2010年“数学周报”杯全国数学
2008年2009年2010年《数学周报》杯全国初中数学竞赛试题及简要答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题班级__________学号__________姓名______________得分______________一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填都得0分）1．已知实数x ，y 满足：4x 4－2x 2＝3，y 4＋y 2＝3，则4x 4＋y 4的值为 （ ）（A ）7 （B ）1＋132 （C ）7＋132 （D ）5 2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ ） （A ）512 （B ）49 （C ）1736 （D ）123．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可确定的不同直线最少有 （ ）（A ）6条 （B ）8条（C ）10条 （D ）12 4．已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且AB ＝a ＜1．以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB ＝AB ＝a ，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（ ） （A ）52a （B ）1 （C ）32 （D ）a 5．将1，2，3，4，5这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（ ）（A ）2种 （B ）3种 （C ）4种 （D ）5种 二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：u *v ＝uv ＋v ．若关于x 的方程x *（a *x ）＝－14有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是_______．7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是_____分钟．8．如图，在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝11，点M 是BC 的中点，AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则FC 的长为______．9．△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心I 作DE ∥BC ，分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，则DE 的长为______．10．关于x ，y 的方程x 2＋y 2＝208(x －y )的所有正整数解为________． F M D B A三、解答题（共4题，每题15分，满分60分）11．在直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，且使得△OAB的面积值等于｜OA｜＋｜OB｜＋3．（1）用b表示k；（2）求△OAB面积的最小值．12．是否存在质数p，q，使得关于x的一元二次方程px2－qx＋p＝0有有理数根？13．是否存在一个三边长恰是三个连续正整数，且其中一个内角等于另一个内角2倍的△ABC？证明你的结论．14．从1，2，…，9中任取n个数，其中一定可以找到若干个数（至少一个，也可以是全部），它们的和能被10整除，求n的最小值．简答：一．选择题 ACBBD ；二．填空题 6. a ＞ 0 或 a ＜－1； 7. 4； 8. 9； 9. 163； 10. x ＝48， x ＝160， ＝32； y ＝32．三．解答题：11. （1）k ＝2b －b 22(b ＋3)，b ＞ 2； （2）当 b ＝2＋10， k ＝－1时，△OAB 面积的最小值为7＋210； 12. 存在满足题设条件的质数p ，q . 当p ＝2，q ＝5时，方程2x 2－5x ＋ 2＝0 的两根为 x 1＝12， x 2＝2. 它们都是有理数； 13. 存在满足条件的三角形. △ABC 的边 a ＝6，b ＝4，c ＝5，且∠A ＝2∠B ，证明略. 14. n 的最小值是5，证明略．中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．已知非零实数a ，b 满足 24242a b a -++=，则a b +等于（ ）．（A ）－1 （B ）0 （C ）1 （D ）2【答】C ．解：由题设知a ≥3，所以，题设的等式为20b ++=，于是32a b ==-，，从而a b +＝1．2．如图，菱形ABCD 的边长为a ，点O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，则a 等于（ ）．（A）12 （B）12 （C ）1 （D ）2 【答】A ．解：因为△BOC ∽ △ABC ，所以BO BC AB AC=，即 11a a a =+， 所以， 210a a --=．由0a >，解得a = 3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先 后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于x ，y的方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩， 只有正数解的概率为（ ）． （A ）121 （B ）92 （C ）185 （D ）3613 【答】D ．解：当20a b -=时，方程组无解．当02≠-b a 时，方程组的解为62,223.2b x a b a y a b -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩由已知，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-->--,0232,0226b a a b a b 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>>-,3,23,02b a b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<-.3,23,02b a b a 由a ，b 的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得2345612a b =⎧⎨=⎩，，，，，，，共有 5×2＝10种情况；或1456a b =⎧⎨=⎩，，，，共3种情况． 又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为3613． 4．如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90B ∠=︒. 动点P 从点 B 出发，沿梯形的边由B →C →D →A 运动. 设点P 运动的路程为x ，△ABP的面积为y . 把y 看作x 的函数，函数的图像如图2所示，则△ABC 的面积为（ ）．（A ）10 （B ）16 （C ）18 （D ）32【答】B ． 解：根据图像可得BC ＝4，CD ＝5，DA ＝5，进而求得AB ＝8，故S △ABC ＝12×8×4＝16.5．关于x ，y 的方程22229x xy y ++=的整数解（x ，y ）的组数为（）． （A ）2组 （B ）3组 （C ）4组 （D ）无穷多组【答】C ．解：可将原方程视为关于x 的二次方程，将其变形为22(229)0x yx y ++-=．由于该方程有整数根，则判别式∆≥0，且是完全平方数．由 2224(229)7116y y y ∆=--=-+≥0，解得 2y ≤11616.57≈．于是显然，只有216y =时，4∆=是完全平方数，符合要求．当4y =时，原方程为2430x x ++=，此时121,3x x =-=-；当y ＝－4时，原方程为2430x x -+=，此时341,3x x ==．所以，原方程的整数解为111,4;x y =-⎧⎨=⎩223,4;x y =-⎧⎨=⎩ 331,4;x y =⎧⎨=-⎩ 443,4.x y =⎧⎨=-⎩二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km 后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km 后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 km ．【答】3750．解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k ,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km 磨损量为5000k ,安装在后轮的轮胎每行驶1km 的磨损量为3000k .又设一对新轮胎交换位置前走了x km ，交换位置后走了y km .分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有,50003000,50003000kx ky k ky kx k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相加，得 ()()250003000k x y k x y k +++=， 则 237501150003000x y +==+． 7．已知线段AB 的中点为C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在线段AB 的延长线上取点D ，使得BD ＝AC ；再以点D 为圆心，DA 的长为半径作圆，与⊙A 分别相交于F ，G 两点，连接FG 交AB 于点H ，则AH AB的值为 ． 解：如图，延长AD 与⊙D 交于点E ，连接AF ，EF ． 由题设知13AC AD =，13AB AE =，在△FHA 和△EF A 中， 90EFA FHA ∠=∠=︒，FAH EAF ∠=∠所以 Rt △FHA ∽Rt △EF A ， AH AF AF AE=. 而AF AB =，所以AH AB 13=. 8．已知12345a a a a a ，，，，是满足条件123459a a a a a ++++=的五个不同的整数，若b 是关于x 的方程()()()()()123452009x a x a x a x a x a -----=的整数根，则b 的值为 ．【答】 10．解：因为()()()()()123452009b a b a b a b a b a -----=，且12345a a a a a ，，，，是五个不同的整数，所有12345b a b a b a b a b a -----，，，，也是五个不同的整数．又因为()()2009117741=⨯-⨯⨯-⨯，所以1234541b a b a b a b a b a -+-+-+-+-=．由123459a a a a a ++++=，可得10b =．9．如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 为ACB ∠的平分线．若AC ＝15，BC ＝20，CD ＝12，则CE 的长等于 ．【答】7． 解：如图，由勾股定理知AD ＝9，BD ＝16，所以AB ＝AD ＋BD ＝25 ． 故由勾股定理逆定理知△ACB 为直角三角形，且90ACB ∠=︒．作EF ⊥BC ，垂足为F ．设EF ＝x ，由1452ECF ACB ∠=∠=︒，得CF ＝x ，于是BF ＝20－x ．由于EF ∥AC ，所以E F B F A C B C=， 即 201520x x -=， 解得607x =．所以7CE ==． 10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是 ．【答】2-．解：设报3的人心里想的数是x ，则报5的人心里想的数应是8x -．于是报7的人心里想的数是 12(8)4x x --=+，报9的人心里想的数是 16(4)12x x -+=-，报1的人心里想的数是 20(12)8x x --=+，报3的人心里想的数是4(8)4x x -+=--．所以4x x =--，解得2x =-．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．已知抛物线2y x =与动直线c x t y --=)12(有公共点),(11y x ，),(22y x ，且3222221-+=+t t x x .（1）求实数t 的取值范围；（2）当t 为何值时，c 取到最小值，并求出c 的最小值.解：（1）联立2y x =与c x t y --=)12(，消去y 得二次方程2(21)0x t x c --+= ①有实数根1x ，2x ，则121221,x x t x x c +=-=．所以 2221212121[()()]2c x x x x x x ==+-+ =221[(21)(23)]2t t t --+-＝21(364)2t t -+． ② ………………5分 把②式代入方程①得221(21)(364)02x t x t t --+-+=． ③ ………………10分t 的取值应满足2221223t t x x +-=+≥0， ④ 且使方程③有实数根，即22(21)2(364)t t t ∆=---+＝2287t t -+-≥0， ⑤解不等式④得 t ≤-3或t ≥1，解不等式⑤得 22-t ≤22+所以，t 的取值范围为22-t ≤22+⑥ ………………15分(2) 由②式知22131(364)(1)222c t t t =-+=-+.由于231(1)22c t =-+在22-t ≤22+22t =-时,2min 31(21)22c =-+=………………20分 12．已知正整数a 满足3192191a +，且2009a <，求满足条件的所有可能的正整数a 的和．解：由3192191a +可得31921a -．619232=⨯，且()[]311(1)1(1)(1)(1)a a a a a a a a -=-++=-++-．………………5分因为()11a a ++是奇数，所以6321a -等价于621a -，又因为3(1)(1)a a a -+，所以331a -等价于31a -．因此有1921a -，于是可得1921a k =+．………………15分又02009a <<，所以0110k =，，，．因此，满足条件的所有可能的正整数a 的和为11＋192（1＋2＋…＋10）＝10571． ………………20分13．如图，给定锐角三角形ABC ，BC CA <，AD ，BE 是它的两条高，过点C 作△ABC 的外接圆的切线l ，过点D ，E 分别作l 的垂线，垂足分别为F ，G ．试比较线段DF 和EG 的大小，并证明你的结论．解法1：结论是DF EG =．下面给出证明． ………………5分因为FCD EAB ∠=∠，所以Rt △FCD ∽ Rt △EAB ．于是可得CD DF BE AB=⋅． 同理可得 CE EG AD AB =⋅．又因为tan AD BE ACB CD CE∠==，所以有BE CD AD CE ⋅=⋅DF EG =． ………………20分解法2：结论是DF EG =．下面给出证明．……………… 5分连接DE ，因为90ADB AEB ∠=∠=︒，所以A ，B ，D ，E 四点共圆，故 CED ABC ∠=∠． ………………10分又l 是⊙O 的过点C 的切线，所以ACG ABC ∠=∠． ………………15分 所以，CED ACG ∠=∠，于是DE ∥FG ，故DF ＝EG ．………………20分14．n 个正整数12n a a a ，，，满足如下条件：1212009n a a a =<<<=； 且12n a a a ，，，中任意n －1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n 的最大值．解：设12n a a a ，，，中去掉i a 后剩下的n －1个数的算术平均数为正整数i b ，12i n =，，，．即 12()1n i i a a a a b n +++-=-． 于是，对于任意的1≤i j <≤n ，都有1j ii j a a b b n --=-，从而 1()j i n a a --． ………………5分 由于 11200811n n a a b b n n --==--是正整数，故 312251n -⨯． ………………10分 由于 ()()()112211n n n n n a a a a a a a ----=-+-++-≥()()()2111(1)n n n n -+-++-=-，所以，2(1)n -≤2008，于是n ≤45.结合312251n -⨯，所以，n ≤9． ………………15分另一方面，令123801,811,821a a a =⨯+=⨯+=⨯+，…，8871a =⨯+，982511a =⨯+，则这9个数满足题设要求．综上所述，n 的最大值为9. ………………20分中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．若20 10a b b c ==，，则a bb c++的值为（ ）． （A ）1121 （B ）2111 （C ）11021 （D ）21011解：D 由题设得12012101111110a ab bc b c b +++===+++． 代数式变形，同除b2．若实数a ，b 满足21202a ab b -++=，则a 的取值范围是 （ ）．（A ）a ≤2- （B ）a ≥4 （C ）a ≤2-或 a ≥4 （D ）2-≤a ≤4 解．C因为b 是实数，所以关于b 的一元二次方程21202b ab a -++=的判别式 21()41(2)2a a ∆--⨯⨯+＝≥0,解得a ≤2-或 a ≥4．方程思想，未达定理；要解一元二次不等式3．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝135°，∠C ＝120°，AB=BC=4-CD＝则AD 边的长为（ ）．（A）（B ）64（C ）64+ （D ）622+ 解：D如图，过点A ，D 分别作AE ，DF 垂直于直线BC ，垂足分别为E ，F ．由已知可得BE =AE，CF＝DF ＝于是 EF ＝4＋过点A 作AG ⊥DF ，垂足为G ．在Rt △ADG 中，根据勾股定理得AD ==2+勾股定理、涉及双重二次根式的化简，补全图形法4．在一列数123x x x ，，，……中，已知11=x ，且当k ≥2时，1121444k k k k x x -⎛--⎫⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭（取整符号[]a 表示不超过实数a 的最大整数，例如[]2.62=，[]0.20=），则2010x 等于（ ）．(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 解：B由11=x 和1121444k k k k x x -⎛--⎫⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭可得 11x =，22x =，33x =，44x =，51x =，62x =，73x =，84x =，……因为2010=4×502+2，所以2010x =2． 高斯函数；找规律。
