2014北京高考数学理科带解析
2014年北京高考word版解析数学理答案
2014北京高考（理科）数学题解析1．集合{}{}2|2002A x x x =-==，．故{}02AB =，，选C ．2． A．y 在[)1-+∞，上为增函数，符合题意． B ．2(1)y x =-在(01)，上为减函数，不合题意． C ．2x y -=为()-∞+∞，上的减函数，不合题意． D ．0.5log (1)y x =+为(1)-+∞，上的减函数，不合题意． 故选A ．3． 参数方程1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩所表示的曲线为圆心在(12)-，，半径为1的圆．其对称中心为圆心(12)-，．逐个代入选项可知，(12)-，在直线2y x =-上，即选项B ． 4． 当m 输入的7m =，3n =时，判断框内的判断条件为5k <．故能进入循环的k 依次为7，6，5．顺次执行S S k =⋅，则有765210S =⋅⋅=， 故选C ． 5． D对于等比数列{}n a ，若1q >，则当10a <时有{}n a 为递减数列． 故“1q >”不能推出“{}n a 为递增数列”．若{}n a 为递增数列，则{}n a 有可能满足10a <且01q <<，推不出1q >． 综上，“1q >”为“{}n a 为递增数列”的既不充分也不必要条件，即选D ． 6． D若0k ≥，z y x =-没有最小值，不合题意．若0k <，则不等式组所表示的平面区域如图所示．由图可知，z y x =-在点20k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，处取最小值．故204k ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，解得12k =-，即选项D 正确．7． D （23S S =且13S S ≠）D ABC -在xOy 平面上的投影为ABC △，故12S =， 设D 在yOz 和zOx 平面上的投影分别为2D 和3D ，则D AB C -在yOz 和zOx 平面上的投影分别为2OCD △和3OAD △．∵(201D ，，(310D ，．故23S S =综上，选项D 正确． 8． B用ABC 分别表示优秀、及格和不及格。
2014年北京市高考理科数学试卷及答案解析(word版)
2014年北京高考数学（理科）试题一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则AB =( ).{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）.1A y x =+ 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.log (1)D y x =+3.曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ ）.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上.C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上4.当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）.7A .42B .210C .840D5.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ）.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（ ）.2A .2B - 1.2C 1.2D -7.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，(2D ，若1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的 面积，则（ ）（A ）123S S S == （B ）12S S =且 31S S ≠ （C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠8.有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不 低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样 的.问满足条件的最多有多少学生（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9.复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭________.10.已知向量a 、b 满足1a =，()2,1b =，且()0a b R λλ+=∈，则λ=________.11.设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________； 渐近线方程为________.12.若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大.13. 把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种. 14. 设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在区间]2,6[ππ上具有单调性，且 ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________.三．解答题（共6题，满分80分）15. （本小题13分）如图，在ABC ∆中，8,3==∠AB B π，点D 在BC 边上，且71cos ,2=∠=ADC CD （1）求BAD ∠sin（2）求AC BD ,的长16. （本小题13分）.李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过6.0的概率. （2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过6.0，一 场不超过6.0的概率.（3）记x 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明 在这比赛中的命中次数，比较)(X E 与x 的大小（只需写出结论）17.（本小题14分）如图，正方形AMDE 的边长为2，C B ,分别为MD AM ,的中点，在五棱锥ABCDE P -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PC PD ,分别交于点H G ,. （1）求证：FG AB //；（2）若⊥PA 底面ABCDE ，且PE AF ⊥，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并 求线段PH 的长.18.（本小题13分）已知函数()cos sin ,[0,]2f x x x x x π=-∈，（1）求证：()0f x ≤； （2）若sin xa b x<<在(0,)2π上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值.19.（本小题14分） 已知椭圆22:24C xy +=，（1）求椭圆C 的离心率. （2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论.20.（本小题13分）对于数对序列1122(,),(,),,(,)n n P a b a b a b ，记111()T P a b =+，112()max{(),}(2)k k k k T P b T P a a a k n -=++++≤≤，其中112max{(),}k k T P a a a -+++表示1()k T P -和12k a a a +++两个数中最大的数，（1）对于数对序列(2,5),(4,1)P P ，求12(),()T P T P 的值.（2）记m 为,,,a b c d 四个数中最小值，对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列(,),(,)P a b c d 和'(,),(,)P a b c d ，试分别对m a =和m d =的两种情况比较2()T P 和2(')T P 的大小.（3）在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使5()T P 最小，并写出5()T P 的值.（只需写出结论）.2014北京高考（理科）数学题解析1．集合{}{}2|2002A x x x =-==，．故{}02AB =，，选C ．2． A ．1y x =+[)1-+∞，上为增函数，符合题意． B ．2(1)y x =-在(01)，上为减函数，不合题意． C ．2x y -=为()-∞+∞，上的减函数，不合题意． D ．0.5log (1)y x =+为(1)-+∞，上的减函数，不合题意． 故选A ．3． 参数方程1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩所表示的曲线为圆心在(12)-，，半径为1的圆．其对称中心为圆心(12)-，．逐个代入选项可知，(12)-，在直线2y x =-上，即选项B ．4． 当m 输入的7m =，3n =时，判断框内的判断条件为5k <．故能进入循环的k 依次为7，6，5．顺次执行S S k =⋅，则有765210S =⋅⋅=，故选C ． 5．D对于等比数列{}n a ，若1q >，则当10a <时有{}n a 为递减数列． 故“1q >”不能推出“{}n a 为递增数列”．若{}n a 为递增数列，则{}n a 有可能满足10a <且01q <<，推不出1q >． 综上，“1q >”为“{}n a 为递增数列”的既不充分也不必要条件，即选D ． 6．D若0k ≥，z y x =-没有最小值，不合题意． 若0k <，则不等式组所表示的平面区域如图所示．由图可知，z y x =-在点20k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，处取最小值．故204k ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，解得12k =-，即选项D 正确．7．D （23S S =且13S S ≠）D ABC -在xOy 平面上的投影为ABC △，故12S =，设D 在yOz 和zOx 平面上的投影分别为2D 和3D ，则D ABC -在yOz 和zOx 平面上的投影分别为2OCD △和3OAD △．∵(2012D ，，，(3102D ，，．D 1O D 3D 2DCB A zyx +y -2=0-2kkx -y +2=022O y x故232S S == 综上，选项D 正确． 8．B用ABC 分别表示优秀、及格和不及格。
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(北京卷)理
2014年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学(理科)第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.(2014北京,理1)已知集合A={x|x 2-2x=0},B={0,1,2},则A ∩B=( ). A .{0} B .{0,1} C .{0,2} D .{0,1,2}答案:C解析:解x 2-2x=0,得x=0,x=2,故A={0,2},所以A ∩B={0,2},故选C . 2.(2014北京,理2)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( ). A .y=√x +1 B .y=(x-1)2C .y=2-xD .y=log 0.5(x+1)答案:A解析:A 项,y=√x +1为(-1,+∞)上的增函数,故在(0,+∞)上递增;B 项,y=(x-1)2在(-∞,1)上递减,在(1,+∞)上递增;C 项,y=2-x =(12)x 为R 上的减函数; D 项,y=log 0.5(x+1)为(-1,+∞)上的减函数. 故选A .3.(2014北京,理3)曲线{x =-1+cosθ,y =2+sinθ(θ为参数)的对称中心( ).A .在直线y=2x 上B .在直线y=-2x 上C .在直线y=x-1上D .在直线y=x+1上答案:B 解析:由已知得{cosθ=x +1,sinθ=y -2,消参得(x+1)2+(y-2)2=1.所以其对称中心为(-1,2).显然该点在直线y=-2x 上.故选B .4.(2014北京,理4)当m=7,n=3时,执行如图所示的程序框图,输出的S 值为( ). A .7 B .42 C .210 D .840 答案:C解析:开始:m=7,n=3.计算:k=7,S=1.第一次循环,此时m-n+1=7-3+1=5,显然k<5不成立,所以S=1×7=7,k=7-1=6. 第二次循环,6<5不成立,所以S=7×6=42,k=6-1=5. 第三次循环,5<5不成立,所以S=42×5=210,k=5-1=4. 显然4<5成立,输出S 的值,即输出210,故选C .5.(2014北京,理5)设{a n }是公比为q 的等比数列,则“q>1”是“{a n }为递增数列”的( ).A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:D解析:等比数列{a n}为递增数列的充要条件为{a1>0,q>1或{a1<0,0<q<1.故“q>1”是“{a n}为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选D.6.(2014北京,理6)若x,y满足{x+y-2≥0,kx-y+2≥0,y≥0,且z=y-x的最小值为-4,则k的值为().A.2B.-2C.12D.-12答案:D 解析:如图,作出{x+y-2≥0,y≥0所表示的平面区域,作出目标函数取得最小值-4时对应的直线y-x=-4,即x-y-4=0.显然z的几何意义为目标函数对应直线x-y+z=0在x轴上的截距的相反数,故该直线与x轴的交点(4,0)必为可行域的顶点,又kx-y+2=0恒过点(0,2),故k=2-00-4=-12.故选D.7.(2014北京,理7)在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,√2).若S1,S2,S3分别是三棱锥D-ABC 在xOy,yOz,zOx坐标平面上的正投影图形的面积,则().A.S1=S2=S3B.S2=S1且S2≠S3C.S3=S1且S3≠S2D.S3=S2且S3≠S1答案:D解析:三棱锥的各顶点在xOy坐标平面上的正投影分别为A1(2,0,0),B1(2,2,0),C1(0,2,0),D1(1,1,0).显然D1点为A1C1的中点,如图(1),正投影为Rt△A1B1C1,其面积S1=12×2×2=2.三棱锥的各顶点在yOz坐标平面上的正投影分别为A2(0,0,0),B2(0,2,0),C2(0,2,0),D2(0,1,√2).显然B2,C2重合,如图(2),正投影为△A2B2D2,其面积S2=12×2×√2=√2.三棱锥的各顶点在zOx坐标平面上的正投影分别为A3(2,0,0),B3(2,0,0),C3(0,0,0),D3(1,0,√2),由图(3)可知,正投影为△A3D3C3,其面积S3=12×2×√2=√2.综上,S2=S3,S3≠S1.故选D.图(1)图(2)图(3)8.(2014北京,理8)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有( ). A .2人 B .3人 C .4人 D .5人 答案:B解析:用A,B,C 分别表示优秀、及格和不及格.显然,语文成绩得A 的学生最多只有一人,语文成绩得B 的也最多只有1人,得C 的也最多只有1人,所以这组学生的成绩为(AC),(BB),(CA)满足条件,故学生最多为3人.第二部分(非选择题共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分. 9.(2014北京,理9)复数(1+i 1-i)2= .答案:-1 解析:1+i1-i=(1+i )2(1-i )(1+i )=2i 2=i,所以(1+i 1-i)2=i 2=-1. 10.(2014北京,理10)已知向量a ,b 满足|a |=1,b =(2,1),且λa +b =0(λ∈R ),则|λ|= . 答案:√5解析:|b |=√22+12=√5,由λa +b =0,得b =-λa ,故|b |=|-λa |=|λ||a |,所以|λ|=|b ||a |=√51=√5.11.(2014北京,理11)设双曲线C 经过点(2,2),且与y 24-x 2=1具有相同渐近线,则C 的方程为 ;渐近线方程为 .答案:x 23−y 212=1 y=±2x 解析:双曲线y 24-x 2=1的渐近线方程为y=±2x.设与双曲线y 24-x 2=1有共同渐近线的方程为y 24-x 2=λ,又(2,2)在双曲线上,故224-22=λ,解得λ=-3.故所求双曲线方程为y 24-x 2=-3,即x 23−y 212=1.所求双曲线的渐近线方程为y=±2x.12.(2014北京,理12)若等差数列{a n }满足a 7+a 8+a 9>0,a 7+a 10<0,则当n= 时,{a n }的前n 项和最大. 答案:8解析:由等差数列的性质可得a 7+a 8+a 9=3a 8>0,即a 8>0;而a 7+a 10=a 8+a 9<0,故a 9<0.所以数列{a n }的前8项和最大.13.(2014北京,理13)把5件不同产品摆成一排.若产品A 与产品B 相邻,且产品A 与产品C 不相邻,则不同的摆法有 种. 答案:36解析:产品A,B 相邻时,不同的摆法有A 22A 44=48种.而A,B 相邻,A,C 也相邻时的摆法为A 在中间,C,B 在A 的两侧,不同的摆法共有A 22A 33=12(种).故产品A 与产品B 相邻,且产品A 与产品C 不相邻的不同摆法有48-12=36(种).14.(2014北京,理14)设函数f (x )=A sin(ωx+φ)(A ,ω,φ是常数,A>0,ω>0).若f (x )在区间[π6,π2]上具有单调性,且f (π2)=f (2π3)=-f (π6),则f (x )的最小正周期为 . 答案:π解析:由f (x )在区间[π6,π2]上具有单调性,且f (π2)=-f (π6)知,f (x )有对称中心(π3,0),由f (π2)=f (23π)知f (x )有对称轴x=12(π2+23π)=712π.记f (x )的最小正周期为T ,则12T ≥π2−π6,即T ≥23π.故712π-π3=π4=T 4,解得T=π.三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题13分)(2014北京,理15)如图,在△ABC 中,∠B=π3,AB=8,点D 在BC 边上,且CD=2,cos ∠ADC=17.(1)求sin ∠BAD ;(2)求BD,AC的长.分析:(1)先利用三角形中角之间的关系可得∠BAD=∠ADC-∠B,然后即可利用两角差的正弦公式求解;(2)在△ABD中,根据正弦定理,结合(1)即可求得BD,然后在△ABC中,直接利用余弦定理求AC即可.解:(1)在△ADC中,因为cos∠ADC=17,所以sin∠ADC=4√37.所以sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B)=sin∠ADC cos B-cos∠ADC sin B=4√37×12−17×√32=3√314.(2)在△ABD中,由正弦定理得BD=AB·sin∠BADsin∠ADB =8×3√3144√37=3.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B=82+52-2×8×5×12=49.所以AC=7.16.(本小题13分)(2014):(1)从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率;(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率;(3)记x为表中10个命中次数的平均数.从上述比赛中随机选择一场,记X为李明在这场比赛中的命中次数.比较EX与x 的大小.(只需写出结论)分析:(1)先根据统计表格求出投篮命中率,确定投篮命中率超过0.6的场数,然后除以总场数10即可得所求;(2)先根据统计表格分别求出主场、客场的投篮命中率超过0.6的概率,然后根据主场、客场将所求事件分为两个互斥事件,即可利用相互独立事件同时成立的概率求解;(3)根据数学期望的计算公式即可得到EX与x的大小关系.解:(1)根据投篮统计数据,在10场比赛中,李明投篮命中率超过0.6的场次有5场,分别是主场2,主场3,主场5,客场2,客场4.