巩固练习_抛物线的方程与性质_基础
抛物线的练习题
抛物线的练习题抛物线的练习题在数学学科中，抛物线是一个经常出现的图形，它具有许多有趣的性质和应用。
通过解决抛物线的练习题，我们不仅可以加深对抛物线的理解，还可以提高我们的数学思维能力和解决问题的能力。
下面，我们来看一些关于抛物线的练习题。
练习题一：求顶点坐标已知抛物线的标准方程为 y = ax^2 + bx + c，其中a ≠ 0。
求抛物线的顶点坐标。
解答：顶点是抛物线的最高点或最低点，它的 x 坐标可以通过公式 x = -b/2a求得。
将 x = -b/2a 代入抛物线的方程，即可求得顶点的 y 坐标。
练习题二：求焦点坐标已知抛物线的焦点坐标为 F(x1, y1)，顶点坐标为 V(xv, yv)，且焦距为 p。
求抛物线的方程。
解答：根据抛物线的定义可知，焦点到抛物线上任意一点的距离等于该点到直线的距离。
利用这个性质，我们可以得到焦点坐标与顶点坐标之间的关系。
根据焦点到顶点的距离等于焦距 p，可以得到以下关系式：√((x1 - xv)^2 + (y1 - yv)^2) = p将抛物线的标准方程 y = ax^2 + bx + c 代入上述关系式，再利用顶点坐标的求解方法，可以得到抛物线的方程。
练习题三：求抛物线与直线的交点已知抛物线的方程为 y = ax^2 + bx + c，直线的方程为 y = mx + n。
求抛物线与直线的交点坐标。
解答：将直线的方程代入抛物线的方程，可以得到一个关于 x 的二次方程。
解这个二次方程，即可求得交点的 x 坐标。
将求得的 x 坐标代入直线的方程，即可求得交点的 y 坐标。
练习题四：求两条抛物线的交点已知两条抛物线的方程分别为 y1 = a1x^2 + b1x + c1 和 y2 = a2x^2 + b2x + c2，其中a1 ≠ 0，a2 ≠ 0。
求两条抛物线的交点坐标。
解答：将两条抛物线的方程相减，可以得到一个关于 x 的二次方程。
解这个二次方程，即可求得交点的x 坐标。
高中数学选择性必修一：3.3.3抛物线的方程与性质的应用精选考点提升训练
第三章 3.3.3抛物线的方程与性质的应用A 级——基础过关练1．过点P (0,1)与抛物线y 2＝x 有且只有一个交点的直线有( ) A ．4条 B ．3条 C ．2条D ．1条【答案】B 【解析】当直线垂直于x 轴时，满足条件的直线有1条；当直线不垂直于x 轴时，满足条件的直线有2条．2．与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线方程为( ) A ．2x －y ＋3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．2x －y ＋1＝0D ．2x －y －1＝0【答案】D 【解析】设切线方程为2x －y ＋m ＝0，与y ＝x 2联立得x 2－2x －m ＝0，Δ＝4＋4m ＝0，m ＝－1，即切线方程为2x －y －1＝0.3．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|F A |＝2|FB |，则k ＝( )A ．13B ．23C ．23D ．223【答案】D 【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易知x 1>0，x 2>0，y 1>0，y 2>0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2，y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，所以x 1x 2＝4①.因为|F A |＝x 1＋p 2＝x 1＋2，|FB |＝x 2＋p2＝x 2＋2，且|F A |＝2|FB |，所以x 1＝2x 2＋2②.由①②得x 2＝1或x 2＝－2(舍去)，所以B (1,22)，代入y ＝k (x ＋2)，得k ＝223.4．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝60°，过弦AB 的中点C 作该抛物线准线的垂线CD ，垂足为D ，则|AB →||CD →|的最小值为( )A ．3B ．1C ．233D ．2【答案】B 【解析】设|AF |＝a ，|BF |＝b ，由抛物线定义，得|AF |＝|AQ |，|BF |＝|BP |，在梯形ABPQ 中，所以2|CD |＝|AQ |＋|BP |＝a ＋b .由余弦定理得|AB |2＝a 2＋b 2－2ab cos 60°＝a 2＋b 2－ab ，配方，得|AB |2＝(a ＋b )2－3ab .又因为ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 2 2，所以(a ＋b )2－3ab ≥(a ＋b )2－34(a ＋b )2＝14(a ＋b )2，得到|AB |≥12(a ＋b )＝|CD |.所以|AB →||CD →|≥1，即|AB →||CD →|的最小值为1.5．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，该抛物线上点P 的横坐标为2，则|PF |＝________. 【答案】3 【解析】抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，因为P 到焦点F 的距离等于P 到准线的距离，P 的横坐标是2，所以|PF |＝2＋1＝3.6．设F 为抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，则|AB |＝________.【答案】32 【解析】由y 2＝8x ，得2p ＝8，p ＝4，则F (2,0)，所以过A ，B 的直线方程为y ＝33(x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝33x －2，得x 2－28x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝28，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝28＋4＝32.7．抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，点P 在抛物线上，若|PF |＝5，则点P 的坐标为________． 【答案】(3,26)或(3，－26) 【解析】设点P 的坐标为(x ，y )，∵|PF |＝5，∴2＋x ＝5，∴x ＝3.把x ＝3代入方程y 2＝8x ，得y 2＝24，∴y ＝±2 6.∴点P 的坐标为(3，±26)．8．已知在抛物线y ＝x 2上存在两个不同的点M ，N 关于直线y ＝kx ＋92对称，则k 的取值范围为________．【答案】⎝⎛⎭⎫－∞，－14∪⎝⎛⎭⎫14，＋∞ 【解析】设M (x 1，x 21)，N (x 2，x 22)，两点关于直线y ＝kx ＋92对称，显然k ＝0时不成立，所以x 21－x 22x 1－x 2＝－1k ，即x 1＋x 2＝－1k .设MN 的中点为P (x 0，y 0)，则x 0＝－12k ，y 0＝k ×⎝⎛⎭⎫－12k ＋92＝4.又中点P 在抛物线y ＝x 2内，所以4>⎝⎛⎭⎫－12k 2，即k 2>116，所以k >14或k <－14.9．已知顶点在原点，焦点在y 轴上的抛物线截直线x －2y －1＝0所得的弦长为15，求此抛物线的方程．解：设抛物线方程为x 2＝ay (a ≠0)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝ay ，x －2y －1＝0，消去y 得2x 2－ax ＋a ＝0.因为直线与抛物线有两个交点，所以Δ＝(－a )2－4×2×a >0，即a <0或a >8. 设两交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝a 2，x 1x 2＝a2，所以|AB |＝54x 1－x 22＝54[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝145a 2－8a .因为|AB |＝15，所以145a 2－8a ＝15，即a 2－8a －48＝0，解得a ＝－4或a ＝12，所以所求抛物线的方程为x 2＝－4y 或x 2＝12y .10．已知抛物线y 2＝2px (1<p <3)的焦点为F ，抛物线上的点M (x 0,1)到准线的距离为54.(1)求抛物线的标准方程；(2)设直线MF 与抛物线的另一交点为N ，求|MF ||NF |的值．解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋p 2＝54，2px 0＝1，消去x 0得2p 2－5p ＋2＝0，因为1<p <3，解得p ＝2，所以x 0＝14，所以抛物线的标准方程为y 2＝4x .(2)因为F (1,0)，M ⎝⎛⎭⎫14，1，所以k MF ＝－43，直线MF 的方程为4x ＋3y －4＝0.联立方程得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，4x ＋3y －4＝0，消去x 得y 2＋3y －4＝0，解得y ＝－4或1，将y ＝－4代入y 2＝4x ，解得x ＝4， 则|MF |＝14＋1＝54，|NF |＝4＋1＝5，所以|MF ||NF |＝545＝14.B 级——能力提升练11．若抛物线y 2＝x 上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋b 对称，且y 1y 2＝－1，则实数b 的值为( )A ．－3B ．3C ．2D ．－2【答案】D 【解析】因为抛物线y 2＝x 上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋b 对称，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－1，所以y 1－y 2y 21－y 22＝－1，所以y 1＋y 2＝－1.因为y 1y 2＝－1，所以x 1＋x 2＝y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝3，所以两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)中点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－12，代入y ＝x ＋b ，可得b ＝－2.12．(多选)设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率可以是( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2【答案】BC 【解析】准线x ＝－2，Q (－2,0)，设l ：y ＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2，y 2＝8x ，得k 2x 2＋4(k 2－2)x ＋4k 2＝0.当k ＝0时，得x ＝0，即交点为(0,0)；当k ≠0时，Δ≥0，－1≤k <0或0<k ≤1.综上，k 的取值范围是[－1,1]．13．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值是________．【答案】32 【解析】设AB 的方程为x ＝my ＋4，代入y 2＝4x 得y 2－4my －16＝0，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－16，所以y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16m 2＋32，当m ＝0时，y 21＋y 22的最小值为32.14．已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.【答案】2 【解析】由抛物线的方程y 2＝4x 可知其焦点F 的坐标为(1,0)，所以直线AB的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x ，得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝2k 2＋2k2，x 1x 2＝1.因为∠AMB ＝90°，所以MA →·MB →＝(x 1＋1，y 1－1)·(x 2＋1，y 2－1)＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(y 1－1)(y 2－1)＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋[k (x 1－1)－1]·[k (x 2－1)－1]＝(1－k －k 2)(x 1＋x 2)＋(1＋k 2)x 1x 2＋k 2＋2k ＋2＝(1－k －k 2)2k 2＋2k 2＋(1＋k 2)＋k 2＋2k ＋2＝0，整理可解得k ＝2.15．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．解：(1)直线AB 的方程是y ＝22⎝⎛⎭⎫x －p2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0， 所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由于p ＝4，则4x 2－5px ＋p 2＝0即x 2－5x ＋4＝0， 从而x 1＝1，x 2＝4，于是y 1＝－22，y 2＝42， 从而A (1，－22)，B (4,42)． 设C (x 3，y 3)，则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1，42λ－22)，又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.16．已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦，F 为抛物线焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，求证：(1)若AB 的倾斜角为θ，则|AB |＝2p sin 2θ； (2)1|AF |＋1|BF |为定值2p . 证明：(1)当AB 斜率存在时， 设直线AB ：y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p2(k ≠0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －p 2，y 2＝2px ， 消去y 得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋k 2p 24＝0， 所以x 1＋x 2＝⎝⎛⎭⎫1＋2k 2p . 又k ＝tan θ＝sin θcos θ，代入|AB |＝x 1＋x 2＋p ，得 |AB |＝sin 2θ＋2cos 2θsin 2θ·p ＋p ＝2p sin 2θ. 当AB 斜率不存在时也成立．(2)由抛物线的定义，知|F A |＝x 1＋p 2，|FB |＝x 2＋p2，所以1|F A |＋1|FB |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p2，当AB 的斜率不存在时，x 1＝x 2＝p 2，1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝1p ＋1p ＝2p .当AB 的斜率存在时， 1|AF |＋1|BF |＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2x 1＋x 2＋p 24＝⎝⎛⎭⎫2＋2k 2p p 24＋p 22⎝⎛⎭⎫1＋2k 2＋p 24＝⎝⎛⎭⎫2＋2k 2pp 22⎝⎛⎭⎫2＋2k 2＝2p. 所以总有1|AF |＋1|BF |＝2p.C 级——探究创新练17．已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)与抛物线C 交于A ，B 两点，且|AF |＋|BF |＝6，线段AB 的垂直平分线过点M (0,4)，则抛物线C 的方程是________；若直线l 过点F ，则k ＝________.【答案】x 2＝4y ±22【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的焦半径公式可得，|AF |＝y 1＋p 2，|BF |＝y 2＋p2，则|AF |＋|BF |＝y 1＋y 2＋p ＝6，即y 1＋y 2＝6－p .因为点M (0,4)在线段AB 的垂直平分线上，所以|MA |＝|MB |，则x 21＋(y 1－4)2＝x 22＋(y 2－4)2.因为x 21＝2py 1，x 22＝2py 2，所以(y 1－y 2)(y 1＋y 2＋2p －8)＝0.因为y 1≠y 2，所以y 1＋y 2＝8－2p ，则8－2p ＝6－p ，解得p ＝2，故抛物线C 的方程是x 2＝4y .因为直线l 过点F ，所以直线l 的方程是y ＝kx ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx ＋1，整理得x 2－4kx －4＝0，则x 1＋x 2＝4k ，从而y 1＋y 2＝k ()x 1＋x 2＋2＝4k 2＋2.因为y 1＋y 2＝6－p ＝4，所以4k 2＋2＝4，解得k ＝±22. 18．已知抛物线y 2＝2x ，过定点Q (2,0)的动直线l 1与该抛物线交于点A ，C ． (1)求A ，C 两点的纵坐标之积，并证明OA ⊥OC ；(2)过点Q 作l 1的垂线l 2交该抛物线于点B ，D ．设线段AC ，BD 的中点分别为M ，N 两点．试问：直线MN 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．解：(1)设直线AC 为x ＝my ＋2，A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，联立直线与抛物线方程得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2x ，消元x 得y 2－2my －4＝0， 所以y 1＋y 2＝2m ，y 1·y 2＝－4. 所以OA →＝(x 1，y 1)，OC →＝(x 2，y 2)．所以OA → ·OC →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(my 1＋2)(my 2＋2)＋y 1y 2＝m 2y 1y 2＋2m (y 1＋y 2)＋4＋y 1y 2＝－4m 2＋4m 2＋4－4＝0.所以OA →⊥OC →，即OA ⊥OC ．(2)由(1)可得y M ＝y 1＋y 22＝m ，x M ＝my M ＋2＝m 2＋2，所以M (m 2＋2，m )． 设B (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，因为l 1与l 2垂直，所以y 3＋y 4＝2⎝⎛⎭⎫－1m ＝－2m ， 所以y N ＝y 3＋y 42＝－1m，x N ＝－1m y N ＋2＝－1m ·⎝⎛⎭⎫－1m ＋2＝1m 2＋2. 所以N ⎝⎛⎭⎫1m2＋2，－1m . 所以k MN ＝m －⎝⎛⎭⎫－1m m 2＋2－⎝⎛⎭⎫1m 2＋2＝m ＋1m m 2－1m 2＝1m －1m ＝mm 2－1.所以直线MN 的方程为y －m ＝mm 2－1(x －m 2－2)，整理得m 2y －y －m 3＋m ＝mx －m 3－2m ，即m 2y ＋m (3－x )－y ＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧3－x ＝0，y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0，即直线MN 恒过定点(3,0)．。
2021_2022学年新教材高中数学第二章平面解析几何2.7.2抛物线的几何性质课后练习含解析新人教
第二章平面解析几何2.7抛物线与其方程2.7.2抛物线的几何性质课后篇巩固提升必备知识根底练1.抛物线C:y2=8x上一点A到焦点F的距离等于6,如此直线AF的斜率为()A.2B.±2C.2√2D.±2√2,点F(2,0),因为|AF|=x A+2=6,可得x A=4,又因为点A在抛物线上,所以y A2=32,如此y A==±2√2.±4√2,所以点A(4,±4√2),如此k AF=±4√222.直线y=kx-k与抛物线y2=2px(p>0),如此()A.直线与抛物线有一个公共点B.直线与抛物线有两个公共点C.直线与抛物线有一个或两个公共点D.直线与抛物线可能没有公共点直线y=kx-k=k (x-1),∴直线过点(1,0),又点(1,0)在抛物线y 2=2px 的内部,∴当k=0时,直线与抛物线有一个公共点;当k ≠0时,直线与抛物线有两个公共点.3.假如抛物线y 2=2x 上有两点A ,B ,且AB 垂直于x 轴,假如|AB|=2√2,如此点A 到抛物线的准线的距离为()A.12B.32C.2D.52y 2=2x ,其准线方程为x=-12,∵AB 垂直于x 轴,|AB|=2√2,A 到y 轴的距离为√2,假设A 在y 轴上侧,即y=√2,代入抛物线y 2=2x ,求得x=1,点A 到抛物线的准线的距离d=1+12=32.4.P 为抛物线y 2=2px 的焦点弦AB 的中点,A ,B ,P 三点到抛物线准线的距离分别是|AA 1|,|BB 1|,|PP 1|,如此有()A.|PP 1|=|AA 1|+|BB 1|B.|PP 1|=12|AB|C.|PP 1|>12|AB|D.|PP 1|<12|AB|,根据题意,PP 1是梯形AA 1B 1B 的中位线,故|PP 1|=12(|AA 1|+|BB 1|)=12(|AF|+|BF|)=12|AB|.5.抛物线y 2=4x 的焦点为F ,点P 为抛物线上的动点,点M 为其准线上的动点,当△FPM 为等边三角形时,其面积为()A.2√3B.4C.6D.4√3,△FPM 为等边三角形,|PF|=|PM|=|FM|,∴PM ⊥抛物线的准线.设P (m 24,m),如此M (-1,m ),等边三角形边长为1+m 24,又由F (1,0),|PM|=|FM|,得1+m 24=√(1+1)2+m 2,得m=±2√3,∴等边三角形的边长为4,其面积为4√3,应当选D .6.点(x ,y )在抛物线y 2=4x 上,如此z=x 2+12y 2+3的最小值是.(x ,y )在抛物线y 2=4x 上,所以x ≥0,因为z=x 2+12y 2+3=x 2+2x+3=(x+1)2+2,所以当x=0时,z 最小,其值为3.7.抛物线y 2=2x 的焦点为F ,点A ,B 在抛物线上,假如△FAB 为等边三角形,如此其边长为.±2√3|FA|=|FB|与抛物线的对称性知A ,B 关于x 轴对称,不妨设直线AF 的倾斜角为π6,F (12,0),如此直线AF 的方程为y=√33(x -12), 联立{y 2=2x,y =√33(x -12),解得x=7±4√32, 如此|AF|=x+p2=7±4√32+12=4±2√3. 所以该三角形边长为4±2√3.8.假如抛物线的顶点在原点,开口向上,F 为焦点,M 为准线与y 轴的交点,A 为抛物线上一点,且|AM|=√17,|AF|=3,求此抛物线的标准方程.x 2=2py (p>0),设A(x0,y0),由题意知M(0,-p2),∵|AF|=3,∴y0+p2=3,∵|AM|=√17,∴x02+(y0+p2)2=17,∴x02=8,代入方程x02=2py0得,8=2p(3-p2),解得p=2或p=4.∴所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y.9.抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-1.(1)求p的值;(2)直线l:y=x-1交抛物线于A,B两点,求弦长|AB|.由抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-1,得-p2=-1,所以p=2.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由{y=x-1,y2=4x消去y,得x2-6x+1=0,如此x1+x2=6,x1x2=1, 所以|AB|=√(x1-x2)2+(y1-y2)2=√2·√(x1-x2)2=√2·√(x1+x2)2-4x1x2=√2×√32=8.关键能力提升练10.抛物线C :y 2=4x 的焦点F 和准线l ,过点F 的直线交l 于点A ,与抛物线的一个交点为B ,且FA⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,如此|AB|=() A.23B.43C.83D.163C :y 2=4x 的焦点F (1,0)和准线l :x=-1,设A (-1,a ),B (m ,n ),∵FA⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴m+12=23,∴m+1=43,AB=83.11.抛物线y 2=2x 的焦点为F ,如此经过点F 与点M (2,2)且与抛物线的准线l 相切的圆有()A.1个B.2个C.0个D.无数个M (2,2)在抛物线y 2=2x 上,又焦点F (12,0),由抛物线的定义知,过点F ,M 且与l 相切的圆的圆心即为线段FM 的垂直平分线与抛物线的交点,这样的交点共有2个,故过点F ,M 且与l 相切的圆有2个.12.抛物线y 2=2px 上三点A (2,2),B ,C ,直线AB ,AC 是圆(x-2)2+y 2=1的两条切线,如此直线BC 的方程为()A.x+2y+1=0B.3x+6y+4=0C.2x+6y+3=0D.x+3y+2=0A (2,2)在抛物线y 2=2px 上,故22=2p ×2,即p=1,所以抛物线方程为y 2=2x ,设过点A (2,2)与圆(x-2)2+y 2=1相切的直线的方程为y-2=k (x-2),即kx-y+2-2k=0,如此圆心(2,0)到切线的距离d=√k 2+1=1,解得k=±√3,如图,直线AB :y-2=√3(x-2),直线AC :y-2=-√3(x-2).联立{y -2=√3(x -2),y 2=2x,得3x 2+(4√3-14)x+16-8√3=0,故x A x B =16-8√33,由x A =2得x B =8-4√33,故y B =2√3-63,联立{y -2=-√3(x -2),y 2=2x,得3x 2-(4√3+14)x+16+8√3=0,故x A x C =16+8√33,由x A =2得x C =8+4√33,故y C =-2√3-63,故y B +y C =2√3-63+-2√3-63=-4,又由B ,C 在抛物线上可知,直线BC 的斜率为k BC =y B -yC x B-x C=y B -y C 12y B 2-12y C2=2yB +y C=2-4=-12,故直线BC 的方程为y-2√3-63=-12(x -8-4√33),即3x+6y+4=0.13.M ,N 是过抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点F 的直线l 与抛物线C 的交点,O 是坐标原点,且满足MF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3FN ⃗⃗⃗⃗⃗ ,S △OMN =√3|MN|,如此p 的值为.MN 的斜率k>0,过M ,N 作抛物线准线的垂线,垂足分别为G ,H ,过N 作NK ⊥MG 于K ,由MF⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3FN ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得|MF|=3|FN|, ∴|MG|=3|NH|,∴|MK|=2|NH|=2|NF|=12|MN|,∴|NK|=√|MN|2-|MK|2=√32|MN|, 由S △OMN =S △OMF +S △ONF =12|OF|·|NK|=√38p|MN|,又S △OMN =√3|MN|,∴√38p|MN|=√3|MN|,得p=8.14.抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出.今有抛物线y 2=2px (p>0),如图,一平行x 轴的光线射向抛物线上的点P ,反射后又射向抛物线上的点Q ,再反射后又沿平行x 轴方向射出,且两平行光线间的最小距离为3,如此抛物线的方程为.2=3x,PQ必过抛物线的焦点F(p2,0).当直线PQ斜率不存在时,易得|PQ|=2p;当直线PQ斜率存在时,设PQ的方程为y=k(x-p2),P(x1,y1),Q(x2,y2),联立{y=k(x-p2 ),y2=2px,得k2(x2-px+p24)=2px,整理得4k2x2-(4k2p+8p)x+k2p2=0,所以x1+x2=p+2pk2,x1x2=p24.所以|PQ|=x1+x2+p=2p(1+1k2)>2p.综上,当直线PQ与x轴垂直时,弦长最短,又因为两平行光线间的最小距离为3,故2p=3,∴抛物线方程为y2=3x.15.(2021全国乙,理21)抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.(1)求p;(2)假如点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求△PAB面积的最大值.点F(0,p2)到圆M上的点的距离的最小值为|FM|-1=p2+4-1=4,解得p=2.(2)由(1)知,抛物线的方程为x 2=4y ,即y=14x 2,如此y'=12x.设切点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),如此易得直线l PA :y=x 12x-x 124,直线l PB :y=x 22x-x 224,从而得到Px 1+x 22,x 1x 24,设直线l AB :y=kx+b ,联立抛物线方程,消去y 并整理可得x 2-4kx-4b=0,∴Δ=16k 2+16b>0,即k 2+b>0,且x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4b ,∴P (2k ,-b ).∵|AB|=√1+k 2·√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√1+k 2·√16k 2+16b ,点P 到直线AB 的距离d=2√k 2+1,∴S △PAB =12|AB|d=4(k 2+b )32,①又点P (2k ,-b )在圆M :x 2+(y+4)2=1上,故k 2=1-(b -4)24,代入①得,S △PAB =4(-b 2+12b -154)32,而y P =-b ∈[-5,-3],∴当b=5时,(S △PAB )max =20√5.16.如图,抛物线y 2=4x 的焦点为F ,过点P (2,0)的直线交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,直线AF ,BF 分别与抛物线交于点M ,N.(1)求y 1y 2的值;(2)连接MN ,记直线MN 的斜率为k 1,直线AB 的斜率为k 2,证明:k1k 2为定值.,设AB 的方程为x=my+2,代入y 2=4x ,得y 2-4my-8=0,从而y 1y 2=-8.M (x 3,y 3),N (x 4,y 4),k 1k 2=y 3-y 4x 3-x 4×x 1-x 2y 1-y 2=y 3-y 4y 324-y 424×y 124-y 224y 1-y 2=y 1+y 2y 3+y 4,设直线AM 的方程为x=ny+1,代入y 2=4x ,消去x 得y 2-4ny-4=0,所以y 1y 3=-4,同理y 2y 4=-4,k 1k 2=y 1+y 2y 3+y 4=y 1+y 2-4y 1+-4y 2=y 1y 2-4,由(1)知y 1y 2=-8,所以k1k 2=2为定值.学科素养拔高练17.抛物线y 2=16x 的焦点为F ,过点F 作直线l 交抛物线于M ,N 两点,如此|NF|9−4|MF|的最小值为()A.23B.-23C.-13D.13y 2=16x的焦点为F ,如此F (4,0),当直线l 的斜率不存在时,直线l 为x=4,由{y 2=16x,x =4,可得M (4,8),N (4,-8),∴|MF|=|NF|=8,∴|NF|9−4|MF|=718.当直线l 的斜率存在时,设过点F 的直线l 的方程为y=k (x-4),不妨设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),由{y 2=16x,y =k(x -4),消y 可得k 2x-(16+8k 2)x+16k 2=0,∴x 1+x 2=8+16k 2,x 1x 2=16,∴|MF|=x 1+p 2=x 1+4,|NF|=x 2+p2=x 2+4, ∴1|MF|+1|NF|=x 1+x 2+84(x1+x 2)+x 1x 2+16=16+16k 232+64k2+16+16=14.∴|NF|9−4|MF|=|NF|9+4|NF|-1≥2√|NF|9·4|NF|-1=13,当且仅当|NF|=6时取等号.故|NF|9−4|MF|的最小值为13.18.(多项选择)抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,准线为l ,过点F 的直线与抛物线交于P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)两点,点P 在l 上的射影为P 1,如此如下结论中正确的答案是()A.假如x 1+x 2=6,如此|PQ|=8B.以PQ 为直径的圆与准线l 相切C.设M (0,1),如此|PM|+|PP 1|≥√2D.过点M (0,1)与抛物线C 有且只有一个公共点的直线至多有2条,设y=k (x-1),由{y =k(x -1),y 2=4x,得k 2x 2-(2k 2+4)x+k 2=0,x 1+x 2=2k 2+4k 2,x 1x 2=1.对于A,假如x 1+x 2=6,如此k 2=1,故k=1或-1,|PQ|=√1+1√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√2×4√2=8,故A 成立;对于B,取PQ 点中点N ,N 在l 上的投影为N',Q 在l 上的投影为Q',根据抛物线的定义,|PP 1|=|PF|,|QQ'|=|QF|,NN'为梯形的中位线,故|NN'|=12(|PP 1|+|QQ'|)=12|PQ|,故B 成立;对于C,M (0,1),|PM|+|PP 1|=|MP|+|PF|≥|MF|=√2,故C 成立;对于D,过M (0,1)且与抛物线相切的直线有2条,过M (0,1)且与x 轴平行的直线与抛物线相交且有一个交点,所以至多有三条,故D 不成立.。
高考数学复习考点知识讲解与专题练习61---抛物线
高考数学复习考点知识讲解与专题练习抛物线考试要求 1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.知识梳理1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).2.抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0，0)对称轴y＝0 x＝0焦点F⎝⎛⎭⎪⎫p2，0F⎝⎛⎭⎪⎫－p2，0F⎝⎛⎭⎪⎫0，p2F⎝⎛⎭⎪⎫0，－p2离心率e＝1准线方程 x ＝－p 2 x ＝p 2 y ＝－p 2 y ＝p 2 范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口方向向右向左向上向下[常用结论与微点提醒]1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p ，通径是过焦点最短的弦.2.抛物线y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p 2，也称为抛物线的焦半径.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( ) (2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，准线方程是x ＝－a4.( )(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( )(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切.( )(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( )解析 (1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线，而非抛物线.(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)可化为x 2＝1a y ，是焦点在y 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，准线方程是y ＝－14a .(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形.(4)一条直线平行抛物线的对称轴，此时与抛物线只有一个交点，但不相切. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× (5)√2.(老教材选修2－1P72A1改编)顶点在原点，且过点P (－2，3)的抛物线的标准方程是________________.解析 设抛物线的标准方程是y 2＝kx 或x 2＝my ，代入点P (－2，3)，解得k ＝－92，m ＝43，所以y 2＝－92x 或x 2＝43y . 答案 y 2＝－92x 或x 2＝43y3. (老教材选修2－1P67A3改编)抛物线y 2＝8x 上到其焦点F 距离为5的点的个数为________.解析 设P (x 1，y 1)，则|PF |＝x 1＋2＝5，得x 1＝3，y 1＝±2 6.故满足条件的点的个数为2. 答案 24.(2019·全国Ⅱ卷)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p ＝1的一个焦点，则p ＝( )A.2B.3C.4D.8解析 由题意知，抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，椭圆的焦点坐标为()±2p ，0， 所以p2＝2p ，解得p ＝0(舍去)或p ＝8. 答案 D5.(2020·山东名校联考)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是抛物线上的两点，且|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) A.34 B.1 C.54 D.74解析 如图所示，设抛物线的准线为l ，AB 的中点为M ，作AA 1⊥l 于点A 1，BB 1⊥l 于点B 1，MM 1⊥l 于点M 1，由抛物线的方程知p ＝12，由抛物线定义知|AA 1|＋|BB 1|＝|AF |＋|BF |＝3，所以点M 到y 轴的距离为|MM 1|－p 2＝12(|AA 1|＋|BB 1|)－p 2＝12×3－14＝54，故选C. 答案 C6.(2019·昆明诊断)已知抛物线方程为y 2＝8x ，若过点Q (－2，0)的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________.解析 由题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，当k ＝0时，显然满足题意；当k ≠0时，Δ＝(4k 2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k＜0或0＜k≤1，因此k的取值范围是[－1，1]. 答案[－1，1]考点一抛物线的定义、标准方程及其性质【例1】(1)已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是()A.y2＝±22xB.y2＝±2xC.y2＝±4xD.y2＝±42x(2)(多选题)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且|AF|＝3|BF|，则直线AB的斜率为()A.2B.3C.－ 2D.－ 3(3)动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________.解析(1)由已知可知双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0).＝2，设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则p2所以p＝22，所以抛物线方程为y2＝±42x.故选D.(2)如图所示，当点A在第一象限时，过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D，E，过A作x轴的垂线，与EB交于点C，则四边形ADEC为矩形.由抛物线定义可知|AD|＝|AF|，|BE|＝|BF|，设|AF|＝3|BF|＝3m，所以|AD|＝|CE|＝3m，|AB|＝4m，在Rt△ABC中，|BC|＝2m，所以∠ABC＝60°，所以直线l的斜率为3；当点B在第一象限时，同理可知直线l 的斜率为－ 3.(3)设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.答案(1)D(2)BD(3)y2＝4x规律方法 1.应用抛物线定义的两个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)抛物线焦点到准线的距离为p.2.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.3.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.【训练1】(1)设抛物线y2＝2px的焦点在直线2x＋3y－8＝0上，则该抛物线的准线方程为()A.x＝－4B.x＝－3C.x＝－2D.x＝－1(2)(2020·佛山模拟)已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，点P (4，y 0)在抛物线上，K 为l 与y 轴的交点，且|PK |＝2|PF |，则y 0＝________.解析 (1)直线2x ＋3y －8＝0与x 轴的交点为(4，0)，∴抛物线y 2＝2px 的焦点为(4，0)，∴准线方程为x ＝－4.(2)作PM ⊥l ，垂足为M ，由抛物线定义知|PM |＝|PF |，又知|PK |＝2|PF |，∴在直角三角形PKM 中，sin ∠PKM ＝|PM ||PK |＝|PF ||PK |＝22，∴∠PKM ＝45°，∴△PMK 为等腰直角三角形，∴|PM |＝|MK |＝4，又知点P 在抛物线x 2＝2py (p ＞0)上，∴⎩⎨⎧py 0＝8，y 0＋p2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4，y 0＝2. 答案 (1)A (2)2考点二 与抛物线有关的最值问题多维探究角度1 到焦点与定点距离之和(差)最值问题【例2－1】 点P 为抛物线y 2＝4x 上的动点，点A (2，1)为平面内定点，F 为抛物线焦点，则：(1)|PA |＋|PF |的最小值为________；(2)(多填题)|PA |－|PF |的最小值为________，最大值为________.解析 (1)如图1，由抛物线定义可知，|PF |＝|PH |，|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PH |，从而最小值为A 到准线的距离为3.(2)如图2，当P，A，F三点共线，且P在FA延长线上时，|PA|－|PF|有最小值为－|AF|＝－ 2.当P，A，F三点共线，且P在AF延长线上时，|PA|－|PF|有最大值为|AF|＝ 2.故|PA|－|PF|最小值为－2，最大值为 2.答案(1)3(2)－2 2规律方法 1.解决到焦点与定点距离之和最小问题，先将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，再结合图形解决问题.2.到两定点距离之差的最值问题，当且仅当三点共线时取最值.角度2到点与准线的距离之和最值问题【例2－2】设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P 到直线x＝－1的距离之和的最小值为________.解析如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离.于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为[1－（－1）]2＋（0－1）2＝ 5.答案 5规律方法 解决到点与准线的距离之和最值问题，先将抛物线上的点到准线的距离转化为到焦点的距离，再构造出“两点之间线段最短”，使问题得解. 角度3 动弦中点到坐标轴距离最短问题【例2－3】 已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( ) A.34B.32C.1 D.2解析 由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过点A 作AA 1⊥l 交l 于点A 1，过点B 作BB 1⊥l 交l 于点B 1，设弦AB 的中点为M ，过点M 作MM 1⊥l 交l 于点M 1，则|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|2.因为|AB |≤|AF |＋|BF |(F 为抛物线的焦点)，即|AF |＋|BF |≥6，所以|AA 1|＋|BB 1|≥6，2|MM 1|≥6，|MM 1|≥3，故点M 到x 轴的距离d ≥2，故选D. 答案 D规律方法 解决动弦中点到坐标轴距离最短问题将定长线段的中点到准线的距离转化为线段端点到准线距离之和的一半，再根据三角形中两边之和大于第三边得出不等式求解. 角度4 焦点弦中距离之和最小问题【例2－4】 已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________.解析 由题意知F (1，0)，|AC |＋|BD |＝|AF |＋|FB |－2＝|AB |－2，即|AC |＋|BD |取得最小值时当且仅当|AB |取得最小值.依抛物线定义知，当|AB |为通径，即|AB |＝2p ＝4时为最小值，所以|AC |＋|BD |的最小值为2. 答案 2规律方法 过抛物线的焦点且与抛物线的对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，通径是抛物线所有过焦点的弦中最短的，若能将问题转化为与通径有关的问题，则可以用通径最短求最值.角度5 到定直线的距离最小问题【例2－5】(一题多解)抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是________.解析 法一如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线为4x ＋3y ＋b ＝0，切线方程与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋b ＝0消去y 整理得3x 2－4x －b ＝0，则Δ＝16＋12b ＝0，解得b ＝－43，故切线方程为4x ＋3y －43＝0，抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是这两条平行线间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8－435＝43.法二对y ＝－x 2，有y ′＝－2x ，如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线与抛物线的切点是T (m ，－m 2)，则切线斜率k ＝y ′|x ＝m ＝－2m ＝－43，所以m ＝23，即切点T ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－49，点T 到直线4x ＋3y －8＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪83－43－816＋9＝43，由图知抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是43. 答案 43规律方法 抛物线上的动点到定直线的距离，可以转化为平行线间的距离，也可以利用单变量设点利用函数思想求最值.【训练2】 (1)若在抛物线y 2＝－4x 上存在一点P ，使其到焦点F 的距离与到 A (－2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 C.(－2，－22) D.(－2，22)(2)已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆C ：x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线的距离之和的最小值是________. 解析 (1)如图，∵y 2＝－4x ，∴p ＝2，焦点坐标为(－1，0).依题意可知当A ，P 及P 到准线的垂足三点共线时，点P 与点F 、点P 与点A 的距离之和最小，故点P 的纵坐标为1.将y ＝1代入抛物线方程求得x ＝－14，则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，1.故选A.(2)由题意知，圆C ：x 2＋(y －4)2＝1的圆心为C (0，4)，半径为1，抛物线的焦点为F (1，0).根据抛物线的定义，点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线的距离之和即点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和，因此|PQ |＋|PF |≥|PC |＋|PF |－1≥|CF |－1＝17－1.答案 (1)A (2)17－1考点三 直线与抛物线的综合问题【例3】(2019·全国Ⅰ卷)已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P . (1)若|AF |＋|BF |＝4，求直线l 的方程； (2)若AP→＝3PB →，求|AB |. 解 设直线l 的方程为：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). (1)由题设得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32.又|AF |＋|BF |＝4，所以x 1＋x 2＝52.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x 可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0， 其中Δ＝144(1－2t )>0， 则x 1＋x 2＝－12（t －1）9.从而－12（t －1）9＝52，得t ＝－78(满足Δ>0). 所以l 的方程为y ＝32x －78.(2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x 可得y 2－2y ＋2t ＝0，其中Δ＝4－8t >0， 所以y 1＋y 2＝2，从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3. 代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13. 所以A (3，3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1，故|AB |＝4133.规律方法1.直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.2.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.3.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.提醒 涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.【训练3】 如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1，2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上. (1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率. 解 (1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0).∵点P (1，2)在抛物线上，∴22＝2p ×1，解得p ＝2. 故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1. (2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB ， 则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)，∵PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴k PA ＝－k PB . 由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得y 21＝4x 1，①y 22＝4x 2，②∴y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，∴y 1＋2＝－(y 2＋2).∴y 1＋y 2＝－4.由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x 2).数学抽象——活用抛物线焦点弦的四个结论1.数学抽象素养水平表现为能够在得到的数学结论的基础上形成新命题，能够针对具体的问题运用数学方法解决问题.本课时抛物线的焦点弦问题的四个常用结论即为具体表现之一.2.