2010年全国高中数学联赛试题及答案
2010年全国高中数学联合竞赛一试 试题参考答案及评分标准（B 卷）说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次。
一、填空题（本题满分64分，每小题8分） 1. 函数x x x f 3245)(---=的值域是 ]3,3[-.解：易知)(x f 的定义域是[]8,5，且)(x f 在[]8,5上是增函数，从而可知)(x f 的值域为]3,3[-. 2. 已知函数x x a y sin )3cos (2-=的最小值为3-，则实数a 的取值范围是 1223≤≤-a .解：令t x =sin ，则原函数化为t a att g )3()(2-+-=，即a att g )3()(3-+-=.由 3)3(3-≥-+-t a at ， 0)1(3)1(2≥----t t at ，0)3)1()(1(≥-+--t at t 及01≤-t 知03)1(≤-+-t at 即 3)(2-≥+t t a （1）当1,0-=t 时（1）总成立； 对20,102≤+<≤<t t t ； 对041,012<+≤-<<-t t t . 从而可知 1223≤≤-a .3. 双曲线122=-y x 的右半支与直线100=x 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 9800 .解：由对称性知，只要先考虑x 轴上方的情况，设)99,,2,1( ==k k y 与双曲线右半支于k A ,交直线100=x 于k B ，则线段k k B A 内部的整点的个数为99k -，从而在x 轴上方区域内部整点的个数为991(99)99494851k k =-=⨯=∑.又x 轴上有98个整点，所以所求整点的个数为 98009848512=+⨯.4. 已知}{n a 是公差不为0的等差数列，}{n b 是等比数列，其中3522113,,1,3b a b a b a ====，且存在常数βα,使得对每一个正整数n 都有βα+=n n b a log ，则=+βα3.解：设}{n a 的公差为}{,n b d 的公比为q ，则 ,3q d =+ （1） 2)43(3q d =+， （2）（1）代入（2）得961292++=+d dd ，求得9,6==q d .从而有 βα+=-+-19log )1(63n n 对一切正整数n 都成立，即 βα+-=-9log )1(36n n 对一切正整数n 都成立.从而 βαα+-=-=9log3,69log，求得 3,33==βα， 333+=+βα.5. 函数)1,0(23)(2≠>-+=a a a a x f xx在区间]1,1[-∈x 上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 41-.解：令,y a x =则原函数化为23)(2-+=y y y g ,)(y g 在3(,+)2-∞上是递增的.当10<<a 时，],[1-∈a a y ,211m ax 1()32822g y aaa a ---=+-=⇒=⇒=，所以 412213)21()(2min -=-⨯+=y g ；当>a 时，],[1a a y -∈，2823)(2max =⇒=-+=a a a y g ，所以 412232)(12min -=-⨯+=--y g .综上)(x f 在]1,1[-∈x 上的最小值为41-.6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是1217.解：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为1273621=，从而先投掷人的获胜概率为+⨯+⨯+127)125(127)125(1274217121442511127=-⨯=.7. 正三棱柱111C B A ABC -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角α=--11B P A B ,则=αsin4.解一：如图，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 中点O 为原点，OC 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则)1,3,0(),2,0,1(),2,0,1(),0,0,1(11P A B B -，从而，)1,3,1(),0,0,2(),1,3,1(),2,0,2(1111--=-=-=-=P B A B BP BA .设分别与平面P BA 1、平面P A B 11垂直的向量是),,(111z y x m =、),,(222z y x n =，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=++-=⋅=+-=⋅,03,022111111z y x BP m z x BA m ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=⋅=-=⋅,03,022221211z y x P B n x A B n 由此可设 )3,1,0(),1,0,1(==n m ，所以cos m n m n α⋅=⋅，2cos cos 4αα=⇒=.所以 410sin =α.解二：如图，PB PA PC PC ==11, .设B A 1与1AB 交于点,O 则1111,,OA OB OA OB A B AB ==⊥ . 11,,PA PB PO AB =⊥因为 所以从而⊥1AB 平面B PA 1 .过O 在平面B PA 1上作P A OE 1⊥,垂足为E . 连结E B 1,则EO B 1∠为二面角11B P A B --的平面角. 设21=AA ,则易求得3,2,5111=====PO O B O A PA PB .在直角O PA 1∆中，OE P A PO O A ⋅=⋅11, 即 56,532=∴⋅=⋅OE OE .又 554562,222111=+=+=∴=OEO B E B O B .4105542sin sin 111===∠=EB O B EO B α.8. 方程2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解（x ,y ,z ）的个数是 336675 .解：首先易知2010=++z y x 的正整数解的个数为 1004200922009⨯=C .把2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解分为三类：（1）z y x ,,均相等的正整数解的个数显然为1；（2）z y x ,,中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003； (3)设z y x ,,两两均不相等的正整数解为k . 易知 100420096100331⨯=+⨯+k ，OEP1B 1A 1CBA110033*********-⨯-⨯=k200410052006123200910052006-⨯=-⨯+-⨯=， 3356713343351003=-⨯=k . 从而满足z y x ≤≤的正整数解的个数为 33667533567110031=++. 二、解答题（本题满分56分）9.（本小题满分16分）已知函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，当10≤≤x 时，1)(≤'x f ，试求a 的最大值.解一： ,23)(2c bx ax x f ++='由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++='++='='cb a fc b a f c f 23)1(,43)21(,)0( 得（4分） )21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=. （8分）所以)21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=)21(4)1(2)0(2f f f '+'+'≤8≤， 38≤a . （12分）又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38.（16分）解二：c bx ax x f ++='23)(2.设1)()(+'=x f x g ，则当10≤≤x 时，2)(0≤≤x g . 设 12-=x z ，则11,21≤≤-+=z z x . 14322343)21()(2++++++=+=c b a z ba z a z g z h . （4分）容易知道当11≤≤-z 时，2)(0,2)(0≤-≤≤≤z h z h . （8分） 从而当11≤≤-z 时，22)()(0≤-+≤z h z h ，即 21434302≤++++≤c b a z a ，从而0143≥+++c b a ,2432≤za ，由 102≤≤z 知38≤a . （12分）又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38.（16分）10.（本小题满分20分）已知抛物线x y 62=上的两个动点1122(,)(,)A x y B x y 和，其中21x x ≠且421=+x x .线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC ∆面积的最大值.解一：设线段AB 的中点为),(00y x M ，则2,22210210y y y x x x +==+=，1221221212123666y y y yyy y x x y y k AB =+=--=--=.线段AB 的垂直平分线的方程是 )2(300--=-x y y y . （1）易知0,5==y x 是（1）的一个解，所以线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为)0,5(. （5分）由（1）知直线AB 的方程为 )2(300-=-x y y y ，即 2)(300+-=y y y x . （2）（2）代入x y 62=得12)(2002+-=y y y y ，即 012222002=-+-y y y y .（3）依题意，21,y y 是方程（3）的两个实根，且1y 22200044(212)4480y y y ∆=--=-+>,32320<<-y .221221)()(y y x x AB -+-=22120))()3(1(y y y -+=]4))[(91(2122120y y y y y -++=))122(44)(91(202020--+=y y y)12)(9(322020y y -+=.定点)0,5(C 到线段AB 的距离 202029)0()25(y y CM h +=-+-==. （10分）2020209)12)(9(3121y y y h AB S ABC +⋅-+=⋅=∆)9)(224)(9(2131202020y y y +-+=3202020)392249(2131y y y ++-++≤ 7314=. （15分）当且仅当20202249y y -=+，即0y =,33A B 或33A B -++时等号成立.所以ABC ∆面积的最大值为7314. （20分）解二：同解一，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为)0,5(.（5分）设4,,,222121222211=+>==t t t t t x t x ，则161610521222121t t t t S ABC =∆的绝对值, （10分） 2222122112))656665(21(t t t t t t S ABC --+=∆221221)5()(23+-=t t t t)5)(5)(24(23212121++-=t t t t t t3)314(23≤,7314≤∆ABC S , （15分）当且仅当5)(21221+=-t t t t 且42221=+t t ，即,6571-=t 6572+-=t,33A B 或33A B -时等号成立.所以ABC ∆面积的最大值是7314. （20分）11.（本小题满分20分）数列{}n a 满足),2,1(1,312211 =+-==+n a a a a a n n nn .求证:nn n a a a 2212312131211-<+++<-- . （1）证明：由1221+-=+n n nn a a a a 知111121+-=+nnn a a a ，)11(1111-=-+nn n a a a . （2）所以211,111n nn n n nna a a a a a a ++==----即 1111n n n nn a a a a a ++=---. （5分）从而 n a a a +++ 21 1133222211111111++---++---+---=n n nn a a a a a a a a a a a a11111112111++++--=---=n n n n a a a a a a .所以（1）等价于nn n n a a 2112312112131211-<--<-++-，即 nn n n a a 21123131<-<++- . （3） （10分）由311=a 及 1221+-=+n nnn a a a a 知 712=a .当1n =时 ，2216a a -=，11122363<<- ，即1n =时，（3）成立.设)1(≥=k k n 时，（3）成立，即 kk k k a a 21123131<-<++-.当1+=k n 时，由（2）知kk k k k k k k a a a a a a a 2211111223)1()1(11>->-=-+++++++； （15分）又由（2）及311=a 知)1(1≥-n a a nn均为整数，从而由 kk k a a 21131<-++ 有131211-≤-++kk k a a 即kk a 2131≤+ ，所以122211122333111+<⋅<-⋅=-+++++k kkk k k k k a a a a a ，即（3）对1+=k n 也成立.所以（3）对1≥n 的正整数都成立，即（1）对1≥n 的正整数都成立. （20分）。
2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准2
第二试（B）
（4月11Байду номын сангаас上午9﹕50——11﹕20）
考生注意：本试共三个大题，第一题20分，第二、三题各25分，全卷满分70分.
一、（本题满分20分）设整数 为三角形的三边长，满足 ，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.
二、（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC中，AB＝AC，∠C的平分线与AB边交于点P，M为△ABC的内切圆⊙I与BC边的切点，作MD//AC，交⊙I于点D.证明：PD是⊙I的切线.
三、（本题满分25分）已知二次函数 的图象经过两点P ，Q .
（1）如果 都是整数，且 ，求 的值.
（2）设二次函数 的图象与 轴的交点为A、B，与 轴的交点为C. 如果关于 的方程 的两个根都是整数，求△ABC的面积.