所以在随机选择的一场比赛中,李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(2)设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”,事件B为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”,事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6”,则C=A B∪A B,A,B独立.根据投篮统计数据,P(A)=35,P(B)=25.P(C)=P(A B)+P(A B)=35×35+25×25=1325.所以,在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率为1325.(3)EX=x.17.(本小题14分)(2014北京,理17)如图,正方形AMDE的边长为2,B,C分别为AM,MD的中点.在五棱锥P-ABCDE中,F为棱PE的中点,平面ABF与棱PD,PC分别交于点G,H.(1)求证:AB∥FG;(2)若PA⊥底面ABCDE,且PA=AE,求直线BC与平面ABF所成角的大小,并求线段PH的长.分析:(1)首先利用AM∥ED得到AB∥平面PDE,然后利用直线和平面平行的性质定理证明结论;(2)首先根据几何体的结构特征建立空间直角坐标系,求出相关点的坐标,然后求出直线BC的方向向量和平面ABF的法向量,利用这两个向量的夹角表示所求,再根据H 在PC 上,设出H 的坐标,然后利用平面ABF 的法向量与AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直确定参数取值,进而求出H 点的坐标,最后利用坐标公式求得线段长度.(1)证明:在正方形AMDE 中,因为B 是AM 的中点,所以AB ∥DE.又因为AB ⊄平面PDE ,所以AB ∥平面PDE. 因为AB ⊂平面ABF ,且平面ABF ∩平面PDE=FG , 所以AB ∥FG.(2)解:因为PA ⊥底面ABCDE ,所以PA ⊥AB ,PA ⊥AE.如图建立空间直角坐标系A-xyz ,则A (0,0,0),B (1,0,0),C (2,1,0),P (0,0,2),F (0,1,1),BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0). 设平面ABF 的法向量为n =(x ,y ,z ),则{n ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{x =0,y +z =0.令z=1,则y=-1.所以n =(0,-1,1). 设直线BC 与平面ABF 所成角为α,则 sin α=|cos <n ,BC⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ·BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ||BC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||=12.因此直线BC 与平面ABF 所成角的大小为π6. 设点H 的坐标为(u ,v ,w ).因为点H 在棱PC 上,所以可设PH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ<1), 即(u ,v ,w-2)=λ(2,1,-2), 所以u=2λ,v=λ,w=2-2λ.因为n 是平面ABF 的法向量,所以n ·AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即(0,-1,1)·(2λ,λ,2-2λ)=0,解得λ=23, 所以点H 的坐标为(43,23,23).所以PH=√(43)2+(23)2+(-43)2=2.18.(本小题13分)(2014北京,理18)已知函数f (x )=x cos x-sin x ,x ∈[0,π2]. (1)求证:f (x )≤0; (2)若a<sinxx<b 对x ∈(0,π2)恒成立,求a 的最大值与b 的最小值.分析:(1)先求出导函数f'(x ),利用导函数在(0,π2)上的符号判断f (x )在[0,π2]上的单调性,并求出其最大值,即可证得结论;(2)根据x>0,将不等式转化为整式不等式,进而转化为g (x )=sin x-cx (x ∈(0,π2))与0的大小关系,注意对参数c 的取值要分c ≤0,c ≥1和0<c<1三种情况进行分类讨论,然后利用边界值求出a 的最大值与b 的最小值. (1)证明:由f (x )=x cos x-sin x 得f'(x )=cos x-x sin x-cos x=-x sin x. 因为在区间(0,π2)上f'(x )=-x sin x<0, 所以f (x )在区间[0,π2]上单调递减. 从而f (x )≤f (0)=0. (2)解:当x>0时,“sinx x >a”等价于“sin x-ax>0”;“sinxx<b”等价于“sin x-bx<0”. 令g (x )=sin x-cx ,则g'(x )=cos x-c.当c ≤0时,g (x )>0对任意x ∈(0,π2)恒成立. 当c ≥1时,因为对任意x ∈(0,π2),g'(x )=cos x-c<0, 所以g (x )在区间[0,π2]上单调递减. 从而g (x )<g (0)=0对任意x ∈(0,π2)恒成立.当0<c<1时,存在唯一的x 0∈(0,π2)使得g'(x 0)=cos x 0-c=0. g (x )与g'(x )在区间(0,π2)上的情况如下:因为g (x )在区间[0,x 0]上是增函数, 所以g (x 0)>g (0)=0.进一步,“g (x )>0对任意x ∈(0,π2)恒成立”当且仅当g (π2)=1-π2c ≥0,即0<c ≤2π.综上所述,当且仅当c ≤2π时,g (x )>0对任意x ∈(0,π2)恒成立;当且仅当c ≥1时,g (x )<0对任意x ∈(0,π2)恒成立. 所以,若a<sinxx<b 对任意x ∈(0,π2)恒成立,则a 的最大值为2π,b 的最小值为1.19.(本小题14分)(2014北京,理19)已知椭圆C :x 2+2y 2=4.(1)求椭圆C 的离心率;(2)设O 为原点,若点A 在椭圆C 上,点B 在直线y=2上,且OA ⊥OB ,试判断直线AB 与圆x 2+y 2=2的位置关系,并证明你的结论.分析:(1)先把方程化为标准方程,分别求出a ,c ,即可求得离心率e ;(2)分别设出A ,B 两点的坐标,先利用OA ⊥OB 求出两点坐标之间的关系,然后根据A ,B 两点横坐标是否相等分类,分别求出原点O 到直线AB 的距离,将其与圆的半径√2进行比较,即可判断直线与圆的位置关系. 解:(1)由题意,椭圆C 的标准方程为x 24+y 22=1. 所以a 2=4,b 2=2,从而c 2=a 2-b 2=2.因此a=2,c=√2. 故椭圆C 的离心率e=c a=√22.(2)直线AB 与圆x 2+y 2=2相切.证明如下:设点A ,B 的坐标分别为(x 0,y 0),(t ,2),其中x 0≠0.因为OA ⊥OB ,所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即tx 0+2y 0=0,解得t=-2y0x 0. 当x 0=t 时,y 0=-t 22,代入椭圆C 的方程,得t=±√2,故直线AB 的方程为x=±√2,圆心O 到直线AB 的距离d=√2,此时直线AB 与圆x 2+y 2=2相切. 当x 0≠t 时,直线AB 的方程为y-2=y 0-2x 0-t(x-t ), 即(y 0-2)x-(x 0-t )y+2x 0-ty 0=0. 圆心O 到直线AB 的距离d=00√(y 0-2)+(x 0-t ).又x 02+2y 02=4,t=-2y 0x 0, 故d=|2x 0+2y 02x |√x 02+y 02+02x 02+4=|4+x 02x |√04022x 02=√2.此时直线AB 与圆x 2+y 2=2相切.20.(本小题13分)(2014北京,理20)对于数对序列P :(a 1,b 1),(a 2,b 2),…,(a n ,b n ),记T 1(P )=a 1+b 1,T k (P )=b k +max{T k-1(P ),a 1+a 2+…+a k }(2≤k ≤n ),其中max{T k-1(P ),a 1+a 2+…+a k }表示T k-1(P )和a 1+a 2+…+a k 两个数中最大的数.(1)对于数对序列P :(2,5),(4,1),求T 1(P ),T 2(P )的值;(2)记m 为a ,b ,c ,d 四个数中最小的数,对于由两个数对(a ,b ),(c ,d )组成的数对序列P :(a ,b ),(c ,d )和P':(c ,d ),(a ,b ),试分别对m=a 和m=d 两种情况比较T 2(P )和T 2(P')的大小;(3)在由五个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中,写出一个数对序列P 使T 5(P )最小,并写出T 5(P )的值.(只需写出结论)分析:(1)直接根据定义式即可求出T 1(P )和T 2(P )的值;(2)先根据定义式分别写出T 2(P )和T 2(P'),然后根据a ,b ,c ,d 中最小数的不同比较对应两个代数式的大小,即可求得T 2(P )和T 2(P')的大小关系;(3)先比较已知数据大小,然后根据定义式写出使T 5(P )最小的数对序列,依次求出T 1(P ),T 2(P ),T 3(P ),T 4(P ),T 5(P )即可. 解:(1)T 1(P )=2+5=7,T2(P)=1+max{T1(P),2+4}=1+max{7,6}=8.(2)T2(P)=max{a+b+d,a+c+d},T2(P')=max{c+d+b,c+a+b}.当m=a时,T2(P')=max{c+d+b,c+a+b}=c+d+b.因为a+b+d≤c+b+d,且a+c+d≤c+b+d,所以T2(P)≤T2(P').当m=d时,T2(P')=max{c+d+b,c+a+b}=c+a+b.因为a+b+d≤c+a+b,且a+c+d≤c+a+b,所以T2(P)≤T2(P').所以无论m=a还是m=d,T2(P)≤T2(P')都成立.(3)数对序列P:(4,6),(11,11),(16,11),(11,8),(5,2)的T5(P)值最小, T1(P)=10,T2(P)=26,T3(P)=42,T4(P)=50,T5(P)=52.。
2014年高考理科数学北京试卷真题(带WORD答案)
数学（理科）（北京卷）参考答案一、 选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．C 2．A 3．B 4．C5．D6．D7．D 8．B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．1-1011．221312x y -=；2y x =±12．8 13．3614．π三、解答题（共6小题，共80分）15．（共13分） 【解析】 （1）sin 7ADC ∠==sin sin()sin cos cos sin 11727214BAD ADC B ADC B ADC B∴∠=∠-∠=∠⋅∠-∠⋅∠=-⨯=（2）在ABD ∆中，sin sin sin AB AD BD ADB B BAD ==∠∠∠==解得：3,7BD AD == 在ACD ∆中，222222cos 172272497AC AD DC AD DC ADC=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=7AC ∴=16．（共13分）解：（1）设李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率为事件A ， 由题可知，李明在该场比赛中命中率超过0.6的场次有： 主场2、主场3、主场5、客场2、客场4，共计5场 所以李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率()51102P A ==． （2）设李明一场投篮命中率超过0.6，一场命中率不超过0.6的概率为事件B ，同理可知，李明主场命中率超过0.6的概率135P =，客场命中率超过0.6的概率225P =故()()()122133221311=+=555525P B P P P P =⨯-+⨯-⨯⨯． （3）()E X x =．17．（共14分） 【解析】 （1） 证明：//,,ED AM ED AM PED PED ⊄⊂面面//AM PED ∴面,AM ABF AB ABF ⊂⊂面即面ABF PED FG =面面Ç//AB FG ∴（2） 如图建立空间坐标系A xyz -，各点坐标如下：(0,0,0),E (0,2,0),B (,1),P (0,0,2)A 设ABF 面的法向量为000(,,z )n x y =，(1,0,0)AB =,(0,1,1),AF =n AB n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x y z =⎧⎨+=⎩，令1y =得：(0,1,1)n =- 又(1,1,0)BC =，1sin ,2BC n ∴<>==直线BC 与平面ABF 所成角为6π 设111(,,z )H x y ,由,PH tPC =则111(,,z 2)t(2,1,2)x y -=-(21,,22)H t t t ∴--又,(21,,22)H ABF BH t t t ∈=--面0n BH ∴⋅=,2220,3t t t ∴+-=∴=，422(,,)333H ∴，424,,333PH ⎛⎫= ⎪⎝⎭|PH|=2∴18．（共13分）解：（1）证明：()()'cos sin cos sin ,f x x x x x x x =+--=-∵π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()'0f x …，即()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()00f =，所以()0f x …． （2）一方面令()sin x g x x =，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()2cos sin 'x x xg x x ⋅-=，由（1）可知，()'0g x <，故()g x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，从而()π22πg x g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，故2πa …，所以m a x 2πa =． 令()sin h x x bx =-，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()'cos h x x b =-，当1b …时，()'0h x <，故()h x 在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，从而()()00h x h <=， 所以()s i n 0h x x bx =-<恒成立．当1b <时，()'cos 0h x x b =-=在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭有唯一解0x ，且()00,x x ∈，()'0h x >，故()h x 在()00,x 上单调递增，从而()()00h x h >=， 即sin sin 0sin xx bx x bx b x->⇒>⇒>与sin x b x <恒成立矛盾， 综上，1b …，故min 1b =．19．（共14分）（1）椭圆的标准方程为：22142x y +=，故2,a b =，则c =故离心率e c a ==；（2）由题可得，直线OA 的斜率存在，设为k ，则直线OA 的方程为y k x =，OA OB ⊥,○1当0k =时，()2,0A ±，已知()0,2B ，此时直线AB 方程为20x y +-=或+2=0x y -，原点到直线AB 的距离均为故满足直线AB 与圆222x y +=相切； ○2当0k ≠时，直线OB 方程为1y x k=-， 联立22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得，()221+24k x =，故A ⎛⎫或,⎛⎫， 联立12y x k y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得，()2,2B k -，由A 的对称性，那么不妨去点,A ⎛⎫进行计算，于是直线AB 方程为))2222y x k x k k-=+++，((21+220k x y k -++=原点到直线AB 的距离d =，此时与圆222x y +=相切；综上所述，直线AB 与圆222x y +=相切．20．（共13分）解：（1）()1257T P =+=，()(){}{}211max ,241max 7,6178T P T P =++=+=+=；（2）当m a =时，()1T P a b =+，(){}{}2,+max +max ,a c T P d a b a d b c =++=+； ()1'+T P c d =，(){}{}2'max ,max ,T P b c d c a b c a d b c d =+++=++=++；因为a 是a b c d 、、、中最小的数，所以{}max ,a b c b c ++…，从而()()22'T P T P …；当m d =时，()1T P a b =+，(){}{}2,+max +max ,a c T P d a b a d b c =++=+； (){}{}2'max ,max ,T P b c d c a b c a d a b c =+++=++=++；因为d 是a b c d 、、、中最小的数，所以{}max ,d b c b c ++…，从而()()22'T P T P …； 综上，这两种情况下都有()()22'T P T P …．（3）52．分布为：(4,6)(16,11)(11,11)(11,8)(5,2)。
(北京市)2014年高考真题数学(理)试题(WORD高清精校版)
数学（理）（北京卷） 第 1 页（共 11 页）2014年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合2{20}A x x x =-=，{0,1,2}B =，则AB =（A ）{0} （B ）{0,1} （C ）{0,2}（D ）{0,1,2}（2）下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（A）y （B ）2(1)y x =- （C ）2x y -=（D ）0.5log (1)y x =+（3）曲线1cos ,2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（A ）在直线2y x =上 （B ）在直线2y x =-上 （C ）在直线1y x =-上 （D ）在直线1y x =+上（4）当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 （A ）7 （B ）42 （C ）210 （D ）840（5）设{}n a 是公比为q 的等比数列．则“1q >”是“{}n a数学（理）（北京卷） 第 2 页（共 11 页）为递增数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（6）若,x y 满足20,20,0,x y k x y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≥ 且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为（A ）2 （B ）2-（C ）12（D ）12-（7）在空间直角坐标系Oxyz 中，已知(2,0,0)A ,(2,2,0)B ,(0,2,0)C,(1,1,D ．若1S ,2S ,3S 分别是三棱锥D ABC –在,,xOy yOz zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则 （A ）123S S S == （B ）21S S =且23S S ≠ （C ）31S S =且32S S ≠（D ）32S S =且31S S ≠（8）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有 （A ）2人 （B ）3人 （C ）4人（D ）5人数学（理）（北京卷） 第 3 页（共 11 页）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2014年高考真题(北京卷)数学(理科) 答案解析版
.
