抛物线基础训练题经典(含答案)
初中抛物线经典练习题(含详细答案)
初中数学抛物线经典试题集锦编著】黄勇权第一组题型】1、已知二次函数y=x2+bx+c过点A（2,0），C（0, -8）（1）求此二次函数的解析式，（2）在抛物线上存在一点p 使△ ABP的面积为15，请直接写出p 点的坐标。
2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n 经过点A（5，0 ），B（2，-6）．（1）求抛物线的表达式及对称轴2）设点 B 关于原点的对称点为C，写出过A、C两点直线的表达式3、在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线的顶点 C 为（2，4），并在x 轴上截得的长度为 6 。
（1）写出抛物线与x 轴交点 A 、B 的坐标（2）求该抛物线的表达式（3）写出抛物线与y 轴交点P 的坐标4、直线的解析式为y=2x+4 ，交x 轴于点 A ，交y 轴于点B，若以 A 为顶点,，且开口向下作抛物线，交直线AB 于点D，交y 轴负半轴于点 C ，（1）若△ ABC 的面积为20，求此时抛物线的解析式（2）若△ BDO 的面积为8，求此时抛物线的解析式答案】1、已知二次函数y=x2+bx+c过点A（2,0），C（0, -8）（1）求此二次函数的解析式，（2）在抛物线上存在一点p 使△ ABP的面积为15，请直接写出p 点的坐标解：【第一问】因为函数y=x2+bx+c过点A（2,0），C（0, -8）分别将x=2，y=0 代入y=x2+bx+c，得0=4+2b+c -①将x=0，y=-8 代入y=x2+bx+c，得-8=c -------- ②将②代入①，解得：b=2 ------------------------------------ ③此时，将② ③代入y=x2+bx+c，所以：二次函数的解析式y=x2+ 2x -8 【第二问】1△ABP的面积= 2│AB│*│y p│------------- ④因为A、B 两点在x 轴上，令x2+ 2x -8=0 （x-2）（x+4）=0 解得：x1=2，x2= -4所以：│ AB│=│X1- X2│=│2-（- 4）│ =6 ---- ⑤又△ ABP的面积=15 --------------------------------- ⑥1由④ ⑤ ⑥，得：2 *6* │y p│=15y p =5故有：y p= ± 5即：p 点的纵坐标为 5 或-5.把y=5 代入y=x2+ 2x -8 ，即：5=x2+ 2x -8x2+ 2x -13=0解得：x= -1 ± 14那么，此时p 点坐标（-1+ 14，5），（-1- 14，5）---- ⑦把y=-5 代入y=x2+ 2x -8，即：-5=x2+ 2x -8x2+ 2x -3=0 （x-1）（x+3）=0 解得：x= 1 或x= -3 那么，此时p 点坐标（1，-5），（-3，-5）⑧由⑦ ⑧得，使△ ABP的面积为15，p 点坐标是：（-1+ 14，5），（-1- 14，5），（1，-5），（-3，-5）2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n 经过点A（5，0 ），B（2，-6）．（1）求抛物线的表达式及对称轴（2）设点 B 关于原点的对称点为C，写出过A、C两点直线的表达式。
抛物线基础题(含答案)
抛物线（A)一.选择题：1． 准线为x ＝2的抛物线的标准方程是A ．24y x =- Ｂ．28y x =- C.24y x = D.28y x = (答：B) 2． 焦点是（-5，０)的抛物线的标准方程是A.25y x =B.210y x =-C.220y x =-D.220x y =- (答:C)3． 抛物线F 是焦点,则p 表示A. Ｆ到准线的距离B.F 到准线距离的14 B. C. F 到准线距离的18D. F 到ｙ轴距离的 (答:B) 4． 动点M （ｘ，ｙ)到点Ｆ(4，0)的距离比它到直线x+5＝0的距离小１，则点M 的轨迹方程是Ａ.40x += B.40x -= C.28y x = Ｄ.216y x = （答:D ） 5． 若抛物线2(1)y a x =+的准线方程是x=－3，那么抛物线的焦点坐标是Ａ.（3,0) B.(２,０) Ｃ.1，0) Ｄ.（-1,0） （答:C)6． 24x y =点于直线0x y -=对称的抛物线的焦点坐标为 A 10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭ B 10,16⎛⎫- ⎪⎝⎭ C 1,016⎛⎫ ⎪⎝⎭Ｄ1,016⎛⎫- ⎪⎝⎭ （答:A) 7． 动点P 到直线40x +=的距离减去它到()2,0M 的距离之差等于2,则点Ｐ的轨迹是A 直线B 椭圆 Ｃ双曲线 Ｄ抛物线 （答:D)8． 抛物线的顶点在原点,焦点在y 轴上,抛物线上一点(),3P m -到焦点的距离为5，则抛物线的准线方程是A 4y = Ｂ4y =- C 2y = D 2y =- （答：C ）9． 抛物线()20y ax a =<的焦点坐标和准线方程分别为 A 11,044x a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭B 11,044x a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭C 110,44y a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D 110,44y a a⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ (答:Ｃ) 10. 在28y x =上有一点Ｐ，它到焦点的距离是20，则P 点的坐标是A ()8,12 Ｂ()18,12- C ()18,12或()18,12- D ()12,18或()12,18-（答:Ｃ）11． 物线210y x =的焦点到准线的距离是 A.10 B.5 C.20 D.52 (答:B) 12． 抛物线28x y =-的焦点坐标是Ａ.()4,0- B ．()0,4- Ｃ.()2,0- Ｄ.()0,2- (答：Ｄ)二.填空题：1． 2(0)y ax a =≠的焦点坐标是 答：(,0)4a2． 24y x =的焦点坐标是准线方程是 (答：（0,116),116y =- 3． 顶点在原点,焦点为(0,－2）的抛物线的方程为 (答：28x y =-）4． 抛物线22(0)y px p =>上一点Ｍ到焦点的距离是()2p a a >，则点M 到准线的距离是点Ｍ的横坐标是 (答：,2p a a -） 5． 一条隧道的顶部是抛物拱形，拱高１.1米,跨度是2．2米,则拱形的抛物线方程是（答：21.1x y =-)6． 抛物线22(0)y px p =>点()23-，到其焦点的距离是5,则p ＝_______(答：4） 7． 抛物线()()12,1812,18-24x y =上一点A 的纵坐标为4,则点Ａ与抛物线的焦点为___＿＿__（答：5)三．解答题:1． 根据下列条件写出抛物线的标准方程（1） 焦点是F(３,0) (答：212y x =）（2） 准线方程是14x =- (答:2y x =） （3） 焦点到准线距离是２ (答：2x y =±24y x =±)2． 求顶点在原点，对称轴为坐标轴,过点(2，-8)的抛物线方程,并指出焦点和准线。
抛物线基础训练题经典(含答案)
抛物线基础训练题1.动点P 到点A (0，2)的距离比到直线l :y =-4的距离小2，则动点P 的轨迹方程为 D A. x y 42= B. x y 82= C.y x 42= D.y x 82=2.已知直线l 与抛物线x y 82=交于A 、B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，A 点的坐标为(8，8)，则线段AB 的中点到准线的距离是 A A.425 B.225 C.825D.253.已知抛物线的焦点在直线y x 2--4=0上，则此抛物线的标准方程是C A.x y 162= B.y x 82-= C. x y 162=或y x 82-= D. x y 162=或y x 82=4.直线y =kx -2与抛物线x y 82=交于A 、B 两点，且AB 的中点横坐标为2，则k 的值是 BA.-1B.2C.-1或2D.以上都不是5.动圆M 经过点A (3，0)且与直线l :x =-3相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是 A A. x y 122= B. xy 62= C. xy 32= D.x y 242=6.θ是任意实数，则方程ｘ２＋ｙ２ｓｉｎθ＝４的曲线不可能是（C ） Ａ.椭圆 Ｂ.双曲线 Ｃ.抛物线 Ｄ.圆7.双曲线ky x 224+＝１的离心率ｅ∈（１，２），则k 的取值范围是（B ） Ａ.(－∞，０) Ｂ.（－12，０） Ｃ.（－３，０） Ｄ.（－60，－12）8.以12422y x -=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（D ） A.1121622=+y x B.1161222=+y x C. 141622=+y x D.116422=+y x9.抛物线y =x ２上到直线２x -y =4距离最近的点的坐标是（ B ）Ａ.(45,23) Ｂ.(1，1) Ｃ.( 49,23) Ｄ.(2，4)10.1122222222=-=-ay b x b y a x 与（ａ＞ｂ＞０）的渐近线（D ）Ａ.重合 Ｂ.不重合，但关于x 轴对应对称 Ｃ.不重合，但关于y 轴对应对称 Ｄ.不重合，但关于直线y =x 对应对称 11．抛物线22x y =的焦点坐标是 （ C ）A ．)0,1(B ．)0,41(C ．)81,0(D ． )41,0(12 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点)3,(-m P 到焦点的距离为5，则抛物线方程为（ D ） A ．y x 82= B ．y x 42= C ．y x 42-= D ．y x 82-=13．抛物线x y 122=截直线12+=x y 所得弦长等于 （ A ）A ．15B ．152C ．215 D ．1514．顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，则它的方程是 （ B ） A ．y x 292-=或x y 342=B ．x y 292-=或y x 342= C ．y x 342=D ．x y 292-=15．抛物线x y =2上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 )42,81(±______________．16．已知圆07622=--+x y x ，与抛物线)0(22>=p px y 的准线相切，则=p _2__________．17抛物线22y x =的准线方程为（ B ） A ．14y =-B ．18y =-C ．1y =D ．12y =18抛物线24x y =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ B ）A ．1617B ．1615C ．87D ．019抛物线28x y =-的准线方程是 （ B ）A ． 321=x B ． 2=y C ． 321=y D ． 2-=y20抛物线2x y =在点M （21，41）处的切线的倾斜角是（ B ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°21若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ D ）。
抛物线基础习题训练
