数学周报精品系列之课标高中版课件
高中数学必修全册人教版PPT
Rt⊿ SOH
Rt⊿ SOB Rt⊿ SHB Rt⊿ BHO
棱台由棱锥截得而成，所以在棱台中也有类似 的直角梯形。
第十三页，共101页。
棱台
结构特征
用一个平行于棱锥 底面的平面去截棱锥,底
面与截面之间的部分是棱 台.
D’
D A’
C’
B’
C
A
B
第十四页，共101页。
圆柱
结构特征
以矩形的一边所在直线为
锥的体积是（ A）
（A）9
（B） 9 （C）7 （D）
7
2
2
A1 练5：一个正三棱台的上、下底
面边长分别为3cm和6cm，
高是1.5cm，求三棱台的侧
面积。
27 3 cm2
A
2
C1 B1
C B
第二十三页，共101页。
6.如图，等边圆柱（轴截面为正方
形ABCD）一只蚂蚁在A处，想吃C1
处的蜜糖，怎么走才最快，并求最短路
O’ O
第十七页，共101页。
球
结构特征
以半圆的直径所 在直线为旋转轴,半圆 面旋转一周形成的旋 转体.
半径
O 球心
第十八页，共101页。
空间几何体的表面积和体积
圆柱的侧面积： S 2 rl
面积
圆锥的侧面积： S rl
圆台的侧面积： S (r r)l
球的表面积： S 4 R2
柱体的体积： V Sh
A．1 B．1 C． 1 D．1 2 36
正视图 侧视图 俯视图
V
1 3 S底h
1 111 3
1 3
1 1
1
第四十页，共101页。
11.已知某个几何体的三视图如图2，根据图中标出的尺寸 （单位：cm），可得这个几何体的体积是___8_0__0_0_c.m 3
高一数学周报必修一
高一数学周报必修一一、导言高一是学生进入高中阶段的重要时期，数学作为一门基础学科，对于学生的学习能力和思维能力起着至关重要的作用。
为了加强学生对数学知识的理解和掌握，提高数学思维能力和解决问题的能力，在这一学期，我们将通过每周发行的高一数学周报，系统地学习必修一的内容。
二、第一章：集合与函数1.1 集合集合是数学中一种重要的基础概念，它是由一些确定的元素所组成的整体。
集合的表示方法有描述法和列举法，其中描述法是通过性质或条件来描述集合元素的，而列举法是直接列举出集合中的元素。
此外，我们还介绍了集合的包含关系、交集、并集和差集等基本运算。
1.2 函数函数是数学中一种非常重要的关系，在现实生活中有广泛的应用。
函数由自变量和因变量组成，自变量的取值范围称为定义域，因变量的取值范围称为值域。
函数的表示方法有四种常见形式：解析式、图像、数据表和文字描述。
我们还简要介绍了函数的性质和基本运算，包括复合函数、反函数和一些常用函数的图像特征。
三、第二章：二次函数与一元二次方程2.1 二次函数二次函数是一种带有平方项的函数，它的图像通常呈现抛物线的形状。
我们介绍了二次函数的标准式和一般式，并探究了二次函数的图像特征，如对称轴、顶点、开口方向等。
此外，我们还学习了二次函数的平移、伸缩和翻折等变换方式。
2.2 一元二次方程一元二次方程是形如$ax^2+bx+c=0$的方程，其中$a\neq0$。
我们介绍了一元二次方程的解的判别式和求解方法，包括因式分解、配方法、求根公式等。
同时，我们也讨论了一元二次方程在实数和复数范围内的解的情况，并通过实际问题的应用，将抽象的方程与实际情境相结合。
四、第三章：函数的导数与导数应用3.1 导数的概念导数是函数的一种重要的变化率度量方式，它给出了函数在某一点的瞬时变化率。
我们通过极限的概念，引入了导数的定义，并解释了导数的几何意义和物理意义。
3.2 导数的计算与性质我们介绍了导数的基本计算方法，包括用导数的定义计算和使用常见函数求导数的法则。
《学习周报》大纲人教版高二数学
《学习周报》大纲人教版高二数学2009-2010学年数学人教大纲高二（上）编辑计划期别内容截稿日期1 6。
1 不等式的性质2009年6。
2 算术平均数与几何平均数(包含阅读材料:n个正数的算术平均数与几何4月15日2平均数)3 6。
3 不等式的证明2009年4月20日4 6.4 不等式的解法举例6.5 含有绝对值的不等式5 第六章（不等式）小结与复习2009年5月5日6 7.1 直线的倾斜角和斜率7.2 直线的方程7 7。
