初中数学定义、定理汇总

初中数学定义、定理超级大全
1.1有理数 1.1.1有理数的定义：整数和分数的统称。 1.1.2有理数的分类： （1）分为整数和分数。而整数分为正整数、零和负整数 ；分数分为正分数和负分数。 （2）分为正有理数、零和负有理数。而正有理数分为正整数和正分数；负有理数分为负整数和负分 数。 1.1.3数轴 1.1.3.1数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 1.1.3.2数轴的三要素：①原点②正方向③单位长度 1.1.3.3每个有理数都能用数轴上的点表示 1.1.4相反数 1.1.4.1相反数的定义：只有符号不同的两个数就做互为相反数（注：0的相反数为0 1.1.4.2相反数的意义：离原点距离相等的两个点所表示的两个数互为相反数 1.1.4.3相反数的判别 （1）若 ，则 、 互为相反数 （2）若两个数的绝对值相等，且符号相反，则这两个数互为相反数。 1.1.5倒数 1.1.5.1倒数的定义：若两个数的乘积等于1，则这两个数互为倒数。（若ab=1 ，则 a、b互为倒数） 注：零没有倒数。 1.1.6绝对值 1.1.6.1绝对值的定义：在数轴上，表示一个数到原点的距离（a的绝对值记作∣a∣） 1.1.6.2绝对值的性质：∣a∣≥0 1.1.7有理数大小的比较 1.1.7.1正数大于0，负数小于0 1.1.7.2正数大于负数 1.1.7.3两个正数，绝对值大的这个数就大，绝对值小的这个数就小；两个负数，绝对值大的这个数 就小，绝对值小的这个数就大。 1.1.7.4作差法：两个有理数相减。若大于0，则被减数大；若等于0，则两个数相等；若小于0，则 减数大。 1.1.7.5作商法：两个有理数相除（除数或分母不为0）。若大于1，则被除数大；若等于1，则两个 数相等；若小于1，则除数大。 1.1.8有理数的加法 1.1.8.1运算法则：①符号相同的两个数相加，取相同的符号，并把绝对值相加②绝对值不相等的异 号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值（互为相反数的两个 数相加等于0）③任何有理数加0仍等于这个数。 1.1.8.2加法交换律在有理数加法中仍然适用，即： a+b=b+a 1.1.8.3加法结合律在有理数加法中仍然适用，即: a+(b+c)=(a+b)+c 1.1.9有理数的减法 1.1.9.1运算法则：减去一个数等于加上这个数的相反数 1.1.9.2有理数减法—转化→有理数加法 1.1.10有理数的乘法 1.1.10.1运算法则：①两个数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘（口诀：正正得正，负 负得正，正负的负，负正的负）②任何有理数乘0仍等于0③多个不等于0的有理数相乘时，积的符号 由负因式的个数决定：当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。 1.1.10.2乘法交换律在有理数乘法中仍然适用，即 1.1.10.3乘法结合律在有理数乘法中仍然适用，即
1.1.10.4乘法分配律在有理数乘法中仍然适用，即 1.1.11有理数的除法 1.1.11.1运算法则：除以一个数等于乘上这个数的倒数（除数不能为0，否则无意义） 1.1.11.2有理数除法—转化→有理数乘法 1.1.12有理数的乘方 1.1.12.1有理数乘方的意义：求相同因数积的运算叫做乘方 1.1.12.2有理数乘方的表示方法： 个相同因数 相乘表示为 ，其中 称为底数， 称为指数，而乘方 的结果叫做幂，读作“ 的 次方”或“ 的 次幂”（当 =2时，读作 的平方，简称 方） 1.1.12.3运算规律：①正数于0（0次幂除外）④任何数的零次幂都等于1（0次幂除外） 1.1.13有理数的混合运算 1.1.13.1运算顺序：①先算乘方（即：三级运算），再算乘除（即：二级运算），最后算加减（即： 一级运算）②如果是同级运算，则按从左到右的运算顺序计算③如果有括号，先算小括号，再算中 括号，最后算大括号。 1.1.14科学记数法 1.1.14.1科学记数法的定义：把一个大于10的有理数记成 的形式（其中1≤ ≤10）叫做科学记数法。 1.1.15近似数 1.1.15.1近似数的定义：接近准确数而不等于准确数的数叫做这个准确数的近似数或近似值。 1.1.15.2求近似值的方法：①四舍五入法②收尾法（进一法）③去尾法。 1.1.15.3有效数字的定义：一个近似数精确到哪一位，从左起第一个不是0的数字起，到这一位数字 上的所有数字（包括其中的0）叫做这个近似值的有效数字。 1.2 实数 1.2.1平方根 1.2.1.1平方根的定义：如果一个数的平方等于 ，这个数就叫做 的平方根（或二次方根），即 ， 我们就说 是 的平方根。 1.2.1.2平方根的表示方法：如果 （ ＞0），则 的平方根 记作 ，“ ”读作“正负根号 ”，其中 读 作“二次根号”，2叫做根指数， 叫做被开方数。 1.2.1.3平方根的性质：一个正数的平方根有两个，这两个平方根互为相反数；0的平方根只有一个， 就是0；负数没有平方根。 1.2.1.4开平方的定义：求一个数的平方根的运算就叫做开平方（开平方和平方互为逆运算）。 1.2.2算术平方根 1.2.2.1算术平方根的定义：正数 有两个平方根，其中正数a的正的平方根叫做 的算术平方根，记 作 ，读作“根号 ”。 