2010年数学竞赛获奖名单
张藩藉 兰彧 唐利彬 唐媛艺 万奇挧
荣县中学 荣县中学 荣县中学 荣 王县 大中 山学 中 学
李劲松 李劲松 李劲松 李劲松 万永利
赵逸飞 钟豪 钟远志 周婧珂 邹俊志
田家炳中学 田家炳中学 江姐中学 自贡28中 解放路中学
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周浪 周浪 宋生贵
田华
夏青 谢津宝 徐敏 周慎博 程瑞静 范皓然 高华礼 胡体彬 姜文浩 刘一霖 郑剑 雷茂林 涂小波 晏粮清 余涵知 曾真 郑月 罗钞予 邓青清 邓志聪 龚雅琼 桂源
杨倩
王大山学校： 陈 勇 自贡34中： 邵丹银 回龙中学： 王 浩
邱彦 李杭雨 曹 罗
旭川中学： 范婷婷 自贡11中： 张 杰
熊智临 何 浩
陈雨佳
自贡18中： 李 雪
仙市中学：
王杨嵌 宇
赖弈昆 钟慧 聂檄晨
陈静 邹胜 李祥林
管其舜 邱柏森 何 倩
江 雪 付程晗 李志超 富顺二职中： 舒 俊 童寺中心校： 郭 桃 长滩乡中： 伍晋衡
指导教师 田华 周浪 周勇 李劲松 周浪 范其金 王小惠 李劲松 魏明全 李劲松 李劲松
代高声
全国二等奖（74人）
姓名
刘书言 倪雪珂 涂珊珊 李昕 邓棼木 郝祎婷 梁茂 胡采曦 王银季 赵梓涵
学校
荣县中学 自贡28中 自 解贡 放1路9中中 学 解放路中 学 荣县中学 板 解桥 放中 路学 中 学 蜀光中学 荣县中学
杰 张光雨 刘雨杰
周锋
古文强 周夕寒
钟春燕 徐娜
金珂 杜丽双 黄蓉
曾彦俊 刘庆宇 高逸雯 赵梦寒 刘郑健 喻晨峰
王俊杰 项瑞麟 车怡 朱寒迪 刘钰婷 罗凌杰
朱寒迪 蒋沁吟 陈衍瑜 余唯唯 刘洋铭 邹森
2010年数学竞赛获奖名单
邓贤模 张皓 王晨伟 王玲 黄昊皓 邹寒乔 何婷逸 黄喆威
李淮旭 曾雨 椰林
杨曦 代珊
林伊陶 赵晴
徐铖敏 黄戈 黄思源 杨榆 罗清扬
曾子航 蔡林 阳清
余悦琪
门璐 熊慧
陈柯宇 刘彦均 钟旺
桂瑞良
龚宇 王凯加 王思贤
李欧艺阳周秋 张砚嘉芮
廖留尘 刘婧媛
绿盛学 校：
彭
璐
自贡六中： 伍金顺
余川
赖琬婷 陈 艳自 贡34中：回 龙中学：
郝祎婷 荣县中学
梁 茂 板桥中学
胡采曦 解放路中学
王银季 蜀光中学
赵梓涵 荣县中学
张藩藉 荣县中学
兰 彧 荣县中学
唐利彬 荣县中学
唐媛艺 荣县中学
万奇挧 王大山中学
夏 青 荣县中学
谢津宝 富南学校
涂珊珊 自贡19中
指导教师 李斌 田华 李劲松 刘瑞洪 李斌 王小惠 李劲松 李劲松 李劲松 李劲松 李劲松 万永利 曹晴 范荣华 刘方利
李瑞杰 吴雨潼 刘朔源
张洛源
刘亚萍 陈隽豪
富顺二中： 富顺三中： 骑龙镇中心： 东湖镇中： 互助乡中： 板桥中心校： 童寺中心校： 永年中心校： 东湖观音寺： 富顺城关： 赵化中学：
荣县： 荣县中学： 旭东中学： 富南中学： 长山镇中学： 双古中学：
李志强 陈孟旸 胡丹 杨兴广 何俊 丁启航 吴茂 钟泽彬 曾建 陈银杰 李胜 刘道林 22人 刘如鑫 代玉霞 吴艾株 但利波 王皓宇
朱侯睿 蔡林玉 官子欣 范婷婷 张慧 黄志东
市一等
板桥中心校： 李宇洪
赵颖 丁威戈 黄昌彬
赵曙熙 王 阳 粟 邱 刘诒嘉 蔡定芸 刘才国 金正垚 吴 恒
双古中学： 朱 强 过水中学： 刘 琴 高山中学： 杨 通 留佳中学： 袁德能
-2010年全国初中数学联赛真题及答案
2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则|||||a b b c c a -+-+-= （ B ）A ．1.B ．2.C ．3.D ．4.2．若实数,,a b c 满足等式3||6b =，9||6b c =，则c 可能取的最大值为 （ C ）A ．0.B ．1.C ．2.D ．3.3．若b a ,是两个正数，且 ,0111=+-+-ab b a 则 （ C ）A ．103a b <+≤.B ．113a b <+≤.C ．413a b <+≤. D ．423a b <+≤. 4．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为 （ A ）A ．－13.B ．－9.C ．6.D ． 0.5．在△ABC 中，已知︒=∠60CAB ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且︒=∠60AED ，CE DB ED =+，CDE CDB ∠=∠2,则=∠DCB ( B )A ．15°.B ．20°.C ．25°.D ．30°. 6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，201020103a =+++=，则1232a a a a a+++++=（ D ）A ．28062.B ．28065.C ．28067.D ．28068. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数,x y 满足方程组3319,1,x y x y ⎧+=⎨+=⎩则22x y += 13 .2．二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知AC AB 3=，︒=∠30CAO ，则c = 19． 3．在等腰直角△ABC 中，AB ＝BC ＝5，P 是△ABC 内一点，且PA ＝PC ＝5，则PB ＝．4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放____15___个球.第二试 （A ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c （a b c ≥≥）为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.解 由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-=①令,a b m b c n -=-=，则a c m n -=+，其中,m n 均为自然数. 于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即2213m n mn ++=②由于,m n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的,m n 只有两组：3,1m n =⎧⎨=⎩和1,3.m n =⎧⎨=⎩ （1）当3,1m n ==时，1b c =+，34a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤.因此2533c <≤，所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.（2）当1,3m n ==时，3b c =+，14a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤.因此2313c <≤，所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11.二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，∠C 的平分线与AB 边交于点P ，M 为△ABC 的内切圆⊙I 与BC 边的切点，作MD//AC ，交⊙I 于点D.证明：PD 是⊙I 的切线.证明 过点P 作⊙I 的切线PQ （切点为Q ）并延长，交BC 于点N.因为CP 为∠ACB 的平分线，所以∠ACP ＝∠BCP. 又因为PA 、PQ 均为⊙I 的切线，所以∠APC ＝∠NPC. 又CP 公共，所以△ACP ≌△NCP ，所以∠PAC ＝∠PNC. 由NM ＝QN ，BA ＝BC ，所以△QNM ∽△BAC ，故∠NMQ ＝∠ACB ，所以MQ//AC.又因为MD//AC ，所以MD 和MQ 为同一条直线.又点Q 、D 均在⊙I 上，所以点Q 和点D 重合，故PD 是⊙I 的切线.三．（本题满分25分）已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点P (1,)a ，Q (2,10)a .（1）如果,,a b c 都是整数，且8c b a <<，求,,a b c 的值.（2）设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为C.如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求△ABC 的面积.解 点P (1,)a 、Q (2,10)a 在二次函数2y x bx c =+-的图象上，故1b c a +-=，4210a c a +-=， 解得93b a =-，82c a =-.（1）由8c b a <<知8293,938,a a a a -<-⎧⎨-<⎩解得13a <<.又a 为整数，所以2a =，9315b a =-=，8214c a =-=. (2) 设,m n 是方程的两个整数根，且m n ≤.由根与系数的关系可得39m n b a +=-=-，28mn c a =-=-，消去a ，得98()6mn m n -+=-，两边同时乘以9，得8172()54m n m n -+=-，分解因式，得(98)(98)10m n --=. 所以981,9810,m n -=⎧⎨-=⎩或982,985,m n -=⎧⎨-=⎩或9810,981,m n -=-⎧⎨-=-⎩或985,982,m n -=-⎧⎨-=-⎩NCA解得1,2,m n =⎧⎨=⎩或10,913,9m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或2,97,9m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1,932,3m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又,m n 是整数，所以后面三组解舍去，故1,2m n ==.因此，()3b m n =-+=-，2c mn =-=-，二次函数的解析式为232y x x =-+.易求得点A 、B 的坐标为（1,0）和（2,0），点C 的坐标为（0,2），所以△ABC 的面积为1(21)212⨯-⨯=. 第二试 （B ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c 为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.解 不妨设a b c ≥≥，由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-=①令,a b m b c n -=-=，则a c m n -=+，其中,m n 均为自然数. 于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即2213m n mn ++=②由于,m n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的,m n 只有两组：3,1m n =⎧⎨=⎩和1,3.m n =⎧⎨=⎩ （1）当3,1m n ==时，1b c =+，34a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤.因此2533c <≤，所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.（2）当1,3m n ==时，3b c =+，14a b c =+=+.又,,a b c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >.又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤.因此2313c <≤，所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形.综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5＋6＝11. 二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同. 三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同. 二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同. 三．（本题满分25分）设p 是大于2的质数，k 为正整数．若函数4)1(2-+++=p k px x y 的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．解 由题意知，方程04)1(2=-+++p k px x 的两根21,x x 中至少有一个为整数．由根与系数的关系可得4)1(,2121-+=-=+p k x x p x x ，从而有pk x x x x x x )1(4)(2)2)(2(212121-=+++=++①（1）若1k =，则方程为0)2(22=-++p px x ，它有两个整数根2-和2p -．（2）若1k >，则01>-k .因为12x x p +=-为整数，如果21,x x 中至少有一个为整数，则21,x x 都是整数.又因为p 为质数，由①式知2|1+x p 或2|2+x p ．不妨设2|1+x p ，则可设12x mp +=（其中m 为非零整数），则由①式可得212k x m-+=， 故121(2)(2)k x x mp m -+++=+，即1214k x x mp m-++=+． 又12x x p +=-，所以14k p mp m--+=+，即41)1(=-++mk p m②如果m 为正整数，则(1)(11)36m p +≥+⨯=，10k m->，从而1(1)6k m p m-++>，与②式矛盾. 如果m 为负整数，则(1)0m p +<，10k m-<，从而1(1)0k m p m-++<，与②式矛盾. 因此，1>k 时，方程04)1(2=-+++p k px x 不可能有整数根． 综上所述，1=k ．。
初中数学“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛考试题
xx 学校xx学年xx学期xx试卷姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）试题1:设，则代数式的值为( ).（A）-6 （B）24 （C）（D）试题2:在同一直角坐标系中，函数（）与（）的图象大致是（A）（B）（C）（D）试题3:在等边三角形ABC所在的平面内存在点P，使⊿PAB、⊿PBC、⊿PAC都是等腰三角形.请指出具有这种性质的点P的个数（）（A）1 （B）7 （C）10 （D）15评卷人得分若，，且满足，则的值为( ).（A）1 （B）2 （C）（D）试题5:设，则的整数部分等于( ).（A）4 （B）5 （C）6 （D）7试题6:若a是一个完全平方数，则比a大的最小完全平方数是 . 。
试题7:若关于的方程有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则的取值范围是 .试题8:一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8. 同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为奇数5的概率是 .试题9:如图，点为直线上的两点，过两点分别作y轴的平行线交双曲线（）于两点. 若，则的值为 .如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为35，正方形CDEF内接于△ABC，且其边长为12，则△ABC的周长为 .试题11:已知：不论k取什么实数，关于x的方程（a、b是常数）的根总是x＝1，试求a、b的值。
试题12:已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值. 试题13:如图，点为轴正半轴上一点，两点关于轴对称，过点任作直线交抛物线于，两点.（1）求证：∠=∠；（2）若点的坐标为（0，1），且∠=60º，试求所有满足条件的直线的函数解析式.试题14:如图，△ABC中，，．点P在△ABC内，且，求△ABC的面积．试题15: A.试题1答案: -6试题2答案: C.试题3答案: C.试题4答案: C试题5答案: A试题6答案:试题7答案: 3＜m≤4.试题8答案: 1/9试题9答案: 6试题10答案:84试题11答案:解：设方程的两个根为，其中为整数，且≤，则方程的两根为，由题意得，两式相加得，即，所以或解得或又因为所以；或者，故，或29.试题12答案:解：（1）如图，分别过点作轴的垂线，垂足分别为.设点的坐标为（0，），则点的坐标为（0，-）.设直线的函数解析式为,并设的坐标分别为,.由得，于是，即.于是又因为，所以.因为∠∠，所以△∽△，故∠=∠.（2）设，，不妨设≥>0，由（1）可知∠=∠，=，=，所以=，=.因为∥，所以△∽△.于是，即，所以．由（1）中，即，所以于是可求得将代入，得到点的坐标（，）.再将点的坐标代入，求得所以直线的函数解析式为.根据对称性知，所求直线的函数解析式为，或. 试题13答案:解：如图，作△ABQ，使得则△ABQ∽△ACP .由于，所以相似比为2.于是．.由知，，于是．所以，从而．于是.故．试题14答案:11试题15答案:1。
2010年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)
g (t ) at 3 (a 3)t .
(t 1)( at (t 1) 3) 0 及 t 1 0 at 3 (a 3)t 3 ， at (t 2 1) 3(t 1) 0 ， a (t 2 t ) 3
（1）
2
知 at (t 1) 3 0 即
BA1 (2,0,2), BP (1, 3 ,1), B1 A1 (2,0,0), B1 P (1, 3 ,1) .
设分别与平面 BA1 P 、平面 B1 A1 P 垂直的向量是 m ( x1 , y1 , z1 ) 、 n ( x 2 , y 2 , z 2 ) ，则
当 t 0,1 时（1）总成立；对 0 t 1,0 t t 2 ；对 1 t 0, 从而可知：
3 a 12 . 2
2 2
1 t2 t 0. 4
2010B 3、双曲线 x y 1 的右半支与直线 x 100 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标 均为整数的点）的个数是 ◆答案： 4851 ★解析：由对称性知，只要先考虑 x 轴上方的情况，设 y k ( k 1,2, ,99) 与双曲线右半支于 Ak , 交直线 x 100 于 Bk ，则线段 Ak Bk 内部的整点的个数为 99 k ，从而在 x 轴上方区域内部整点的 个数为
解法二：如图， PC PC1 , PA1 PB . 设 A1 B 与 AB1 交于点 O, 则 OA1 OB , OA OB1 , A1 B AB1 .