设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 (1)x 1·x 2＝p 24. (2)y 1·y 2＝－p 2.(3)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α是直线AB 的倾斜角). (4)1|AF |＋1|BF |＝2p 为定值(F 是抛物线的焦点).【例1】 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于( ) A.4 B.92C.5 D.6[一般解法]易知直线l 的斜率存在，设为k ，则其方程为 y ＝k (x －1).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，得x A ·x B ＝1，①因为|AF |＝2|BF |，由抛物线的定义得x A ＋1＝2(x B ＋1)， 即x A ＝2x B ＋1，②由①②解得x A ＝2，x B ＝12， 所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋p ＝92.[应用结论]法一 由对称性不妨设点A 在x 轴的上方，如图设A ，B 在准线上的射影分别为D ，C ，作BE ⊥AD 于E ， 设|BF |＝m ，直线l 的倾斜角为θ，则|AB |＝3m ， 由抛物线的定义知|AD |＝|AF |＝2m ，|BC |＝|BF |＝m ，所以cos θ＝|AE ||AB |＝13，所以tan θ＝2 2.则sin 2θ＝8cos 2θ，∴sin 2θ＝89.又y 2＝4x ，知2p ＝4，故利用弦长公式|AB |＝2p sin 2θ＝92. 法二 因为|AF |＝2|BF |，所以1|AF |＋1|BF |＝12|BF |＋1|BF |＝32|BF |＝2p ＝1，解得|BF |＝32，|AF |＝3，故|AB |＝|AF |＋|BF |＝92. 答案 B【例2】 设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334 B.938 C.6332 D.94[一般解法]由已知得焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，因此直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，即4x －43y －3＝0.与抛物线方程联立，化简得4y 2－123y －9＝0， 故|y A －y B |＝（y A ＋y B ）2－4y A y B ＝6.因此S △OAB ＝12|OF ||y A －y B |＝12×34×6＝94. [应用结论]由2p ＝3，及|AB |＝2psin 2α 得|AB |＝2p sin 2α＝3sin 230°＝12.原点到直线AB 的距离d ＝|OF |·sin 30°＝38， 故S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×12×38＝94. 答案 D【例3】 如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若F 是AC 的中点，且|AF |＝4，则线段AB 的长为( ) A.5 B.6 C.163D.203[一般解法]如图，设l 与x 轴交于点M ，过点A 作AD ⊥l 交l 于点D ，由抛物线的定义知，|AD |＝|AF |＝4，由F 是AC 的中点，知|AD |＝2|MF |＝2p ，所以2p ＝4，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，可得y 1＝23，所以A (3，23)，又F (1，0)，所以直线AF 的斜率k ＝233－1＝3，所以直线AF 的方程为y ＝3(x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x 得3x 2－10x ＋3＝0，所以x 1＋x 2＝103，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝163.故选C.[应用结论]法一 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AF |＝x 1＋p2＝x 1＋1＝4，所以x 1＝3，又x 1x 2＝p 24＝1，所以x 2＝13，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝3＋13＋2＝163.法二 因为1|AF |＋1|BF |＝2p ，|AF |＝4，所以|BF |＝43，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝4＋43＝163. 答案 CA 级 基础巩固一、选择题1.抛物线y ＝4x 2的焦点到准线的距离为( ) A.2 B.1 C.14 D.18解析 由y ＝4x 2得x 2＝14y ，所以2p ＝14，p ＝18，则抛物线的焦点到准线的距离为18. 答案 D2.(2019·福州调研)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( ) A.4 B.6 C.8 D.12解析 如图所示，抛物线的准线l 的方程为x ＝－2，F 是抛物线的焦点，过点P 作PA ⊥y 轴，垂足是A ，延长PA 交直线l 于点B ，则|AB |＝2.由于点P 到y 轴的距离为4，则点P 到准线l 的距离|PB |＝4＋2＝6，所以点P 到焦点的距离|PF |＝|PB |＝6.故选B. 答案 B3.(2020·烟台调研)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，点C (－4，0)，过抛物线的焦点作垂直于x 轴的直线，与抛物线交于A ，B 两点，若△CAB 的面积为24，则以直线AB 为准线的抛物线的标准方程是( ) A.y 2＝4x B.y 2＝－4x C.y 2＝8x D.y 2＝－8x解析 因为AB ⊥x 轴，且AB 过焦点F ，所以线段AB 是焦点弦，且|AB |＝2p ，所以S △CAB ＝12×2p ×⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋4＝24，解得p ＝4或－12(舍)，所以抛物线方程为y 2＝8x ，所以直线AB的方程为x ＝2，所以以直线AB 为准线的抛物线的标准方程为y 2＝－8x ，故选D. 答案 D4.设抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，点A 为C 上一点，若|FA |＝3，则直线FA 的倾斜角为( ) A.π3B.π4 C.π3或2π3D.π4或3π4解析 如图，作AH ⊥l 于H ，则|AH |＝|FA |＝3，作FE ⊥AH 于E ，则|AE |＝3－32＝32，在Rt △AEF 中，cos ∠EAF ＝|AE ||AF |＝12，∴∠EAF ＝π3，即直线FA 的倾斜角为π3，同理点A 在x 轴下方时，直线FA 的倾斜角为2π3.答案 C5.已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A.355 B.2 C.115 D.3解析 由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点为F (1，0)，则动点P 到l 2的距离等于|PF |，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值，即焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.答案 B二、填空题6.如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水位下降1米后，水面宽________米.解析 建立如图平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝ －2py (p ＞0).由题意将点A (2，－2)代入x 2＝－2py ，得p ＝1，故x 2＝－2y .设B (x ，－3)，代入x 2＝－2y 中，得x ＝6，故水面宽为26米. 答案 2 67.(2020·昆明诊断)设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|FA→|＋|FB →|＋|FC →|的值为________. 解析 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，所以x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3. 答案 38.已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为________.解析 因为双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以2＝c a ＝1＋b 2a 2，所以b a＝3，所以渐近线方程为3x ±y ＝0，因为抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，所以F 到双曲线C 1的渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 23＋1＝2，由于p >0，所以p ＝8，所以抛物线C 2的方程为x 2＝16y .答案 x 2＝16y 三、解答题9.设A ，B 为曲线C ：y ＝x 24上两点，A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程.解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，y 1＝x 214，y 2＝x 224，x 1＋x 2＝4.于是直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝1. (2)由y ＝x 24，得y ′＝x 2.设M (x 3，y 3)，由题设知x 32＝1，解得x 3＝2，于是M (2，1).设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (2，2＋m )，|MN |＝|m ＋1|.将y ＝x ＋m 代入y ＝x 24得x 2－4x －4m ＝0.当Δ＝16(m ＋1)>0，即m >－1时，x 1，2＝2±2m ＋1.从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝42（m ＋1）.由题设知|AB |＝2|MN |，即42（m ＋1）＝2(m ＋1)，解得m ＝7.所以直线AB 的方程为x －y ＋7＝0.10.已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC→＝OA →＋λOB →，求λ的值. 解 (1)抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0， 所以直线AB 的方程为y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去y 得4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p 4，由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，即5p 4＋p ＝9，所以p ＝4.所以抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由p ＝4知，方程4x 2－5px ＋p 2＝0，可化为x 2－5x ＋4＝0，解得x 1＝1，x 2＝4，故y 1＝－22，y 2＝4 2.所以A (1，－22)，B (4，42).则OC→＝OA →＋λOB →＝(1，－22)＋λ(4，42)＝(1＋4λ，－22＋42λ). 因为C 为抛物线上一点，所以(－22＋42λ)2＝8(1＋4λ)，整理得λ2－2λ＝0，所以λ＝0或λ＝2.B 级 能力提升11.(2020·石家庄模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点M (2，22)的直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF |∶|FM |等于( )A.1∶2B.1∶3C.1∶ 2D.1∶ 3解析 抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为(1，0)，∵直线l 过点F 和点M (2，22)，∴直线l 的方程为y ＝22(x －1).由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝22（x －1）得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，∴点N 的横坐标为12.∵抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，∴|NF |＝32，|MF |＝3，∴|NF |∶|MF |＝1∶2，故选A.答案 A12.(2020·长沙调研)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，且l 过点(－2，3)，M 在抛物线C 上，若点N (1，2)，则|MN |＋|MF |的最小值为( )A.2B.3C.4D.5解析 由题意知p 2＝2，即p ＝4.过点N 作准线l 的垂线，垂足为N ′，交抛物线于点M ′，则|M ′N ′|＝|M ′F |，则有|MN |＋|MF |＝|MN |＋|MT |≥|M ′N ′|＋|M ′N |＝|NN ′|＝1－(－2)＝3.答案 B13.(2020·湖南名校大联考)已知P 为抛物线C ：y ＝x 2上一动点，直线l ：y ＝2x －4与x轴、 y 轴交于M ，N 两点，点A (2，－4)且AP→＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ的最小值为________.解析 由题意得M (2，0)，N (0，－4)，设P (x ，y )，由AP→＝λAM →＋μAN →得(x －2，y ＋4)＝λ(0，4)＋μ(－2，0)，∴x －2＝－2μ，y ＋4＝4λ.因此λ＋μ＝y ＋44－x －22＝x 24－x 2＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－122＋74≥74，故λ＋μ的最小值为74.答案 7414.(2019·全国Ⅲ卷)已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.(1)证明 设D ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－12，A (x 1，y 1)，则x 21＝2y 1. 因为y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故y 1＋12x 1－t ＝x 1.整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0.故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0.所以直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. (2)解 由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋12.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝tx ＋12，y ＝x 22可得x 2－2tx －1＝0. 于是x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－1，y 1＋y 2＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1，|AB |＝1＋t 2|x 1－x 2|＝1＋t 2×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2(t 2＋1).设d 1，d 2分别为点D ，E 到直线AB 的距离，则d 1＝t 2＋1，d 2＝2t 2＋1.因此，四边形ADBE 的面积S ＝12|AB |(d 1＋d 2)＝(t 2＋3)t 2＋1.设M 为线段AB 的中点，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，t 2＋12.因为EM →⊥AB →，而EM →＝(t ，t 2－2)，AB →与向量(1，t )平行，所以t ＋(t 2－2)t ＝0，解得t ＝0或t ＝±1.当t ＝0时，S ＝3；当t ＝±1时，S ＝4 2.因此，四边形ADBE 的面积为3或4 2.C 级 创新猜想15.(多选题)如图所示，抛物线y ＝14x 2，AB 为过焦点F 的弦，过A ，B 分别作抛物线的切线，两切线交于点M ，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，M (x M ，y M )，则下列结论正确的有( )A.若AB 的斜率为1，则|AB |＝8B.|AB |min ＝4C.若AB 的斜率为1，则x M ＝2D.x A ·x B ＝－4解析 由题意得，焦点F (0，1)，对于A ，l AB 的方程为y ＝x ＋1，与抛物线的方程联立， 得⎩⎨⎧y ＝x ＋1，y ＝14x 2，消去x ，得y 2－6y ＋1＝0， 所以y A ＋y B ＝6，则|AB |＝y A ＋y B ＋p ＝8，则A 正确；对于B ，|AB |min ＝2p ＝4，则B 正确；对于C ，当AB 的斜率为1时，因为y ′＝x 2，则x M 2＝1，∴x M ＝2，则C 正确；设l AB 的方程为y ＝kx ＋1，与抛物线的方程联立，得⎩⎨⎧y ＝kx ＋1，y ＝14x 2，消去y ，得x 2－4kx －4＝0， 所以x A ＋x B ＝4k ，x A ·x B ＝－4，则D 正确；答案 ABCD16.(多填题)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F (2，0)，则抛物线C 的方程是________；若M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，且M 为FN 的中点，则|FN |＝________.解析 抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F (2，0)，可得p ＝4，则抛物线C 的方程是y 2＝8x .由M 为FN 的中点，得M 的横坐标为1，代入抛物线方程得y ＝±22，则M (1，±22)，则|FN |＝2(1＋2)＝6. 答案 y 2＝8x 6。
(完整版)抛物线进阶练习题
(完整版)抛物线进阶练习题本文档提供了一系列的进阶级抛物线练题，旨在帮助您巩固抛物线的相关知识和技巧。
以下是题目详解：题目一：抛物线的焦点和准线已知抛物线的顶点坐标为$(h,k)$，准线与$x$轴的交点为$(p,0)$，根据已知条件回答以下问题：1. 要求导出抛物线焦点的坐标。
2. 计算准线的方程。
题目二：求解抛物线与直线的交点已知一条直线的方程$y=ax+b$和抛物线的方程$y=cx^2+dx+e$，根据已知条件回答以下问题：1. 求出抛物线与直线的交点坐标。
2. 根据交点坐标，判断抛物线与直线是否相交。
题目三：抛物线的平移和缩放已知标准抛物线的方程$y=x^2$，根据已知条件回答以下问题：1. 若将抛物线平移至点$(a,b)$，求出平移后抛物线的方程。
2. 若将抛物线沿着$x$轴缩放$k$倍，求出缩放后抛物线的方程。
题目四：抛物线的最值已知抛物线的方程$y=ax^2+bx+c$，根据已知条件回答以下问题：1. 求抛物线的顶点坐标。
2. 根据顶点坐标，判断抛物线的开口方向和最值。
题目五：抛物线的面积和弧长已知抛物线的方程$y=ax^2+bx+c$，根据已知条件回答以下问题：1. 计算抛物线在区间$[x_1,x_2]$上的面积。
2. 计算抛物线在区间$[x_1,x_2]$上的弧长。
题目六：实际应用根据实际问题回答以下问题：1. 小球从离地面为$h$的地方以初速度$v$沿着与地面垂直方向抛出，求解小球的抛物线轨迹方程。
2. 根据抛物线轨迹方程，计算小球在某个时刻$t$的高度。
以上是关于抛物线进阶练题的完整题目。
希望这些练题能够帮助您巩固和拓展抛物线的知识与技巧。
祝您练愉快，取得好成绩！> 注意：本文档所给题目仅为举例，实际练习中可根据需要进行调整和扩展。
抛物线方程与性质习题
1、（1）已知抛物线标准方程是x y 62=，求它的焦点坐标和准线方程（2）已知抛物线的焦点坐标是F （0，－2），求它的标准方程2、根据下列条件写出抛物线的标准方程（1）焦点是F （－2，0）（2）准线方程是3=y （3）焦点到准线的距离是4，焦点在y 轴上（4）经过点A （6，－2）3、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程（1）y 2＝20x（2）x 2＝1/2y （3）2y 2＋5x ＝0 （4）082=+y x4、关于抛物线的命题下列说法不正确的一个是（ ） Ａ．必有一个顶点 Ｂ．必有一个焦点 Ｃ．必有一个对称中心 Ｄ．必有一条对称轴5、抛物线2y ax =的准线方程为2y =，则a 的值为（ ）Ａ．18Ｂ．18-Ｃ．8 Ｄ．8-6、抛物线22y px =上三点的纵坐标的平方成等差数列，则这三点的横坐标（ ） Ａ．成等差为数列 Ｂ．成等比数列Ｃ．既成等差数列又成等比数列 Ｄ．既不成等差数列又不成等比数列7、抛物线28y x =的焦点为F ，点P 在抛物线上，若5PF =，则点P 的坐标为（ ）Ａ．(3Ｂ．(3-，Ｃ．(3或(3-，Ｄ．(3-或(3--，8、若抛物线24y x =的弦AB 垂直于x 轴，且AB =AB 的距离为（ ） Ａ．1Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．59、抛物线240x y +=的准线方程为 ．10、已知P 是抛物线216y x =上的一点，它到x 轴的距离为12，则它到焦点的距离为 ．11、过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于点1122()()A x y B x y ，，，，若124x x +=，则AB 的中点M 到抛物线准线的距离为 ．12、若动圆与圆22(2)1x y -+=外切，又与直线10x +=相切，则动圆的圆心的轨迹方程为 13、过抛物线焦点 的直线与抛物线相交于， 两点，若， 在抛物线准线上的射影分别是， ，则为（ ）．A ．45°B ．60°C ．90°D ．120° 14、过已知点且与抛物线只有一个公共点的直线有（ ）．A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条15、方程 表示（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆 16、与关于对称的抛物线是（）A ．B ．C ．D ．17、若是定直线 外的一定点，则过 与 相切圆的圆心轨迹是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线一支D ．抛物线 18、抛物线的焦点到准线的距离是（ ）A ．2.5B ．5C ．7.5D ．10 19、已知原点为顶点， 轴为对称轴的抛物线的焦点在直线 上，则此抛物线的方程是（ ） A ． B ． C ．D ．20、抛物线的焦点坐标是（ ）．A．B．C．D．21、抛物线（）的焦点坐标为（）A． B．C． D．时为，时为22、抛物线的准线方程是（）A．B．C．D．23、若点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是（）A． B．C． D．24、抛物线的焦点位于（）A．轴的负半轴上 B．轴的正半轴上C．轴的负半轴上 D．轴的正半轴上25、与椭圆有相同的焦点，且顶点在原点的抛物线方程是（）A．B．C．D．26、过点（－2，3）的抛物线的标准方程为__________．27、点M与的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程为___________．28、已知椭圆以抛物线的顶点为中心，以此抛物线的焦点为右焦点，又椭圆的短轴长为2，则此椭圆方程为___________．29、在抛物线上有一点，它到焦点的距离是20，则点的坐标是_________．30、已知抛物线（）上一点到焦点的距离等于，则 =_______，=________．31、抛物线的焦点弦的端点为，，且，则 =_______．32、若正三角形的一个顶点在原点，另两个顶点在抛物线（）上，则这个三角形的面积为__________．33、抛物线上的一点到轴的距离为12，则与焦点间的距离 =______．34、已知点（－2，3）与抛物线（）的焦点的距离是5，则 =_________．35、焦点在直线的抛物线的标准方程是________________．36、已知抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，抛物线上的点到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和的值．37、若抛物线的通径长为7，顶点在坐标原点，且关于坐标轴对称，求抛物线的方程．38、在抛物线y2=12x上，求和焦点的距离等于9的点的坐标39、过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，若x1+x2=6，求|AB|的值．40、根据下列条件，求抛物线的方程，(1)顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6；(2)顶点在原点，对称轴是y轴，并经过点p(-6，-3)．41、顶点在原点、焦点在轴上，且过点的抛物线方程是（）A． B． C． D．42、若抛物线上横坐标为6的点到焦点的距离为8，则焦点到准线的距离为（）A．1 B．2 C．4 D．643、若垂直于轴的直线交抛物线于点，且，则直线的方程为__________.44、抛物线形拱桥，当水面宽时，水面离拱顶为，若水下降，则此时水面宽为___________.45、抛物线的顶点是双曲线的中心，而焦点是双曲线的左顶点，求抛物线方程．46、若抛物线上一点到准线及对称轴的距离分别是10和6，求的横坐标及抛物线方程．47、如果抛物线y 2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为（）A ．（1, 0）B ．（2, 0）C ．（3, 0）D ．（－1, 0）48、圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ）A ．x 2+ y 2-x -2 y -41=0 B ．x 2+ y 2+x -2 y +1=0 C ．x 2+ y 2-x -2 y +1=0D ．x 2+ y 2-x -2 y +41=0 49、抛物线2x y =上一点到直线042=--y x 的距离最短的点的坐标是 （ ）A ．（1，1）B ．（41,21） C ．)49,23(D ．（2，4）50、一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m 时，水面宽4m ，若水面下降1m ，则水面宽为（ ）A ．6mB ． 26mC ．4.5mD ．9m51、抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上点（-5，m ）到焦点距离是6，则抛物线的方程是（ ） A ． y 2=-2x B ． y 2=-4xC ． y 2=2xD ． y 2=-4x 或y 2=-36x52、过抛物线y 2=4x 的焦点作直线，交抛物线于A(x 1, y 1) ，B(x 2, y 2)两点，如果x 1+ x 2=6，那么|AB|= （ ） A ．8B ．10C ．6D ．453、抛物线y 2=4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB 的长为43，则焦点到AB 的距离为 ．54、抛物线的焦点为椭圆14922=+y x 的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为 ．55、已知动圆M 与直线y =2相切，且与定圆C ：1)3(22=++y x 外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．(12分)56、已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点M （－3，m ）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值．57、抛物线22x y =的焦点坐标是 （ ）A ．)0,1(B ．)0,41(C ．)81,0( D ． )41,0(58、已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点)3,(-m P 到焦点的距离为5，则抛物线方程为（ ） A ．y x 82= B ．y x 42= C ．y x 42-= D ．y x 82-=59、顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，则它的方程是 （ ）A ．y x 292-=或x y 342=B ．x y 292-=或y x 342= C ．y x 342=D ．x y 292-= 60、抛物线x y =2上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 ______________．。
