加减消元 - 副本
8.2.消元--解二元一次方程组(加减法)
由①+②得: 5x=10
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反 或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减， 就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程， 这种方法叫做加减消元法，简称加减法.
用直接消元法解方程组的特点是什么? 解这类方程组基本思路是什么？ 主要步骤有哪些？
特点: 同一个未知数的系数相同或互为相反数 二元 一元
基本思路: 加减消元:
主要步骤： 加减
求解 回代 写解
消去一个未知数后化 为一元一次方程 求出一个未知数的值 代入原方程求出另一个 未知数的值 写出方程组的解
一.填空题：
x+3y=17
1.已知方程组 2x-3y=6 y 分别相加 就可以消去未知数 只要两边 25x-7y=16 两个方程
2.已知方程组
8.2 加减消元 二元一次方程解法
1、根据等式性质填空:
<1>若a=b,那么a±c= b±c .(等式性质1) <2>若a=b,那么ac= bc . (等式性质2)
思考:若a=b,c=d,那么a±c=b±d吗? 2、用代入法解方程的关键是什么？ 二元
代入 转化
一元
3、解二元一次方程组的基本思路是什么？
A.6x=8 B.6x=18 C.6x=5 D.x=18
三.指出下列方程组求解过程中 有错误步骤，并给予订正： 7x－4y＝4 ①
3x－4y＝14①
②
5x＋4y＝2 5x－4y＝－4② 解:①－②，得 解 ①－②，得 2x＝4－4， －2x＝12 x＝ 0 x ＝－6 解: ①－②，得 解: ①＋②，得 8x＝16 2x＝4＋4， x ＝2 x＝ 4
消元: 二元
一元
消元的方法
消元的方法有两种：代入消元法例：解方程组：x+y=5①6x+13y=89②解：由①得x=5-y③把③代入②，得6(5-y)+13y=89即y=59/7把y=59/7代入③，得x=5-59/7即x=-24/7∴x=-24/7y=59/7 为方程组的解我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的方法叫做代入消元法（elimination by substitution)，简称代入法。
加减消元法例：解方程组：x+y=9①x-y=5②解：①+②2x=14即x=7把x=7代入①，得7+y=9解，得：y=2∴x=7y=2 为方程组的解像这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法（elimination by addition-subtraction)，简称加减法。
二元一次方程组的解有三种情况：1.有一组解如方程组x+y=5①6x+13y=89②x=-24/7y=59/7 为方程组的解2.有无数组解如方程组x+y=6①2x+2y=12②因为这两个方程实际上是一个方程(亦称作“方程有两个相等的实数根”)，所以此类方程组有无数组解。
3.无解如方程组x+y=4①2x+2y=10②，因为方程②化简后为x+y=5这与方程①相矛盾，所以此类方程组无解。
编辑本段构成加减消元法例：解方程组x+y=5①x-y=9②解：①+②，得2x=14即x=7把x=7带入①，得：7-y=9解，得：y=-2∴x=7y=-2 为方程组的解编辑本段解法二元一次方程组有两种解法,一种是代入消元法,一种是加减消元法.例:1)x-y=32)3x-8y=43)x=y+3代入得３×（y+３)-8y=4y=1所以x=4这个二元一次方程组的解x=4y=1以上就是代入消元法，简称代入法。
利用等式的性质使方程组中两个方程中的某一个未知数前的系数的绝对值相等，然后把两个方程相加（或相减），以消去这个未知数，是方程只含有一个未知数而得以求解。
这种解二元一次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法。
人教版数学七年级下册第8章第2课消元-解二元一次方程组(加减法)教案
$$\begin{cases}2x+3y=7 \\ x-4y=-3\end{cases}$$
（2）掌握加减消元法的计算步骤：引导学生遵循正确的计算步骤，包括方程的变形、乘法运算、加减运算等，确保求解过程准确无误。
（3）运用加减消元法求解二元一次方程组：培养学生将所学知识应用于实际问题的能力，掌握从问题中抽象出方程组，然后通过加减消元法求解。
