上海市华东师大二附中2015届高三暑期练习数学(四)

华东师大二附中2015届暑期练习（四）数学试卷一、填空题（每小题4分，满分56分）1、θ是第二象限角，则2θ是第 象限角．2、复数z 满足1z z i-=-，则此复数z 所对应的点的轨迹方程是 .3、已知全集U R =，集合{}2230,A x x x x R=-->∈,{}22B x m x m =-≤≤+,若(){}03U C A B x x ⋂=≤≤，则实数m 的值为 .一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与 某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球 的体积之比为 .已知1tan 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 则2cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 . 定义在R 上的奇函数()f x ，()12f -=，且当0x ≥时，()()22x f x a x b=+++（,a b 为常数），则()10f -的值为 .7、公差不为零的等差数列}{n a 中，237110a a a -+=，数列}{n b 是等比数列，且77a b =， 则1213b b b ⋅等于 .已知等差数列{}n a 的通项公式为35n a n =-，则5671)1)1)x x x +++++（（（的展开式中4x 项的系数是数列{}n a 中的第 项．9、已知极坐标系的极点为直角坐标系的原点O ，极轴与x 轴的非负半轴重合.若直线l 的极坐标方程为3πθ=)R ρ∈（，曲线C 的参数方程为2cos 1cos2x y θθ=⎧⎨=+⎩(θ为参数，且)R θ∈，则直线l 与曲线C 的交点的直角坐标为 .10、一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从x 11、棱长为1的正方体1111ABCD A B C D-及其内部一动点P，集合{}1Q P PA=≤,则集合Q构成的几何体表面积为.12、P是双曲线221916x y－＝的右支上一点，M、N分别是圆22(5)4x y++=和22(5)1x y-+=上的点，则PM PN-的最大值等于.13、设,x y为实数，且满足：()()32014201320142013x x-+-=-，()()32014201320142013y y-+-=，则x y+=.14、在区间[]0,π上，关于α的方程5sin45cos2αα+=+解的个数为．二、选择题（每小题5分，满分20分）15、已知θ为实数，若复数)sin211z iθθ=-+-是纯虚数，则z的虚部为（）A、2B、0C、2-D、2i-16、“1=a”是“函数()||f x x a b=-+（,a b R∈）在区间[)1,+∞上为增函数”的( )A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件如果函数()f x在[,]a b上的最大值和最小值分别为M、m，那么()()()bam b a f x M b a-≤∆≤-.根据这一结论求出2212x--∆的取值范围（）.A、[0,3]B、3[,3]16C、33[,]162D、3[,3]218、如图，已知点(2,0)P，正方形ABCD内接于⊙22:2O x y+=，M、N分别为边AB、BC的中点，当正方形ABCD绕圆心O旋转时，PM ON⋅A、[1,1]-B、[C、[2,2]-D、[解答题（满分74分）19、（本题满分12分）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D-,底面ABCD 直角梯形，AB ∥CD ，90BAD ∠=︒，P 是棱CD 上一点，2AB =，AD =13AA =，3CP =，1PD =.（1）求异面直线1A P 与1BC 所成的角；求证：PB ⊥平面11BCC B .20、（本题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b 满足：()()112,4,13213nn n n n a a a n b a n λ+==+-=--+，其中λ为实数，n 为正整数.（1）对任意实数λ，求证：123,,a a a 不成等比数列；（2）试判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论.21、（本题满分14分）如图，C 、D 是两个小区所在地，C 、D 到一条公路AB 的垂直距离分别为1CA =km ，2DB =km ，AB 两端之间的距离为6km .（1）某移动公司将在AB 之间找一点P ，在P 处建造一个信号塔，使得P 对A 、C 的张角与P 对B 、D 的张角相等，试确定点P 的位置.（2）环保部门将在AB 之间找一点Q ，在Q 处建造一个垃圾处理厂，使得Q 对C 、D 所张角最大，试确定点Q 的位置.ABC DQPDC B APDCBAD 1C 1B 1A 122、（本题满分16分）阅读： 已知a 、()0,b ∈+∞，1a b +=，求12y a b =+的最小值.解法如下：()1212233b a y a b a b a b a b ⎛⎫=+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当2b a ab =，即1,2a b ==12y a b =+的最小值为3+应用上述解法，求解下列问题：（1）已知(),,0,a b c ∈+∞，1a b c ++=，求111y a b c =++的最小值；（2）已知10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求函数1812y x x =+-的最小值； （3）已知正数1a 、2a 、3,,n a a ，1231n a a a a ++++=，求证：2222312122334112n n a a a a S a a a a a a a a =++++≥++++.23、（本题满分18分）已知函数2()5bf x ax x=++(常数,a b R ∈）满足(1)(1)14f f +-=.（1）求出a 的值，并就常数b 的不同取值讨论函数()f x 奇偶性；（2）若()f x 在区间-∞（，上单调递减，求b 的最小值；（3）在（2）的条件下，当b 取最小值时，证明：()f x 恰有一个零点q 且存在递增的正整数数列{}n a ，使得31225n a a a a q q q q =+++++成立.参考答案1、 一或三;2、0x y -=．3、2m =4、 123::3:1:2V V V =. 554-6、993)10()10(-=-=-f f .7、 13131213728192b b b b ⋅===. 8、 20 9、0,0)（；设取红球x 个，白球y 个，则5(04)27(06)x y x x y y +=≤≤⎧⎨+≥≤≤⎩234,,321x x x y y y ===⎧⎧⎧∴⎨⎨⎨===⎩⎩⎩， 取法为233241464646186C C C C C C ++=. 11、221151341484S πππ=⋅⋅+⋅⋅= . 