【答案】 5
【解析】|b|= 22 + 12 =
5,由λa+b=0,得 b=-λa,故|b|=|-λa|=|λ||a|,所以|λ|=||
| |
=
5 1
=
5.
2
11.(2014 北京,理 11)设双曲线 C 经过点(2,2),且与 4 -x2=1 具有相同渐近线,则 C 的方程为
程为
.
2
2
【答案】
3
( ).
A.2 人
B.3 人
C.4 人
D.5 人
【答案】B
【解析】用 A,B,C 分别表示优秀、及格和不及格.
显然,语文成绩得 A 的学生最多只有一人,
语文成绩得 B 的也最多只有 1 人,得 C 的也最多只有 1 人,
所以这组学生的成绩为(AC),(BB),(CA)满足条件,故学生最多为 3 人.
场 2,客场 4.
所以在随机选择的一场比赛中,李明的投篮命中率超过 0.6 的概率是 0.5.
(2)设事件 A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6”,事件 B 为“在随机选择的一场
客场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6”,事件 C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一
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第二部分(非选择题 共 110 分)
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
9.(2014 北京,理 9)复数
1+i 1-i
2
=
.
【答案】-1
【解析】1+i
1-i
=
(1+i)2 (1-i)(1+i)
=
22i=i,所以
2014年高考理科数学北京卷(含详细答案)
.
设平面ABF的法向量为 ，则 ，即 .
令 ，则 .所以 ，设直线BC与平面ABF所成角为 ，
则 .
设点H的坐标为
因为点H在棱PC上，所以可设 ，即 ，
所以 .
因为 是平面ABF的法向量，所以 ，即 .
解得 ，所以点H的坐标为ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
所以 .
【提示】由线面平行推出线线平行，利用线面垂直、线线垂直这个条件，作出有关辅助线，建立空间直角坐标系求解.
圆心 到直线AB的距离 .此时直线AB与圆 相切.
当 时，直线AB的方程为 ，即 ，
圆心 到直线AB的距离 .
又 ， ，故 ，
此时直线AB与圆 相切.
【提示】根据给出的椭圆方程找出离心率，然后利用椭圆方程与直线的关系及两线垂直，求出直线与圆的位置关系.
【考点】圆与圆锥曲线的综合，椭圆的简单性质
20.【答案】（1）
A.2人
B.3人
C.4人
D.5人
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题：本大题共6小题,每小题5分.共30分,把答案填写在题中的横线上.
9.复数 .
10.已知向量a,b满足 a ,b ,且 a b 0 ,则 .
11.设双曲线 经过点 ,且与 具有相同渐近线,则 的方程为；渐近线方程为.
12.若等差数列 满足 , ,则当 时, 的前 项和最大.
【提示】由循环语句、条件语句执行程序，直至结束.
【考点】循环结构
5.【答案】D
【解析】当 时，数列 递减；当 ，数列 递增时， ，故选D.
【提示】根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.
【考点】充分、必要条件，等比数列的性质
(完整版)2014年北京市高考数学试卷(理科)答案与解析
2014年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）（2014•北京）已知集合A={x|x2﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{0} B．{0，1} C．{0，2} D．{0，1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：解出集合A，再由交的定义求出两集合的交集．解答：解：∵A={x|x2﹣2x=0}={0，2}，B={0，1，2}，∴A∩B={0，2}故选C点评：本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．2．（5分）（2014•北京）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=B．y=（x﹣1）2C．y=2﹣x D．y=log0.5（x+1）考点：对数函数的单调性与特殊点．专题：函数的性质及应用．分析：根据基本初等函数的单调性，判断各个选项中函数的单调性，从而得出结论．解答：解：由于函数y=在（﹣1，+∞）上是增函数，故满足条件，由于函数y=（x﹣1）2在（0，1）上是减函数，故不满足条件，由于函数y=2﹣x在（0，+∞）上是减函数，故不满足条件，由于函数y=log0.5（x+1）在（﹣1，+∞）上是减函数，故不满足条件，故选：A．点评：本题主要考查函数的单调性的定义和判断，基本初等函数的单调性，属于基础题．3．（5分）（2014•北京）曲线（θ为参数）的对称中心（）A．在直线y=2x上B．在直线y=﹣2x上C．在直线y=x﹣1上D．在直线y=x+1上考点：圆的参数方程．专题：选作题；坐标系和参数方程．分析：曲线（θ为参数）表示圆，对称中心为圆心，可得结论．解答：解：曲线（θ为参数）表示圆，圆心为（﹣1，2），在直线y=﹣2x上，点评：本题考查圆的参数方程，考查圆的对称性，属于基础题．4．（5分）（2014•北京）当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）A．7B．42 C．210 D．840考点：循环结构．专题：计算题；算法和程序框图．分析：算法的功能是求S=7×6×…×k的值，根据条件确定跳出循环的k值，计算输出S的值．解答：解：由程序框图知：算法的功能是求S=7×6×…×k的值，当m=7，n=3时，m﹣n+1=7﹣3+1=5，∴跳出循环的k值为4，∴输出S=7×6×5=210．故选：C．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．5．（5分）（2014•北京）设{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a n}”为递增数列的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；等比数列．专题：等差数列与等比数列；简易逻辑．分析：根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．解答：解：等比数列﹣1，﹣2，﹣4，…，满足公比q=2＞1，但“{a n}”不是递增数列，充分性不成立．若a n=﹣1为递增数列，但q=＞1不成立，即必要性不成立，故“q＞1”是“{a n}”为递增数列的既不充分也不必要条件，点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的关键．6．（5分）（2014•北京）若x，y满足且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（）A．2B．﹣2 C．D．﹣考点：简单线性规划．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，当k≥0时，可行域内没有使目标函数z=y﹣x取得最小值的最优解，k＜0时，若直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的左边，z=y﹣x的最小值为﹣2，不合题意，由此结合约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解答：解：对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，可知直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的右边，故由约束条件作出可行域如图，由kx﹣y+2=0，得x=，∴B（﹣）．由z=y﹣x得y=x+z．由图可知，当直线y=x+z过B（﹣）时直线在y轴上的截距最小，即z最小．此时，解得：k=﹣．故选：D．点评：本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．7．（5分）（2014•北京）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C （0，2，0），D（1，1，），若S1，S2，S3分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（）A．S1=S2=S3B．S2=S1且S2≠S3C．S3=S1且S3≠S2D．S3=S2且S3≠S1考点：空间直角坐标系．专题：空间向量及应用．分析：分别求出三棱锥在各个面上的投影坐标即可得到结论．解答：解：设A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，），则各个面上的射影分别为A'，B'，C'，D'，在xOy坐标平面上的正投影A'（2，0，0），B'（2，2，0），C'（0，2，0），D'（1，1，0），S1=．在yOz坐标平面上的正投影A'（0，0，0），B'（0，2，0），C'（0，2，0），D'（0，1，），S2=.在zOx坐标平面上的正投影A'（2，0，0），B'（2，0，0），C'（0，0，0），D'（1，0，），S3=，则S3=S2且S3≠S1，故选：D．点评：本题主要考查空间坐标系的应用，求出点对于的投影坐标是解决本题的关键．8．（5分）（2014•北京）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有（）A．2人B．3人C．4人D．5人考点：进行简单的合情推理．专题：推理和证明．分析：分别用ABC分别表示优秀、及格和不及格，根据题干中的内容推出文成绩得A，B，C的学生各最多只有1个，继而推得学生的人数．解答：解：用ABC分别表示优秀、及格和不及格，显然语文成绩得A的学生最多只有1个，语文成绩得B得也最多只有一个，得C最多只有一个，因此学生最多只有3人，显然（AC）（BB）（CA）满足条件，故学生最多有3个．故选：B．点评：本题主要考查了合情推理，关键是找到语句中的关键词，培养了推理论证的能力．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）（2014•北京）复数（）2=﹣1．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由复数代数形式的除法运算化简括号内部，然后由虚数单位i的运算性质得答案．解答：解：（）2=．故答案为：﹣1．点评：本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题．10．（5分）（2014•北京）已知向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），则|λ|=．考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：平面向量及应用．分析：设=（x，y）．由于向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），可得，解出即可．解答：解：设=（x，y）．∵向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），∴=λ（x，y）+（2，1）=（λx+2，λy+1），∴，化为λ2=5．解得．故答案为：．点评：本题考查了向量的坐标运算、向量的模的计算公式、零向量等基础知识与基本技能方法，属于基础题．11．（5分）（2014•北京）设双曲线C经过点（2，2），且与﹣x2=1具有相同渐近线，则C的方程为；渐近线方程为y=±2x．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线渐近线之间的关系，利用待定系数法即可得到结论．解答：解：与﹣x2=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为﹣x2=m，（m≠0），∵双曲线C经过点（2，2），∴m=，即双曲线方程为﹣x2=﹣3，即，对应的渐近线方程为y=±2x，故答案为：，y=±2x．点评：本题主要考查双曲线的性质，利用渐近线之间的关系，利用待定系数法是解决本题的关键，比较基础．12．（5分）（2014•北京）若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n=8时，{a n}的前n项和最大．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：可得等差数列{a n}的前8项为正数，从第9项开始为负数，进而可得结论．解答：解：由等差数列的性质可得a7+a8+a9=3a8＞0，∴a8＞0，又a7+a10=a8+a9＜0，∴a9＜0，∴等差数列{a n}的前8项为正数，从第9项开始为负数，∴等差数列{a n}的前8项和最大，故答案为：8．点评：本题考查等差数列的性质和单调性，属中档题．13．（5分）（2014•北京）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有36种．考点：排列、组合的实际应用；排列、组合及简单计数问题．专题：排列组合．分析：分3步进行分析：①用捆绑法分析A、B，②除去A、B相邻又满足A、C相邻的情况．解答：解：先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有种方法，而A、B可交换位置，所以有2=48种摆法，又当A、B相邻又满足A、C相邻，有2=12种摆法，故满足条件的摆法有48﹣12=36种．故答案为：36．点评：本题考查分步计数原理的应用，要优先分析受到限制的元素，如本题的A、B、C．14．（5分）（2014•北京）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）若f（x）在区间[，]上具有单调性，且f（）=f（）=﹣f（），则f（x）的最小正周期为π．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：由f（）=f（）求出函数的一条对称轴，结合f（x）在区间[，]上具有单调性，且f（）=﹣f（）可得函数的半周期，则周期可求．解答：解：由f（）=f（），可知函数f（x）的一条对称轴为x=，则x=离最近对称轴距离为．又f（）=﹣f（），则f（x）有对称中心（，0），由于f（x）在区间[，]上具有单调性，则≤T⇒T≥，从而=⇒T=π．故答案为：π．点评：本题考查f（x）=Asin（ωx+φ）型图象的形状，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力，是中档题．三、解答题（共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）15．（13分）（2014•北京）如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=．（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长．考点：余弦定理的应用．专题：解三角形．分析：根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论．解答：解：（1）在△ABC中，∵cos∠ADC=，∴sin∠ADC====，则sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）=sin∠ADC•cosB﹣cos∠ADC•sinB=×﹣=．（2）在△ABD中，由正弦定理得BD==，在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+CB2﹣2AB•BCcosB=82+52﹣2×8×=49，即AC=7．点评：本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大．16．（13分）（2014•北京）李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）；场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场1 22 12 客场1 18 8主场2 15 12 客场2 13 12主场3 12 8 客场3 21 7主场4 23 8 客场4 18 15主场5 24 20 客场5 25 12（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；（2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；（3）记是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX与的大小（只需写出结论）．考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：（1）根据概率公式，找到李明在该场比赛中超过0.6的场次，计算即可，（2）根据互斥事件的概率公式，计算即可．（3）求出平均数和EX，比较即可．解答：解：（1）设李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率为事件A，由题意知，李明在该场比赛中超过0.6的场次有：主场2，主场3，主场5，客场2，客场4，共计5场所以李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率P（A）=，（2）设李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为事件B，同理可知，李明主场命中率超过0.6的概率，客场命中率超过0.6的概率，故P（B）=P1×（1﹣P2）+P2×（1﹣P1）=；（3）=（12+8+12+12+8+7+8+15+20+12）=11.4EX=点评：本题主要考查了概率的计算、数学期望，平均数，互斥事件的概率，属于中档题．17．（14分）（2014•北京）如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P﹣ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H．（1）求证：AB∥FG；（2）若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．考点：直线与平面所成的角．专题：计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）运用线面平行的判定定理和性质定理即可证得；（2）由于PA⊥底面ABCDE，底面AMDE为正方形，建立如图的空间直角坐标系Axyz，分别求出A，B，C，E，P，F，及向量BC的坐标，设平面ABF的法向量为n=（x，y，z），求出一个值，设直线BC与平面ABF所成的角为α，运用sinα=|cos|，求出角α；设H（u，v，w），再设，用λ表示H的坐标，再由n=0，求出λ和H的坐标，再运用空间两点的距离公式求出PH的长．解答：（1）证明：在正方形AMDE中，∵B是AM的中点，∴AB∥DE，又∵AB⊄平面PDE，∴AB∥平面PDE，∵AB⊂平面ABF，且平面ABF∩平面PDE=FG，∴AB∥FG；（2）解：∵PA⊥底面ABCDE，∴PA⊥AB，PA⊥AE，如图建立空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（2，1，0），P（0，0，2），E（0，2，0），F（0，1，1），，设平面ABF的法向量为n=（x，y，z），则即，令z=1，则y=﹣1，∴n=（0，﹣1，1），设直线BC与平面ABF所成的角为α，则sinα=|cos|=||=，∴直线BC与平面ABF所成的角为，设H（u，v，w），∵H在棱PC上，∴可设，即（u，v，w﹣2）=λ（2，1，﹣2），∴u=2λ，v=λ，w=2﹣2λ，∵n是平面ABF的法向量，∴n=0，即（0，﹣1，1）•（2λ，λ，2﹣2λ）=0，解得λ=，∴H（），∴PH==2．