数学人教版八年级上册平方差公式.2.1平方差公式公开课课件
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人教版八年级数学上册14.2.1平方差公式课件(共41张PPT)
=
4 9
x2
-
y2
(3m＋2n)(3m－2n)
变式一 ( －3m＋2n)(－3m－2n)
变式二 ( －3m－2n)(3m－2n) 变式三 (－3m－2n)(3m＋2n)
1 利用平方差公式计算：
（1）(7+6x)(7−6x)；（2）(3y ＋ x)(x−3y)； （3）(−m＋2n)(−m−2n)．
1.本节课你有何收获？ 2.你还有什么疑问吗？
一个公式：（a+b)(a-b)=a2-b2
两种作用 (1)简化某些多项式的乘法运算 (2)提供有理数乘法的速算方法
三个表示 公式中的a，b可表示 (1)单项式 (2)具体数 (3)多项式
拓展提升
利用平方差公式计算:
（a-2)(a+2)(a2 + 4) 解:原式=(a2-4)(a2+4)
【预习导学】
一、自学指导:自学1：自学课本P107－108页“探究与思考与例1、例2”，掌
握平方差公式，完成下列填空。
能否运用公式，若能直接说出结果 (l)(-a+b)(a+b)= _________ (2)(a-b)(b+a)= __________ (3)(-a-b)(-a+b)= ________ (4)(a-b)(-a-b)= _________ (5)(a+b)(-a-b)=________ (6)(a-b)(-a+b)=________
2 利用平方差公式计算：[]
（1）1992×2008
（2）39.8×40.2.
王捷同学去商店买了单价是9.8元/千克 的糖果10.2千克，售货员刚拿起计算器， 王捷就说出应付99.96元，结果与售货员计 算出的结果相吻合.售货员很惊讶地说： “你真是个神童！”王捷同学说：“过奖 了，我只是利用了在数学上刚学过的一个 公式.”
14.2.1 平方差公式 课件(共20张PPT)人教版数学八年级上册
2．请同学们阅读课本107页思考并讨论．
3．判断下列式子是否正确． (1)(x＋2)(x－2)＝x2－2( × )； (2)(－3a－2)(3a－2)＝9a2－4( × )； (3)(－2x＋y)(－2x－y)＝4x2－y2( √ )； (4)(a＋3)(a－4)＝a2－12( × )．
4．请同学们完成课本108页例2.
新知导入
游戏导入
同学们，我们来做一个数字游戏. 请同学们在纸上写出你最喜欢的一个幸运数字(10以内)，然后计算100与这 个数的和，接着乘100与这个数的差. (给学生半分钟思考、计算的时间) 同学们都算得很投入，只要告诉我,你计算的结果,我就能马上说出你的幸运 数字是几，信吗? （请两位学生来试验） 等我们学了今天的知识以后,大家也能像老师一样,马上猜出其他同学的幸运 数字.
典例精讲
【题型一】平方差公式
例1：下列式子中，可以用平方差公式计算的是( C )
A．(x＋2)(2＋x)
B．(x＋y)(－x－y)
C．(2x＋y)(y－2x)
D．(2x－y)(x＋2y)
变式：下列各式中，不能用平方差公式计算的是( D )
A．(－x＋y)(－x－y)
Hale Waihona Puke B．(x－y)(－x－y)
C．(x＋y)(－x＋y)
14.2乘法公式
14.2.1平方差公式
学习目标
1. 经历探索平方差公式的过程，会运用多项式乘法法则推 导平方差公式，进一步发展符号感和推理能力．
2．通过自主探究平方差公式，认识平方差公式及其几何模 型，感受数学公式的意义和作用．
3．通过观察，理解、掌握平方差公式的结构特征，能灵活 熟练地运用平方差公式，培养学生解决问题的能力．
3．判断下列式子是否正确． (1)(x＋2)(x－2)＝x2－2( × )； (2)(－3a－2)(3a－2)＝9a2－4( × )； (3)(－2x＋y)(－2x－y)＝4x2－y2( √ )； (4)(a＋3)(a－4)＝a2－12( × )．
4．请同学们完成课本108页例2.
新知导入
游戏导入
同学们，我们来做一个数字游戏. 请同学们在纸上写出你最喜欢的一个幸运数字(10以内)，然后计算100与这 个数的和，接着乘100与这个数的差. (给学生半分钟思考、计算的时间) 同学们都算得很投入，只要告诉我,你计算的结果,我就能马上说出你的幸运 数字是几，信吗? （请两位学生来试验） 等我们学了今天的知识以后,大家也能像老师一样,马上猜出其他同学的幸运 数字.
典例精讲
【题型一】平方差公式
例1：下列式子中，可以用平方差公式计算的是( C )
A．(x＋2)(2＋x)
B．(x＋y)(－x－y)
C．(2x＋y)(y－2x)
D．(2x－y)(x＋2y)
变式：下列各式中，不能用平方差公式计算的是( D )
A．(－x＋y)(－x－y)
Hale Waihona Puke B．(x－y)(－x－y)
C．(x＋y)(－x＋y)
14.2乘法公式
14.2.1平方差公式
学习目标
1. 经历探索平方差公式的过程，会运用多项式乘法法则推 导平方差公式，进一步发展符号感和推理能力．
2．通过自主探究平方差公式，认识平方差公式及其几何模 型，感受数学公式的意义和作用．
3．通过观察，理解、掌握平方差公式的结构特征，能灵活 熟练地运用平方差公式，培养学生解决问题的能力．
人教版八年级数学上册《平方差公式》PPT
如果可以，请你计算出结果.
⑴ (4a+3b)(4a-2b) (不能)
⑵ (8 a)(a 8) (不能)
⑶ (2a-3b)(2a+3b) (能)
⑷ ( x 3)( x 3) (不能)
⑸ (-x-2y) (-2y+x). (能)
三、合作释疑 小试牛刀：运用平方差公式计算
(1) (2a-3b)(2a+3b)
A. -x8+y8 B. x4-y4 C. -y8+x8 D. -y4-x4
四、巩固提升
4.解答题 先化简，再求值（2016，济南）
a(1-4a)+(2a+1)(2a-1) ，其中a=4
探究——平方差公式几何推导
bb
a
a
b b
符号表达：
由一般到特殊
a -b
(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)(a-b)=a2-b2
文字表达： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数
的平方差.
