3.1.1数系的扩充和复数的概念
《3.1.1数系的扩充和复数的概念》教学反思
《3.1.1数系的扩充和复数的概念》教学反思《3.1.1数系的扩充和复数的概念》教学反思复数的概念是复数这一章内容的基础，高中阶段复数的有关概念都是围绕着复数的代数表达式展开。
因此理解虚数单位、实部虚部对后续的学习至关重要。
而复数这个概念对学生而言是一个新的概念，如果开门见山的直接介绍“为了解复数开方，而扩充数系“，从而引入复数会显得枯燥无味，更没法体现数作为数学的一个基本概念的发展历程。
新课程标准中要求让学生体验数的发展历程，体会人类社会发展需要与数学内部矛盾是推动数学发展的动力。
可以说，数的发展历程作为数学文化中的一部分内容，我觉得很有必要让学生体验，因此，我将数的发展历程作为本节课的第一个教学任务，让学生从最初的自然数发展到复数，直到今天的四元数，多元数，然后展望社会在发展，需要在提高，数学也需要不断的完善、发展、永不止境。
在体验数的发展历程后，本节课从“认识虚数单位、复数的代数形式、复数的分类以及复数的相等”几部分展开，每一部分学习后，都有相应的练习及时地帮助学生理解概念、巩固新知。
整节课上完，自我感觉思路清晰，整体而言较顺畅，但其中还是存在很多问题：1、上课前期，过于紧张，将4x=5中x=5÷4解写成了x=4÷5.2、在许多细节的处理上仍有问题，仍需更近一步完善。
例如：“带i的是虚数，不带i的是实数”这种口头上的表示不够严谨。
还有，对，这个过程需要解释复数上的规定：。
3、由于学生学习能力有所差异，经过后续的作业情况反馈，大部分学生都能掌握本节课的内容，但是仍有一部同学在判断实部、虚部上存在问题。
针对这一情况，课后也通过练习进行巩固；4、时间安排上还不够好。
整节课的节奏过快。
3.1.1复数的概念教学反思
第3章数系的扩充与复数的引入§3.1.1数系的扩充和复数的概念（第一课时）教学反思1、本节课是数系的扩充和复数的概念第一课时，学习了虚数单位i及它的两条性质，复数的的概念、分类问题及复数相等的充要条件。
复数的概念如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受。
教学时，我采用讲解或体验已学过的数系的扩充的历史，让学生体会到数系的扩充是生产实践的需要，也是数学学科自身发展的需要。
通过介绍数的概念的发展过程，使学生对数的形成、发展历史、规律及各种数集之间的关系有着比较清晰、完整的认识。
从而让学生积极主动地建构虚数的概念、复数的概念、分类及复数相等的充要条件等知识，从而实现教学目标要求。
2、本节课的设计，力求体现"以学生发展为本"的教学理念，以教师设置问题情景，使学生通过对问题的解决很自然地达到新课标的要求，在学习过程中，在课堂中为学生提供可以发挥的平台，为他们提供适当的引导，使学生通过探索与交流，理解掌握本节知识。
3、教学中较好的运用多媒体技术优化教学过程，有效地化枯燥为有趣，化抽象为具体，化静态为动态，突出重点，化难为易，使学生观察、思维、想象等能力有很大提高。
本节课以先呈后讲的形式讲练结合，力求使教学活动成为师生交往互动、共同发展的过程，体现新的教育理念。
4、学生是学习的主人，教师是学习的组织者、引导者和合作者。
从学生已有的知识经验和已有的知识背景出发。
以问题为载体，学生活动为主线，为学生提供了探究问题、分析问题、解决问题的活动空间，锻炼和提高学生分析、解决问题的能力。
5、例题内容的安排上，注意逐步推进，力求使教师的启发引导与学生的思维同步，顺应学生学习数学的过程，促进学生认知结构的发展。
6、课外习题给学生留下广阔的思维空间和拓展探索的余地，让学生进一步提升自己应考能力。
7、注重抓好暴露问题。
在教学中，对于那些学生典型问题，带有普遍性的问题都及时解决，注重教学的实效性。
第3章 数系的扩充与复数的引入
第3章 数系的扩充与复数的引入§3.1数系的扩充和复数的概念 §3.1.1数系的扩充和复数的概念教学重点：复数的概念，虚数单位i ，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念是本节课的教学重点.复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用教学难点：虚数单位i 的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是在引入虚数单位i 并同时规定了它的两条性质之后，自然地得出的.在规定i 的第二条性质时，原有的加、乘运算律仍然成立 学生探究过程：数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q .显然N Q .如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z ，则有Z Q 、N Z .如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集数集扩到实数集R 以后，像x 2=－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数i ，叫做虚数单位.并由此产生的了复数 讲解新课：1.虚数单位i :(1)它的平方等于-1，即21i =-(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律成立. 2. i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i ! 3. i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =14.复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部用字母C 表示*5. 复数的代数形式: 通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a +bi 的形式，叫做复数的代数形式6. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0.7.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C .8. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等这就是说，如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要依据 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如3+5i 与4+3i 不能比较大小.现有一个命题：“任何两个复数都不能比较大小”对吗？不对 如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小例1请说出复数i i i i 53,31,213,32---+-+的实部和虚部，有没有纯虚数？答：它们都是虚数，它们的实部分别是2，－3，0，－3;虚部分别是3，21，－31，－5;－31i 是纯虚数.例2例3例4（1）.设集合C =｛复数｝，A=｛实数｝，B =｛纯虚数｝，若全集S=C ，则下列结论正确的是( D )A.A ∪B =CB. S C A =BC.A ∩S C B =∅D.B ∪S C B =C（2）.复数(2x 2+5x +2)+(x 2+x －2)i 为虚数，则实数x 满足(D )A.x =－21 B.x =－2或－21C.x ≠－2D.x ≠1且x ≠－2 （3）.已知集合M =｛1，2，(m 2－3m －1)+(m 2－5m －6)i ｝，集合P =｛－1，3｝.M ∩P =｛3｝，则实数m 的值为( A )A.－1 B .－1或4 C.6 D.6或－1例5（1）满足方程x 2－2x －3+(9y 2－6y +1)i =0的实数对(x ，y )表示的点的个数是______.（2）复数z 1=a +｜b ｜i ，z 2=c +｜d ｜i (a 、b 、c 、d ∈R )，则z 1=z 2的充要条件是______. 例6设复数z =log 2(m 2－3m －3)+i log 2(3－m )(m ∈R )，如果z 是纯虚数，求m 的值. 例7若方程x 2+(m +2i )x +(2+mi )=0至少有一个实数根，试求实数m 的值. 例8已知m ∈R ，复数z =1)2(-+m m m +(m 2+2m －3)i ，当m 为何值时，(1)z ∈R ; (2)z 是虚数；(3)z 是纯虚数；(4)z =21+4i .答案：例4（3）由题设知3∈M ，∴m 2－3m －1+(m 2－5m －6)i =3∴⎩⎨⎧=--=--06531322m m m m ，∴⎩⎨⎧-==-==1614m m m m 或或∴m =－1，故选A. 例5.（1）解析：由题意知⎩⎨⎧=+-=--,0169,03222y y x x ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-==3113y x x 或∴点对有(3，31)，(－1，31)共有2个.答案：2（2） 解析：z 1=z 2⇔⎩⎨⎧==⇔||||d b ca a =c 且b 2=d 2.答案：a =c 且b 2=d 2例6.解：由题意知⎩⎨⎧≠-=--,0)3(log ,0)33(log 222m m m ∴⎪⎩⎪⎨⎧>-≠-=--03131332m m m m ∴⎩⎨⎧<≠=--320432m m m m 且∴⎩⎨⎧≠<-==2314m m m m 且或，∴m =－1.例7 解：方程化为(x 2+mx +2)+(2x +m )i =0.∴⎩⎨⎧=+=++02022m x mx x ，∴x =－2m ，∴,02242=+-mm ∴m 2=8，∴m =±22. 例8. 解：(1)m 须满足⎩⎨⎧≠-=-+.11,0322m m m 解：m =－3.(2)m 须满足m 2+2m －3≠0且m －1≠0，解：m ≠1且m ≠－3.(3)m 须满足⎪⎩⎪⎨⎧≠-+=-+.032,01)2(2m m m m m 解之得：m =0或m =－2.(4)m 须满足⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+.432211)2(2m m m m m 解之得：m ∈∅§3.1.2复数的几何意义学生探究过程：1.若(,)A x y ，(0,0)O ，则(),OA x y =2. 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --= 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差3. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标即 AB =-=( x 2, y 2) - (x 1,y 1)= (x 2- x 1, y 2- y 1)讲授新课：复平面、实轴、虚轴：复数z =a +bi (a 、b ∈R )与有序实数对(a ，b )是一一对应何一个复数z =a +bi (a 、b ∈R )，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a ，b )惟一确定，如z =3+2i 可以由有序实数对(3，2)确定，又如z =－2+i 可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a ，b )与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点A ，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系 由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z =0+0i =0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数－i ，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是－2+3i ，z =－5－3i 对应的点(－5，－3)在第三象限等等.复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.１．复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ 2. 复数z a bi =+←−−−→一一对应平面向量OZ 例9例10．已知复数z 1=cos θ－i ，z 2=sin θ+i ，求| z 1·z 2|的最大值和最小值. [解] |)sin (cos cos sin 1|||21i z z θθθθ-++=⋅.2sin 412cos sin 2)sin (cos )cos sin 1(22222θθθθθθθ+=+=-++=故||21z z ⋅的最大值为,23最小值为2. 例11．(1)（2008天津理科）在复平面内，把复数i 33-对应的向量按顺时钟方向旋转3π，所得向量对应的复数是（ B ） （A ）23 （B ）i 32- （C ）3i 3- （D ）3+i 3(2)(2007全国理科、文科)已知复数z 的模为2,则│z -i│的最大值为：( D )(A)1 (B)2 (C) (D)3(3)（2003北京理科）若C z ∈且|22|,1|22|i z i z --=-+则的最小值是（ B ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 (4)（2007年上海卷）若,a b 为非零实数，则下列四个命题都成立：①10a a+≠ ②()2222a b a ab b +=++ ③若a b =，则a b =± ④若2a ab =，则a b =则对于任意非零复数,a b ，上述命题仍然成立的序号是_____。
数系的扩充和复数的概念
2、复数加法的几何意义： 问题二：复数与复平面内的向量有一一 对应关系。我们讨论过向量加法的几何 意义，你能由此出发讨论复数加法的几 何意义吗？ 复数的加法可以按照向量的加法来进行——平行四边 形法则或三角形法则
问题三：复数是否有减法?如何理解复数的减法？
（二）复数的减法：
1、定义：复数的减法是加法的逆运算，即把满足 (c+di）+(x+yi)=a+bi的复数x+yi叫做复数a+bi减去复数 c+di的差，记作(a+bi)-(c+di).