（3）针对实际问题，教师可引导学生通过画图、列表等方法，将问题中的信息转化为方程组，进而求解。
（4）在讲解消元法的局限性时，可以举例说明当方程组中的系数相差较大时，使用加减消元法可能导致计算过程复杂，此时可以寻求代入法或其他解法。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“消元-解二元一次方程组（加减法）”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要同时解决两个问题的情况？”（例如：小明去商店买笔和本子，他知道自己总共花了多少钱，以及笔和本子的价格关系，如何求出笔和本子的单价？）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二元一次方程组的奥秘。
人教版数学七年级下册第8章第2课消元-解二元一次方程组（加减法)教案
一、教学内容
本节课为人教版数学七年级下册第8章第2课，主题为“消元-解二元一次方程组（加减法)”。教学内容主要包括以下几点：
1.理解加减消元法的基本原理；
2.学会使用加减消元法解二元一次方程组；
3.掌握判断二元一次方程组解的过程；
4.能够灵活运用加减消元法解决实际问题。
4.在小组讨论与合作中，增强沟通与表达能力，培养团队合作精神。
在教学过程中，关注学生核心素养的提升，注重培养学生对数学知识的深入理解和灵活运用能力，为学生的终身学习和可持续发展奠定基础。
消元法的基本步骤-概述说明以及解释
消元法的基本步骤-概述说明以及解释1.引言1.1 概述消元法是一种常用的数学求解方法，用于解决代数方程组或方程的问题。
通过使用代数运算，消元法能够将复杂的方程组转化为简单的形式，从而得到其解或者简化问题的求解过程。
消元法作为解决方程问题的经典方法，在数学和工程领域得到广泛应用。
本文将介绍消元法的基本步骤，包括定义、具体操作步骤以及应用领域。
通过了解消元法的原理和应用，读者可以更好地理解和运用这一方法来解决各类数学问题。
在接下来的章节中，我们将详细介绍消元法的定义和基本步骤。
首先，我们将通过对消元法的概述，了解其基本原理和工作方式。
接着，我们将介绍本文的结构和组织方式，以便读者能够更好地理解和阅读后续内容。
本文的目的是为读者提供一个清晰的消元法概述，并将其应用于实际问题中。
通过掌握消元法的基本步骤，读者将能够更加灵活地运用这一方法解决各种数学问题，并深入了解其在实际领域中的应用价值。
在下一章中，我们将详细介绍消元法的定义，包括其基本原理和使用方法。
请继续阅读下一章节，以了解更多有关消元法的知识。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以从以下几个方面进行阐述：1. 文章框架概述：在本节中，将对整篇文章的结构进行概括性的介绍，包括引言、正文和结论三个主要部分的内容以及各自的目的。
2. 引言部分：本部分主要用于引入文章的主题，并对消元法的基本概念进行简要阐述。
同时，说明为何对消元法进行研究和探讨的必要性。
3. 正文部分：本部分是文章的核心，详细讲解了消元法的基本步骤及其应用领域。
在对消元法的基本步骤进行阐述时，可以按照具体的操作流程进行分步骤的描述，并且可以配以图表进行说明，以便读者更好地理解和掌握。
在讲解消元法的应用领域时，可以列举一些常见或重要的实际案例并进行具体分析，说明消元法在不同领域的重要性和实用性。
4. 结论部分：本部分用于对全文进行总结和归纳。
首先，对消元法的重要性进行总结，强调其在实际问题求解中的作用和意义。
消元——解二元一次方程组(加减法1)
_互为相反数 ，把这两个方程的两边直接
__相__加___，就能消去未知数y.
解：由①＋②得 18X=10.8 ，x=0.6 .
把x= 0.6 代入①得1.8+10y=2.8 ,y=_0_._1_.
∴这个方程组的解为x 0.6
y
0.1
广东省怀集县怀城镇城东初级中学 邓秋焕
三、研学教材
练一练 用加减法解方程组
广东省怀集县怀城镇城东初级中学 邓秋焕
三、研学教材
练一练
用加减法解方程组
2x 3y 5 ① 2x 8y 3 ②
时， ①-②得一元一次方程__5_y_=_8______.
广东省怀集县怀城镇城东初级中学 邓秋焕
三、研学教材
知识点二 用加减法解二元一次方程组
3x+10y 2.8 ①
试一试 用加减法解方程组15x 10y 8 ② 分析：这两个方程中，未知数y的系数 ____
(2x+y)-(x+y)=40-22 解得x= 18 ,把x= 1_8 _
代入①得y= _4__ .