点评：本题主要考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面平行、垂直的判定和性质，同时考查直线与平面所成的角的求法，考查运用空间直角坐标系求角和距离，是一道综合题．18．（13分）（2014•北京）已知函数f（x）=xcosx﹣sinx，x∈[0，]（1）求证：f（x）≤0；（2）若a＜＜b对x∈（0，）上恒成立，求a的最大值与b的最小值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，判定出在区间∈（0，）上f′（x）=﹣xsinx＜0，得f（x）在区间∈[0，]上单调递减，从而f（x）≤f（0）=0．（2）当x＞0时，“＞a”等价于“sinx﹣ax＞0”，“＜b”等价于“sinx﹣bx＜0”构造函数g（x）=sinx﹣cx，通过求函数的导数讨论参数c求出函数的最值，进一步求出a，b的最值．解答：解：（1）由f（x）=xcosx﹣sinx得f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，此在区间∈（0，）上f′（x）=﹣xsinx＜0，所以f（x）在区间∈[0，]上单调递减，从而f（x）≤f（0）=0．（2）当x＞0时，“＞a”等价于“sinx﹣ax＞0”，“＜b”等价于“sinx﹣bx＜0”令g（x）=sinx﹣cx，则g′（x）=cosx﹣c，当c≤0时，g（x）＞0对x∈（0，）上恒成立，当c≥1时，因为对任意x∈（0，），g′（x）=cosx﹣c＜0，所以g（x）在区间[0，]上单调递减，从而，g（x）＜g（0）=0对任意x∈（0，）恒成立，当0＜c＜1时，存在唯一的x0∈（0，）使得g′（x0）=cosx0﹣c=0，g（x）与g′（x）在区间（0，）上的情况如下：x （0，x0）x0（x0，）g′（x）+ ﹣g（x）↑↓因为g（x）在区间（0，x0）上是增函数，所以g（x0）＞g（0）=0进一步g（x）＞0对任意x∈（0，）恒成立，当且仅当综上所述当且仅当时，g（x）＞0对任意x∈（0，）恒成立，当且仅当c≥1时，g（x）＜0对任意x∈（0，）恒成立，所以若a＜＜b对x∈（0，）上恒成立，则a的最大值为，b的最小值为1 点评：本题考查利用导数求函数的单调区间；利用导数求函数的最值；考查解决不等式问题常通过构造函数解决函数的最值问题，属于一道综合题．19．（14分）（2014•北京）已知椭圆C：x2+2y2=4，（1）求椭圆C的离心率（2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论．考点：圆与圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）化椭圆方程为标准式，求出半长轴和短半轴，结合隐含条件求出半焦距，则椭圆的离心率可求；（2）设出点A，B的坐标分别为（x0，y0），（t，2），其中x0≠0，由OA⊥OB得到，用坐标表示后把t用含有A点的坐标表示，然后分A，B的横坐标相等和不相等写出直线AB的方程，然后由圆x2+y2=2的圆心到AB的距离和圆的半径相等说明直线AB 与圆x2+y2=2相切．解答：解：（1）由x2+2y2=4，得椭圆C的标准方程为．∴a2=4，b2=2，从而c2=a2﹣b2=2．因此a=2，c=．故椭圆C的离心率e=；（2）直线AB与圆x2+y2=2相切．证明如下：设点A，B的坐标分别为（x0，y0），（t，2），其中x0≠0．∵OA⊥OB，∴，即tx0+2y0=0，解得．当x0=t时，，代入椭圆C的方程，得．故直线AB的方程为x=，圆心O到直线AB的距离d=．此时直线AB与圆x2+y2=2相切．当x0≠t时，直线AB的方程为，即（y0﹣2）x﹣（x0﹣t）y+2x0﹣ty0=0．圆心O到直线AB的距离d=．又，t=．故=．此时直线AB与圆x2+y2=2相切．点评：本题考查椭圆的简单几何性质，考查了圆与圆锥曲线的综合，训练了由圆心到直线的距离判断直线和圆的位置关系，体现了分类讨论的数学思想方法，考查了计算能力和逻辑思维能力，是压轴题．20．（13分）（2014•北京）对于数对序列P：（a1，b1），（a2，b2），…，（a n，b n），记T1（P）=a1+b1，T k（P）=b k+max{T k﹣1（P），a1+a2+…+a k}（2≤k≤n），其中max{T k﹣1（P），a1+a2+…+a k}表示T k﹣1（P）和a1+a2+…+a k两个数中最大的数，（Ⅰ）对于数对序列P：（2，5），（4，1），求T1（P），T2（P）的值；（Ⅱ）记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对（a，b），（c，d）组成的数对序列P：（a，b），（c，d）和P′：（c，d），（a，b），试分别对m=a和m=d两种情况比较T2（P）和T2（P′）的大小；（Ⅲ）在由五个数对（11，8），（5，2），（16，11），（11，11），（4，6）组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5（P）最小，并写出T5（P）的值（只需写出结论）．考点：分析法和综合法．专题：新定义；分析法．分析：（Ⅰ）利用T1（P）=a1+b1，T k（P）=b k+max{T k﹣1（P），a1+a2+…+a k}（2≤k≤n），可求T1（P），T2（P）的值；（Ⅱ）T2（P）=max{a+b+d，a+c+d}，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}，分类讨论，利用新定义，可比较T2（P）和T2（P′）的大小；（Ⅲ）根据新定义，可得结论．解答：解：（Ⅰ）T1（P）=2+5=7，T2（P）=1+max{T1（P），2+4}=1+max{7，6}=8；（Ⅱ）T2（P）=max{a+b+d，a+c+d}，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}．当m=a时，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}=c+d+b，∵a+b+d≤c+d+b，且a+c+d≤c+b+d，∴T2（P）≤T2（P′）；当m=d时，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}=c+a+b，∵a+b+d≤c+a+b，且a+c+d≤c+a+d，∴T2（P）≤T2（P′）；∴无论m=a和m=d，T2（P）≤T2（P′）；（Ⅲ）数对（4，6），（11，11），（16，11），（11，8），（5，2），T5（P）最小；T1（P）=10，T2（P）=26；T3（P）42，T4（P）=50，T5（P）=52．点评：本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，正确理解与运用新定义是解题的关键．。
2014年北京理科数学试卷及答案
2014年北京高考数学（理科）试题一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合，则( )2.下列函数中，在区间上为增函数的是（）3.曲线（为参数）的对称中心（）在直线上在直线上在直线上在直线上4.当时，执行如图所示的程序框图，输出的值为（）5.设是公比为的等比数列，则是为递增数列的（）充分且不必要条件必要且不充分条件充分必要条件既不充分也不必要条件6.若满足且的最小值为-4，则的值为（）在空间直角坐标系中，已知，，，，若，，分别表示三棱锥在，，坐标平面上的正投影图形的面积，则（）（A）（B）且（C）且（D）且有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若同学每科成绩不低于同学，且至少有一科成绩比高，则称“同学比同学成绩好.”现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，学科网且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的.问满足条件的最多有多少学生（）（A）（B）（C）（D）填空题（共6小题，每小题5分，共30分）复数________.已知向量、满足，，且，则________.设双曲线经过点，且与具有相同渐近线，则的方程为________；渐近线方程为________.若等差数列满足，，则当________时的前项和最大.13. 把5件不同产品摆成一排，若产品与产品不相邻，则不同的摆法有_______种.14. 设函数，，若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为________.三．解答题（共6题，满分80分）15. （本小题13分）如图，在中，，点在边上，且（1）求（2）求的长16. （本小题13分）.李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过的概率.（2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，学科网求李明的投篮命中率一场超过，一场不超过的概率.记是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记为李明在这比赛中的命中次数，比较与的大小（只需写出结论）17.（本小题14分）如图，正方形的边长为2，分别为的中点，在五棱锥中，为棱的中点，平面与棱分别交于点.（1）求证：；（2）若底面，且，求直线与平面所成角的大小，并求线段的长.（本小题13分）已知函数，求证：；若在上恒成立，求的最大值与的最小值. （本小题14分）已知椭圆，求椭圆的离心率.设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，求直线与圆的位置关系，并证明你的结论.20.（本小题13分）对于数对序列，记，，其中表示和两个数中最大的数，对于数对序列，求的值.记为四个数中最小值，学科网对于由两个数对组成的数对序列和，试分别对和的两种情况比较和的大小.（3）在由5个数对组成的所有数对序列中，写出一个数对序列使最小，并写出的值.（只需写出结论）.数学（理）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C （2）A（3）B （4）C（5）D（6）D（7）D（8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9） 1 （10）（11）（12）8（13）36 （14）三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（I）在中，因为，所以。
2014北京高考数学真题(理科)及答案
2014北京高考数学真题（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合2{20}A x x x =-=，{0,1,2}B =，则AB =（ ）A ．{0}B ．{01}，C ．{02}，D ．{01,2}，2. 下列函数中，在区间()0,+∞上为增函数的是（）A ．+1y x =B ．()21y x =-C ．2xy -= D ．()0.5log +1y x =3. 曲线1cos 2+sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩，()θ为参数 的对称中心（）A ．在直线2y x =上B ．在直线2y x =-上C ．在直线1y x =-上D ．在直线1y x =+上4. 当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）否k =k 1S =S •k结束输出S 是k ＜m n +1k =m ,S =1输入m ,n 的值开始A ．7B ．42C ．210D ．8405. 设{}n a 是公比为q 的等比数列，则1q >“”是{}n a 为递增数列的（ ）A ．充分且不必要条件B ．必要且不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6. 若,x y 满足20200x y kx y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≥且z y x =-的最小值为4-，则k 的值为（）A ．2B ．2-C ．12 D ．12-7. 在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，(1,1,2)D ，若123S ,S ,S 分别表示三棱锥D ABC -在,,xOy yOz zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（）A ．123S S S ==B ．12S =S 且31S S ≠C ．13S =S 且32S S ≠D ．23S =S 且13S S ≠8. 有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不低于B同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学，他们之中没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的.问满足条件的最多有多少学生（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9. 复数21i 1i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭ ．10. 已知向量u r α、rb 满足1=r a ，()2,1=r b ，且()λλ+=∈0R r r a b ,则λ= ．11. 设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为 ；渐近线方程为 ．12. 若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n = 时，{}n a 的前n 项和最大．13. 把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有 种．14. 设函数()()sin f x A x ωϕ=+（A ωϕ是常数，0A >，0ω>）．若()f x 在区间ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性，且π2ππ236f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()f x 的最小正周期为 ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15. （本小题共13分） 如图，在ABC ∆中，3B π∠=，8AB =，点D 在BC 上，且=2CD ，1cos 7ADC ∠=（I ）求sin BAD ∠； （II ）求,BD AC 的长．DCBA16（本小题共13分）李明在10场篮球比赛中的投篮情况（假设各场比赛相互独立）：（1） 从上述比赛随机选择一场，求李明在该场比赛中的投篮命中率超过0.6的概率；（2） 从上述比赛中随机选择一个主场和客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率； （3） 记x 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明在这场比赛中命中次数，比较E X （）与x 的大小（只需要写出结论）17.（本小题共14分）如图，正方形AMDE 的边长为2，,B C 分别为AM 、MD 的中点，在五棱锥P ABCDE -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PD ，PC 分别交于点G 、H （Ⅰ）求证：//AB FG ； （Ⅱ）若P A A B C D E ⊥平面，且=P A A E ，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并求线段PH 的长.MPHGFEDCBA18.（本小题共13分）已知函数()cos sin ,[0,]2f x x x x x π=-∈（I ）求证：()0f x …； （II ）若sin x a b x <<在(0,)2π上恒成立，求与a 的最大值与b 的最小值.19.（本小题共14分）已知椭圆22:24C x y +=（I ）求椭圆C 的离心率；（II ）设O 为坐标原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论.20（本小题共13分）对于数对序列()11,P a b ，()22,a b ，⋅⋅⋅，(),n n a b ，记()111T P a b =+，()(){}()112max ,2k k k k T P b T P a a a k n -=+++⋅⋅⋅+剟，其中(){}112max ,k k T P a a a -++⋅⋅⋅+表示()1k T P -和12k a a a ++⋅⋅⋅+两个数中最大的数， （1）对于数对序列()2,3P ，()4,1，求()1T P ，()2T P 的值．（2）记m 为a b c d 、、、四个数中最小值，对于由两个数对(),a b ，(),c d 组成的数对序列 ()(),,,P a b c d 和()()',,,P c d a b ，试分别对m a =和m d =时两种情况比较()2T P 和()2'T P 的大小．（3）在由5个数对()11,8，()5,2，()16,11，()11,11，()4,6组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使()5T P 最小，并写出()5T P 的值．（只需写出结论）参考答案一、 选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．C 2．A 3．B 4．C5．D6．D7．D8．B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．1- 10．5 11．221312x y -=； 2y x =±12．8 13．36 14．π三、解答题（共6小题，共80分）15．（共13分） 【解析】 （1）243sin 1cos 7ADC ADC ∠=-∠=sin sin()sin cos cos sin 4311333727214BAD ADC B ADC B ADC B∴∠=∠-∠=∠⋅∠-∠⋅∠=⨯-⨯=（2）在ABD ∆中，sin sin sin AB AD BDADB B BAD ==∠∠∠，即：8433337214AD BD ==解得： 3,7BD AD == 在ACD ∆中，222222cos 172272497AC AD DC AD DC ADC=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=7AC ∴=16．（共13分）解：（1）设李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率为事件A ， 由题可知，李明在该场比赛中命中率超过0.6的场次有： 主场2、主场3、主场5、客场2、客场4，共计5场 所以李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率()51102P A ==． （2）设李明一场投篮命中率超过0.6，一场命中率不超过0.6的概率为事件B ，同理可知，李明主场命中率超过0.6的概率135P =，客场命中率超过0.6的概率225P =故()()()122133221311=+=555525P B P P P P =⨯-+⨯-⨯⨯． （3）()E X x =．17．（共14分） 【解析】 （1） 证明：//,,ED AM ED AM PED PED ⊄⊂面面//AM PED ∴面,AM ABF AB ABF ⊂⊂面即面ABF PED FG =面面Ç//AB FG ∴（2） 如图建立空间坐标系A xyz -，各点坐标如下：(0,0,0),E(0,2,0),B(1,0,0),C(2,1,0),F(0,1,1),P(0,0,2)A设ABF 面的法向量为000(,,z )n x y =，(1,0,0)AB =,(0,1,1),AF =n AB n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x y z =⎧⎨+=⎩，令1y =得：(0,1,1)n =- 又(1,1,0)BC =，11sin ,222BC n ∴<>==⨯直线BC 与平面ABF 所成角为6π 设111(,,z )H x y ,由,PH tPC =则111(,,z 2)t(2,1,2)x y -=-(21,,22)H t t t ∴--又,(21,,22)H ABF BH t t t ∈=--面0n BH ∴⋅=,2220,3t t t ∴+-=∴=，422(,,)333H ∴，424,,333PH ⎛⎫= ⎪⎝⎭|PH|=2∴18．