抛物线的方程及性质(分层练习)
抛物线的方程及性质（分层练习）[基础训练]1．[2020福建厦门一模]若抛物线x 2＝ay 的焦点到准线的距离为1，则a ＝( )A ．2B ．4C ．±2D ．±4答案：C 解析：∵x 2＝ay ＝2·a2·y ，∴p ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＝1，∴a ＝±2，故选C.2．已知抛物线C: y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝32x 0，则x 0＝( )A.14 B ．12 C ．1D ．2答案：B 解析：由题意知，抛物线的准线为x ＝－14， 因为|AF |＝32x 0，根据抛物线的定义可得 x 0＋14＝|AF |＝32x 0，解得x 0＝12.3．[2020江西萍乡一模]已知动圆C 经过点A (2,0)，且截y 轴所得的弦长为4，则圆心C 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线答案：D 解析：设圆心C (x ，y )，截y 轴所得弦为BD ，过点C 作CE ⊥y轴，垂足为E ，则|BE |＝2，则有|CA |2＝|BC |2＝|BE |2＋|CE |2，∴(x －2)2＋y 2＝22＋x 2，化为y 2＝4x ，则圆心C 的轨迹为抛物线．故选D. 4．[2020河南洛阳模拟]已知点M 是抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，F 为C 的焦点，MF 的中点坐标是(2,2)，则p 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：D 解析：F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，那么M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－p 2，4在抛物线上，即16＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－p 2，即p 2－8p ＋16＝0，解得p ＝4.5．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22 B ．2 C.322D ．22答案：C 解析：焦点F (1,0)，设A ，B 分别在第一、四象限，则点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3，得A 的横坐标为2，纵坐标为22，AB 的方程为y ＝22(x －1)，与抛物线方程联立可得2x 2－5x ＋2＝0，所以B 的横坐标为12，纵坐标为－2，S △AOB ＝12×1×(22＋2)＝322.6．[2020海南海口模拟]过点F (0,3)，且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心轨迹方程是( )A ．y 2＝12xB ．y 2＝－12xC ．x 2＝－12yD ．x 2＝12y答案：D 解析：由已知条件知，动圆圆心到点F 和到直线y ＋3＝0的距离相等，所以动圆圆心轨迹是以点F (0,3)为焦点，直线y ＝－3为准线的抛物线，故其方程为x 2＝12y ，故选D.7．[2020豫南九校联考]已知点P 是抛物线x 2＝4y 上的动点，点P 在x 轴上的射影是点Q ，点A 的坐标是(8,7)，则|P A |＋|PQ |的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案：C 解析：如图，抛物线的焦点为F (0,1)，准线方程为y ＝－1，根据抛物线的定义知，|PF |＝|PM |＝|PQ |＋1.∴|P A |＋|PQ |＝|P A |＋|PM |－1＝|P A |＋|PF |－1≥|AF |－1＝82＋(7－1)2－1＝10－1＝9，当且仅当点P 在线段AF 上时，等号成立， 则|P A |＋|PQ |的最小值为9. 故选C.8．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54D ．74答案：C 解析：如图，过A ，B 及线段AB 的中点C 向抛物线的准线l 作垂线，垂足分别为A 1，B 1，C 1，CC 1交y 轴于C 0.由抛物线定义可知， |AA 1|＋|BB 1|＝|AF |＋|BF |， ∴|CC 0|＝|CC 1|－|C 1C 0| ＝12(|AA 1|＋|BB 1|)－|C 1C 0| ＝32－14＝54， 故选C.9．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作直线l 交抛物线于A ，B 两点，交准线于点C ，若CB→＝3BF →，则直线l 斜率为________． 答案：±22 解析：如图，过B 作BB 1垂直于准线，垂足为B 1，由抛物线定义可知，|BB 1|＝|BF |， ∵CB →＝3BF →，∴|BC |＝3|BB 1|. 在Rt △B 1BC 中，tan ∠B 1BC ＝2 2. ∴tan α＝22(α为倾斜角)． 由对称性可知，斜率还可等于－2 2. ∴斜率为±2 2.10．[2020湖南衡阳联考]已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过点(－1,0)的直线与C 交于A ，B 两点．若4|F A |＋|FB |的最小值为19，则抛物线C 的标准方程为________．答案：y 2＝12x 解析：设AB ：y ＝k (x ＋1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，y 2＝2px ，得k 2x 2＋2(k 2－p )x ＋k 2＝0，则x 1x 2＝1,4|F A |＋|FB |＝4x 1＋x 2＋52p ＝4x 1＋1x 1＋52p ≥4＋52p ＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫当x 1＝12时等号成立，得p ＝6，则抛物线C 的标准方程为y 2＝12x .11．[2019全国卷Ⅰ]已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，|AB |＝4，⊙M 过点A ，B 且与直线x ＋2＝0相切．(1)若A 在直线x ＋y ＝0上，求⊙M 的半径．(2)是否存在定点P ，使得当A 运动时，|MA |－|MP |为定值？并说明理由． 解：(1)因为⊙M 过点A ，B ，所以圆心M 在AB 的垂直平分线上．由已知A 在直线x ＋y ＝0上，且A ，B 关于坐标原点O 对称，所以M 在直线y ＝x 上，故可设M (a ，a )．因为⊙M 与直线x ＋2＝0相切， 所以⊙M 的半径为r ＝|a ＋2|. 由已知得|AO |＝2，又MO ⊥AO ，故可得2a 2＋4＝(a ＋2)2，解得a ＝0或a ＝4. 故⊙M 的半径r ＝2或r ＝6.(2)证明：存在定点P (1,0)，使得|MA |－|MP |为定值． 理由如下：设M (x ，y )，由已知得⊙M 的半径为r ＝|x ＋2|，|AO |＝2，由于MO ⊥AO ，故可得x 2＋y 2＋4＝(x ＋2)2，化简得M 的轨迹方程为y 2＝4x . 因为曲线C ：y 2＝4x 是以点P (1,0)为焦点，以直线x ＝－1为准线的抛物线， 所以|MP |＝x ＋1.因为|MA |－|MP |＝r －|MP |＝x ＋2－(x ＋1)＝1，所以存在满足条件的定点P .[强化训练]1．[2020广东广州一模]已知F 为抛物线C ：y 2＝6x 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且|AF |＝3|BF |，则|AB |＝( )A ．6B ．8C ．10D ．12答案：B 解析：抛物线y 2＝6x 的焦点坐标为F ⎝⎛⎭⎪⎫32，0，准线方程为x ＝－32，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵|AF |＝3|BF |，∴x 1＋32＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32， ∴x 1＝3x 2＋3，∵|y 1|＝3|y 2|，∴x 1＝9x 2， ∴x 1＝92，x 2＝12，∴|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32＝8. 故选B.2．[2020湖北四地七校联考]已知抛物线y 2＝2px (p >0)，点C (－4,0)．过抛物线的焦点作垂直于x 轴的直线，与抛物线交于A ，B 两点，若△CAB 的面积为24.则以直线AB 为准线的抛物线的标准方程是( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝8xD ．y 2＝－8x答案：D 解析：因为AB ⊥x 轴，且AB 过点F ， 所以AB 是焦点弦，且|AB |＝2p ，所以S △CAB ＝12×2p ×⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋4＝24，解得p ＝4或p ＝－12(舍)， 所以抛物线方程为y 2＝8x ， 所以直线AB 的方程为x ＝2，所以以直线AB 为准线的抛物线的标准方程为y 2＝－8x ， 故选D.3．[2020重庆一中模拟]过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 作斜率为3的直线，与抛物线在第一象限内交于点A ，若|AF |＝4，则p ＝( )A ．4B ．2C ．1D ．3答案：B 解析：设A (x 0，y 0)，过A 作x 轴的垂线交x 轴于点M ，在Rt △AMF 中，|AF |＝4，由于AF 所在直线的斜率为3， 所以∠AFM ＝60°，则|FM |＝2，故x 0＝p 2＋2，|AF |＝x 0＋p 2＝4，得x 0＝4－p 2，所以p 2＋2＝4－p2，解得p ＝2.故选B.4．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，且点P 在y 轴上的射影是M ，点A ⎝⎛⎭⎪⎫72，4，则|P A |＋|PM |的最小值是( )A.72 B ．4 C.92D ．5答案：C 解析：设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，则F ⎝⎛⎭⎪⎫12，0.又点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x ＝－12，则|PM |＝d －12. 又|P A |＋d ＝|P A |＋|PF |≥|AF |＝5， 所以|P A |＋|PM |≥92.5．设F 为抛物线y 2＝6x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点．若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB→|＋|FC →|＝( ) A ．4 B ．6 C ．9D ．12答案：C 解析：由题意，得抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，准线方程为x ＝－32. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，∵F A →＋FB →＋FC →＝0，∴点F 是△ABC 的重心， ∴x 1＋x 2＋x 3＝92. 由抛物线的定义，可得|F A →|＝x 1－⎝⎛⎭⎪⎫－32＝x 1＋32，|FB →|＝x 2－⎝⎛⎭⎪⎫－32＝x 2＋32，|FC →|＝x 3－⎝⎛⎭⎪⎫－32＝x 3＋32，∴|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋32＋x 2＋32＋x 3＋32＝9. 6．[2020安徽合肥一模]已知过抛物线y 2＝42x 焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，AF→＝3FB →，抛物线的准线l 与x 轴交于点C ，AM ⊥l 于点M ，则四边形AMCF 的面积为( )A ．123B ．12C ．83D ．63答案：A 解析：由题意得，直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为x ＝my ＋2，将其与y 2＝42x 联立可得y 2－42my －8＝0，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则y A y B ＝－8.∵AF →＝3FB →，∴y B＝－13y A， ∴y 2A ＝24，则y A ＝±26，24＝42x A ， 可得x A ＝32，|AM |＝x A ＋p2＝32＋2＝42，四边形AMCF 的面积为12(|CF |＋|AM |)×|y A |＝12×(22＋42)×26＝12 3. 故选A.7．[2020名校联盟模拟]直线l 与抛物线y 2＝2px (p >0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，OA ⊥OB ，若△AOB 的面积的最小值为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝xB ．y 2＝2xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x答案：B 解析：设直线l ：x ＝λy ＋m ，代入抛物线方程，得y 2－2pλy －2pm ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2pλ，y 1y 2＝－2pm .∵OA ⊥OB ，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝y 21y 222p ·2p ＋y 1y 2＝0，即y 1y 2＝－4p 2，∴－2pm ＝－4p 2，∴m ＝2p . ∴直线l 恒过点M (2p,0)． ∴S △AOB ＝12|OM ||y 1－y 2| ＝12×2p (y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝p (2pλ)2＋16p 2 ＝2p 2λ2＋4，当且仅当λ＝0时，S △AOB 取最小值4p 2，由4p 2＝4得p ＝1，故抛物线的方程为y 2＝2x .故选B.8．[2020河南郑州模拟]已知抛物线C ：y 2＝2x ，过原点作两条互相垂直的直线分别交C 于A ，B 两点(A ，B 均不与坐标原点重合)，则抛物线的焦点F 到直线AB 的距离的最大值为( )A ．2B ．3 C.32D ．4答案：C 解析：设直线AB 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y 2＝2x⇒y 2－2my －2t ＝0⇒y 1y 2＝－2t ， 由OA ⊥OB ⇒x 1x 2＋y 1y 2＝(y 1y 2)24＋y 1y 2＝0⇒y 1y 2＝－4， ∴t ＝2，即直线AB 过定点(2,0)．∴抛物线的焦点F 到直线AB 的距离的最大值为2－12＝32.故选C.9．[2020河南安阳一模]已知抛物线C 1：y ＝ax 2(a >0)的焦点F 也是椭圆C 2：y 24＋x 2b 2＝1(b >0)的一个焦点，点M ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1分别为曲线C 1，C 2上的点，则|MP |＋|MF |的最小值为________．答案：2 解析：将P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1代入y 24＋x 2b 2＝1，可得14＋94b 2＝1，∴b ＝3，∴c ＝1，∴抛物线的焦点F 为(0,1)， ∴抛物线C 1的方程为x 2＝4y ，准线为直线y ＝－1. 设点M 在准线上的射影为D ， 根据抛物线的定义可知，|MF |＝|MD |，∴要求|MP |＋|MF |的最小值，即求|MP |＋|MD |的最小值，易知当D ，M ，P 三点共线时，|MP |＋|MD |最小，最小值为1－(－1)＝2.10．[2020湖北武汉一模]设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l .过焦点的直线分别交抛物线于A ，B 两点，分别过点A ，B 作l 的垂线，垂足分别为点C ，D .若|AF |＝2|BF |，且△CDF 的面积为2，则p 的值为________．答案：233 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为直线AB 过焦点F ，所以y 1y 2＝－p 2. 不妨设点A 在第一象限，因为|AF |＝2|BF |，所以|y 1|＝2|y 2|，所以－2y 22＝－p 2.解得y 2＝－22p ，所以y 1＝－2y 2＝2p . 所以S △CDF ＝12|y 1－y 2|×p ＝12×322p 2＝2， 解得p ＝233.11．[2020北京二中模拟]已知抛物线y 2＝2px (p >0)过点A (2，y 0)，且点A 到其准线的距离为4.(1)求抛物线的方程；(2)直线l ：y ＝x ＋m 与抛物线交于两个不同的点P ，Q ，若OP ⊥OQ ，求实数m 的值．解：(1)已知抛物线y 2＝2px (p >0)过点A (2，y 0)，且点A 到准线的距离为4， ∴2＋p2＝4，∴p ＝4， ∴抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，y 2＝8x ，得x 2＋(2m －8)x ＋m 2＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8－2m ，x 1x 2＝m 2，y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2m ＝8，y 1y 2＝(x 1＋m )(x 2＋m )＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝8m . ∵OP ⊥OQ ，∴x 1x 2＋y 1y 2＝m 2＋8m ＝0， ∴m ＝0或m ＝－8.经检验，当m ＝0时，直线与抛物线交点中有一点与原点O 重合，不符合题意．当m ＝－8时，Δ＝242－4×64>0，符合题意． 综上，实数m 的值为－8.。
(完整版)抛物线基础练习题
完整版)抛物线基础练习题抛物线基础练习题1.抛物线方程及性质1.1 抛物线的标准方程为 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a$、$b$、$c$ 是实数常数。
a 的值决定了抛物线的开口方向。
当 $a。
0$ 时，抛物线开口向上。
当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下。
1.2 抛物线的对称轴是垂直于 x-轴的直线，可以通过以下公式求得：x = -\frac{b}{2a}$$2.抛物线图像绘制2.1 绘制抛物线图像的步骤：确定抛物线的方程。
找出对称轴的 x 坐标。
绘制对称轴，并确定对称轴上的一点。
根据对称轴上的点，绘制抛物线的图像。
2.2 使用上述步骤绘制以下抛物线的图像：2.2.1 $y = x^2$，开口向上的抛物线。
首先，我们可以得知对称轴的 x 坐标为 $x = 0$。
确定对称轴上的一点 P(0,0)，然后根据 P 点的坐标起始绘制抛物线图像。
绘制结果如下图所示：抛物线图像](image.png)3.练习题请计算并回答下列问题：1.当抛物线方程为 $y = -2x^2 + 3x + 1$ 时，求其对称轴的 x 坐标。
2.给定抛物线方程 $y = 4x^2 + 2x + 1$，求其开口方向。
4.答案解析解答上述练习题：1.根据公式 $x = -\frac{b}{2a}$，代入 $a=-2$ 和 $b=3$，我们可以计算得到对称轴的 x 坐标为 $x = -\frac{3}{2}$。
2.根据抛物线方程 $y = 4x^2 + 2x + 1$，我们可以得知 $a = 4.0$，所以抛物线的开口方向是向上。
希望以上内容能够帮助你理解抛物线的基本概念和绘制方法。
如果还有其他问题，请随时提问。
高三数学第一轮复习：抛物线的定义、性质及标准方程 知识精讲 试题
高三数学第一轮复习：抛物线的定义、性质及HY方程制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日【本讲主要内容】抛物线的定义及相关概念、抛物线的HY方程、抛物线的几何性质【知识掌握】【知识点精析】1. 抛物线定义：平面内与一个定点F和一条直线l的间隔相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线，定点F不在定直线l上。
它与椭圆、双曲线的第二定义相仿，仅比值〔离心率e〕不同，当e＝1时为抛物线，当0<e<1时为椭圆，当e>1时为双曲线。
2. 抛物线的HY方程有四种形式，参数p的几何意义，是焦点到准线的间隔，掌握不同形式方程的几何性质〔如下表〕：其中()00,P x y 为抛物线上任一点。
3. 对于抛物线()220y px p =≠上的点的坐标可设为200,2y y p ⎛⎫⎪⎝⎭，以简化运算。
4. 抛物线的焦点弦：设过抛物线y px p 220=>()的焦点F 的直线与抛物线交于()()1122,A x y B x y 、，，直线OA 与OB 的斜率分别为12k k 、，直线l 的倾斜角为α，那么有212y y p =-，2124p x x =，124k k =-，1cos p OA α=-，1cos p OB α=+，22sin pAB α=，12AB x x p =++。
说明：1. 求抛物线方程时，假设由条件可知曲线是抛物线一般用待定系数法；假设由条件可知曲线的动点的规律一般用轨迹法。
2. 凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能防止求交点坐标的复杂运算。
3. 解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质。
【解题方法指导】例1. 抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆224x y +=相交的公一共弦长等于解析：设所求抛物线的方程为22y px =或者22y px =- 设交点()()1122,A x y B x y 、，〔y 1>0〕那么12y y +=1y =224x y +=得1x =±∴点(在22y px =上，(-在22y px =-上 ∴32p =或者()321p =--，∴32p =故所求抛物线方程为23y x =或者23y x =-。
抛物线练习题带答案,知识点总结(基础版)
抛物线重难点复习一．知识点总结2.,,C F p M C 焦抛物线的焦点为为是准距上的点min ;.2pMF OF MF MF p ===(1)(2)若与对称轴垂直，则2000(,)2(0)23p M x y y px p MF x =>=±+±若是抛物线上的点则() 2000(,)224p P x y x py PF y =±=±+若是抛物线上的(点，则) (5).()(90)1cos s ()1co p MF MF pp or MF p MF MF θθθθ≥≤-+==≤ 若与抛物线的为则夹角，对称轴1)2MF MF MF 以为直径的圆与坐标轴相切(的中点到坐标轴的距离为(6)1122(,)(,),.F l A x y B x y l k θ3.过焦点的直线交抛物线于点、，记直线的斜率为倾斜角为221222:2,(),sin 2sin AOB p p C y px AB x x p S θθ∆==++==（1）若抛物线则221222:2,()cos 2cos AOB p p C x py AB y y p S θθ∆==++==（2）若抛物线则， 222222121212124:2,,;:2,,44p p C y px y y p x x C x py x x p y y ==-===-=（）若抛物线则若抛物线则112(3)2();p AF BF p+=通焦点弦的最径小值为 (5)以AB 为直径的圆与准线相切12MN AB ⎛⎫=⎪⎝⎭（6）以CD 为直径的圆与AB 相切与焦点F1．已知抛物线22(0)y px p =>上横坐标为 3 的点到其焦点的距离为 4，则p =________. 【答案】2【解析】抛物线y 2=2px （p ＞0， ∵抛物线y 2=2px （p ＞04，∴p=2.故答案为2.2．已知F 是抛物线y 2=2x 的焦点，A ,B 是该抛物线上的两点，|AF |+|BF |=11，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】∵F 是抛物线y 2=2x 的焦点∴F (12,0) ,准线方程x =−12， 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)∴|AF |+|BF |=x 1+1+x 2+1=11x 1+x 2=10,∴线段AB 的中点横坐标为5∴线段AB 5，所以B 选项是正确的.3．已知抛物线C ：的焦点为F ，()00A x y ，是C 上一点，则0x =（ ）A. 2B. 2±C. 4D. 4± 【答案】D【解析】28x y =，如图，由抛物线的几何意义，可知0022AF Al y y ===+，所以02y =， 所以04x =±，故选D 。