1.2.2.2算术平方根的性质：①具有双重非负性，即： ≥0， ≥0② =a（ ≥0）③ =∣ ∣，当 ≥0 时， =∣ ∣= ；当 ≤0时， =∣ ∣=1.2.3立方根 1.2.3.1立方根的定义：如果一个数的立方等于 ，这个数就叫做 的立方根（或叫做 的三次方根） 1.2.3.2立方根的表示方法：如果 ,则x叫做a的立方根，记作 ，其中 叫做被开方数，3叫做根指数。 1.2.3.3立方根的性质：①正数有一个立方根，仍为正数，负数有一个立方根，仍为负数，0的立方 根仍为0。② 1.2.3.4开立方的定义：求一个数的立方根的运算叫做开立方（它与立方互为逆运算） 1.2.4无理数 1.2.4.1无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数。 1.2.4.2判断无理数的注意事项：①带根号的数不一定是无理数，如 是有理数，而不是无理数；② 无理数不一定是开方开不尽的数，如圆周率 1.2.5实数 1.2.5.1实数的定义：有理数和无理数的统称 1.2.5.2实数的性质：①实数与数轴上的点一一对应②实数a的相反数是-a，实数 的倒数是 （ ≠0） ③∣ ∣≥0，∣ ∣=∣- ∣④有理数范围内的运算律、幂的运算法则、乘法公式，在实数范围内同
2.2.2.8平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，即 （注意事项：公 式中的 ， 所代表的内容具有广泛性，可以表示数字，也可以表示单项式或多项式） 2.2.2.9完全平方公式：两个数和（或差）的平方等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的2倍， 即： (注意事项：公式中的a，b所代表的内容具有广泛性，可以表示数字，也可以表示单项式或多 项式） 2.2.2.10立方和与立方差公式：两数和（或差）乘以它们的平方和与它们积的差（或和），等于这 两个数的立方和（或立方差），即 2.2.2.11其他乘法公式： ① ② 2.2.3因式分解 2.2.3.1因式分解的定义：把一个多项式化成几个单项式的积的形式，叫做多项式的因式分解。 2.2.3.2因式分解的注意事项：因式分解要分解到不能再分解为止；因式分解与整式乘法互为逆运算。 2.2.3.3公因式的定义：一个多项式的各项都含有的相同的因式叫做这个多项式各项的公因式。 2.2.3.4分解因式的方法：①提取公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括 号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种因式分解叫做提取公因式法。即： ②运用公式法:反 用乘法公式，可以把某些多项式分解因式，这种方法叫做运用公式法（常用的有： 和 ）③分组分 解法：利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法④十字相乘法：将 型的二次三项式分解为 。 2.3分式 2.3.1分式的概念 2.3.1.1分式的定义：A，B表示两个整式，如果B中含有字母，式子 就叫做分式。其中A叫做分式的 分子，B叫做分式的分母。 2.3.1.2 有理式的定义：整式和分式的统称。 2.3.1.3 繁分式的定义：分式的分子或分母中含有分式，这样的分式叫做繁分式。 2.3.1.4最简分式的定义：当一个分式的分子和分母没有公因式的时候就叫做最简分式。 2.3.1.5约分的定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去的过程就叫做约 分。 2.3.1.6通分的定义：把异分母的分式化成和原来的分式相等的同分母的分式的过程叫做通分。 2.3.2分式的基本性质 2.3.2.1分式的基本性质：分式的分子分母都同时乘以或同时除以一个不为0的整式，分式的值不变， 即 2.3.2.2分式的符号法则：分式的分子、分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值都不 变，即 2.3.3分式的运算 2.3.2.3 分式的加减法计算法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减，即 ；异分母分式相 加减，先通分成同分母的分式，再按同分母的分式相加减的法则进行计算，即 . 2.3.2.4分式的乘除法计算法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母， 即 ；分式除以分式，把除式的分子分母颠倒位置后，再按分式的乘法法则进行计算。 2.3.2.5分式的混合运算：①先算乘方（即：三级运算），再算乘除（即：二级运算），最后算加减 （即：一级运算）②如果是同级运算，则按从左到右的运算顺序计算③如果有括号，先算小括号， 再算中括号，最后算大括号。 三、方程与方程组 3.1方程与方程组 3.1.1基本概念 3.1.1.1等式的定义：用等号表示相等关系的式子叫做等式。 3.1.1.2等式的性质：①等式两边同时加上或同时减去一个数或一个整式，所得结果仍是等式②等式 两边同时乘以或同时除以一个不为0的数，所得结果仍为等式。 3.1.1.3方程的定义：含有未知数的等式叫做方程。 3.1.1.4方程的解：使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解，只有一个未知数的方程的解也叫做