抛物线基础训练（解析版）1.抛物线218y x ＝－的焦点是________，准线方程是__________． 【答案】（0，-2）； 2y =， 【解析】218y x ＝－可化为2=8x y －， 所以其焦点坐标为（0，-2），准线为2y =．2．已知抛物线过点(1，1)，则该抛物线的标准方程是______．（ ）A. x 2＝yB. y 2＝xC. y 2＝4xD. y 2＝x 或x 2＝y【答案】D ；【解析】设抛物线为y 2＝2px (p >0)或x 2＝2My (M >0)，把(1，1)代入得1＝2p 或1＝2M ，∴p ＝12或M ＝12， ∴抛物线方程为y 2＝x 或x 2＝y .3．抛物线22y px =过点(2,4)A ，F 是其焦点，又定点(8,8)B -，那么||:||AF BF =（ ）A.1:4B.1:2C.2:5 D .3:8【答案】C ；【解析】将点(2,4)A 的坐标代入22y px =，得4p =,∴抛物线方程为28y x =, 焦点(2,0)F ，已知(8,8)B -, ∴2222)08()28()04()22(||||--+--+-=BF AF =52104=. 4. 抛物线21(0)y x m m =<的焦点坐标是( ) A.(0,)4m B. (0,)4m - C. 1(0,)4m D. 1(0,)4m- 【答案】 A ；【解析】∵x 2＝My (M <0)，∴2p ＝－M ，p ＝2m -，焦点坐标为(0,)2p -，即(0,)4m . 5. 已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( ) A.12 B ．1 C ．2 D ．4【答案】 C ；【解析】本题考查抛物线的准线方程，直线与圆的位置关系．抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程是x ＝2p -，由题意知，3＋2p ＝4，p ＝2. 6.抛物线y 2＝x 上一点P 到焦点的距离是2，则P 点坐标为【答案】 7(,42± 【解析】 设P (x 0，y 0)，则|PF |＝x 0＋2p ＝x 0＋14＝2，∴x 0＝74，∴y 0＝. 7．以双曲线221169x y -=的中心为顶点，左焦点为焦点的抛物线方程是__________． 【答案】y 2＝－20x【解析】 ∵双曲线的左焦点为(－5,0)，故设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，又p ＝10，∴y 2＝－20x .8．抛物线y 2＝16x 上到顶点和焦点距离相等的点的坐标是________．【答案】(2，±【解析】 设抛物线y 2＝16x 上的点P (x ，y )由题意，得(x ＋4)2＝x 2＋y 2＝x 2＋16x ，∴x ＝2，∴y ＝±9.分别求适合下列条件的抛物线方程.（1）顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且过点A （2，3）；（2）顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点到准线的距离为52. 【答案】（1）292y x =或243x y =； （2）25y x =或25y x =-或25x y =-或25x y =-；10.已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点M (-3，M )到焦点的距离等于5，求抛物线的方程与M 的值.【解析】设抛物线的方程为y 2=-2p x ，p |MF |35p 42=+=∴=Q ，， 所以抛物线的方程为y 2=-8x ，2m 24,∴=m =±11.点M 到直线y +5=0的距离比它到点N (0，4)距离大1，求点M 的轨迹方程.13. 【解析】 法一：设M (x ，y )为所求轨迹上任一点，则y 51,y 4+=∴+=，2x 16y ∴=即为所求.法二：由题知M 到直线y =-4的距离等于它到N 的距离，所以M的轨迹是抛物线，焦点为N(0，4)，准线为y=-4，∴x2=16y12.若点M到定点F（4，0）的距离比它到直线l：x+6=0的距离小2，求点M的轨迹方程．【答案】216y x=13.已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M-，求它的标准方程．【答案】2x y=．14.抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点(－5，2)到焦点的距离是6，则抛物线的方程为()A．y2＝－2x B．y2＝－4xC．y2＝2x D．y2＝－4x或y2＝－36x【答案】B15.若抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6，求M点的横坐标及抛物线方程．【解析】∵点M到对称轴的距离为6，∴设点M的坐标为(x,6)．∵点M到准线的距离为10，∴262102pxpx⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得92xp=⎧⎨=⎩，或118xp=⎧⎨=⎩，故当点M的横坐标为9时，抛物线方程为y2＝4x.当点M的横坐标为1时，抛物线方程为y2＝36x.16.已知抛物线的方程为x2＝8y，F是其焦点．点A(－2，4)在抛物线的内部，在此抛物线上求一点P，使|PF|＋|P A|的值最小．【思路点拨】如图所示，根据抛物线的定义把PF转化为PQ，使折线段P A，PQ的两端点A，Q分别落在抛物线的两侧，再通过“数形结合”可知当A，P，Q三点共线时距离达到最小．【答案】122 P⎛⎫ ⎪⎝⎭－，【解析】∵点A(－2，4)在抛物线x2＝8y内部，如上图所示，设抛物线的准线为l，过P作PQ⊥l于Q，过A作AB⊥l于B.由抛物线的定义可知|PF|＋|P A|＝|PQ|＋|P A|≥|AQ|≥|AB|.当且仅当A，P，Q三点共线时，|PF|＋|P A|的值最小，此时点P的坐标为(－2，y0)，代入x2＝8y，得y0＝12，故当点P的坐标为122⎛⎫⎪⎝⎭－，)时，|PF|＋|P A|的值最小．17.若点A的坐标为(3，2)，F为抛物线y2＝2x的焦点，点P在该抛物线上移动，为使得|P A|＋|PF|取得最小值，则P点坐标为()A．(0，0)B．(1，1) C．(2，2) D.11 2⎛⎫ ⎪⎝⎭，【答案】C【解析】由抛物线定义，|PF|等于点P到抛物线准线的距离|PP′|，如图所示，因此，当且仅当点P、A、P′在同一条直线上时，有|PF|＋|P A|＝|PP′|＋|P A|最小，此时点P的纵坐标等于A点纵坐标，即y＝2，故此时P点坐标为(2，2)．故选C.。
高中数学抛物线经典例题(含解析)
抛物线大题一．解答题（共7小题）1．已知P（4，y0）是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上位于第一象限的一点，且P到C的焦点的距离为5．（1）求抛物线C的方程；（2）设O为坐标原点，F为C的焦点，A，B为C上异于P的两点，且直线P A与PB 斜率乘积为﹣4．（i）证明：直线AB过定点；（ii）求|F A|•|FB|的最小值．2．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），其准线方程为x＝﹣2．（1）求抛物线C的方程；（2）不过原点O的直线l：y＝x+m与抛物线交于不同的两点P，Q，且OP⊥OQ，求m 的值．3．已知抛物线C的顶点在原点，对称轴为坐标轴，开口向右，且经过点P（1，2）．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点M（2，0）且斜率为2的直线与抛物线C相交于A，B两点，求AB的长．4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P的横坐标为4，且点P到焦点F的距离为5．（1）求抛物线的方程；（2）若直线l：x＝my+t交抛物线于A，B两点（位于对称轴异侧），且，问：直线l是否过定点？若过定点，请求出该定点：若不过，请说明理由．5．已知抛物线C：y2＝2px（p为常数，p＞0）的焦点F与椭圆的右焦点重合，过点F的直线与抛物线交于A，B两点．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若直线AB的斜率为1，求|AB|．6．设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，若OA⊥OB．（1）求抛物线C的方程；（2）若斜率为的直线l过抛物线C的焦点，且与抛物线C交于D，E两点，求|DE|的值．7．设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（4，m）（m＞0）是抛物线C上一点，且|PF|＝5．（1）求抛物线C的方程；（2）过点Q（2，0）斜率存在的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点M 使得∠AMQ＝∠BMQ？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．抛物线大题参考答案与试题解析一．解答题（共7小题）1．已知P（4，y0）是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上位于第一象限的一点，且P到C的焦点的距离为5．（1）求抛物线C的方程；（2）设O为坐标原点，F为C的焦点，A，B为C上异于P的两点，且直线P A与PB 斜率乘积为﹣4．（i）证明：直线AB过定点；（ii）求|F A|•|FB|的最小值．【分析】（1）由题意，结合所给信息列出等式，求出p的值，进而可得抛物线C的方程；（2）（i）结合（1）中所得信息得到点P的坐标，设出A，B两点的坐标，利用斜率公式得到4（y1+y2）+y1y2+20＝0，对直线AB的斜率是否存在进行讨论，进而即可求解；（ii）设出A，B两点的坐标，分别讨论直线AB的斜率是否存在，当直线AB的斜率存在时，设出直线AB的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理即可得到|F A|•|FB|的最小值，当直线AB的斜率不存在时，结合抛物线的定义即可得到|F A|•|FB|的最小值，两者比较即可求解．2．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0），其准线方程为x＝﹣2．（1）求抛物线C的方程；（2）不过原点O的直线l：y＝x+m与抛物线交于不同的两点P，Q，且OP⊥OQ，求m 的值．【分析】（1）由抛物线的准线方程求出p，可得抛物线C的方程；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线l和抛物线C的方程，消元写出韦达定理，将OP⊥OQ用坐标表示，代入韦达定理化简计算，可得m的值．3．已知抛物线C的顶点在原点，对称轴为坐标轴，开口向右，且经过点P（1，2）．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点M（2，0）且斜率为2的直线与抛物线C相交于A，B两点，求AB的长．【分析】（1）由题意，先设出抛物线C的方程，将点P的坐标代入抛物线方程中，求出p的值，进而可得抛物线C的标准方程；（2）设出直线AB的方程和A，B两点的坐标，将直线AB的方程与抛物线方程联立，求出A，B两点的坐标，进而即可求解．4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P的横坐标为4，且点P到焦点F的距离为5．（1）求抛物线的方程；（2）若直线l：x＝my+t交抛物线于A，B两点（位于对称轴异侧），且，问：直线l是否过定点？若过定点，请求出该定点：若不过，请说明理由．【分析】（1）由题意，结合题目所给信息建立有关p的等式，进而即可求解；（2）设出A，B两点的坐标，将直线l的方程与抛物线方程联立，利用向量的坐标运算以及韦达定理再进行求解即可．5．已知抛物线C：y2＝2px（p为常数，p＞0）的焦点F与椭圆的右焦点重合，过点F的直线与抛物线交于A，B两点．（1）求抛物线C的标准方程；（2）若直线AB的斜率为1，求|AB|．【分析】（1）由题意，先求出的右焦点，根据抛物线C的焦点F与椭圆的右焦点重合，可得，进而求出抛物线方程；（2）结合（1）中所得信息得到直线AB的方程，将直线AB的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式再进行求解即可．6．设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，若OA⊥OB．（1）求抛物线C的方程；（2）若斜率为的直线l过抛物线C的焦点，且与抛物线C交于D，E两点，求|DE|的值．【分析】（1）由题意，得到点A的坐标，代入抛物线方程中进行求解即可；（2）先得到直线l的方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理以及抛物线的定义再进行求解即可．7．设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点P（4，m）（m＞0）是抛物线C上一点，且|PF|＝5．（1）求抛物线C的方程；（2）过点Q（2，0）斜率存在的直线l与C相交于A，B两点，在x轴上是否存在点M 使得∠AMQ＝∠BMQ？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用|PF|＝5，根据抛物线的定义，求出p的值，即可得解；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（s，0），直线l的方程为x＝ty+2（t≠0），将其与抛物线的方程联立，利用韦达定理，根据k AM＝﹣k MB，求出s的值，即可得解．。
初中抛物线试题及答案
初中抛物线试题及答案
一、选择题
1. 抛物线y = x^2 - 2x + 1的顶点坐标是（）。
A. (1, 0)
B. (1, -1)
C. (0, 1)
D. (0, -1)