另外，由①－②也能消去未知数_____x__，
得(x+y)-(2x+y)=22-40最后解方程组的解为：
x __1_8_
y
__4__
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三Байду номын сангаас研学教材
知识点一 加减消元法
5 0
广东省怀集县怀城镇城东初级中学 邓秋焕
三、研学教材
解：练由一①练3 得 6x+15y=24 ③， 用由②（加③22减）④法得32解xx 下1251得yy列y方6851x4程+②①,4解组y=得：10y=④1141
加减消元法
加减消元法加减消元法是代数中的一种运算方法，常用于解决方程组。
它的思想是通过加减操作，消除未知数，从而求得方程组的解。
下面我们将详细介绍加减消元法的基本原理和应用。
加减消元法的基本原理是利用方程的等价性质，在方程组中进行加减操作，使得其中的某一未知数系数为0。
假设我们有一个由n个方程和n个未知数构成的方程组，可以表示为：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中，aᵢⱼ表示系数矩阵中第i行第j列的元素，xᵢ表示未知数，bᵢ表示常数项。
通过加减操作，我们可以将第j个方程的m倍加到第i个方程上，从而将第i个方程中的第j个未知数系数消除。
具体的操作可以表示为：aᵢⱼ' = aᵢⱼ - maₙₙbᵢ' = bᵢ - mbₙ其中，aᵢⱼ'表示新的第i行第j列的系数，bᵢ'表示新的常数项。
通过这样的操作，我们可以得到一个新的方程组。
经过一系列的加减操作，我们可以将方程组化简为一个上三角形矩阵形式：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁...............aₙₙ₋₁xₙ₋₁ + aₙₙxₙ = bₙ'其中，bₙ'为消元后的常数项。
接下来，我们可以利用回代的方式求解未知数。
从最后一行开始，可以得到最后一个未知数的值，然后依次往上求得其他未知数的值。
具体的操作可以表示为：xₙ = bₙ' / aₙₙxₙ₋₁ = (bₙ₋₁ - aₙₙ₋₁xₙ) / aₙₙ₋₁...x₁ = (b₁ - a₁₂x₂ - ... - a₁ₙxₙ) / a₁₁通过这样的操作，我们可以得到方程组的解。
加减消元法在实际应用中十分常见。
例如，在线性方程组求解、线性回归、最小二乘法等问题中，都可以使用加减消元法来求解问题。
消元法解题步骤
消元法解题步骤《消元法解题步骤》消元法是一种常用于数学解题的方法，主要用于解决方程组或方程式中的未知变量。
它的基本思想是通过对方程进行加减乘除等运算，逐步消除未知变量，最终得到简化的方程以求解未知变量的值。
下面将介绍消元法解题的基本步骤。
1. 理清方程的排列顺序：首先要明确方程中各个变量的顺序，特别是当方程较多时，要将它们整理成一个规范的形式。
2. 消去系数：通过乘以一个全等的数，将整个方程中的系数化简为整数或字母的最简形式。
这样可以避免运算中的小数或分数，减少误差的产生。
3. 制定消元策略：根据方程的形式和变量的个数，制定消元顺序。
一般情况下，可以选择先消去变量数较少的方程，或者选择某一个方程的某个变量进行消元。
4. 消去未知变量：按照制定的消元策略，逐步消去未知变量。
通过加减乘除等运算，将方程组逐步简化。
在消元的过程中，要注意保持方程组的等价性。
5. 求解未知变量：消元过程进行到最后，方程组中只剩下一个或少数几个未知变量。
根据这些简化后的方程，可以求解出未知变量的值。
6. 检验解的可行性：找到了未知变量的解后，要将其带入原始方程组进行验证。
如果验证结果与原方程组的等式相符，则该解是正确的，否则需要重新检查。
需要注意的是，消元法虽然是一种有效的解题方法，但并不适用于所有的数学问题。
在使用消元法时，应根据具体问题的性质和求解目标，选择合适的方法或思路。
有时候，消元法可能并不是最简便的解题方法，此时可以尝试其他的解题思路。
总之，消元法是一种重要的数学解题方法，通过合理的步骤和运算，可以有效地求解方程组或方程式中的未知变量。
在应用消元法时，需要对问题进行逐步分析和计算，最终得到正确的解答。
人教版消元——解二元一次方程组
基本思路: 加减消元: 二元
一元
主要步骤： 变形
加减 求解
同一个未知数的系 数相同或互为相反数 消去一个元
分别求出两个未知数的值
写解
写出方程组的解
2. 二元一次方程组解法有: 代入法、加减法
布置作业
教科书第98页 习题8.2 第3题
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
解后反思：
从上面的解答过程来看，对某些二元一次方 程组可通过两个方程两边分别相加或相减，消去 其中一个未知数，得到一个一元一次方程，从而 求出它的解，这种解二元一次方程组的方法叫做 加减消元法，简称加减法。
想一想：能用加减消元法解二元一次方程组的前
提是什么？ （同一个未知数的系数相同或互为相反数）
议一议：
1、解这类方程组基本思路是什么？
基本思路: 加减消元: 二元
一元
2、主要步骤有哪些？
主要步骤： 加减
消去一个元
求解 写解
分别求出两个未知数的值 写出原方程组的解
一.填空题：
x+3y=17
1.已知方程组
两个方程
2x-3y=6
只要两边 分别相加 就可以消去未知数 y
8.2.2加减消元
——二元一次方程组的解法
复习:
1、解二元一次方程组的基本思路是什么？
基本思路: 消元: 二元
一元
2、用代入法解方程的步骤是什么一？元
主要步骤：
变形
用一个未知数的代数式
表示另一个未知数
代入
消去一个元
求解 分别求出两个未知数的值
写解
写出方程组的解
怎样解下面的二元一次方程组呢？
3x5y 21 ① 2x 5y -11 ②
8.2 消元----解二元一次方程组(4)
解：设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割 小麦x hm2和y hm2.根据两种工作方式中的等量关系， 得方程组： 同一个未知 2(2 x 5 y) 3.6, 去括号，得 4 x 10 y 3.6, ①
②－①，得 11x=4.4，
5(3x 2 y) 8.