（共13分）解：（1）证明：()()'cos sin cos sin ,f x x x x x x x =+--=-∵π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()'0f x …，即()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()00f =，所以()0f x …． （2）一方面令()si n x g x x =，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()2cos sin 'x x xg x x ⋅-=，由（1）可知，()'0g x <， 故()g x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，从而()π22πg x g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，故2πa …，所以m a x 2πa =． 令()sin h x x bx =-，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()'cos h x x b =-，当1b …时，()'0h x <，故()h x 在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，从而()()00h x h <=，所以()s i n 0h x x b x =-<恒成立．当1b <时，()'cos 0h x x b =-=在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭有唯一解0x ，且()00,x x ∈，()'0h x >，故()h x 在()00,x 上单调递增，从而()()00h x h >=， 即sin sin 0sin x x bx x bx b x ->⇒>⇒>与sin xb x<恒成立矛盾， 综上，1b …，故min 1b =．19．（共14分）（1）椭圆的标准方程为：22142x y +=，故2,2a b ==，则2c =，故离心率2e 2c a ==； （2）由题可得，直线OA 的斜率存在，设为k ，则直线OA 的方程为y kx =，OA OB ⊥,○1当0k =时，()2,0A ±，已知()0,2B ，此时直线AB 方程为20x y +-=或+2=0x y -，原点到直线AB 的距离均为2，故满足直线AB 与圆222x y +=相切；○2当0k ≠时，直线OB 方程为1y x k=-， 联立22142y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得，()221+24k x =，故2222,1212k A k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭或2222,1212k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 联立12y x k y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得，()2,2B k -，由A 的对称性，那么不妨去点2222,1212k A kk ⎛⎫⎪++⎝⎭进行计算，于是直线AB 方程为()()22222212122222112212kk k ky x k x k k kkk --++-=+=+++++，()()22212112+220k k x k k y k -+-+++=原点到直线AB 的距离()()222222+2=212+112k d k kkk=-+++，此时与圆222x y +=相切；综上所述，直线AB 与圆222x y +=相切．20．（共13分）解：（1）()1257T P =+=，()(){}{}211max ,241max 7,6178T P T P =++=+=+=；（2）当m a =时，()1T P a b =+，(){}{}2,+max +max ,a c T P d a b a d b c =++=+；()1'+T P c d =，(){}{}2'max ,max ,T P b c d c a b c a d b c d =+++=++=++； 因为a 是a b c d 、、、中最小的数，所以{}max ,a b c b c ++…，从而()()22'T P T P …；当m d =时，()1T P a b =+，(){}{}2,+max +max ,a c T P d a b a d b c =++=+； (){}{}2'max ,max ,T P b c d c a b c a d a b c =+++=++=++；因为d 是a b c d 、、、中最小的数，所以{}max ,d b c b c ++…，从而()()22'T P T P …； 综上，这两种情况下都有()()22'T P T P …．（3）52．分布为：(4,6)(16,11)(11,11)(11,8)(5,2)。
2014年高考理科数学北京卷(含答案解析)
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|20}A x x x =-=,{0,1,2}B =,则A B = ( )A .{0}B .{0,1}C .{0,2}D .{0,1,2}2.下列函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是( )A.y B .2(1)y x =- C .2x y -=D .0.5log (1)y x =+3.曲线1cos ,2sin ,x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（..为参数）的对称中心( )A .在直线2y x =上B .在直线2y x =-上C .在直线1y x =-上D .在直线1y x =+上4.当7m =,3n =时,执行如图所示的程序框图,输出的S 值为( )A .7B .42C .210D .840 5.设{}n a 是公比为q 的等比数列,则“1q >”是“{}n a 为递增数列”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件6.若x ,y 满足20,20,0,x y kx y y +-⎧⎪-+⎨⎪⎩≥≥≥且z y x =-的最小值为4-,则k 的值为( )A .2B .2-C .12D .12-7.在空间直角坐标系O xyz -中,已知()2,0,0A ,()2,2,0B ,(0),2,0C,(D .若1S ,2S ,3S 分别是三棱锥D ABC -在xOy ,yOz ,zOx 坐标平面上的正投影图形的面积,则( ) A .123S S S ==B .21S S =且23S S ≠C .31S S =且32S S ≠D .32S S =且31S S ≠8.学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有( )A .2 人B .3 人C .4 人D .5 人第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题,每小题5分.共30分,把答案填写在题中的横线上.9.复数21i ()1i+=- . 10.已知向量a ,b 满足|a |1=,b (2,1)=,且λa +b =0()λ∈R ,则||λ= .11.设双曲线C 经过点(2,2),且与2214y x =-具有相同渐近线,则C 的方程为 ；渐近线方程为 .12.若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>,7100a a +<,则当n = 时,{}n a 的前n 项和最大.13.把5件不同产品摆成一排.若产品A 与产品B 相邻,且产品A 与产品C 不相邻,则不同的摆法有 种.14.设函数()sin()f x A x ωϕ=+(,,A ωϕ是常数,0A >,0)ω>.若()f x 在区间ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上具有单调性,且π2ππ()()()236f f f ==-,则()f x 的最小正周期为 . 三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）如图,在ABC △中,π3B ∠=,8AB =,点D 在BC 边上,且2CD =,1cos 7ADC ∠=.（Ⅰ）求sin BAD ∠； （Ⅱ）求BD ,AC 的长.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------姓名________________ 准考证号_____________16.（本小题满分13分）（Ⅰ）从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；（Ⅱ）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率；（Ⅲ）记x为表中10个命中次数的平均数.从上述比赛中随机选择一场,记X为李明在这场比赛中的命中次数.比较EX与x的大小.（只需写出结论）17.（本小题满分14分）如图,正方形AMDE的边长为2,B,C分别为AM,MD的中点.在五棱锥P ABCDE-中,F为棱PE的中点,平面ABF与棱PD,PC分别交于点G,H.（Ⅰ）求证：AB FG；（Ⅱ）若PA⊥底面ABCDE,且PA AE＝,求直线BC与平面ABF所成角的大小,并求线段PH的长. 18.（本小题满分13分）已知函数()cos sinf x x x x=-,π0,2x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（Ⅰ）求证：()0f x≤；（Ⅱ）若sin xa bx<<对π(0,)2x∈恒成立,求a的最大值与b的最小值.19.（本小题满分13分）已知椭圆C：2224x y+=.（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设O为原点.若点A在椭圆C上,点B在直线2y=上,且OA OB⊥,试判断直线AB与圆222x y+=的位置关系,并证明你的结论.20.（本小题满分13分）对于数对序列P：11(,)a b,22(,)a b,⋅⋅⋅,(),n na b,记111()T P a b=+,()k kT P b=+ 112max{(),}k kT P a a a-+⋅⋅⋅++(2)k n≤≤,其中112(ma}x{),k kT P a a a-++⋅⋅⋅+表示1()kT P-和12ka a a++⋅⋅⋅+两个数中最大的数.（Ⅰ）对于数对序列P：(2,5),(4,1),求1()T P,2()T P的值；（Ⅱ）记m为a,b,c,d四个数中最小的数,对于由两个数对(,)a b,(,)c d组成的数对序列P：(,)a b,(,)c d和P'：(,)c d,(,)a b,试分别对m a=和m d=两种情况比较2()T P和2()T P'的大小；（Ⅲ）在由五个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中,写出一个数对序列P使5()T P最小,并写出5()T P的值.（只需写出结论）2014年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】C 【解析】{}0,2A =，{0,2}{0,1,2}{0,2}AB ∴＝＝，故选C.【提示】用描述法、列举法写出集合，求其交集. 【考点】交集及其运算 2.【答案】A【解析】由基本初等函数的性质得，选项B 中的函数在（0，1）上递减，选项C ，D 中的函数在(0,)+∞上为减函数，所以排除B ，C ，D ，故选A.【提示】根据基本初等函数的单调性，判断各个选项中函数的单调性，从而得出结论. 【考点】对数函数的单调性与特殊点 3.【答案】B【解析】曲线方程消去参数化为22(1)(2)=1x y ++-，其对称中心点为(1,2)-，验证知其在直线2y x =-上，故选B.【提示】曲线方程消去参数化为普通方程，求经过对称中心的一条直线. 【考点】曲线的参数方程 4.【答案】C【解析】=1765=210S ⨯⨯⨯，故选C.【提示】由循环语句、条件语句执行程序，直至结束. 【考点】循环结构 5.【答案】D【解析】当101a q <>，时，数列{}n a 递减；当10a <，数列{}n a 递增时，01q <<，故选D.【提示】根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论. 【考点】充分、必要条件，等比数列的性质 6.【答案】D【解析】可行域如图所示，当0k >时，知z y x =-无最小值，当0k <时，目标函数线过可行域内A 点时z 有最小值.联立020y kx y =⎧⎨-+=⎩解得2,0A k ⎛⎫⎪⎝⎭，故min 2=0+=4z k 即1=2k -，故选D.【提示】给出约束条件和目标函数在此区域的最小值，求未知参数. 【考点】简单线性规划 7.【答案】D【解析】设顶点D 在三个坐标平面xOy 、yOz 、zOx 上的正投影分别为1D 、2D 、3D ，则11AD BD ==2AB =， ∴11S 22=22=⨯⨯，22122OCD S S ==⨯=△，33122OAD S S ==⨯△，故选D.【提示】分别求出三棱锥在各个面上的投影坐标即可得到结论. 【考点】空间直角坐标系 8.【答案】B【解析】假设A 、B 两位学生的数学成绩一样，由题意知他们语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有人比另一个人高，语文成绩较高的学生比另一个学生“成绩好”，与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾.因此，没有任意两位学生数学成绩是相同的.因为数学成绩只有3种，因而学生数量最大为3，即3位学生的成绩分别为（优秀，不合格）、（合格，合格）、（不合格，优秀）时满足条件，故选B. 【提示】分别用ABC 分别表示优秀、及格和不及格，根据题干中的内容推出成绩得A ，B ，C 的学生各最多只有1个，继而推得学生的人数. 【考点】排列组合数的应用第Ⅱ卷二、填空题 9.【答案】1-【解析】22221i (1i)2i 11i (1i)(1i)2⎡⎤+-⎛⎫⎛⎫==-⎢⎥ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭=⎣⎦. 【提示】复数的乘、除运算，直接计算出结果. 【考点】复数代数形式的四则运算 10.【解析】0a b λ＋=，a b λ∴=-，||5||||b a λ∴===. 【提示】已知向量和向量的模，及两向量之间的关系，求||λ的值. 【考点】向量的线性运算11.【答案】22=1312x y -2y x ±＝【解析】设双曲线C 的方程为224y x λ-=，将(2,2)代入得2222=3=4λ--， ∴双曲线C 的方程为22=1312x y -.令22=04y x -得渐近线方程为2y x =±.【提示】利用双曲线简单的几何性质，求经过一点，与已知曲线有相同渐近线的双曲线. 【考点】双曲线的简单几何性质 12.【答案】8 【解析】7898=30a a a a ++>，710890a a a a +=+<，8900a a ∴><，，∴8n =时，数列{}n a 的前n 项和最大.【提示】可得等差数列{}n a 的前8项为正数，从第9项开始为负数，进而可得结论. 【考点】等差数列性质 13.【答案】36【解析】32132362336A A A =⨯⨯=.【提示】根据题目的要求，利用分步乘法计数原理与排列与组合，求出其中的不同摆法. 【考点】乘法原理，排列数的应用 14.【答案】π【解析】结合图像得π2πππ2326+=422T +-，即πT ＝.【提示】结合二次函数的图象与单调性，求最小正周期T. 【考点】二次函数的图象与周期性 三、解答题 15.【答案】（1）14（2）37BD AC ==，【解析】（1）在ADC △中，因为1cos 7ADC ∠=，所以sin ADC ∠=. 所以sin sin()BAD ADC B ∠=∠-∠sin cos cos sin ADC B ADC B =∠-∠1127=-=（2）在ABD △中，由正弦定理得sin 3sin AB BAD BD ADB ∠===∠，在ABC △中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC B =+-22185285492=+-⨯⨯⨯=，所以7AC =.【提示】根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论.【考点】三角函数的基本关系式，正弦定理，余弦定理 16.【答案】（1）0.5 （2）1325（3）EX x =【解析】（1）根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.（2）设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”.则C ABAB =，A B ，独立根据投篮统计数据，32()()55P A P B ==，.()()()P C P AB P AB =+33225555=⨯+⨯1325=所以在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为1325. （3）EX x =.【提示】由互斥事件与独立事件的概率，设出基本事件，并求出概率. 【考点】离散型随机变量的期望与方差，相互独立事件的概率乘法公式 17.【答案】（1）在正方形中，因为B 是AM 的中点，所以AB DE ∥.又因为AB ⊄平面PDE ，所以AB PDE ∥平面，因为AB ⊂平面ABF ，且平面ABF平面PDE FG =，所以AB FG ∥.（2）因为PA ⊥底面ABCDE ，所以PA AB ⊥，PA AE ⊥.如图建立空间直角坐标系Axyz ，则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(2,1,0)C ，(0,0,2)P ，(0,1,1)F ，(1,1,0)BC =.设平面ABF 的法向量为(,,)n x y z =，则0n AB n AF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即00x y z =⎧⎨+=⎩. 令1,z =，则1y =-.所以(0,1,1)n =-，设直线BC 与平面ABF 所成角为α， 则1sin |cos ,|2|||n BC n BC n BC α===|.设点H 的坐标为(,,).u v w因为点H 在棱PC 上，所以可设(01)PH PC λλ=<<，即(,,2)(2,1,2)u v w λ-=-， 所以2,,22u v w λλλ===-.因为n 是平面ABF 的法向量，所以0n AH =，即(0,1,1)(2,,22)0λλλ--=.解得23λ=，所以点H 的坐标为422,,333⎛⎫⎪⎝⎭所以2PH =.【提示】由线面平行推出线线平行，利用线面垂直、线线垂直这个条件，作出有关辅助线，建立空间直角坐标系求解. 【考点】直线与平面所成的角18.【答案】（1）由()cos sin f x x x x =-得()cos sin cos sin f x x x x x x x '=--=-.因为在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上()sin 0f x x x '=-<，所以()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，从而()(0)0f x f ≤=.（2）当0x >时，“sin xa x>”等价于“sin 0x ax ->”，“sin x b x <”等价于“sin 0x bx -<”. 令()g x sin x cx =-，则()cos g x x c '=-.当0c ≤时，()0g x >对任意π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立.