 2dz f1 f2 式中，μ1，μ2，σ1和σ2都是θ和t的函数, 其中的“dz”项必须与式（27-1）中的dz一致，因 为它们代表f1与f1中不确定性的惟一来源。
27．2 多个状态变量
假设有n个变量θ1，θ2，…，θn，i=1， 2，…，n，它们服从以下形式的随机过程： d i mi dt si dzi （27-11） i 其中dzi是维纳过程，参数mi和si分别表示增 长率的期望与波动率,它们可以依赖于θi和时间。 由多变量伊藤引理，一个只依赖于θi的证券价格 具有n个随机部分，并且可以表示成
联系价格f1与f2
把f1与f1的过程离散化
f1 1 f1t 1 f1z
（27-2） （27-3）
和
f 2 2 f 2 t 2 f 2 z
利用σ2f2个单位的第一个衍生产品和-σ1f1 单位的第二个衍生产品建立一个瞬时无风险的组 合，将△z去掉。
如果用Π来表示这个组合的价值，那么
《期权、期货及其他衍生产品》
第27章 鞅与测度
1．解释当无风险利率为随机时风险中性定价
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
的理论基础
2．了解等价鞅测度，并利用它来推广布莱克 模型。
27．1 风险市场价格
考虑只依赖于一个变量θ的衍生产品性质。 假设θ所服从的过程是 d mdt sdz 式中dz——维纳过程 m——θ增长率的期望 s——θ增长率的波动率 假定这些参数只依赖于θ和t，变量θ可以代 （27-1）
df dt dz f
r
（27-8）
参数λ被称为θ的风险市场价格。它可能依
赖于θ和t，但却不依赖于衍生产品f的特征。如 果没有套利机会，那么在任何时间上如果衍生产 品，只依赖于θ和t，（μ-r）/σ的值都必须是 一样的。 变量θ的风险市场价格对于依赖于θ的证券 在其风险与收益之间的平衡关系起着一个度量的 作用。式（27-8）可以写成
要求与λi和σi联系了起来。式（27-9）是这个方
程在n=1时的特例。 λiσi衡量投资者对一个证券由于受θi影响 而要求额外收益率补偿的程度。
如果λiσi=0，那么没有影响。
如果λiσi>0，那么投资者要求有更高的收益
率来补偿由θi所引进的风险。 如果λiσi<0时，对θi的依赖性使得投资者
对其所要求的收益率比不依赖θi时低。当一个证