数的系数相 同，则两个 方程消减
问 题
分 抽 析 象
15 x 10 y 8. ②
方程组
求 检 解 验
解这个方程，得 x=0.4， 把x=0.4代入①，得y=0.2， x 0.4, 所以这个方程组的解是 y 0.2.
解 答
答:1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦0.4 hm2和重要.
解：设轮船在静水中的速度为x km/h，水的流速为y km/h，根据题意， x y 20， 得 x 18， 解这个方程组，得 x y 16. y 2. 答：轮船在静水中的速度为18 km/h，水的流速为2 km/h.
6.运输360吨化肥,装载了6节火车皮与15辆汽车;运输440吨化 肥,装载了8节火车皮与10辆汽车.每节火车皮与每辆汽车平 均各装多少吨化肥？
y 1.
x 11, y 2.
x 3 y 5,① 请模仿小军的“整体代换”法解方程组 3 x 10 y 13.②
7.某工厂第一车间工人人数比第二车间工人人数的2倍少10 人，若从第一车间抽调5人到第二车间，那么两个车间的人 数一样多， 问原来每个车间各有多少名工人？ 第一车间原有工人30名，第二车间原有工人20名
6.列方程组解应用题的一般步骤有哪些？
课后演练
x 1 y, 3 1. 二元一次方程组 的解是（ D 2( x 1) y 6
二元一次方程组的消元方法
二元一次方程组的消元方法作者：李章来源：《初中生(一年级)》2009年第05期解二元一次方程组最基本的思路是消元，通过消元将二元一次方程组转化为一元一次方程来解决.那么消元的途径有哪些呢？一般来说，有以下几种常见的消元方法.一、代入消元法例1解方程组：x-4y=-1，①2x+y=16. ②分析：如果将x－4y＝－1写成用一个未知数来表示另一个未知数的形式，那么用x表示y，还是用y表示x好呢?观察方程组，因为x的系数为正数，且系数也较小，所以用y来表示x较好.解：由①，得x= 4y－1，③把③代入②，得2（4y－1）＋y=16，解得y= 2．把y=2代入③，得x=7．所以方程组的解为x=7，y=2.评点：用代入消元法求解二元一次方程的关键是选择哪一个方程变形，消什么元.选得恰当往往会使计算简单，而且不易出错.选取的原则是：①选择未知数的系数是1或－l的方程；②常数项为0的方程；③若未知数的系数都不是1或－1，选系数的绝对值较小的方程.二、加减消元法例2解方程组：3x+2y=5，①2x-y=8. ②分析：本题虽然可以把②式变形后用代入消元法求解，但考虑到y的两个系数的符号相反且绝对值的差是1，所以用加减消元法解较简单.解：将方程②两边同乘以2，得4x－2y＝16，③把③和①相加，得7x＝21，解得x＝3.把x＝3代入②，得y＝－2.所以原方程组的解是x=3，y=-2.评点：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤是：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等，又不是互为相反数，就用适当的数乘以方程的两边，使其中的一个未知数的系数相等或互为相反数；②把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解这个一元一次方程；④将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数，从而得到方程组的解.加减消元法的步骤可以简单地归纳为下图：三、换元消元法例3解方程组：+ =13， - =3.分析：观察方程组，不难发现x+y和x-y都是以整体的形式出现的，故可通过换元的方法解题.设x+y＝m，x－y＝n，则原方程可转化为关于m和n的方程，解题时简单明了，不易出错.解：设x+y＝m，x－y＝n，则原方程组可变形为：m+ n=13， m- n=3.即3m+2n=78，4m-3n=36. 解得m=18，n=12.则有x+y=18，x-y=12.解得x=15，y=3. 所以原方程组的解为 x=15，y=3.评点：当二元一次方程组的结构比较复杂，但又有一定的规律时，可以考虑利用换元法把原方程组变成结构简单、求解方便的二元一次方程组.四、整体消元法例4解方程组3x+4z=23，①5x+y=8，② 6x+y+8z=49. ③解：由③可得2(3x＋4z)＋y=49. ④把①整体代入④，消去x、z，解得y=3，把y=3代入②，解得x=1，把x=1代入①，得z=5．原方程组的解为 x=1，y=3，z=5．评点：解二元以上的方程组的基本思路是消元，如化“三元”为“二元”.代入消元法是其中常用的一种方法.考虑到题目的结构特点，有时也可以用整体加减、整体代入等消元方法．五、参数消元法例5解方程组：= ，x+2y=11.分析：本题可以对＝化简后用代入消元法或加减消元法解题，但都有一定的运算量.若考虑用参数消元法，即用另一个字母同时代替x、y，求解时会出现意想不到的效果.解：设＝＝k，则x＝3k，y＝4k，把x＝3k，y＝4k代入x+2y＝11，得3k+2×4k＝11，解得k＝1，即x＝3k＝3，y＝4k＝4.所以原方程组的解为 x=3，y=4.评点：利用参数消元的目的是：通过参数换元把原来的方程组变为一元一次方程，从而降低难度.这种参数消元又称为设k法、归一法等.注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