当1c ≥时，因为对任意π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()cos 0g x x c '=-<，所以()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.从而()(0)0g x g <=对任意π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立.当01c <<时，存在唯一的0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得00()cos 0g x x c '=-=.()g x 与()g x '在区间π0,⎛⎫⎪上的情况如下：因为()g x 在区间[]00,x 上是增函数，所以0()(0)0g x g >=.进一步，“()0g x >对任意π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立”当且仅当ππ1022g ⎛⎫=-≥ ⎪⎝⎭，即20πc <≤.综上所述，当且仅当2πc ≤时，()0g x >对任意π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立；当且仅当1c≥时，()<0g x 对任意π0,2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭恒成立.所以，若sin x a b x <<对任意π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 最大值为2π，b 的最小值为1 【提示】直接利用导数的几何意义，证明函数.第（2）问是求解未知参量的最值，函数求导，由函数值变化判断单调区间，进而求解最值. 【考点】导数的几何意义，利用导数判断参数的范围19.【答案】（1）由题意，椭圆C 的标准方程为22142x y +=.所以224,2a b ==，从而2222c a b =-=.因此2,a c ==故椭圆C 的离心率2c e a ==（2）直线AB 与圆222x y +=相切.证明如下：设点A ，B 的坐标分别为00(,)x y ，(,2)t ，其中00x ≠. 因为OA OB ⊥，所以0OA OB =，即0020tx y +=，解得02y t x =-. 当0x t =时，202t y =，代入椭圆C 的方程，得t =AB 的方程为x =.圆心O 到直线AB 的距离d .此时直线AB 与圆222x y +=相切.当0x t ≠时，直线AB 的方程为0022()y y x t x t--=--，即0000(2)()20y x x ty x t y ---+-=，圆心O 到直线AB的距离d =.又220024x y +=，02y t x =-，故d ===此时直线AB 与圆222x y +=相切.【提示】根据给出的椭圆方程找出离心率，然后利用椭圆方程与直线的关系及两线垂直，求出直线与圆的位置关系.【考点】圆与圆锥曲线的综合，椭圆的简单性质 20.【答案】（1）12()7()8T P T P ==， （2）22()()T P T P '≤（3）1()10T P =，2()26T P =，3()42T P =，4()50T P =，5()52T P =【解析】（1）1()257T P =+=，21()1max{(),24}T P T P =++1max{7,6}=+=8. （2）2()T P {}max ,a b d a c d =++++，2()T P '={}max ,c d b c a b ++++. 当m =a 时，2()T P '={}max ,c d b c a b ++++=c d b ++，因为c d b c b d ++≤++，且a c d c b d ++≤++，所以2()T P ≤2()T P '. 当m =d 时，2()T P '{}max ,c d b c a b =++++c a b =++，因为a b d ++≤c a b ++，且a c d c a b ++≤++所以2()T P ≤2()T P '. 所以无论m a =还是m d =，22()()T P T P '≤都成立.（3）数对序列P ：(4,6)，(11,11)，(16,11)，(11,8)，(5,2)的5()T P 值最小， 1()10T P =，2()26T P =，3()42T P =，4()50T P =，5()52T P =【提示】给出数学概念的新定义，根据新定义，求值比较大小. 【考点】分析法和综合法。
2014年高考真题——理科数学(北京卷)解析版 Word版含解析
课标理数【2014·北京理卷】一、选择题1. [2014•北京理卷]1.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则AB =( ).{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D【答案】C【解析】∵{}2,0=A ，∴{}{}{}2,02,1,02,0== B A . 2.[2014•北京理卷]下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）.A y = 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.log (1)D y x =+【答案】A【解析】由初等函数的性质得选项B 在()1,0上递减，选项C 、D 在()+∞,0为减函数，所以排除B 、C 、D. 3.[2014•北京理卷] 曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ ）.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上【答案】B【解析】曲线方程消参化为()()12122=-++y x ，其对称中心为()2,1-，验证知其满足x y 2-=.4.[2014•北京理卷]当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）.7A .42B .210C .840D【答案】C【解析】2105671=⨯⨯⨯=S . 5.[2014•北京理卷]设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ）.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】当01<a 时，1>q 数列{}n a 递减；01<a 时，数列{}n a 递增，10<<q . 理数6.E5[2014•北京理卷]若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（ ）.2A .2B - 1.2C 1.2D -【答案】D【解析】可行域如图所示，当0>k 时，知x y z -=无最小值，当0<k 时，目标函数线过可行域内A 点时z 有最小值，联立⎩⎨⎧=+-=020y kx y ，解之得⎪⎭⎫⎝⎛-0,2k A ，420min -=+=k z ，即21-=k .7.[2014•北京理卷]在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C，(D ，若 1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的 面积，则（ ）（A ）123S S S == （B ）12S S =且 31S S ≠ （C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠ 【答案】D【解析】设顶点D 在三个坐标面xoy 、yoz 、zox 的正投影分为'1D 、'2D 、'3D ，则211='='BD AD ，2=AB ，∴2222211=⨯⨯⨯=S ，2222122=⨯⨯=='OCD S S ，2222133=⨯⨯=='OAD S S .8.[2014•北京理卷]有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学， 他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样 的.问满足条件的最多有多少学生（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 【答案】B【解析】假设AB 两个同学的数学成绩一样，由题意知他们语文成绩不一样，这样他们的语文成绩总有人比另一个人高，语文成绩较高的同学比另一个同学“成绩好”，与已知条件“他们之中没有一个比另一个成绩好”相矛盾.因此，没有任意两个同学数学成绩是相同的.因为数学成绩只有3种，因而同学数量最大为3.即 3位同学成绩分别为（优秀，不合格）、（合格，合格）、（不合格，优秀）时满足条件. 二、填空题9.[2014•北京理卷]2=-+y x 02=+-y kx A=-x y复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭________.【答案】1-【解析】()()()122111112222-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+i i i i i i . 10.[2014•北京理卷]已知向量a 、b 满足1a =，()2,1b =，且()0a b R λλ+=∈，则λ=________.【答案】5【解析】∵0=+b a λ，∴b a -=λ，∴515||||===a b λ. 11.[2014•北京理卷]设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________； 渐近线方程为________.【答案】112322=-y x ；x y 2±= 【解析】设双曲线C 的方程为λ=-224x y ，将()2,2代入λ=-=-324222，∴双曲线方程为112322=-y x .令0422=-x y 得渐近线方程为x y 2±=. 12.[2014•北京理卷]若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大. 【答案】8【解析】∵038987>=++a a a a ，098107<+=+a a a a ，∴0,098<>a a ，∴8=n 时数列{}n a 前n 和最大. 13.[2014•北京理卷]把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种. 【答案】36【解析】36326132233=⨯⨯=A A A . 14.[2014•北京理卷]设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在区间]2,6[ππ上具有单调性，且 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________. 【答案】π【解析】结合图象得26223224ππππ+-+≥T ，即π≥T .15.[2014•北京理卷] 如图，在ABC ∆中，8,3==∠AB B π，点D 在BC 边上，且71cos ,2=∠=ADC CD （1）求BAD ∠sin （2）求AC BD ,的长解：（I ）在ADC ∆中，因为17COS ADC ∠=，所以sin ADC ∠=. 所以sin sin()BAD ADC B ∠=∠-∠sin cos cos sin ADC B ADC B =∠-∠=1433237121734=⨯-⨯. （Ⅱ）在ABD ∆中，由正弦定理得AA-6π2π32π8sin 3sin AB BAD BD ADB ⋅∠===∠， 在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅22185285492=+-⨯⨯⨯=, 所以7AC =.16.[2012•北京理卷]李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过6.0的概率. （2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过6.0，一 场不超过6.0的概率.（3）记x 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明 在这比赛中的命中次数，比较)(X E 与x 的大小（只需写出结论）.解：(I)根据投篮统计数据，在10场比赛中，李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是05.（Ⅱ）设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”。
2014年全国高考北京理科数学试题及答案
2014年北京高考数学（理科）试题一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则A B = ( ).{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D 2. 下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）.A y = 2.(1)B y x=- .2x C y -= 0.5.l o g (1)D y x =+ 3. 曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ ）.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上4. 当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）.7A .42B .210C .840D5. 设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ）.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件6. 若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（ ）.2A .2B - 1.2C 1.2D -7. 在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C，(D ，若 1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）A. 123S S S ==B. 12S S =且 31S S ≠C. 13S S =且 32S S ≠D. 23S S =且 13S S ≠8. 有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学，他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样的。
2014年高考北京卷数学理含答案
2014北京高考理科数学试题第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题。
每小题5分，共40分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合A={－1，0，1}，B={x |－1≤x ＜1}，则A∩B= ( ) A.{0} B.{－1，0} C.{0，1} D.{－1,0,1}2.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( ) A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D. 第四象限3.“φ=π”是“曲线y=sin(2x ＋φ)过坐标原点的” A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A.1 B.23 C.1321D.6109875.函数f (x )的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y =e x 关于y 轴对称，则f (x )= A.1ex + B. 1ex - C. 1ex -+ D. 1ex --6.若双曲线22221x y a b-=的离心率为3，则其渐近线方程为A.y =±2xB.y =2x ±C.12y x =±D.22y x =±7.直线l 过抛物线C :x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于A.43 B.2 C.83 D.16238.设关于x ,y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0=2，求得m 的取值范围是A.4,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ B. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C.2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D.5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6题，每小题5分，共30分. 9.在极坐标系中，点(2，6π)到直线ρsin θ=2的距离等于 10.若等比数列{a n }满足a 2＋a 4=20，a 3＋a 5=40，则公比q = ；前n 项和S n = .11.如图，AB 为圆O 的直径，P A 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，PA=3，916PD DB =，则PD= ，AB= .12.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是 .13.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c =λa ＋μb (λ，μ∈R ) ，则λμ=14.如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上，点P 到直线CC 1的距离的最小值为 .三、解答题共6小题，共80分。
2014年高考北京数学理试题解析版