探究——平方差公式几何意义 图形演示： 数形结合
a2
(a b)(a b) a2 b2
二、复习回顾
( a + b )( a - b ) = a2 - b2
例1 计算:
(1) 51×49;
(2) (y+2) (y-2) – (y+1) (y-5) .
解: 原式 =(50+1)(50-1) = 502-12 =2500 – 1
解: 原式 = y2-22-(y2-4y-5) = y2-4-y2+4y+5 = 4y + 1.
= 2499.
注意：只有符合公式条件的 乘法，才能运用公式简化运 算，其余的运算仍按乘法法 则进行。
⑴ (4a+3b)(4a-2b) (不能)
⑵ (8 a)(a 8) (不能)
⑶ (2a-3b)(2a+3b) (能)
⑷ ( x 3)( x 3) (不能)
⑸ (-x-2y) (-2y+x). (能)
三、合作释疑 小试牛刀：运用平方差公式计算
(1) (2a-3b)(2a+3b)
A. -x8+y8 B. x4-y4 C. -y8+x8 D. -y4-x4
四、巩固提升
4.解答题 先化简，再求值（2016，济南）
a(1-4a)+(2a+1)(2a-1) ，其中a=4
探究——平方差公式几何推导
bb
a
a
b b
符号表达：
由一般到特殊
a -b
(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)(a-b)=a2-b2
文字表达： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数
的平方差.
探究——平方差公式几何意义 图形演示： 数形结合
a2
(a b)(a b) a2 b2
二、复习回顾
( a + b )( a - b ) = a2 - b2
例1 计算:
(1) 51×49;
(2) (y+2) (y-2) – (y+1) (y-5) .
解: 原式 =(50+1)(50-1) = 502-12 =2500 – 1
解: 原式 = y2-22-(y2-4y-5) = y2-4-y2+4y+5 = 4y + 1.
= 2499.
注意：只有符合公式条件的 乘法，才能运用公式简化运 算，其余的运算仍按乘法法 则进行。
人教版数学八年级上册 《14.2.1 平方差公式》课件
巩固平方差公式
练习1 下面各式的计算对不对？如果不对，应当 怎样改正？
（1）（ 2 x + 3 a ） （ 2 x - 3 a ） = （ 2 x ） 2 - （ 3 a ） 2 ；
对.
（2）（ x+2 ） （ x-2 ） = x2-2.
不对，改正：（x+2）（x-2）=x2-4.
总结经验
从例题1和练习1中，你认为运用公式解决问题时应 注意什么？
相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有 什么关系？
探究平方差公式
在14.1节中，我们学习了整式的乘法，知道了多 项式与多项式相乘的法则．根据所学知识，计算下列 多项式的积，你能发现什么规律？
（1）（x+1） （x-1）= x 2 - 1 ； （2）（ m + 2 ） （ m - 2 ） = m 2 - 4 ； （3）（ 2x+1） （ 2x-1） = 4 x 2 -1 ．
上述问题中相乘的两个多项式有什么共同点？
探究平方差公式
在14.1节中，我们学习了整式的乘法，知道了多 项式与多项式相乘的法则．根据所学知识，计算下列 多项式的积，你能发现什么规律？
（1）（x+1） （x-1）= x 2 - 1 ； （2）（ m + 2 ） （ m - 2 ） = m 2 - 4 ； （3）（ 2x+1） （ 2x-1） = 4 x 2 -1 ．
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的 平方差．
理解平方差公式
你能根据图中图形的面积说明平方差公式吗？
Ａ
a
ＦＧ
a M B
a-b
D bbE H
C
理解平方差公式
例1 运用平方差公式计算：
人教版八年级数学上册课件：14.2.1平方差公式
2、Our destiny offers not only the cup of despair, but the chalice of opportunity. (Richard Nixon, American President )命运给予我们的不是失望之酒，而是机会之杯。二〇二一年六月十七日2021年6月17日星期四
2．下列各式能用平方差公式计算的是( B ) A．(-3+x)(3-x) B．(-a-b)(-b+a) C．(-3x+2)(2-3x) D．(3x+2)(2x-3)
3．已知a+b=4，a-b=3，则a2-b2等于( C ) A．4 B．3 C．12 D．1
9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。2021/8/102021/8/10Tuesday, August 10, 2021 10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/8/102021/8/102021/8/108/10/2021 9:46:20 PM 11、一个好的教师，是一个懂得心理 学和教 育学的 人。2021/8/102021/8/102021/8/10Aug-2110- Aug-21 12、要记住，你不仅是教课的教师， 也是学 生的教 育者， 生活的 导师和 道德的 引路人 。2021/8/102021/8/102021/8/10Tues day, August 10, 2021 13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成 。2021/8/102021/8/102021/8/102021/8/108/10/2021 14、谁要是自己还没有发展培养和教 育好， 他就不 能发展 培养和 教育别 人。2021年8月 10日星 期二2021/8/102021/8/102021/8/10 15、一年之计，莫如树谷；十年之计 ，莫如 树木； 终身之 计，莫 如树人 。2021年8月2021/8/102021/8/102021/8/108/10/2021 16、提出一个问题往往比解决一个更 重要。 因为解 决问题 也许仅 是一个 数学上 或实验 上的技 能而已 ，而提 出新的 问题， 却需要 有创造 性的想 像力， 而且标 志着科 学的真 正进步 。2021/8/102021/8/10August 10, 2021 17、儿童是中心，教育的措施便围绕 他们而 组织起 来。2021/8/102021/8/102021/8/102021/8/10
2．下列各式能用平方差公式计算的是( B ) A．(-3+x)(3-x) B．(-a-b)(-b+a) C．(-3x+2)(2-3x) D．(3x+2)(2x-3)
3．已知a+b=4，a-b=3，则a2-b2等于( C ) A．4 B．3 C．12 D．1