因为 PA PB1 , 所以 PO AB1 , 从
而 AB1 平面 PA1 B .过 O 在平面 PA1 B 上作 OE A1 P ,垂足为 E . 连结 B1 E ,则 B1 EO 为二面角 B A1 P B1 的平面角.设 AA1 2 ,则易求得
2010年全国高中数学联赛试题及答案详解(B卷)
2010年全国高中数学联合竞赛一试 试题参考答案及评分标准（B 卷）说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次。
一、填空题（本题满分64分，每小题8分） 1. 函数x x x f 3245)(---=的值域是 ]3,3[-.解：易知)(x f 的定义域是[]8,5，且)(x f 在[]8,5上是增函数，从而可知)(x f 的值域为]3,3[-. 2. 已知函数x x a y sin )3cos (2-=的最小值为3-，则实数a 的取值范围是 1223≤≤-a . 解：令t x =sin ，则原函数化为t a at t g )3()(2-+-=，即t a at t g )3()(3-+-=.由 3)3(3-≥-+-t a at ， 0)1(3)1(2≥----t t at ，0)3)1()(1(≥-+--t at t 及01≤-t 知03)1(≤-+-t at 即 3)(2-≥+t t a （1）当1,0-=t 时（1）总成立； 对20,102≤+<≤<t t t ；对041,012<+≤-<<-t t t . 从而可知 1223≤≤-a .3. 双曲线122=-y x 的右半支与直线100=x 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 9800 .解：由对称性知，只要先考虑x 轴上方的情况，设)99,,2,1( ==k k y 与双曲线右半支于k A ,交直线100=x 于k B ，则线段k k B A 内部的整点的个数为99k -，从而在x 轴上方区域内部整点的个数为991(99)99494851k k =-=⨯=∑.又x 轴上有98个整点，所以所求整点的个数为 98009848512=+⨯.4. 已知}{n a 是公差不为0的等差数列，}{n b 是等比数列，其中3522113,,1,3b a b a b a ====，且存在常数βα,使得对每一个正整数n 都有βα+=n n b a log ，则=+βα3. 解：设}{n a 的公差为}{,n b d 的公比为q ，则 ,3q d =+ （1） 2)43(3q d =+， （2）（1）代入（2）得961292++=+d d d ，求得9,6==q d .从而有 βα+=-+-19log )1(63n n 对一切正整数n 都成立，即 βα+-=-9log )1(36n n 对一切正整数n 都成立. 从而 βαα+-=-=9log 3,69log ， 求得 3,33==βα， 333+=+βα. 5. 函数)1,0(23)(2≠>-+=a a a ax f x x在区间]1,1[-∈x 上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 41-. 解：令,y a x=则原函数化为23)(2-+=y y y g ,)(y g 在3(,+)2-∞上是递增的. 当10<<a 时，],[1-∈a a y ,211max 1()32822g y a a a a ---=+-=⇒=⇒=， 所以 412213)21()(2m in -=-⨯+=y g ； 当1>a 时，],[1a a y -∈，2823)(2m ax =⇒=-+=a a a y g ，所以 412232)(12m in -=-⨯+=--y g .综上)(x f 在]1,1[-∈x 上的最小值为41-.6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是1217. 解：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为1273621=，从而先投掷人的获胜概率为 +⨯+⨯+127)125(127)125(12742 17121442511127=-⨯=.7. 正三棱柱111C B A ABC -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角α=--11B P A B ,则=αsin. 解一：如图，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 中点O 为原点，OC 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则)1,3,0(),2,0,1(),2,0,1(),0,0,1(11P A B B -，从而，)1,3,1(),0,0,2(),1,3,1(),2,0,2(1111--=-=-=-=P B A B BP BA .设分别与平面P BA 1、平面P A B 11垂直的向量是),,(111z y x m =、),,(222z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=++-=⋅=+-=⋅,03,022111111z y x BP m z x BA m ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=⋅=-=⋅,03,022221211z y x P B n x A B n 由此可设 )3,1,0(),1,0,1(==n m ，所以cos m n m n α⋅=⋅，2cos cos 4αα=⇒=.所以 410sin =α. 解二：如图，PB PA PC PC ==11, .设B A 1与1AB 交于点,O 则1111,,OA OB OA OB A B AB ==⊥ . 11,,PA PB PO AB =⊥因为 所以从而⊥1AB 平面B PA 1 .过O 在平面B PA 1上作P A OE 1⊥,垂足为E . 连结E B 1,则EO B 1∠为二面角11B P A B --的平面角. 设21=AA ,则易求得3,2,5111=====PO O B O A PA PB .在直角O PA 1∆中，OE P A PO O A ⋅=⋅11, 即 56,532=∴⋅=⋅OE OE .又 554562,222111=+=+=∴=OE O B E B O B . 4105542sin sin 111===∠=E B O B EO B α. 8. 方程2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解（x ,y ,z ）的个数是 336675 . 解：首先易知2010=++z y x 的正整数解的个数为 1004200922009⨯=C .把2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解分为三类：（1）z y x ,,均相等的正整数解的个数显然为1；（2）z y x ,,中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003； (3)设z y x ,,两两均不相等的正整数解为k . 易知 100420096100331⨯=+⨯+k ，OEPC 1B 1A 1CBA110033*********-⨯-⨯=k200410052006123200910052006-⨯=-⨯+-⨯=， 3356713343351003=-⨯=k . 从而满足z y x ≤≤的正整数解的个数为 33667533567110031=++. 二、解答题（本题满分56分）9.（本小题满分16分）已知函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，当10≤≤x 时，1)(≤'x f ，试求a 的最大值.解一： ,23)(2c bx ax x f ++='由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++='++='='cb a fc b a f c f 23)1(,43)21(,)0( 得 （4分）)21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=. （8分） 所以)21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=)21(4)1(2)0(2f f f '+'+'≤ 8≤， 38≤a . （12分） 又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38.（16分）解二：c bx ax x f ++='23)(2.设1)()(+'=x f x g ，则当10≤≤x 时，2)(0≤≤x g . 设 12-=x z ，则11,21≤≤-+=z z x . 14322343)21()(2++++++=+=c b az b a z a z g z h . （4分）容易知道当11≤≤-z 时，2)(0,2)(0≤-≤≤≤z h z h . （8分） 从而当11≤≤-z 时，22)()(0≤-+≤z h z h ，即 21434302≤++++≤c b a z a ，从而0143≥+++c b a ,2432≤z a， 由 102≤≤z 知38≤a . （12分）又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38.（16分）10.（本小题满分20分）已知抛物线x y 62=上的两个动点1122(,)(,)A x y B x y 和，其中21x x ≠且421=+x x .线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC ∆面积的最大值.解一：设线段AB 的中点为),(00y x M ，则 2,22210210y y y x x x +==+=， 01221221212123666y y y y y y y x x y y k AB =+=--=--=. 线段AB 的垂直平分线的方程是 )2(30--=-x y y y . （1） 易知0,5==y x 是（1）的一个解，所以线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为)0,5(.（5分） 由（1）知直线AB 的方程为 )2(300-=-x y y y ，即 2)(300+-=y y y x . （2） （2）代入x y 62=得12)(2002+-=y y y y ，即 012222002=-+-y y y y .（3） 依题意，21,y y 是方程（3）的两个实根，且1y 22200044(212)4480y y y ∆=--=-+>, 32320<<-y .221221)()(y y x x AB -+-=22120))()3(1(y y y -+= ]4))[(91(2122120y y y y y -++= ))122(44)(91(202020--+=y y y )12)(9(322020y y -+=. 定点)0,5(C 到线段AB 的距离 22029)0()25(y y CM h +=-+-==. （10分） 2020209)12)(9(3121y y y h AB S ABC +⋅-+=⋅=∆ )9)(224)(9(2131202020y y y +-+=3202020)392249(2131y y y ++-++≤7314=. （15分）当且仅当20202249y y -=+，即0y =,66((33A B +-或A B -时等号成立. 所以ABC ∆面积的最大值为7314. （20分） 解二：同解一，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为)0,5(.（5分）设4,,,222121222211=+>==t t t t t x t x ，则161610521222121t t t t S ABC =∆的绝对值,（10分） 2222122112))656665(21(t t t t t t S ABC --+=∆221221)5()(23+-=t t t t )5)(5)(24(23212121++-=t t t t t t3)314(23≤,7314≤∆ABC S , （15分） 当且仅当5)(21221+=-t t t t 且42221=+t t ，即,6571-=t 6572+-=t,A B 或A B -时等号成立. 所以ABC ∆面积的最大值是7314. （20分） 11.（本小题满分20分）数列{}n a 满足),2,1(1,312211 =+-==+n a a a a a n n n n .求证:n n n a a a 2212312131211-<+++<-- . （1） 证明：由1221+-=+n n n n a a a a 知 111121+-=+n nn a a a ，)11(1111-=-+nn n a a a . （2） 所以211,111n n n n n n na a aa a a a ++==---- 即 1111n n n n n a aa a a ++=---. （5分） 从而 n a a a +++ 211133222*********++---++---+---=n n n n a a a a a a a aa a a a 11111112111++++--=---=n n n n a a a a a a .所以（1）等价于n n n n a a 2112312112131211-<--<-++-， 即 n n n n a a 21123131<-<++- . （3） （10分） 由311=a 及 1221+-=+n n n n a a a a 知 712=a .当1n =时 ，2216a a -=，11122363<<- ， 即1n =时，（3）成立.设)1(≥=k k n 时，（3）成立，即 k k k k a a 21123131<-<++-. 当1+=k n 时，由（2）知kk k k k k k k a a a a a a a 2211111223)1()1(11>->-=-+++++++； （15分）又由（2）及311=a 知 )1(1≥-n a a nn 均为整数， 从而由k k k a a 21131<-++ 有131211-≤-++k k k a a 即k k a 2131≤+ ， 所以122211122333111+<⋅<-⋅=-+++++k k k k k k k k a a a a a ， 即（3）对1+=k n 也成立.所以（3）对1≥n 的正整数都成立，即（1）对1≥n 的正整数都成立. （20分）2010年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准（B 卷）说明：1.评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次。
2010年全国高中数学联赛试题及解答
10. （20 分）已知抛物线 y 2 6 x 上的两个动点 A x1 , y1 和B x2 , y2 ，其中 x1 x2 且 x1 x2 4 .线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 C ，求 ABC 面积的最大值. x x y y2 解法一：设线段 AB 的中点为 M ( x0 , y0 ) ，则 x0 1 2 2, y0 1 ， 2 2
答案：
A1 C1 B1
设正三棱柱的棱长为 2， 则 B 1,0,0 , B1 1,0, 2 , A1 1,0, 2 , P 0, 3,1 ． 从而，
BA1 2,0, 2 , BP 1, 3,1 , B1 A1 2,0,0 , B1 P 1, 3, 1 ．
当 t 0, 1 时（1）总成立；
1 3 对 0 t 1,0 t 2 t 2 ；对 1 t 0, t 2 t 0 .从而可知 a 12 . 4 2
3. 双曲线 x2 y 2 1 的右半支与直线 x 100 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的 点）的个数是 答案：9800． 解：由对称性知，只要先考虑 x 轴上方的情况，设 y k k 1, 2,
从而
3a 3a 8 b c 1 0 , z 2 2 ，由 0 z 2 1 知 a . 4 4 3 解法二： f x 3ax2 2bx c . 设 g x f x 1 ，则当 0 x 1 时， 0 g x 2 .
k AB y2 y1 y y1 6 3 . 22 y12 y2 y1 y0 x2 x1 y2 6 6
线段 AB 的垂直平分线的方程是
数学-高三-2010年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准(B卷)2010.10
2010年全国高中数学联合竞赛一试 试题参考答案及评分标准（B 卷）说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次。