3.1.2复数的几何意义
问题一：我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此， 实数可用数轴上的点来表示，类比实数的几何意义，复数 的几何意义是什么？
复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建 立一一对应的关系.
王新敞
奎屯
新疆
王新敞
奎屯
新疆
一、复数的坐标表示 1、复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是 b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建 立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫 高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。 实轴上的点都表示实数
第三章 数系的扩充与复数的引入
（一）数系的扩充
• 我们认识数是一个不断发展的过程，从自然数到 整数，从整数到有理数，再从有理数到实数。这 个认识过程是在原有数集的基础上，再加上新的 数，是对原有数集不断扩充的过程。而这种扩充 是为了解决新的问题所必需的。 • 这种扩充的动力主要来源于两个方面：
①解决实际问题的需要
若存在实数t 使得 | z2 || z1 | 成立，求：实数 k的取值范围。
练习：设z是复数，满足下列条件的点Z的集合是什么图 形？ （1）|z|=2 ； （2） 2<|z|<3。
高中数学《3.1.1数系的扩充和复数的概念》课件1 新人教A版选修1-2
【变式1】 已知下列命题：
①复数a＋bi不是实数；
②当z∈C时，z2≥0； ③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2； ④若复数z＝a＋bi，则当且仅当b≠0时，z为虚数； ⑤若a、b、c、d∈C时，有a＋bi＝c＋di，则a＝c且b＝d.
其中真命题的个数是________．
A．0 B．1 C．2 D．3
[思路探索] 只需根据复数的有关概念判断即可． 解析 ①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符
合复数相等的充要条件，①是假命题．
②由于两个虚数不能比较大小，
∴②是假命题． ③当x＝1，y＝i时， x2＋y2＝0成立，∴③是假命题． 因为复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故④错；因为－1
题型二
复数相等的充要条件的应用
【例 2】 (1)已知 x2－y2＋2xyi＝2i，求实数 x、y 的值． a (2)关于 x 的方程 3x － x－1＝(10－x－2x2)i 有实根，求实数 2
2
a 的值． [思路探索] 先确定“＝”两边复数的实部和虚部，然后列方 程组求解．
解
(1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，
2x－1＝－b， ∴ 1＝b－3，
3 3 x＝－ ， x＝－ ， 2 2 解得 ∴ b＝4. y＝4i.
题型三 复数的分类 m2＋m－6 【例 3】 当实数 m 为何值时，复数 z＝ ＋(m2－2m)i 为 m (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数．
[规范解答]
规律方法
(1)利用复数相等，我们可以把复数问题转化为实数问
题来解决．
(2)复系数方程有实根问题，实际上就是两个复数相等的问题．
【变式 2】 求适合等式(2x－1)＋i＝y＋(y－3)i 的 x、y 值．其中 x ∈R，y 是纯虚数． 解 设 y＝bi(b∈R 且 b≠0)代入等式得
高中数学_复数的概念教学设计学情分析教材分析课后反思
3.1.2复数的概念教学设计§3.1.1数系的扩充和复数的概念教学目标：1.知识与技能：理解并掌握虚数单位i；理解复数的基本概念及复数相等的充要条件；2.过程与方法：在问题情境中了解数系的扩充过程及引入复数的必要性；3.情感、态度与价值观：通过数系的扩充过程体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。
教学重点：虚数单位i、复数及其相关概念、复数的分类(实数、虚数、纯虚数)、复数相等的充要条件。
教学难点：虚数单位i的引进及复数概念的理解。
教学过程：x+=在实数集中无解，联系从自然数系到实数系的扩充过程，你一、创设情景：方程210能设想一种方法，使得这个方程有解吗？（意图：创设问题情境，使学生明确这里要解决什么问题，联系旧知识，了解解决问题的大致方向）二、探究新知：1.学生回顾从自然数系到实数系的扩充过程：（教师可以通过提问的方式帮助学生回顾数系的扩充过程）（意图：使学生能够通过从自然数系到实数系的扩充过程体会体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充中的作用。
）2.学生探究，引入虚数单位i：x-=在有理数集中无解的问题，怎么解决方程问题1：就可以解决方程220210x+=在实数集中无解的问题？（意图：通过类比，使学生了解扩充数系要从引入新数开始，引导学生引入虚数单位i）3.对虚数单位i 的理解：（1）虚数单位i 的平方等于-1，即 21i =-；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.（3）i 的周期性：41n ii +=, 421n i +=-, 43n i i +=-, 41()n i n Z =∈ 4.复数的引入：问题2：把实数和新引入的虚数单位i 像实数那样进行加法、乘法运算，并希望运算时有关的加法、乘法算律仍然成立，你能得到怎样的数？（意图：1.使学生感受为什么把集合{}|,a bi a b R +∈作为实数集扩充后的新数集） （方法：由学生自己动手试做，然后讨论，最后统一认识）（1）定义：把集合{}|,C a bi a b R =+∈中的数，即形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，其中i 叫做虚数单位，全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示。
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第三章 3.1 3.1.1 数系的扩充和复数的相关概念
a＋bi(a，b∈R) 的数叫做复数，a 叫做 2．复数的定义：形如_________________
实部 ，b 叫做复数的________ 虚部 ．全体复数所成的集合叫做 复数的________ 复数集 b＝ 0 ________， 用字母 C 表示． 对于复数 a＋bi(a， b∈R)， 当且仅当______ b≠0 时，复数 z＝a＋bi 时，复数 z＝a＋bi(a，b∈R)是实数 a；当________ a＝0且b≠0 时，z＝bi 叫做纯虚数；当且仅当________ a＝b＝0 叫做虚数；当____________
第三章
数系的扩充与复数的引入
3.1 数系的扩充和复数的概念 3．1.1 数系的扩充和复数的相关概念
栏 目 链 接
1．理解复数的基本概念． 2．理解复数相等的充要条件．
栏 目 链 接
栏 目 链 接
基 础 梳 理
1．虚数单位 i.