9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。2021/8/102021/8/10Tuesday, August 10, 2021 10、阅读一切好书如同和过去最杰出 的人谈 话。2021/8/102021/8/102021/8/108/10/2021 9:46:20 PM 11、一个好的教师，是一个懂得心理 学和教 育学的 人。2021/8/102021/8/102021/8/10Aug-2110- Aug-21 12、要记住，你不仅是教课的教师， 也是学 生的教 育者， 生活的 导师和 道德的 引路人 。2021/8/102021/8/102021/8/10Tues day, August 10, 2021 13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成 。2021/8/102021/8/102021/8/102021/8/108/10/2021 14、谁要是自己还没有发展培养和教 育好， 他就不 能发展 培养和 教育别 人。2021年8月 10日星 期二2021/8/102021/8/102021/8/10 15、一年之计，莫如树谷；十年之计 ，莫如 树木； 终身之 计，莫 如树人 。2021年8月2021/8/102021/8/102021/8/108/10/2021 16、提出一个问题往往比解决一个更 重要。 因为解 决问题 也许仅 是一个 数学上 或实验 上的技 能而已 ，而提 出新的 问题， 却需要 有创造 性的想 像力， 而且标 志着科 学的真 正进步 。2021/8/102021/8/10August 10, 2021 17、儿童是中心，教育的措施便围绕 他们而 组织起 来。2021/8/102021/8/102021/8/102021/8/10
初二数学八年级上册(人教版)《14.2.1 平方差公式》公开课课件
1.(a – b ) ( a + b) = a2 – b2 2.(b + a )( –b + a ) = a2 – b2
平方差公式
相同为a
适当交换 (a+b)(a–b)=(a)2–(b)2
合理加括号 相反为b，–b 注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等．
温馨提示
(a+b)(a– b)= a2– b2.
填一填
ab 1x –3 a a1 0.3x 1
a2–b2 12–x2 (–3)2–a2 a2–12 ( 0.3x)2–12
做一做
口答下列各题： (1)(–a+b)(a+b)=__b_2_–_a_2 ___. (2)(a–b)(b+a)= __a_2_–_b_2____. (3)(–a–b)(–a+b)= _a_2_–_b_2___. (4)(a–b)(–a–b)= __b_2_–_a_2___.
考点探究2 利用平方差公式简便运算
例2 计算:
(1) 102×98;
(2) (y+2) (y–2) – (y–1) (y+5) .
解: (1) 102×98
(2)(y+2)(y–2)– (y–1)(y+5)
=(100＋2)(100–2) = 1002–22
= y2–22–(y2+4y–5)
不符合平方差公式运
1. 公式中的a和b，既可以是具体的数，也可以是单项 式或者多项式；
2. 左边是两个二项式的积，并且有一项完全相同，另 一项互为相反数；
3. 右边是相同项的平方减去相反项的绝对值的平方.
(a–b)(a+b)
(1+x)(1–x) (–3+a)(–3–a)
平方差公式
相同为a
适当交换 (a+b)(a–b)=(a)2–(b)2
合理加括号 相反为b，–b 注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两个多项式等．
温馨提示
(a+b)(a– b)= a2– b2.
填一填
ab 1x –3 a a1 0.3x 1
a2–b2 12–x2 (–3)2–a2 a2–12 ( 0.3x)2–12
做一做
口答下列各题： (1)(–a+b)(a+b)=__b_2_–_a_2 ___. (2)(a–b)(b+a)= __a_2_–_b_2____. (3)(–a–b)(–a+b)= _a_2_–_b_2___. (4)(a–b)(–a–b)= __b_2_–_a_2___.
考点探究2 利用平方差公式简便运算
例2 计算:
(1) 102×98;
(2) (y+2) (y–2) – (y–1) (y+5) .
解: (1) 102×98
(2)(y+2)(y–2)– (y–1)(y+5)
=(100＋2)(100–2) = 1002–22
= y2–22–(y2+4y–5)
不符合平方差公式运
1. 公式中的a和b，既可以是具体的数，也可以是单项 式或者多项式；
2. 左边是两个二项式的积，并且有一项完全相同，另 一项互为相反数；
3. 右边是相同项的平方减去相反项的绝对值的平方.
(a–b)(a+b)
(1+x)(1–x) (–3+a)(–3–a)
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例3、提高与应用
（1）、4a 1 4a 1 16a2 1
（2）、运用平方差公式简便计算: 992 - 1
（3）、已知 x²-y²=8 , x+y=-4 ，求x-y的值。
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计算：
1002 992 982 972 ... 42 32 22 12 解：原式= (100 99)(100 99)
若a2 b2 1 , a b 1
4
2
求：a+b的值
先化简，再求值：
xy 2xy 2 2x2 y2 2 xy
其中：x 10, y 1 25
⑴ (2+a)(a-2) ⑶ (-4k+3)(-4k-3) ⑸ (-x-1)(x+1)
⑵ (3a+2b)(3a-2b) ⑷ (1-x)(-x-1) ⑹ (x+3)(x-2)
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例2 计算: (1) 102×98; (2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) . (3) 51×49; (4) (3x+4)(3x-4) – (2x+3) (3x-2).
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14.2.1 平方差公式
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(1) (x+1)(x−1)==；xx22−−112 (2) (m+2)(m−2)=；m2−422;
(3) (2x+1)(2x−1)==；4(2xx2 )−2 −1 1; 2 (4) (x+5y)(x−5y)==；xx22−−2(5y2)2;
新人教版平方差公式ppt课件
平方差公式
（a+b)(a-b)= a²-b²
两数和与这两数差的积 等于这两数的平方差 。
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂 拥而出 或留恋 财物， 要当机 立断， 披上浸 湿的衣 服或裹 上湿毛 毯、湿 被褥勇 敢地冲 出去
两数和乘以这两数的差
相同为a
适当交换
（a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
算一算，比一比，看谁算得又快又准!