答案：A
2. 如果抛物线y = ax^2 + bx + c的对称轴是直线x = -2，那么b的值是（）。
A. 4a
B. -4a
C. 2a
D. -2a
答案：B
二、填空题
1. 抛物线y = 2x^2 + 4x + 3的顶点坐标是（）。
答案：(-1, 1)
2. 抛物线y = -3x^2 + 6x - 2的对称轴方程是（）。
答案：x = 1
三、解答题
1. 已知抛物线y = x^2 - 6x + 9，求抛物线与x轴的交点坐标。
答案：抛物线与x轴的交点坐标为(3, 0)。
2. 抛物线y = 2x^2 - 4x + 3，求抛物线的顶点坐标和对称轴。
答案：抛物线的顶点坐标为(1, 1)，对称轴为直线x = 1。
四、应用题
1. 一个抛物线形的桥拱，其方程为y = -0.5x^2 + 4x + 1，桥拱的最高点离水面的高度是5米。
求桥拱的跨度。
答案：桥拱的跨度为8米。
2. 一个物体从地面以一定的初速度向上抛，其运动轨迹可以用抛物线y = -5x^2 + 20x + 2描述，其中x表示时间（秒），y表示高度（米）。
求物体达到最高点时的时间。
答案：物体达到最高点时的时间是2秒。
抛物线习题精选(带答案)
抛物线习题精选一、选择题1．过抛物线焦点的直线与抛物线相交于，两点，若，在抛物线准线上的射影分别是，，则为（）．A．45°B．60°C．90°D．120°2．过已知点且与抛物线只有一个公共点的直线有（）．A．1条B．2条C．3条D．4条3．已知，是抛物线上两点，为坐标原点，若，且的垂心恰好是此抛物线的焦点，则直线的方程是（）．A．B．C．D．4．若抛物线（）的弦PQ中点为（），则弦的斜率为（）A．B．C．D．5．已知是抛物线的焦点弦，其坐标，满足，则直线的斜率是（）A．B．C．D．6．已知抛物线（）的焦点弦的两端点坐标分别为，，则的值一定等于（）A．4 B．－4 C．D．7．已知⊙的圆心在抛物线上，且⊙与轴及的准线相切，则⊙的方程是（）A．B．C．D．8．当时，关于的方程的实根的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个9．将直线左移1个单位，再下移2个单位后，它与抛物线仅有一个公共点，则实数的值等于（）A．－1 B．1 C．7 D．910．以抛物线（）的焦半径为直径的圆与轴位置关系为（）A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定11．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么长是（）A．10 B．8 C．6 D．412．过抛物线（）的焦点且垂直于轴的弦为，为抛物线顶点，则大小（）A．小于B．等于C．大于D．不能确定13．抛物线关于直线对称的曲线的顶点坐标是（）A．（0，0）B．（－2，－2）C．（2，2）D．（2，0）14．已知抛物线（）上有一点，它到焦点的距离为5，则的面积（为原点）为（）A．1 B．C．2 D．15．记定点与抛物线上的点之间的距离为，到此抛物线准线的距离为，则当取最小值时点的坐标为（）A．（0，0）B．C．（2，2）D．16．方程表示（）A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆17．在上有一点，它到的距离与它到焦点的距离之和最小，则的坐标为（）A．（－2，8）B．（2，8）C．（－2，－8）D．（－2，8）18．设为过焦点的弦，则以为直径的圆与准线交点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．0或1或219．设，为抛物线上两点，则是过焦点的（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．不充分不必要20．抛物线垂点为（1，1），准线为，则顶点为（）A．B．C．D．21．与关于对称的抛物线是（）A．B．C．D．二、填空题1.顶点在原点，焦点在轴上且通径（过焦点和对称轴垂直的弦）长为6的抛物线方程是_________．2.抛物线顶点在原点，焦点在轴上，其通径的两端点与顶点连成的三角形面积为4，则此抛物线方程为_________．3．过点（0，－4）且与直线相切的圆的圆心的轨迹方程是_________．4．抛物线被点所平分的弦的直线方程为_________．5．已知抛物线的弦过定点（－2，0），则弦中点的轨迹方程是________．6．顶点在原点、焦点在轴上、截直线所得弦长为的抛物线方程为____________．7．已知直线与抛物线交于、两点，那么线段的中点坐标是__ _．8．一条直线经过抛物线（）的焦点与抛物线交于、两点，过、点分别向准线引垂线、，垂足为、，如果，，为的中点，则 =__________．9．是抛物线的一条焦点弦，若抛物线，，则的中点到直线的距离为_________．10．抛物线上到直线的距离最近的点的坐标是____________．11．抛物线上到直线距离最短的点的坐标为__________．12．已知圆与抛物线（）的准线相切，则 =________．13．过（）的焦点的弦为，为坐标原点，则=________．14．抛物线上一点到焦点的距离为3，则点的纵坐标为__________．15．已知抛物线（），它的顶点在直线上，则的值为__________．16．过抛物线的焦点作一条倾斜角为的弦，若弦长不超过8，则的范围是________．17．已知抛物线与椭圆有四个交点，这四个交点共圆，则该圆的方程为__________．18．抛物线的焦点为，准线交轴于，过抛物线上一点作于，则梯形的面积为_______________．19．探照灯的反射镜的纵断面是抛物线的一部分，安装灯源的位置在抛物线的焦点处，如果到灯口平面的距离恰好等于灯口的半径，已知灯口的半径为30cm，那么灯深为_________．三、解答题1．知抛物线截直线所得的弦长，试在轴上求一点，使的面积为392．若的焦点弦长为5，求焦点弦所在直线方程3．已知是以原点为直角顶点的抛物线（）的内接直角三角形，求面积的最小值．4．若，为抛物线的焦点，为抛物线上任意一点，求的最小值及取得最小值时的的坐标．5．一抛物线拱桥跨度为52米，拱顶离水面6.5米，一竹排上一宽4米，高6米的大木箱，问能否安全通过．6．抛物线以轴为准线，且过点，（）求证不论点的位置如何变化，抛物线顶点的轨迹是椭圆，且离心率为定值．7．已知抛物线（）的焦点为，以为圆心，为半径，在轴上方画半圆，设抛物线与半圆交于不同的两点、，为线段的中点．①求的值；②是否存在这样的，使、、成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．8．求抛物线和圆上最近两点之间的距离．9．正方形中，一条边在直线上，另外两顶点、在抛物线上，求正方形的面积．10．已知抛物线的一条过焦点的弦被焦点分为，两个部分，求证．11．一抛物线型拱桥的跨度为，顶点距水面．江中一竹排装有宽、高的货箱，问能否安全通过．12．已知抛物线上两点，（在第二象限），为原点，且，求当点距轴最近时，的面积．13．是抛物线上的动点，连接原点与，以为边作正方形，求动点的轨迹方程．参考答案：一、1．C；2．C；3．D；4．B；5．C；6．B；7．B；8．D；9．C10．C；11．B；12．C；13．C；14．C；15．C；16．C；17．B；18．B；19．C；20．A；21．D二、1．；2．；3．；4．5．；6．（在已知抛物线内的部分）7．或；8．（4，2）；9．10．；11．；12．2；13．－414．2；15．0，，，；16．17．；18．3．14；19．36.2cm三、1．先求得，再求得或2．3．设，，则由得，，，于是当，即，时，4．抛物线的准线方程为，过作垂直准线于点，由抛物线定义得，，要使最小，、、三点必共线，即垂直于准线，与抛物线交点为点，从而的最小值为，此时点坐标为（2，2）．5．建立坐标系，设抛物线方程为，则点（26，－6.5）在抛物线上，抛物线方程为，当时，，则有，所以木箱能安全通过．6．设抛物线的焦点为，由抛物线定义得，设顶点为，则，所以，即为椭圆，离心率为定值．7．①设、、在抛物线的准线上射影分别为、、，则由抛物线定义得，又圆的方程为，将代入得②假设存在这样的，使得，由定义知点必在抛物线上，这与点是弦的中点矛盾，所以这样的不存在8．设、分别是抛物线和圆上的点，圆心，半径为1，若最小，则也最小，因此、、共线，问题转化为在抛物线上求一点，使它到点的距离最小.为此设，则，的最小值是9．设所在直线方程为，消去得又直线与间距离为或从而边长为或，面积，10．焦点为，设焦点弦端点，，当垂直于轴，则，结论显然成立；当与轴不垂直时，设所在直线方程为，代入抛物线方程整理得，这时，于是，命题也成立．11．取抛物线型拱桥的顶点为原点、对称轴为轴建立直角坐标系，则桥墩的两端坐标分别为（－26，－6.5），（26，－6.5），设抛物线型拱桥的方程为，则，所以，抛物线方程为．当时，，而，故可安全通过．12．设，则，因为，所以，直线的方程为，将代入，得点的横坐标为（当且仅当时取等号），此时，，，，所以．13．设，，过，分别作为轴的垂线，垂足分别为，，而证得≌，则有，，即、，而，因此，即为所求轨迹方程．。
抛物线专题练习(含解析)
抛物线专题练习1．（2020·吉林省长春模拟）点M (5，3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是( )A ．x 2＝112yB ．x 2＝112y 或x 2＝－136yC ．x 2＝－136yD ．x 2＝12y 或x 2＝－36y2．（2020·江西省安义中学模拟）已知抛物线y ＝px 2(其中p 为常数)过点A (1,3)，则抛物线的焦点到准线的距离等于( )A.92B.32C.118D.163．（2020·山东省乳山市第一中学模拟）顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－4xB ．x 2＝4yC ．y 2＝－4x 或x 2＝4yD ．y 2＝4x 或x 2＝－4y4．（2020·河南省信阳市第一中学模拟）已知AB 是抛物线y 2＝8x 的一条焦点弦，|AB |＝16，则AB 中点C 的横坐标是( )A ．3B ．4C ．6D ．85．（2020·四川省自贡市一中模拟）若直线AB 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，且AB ⊥x 轴，|AB |＝42，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．56．（2020·四川省资阳模拟）设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为⊥ABC 的重心，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( )7．A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．（2020·陕西省延安模拟）已知F 是抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，曲线C 2是以F 为圆心，p2为半径的圆，直线4x －3y －2p ＝0与曲线C 1，C 2从上到下依次相交于点A ，B ，C ，D ，则|AB ||CD |＝( )A ．16B ．4 C.83 D.538．（2020·广东省惠州市一中模拟）已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线方程为x ＝－2，过点F 的直线与抛物线C 交于M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)两点，若|MN |＝8，则y 21＋y 22＝( )A ．16B ．32C ．24D ．489．（2020·湖南省邵阳市二中模拟）已知F 是抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，过点R (2,1)的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，R 为线段AB 的中点．若|F A |＋|FB |＝5，则直线l的斜率为( )A ．3B ．1C ．2D.1210．（2020·湖北省汉川市一中模拟）已知直线l ：y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点．若|F A |＝2|FB |，则k ＝( )A.13B.23C.23D.223 11．（2020·山东省菏泽市一中模拟）已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线x 23－y 2＝1的右焦点重合，若A 为抛物线在第一象限上的一点，且|AF |＝3，则直线AF 的斜率为 ．12．（2020·江西省任弼时中学模拟）若抛物线x 2＝4y 上的点A 到焦点的距离为10，则点A 到x 轴的距离是 ．13．