2022-2023学年人教A版选择性必修第一册第三章《圆锥曲线的方程》抛物线的定义与性质强化训练(解
抛物线的定义与性质强化训练（学生版）1、(2022·安徽蚌埠三模)设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若A ，B ，C 三点坐标分别为(1，2)，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝10，则x 1＋x 2＝( )A ．6B ．5C ．4D ．32、(2022·亳州市检测)过点A (3，0)且与y 轴相切的圆的圆心的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．直线D ．抛物线3、(2022·哈尔滨六中期末)过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线l 交抛物线于P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，若y 1＋y 2＝6，则|P 1P 2|＝( )A ．5B ．6C ．8D ．104、(多选)(2022·武汉模拟)设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以F 为圆心，|F A |为半径的圆交l 于B ，D 两点.若△ABF 的面积为93，则( )A.|BF |＝3B.△ABF 是等边三角形C.点F 到准线的距离为3D.抛物线C 的方程为y 2＝6x5、(2022·济南期末)直线y ＝x ＋b 交抛物线y ＝12x 2于A ，B 两点，O 为抛物线顶点，OA ⊥OB ，则b 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．26、(多选)(2022·青岛质检)设F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，直线l 过点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是( )A.|AB |≥4B.|OA |＋|OB |＞8C.若点P (2，2)，则|P A |＋|AF |的最小值是3D.△OAB 面积的最小值是27、已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上一点，PQ 垂直于l 且交l 于点Q ，M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，MN 与x 轴相交于点R ，若∠NRF ＝60°，则下列结论错误的是( )A ．∠FQP ＝60°B ．|QM |＝1C ．|FP |＝4D ．|FR |＝2 8、以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．89、(2020·高考全国卷Ⅲ)设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 C ．(1，0)D ．(2，0)10、(2022·陕西省咸阳市质检)已知点M (－3，2)是坐标平面内一定点，若抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，点Q 是该抛物线上的一动点，则|MQ |－|QF |的最小值是( )A.72 B ．3 C.52 D ．211、(2022·盐城市阜宁中学高二检测)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，点P 在抛物线的准线上，线段PF 与抛物线交于点M ，则下列判断正确的是( )A ．△OMF 可能是等边三角形B ．△OMF 可能是等腰直角三角形 C.|PF ||PM |＝1＋2|PF | D.|PF ||MF |－|PF |＝1 12、(2020·全国Ⅲ卷)设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0C.(1，0)D.(2，0)13、(多选)(2021·烟台调研)已知F 是抛物线C ：y 2＝16x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则( )A.C 的准线方程为x ＝－4B.F 点的坐标为(0，4)C.|FN |＝12D.三角形ONF 的面积为162(O 为坐标原点)14、设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|F A →|＋|FB→|＋|FC →|的值为( )A.1B.2C.3D.415、设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.334 B.938 C.6332D.9416、(2021·新高考卷Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点到直线y ＝x ＋1的距离为2，则p ＝( )A ．1B ．2C ．22D ．417、已知O 为坐标原点，M (2，2)，P ，Q 是抛物线C ：y 2＝2px 上两点，F 为其焦点，若F 到准线的距离为2，则下列说法正确的有( )A ．△PMF 周长的最小值为2 5B ．若PF→＝λFQ →，则||PQ 最小值为2 2C ．若直线PQ 过点F ，则直线OP ，OQ 的斜率之积恒为－2D ．若△POF 外接圆与抛物线C 的准线相切，则该圆面积为9π418、(2021·吉林省吉林市调研)已知抛物线y 2＝4x 的焦点F ，点A (4,3)，P 为抛物线上一点，且P 不在直线AF 上，则△P AF 周长取最小值时，线段PF 的长为( )A ．1B ．134 C ．5D ．21419、(2021·上海虹口区二模)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和l 2的距离之和的最小值为( )A．3716B．115C．2 D．7 420、(2022·重庆沙坪坝区模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点(p,0)且垂直于x轴的直线与抛物线C在第一象限内的交点为A，若|AF|＝1，则抛物线C的方程为()A．y2＝43x B．y2＝2xC．y2＝3x D．y2＝4x21、(2021·安徽蚌埠一中期中)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点P(m，－3)到焦点的距离为5，则抛物线方程为()A．x2＝8y B．x2＝4yC．x2＝－4y D．x2＝－8y22、(2021·广西四校联考)已知抛物线y2＝2px(p>0)上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为()A．4 B．9C．10 D．1823、(2021·天津河西区质检)已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|F A|＝2|FB|，则k＝()A．13B．23C．23D．22324、(2021·湖北荆州模拟)从抛物线y2＝4x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝9，设抛物线的焦点为F，则直线PF的斜率为()A．627B．1827C．427D．22725、(2022·蚌埠模拟)直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F(1，0)，且与C交于A，B两点，则p＝________，1|AF|＋1|BF|＝________．26、点P 为抛物线y 2＝4x 上的动点，点A (2,1)为平面内定点，F 为抛物线焦点，则：(1)|P A |＋|PF |的最小值为________；(2)|P A |－|PF |的最小值为________，最大值为________．27、在平面直角坐标系xOy 中，有一定点A (2，1)．若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．28、(2022·安徽省宿州市高三调研)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点，以AF 为直径的圆过点()0，2，则直线AB 的斜率为________．29、(2022·湖南名校大联考)已知P 为抛物线C ：y ＝x 2上一动点，直线l ：y ＝2x －4与x 轴、y 轴交于M ，N 两点，点A (2，－4)，且AP →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ的最小值为________．30、(2021·新高考Ⅰ卷)已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP .若|FQ |＝6，则C 的准线方程为________.31、(2021·山西大学附中模拟)已知点Q (22，0)及抛物线y ＝x 24上一动点P (x ，y )，则y ＋|PQ |的最小值是____.32、(2021·广东茂名五校联考)设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F (1,0)，过焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，若|AF |＝4|BF |，则|AB |＝____.33、(2022·龙岩一模)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为A ，以AF 为直径的圆在第一象限交抛物线于点B ，则F A →·FB →的值等于________. 34、(2022·广州模拟)已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，点P (4，y 0)在抛物线上，K 为l 与y 轴的交点，且|PK |＝2|PF |，则y 0＝________，p ＝________.35、设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 为抛物线的焦点，若B (3，2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________．36、(2022·沈阳质量检测)已知正三角形AOB (O 为坐标原点)的顶点A ，B 在抛物线y 2＝3x 上，则△AOB 的边长是________．37、(2022·北京昌平区模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1，1)，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点.(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段BM 的中点.抛物线的定义与性质强化训练（解析版）1、(2022·安徽蚌埠三模)设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若A ，B ，C 三点坐标分别为(1，2)，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，且|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝10，则x 1＋x 2＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：根据抛物线的定义，知|F A →|，|FB →|，|FC →|分别等于点A ，B ，C 到准线x ＝－1的距离，所以由|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝10，可得2＋x 1＋1＋x 2＋1＝10，即x1＋x 2＝6.故选A.2、(2022·亳州市检测)过点A (3，0)且与y 轴相切的圆的圆心的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．直线D ．抛物线解析：选D.如图，设P 为满足条件的一点，不难得出结论：点P 到点A 的距离|P A |等于点P 到y 轴的距离|PB |，故点P 在以点A 为焦点，y 轴为准线的抛物线上，故点P 的轨迹为抛物线．3、(2022·哈尔滨六中期末)过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线l 交抛物线于P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点，若y 1＋y 2＝6，则|P 1P 2|＝( )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：选C.抛物线x 2＝4y 的准线为y ＝－1，因为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点是过抛物线焦点的直线l 与抛物线的交点，所以P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点到准线的距离分别是y 1＋1，y 2＋1，所以|P 1P 2|＝y 1＋y 2＋2＝8.4、(多选)(2022·武汉模拟)设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以F 为圆心，|F A |为半径的圆交l 于B ，D 两点.若△ABF 的面积为93，则( )A.|BF |＝3B.△ABF 是等边三角形C.点F 到准线的距离为3D.抛物线C 的方程为y 2＝6x解析：因为|F A |为半径的圆交l 于B ，D 两点，所以|F A |＝|FB |；又|BF |＝|FD |＝|F A |，所以∠ABD ＝90°，|F A |＝|AB |，可得△ABF 为等边三角形，B 正确；过F 作FC ⊥AB 交于C ，则C 为AB 的中点，C 的横坐标为p2，B 的横坐标为－p 2，所以A 的横坐标为3p 2，代入抛物线可得y 2A ＝3p 2，|y A |＝3p ，△ABF 的面积为93，即12(x A －x B )|y A |＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫3p 2＋p 2·3p ＝93，解得p ＝3，所以抛物线的方程为y 2＝6x ，D 正确；焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，所以焦点到准线的距离为32×2＝3，C 正确；此时点A 的横坐标为92，所以|BF |＝|AF |＝|AB |＝92＋32＝6，A 不正确.5、(2022·济南期末)直线y ＝x ＋b 交抛物线y ＝12x 2于A ，B 两点，O 为抛物线顶点，OA ⊥OB ，则b 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：D 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝x ＋b 代入y ＝12x 2，化简可得x 2－2x －2b ＝0，故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－2b ，所以y 1y 2＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝b 2．又OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，即－2b ＋b 2＝0，则b ＝2或b ＝0，经检验b ＝0时，不符合题意，故b ＝2．6、(多选)(2022·青岛质检)设F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，直线l 过点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则下列结论正确的是( )A.|AB |≥4B.|OA |＋|OB |＞8C.若点P (2，2)，则|P A |＋|AF |的最小值是3D.△OAB 面积的最小值是2解析：由题意知F (1，0)，不妨设A 在第一象限， (1)若直线l 斜率不存在， 则A (1，2)，B (1，－2)，则|AB |＝4，|OA |＋|OB |＝2|OA |＝25，S △OAB ＝12×4×1＝2，显然B 错误； (2)若直线l 存在斜率，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)，显然k ≠0， 联立方程组⎩⎨⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，消元得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k 2， ∴|AB |＝x 1＋x 2＋2＝4＋4k 2＞4， 原点O 到直线l 的距离d ＝|k |k 2＋1， ∴S △OAB ＝12×|AB |×d ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋4k 2×|k |k 2＋1＝21＋1k 2＞2，综上，|AB |≥4，S △OAB ≥2，故A 正确，D 正确. 过点A 向准线作垂线，垂足为N ， 则|P A |＋|AF |＝|P A |＋|AN |.又P (2，2)在抛物线右侧，故当P ，A ，N 三点共线时，|P A |＋|AF |取得最小值3，故C 正确.故选ACD.7、已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为C 上一点，PQ 垂直于l 且交l 于点Q ，M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，MN 与x 轴相交于点R ，若∠NRF ＝60°，则下列结论错误的是( )A ．∠FQP ＝60°B ．|QM |＝1C ．|FP |＝4D ．|FR |＝2解析：选B.如图，连接FQ ，FM ，因为M ，N 分别为PQ ，PF 的中点，所以MN ∥FQ ，又PQ ∥x 轴，∠NRF ＝60°，所以∠FQP ＝60°，由抛物线的定义知，|PQ |＝|PF |，所以△FQP 为等边三角形，则FM ⊥PQ ，|QM |＝2，等边三角形FQP 的边长为4，|FP |＝|PQ |＝4，|FN |＝12|PF |＝2，则△FRN 为等边三角形，所以|FR |＝2.故选B.8、以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B.如图，不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，A (x 1，22)，则x 1＝（22）22p ＝4p ，由题意知|OA |＝|OD |，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫4p 2＋8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22＋5，解得p ＝4. 9、(2020·高考全国卷Ⅲ)设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 C ．(1，0)D ．(2，0)解析：选B.将直线方程与抛物线方程联立，可得y ＝±2p ，不妨设D (2，2p )，E (2，－2p )，由OD ⊥OE ，可得OD →·OE →＝4－4p ＝0，解得p ＝1，所以抛物线C的方程为y 2＝2x ，其焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.10、(2022·陕西省咸阳市质检)已知点M (－3，2)是坐标平面内一定点，若抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，点Q 是该抛物线上的一动点，则|MQ |－|QF |的最小值是( )A.72 B ．3 C.52 D ．2解析：选C.如图，抛物线的准线方程为x ＝－12，过点Q 作QQ ′垂直准线于点Q ′，|MQ |－|QF |＝|MQ |－|QQ ′|，显然当MQ ∥x 轴时，|MQ |－|QF |取得最小值，此时|MQ |－|QF |＝|2＋3|－⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋12＝52.11、(2022·盐城市阜宁中学高二检测)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，点P 在抛物线的准线上，线段PF 与抛物线交于点M ，则下列判断正确的是( )A ．△OMF 可能是等边三角形B ．△OMF 可能是等腰直角三角形 C.|PF ||PM |＝1＋2|PF | D.|PF ||MF |－|PF |＝1解析：选C.若△OMF 是等边三角形，则边长为1，且点M 的横坐标为12，纵坐标为±2，此时|OM |＝14＋2＝32≠1，所以△OMF 不可能是等边三角形，故A 不正确；若△OMF 是等腰直角三角形，则只可能是∠OMF ＝90°，|OM |＝|FM |＝32，所以|OM |2＋|FM |2≠|OF |2，故B 不正确；过点M 作准线的垂线交准线于点N ，则|MF |＝|MN |，|PF ||PM |＝|PM |＋|MF ||PM |＝1＋|MF ||PM |＝1＋|MN ||PM |＝1＋2|PF |，故C 正确，D 不正确．12、(2020·全国Ⅲ卷)设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p >0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0C.(1，0)D.(2，0)解析：将x ＝2与抛物线方程y 2＝2px 联立，可得y ＝±2p ，不妨设D (2，2p )，E (2，－2p )，由OD ⊥OE ，可得OD →·OE →＝4－4p ＝0，解得p ＝1，所以抛物线C的方程为y 2＝2x .其焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.13、(多选)(2021·烟台调研)已知F 是抛物线C ：y 2＝16x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则( )A.C 的准线方程为x ＝－4B.F 点的坐标为(0，4)C.|FN |＝12D.三角形ONF 的面积为162(O 为坐标原点)解析：不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线l 与x 轴交于点F ′，作MB ⊥l 于点B ，NA ⊥l 于点A .由抛物线的解析式可得准线方程为x ＝－4，F 点的坐标为(4，0)，A 正确，B 错误.故|AN |＝4，|FF ′|＝8，在直角梯形ANFF ′中，中位线|BM |＝|AN |＋|FF ′|2＝6， 由抛物线的定义有|MF |＝|MB |＝6，结合题意，有|MN |＝|MF |＝6， 故|FN |＝|FM |＋|NM |＝6＋6＝12，C 正确，而|ON |＝122－42＝82， S ONF ＝12×82×4＝162，D 正确.14、设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|F A →|＋|FB→|＋|FC →|的值为( )A.1B.2C.3D.4解析：依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)， 又焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，所以x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32，则|F A →|＋|FB→|＋|FC →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3. 15、设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.334 B.938 C.6332D.94解析：由已知得焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，因此直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，即4x －43y －3＝0.方法一：联立直线方程与抛物线方程化简得 4y 2－123y －9＝0，则y A ＋y B ＝33，y A y B ＝－94， 故|y A －y B |＝（y A ＋y B ）2－4y A y B ＝6. 因此S △OAB ＝12|OF ||y A －y B |＝12×34×6＝94.方法二：联立直线方程与抛物线方程得x 2－212x ＋916＝0， 故x A ＋x B ＝212.根据抛物线的定义有|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝212＋32＝12， 同时原点到直线AB 的距离为d ＝|－3|42＋（－43）2＝38，因此S △OAB ＝12|AB |·d ＝94.16、(2021·新高考卷Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点到直线y ＝x ＋1的距离为2，则p ＝( )A ．1B ．2C ．22D ．4解析：选B.抛物线的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，其到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪p 2－0＋11＋1＝2，解得p ＝2(p ＝－6舍去)．故选B. 17、已知O 为坐标原点，M (2，2)，P ，Q 是抛物线C ：y 2＝2px 上两点，F 为其焦点，若F 到准线的距离为2，则下列说法正确的有( )A ．△PMF 周长的最小值为2 5B ．若PF→＝λFQ →，则||PQ 最小值为2 2 C ．若直线PQ 过点F ，则直线OP ，OQ 的斜率之积恒为－2 D ．若△POF 外接圆与抛物线C 的准线相切，则该圆面积为9π4 解析：选D.