3 两条直线的位置关系(包含阅读材料：向量与直线）2009年5月20日8 7。
4 简单的线性规划7.5 研究性课题与实习作业: 线性规划的实际应用9 7。
6 曲线方程7.7 圆的方程2009年6月5日10 圆的方程专题复习（点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系及轨迹问题）11 第七章（直线与圆的方程）小结与复习2009年6月20日12 期中复习期中测试13 8.1 椭圆及其标准方程 8.2 椭圆的简单几何性质（一）（侧重基础）2009年6月30日14 8。
1 椭圆及其标准方程 8.2 椭圆的简单几何性质(二）（侧重能力提升）15 8.3 双曲线及其标准方程8.4 双曲线的简单几何性质（一)（侧重基础)2009年7月10日16 8。
3 双曲线及其标准方程8。
4 双曲线的简单几何性质（二）（侧重能力提升)17 8.5 抛物线及其标准方程 8.6 抛物线的简单几何性质2009年7月20日18 第八章（圆锥曲线方程）小结复习19 《不等式》期末复习（一）2009年7月28日20 《不等式》期末复习(二）21 《直线和圆的方程》期末复习(一）2009年8月5日22 《直线和圆的方程》期末复习（二）23 《圆锥曲线的方程》期末复习（一）2009年8月15日24 《圆锥曲线的方程》期末复习(二）25 高二上学期期末复习(一）2009年8月30日26 高二上学期期末复习（二)2008-2009学年数学人教大纲高二（下）编辑计划投稿热线:0351-*******投稿邮箱：xxzb_dgg2@ 联系QQ ：120574272 （张 军）期别 A(文、理)内容 B （文、理)内容截稿日期 27期9.1 平面9.2 空间直线9.1平面的基本性质9。
此文发表数学周报人教大纲高二版
此文发表《数学周报》人教大纲高二版不等式复习导航湖北枝江市第一高级中学李强不等式在高考中地位非常重要，不仅可以单独命题，考查不等式的性质、解法等，也可以将不等式与方程、函数、实际生活等其它知识加以综合命题，考查学生的能力。
纵观不等式知识，不仅要培养创新能力、学好数学思想，更要注重基础和一些小窍门。
一、不等式的基础知识不等式的性质是基础中的基础，要理解与牢记。
高次不等式、分式不等式、最简无理不等式、指数对数不等式以及绝对值不等式等都要等价转化为一元一次不等式、一元二次不等式(组)方可求解。
比较法、综合法、分析法是常用的证明方法，讲究逻辑推理的严密性，其中分析法更讲究格式要求与因果关系。
换元法、反证法、放缩法、构造法等要抓住特点，合理应用。
二、不等式的一些规律和小窍门1.不等式的证明作差比较法技巧是作差后分解因式、配方或利用函数的单调性；作商比较法主要适合指数模型；分析法是执果索因，要求“步步可逆”，恰当用好“要证”“只需证”等词语，提倡用分析法分析试题，用综合法进行证明；反证法一是要利用假设，二是适合含有“至多”“至少”“均是”“不都”“任何”“唯一”等字眼的不等式。
换元法要注意换元的等价性，即变量取值范围的要求；放宿法要多尝试，把握放方向与放宿尺度，先粗放，再微调。
2。
解不等式(1)高次不等式：采用序轴标根法。
先转化为()0f x>(()f x系数为1,根由小到大排列)，将()f x分解为若干一次因式或二次不可分因式的乘积，再将各根有序的标在数轴上(根之间只讲大小顺序，不要求单位一致)，利用“奇穿偶回”(奇偶指幂指数的次数)的原则求解不等式。
如解不等式23(3)(1)(2)0x x x x++-≤，由图知不等式的解集为{|3x x≤-或1x=-或02x≤≤}，注意“等号”须单独考虑。
(2)分式不等式：等价转化为不等式组。
如()()f xg x≥等价于()()0f xg x≥且()0g x≠。
高中数学优秀课件模板ppt课件
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TEXT HERE
And after some work with a colored pencil I succeeded in making my first drawing.