计算下列各题
①(x+2)(x-2) = x²-4 ②(1+3a)(1-3a) =1-9a²=1-(3a)² ③(m+5n)(m-5n) =m²-25n²=m²-(5n)² ④(3y+z)(3y-z) =9y²-Z²=(3Z)²-Z²
同学们，你发现了什么规律？
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂 拥而出 或留恋 财物， 要当机 立断， 披上浸 湿的衣 服或裹 上湿毛 毯、湿 被褥勇 敢地冲 出去
合理加括号
相同数的平方减去相反数的平方
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂 拥而出 或留恋 财物， 要当机 立断， 披上浸 湿的衣 服或裹 上湿毛 毯、湿 被褥勇 敢地冲 出去
再 见！
相反为b 合理加括号
特点：相同数的平方减去相反数的平方。 公式变形:
1、(a-b)(a+b) = a2-b2 2、(b+a)(-b+a) = a2-b2
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂 拥而出 或留恋 财物， 要当机 立断， 披上浸 湿的衣 服或裹 上湿毛 毯、湿 被褥勇 敢地冲 出去
相同项的平方减去相反项的平方
3、判断正误
（1）（2b+a）(a-2b)=4b2-a2 ( ×)
a2-4b2
（a+b)(a-b)= a²-b²
两数和与这两数差的积 等于这两数的平方差 。
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂 拥而出 或留恋 财物， 要当机 立断， 披上浸 湿的衣 服或裹 上湿毛 毯、湿 被褥勇 敢地冲 出去
两数和乘以这两数的差
相同为a
适当交换
（a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
算一算，比一比，看谁算得又快又准!
计算下列各题
①(x+2)(x-2) = x²-4 ②(1+3a)(1-3a) =1-9a²=1-(3a)² ③(m+5n)(m-5n) =m²-25n²=m²-(5n)² ④(3y+z)(3y-z) =9y²-Z²=(3Z)²-Z²
同学们，你发现了什么规律？
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂 拥而出 或留恋 财物， 要当机 立断， 披上浸 湿的衣 服或裹 上湿毛 毯、湿 被褥勇 敢地冲 出去
合理加括号
相同数的平方减去相反数的平方
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂 拥而出 或留恋 财物， 要当机 立断， 披上浸 湿的衣 服或裹 上湿毛 毯、湿 被褥勇 敢地冲 出去
再 见！
相反为b 合理加括号
特点：相同数的平方减去相反数的平方。 公式变形:
1、(a-b)(a+b) = a2-b2 2、(b+a)(-b+a) = a2-b2
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂 拥而出 或留恋 财物， 要当机 立断， 披上浸 湿的衣 服或裹 上湿毛 毯、湿 被褥勇 敢地冲 出去
相同项的平方减去相反项的平方
3、判断正误
（1）（2b+a）(a-2b)=4b2-a2 ( ×)
a2-4b2
(名师整理)最新人教版数学八年级上册第14章第2节第1课时《平方差公式》精品课件
例2 计算
(1)102×98 （100 2）（100 2） (2) (y+2) (y -2) - (y -1) (y+5)
做课本108页练习1、2
学习目标 2．正确地运用平方差公式进行计算。
1、（ n+m)( n-m)=n2-m2 2、 (2x+3y) (2x-3y) =4x2-9y2 3、( 5+a )( 5-a )=25-a²
学习目标 2．正确地运用平方差公式进行计算。
例1 运用平方差公式计算：
（1）(3x 2y)(3x 2 y) (2)( x 2 y)( x 2 y)
解：（1）原式 (3x)2 （2 y）2 9x2 4y2
（2）原式 (-x)2 (2 y）2 x2 4y2
学习目标 2．正确地运用平方差公式进行计算。
从这个正方形纸板上，
剪下一个边长为b的小正方
ห้องสมุดไป่ตู้
形，如图1，拼成如图2的长
图1
方形，请分别表示它们的面
积，你发现了什么？
(a+b)(a－b) = a2－b2
图2
学习目标 1．掌握平方差公式的结构特征；
从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的 小正方形，如图，再沿虚线剪开，可以拼成什 么图形？能验证公式吗？
——牛顿
课后作业
1 . 从课后习题中选取； 2 . 完成练习册本课时的习题.
（2） (32xx 25)(3x 2)
你发现变化前和变化后有什么不同？
学习目标 1．掌握平方差公式的结构特征；
(a+b)(a－ b)
=a2－ ab+ab－ b2
= a2－ b2 .
(a+b)(a-b)=a2-b2
(1)102×98 （100 2）（100 2） (2) (y+2) (y -2) - (y -1) (y+5)
做课本108页练习1、2
学习目标 2．正确地运用平方差公式进行计算。
1、（ n+m)( n-m)=n2-m2 2、 (2x+3y) (2x-3y) =4x2-9y2 3、( 5+a )( 5-a )=25-a²
学习目标 2．正确地运用平方差公式进行计算。
例1 运用平方差公式计算：
（1）(3x 2y)(3x 2 y) (2)( x 2 y)( x 2 y)
解：（1）原式 (3x)2 （2 y）2 9x2 4y2
（2）原式 (-x)2 (2 y）2 x2 4y2
学习目标 2．正确地运用平方差公式进行计算。
从这个正方形纸板上，
剪下一个边长为b的小正方
ห้องสมุดไป่ตู้
形，如图1，拼成如图2的长
图1
方形，请分别表示它们的面
积，你发现了什么？
(a+b)(a－b) = a2－b2
图2
学习目标 1．掌握平方差公式的结构特征；
从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的 小正方形，如图，再沿虚线剪开，可以拼成什 么图形？能验证公式吗？
——牛顿
课后作业
1 . 从课后习题中选取； 2 . 完成练习册本课时的习题.