因为F 到准线的距离为2，所以p ＝2，所以抛物线C ：y 2＝4x ，F (1，0)，|MF |＝（2－1）2＋（2－0）2＝5，准线l ：x ＝－1，对于A ，过P 作PN ⊥l ，垂足为N ，则|PF |＋|PM |＝|PN |＋|PM |≥|MN |＝2＋1＝3，所以△PMF 周长的最小值为3＋5，故A 不正确； 对于B ，若PF→＝λFQ →，则弦PQ 过F ，过P 作l 的垂线，垂足为P ′，过Q 作l 的垂线，垂足为Q ′，设PQ 的中点为G ，过G 作GG ′⊥l ，垂足为G ′，则|PQ |＝|PF |＋|QF |＝|PP ′|＋|QQ ′|＝2|GG ′|≥2×2＝4，即||PQ 最小值为4，故B 不正确；对于C ，若直线PQ 过点F ，设直线PQ ：x ＝my ＋1， 联立⎩⎨⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消去x 得y 2－4my －4＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4， 所以k OP ·k OQ ＝y 1x 1·y 2x 2＝4y 1·4y 2＝16－4＝－4，故C 不正确；对于D ，因为OF 为外接圆的弦，所以圆心的横坐标为12，因为△POF 外接圆与抛物线C 的准线相切，所以圆的半径为1＋12＝32， 所以该圆面积为π(32)2＝94π，故D 正确．18、(2021·吉林省吉林市调研)已知抛物线y 2＝4x 的焦点F ，点A (4,3)，P 为抛物线上一点，且P 不在直线AF 上，则△P AF 周长取最小值时，线段PF 的长为( )A ．1B ．134 C ．5D ．214解析：求△P AF 周长的最小值，即求|P A |＋|PF |的最小值，设点P 在准线上的射影为D ，根据抛物线的定义，可知|PF |＝|PD |，因此，|P A |＋|PF |的最小值，即|P A |＋|PD |的最小值．根据平面几何知识，可得当D ，P ，A 三点共线时|P A |＋|PD |最小，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫94，3，且|PF |＝94＋1＝134，故选B ．19、(2021·上海虹口区二模)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和l 2的距离之和的最小值为( )A ．3716 B ．115 C ．2D ．74解析：直线l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，则点P 到直线l 2：x ＝－1的距离等于|PF |，过点F 作直线l 1：4x －3y ＋6＝0的垂线，和抛物线的交点就是点P ，所以点P 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离和到直线l 2：x ＝－1的距离之和的最小值就是点F (1,0)到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值为|4－0＋6|32＋42＝2，故选C ．20、(2022·重庆沙坪坝区模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过点(p,0)且垂直于x 轴的直线与抛物线C 在第一象限内的交点为A ，若|AF |＝1，则抛物线C 的方程为( )A ．y 2＝43x B ．y 2＝2x C ．y 2＝3xD ．y 2＝4x解析：由题意知x A ＝p ，又|AF |＝x A ＋p 2＝3p 2＝1，∴p ＝23，∴抛物线C 的方程为y 2＝43x ，故选A ．21、(2021·安徽蚌埠一中期中)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点P (m ，－3)到焦点的距离为5，则抛物线方程为( )A ．x 2＝8yB ．x 2＝4yC ．x 2＝－4yD ．x 2＝－8y解析：由题意可知抛物线的焦点在y 轴负半轴上，故设其方程为x 2＝－2py (p >0)，所以3＋p2＝5，即p ＝4，所以所求抛物线方程为x 2＝－8y ，故选D ． 22、(2021·广西四校联考)已知抛物线y 2＝2px (p >0)上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为( )A ．4B ．9C ．10D ．18解析：抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p 2.由题意可得4＋p2＝9，解得p ＝10，所以该抛物线的焦点到准线的距离为10.故选C ．23、(2021·天津河西区质检)已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若|F A |＝2|FB |，则k ＝( )A ．13 B ．23 C ．23D ．223解析：设抛物线C ：y 2＝8x 的准线为l ：x ＝－2，直线y ＝k (x ＋2)(k >0)恒过定点P (－2,0)，如图过A 、B 分别作AM ⊥l 于M ，BN ⊥l 于N ，由|F A |＝2|FB |，则|AM |＝2|BN |， 点B 为AP 的中点、连接OB ，则|OB |＝12|AF |，∴|OB |＝|BF |，点B 的横坐标为1，故点B 的坐标为(1,22)，∴k ＝22－01－(－2)＝223.24、(2021·湖北荆州模拟)从抛物线y 2＝4x 在第一象限内的一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝9，设抛物线的焦点为F ，则直线PF 的斜率为( )A ．627 B ．1827 C ．427D ．227解析：设P (x 0，y 0)，由抛物线y 2＝4x ， 可知其焦点F 的坐标为(1,0)， 故|PM |＝x 0＋1＝9，解得x 0＝8， 故P 点坐标为(8,42)，所以k PF ＝0－421－8＝427.故选C ．25、(2022·蚌埠模拟)直线l 过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F (1，0)，且与C 交于A ，B 两点，则p ＝________，1|AF |＋1|BF |＝________．解析：由题意知p2＝1，从而p ＝2， 所以抛物线方程为y 2＝4x .当直线AB 的斜率不存在时，将x ＝1代入抛物线方程， 解得|AF |＝|BF |＝2，从而1|AF |＋1|BF |＝1.当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为y ＝k (x －1)， 联立⎩⎨⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x ，整理，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1，从而1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋1＋1x 2＋1＝x 1＋x 2＋2x 1＋x 2＋x 1x 2＋1＝x 1＋x 2＋2x 1＋x 2＋2＝1.综上，1|AF |＋1|BF |＝1. 为x ＝－32.26、点P 为抛物线y 2＝4x 上的动点，点A (2,1)为平面内定点，F 为抛物线焦点，则：(1)|P A |＋|PF |的最小值为________；(2)|P A |－|PF |的最小值为________，最大值为________．解析：(1)如图①，由抛物线定义可知，|PF |＝|PH |，|P A |＋|PF |＝|P A |＋|PH |，从而最小值为A 到准线的距离为3．如图②，当P ，A ，F 三点共线，且P 在F A 延长线上时，|P A |－|PF |有最小值为－|AF |＝－2．当P ，A ，F 三点共线，且P 在AF 延长线上时，|P A |－|PF |有最大值为|AF |＝2．故|P A |－|PF |最小值为－2，最大值为2．27、在平面直角坐标系xOy 中，有一定点A (2，1)．若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．解析：线段OA 的垂直平分线方程是y ＝－2x ＋52，且交x 轴于点⎝ ⎛⎭⎪⎫54，0，该点为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，故该抛物线的准线方程为x ＝－54.28、(2022·安徽省宿州市高三调研)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 的直线交抛物线C 于A ，B 两点，以AF 为直径的圆过点()0，2，则直线AB 的斜率为________．解析：由抛物线C ：y 2＝4x 可得焦点为F ()1，0，设A ()x 1，y 1， 由抛物线的定义可得||AF ＝x 1＋p2＝x 1＋1， AF 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋12，y 12，所以AF 为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 1＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y 122＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋122， 因为以AF 为直径的圆过点()0，2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫0－x 1＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－y 122＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋122，可得y 1＝4，所以x 1＝4， 所以点A ()4，4， 所以直线AB 的斜率为4－04－1＝43. 29、(2022·湖南名校大联考)已知P 为抛物线C ：y ＝x 2上一动点，直线l ：y ＝2x －4与x 轴、y 轴交于M ，N 两点，点A (2，－4)，且AP →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ的最小值为________．解析：由题意得M (2，0)，N (0，－4)，设P (x ，y )，由AP →＝λAM →＋μAN →得(x－2，y ＋4)＝λ(0，4)＋μ(－2，0)．所以x －2＝－2μ，y ＋4＝4λ.因此λ＋μ＝y ＋44－x －22＝x 24－x 2＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－122＋74≥74，故λ＋μ的最小值为74.30、(2021·新高考Ⅰ卷)已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP .若|FQ |＝6，则C 的准线方程为________.解析： 由题意易得|OF |＝p2，|PF |＝p ，∠OPF ＝∠PQF ，所以tan ∠OPF ＝tan ∠PQF ，所以|OF ||PF |＝|PF ||FQ |，即p 2p ＝p 6，解得p ＝3，所以C 的准线方程为x ＝－32.法二 由题意易得|OF |＝p 2，|PF |＝p ，|PF |2＝|OF |·|FQ |，即p 2＝p2·6，解得p＝3或p＝0(舍去)，所以C的准线方程为x＝－3 2.31、(2021·山西大学附中模拟)已知点Q(22，0)及抛物线y＝x24上一动点P(x，y)，则y＋|PQ|的最小值是____.解析：抛物线y＝x24即x2＝4y，其焦点坐标为F(0,1)，准线方程为y＝－1.因为点Q的坐标为(22，0)，所以|FQ|＝(22)2＋12＝3.过点P作准线的垂线PH，交x轴于点D，如图所示．结合抛物线的定义，有y＋|PQ|＝|PD|＋|PQ|＝|PH|＋|PQ|－1＝|PF|＋|PQ|－1≥|FQ|－1＝3－1＝2，即y＋|PQ|的最小值是2.32、(2021·广东茂名五校联考)设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F(1,0)，过焦点的直线交抛物线于A、B两点，若|AF|＝4|BF|，则|AB|＝____.解析：解法一：如图，设抛物线的准线为l，AC⊥l于C，BD⊥l于D，BM ⊥AC于M，交x轴于N，l交x轴于H，则|FH|＝2，设|BF|＝a，则|AB|＝5a，由△BNF∽△BMA得|FN| |BF|＝|AM||AB|，即2－aa＝35，解得a＝54，∴|AB|＝254.解法二：∵p 2＝1，∴p ＝2，不妨设直线AB 方程为x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y 2＝4x x ＝my ＋1，得y 2－4my －4＝0， ∴y 1y 2＝－4，又|AF |＝4|BF |，∴y 1＝－4y 2，∴y 2＝－1，从而x 2＝14，∴|BF |＝1＋14＝54，∴|AB |＝5|BF |＝254.33、(2022·龙岩一模)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为A ，以AF 为直径的圆在第一象限交抛物线于点B ，则F A →·FB→的值等于________. 解析： 设B (x 0，y 0).由方程组⎩⎨⎧y 2＝4x （x ≥0），x 2＋y 2＝1，消去y 并整理， 得x 2＋4x －1＝0(x ≥0)，解得x 0＝5－2.由题意，得F (1，0)，A (－1，0)，∴F A →＝(－2，0)，FB →＝(x 0－1，y 0). ∴F A →·FB →＝(－2，0)·(x 0－1，y 0)＝－2(x 0－1)＝2－2x 0＝2－2(5－2)＝6－2 5.34、(2022·广州模拟)已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，点P (4，y 0)在抛物线上，K 为l 与y 轴的交点，且|PK |＝2|PF |，则y 0＝________，p ＝________.解析：作PM ⊥l ，垂足为M ，由抛物线定义知|PM |＝|PF |，又知|PK |＝2|PF |，∴在Rt △PKM 中，sin ∠PKM ＝|PM ||PK |＝|PF ||PK |＝22，∴∠PKM ＝45°，∴△PMK 为等腰直角三角形，∴|PM |＝|MK |＝4，又知点P 在抛物线x 2＝2py (p ＞0)上，∴⎩⎪⎨⎪⎧py 0＝8，y 0＋p 2＝4，解得⎩⎨⎧p ＝4，y 0＝2. 35、设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 为抛物线的焦点，若B (3，2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________．解析：如图，过点B 作BQ 垂直准线于点Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |.则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4.即|PB |＋|PF |的最小值为4.36、(2022·沈阳质量检测)已知正三角形AOB (O 为坐标原点)的顶点A ，B 在抛物线y 2＝3x 上，则△AOB 的边长是________．解析：如图，设△AOB 的边长为a ，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，12a ，因为点A 在抛物线y 2＝3x 上，所以14a 2＝3×32a ，所以a ＝6 3.37、(2022·北京昌平区模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px 过点P (1，1)，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12作直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，其中O 为原点.(1)求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A 为线段BM 的中点.(1)解 把P (1，1)代入y 2＝2px 得p ＝12，∴抛物线C 的方程为y 2＝x ，焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线方程为x ＝－14. (2)证明 ∵BM ⊥x 轴，∴设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，A (x 1，y A )，B (x 1，y B )，根据题意显然有x 1≠0.若要证A 为BM 的中点，只需证2y A ＝y B ＋y 1即可，左右同除以x 1有2y A x 1＝y B x 1＋y 1x 1， 即只需证明2k OA ＝k OB ＋k OM 成立，其中k OA ＝k OP ＝1，k OB ＝k ON .当直线MN 斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足题意，所以直线MN 斜率存在且不为零.设直线MN ：y ＝kx ＋12(k ≠0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12，y 2＝x消y 得，k 2x 2＋(k －1)x ＋14＝0， 考虑Δ＝(k －1)2－4×14×k 2＝1－2k ，由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以k <12.由根与系数关系可知：x 1＋x 2＝1－k k 2，①x 1x 2＝14k 2.②k OB ＋k OM ＝k ON ＋k OM ＝y 2x 2＋y 1x 1＝kx 2＋12x 2＋kx 1＋12x 1＝2k ＋x 1＋x 22x 1x 2. 将①②代入上式，有2k ＋x 1＋x 22x 1x 2＝2k ＋1－kk 22×14k 2＝2k ＋2(1－k )＝2， 即k ON ＋k OM ＝k OB ＋k OM ＝2＝2k OA ，∴2y A ＝y B ＋y 1恒成立，∴A 为BM 的中点，得证.。
人教版高中数学【选修2-1】[知识点整理及重点题型梳理]_抛物线的方程与性质_基础
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人教版高中数学选修2-1知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习抛物线的方程与性质【学习目标】1．掌握抛物线的定义 、几何图形和标准方程.2．理解抛物线的简单性质（范围、对称性、顶点、离心率）. 3．能用抛物线的方程与性质解决与抛物线有关的简单问题. 4. 进一步体会数形结合的思想方法. 【要点梳理】要点一、抛物线的定义定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．要点二、抛物线的标准方程 标准方程的推导如图，以过F 且垂直于 l 的直线为x 轴,垂足为K.以F,K 的中点O 为坐标原点建立直角坐标系xoy. 设|KF|=p(p ＞0)，那么焦点F 的坐标为(,0)2p ，准线l 的方程为2p x =-. 设点M （x,y ）是抛物线上任意一点，点M 到l 的距离为d.由抛物线的定义，抛物线就是集合}|||{d MF M P ==..|2|)2(|,2|,)2(||2222p x y p x px d y p x MF +=+-∴+=+-=将上式两边平方并化简，得22(0)y px p =>. ①方程①叫抛物线的标准方程，它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴上，坐标是(,0)2p它的准线方程是2p x =-. 抛物线标准方程的四种形式：根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式22y px =，22y px =-，22x py =，22x py =-(0)p >。
要点诠释：①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程；②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线220x y =-的一次项为20y -，故其焦点在y 轴上，且开口向负方向（向下）③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍，比如抛物线220x y =-的一次项20y -的系数为20-，故其焦点坐标是(0,5)-。
高考一轮复习 抛物线 知识点+例题+练习
自主梳理1．抛物线的概念平面内到一个定点F 和一条定直线l (F 不在l 上)的距离________的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的________，直线l 叫做抛物线的________．2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0) p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F (p2，0) F (－p2，0)F (0，p 2)F (0，－p2)离心率 e ＝1准线 方程 x ＝－p 2x ＝p 2 y ＝－p 2y ＝p 2 范围 x ≥0， y ∈R x ≤0， y ∈R y ≥0， x ∈R y ≤0， x ∈R 开口 方向向右向左向上向下自我检测1．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是________．2．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．3．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是________．4．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝________.5．已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过该抛物线焦点F 且不与x 轴垂直的直线AB 交抛物线于A 、B 两点，过点A 、点B 分别作AM 、BN 垂直于抛物线的准线，分别交准线于M 、N 两点，那么∠MFN ＝________.学生姓名 教师姓名班主任 日期时间段年级课时教学内容 抛物线复习教学目标 1.掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质. 2.理解数形结合的思想． 重点 同上 难点同上探究点一抛物线的定义及应用例1已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求P A ＋PF的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．变式迁移1已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为________．探究点二求抛物线的标准方程例2已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．变式迁移2 根据下列条件求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点F 是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点； (2)过点P (2，－4)．探究点三 抛物线的几何性质例3 过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的直线和抛物线相交于A ，B 两点，如图所示．(1)若A ，B 的纵坐标分别为y 1，y 2，求证：y 1y 2＝－p 2；(2)若直线AO 与抛物线的准线相交于点C ，求证：BC ∥x 轴．变式迁移3 已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦，F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．求证：(1)x 1x 2＝p 24；(2)1AF ＋1BF为定值．一、填空题1．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB 等于________．2．将两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则n ＝________.3．已知抛物线y 2＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是________．4．抛物线y 2＝x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________．5．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标为________．6．设圆C 位于抛物线y 2＝2x 与直线x ＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C 的半径能取到的最大值为________．7．已知A 、B 是抛物线x 2＝4y 上的两点，线段AB 的中点为M (2,2)，则AB ＝________.8．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0，2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．二、解答题9．已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线y ＝2x ＋1所得的弦长为15，求抛物线方程．10．已知抛物线C：x2＝8y.AB是抛物线C的动弦，且AB过F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明：AQ⊥BQ.轨迹方程自主梳理1．曲线的方程与方程的曲线如果曲线C 上点的坐标(x ，y )都是方程f (x ，y )＝0的解，且以方程f (x ，y )＝0的解(x ，y )为坐标的点都在曲线C 上，那么，方程f (x ，y )＝0叫做曲线C 的方程．曲线C 叫做方程f (x ，y )＝0的曲线．2．求曲线方程的一般方法(五步法)求曲线(图形)的方程，一般有下面几个步骤：(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标； (2)写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}； (3)用坐标表示条件p (M )，列出方程f (x ，y )＝0； (4)化方程f (x ，y )＝0为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．3．求曲线方程的常用方法：(1)直接法；(2)定义法；(3)代入法；(4)参数法．自我检测1．已知动点P 在曲线2x 2－y ＝0上移动，则点A (0，－1)与点P 连线中点的轨迹方程为______________．2．一动圆与圆O ：x 2＋y 2＝1外切，而与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋8＝0内切，那么动圆的圆心P 的轨迹是__________________________________________________________________．3．