TEXe work with a colored pencil I succeeded in making my first drawing.
all the millions and millions of stars
标题文本
If someone loves a flower, of which just one single blossom grows in
all the millions and millions of stars
标题文本
If someone loves a flower, of which just one single blossom grows in all the millions and millions of stars, it is enough to make him happy just to look at the stars. He can say to himself, “Somewhere, my flower is there…”
grows in all the millions and millions of
stars
10
03
此处输入
您的标题文本
11
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If someone loves a flower, of which just one single blossom grows in all
the millions
新课标高中数学课程标准解读精品PPT课件 (2)可修改全文
《标准》在安排这些必修内容时， 强调了使学生了解这些知识产生和发展的背景，以及它们在现实世界中的应用。 在这些基础知识和基本技能的教学过程中，应注重提高学生在数学方面的各种能力，发展学生的理性思维； 提高学生对数学价值的认识，培养他们的应用意识和创新意识。
函数是高中数学的核心内容
数学2
立体几 何初步
仅要求认识柱、锥、台、球及其简单组合体的 结构特征；对棱柱，正 棱锥、球的性质由掌握 降为不作要求
数学3
统计
知道最小二乘法的思想
选修1—1 选修2—1
常用逻辑用语
不要求使用真值表
选修1—1
圆锥曲线与方程
对抛物线、双曲线的定义和标准方程的要求由掌握降为了解
必修课教学重点的变化
《标准》在安排这些必修内容时，更加强调了使学生了解这些知识产生和发展的背景，以及它们在现实世界中的应用。 在这些基础知识和基本技能的教学过程中，应注重提高学生在数学方面的各种能力，发展学生的理性思维，提高学生对数学价值的认识，培养他们的应用意识和创新意识。
教学内容调整前后的变化
同一教学内容课时的变化
原大纲
新课标
教学内容与性质
课时
教学内容与性质
课时
必修、选修 课时增减(+、一)
集合、简易逻辑(必修)
14
集合(必修)；常用逻辑用语(选修1—1、2—1)
4 8
(必修)一4 (选修)+8
函数(必修)
30
函数概念与基本初等函数(必 修)
把集合当作一种语言来学
使用集合语言，可以简洁准确地表达数学的有关内容。高中数学把集合作为一种语言来学习。帮助学生熟悉和运用集合的语言与符号，清楚地表达数学对象，他们的数学表达与交流的能力就能得到逐步发展。 第一节 集合的意义及其表示方法 1课时 第二节 集合间的基本关系 1课时 第三节 集合的基本运算 2课时, 其中集合的并与交1课时, 集合中一个子集的补集1课时。
高中数学新课标课件
高中数学新课标课件课程目标：本课程旨在帮助学生掌握高中数学的核心概念、原理和方法，培养学生的逻辑思维能力、空间想象能力以及解决实际问题的能力。