－1 ； (2)实数可以与它进行四则运算．进行四则运 (1)i2＝________
)
D．既不充分也不必要条件
栏 目 链 接
解析：若 a＋bi(a，b∈R)为纯虚数，则 a＝0，b≠0. ∴a＋bi(a， b∈R)为纯虚数是 a＝0 的充分不必要条件． 答案：A
自 测 自 评
2．下列说法正确的是( ) A．如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于 0， 那么这两个复数相等 B．若 a，b∈R 且 a＞b，则 ai＞bi C．如果复数 x＋yi 是实数，则 x＝0，y＝0 D．复数 a＋bi 不是实数
解得 x≠－3 且 x≠5.
2 x －x－6 x＋3 ＝0， (3) 要使该复数是纯虚数，需满足 x2－2x－15≠0.
文科学案3.1.1数系的扩充和复数的引入
第三章 数系的扩充和复数的引入一、［课标要求］1．复数的概念① 理解复数的基本概念.② 理解复数相等的充要条件.③ 了解复数的代数表示法及其几何意义.二、［知识盘点］1.复数的有关概念（1）复数的单位为 ，它的平方等于 ，即 。
（2）复数：形如 的数（其中,a b R ∈），a 叫做复数的 ，b 叫做复数的 ，当0b =时，复数a bi +为实数，当0b ≠时，复数a bi +为虚数；当0a =且0b ≠时，复数a bi +为 。
（3）两个复数相等的定义a bi c di +=+⇔ （其中,,,abcd R ∈），特别地0a bi +=0.a b ⇔==（4）两个复数，如果不全为实数，就不能比较大小。
2．复数的几何意义（1）复数(,)z a bi a b R =+∈与复平面内的点 一一对应。
（2）在复平面内，实轴上的点都表示 ；除 外，虚轴上的点都表示 .（3）复数(,)z a bi a b R =+∈与平面向量OZ 一一对应（其中O 是坐标原点，(,)Z a b ）.（4）向量OZ 的模r 叫做复数(,)z a bi a b R =+∈的 ，记作 ，并且||______.z =（5）相等的向量表示 复数。
三、课前预习1．指出下列各数中，哪些是实数，试找出它们各自的实部和虚部？哪些是虚数，哪些是纯虚数，为什么？72+，618.0， i 72， 0， i ， 2i ， 85+i ， i 293-， )31(-i ， i 22-2．说出下列复数的实部与虚部，并思考它们之间能比较大小吗？i 312+-， i +2， 22， i 3-，0四、典型例题例1、实数x 取何值时，复数(2)(3)z x x i =-++：（1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？【变式训练1】当m 为何实数时，复数226(215)3m m z m m i m --=+--+：（1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？例2、求适合下列方程的x 和y (,)x y R ∈的值：（1）(2)6()x y i x x y i +-=+-；（2）(1)(2)0x y x y i ++--+=.【变式训练2】已知,x y 是实数，且2222x y xyi i -+=，求,x y 的值。
3.1.1数系的扩充和复数的概念
数系的扩充
方程x 1 0有解吗？
2
i
i 1
2
虚数单位
规定： i 与实数可以进行四则运算，在进行运算时，原 有的加、乘运算律仍然成立．
数系的扩充
实数a与i做加法， 结果记为a i
实数b与i做乘法， 结果记为bi
设a, b R, 则：
a +b i 记作
C a bi a, b R
复数z a bi可以分类如下： b 0 实数 复数z b 0 虚数 (a 0纯虚数)
下列复数中哪些是实数，哪些是虚数，哪些是 纯虚数？
3 2i
1 3 i 2
- 5
1 3 i 2
1 3i 2
0.2i
i( 2 1)
1 3i 2
i
2
(i)
2
例题1：实数m取什么值时，复数
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
数系的扩充
为了解决测量、分配中遇到的将某些量进 行等分的问题人们引进了分数，为了表示 各种具有相反意义的量，又引进了负数
自然数集N
用正方形的边长去度量它的对角线所得的结 果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾， 人们又引进了无理数.
有理数集Q
实数集R
实数集还需要进一步扩充吗？怎样扩充？
x, y
的值
小结：
2 1.数系扩充：复数集 i 2 1 ，（-i） 1
2.复数的代数形式：z a bi 1)实数
b0 2）虚数 b 0 3）纯虚数 b 0, 且a 0
z1 a bi, z2 c di z1 z2 a c, 且b=d
3.复数相等的充要条件：
a +bi
3.1.1数系的扩充和复数的概念
引入一个新数：
i
满足
(i) 1
2
现在我们就引入这样一个数 i ，并且规定： （1）i21； （2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运算 时，原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和 分配律)仍然成立。
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数. 其中i是虚数单位.
全体复数所成的集合叫做复数集，一般用字母C表示 .
第三章 数系的扩充和复数的概念
3.1数系的扩充和复数的概念
3.1.1
数系的扩充和复数的概念
知识回顾
数的概念是从实践中产生
N R Q Z
和发展起来的。随着生产和
科学的发展，数的概念也不
断的被扩大充实
从小学到现在，大家都依次学过哪些数集呢？ 自然数集 整数集
有理数集
实数集
我们可以用下面一组方程来形象的说明
数系的发展变化过程：
（1）在自然数集中求方程 x+1＝0的解？ （2）在整数集中求方程 2x+1＝0的解？ （3）在有理数集中求方程 x2-2＝0的解？ （4）在实数集中求方程 x2+1＝0的解？
知识引入
我们已经知道：
对于一元二次方程
2
x 1 0 没有实数根．
2
x 1
思考？
我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数 集中，该问题能得到圆满解决呢？
讲解新课
1.复数的代数形式：通常用字母 z 表示，即
z a bi (a R, b R)
实部
练一 练
虚部
其中
i 称为虚数单位。
说出下列复数的实部和虚部
0,
2 1 , －2＋ i , 2 3
数系的扩充和复数的概念(省实验中学)
第三章 3.1.1 数系的扩充和复数的概念
广东实验中学数学科 张 曙
一、数系的扩充
1.自然数N : {0，1,2,3...}
对减法不封闭：2 - 3的结果不在自然数集中
2.整数Z :{ - 3,-2,-1,0, 1,2,3 }
对除法不封闭：2 3的结果不在整数集中
3.有理数Q :{x | x p , p、q Z} q
对开方运算不封闭：x Q时，x2 2无解（也可以说对极限 运算不封闭）
4.实数R : (-,)
x R时,方程x2 1无解
一、数系的扩充
引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，并且规定： •• 实数可以与 进行四则运算，在进行四则运算时， 原有的加法与乘法的运算率 包括交换律、结合律 和分配律 仍然成立 • i 与实数b 相乘得bi , 规定0• i =0 • i 与实数a相加得a+i • bi=0+bi，a=a+0i，i=0+1i
三、题型探究
解析： ①错，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和
非纯虚数. ②错，只有当m，n∈R时，才能说复数z＝3m＋2ni的实部与 虚部分别为3m,2n. ③ 正 确 ， 复 数 z ＝ x ＋ yi(x ， y∈R) 为 纯 虚 数 的 条 件 是 x ＝ 0 且 y≠0，只要x≠0，则复数z一定不是纯虚数. ④错，只有当a∈R，且a≠－3时，(a＋3)i才是纯虚数.
m2m－＋m3－6＝0， m2＋5m＋6≠0
⇔mm＝ ≠－ －23或 且mm＝ ≠3－，2 ⇔m＝3.
∴当m＝3时，复数z是纯虚数.