样适用 1.2.5.3两个实数的大小比较：①正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小， 绝对值大的反而小。②在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大③作商法：两个实数相除 （除数或分母不为0）。若大于1，则被除数大；若等于1，则两个数相等；若小于1，则除数大。④ 作差法：两个有理数相减。若大于0，则被减数大；若等于0，则两个数相等；若小于0，则减数大。 1.2.6二次根式 1.2.6.1二次根式的定义：式子 （ ≥0）叫做二次根式。 1.2.6.2二次根式的运算性质：① （ ≥0， ≥0）② （ ≥0， ＞0） 1.2.6.3最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式:①被开方数的因数是整数， 因式是整式②被开方数中不含能开得尽的因数或因式 1.2.6.4分母有理化定义：在分母含有根式的式子中，把分母中的根号划去的过程叫做分母有理化。 1.2.6.5二次根式的混合运算：应按顺序先做乘方运算，再做乘除运算，最后做加减运算；若有括号， 应按小、中、大括号的顺序进行运算。 二、代数式 2.1代数式 2.1.1代数式的定义：用运算符号把数或字母连接而成的式子叫做代数式。 2.1.2代数式的分类：代数式分为有理式和无理式，有理式又可以分为整式和分式，而整式又可以分 为单项式和多项式。 2.1.3列代数式的定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来， 就是列代数式。 2.1.4代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值。 2.2整式 2.2.1整式的概念 2.2.1.1单项式：只含有数字与字母乘积的代数式叫单项式（单独的一个数或字母也是单项式）。其 中，数字因式叫做单项式的系数，单项式中所有的字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 2.2.1.2多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中的每一个单项式叫做多项式的项，其中不含 字母的项叫做常数项。 2.2.1.3多项式的次数：多项式中系数最高项的次数叫做多项式的次数。 2.2.1.4降（升）幂排列：把一个多项式按某一字母的指数从大（小）到小（大）的顺序排列起来。 2.2.1.5整式的定义：单项式和多项式的统称。 2.2.1.6同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的次数也相同的项叫做同类项。 2.2.1.7合并同类项：把多项式中同类项合成一项的过程叫做合并同类项。 2.2.1.8合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。 2.2.2整式的运算 2.2.2.1整式的加减法计算法则：先去括号，再合并同类项。 2.2.2.2整式的乘除法计算法则：①同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 （m，n是正整数）②同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减即 （ ≠0， ， 是 正整数， ＞ ）③幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即 (m,n是正整数)④积的乘方 法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即 （ 是正整数）。 2.2.2.3单项式乘以单项式的法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个 单项式中只含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。（在计算系数时，应先确定符号，再 计算绝对值，当系数为-1时，只须在结果的最前面写上“-”） 2.2.2.4单项式乘以多项式的法则：用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。 2.2.2.5单项式除以单项式的运算法则：一般地，单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的 因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 2.2.2.6多项式除以单项式的运算法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别 除以这个单项式，再把所得的商相加。 2.2.2.7多项式乘以多项式的法则：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得 的积相加。