课程内容：1. 数与代数：- 实数的概念与性质- 代数表达式的简化与运算- 一元一次方程与不等式的解法- 一元二次方程的求解- 函数的概念与性质2. 几何：- 平面几何的基本图形与性质- 空间几何的基本概念- 三角形的边角关系- 圆的性质与定理- 相似与全等的判定3. 概率与统计：- 随机事件的概率计算- 统计数据的收集与处理- 描述性统计分析- 概率分布与期望值4. 解析几何：- 直线与圆的方程- 椭圆、双曲线和抛物线的性质- 坐标变换与图形的平移、旋转5. 函数与方程：- 函数的极限与连续性- 导数与微分的概念- 微积分的基本定理与应用6. 数学思维与方法：- 数学归纳法- 逻辑推理与证明方法- 数学建模与问题解决策略教学方法：- 采用启发式教学，鼓励学生主动思考和探索。
- 结合实际问题，引导学生运用数学知识解决现实问题。
- 利用多媒体教学工具，提高教学的直观性和互动性。
评估方式：- 定期的课堂测验和作业检查，以确保学生对知识点的掌握。
- 期中和期末考试，全面评估学生的学习成果。
- 鼓励学生参与数学竞赛和研究项目，以提高其创新能力和实践能力。
课程总结：通过本课程的学习，学生将能够深入理解高中数学的基本概念和原理，掌握数学思维方法，为进一步的数学学习和研究打下坚实的基础。
同时，学生将学会如何运用数学工具解决实际问题，培养其综合分析和解决问题的能力。
请注意，本课件仅为大纲性质的示例，具体的教学内容和方法需要根据学生的实际情况和教学进度进行调整。
数学周报精品系列之课标高中版课件
2
2
2.设动点M的坐标为(x，y)，
Ko
由抛物线的定义可知 MF=MN，
(x p )2 y2 |x p |.
2
2
3.化简得 y2 = 2px（p＞0）．
M Fx
抛物线的标准方程
方程 y2 = 2px（p＞0）叫做抛物线的标准方 程(焦点位于x轴的正半轴上，其准线交于x轴的 负半轴). 其中 p 为正常数，它的几何意义是： 焦点到准线的距离.
求曲线方程的一般步骤
1．建立直角坐标系，设动点为(x,y)； 2．写出适合条件的x,y的关系式； 3．列方程； 4．化简．
抛物线标准方程的推导
1.如图，取过焦点F且垂直于准线L的
y
l 直线为x轴，垂足为K，线段KF的中垂
线为y轴.
N
设︱KF︱= p ( p> 0)
则F（ p ，0），l：x - p
图y 形 方程 焦点 准线 范围 顶点 对称轴 e
l OF
x
y2 = 2px （p>0）F源自(p 2,0)
x p 2
x≥0 y∈R
x轴
yl
FO
y2 = -2px x（p>0） F
(
p 2
,0)
x
p 2
x≤0 y∈R
y
(0，0)
1
F O
x2 = 2py
p
x （p>0） F (0, 2 )
y p 2
例 求过点A（-2，4）的抛物线的标准方程．
解：1）设抛物线的标准方程为 x2 =2py，把A（-2，4）代
．y A
入，得p=
1 2
．
O
x
2）设抛物线的标准方程为
新课标高中数学知识网络ppt课件
集
集合的表示
空集φ 列举法、特征性质描述法、Veen图法
( 6 ) ， 的区别： 表示元素与集合关系， 表示集合与集合关系；
合
( 7 ) a 与 a 区别：一般地，
a 表示元素，
真子集
性质
a 表示只有一个元素
a 的集合；
集合的基本关系
子集
( 8 )0 ， ， 区别： 0 ， 表示集合，
几何相等
2
三角函数模型的简单应用
生活中、建筑学中、航海中、物理学中等
第 三 部 分
三 角 解三角形 函 数 与 平 面 向 量
平面向量
上一页
退出
正弦定理 余弦定理
面积 实际应用 向量的概念
a b c 2R及变式 sinA sin B siC n
适用范围：①已知两角和任一边，解三角形； ②已知两边和其中一边的对角，解三角形。
式
上一页 退出
不等关系与不等式
基本性质 比较大小问题 求解范围问题
作差或作商
一元二次不等式及其解法
借助二次函数图象， 利用三个“二次”间的关系
二元一次不等式（组）与平面区域
简单的线性规划问题
可行域 目标函数
应用题
一次函数z=ax+b
构造斜率：z y b xa
几何意义：z是直线 ax+by-z=0在x轴截距 的a倍，y轴上截距的 b倍.