（2020·福建省永春一中模拟）已知正三角形AOB (O 为坐标原点)的顶点A ，B 在抛物线y 2＝3x 上，则⊥AOB 的边长是 ．14．（2020·安徽省池州二中模拟）直线y＝k(x－1)与抛物线y2＝4x交于A，B两点，若|AB|＝163，则k＝.15．（2020·江苏省淮北中学模拟）已知抛物线y2＝2px(p＞0)过点A(2，y0)，且点A到其准线的距离为4.(1)求抛物线的方程；(2)直线l：y＝x＋m与抛物线交于两个不同的点P，Q，若OP⊥OQ，求实数m的值．16．（2020·浙江省丽水中学模拟）如图，已知点F为抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|＝3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(－1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：GF为⊥AGB的平分线．17．（2020·吉林省松原市二中模拟）已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MN⊥F A，垂足为N，求点N的坐标．1．（2020·吉林省长春模拟）点M (5，3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是( )A ．x 2＝112yB ．x 2＝112y 或x 2＝－136yC ．x 2＝－136yD ．x 2＝12y 或x 2＝－36y【答案】D【解析】将y ＝ax 2化为x 2＝1a y .当a >0时，准线y ＝－14a ，则3＋14a ＝6，⊥a ＝112.当a <0时，准线y ＝－14a ，则⎪⎪⎪⎪3＋14a ＝6，⊥a ＝－136. ⊥抛物线方程为x 2＝12y 或x 2＝－36y2．（2020·江西省安义中学模拟）已知抛物线y ＝px 2(其中p 为常数)过点A (1,3)，则抛物线的焦点到准线的距离等于( )A.92B.32C.118D.16【答案】D【解析】由抛物线y ＝px 2(其中p 为常数)过点A (1,3)，可得p ＝3，则抛物线的标准方程为x 2＝13y ，则抛物线的焦点到准线的距离等于16.故选D.]3．（2020·山东省乳山市第一中学模拟）顶点在原点，且过点(－4,4)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－4xB ．x 2＝4yC ．y 2＝－4x 或x 2＝4yD ．y 2＝4x 或x 2＝－4y 【答案】C【解析】设所求抛物线方程为y 2＝kx 或x 2＝my ，又点(－4,4)在抛物线上，则有－4k ＝16或4m ＝16，解得k ＝－4或m ＝4，所求抛物线方程为y 2＝－4x 或x 2＝4y .故选C.]4．（2020·河南省信阳市第一中学模拟）已知AB 是抛物线y 2＝8x 的一条焦点弦，|AB |＝16，则AB 中点C 的横坐标是( )A ．3B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝16，又p ＝4，所以x 1＋x 2＝12，所以点C 的横坐标是x 1＋x 22＝6.]5．（2020·四川省自贡市一中模拟）若直线AB 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，且AB ⊥x 轴，|AB |＝42，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】A【解析】由|AB |＝42及AB ⊥x 轴，不妨设点A 的纵坐标为22，代入y 2＝4x 得点A 的横坐标为2，从而直线AB 的方程为x ＝2.又y 2＝4x 的焦点为(1,0)，所以抛物线的焦点到直线AB 的距离为2－1＝1，故选A.]6．（2020·四川省资阳模拟）设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为⊥ABC 的重心，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，又焦点F ⎝⎛⎭⎫12，0，所以x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝⎝⎛⎭⎫x 1＋12＋⎝⎛⎭⎫x 2＋12＋⎝⎛⎭⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3 7．（2020·陕西省延安模拟）已知F 是抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，曲线C 2是以F 为圆心，p2为半径的圆，直线4x －3y －2p ＝0与曲线C 1，C 2从上到下依次相交于点A ，B ，C ，D ，则|AB ||CD |＝( )A ．16B ．4 C.83 D.53【答案】A【解析】因为直线4x －3y －2p ＝0过C 1的焦点F (C 2的圆心)，故|BF |＝|CF |＝p 2，所以|AB ||CD |＝|AF |－p2|DF |－p2.由抛物线的定义得|AF |－p 2＝x A ，|DF |－p2＝x D .由⎩⎪⎨⎪⎧4x －3y －2p ＝0，y 2＝2px ，整理得8x 2－17px ＋2p 2＝0，即(8x －p )(x －2p )＝0，可得x A ＝2p ，x D ＝p 8，故|AB ||CD |＝x Ax D ＝2pp 8＝16.故选A 8．（2020·广东省惠州市一中模拟）已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线方程为x ＝－2，过点F 的直线与抛物线C 交于M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)两点，若|MN |＝8，则y 21＋y 22＝( )A ．16B ．32C ．24D ．48【答案】B【解析】由准线方程为x ＝－2，可知p ＝4，则抛物线C 的方程为y 2＝8x .由抛物线的定义可知，|MN |＝|MF |＋|NF |＝x 1＋x 2＋4＝8，则x 1＋x 2＝4，即y 218＋y 228＝4，故y 21＋y 22＝32.故选B.] 9．（2020·湖南省邵阳市二中模拟）已知F 是抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，过点R (2,1)的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，R 为线段AB 的中点．若|F A |＋|FB |＝5，则直线l 的斜率为( )A ．3B ．1C ．2 D.12【答案】B【解析】由于R (2,1)为AB 中点，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )．根据抛物线的定义|F A |＋|FB |＝x A ＋x B ＋p ＝2×2＋p ＝5，解得p ＝1，抛物线方程为y 2＝2x .y 2A ＝2x A ，y 2B ＝2x B，两式相减并化简得y B－y A x B －x A ＝2y A ＋y B ＝22×1＝1，即直线l 的斜率为1.故选B.]10．（2020·湖北省汉川市一中模拟）已知直线l ：y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点．若|F A |＝2|FB |，则k ＝( )A.13B.23C.23D.223 【答案】D【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，消去y 得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.Δ＝(4k 2－8)2－16k 4＞0，解得－1＜k ＜1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．x 1＋x 2＝8k 2－4.⊥ x 1x 2＝4.⊥ 根据抛物线的定义及|F A |＝2|FB |，得x 1＋2＝2(x 2＋2)，即x 1＝2x 2＋2，⊥且x 1＞0，x 2＞0，由⊥⊥解得x 1＝4，x 2＝1，代入⊥得k 2＝89，k ＞0，⊥k ＝223.故选D.11．（2020·山东省菏泽市一中模拟）已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线x 23－y 2＝1的右焦点重合，若A 为抛物线在第一象限上的一点，且|AF |＝3，则直线AF 的斜率为 ．【答案】－22【解析】⊥双曲线x 23－y 2＝1的右焦点为(2,0)，⊥抛物线方程为y 2＝8x .⊥|AF |＝3，⊥x A ＋2＝3，得x A ＝1，代入抛物线方程可得y A ＝±2 2.⊥点A 在第一象限，⊥A (1,22)，⊥直线AF 的斜率为221－2＝－2 2.]12．（2020·江西省任弼时中学模拟）若抛物线x 2＝4y 上的点A 到焦点的距离为10，则点A 到x 轴的距离是 ．【答案】9【解析】根据题意，抛物线x 2＝4y 的准线方程为y ＝－1，点A 到准线的距离为10，故点A 到x 轴的距离是9.]13．（2020·福建省永春一中模拟）已知正三角形AOB (O 为坐标原点)的顶点A ，B 在抛物线y 2＝3x 上，则⊥AOB 的边长是 ．【答案】63【解析】如图，设⊥AOB 的边长为a ，则A ⎝⎛⎭⎫32a ，12a ，⊥点A 在抛物线y 2＝3x 上，⊥14a 2＝3×32a ，⊥a ＝6 3.] 14．（2020·安徽省池州二中模拟）直线y ＝k (x －1)与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，若|AB |＝163，则k ＝ .【答案】±3【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为直线AB 经过抛物线y 2＝4x 的焦点，所以|AB |＝x 1＋x 2＋2＝163，所以x 1＋x 2＝103.联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －1)得到k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，所以x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝103，所以k ＝± 3.]15．（2020·江苏省淮北中学模拟）已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)过点A (2，y 0)，且点A 到其准线的距离为4.(1)求抛物线的方程；(2)直线l ：y ＝x ＋m 与抛物线交于两个不同的点P ，Q ，若OP ⊥OQ ，求实数m 的值． 【解析】(1)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)过点A (2，y 0)，且点A 到准线的距离为4， ⊥2＋p2＝4，⊥p ＝4，⊥抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，y 2＝8x 得x 2＋(2m －8)x ＋m 2＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8－2m ，x 1x 2＝m 2，y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2m ＝8，y 1y 2＝(x 1＋m )(x 2＋m )＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝8m . ⊥OP ⊥OQ ，⊥x 1x 2＋y 1y 2＝m 2＋8m ＝0， ⊥m ＝0或m ＝－8.经检验，当m ＝0时，直线与抛物线交点中有一点与原点O 重合，不符合题意． 当m ＝－8时，Δ＝(－24)2－4×64＞0，符合题意． 综上，实数m 的值为－8.16．（2020·浙江省丽水中学模拟）如图，已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：GF 为⊥AGB 的平分线． 【解析】(1)由抛物线定义可得|AF |＝2＋p2＝3，解得p ＝2.⊥抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)证明：⊥点A (2，m )在抛物线E 上，⊥m 2＝4×2，解得m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)，由A (2,22)，F (1,0)， ⊥直线AF 的方程为y ＝22(x －1)，由⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或12，⊥B ⎝⎛⎭⎫12，－2. 又G (－1,0)，⊥k GA ＝223，k GB ＝－223，⊥k GA ＋k GB ＝0， ⊥⊥AGF ＝⊥BGF .⊥GF 为⊥AGB 的平分线．17．（2020·吉林省松原市二中模拟）已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线的方程；(2)若过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标．【解析】(1)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p 2，于是4＋p 2＝5，⊥p ＝2. ⊥抛物线方程为y 2＝4x .(2)⊥点A 的坐标是(4,4)，由题意得B (0,4)，M (0,2)．又⊥F (1,0)，⊥k F A ＝43， ⊥MN ⊥F A ，⊥k MN ＝－34. ⊥F A 的方程为y ＝43(x －1)， ⊥ MN 的方程为y －2＝－34x ， ⊥联立⊥⊥，解得x ＝85，y ＝45， ⊥点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫85，45.。