二元一次方程组经典习题讲解 - 副本
x
一个数的绝对值也是一个非负数；两个非 负数的和为零就只能是每个数都为零，因 此，原方程就转化为方程组：
x y 2 0 2 x 3 y 5 0
重点：如果已知几个非负数的和为零，则 这几个数均为零。
②已知（3m+2n-16)2与|3m-n-1|互为相反数
求：m+n的值
第七章《二元一次方程组》
经典习题讲解
之——基础篇
1。解二元一次方程组的基本思路是
消元
相减
2。用加减法解方程组{ —— 直接消去———— 3。用加减法解方程组{
x
2x-5y=7① 由①与②—— 2x+3y=2② 4x+5y=28① 6x-5y=12②
由
y ①与②——，可直接消去————
相加
3x+4y=16① 4。用加减法解方程组{ ， 5x-6y=33② 若要消去Y，则应由 ①×？，②× ？ 再相 加，从而消去y。
2． 方程2x+y=9 在正整数范围内的解有＿＿＿个。 解 : 由 2x y 9 得 y 9 2x
取 x 1 , 2 , 3 , 4 得 y为正整数 x 1 x 2 x 3 x 4 y 7 y 5 y 3 y 1 故有四个解
题目中包含两个等量关系
鸡头+兔头=50 鸡脚+兔脚=140 那么设X只鸡，Y只兔，根据题意，得：
｛
X+Y=50
①
2X+2Y=140
②
然后解这个方程
之——提高篇
例: 解方程组 2x - 5y =7 2x + 3y =-1
｛
①
左-左=右-右
左+左=右+右
加减法解二元一次方程组教案和说课稿-副本
加减法解二元一次方程组教案和说课稿 - 副本加减消元—解二元一次方程组说课稿一、教材分析1、教材的地位和作用二元一次方程组安排在学生已经学过代数式和一元一次方程的知识之后，它是学习三元一次方程组的重要基础，同时也是以后学习函数、平面解析几何等知识以及物理、化学中的运算等不可缺少的工具。
对于学生理解并掌握方程思想、转化思想、消元法等重要的数学思想方法有着重要的意义。
本节课是在学生学习了代入法解二元一次方程组的基础上，继续学习另一种消元的方法---加减消元，它是学生系统学习二元一次方程组知识的前提和基础。
教材的编写目的是通过加减来达到消元的目的，让学生从中充分体会化未知为已知的转化过程，体会代数的一些特点和优越性;理解并掌握解二元一次方程组的最常用的基本方法，为以后函数等知识的学习打下基础.2、教学目标通过对新课程标准的的学习，结合我班学生的实际情况，我把本节课的三维教学目标确定如下:(一)知识与技能目标:1、会用加减消元法解简单的二元一次方程组。
2、理解加减消元法的基本思想，体会化未知为已知的化归思想方法。
(二)过程与方法目标:通过经历加减消元法解方程组，让学生体会消元思想的应用，经过引导、和交流让学生理解根据加减消元法解二元一次方程组的一般步骤。
(三)情感态度及价值观:通过交流学习获取成功体验，感受加减消元法的应用价值，激发学生的学习兴趣，培养学生养成认真倾听他人发言的习惯和勇于克服困难的意志。
3、教学重点、难点:由于七年级的学生年龄较小，在学习解二元一次方程组的过程中容易进行简单的模仿，往往不注意方程组解法的形成过程更无法真正理解消元的思想方法。
而大家都知道，数学的思想与方法才是数学的精髓，是联系各类数学知识的纽带，所以我将本节课的重点和难点确定如下:重点:用加减法解二元一次方程组。
难点: 灵活运用加减消元法的技巧，把“二元”转化为“一元”二、教法与学法结合七年级学生的年龄特征和认知特点，在教学中我主要采用讲解加上诱导.英国教育学家斯宾塞说过:“教课应该从具体开始，而以抽象结束。
消元法解二元一次方程组
消元法解方程组的应用实例
x + y = 30
使用加减消元法解得：x = 16, y = 14
x - y = (3 - 2) times (x/3 + y/2)
因此，甲比乙多走了16 14 = 2公里。
05 消元法的优缺点
优点
简单易行
消元法是一种基础的解二元一次方程组的方 法，其步骤简单明了，易于理解和操作。
结合其他方法
对于一些特殊形式的二元一次方程组，可以考虑结合其他方法如代 入法、参数法等来求解，以提高求解效率和准确性。
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代入消元法
通过将一个方程中的一个未知数 用另一个未知数表示，代入另一 个方程中，将二元一次方程组转 化为一元一次方程。
二元一次方程组的解的性质
解的唯一性
对于给定的二元一次方程组，其解是唯一的。
解的稳定性
当方程组的系数发生变化时，解不会发生改变。
03 消元法的步骤
代入消元法
1
代入消元法是通过将一个方程中的一个未知数用 另一个方程表示，然后将其代入另一个方程中求 解的方法。
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y = 2x - 1
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将第二个方程代入第一个方程中，得到
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2x + 3(2x - 1) = 7
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解得：x = 2, y = 1
