高一数学《正切函数的图象与性质》
高一数学教案《4.10 正切函数的图象和性质》
教学设计（主备人：闫定芳） 教研组长审查签名： 高中课程标准∙数学必修第一册（下） 教案执行时间：4.10 正切函数的图象和性质教学设计一、内容及其解1、内容:本节主要学习利用正切线画正切函数的图象及正切函数的图象和性质.2、解析:通过本节的学习能理解并掌握作正切函数的图象的方法,能用正切函数的图象解决有关问题.二、目标及其解析 1、目标:①使学生会利用正切线画出正切函数的图象,并通过图象了解正切函数的性质. ②培养学生应用类比的方法进行学习. ③会求与正切函数相关的简单函数的定义域,值域2、解析:正切函数是区别于正弦函数的又一三角函数.它与正弦函数的最大区别是定义域的不连续性.为了更好研究其性质,首先讨论y=tanx 的作用.三、教学问题诊断分析本节的重点是正切函数的图象和性质.难点是利用正切线画正切函数y=tanx,x ∈(-2π,2π)的图象.四、教学支撑条件分析为了加强学生对正切函数的图象和性质的理解,用类比的方法利用几何眼画板动态的研究图象,体会数行结合的优点.五、教学过程设计 (一)教学基本流程复习正弦曲线的作法→作厂作出正切函数的图象→对比正、余弦函数的性质得到正切函数的性质→小结.(二)教学情景 1、问题及例题:问题1：回忆正弦曲线的作图法,由此法能否作出正切函数y=tanx,x ∈(-2π,2π)的图象.设计意图:帮助学生回顾旧知识、同时获得新知识. 问题2: y=tanx (x ∈R,且x ≠2π+k π,k ∈Z)的周期为什么是π.利用这一性质如何作出此函数的完整图象？对比正、余弦函数的性质得到正切函数的哪些性质？设计意图:让学生知道正切函数的周期并在最小周期内进行分析. 问题3:对于无数条互相平行的直线x=K π+2π,(k ∈Z)在正切函数的图象中有何特点？设计意图:让学生知道无数条互相平行的直线x=K π+2π,(k ∈Z)与y=tanx 的图象无交点,且任意两条平行线间的图象均相同.问题5:回忆y=Asin(ωx+ϕ)的周期,类似地考虑: y=Atan(ωx+ϕ)是周期函数吗？若是如何求？设计意图:让学生对比分析,易于得出正切函数T=πω问题6:如何判断函数的单调性？正切函数有减区间吗？若没有,能否说正切函数在整个定义域内是增函数？式说明理由.设计意图:让学生利用定义法判断函数的单调性正切函数无减区间, 因为正切函数具有周期性,只能在每一个区间内谈单调性.问题7:如何判断函数的奇偶性,其图象有何特点？设计意图:让学生回忆奇偶性的定义,即f(-x)=-f(x)则为奇函数,图象关于原点对称. 例1 求函数y=tan(x+4π)的定义域.解:令Z=x+4π、那么y=tanz 的定义域是｛Z ∣Z ≠K π+2π,(k ∈Z.)｝由Z=x+4π、Z=x+4π可得X= K π+2π-4π=4π+ K π. 所以函数y=tan(x+4π)的定义域是｛X ∣X ≠K π+4π(k ∈Z.)｝例2: 求函数y=tan(2x+3π)的周期.解:T=πω=2π例3:判断下列函数的奇偶性 ①y=tanx-sinx. ②y=lg1tan 1tan xx-+解: ①令f(x)= tanx-sinx,则f(-x)=tan(-x)-sin(-x)=-tanx+sinx=-f(x) 所以f(x)=tanx-sinx 为奇函数, ① 令f(x)=lg1tan 1tan x x -+ .则f(-x)= lg 1tan()1tan()x x --+- =lg 1tan 1tan x x +- = - lg 1tan 1tan xx -+=-f(x)所以y=lg 1tan 1tan xx-+是奇函数.例4:求函数F(x)=44tan (3)1tan (3)1x x ππ---+的周期与单调区间. 解: f(x)=44tan (3)1tan (3)1x x ππ---+=tan(4x ππ-)=tan 4x π.周期T= πω= 4ππ=4, K π-2π<4x π.< K π+2π,4k-2<x<4k+2,所以函数F(x)的单调区间是(4k-2,4k+2)(k ∈Z). 目标检测 第一课时(1) 求下列函数的定义域: ①②(2) 求下列函数的单调区间及周期 ①y=tan x ;②y=3tanx(6π-4x )(3) 判断下列函数的奇偶性; ①y=tanx(-4π≤x ≤3π); ②y=tanx+1tan 2x小结:本节主要用到数形结合的思想,即把数量关系转化为图形性问,或把图形性问题转化为数量关系的问题来研究.配餐作业 A 组:教材P79 页第1、2、3、4题设计意图:让学生对正切函数性质灵活运用. B 组:教材P79页5、6题设计意图:加强知识的综合性应用. C 组:教材P80页第6题设计意图:此题是综合性比较强的题目,让学生自己选择. 目标检测 第二课时(1)、求下列函数的定义域:①-tanx), ②(2)求y=-tanx ²+10tanx-1的值域.(3)已知 f(x)=tan ²x+tanx(x+3∏/2).求:①f(x)的周期. ②f(x)的单调区间.设计意图:掌握正切函数的图象和性质,并能正确运用它的性质去解决一些实际问题. 小结:本节主要用到数行结合的思想.既把数量关系问题转化为图象性质问题,或把图形性问题转化为数量关系问题来研究,借助单位圆或正切函数的图象对问题直观、迅速作出判断.配餐作业 A 组:1、要得到y=tan(2x-3π)的图象,只需将函数y=tan2x 的图象 ( D )A 、向左平移3π个单位 B 、向右平移3π个单位 C 、向左平移6π个单位 D 、 向右平移6π个单位.2、当-π/2＜x ＜2π时,函数y=tan ∣x ∣的图象是 ( C )A 、关于园点对称.B 、关于x 轴对称.C 、关于y 轴对称.D 、不是对称图象. 设计意图:让学生对正切函数性质加深认识并灵活运用。
高中数学 1.4.2《正切函数的性质与图象》教学设计 新人教A版必修4
1.4.2《正切函数的图象与性质》教学设计【教学目标】1.理解利用正切线作出的正切函数图象.2.通过观察正切函数图象了解与感悟正切函数的性质.3.掌握正切函数的基本性质. 【导入新课】 复习我们在前几节中学习了正弦函数线、余弦函数线以及正切函数线，我们通过正弦函数线，画出了正弦函数的图象，并研究了函数的性质.今天，我们同样按照这样的方法通过正切线来画出正切函数的图象，并研究和讨论它的性质.新授课阶段 一、正切函数的图象：当α在第一象限时， 正弦线sinα=BM>0 余弦线cosα=OM>0 正切线tanα=AT>0那么，当α在其他三个象限 的情况呢？请同学们画 出其他三个象限的正切线. 我们将区间,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭进行八等分，9个点分别为3284πππ---，，,0,,88ππ-3,.482πππ，分别画出其中384ππ--，，,0,,88ππ-3ππ，的正切线， 然后利用描点法画出正切函数的大致图象. MAxO由正切三角比的诱导公式可知：tan()tan παα+= 那么y =tan()tan παα+=，可知π为y=tanx 的一个周期. 由此，我们可以画出y=tanx 在R 上的大致图象如下：例1 （1）比较tan1670与tan1730的大小;Y =tan α，α∈,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭π23-π-π2π-2ππ230yx（2）比较⎪⎭⎫ ⎝⎛-413tan π与⎪⎭⎫⎝⎛-517tan π的大小. 解：(1)∵900<1670<1730<1800，而y=tanx 在900～1800上单调增函数， ∴tan1670<tan1730. (2)tan 413tan -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πΘ4π，52tan 517tan ππ-=⎪⎭⎫⎝⎛-， 又：20,tan 0,4522y x ππππ⎛⎫<<<= ⎪⎝⎭在内单调递增， ⎪⎭⎫⎝⎛->⎪⎭⎫ ⎝⎛-->-∴<∴ππππππ517tan 413tan ,52tan 4tan ,52tan4tan即. 二、正切函数的性质观察正切函数的图象，引导学生得正切函数的性质： 1.定义域：|,2x x k k z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭， 2.值域：R观察：当x 从小于()z k k ∈+2ππ， 2π+π−→−k x 时，∞−→−x tan 当x 从大于()2k k z ππ+∈，2x k ππ−−→+时，-∞−→−x tan . 3.周期性：π=T .4.奇偶性：()x x tan tan -=-奇函数.5.单调性：在开区间,22k k k z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭内，函数单调递增. 