谢谢观看！
三、题型探究
2.复数分类的应用
例2.求当实数m为何值时，z＝ m2－m－6＋(m2＋5m＋6)i分别是：
选修1-2复数导学案、课后作业及参考答案
3.1.1数系的扩充与复数的概念【学习要求】1．了解引进虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程.2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念. 3．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．【学法指导】可以从实际需求和数系的扩充认识引入复数的必要性，认识复数代数形式的结构，从本质上理解复数和有序数对的对应关系.【知识要点】1．复数的有关概念 （1）复数①定义：形如a ＋b i 的数叫做复数，其中a ，b ∈______，i 叫做__________．a 叫做复数的______，b 叫做复数的______．②表示方法：复数通常用字母____表示，即________． （2）复数集①定义：__________所构成的集合叫做复数集． ②表示：通常用大写字母____表示 2．复数的分类及包含关系（1）复数(a ＋b i ，a ，b ∈R)⎩⎨⎧实数(b ＝0)虚数(b ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数(a ＝0)非纯虚数(a ≠0)（2）集合表示：3．复数相等的充要条件设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔__________.【问题探究】探究点一 复数的概念 问题1 为解决方程x 2＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x 2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？ 问题2 如何理解虚数单位i?问题3 什么叫复数？怎样表示一个复数？ 问题4 什么叫虚数？什么叫纯虚数？例1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数．①2＋3i ；②－3＋12i ；③2＋i ；④π；⑤－3i ；⑥0.跟踪训练1 符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由． （1）实部为－2的虚数； （2）虚部为－2的虚数； （3）虚部为－2的纯虚数； （4）实部为－2的纯虚数．例2 当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m ＋(m 2－2m )i 为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．跟踪训练2 实数m 为何值时，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．探究点二 两个复数相等问题1 两个复数能否比较大小？问题2 两个复数相等的充要条件是什么？例3 已知x ，y 均是实数，且满足(2x －1)＋i ＝－y －(3－y )i ，求x 与y . 跟踪训练3 已知x 2－x －6x ＋1＝(x 2－2x －3)i(x ∈R)，求x 的值．【当堂检测】1．已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是 ( ) A ．2，1 B ．2，5 C ．±2，5D ．±2，12．下列复数中，满足方程x 2＋2＝0的是 ( )A ．±1B ．±IC ．±2iD ．±2i3．如果z ＝m (m ＋1)＋(m 2－1)i 为纯虚数，则实数m 的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．－1或1 4．下列几个命题：①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等； ②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等； ③1－a i(a ∈R)是一个复数； ④虚数的平方不小于0；⑤－1的平方根只有一个，即为－i ； ⑥i 是方程x 4－1＝0的一个根； ⑦2i 是一个无理数．其中正确命题的个数为 ( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【课堂小结】1．对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，可以限制a ，b 的值得到复数z 的不同情况；2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的条件进行判断．【课后作业】一、基础过关1． “复数a ＋b i(a ，b ∈R )为纯虚数”是“a ＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2． 下列命题正确的是( )A ．若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数B ．若a ，b ∈R 且a >b ，则a ＋i>b ＋iC ．若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1D ．两个虚数不能比较大小3． 以－5＋2i 的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是( )A ．2－2iB ．－5＋5iC ．2＋iD ．5＋5i 4． 若(x ＋y )i ＝x －1(x ，y ∈R )，则2x ＋y的值为( )A ．12B ．2C ．0D ．15． 若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．－1或1二、能力提升6． 若sin 2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为( )A ．2k π－π4(k ∈Z )B ．2k π＋π4(k ∈Z )C ．2k π±π4(k ∈Z )D ．k 2π＋π4(k ∈Z )7．z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i ，且z 1＝z 2，则实数m ＝______，n ＝______. 8． 给出下列几个命题：①若x 是实数，则x 可能不是复数； ②若z 是虚数，则z 不是实数；③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； ④－1没有平方根． 则其中正确命题的个数为________．9． 已知集合M ＝{1,2，(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数a ＝________. 10．实数m 分别为何值时，复数z ＝2m 2＋m －3m ＋3＋(m 2－3m －18)i 是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数．11．已知(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，求实数x ，y 的值．12．设z 1＝m 2＋1＋(m 2＋m －2)i ，z 2＝4m ＋2＋(m 2－5m ＋4)i ，若z 1<z 2，求实数m 的取值范围．三、探究与拓展13．如果log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i>－1，如何求自然数m ，n 的值？3.1.2 复数的几何意义【学习要求】1．理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系. 2．掌握实轴、虚轴、模等概念.3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法．【学法指导】通过类比实数可用数轴上的点来表示，认识复数用点和向量表示的合理性，体会数形结合思想在理解复数中的作用．复数的几何意义是进一步学习复数的加法、减法几何意义的基础，所以理解并掌握复数的几何意义具有承上启下的重要作用．【知识要点】1．复数的几何意义 （1）复平面的定义建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做________，x 轴叫做______，y 轴叫做______．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． （2）复数与点、向量间的对应 ①复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) 复平面内的点______； ②复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) 平面向量___________．2．复数的模复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)对应的向量为OZ →，则OZ →的模叫做复数z 的模，记作|z |，且|z |＝________【问题探究】探究点一 复数与复平面内的点问题1 实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？ 问题2 判断下列命题的真假：①在复平面内，对应于实数的点都在实轴上； ②在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；③在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数； ④在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数； ⑤在复平面内，对应于非纯虚数的点都分布在四个象限．例1 在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 对应的点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y ＝x 上，分别求实数m 的取值范围．跟踪训练1 实数m 取什么值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i （1）对应的点在x 轴上方；（2）对应的点在直线x ＋y ＋4＝0上． 探究点二 复数与向量问题1 复数与复平面内的向量怎样建立对应关系？ 问题2 怎样定义复数z 的模？它有什么意义？例2 已知复数z ＝3＋a i ，且|z |<4，求实数a 的取值范围．跟踪训练2 求复数z 1＝3＋4i ，z 2＝－12－2i 的模，并比较它们的大小．跟踪训练3 设z ∈C ，满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？ （1）|z |＝2；（2）|z |≤3.【当堂检测】1．在复平面内，复数z ＝i ＋2i 2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面内对应的点位于 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为 ( ) A ．－2－iB ．－2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2i4．在复平面内表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上，则实数m 的值为________【课堂小结】1．复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应；2．研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑．【课后作业】一、基础过关1． 复数z ＝3＋i 3对应的点在复平面第几象限( )A ．一B ．二C ．三D ．四2． 当0<m <1时，z ＝(m ＋1)＋(m －1)i 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3． 在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是 ( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i4． 已知复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，当a ＝0时，复平面内的点z 的轨迹是( )A ．实轴B ．虚轴C ．原点D ．原点和虚轴5．已知复数z ＝a ＋3i 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，则复数z 等于( )A ．－1＋3iB ．1＋3IC ．－1＋3i 或1＋3iD ．－2＋3i6．若复数(－6＋k 2)－(k 2－4)i(k ∈R )所对应的点在第三象限，则k 的取值范围是________． 二、能力提升7． 若θ∈(3π4，5π4)，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8． 复数z ＝icos θ，θ∈[0,2π)的几何表示是( )A ．虚轴B ．虚轴除去原点C ．线段PQ ，点P ，Q 的坐标分别为(0,1)，(0，－1)D ．C 中线段PQ ，但应除去原点9．复数z ＝log 123＋ilog 3 12对应的点位于复平面内的第______象限．10．若复数z 1＝1－i ，z 2＝3－5i ，则复平面上与z 1，z 2对应的点Z 1与Z 2的距离为________． 