2014年高考北京数学理试题解析版一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则AB =( ).{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）.A y = 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.log (1)D y x =+3.曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）的对称中心（ ）.A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上4.当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）.7A .42B .210C .840D5.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ）.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（ ）.2A .2B - 1.2C 1.2D -7.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C，(D ，若 1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的 面积，则（ ）（A ）123S S S == （B ）12S S =且 31S S ≠ （C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠8.有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学， 他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样 的.问满足条件的最多有多少学生（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9.复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭________.10.已知向量a 、b 满足1a =，()2,1b =，且()0a b R λλ+=∈，则λ=________.11.设双曲线C 经过点()2,2，且与2214y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________； 渐近线方程为________.12.若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大.13. 把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种. 14. 设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在区间]2,6[ππ上具有单调性，且 ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________.三．解答题（共6题，满分80分）15. （本小题13分）如图，在ABC ∆中，8,3==∠AB B π，点D 在BC 边上，且71cos ,2=∠=ADC CD （1）求BAD ∠sin （2）求AC BD ,的长16. （本小题13分）.李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过6.0的概率. （2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过6.0，一 场不超过6.0的概率.（3）记x 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明 在这比赛中的命中次数，比较)(X E 与x 的大小（只需写出结论）17.（本小题14分）如图，正方形AMDE 的边长为2，C B ,分别为MD AM ,的中点，在五棱锥ABCDE P - 中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PC PD ,分别交于点H G ,. （1）求证：FG AB //；（2）若⊥PA 底面ABCDE ，且PE AF ⊥，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并 求线段PH 的长.18.（本小题13分） 已知函数()cos sin ,[0,]2f x x x x x π=-∈，（1）求证：()0f x ≤；（2）若sin x a b x <<在(0,)2π上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值.19.（本小题14分） 已知椭圆22:24C xy +=，（1）求椭圆C 的离心率.（2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论.20.（本小题13分）对于数对序列1122(,),(,),,(,)n n P a b a b a b ，记111()T P a b =+，112()max{(),}(2)k k k k T P b T P a a a k n -=++++≤≤，其中112max{(),}k k T P a a a -+++表示1()k T P -和12k a a a +++两个数中最大的数，（1）对于数对序列(2,5),(4,1)P P ，求12(),()T P T P 的值.（2）记m 为,,,a b c d 四个数中最小值，对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列(,),(,)P a b c d 和'(,),(,)P a b c d ，试分别对m a =和m d =的两种情况比较2()T P 和2(')T P 的大小.（3）在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使5()T P 最小，并写出5()T P 的值.（只需写出结论）.2014北京高考（理科）数学题解析1．集合{}{}2|2002A x x x =-==，．故{}02AB =，，选C ．2． A ．y =在[)1-+∞，上为增函数，符合题意． B ．2(1)y x =-在(01)，上为减函数，不合题意． C ．2x y -=为()-∞+∞，上的减函数，不合题意． D ．0.5log (1)y x =+为(1)-+∞，上的减函数，不合题意． 故选A ．3． 参数方程1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩所表示的曲线为圆心在(12)-，，半径为1的圆．其对称中心为圆心(12)-，．逐个代入选项可知，(12)-，在直线2y x =-上，即选项B ．4． 当m 输入的7m =，3n =时，判断框内的判断条件为5k <．故能进入循环的k 依次为7，6，5．顺次执行S S k =⋅，则有765210S =⋅⋅=，故选C ． 5． D对于等比数列{}n a ，若1q >，则当10a <时有{}n a 为递减数列． 故“1q >”不能推出“{}n a 为递增数列”．若{}n a 为递增数列，则{}n a 有可能满足10a <且01q <<，推不出1q >． 综上，“1q >”为“{}n a 为递增数列”的既不充分也不必要条件，即选D ． 6． D若0k ≥，z y x =-没有最小值，不合题意．若0k <，则不等式组所表示的平面区域如图所示．由图可知，z y x =-在点20k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，处取最小值．故204k ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，解得12k =-，即选项D 正确．7． D （23S S =且13S S ≠）D ABC -在xOy 平面上的投影为ABC △，故12S =，设D 在yOz 和zOx 平面上的投影分别为2D 和3D ，则D ABC -在yOz 和zOx 平面上的投影分别为2OCD △和3OAD △．∵(201D ，，(310D ，．D 1O D 3D 2DCB A zyx故23S S ==综上，选项D 正确．8． B用ABC 分别表示优秀、及格和不及格。
2014年北京市高考数学试卷(理科)
2014年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{0}B．{0，1}C．{0，2}D．{0，1，2}2．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=B．y=（x﹣1）2 C．y=2﹣x D．y=log0.5（x+1）3．（5分）曲线（θ为参数）的对称中心（）A．在直线y=2x上B．在直线y=﹣2x上C．在直线y=x﹣1上D．在直线y=x+1上4．（5分）当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）A．7 B．42 C．210 D．8405．（5分）设{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a n}为递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）若x，y满足，且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣7．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，），若S1，S2，S3分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（）A．S1=S2=S3 B．S2=S1且S2≠S3C．S3=S1且S3≠S2D．S3=S2且S3≠S18．（5分）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有（）A．2人 B．3人 C．4人 D．5人二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）复数（）2=．10．（5分）已知向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），则|λ|=．11．（5分）设双曲线C经过点（2，2），且与﹣x2=1具有相同渐近线，则C的方程为；渐近线方程为．12．（5分）若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n=时，{a n}的前n项和最大．13．（5分）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有种．14．（5分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）若f （x）在区间[，]上具有单调性，且f（）=f（）=﹣f（），则f（x）的最小正周期为．三、解答题（共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）15．（13分）如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=．（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长．16．（13分）李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）；（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；（2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；（3）记是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX与的大小（只需写出结论）．17．（14分）如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P﹣ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H．（1）求证：AB∥FG；（2）若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．18．（13分）已知函数f（x）=xcosx﹣sinx，x∈[0，]（1）求证：f（x）≤0；（2）若a＜＜b对x∈（0，）上恒成立，求a的最大值与b的最小值．19．（14分）已知椭圆C：x2+2y2=4，（1）求椭圆C的离心率（2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论．20．（13分）对于数对序列P：（a1，b1），（a2，b2），…，（a n，b n），记T1（P）=a1+b1，T k（P）=b k+max{T k﹣1（P），a1+a2+…+a k}（2≤k≤n），其中max{T k﹣1（P），a1+a2+…+a k}表示T k（P）和a1+a2+…+a k两个数中最大的数，﹣1（Ⅰ）对于数对序列P：（2，5），（4，1），求T1（P），T2（P）的值；（Ⅱ）记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对（a，b），（c，d）组成的数对序列P：（a，b），（c，d）和P′：（c，d），（a，b），试分别对m=a和m=d两种情况比较T2（P）和T2（P′）的大小；（Ⅲ）在由五个数对（11，8），（5，2），（16，11），（11，11），（4，6）组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5（P）最小，并写出T5（P）的值（只需写出结论）．2014年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x=0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{0}B．{0，1}C．{0，2}D．{0，1，2}【分析】解出集合A，再由交的定义求出两集合的交集．【解答】解：∵A={x|x2﹣2x=0}={0，2}，B={0，1，2}，∴A∩B={0，2}故选：C．【点评】本题考查交的运算，理解好交的定义是解答的关键．2．（5分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=B．y=（x﹣1）2 C．y=2﹣x D．y=log0.5（x+1）【分析】根据基本初等函数的单调性，判断各个选项中函数的单调性，从而得出结论．【解答】解：由于函数y=在（﹣1，+∞）上是增函数，故满足条件，由于函数y=（x﹣1）2在（0，1）上是减函数，故不满足条件，由于函数y=2﹣x在（0，+∞）上是减函数，故不满足条件，由于函数y=log0.5（x+1）在（﹣1，+∞）上是减函数，故不满足条件，故选：A．【点评】本题主要考查函数的单调性的定义和判断，基本初等函数的单调性，属于基础题．3．（5分）曲线（θ为参数）的对称中心（）A．在直线y=2x上B．在直线y=﹣2x上C．在直线y=x﹣1上D．在直线y=x+1上【分析】曲线（θ为参数）表示圆，对称中心为圆心，可得结论．【解答】解：曲线（θ为参数）表示圆，圆心为（﹣1，2），在直线y=﹣2x上，故选：B．【点评】本题考查圆的参数方程，考查圆的对称性，属于基础题．4．（5分）当m=7，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）A．7 B．42 C．210 D．840【分析】算法的功能是求S=7×6×…×k的值，根据条件确定跳出循环的k值，计算输出S的值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=7×6×…×k的值，当m=7，n=3时，m﹣n+1=7﹣3+1=5，∴跳出循环的k值为4，∴输出S=7×6×5=210．故选：C．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键．5．（5分）设{a n}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{a n}为递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：等比数列﹣1，﹣2，﹣4，…，满足公比q=2＞1，但{a n}不是递增数列，充分性不成立．若a n=﹣1为递增数列，但q=＞1不成立，即必要性不成立，故“q＞1”是“{a n}为递增数列”的既不充分也不必要条件，故选：D．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的关键．6．（5分）若x，y满足，且z=y﹣x的最小值为﹣4，则k的值为（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣【分析】对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，当k≥0时，可行域内没有使目标函数z=y﹣x取得最小值的最优解，k＜0时，若直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y ﹣2=0与x轴的交点的左边，z=y﹣x的最小值为﹣2，不合题意，由此结合约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论，可知直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的右边，故由约束条件作出可行域如图，当y=0，由kx﹣y+2=0，得x=，∴B（﹣）．由z=y﹣x得y=x+z．由图可知，当直线y=x+z过B（﹣）时直线在y轴上的截距最小，即z最小．此时，解得：k=﹣．故选：D．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．7．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，），若S1，S2，S3分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy，yOz，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（）A．S1=S2=S3 B．S2=S1且S2≠S3C．S3=S1且S3≠S2D．S3=S2且S3≠S1【分析】分别求出三棱锥在各个面上的投影坐标即可得到结论．【解答】解：设A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D（1，1，），则各个面上的射影分别为A'，B'，C'，D'，在xOy坐标平面上的正投影A'（2，0，0），B'（2，2，0），C'（0，2，0），D'（1，1，0），S1=．在yOz坐标平面上的正投影A'（0，0，0），B'（0，2，0），C'（0，2，0），D'（0，1，），S2=.在zOx坐标平面上的正投影A'（2，0，0），B'（2，0，0），C'（0，0，0），D'（0，1，），S3=，则S3=S2且S3≠S1，故选：D．【点评】本题主要考查空间坐标系的应用，求出点对于的投影坐标是解决本题的关键．8．（5分）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，则这一组学生最多有（）A．2人 B．3人 C．4人 D．5人【分析】分别用ABC分别表示优秀、及格和不及格，根据题干中的内容推出文成绩得A，B，C的学生各最多只有1个，继而推得学生的人数．【解答】解：用ABC分别表示优秀、及格和不及格，显然语文成绩得A的学生最多只有1个，语文成绩得B得也最多只有一个，得C最多只有一个，因此学生最多只有3人，显然（AC）（BB）（CA）满足条件，故学生最多有3个．故选：B．【点评】本题主要考查了合情推理，关键是找到语句中的关键词，培养了推理论证的能力．二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）复数（）2=﹣1．【分析】由复数代数形式的除法运算化简括号内部，然后由虚数单位i的运算性质得答案．【解答】解：（）2=．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了虚数单位i的运算性质，是基础题．10．（5分）已知向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），则|λ|=．【分析】设=（x，y）．由于向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），可得，解出即可．【解答】解：设=（x，y）．∵向量，满足||=1，=（2，1），且+=（λ∈R），∴=λ（x，y）+（2，1）=（λx+2，λy+1），∴，化为λ2=5．解得．故答案为：．【点评】本题考查了向量的坐标运算、向量的模的计算公式、零向量等基础知识与基本技能方法，属于基础题．11．（5分）设双曲线C经过点（2，2），且与﹣x2=1具有相同渐近线，则C的方程为；渐近线方程为y=±2x．【分析】利用双曲线渐近线之间的关系，利用待定系数法即可得到结论．【解答】解：与﹣x2=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为﹣x2=m，（m≠0），∵双曲线C经过点（2，2），∴m=，即双曲线方程为﹣x2=﹣3，即，对应的渐近线方程为y=±2x，故答案为：，y=±2x．【点评】本题主要考查双曲线的性质，利用渐近线之间的关系，利用待定系数法是解决本题的关键，比较基础．12．（5分）若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n=8时，{a n}的前n项和最大．【分析】可得等差数列{a n}的前8项为正数，从第9项开始为负数，进而可得结论．【解答】解：由等差数列的性质可得a7+a8+a9=3a8＞0，∴a8＞0，又a7+a10=a8+a9＜0，∴a9＜0，∴等差数列{a n}的前8项为正数，从第9项开始为负数，∴等差数列{a n}的前8项和最大，故答案为：8．【点评】本题考查等差数列的性质和单调性，属中档题．13．（5分）把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有36种．【分析】分3步进行分析：①用捆绑法分析A、B，②计算其中A、B相邻又满足B、C相邻的情况，即将ABC看成一个元素，与其他产品全排列，③在全部数目中将A、B相邻又满足A、C相邻的情况排除即可得答案．