已知A (0,7)、B (0，－7)、C (12,2)，以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是______________________．4．若M 、N 为两个定点且MN ＝6，动点P 满足PM →·PN →＝0，则P 点的轨迹方程为________．5．若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是__________________．探究点一 直接法求轨迹方程例1 动点P 与两定点A (a,0)，B (－a,0)连线的斜率的乘积为k ，试求点P 的轨迹方程，并讨论轨迹是什么曲线．变式迁移1 已知两点M (－2,0)、N (2,0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →||MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为______________．探究点二 定义法求轨迹方程例2 已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且O 1O 2＝4.动圆M 与圆O 1内切，又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．变式迁移2 在△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B ⎝⎛⎭⎫－a 2，0，C ⎝⎛⎭⎫a2，0，且满足条件sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程为____________________________________．探究点三 相关点法(代入法)求轨迹方程例3 如图所示，从双曲线x 2－y 2＝1上一点Q 引直线x ＋y ＝2的垂线，垂足为N . 求线段QN 的中点P 的轨迹方程．变式迁移3 已知长为1＋2的线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，P是AB 上一点，且AP →＝22PB →.求点P 的轨迹C 的方程．一、填空题1．已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆的一个动点，如果M 是线段F 1P 的中点，则动点M 的轨迹是_________________________________________________________________．2．已知A 、B 是两个定点，且AB ＝3，CB －CA ＝2，则点C 的轨迹方程为______________．3．长为3的线段AB 的端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，AC →＝2CB →，则点C 的轨迹方程为____________．4．如图，圆O ：x 2＋y 2＝16，A (－2，0)，B (2,0)为两个定点．直线l 是圆O 的一条切线，若经过A 、B 两点的抛物线以直线l 为准线，则抛物线焦点所在的轨迹是________．5．P 是椭圆x 216＋y 29＝1上的动点，作PD ⊥y 轴，D 为垂足，则PD 中点的轨迹方程为____________．6．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足P A ＝2PB ，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于______．7．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长CD ＝3，则顶点A 的轨迹方程为______________．8．平面上有三点A (－2，y )，B ⎝⎛⎭⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为__________．二、解答题9．已知抛物线y2＝4px (p>0)，O为顶点，A，B为抛物线上的两动点，且满足OA⊥OB，如果OM⊥AB于点M，求点M的轨迹方程．10．已知椭圆C的中心为平面直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆C的方程；(2)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的一点，OPOM＝λ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．。
2022年高考数学一轮复习专题 专题41 抛物线基础巩固检测题(解析版)
专题41 抛物线基础巩固检测题（解析版）一、单选题1．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A B 、两点，若F 是线段AB 的中点，则AB =（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D 【分析】依据题意可知线段AB 为抛物线的通径可得结果. 【详解】由题可知：线段AB 为抛物线的通径 所以AB 4= 故选：D2．P 为抛物线22(0)y px p =>上一点，点P 到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，则p =（ ） A ．2 B ．4C ．4或9D ．2或18【答案】D 【分析】由抛物线22(0)y px p =>可得准线l 的方程为：2px =-，设点(,)P x y ，再由点P 到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，可得102px +=，6y =±，再与抛物线方程22(0)y px p =>，联立解方程组，即可求解. 【详解】解：由题意可得：抛物线22(0)y px p =>的准线l 的方程为：2p x =-设点(,)P x y ，又因点P 到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，所以有210262p x y y px⎧+=⎪⎪=±⎨⎪=⎪⎩，解得118x p =⎧⎨=⎩或92x p =⎧⎨=⎩，即p 的值分别为18或2. 故选：D. 【点睛】本题考查了抛物线的标准方程及其性质，考查理解辨析能力及运算求解能力，属于基础题.3．已知抛物线方程为24x y =，则该抛物线的焦点坐标为（ ） A ．(0,1)- B ．1,016⎛-⎫⎪⎝⎭C ．1,016⎛⎫⎪⎝⎭D ．(0,1)【答案】D 【分析】根据抛物线方程求出2p =，即可得抛物线的焦点坐标. 【详解】由抛物线方程24x y =可知24p =，所以2p =，又抛物线的焦点在y 轴正半轴上，所以该抛物线的焦点坐标为(0,1). 故选：D4．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点在直线10x y +-=上，又经过抛物线C 的焦点且倾斜角为60︒的直线交抛物线C 于A ､B 两点，则||AB =（ ） A ．12 B ．14C ．16D ．18【答案】C 【分析】直线10x y +-=与y 轴的交点就是抛物线的焦点，从而可求出抛物线方程，然后将倾斜角为60︒的直线方程与抛物线方程联立成方程组，消去x ，整理后利用根与系数的关系可得1214y y +=，从而再利用抛物线的定义可求出||AB 【详解】解：因为直线10x y +-=与y 轴的交点为(0,1)，所以抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点坐标为(0,1)，设(0,1)F ，抛物线方程为24x y =，所以过焦点且倾斜角为60︒的直线方程为1y =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，由241x y y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，得21410y y -+=， 所以1214y y +=，所以12||14216AB y y p =++=+=， 故选：C 5．抛物线2y x 的准线方程是（ ）A ．14y =-B ．12yC ．14x =-D ．12x =-【答案】A 【分析】利用抛物线准线方程定义求解即可． 【详解】抛物线的准线方程为2x y =，焦点在y 轴上，21p ∴=，即12p =，124p ∴=， ∴准线方程是124p y =-=-． 故选：A.6．顶点在原点，关于y 轴对称，并且经过点M (－4，5)的抛物线方程为（ ）A ．y 2＝165x B ．y 2＝－165x C ．x 2＝165yD ．x 2＝－165y【答案】C 【分析】由题意设方程为x 2＝2py (p >0)，点M (－4，5)代入计算即可. 【详解】由题设知，抛物线开口向上，设方程为x 2＝2py (p >0)，将(－4，5)代入得8,5p =所以，抛物线方程为2165x y =． 故选：C ．7．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，直线()2y k x =+与抛物线C 交于点()1,2A ，B ，则FB =（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【分析】通过A 点的坐标算出p ，再根据点,A B 以及点()2,0-三点共线算出B 点坐标，再利用焦半径公式即可. 【详解】由点()1,2A 在抛物线C 上得2p =，设2,4t B t ⎛⎫⎪⎝⎭，由直线过定点()2,0-得()()221224tk t==----，解得4t =（舍去2），()4,4B 所以452pFB =+= 故选：C.8．已知平面α和两条异面直线,a b 满足,a b αα⊂⊥，平面α内的动点M 到两条直线,a b 的距离相等，则点M 的轨迹是（ ） A ．两条直线 B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【答案】D 【分析】利用抛物线的定义即可得出选项. 【详解】b α⊥，垂足设为F ，则平面α内的动点M 到定直线a 与到F 的距离相等， 满足抛物线的定义. 故选：D9．已知A 为抛物线C ：22x py =(0p >)上一点，点A 到C 的焦点的距离为6，到x 轴的距离为4，则p =（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．6【答案】C 【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案. 【详解】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||62A pAF y =+=， 所以642p=+，解得4p =. 故选：C.10．已知()()1,0,2,0A B -为ABC ∆的两个顶点，点C 在抛物线28x y =上，且到焦点的距离为16，则ABC ∆的面积为（ ） A ．12 B ．18C ．21D ．24【答案】C 【分析】根据抛物线的定义知，得到0216y +=，求得0y 的值，利用三角形的面积公式，即可求解. 【详解】由题意，点C 在抛物线28x y =上，设()00,C x y ， 又由抛物线28x y =的准线方程为2y =-根据抛物线的定义知，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 即0216y +=，解得014y =， 所以()01121142122ABC S AB y ∆=⨯⋅=⨯+⨯=. 故选：C.11．已知抛物线24y x =，过其焦点F 的直线l 交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点，若1x ，3，2x 三个数构成等差数列，则线段AB 的长为（ ） A ．9 B ．8C ．7D ．6【答案】B 【分析】先求出抛物线的焦点坐标，再利用抛物线的定义以及等差数列的性质，即可求解. 【详解】由题意，抛物线24y x =，可得其焦点坐标为(1,0)F ， 根据抛物线的定义，可得1212222p pAB AF BF x x x x =+=+++=++， 又由1x ，3，2x 三个数构成等差数列，所以126x x +=，所以628AB =+=. 故答案为：8.12．已知抛物线21:2(0)C x py p =>的焦点为F ，点A 在抛物线1C 上，且4||3AF =，抛物线22:8C y px =的焦点为F '，若点A 的纵坐标为12，则FF '=（ ）A ．2B ．4C D ．4【答案】B 【分析】根据焦半径公式计算12p =，然后代入写出点F 和F '的坐标，利用两点距离公式求解. 【详解】因为4||3AF =，所以13224p +=，解得12p =．所以22121:,:4,0,4C x y C y x F ⎛⎫== ⎪⎝⎭，(1,0)F '，所以4FF '==. 故选：B二、填空题13．若抛物线C 顶点在原点，焦点在y 轴上，且过点(2,1)，则C 的标准方程是___________. 【答案】24x y = 【分析】利用待定系数法求出抛物线方程即可； 【详解】解：因为抛物线C 顶点在原点，焦点在y 轴上，故设抛物线方程为2x my =，又抛物线过点(2,1)，所以22m =，即4m =，所以抛物线方程为24x y = 故答案为：24x y =14．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22x y =的焦点到准线的距离为__________． 【答案】1 【分析】求出抛物线22x y =的焦点坐标与准线方程，从而可得答案. 【详解】由22x y =可得1p =，抛物线22x y =的焦点坐标为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为12y， 所以抛物线22x y =的焦点到准线的距离为11122⎛⎫--= ⎪⎝⎭， 故答案为：1.15．若点(2021,)P t 在抛物线24y x =上，点F 为该抛物线的焦点，则PF 的值为_______. 【答案】2022 【分析】由抛物线的方程求出抛物线的准线方程，根据抛物线的定义可得PF 等于点(2021,)P t 到准线的距离即可求解. 【详解】由24y x =可得其焦点()1,0F ，准线为1x =-， 因为点(2021,)P t 在抛物线24y x =上，所以点(2021,)P t 到焦点的距离等于到准线1x =-的距离， 所以()202112022PF =--=， 故答案为：2022.16．人们已经证明，抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴，探照灯、手电筒就是利用这个原理设计的.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，从点F 出发的光线经抛物线上第一象限内的一点P 反射后的光线所在直线方程为y =，若入射光线FP 的斜率为方程为______. 【答案】22y x = 【分析】利用已知条件求出P 的坐标，然后求解p 即可得到抛物线方程．【详解】从点F 出发的光线第一象限内抛物线上一点P 反射后的光线所在直线方程为y可得P （1p，入射光线FP的斜率为2p =-p ＝1或p ＝﹣2（舍去），所以抛物线方程为：y 2＝2x ． 故答案为：y 2＝2x 【点睛】方法点睛：求抛物线的标准方程，常用待定系数法，先定式（确定抛物线的形式），后定量.三、解答题17．分别求符合下列条件的抛物线的标准方程. （1）经过点(-3，-1)；（2）焦点为直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点. 【答案】（1）y 2=-13x 或x 2=-9y ；（2）x 2=-12y 或y 2=16x. 【分析】（1）设出抛物线方程，根据点()3,1--求得抛物线方程. （2）求得焦点坐标，由此求得p ，进而求得抛物线方程. 【详解】（1）因为点(-3,-1)在第三象限，所以设所求抛物线的标准方程为y 2=-2px (p>0)或x 2=-2py (p>0).若抛物线的标准方程为y 2=-2px (p>0)，则由(-1)2=-2p ×(-3)，解得p=16； 若抛物线的标准方程为x 2=-2py (p>0)，则由(-3)2=-2p ×(-1)，解得p=92. 故所求抛物线的标准方程为y 2=-13x 或x 2=-9y. （2）对于直线方程3x-4y-12=0，令x=0，得y=-3；令y=0，得x=4；所以抛物线的焦点为(0,-3)或(4,0).当焦点为(0,-3)时2p ，=3，所以p=6，此时抛物线的标准方程为x 2=-12y ；当焦点为(4,0)时，2p=4，所以p=8，此时抛物线的标准方程为y 2=16x. 故所求抛物线的标准方程为x 2=-12y 或y 2=16x.18．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线与x 轴交于点()1,0M -． （1）求抛物线C 的方程；（2）若过点M 的直线l 与抛物线C 相切，求直线l 的方程． 【答案】（1）24y x =；（2）10x y -+=或10x y ++= 【分析】（1）利用准线方程2px =-求解 （2）设出直线方程，与抛物线方程联立，利用0∆=求解. 【详解】（1）2:2(0)C y px p =>的准线2px =-过()1,0M - 故12p-=-，则2p = 抛物线方程为24y x = （2）设切线方程为1x my =- 与抛物线方程联立有2440y my -+=()24160m ∆=-=故1m =±故直线l 的方程为：10x y -+=或10x y ++= 【点睛】求抛物线的切线方程的方法：方法一：将抛物线转化为二次函数，然后利用导数求解切线方程，这在开口朝上的抛物线中经常用到。
抛物线的几何性质练习
3.3.2抛物线的几何性质培优第一阶---基础过关练一、单选题1．过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于()11,P x y ，()22,Q x y 两点，若PQ 的中点到y 轴的距离为1，则PQ 等于（） A ．4B ．5C ．6D ．82．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若3FP FQ =，则QF =（）A ．72B ．2C ．52D ．833．已知抛物线()220y px p =>上的一点(3,M ，则点M 到抛物线焦点F 的距离MF等于（） A ．6B ．5C ．4D ．24．如图1，某家用电暖气是由反射面、热馈源、防护罩及支架组成，为了更好利用热效能，反射面设计成抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面），热馈源安装在抛物线的焦点处，圆柱形防护罩的底面直径等于抛物面口径.图2是该电暖气的轴截面，防护罩的宽度AD 等于热馈源F 到口径AB 的距离，已知口径长为40cm ，防护罩宽为15cm ，则顶点O 到防护罩外端CD 的距离为（） A ．25cmB ．30cmC ．35cmD ．40cm5．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |＝（） A ．6B ．8C ．9D ．106．已知点P 是抛物线C ：24y x =上一点，点F 为抛物线C 的焦点，点()2,1M ，则PMF △的周长的最小值为（）A ．3B ．1C 1D 37．已知直线y kx k =-及抛物线22(0)y px p =>，则（） A ．直线与抛物线有一个公共点 B ．直线与抛物线有两个公共点 C ．直线与抛物线有一个或两个公共点D ．直线与抛物线可能没有公共点8．已知点F 是抛物线24y x =的焦点，M ,N 是该抛物线上两点，6MF NF +=，则MN 中点的横坐标为（）A ．32B ．2C ．52D ．3二、填空题9．抛物线2320x y +=的顶点坐标为______．10．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为K ，点A 在C 上，已知点A AF =AKF 的面积AKFS=___________.11．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，P 为C 上一点，PQ x ⊥轴，垂足为Q ，F 为C 的焦点，O 为原点．若45POQ ∠=︒，则cos PFQ ∠=__________．12．已知直线4y kx =-与抛物线28y x =有且只有一个公共点，则满足条件的实数k 的值组成集合_______. 三、解答题13．已知抛物线E ：22y px =()0p >的焦点为F ，直线3x =与E 相交所得线段的长为(1)求E 的方程；(2)若不过点F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，请从①AB 中点的纵坐标为3，②ABF 的重心在直线2y =上，③13AF BF +=这三个条件中任选两个作为已知条件，求直线l 的方程（若因条件选择不当而无法求出，需分析具体原因）． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．14．已知点23,2P p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭-在抛物线()2:20C x py p =>上.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点()0,1M 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，设直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，O 为坐标原点，求证：12k k 为定值.培优第二阶---拓展培优练一、单选题1．在曲线2y x =上有两个动点,,(1,0)P Q E ，且满足EP EQ ⊥，则EP QP ⋅的最小值为（）A ．14B ．12C ．34D ．12．已知点F 是抛物线24x y =的焦点，过点F 的直线与抛物线相交于,A B 两点，则4AF BF +的最小值为（）A ．4B ．6C ．8D ．93．已知F 为抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，A 为C 上任意一点，且点A 到点(3,0)B 距离的最小值为F 交C 于P ，Q 两点，且||8PQ =，则线段PQ 中点的横坐标为（） A ．2B ．3C ．4D ．64．若斜率为k （0k >）的直线l 与抛物线22y x =和圆M ：()2258x y -+=分别交于A ，B 和C ，D ．且AC BD =，则当MCD △面积最大时k 的值为（） ABCD5．如图所示，已知抛物线21:2C y px =过点()2,4，圆222:430C x y x +-+=. 过圆心2C 的直线l 与抛物线1C 和圆2C 分别交于,,,P Q M N ，则4PM QN +的最小值为（） A ．23B ．42C ．12D ．136．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过点F 且倾斜角为3π的直线l 与抛物线交于A （位于第一象限）、B 两点，直线l 与2px =-交于点M ，若BM tMA =，则t =（）A ．13B ．13-C ．23D ．23-7．已知抛物线2:2C y x =，过焦点的直线l 与C 交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆与C 的准线切于点11,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则l 的方程为（）A ．210x y -+=B ．210x y --=C ．210x y -+=D ．210x y --=8．设抛物线2:8E y x =的焦点为F ，过点(4,0)M 的直线与E 相交于A ，B 两点，与E 的准线相交于点C ，点B 在线段AC 上，||3BF =，则BCF △与ACF 的面积之比BCF ACFSS=（）A ．14B ．15C ．16D ．17二、填空题9．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点是F ，A 是C 的准线上一点，线段AF 与C 交于点B ，与y 轴交于点D ，且|||AB BF =，4DOF S =△（O 为原点），则C 的方程为___________.10．在直线l ：2y =-上取一点D 做抛物线C ：24x y =的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与圆E ：22220200x x y --=+交于M ，N 两点，当│MN │最小时，D 的横坐标是______． 11．已知点F 是抛物线24y x =的焦点，点,A B 在抛物线上，且ABF 的重心坐标为12,23⎛⎫⎪⎝⎭，则FA FB AB -=___________.12．抛物线具有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．如图，抛物线方程为22(0)y px p =>，一平行x 轴的光线射向抛物线上的点P ，反射后经过抛物线的焦点F 射向抛物线上的点Q ，再反射后又沿平行x 轴方向射出．若抛物线的方程为24y x =，则在每次反射过程中，与x 轴平行的两条光线间的最小距离为__________． 三、解答题13．已知抛物线C ：24y x =，直线l 过点()0,1P . (1)若l 与C 有且只有一个公共点，求直线l 的方程； (2)若l 与C 交于A ，B 两点，点Q 在线段AB 上，且AP AQ PBQB=，求点Q 的轨迹方程.14．已知抛物线C ：()2204y px p =<<上一纵坐标为4的点M 到其焦点F 的距离为5，过点()2,0N 的直线l 与C 相交于A ，B 两点． (1)求C 的标准方程；(2)在x 轴上是否存在异于点N 的定点P ，使得点F 到直线P A 与直线PB 的距离相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由．培优第三阶---考场点兵练一、单选题1．（2022·四川广安·模拟预测（文））已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 与椭圆2212516x y +=的右焦点重合．斜率为()0k k >直线l 经过点F ，且与C 的交点为A ，B ．若3AF BF =，则直线l 的方程是（）A 0y --=B ．40y --C ．390x y --=D ．330x y --=2．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知抛物线2:4C y x =与圆22:(1)4E x y -+=交于A ，B 两点，则||AB =（）A ．2B ．C ．4D ．3．（2022·江苏·模拟预测）已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线交拋物线于A ，B 两点，延长FB 交准线于点C ，分别过点A ，B 作准线的垂线，垂足分别记为M ，N ，若||2||BC BN =，则AFM △的面积为（）A ．B ．4C ．D ．24．（2022·河南·南阳中学模拟预测（文））已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，Q 为C 上一点，M 为C 的准线l 上一点且//QM x 轴.