定理
函数的平均变化率 运动的平均速度 曲线的割线的斜率
基本初等函数求导
导数的四则运算法则 简单复合函数的导数
函数的单调性研究
函数的瞬时变化率 运动的瞬时速度 曲线的切线的斜率
fx与fx0的区别
v S'， av'
《高中数学课程标准》共52页PPT
《高中数学课程标准》
11、获得的成功越大，就越令人高兴 。野心 是使人 勤奋的 原因， 节制使 人枯萎 。 12、不问收获，只问耕耘。如同种树 ，先有 根茎， 再有枝 叶，尔 后花实 ，好好 劳动， 不要想 太多， 那样只 会使人 胆孝懒 惰，因 为不实 践，甚 至不接 触社会 ，难道 你是野 人。(名 言网) 13、不怕，不悔(虽然只有四个字，但 常看常 新。 14、我在心里默默地为每一个人祝福 。我爱 自己， 我用清 洁与节 制来珍 惜我的 身体， 我用智 慧和知 识充实 我的头 脑。 15、这世上的一切都借希望而完成。 农夫不 会播下 一粒玉 米，如 果他不 曾希望 它长成 种籽； 单身汉 不会娶 妻，如 果他不 曾希望 有小孩 ；商人 或手艺 人不会 工作， 如果他 不曾希 望因此 而有收 益。-- 马钉路 德。
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(二)重点
重点：向量减法的定义、向量减法的三角形法则
4、AB BA
一、向量减法的定义:
求两个向量差的运算叫做向量的减法.
已知向量 a, b，求向量 a b
?
a b a b
已知a, b,根据减法的定义，如何 作出a b呢？
a
B
b
b
a b
b O
C
A
D
方法：平移向量a, b, 使它们起点相同，那么 b的终点指向a的终点的向量就是a b.
二、向量减法法则:
a
b
O A
作法：1在平面内任取一点 O
2作OA a, OB b
3则向量BA a b
B
两向量起点相同，则差向量就是连结两向量终点， 方向指向被减向量终点的向量.
BA OA OB
共起点，连终点， 方向指向被减数
小结:
(一)知识
1．理解相反向量的概念 2. 理解向量减法的定义， 3. 正确熟练地掌握向量减法的三角形法则
许昌八中 李冰
有理数的减法法则
减去一个数等于加上它的相反数
减去一个向量等于加上这个向量的相反向量
a b a (b)
相反向量:
与 a 长度相等，方向相反的向量， 叫做 a 的相反向量. 记作： a 注：1、 (a ) a 2、a (a) (a) a 0 3、 如果 a , b 是互为相反的向量， 则： a b , b a , a b 0
高中数学必修模块(1-5)ppt(全部课件集柱、锥、台、球的结构特征等164个) 人教课标版63
请判断那种正确！
再见
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读一本好书，就是和许多高尚的人谈话。 ---歌德 书籍是人类知识的总结。书籍是全世界的营养品。 ---莎士比亚 书籍是巨大的力量。 ---列宁 好的书籍是最贵重的珍宝。 ---别林斯基 任何时候我也不会满足，越是多读书，就越是深刻地感到不满足，越感到自己知识贫乏。 ---马克思 书籍便是这种改造灵魂的工具。人类所需要的，是富有启发性的养料。而阅读，则正是这种养料。 ---雨果 喜欢读书，就等于把生活中寂寞的辰光换成巨大享受的时刻。 ---孟德斯鸠 如果我阅读得和别人一样多，我就知道得和别人一样少。 ---霍伯斯[英国作家] 读书有三种方法：一种是读而不懂，另一种是既读也懂，还有一种是读而懂得书上所没有的东西。 ---克尼雅日宁[俄国剧作家・诗人] 要学会读书，必须首先读的非常慢，直到最后值得你精读的一本书，还是应该很慢地读。 ---法奇(法国科学家) 了解一页书，胜于匆促地阅读一卷书。 ---麦考利[英国作家] 读书而不回想，犹如食物而不消化。 ---伯克[美国想思家] 读书而不能运用，则所读书等于废纸。 ---华盛顿(美国政治家) 书籍使一些人博学多识，但也使一些食而不化的人疯疯颠颠。 ---彼特拉克[意大利诗人] 生活在我们这个世界里，不读书就完全不可能了解人。 ---高尔基 读书越多，越感到腹中空虚。 ---雪莱(英国诗人) 读书是我唯一的娱乐。我不把时间浪费于酒店、赌博或任何一种恶劣的游戏；而我对于事业的勤劳，仍是按照必要，不倦不厌。 ---富兰克林 书读的越多而不加思索，你就会觉得你知道得很多；但当你读书而思考越多的时候，你就会清楚地看到你知道得很少。 ---伏尔泰(法国哲学家、文学家) 读书破万卷，下笔如有神。---杜甫 读万卷书，行万里路。 ---顾炎武 读书之法无他，惟是笃志虚心，反复详玩，为有功耳。 ---朱熹 读书无嗜好，就能尽其多。不先泛览群书，则会无所适从或失之偏好，广然后深，博然后专。 ---鲁迅 读书之法，在循序渐进，熟读而精思。 ---朱煮 读书务在循序渐进；一书已熟，方读一书，勿得卤莽躐等，虽多无益。 ---胡居仁[明] 读书是学习，摘抄是整理，写作是创造。 ---吴晗 看书不能信仰而无思考，要大胆地提出问题，勤于摘录资料，分析资料，找出其中的相互关系，是做学问的一种方法。---顾颉刚 书犹药也，善读之可以医愚。 ---刘向 读书破万卷，胸中无适主，便如暴富儿，颇为用钱苦。 ---郑板桥 知古不知今，谓之落沉。知今不知古，谓之盲瞽。 ---王充 举一纲而万目张，解一卷而众篇明。 ---郑玄
每周一讲新课标高中数学
每周一讲新课标高中数学在新课标高中数学的学习中，我们强调数学知识的系统性和逻辑性，同时也注重培养学生的数学思维和解决问题的能力。
本周，我们将重点学习函数的概念和性质。
函数是数学中的一个基本概念，它描述了两个变量之间的一种特殊关系，其中一个变量的值可以通过另一个变量的值来确定。
在高中数学中，我们主要研究的是实数域上的函数，即定义域和值域都是实数的函数。
首先，我们来定义函数。
设A和B是两个非空的数集，如果对于集合A 中的每一个元素x，都存在集合B中唯一的元素y与之对应，那么这样的对应关系就称为从集合A到集合B的一个函数。
我们通常用f(x)来表示这个对应关系，其中x是自变量，f(x)是因变量。
接下来，我们讨论函数的性质。
函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性和连续性等。
单调性描述了函数值随自变量增加或减少的趋势；奇偶性描述了函数图像关于原点或y轴的对称性；周期性描述了函数值在一定区间内重复出现的特性；连续性则描述了函数图像没有断点的性质。
在高中数学中，我们还会学习到不同类型的函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
每种函数都有其独特的性质和图像，掌握这些函数的性质对于解决实际问题至关重要。
此外，函数的应用也非常广泛，它在物理、工程、经济、计算机科学等领域都有重要的应用。
例如，在物理学中，速度和加速度是位移的函数；在经济学中，需求和供给是价格的函数。
通过学习函数，我们不仅能够理解数学概念，还能够培养逻辑推理和抽象思维的能力。
在后续的学习中，我们将进一步探讨函数的图像、函数的运算以及函数在实际问题中的应用。
希望同学们能够积极参与到学习中来，通过不断的练习和思考，提高自己的数学素养。
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思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位
置不同时, 这一角的大小是否改变?