抛物线练习题及答案
抛物线练习题及答案1．抛物线上的一点到焦点的距离为1，则点的纵坐标是( ) A． B． C． D．0B．提示：用抛物线的定义．2．已知两点M（－2，0），N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足||·||＋·=0，则动点P（x,y）的轨迹方程是（）A．y2=8x B．y2=－8x C．y2=4x D．y2=－4xB．提示：坐标代入．3．已知P是抛物线y=2x2+1上的动点，定点A（0，―1），点M分所成的比为2，则点M的轨迹方程是（）A、y=6x2―B、x=6y2－C、y=3x2+D、y=―3x2―1B．提示：用坐标转移法．4．有一个正三角形的两个顶点在抛物线y2=2x上，另一个顶点在原点，则这个三角形的边长是．12．提示：有两个顶点关于x轴对称，进而得到直线的倾斜角是和．5．对正整数，设抛物线，过任作直线交抛物线于两点，则数列的前项和公式是．．提示：求出数列的通项公式．6．焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x＋1截得的弦长为，求抛物线的标准方程．解：y2=12x或y2=－4x．提示：设抛物线方程后，用韦达定理及弦长公式．7．定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动，AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求出点M的坐标．解：M（）或（）．提示：数形结合得到当且仅当AB过焦点时M到y轴距离最小．设出此时的直线方程，用弦长公式解得直线AB的斜率，并得到AB的坐标．8．在直角坐标系中，已知点（p>0）, 设点F关于原点的对称点为B，以线段FA为直径的圆与y轴相切.（1）点A的轨迹C的方程；（2）PQ为过F点且平行于y轴的曲线C的弦，试判断PB与QB与曲线C的位置关系.是曲线C的平行于y轴的任意一条弦，若直线FM1与BM2的交点为M，试证明点M在曲线C上．(1)解：设A（x,y），则,化简得：y2=2px（2）由对称性知，PB和QB与曲线C的位置关系是一致的，由题设，不妨P（）而∴直线PB的方程为y=x+,代入y2=2px，消去y得到关于x的一元二次方程 x2+px+=0,=0 ∴直线PB和QB均与抛物线相切.（3）由题意设，，则直线FM1：；直线BM2：联立方程组解得M点坐标为，，经检验，，∴点M在曲线C上．。
抛物线的试题及答案高中
抛物线的试题及答案高中一、选择题1. 已知抛物线方程为 \( y^2 = 4px \)，其中 \( p > 0 \)，该抛物线的焦点坐标是（）。
A. \( (0, 0) \)B. \( (p, 0) \)C. \( (0, p) \)D. \( (2p, 0) \)答案：B2. 若抛物线 \( y = ax^2 + bx + c \) 经过点 \( (1, 0) \)，则下列哪个条件一定成立？（）A. \( a + b + c = 0 \)B. \( a + b + c = 1 \)C. \( a - b + c = 0 \)D. \( a - b + c = 1 \)答案：A二、填空题3. 抛物线 \( x^2 = 4y \) 的准线方程是 ________。
答案：\( y = -1 \)4. 抛物线 \( y = -2x^2 + 4x + 5 \) 的顶点坐标是 ________。
答案：\( (1, 6) \)三、解答题5. 已知抛物线 \( y = 2x^2 - 4x + 5 \)，求其焦点坐标和准线方程。
解：首先，将抛物线方程 \( y = 2x^2 - 4x + 5 \) 转化为标准形式\( x^2 = \frac{1}{2}(y - 5) \)。
由此可知，\( p = \frac{1}{4} \)，焦点坐标为 \( (0, \frac{5}{4}) \)，准线方程为 \( y = -\frac{3}{4} \)。
6. 抛物线 \( x^2 = 6y \) 与直线 \( y = mx + 2 \) 相交于两点 A 和 B。
求直线 AB 的斜率。
解：将直线方程 \( y = mx + 2 \) 代入抛物线方程 \( x^2 = 6y \) 得 \( x^2 = 6(mx + 2) \)。
整理得 \( x^2 - 6mx - 12 = 0 \)。
设A 点坐标为 \( (x_1, y_1) \)，B 点坐标为 \( (x_2, y_2) \)，由韦达定理得 \( x_1 + x_2 = 6m \)，\( x_1x_2 = -12 \)。
抛物线典型例题12例(含标准答案)
《抛物线》典型例题12例典型例题一例1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程． （1）y x 42= （2）)0(2≠=a ay x分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p ，再写出焦点坐标和准线方程．（2）先把方程化为标准方程形式，再对a 进行讨论，确定是哪一种后，求p 及焦点坐标与准线方程．解：（1）2=p ，∴焦点坐标是（0，1），准线方程是：1-=y （2）原抛物线方程为：x a y 12=，ap 12=∴ ①当0>a 时，ap 412=，抛物线开口向右， ∴焦点坐标是)0,41(a ，准线方程是：a x 41-=． ②当0<a 时，a p 412-=，抛物线开口向左， ∴焦点坐标是)0,41(a ，准线方程是：ax 41-=． 综合上述，当0≠a 时，抛物线2ay x =的焦点坐标为)0,41(a ，准线方程是：ax 41-=． 典型例题二例2 若直线2-=kx y 与抛物线x y 82=交于A 、B 两点，且AB 中点的横坐标为2，求此直线方程．分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k 的方程求解．另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法”求k ．解法一：设),(11y x A 、),(22y x B ，则由：⎩⎨⎧=-=xy kx y 822可得：04)84(22=++-x k x k ．∵直线与抛物线相交，0≠∴k 且0>∆，则1->k ． ∵AB 中点横坐标为：2842221=+=+∴kk x x ， 解得：2=k 或1-=k （舍去）． 故所求直线方程为：22-=x y ．解法二：设),(11y x A 、),(22y x B ，则有22212188x y x y ==． 两式作差解：)(8))((212121x x y y y y -=+-，即2121218y y x x y y +=--． 421=+x x 444)(22212121-=-+=-+-=+∴k x x k kx kx y y ，448-=∴k k 故2=k 或1-=k （舍去）． 则所求直线方程为：22-=x y ．典型例题三例3 求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切． 分析：可设抛物线方程为)0(22>=p px y ．如图所示，只须证明12MM AB =，则以AB 为直径的圆，必与抛物线准线相切． 证明：作l AA ⊥1于l BB A ⊥11,于1B ．M 为AB 中点，作l MM ⊥1于1M ，则由抛物线的定义可知：BF BB AF AA ==11,在直角梯形A A BB 11中：AB BF AF BB AA MM 21)(21)(21111=+=+=AB MM 211=∴，故以AB 为直径的圆，必与抛物线的准线相切． 说明：类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离，以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交．典型例题四例4（1）设抛物线x y 42=被直线k x y +=2截得的弦长为53，求k 值． （2）以（1）中的弦为底边，以x 轴上的点P 为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求P 点坐标．分析：（1）题可利用弦长公式求k ，（2）题可利用面积求高，再用点到直线距离求P 点坐标．解：（1）由⎩⎨⎧+==kx y x y 242得：0)44(422=+-+k x k x设直线与抛物线交于),(11y x A 与),(22y x B 两点．则有：4,122121k x x k x x =⋅-=+[][])21(5)1(54)(5))(21(22212212212k k k x x x x x x AB -=--=-+=-+=∴53)21(5,53=-∴=∴k AB ，即4-=k （2）9=∆S ，底边长为53，∴三角形高5565392=⨯=h ∵点P 在x 轴上，∴设P 点坐标是)0,(0x 则点P 到直线42-=x y 的距离就等于h ，即55612402220=+--x 10-=∴x 或50=x ，即所求P 点坐标是（－1，0）或（5，0）． 典型例题五例5 已知定直线l 及定点A （A 不在l 上），n 为过A 且垂直于l 的直线，设N 为l 上任一点，AN 的垂直平分线交n 于B ，点B 关于AN 的对称点为P ，求证P 的轨迹为抛物线．分析：要证P 的轨迹为抛物线，有两个途径，一个证明P 点的轨迹符合抛物线的定义，二是证明P 的轨迹方程为抛物线的方程，可先用第一种方法，由A 为定点，l 为定直线，为我们提供了利用定义的信息，若能证明PN PA =且l PN ⊥即可．证明：如图所示，连结P A 、PN 、NB ．由已知条件可知：PB 垂直平分NA ，且B 关于AN 的对称点为P ． ∴AN 也垂直平分PB ．则四边形P ABN 为菱形．即有PN PA =．..l PN l AB ⊥∴⊥则P 点符合抛物线上点的条件：到定点A 的距离与到定直线的距离相等，所以P 点的轨迹为抛物线．典型例题六例6 若线段21P P 为抛物线)0(2:2>=p px y C 的一条焦点弦，F 为C 的焦点，求证：p F P FP 21121=+． 分析：此题证的是距离问题，如果把它们用两点间的距离表示出来，其计算量是很大的．我们可以用抛物线的定义，巧妙运用韦达定理，也可以用抛物线的定义与平面几何知识，把结论证明出来．证法一：)0,2(pF ，若过F 的直线即线段21P P 所在直线斜率不存在时， 则有p F P F P ==21,p p p F P FP 2111121=+=+∴． 若线段21P P 所在直线斜率存在时，设为k ，则此直线为：)0)(2(≠-=k px k y ，且设),(),,(222111y x P y x P ．由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=)2()2(p x k y px k y 得：04)2(22222=++-p k x k p x k 2221)2(kk p x x +=+∴ ① 4221p x x =⋅ ②根据抛物线定义有：p x x P P px F P p x F P ++=∴+=+=21211211,2,2 则F P F P F P F P F P F P 21212111⋅+=+4)(2)2)(2(22121212121p x x p x x p x x p x p x p x x +++++=++++= 请将①②代入并化简得：p F P FP 21121=+ 证法二：如图所示，设1P 、2P 、F 点在C 的准线l 上的射影分别是'1P 、'2P 、F '，且不妨设1122P P m n P P '=<='，又设2P点在F F '、11P P '上的射影分别是A 、B 点，由抛物线定义知，p F F m F P n F P ='==,,12又AF P 2∆∽12BP P ∆，1221P P F P BP AF =∴即nm nn m n p +=-- pn m m nn m p 2112)(=+∴=+∴ 故原命题成立．