一、填空题（本题满分64分，每小题8分） 函数x x x f 3245)(---=的值域是 ]3,3[-.解：易知)(x f 的定义域是[]8,5，且)(x f 在[]8,5上是增函数，从而可知)(x f 的值域为]3,3[-.已知函数x x a y sin )3cos (2-=的最小值为3-，则实数a 的取值范围是 1223≤≤-a .解：令t x =sin ，则原函数化为t a at t g )3()(2-+-=，即 t a at t g )3()(3-+-=.由3)3(3-≥-+-t a at ，0)1(3)1(2≥----t t at ， 0)3)1()(1(≥-+--t at t 及01≤-t 知03)1(≤-+-t at 即3)(2-≥+t t a （1） 当1,0-=t 时（1）总成立；对20,102≤+<≤<t t t ； 对041,012<+≤-<<-t t t . 从而可知1223≤≤-a .双曲线122=-y x 的右半支与直线100=x 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 9800 .解：由对称性知，只要先考虑x 轴上方的情况，设)99,,2,1( ==k k y 与双曲线右半支于k A ,交直线100=x 于kB ，则线段kk B A 内部的整点的个数为99k -，从而在x 轴上方区域内部整点的个数为991(99)99494851k k =-=⨯=∑.又x 轴上有98个整点，所以所求整点的个数为 98009848512=+⨯. 已知}{n a 是公差不为0的等差数列，}{n b 是等比数列，其中3522113,,1,3b a b a b a ====，且存在常数βα,使得对每一个正整数n 都有βα+=n n b a log ，则=+βα3.解：设}{n a 的公差为}{,n b d 的公比为q ，则,3q d =+ （1）2)43(3q d =+， （2）（1）代入（2）得961292++=+d d d ，求得9,6==q d .从而有 βα+=-+-19log )1(63n n 对一切正整数n 都成立，即βα+-=-9log )1(36n n 对一切正整数n 都成立.从而βαα+-=-=9log 3,69log ，求得 3,33==βα，333+=+βα.函数)1,0(23)(2≠>-+=a a a a x f xx 在区间]1,1[-∈x 上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是41-.解：令,y a x=则原函数化为23)(2-+=y y y g ,)(y g 在3(,+)2-∞上是递增的.当10<<a 时，],[1-∈a a y , 211max 1()32822g y a a a a ---=+-=⇒=⇒=，所以412213)21()(2min -=-⨯+=y g ； 当1>a 时，],[1a a y -∈， 2823)(2max =⇒=-+=a a a y g ，所以412232)(12min -=-⨯+=--y g .综上)(x f 在]1,1[-∈x 上的最小值为41-.两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 1217.解：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为1273621=，从而先投掷人的获胜概率为+⨯+⨯+127)125(127)125(1274217121442511127=-⨯=.正三棱柱111C B A ABC -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角α=--11B P A B ,则=αsin4 .解一：如图，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 中点O 为原点，OC 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则)1,3,0(),2,0,1(),2,0,1(),0,0,1(11P A B B -，从而，)1,3,1(),0,0,2(),1,3,1(),2,0,2(1111--=-=-=-=B A B .设分别与平面P BA 1、平面P A B 11垂直的向量是),,(111z y x m =、),,(222z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=++-=⋅=+-=⋅,03,022111111z y x BP m z x BA ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=⋅=-=⋅,03,022221211z y x P B n x A B由此可设 )3,1,0(),1,0,1(==， 所以cos m n m n α⋅=⋅，2cos cos 4αα=⇒=.所以410sin =α.解二：如图，PB PA PC PC ==11, . 设B A 1与1AB 交于点,O 则1111,,OA OB OA OB A B AB ==⊥ . 11,,PA PB PO AB =⊥因为 所以从而⊥1AB 平面B PA 1 .过O 在平面B PA 1上作P A OE 1⊥,垂足为E . 连结E B 1,则EO B 1∠为二面角11B P A B --的平面角. 设21=AA ,则易求得3,2,5111=====PO O B O A PA PB .在直角O PA 1∆中，OE P A PO O A ⋅=⋅11,即56,532=∴⋅=⋅OE OE.OEPC 1B 1A 1CBA又554562,222111=+=+=∴=OE O B E B O B .4105542sin sin 111===∠=E B O B EO B α.方程2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解（x,y,z ）的个数是 336675 .解：首先易知2010=++z y x 的正整数解的个数为 1004200922009⨯=C .把2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解分为三类： （1）z y x ,,均相等的正整数解的个数显然为1；（2）z y x ,,中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003； (3)设z y x ,,两两均不相等的正整数解为k . 易知 100420096100331⨯=+⨯+k ， 110033*********-⨯-⨯=k200410052006123200910052006-⨯=-⨯+-⨯=， 3356713343351003=-⨯=k . 从而满足z y x ≤≤的正整数解的个数为 33667533567110031=++. 二、解答题（本题满分56分）9.（本小题满分16分）已知函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，当10≤≤x 时，1)(≤'x f ，试求a 的最大值.解一： ,23)(2c bx ax x f ++='由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++='++='='cb a fc b a f c f 23)1(,43)21(,)0( 得 （4分）)21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=. （8分）所以)21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=)21(4)1(2)0(2f f f '+'+'≤ 8≤，38≤a . （12分）又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38.（16分）解二：c bx ax x f ++='23)(2. 设1)()(+'=x f x g ，则当10≤≤x 时，2)(0≤≤x g .设 12-=x z ，则11,21≤≤-+=z z x .14322343)21()(2++++++=+=c b az b a z a z g z h . （4分）容易知道当11≤≤-z 时，2)(0,2)(0≤-≤≤≤z h z h . （8分）从而当11≤≤-z 时，22)()(0≤-+≤z h z h ，即21434302≤++++≤c b az a ，从而 0143≥+++c b a ,2432≤z a ，由 102≤≤z 知38≤a . （12分）又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38.（16分）10.（本小题满分20分）已知抛物线x y 62=上的两个动点1122(,)(,)A x y B x y 和，其中21x x ≠且421=+x x .线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC ∆面积的最大值.解一：设线段AB 的中点为),(00y x M ，则2,22210210y y y x x x +==+=，01221221212123666y y y y y y y x x y y k AB =+=--=--=.线段AB 的垂直平分线的方程是)2(300--=-x y y y . （1）易知0,5==y x 是（1）的一个解，所以线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为)0,5(. （5分） 由（1）知直线AB 的方程为)2(300-=-x y y y ，即 2)(300+-=y y y x . （2）（2）代入x y 62=得12)(2002+-=y y y y ，即12222002=-+-y y y y .（3）依题意，21,y y 是方程（3）的两个实根，且21y y ≠，所以 22200044(212)4480y y y ∆=--=-+>,32320<<-y .221221)()(y y x x AB -+-=22120))()3(1(y y y -+=]4))[(91(2122120y y y y y-++=))122(44)(91(202020--+=y y y)12)(9(322020y y -+=.定点)0,5(C 到线段AB 的距离202029)0()25(y y CM h +=-+-==.（10分）2020209)12)(9(3121y y y h AB S ABC +⋅-+=⋅=∆)9)(224)(9(2131202020y y y +-+=3202020)392249(2131y y y ++-++≤7314=. （15分） 当且仅当2022249yy -=+，即0y =,66((33A B或A B -时等号成立.所以ABC ∆面积的最大值为7314. （20分）解二：同解一，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为)0,5(.（5分）设4,,,222121222211=+>==t t t t t x t x ，则161610521222121t t t t S ABC =∆的绝对值, （10分）2222122112))656665(21(t t t t t t S ABC--+=∆ 221221)5()(23+-=t t t t)5)(5)(24(23212121++-=t t t t t t3)314(23≤,7314≤∆ABC S , （15分）当且仅当5)(21221+=-t t t t 且42221=+t t ， 即,6571-=t6572+-=t,66((33A B +或A B -时等号成立.所以ABC ∆面积的最大值是7314. （20分）11.（本小题满分20分）数列{}n a 满足),2,1(1,312211 =+-==+n a a a a a n n n n .求证: nn n a a a 2212312131211-<+++<-- . （1） 证明：由1221+-=+n n n n a a a a 知 111121+-=+nn n a a a ，)11(1111-=-+nn n a a a . （2）所以 211,111n n n n n n na a aa a a a ++==----即 1111n n n n n a aa a a ++=---. （5分）从而na a a +++ 211133222*********++---++---+---=n n n n a a a a a a a aa a a a11111112111++++--=---=n n n n a a a a a a .所以（1）等价于n n n n a a 2112312112131211-<--<-++-，即n n n n a a 21123131<-<++- . （3） （10分）由311=a 及 1221+-=+n n n n a a a a 知 712=a . 当1n =时 ，2216a a -=，11122363<<- ，即1n =时，（3）成立.设)1(≥=k k n 时，（3）成立，即 k k k k a a 21123131<-<++-.当1+=k n 时，由（2）知kk k k k k k k a a a a a a a 2211111223)1()1(11>->-=-+++++++； （15分）又由（2）及311=a 知 )1(1≥-n a a n n均为整数，从而由 k k k a a 21131<-++ 有131211-≤-++k k k a a 即kk a 2131≤+ ，所以122211122333111+<⋅<-⋅=-+++++k k k k k k k k a a a a a ，即（3）对1+=k n 也成立.所以（3）对1≥n 的正整数都成立，即（1）对1≥n 的正整数都成立. （20分）。
2010年全国 初中数学联赛(含答案)
12010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．若a ，b ，c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】 B【解析】 因为()()10101a b a c ---=，而左边的两个加数都是非负整数，所以一个等于0，另一个等于1，也就是说，a ，b ，c 三个数中有两个相等，另一个和它们相差1．因此，所求的和式中，两项等于1，另一项等于2，结果为2．2．若实数a ，b ，c 满足等式3||6a b =，49||6a b c =，则c 可能取的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】 C【解析】 为了使c 尽量大，a 应该尽量大，b 应该尽量小．因为它们都是非负数，3a ，0b =，不难观察到所求答案为2．3．若a ，b 是两个正数，且1110,a b b a--++= 则（ ）2A ．103a b <+≤B ．113a b <+≤C ．413a b <+≤D ．423a b <+≤. 【答案】 C【解析】 去分母之后得到()()110a a b b ab -+-+=，即220a ab b a b ++--=．给定a 和b 是两个正数，那么如果让它们中的一个等于0，则另一个等于0或14．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为 （ ）A ．13-B ．9-C ．6D ．0【答案】 A【解析】 这需要使得前者是后者的因式，用综合除法可得，余式为()()33310a b x a c +++++，它应该等于0．所以两个系数都为0，特别地，()()333210a b a c ++-++，所以所求答案为13-．5．在ABC △中，已知60CAB ∠=︒，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且60AED ∠=︒，ED DB CE +=，2CDB CDE ∠=∠,则DCB ∠= ( )A ．15oB ．20oC ．25oD ．30o【答案】 B【解析】 观察可得ADE △为正三角形，6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，201020103a =+++=，则312320092010a a a a a +++++=L （ ）A ．28062B ．28065C ．28067D ．28068.【答案】 D【解析】 根据弃九法，它和1到2010的和被9除的余数相等．每连续9个自然数之和被9整除，2010被9除余3，1236++=，所以只有D 符合．二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数x ，y 满足方程组33191x y x y ⎧+=⎨+=⎩，，则22x y += ．【答案】 13【解析】 第一式除以第二式可得2219x xy y -+=，第二式平方可得2221x xy y ++=，那么所求答案就是()1921313⨯+÷=．2．二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知3AB ，30CAO ∠=︒，则c = ．【答案】 19【解析】 观察可知A 必须在B 左边，否则B 会跑到x 轴负半轴上．设A 的横坐标为a ，则C 的纵坐标3，23AC =，2AB a =．因此，考虑两根之积，33a a ⨯，3a =319=． 3．在等腰直角ABC △中，5AB BC ==，P 是ABC △内一点，且5PA ，5PC =，则PB = ．4【答案】 10【解析】 设()00B ，，()50A ，，()05C ，，根据熟知的勾三股四弦五，可观察到()31P ，，（另一个点在三角形外，不符合），所以10PB =．4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放 个球．【答案】 15【解析】 也就是说，编号之差为6或11的两个球颜色相同．下面从1号球开始，依次写出颜色相同的球的编号：11261711516104159314821371→→→→→→→→→→→→→→→→→也就是说，如果有17个球，则全部同色；如果超过17个，则任何连续17个同色，也不行．如果有16个，则上面的圈去掉17号球仍然是一条链，仍然不行；如果有15个，则上面的圈去掉17号球和16号球后断成两部分，所以可以．第二试 （A ）一．（本题满分20分）设整数()a b c a b c ≥≥，，为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长5不超过30的三角形的个数．【解析】 由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-= ①令a b m -=，b c n -=，则a c m n -=+，其中m ，n 均为自然数.于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即2213m n mn ++= ②由于m ，n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的m ，n 只有两组：31m n =⎧⎨=⎩，，和13.m n =⎧⎨=⎩，⑴ 当3m =，1n =时，1b c =+，34a b c =+=+．又a ，b ，c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >．又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤． 因此2533c <≤， 所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.6⑵ 当1m =，3n =时，3b c =+，14a b c =+=+．又a ，b ，c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >．又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤． 因此2313c <≤， 所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形．综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5611+=．二．（本题满分25分）已知等腰三角形ABC △中，AB AC =，C ∠的平分线与AB 边交于点P ，M 为ABC △的内切圆I e 与BC 边的切点，作MD AC ∥，交I e 于点D ．证明：PD 是I e 的切线．【解析】 过点P 作I e 的切线PQ （切点为Q ）并延长，交BC 于点N ．因为CP 为ACB ∠的平分线，所以ACP BCP ∠=∠．又因为PA 、PQ 均为I e 的切线，所以APC NPC ∠=∠．IP QNB7又CP 公共，所以ACP NCP △≌△，所以PAC PNC ∠=∠．由NM QN =，BA BC =，所以QNM BAC △≌△，故NMQ ACB ∠=∠，所以MQ AC ∥．又因为MD AC ∥，所以MD 和MQ 为同一条直线．又点Q 、D 均在I e 上，所以点Q 和点D 重合，故PD 是I e 的切线．三．（本题满分25分）已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点()1P a ，，()210Q a ，． ⑴ 如果a ，b ，c 都是整数，且8c b a <<，求a ，b ，c 的值．⑵ 设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为C ．如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求ABC △的面积．【解析】 点()1P a ，、()210Q a ，在二次函数2y x bx c =+-的图象上，故1b c a +-=，4210a c a +-=，解得93b a =-，82c a =-．⑴ 由8c b a <<知8293938a a a a -<-⎧⎨-<⎩，，解得13a <<．又a 为整数，所以2a =，9315b a =-=，8214c a =-=．⑵ 设m ，n 是方程的两个整数根，且m n ≤，旗开得胜8由根与系数的关系可得39m n b a +=-=-，28mn c a =-=-，消去a ，得98()6mn m n -+=-，两边同时乘以9，得8172()54mn m n -+=-，分解因式，得(98)(98)10m n --=．所以9819810m n -=⎧⎨-=⎩，，或982985m n -=⎧⎨-=⎩，，或9810981m n -=-⎧⎨-=-⎩，，或985982m n -=-⎧⎨-=-⎩，，解得12m n =⎧⎨=⎩，，或109139m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，或2979m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，或19323m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，又m ，n 是整数，所以后面三组解舍去，故1m =，2n =．因此，()3b m n =-+=-，2c mn =-=-，二次函数的解析式为232y x x =-+．易求得点A 、B 的坐标为()10，和()20，，点C 的坐标为()02，， 所以ABC △的面积为1(21)212⨯-⨯=．第二试 （B ）旗开得胜9一．（本题满分20分）设整数a ，b ，c 为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）．【解析】 不妨设a b c ≥≥，由已知等式可得222()()()26a b b c a c -+-+-= ①令a b m -=，b c n -=，则a c m n -=+，其中m ，n 均为自然数.于是，等式①变为222()26m n m n +++=，即2213m n mn ++= ②由于m ，n 均为自然数，判断易知，使得等式②成立的m ，n 只有两组：31m n =⎧⎨=⎩，，和13.m n =⎧⎨=⎩，⑴ 当3m =，1n =时，1b c =+，34a b c =+=+．又a ，b ，c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(1)4c c c ++>+，解得3c >．又因为三角形的周长不超过30，即(4)(1)30a b c c c c ++=++++≤，解得253c ≤． 因此2533c <≤，旗开得胜10所以c 可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形.⑵ 当1m =，3n =时，3b c =+，14a b c =+=+．又a ，b ，c 为三角形的三边长，所以b c a +>，即(3)4c c c ++>+，解得1c >．又因为三角形的周长不超过30，即(4)(3)30a b c c c c ++=++++≤，解得233c ≤． 因此2313c <≤， 所以c 可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形．综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5611+=．二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）11一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）设p 是大于2的质数，k 为正整数．若函数2(1)4y x px k p =+++-的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．【解析】 由题意知，方程2(1)40x px k p +++-=的两根1x ，2x 中至少有一个为整数．由根与系数的关系可得12x x p +=-，12(1)4x x k p =+-，从而有()()()()12121222241x x x x x x k p ++=+++=- ①⑴ 若1k =，则方程为22(2)0x px p ++-=，它有两个整数根2-和2p -．⑵ 若1k >，则10k ->.因为12x x p +=-为整数，如果1x ，2x 中至少有一个为整数，则1x ，2x 都是整数.又因为p 为质数，由①式知1|2p x +或2|2p x +．不妨设1|2p x +，则可设12x mp +=（其中m 为非零整数），则由①式可得212k x m-+=，12故()()12122k x x mp m -+++=+，即1214k x x mp m-++=+． 又12x x p +=-，所以14k p mp m--+=+， 即1(1)4k m p m-++= ② 如果m 为正整数，则(1)(11)36m p ++⨯=≥，10k m->， 从而1(1)6k m p m-++>，与②式矛盾. 如果m 为负整数，则(1)0m p +<，10k m-<， 从而1(1)0k m p m-++<，与②式矛盾. 因此，1k >时，方程2(1)40x px k p +++-=不可能有整数根．综上所述，1k =．旗开得胜13。
全国初中数学竞赛(联赛)分类题型详解-几何
历年(95-10)年全国数学竞赛(联赛)分类题型详解 - 几何(1)选择题(30道题)1. 如果边长顺次为25、39、52与60的四边形内接于一圆，那么此圆的周长为［ ]A．62πB．63π C．64πD．65π1995年全国初中数学联赛试题答案: D详解：四个选择支表明，圆的周长存在且唯一，从而直径也存在且唯一．又由AB2＋AD2 ＝252＋602 ＝52×（52＋122）＝52×132＝(32＋42)×132 ＝392＋522 ＝BC2＋CD2故可取BD＝65为直径，得周长为65π，选D．2. 设AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的直径，且与弦AB相交，记M＝｜S△CAB－S△DAB｜，N＝2S△OAB，则[ ]A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．M、N的大小关系不确定1995年全国初中数学联赛试题答案: B详解1: 不失一般性，设CE≥ED，在CE上取CF＝ED，则有OF＝OE，且S△ACE－S△ADE＝S△AEF＝2S△AOE．同理，S△BCE－S△BDE＝2S△BOE．相加，得S△ABC－S△DAB＝2S△OAB，即M＝N．选B．详解2: 若过C、D、O分别作AB的垂线（图3），CE⊥AB、DF⊥AB、OL⊥AB，垂足分别为E、F、L．连CF、DE，可得梯形CEDF．又由垂径分弦定理，知L是EF的中点．根据课本上做过的一道作业：梯形对角线中点的连线平行底边，并且等于两底差的一半，有｜CE－DF｜＝2OL．即M＝N．选B．3．如图，A是半径为1的圆O外的一点，OA=2，AB是圆O的切线，B是切点，弦BC∥OA，连结AC，则阴影部分的面积等于[ ]1996年全国初中数学联赛试题答案: B4．如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的[ ]A．内心B．外心C．重心D．垂心1996年全国初中数学联赛试题答案: A5．如果20个点将某圆周20等分，那么顶点只能在这20个点中选取的正多边形的个数有[ ]A．4个B．8个 C．12个 D．24个1996年全国初中数学联赛试题答案: C6. 在△ABC中，已知BD和CE分别是两边上的中线，并且BD⊥CE，BD=4，CE=6，那么△ABC的面积等于（）（Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）181998年全国数学联赛试卷答案: C详解: 连ED，则又因为DE是△ABC两边中点连线，所以故选C．7．一个凸n边形的内角和小于1999°，那么n的最大值是（）．A．11 B．12 C．13 D．141999年全国初中数学竞赛答案: C8．在三角形ABC 中，D 是边BC 上的一点，已知AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么三角形ABC 的面积是（ ）．A ．30B ．36C ．72D ．1251999年全国初中数学竞赛答案: B9．在正五边形ABCDE 所在的平面内能找到点P ，使得△PCD 与△BCD 的面积相等，并且△ABP 为等腰三角形，这样的不同的点P 的个数为（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．51999年全国初中数学竞赛答案: D10. 设a ，b ，c 分别是△ABC 的三边的长，且cb a ba b a +++=，则它的内角∠A 、∠B 的关系是（ ）。
2010年全国高中数学联赛试题与参考答案
2010年全国高中数学联合竞赛一试试题一、填空题（本题满分64分，每小题8分）1.函数()5243f x x x =--的值域是______________.2.已知函数2(cos 3)sin y a x x =-的最小值为3-，则实数a 的取值范围是_____________.3.双曲线221x y -=的右半支与直线100x =围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是___________.4.已知{}n a 是公差不为0的等差数列，{}n b 是等比数列，其中1122533,1,,3a b a b a b ====，且存在常数,αβ使得对每一个正整数n 都有log n n a b αβ=+，则αβ+=____________.5. 函数2()32(0,1)x x f x a a a a =+->≠在区间[1,1]x ∈-上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是___________________.6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率为_________________.7.正三棱柱111ABC A B C -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角11B A P B α--=,则sin α=_____________.8.方程2010x y z ++= 满足x y z ≤≤的正整数解(,,)x y z 的个数是_____________.二、解答题（本题满分56分）9.(本小题满分16分)已知函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，当01x ≤≤时，|()|1f x '≤，试求a 的最大值.10. (本小题满分20分)已知抛物线26y x =上的两个动点11(,)A x y 和22(,)B x y ,其中12x x ≠且124x x +=.线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ,求△ABC 面积的最大值.11. (本小题满分20分)证明：方程32520x x +-=恰有一个实根r ，且存在唯一的严格递增正整数列{}n a ，使得31225a a a r r r =+++ .2010年全国高中数学联合竞赛加试试题一、（本题满分40分）如图，锐角三角形ABC的外心为O，K是边BC上一点（不是边BC的中点），D是线段AK延长线上一点，直线BD与AC交于点N，直线CD与AB交于点M.求证：若OK MN⊥,则,,,A B D C四点共圆.二、（本题满分40分）设k是给定的正整数，12r k=+.记()()f r f r r r==⎡⎤⎢⎥（1）,(1)()(()),2l lf r f f r l-=≥（）.证明：存在正整数m ,使得()()m f r 为一个整数.这里，x ⎡⎤⎢⎥表示不小于实数x 的最小整数，例如11,112⎡⎤==⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥.三、（本题满分50分）给定整数2n >,设正实数12,,,n a a a 满足1k a ≤,1,2,,k n = ,记12,1,2,,.kk a a a A k n k+++==求证：1112nnk k k k n a A ==--<∑∑.四、（本题满分50分）一种密码锁的密码设置是在正n 边形12n A A A 的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同.问：这种密码锁共有多少种不同的密码设置.2010年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案与评分标准一、填空题1.[3]-.2.3122a -≤≤ 3.9800. 4. 3335.14-. 6.1217. 7.104. 8.336675. 1.2..3.由对称性知，只需先考虑x 轴上方的情况，设(1,2,,99)y k k == 与双曲线右半支交于点k A ，与直线100x =交于点k B ，则线段k k A B 内部的整点个数为99k -，从而在x 轴上方区域内部整点的个数为991(99)9949k k =-=⨯∑，又x 轴上有98个整点，则所求整点个数为24999+98=9800⨯⨯. 4.5.6.=1217. 7.8.二、解答题9.10.11.2010年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案与评分标准一、二、三、四、。
2010年数学周报杯全国初中数学竞赛试题及详细解答