从图象上看出函数y=tanx 的单调区间是,22k k k z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，但是我们怎样从理论上去加以证明呢？考察0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭这个区间内的函数y=tanx 的单调性. 在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭这个区间内任意取12x x 、，且12x x <，y 1-y 2=tanx 1-tanx 2=1212sin sin cos cos x x x x -=1212121212sin cos cos sin sin()cos cos cos cos x x x x x x x x x x --=. 因为1202x x π≤<<，所以120.2x x π-<-<则cosx 1、cosx 2>0， sin(12x x -)<0,从而tanx 1-ta nx 2<0，y 1<y 2.即正切函数y=tanx 在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数.由奇函数的性质可知，在,02π⎛⎤-⎥⎝⎦上正切函数y=tanx 也是增函数.由于y=tanx 的周期为π，则函数y=tanx 在开区间,22k k k z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭内单调递增. 除了上述证明方法以外，请同学们思考:对于正切函数y=tanx ，你还有什么方法能够证明它在开区间,22k k k z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭内单调递增吗？ 证法2：在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭这个区间内任意取12,x x ，且12x x <,tanx 1-tanx 2=1212tan()1tan tan x x x x -+⋅. 因为120,2x x π-<-<所以tan(x 1-x 2)<0，tanx 1≥0，tanx 2>0.因此1+tanx 1·tanx 2>0.则tanx 1-tanx 2<0, tanx 1<tanx 2, 即正切函数y=tanx 在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数.接下来的证明同前一种方法.[说明]在考虑正切函数单调性的时候，一定要讲在,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭每一个单调区间．．．．．．．上．是增函数，而不能讲它在定义域上是增函数，为什么？请同学们思考并说明. 例2 讨论函数⎪⎭⎫⎝⎛+=4tan πx y 的性质. 略解：定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈z k k x R x x ,4|ππ且; 值域：R;它是非奇非偶函数; 在⎪⎭⎫⎝⎛+-4,43ππππk k 上是增函数;令f (x)=tan(x+4π)=tan(x+4π+π)=tan[(x+π)+4π]=f(x+4π)， 因此，函数f(x)的周期是π.例3 求下列函数的单调区间：13tan().24y x π=+解：1,3tan 24u x y u π=+=令那么， 124u x π=+Q 是增函数， tan y u =且的递增区间为(,),22u k k k Z ππππ∈-+∈1:24u x π∴=+由得12242k x k πππππ-<+<+；13tan()24y x π∴=+的单调递增区间是：32222k k k Z ππππ-+∈（，）.变式训练1：求函数3tan()24x y π=-+的单调区间.解：因为原函数可以化为：3tan();24y ππ=--;tan 24x u y u π=-=令所以的单调递增区间为：(,),22u k k k Z ππππ∈-+∈ 1:24u x π∴=-由得1.2242k x k πππππ-<-<+13tan()24y x π∴=-+的单调递减区间为3(2,2)22k k k Z ππππ-+∈.例4 求下列函数的周期：3tan(2).4y x π=+解：()3tan(2)4f x x π=+Q 3tan(2)4x ππ=++3tan[2()]24x ππ=++()2f x π=+，2T π∴=周期.变式训练2：求解13tan()24y x π=+的周期. 解：1()3tan()24f x x π=+Q 13tan()24x ππ=++13tan[(2)]24x ππ=++(2)f x π=+，2T π∴=周期.（||T πω=周期） 例5 求函数y=tan 33x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的定义域、值域，并指出它的奇偶性、单调性以及周期. 解：令u=3x-3π,则y=tanu ，由u≠2k k Z ππ+∈可得：5()318k x k Z ππ≠+∈，即函数的定义域是5|318k x x R x k Z ππ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭，且，. y=tanu 的值域为R ，因此y=tan 33x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值域为R . 存在x=9π和x=-9π,使tan(3·9π-3π)≠±tan[3·(-9π)-3π], 所以，y=tan 33x π⎛⎫- ⎪⎝⎭是非奇非偶函数. 由,22k u k ππππ-<<+可以得到5()318318k k x k Z ππππ-<<+∈. ∴y=tan 33x π⎛⎫-⎪⎝⎭在5(,)()318318k k k Z ππππ-+∈上是增函数. 令f(x)=y= tan 33x π⎛⎫-⎪⎝⎭=tan 33x ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=tan[3(x+3π)-3π]=f(x+3π)， ∵f(x)=f(x+3π)，∴函数f(x)=y= tan 33x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的周期是3π.课堂小结小结和归纳这节课所学习的内容： 正切函数y=tanx 的性质：定义域：|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭值域：全体实数R 周期性：正切函数是周期函数，最小正周期T=π 奇偶性：奇函数单调性：正切函数在开区间,,22k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭内都是增函数.我们在求解有关正切函数与其它函数（如一次函数）复合的函数的增减性的时候，一定要将构成此复合函数的每一个函数的单调性都搞清楚，然后根据增增得增、增减得减的原则来确定该函数的单调区间.我们在求解函数周期性的时候，一定要借助y=tanx 的周期是π的结论，然后再利用周期函数定义f(x)=f(x+T)，求出函数的周期.作业 见同步练习 拓展提升1. 函数)43tan(2π+=x y 的周期是 ( )(A)32π (B) 2π (C)3π (D)6π2.函数)4tan(x y -=π的定义域为 ( )(A)},4|{R x x x ∈≠π(B)},4|{R x x x ∈-≠π(C) },,4|{Z k R x k x x ∈∈+≠ππ (D)},,43|{Z k R x k x x ∈∈+≠ππ 3.下列函数中,同时满足(1)在(0, 2π)上递增,(2)以2π为周期,(3)是奇函数的是 ( )(A)x y tan = (B)x y cos = (C)x y 21tan = (D)x y tan -= 4.tan1,tan2,tan3的大小关系是_______________________. 5.给出下列命题:(1)函数y =sin|x |不是周期函数; (2)函数y =|cos2x +1/2|的周期是π/2; (3)函数y =tan x 在定义域内是增函数; (4)函数y =sin(5π/2+x )是偶函数; (5)函数y =tan(2x +π/6)图象的一个对称中心为(π/6,0)，其中正确命题的序号是_______________(注:把你认为正确命题的序号全填上).6.求函数y=lg(1-tanx)的定义域.参考答案 1.C 2.D 3.C4. tan2<tan3<tan15.(1)(4)(5)6.,24x k x k k Z ππππ⎧⎫-+<<+∈⎨⎬⎩⎭。
高一数学《正切函数的图象和性质》PPT课件
(A) {x|kπ<x<kπ+
, k∈Z} ∈
4
(B) {x|4kπ<x<4kπ+
π
2
, k∈Z} ∈