b b′
a′ ″
O
BACK
NEXT
(4)理论支持 ㈠：我们知道,在同一平面内, 如果两条直线都和第三条直线平行, 那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢? 观察 : 将一张纸如图进行折叠 , 则各折痕及边 a, b, c, d, e, … 之间有何关系？
×）
(4)存在与两条异面直线都平行的第三直线对吗？（ × ） 无数） (5) 与两条异面直线都相交的直线有几条？（ 无数） (6) 与两条异面直线都垂直的直线有几条？（ (7) 与两条异面直线都垂直且相交的直线有几条？（唯一）
4.例题选讲
例1 下图正方体中 (1)哪些棱所在直线与BA1是异面 直线？ A1 (2).直线BA1和CC1的夹角是多 少? A (3).哪些棱所在的直线与AA1垂直? D B C D1 C1
异面直线的定义: 不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。 相交直线 空间两直线的位置关系 平行直线 异面直线 异面直线的画法 异面直线所成的角 用平面来衬托 平移，转化为相交直线所成的角
公理４： 在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行． 空间中，如果两个角的两边分别对应平行， 等角定理：
合作探究一
分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？
答：不一定它们可能异面，可能相交，也可能平行
b a
a
M
b
a
b
BACK
a与b是异面直线
a与b是相交直线
NEXT
a与b是平行直线
1.异面直线的定义:
不同在 任何 一个平面内的两条直线叫 做异面直线（skew lines）。
注1
两直线异面的判别一 : 两条直线 既不相交、又不平行. 两直线异面的判别二 : 两条直线不同在任何一个平面内.
(2)连接FH， ∵HD = EA，EA = FB ∴HD = FB
∥ ∥ ∥
H
E
O
G F
∴四边形BFHD为平行四边形，∴HF∥BD ∴∠HFO(或其补角)为异面直线 FO与BD所成的角
连接HA、AF， 则AH=HF=FA ∴ △AFH为等边△ o 依题意知O为AH中点 , ∴∠HFO=30 所以FO与BD所成的夹角是30o
a
b
c
d
e
a∥ b ∥ c ∥ d ∥ e ∥ …
做一做
BACK NEXT
观察 : 如图长方体ABCD-A1B1C1D1？中， AA1//BB1,AA1//DD1,那么BB1与DD1平行吗？
D1 A1 B1 C1
D A B
C
公理４：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．
———平行线的传递性
推广：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行．
A , B M a, M a , a
画画看
三、两相交平面的画法：
⑴先画两平面基本线 ⑵画两平面的交线 ⑶分别推三条线的平行线
⑷把被遮部分的线段画 成虚线或不画。其它为 实线。
α β
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
河南省舞阳县第二高级中学 耿林波
genglinpo@
那么这两个角相等或互补．
一作(找)二证三求
异面直线的求法:
作业
课本 P56：4,6
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多谢指导
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2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
相交直线 同在一个平面内 按平面基本性质分 不同在任何一个平面内: 异面直线 平行直线
有一个公共点: 按公共点个数分 无 公 共 点
相交直线 平行直线 异面直线
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Hale Waihona Puke NEXT2.异面直线的画法
说明: 画异面直线时 , 为了体现
b a
(1)
答:从图中可看出, ∠ADC=∠A1D1C1,
∠ADC +∠A1B1C1=180O
B
定理（等角定理）：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，
思考 : 这个角的大小与O点的位置有关吗 ? 即O点位置不同时, 这一角的大小
是否改变?
解答： 如图
答: 这个角的大小与O点的位置无关.