中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛试题详细解答一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．若20 10a b b c ==，，则a b b c++的值为（ ） （A ）1121 （B ）2111 （C ）11021 （D ）21011【答案】D【解析1】由题设知0c ≠，10,20200b c a b c ===，于是200102101011a b c c b c c c ++==++． 【解析2】 由题设知0b ≠，于是12012101111110a ab bc b c b +++===+++，故选D. 2．若实数,a b 满足21202a ab b -++=，则a 的取值范围是（ ） （A ）2a ≤- （B ）4a ≥ （C ）2a ≤-或4a ≥ （D ）24a -≤≤【答案】C 【解析】21202b ab a -++=可以看作是关于b 的一元二次方程，因为b 是实数，所以21202b ab a -++=的判别式21()41(2)02a a ∆--⨯⨯+≥＝,即2280a a --≥，(2)(4)0a a +-≥，解得2a ≤-或4a ≥．故a 的取值范围是2a ≤-或4a ≥,故选C . 3．如图，在四边形ABCD 中，135,120B C ∠=∠= ,23AB =,422BC =-, 42CD =，则AD 边的长为（ ）（A ）26 （B ）64（C ）64+ （D ）622+【答案】（D ）【解析1】如图1，过点A 作AE BC ⊥交CB 的延长线于点E ，过点D 作DF BC ⊥交BC的延长线于点F ，过点A 作AG DF ⊥于点G ,135ABC ∠= ,∴45ABE BAE ∠=∠=在Rt AEB ∆中,2sin 2362BE AE AB BAE ==⋅∠=⨯=,又∵120BCD ∠= ，∴60DCF ∠=，cos6022,sin6026CF CD DF CD ==== , 于是46EF BE BC CF =++=+．在Rt ADG ∆中，46,AG EF ==+2666DG DF GF DF AE =-=-=-=,根据勾股定理得2222(46)(6)28864(726)226AD AG DG =+=++=+=+=+．【解析2】如图2，过点A 作AE BC ∥交CD 于E ,AF DC ⊥交DC 的延长线于F ;过点B作BM AE ⊥于M ; 过点C 作CN AE ⊥于N ,135ABC ∠= ,∴45ABM BAM ∠=∠= , 2sin 452362BM AM AB ==⋅=⨯= ∵四边形BMNC 为矩形，∴6CN BM ==,422MN BC ==-在Rt CNE ∆中，30NCE ∠= ,60CEN ∠= , tan302,NE CN =⋅= 22CE = 462AE AM MN NE =++=+-,22DE CD CE =-=462cos cos602EF AE FEA AE +-=⋅∠=⋅= 43326sin sin 602AF AE FEA AE +-=⋅∠=⋅=43262DF DE EF ++=+=,在Rt ADF ∆中， 22224332643264(72622622AD AF DF ⎛⎫⎛⎫+-++=+=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭）【解析3】如图3，过点A 作AE BC ∥交CD 于E ,过点B作BM AE ⊥于M ; 过点C 作CN AE ⊥于N ,则四边形BMNC 为矩形，ABM ∆为等腰直角三角形62ABBM AM ===,在Rt CEN ∆中，030NCE ∠=, 由6CN =得0tan 6tan302NE CN NCE =⋅∠=⨯=，22CE =,422MN BC ==-,462AE AM MN NE =++=+-,22ED CD CE =-=,又0120AED BCD ∠=∠=,在AED ∆中，根据余弦定理得， 2222cos AD AE ED AE ED AED =+-⋅∠220(462)(22)2(462)(22)cos120=+-+-⨯+-⨯⨯2(226)=+ 于是226AD =+,故选（D ）.(说明：本题与1991年全国初中数学联合竞赛第一试填空第4题类型完全相同，只是数值不同)4．在一列数123x x x ，，，……中，已知11=x ，1121444k k k k x x -⎛--⎫⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭（2k ≥）,（取整符号[]a 表示不超过实数a 的最大整数，例如[]2.62=，[]0.20=），则2010x 等于（ ）(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4【答案】B【解析】由11=x 和1121444k k k k x x -⎛--⎫⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭可得11x =，22x =，33x =， 44x =，51x =，62x =，73x =，84x =，……，归纳可得 41421,2,k k x x ++==434(1)3,4k k x x ++==，（k 为自然数），因2010=4×502+2，故2010x =2． 5.如图，在平面直角坐标系xOy 中，等腰梯形ABCD 的顶点坐标分别为A （1，1），B （2，－1），C （－2，－1），D （－1，1）．y 轴上一点P （0，2）绕点A 旋转180°得点P 1，点P 1绕点B 旋转180°得点P 2，点P 2绕点C 旋转180°得点P 3，点P 3绕点D 旋转180°得点P 4，……，重复操作依次得到点P 1，P 2，…， 则点P 2010的坐标是（ ）．（A ）（2010，2） （B ）（2010，2-）（C ）（2012，2-） （D ）（0，2）【答案】B【解析1】由已知得，点1P ，2P 的坐标分别为12(2,0),(2,2)P P -,记222 )P a b （，，其中222,2a b ==-,根据对称关系，依次可以求得：322(42)P a b --，－－，422(2)P a b ++，4，（第5题）522(2)P a b ---，，622(4)P a b +，,令662(,)P a b ，同样可以求得，点10P 的坐标为（624,a b +），即1022(42,)P a b ⨯+，因2010=4⨯502+2，故点2010P 的坐标为（2010，2-）． 【解析2】由已知得，12(2,0),(2,2)P P -，34(6,0),(4,2),P P -56(2,0),(6,2),P P --789101112(10,0),(8,2),(6,0),(10,2),(14,0),(12,2),P P P P P P ---- 归纳可得4142434(1)(24,0),(42,2),(64,0),(44,2)k k k k P k P k P k P k ++++-+---+（k 为自然数） 因2010=4⨯502+2，故点2010P 的坐标为（2010，2-）． 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．已知51a =-，则3227212a a a +--的值等于 ．【答案】0【解析】由已知得2(1)5a +=，224a a +=，于是原式=22222(2)321236123(2)1234120a a a a a a a a a ++--=+-=+-=⨯-=.7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t 分钟，货车追上了客车，则t ＝ ．【答案】15 【解析1】画出某一时刻三辆车的位置示意图，如图所示，设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S 千米，小轿车、货车、客车的速度分别为a b c ，，（千米/分），并设货车经x 分钟追上客车，依题意得()10a b S -= ① ， ()152a c S -= ② ， ()x b c S -= ③由①②，得30b c S -=（），与③比较得，x =30，故 3010515t =--=（分）．【解析2】设在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间，客车与小轿车间隔为2，则小轿车与货车的速度差为110，小轿车与客车的速度差为2210515=+，则货车与客车的速度差为211151030-=，货车追上了客车需113030÷=分钟，所以货车追上了客车，需再过3010515t =--=分钟． 8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，多边形OABCDE 的顶点坐标分别是O （0，0），A （0，6），B （4，6），C （4，4），D （6，4），E （6，0）．若直线l 经过点M （2，3），且将多边形OABCDE 分割成面积相等的两部分，则直线l 的函数表达式是 ．【答案】11133y x =-+ 【解析】如图，延长BC 交x 轴于点F ；连接,OB AF ;连接,CE DF ,且相交于点N ．则(4,0)F ,由已知得点(2,3)M 是OB AF 与的中点，即点M 为矩形ABFO 的中心，所以直线l 把矩形ABFO 分成面积相等的两部分．又因为点(5,2)N 是矩形CDEF 的中心，所以， 过点(5,2)N 的直线把矩形CDEF 分成面积相等的两部分．于是，直线MN 即为所求的直线l ．设直线l 的函数表达式为(0)y kx b k =+≠，则2352k b k b =⎧⎨+=⎩+，，解得 1311.3k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，, 故所求直线l 的函数表达式为11133y x =-+． 9．如图，射线AM ，BN 都垂直于线段AB ，点E 为AM 上一点，过点A 作BE 的垂线AC 分别交,BE BN 于点,F C ,过点C 作AM 的垂线CD ，垂足为D ．若CD CF =,则 AE AD= ． 【答案】 215- 【解析】如图，因Rt AFB ∆∽Rt ABC ∆，所以AB AF AC AB=, 即2AB AF AC =⋅．∵AB CD CF ==，∴2()CF AF AF CF =⋅+ , 即210AF AF CF CF ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得512AF CF -=, 或512AF CF --=（舍去）． （第8题）答案图（第8题）（第9题）又∵Rt AFE Rt CFB ∆∆∽,∴512AE AF BC CF -==,而AD BC =,故AE AD =512-． 10．对于i =2，3，…，k ，正整数n 除以i 所得的余数为1i -．若n 的最小值0n 满足020003000n <<，则正整数k 的最小值为 ． 【答案】9【解析】因为1n +为2 3 k ，，，的倍数，所以n 的最小值0n 满足[]012 3 n k += ，，，，（其中[]2 3 k ，，，表示2 3 k ，，，的最小公倍数） 由于[]2 3 8840,= ，，，[]2 3 92520 = ，，，，[]2 3 102520= ，，，，[]2 3 1127720= ，，，，因此满足020003000n <<的正整数k 的最小值为9． 三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11(A).如图，抛物线2y ax bx =+（a >0）与双曲线k y x=相交于点A ，B . 已知点A 的坐标为（1，4），点B 在第三象限内，且△AOB 的面积为3（O 为坐标原点）.（1）求实数a ，b ，k 的值；（2）过抛物线上点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ，求所有满足△EOC ∽△AOB 的点E 的坐标.解：（1）因为点A （1，4）在双曲线k y x=上，所以k=4. 故双曲线的函数表达式为x y 4=.设点4(,),0B t t t <， AB 所在直线的函数表达式为y mx n =+，则有44m n mt n t=+⎧⎪⎨=+⎪⎩，， 解得4m t =-，4(1)t n t +=. 故44(1)t y x t t +=-+，于是，直线AB 与y 轴的交点坐标为4(1)0,t t +⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故()141132AOB t S t t∆+=⨯-=（），整理得22320t t +-=，解得2t =-，或12t =（舍去）． 故点B 的坐标为(2,2)--．（第11(A)题）因为点(1,4),(2,2)A B --都在抛物线2(0)y ax bx a =+>上，所以4422a b a b +=⎧⎨-=-⎩，，解得13.a b =⎧⎨=⎩， …………（10分） （2）由（1）知23y x x =+，因为AC x 轴且(1,4)A ,所以令4y =，得234x x +=，解得4x =-，或1x =，故(4,4)C -，于是42OC =. 又22OB =，所以2OC OB=. 设抛物线2(0)y ax bx a =+>与x 轴负半轴相交于点D ， 则点D 的坐标为（3-，0）. 因为45COD BOD ∠=∠= ，所以90COB =. （i ）将AOB ∆绕点O 顺时针旋转90︒，得到△1B OA '.此时，点(2,2)B '-是OC 的中点，点1(4,1)A -,延长1OA 到点1E ，使得112OE OA =，这时点1(8,2)E -是符合条件的点. （ii ）作AOB ∆关于x 轴的对称图形2A OB '∆，得到点2(1,4)A -；延长2OA 到点2E ，使得222OE OA =，这时点2(2,8)E -是符合条件的点．故点E 的坐标是(8,2)-，或(2,8)-. …………（20分）11(B). 设实数a ，b 满足：2231085100a ab b a b -++-=，求u =29722a b ++的最小值.解：由已知得,(2)(34)5(2)0a b a b a b --+-=，即(2)(345)0a b a b --+=，所以20a b -=，或3450a b -+=.…………（5分）（i ）当20a b -=，即2a b =时，22297223672236(1)34u a b b b b =++=++=+-， 于是当1b =-时，u 的最小值为34-，此时2a =-，1b =-.…………（15分）（ii ）当3450a b -+=，即345a b =-时， 2222(3)722(45)72216322716(1)11u a b b b b b b =++=-++=++=++， 于是1b =-时，u 的最小值为11，此时3a =-，1b =-.综上可知，u 的最小值为34-.…………（20分）12(A). 如图，ABC ∆为锐角三角形，点,P Q 为边BC 上的两点，ABP ∆和ACQ ∆的外接（第11(A)题）答案图圆圆心分别为1O 和2O ,试判断1BO 的延长线与2CO 的延长线的交点D 是否可能在ABC ∆的外接圆上，并说明理由.解：答案是否定的，即1BO 的延长线与2CO 的延长线的交点D 不可能在△ABC 的外接圆上. ……（5分）理由如下:如图，连接1O P ,设直线1BO 与直线2CO 的交点为D ，则11180902BO P O BP BAP ︒-∠∠==︒-∠，22180902QO C O CQ CAQ -∠∠==︒-∠ ， 所以 12180O BP O CQ BAP CAQ ∠+∠=︒-∠-∠，即180180()BDC BAP CAQ -∠=-∠+∠ , 故BDC BAP CAQ ∠=∠+∠.……（15分） 由于点P Q ，为边BC 上的两点，所以BAP CAQ BAC ∠+∠≠∠，即BDC BAC ∠≠∠ 因此，点D 不在△ABC 的外接圆上．…………（20分）12(B).如图，△ABC 为等腰三角形，AP 是底边BC 上的高，点D 是线段PC 上的一点，BE 和CF 分别是△ABD 和△ACD 的外接圆直径，连接EF . 求证：tan EF PAD BC∠=．证明：如图，连接,ED FD .（第12A 题） （第12A 题）答案图（第12（B ）题）（第12(B)题）答案图因为BE 和CF 都是直径，所以,ED BC FD BC ⊥⊥,因此,,D E F 三点共线. …（5分） 连接,AE AF ,则AEF ABC ACB AFD ∠=∠=∠=∠，所以，AEF ∆∽ABC ∆…（10分） 过点A 作AH EF ⊥于H ,则AH PD =. 由AEF ∆∽ABC ∆,可得EF AH BC AP =， 从而EF PD BC AP =，所以 tan PD EF PAD AP BC∠==. …………（20分） 13(A). 实数,a b 使得关于,x y 的方程组2221.....................0...xy x xy ax bx a ⎧-=⎨+++=⎩①②有实数解(,)x y . （1）求证2y ≥；（2）求22a b +的最小值. 解: (1)(证法1)由方程①知0x ≠,且211x y x x x+==+ ∴112y x x x x=+=+≥(当且仅当1x =时取等号). 即2y ≥……(5分) (或书写如下:)由方程①知0x ≠，且211x y x x x+==+. 所以，当0x >时，2y ≥；当0x <时，2y ≤-，故2y ≥. …………（5分）(证法2)由方程①得210x xy -+=，此方程可视为关于x 的一元二次方程，由于x 为实数，故2()40,y ∆=--≥即2y ≥.…………（5分）(2)(解法1) 由方程①得21x xy =-③，将③代入方程②，得2(1)0x y ax y b x a +-++=，即2()0x y ay b ++=，∵0x ≠， ∴20y ay b ++=④.由于方程组有实数解，故方程20y ay b ++=④在2y ≤-，或2y ≥的范围内至少有一个实数根.（i ）当4a ≤时，有2422a a b ---≤-，或2422a ab -+-≥， 故2440a b a -≥-≥，或2440a b a -≥+≥，即24a b ≥+或2(4)a b ≤-+.若40b +≥，即4b ≥-时，202b a ≥+≥或202b a ⎛⎫≤-+≤ ⎪⎝⎭，由此得22244b a b ≥++，于是 222222255844541616244()445554555a b b b b b b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+≥++=++-+=++≥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ （当且仅当45b =-时，上式取等号，此时85a =±.） 若40b +<，即4b <-时，对于满足24a b ≥+，或2(4)a b ≤-+的任意实数a ， 均有2216165a b +>>.…………（15分） （ii ）当4a >时，2216165a b +>> . 综上（i ）、（ii ）可知，22a b +的最小值为516.………（20分） （解法2：）由方程①得21x xy =-③，将③代入方程②，得2(1)0xy a xy bx a +-++=，即2()0x y ay b ++=，∵0x ≠， ∴20y ay b ++=，2()b y ay =-+2222222234()2a b a y ay a a y ay y ⎡⎤+=+-+=+++⎣⎦∴22333224222(1)2111y y y y a a y y y y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++⋅+-+⎢⎥ ⎪ ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦2362422(1)11y y y a y y y ⎛⎫=++-+ ⎪++⎝⎭234222(1)11y y y a y y ⎛⎫=+++ ⎪++⎝⎭ 于是，当3201y a y +=+时，22a b +有最小值421y y +， 又∵2y ≥，244,16,y y ≥≥∴241111,416y y ≤≤，241111541616y y +≤+=∴ 从而24116115y y ≥+，即421651y y ≥+（当且仅当2y =±时取等号） 故当2y =±时，85a = ，22a b +有最小值165. (解法3:) 由方程①得21xy x =+③,将③代入②得22(1)0x y ax bx a ++++=,即2()()0a y x bx a y ++++=④(i) 当0a y +=，即y a =-时，方程④变为0bx =，由方程①知0x ≠，∴0b =， 此时②变为22()0a x ax a -++=，即2(1)0a x ax ++=，若0a =，则由方程②得20xy =，因0x ≠，故0y =，由（1）知0y ≠，从而0a ≠， ∴210x ax ++=，∵x 为不等于0的实数，∴240a ∆=-≥，24a ≥，∴2224a b a +=≥（当且仅当2y =±，即2a = 时取等号）………（10分） (ii)当0a y +≠，即y a ≠-时，方程④可视为关于x 的一元二次方程.