(C) {x|2kπ<x<2kπ+π, k∈Z} ∈ (D) 第一、三象限 第一、
5.已知函数 已知函数y=tanωx在(－ 已知函 在－
π
2
,
π
2
)内是单调减 内是单调减
函数, 函数 则ω的取值范围是 ( B ) 的取值范围是 (A) 0<ω≤ 1 (C) ω≥1 (B) －1≤ω<0 (D) ω≤－1 －
作法如下： 作法如下 作直角坐标系，并在 直角坐标系y轴左侧作单 位圆。 找横坐标（把x轴上 − π x 到
Y
π
2 等份）
这一段分成8
2
把单位圆右半圆 中作出正切线。 找交叉点。 连线。
O
− 2
π
π
2
X
根据正切函数的周期性，把上述图象向左、 根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右 π 扩展，得到正切函数y=tanx,x∈R，且 x ≠ 2 + kπ (k ∈ z ) 扩展，得到正切函数 ∈ ， 的图象， 正切曲线” 的图象，称“正切曲线”
π π
1 π 解: f (x) = 3tan( x + ) Q 2 4
1 π x + ); 2 4
= f (x + ) 2 π ∴ 周期T = 2
= 3 tan[2(x + ) + ] π 2 4
1 π = 3 tan( x + + π ) 2 4 1 π = 3 tan[ ( x + 2π ) + ]
人教版高中数学高一数学《正切函数的图象与性质》学案
一、学习目标与自我评估1 了解如何利用正切线画出正切函数的图象2 掌握正切函数的图象，并利用图象分析掌握正切函数的性质 3能利用正切函数的图象和性质解决有关问题二、学习重点 正切函数的图象现状及其主要性质 三、学习难点能利用正切线画出函数tan ,,22y x x ππ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭的图象，并关注直线2x π=±是此函数的渐近线。
四、学法指导1、注意正、余弦函数的图象在整个定义域内是连续的，而正切函数图象是分区连续的；2、正、余弦函数既有单调增区间，也有单调减区间，而正切函数在每一个区间内都是递增的。
五、重点与难点探究例1、根据正切函数的图象，写出下列不等式的解集（1）tan 1x ≥- （2）tan21x ≤- （3）33tan 6x π⎛⎫-+< ⎪⎝⎭例2、完成下列各题： （1） 函数11tan y x=+的定义域是（2） 函数3tan y x =-的定义域是 ，值域是（3） 函数()tan sin y x =的定义域是 ，值域是例3、求下列函数的单调区间： （1）tan 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）1tan 213y x =+ （3）3tan 64x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭例4、（1）试把tan1,tan 2,tan 3,tan4按照从小到大的顺序排列（2）定义在R 上的偶函数()f x 在[0,)+∞上是增函数，当1233,,22x x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，比较()1tan f x 与()2tan f x 的大小。
例5、研究tan y x =和tan y x =的图象，并分析其周期性与单调性。
六、自主体验与运用1、tan ,,2y x x k k Z ππ⎛⎫=≠+∈ ⎪⎝⎭在定义域上的单调性为 （ ） A 、在整个定义域上为增函数 B 、在整个定义域上为减函数 C 、在每一个开区间(),,22k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭上为增函数D 、在每一个开区间()2,2,22k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭上为增函数2、函数2tan 34y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为 （ ）A 、6π B 、3π C 、2π D 、23π 3、要得到tan y x =图象，只需将tan 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象 （ ）A 、向左平移6π个单位 B 、向左平移12π个单位 C 、向右平移6π个单位 D 、向右平移12π个单位 4、给出下列四个命题，其中正确的是 （ ） A 、函数tan y x =是增函数 B 、sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期是π C 、函数cos y x =在()72,24k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦上是增函数 D 、函数tan 4y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭是周期函数5、如果()0,2x π∈，函数y =的定义域是 （ ）A 、{}0x x π<< B 、2x x ππ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭C 、2x x ππ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭D 、322x x ππ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭6、直线,(y a a =为常数）与正切曲线tan ,(y x ωω=为常数，且0)ω≠相交的两相邻点间的距离为 （ ）A 、πB 、2πωC 、πωD 、与a 有关 7、函数()2tan tan xf x x=的定义域为 （ ） A 、{x x R ∈且,}4k x k Z π≠∈ B 、{x x R ∈且,}2x k k Z ππ≠+∈ C 、{x x R ∈且,}4x k k Z ππ≠+∈ D 、{x x R ∈且,}4x k k Z ππ≠-∈8、函数()lg 1y tanx =-的定义域是 9、函数3tan ,(44t x x ππ=≤≤且)2x π≠的值域是10、函数2tan 2tan 3y x x =-+的最小值是 11、给出下列命题：① 函数sin y x =不是周期函数； ② 函数tan y x =在定义域内是增函数；③ 函数1cos 22y x =+的周期是2π； ④ 5sin 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是偶函数。
高中数学《正切函数的性质与图象》教案
高中数学《正切函数的性质与图象》教案【教学目标】1. 理解正切函数的定义和定义域；2. 掌握正切函数的性质及其图象的基本形态；3. 能够应用正切函数解决实际问题。
【教学重点】正切函数的性质及其图象的基本形态。
【教学难点】正切函数图象的基本形态。
【教学方法】讲解、演示、练习。
【教学过程】一、引入新知识1. 复习：请同学回忆弧度制和角度制的换算公式。
2. 导入：请同学观察下图，思考两个角度相等的三角函数值之间有什么关系。
（图片）通过观察可以发现，当角度相同时，正切函数值相等。
3. 引入正切函数：引导同学利用上一步得出的规律，介绍正切函数的定义和定义域。
二、正切函数的性质及其图象的基本形态1. 正切函数的奇偶性引导同学利用正切函数的定义推导出其奇偶性。
正切函数为奇函数。
（公式）2. 正切函数的周期性引导同学利用正切函数的定义推导出其周期性。
正切函数的周期为π。
3. 正切函数的单调性（图片）通过上面的图象可以发现，正切函数在定义域内是上升函数或下降函数，其增减性取决于所处的区间。
可以利用正切函数的定义证明。
（公式）4. 正切函数的最值在π/2 + kπ (k ∈ Z) 处取得最大值为正无穷，-π/2 + kπ (k ∈ Z) 处取得最小值为负无穷。
5. 正切函数图象的基本形态介绍正切函数的图象并指导同学进行观察、总结和解析。
（图片）三、练习1. 请根据正切函数的定义确定下列函数的定义域。
（公式）2. 请根据正切函数的定义证明其为奇函数。
3. 请绘制 y = tan x 在一个周期内的图象，并指出其增减性、最值和周期。
【课堂总结】1. 完成课堂小结，回顾本节内容。
2. 布置作业：完成课后习题。
正切函数的性质与图象 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
观察正切曲线可知，正切函数在区间
,
上单调递增.由正切函数的周期性
可得,正切函数在每一个区间
k,
k
(k
Z)
上都单调递增.
当
x
,
时，
tan
x
在
(,
)
内可取到任意实数值，但没有最大值、最小值.
①定义域：把“
x
”作为一个整体，令
x
k
(k
Z)
，可得
x
的取值
范围，即得函数的定义域.
②值域： (, ) .