典型例题七例7 设抛物线方程为)0(22>=p px y ，过焦点F 的弦AB 的倾斜角为α，求证：焦点弦长为α2sin 2pAB =． 分析：此题做法跟上题类似，也可采用韦达定理与抛物线定义解决问题．证法一：抛物线)0(22>=p px y 的焦点为)0,2(p，过焦点的弦AB 所在的直线方程为：)2(tan px y -=α由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=px y p x y 2)2(tan 2α消去y 得：0tan )(tan 4tan 422222=+-αααp p x设),(),,(2211y x B y x A ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅+=+=+4)cot 21(tan )2(tan 22122221p x x p p x x ααα 又)(tan 2121x x y y -=α[]ααααααααα242222222222122122212sin 2sin 14)cot 1(cot 4sec 44)cot 1()tan 1(4)()tan 1())(tan 1(pp p p p x x x x x x AB =⋅=+⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-++=-++=-+=∴即α2sin 2pAB =证法二：如图所示，分别作1AA 、1BB 垂直于准线l ．由抛物线定义有：ααcos cos 11⋅-==+⋅==BF p BB BF p AF AA AF于是可得出：αcos 1-=p AF αcos 1+=pBFαααα22sin 2cos 12cos 1cos 1p pp p BFAF AB =-=++-=+=∴故原命题成立．典型例题八例8 已知圆锥曲线C 经过定点)32,3(P ，它的一个焦点为F （1，0），对应于该焦点的准线为1-=x ，过焦点F 任意作曲线C 的弦AB ，若弦AB 的长度不超过8，且直线AB 与椭圆22322=+y x 相交于不同的两点，求 （1）AB 的倾斜角θ的取值范围．（2）设直线AB 与椭圆相交于C 、D 两点，求CD 中点M 的轨迹方程． 分析：由已知条件可确定出圆锥曲线C 为抛物线，AB 为抛物线的焦点弦，设其斜率为k ，弦AB 与椭圆相交于不同的两点，可求出k 的取值范围，从而可得θ的取值范围，求CD 中点M 的轨迹方程时，可设出M 的坐标，利用韦达定理化简即可．解：（1）由已知得4=PF ．故P 到1-=x 的距离4=d ，从而d PF = ∴曲线C 是抛物线，其方程为x y 42=．设直线AB 的斜率为k ，若k 不存在，则直线AB 与22322=+y x 无交点． ∴k 存在．设AB 的方程为)1(-=x k y由⎩⎨⎧-==)1(42x k y x y 可得：0442=--k y ky 设A 、B 坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则：442121-=⋅=+y y ky y222122122212)1(44)(1))(11(k k y y y y k k y y k AB +=-++=-+=∴∵弦AB 的长度不超过8，8)1(422≤+∴k k 即12≥k 由⎩⎨⎧=+-=223)1(22y x x k y 得：0)1(24)32(2222=-+-+k x k x k ∵AB 与椭圆相交于不同的两点，32<∴k 由12≥k 和32<k 可得：31<≤k 或13-≤<-k 故3tan 1≤≤θ或1tan 3-<<-θ 又πθ<≤0，∴所求θ的取值范围是：34πθπ<≤或4332πθπ≤< （2）设CD 中点),(y x M 、),(33y x C 、),(44y x D由⎩⎨⎧=+-=223)1(22y x x k y 得：0)1(24)32(2222=-+-+k x k x k 9325313231322232)1(2,324222224322132243<+≤∴<≤+-=∴+=+=+-=⋅+=+∴k k k x k k x x x k k x x k k x x则323211522<+-≤k 即3252<≤x ． 3)1(2)1(23221222222+-⋅-⋅=+=∴-=x y x y k k x x y k 化简得：032322=-+x y x∴所求轨迹方程为：)3252(032322<≤=-+x x y x典型例题九例9 定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线x y =2上移动，求AB 的中点到y 轴的距离的最小值，并求出此时AB 中点的坐标．分析：线段AB 中点到y 轴距离的最小值，就是其横坐标的最小值．这是中点坐标问题，因此只要研究A 、B 两点的横坐标之和取什么最小值即可．解：如图，设F 是x y =2的焦点，A 、B 两点到准线的垂线分别是AC 、BD ，又M 到准线的垂线为MN ，C 、D 和N 是垂足，则2321)(21)(21=≥+=+=AB BF AF BD AC MN ． 设M 点的横坐标为x ，纵坐标为y ，41+=x MN ，则454123=-≥x ．等式成立的条件是AB 过点F ． 当45=x 时，41221-=-=P y y ，故 22122)(212221221=-=++=+x y y y y y y ， 221±=+y y ，22±=y ． 所以)22,45(±M ，此时M 到y 轴的距离的最小值为45． 说明：本题从分析图形性质出发，把三角形的性质应用到解析几何中，解法较简．典型例题十例10 过抛物线px y 2=的焦点F 作倾斜角为θ的直线，交抛物线于A 、B 两点，求AB 的最小值． 分析：本题可分2πθ=和2πθ≠两种情况讨论．当2πθ≠时，先写出AB 的表达式，再求范围． 解：(1)若2πθ=，此时p AB 2=． (2)若2πθ≠，因有两交点，所以0≠θ． )2(tan p x y AB -=θ：，即2tan py x +=θ．代入抛物线方程，有0tan 222=--p y py θ． 故θθ22222212csc 44tan 4)(p p p y y =+=-， θθθ2222212212tan csc 4tan )()(p y y x x =-=-． 故θθθ422222csc 4)tan 11(csc 4p p AB =+=． 所以p p AB 2sin 22>=θ．因2πθ≠，所以这里不能取“=”．综合(1)(2)，当2πθ=时，p AB 2=最小值． 说明：(1)此题须对θ分2πθ=和2πθ≠两种情况进行讨论； (2)从解题过程可知，抛物线点弦长公式为θ2sin 2pl =； (3)当2πθ=时，AB 叫做抛物线的通径．通径是最短的焦点弦．例11 过抛物线px y 22=)0(>p 的焦点F 作弦AB ，l 为准线，过A 、B 作l 的垂线，垂足分别为'A 、'B ，则①''FB A ∠为（ ），②B AF '∠为（ ）．A ．大于等于︒90B ．小于等于︒90C ．等于︒90D 不确定分析：本题考查抛物线的定义、直线与圆的位置关系等方面的知识，关键是求角的大小以及判定直线与圆是否相切．解：①点A 在抛物线上，由抛物线定义，则21'∠=∠⇒=AF AA ， 又x AA //'轴31∠=∠⇒．∴32∠=∠，同理64∠=∠，而︒=∠+∠+∠+∠1804632，∴︒=∠+∠9063，∴︒=∠90''FB A ．选C ．②过AB 中点M 作l MM ⊥'，垂中为'M ， 则AB BF AF BB AA MM 21)(21)(21'''=+=+=．∴以AB 为直径的圆与直线l 相切，切点为'M ．又'F 在圆的外部，∴︒<∠90'B AF ．特别地，当x AB ⊥轴时，'M 与'F 重合，︒=∠90'B AF ．即︒≤∠90'B AF ，选B ．例12 已知点)2,3(M ，F 为抛物线x y 22=的焦点，点P 在该抛物线上移动，当PF PM +取最小值时，点P 的坐标为__________．分析：本题若建立目标函数来求PF PM +的最小值是困难的，若巧妙地利用抛物线定义，结合图形则问题不难解决．解：如图，由定义知PE PF =，故213=≥≥+=+MN ME PM PF PF PM ．取等号时，M 、P 、E 三点共线，∴P 点纵坐标为2，代入方程，求出其横坐标为2，所以P 点坐标为)2,2(．。
(完整版)抛物线练习题(含答案)
抛物线练习题一、选择题1．在直角坐标平面内，到点(1,1)和直线x ＋2y ＝3距离相等的点的轨迹是( )A ．直线B ．抛物线C ．圆D ．双曲线2．抛物线y 2＝x 上一点P 到焦点的距离是2，则P 点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫32，±62B.⎝⎛⎭⎫74，±72C.⎝⎛⎭⎫94，±32D.⎝⎛⎭⎫52，±102 3．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( )A.18 B ．－18C ．8D ．－8 4．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )A ．4B ．6C ．8D ．125．设过抛物线的焦点F 的弦为AB ，则以AB 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上答案都有可能6．过点F (0,3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( )A ．y 2＝12xB ．y 2＝－12xC ．x 2＝12yD ．x 2＝－12y7．抛物线y 2＝8x 上一点P 到x 轴距离为12，则点P 到抛物线焦点F 的距离为( )A ．20B ．8C ．22D ．248．抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为( )A ．2 3 B. 3 C.12 3 D.143 9．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点(k ，－2)与F 点的距离为4，则k 的值是( )A ．4B ．4或－4C ．－2D ．2或－210．抛物线y ＝1mx 2(m <0)的焦点坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，m 4 B.⎝⎛⎭⎫0，－m 4 C.⎝⎛⎭⎫0，14m D.⎝⎛⎭⎫0，－14m 11．抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点(－5,25)到焦点的距离是6，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝－2xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝－4x 或y 2＝－36x12．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为( )A.12 B ．1 C ．2 D ．4二、填空题13．过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影是A1、B1，则∠A1FB1= 。
高考数学复习---抛物线基础知识巩固练习题(含答案)
(1)求该抛物线的方程； (2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若O→C＝O→A＋λO→B，求 λ 的值．
[解] (1)由题意得直线 AB 的方程为 y＝2 2·x－p2，与 y2＝2px 联立，消去 y 有 4x2－5px＋p2＝0，所以 x1＋x2＝54p.
x2＝4y [△FPM 为等边三角形，则|PM|＝|PF|，由抛物线的定义得 PM 垂直
于抛物线的准线，设 Pm，m2p2，则点 Mm，－p2，因为焦点 F0，p2，△FPM 是
等边三角形，
m2p2＋p2＝4， 所以
p2＋p22＋m2＝4，
m2＝12，
解得
因此抛物线方程为 x2＝4y.]
p＝2，
三、解答题
2.
则直线 AB 的方程为 y＝2 2(x－1)， 与抛物线方程联立整理得 2x2－5x＋2＝0，xA＋xB＝52， 所以 xB＝12，所以|BF|＝12＋1＝32.]
8．已知抛物线 x2＝2py(p＞0)的焦点为 F，点 P 为抛物线上的动点，点 M 为 其准线上的动点，若△FPM 为边长是 4 的等边三角形，则此抛物线的方程为 ________．
A．1
B．2
C．3
D．4
A [∵x2＝2y，∴y＝x22，∴y′＝x，
∵抛物线 C 在点 B 处的切线斜率为 1，∴B1，12，
∵抛物线 x2＝2y 的焦点 F 的坐标为0，12，
∴直线 l 的方程为 y＝12，∴|AF|＝|BF|＝1.]