加减消元法实例
加减消元法是通过两个方程相加或相 减来消除一个未知数的方法。例如，
对于方程组
在解二元一次方程组时，可以先尝试代入消元法，如果不行再考虑加减消 元法。
04 消元法解二元一次方程组 实例
七年级下册数学教案消元-解二元一次方程组
学校教师备课笔记学校教师备课笔记茄子西红柿FECADB教学环节教学活动设计意图让学生感受列表法的直观，体会用列表法梳理数量关系的好处，培养学生使用列表法的意识.学生交流解法，碰撞思维火花,体会一题多解的问题情境，学会从多种角度考虑问题.考查学生对探究问题的理解程度，同时让学生体会数学来源于生活，又服务于生活.教师活动学生活动备用图（1）学生先齐读，再小声读题，划出关键词句，明确问题让我们做什么.（2）学生分享找出的关键词句.（3）小组合作交流，完成三个任务：①找出等量关系；②设出恰当的未知数；③列出方程组.（4）学生代表板演解题过程并讲解.（5）学生讲完解法一后，教师引导学生重新回顾解法一，并给出下面的表格，由表格可以清楚地看出各个数据和等量关系，然后提倡学生采用列表法梳理等量关系.2.类比延展请加入生活中的其它实际背景（如：消毒液、花坛、黑板、墙报、窗户等）对这道题进行改编并写在下面的横线上.______________________________________________________四、当堂检测1.某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，要使一个螺栓配套两个螺帽，应如何分配工人才能使螺栓和螺帽刚好配套？设生产螺栓x人，生产螺帽y人，列方程组为( )茄子西红柿未知边长x y种植面积10x10y单位产量之比 1 2总产量之比10x2×10y法二：解：如图1，一种种植方案为：茄子、西红柿的种植区域分别为长方形AEFD和BCFE.设AE=x m，BE=y m.(31):(42)3:2÷÷=则⎩⎨⎧==+2:310:1020yxyx解这个方程组得⎩⎨⎧==812yx答：过长方形土地的长边上离一端12 m处，把这块地分为两个长方形．较大一块地种茄子，较小一块地种西红柿．学生自由发言根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500g）和小瓶装（250g）两种产品的销售数量（按瓶计算）比为2：5.某厂每天生产这种消毒液22.5t，这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？教学环节教学活动设计意图教师活动学生活动A.⎩⎨⎧==+yxyx241590B.⎩⎨⎧==yxyx4548-90C.⎩⎨⎧==+yxyx243090D.⎩⎨⎧=-=yxyx24)15(2-902.如图，8块相同的长方形地砖拼成一个大长方形，大长方形的宽为60 cm，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？五、归纳总结PPT回放几张重点幻灯片，引导学生回顾本节所学内容，谈一谈有哪些收获.六、布置作业必做题：1.课本P102 习题8.3 4、5选做题：课本P102 习题8.3 7学生讲解1.C2.解：设长方形的长为xcm，宽为ycm根据题意，列方程组⎩⎨⎧=++=6032yxyxx解这个方程组，得⎩⎨⎧==1545yx答：长方形的长为45cm，宽为15cm。
消元加减法练习题(打印版)
消元加减法练习题（打印版）### 消元加减法练习题（打印版）#### 一、基础消元加减法1. 解下列方程组，并找出x和y的值：\[\begin{cases}x + y = 5 \\x - y = 1\end{cases}\]2. 已知方程组：\[\begin{cases}2x + 3y = 11 \\3x - 4y = 5\end{cases}\]求x和y。
3. 求解以下方程组：\[\begin{cases}3x + 2y = 7 \\2x - 3y = 1\end{cases}\]#### 二、中等难度消元加减法4. 给定方程组：\[\begin{cases}x + 2y = 6 \\3x + y = 7\end{cases}\]找出x和y的值。
5. 解决以下方程组：\[\begin{cases}4x - 5y = 3 \\5x + 4y = 4\end{cases}\]6. 求出下列方程组的解：\[\begin{cases}2x + 5y = 10 \\-x + 3y = 4\end{cases}\]#### 三、高级消元加减法7. 求解方程组：\[\begin{cases}3x + 4y = 10 \\5x - 6y = 2\end{cases}\]8. 给定方程组：\[\begin{cases}2x + 3y = 8 \\4x - y = 5\end{cases}\]求x和y。
9. 找出以下方程组的解：\[\begin{cases}x + 3y = 5 \\4x - y = 6\end{cases}\]#### 四、混合消元加减法10. 解决以下方程组，并找出x和y的值： \[\begin{cases}2x + y = 4 \\3x - 2y = 5\end{cases}\]11. 给定方程组：\[\begin{cases}x + 2y = 7 \\3x - 4y = 9\end{cases}\]求x和y。