③单调区间：（a）把“x ( 0) ”作为一个整体；（b） A 0(A 0) 时，函数的
单调性与
y
tan
x
x
k
,
k
Z
的单调性相同（反）；
（c）解不等式
k
x
k
(k
Z)
，得出
x
我们可以证 明一下吗？
正切函数周期证明：
（1）当
k
是偶函数时，
tan
x
kπ
sin x cos x
kπ kπ
sin cos
x x
tan
x
；
（2）当
k
是奇函数时，
tan
x
kπ
sin x cos x
kπ kπ
sin cos
x x
tan
x
；
综上，有 tan x kπ tan x ，其中 x R ，且 x π mπ,m Z, k Z
tan
9 4
tan
高中数学《正切函数的性质与图象》说课逐字稿
高中数学《正切函数的性质与图象》说课稿尊敬的各位老师，大家好，我是(高中数学组6号考生。
今天，我说课的内容是正切函数的性质与图象。
新课标指出：高中数学课程对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系，认识数学的科学价值、文化价值，提高提出问题、分析和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用。
今天我将贯彻这一理念，从教材分析，学情分析，教学目标，教学重难点，教学过程等几个方面来加以说明。
一、说教材首先，来谈一下我对教材的理解。
正切函数的图象与性质是人教A版必修4第1章三角函数中的内容。
本节课着重讲授的是正切函数的性质与图象，教材先是利用以前学习的知识研究正、余弦函数性质，然后借助函数的性质去研究函数的图象，本节课就是从一个全新的角度来研究正切函数的性质与图象。
前面我们已经学习了正余弦函数的基本性质和图象，三角函数中的一些诱导公式，作图法等的内容，为本节课的学习打下了良好的基础，从学生已有的知识经验出发，引导学生发现问题、解决问题，为了解三角函数的学习起到了铺垫的作用。
二、说学情接下来谈谈学生的实际情况。
高中一年级的学生虽然刚刚步入高中需要适当的适应高中的教学方式，但是学生的观察能力、总结能力、归纳能力、类比能力、抽象等能力已经发展的比较成熟。
所以教学中，可以将更多的活动交给学生进行探究。
还可以进行自主学习。
提高学生的各方面的能力。
三、说教学目标根据以上对教材的分析以及对学情的把握，我制定了如下三维目标：【知识与技能】理解正切函数的定义及正切函数的图象特征，研究并掌握正切函数的基本性质。
【过程与方法】在探究正切函数基本性质和图象的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力。
【情感态度与价值观】亲身经历数学研究的过程，增强学习数学的兴趣，养成良好的数学学习习惯。
四、说教学重难点针对教材以及学情的分析，教学目标的制定，本节课的重点是：正切函数的图象及基本性质。
高一数学：正切函数的图象与性质
明学习目标知结构体系课标要求1.了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质．2.能够利用正切函数的图象与性质解决相关问题．重点难点重点：正切函数的图象和性质．难点：正切函数图象和性质的应用.1．正切函数的图象(1)正切函数y ＝tan x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈(2)正切函数的图象称作正切曲线．(3)正切函数的图象特征：正切曲线是由被相互平行的直线x ＝π2＋k π(k ∈Z )所隔开的无穷多支曲线组成的．这些直线称作正切曲线各支的渐近线．2．正切函数的性质(1)一般地，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的最小正周期是T ＝πω.若不知ω的正负，则该函数的最小正周期为T ＝π|ω|.(2)正切函数无单调递减区间，在每一个单调区间内都是单调递增的，并且每个单调区间均为开区间．(3)正切函数在定义域内不是单调函数．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正切函数为定义域上的增函数．()(2)正切函数存在闭区间[a ，b ]，使y ＝tan x 是增函数．()(3)若x 是第一象限的角，则y ＝tan x 是增函数．()(4)正切函数y ＝tan x 的对称中心为(k π，0)(k ∈Z )．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×2．函数y ＝tan 3x 的最小正周期是________．解析：函数y ＝tan 3x 的最小正周期是π3.答案：π33．函数y ＝tan 2x 的定义域为________．解析：由正切函数的定义知，若使y ＝tan 2x 有意义，则2x ≠k π＋π2(k ∈Z )．解得x ≠k π2＋π4(k ∈Z )．答案：|x ≠k π2＋π4，k ∈Z 4．不等式tan x ≥1的解集是________．解析：因为tan x ≥1＝tan π4.所以π4＋k π≤x ＜π2＋k π，k ∈Z .答案：k π＋π4，k k ∈Z )——————————[题点一]——————————————————————————正切函数的图象及应用————————————————————————————————————————[典例]画出f (x )＝tan|x |的图象，并根据其图象判断其单调区间、周期性、奇偶性．[解]f (x )＝tan|x |化为f (xx ，x ≠k π＋π2，x ≥0 ∈Z ，x ，x ≠k π＋π2，x<0 ∈Z ，根据y ＝tan x 的图象，作出f (x )＝tan|x |的图象，如图所示，由图象知，f(x )不是周期函数，是偶函数，单调递增区间为0，π＋π2，k π＋32πk ∈N ＋)；单调递减区间为0，π－32π，k k ＝0，－1，－2，…)．[方法技巧作正切函数的简图一般用“三点两线法”．“三点”，－(0,0)，“两线”是指直线x ＝－π2和直线x ＝π2.在三点、两线确定的情况下，类似于五点(画图)法作图，可大致画出正切函数在上的简图，然后向左、向右延拓即得正切曲线．[对点训练]1．下列图形中分别是①y ＝|tan x |；②＝tanx ；③y ＝tan(－x )在致图象，那么由a 到c 对应的函数关系式应是()A ．①②③B ．①③②C ．③②①D ．③①②解析：选Ay ＝|tan x |≥0，其图象在x轴及其上方，只有图象a 符合，即a 对应①，排除C 、D.易知y ＝tan x 内的图象为图b ，即b 对应②，故排除B 选项．y ＝tan(－x )＝－tan x 上单调递减，只有图象c 符合，即c 对应③，故选A.2．不等式－1≤tan x ≤33的解集为________．解析：作出函数y ＝tan x 上的图象，如图所示．观察图象可得，在内，满足条件的x 的取值范围为－π4≤x ≤π6.由正切函数的周期性知，不等式的解集为|－π4＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z答案：|－π4＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ——————————[题点二]——————————————————————————正切函数的定义域和值域问题————————————————————————————————————————[典例](1)函数y ＝4－x 2的定义域为()A.－2，－π2，π2C.－2，－，π2D.－2，－(2)已知f (x )＝tan ωx (0<ω<1)在区间0，2π3上的最大值为3，则ω＝()A.12B ．13C.23D ．34[解析](1)由题意可得－，－x 2≥0，，2－4≤0，π<x －π4≤π4＋k π k ∈Z ，≤2，π<x ≤π2＋k π k ∈Z ，≤2，解得－2≤x ≤－π2或－π4<x ≤π2，因此，函数y ＝，－，π2.(2)因为x ∈0，2π3，即0≤x ≤2π3，又0<ω<1，所以0≤ωx ≤2ωπ3＜2π3，所以f (x )max ＝tan2ωπ3＝3＝tan π3，所以2ωπ3＝π3，ω＝12.[答案](1)C(2)A[方法技巧求正切函数定义域、值域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义，即x ≠π2＋k π，k ∈Z .(2)求正切型函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx ＋φ”视为一个“整体”．令ωx ＋φ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x .(3)处理正切函数值域问题时，应注意正切函数自身值域为R ，将问题转化为某种函数的值域求解．[对点训练]1．函数y ＝tan )k ∈Zπ－π4，k k ∈Zk ∈Zπ＋π4，k k ∈Z解析：选A 函数y ＝tan 中，π4－2x ≠π2＋k π，k ∈Z .解得x ≠－k π2－π8，k ∈Z ，k ∈Z .2．函数y ＝x ∈－π6，5π12的值域是()A.[－2，2]B ．[－1，1]C.[－23，2]D ．