3．(2019·桂林模拟)设经过抛物线C的焦点的直线l与抛物
初中抛物线经典练习题(含详细答案)
初中数学抛物线经典试题集锦【编著】黄勇权【第一组题型】1、已知二次函数y=x²+bx+c过点A（2,0），C（0, -8）（1）求此二次函数的解析式，（2）在抛物线上存在一点p使△ABP的面积为15，请直接写出p点的坐标。
2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x²+mx+n经过点A（5，0），B（2，-6）．（1）求抛物线的表达式及对称轴（2）设点B关于原点的对称点为C，写出过A、C两点直线的表达式。
3、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点C为（2，4），并在x轴上截得的长度为6。
（1）写出抛物线与x轴交点A、B的坐标（2）求该抛物线的表达式（3）写出抛物线与y轴交点P的坐标4、直线的解析式为y=2x+4，交x轴于点A，交y轴于点B，若以A 为顶点,，且开口向下作抛物线，交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C，（1）若△ABC的面积为20，求此时抛物线的解析式（2）若△BDO的面积为8，求此时抛物线的解析式【答案】1、已知二次函数y=x²+bx+c过点A（2,0），C（0, -8）（1）求此二次函数的解析式，（2）在抛物线上存在一点p使△ABP的面积为15，请直接写出p点的坐标。
解：【第一问】因为函数y=x²+bx+c过点A（2,0），C（0, -8）分别将x=2，y=0代入y=x²+bx+c，得0=4+2b+c-----①将x=0，y=-8代入y=x²+bx+c，得-8=c-------------②将②代入①，解得：b=2--------------------------------------③此时，将②③代入y=x²+bx+c，所以：二次函数的解析式y=x²+ 2x -8【第二问】△ABP的面积= 12│AB│*│y p│----------------------④因为A、B两点在x轴上，令x²+ 2x -8=0（x-2）（x+4）=0解得：x1=2，x2= -4所以：│AB│=│X1- X2│=│2-（- 4）│=6------⑤又△ABP的面积=15-------------------------------------⑥由④⑤⑥，得：12*6*│y p│=15│y p│=5故有：y p= ±5即：p点的纵坐标为5或-5.把y=5代入y=x²+ 2x -8，即：5=x²+ 2x -8x²+ 2x -13=0解得：x= -1± 14那么，此时p点坐标（-1+ 14，5），（-1- 14，5）-------⑦把y=-5代入y=x²+ 2x -8，即：-5=x²+ 2x -8x²+ 2x -3=0（x-1）（x+3）=0解得：x= 1或x= -3那么，此时p点坐标（1，-5），（-3，-5）------------------⑧由⑦⑧得，使△ABP的面积为15，p点坐标是：（-1+ 14，5），（-1- 14，5），（1，-5），（-3，-5）2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x²+mx+n经过点A（5，0），B（2，-6）．（1）求抛物线的表达式及对称轴（2）设点B关于原点的对称点为C，写出过A、C两点直线的表达式。
初中抛物线经典练习题(含详细答案)
【编著】 黄勇权【第一组题型】1、已知二次函数y=x ²+bx+c 过点A （2,0），C （0, -8）（1）求此二次函数的解析式，（2）在抛物线上存在一点p 使△ABP 的面积为15，请直接写出p 点的坐标。
2、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=2x ²+mx+n 经过点A （5，0），B （2，-6）．（1）求抛物线的表达式及对称轴（2）设点B 关于原点的对称点为C ，写出过A 、C 两点直线的表达式。
初中数学抛物线 经典试题集锦3、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点C为（2，4），并在x轴上截得的长度为6。
（1）写出抛物线与x轴交点A、B的坐标（2）求该抛物线的表达式（3）写出抛物线与y轴交点P的坐标4、直线的解析式为y=2x+4，交x轴于点A，交y轴于点B，若以A为顶点,，且开口向下作抛物线，交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C，（1）若△ABC的面积为20，求此时抛物线的解析式（2）若△BDO的面积为8，求此时抛物线的解析式【答案】1、已知二次函数y=x²+bx+c过点A（2,0），C（0, -8）（1）求此二次函数的解析式，（2）在抛物线上存在一点p使△ABP的面积为15，请直接写出p点的坐标。
解：【第一问】因为函数y=x ²+bx+c 过点A （2,0），C （0, -8）分别将x=2，y=0代入y=x ²+bx+c ， 得 0=4+2b+c-----①将x=0，y=-8代入y=x ²+bx+c ，得-8=c-------------②将②代入①，解得：b=2--------------------------------------③此时，将② ③代入y=x ²+bx+c ，所以：二次函数的解析式 y=x ²+ 2x -8【第二问】△ABP 的面积= 12│AB │*│y p │----------------------④ 因为A 、B 两点在x 轴上，令x ²+ 2x -8=0（x-2）（x+4）=0解得：x 1=2，x 2= -4所以：│AB │=│X 1- X 2│=│2-（- 4）│=6------⑤又△ABP 的面积=--------------------------⑥由 ④ ⑤ ⑥，得 ： 12*6*│y p │=15│y p│=5故有：y p= ±5即：p点的纵坐标为5或-5.把y=5代入 y=x²+ 2x -8，即：5=x²+ 2x -8x²+ 2x -13=0解得：x= -1± 14那么，此时p点坐标（-1+ 14，5），（-1- 14，5）-------⑦把y=-5代入 y=x²+ 2x -8，即：-5=x²+ 2x -8x²+ 2x -3=0（x-1）（x+3）=0解得：x= 1或x= -3那么，此时p点坐标（1，-5），（-3，-5）------------------⑧由⑦⑧得，使△ABP的面积为15，p点坐标是：（-1+ 14，5），（-1- 14，5），（1，-5），（-3，-5）2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x²+mx+n经过点A（5，0），B（2，-6）．（1）求抛物线的表达式及对称轴（2）设点B关于原点的对称点为C，写出过A、C两点直线的表达式。
抛物线测试题及答案
抛物线测试题及答案1. 抛物线的定义抛物线是二次函数的图像，它由一条平滑的曲线组成，这条曲线是在平面上的所有离定点等距的点的轨迹。
抛物线的标准方程为 y = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 为常数。
2. 抛物线的性质- 对称性：抛物线关于 y 轴对称，即对于任意 x，有 y = ax^2 + bx + c，则对于相对应的 -x，仍满足 y = a(-x)^2 + b(-x) + c。
- 顶点：抛物线的顶点是曲线的最高点或最低点，形式为 (h, k)，其中 h 为对称轴上的横坐标，k 为顶点的纵坐标。
- 开口方向：抛物线的开口方向由二次项系数 a 的正负决定。
当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。
- 零点：抛物线与 x 轴交点的纵坐标为 0，可通过解一元二次方程找到零点的横坐标。
3. 抛物线的常见问题3.1 抛物线的参数- 如何确定抛物线的参数 a、b 和 c？通常可以通过已知的点的坐标来确定。
- 如何求取抛物线的顶点坐标？可以通过横坐标的公式 h = -b / (2a) 来计算，然后代入方程求得 k。
- 什么情况下抛物线不存在实零点？当抛物线开口向上时，且顶点的纵坐标 k 大于或等于 0 时，抛物线不存在实零点。
3.2 抛物线的应用- 抛物线在物理学、经济学和工程学等领域中有广泛的应用。
例如，抛物线可以用来描述物体在自由落体中的运动轨迹、图像的放大和缩小等现象。
- 在建筑学中，抛物线也被用于设计拱形桥、碗状天花板等结构。
4. 抛物线测试题答案- 问题一：已知抛物线公式为 y = 2x^2 + 3x + 1，求抛物线的顶点坐标。
- 答案：根据公式 h = -b / (2a)，得到 h = -(3) / (2*2) = -3/4。
将h 代入原方程可求得 k = -1/8。
所以顶点坐标为 (-3/4, -1/8)。
- 问题二：求抛物线 y = x^2 + x - 2 的零点。
(完整版)《抛物线》典型例题12例(含标准答案解析)
《抛物线》典型例题12 例典型例题一例 1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程．22（1）x24 y （2）x ay2（a 0）分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p，再写出焦点坐标和准线方程．（2）先把方程化为标准方程形式，再对 a 进行讨论，确定是哪一种后，求p 及焦点坐标与准线方程．解：（1）p 2 ，∴焦点坐标是（0，1），准线方程是：y 12 1 1（2）原抛物线方程为：y2 1 x， 2 p 1 a a①当 a 0时，p 1，抛物线开口向右，2 4a11∴焦点坐标是（1 ,0），准线方程是：x 1．4a 4a②当a 0 时，p 1，抛物线开口向左，2 4a11∴焦点坐标是（ ,0），准线方程是：x ．4a 4a2 1 1 综合上述，当a 0时，抛物线x ay2的焦点坐标为（1 ,0），准线方程是：x14a 4a 典型例题二例 2 若直线y kx 2与抛物线y28x交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，求此直线方程．分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k 的方程求解．另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法”求 k ．故所求直线方程为： y 2x 2 ．则所求直线方程为： y 2x 2 ．典型例题三例 3 求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆心与抛物线的准线相切． 分析：可设抛物线方程为 y 2 2px(p 0)．如图所示，只须证明 A 2B MM 1 ，解法一：设 A(x 1, y 1) 、 B(x 2, y 2 ) ，则由：y kx 22y 28x可得：k 2x 2 (4k 8)x 4 0．∵直线与抛物线相交， k 0 且 0， 则k1．∵AB 中点横坐标为： x 1 x 2 4k 82 k 22，解得： k 2 或 k 1舍去)．解法二： 设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2) ，则有 y 1 28x 12y28x 2 ．两式作差解： ( y 1 y 2)(y 1 y 2) 8(x 1 x 2) ，即y 1 y 2 x 1x28 y 1 y 2x 1 x 2 4 y 1y 2 kx 1 2 kx 2 2 k( x 1 x 2) 4 4k 4 ，k 4k 8 4 故 k2或 k 1 (舍去)．1MM 1AB ，故以 AB 为直径的圆，必与抛物线的准线相切．12说明：类似有： 以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离， 以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交．典型例题四例4（1）设抛物线 y 2 4x 被直线 y 2x k 截得的弦长为 3 5，求 k 值．为 9 时，求 P 点坐标．求 P 点坐标．k 2x 1 x 2 1 k, x 1 x 242 解：（ 1）由 yy4x 2x 得： 4x 2 k2(4k 4)x k 2 0AB (1 22)( x 1 x 2)2 5( x 1 x 2)2 4x 1x 2 5 (1 k)2 k 2 5(1 2k)AB 3 5, 5(1 2k) 3 5 ，即 k 4 2）S 9 ，底边长为 3 5 ，∴三角形高 h 2 9 6 535 ∵点 P 在x 轴上，∴设 P 点坐标是 （x 0,0） 则点 P 到直线 y 2x 4的距离就等于 h ，即 0 2 2 22 12655x1或 x 0 5，即所求 P 点坐标是（－ 1，0）或（ 5，0）．典型例题五MM 111 12( AA 1 BB 1) 12(AF2）以（1）中的弦为底边，以x 轴上的点 P 为顶点作三角形，当三角形的面积 分析：（1）题可利用弦长公式求 k ，（2）题可利用面积求高，再用点到直线距离设直线与抛物线交于 A （x 1,y 1）与B （x 2,y 2） 两点．则有：BF )范文 范例 指导 参考例5 已知定直线 l 及定点 A (A 不在 l 上)，n 为过A 且垂直于 l 的直线，设 N 为 l 上任一点， AN 的垂直平分线交 n 于 B ，点 B 关于 AN 的对称点为 P ，求证 P 的轨迹为抛物线．分析：要证 P 的轨迹为抛物线， 有两个途径， 一个证明 P 点的轨迹符合抛物线的 定义，二是证明 P 的轨迹方程为抛物线的方程， 可先用第一种方法，由 A 为定点， l 为定直线，为我们提供了利用定义的信息，若能证明 PA PN 且 PN l 即可． 