加减 消元法
加减消元法【教学目标】知识与技能：学会用加减消元法求未知数系数相等或互为相反数的二元一次方程组的解；方法与过程：学生通过探求二元一次方程组的解法，经历用加减法把“二元”化为“一元”的过程，体会消元思想，以及把“未知”转化为“已知”的化归思想；情感、态度与价值观：体验数学学习的乐趣，在探索过程中品尝成功的喜悦，树立学好数学的信心。
教学重点：用加减消元法解二元一次方程组。
教学难点：两个方程加减消元时符号的正确处理。
【教学过程】一、复习引入1 解二元一次方程组的基本思路是什么？基本思路：消元（二元 一元）。
2 用代入消元法的基本步骤是什么?变形 用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数,写成y=ax+b 或x=ay+b ，命名③；代入 把变形后的方程③代入到另一个方程中，消去一个元；求解 求出一个未知数的值，再将这个值代入③中求出另一个未知数值；写解 写出方程的解 x =ay =b 。
今天，我们接着来探究解二元一次方程组的方法。
二、新课探究1 解方程组 3x +5y =5①3x -4y =23②由学生自主探究，给出不同的解法。
代入方程②中消x . 解法一：由①得： 解法二：把3x 看做是一个整体，由①得3x =5-5y 代入方程②中，消去3x .这两种解法都正确，那哪一种解法更简便，正确率更高呢？同学们想一想，还有没有更简便的解法？教师可适当引导：问题1：观察这两个方程，未知数x 的系数有什么特点？(相等)问题2：除了代入消元法，你还有别的办法消去x 吗？（两个方程的两边分别对应相减，就可消去x ,得到一个一元一次方程）解法三：由①-②得：(3x +5y )-(3x -4y )=5-23,3x +5y -3x +4y =5-239y =-18,所以y =-2.5-5y 3x③将y =-2代入①或②中，得到x =5.所以原方程组的解为注意：两个方程的左边相减时要先添上括号再去括号，第二个括号前是“—”号，去掉括号时括号里每一项都要改变正负号。
消元法
消元法
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 宋凤英
数学大世界（初中版） SHUXUE DASHIJIE(CHUZHONGBAN) 2012(9)
本文链接：/Periodical_sxdsj-c201209001.aspx
则￡－＝￡Ｆ，［２＝［鲋Ｆ，筹＝笔，筹＝笔． ④÷②得茗。＝÷或聋：＝一季
◆．－敷幸Ｉ大世界心ｏ＿９■ｖ。． ＋
牝删眨或睁
④÷③龇＝知扎＝号
④÷①得毛＝６或屯＝一６．
３ ３ ２ ２ ３ —６．
．・．原方程组的解是｛三 隹
２ ２ ３ ＝６
２
点拨本题用乘除消元法很容易求出方程组的解，
还可用①÷②得÷＝÷． ．・．：＝４菇再代入③得４聋２＝９．．．．算＝±寻，以下略． 叠露
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方法更简捷便当． 则并＝２＾，ｙ＝３＆，ｚ＝４｜｜｝． 原式＝南§和．；．．；＇争
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知识点提要 消元法就是由一些未知数间的已知等量关系，通过 有限次的恒等变形，消去其中某些未知数，而得到另一 些相关未知数间的等量关系的数学方法． 常用的方法有如下几种： 代入消元法：把—个未知数用其他未知数代替的方法 加减消元法：就是通过加减的方法消去一个未知数 的方法． 乘除消元法：就是通过乘除的方法消去一个未知数 或整体的方法． 重点与难点扫描 运用消元法时，要分析和对比已知中未知数的系数 和次数，选择恰当的消元方法，消去一个未知数或几个 未知数． 消元法是解方程组不可缺少的方法，常常通过消 点拨可见设比值．ｉＩ后再代入消元，使化简更简捷， 此方法是代数式化简、求值和代数式证明常用的方法． 入消元（此解法略），但采用先设比值，后再代人消元，此
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思 考: 从上面的解答过程中，你发现解二元一 次方程组的新解法吗？ 加减法概念： 二元一次方程组中，同一未知数的 系数相反或相等时，把这两个方程的两 边分别相加或相减，就能消去这个未知 数，得到一个一元一次方程，这种方法 叫做加减消元法，简称加减法．
8.2消元——解二元一次方程组
---------加减消元法
1.解二元一次方程组的基本思路是什么? 一元 消元: 二元 2.用代入法解方程组的主要步骤是什么？
变形 用一个未知数表示另一个未知数 把变形好的方程代入另一个方程 分别求出两个未知数的值 写出方程组的解
代入 求解
写解
1.已知x+y=7,用含x的代数式表示y,则
y=___; 用含y的代数式表示x,则x =___. 2.用代入消元法解方程组:
3 x 5 y 21 2 x 5 y -11
① ②
3 x 5 y 21 2 x 5 y -11
5 y 11 由②变形得： x 2
①
②
代入①，消去
x
小明
3 x 5 y 21 2 x 5 y -11
可以直接代入②
小彬
①
②
由①变形得： 5y=21-3x
大家想一想:除了用代入法之外,还有没有 其他的方法来消元呢?