（2） (32xx 25)(3x 2)
你发现变化前和变化后有什么不同？
学习目标 1．掌握平方差公式的结构特征；
(a+b)(a－ b)
=a2－ ab+ab－ b2
= a2－ b2 .
(a+b)(a-b)=a2-b2
人教版八年级上册14.平方差公式课件
平方差 公式
字
母 符号表示：（a+b)(a-b)=a2-b2
七、布置作业
1.（必做题）运用平方差公式计算
（1）(a+2)(2- a) （3）(2a- 3b)(3b+2a)
（2）(xy+1)(xy-1)
（4）2001×1999
2.（必做题）先化简，再求值：
(2y+1)(2y-1)–(y-3)(y+2) ，其中:x=-1,y=-2.
a (a – b ) ( a + b)
等面积法 a
a2 - b2
b
b
图① b b a
图② b a
几何验证：(a – b ) ( a + b) = a2 - b2
判断题：判断下列式子可以用平方差公式计算吗？
(1) (2+a)(a−2) (2) (1−x)(−x−1) (3) (x+3)(x−2)
可以 可以 不可以
a
找出公式 中的
b
写成平方差形式
a2-b2
2.计算：
（1）98×102=?
（2）201×199=?
解：原式=（100＋2）(100－2) = 1002-22 =10000 – 4
=9996
通过合理变形，利 用平方差公式，可 以简化运算.
六：小结
两个数的和与这两个数的差的
内
容
积，等于这两个数的平方差
问题1 观察等号的左边具有什么共同的特征？
观察发现1： 等号的左边是两个数的和与这两个数的差的乘积. 问题2 观察等号右边的结果又有什么共同的特征？
观察发现2： 等号右边是这两数的平方差.
问题3 类比上面的式子能否用含字母a 、b 的式子表示你所发现的规律？
八年级数学上册教学课件《平方差公式》
( y-1)( y+5)可以用平方差公式进行运算吗？ 不能，不符合平方差公式的条件. 自己动手算一算.
解:（1）( y+2)( y-2)-( y-1)( y+5) =y2-4-( y2+4y-5) =1-4y;
（2）102×98 =(100+2)(100-2) =1002-22 =9996.
强化练习
【课本P108 练习 第2题】
3.运用平方差公式计算： （1）(a＋3b)(a－3b) （2）(3＋2a)(－3＋2a) （2）51×49 （4）(3x＋4)(3x－4) －(2x＋3)(3x－2)
【课本P108 练习 第2题】
3.运用平方差公式计算： （1）(a＋3b)(a－3b) （2）(3＋2a)(－3＋2a) （2）51×49 （4）(3x＋4)(3x－4) －(2x＋3)(3x－2)
下列式子能用平方差公式计算吗?
① (-3x+2)(3x-2)
② (b+2a)(22y)
能，4a2-b2 ④ (-x+y)(x-y)
能，x2-4y2
不能
随堂演练
1.下列多项式中，可以用平方差公式计算的
是( B )
A.(2a-3b)(-2a+3b)
B.(-3a+4b)(-4b-3a)
思考 你能根据图1中图形的面积说明平方差公式吗？
方法一：设矩形EBNM的面积+矩形ADFE的面
积=S.
A
D
E MF BN
S= (a-b)b+(a-b)a = a2-b2
.
方法二：剪下矩形EBNM拼到FBND的位置，
如图.
A
D(M) N
E
M
解:（1）( y+2)( y-2)-( y-1)( y+5) =y2-4-( y2+4y-5) =1-4y;
（2）102×98 =(100+2)(100-2) =1002-22 =9996.
强化练习
【课本P108 练习 第2题】
3.运用平方差公式计算： （1）(a＋3b)(a－3b) （2）(3＋2a)(－3＋2a) （2）51×49 （4）(3x＋4)(3x－4) －(2x＋3)(3x－2)
【课本P108 练习 第2题】
3.运用平方差公式计算： （1）(a＋3b)(a－3b) （2）(3＋2a)(－3＋2a) （2）51×49 （4）(3x＋4)(3x－4) －(2x＋3)(3x－2)
下列式子能用平方差公式计算吗?
① (-3x+2)(3x-2)
② (b+2a)(22y)
能，4a2-b2 ④ (-x+y)(x-y)
能，x2-4y2
不能
随堂演练
1.下列多项式中，可以用平方差公式计算的
是( B )
A.(2a-3b)(-2a+3b)
B.(-3a+4b)(-4b-3a)
思考 你能根据图1中图形的面积说明平方差公式吗？
方法一：设矩形EBNM的面积+矩形ADFE的面
积=S.
A
D
E MF BN
S= (a-b)b+(a-b)a = a2-b2
.
方法二：剪下矩形EBNM拼到FBND的位置，
如图.
A
D(M) N
E
M
最新人教版八年级上册期末复习平方差公式应用专题课件
分析:在(1)中,可以把3x看成a,2看成b,即
(3x+2) (3x - 2) = (3x)2 - 22
(a + b) (a - b) = a2 - b2
解:(1) (3x+2)(3x-2) (2) (b+2a)(2a-b) (3)(-x+2y)(-x-2y)
=(3x)2-22
=(2a+b)(2a-b) = (-x)2-(2y)2
拓展：当□、△为整式，平方差公式形象表示为：
□2－△2＝ (□＋△)(□－△)
例题展示 ☞
例1：利用平方差分解因式.