证明： 如图所示，连结 PA 、PN 、NB ．由已知条件可知： PB 垂直平分 NA ，且 B 关于 AN 的对称点为 P ． ∴ AN 也垂直平分 PB ．则四边形 PABN 为菱形．即有 PA PN ．AB l. PN l.则 P 点符合抛物线上点的条件：到定点 A 的距离与到定直线的距离相等，所以 P 点的轨迹为抛物线．典型例题六例6 若线段 P 1P 2为抛物线 C:y 2 2px(p 0)的一条 分析： 此题证的是距离问题，如果把它们用两点间 的距离表示出来，其计算量是很大的．我们可以用 抛物线的定义，巧妙运用韦达定理，也可以用抛物线的定义与平面几何知识，把结论证明出来．证法一：F(2p ,0)，若过 F 的直线即线段 P 1P 2所在直线斜率不存在时，则有 P 1F P 2F p,111 1 2P 1F P 2F p p p焦点弦， F 为 C 的焦点，求证：1 12 P 1F P 2F p若线段P1P2 所在直线斜率存在时，设为k，则此直线为：y k(x 2p)(k 0) ，且设P1(x1,y1),P2(x2,y2) ．k(x p )2得：k(x p )2 k2x2p(k22)xk2p24x 1 x22p(k 22)k2x 1 x 2根据抛物线定义有：P1 F x1 2p,P2F x12p , P1P2 x1 x2 p则 1 1 P1F P2F P1F P2 F P1F P2Fx1x2(x1 2p)(x2 2 )x2 p2p4x1x1x2 2p (x1 x2)1请将①②代入并化简得：112P1F P2F p证法二：如图所示，设P1、P2 、F点在C的准线l 上的射影分别是P1 、P2 、F ，且不妨设P2P2 n m P1P1 ，又设P2 点在FF P1P1 上的射影分别是A、B点，由抛物线定义知，P2 F n, P1F m, FF p又P2 AF ∽P2 BP1 ，AF P2 F BP1 P2P1p(m n ) 2mn 112 m n p即 AB 2psin 2故原命题成立．典型例题七例 7 设抛物线方程为 y 2 2px(p 0) ，过焦点 F 的弦 AB 的倾斜角为 焦点弦长为 AB 2 2p ．sin分析： 此题做法跟上题类似，也可采用韦达定理与抛物线定义解决问题． 证法一： 抛物线 y 2 2px( p 0)的焦点为 (2p ,0)， 过焦点的弦 AB 所在的直线方程为： y tan ( x 2p ) 由方程组 y tan (x 2p)消去 y 得： y 2 2 px2 2 2 2 24 x 2 tan 2 4 p(tan 2 ) p 2 tan 2，求证：x 1 x2设 A(x 1, y 1),B(x 2,y 2) ，则x1x2p(tan 22)tan 22p4p(1 2cot 2 )又 y 1 y 2 tan ( x 1 x 2 )AB (1 tan 2 )( x 1 x 2)2 (1 tan 2 ) (x 1 x 2) 2 4x 1x 2 (1 tan 2 ) p 2 (1 cot 2 ) 4 p4sec 2 4p 2 cot 2 (1 cot 2 )2p 2 sin1 4 sin证法二： 如图所示，分别作 AA 1、 BB 1垂直于准线 l ．由抛物线定义有：AFAA 1 AF cos p BFBB 1pBF cos典型例题八例 8 已知圆锥曲线 C 经过定点 P （3,2 3） ，它的一个焦点为 F （1，0），对应于该 焦点的准线为 x 1，过焦点 F 任意作曲线 C 的弦 AB ，若弦 AB 的长度不超过 8， 且直线 AB 与椭圆 3x 2 2y 2 2 相交于不同的两点，求 （ 1） AB 的倾斜角 的取值范围．（2）设直线 AB 与椭圆相交于 C 、 D 两点，求 CD 中点 M 的轨迹方程． 分析：由已知条件可确定出圆锥曲线 C 为抛物线， AB 为抛物线的焦点弦，设其 斜率为 k ，弦 AB 与椭圆相交于不同的两点， 可求出 k 的取值范围， 从而可得 的 取值范围，求 CD 中点 M 的轨迹方程时，可设出 M 的坐标，利用韦达定理化简即 可．于是可得出：AFp1 cosBFp1 cosABAF BFpp1 cos1 cos2p21 cos2p2sin故原命题成立．解：(1)由已知得PF 4 ．故P到x 1 的距离 d 4 ，从而PF d ∴曲线C是抛物线，其方程为y24x ．设直线AB的斜率为k，若k 不存在，则直线AB与3x2∴k 存在．设AB的方程为y k ( x 1)4 x 2可得：ky24 y 4k 0 k( x 1)2 y22 无交点．2 由y2y设A、B坐标分别为(x1,y1)、(x2, y2)，则：y1y2y1y2 4AB12 (1 k2 )(y1y2)2 1k k2 (y1 y2)2 k4(1 k2 )4y1 y2 k2∵弦AB的长度不超过8，24(1 k 2)k28即k2由y2k(x21)得：(2k23x22 y223)x24k 2x 2(k21)∵AB与椭圆相交于不同的两点，k2由k21和k2 3可得： 1 k故1 tan 3 或 3 tan又0 ，∴所求的取值范围是：3或232) 设CD中点M ( x, y) 、C( x3, y3 )、D(x4,y4)由y2k(x21)得：(2k23)x24k2x3x22 y222(k 21) 0典型例题九例 9 定长为 3的线段 AB 的端点 A 、 B 在抛物线 y 2 x 上移动，求 AB 的中点到 y 轴的距离的最小值，并求出此时 AB 中点的坐标．分析： 线段 AB 中点到 y 轴距离的最小值，就是其横坐标的最小值．这是中点坐 标问题，因此只要研究 A 、 B 两点的横坐标之和取什么最小值即可．解：如图，设 F 是y 2 x 的焦点， A 、 B 两点到准线的垂线分别是 AC 、BD ， 又M 到准线的垂线为 MN ， C 、 D 和N 是垂足，则x34k 22, x 3 x 12k 232 x3 x 42k 2 2k 2 3 1 232k 2 3 k 2 322k 23 9x42(k 2 1) 2k 2 3则2 51 2k 21 2223即25yx12k 2 2k 2322 y 2 2 (x 1)2 22 y 22 ( x 1) 2化简得： 3x 2 2 y 2 3x∴所求轨迹方程为： 3x 22y 23x 0( 2 x 2) 531 3 1 设M 点的横坐标为 x ，纵坐标为 y ， MN x ，则 x 42 4等式成立的条件是 AB 过点 F ．2 2 21(y 1 y 2) y 1 y 2 2y 1y 2 2x 2 2，y 1 y 2 2 ， y5 2 5 所以 M(54, 22) ，此时 M 到y 轴的距离的最小值为 45 ．说明：本题从分析图形性质出发， 把三角形的性质应用到解析几何中， 解法较简．典型例题十例 10 过抛物线 y 2 px 的焦点 F 作倾斜角为 的直线，交抛物线于 A 、B 两点， 求 AB 的最小值．分析：本题可分 2 和 2两种情况讨论．当 2 时，先写出 AB 的表达式， 再求范围．解：(1) 若 2 ，此时 AB 2p ．11 12( AC BD) 21( AFBF)12AB当x 45时， y 1y 2 P 214，故MN1AB ：y tan (x 2p )，即 x ta y n说明：(2) 若 2 ，因有两交点，所以 0．代入抛物线方程，有 ta 2 3n p y tan p 2 0 ．故 ( y 2 y 1 ) 2 4 p 2tan 2 4p 2 4p 2 csc( x 2 x 1) 2 ( y 2 y 1)2tan 2 22 csc4 p 2 2tan 故 AB 22 4 p csc (1 12 ) 4p 2 csc 4 tan 2所以 AB 2p 2 sin 2p ．因 2 ，所以这里不能取“=” 综合(1)(2) ，当 2 时， AB 最小值 2p ．(1) 此题须对 分 2 和 2两种情况进行讨论；的大小以及判定直线与圆是否相切．解：①点 A 在抛物线上，由抛物线定义，则 AA ' AF 1 2， 又 AA ' // x 轴 1 3 ． ∴ 2 3，同理 4 6 ， 而 2 3 6 4 180 ，∴ 3 6 90 ，∴ A 'FB ' 90 ．选 C ．②过AB 中点 M 作MM ' l ，垂中为 M '，∴以 AB 为直径的圆与直线 l 相切，切点为 M ' ．又 F ' 在圆的外部，∴ AF 'B 90 ． 特别地，当 AB x 轴时， M '与 F '重合， AF 'B 90 ．即 AF 'B 90 ，选 B ．典型例题十二例 12 已知点 M(3,2)， F 为抛物线 y 2 2x 的焦点，点 P 在该抛物线上移动， 当 PM PF 取最小值时，点 P 的坐标为 __________ ．分析： 本题若建立目标函数来求 PM PF 的最小值是困难的，若巧妙地利用抛则 MM1(AA ' BB ' ) 2 1 12( AF BF ) 1 AB 2物线定义，结合图形则问题不难解决．1 由定义知PF PE ，故PM PF PF PM ME MN 3 ．取等号时，M 、P、E三点共线，∴ P点纵坐标为2，代入方程，求出其横坐标为2，所以P点坐标为(2, 2) ．。
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抛物线基础训练题
1.动点P 到点A (0，2)的距离比到直线l :y =-4的距离小2，则动点P 的轨迹方程为 D A. x y 42= B. x y 82= C.y x 42= D.y x 82=
2.已知直线l 与抛物线x y 82=交于A 、B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，A 点的坐标为(8，8)，则线段AB 的中点到准线的距离是 A A.4
25 B.
2
25 C.
8
25
D.25
3.已知抛物线的焦点在直线y x 2--4=0上，则此抛物线的标准方程是C A.x y 162= B.y x 82-= C. x y 162=或y x 82-= D. x y 162=或y x 82=
4.直线y =kx -2与抛物线x y 82=交于A 、B 两点，且AB 的中点横坐标为2，则k 的值是 B
A.-1
B.2
C.-1或2
D.以上都不是
5.动圆M 经过点A (3，0)且与直线l :x =-3相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是 A A. x y 122= B. x y 62= C. x y 32= D.x y 242=
6.θ是任意实数，则方程ｘ２＋ｙ２ｓｉｎθ＝４的曲线不可能是（C ） Ａ.椭圆 Ｂ.双曲线 Ｃ.抛物线 Ｄ.圆
7.双曲线k
y x 2
24+＝１的离心率ｅ∈（１，２），则k 的取值范围是（B ） Ａ.(－∞，０) Ｂ.（－12，０） Ｃ.（－３，０） Ｄ.（－60，－12）
8.以12
42
2y x -=1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（D ） A.
112162
2=+y x B.
116122
2=+y x C. 14
162
2=+y x D.
116
42
2=+y x
9.抛物线y =x ２上到直线２x -y =4距离最近的点的坐标是（ B ）
Ａ.(45,23) Ｂ.(1，1) Ｃ.( 49
,23) Ｄ.(2，4)
10.1122
222222=-=-a
y b x b y a x 与（ａ＞ｂ＞０）的渐近线（D ）
Ａ.重合 Ｂ.不重合，但关于x 轴对应对称 Ｃ.不重合，但关于y 轴对应对称 Ｄ.不重合，但关于直线y =x 对应对称 11．抛物线2
2x y =的焦点坐标是 （ C ）
A ．)0,1(
B ．)0,4
1(
C ．)8
1,0(
D ． )4
1,0(
12 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点)3,(-m P 到焦点的距离为5，则抛物线方程为
（ D ） A ．y x 82= B ．y x 42= C ．y x 42-= D ．y x 82-=
13．抛物线x y 122=截直线12+=x y 所得弦长等于 （ A ）
A ．15
B ．15
2
C ．
2
15 D ．15
14．顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，则它的方程是 （ B ） A ．y x 2
92-
=或x y 3
42=
B ．x y 292-=或y x 3
42= C ．y x 3
4
2=
D ．x y 2
92
-
=
15．抛物线x y =2上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 )4
2
,8
1(±
______________．
16．已知圆07622=--+x y x ，与抛物线)0(22>=p px y 的准线相切，则=p _2__________．
17
抛
物
线
2
2y x =的准线方程为
（ B ） A ．14y =-
B ．18y =-
C ．1y =
D ．1
2y =
18抛物线2
4x y =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ B ）
A ．1617
B ．1615
C ．87
D ．0
19抛物线28x y =-的准线方程是 （ B ）
A ． 321=
x B ． 2=y C ． 321
=
y D ． 2-=y
20抛物线2
x y =在点M （21，41
）处的切线的倾斜角是（ B ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
21若抛物线2
2y px =的焦点与椭圆22
162x y +=的右焦点重合，则p 的值为
（ D ）。
A ．2-
B ．2
C ．4-
D ．4
22抛物线2
y ax =的焦点恰好为双曲线2
2
2y x -=的一个焦点，则a =____1
8或
1
8-
_____。