[－3，1]解析：选C对于函数y ＝∵x ∈－π6，5π12，∴x －π6∈－π3，π4，∴y ＝－23，2]，故选C.——————————[题点三]—正切函数的单调性及应用————————————————————————————————————————[典例](1)函数)k π－2π3，2k k ∈Zk π－5π3，2k k ∈Z )k π－2π3，4k k ∈Zπ－5π3，k k ∈Z )(2)下列不等式中正确的是()A ．tan 3π5>tan2π5B ．tan 4>tan 3C ．tan 281°>tan 665°D ．[解析](1)解不等式k π－π2<x 2＋π3<k π＋π2(k ∈Z )，可得2k π－5π3<x <2k π＋π3(k ∈Z )，因此，函数y ＝tan k π－5π3，2k k ∈Z )．(2)tan 3π5<0，tan 2π5>0，所以A 选项错误；因为π2<3<π，π<4<32π，所以tan 3<0，tan 4>0，B 选项正确；tan 281°＝tan (－79°)，tan 665°＝tan (－55°)，正切函数y ＝tan x 所以tan 281°<tan 665°，C 选项错误；tan －12π5＝，正切函数y ＝tan x 上单调递增，所以D 选项错误．[答案](1)B(2)B[方法技巧1．运用正切函数单调性比较大小的方法(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．(2)运用单调性比较大小关系．2．求函数y ＝tan(ωx ＋φ)的单调区间的方法y ＝tan(ωx ＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx ＋φ看成一个整体，解－π2＋k π<ωx ＋φ<π2＋k π，k ∈Z 即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．[对点训练]1．在tan 2π7，tan 3π7，tan 4π7，tan 5π7中值最大的是()A ．tan2π7B ．tan3π7C ．tan4π7D ．tan5π7解析：选B因为0<2π7<3π7<π2<4π7<5π7<π，故tan 2π7，tan 3π7>0且tan 4π7，tan 5π7<0.又正，上单调递增，故tan 2π7<tan 3π7.故tan 3π7最大．2.若函数y ＝tan ωx 在(－π，π)上是递增函数，则ω的取值范围是________．解析：根据题设可知ω＞0，∵又函数y ＝tan ωx (ω＞0)在(－π，π)上是递增函数，∴k π－π2≤ω·(－π)，且ω·π≤π2＋k π，k ∈Z ，∴求得ω≤12－k ，且ω≤12＋k ，k ∈Z ，∴ω≤12，∴，12.答案：，12——————————[题点四]——————————————————————————与正切函数有关的奇偶性、周期性、对称性问题————————————————————————————————————————[典例](1)若f (x )＝tan ωx (ω＞0)的周期为1，则f )A ．－3B ．－33C.33D ．3(2)关于x 的函数f (x )＝tan(x ＋φ)有以下几种说法：①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数；②f (x 对称；④f (x )是以π为最小正周期的周期函数．其中正确说法的序号是________．[解析](1)∵f (x )＝tan ωx (ω＞0)的周期为πω＝1，∴ω＝π，即f (x )＝tan πx ，则tan π3＝ 3.(2)①若取φ＝k π(k ∈Z )，则f (x )＝tan x ，此时，f (x )为奇函数，所以①错误；观察正切函数y ＝tan x 的图象，可知y ＝tan x 的图象关于点k ∈Z )对称，令x ＋φ＝k π2(k ∈Z ，得x ＝k π2－φ(k ∈Z )，分别令k ＝1,2，可得x ＝π2－φ，π－φ，故②③正确；④显然正确．[答案](1)D(2)②③④[方法技巧1．函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)周期的求解方法(1)定义法．(2)公式法：对于函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)，它的最小正周期T ＝π|ω|.(3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少函数值重复出现．2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系．[提醒]y ＝tan x ，x ≠k π＋π2，k ∈Z k ∈Z .[对点训练]1.若函数f (x )＝tan ωx (ω＞0)的图象的相邻两支截直线y ＝1所得的线段长为π4，则f )A ．0B ．33C ．1D ．3解析：选D ∵f (x )＝tan ωx 的图象的相邻两支截直线y ＝1所得的线段长度即为函数的周期，∴该函数的周期是π4，∴πω＝π4(ω＞0)，解得ω＝4，∴f (x )＝tan 4x ，∴tan π3＝ 3.2．(多选)下列关于函数f (x )＝tan 的相关性质的命题，正确的有()A ．f (x |x ≠π8＋k π2，k ∈ZB ．f (x )的最小正周期是πC ．f (x k ∈Z )D ．f (x k ∈Z )解析：选AC对于A 选项，令2x ＋π4≠π2＋k π(k ∈Z )，解得x ≠k π2＋π8(k ∈Z )，则函数y ＝f (x |x ≠π8＋k π2，k ∈Z A 选项正确；对于B 选项，函数y ＝f (x )的最小正周期为π2，B 选项错误；对于C 选项，令k π－π2<2x ＋π4<k π＋π2(k ∈Z ，解得k π2－3π8<x <k π2＋π8(k ∈Z )，则函数y ＝f (x k ∈Z )，C 选项正确；对于D 选项，令2x ＋π4＝k π2(k ∈Z )，解得x ＝k π4－π8(k ∈Z )，则函数y ＝f (x k ∈Z )，D 选项错误．发展理性思维1．函数y ＝tan(cos x )的值域是()A.－π4，π4B ．－22，22C ．[－tan 1，tan 1]D ．以上均不对解析：选C ∵－1≤cos x ≤1，且函数y ＝tan x 在[－1,1]上为增函数，∴tan(－1)≤tan x ≤tan 1，即－tan 1≤tan x ≤tan 1.2．函数f (x )＝lg(tan x ＋1＋tan 2x )()A ．是奇函数B ．既是奇函数又是偶函数C ．是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数解析：选A ∵1＋tan 2x ＞|tan x |≥－tan x ，∴f (x |x ≠k π＋π2，k ∈Z 关于原点对称，又f (－x )＋f (x )＝lg(－tan x ＋1＋tan 2x )＋lg(tan x ＋1＋tan 2x )＝lg 1＝0，∴f (x )为奇函数，故选A.3．已知函数y ＝tan ωx 内是减函数，则()A ．0＜ω≤1B ．－1≤ω＜0C ．ω≥1D ．ω≤－1解析：选B 因为y ＝tan x 上单调递增，所以易知ω＜0，又y ＝tan ωx (ω＜上单调递减，所以其最小正周期T ＝π|ω|≥π，综上，－1≤ω＜0.强化拓广探索4．我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组“平行曲线”，“平行曲线”具有性质：任意两条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等．已知函数f (x )＝ω＞0)图象中的两条相邻“平行曲线”与直线y ＝2021相交于A ，B 两点，且|AB |＝2，则)A.3B ．6－2C.2－3D ．－2－3解析：选A 由题意知，函数f (x )的最小正周期T ＝|AB |＝2，所以πω＝2，解得ω＝π2，所以f (x )＝，所以tan π3＝ 3.5．是否存在实数k ，使得当x ∈π6，π3时，k ＋tan 0？若存在，解求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由．：假设存在实数k 符合题意，则k≤tanx ∈π6，π3上恒成立，∴k小于或等于tan 的最小值，其中x ∈π6，π3.当x ∈π6，π3时，0≤，∴k ≤0.故存在实数k ，其取值范围为(－∞，0]．。
《正切函数的图像与性质》教学设计
§1.4.3 《正切函数的图像与性质》教学设计一、教材分析《正切函数的图象和性质》 它前承正、余弦函数，后启必修二中的直线斜率问题。
研究正切函数的图象与性质过程不仅是对正、余弦曲线研讨方法的一种再现，更是一种提升，同时又为后续的学习奠定了基石。
教材的安排是先研究正切函数的性质，再根据性质来画出图像。
但是我对这节课进行了调整，先由正切线和正切函数部分性质来画出图像，再更加直观的研究正切函数的其他性质。
正弦函数在研究方法上类似，我采用以类比的方式，让学生回忆正弦曲线的作图过程与方法，进而启发、引导学生发现作正切曲线的一种方法。