12、9. 13、4028x y +=. 14、1个解.15、sin 21sin 210410cos 2,244k k k πθθπθππθθθππ⎧=⎧=+⎪-=⎧⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨-≠≠⎪⎪≠+-⎩⎪⎩ 则()524k k Z πθπ=+∈12θ-=-，选C .16、1=a 时，()|1|f x x b =-+在[)1,+∞上为增函数；反之，()||f x x a b =-+在区间[)1,+∞上为增函数，则1a ≤，故选A .17、求22x -在[]2,1-上的最值，选B .18、OM ON ⊥ 且长度为1，可设)sin ,cos (ααM ，)cos ,sin (αα-N ，然后用坐标求解.也可以-=，答案选C . 19、解：（1）以D 原点，DA 、DC 、1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.则10,3)A ，(0,1,0)P，20B ，），1(0,4,3)C . (2,1,3)PA =-(2,3)BC =11cos 612PA BC PA BC θ⋅===⋅∴异面直线1A P 与1BC所成的角的大小等于.过B 作BM CD ⊥交CD 于M ，在Rt BMC ∆中，BM =，2MC =，则BC =，1PC ==，1BC ==PB ==22211PC PB BC=+，1PB BC ∴⊥1B B ABCD ⊥平面，1B B PB ∴⊥.又1B B BC B ⋂=，∴PB ⊥平面11BCC B .20、解（1）证明：假设存在一个实数λ，使123,,a a a 是等比数列，则有2213a a a =, 即,094949494)494()332(222=⇔-=+-⇔-=-λλλλλλλ矛盾.所以123,,a a a 不成等比数列.（2）因为()()()111121312112143n n n n n b a n a n ++++⎛⎫=--++=--+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭22(1)(321)33n n n a n b =--+=-,又1(18)b λ=-+,所以当18λ=-，10n b b ==，(n 为正整数)，此时{}n b 不是等比数列：当18λ≠-时，10b ≠，由上式可知0n b ≠，∴123n n b b +=-(n 为正整数) ，故当18λ≠-时，数列{}n b 是以()18λ-+为首项，－32为公比的等比数列.21、解：（1）设PA x =，CPA α∠=，DPB β∠=.依题意有1tan x α=，2tan 6x β=-.由tan tan αβ=，得126x x =-，解得2x =，故点P 应选在距A 点2km 处.（2）设PA x =，CQA α∠=，DQB β∠=.依题意有1tan x α=，2tan 6x β=-，y21266tan tan[()]tan()126216x x x CQD x x x x παβαβ++-∠=-+=-+=-=-+-⋅-令6t x =+，由06x <<，得612t <<，2261tan 62187418x t CQD x x t t t t +∠===-+-++-，747455274663tt ≤+<+=，74118183t t∴≤+-<，当7418180t t ≤+-<，所张的角为钝角，最大角当6x=时取得，故点Q 应选在距A 6-km 处.22、解（1）()1111113b a c a c b y a b c a b c a b c a b a c b c ⎛⎫⎛⎫=++=++++=++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而6b a c a c ba b a c b c +++++≥，当且仅当13a b c ===时取到等号，则9y ≥，即111y a b c =++的最小值为9.（2）()28281222121028212212212x x y x x x x x x x x -⎛⎫=+=+⋅+-=+⋅+⋅ ⎪---⎝⎭，而10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，122288212x x x x -⋅+⋅≥=-，当且仅当12228212x x x x -⋅=⋅-，即110,62x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭时取到等号，则18y ≥，所以函数1812y x x =+-的最小值为18.（3）()()()2221212231122312nn n a a a S a a a a a a a a a a a a ⎛⎫=+++++++++⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭()()()()()22222221211223121211223112n nn n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤=++++⋅++⋅+++⋅++⋅+⎢⎥++++⎣⎦()()()22222221a a a a a a a a a a a a ≥+++++++=+++=当且仅当121n a a a n ====时取到等号，则12S ≥. 23、解：（1）由(1)(1)14f f +-=得5)(5)14a b a b +++-+=（，解得2a =. 从而2()25bf x x x =++，定义域为00-∞⋃+∞（，）（，）当0b =时，对于定义域内的任意x ，有2()()25f x f x x -==+，()f x 为偶函数当0b ≠时，(1)(1)140f f +-=≠从而(1)(1)f f -≠，()f x 不是奇函数；(1)(1)20f f b --=-≠，()f x 不是偶函数，()f x ∴非奇非偶.对于任意的12x x <<12()()0f x f x ->恒成立， 即2212122525b b x x x x ++-++（）（）>0，得1212122()0xx x x b xx -++>.12x x <<，2312(x x >，122x x +<-，从而12122()2x x x x -+>.又12122()b x x x x >+，2b ∴≤-，b 的最小值等于2-.（3）在（2）的条件下，22()25f x x x =-+.当0x <时，()0f x >恒成立，函数()f x 在0-∞（，）无零点当0x >时，对于任意的210x x >>，恒有212121121()()2()()0f x f x x x x x x x -=-++>，即21()()f x f x >，所以函数()f x 在0∞（，+）上递增，又123()048f =-<，(1)50f =>， ∴()f x 在114（，）是有一个零点q .综上()f x 恰有一个零点q ，且1(,1)4q ∈…15分22()250f q q q =-+=，得3251q q =-，又473231n q q q q q q -=+++++-，故473225n q q q q -=+++++，取32n a n =-。