∵x 为不等于0的实数，∴224()0b a y ∆=-+≥，∴224()b a y ≥+， ∴222222222444164()5845()5555a b a a y a ay y a y y y +≥++=++=++≥≥ （当且仅当22244(),0,45b a y a y y =++==同时成立，即2y =±，85a = 时取等号） 综上(i)、(ii)可知，22a b +的最小值为165.………（20分） 13(B). 求满足22282p p m m ++=-的所有素数p 和正整数m .解：由题设得(21)(4)(2)p p m m +=-+，所以(4)(2)p m m -+，由于p 是素数，故(4)p m -，或(2)p m +. ……（5分）（1）若(4)p m -，令4m kp -=，k 是正整数，则2=6,m kp kp ++>又∵p 是素数∴1,p > 从而321p p >+，于是2223(21)(4)(2),p p p m m k p >+=-+>故23k <,从而1k =.所以4221m p m p -=⎧⎨+=+⎩，，解得59.p m =⎧⎨=⎩， …………（10分） （2）若(2)p m +，令2m np +=，n 是正整数.当5p >时，有4(2)66(1)m m np np p p n -=+-=->-=-，223(21)(4)(2)(1)p p p m m n n p >+=-+>-，故(1)3n n -<，从而1n =或2n =. 由于(21)(4)(2)p p m m +=-+是奇数，故2n ≠，从而1n =.于是4212m p m p -=+⎧⎨+=⎩，，，解得79p m =-⎧⎨=-⎩，这不符合题意. 当5p =时，2263m m -=，解得9m =；当3p =，2229m m -=，无正整数解；当2p =时，2218m m -=，无正整数解.综上所述，所求素数5p =，正整数9m =.…（20分）14(A)．从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？解：首先，如下的61个数：11，1133+，11233+⨯，…，116033+⨯（即1991）满足题设条件. …………（5分）另一方面，设12,,,n a a a （12n a a a <<< ）是从1，2，…，2010中取出的满足题设条件的数，对于这n 个数中的任意4个数i j k m a a a a ，，，，因为33()i k m a a a ++，33()j k m a a a ++，故33()j i a a -.即所取的数中任意两数之差都是33的倍数.（10分） 设133i i a a d =+，i =1，2，3，…，n .由12333()a a a ++，得12333(33333)a d d ++， 所以1333a ，111a ，即111a ≥. ……（15分）1201011613333n n a a d --=≤<，60n d ≤. 所以，61n ≤.综上所述，n 的最大值为61. …………（20分）14(B). 将凸五边形ABCDE 的5条边和5条对角线染色，且满足任意有公共顶点的两条线段不同色，求颜色数目的最小值.解：由于顶点A 是4条线段AB AC AD AE ，，，的公共点，因此至少需要4种颜色. 若只有4种颜色，不妨设为红、黄、蓝、绿，则每个顶点引出的4条线段的颜色包含红、黄、蓝、绿各1种，因此，红色的线段共有52条，矛盾.故至少需要5种颜色. …（10分） 下面的例子说明5种颜色可以将这10条线段染为满足条件的颜色. 将AB CE ，染为1号颜色；将BC DA ，染为2号颜色；将CD EB ，染为3号颜色；将DE AC ，染为4号颜色；将EA BD ，染为5号颜色，则任意有公共顶点的两条线段不同色．综上所述，颜色数目的最小值为5. ……（20分）。
“《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛试题及参考答案
只 有 一 个 选 项 是 正 确 的 ．请将 正 确 选 项 的 中 ，等腰 梯形 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ的顶 点坐 标分 别 为
１ ） Ｂ ２ １， （２ １ ， （ １ ） 代 号 填入 题 后 的括 号 里 ，不 填 、 多填 或错 Ａ（，１ ， （ ，一 ） Ｃ － ，一 ） Ｄ 一 ，１．
Ｄ
＋
图 １
１ 钟 ，小 轿 车 追 上 了货 车 ； 又 过 了 ５ （ ０分 Ⅱ＞０ 与 双 盹 线 ｙ＝ 相 交 于 点 Ａ、Ｂ ） ．
（ Ａ）２ ／ 、６
（ Ｃ）４＋、 ６ ／ ４ ．在 一 列 数
（ ）４ ／ Ｂ 、６
（ Ｄ）２＋２ ／ ｘ６ … 中 ， 已
５． Ｂ
｜ Ｖ
０
解 ： 由 已知 ，可 得 点 Ｐ 、Ｐ 的 坐 标 Ｉ ２
边和 ５条对角线染色 ，且满足任意有公共 分别为（ ，０ ，（ ，一 ） ２ ） ２ ２． 顶点的两条线段不同色，求颜色数 目的最 小值． 附 ：答案及参考解答
填都 得 ０分 ）
Ｙ轴上一点 Ｐ ｏ ） （ ，２ 绕点 旋转 １０得 点 ８。 Ｐ ，点 Ｐ 绕 点 Ｂ旋转 １０得 点 Ｐ ，点 ｌ ８。 ２
１ 手＝ ， ＝ ， 绕 点 ｃ旋转 １０得点 ，点 绕点 Ｄ旋 ． ２ 争 １ 则 等的 若 ０ ０ ８。
值为 （ ） ． （ ）型 Ｂ （ Ｄ）
． ７ 一 辆客 车 、一辆 货 车和一 辆小轿 最 小 值 为 ． 三 、解 答 题 （ ４题 ，每 题 ２ 共 Ｏ分 ， 车在 一 条 笔 直 的公 路 上 朝 同一 方 向匀 速行
０分 ） 驶 ．在 某 一时 刻 ，客 车在 前 ，小 轿 车在 满 分 ８ １ （ ．如 图 ５ 抛 物 线 Ｙ＝ １ Ａ） ， 后 ，货 车 在 客 车 与 小 轿 车 的正 中 间 ． 了 过
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中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分.其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．若20 10a b b c ==，，则a bb c++的值为（ ）． （A ）1121 （B ）2111 （C ）11021 （D ）21011解：D 由题设得12012101111110a ab bc b c b +++===+++． 2．若实数a ，b 满足21202a ab b -++=，则a 的取值范围是 （ ）．（A ）a ≤2- （B ）a ≥4 （C ）a ≤2-或 a ≥4 （D ）2-≤a ≤4 解．C因为b 是实数，所以关于b 的一元二次方程21202b ab a -++=的判别式 21()41(2)2a a ∆--⨯⨯+＝≥0,解得a ≤2-或 a ≥4．3．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝135°，∠C ＝120°，AB=BC=4-CD＝，则AD 边的长为（ ）．（A）（B ）64（C ）64+ （D ）622+ 解：D如图，过点A ，D 分别作AE ，DF 垂直于直线BC ，垂足分别为E ，F ．由已知可得BE =AE，CF＝，DF ＝，于是 EF ＝4＋．过点A 作AG ⊥DF ，垂足为G ．在Rt △ADG 中，根据勾股定理得AD ==2+4．在一列数123x x x ，，，……中，已知11=x ，且当k ≥2时，1121444k k k k x x -⎛--⎫⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭（取整符号[]a 表示不超过实数a 的最大整数，例如[]2.62=，[]0.20=），则2010x 等于（ ）．(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 解：B由11=x 和1121444k k k k x x -⎛--⎫⎡⎤⎡⎤=+-- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭可得 11x =，22x =，33x =，44x =，51x =，62x =，73x =，84x =，……因为2010=4×502+2，所以2010x =2．5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，等腰梯形ABCD 的顶点坐标分别为A （1，1），B （2，－1），C （－2，－1），D （－1，1）．y 轴上一点P （0，2）绕点A 旋转180°得点P 1，点P 1绕点B 旋转180°得点P 2，点P 2绕点C 旋转180°得点P 3，点P 3绕点D 旋转180°得点P 4，……，重复操作依次得到点P 1，P 2，…， 则点P 2010的坐标是（ ）．（A ）（2010，2） （B ）（2010，2-） （C ）（2012，2-） （D ）（0，2）解：B 由已知可以得到，点1P ，2P 的坐标分别为（2，0），（2，2-）．记222 )P a b （，，其中222,2a b ==-． 根据对称关系，依次可以求得：322(42)P a b --，－－，422(2)P a b ++，4，522(2)P a b ---，，622(4)P a b +，．令662(,)P a b ，同样可以求得，点10P 的坐标为（624,a b +），即10P （2242,a b ⨯+）， 由于2010=4⨯502+2，所以点2010P 的坐标为（2010，2-）． 二、填空题6．已知a ＝5－1，则2a 3＋7a 2－2a －12 的值等于 ．解：0由已知得 (a ＋1)2＝5，所以a 2＋2a ＝4，于是2a 3＋7a 2－2a －12＝2a 3＋4a 2＋3a 2－2a －12＝3a 2＋6a －12＝0．7．一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t 分钟，货车追上了客车，则t ＝ ．解：15设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S 千米，小轿车、货车、客车的速度分别为a b c ，，（千米/分），并设货车经x 分钟追上客车，由题意得()10a b S -=， ①()152a c S -=， ② ()x b c S -=．③ 由①②，得30b c S -=（），所以，x =30． 故 3010515t =--=（分）． 8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，多边形OABCDE 的顶点坐标分别是O （0，0），A （0，6），B （4，6），C （4，4），D （6，4），E （6，0）．若直线l 经过点M （2，3），且将多边形OABCDE 分割成面积相等的两部分，则直线l 的函数表达式是 ．解：11133y x =-+如图，延长BC 交x 轴于点F ；连接OB ，AF ；连接CE ，DF ，且相交于点N ． 由已知得点M （2，3）是OB ，AF 的中点，即点M 为矩形ABFO 的中心，所以直线l 把矩形ABFO 分成面积相等的两部分．又因为点N （5，2）是矩形CDEF 的中心，所以，过点N （5，2）的直线把矩形CDEF 分成面积相等的两部分．于是，直线MN 即为所求的直线l ．（第8题设直线l 的函数表达式为y kx b =+，则2352k b k b =⎧⎨+=⎩+，，解得 1311.3k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，,故所求直线l 的函数表达式为11133y x =-+．9．如图，射线AM ，BN 都垂直于线段AB ，点E 为AM 上一点，过点A 作BE 的垂线AC 分别交BE ，BN 于点F ，C ，过点C 作AM 的垂线CD ，垂足为D ．若CD ＝CF ，则AEAD = ． 解：215- 见题图，设,FC m AF n ==．因为Rt △AFB ∽Rt △ABC ，所以 2AB AF AC =⋅． 又因为 FC ＝DC ＝AB ，所以 2()m n n m =+，即 2()10n nm m+-=，解得12n m =，或12n m =（舍去）． 又Rt △AFE ∽Rt △CFB ，所以AE AE AF nAD BC FC m ====12， 即AEAD=12． 10．对于i =2，3，…，k ，正整数n 除以i 所得的余数为i －1．若n 的最小值0n 满足020003000n <<，则正整数k 的最小值为 ．解：9 因为1n +为2 3 k ，，，的倍数，所以n 的最小值0n 满足[]012 3 n k +=，，，，其中[]2 3 k ，，，表示2 3 k ，，，的最小公倍数． 由于[][]2 3 88402 3 92520 ==，，，，，，，， [][]2 3 1025202 3 1127720==，，，，，，，， 因此满足020003000n <<的正整数k 的最小值为9．（第9题）三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．如图，△ABC 为等腰三角形，AP 是底边BC 上的高，点D 是线段PC 上的一点，BE 和CF 分别是△ABD 和△ACD 的外接圆直径，连接EF . 求证： tan EFPAD BC∠=．证明：如图，连接ED ，FD . 因为BE 和CF 都是直径，所以ED ⊥BC ， FD ⊥BC ，因此D ，E ，F 三点共线. …………（5分） 连接AE ，AF ，则AEF ABC ACB AFD ∠=∠=∠=∠，所以，△ABC ∽△AEF . …………（10分）作AH ⊥EF ，垂足为H ，则AH =PD . 由△ABC ∽△AEF 可得EFAHBC AP =， 从而E FP DB CA P=， 所以 t a n P D E FPAD AP BC ∠==. …………（20分）12．如图，抛物线2y ax bx =+（a >0）与双曲线ky x=相交于点A ，B . 已知点A 的坐标为（1，4），点B 在第三象限内，且△AOB 的面积为3（O 为坐标原点）.（1）求实数a ，b ，k 的值；（2）过抛物线上点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ，求所有满足△EOC ∽△AOB 的点E 的坐标.解：（1）因为点A （1，4）在双曲线k y x =上，所以k=4. 故双曲线的函数表达式为xy 4=.设点B （t ，4t），0t <，AB 所在直线的函数表达式为y mx n =+，则有44m n mt n t=+⎧⎪⎨=+⎪⎩，， 解得4m t =-，4(1)t n t +=. 于是，直线AB 与y 轴的交点坐标为4(1)0,t t +⎛⎫⎪⎝⎭，故 ()141132AOB t S t t∆+=⨯-=（），整理得22320t t +-=，解得2t =-，或t ＝21（舍去）．所以点B 的坐标为（2-，2-）．因为点A ，B 都在抛物线2y ax bx =+（a >0）上，所以4422a b a b +=⎧⎨-=-⎩，， 解得13.a b =⎧⎨=⎩，…………（10分） （2）如图，因为AC ∥x 轴，所以C （4-，4），于是CO ＝42. 又BO =22，所以2=BOCO. 设抛物线2y ax bx =+（a >0）与x 轴负半轴相交于点D ， 则点D 的坐标为（3-，0）.因为∠COD ＝∠BOD ＝45︒，所以∠COB =90︒.（i ）将△BOA 绕点O 顺时针旋转90︒，得到△1B OA '.这时，点B '(2-，2)是CO 的中点，点1A 的坐标为（4，1-）.（第12题）延长1OA 到点1E ，使得1OE =12OA ，这时点1E （8，2-）是符合条件的点.（ii ）作△BOA 关于x 轴的对称图形△2B OA '，得到点2A （1，4-）；延长2OA 到点2E ，使得2OE ＝22OA ，这时点E ２（2，8-）是符合条件的点．所以，点E 的坐标是（8，2-），或（2，8-）. …………（20分）13．求满足22282p p m m ++=-的所有素数p 和正整数m .．解：由题设得(21)(4)(2)p p m m +=-+，所以(4)(2)p m m -+，由于p 是素数，故(4)p m -，或(2)p m +. ……（5分） （1）若(4)p m -，令4m kp -=，k 是正整数，于是2m kp +>，2223(21)(4)(2)p p p m m k p >+=-+>，故23k <，从而1k =.所以4221m p m p -=⎧⎨+=+⎩，，解得59.p m =⎧⎨=⎩，…………（10分）（2）若(2)p m +，令2m kp +=，k 是正整数. 当5p >时，有46(1)m kp kp p p k -=->-=-，223(21)(4)(2)(1)p p p m m k k p >+=-+>-，故(1)3k k -<，从而1k =，或2.由于(21)(4)(2)p p m m +=-+是奇数，所以2k ≠，从而1k =.于是4212m p m p -=+⎧⎨+=⎩，，这不可能.当5p =时，2263m m -=，9m =；当3p =，2229m m -=，无正整数解；当2p =时，2218m m -=，无正整数解.综上所述，所求素数p =5，正整数m =9. …………（20分）14．从1，2，…，2010这2010个正整数中，最多可以取出多少个数，使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除？解：首先，如下61个数：11，1133+，11233+⨯，…，116033+⨯（即1991）满足题设条件. …………（5分） 另一方面，设12n a a a <<<是从1，2，…，2010中取出的满足题设条件的数，对于这n 个数中的任意4个数i j k m a a a a ，，，，因为33()i k m a a a ++， 33()j k m a a a ++，所以 33()j i a a -.因此，所取的数中任意两数之差都是33的倍数. …………（10分） 设133i i a a d =+，i =1，2，3，…，n .由12333()a a a ++，得12333(33333)a d d ++，所以1333a ，111a ，即1a ≥11. …………（15分）133n n a a d -=≤2010116133-<， 故n d ≤60. 所以，n ≤61.综上所述，n 的最大值为61. …………（20分）。