教材上直接圈定了区间（2,2ππ-），这样限制了学生的思维，我把问题留给学生思考，采用让学生自己选择周期，并比较得出最优区间，激发学生的思考能力。
二、教学目标 1．知识与技能体会类比方法在画正切函数图像发挥的作用，会画正切函数的草图。
通过图像观察性质，培养观察分析、归纳总结的能力。
在对性质进行归纳总结后，还要能对性质进行简单的应用。
2. 过程与方法 引导学生分析正切函数的周期性和在（2,2ππ-）的奇偶性，简化用正切线画正切函数图像的方法，让学生学会思考从本身函数性质入手简化问题，再反过来由图像归纳其性质的研究方法。
3. 情感态度与价值观在画图像过程中，感受其对称美。
三、教学重点与难点 1. 教学重点画正切函数的图像，归纳其性质，会简单应用性质。
2. 教学难点分析并用正切线画出正切函数的图像。
四、教学流程设计 （一）复习引入如何用正弦线作正弦函数图像的呢？引导学生用同样的方法作正切函数图像。
（二）探究用正切线作正切函数图像 师生活动：回顾：正切线的作法师生活动：分析：正切函数x y tan =是否为周期函数？（教师作适当引导，得出正切函数的最小正周期为π，大部分学生会认为是π2）学生活动：思考问题：先作正切函数哪个区间上的图像呢？（可以是()π,0吗？（图像会间断）引发学生思考）[设计意图] 引导学生用类比的思维方法得到先画出正切函数一个周期内的图像，并放手让学生自己去选择区间，从而自然地解释选择的最优区间为⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ。
高一数学正切函数的图象和性质通用版
高一数学正切函数的图象和性质通用版【本讲主要内容】正切函数的图象和性质【知识掌握】 【知识点精析】 1. 正切函数的图象由诱导公式：tan()sin()cos()sin cos tan x x x xxx +=++=--=πππ，其中Z k k x R x ∈π+π≠∈，且2， 得到正切函数y x =tan 是周期函数，π是它的最小正周期。
根据正切函数的定义域和周期性，我们取x ∈-()ππ22，，利用单位圆中的正切线，作出y x x =∈-tan ()，，ππ22的图象（如图1），而后向左、右扩展，图1即得到函数y x x R x k k Z)=∈≠+∈tan (，且ππ2的图象（如图2），并把它叫做正切曲线。
图22. 正切函数的性质 （1）定义域：{|}x x R x k k z ∈≠+∈且，ππ2。
（2）值域：R ，函数无最大值、最小值。
（3）周期性：tan()tan π+=x x ，是周期函数，周期是π。
（4）奇偶性：tan()tan -=-x x ，是奇函数，图像关于原点对称。
（5）单调性：在每一个开区间()k k k z ππππ-+∈22，，内均为增函数。
注意：正切函数y x x k k k z =∈-+∈tan ()()，，ππππ22是单调增函数，但不能说函数在其定义域内是单调增函数。
（6）对称性：正切函数y=tanx 是中心对称图形，其对称中心的坐标是()k π20，（k Z ∈）。
3. 本节应重点掌握的内容：（1）正切函数y=tanx 的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈π+π≠∈Z k k x R x x ，，且2|；值域为R 。
（2）正切函数y x =tan 的图象是由互相平行的直线x k k Z)=+∈ππ2(隔开的无穷多支曲线组成的，在相邻两条平行线之间的图象是连续变化的。
（3）正切函数y=tanx 在每一个开区间（k k ππππ-+22，）(k Z)∈上是增函数，但不能说正切函数在其定义域内是增函数。
高一数学正切函数的图像与性质1
1、定义域 2、值域
1 5 x x | x R且x k ，k Z 3 18 yR
3、单调性
4、奇偶性 5、周期性
1 5 1 在x k , k 上是增函数； 18 3 18 3
非奇非偶函数
最小正周期是 3
值域 : R
k x k 2 4 2 3 k x k 4 4 3 函数的单调增区间是 k , k , k Z 4 4
y tan t的单调增区间是 - k , k , k Z 2 2
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接将面前厚厚の冰层,给烧出了壹条通道,自己所呆の地方立即变成了壹个水帘洞,冰层都被融化成冰水了丶"不知道又过了多久了。"导致他在这里壹下子进入了闭关了,不知不觉の被冰层给封印了,连他自己都不清楚现在过了多久了丶根汉看了看这个冰窟の四周,冰窟里面被人为の开挖出了 许多の小房间,每个小房间里面都放了壹些方形の冰块丶这个地方俨然是被他们拿来取冰用の,因为现在外面正是夏季,常年酷署难耐,高温环境下,他们是需要用大量の冰块の丶冰窟の内部空间并不是特别大,也只有十个八个足球场那么大,根汉在这里面转了几圈,也没有什么别の发现丶根汉 想了半天,也没想明白,到底是怎么回事,自己怎么进入了闭死关了丶既然没有收获,根汉也没有再在这里呆下去了,很快从里面出来了丶他们の修为都不是特别高,但是特别均匀,都达到了大概魔神两三重の水平,还算是不错の实力丶两人在面守着,其余十人迅速下了冰窟,估计是去搬冰块,装 芥子去了丶"还好,只是在下面被封印了三个月,没有太长丶"不过根汉壹扫他们の元灵,倒得知了壹些其它の信息,原来这些家伙是北王候府の守卫兵,他们这回来这里搬冰块是为了两天后,
高一数学正切函数的图象与性质
在
内增加时，正切函数值发生
什么变化？由此反映出一个什么性质？
yБайду номын сангаас
T2
O
O
Ax
T1
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1.4.3 正切函数的图象与性质
问题提出
1.正、余弦函数的图象是通过什么方法 作出的？
2.正、余弦函数的基本性质包括哪些内 容？这些性质是怎样得到的？
3.三角函数包括正、余弦函数和正切函 数，我们已经研究了正、余弦函数的图 象和性质， 因此, 进一步研究正切函数 的性质与图象就成为学习的必然.
知识探究（一）：正切函数的性质
高一数学《正切函数的性质与图像》教案
§1.4.3 正切函数的性质与图象教学目标：1，能够根据研究正弦函数、余弦函数的性质与图象的经验，以同样的方法研究正切函数的性质与图象．2，能够借助图象理解正切函数在(,)22ππ-上的性质（如单调性、奇偶性、图象与x 轴的交点等），了解正切函数的周期性．3，会用单位圆中的正切线画出正切函数的图象．教学重点：正切函数的性质．教学难点：正切函数的性质的应用．教学过程：一、复习引入：1、复习正弦函数、余弦函数性质：定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、最大值与最小值2、回忆正弦曲线的作图过程，思考正切函数的图像如何做出？二、讲授新课：1，正切函数x y tan =的图象。
① 首先考虑定义域：()z k k x ∈+≠2ππ② 为了研究方便，再考虑一下它的周期：()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+≠∈=--=++=+z k k x R x x x xx x x ,2,t a n c o s s i n c o s s i n t a n πππππ且⎪⎭⎫⎝⎛∈+≠∈=∴z k k x R x x y ,2,t a n ππ且的周期为π=T （最小正周期）③ 因此我们可选择⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ的区间作出它的图象。
根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数R x xy ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ2的图象，称“正切曲线”2，正切函数的性质 引导学生观察，共同获得：① 定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠z k k x x ,2|ππ， ② 值域：R观察：当x 从小于()z k k ∈+2ππ，2π+π−→−k x 时，∞−→−x tan 当x 从大于()z k k ∈+ππ2，ππk x +−→−2时，-∞−→−x tan 。
③ 周期性：π=T④奇偶性：()x x tan tan -=-奇函数。
⑤单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增。
人教版高中数学必修1《正切函数的性质与图象》PPT课件
[微思考] 正切函数 y＝tan x 的图象与 x＝kπ＋π2，k∈Z 有公共点吗？ 提示：没有．正切曲线是由被互相平行的直线 x＝kπ＋π2(k∈Z )隔开的无穷
多支曲线组成的．
(二)基本知能小试 1．判断正误
(1)正切函数的值域是 R . (2)正切函数图象是中心对称图形，有无数个对称中心． (3)正切函数图象有无数条对称轴，其对称轴是 x＝kπ±π2，k∈Z . 答案：(1) √ (2)√ (3)×
3．函数 f(x)＝tan ωx(ω＞0)的图象的相邻两支截直线 y＝1 所得的线段长为π4，
则 f1π2的值是
()
A．0
B.
