必修2-1.2.2空间中的平行关系(三)

课堂小结
• 一个概念
1.两个平面平行的定义;
• 两个定理
1．面面平行的判定定理☆ 2．面面平行的性质定理☆


a A b
a
判定定理:一个平面内两条相交直线分别平行于另 • 一个思想---化归思想 . 一个平面，那么这两个平面平行 b 推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于 性质定理： 如果两个平行平面同时和第 结论： 1、如果两个平面平行，那么一个平面的直线 面面平行 线面平行 另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行 . 三个平面相交，那么它们的交线平行． 一定平行于另一个平面。
பைடு நூலகம்

第一、二层的底面α和β 无论怎样延展都没有公共点；



平行
二层楼房示意图
一、两平面平行：
1、定义：如果两个平面没有公共点，那 么这两个平面互相平行，也叫做平行平面.
（ 1）平面 平行于平面，记作： / / .
(2) 画法：


1若内有一条直线a与平行,
则 与平行吗？
a

a
总结： （线面平行
判定定理
a //
(符号语言)
b
a // b
线线平行）
线线平行
性质定理
线面平行
1、理解掌握平面与平面平行的
判定定理和性质定理;
2、掌握平面与平面平行的判定 定理和性质定理的简单应用。
请同学们观察右图,这是一个二层楼房的简易图,在 其中的四个平面,,,中,两个平面可能有哪几种位置关 系?你能根据公共点的情况进行分类吗? 前、后两面房顶γ和δ则有一条交线AB． 相交
结论：2、平行于同一个平面的两个平面平行。
线线平行
平面//平面，直线a，b相交于点S，且直线a 分别交、于点A、B，直线b分别交、于点C、D, 已知AS=1，BS=2，CD=9，求线段CS的长。
S
A
C
[拓展提高]

b

D
S

a
B
C
A
b

D
a
B
判定定理剖析：
1〉两条 条件要点：内有2〉相交 直线 3〉分别和平行 结论： //

P
b a

证题思路：要证明两平面平行，关键是在其中 一个平面内找出两条相交直线分别平行于另一 个平面.
化归思想
定理的应用
例1 如图 : 已知正方体
ABCD A1B1C1D1.
D1 C1

探究：
假设
b

P a
m

a // a
m

a / / m 同理：b//m
矛盾
二、两个平面平行的判定
判定定理：如果一个平面内有两条相 交直线平行于另一个平面，那么这两个平 面平行．
P 符号语言：
b a b P / / a / / b / /
所以与 没有公共点,
因而交线 a,b也没有公共点, 又因为 a , b都在平面 所以
化归思想
内,
a∥b.
合作探究：
如果两个平面平行，那么
（１）一个平面内的直线是否平行于另一个平面? （２）分别在两个平面内的两条直线是否平行？ （3）平行于同一个平面的两个平面是否平行。 对于第一个问题根据线面平行和面面平行的概 念可知正确． 第二个问题有两中可能：分别是平行或异面.
于点A、B、C和点D、E、F，
a
b
D


A
B
求证:
AB DE BC EF
E1
F1
E
分析: 过点A作平行于直线 b 的 直线交 , 于点 E1 和 F1 ， 连接 BE1 , CF1 , AD, EE1 ,和FF1.

C

F
例4 已知：如图， //，点P是平面， 外一点，直线PAB, PCD分别与， 相交于点A,B和C,D: 求证：(1)AC//BD; (2)已知PA=4,AB=5,PC=3,求PD的长。
2014年4月7日星期一
平面与平面 平行
复习回顾
(1)直线与平面平行的判定定理
如果平面外一条直线与平面内的一条直线平行， 那么这条直线与这个平面平行． a

(文字语言) (图形语言) (符号语言)
b
a , b , a // b a //
线线平行
线面平行
(2)直线与平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面 和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平 行．(文字语言) (图形语言)
所以 平面AB1D1//平面C1BD.
C
同理，D1B1//平面C1BD， 所以，D1A//平面C1BD，
推论:如果一个平面内有两条相交直线 分别平行于另一个平面内的两条直线， 则这两个平面平行。
a ,b , a b A
b


a // n, b // m, n , m
A
D
E
F C B
性质
AB 平面ABC BC 平面ABC
所以 平面DEF//平面ABD
三、两个平面平行的性质 :
性质定理：如果两个平行平面同时和第 三个平面相交，那么它们的交线平行．
已知: 求证:
证明: 因为∥ ,
∥ , a, b. a∥b



a
b
P
C

A
D

B
巩固练习:
1.判断下列命题是否正确,并说明理由.
(1).过已知平面外一点,有且只有一个平面与已知平面平行. (
√
)
(2)过已知平面外一条直线,必能作出与已知平面平行的平面. (
×)
2.六棱柱的表面中,互相平行的面最多 有_________ 对. 4
3.求证:夹在两个平行平 面间的平行线段相等.
A
a m n
//
例2、 已知:三棱锥P-ABC中，D,E,F分别
是棱PA,PB,PC的中点 求证:平面DEF//平面ABC
证明：在△PAB中， 因为 D,E分别是PA,PB的中点，
所以 同理
又因为 DE EF E,
DE//AB. EF//BC
P
DE 平面DEF EF 平面DEF
1 1
求证: 平面B1 AD1 // 平面BC1D. B A 证明:∵ ABCD A1B1C1D1为正方体 ∴D1C1// AB ，且 D1C1 = AB， D A B ∴D1C1AB为平行四边形， 则D1A//C1B. 又D1 A 平面C1BD，C1B 平面C1BD，
又D1 A D1B1 D1 ,
a
定理的理解:
1、下面的说法正确吗？
(1) 如果一个平面内有两条直线分别平行于另
一个平面,那么这两个平面平行.( 另一个平面,那么这两个平面平行.( 个平面,那么这两个平面平行.( ) ） × ) ×
(2) 如果一个平面内有无数条直线分别平行于
×
)
(3) 如果一个平面内任意一条直线平行于另一
(4)平行于同一条直线的两个平面平行.（
两个重要结论：
结论1：如果两个平面平行，那么一个 平面内的直线一定平行于另一个平面。 结论2:
平行于同一个平面的两个平面平行。
// // //



例3.已知两条直线和三个平 行平面都相交，求证所截 得的线段对应成比例． 已知: ∥ ∥ , 直线a 和 b 分别交
B
已知: ∥ , AA∥BB, A , A , B , B . B′ 求证: AA BB A′ 证明: 连结AB, AB. 因为AA∥ BB, 所以经过AA，BB能确定一个平面，记为平面 .

A
AB AB AB∥ AB AA∥BB ∥ AABB是平行四边形 AA BB.
a



(两平面平行)
(两平面相交)
2若内有两条直线a, b分别与平行,
则与平行吗？
1 若a // b时，则与平行吗？
0

a b

a b

(两平面平行)

(两平面相交)
2若内有两条直线a, b分别与平行,
则与平行吗？
2 若a b P时，则与平行吗？
0

P
b a