(14x2 - 9
先转化为
□2－△2
解：原式 = (2x2 - 32
= (2x + 3(2x - 3
= 4x2 - 32 = (4x + 3)(4x - 3)
错误！
注意：系数改写成某个数的 平方，从而形成某个整式的 完全平方。
等号左边：
等号右边：
项数：二项式 项的情势：平方项 平方项的运算：减法
两个底数的和与两个 底数的差的积。
二、认识 a与b.
a 2 - b 2 = ( a + b )( a - b) （2(x2m+0nz0）)6222-－-2(y0(+03p5x)y22)==2 =(2((x02+0m6zn+++2(y03+0x5yp)((22(0xm0+6nz-)--230(xy0y+5p)
※提炼：(a － b)2 = a2 － 2ab ＋ b2
例1：(1) (4m+n)2
(2) (y- 1 )2
2
(1) (4m + n) 2= (4m)2 + 2•(4m)•n+ n2= 16m2+8mn+n2
(3x+2) (3x - 2) = (3x)2 - 22
(a + b) (a - b) = a2 - b2
解:(1) (3x+2)(3x-2) (2) (b+2a)(2a-b) (3)(-x+2y)(-x-2y)
=(3x)2-22
=(2a+b)(2a-b) = (-x)2-(2y)2
拓展：当□、△为整式，平方差公式形象表示为：
□2－△2＝ (□＋△)(□－△)
例题展示 ☞
例1：利用平方差分解因式.
(14x2 - 9
先转化为
□2－△2
解：原式 = (2x2 - 32
= (2x + 3(2x - 3
= 4x2 - 32 = (4x + 3)(4x - 3)
错误！
注意：系数改写成某个数的 平方，从而形成某个整式的 完全平方。
等号左边：
等号右边：
项数：二项式 项的情势：平方项 平方项的运算：减法
两个底数的和与两个 底数的差的积。
二、认识 a与b.
a 2 - b 2 = ( a + b )( a - b) （2(x2m+0nz0）)6222-－-2(y0(+03p5x)y22)==2 =(2((x02+0m6zn+++2(y03+0x5yp)((22(0xm0+6nz-)--230(xy0y+5p)
※提炼：(a － b)2 = a2 － 2ab ＋ b2
例1：(1) (4m+n)2
(2) (y- 1 )2
2
(1) (4m + n) 2= (4m)2 + 2•(4m)•n+ n2= 16m2+8mn+n2
平方差公式公开课课件
证明方法三：归纳法证明
总结词：逻辑递推
详细描述：利用归纳法的思想，通过递推关系逐步推导，最终得出平方差公式。
PART 04
平方差公式的扩展与变形
REPORTING
WENKU DESIGN
PART 04
平方差公式的扩展与变形
REPORTING
WENKU DESIGN
平方差公式的扩展形式
平方差公式
证明方法二：代数证明
总结词：严谨推导
详细描述：通过代数恒等式的推导，逐步简化证明过程，最终得出平方差公式。
证明方法二：代数证明
总结词：严谨推导
详细描述：通过代数恒等式的推导，逐步简化证明过程，最终得出平方差公式。
证明方法三：归纳法证明
总结词：逻辑递推
详细描述：利用归纳法的思想，通过递推关系逐步推导，最终得出平方差公式。
平方差公式具有简洁的形式，易于记忆和应用。
详细描述
平方差公式由两个部分组成，即 (a^2 - b^2) 和 ((a+b)(a-b))。这两个部分通 过等号连接，表示它们之间的相等关系。在形式上，这是一个标准的代数恒等 式。
平方差公式的形式
总结词
平方差公式具有简洁的形式，易于记忆和应用。
详细描述
平方差公式由两个部分组成，即 (a^2 - b^2) 和 ((a+b)(a-b))。这两个部分通 过等号连接，表示它们之间的相等关系。在形式上，这是一个标准的代数恒等 式。
总结词：提升学生对平方 差公式的理解和应用能力
利用平方差公式计算 $(a+b+c)^2$和$(a-bc)^2$的值。
详细描述
计算$(a+2b+3c)^2$和 $(a-4b-5c)^2$的值。
八上数学(人教版)课件-平方差公式
会利用平方差公式进行简便运算． 【例 2】计算：20192－2018×2020.
【思路分析】可以先把 2018 转化成 2019－1，把 2020 转化成 2019＋1. 【规范解答】原式＝20192－(2019－1)(2019＋1)＝20192－20192＋1＝1. 【方法归纳】在根据平方差公式进行计算时，要注意必须满足以下条件：(1) 公式的左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一个是相同的项， 另一个是互为相反数的项；(2)公式的右边是两个数的平方的差的形式，而 且是用相同的项的平方减去互为相反数的项的平方.
A．(2a＋b)(2a－b)
B．(2a＋b)(b－2a)
C．(2a－b)(－2a－b)
D．(2a＋b)(－2a－b)
8．在下列多项式乘法中，可以运用平方差公式计算的是( D )
A．(x＋1)(1＋x)
B．(2a－b)(b－2a)
C．(－a－b)(a＋b)
D．(2x＋1)(1－2x)
9．(辽宁中考)下列运算正确的是( C )
C．2a2－3
D．2a2－9
4．计算： (1)(b＋2a)(2a－b)； (2)(－4x－3y)(－4x＋3y)； (3)(－2m－5)(2m－5)． 解：(1)原式＝4a2－b2； (2)原式＝16x2－9y2； (3)原式＝25－4m2.
知识点二：平方差公式的用
对于一些两个数乘积的计算，可以通过构造两个数的和乘以这两个数的差
【规范解答】(1)原式＝(5x2)2－(3y2)2＝25x4－9y4； (2)原式＝(－2a)2－b2＝4a2－b2； (3)原式＝(x2－1)(x2＋1)(x4＋1)(x8＋1)＝(x4－1)(x4＋1)(x8＋1)＝(x8－1)(x8＋ 1)＝x16－1. 【方法归纳】构造平方差公式计算是快速计算某些有理数乘法的好方法．构 造时，可利用两数的平均数，在解与两式(或两数)的乘积有关的问题时，只 要写成两数和与两数差相乘的形式，便可以顺利地利用平方差公式来解决 了．
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平方差公式
广州市白云区三元里中学 何小敏
有一个狡猾的庄园主,把一边长为x米的 正方形土地租给王大爷种植.有一年他对 王大爷说:“我把这块地的一边增加5米, 另一边减少5米,继续租给你,你也没吃亏, 你看如何?”王大爷一听觉得没有吃亏,就 答应了.回到家中,就把这件事对邻居讲了, 邻居一听,说:“王大爷您吃亏了!”王大爷 非常吃惊,同学们,你能告诉王大爷这是 为什么吗?