3 3
C．1
D. 3
解析：∵f(x)＝tan ωx 的图象的相邻两支截直线 y＝1 所得的线段长度即为函数
的周期，∴该函数的周期是π4，∴ωπ＝π4(ω＞0)，解得 ω＝4，
() () ()
2．y＝tan x A．在整个定义域上为增函数 B．在整个定义域上为减函数
()
C．在每一个开区间－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z )上为增函数
D．在每一个闭区间－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z )上为增函数 解析：因为正切函数的图象不连续，结合函数的定义域与图象知，增区间为
－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z )．
•二、创新性——强调创新意识和创新思维
• 阅读正切、余切等三角函数的由来
• 古人立杆测日影以定时间，后来发展成为日晷，在中国 有周公测影的记载(约公元前1100年)．希腊泰勒斯(约公元 前 625— 前 547) 利 用 日 影 确 定 金 字 塔 的 高 ． 我 国 唐 代 一 行 (原名张遂，683—727)创制《大衍历》，在实测的基础上 利用三次内插法算出每个节气初日8尺之表的日影长，实际 上相当于一个正切表．
高一数学必修四课件时正切函数的图象与性质
正切函数的定义域是 除去余弦函数等于0 的点，即θ≠π/2+kπ （k∈Z）。
与其他三角函数复合关系
正切函数与余切函数互为倒数，即tanθ·cotθ=1。
正切函数与正割函数、余割函数之间有关系，即tanθ=1/cotθ=secθ/cscθ。
正切函数在三角恒等式中的应用
在三角恒等式中，正切函数经常与其他三角函数一起出现，如tan^2θ+1=sec^2θ ，1-tan^2θ=cot^2θ等。
在解三角不等式时，正切函数的单调性可以 帮助确定解的范围。
在解三角形中的应用
在解直角三角形时，正切函数可 以用来求解锐角或钝角的度数。
对于一般三角形，可以通过正切 定理求解三角形的边长或角度。
正切函数还可以应用于三角形的 面积计算，如利用半长轴和半短
轴计算椭圆面积。
在实际问题中的应用
在物理中，正切函数可以用来 描述简谐振动、波动等现象。
03
正切函数性质探讨
奇偶性
正切函数是奇函数，即满足$f(-x)=-f(x)$。
正切函数的图像关于原点对称，即如果$(x,y)$在图像上，则$(-x,-y)$也在图像上 。
单调性
在每一个开区间$(frac{pi}{2}+kpi,frac{pi}{2}+kpi)$（ $kin Z$）内，正切函数是增函数。
正切函数在x = π/2 + kπ（k为 整数）处存在间断点，即在这些 点上函数值不存在。因此，正切 函数的图象在这些点上是不连续
的。
渐近线
正切函数的图象具有无数条渐近 线，即当x趋向于π/2 + kπ（k为 整数）时，函数值趋向于无穷大 或无穷小。这些渐近线与x轴平 行，且相邻两条渐近线之间的距
高一数学正切函数的图象和性质
（1） 定义域
正切函数的定义域：
{x | x
2
k , k Z }
。遇到有关正切函数问题时，
你注意到正切函数的定义域了吗？ （2） 值域 正切函数的值域是 R，在上面定义域上无最大值也无最小值； （3） 周期性 正切函数是周期函数且周期是 ，它与直线 y a 的两个相邻交点之 间的距离是一个周期 。绝对值或平方对三角函数周期性的影响： 一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦 减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值， 其周期性不变，其它不定。 如 y sin
y sin x cos x
2
x, y sin x
的周期都是 , 但
1 y | 2sin(3x ) |, y | 2sin(3x ) 2 | 6 2 6 的周期为 2 ，而 ，
y | tan x | 的周期不变；
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（4）奇偶性与对称性
k ,0 k Z 正切函数是奇函数，对称中心是 2 ，特别提醒：正(余)切
型函数的对称中心有两类：一类是图象与 x 轴的交点，另一类是渐近 线与 x 轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。
（5）单调性
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k , k k Z 2 2 正切函数在开区间 内都是增函数。但要注意在
整个定义域上不具有单调性。
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高一数学《正切函数的性质与图象》(课件)
y
, )上的图象： 2 2
2
o
x
2
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制作 05
2010年下学期
作出 y tanx在区间 (
y
, )上的图象： 2 2
2
o
x
2
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2010年下学期
利用正切线画出函数图象如下：
y
O1
2
4
1
O
1
4
2
x
y tan x , x (
y
, )上的图象： 2 2
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作出 y tanx在区间 (
y
, )上的图象： 2 2
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o
x
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作出 y tanx在区间 (
y
, )上的图象： 2 2
y
, )上的图象： 2 2
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作出 y tanx在区间 (
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, )上的图象： 2 2
2
o
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作出 y tanx在区间 (
人教版高一数学正切函数的图象与性质 教案
高一数学正切函数的图象与性质课题：正切函数的图象与性质 教学目标： 1．知识目标：（1）用单位圆中的正切线作正切函数的图象； （2）用正切函数图象解决函数有关的性质； 2．能力目标：（1）理解并掌握作正切函数图象的方法； （2）理解用函数图象解决有关性质问题的方法； 3．德育目标：培养认真学习的精神；教学重点、难点：用单位圆中的正切线作正切函数图象；性质的研究 教学过程：一、温故知新，引入课题： 1．求函数y=3six （2x-3π）的对称轴。
2．求函数|)32sin(5|π+=x y 的周期；3．求函数|4)32sin(5|++=πx y 的周期；二、新课教学1．作出函数x y tan =的图象由诱导公式x x tan )tan(=+π，且x ∈R ，x ≠k π+π/2可得： 正切函数是周期函数，最小正周期是π，用单位圆作出它的图象是：根据正切函数的周期性，我们可以把图象向左、右扩展， 得到整个函数的图象——正切曲线。
2．可以看出，正切曲线是由相互平行的直线x=k π+π/2隔开的无穷多支曲线组成的 正切函数x y tan =的性质： （1）定义域},2,|{Z k k x R x x ∈+≠∈ππ（2）值域：实数集R ，没有最大值，也没有最小值； （3）周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是π；（4）奇偶性：由x x tan )tan(-=-可得，正切函数是奇函数，它的图象关于原点对称。
（5）单调性：从函数图象上可以看出，正切函数在每一个开区间Z k k k ∈++-),2,2(ππππ内都是增函数（在整个定义域内是增函数吗？）例题讲评（1）求函数)43tan(π+=x y 的定义域；（2）求函数)42tan(π+=x y 的周期；（3）求函数)42tan(π+=x y 的单调区间；（4）指出满足条件的x 的范围：3)23tan()3(;0)62tan()2(;0tan )1(>+-<->x x x ππyx（5）比较大小：)823tan(_____)719tan()4(305tan _____281tan )3()517tan(_____)413tan()2(143tan _____138tan )1(ππππ--︒︒--︒︒三、小结：1．因为正切函数x y tan =的定义域是},2,|{Z k k x R x x ∈+≠∈ππ，所以它的图象被, (2)3,2ππ±±=x 等相互平行的直线所隔开，而在相邻平行线间的图象是连续的。
高一下数 学必修4正切函数的性质与图象
教学过程：正切函数的性质与图象【知识要点】正切函数的性质与图象1．作正切函数的图象的两种方法(1)几何法：利用单位圆中的正切线来作出正切函数的图象，该方法作图较为精确，但画图时较繁琐． (2)三点两线法：“三点”是指，(),1,0,0,ππ,144⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，“两线”是指2πx =-和π2x =．在三点、两线确定的情况下，类似于“五点法”作图，可大致画出正切函数在2π,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上的简图，然后向左、向右扩展即得正切曲线．2．对正切函数性质的四点说明(1)研究正切函数的性质，首先要考虑正切函数的定义域，否则容易引起错误． (2)正切函数在整个定义域上不单调，但在每个单调区间上单调． (3)正切函数的值域为R ，但正切函数在定义域上无最值． (4)正切曲线x 轴的交点是正切函数的对称中心；直线()ππ2x k k +=∈Z 与x 轴的交点也是． 基本技能1．函数()y f x =和()y f x =图象的作法 (1)作函数()y f x =的图象的步骤：①作出函数()y f x =在y 轴右侧的那部分图象；②函数()y f x =是偶函数，故将y 轴右侧的那部分图象对称到y 轴的左侧，保留y 轴右侧的部分，即得到函数()y f x =的图象．(2)作函数()y f x =的图象的步骤：①作出函数()y f x =的图象；②将x 轴下方的那部分图象翻折到x 轴上方，保留x 轴上方的部分，即得到函数()y f x =的图象． 2．利用正切函数的单调性比较函数值大小的三个步骤 (1)转化：利用诱导公式将角度化到同一单调区间内． (2)比较：利用单调性比较函数值的大小． (3)结论：按一定顺序写出其大小关系．3．求函数()tan A x y ωϕ=+定义域、周期、单调性的方法(1)定义域：由ππ2x k ωϕ+≠+，k ∈Z ，求出的x 的取值范围即为函数的定义域，即 π,π2x x k k ϕω⎧⎫+⎪⎪⎪⎪≠∈⎨⎬⎪⎪⎪⎩-⎪⎭R ． (2)周期性：利用周期性函数的定义或直接利用公式πT ω=来求．(3)单调性：在求函数tan()y A x ωϕ=+(其中A ,ω,ϕ是常数，且0A ≠，ω>0)的单调区间时，首先要用公式把x 的系数化为正值，再利用整体代换的思想和正切函数的单调性求出单调区间，即由()ππππ22k x k k ωϕ-<+<+∈R ，求出x 的取值范围即可． 提醒：注意A 的正负对函数单调性的影响．【课堂新授】自主探究1．如图为正切函数3π3πtan ,,22y x x ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭的图象，根据图象回答下面的问题：(1)作正切函数ππtan ,,22y x x ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭的图象的三个关键点几两条直线是什么？(2)直线y a =与图象的两交点A 1，A 2之间的距离是多少？ (3)正切曲线与直线()ππ2x k k +=∈Z 存在怎样的关系？ 2．正切函数的性质根据正切函数的图象，探究下面的问题：(1)由正切曲线可知，正切函数的最小正周期为π，你能根据正切函数tan()y A x ωϕ=+(其中A ,ω,ϕ是常数，且0A >，ω>0)的周期推导出函数的周期吗？(2)结合正切函数的单调区间你能推导出函数tan()y A x ωϕ=+(其中A ,ω,ϕ是常数，且0A >，ω>0)的单调区间吗？(3)正切曲线是对称图形吗？对称中心是什么？ 理解正切函数的性质与图象 1．()n πta y x =+是（） A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数2．πtan 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为（）A ．π2B ．πC ．2πD ．3π3．函数()tan π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域是__________，6πf ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________． 4．函数tan 2y x =最小正周期为__________． 5．函数tan y x =-的单调递减区间是__________．【典型例题】正切函数的图象及应用1．函数1π2tan 3x y ⎛⎫- ⎝=⎪⎭在一个周期内的图象是（）A ．B ．C ．D ．2．若集合π(,)π2,,2tan A x y y x x ⎧⎫⎛⎫∈-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩==⎭，{}(,)B x y y x ==，则A ∩B 中有____个元素．