【解答】解：先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有种方法，而A、B可交换位置，所以有2=48种摆法，又当A、B相邻又满足A、C相邻，有2=12种摆法，故满足条件的摆法有48﹣12=36种．故答案为：36．【点评】本题考查分步计数原理的应用，要优先分析受到限制的元素，如本题的A、B、C．14．（5分）设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）若f （x）在区间[，]上具有单调性，且f（）=f（）=﹣f（），则f（x）的最小正周期为π．【分析】由f（）=f（）求出函数的一条对称轴，结合f（x）在区间[，]上具有单调性，且f（）=﹣f（）可得函数的半周期，则周期可求．【解答】解：由f（）=f（），可知函数f（x）的一条对称轴为x=，则x=离最近对称轴距离为．又f（）=﹣f（），则f（x）有对称中心（，0），由于f（x）在区间[，]上具有单调性，则≤T⇒T≥，从而=⇒T=π．故答案为：π．【点评】本题考查f（x）=Asin（ωx+φ）型图象的形状，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力，是中档题．三、解答题（共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）15．（13分）如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=．（1）求sin∠BAD；（2）求BD，AC的长．【分析】根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论．【解答】解：（1）在△ABC中，∵cos∠ADC=，∴sin∠ADC====，则sin∠BAD=sin（∠ADC﹣∠B）=sin∠ADC•cosB﹣cos∠ADC•sinB=×﹣=．（2）在△ABD中，由正弦定理得BD==，在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+CB2﹣2AB•BCcosB=82+52﹣2×8×=49，即AC=7．【点评】本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大．16．（13分）李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下（假设各场比赛相互独立）；（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率；（2）从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率；（3）记是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X为李明在这场比赛中的命中次数，比较EX与的大小（只需写出结论）．【分析】（1）根据概率公式，找到李明在该场比赛中超过0.6的场次，计算即可，（2）根据互斥事件的概率公式，计算即可．（3）求出平均数和EX，比较即可．【解答】解：（1）设李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6为事件A，由题意知，李明在该场比赛中超过0.6的场次有：主场2，主场3，主场5，客场2，客场4，共计5场所以李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率P（A）=，（2）设李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为事件B，同理可知，李明主场命中率超过0.6的概率，客场命中率超过0.6的概率，故P（B）=P1×（1﹣P2）+P2×（1﹣P1）=；（3）=（12+8+12+12+8+7+8+15+20+12）=11.4EX=【点评】本题主要考查了概率的计算、数学期望，平均数，互斥事件的概率，属于中档题．17．（14分）如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在五棱锥P﹣ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H．（1）求证：AB∥FG；（2）若PA⊥底面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长．【分析】（1）运用线面平行的判定定理和性质定理即可证得；（2）由于PA⊥底面ABCDE，底面AMDE为正方形，建立如图的空间直角坐标系Axyz，分别求出A，B，C，E，P，F，及向量BC的坐标，设平面ABF的法向量为n=（x，y，z），求出一个值，设直线BC与平面ABF所成的角为α，运用sinα=|cos |，求出角α；设H（u，v，w），再设，用λ表示H的坐标，再由n=0，求出λ和H的坐标，再运用空间两点的距离公式求出PH的长．【解答】（1）证明：在正方形AMDE中，∵B是AM的中点，∴AB∥DE，又∵AB⊄平面PDE，∴AB∥平面PDE，∵AB⊂平面ABF，且平面ABF∩平面PDE=FG，∴AB∥FG；（2）解：∵PA⊥底面ABCDE，∴PA⊥AB，PA⊥AE，如图建立空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（2，1，0），P（0，0，2），E（0，2，0），F（0，1，1），，设平面ABF的法向量为=（x，y，z），则即，令z=1，则y=﹣1，∴=（0，﹣1，1），设直线BC与平面ABF所成的角为α，则sinα=|cos＜，＞|=||=，∴直线BC与平面ABF所成的角为，设H（u，v，w），∵H在棱PC上，∴可设，即（u，v，w﹣2）=λ（2，1，﹣2），∴u=2λ，v=λ，w=2﹣2λ，∵是平面ABF 的法向量，∴=0，即（0，﹣1，1）•（2λ，λ，2﹣2λ）=0，解得λ=，∴H（），∴PH==2．【点评】本题主要考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面平行、垂直的判定和性质，同时考查直线与平面所成的角的求法，考查运用空间直角坐标系求角和距离，是一道综合题．18．（13分）已知函数f（x）=xcosx﹣sinx，x∈[0，]（1）求证：f（x）≤0；（2）若a＜＜b对x∈（0，）上恒成立，求a的最大值与b的最小值．【分析】（1）求出f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，判定出在区间∈（0，）上f′（x）=﹣xsinx＜0，得f（x）在区间∈[0，]上单调递减，从而f（x）≤f （0）=0．（2）当x＞0时，“＞a”等价于“sinx﹣ax＞0”，“＜b”等价于“sinx﹣bx ＜0”构造函数g（x）=sinx﹣cx，通过求函数的导数讨论参数c求出函数的最值，进一步求出a，b的最值．【解答】解：（1）由f（x）=xcosx﹣sinx得f′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx，此在区间∈（0，）上f′（x）=﹣xsinx＜0，所以f（x）在区间∈[0，]上单调递减，从而f（x）≤f（0）=0．（2）当x＞0时，“＞a”等价于“sinx﹣ax＞0”，“＜b”等价于“sinx﹣bx ＜0”令g（x）=sinx﹣cx，则g′（x）=cosx﹣c，当c≤0时，g（x）＞0对x∈（0，）上恒成立，当c≥1时，因为对任意x∈（0，），g′（x）=cosx﹣c＜0，所以g（x）在区间[0，]上单调递减，从而，g（x）＜g（0）=0对任意x∈（0，）恒成立，当0＜c＜1时，存在唯一的x0∈（0，）使得g′（x0）=cosx0﹣c=0，g（x）与g′（x）在区间（0，）上的情况如下：因为g（x）在区间（0，x0）上是增函数，所以g（x0）＞g（0）=0进一步g（x）＞0对任意x∈（0，）恒成立，当且仅当综上所述当且仅当时，g（x）＞0对任意x∈（0，）恒成立，当且仅当c≥1时，g（x）＜0对任意x∈（0，）恒成立，所以若a＜＜b对x∈（0，）上恒成立，则a的最大值为，b的最小值为1【点评】本题考查利用导数求函数的单调区间；利用导数求函数的最值；考查解决不等式问题常通过构造函数解决函数的最值问题，属于一道综合题．19．（14分）已知椭圆C：x2+2y2=4，（1）求椭圆C的离心率（2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，求直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论．【分析】（1）化椭圆方程为标准式，求出半长轴和短半轴，结合隐含条件求出半焦距，则椭圆的离心率可求；（2）设出点A，B的坐标分别为（x0，y0），（t，2），其中x0≠0，由OA⊥OB得到，用坐标表示后把t用含有A点的坐标表示，然后分A，B的横坐标相等和不相等写出直线AB的方程，然后由圆x2+y2=2的圆心到AB的距离和圆的半径相等说明直线AB与圆x2+y2=2相切．【解答】解：（1）由x2+2y2=4，得椭圆C的标准方程为．∴a2=4，b2=2，从而c2=a2﹣b2=2．因此a=2，c=．故椭圆C的离心率e=；（2）直线AB与圆x2+y2=2相切．证明如下：设点A，B的坐标分别为（x0，y0），（t，2），其中x0≠0．∵OA⊥OB，∴，即tx0+2y0=0，解得．当x0=t时，，代入椭圆C的方程，得．故直线AB的方程为x=，圆心O到直线AB的距离d=．此时直线AB与圆x2+y2=2相切．当x0≠t时，直线AB的方程为，即（y0﹣2）x﹣（x0﹣t）y+2x0﹣ty0=0．圆心O到直线AB的距离d=．又，t=．故=．此时直线AB与圆x2+y2=2相切．【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，考查了圆与圆锥曲线的综合，训练了由圆心到直线的距离判断直线和圆的位置关系，体现了分类讨论的数学思想方法，考查了计算能力和逻辑思维能力，是压轴题．20．（13分）对于数对序列P：（a1，b1），（a2，b2），…，（a n，b n），记T1（P）=a1+b1，T k（P）=b k+max{T k﹣1（P），a1+a2+…+a k}（2≤k≤n），其中max{T k﹣1（P），a1+a2+…+a k}表示T k（P）和a1+a2+…+a k两个数中最大的数，﹣1（Ⅰ）对于数对序列P：（2，5），（4，1），求T1（P），T2（P）的值；（Ⅱ）记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对（a，b），（c，d）组成的数对序列P：（a，b），（c，d）和P′：（c，d），（a，b），试分别对m=a和m=d两种情况比较T2（P）和T2（P′）的大小；（Ⅲ）在由五个数对（11，8），（5，2），（16，11），（11，11），（4，6）组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5（P）最小，并写出T5（P）的值（只需写出结论）．【分析】（Ⅰ）利用T1（P）=a1+b1，T k（P）=b k+max{T k（P），a1+a2+…+a k}（2﹣1≤k≤n），可求T1（P），T2（P）的值；（Ⅱ）T2（P）=max{a+b+d，a+c+d}，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}，分类讨论，利用新定义，可比较T2（P）和T2（P′）的大小；（Ⅲ）根据新定义，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）T1（P）=2+5=7，T2（P）=1+max{T1（P），2+4}=1+max{7，6}=8；（Ⅱ）T2（P）=max{a+b+d，a+c+d}，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}．当m=a时，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}=c+d+b，∵a+b+d≤c+d+b，且a+c+d≤c+b+d，∴T2（P）≤T2（P′）；当m=d时，T2（P′）=max{c+d+b，c+a+b}=c+a+b，∵a+b+d≤c+a+b，且a+c+d≤c+a+d，∴T2（P）≤T2（P′）；∴无论m=a和m=d，T2（P）≤T2（P′）；（Ⅲ）数对（4，6），（11，11），（16，11），（11，8），（5，2），T5（P）最小；T1（P）=10，T2（P）=26；T3（P）42，T4（P）=50，T5（P）=52．【点评】本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，正确理解与运用新定义是解题的关键．。
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2014年北京高考数学（理科）试题
一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1.已知集合2{|20},{0,1,2}A x x x B =-==，则A B =( )
.{0}A .{0,1}B .{0,2}C .{0,1,2}D
2.下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）
.A y = 2.(1)B y x =- .2x C y -= 0.5.log (1)D y x =+
3.曲线1cos 2sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩
（θ为参数）的对称中心（ ） .A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上
.C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上
4.当7,3m n ==时，执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）
.7A .42B .210C .840D
5.设{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是"{}"n a 为递增数列的（ ）
.A 充分且不必要条件 .B 必要且不充分条件
.C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件
6.若,x y 满足20200x y kx y y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩
且z y x =-的最小值为-4，则k 的值为（ ）
.2A .2B - 1.2C 1.2
D -
7.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，(D ，若 1S ，2S ，3S 分别表示三棱锥D ABC -在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的 面积，则（ ）
（A ）123S S S == （B ）12S S =且 31S S ≠
（C ）13S S =且 32S S ≠ （D ）23S S =且 13S S ≠
8.有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若A 同学每科成绩不 低于B 同学，且至少有一科成绩比B 高，则称“A 同学比B 同学成绩好.”现有若干同学， 他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样 的.问满足条件的最多有多少学生（ ）
（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 9.复数211i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭
________. 10.已知向量a 、b 满足1a =，()2,1b =，且()0a b R λλ+=∈，则λ=________.
11.设双曲线C 经过点()2,2，且与2
214
y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________； 渐近线方程为________.
12.若等差数列{}n a 满足7890a a a ++>，7100a a +<，则当n =________时{}n a 的前n 项和最大.
13. 把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有_______种.
14. 设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在区间]2,6[
ππ上具有单调性，且 ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________. 三．解答题（共6题，满分80分）
15. （本小题13分）如图，在ABC ∆中，8,3==∠AB B π
，点D 在BC 边上，且
7
1cos ,2=∠=ADC CD
（1）求BAD ∠sin
（2）求AC BD ,的长
16. （本小题13分）.
李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：
（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过6.0的概率.
（2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过6.0，一 场不超过6.0的概率.
（3）记x 是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记X 为李明 在这比赛中的命中次数，比较)(X E 与x 的大小（只需写出结论）
17.（本小题14分）
如图，正方形AMDE 的边长为2，C B ,分别为MD AM ,的中点，
在五棱锥ABCDE P - 中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PC PD ,分别交于点H G ,.
（1）求证：FG AB //；
（2）若⊥PA 底面ABCDE ，且PE AF ⊥，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并 求线段PH 的长.
18.（本小题13分） 已知函数()cos sin ,[0,]2f x x x x x π
=-∈， （1）求证：()0f x ≤；
（2）若sin x a b x <
<在(0,)2π上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值.
19.（本小题14分）
已知椭圆22:24C x y +=，
（1）求椭圆C 的离心率. （2）设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y
=上，且OA OB ⊥，求直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论.
20.（本小题13分）
对于数对序列1122(,),(,),,(,)n n P a b a b a b ，记111()T P a b =+，
112()max{(),}(2)k k k k T P b T P a a a k n -=+++
+≤≤，其中
112max{(),}k k T P a a a -+++表示1()k T P -和12k a a a +++两个数中最大的数，
（1）对于数对序列(2,5),(4,1)P P ，求12(),()T P T P 的值.
（2）记m 为,,,a b c d 四个数中最小值，对于由两个数对(,),(,)a b c d 组成的数对序列(,),(,)P a b c d 和'(,),(,)P a b c d ，试分别对m a =和m d =的两种情况比较2()T P 和2(')T P 的大小.
（3）在由5个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P 使5()T P 最小，并写出5()T P 的值.（只需写出结论）.
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