11．复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，则|z |＝______.12．当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内的对应点：（1）位于第四象限； （2）位于x 轴负半轴上； （3）在上半平面(含实轴)．13．已知复数z 对应的向量为OZ →(O 为坐标原点)，OZ →与实轴正向的夹角为120°且复数z 的模为2，求复数z .三、探究与拓展14．（1）满足条件|z －i|＝|3＋4i|的复数z 在复平面上对应点的轨迹是( )A ．一条直线B ．两条直线C ．圆D ．椭圆（2）已知复数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )的模为3，则yx的最大值为________．3．2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义【学习要求】1．熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则.2．理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．【学法指导】复数的代数形式的加减法运算可以类比多项式的加减法运算，利用向量的加法来理解复数加法的几何意义，数形结合．【知识要点】1．复数加法与减法的运算法则（1）设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，则z 1＋z 2＝________________，z 1－z 2＝________________. （2）对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝________，(z 1＋z 2)＋z 3＝__________. 2．复数加减法的几何意义如图：设复数z 1，z 2对应向量分别为OZ →1，OZ →2，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，则与z 1＋z 2对应的向量是______,与z 1－z 2对应的向量是______．【问题探究】探究点一 复数加减法的运算我们规定，复数的加法法则如下：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i. 提出问题：问题1 两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？ 问题2 当b ＝0，d ＝0时，与实数加法法则一致吗？ 问题3 它的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？问题4 实数的加法有交换律、结合律，复数的加法满足这些运算律吗？并试着证明． 问题5 类比于复数的加法法则，试着给出复数的减法法则． 例1 计算：（1）(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)； （2）1＋(i ＋i 2)＋(－1＋2i)＋(－1－2i)．跟踪训练1 （1）计算2i －[(3＋2i)＋3(－1＋3i)]； （2）计算(a ＋2b i)－(3a －4b i)－5i(a ，b ∈R).探究点二 复数加减法的几何意义问题1 复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？ 问题2 怎样作出与复数z 1－z 2对应的向量？ 例2 如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ， A ，C 对应的复数分别为0,3＋2i ，－2＋4i.求： （1）AO →对应的复数； （2）对角线CA →对应的复数； （3）对角线OB →对应的复数．跟踪训练2 复数z 1＝1＋2i ，z 2＝－2＋i ，z 3＝－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．探究点三 复数加减法的综合应用例3 已知|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，求|z 1＋z 2|.跟踪训练3 本例中，若条件变成|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝ 2.求|z 1－z 2|.【当堂检测】1．复数z 1＝2－12i ，z 2＝12－2i ，则z 1＋z 2等于( )A ．0B ．32＋52IC ．52－52iD ．52－32i2．若z ＋3－2i ＝4＋i ，则z 等于( )A ．1＋iB ．1＋3C ．－1－iD ．－1－3i3．在复平面内，O 是原点，向量OA →，OC →，AB →对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i ，则BC →对应的复数为 ( ) A ．2＋8i B ．－6－6i C ．4－4i D ．－4＋2i 4．若|z －1|＝|z ＋1|，则复数z 对应的点在 ( ) A ．实轴上 B ．虚轴上 C ．第一象限 D ．第二象限【课堂小结】1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则．复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．【课后作业】一、基础过关1． 若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于( )A ．0B ．2iC ．6D ．6－2i 2． 复数i ＋i 2在复平面内表示的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3． 复数z 1＝3＋i ，z 2＝－1－i ，则z 1－z 2等于( )A ．2B ．2＋2iC ．4＋2iD ．4－2i 4． 设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( )A ．1＋iB ．2＋IC ．3D ．－2－i 5． 已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于( )A ．－3iB ．3iC ．±3iD ．4i6． 计算：(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2 008＋2 009i)＋(2 009－2 010i)＋(－2 010＋2011i)．二、能力提升7． 若复数z 1＝－1，z 2＝2＋i 分别对应复平面上的点P ，Q ，则向量PQ →对应的复数是____． 8． 如果一个复数与它的模的和为5＋3i ，那么这个复数是________． 9． 若|z －2|＝|z ＋2|，则|z －1|的最小值是________．10．设m ∈R ，复数z 1＝m 2＋mm ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，若z 1＋z 2是虚数，求m 的取值范围．11．复平面内有A ，B ，C 三点，点A 对应的复数是2＋i ，向量BA →对应的复数是1＋2i ，向量BC →对应的复数是3－i ，求C 点在复平面内的坐标．12．已知ABCD 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，求点D 对应的复数．三、探究与拓展13．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.（1）求AB →，BC →，AC →对应的复数； （2）判断△ABC 的形状； （3）求△ABC 的面积．3.2.2 复数代数形式的乘除运算【学习要求】1．掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 3．理解共轭复数的概念．【学法指导】复数的乘法可类比多项式的乘法，不必专门记公式；复数的除法是乘法的逆运算，可先写成分数形式，分母“实数化”.【知识要点】1．复数的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝__________________. 2．复数乘法的运算律对任意复数z3．共轭复数如果两个复数满足_____时，称这两个复数为共轭复数，z 的共轭复数用z 表示．即z ＝a ＋b i ，则z ＝_____. 4．复数的除法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(c ＋d i ≠0)，则z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i＝____________________【问题探究】探究点一 复数乘除法的运算 问题1 怎样进行复数的乘法？问题2 如何理解复数的乘除法运算法则？ 例1 计算：（1）(2＋i)(2－i)； （2）(1＋2i)2； （3）(1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i.跟踪训练1 （1）i 是虚数单位，复数－1＋3i 1＋2i 等于( )A ．1＋iB ．5＋5iC ．－5－5iD ．－1－i（2）复数i 2＋i 3＋i 41－i 等于 ( )A ．－12－12iB ．－12＋12IC ．12－12iD ．12＋12i探究点二 共轭复数及其应用问题 共轭复数有哪些性质，这些性质有什么作用？例2 已知复数z 满足|z |＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数z .跟踪训练2 已知复数z 满足：z ·z ＋2i z ＝8＋6i ，求复数z 的实部与虚部的和．【当堂检测】1．设复数z 满足i z ＝1，其中i 为虚数单位，则z 等于 ( ) A ．－i B ．i C ．－1 D ．1 2．若复数z ＝1＋i ，i 为虚数单位，则(1＋z )z 等于 ( )A ．1＋3iB ．3＋3iC ．3－iD ．3 3．复数i －21＋2i等于 ( )A ．iB ．－IC ．－45－35iD ．－45＋35i4．复数z ＝2－i2＋i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【课堂小结】1．复数代数形式的乘除运算（1）复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．（2）在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化． 2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题．3．复数问题实数化思想．复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，利用复数相等的充要条件转化．【课后作业】一、基础过关 1． 复数－i ＋1i等于( )A ．－2iB ．12I C ．0D ．2i 2． i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i7等于( )A ．0B ．2iC ．－2iD ．4i3． 若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝－1D ．a ＝1，b ＝－14． 在复平面内，复数i1＋i＋(1＋3i)2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．设复数z 的共轭复数是z ，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于 ( )A ．34B ．43C ．－43D ．－346． 若z ＝1＋2ii，则复数z 等于( )A ．－2－iB ．－2＋IC ．2－iD ．2＋i二、能力提升7．设复数i 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________． 8．复数2i－1＋3i的虚部是________．9．已知z 是纯虚数，z ＋21－i 是实数，那么z=________．10．计算：（1）2＋2i (1－i )2＋(21＋i)2 010；（2）(4－i 5)(6＋2i 7)＋(7＋i 11)(4－3i)．11．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.12．已知复数z 的共轭复数为z ，且z ·z －3i z ＝101－3i ，求z .探究与拓展13．已知1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根(b 、c 为实数)．（1）求b ，c 的值；（2）试说明1－i 也是方程的根吗？习题课【学习要求】巩固复数的概念和几何意义；理解并能进行复数的四则运算并认识复数加减法的几何意义．【双基检测】1．以1＋2i 的虚部为实部，以3i －2的实部为虚部的新复数是 ( ) A ．2－2i B ．2＋I C ．3＋i D ．2＋3i2．若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x 与y 的值是( ) A ．x ＝3，y ＝3 B ．x ＝5，y ＝1 C ．x ＝－1，y ＝－1 D ．x ＝－1，y ＝13．设复数z 满足(1＋i)z ＝2，其中i 为虚数单位，则z 等于( ) A ．1＋i B ．1－i C ．2＋2i D ．2－2i 4．已知a ＋2i i ＝b ＋i(a ，b ∈R)，其中i 为虚数单位，则a ＋b 等于 ( )A ．－1B ．1C ．2D ．35．