4x y
2
2
2
2
( abab ) ( ) a b
注意：当“项”是数与字母的乘积
时,要用括号把这个数整个括起来，再平 方,最后的结果又要去掉括号。
运用平方差公式计算： (4a1)(4a1)． 解 ：(4a−1)(4a−1) 方法一 利用加法交换律， 原式= (−1 4a ) (−1+ 4a ) 变成公式标准形式。 =(1)2 −(4a)2 = 1−16a2 方法二 提取 “−”号 ， 变成公式标准形式。 1) a−1) 解：(4a−1)(4 原式= (4a+1) (4a−1) = [ (4a)2 −1 ] = 1−16a2
再找 相反项b
合理加括号
灵活应变、能力提升
(1)(y+2)(y-2)-(y -1)(y+5).
要看清式子的结构，哪部分 解：原式=(y2－22)-(y2可用公式，哪部分不可用 +5y-y-5) .
= y2－4－y2-5y+y+5 =-4y+1.
灵活应变、能力提升
(2) 102×98. =1002－22 =10 000－4
当式子不能直接用公式时可对式子 进行变形，使它符合公式的条件，再用 公式解之．
解：原式=(100+2)(100-2)
=9 996.
灵活应变、能力提升
(3) (2a–b+1)(2a–b-1).
整体思想很重要. 解：原式=〔(2a-b)+1〕〔(2a-b)-1 〕
=(2a-b)2-12 =(2a-b)(2a-b)-1 =4a2-4ab+b2-1
(1) 左边两个二项式是： 两项的和与这两项差的乘积
结构特征 (2)
(3) 公式中的a和b 可以代表数或式
小试牛刀、巩固应用
你能在下列式子中找出与公式“a”“b”对应的项吗？
(1 )(3 x2)(3x2); 22 2 2 (2)(2 ab)(2ab). ( 4 a b 2 a ) b
x -x 2n
3 2y m
(m m+2n )(2 n-m 2n m)
快乐游戏、巩固识别
下列式子中，哪两个式子相乘能运用“平方差公 式” 进行计算.
① (y+2) ② (3x-2) ③ (-3+2a)
④ (-y+2) ⑤ (-3-2a) ⑥ (-3x+2)
精批细改，慧眼识珠
如果有错，请改正过来。
（1）（x-2)(x+2)=x2-2
巩固应用,探索公式
我们再看看( b＋2a)( 2a－b ) 这一式子还能用这 公式计算吗？
巩固应用,探索公式
我们再看看( b＋2a )( 2a－b )这一式子还能用这 公式计算吗？
( b＋2a)( 2a－b )
将式子变为(b－2a)(2a－b)，还可以用这个公 式吗？ (b＋2a)(2a－b) =(2a ) 2 －b2 (b－2a)(－2a－b) =(－2a ) 2 －b2 (－b－2a)(2a－b) =(－b ) 2 －(2a)2 (b－2a)(2a＋b) =(b ) 2 －(2a)2
(4) (x-3)(x+3)(x² +9) 解：原式=(x² -9)(x² +9)
= x - 81
(5)（2+1)(22+1)(24+1)(28+1)
将积式乘以（2-1）得：
2−12 =(2x) 4x2− 1. (4) (2x+1)(2x−1) =
观察以上算式及其运算结果，你发现了什么规律？
平方差公式
(a+b)(a-b) = a2−b2
即两个数的和乘以这两个数的差,等于这
两个数的平方差。
这个公式叫做(乘法的)平方差公式。
图形法验证公式
a a
b
b
边长为a的正方形纸 缺了一个边长为b的 正方形角，请你动手 剪成两部分后再拼成 一个长方形。
( 3 x 2 ) ( 3 x 2 ) (3x)2 22 2 9x 4
( abab ) ( ) a b
2 2
小试牛刀、巩固应用
你能在下列式子中找出与公式“a”“b”对应的项吗？
2 2 ( 3 )( 2 x y )( 2 x y ) ( 2 x ) ( y )
原来
5米
现在
(X+5)米
x米
2 x
Hale Waihona Puke 5米(X-5)(x+5)(x-5)
2
( x 5 )( x 5 ) x 5 x 5 x 25 x 2
2
计算下列各题:
2−52 (1) (x+5)(x−5) =x2 25;
(2) (x+1)(x−1) =x2−12;
22 2; = m m − − 2 4 (3) (m+2)(m−2) =
剖析公式，提示本质
右边 2 2 (a+b)(a−b)=a −b
相同项 相反项
2 2 − 相反项 相同项
左边
模拟演练，初试锋芒
填一填
(a+b)(a-b) (x +3 ) (x -3 ) (x- 2 y ) - x +2 2 y )(-x
a
(相同项）
b
(相反项）
a2-b2
x2-32 (-x)2-(2y)2 (2n)2 -m2
1 （ 2） ( 2 1 +4xy)( 2
( ×)
x2-4
1 -4xy)= 4
-16x2y2(√
)
（3）(-3a-2)(3a-2)=9a2-4 （4）(4x+3b)(4x-3b)=16x2-9
(× )
4 -9 a 2
( × ) 16x2-9b2
平方差公式的灵活运用
先找 相同项a
适当交换
2 2 (a+b)(a-b)= (a) - (b)
a
a-b
a
b
a-b
a
b
b
a-b
a
a-b
a
b
a-b
a
b
b
a-b
b
a
a-b
a
b
a
a-b
a
b
a-b
a
裁剪前的纸 a2-b2 的面积_______ 裁剪后的纸 (a+b)(a-b) 的面积_______
b
b
a-b
b
a
a-b
a
b
结论: (a+b)(a-b)=a2-b2
初识平方差公式
(a+b)(a−b)=a2−b2
广州市白云区三元里中学 何小敏
有一个狡猾的庄园主,把一边长为x米的 正方形土地租给王大爷种植.有一年他对 王大爷说:“我把这块地的一边增加5米, 另一边减少5米,继续租给你,你也没吃亏, 你看如何?”王大爷一听觉得没有吃亏,就 答应了.回到家中,就把这件事对邻居讲了, 邻居一听,说:“王大爷您吃亏了!”王大爷 非常吃惊,同学们,你能告诉王大爷这是 为什么吗?