设a ′与 b ′相交所成的角为∠1, a ″与 b 所成的角为∠2 ,
∵ a′∥a , a″ ∥a∴ a′∥ a″ (公理4), 同理 b′∥b″, ∴ ∠1 = ∠2 (等角定理)
b
b′
a″ a
∠2
a′
O
∠1
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在求作异面直线所成的角时,O点 常选在其中的一条直线上 (如线段的端点,线段的中点等)
练一练
脑筋急转弯：
(1)若果两条平行线中的一条与某一条直线垂直，那么，另 一条直线是否也与这条直线垂直？（ √ ） (2) 垂直同一条直线的两条直线是否平行？（ × ） (3)与同一条直线所成的角相等，两直线平行吗？（
两边分别平行，那么这两个角相等或互补 ”．空间中这一结
论是否仍然成立呢？ 观察 :如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中, ∠ADC与∠A1D1C1 ,
∠ADC与∠A1B1C1两边分别对应平行,这两组角的大小
关系如何? D1 A1 D A 那么这两个角相等或互补．
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C1 B1 C
D A
B
C
(3)解决问题
思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题 异面直线所成角的定义: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点O作 直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角 (或夹角).
o o
异面直线所成的角的范围( 0 , 90 ]
B1
4.例题选讲
例2 下图长方体中 (1)说出以下各对线段的位置关系?
① EC ② BD ③BH
H E D A B F
G
和BH是 和FH是 和DC是
相交 平行 异面
直线 直线 直线
C
(2).与棱 A B 所在直线异面的棱共有 4 条?
分别是 ：CG、HD、GF、HE
思考: 1、 这个长方体的棱中共有多少对异面直线? 2、有没有两条棱是相互垂直的异面直线？
它们不共面的特点。常借
助一个或两个平面来衬托.
A
如图：
a
b
(3)
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a
b
(2)
合作探究二
如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体, 那么 AB ,
CD , EF , GH 这四条线段所在直线是异面直线的有
对?
答:共有 C G
3对
D A
C G
A D B
E F
B
H
H
E F
BACK
2 3 D 2 3
3 , AD = 2 3 , AE = 2
H G
F
C B
∴∠EGF（或其补角）为所求.
Rt△EFG中，求得∠EGF = 45 (2) ∵BF∥AE
o
A
∴∠FBG（或其补角）为所求,
Rt△BFG中，求得∠FBG = 60o
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想一想
这节课主要学 习了什么内容？
6.课堂小结
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D
C
A
B
求异面直线所成的角的步骤是:
一作(找)：作（或找）平行线
二证：证明所作的角为所求的异 面直线所成的角。
三求：在一恰当的三角形中求出
角
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5.课堂练习
如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB = 2 (1)求BC 和EG 所成的角是多少度? (2)求AE 和BG 所成的角是多少度? 解答： (1)∵GF∥BC 2 E
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3.异面直线所成的角
(1)复习回顾 在平面内,两条直线相交成四 个角, 其中不大于90度的角称为它 们的夹角, 用以刻画两直线的错开 程度, 如图. (2)问题提出 在空间,如图所示, 正方体 ABCD－EFGH中, 异面直线AB
O
H E F
G
与HF的错开程度可以怎样来刻
画呢?
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例3
如图，正方体ABCD-EFGH中,O为侧面ADHE的中心，求 (1)BE与CG所成的角？ (2)FO与BD所成的角？
解: (1)如图: ∵BF∥CG，∴∠EBF(或其补角)为异面直线 BE与CG所成的角，
o o 又 BEF中∠EBF =45 ， 所以BE与CG所成的角是45
复习与准备：平面内两条直线的位置关系
相交直线
平行直线
a o b
a b
平行直线 （无公共点）
相交直线 （有一个公共点）
D
B
A
两路相交
立交桥中, 两条路线AB, CD
BACK
异面 既不平行，又不相交
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C
立交桥
六角螺母
D C A B
异面
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在教室里您能找出类似位置关
系的两条直线吗？
复习巩固
一、用符号表示下列语句，并画出图形：
⑴点A在平面α内，点B在平面α外；
⑵直线L在平面α内，直线m不在平面内； ⑶平面α和β相交于直线L； ⑷直线L经过平面α外一点P和平面α内一 点 Q； ⑸直线L是平面α和β的交线，直线m在平面α 内，L 和m 相交于点P 。