复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则z z －z －1等于( )【题型解法】题型一 复数的四则运算例1 （1）计算：－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 012＋(4－8i )2－(－4＋8i )211－7i ； （2）已知z ＝1＋i ，求z 2－3z ＋6z ＋1的模．跟踪训练1 （1）已知z1＋i＝2＋i ，则复数z 等于( )A ．－1＋3iB ．1－3iC ．3＋iD ．3－i （2）i 为虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 011等于( )A ．－iB ．－1C ．iD ．1题型二 复数的几何意义例2 已知点集D ＝{z ||z ＋1＋3i|＝1，z ∈C}，试求|z |的最小值和最大值．跟踪训练2 已知复数z 1，z 2满足|z 1|＝3，|z 2|＝5，|z 1－z 2|＝10，求|z 1＋z 2|的值．题型三 两个复数相等例3 设复数z 和它的共轭复数z 满足4z ＋2z ＝33＋i ，求复数z .跟踪训练3 关于x 的方程x 2＋(3＋2i)x ＋3a i ＝0有非零实根，求实数a 的值及方程的实数根．【课堂小结】1．复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化；2．复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现；3．利用两个复数相等可以解决求参数值(或范围)和复数方程等问题．【课后作业】一、基础过关1． 复数1－2＋i ＋11－2i的虚部是( )A ．15iB ．15C ．－15iD ．－152． 复数2＋i1－2i的共轭复数是( )A ．－35iB ．35I C ．－iD ．i3． 若(m 2－5m ＋4)＋(m 2－2m )i>0，则实数m 的值为( )A ．1B ．0或2C ．2D ．04． 设a ，b ∈R 且b ≠0，若复数(a ＋b i)3是实数，则( )A ．b 2＝3a 2B ．a 2＝3b 2C ．b 2＝9a 2D ．a 2＝9b 2 5． 设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i为纯虚数，则实数a 为( )A ．2B ．－2C ．－12D ．126． 复平面内点A 、B 、C 对应的复数分别为i 、1、4＋2i ，由A →B →C →D 按逆时针顺序作平行四边形ABCD ，则|BD →|等于 ( )A ．5B ．13C ．15D ．17二、能力提升7．已知复数z ＝2－i1－i ，其中i 是虚数单位，则|z |＝________.8．已知(a －i)2＝2i ，那么实数a ＝________.9．设复数z 满足条件|z |＝1，那么|z ＋22＋i|的最大值是________．10．已知a ∈R ，则z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应的点的轨迹是什么？11．设复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ，若z 2＋a ·z ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值．12．在复平面内，O 是原点，向量OA →对应的复数是2＋i.（1）如果点A 关于实轴的对称点为B ，求向量OB →对应的复数； （2）如果（1）中点B 关于虚轴的对称点为C ，求点C 对应的复数．三、探究与拓展13．是否存在复数z ，使其满足z ·z ＋2i z ＝3＋a i ？如果存在，求实数a 的取值范围；如果不存在，请说明理由．章末复习课 【知识结构】【题型解法】题型一 分类讨论思想的应用例1 实数k 为何值时，复数(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)满足下列条件？ （1）是实数； （2）是虚数； （3）是纯虚数．跟踪训练1 （1）若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R)不是纯虚数，则 ( ) A ．a ＝－1 B ．a ≠－1且a ≠2 C ．a ≠－1 D ．a ≠2（2）实数x 取什么值时，复数z ＝(x 2＋x －6)＋(x 2－2x －15)i 是：①实数；②虚数；③纯虚数；④零．题型二 数形结合思想的应用例2 已知等腰梯形OABC 的顶点A ，B 在复平面上对应的复数分别为1＋2i ，－2＋6i ，OA ∥BC .求顶点C 所对应的复数z .跟踪训练2 已知复数z 1＝i(1－i)3. （1）求|z 1|；（2）若|z |＝1，求|z －z 1|的最大值．题型三 转化与化归思想的应用 例3 已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i均为实数，且(z ＋a i)2的对应点在第一象限，求实数a 的取值范围． 跟踪训练3 已知x ，y 为共轭复数，且(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，求x ，y .题型四 类比思想的应用复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比根式的分子分母有理化，只要注意i 2＝－1. 在运算的过程中常用来降幂的公式有（1）i 的乘方：i 4k ＝1，i 4k ＋1＝i ，i 4k ＋2＝－1，i 4k ＋3＝－i(k ∈Z)； （2）(1±i)2＝±2i ； （3）设ω＝－12±32i ，则ω3＝1，ω2＝ω，1＋ω＋ω2＝0，1ω＝ω2，ω3n ＝1，ω3n ＋1＝ω(ω∈N *)等；（4）(12±32i)3＝－1；（5）作复数除法运算时，有如下技巧：a ＋b i b －a i ＝(a ＋b i )i (b －a i )i ＝(a ＋b i )ia ＋b i ＝i ，利用此结论可使一些特殊的计算过程简化． 例4 计算：（1）(1－i)(－12＋32i)(1＋i)；（2）－23＋i 1＋23i＋(21－i )2 006.跟踪训练4 计算：(2＋i )(1－i )21－2i ＋(1－i )－(1＋i )2i 5－1－i 2 0111－i章末检测一、选择题1． i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则( )A ．i ∈SB ．i 2∈SC ．i 3∈SD ．2i∈S2． z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 3． i 是虚数单位，复数3＋i1－i等于( )A ．1＋2iB ．2＋4iC ．－1－2iD ．2－i 4． 已知a 是实数，a －i1＋i是纯虚数，则a 等于( )A ．1B ．－1C ． 2D ．－ 2 5． 若(x －i)i ＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 等于( )A ．－2＋iB ．2＋iC ．1－2iD ．1＋2i 6． (1＋i)20－(1－i)20的值是( )A ．－1 024B ．1 024C ．0D ．1 024i7． i 是虚数单位，若1＋7i2－i＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则ab 的值是( )A ．－15B ．3C ．－3D ．158． 若z 1＝(x －2)＋y i 与z 2＝3x ＋i(x ，y ∈R )互为共轭复数，则z 1对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 9． 已知f (n )＝i n －i －n (n ∈N *)，则集合{f (n )}的元素个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．无数个二、填空题10．复平面内，若z ＝m 2(1＋i)－m (4＋i)－6i 所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是________． 11．给出下面四个命题：①0比－i 大；②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；③x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1；④如果让实数a 与a i 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应．其中真命题的个数是________． 12．已知0<a <2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是______． 13．下列说法中正确的序号是________．①若(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，其中x ∈R ，y ∈∁C R ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y1＝－(3－y )；②2＋i>1＋i ； ③虚轴上的点表示的数都是纯虚数；④若一个数是实数，则其虚部不存在； ⑤若z ＝1i ，则z 3＋1对应的点在复平面内的第一象限．三、解答题14．设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i ，当m 为何值时，（1）z 是实数？（2）z 是纯虚数？15．已知复数z 1＝1－i ，z 1·z 2＋z 1＝2＋2i ，求复数z 2.16．计算：（1）(2＋2i )4(1－3i )5；（2）(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.17．实数m 为何值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i 对应的点在：（1）x 轴上方；（2）直线x ＋y ＋5＝0上．18．已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部是2.（1）求复数z ；（2）设z ，z 2，z －z 2在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积．19．设z 1是虚数，z 2＝z 1＋1z 1是实数，且－1≤z 2≤1.（1）求|z 1|的值以及z 1的实部的取值范围； （2）若ω＝1－z 11＋z 1，求证：ω为纯虚数．复数参考答案3.1.1数系的扩充和复数的概念参考答案1．A 2．D 3．A 4．D 5．A 6．B 7．2 ±2 8．1 9．－110．解 (1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.故若使z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －18＝0m ＋3≠0，解得m ＝6.所以当m ＝6时，z 为实数．(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0. 故若使z 为虚数，则m 2－3m －18≠0，且m ＋3≠0， 所以当m ≠6且m ≠－3时，z 为虚数．(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0. 故若使z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0m ＋3≠0m 2－3m －18≠0，解得m ＝－32或m ＝1.所以当m ＝－32或m ＝1时，z 为纯虚数．11．解 ∵(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，y －2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2.所以实数x ，y 的值分别为12，2.12．解 由于z 1<z 2，m ∈R ，∴z 1∈R 且z 2∈R ，当z 1∈R 时，m 2＋m －2＝0，m ＝1或m ＝－2.当z 2∈R 时，m 2－5m ＋4＝0， m ＝1或m ＝4，∴当m ＝1时，z 1＝2，z 2＝6，满足z 1<z 2. ∴z 1<z 2时，实数m 的取值为m ＝1.13．解 因为log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i>－1，所以log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i是实数，从而有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0， ①log 12(m ＋n )>－1， ②由①得m ＝0或m ＝3，当m ＝0时，代入②得n <2，又m ＋n >0，所以n ＝1；当m ＝3时，代入②得n <－1，与n 是自然数矛盾， 综上可得m ＝0，n ＝1.3.1.2 复数的几何意义参考答案1．D 2．D 3．C 4．B 5．A 6．2<k <6或－6<k <－2 7．B 8．C 9．三 10．2 5 11．212．解 (1)要使点位于第四象限，须⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15>0m 2＋3m －28<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m <3或m >5－7<m <4，∴－7<m <3. (2)要使点位于x 轴负半轴上，须⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15<0m 2＋3m －28＝0，∴⎩⎨⎧3<m <5m ＝－7或m ＝4，∴m ＝4. (3)要使点位于上半平面(含实轴)，须m 2＋3m －28≥0， 解得m ≥4或m ≤－7.13．