变式训练1．若函数tan 1x >，则x 的取值区间____________________． 2．函数πtan 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域为____________________．3．比较大小：tan 56π⎛⎫- ⎪⎝⎭ 13tan 7π⎛⎫- ⎪⎝⎭．正切函数的性质3．与函数πtan 24y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭+的图象不相交的一条直线是A ．π2x =B ．2πx =-C ．π4x =D ．π8x =4．函数(n 4)πta x f x ω⎛=-⎫ ⎪⎝⎭与函数()sin 24πg x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期相同，则ω=（）A ．±1B ．1C ．±2D ．25．tan 2与tan 3的大小关系是______________．变式训练4．函数13tan 23πy x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的一个对称中心是（）A ．π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2π,3⎛- ⎝C ．02π,3⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()0,05．若函数tan 3)(3π0y ax a ⎛⎫ ⎪⎝⎭≠=-的最小正周期为π2，则a =_______．【课堂练习】1．关于x 的函数f (x )=tan (x +φ)有以下说法： (1)对任意的φ，f (x )既不是奇函数也不是偶函数； (2)不存在φ，使f (x )既是奇函数又是偶函数； (3)存在φ，使f (x )是奇函数；(4)对任意的φ，f (x )都不是偶函数．其中不正确的说法的序号是 ．因为当φ= 时，该说法的结论不成立．【课外练习】1．求函数y =tan2x 的定义域、值域和周期，并作出它在区间()ππ,-内的图象．。
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π π
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2
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2010年下学期
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制作 06
三、动手操作，画出图象： 动手操作，画出图象：
( 上的图象： 作出y = tanx在区间 , )上的图象： 2 2 y
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2010年下学期
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三、动手操作，画出图象： 动手操作，画出图象：
在开区间 + kπ , + kπ ) ( 2 2 5. 单调性：_________________________ . 单调性： k ∈Z内，函数单调递增
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二、提出问题，确定目标： 提出问题，确定目标：
怎样画正切函数的图象？ 怎样画正切函数的图象？ 由于正切函数是周期函数, 且它 由于正切函数是周期函数 的最小正周期为π， 的最小正周期为 ，因此可以考虑先 在一个周期内作出正切函数的图象. 在一个周期内作出正切函数的图象
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定义域： 定义域：x ≠ kπ +
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π
2
(k ∈Z)
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周期：
sin( x +π ) sin x Qtan( x +π ) = = cos(x +π ) cos x = tan x ( x ∈R,且x ≠ kπ + ∴ y = tanx ( x ∈R,且x ≠ kπ + T 的周期为 = π
1. 定义域：______________________ . 定义域：
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四、观察归纳，总结性质： 观察归纳，总结性质：
观察正切曲线的特点, 归纳其性质: 正切曲线的特点 归纳其性质:
1. 定义域：______________________ . 定义域： 2
{x | x ≠
π
+ kπ , k ∈Z}
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四、观察归纳，总结性质： 观察归纳，总结性质：
观察正切曲线的特点, 归纳其性质: 正切曲线的特点 归纳其性质:
1. 定义域：______________________ . 定义域： 2 2. 值域：_________ . 值域：
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三、动手操作，画出图象： 动手操作，画出图象：
( 上的图象： 作出y = tanx在区间 , )上的图象： 2 2 y
π π
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2
o
π x
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三、动手操作，画出图象： 动手操作，画出图象：
( 上的图象： 作出y = tanx在区间 , )上的图象： 2 2 y
R 2. 值域：_________ . 值域：
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观 察：
当x 从小于kπ +
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2
(k ∈Z ),
x → kπ + 时， x → +∞ tan ; 2 ), 当x 从大于kπ (k ∈Z 2
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π
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x → kπ 时， x → ∞ tan 2
一、复习旧知，以旧悟新： 复习旧知，以旧悟新：
1. 正切函数的定义？定义域？ 正切函数的定义？定义域？ 2. 正切函数是否是一个周期函 数？若是，最小正周期是多少？ 若是，最小正周期是多少？
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一、复习旧知，以旧悟新： 复习旧知，以旧悟新：
1. 正切函数的定义？定义域？ 正切函数的定义？定义域？ 2. 正切函数是否是一个周期函 数？若是，最小正周期是多少？ 若是，最小正周期是多少？
( 上的图象： 作出y = tanx在区间 , )上的图象： 2 2 y
π π
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三、动手操作，画出图象： 动手操作，画出图象：
( 上的图象： 作出y = tanx在区间 , )上的图象： 2 2 y
π π
π
2
o
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怎样确定正切函数的一个周期呢？ 怎样确定正切函数的一个周期呢？
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怎样确定正切函数的一个周期呢？ 怎样确定正切函数的一个周期呢？
的定义域为： {x 因为 y = tanx 的定义域为： | x ≠ kπ +
π
2
, (k ∈Z)}, 所以可以确定一个
周期为( , ) . 2 2
正切函数的图象和性质
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一、复习旧知，以旧悟新： 复习旧知，以旧悟新：
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一、复习旧知，以旧悟新： 复习旧知，以旧悟新：
1. 正切函数的定义？定义域？ 正切函数的定义？定义域？
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{x | x ≠
π
+ kπ , k ∈Z}
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四、观察归纳，总结性质： 观察归纳，总结性质：
观察正切曲线的特点, 归纳其性质: 正切曲线的特点 归纳其性质:
1. 定义域：______________________ . 定义域： 2
{x | x ≠
π
+ kπ , k ∈Z}
2
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三、动手操作，画出图象： 动手操作，画出图象：
( 上的图象： 作出y = tanx在区间 , )上的图象： 2 2 y
π π
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三、动手操作，画出图象： 动手操作，画出图象：
( 上的图象： 作出y = tanx在区间 , )上的图象： 2 2 y
π π
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三、动手操作，画出图象： 动手操作，画出图象：
( 上的图象： 作出y = tanx在区间 , )上的图象： 2 2 y
π π
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三、动手操作，画出图象： 动手操作，画出图象：
( 上的图象： 作出y = tanx在区间 , )上的图象： 2 2 y
π π
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三、动手操作，画出图象： 动手操作，画出图象：
( 上的图象： 作出y = tanx在区间 , )上的图象： 2 2 y
π π
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π
2
, k ∈Z ) , k ∈Z )
π
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(最小正周期 )
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二、提出问题，确定目标： 提出问题，确定目标：
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二、提出问题，确定目标： 提出问题，确定目标：
怎样画正切函数的图象？ 怎样画正切函数的图象？
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三、动手操作，画出图象： 动手操作，画出图象：
( 上的图象： 作出y = tanx在区间 , )上的图象： 2 2
π π
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三、动手操作，画出图象： 动手操作，画出图象：
( 上的图象： 作出y = tanx在区间 , )上的图象： 2 2 y
π π
π
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3. 周期性：________________ . 周期性： T = π 4. 奇偶性：_________________________ . 奇偶性： tan(x) = tan x奇函数
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3. 周期性：________________ . 周期性： T = π 4. 奇偶性：_________________________ . 奇偶性： tan(x) = tan x奇函数
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三、动手操作，画出图象： 动手操作，画出图象：
( 上的图象： 作出y = tanx在区间 , )上的图象： 2 2 y
π π
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π x
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三、动手操作，画出图象： 动手操作，画出图象：
( 上的图象： 作出y = tanx在区间 , )上的图象： 2 2 y
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π
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3. 周期性：________________ . 周期性：
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3. 周期性：________________ . 周期性： T = π