做一做：（填“
(1)3x (2)9x
+
”或“
-
”）
+ (-3x)= 0
+ (-9x)=0
y = 0
想一想：在一个方程组里，如果某个未知数的 系数相等或互为相反数，我们可不可以用相减 或相加消去这个未知数呢？
如何用加减消元法解下列二元一次方程组？ （P95例3）
3x +4y =16 5x -6y =33
二 元 一 次 方 程 组
3x+4y=16 3x+4y=16
①×5
使未知数x 系数相等
15x+20y=80
5x-6y=33
解得x
代 入
②×3
15x-18y=99
x=6
1 y= 2
解得y
两 式 消 相 x 减
3x-2y=5 消去y后所得的方程是( C ) 2.方程组 3x+2y=13 A.6x=8 B.6x=5 C.6x=18 D. x=18
三、指出错误步骤，并给予订正：
7x－4y＝4
①
3x－4y＝14 5x＋4y＝2
① ②
5x－4y＝－4 ②
解:①－②，得 2x＝4－4， x＝0
解:①－②，得 2x＝4＋4， x＝4
问 题
不用代入法，怎样解下面 的二元一次方程组呢？
3 x 5 y 21 2 x 5 y -11
①
②
5 y和 5 y
互为相反数„„
按照小丽的思路，你能消 去一个未知数吗？
3x 5y 21 ① 小丽 2 x 5 y -11 ② （ 分析： 2x ＋ 5y）+（3x - 5y）= 21 +（-11）
①左边 + ②左边 = ①右边 + ②右边
2x+5y +3x - 5y=10 5x=10 x=2
3x 5y 21 2 x 5 y -11
①
②
解:由①+②，得 5x=10 x=2 把x＝2代入①，得 2×2-5y=-11 y =3 x= 2 所以原方程组的解是 y= 3
2x 5y 13 3x 5 y 7
解:由①+②得, 5x=20 x =4 把x＝4代入①，得 2×4+5y=13 y =1 所以原方程组的解是
① ②
x= 4
y= 1
参考小丽的思路，怎样解下面的方 程组呢？
分析：
2x 5y 7 2 x 3 y 1
① ②
特点：1、x系数相等“2” 2、消元方法：相减，
2x 5y 7 ① 2 x 3 y 1 ②
2. 二元一次方程组解法有： 代入法、加减法 .
五、作业
1、课本P-98[习题8.2]第3题（写在作业） 2、导学案42（不用做：解2）
3、思考题： 在解二元一次方程组中, 代入法 和加减法有什么异同点?
38y=-19
一.填空题：
1.已知方程组
2x+7y=17
4x-7y=6 两个方程
只要两边 分别相加， 就可以消去未知数 y 23x-9y=18
23x+6y=-12 就可以消去未知数 x 只要两边 分别相减，
2.已知方程组
两个方程
二.选择题：
8x+7y=－19 ① 1. 用加减法解方程组 （ B） 8x-5y=17 ② A.①-②消去y B.①-②消去x B. ②-①消去常数项 D. 以上都不对
解：①－②，得 －2x＝12 x＝－6 解: ①＋②，得 8x＝16 x ＝2
四. 用加减法解方程组：
教科书P96 练习1
小结 ：
1.加减消元法解方程组基本思路是什么？ 主要步骤有哪些？
基本思路:加减消元:二元
主要步骤： 变形 加减 求解 写解
一元
同一个未知数的系 数相同或互为相反数 消去一个元 求出两个未知数的值 写出方程组的解