解 根据题意可画图形如图所示：设点Z 的坐标为(a ，b )， ∵|OZ →|＝|z |＝2，∠xOZ ＝120°， ∴a ＝－1，b ＝3， 即点Z 的坐标为(－1，3)， ∴z ＝－1＋3i. 14．(1)C(2) 33.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义参考答案1．D 2．B 3．C 4．D 5．B6．解 原式＝(1－2＋3－4＋…－2 008＋2 009－2 010)＋(－2＋3－4＋5＋…＋2 009－2 010＋2 011)i ＝－1 005＋1 005i.7．3＋I 8.115＋3I 9．110．解 ∵z 1＝m 2＋mm ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，∴z 1＋z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋m m ＋2－2＋[(m －15)＋m (m －3)]i ＝m 2－m －4m ＋2＋(m 2－2m －15)i.∵z 1＋z 2为虚数，∴m 2－2m －15≠0且m ≠－2， 解得m ≠5，m ≠－3且m ≠－2(m ∈R )． 11．解 ∵AC →＝BC →－BA →，∴AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i ， 设C (x ，y )，则(x ＋y i)－(2＋i)＝2－3i ， ∴x ＋y i ＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i ， 故x ＝4，y ＝－2.∴C 点在复平面内的坐标为(4，－2)．12．解 方法一 设D 点对应的复数为x ＋y i (x ，y ∈R )，则D (x ，y )，又由已知A (1,3)，B (0，－1)，C (2,1)． ∴AC 中点为⎝⎛⎭⎫32，2，BD 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y －12. ∵平行四边形对角线互相平分，∴⎩⎪⎨⎪⎧32＝x 22＝y －12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝5.即点D 对应的复数为3＋5i.方法二 设D 点对应的复数为x ＋y i (x ，y ∈R )．则AD →对应的复数为(x ＋y i)－(1＋3i)＝(x －1)＋(y －3)i ，又BC →对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i ， 由于AD →＝BC →.∴(x －1)＋(y －3)i ＝2＋2i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝2y －3＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝5. 即点D 对应的复数为3＋5i.13．解 (1)AB →对应的复数为2＋i －1＝1＋i ，BC →对应的复数为－1＋2i －(2＋i)＝－3＋i ， AC →对应的复数为－1＋2i －1＝－2＋2i ， (2)∵|AB →|＝2，|BC →|＝10，|AC →|＝8＝22， ∴|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2， ∴△ABC 为直角三角形． (3)S △ABC ＝12×2×22＝2.3.2.2 复数代数形式的乘除运算参考答案1．A 2．A 3．D 4．B 5．A 6．D 7．1 8．－129．－2i10．解 (1)2＋2i(1－i )2＋(21＋i )2 010＝2＋2i －2i＋(22i ) 1 005＝i(1＋i)＋(1i )1 005＝－1＋i ＋(－i)1 005＝－1＋i －i ＝－1.(2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i) ＝22－14i ＋25－25i ＝47－39i. 11．解 (z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，则z 1z 2＝(2－i)·(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i ， ∵z 1z 2∈R ，∴a ＝4，∴z 2＝4＋2i. 12．解 z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i.又z ·z －3i z ＝101－3i，∴a 2＋b 2－3i(a ＋b i)＝10(1＋3i )10，∴a 2＋b 2＋3b －3a i ＝1＋3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＋3b ＝1，－3a ＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3. ∴z ＝－1，或z ＝－1－3i.13．解 (1)因为1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的根，∴(1＋i)2＋b (1＋i)＋c ＝0， 即(b ＋c )＋(2＋b )i ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝02＋b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2c ＝2.∴b 、c 的值为b ＝－2，c ＝2.(2)方程为x 2－2x ＋2＝0.把1－i 代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i 也是方程的一个根．习题课参考答案1．B 2．C 3．D 4．A 5．A 6．B 8．－1 9．410．解 由a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3，－(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1，∴复数z 的实部为正数，虚部为负数，因此，复数z 的对应点在第四象限．设z ＝x ＋y i (x 、y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－(a 2－2a ＋2)消去a 2－2a 得：y ＝－x ＋2 (x ≥3)． ∴复数z 的对应点的轨迹是一条射线， 方程为y ＝－x ＋2 (x ≥3)．11．解 z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i＝(3－i )(2－i )5＝1－i. 因为z 2＋a ·z ＋b ＝1＋i ， 所以(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i. 所以(a ＋b )－(a ＋2)i ＝1＋i.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，－(a ＋2)＝1，解得a ＝－3，b ＝4.即实数a ，b 的值分别是－3,4.12．解 (1)设所求向量OB →对应的复数为z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则点B的坐标为(a ，b )．已知A (2,1)，由对称性可知a ＝2，b ＝－1. 所以OB →对应的复数为z 1＝2－i.(2)设所求点C 对应的复数为z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )，则C (c ，d )． 由(1)，得B (2，－1)．由对称性可知，c ＝－2，d ＝－1. 故点C 对应的复数为z 2＝－2－i.13．解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则原条件等式可化为x 2＋y 2＋2i(x －y i)＝3＋a i.由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2y ＝3，2x ＝a .消去x ，得y 2＋2y ＋a 24－3＝0.所以当Δ＝4－4⎝⎛⎭⎫a 24－3＝16－a 2≥0， 即－4≤a ≤4时，复数z 存在．故存在满足条件的复数z ，且实数a 的取值范围为－4≤a ≤4.章末检测答案1．B 2．A 3．A 4．A 5．B 6．C 7．C 8．C 9．B 10．(3,4) 11．0 12．(1，5) 13．⑤14．解 (1)要使复数z 为实数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2>0m 2＋3m ＋2＝0，解得m ＝－2或－1.即当m ＝－2或－1时，z 是实数．(2)要使复数z 为纯虚数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2＝1m 2＋3m ＋2≠0，解得m ＝3.即当m ＝3时，z 是纯虚数． 15．解 因为z 1＝1－i ，所以z 1＝1＋i ，所以z 1·z 2＝2＋2i －z 1＝2＋2i －(1＋i)＝1＋i. 设z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 由z 1·z 2＝1＋i ， 得(1－i)(a ＋b i)＝1＋i ， 所以(a ＋b )＋(b －a )i ＝1＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1b －a ＝1，解得a ＝0，b ＝1， 所以z 2＝i.16．解 (1)原式＝16(1＋i )4(1－3i )4(1－3i )＝16(2i )2(－2－23i )2(1－3i ) ＝－644(1＋3i )2(1－3i )＝－16(1＋3i )×4＝－41＋3i＝－1＋3i.(2)原式＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝53＋21i ＋2i ＝53＋23i. 17．解 (1)若z 对应的点在x 轴上方，则m 2－2m －15>0，解得m <－3或m >5.(2)复数z 对应的点为(m 2＋5m ＋6，m 2－2m －15)， ∵z 对应的点在直线 x ＋y ＋5＝0上，∴(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋5＝0， 整理得2m 2＋3m －4＝0， 解得m ＝－3±414.18．解 (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由题意得a 2＋b 2＝2且2ab ＝2，解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1， 所以z ＝1＋i 或z ＝－1－i.(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝1－i ， 所以A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)，所以S △ABC ＝1. 当z ＝－1－i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝－1－3i ，所以A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)，所以S △ABC ＝1. 19．(1)解 设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，则z 2＝z 1＋1z 1＝a ＋b i ＋1a ＋b i＝(a ＋a a 2＋b 2)＋(b －ba 2＋b 2)i.因为z 2是实数，b ≠0，于是有a 2＋b 2＝1，即|z 1|＝1， 还可得z 2＝2a .由－1≤z 2≤1，得－1≤2a ≤1，解得－12≤a ≤12，即z 1的实部的取值范围是[－12，12]．(2)证明 ω＝1－z 11＋z 1＝1－a －b i1＋a ＋b i＝1－a 2－b 2－2b i (1＋a )2＋b 2＝－b a ＋1i.。
高中数学(新课标)选修2课件3.1.1数系的扩充和复数的概念
跟踪训练 1 (1)如果复数 z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i 为纯虚 数，那么实数 a 的值为( )
A．－2 B．1 C．2 D．1 或－2
解析：(1)由题意可知aa22＋ －a3－ a＋2＝2≠0， 0， 所以 a＝－2. 答案：(1)A
(2)下列命题中： ①若 a∈R，则(a＋1)i 是纯虚数． ②若 a，b∈R，且 a>b，则 a＋i3>b＋i2. ③若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i 是纯虚数，则实数 x＝±1. ④两个虚数不能比较大小．
【解析】 (1)若 z 为实数，
必须aa22－ －51a≠－0.6＝0. ∴aa＝≠－±11. 或a＝6， ∴当 a＝6 时，z 为实数．
(2)若 z 为虚数，必须aa22－－15≠a－0，6≠0， ∴aa≠ ≠－ ±11且a≠6， . ∴当 a∈{a∈R|a≠±1 且 a≠6}时，z 为虚数． (3)若 z 为纯虚数，
跟踪训练 2 实数 x 分别取什么值时，复数 z＝x2－x＋x－3 6＋(x2 －2x－15)i 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
解析：(1)要使 z 是实数，必须且只需xx＋ 2－32≠x－0 15＝0 ， 解得 x＝5.