4x y
2
2
2
2
( abab ) ( ) a b
注意：当“项”是数与字母的乘积
时,要用括号把这个数整个括起来，再平 方,最后的结果又要去掉括号。
运用平方差公式计算： (4a1)(4a1)． 解 ：(4a−1)(4a−1) 方法一 利用加法交换律， 原式= (−1 4a ) (−1+ 4a ) 变成公式标准形式。 =(1)2 −(4a)2 = 1−16a2 方法二 提取 “−”号 ， 变成公式标准形式。 1) a−1) 解：(4a−1)(4 原式= (4a+1) (4a−1) = [ (4a)2 −1 ] = 1−16a2
再找 相反项b
合理加括号
灵活应变、能力提升
(1)(y+2)(y-2)-(y -1)(y+5).
要看清式子的结构，哪部分 解：原式=(y2－22)-(y2可用公式，哪部分不可用 +5y-y-5) .
= y2－4－y2-5y+y+5 =-4y+1.
灵活应变、能力提升
(2) 102×98. =1002－22 =10 000－4
当式子不能直接用公式时可对式子 进行变形，使它符合公式的条件，再用 公式解之．
解：原式=(100+2)(100-2)
=9 996.
灵活应变、能力提升
(3) (2a–b+1)(2a–b-1).
整体思想很重要. 解：原式=〔(2a-b)+1〕〔(2a-b)-1 〕
=(2a-b)2-12 =(2a-b)(2a-b)-1 =4a2-4ab+b2-1
(1) 左边两个二项式是： 两项的和与这两项差的乘积
结构特征 (2)
(3) 公式中的a和b 可以代表数或式
小试牛刀、巩固应用
你能在下列式子中找出与公式“a”“b”对应的项吗？
(1 )(3 x2)(3x2); 22 2 2 (2)(2 ab)(2ab). ( 4 a b 2 a ) b
x -x 2n
3 2y m
(m m+2n )(2 n-m 2n m)
快乐游戏、巩固识别
下列式子中，哪两个式子相乘能运用“平方差公 式” 进行计算.
① (y+2) ② (3x-2) ③ (-3+2a)
④ (-y+2) ⑤ (-3-2a) ⑥ (-3x+2)
精批细改，慧眼识珠
如果有错，请改正过来。
（1）（x-2)(x+2)=x2-2
巩固应用,探索公式
我们再看看( b＋2a)( 2a－b ) 这一式子还能用这 公式计算吗？
巩固应用,探索公式
我们再看看( b＋2a )( 2a－b )这一式子还能用这 公式计算吗？
( b＋2a)( 2a－b )
将式子变为(b－2a)(2a－b)，还可以用这个公 式吗？ (b＋2a)(2a－b) =(2a ) 2 －b2 (b－2a)(－2a－b) =(－2a ) 2 －b2 (－b－2a)(2a－b) =(－b ) 2 －(2a)2 (b－2a)(2a＋b) =(b ) 2 －(2a)2
(4) (x-3)(x+3)(x² +9) 解：原式=(x² -9)(x² +9)
= x - 81
(5)（2+1)(22+1)(24+1)(28+1)
将积式乘以（2-1）得：
2−12 =(2x) 4x2− 1. (4) (2x+1)(2x−1) =
观察以上算式及其运算结果，你发现了什么规律？
平方差公式
(a+b)(a-b) = a2−b2
即两个数的和乘以这两个数的差,等于这
两个数的平方差。
这个公式叫做(乘法的)平方差公式。
图形法验证公式
a a
b
b
边长为a的正方形纸 缺了一个边长为b的 正方形角，请你动手 剪成两部分后再拼成 一个长方形。
( 3 x 2 ) ( 3 x 2 ) (3x)2 22 2 9x 4
( abab ) ( ) a b
2 2
小试牛刀、巩固应用
你能在下列式子中找出与公式“a”“b”对应的项吗？
2 2 ( 3 )( 2 x y )( 2 x y ) ( 2 x ) ( y )
原来
5米
现在
(X+5)米
x米
2 x
Hale Waihona Puke 5米(X-5)(x+5)(x-5)
2
( x 5 )( x 5 ) x 5 x 5 x 25 x 2
2
计算下列各题:
2−52 (1) (x+5)(x−5) =x2 25;
(2) (x+1)(x−1) =x2−12;
22 2; = m m − − 2 4 (3) (m+2)(m−2) =
剖析公式，提示本质
右边 2 2 (a+b)(a−b)=a −b
相同项 相反项
2 2 − 相反项 相同项
左边
模拟演练，初试锋芒
填一填
(a+b)(a-b) (x +3 ) (x -3 ) (x- 2 y ) - x +2 2 y )(-x
a
(相同项）
b
(相反项）
a2-b2
x2-32 (-x)2-(2y)2 (2n)2 -m2
1 （ 2） ( 2 1 +4xy)( 2
( ×)
x2-4
1 -4xy)= 4
-16x2y2(√
)
（3）(-3a-2)(3a-2)=9a2-4 （4）(4x+3b)(4x-3b)=16x2-9
(× )
4 -9 a 2
( × ) 16x2-9b2
平方差公式的灵活运用
先找 相同项a
适当交换
2 2 (a+b)(a-b)= (a) - (b)
a
a-b
a
b
a-b
a
b
b
a-b
a
a-b
a
b
a-b
a
b
b
a-b
b
a
a-b
a
b
a
a-b
a
b
a-b
a
裁剪前的纸 a2-b2 的面积_______ 裁剪后的纸 (a+b)(a-b) 的面积_______
b
b
a-b
b
a
a-b
a
b
结论: (a+b)(a-b)=a2-b2
初识平方差公式
(a+b)(a−b)=a2−b2