若O 为坐标原点，P 在x 轴上，且在点F 的右侧，4OP =，QF QP =，120MQP ∠=︒，则准线l 的方程为（） A ．165x =-B ．25x =-C ．45x =-D ．85x =-5．（2022·河南·模拟预测（文））已知(),3M a 是抛物线C ：()220x py p =>上一点，且位于第一象限，点M 到抛物线C 的焦点F 的距离为4，过点()4,2P 向抛物线C 作两条切线，切点分别为A ，B ，则AF BF ⋅=（） A ．1-B ．1C ．16D ．12-6．（2022·安徽淮南·二模（理））抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F 作倾斜角为3π的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，若AFK △的面积是p 的值为（）A ．1B ．2 CD ．37．（2022·江苏·新沂市第一中学模拟预测）已知抛物线2:2(0)C y px p =>与直线240x y --=交于A ，B 两点，且||AB =若抛物线C 的焦点为F ，则||||+=AF BF （）A ．B ．7C ．6D ．58．（2022·广东茂名·二模）已知抛物线E ：22y x =的焦点为F ，A 、B 、C 为抛物线E上三点，当0FA FB FC ++=时，称ABC 为“特别三角形”，则“特别三角形”有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无数个二、多选题9．（2022·福建省厦门集美中学模拟预测）过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，设()11,A x y 、()22,B x y ，已知()3,2M -，()1,1N -，则（）A ．若直线l 垂直于x 轴，则AB 4= B ．124y y =-C ．若P 为C 上的动点，则PM PF +的最小值为5D ．若点N 在以AB 为直径的圆上，则直线l 的斜率为210．（2022·江苏徐州·模拟预测）阿基米德是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，享有“数学之神”的称号．若抛物线上任意两点A ，B 处的切线交于点P ，则称PAB △为“阿基米德三角形”．已知抛物线28x y =的焦点为F ，过抛物线上两点A ，B 的直线的方程为20x y -+=，弦AB 的中点为C ，则关于“阿基米德三角形”PAB △，下列结论正确的是（）A ．点2)P -B ．PC x ⊥轴 C ．PA PB ⊥D ．PF AB ⊥三、填空题11．（2022·河南省叶县高级中学模拟预测（文））已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，与x 轴平行的直线与l 和C 分别交于A ，B 两点，若AF BF =，则AB =______. 12．（2022·江苏省木渎高级中学模拟预测）已知抛物线2:2(0)C y px p =>，O 为原点，F 为抛物线C 的焦点，点A ，B 为抛物线两点，满足OA OB ⊥，过原点O 作⊥OD AB 交AB 于点D ，当点D 的坐标为()2,1，则p 的值为_________． 四、解答题13．（2022·四川广安·模拟预测（文））已知抛物线2:2C x py =，点()4,4M -在抛物线C 上，过点M 作抛物线C 的切线，交x 轴于点P ，点O 为坐标原点． (1)求P 点的坐标；(2)点E 的坐标为()2,1--，经过点P 的直线交抛物线于A ，B 两点，交线段OM 于点Q ，记EA ，EB ，EQ 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，是否存在常数λ使得123k k k λ+=．若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．14．（2022·全国·模拟预测（理））已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，点()02,P y -为抛物线上一点，抛物线C 在点P 处的切线与y 轴相交于点Q ，且FPQ △的面积为2． (1)求抛物线的方程．(2)若斜率不为0的直线l 过焦点F ，且交抛物线C 于A ，B 两点，线段AB 的中垂线与y 轴交于点M ，证明：MFAB为定值．3.3.2抛物线的几何性质培优第一阶---基础过关练一、单选题1．过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于()11,P x y ，()22,Q x y 两点，若PQ 的中点到y 轴的距离为1，则PQ 等于（） A ．4 B ．5C ．6D ．8．已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若3FP FQ =，则QF =（）A ．72B ．2C ．52D ．833FP FQ =，则-由抛物线定义得故选：D3．已知抛物线于（） A ．6 B ．5C ．4D ．2反射面设计成抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面），热馈源安装在抛物线的焦点处，圆柱形防护罩的底面直径等于抛物面口径.图2是该电暖气的轴截面，防护罩的宽度AD 等于热馈源F 到口径AB 的距离，已知口径长为40cm ，防护罩宽为15cm ，则顶点O 到防护罩外端CD 的距离为（） A ．25cm B ．30cm C ．35cm D ．40cm112212么|AB |＝（） A ．6 B ．8C ．9D ．10【答案】B【分析】由抛物线的焦点弦长公式，由此计算．【详解】因为直线AB 过焦点F (1，0)，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8. 故选：B ．6．已知点P 是抛物线C ：24y x =上一点，点F 为抛物线C 的焦点，点()2,1M ，则PMF △的周长的最小值为（）学习群QQ550349787A ．3B ．1C 1D 3．已知直线及抛物线，则（）A ．直线与抛物线有一个公共点 B ．直线与抛物线有两个公共点 C ．直线与抛物线有一个或两个公共点 D ．直线与抛物线可能没有公共点【详解】直线点的横坐标为（） A ．32B ．2C ．52D ．39．抛物线2320x y +=的顶点坐标为______． 【答案】()0,0【分析】将抛物线化成标准式，即可得到其顶点坐标.【详解】解：抛物线2320x y +=，即232x y =-，顶点坐标为()0,0； 故答案为：()0,010．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为K ，点A 在C 上，已知点A AF =，则AKF 的面积AKFS=___________.轴，再计算AKF 的【详解】AA l '⊥22A AA F =='A K AKFS =11．已知抛物线，P 为C 上一点，轴，垂足为Q ，F 为C 的焦点，O 为原点．若45POQ ∠=︒，则cos PFQ ∠=__________． 【答案】35##0.6．已知直线与抛物线有且只有一个公共点，则满足条件的实数的值组成集合_______.13．已知抛物线E ：22y px =()0p >的焦点为F ，直线3x =与E 相交所得线段的长为(1)求E 的方程；(2)若不过点F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，请从①AB 中点的纵坐标为3，②ABF 的重心在直线2y =上，③13AF BF +=这三个条件中任选两个作为已知条件，求直线l 的方程（若因条件选择不当而无法求出，需分析具体原因）． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．因为ABF 的重心在直线13=，所以的方程为y，则1k =．因为ABF 的重心在直线1=．两个条件，都只能得出斜率14．已知点23,2P p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭-在抛物线()2:20C x py p =>上.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点()0,1M 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，设直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，O 为坐标原点，求证：12k k 为定值. 培优第二阶---拓展培优练一、单选题1．在曲线2y x =上有两个动点,,(1,0)P Q E ，且满足EP EQ ⊥，则EP QP ⋅的最小值为（）A ．14B ．12C ．34D ．1【分析】由已知，先利用向量的线性运算对EP QP ⋅进行化简得到2EP QP EP ⋅=，然后设出的坐标，计算两点间距离公式，利用点在曲线上满足的等量关系，带入求解即可【详解】由已知，2()EP QP EP EP EQ EP EP EQ ⋅=⋅-=-⋅ ，所以0EP EQ ⋅=，所以2EP QP EP ⋅=， 因为动点P 在曲线2y x =上，所以设00(,)P x y ，所以22222200000(1)(0)21EP QP EP EP x y x x y ⋅===-+-=-++又因为200y x =，所以2220000211(EP QP x x y x x x ⋅=-++=-+=故选：C.2．已知点F 是抛物线24x y =的焦点，过点F 的直线与抛物线相交于,A B 两点，则4AF BF +的最小值为（）学习群QQ550349787A ．4B ．6C ．8D ．9．已知F 为抛物线的焦点，A 为上任意一点，且点A 到点距离的最小值为若直线过F 交C 于P ，Q 两点，且||8PQ =，则线段PQ 中点的横坐标为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．64．若斜率为k（0k>）的直线l 与抛物线22y x=和圆M：258x y-+=分别交于A，B 和C，D．且AC BD=，则当MCD△面积最大时k的值为（）A B．2C D5．如图所示，已知抛物线21:2C y px =过点2,4，圆222:430C x y x +-+=. 过圆心2C 的直线l 与抛物线1C 和圆2C 分别交于,,,P Q M N ，则4PM QN +的最小值为（） A ．23 B ．42 C ．12 D ．136．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过点F 且倾斜角为3的直线l 与抛物线交于A （位于第一象限）、B 两点，直线l 与2px =-交于点M ，若BM tMA =，则t =（） A ．13B ．13-C ．23D ．23-BM tMA =得到横坐标的线性关系，即可求【详解】由题设，令直线由BM tMA =，则-故选：B．已知抛物线:C ，过焦点的直线与交于，两点，若以AB 为直径的圆与的准线切于点11,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则l 的方程为（）学习群QQ550349787A ．210x y -+=B ．210x y --=C ．210x y -+=D ．210x y --=2的表达式，根据0MA MB ⋅=求出l 的斜率存在且不为2222(2)04k k xkx，则A x 1)-，21[(2A B A B A B y y k x x x x =-+又11(()()022A AB MA MB x y y ⋅=++--=，综上，211k k -+2k =，故直线:21l y x =-，即故选：D．设抛物线:E 的焦点为，过点的直线与相交于，两点，与的准线相交于点C ，点B 在线段AC 上，||3BF =，则BCF △与ACF 的面积之比BCF ACFS S=（）A ．14B ．15C ．16D ．17BCF ACFS S=【详解】设直线xBCF ACFS S=9．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点是F ，A 是C 的准线上一点，线段AF 与C 交于点B ，与y 轴交于点D ，且|||AB BF =，4DOF S =△（O 为原点），则C 的方程为___________.10．在直线l ：2y =-上取一点D 做抛物线C ：4x y =的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与圆E ：22220200x x y --=+交于M ，N 两点，当│MN │最小时，D 的横坐标是______．11．已知点F 是抛物线24y x =的焦点，点,A B 在抛物线上，且ABF 的重心坐标为,23⎛⎫⎪⎝⎭，则FA FB AB-=___________.斜率不存在，则ABF 的重心在0，设直线，消去x 可得 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为tan 2α=故答案为：12．抛物线具有光学性质：方向射出．如图，抛物线方程为22(0)y px p =>，一平行x 轴的光线射向抛物线上的点P ，反射后经过抛物线的焦点F 射向抛物线上的点Q ，再反射后又沿平行x 轴方向射出．若抛物线的方程为24y x =，则在每次反射过程中，与x 轴平行的两条光线间的最小距离为__________．学习群QQ55034978713．已知抛物线C ：24y x =，直线l 过点()0,1P . (1)若l 与C 有且只有一个公共点，求直线l 的方程； (2)若l 与C 交于A ，B 两点，点Q 在线段AB 上，且AP AQ PBQB=，求点Q 的轨迹方程.，则PA PB λ=，AQ QB λ=， ∴2122k y k k =+=--，∴y 114．已知抛物线C ：上一纵坐标为4的点M 到其焦点F 的距离为5，过点()2,0N 的直线l 与C 相交于A ，B 两点． (1)求C 的标准方程；(2)在x 轴上是否存在异于点N 的定点P ，使得点F 到直线P A 与直线PB 的距离相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由．培优第三阶---考场点兵练一、单选题1．（2022·四川广安·模拟预测（文））已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 与椭圆2212516x y +=的右焦点重合．斜率为()0k k >直线l 经过点F ，且与C 的交点为A ，B ．若3AF BF =，则直线l 的方程是（） A 0y --= B ．40y --= C ．390x y --= D ．330x y --=．（河南安阳模拟预测（理））已知抛物线与圆交于，B 两点，则||AB =（） A ．2 B ．C ．4D ．【答案】C【分析】先联立抛物线与圆求出A ，B 横坐标，再代入抛物线求出纵坐标即可求解.【详解】由对称性易得A ，B 横坐标相等且大于0，联立()222414y xx y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩得2230x x +-=，解得123,1x x =-=，则1A B x x ==，将1x =代入24y x =可得2y =±，则||4AB =. 故选：C.3．（2022·江苏·模拟预测）已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线交拋物线于A ，B 两点，延长FB 交准线于点C ，分别过点A ，B 作准线的垂线，垂足分别记为M ，N ，若||2||BC BN =，则AFM △的面积为（）A ．B ．4C ．D ．24．（2022·河南·南阳中学模拟预测（文））已知抛物线C ：的焦点为F ，Q 为C 上一点，M 为C 的准线l 上一点且//QM x 轴.若O 为坐标原点，P 在x 轴上，且在点F 的右侧，4OP =，QF QP =，120MQP ∠=︒，则准线l 的方程为（） A ．165x =-B ．25x =-C ．45x =-D ．85x =-60 ∴QM 5．（2022·河南·模拟预测（文））已知是抛物线C ：上一点，且位于第一象限，点M 到抛物线C 的焦点F 的距离为4，过点()4,2P 向抛物线C 作两条切线，切点分别为A ，B ，则AF BF ⋅=（） A ．1- B ．1 C ．16 D ．12-6．（2022·安徽淮南·二模（理））抛物线2(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F 作倾斜角为3π的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，若AFK △的面积是p 的值为（）学习群QQ550349787 A ．1 B ．2 C D ．3【分析】根据抛物线的定义，结合条件，可得AKF 的形状，进而可得三角形的边长，进而，又AFx ∠故AKF 是等边三角形，又43， 故可得AF 2OF p =故选：B.．（2022·江苏新沂市第一中学模拟预测）已知抛物线与直线交于A ，B 两点，且||AB =若抛物线C 的焦点为F ，则||||+=AF BF （） A ．B ．7C ．6D ．5【答案】B【分析】联立直线与抛物线，应用韦达定理及弦长公式求得2p =，进而可得5A B x x +=，根据抛物线定义求目标式的值.8．（2022·广东茂名·二模）已知抛物线E ：2y x =的焦点为F ，A 、B 、为抛物线E 上三点，当0FA FB FC ++=时，称ABC 为“特别三角形”，则“特别三角形”有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无数个先说明这样的ABC 满足，都存在满足条件的弦BC 【详解】当0FA FB FC ++=时，易知为ABC 的重心，连接1在抛物线内部时，设(D x ，若存在以D ，这样的ABC 即满足要求()()1122,,,x y C x y ，则012,x x y y +=，两式相减可得)12122y y y x x -+=-，即k ，所以总存在以，即这样的三角形有无数【点睛】本题关键在于构造出ABC ，再说明对于点为中点的弦BC ，即存在ABC ，这样的每一个点都会对应一个ABC . 9．（2022·福建省厦门集美中学模拟预测）过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，设()11,A x y 、()22,B x y ，已知()3,2M -，()1,1N -，则（） A ．若直线l 垂直于x 轴，则AB 4=B ．124y y =-C ．若P 为C 上的动点，则PM PF +的最小值为5D ．若点N 在以AB 为直径的圆上，则直线l 的斜率为2 对，为直径的圆上，则0NA NB ⋅=，又)10=，又1x )210y -=，)250y +=，，此时直线l 的斜率为享有“数学之神”的称号．若抛物线上任意两点A ，B 处的切线交于点P ，则称PAB △为“阿基米德三角形”．已知抛物线28x y =的焦点为F ，过抛物线上两点A ，B 的直线的方程为20x y -+=，弦AB 的中点为C ，则关于“阿基米德三角形”PAB △，下列结论正确的是（）A．点2)P - B ．PC x ⊥轴 C ．PA PB ⊥ D ．PF AB ⊥11．（2022·河南省叶县高级中学模拟预测（文））已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，与x 轴平行的直线与l 和C 分别交于A ，B 两点，若AF BF =，则AB =______. 【分析】抛物线的定义结合题意得到ABF 为等边三角形，设准线BF AB =，ABF 为等边三角形，，24AB FH ==. 12．（2022·江苏省木渎高级中学模拟预测）已知抛物线:2(0)C y px p =>，O 为原点，F 为抛物线C 的焦点，点A ，B 为抛物线两点，满足OA OB ⊥，过原点O 作⊥OD AB 交AB 于点D ，当点D 的坐标为()2,1，则p 的值为_________．学习群QQ550349787 ，则2124y y OA OB p ⋅=.13．（2022·四川广安·模拟预测（文））已知抛物线2:2C x py =，点()4,4M -在抛物线C 上，过点M 作抛物线C 的切线，交x 轴于点P ，点O 为坐标原点． (1)求P 点的坐标；(2)点E 的坐标为()2,1--，经过点P 的直线交抛物线于A ，B 两点，交线段OM 于点Q ，记EA ，EB ，EQ 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，是否存在常数λ使得123k k k λ+=．若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．14．（2022·全国·模拟预测（理））已知抛物线的焦点为F，点为抛物线上一点，抛物线C在点P处的切线与y轴相交于点Q，且FPQ△的面积为2．(1)求抛物线的方程．(2)若斜率不为0的直线l过焦点F，且交抛物线C于A，B两点，线段AB的中垂线与y轴交于点M，证明：MFAB为定值．学习群QQ550349787S=FPQ 所以抛物线。
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【巩固练习】
一、选择题
1．设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是
A ．28y x =-
B ．28y x =
C ．24y x =-
D ．2
4y x = 2．以双曲线9
162
2y x -=1的中心为顶点，左顶点为焦点的抛物线方程是（ ） A.216y x =- B.216y x = C.2
8y x =- D.28y x = 3．若抛物线2
y ax =的准线与椭圆22
143x y +=的右准线重合，则a 的值是（ ） A.8 B.8- C.16 D.16-
4．抛物线22y px =过点(2,4)A ，F 是其焦点，又定点(8,8)B -，那么||:||AF BF =（ ）
A.1:4
B.1:2
C.2:5
D.3:8
5.抛物线21(0)y x m m =
<的焦点坐标是( ) A.(0,)4m B. (0,)4m - C. 1(0,)4m D. 1(0,)4m
- 6. 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( ) A.
12
B ．1
C ．2
D ．4
二、填空题
7．抛物线y 2＝x 上一点P 到焦点的距离是2，则P 点坐标为
8．到点A (－1,0)和直线x ＝3距离相等的点的轨迹方程是________． 9．以双曲线22
1169
x y -=的中心为顶点，左焦点为焦点的抛物线方程是__________． 10．抛物线y 2＝16x 上到顶点和焦点距离相等的点的坐标是________．
三、解答题
11.分别求适合下列条件的抛物线方程.
（1）顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且过点A （2，3）；
（2）顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点到准线的距离为52
. 12．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程与m 的值.
13. 点M 到直线y+5=0的距离与它到点N(0，4)距离之差为1，求点M 的轨迹方程.
14. 若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M 到准线及对称轴的距离分别为10和6，求M 点的横坐标及抛物线
方程．
15．一抛物线拱桥跨度为52m ，拱顶离水面6.5m ，一竹排上载有一宽4m ，高6m 的大木箱，问竹排能否安全通过？
【答案与解析】
1．【答案】B ；
【解析】由题设知4p =,焦点()2,0，开口向右，
∴所求抛物线方程为2
8y x =.
2．【答案】A ；
【解析】∵ 双曲线的中心为(0,0)，左顶点为(4,0)-，
∴ 所求抛物线方程为216y x =-.
3．【答案】D ； 【解析】由题设知抛物线的准线为4
a x =-，椭圆的右准线为24a x c ==, ∴44
a -=,∴16a =-. 4．【答案】C ； 【解析】将点(2,4)A 的坐标代入22y px =，得4p =,
∴抛物线方程为2
8y x =, 焦点(2,0)F ，已知(8,8)B -, ∴2222)08()28()04()22(||||--+--+-=BF AF =5
2104=. 5. 【答案】 A
【解析】∵x 2＝my (m <0)，∴2p ＝－m ，p ＝2m -
， 焦点坐标为(0,)2p -，即(0,
)4m . 6. 【答案】 C
【解析】本题考查抛物线的准线方程，直线与圆的位置关系．
抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程是x ＝2p -
，由题意知，3＋2
p ＝4，p ＝2.
7. 【答案】 7(,42
± 【解析】 设P (x 0，y 0)，则|PF |＝x 0＋2
p ＝x 0＋14＝2，
∴x 0＝
74
，∴y 0＝. 8．【答案】 y 2＝8－8x 【解析】 设动点坐标为(x ，y )，
＝|x －3|，
化简得y 2＝8－8x .
9．【答案】y 2＝－20x
【解析】 ∵双曲线的左焦点为(－5,0)，故设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，
又p ＝10，∴y 2＝－20x .
10. 【答案】(2，±【解析】 设抛物线y 2＝16x 上的点P (x ，y )
由题意，得(x ＋4)2＝x 2＋y 2＝x 2＋16x ，
∴x ＝2，∴y ＝±11. 【答案】
（1）292y x =或243x y =； （2）25y x =或25y x =-或25x y =-或25x y =-；
【解析】（1）根据条件可设抛物线方程为22,y px =和22x py =然后将过点A （2，3）代入，分别求出p 值，
（2）题中可知52
p =
，但焦点轴有四种情况，所以所求方程有四个
12. 【解析】
设抛物线的方程为y 2=-2px ， p |MF |35p 42
=+=∴=，， 所以抛物线的方程为y 2=-8x ，
2m 24,∴=m =±13. 【解析】 法一：设M(x ，y)为所求轨迹上任一点，则
y 51,y 4+=∴+=，
2x 16y ∴=即为所求.
法二：由题知M到直线y=-4的距离等于它到N的距离，所以M的轨迹是抛物线，焦点为N(0，4)，准线为y=-4，∴x2=16y
14. 【解析】∵点M到对称轴的距离为6，
∴设点M的坐标为(x,6)．
∵点M到准线的距离为10，
∴
2
62
10
2
px
p
x
⎧=
⎪
⎨
+=
⎪⎩
，解得
9
2
x
p
=
⎧
⎨
=
⎩
，或
1
18
x
p
=
⎧
⎨
=
⎩
，
故当点M的横坐标为9时，抛物线方程为y2＝4x.
当点M的横坐标为1时，抛物线方程为y2＝36x.
15. 【解析】如图所示建立平面直角坐标系，
设抛物线方程为x2＝－2py，则有A(26，－6.5)，B(2，y)，由262＝－2px×(－6.5)，得p＝52，
∴抛物线方程为x2＝－104y.
当x＝2时，4＝－104y，y＝
1
26
-，
∵6.5
1
26
->6，∴能通过．。