(2)要使 z 为虚数，必须且只需xx＋ 2－32≠x－0 15≠0 ， 解得 x≠－3 且 x≠5.
a＝0 a≠0
状元随笔 从代数形式可判定 z 是实数、虚数还是纯虚数．反
之， 若 z 是纯虚数，可设 z＝bi(b≠0，b∈R) 若 z 是虚数，可设 z＝a＋bi(b≠0，a∈R) 若 z 是复数，可设 z＝a＋bi(a，b∈R)
知识点三 复数相等的充要条件 设 a，b，c，d 都是实数，那么 a＋bi＝c＋di⇔_a_＝__c_，__b_＝. d
人教新课标A版高二数学《选修2-2》3.1.1 数系的扩充和复数的概念
③当x＝1，y＝i时
x2＋y2＝0成立，∴③是假命题．
④ 当a＝－1时，a∈R，但(a＋1)i＝0不是纯虚数．
【答案】0
方法规律总结：学习本章必须准确理解复数的
概念．
(1)复数的代数形式：
若z＝a＋bi，只有当a、b∈R时，a才是z的实部， b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b. (2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复 数，实数和虚数是复数的两大构成部分．
我们认识数的过程是先认识了自然数，又扩充到
整数集，再扩充到有理数(分数、有限小数和无
限循环小数)，再扩充无理数到实数集，但在实
数集中，我们已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝ 0(a≠0)，当Δ＝b2－4ac<0时无实数解，我们能否 设想一种方法使得Δ<0时方程也有解呢？
新知导学 1．数系扩充的原因、脉络、原则 脉络：自然数系→整数系→有理数系→实数系 复数系 →________. 原因：数系的每一次扩充都与实际需求密切相关， 实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充中起了主导 作用． 原则：数系扩充时，一般要遵循以下原则： (1)增添新元素，新旧元素在一起构成新数集； (2)在新数集里，定义一些基本关系和运算，使原有 依然 适用； 的一些主要性质(如运算定律)________
3．复数的定义：形如a＋bi(a、b∈R)的数叫做复数，
－1 其中i叫做虚数单位，满足i2＝________.
这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复
实部 与________ 虚部 ．全体复数构成的集合叫 数z的________ 复数集 ． 做________
知识点2：复数的相等与复数的分类 4．复数相等的充要条件 设a、b、c、d都是实数，那么a＋bi＝c＋ a＝c且b＝d di⇔______________. 5．复数z＝a＋bi(a、b∈R)，z＝0的充要条件是 a＝0且b＝0 _______________ ，a＝0是z为纯虚数的 必要不充分 条件． _____________
3.1.1复数
).
解析:本题主要考查复数集合的构成,即复数的分类.复数可分为实数和虚 数两大部分,虚数中含有纯虚数,因此,实数集与虚数集没有公共元素,故 选项C中的命题是假命题. 答案:C
【做一做3-2】 a=0是复数z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的( A.充分条件但不是必要条件 B.必要条件但不是充分条件 C.充要条件 C. D.既不充分也不必要条件
m2 + m − 6 = 0, (3)当 即m=-3时,复数z是纯虚数. m m 2 − 2m ≠ 0,
反思:利用复数的代数形式对复数分类时,关键是根据分类标准列出 实部、虚部应满足的关系式(等式或不等式(组)),求解参数时,注意 考虑问题要全面.
题型四
易错辨析
【例题4】 已知x是实数,y是纯虚数,且满足(2x-1)+(3-y)i=y-i,求x和y 的值.
2 x − 1 = y, 错解:由复数相等的充要条件,得 解得 3 − y = −1,
5 x= , 2 y = 4.
错因分析:在两个复数相等的充要条件中,注意前提条件是a,b,c,d∈ R,即当a,b,c,d∈R时,a+bi=c+di的充要条件是a=c,b=d,这里的2x-1和3 -y不是复数(2x-1)+(3-y)i的实部和虚部,不能直接利用复数相等的充 要条件来解,需要先把复数的实部和虚部分离出来,再利用复数相等 的充要条件,化复数问题为实数问题.
1.复数的概念及代数表示法 (1)定义:我们把集合C={a+bi|a,b∈R}中的数,即形如a+bi(a,b∈R)的数叫 做_____,其中i叫做________,全体复数所组成的集合C叫做_______,规定i·i 复数集 虚数单位 复数 =-1. (2) (2)表示:复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R).这一表示形式叫做复数 : z , z=a+bi(a,b R). 代数形式 的_________.对于复数z=a+bi,以后不作特殊说明,都有a,b∈R,其中的a与b 实部 虚部 分别叫做复数z的____与_____.
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虚部等于虚部，得方程组，
2x 1 y 1 (3 y )
5 解得 x= , y =4. 2
练习：
当x是实数时,若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)i=0， 求x的值.
1.虚数单位i的引入； 2.复数有关概念：
复数的代数形式: z a bi (a R, b R) 复数的实部 、虚部 虚数、纯虚数 复数相等 a bi
m 1 0 （3）当 时，即m=－1时，z是纯虚数； m 1 0
练习:当m为何实数时，复数
Z m m 2 (m 1)i
2 2
（1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数
例2.已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x, y∈R，求x, y.
解：根据复数相等的意义，两个复数相等则实部等于实部 ，
2 i , 3i , i
2.复数的分类：
实数 b 0 复数z a bi 0， 0 a b 纯虚数 (a, b R) 虚数 b 0 b0 非纯虚数 a 0，
R C
讨论？
虚数集
复数集 实数集
纯虚数集
复数集C和实数集R之间有什么关系？
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数. 其中i是虚数单位.
全体复数所成的集合叫做复数集，一般用字母C表示 .
讲解新课
1.复数的代数形式：通常用字母 z 表示，即
z a bi (a R, b R)
实部
练一 练
虚部
其中
i 称为虚数单位。
说出下列复数的实部和虚部
0,
2 1 , －2＋ i ,43;1＝0的解？
R
Q
Z
N
自然数集
整数集
有理数集
实数集
知识引入
我们已经知道：
对于一元二次方程
2
x 1 0 没有实数根．
2
x 1
思考？
我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数 集中，该问题能得到圆满解决呢？
引入一个新数：
i
满足
i 1
2
现在我们就引入这样一个数 i ，并且规定： （1）i21； （2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运算 时，原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和 分配律)仍然成立。
3.1.1数系的扩充和复数的概念
知识回顾
数的概念是从实践中产生
和发展起来的。随着生产和
科学的发展，数的概念也不
断的被扩大充实
从小学到现在，大家都依次学过哪些数集呢？ 自然数集 整数集
有理数集
实数集
我们可以用下面一组方程来形象的说明
数系的发展变化过程：
（1）在自然数集中求方程 x+1＝0的解？ （2）在整数集中求方程 2x-1＝0的解？ （3）在有理数集中求方程 x2-2＝0的解？
（3）若a为实数，则Z= a一定不是虚数
例题讲解
例1.实数 m 取什么数值时，复数z=m +1+(m－1)i是：
（1）实数？ （2）虚数？（3）纯虚数？
解：复数z=m+1+(m－1)i 中，因为m∈R，所以m+1， m－1都是实数，它们分别是z的实部和虚部， ∴（1）m=1时，z是实数； （2）m≠1时，z是虚数；
等，而不能比较大小.
注：1)
1.说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数， 哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部.
2 7,
0.618,
i ,
2
i 1 3 ,
2 i, 7
0
5i 8
3 9 2i,
2、判断下列命题是否正确： （1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数
（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数
a c c di b d
机动题
复数z (m 2m m i) [(m 6)i 8]
2 2
1.指出复数z的实部和虚部;
2.实数m为何值时， （1）实数？ （2）虚数？ （3）零？ （4）纯虚数？ （5）负数？
整数集 有理数集
实数集 复数集
自然数集
3.规定：如果两个复数的实部和虚部分别相等， 那么我们就说这两个复数相等．
若a, b, c, d R,
a c a bi c di b d
a bi 0 a 0 且 b 0
2) 一般来说，两个复数只能说相等或不相