成都市树德实验中学数学轴对称填空选择单元测试卷附答案

成都市树德实验中学数学轴对称填空选择单元测试卷附答案

一、八年级数学全等三角形填空题（难）

1．如图，∠BAC 的平分线与BC 的垂直平分线相交于点D ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，AB =11，AC =5，则BE =______________．

【答案】3

【解析】如图，连接CD ，BD ，已知AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，根据角平分线的性质可得DF=DE ，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE ，即可得AE=AF ，又因DG 是BC 的垂直平分线，所以CD=BD ，在Rt △CDF 和Rt △BDE 中，CD ＝BD ，DF ＝DE ，利用HL 定理可判定Rt △CDF ≌Rt △BDE ，由全等三角形的性质可得BE=CF ，所以

AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE ，又因AB=11，AC=5，所以BE=3．

点睛：此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，正确作出辅助线，利用数形结合思想是解决问题的关键．

2．如图，10AB =，45A B ∠=∠=︒，32AC BD ==．点E ，F 为线段AB 上两点．现存在以下条件：①4CE DF ==；②AF BE =；③CEB DFA ∠=∠；

④5CE DF ==．请在以上条件中选择一个条件，使得ACE △一定．．

和BDF 全等，则这个条件可以为________．（请写出所有正确的答案）

【答案】②③④

【解析】

【分析】

根据三角形全等的判定定理逐个判断即可.

【详解】

①如图1，过点C 作CM AB ⊥，过点D 作DN AB ⊥

32,45A B AC BD ∠=∠===︒

3CM AM DN BN ∴====

4

CE DF

==

由勾股定理得：2222

7,7

ME CE CM NF DF DN

=-==-=

37,37

AE AM ME BF BN NF

∴=-=-=+=+，即AE BF

≠

此时，ACE

∆和BDF

∆不全等

②AF BE

=

AF EF BE EF

∴+=+，即AE BF

=

又452

,3

AC D

A B B

∠=∠=︒==

则由SAS定理可得，ACE BDF

∆≅∆

③

CEB DFA

CEB C A

DFA D B

∠=∠

⎧

⎪

∠=∠+∠

⎨

⎪∠=∠+∠

⎩

C A

D B

∴∠+∠=∠+∠

又A B

∠=∠

C D

∴∠=∠

32

AC BD

==

则由ASA定理可得，ACE BDF

∆≅∆

④由（1）知，当5

CE DF

==时，2222

4,4

ME CE CM NF DF DN

=-==-=此时，

,

,

CE CA DF BD

ME AM NF BN

>>

⎧

⎨

>>

⎩

则点E在点M的右侧，点F在点N的左侧

又10

AM BN ME AM BN NF AB

++=++==

则点E与点N重合，点F与点M重合，如图2所示

因此必有347

AE BF

==+=

由SSS定理可得，ACE BDF

∆≅∆

故答案为：②③④.

【点睛】

本题考查了三角形全等的判定定理，熟记各判定定理是解题关键.

3．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为48和36，求△EDF的面积________.

【答案】6

【解析】

【分析】

作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，利用角平分线的性质得到DN=DF，将三角形EDF的面积转化为三角形DNM的面积来求．

【详解】

作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，

∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，

∴DF=DN，

∵DE=DG，

∴DG=DM，

∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL），

∵DG=DM， DN⊥AC，

∴MN=NG，

∴△DMN≌△DNG，

∵△ADG和△AED的面积分别为48和36，

∴S△MDG=S△ADG-S△ADM=48-36=12，

∴S△DEF=1

2S△MDG=

1

2

12=6，

故答案为：6

【点睛】

本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质，正确地作出辅助线，将所求的三角形的面积转化为另外的三角形的面积来求是解题关键．

4．如图，在等边△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，点P从点E出发沿EA方向运动，连结PD，以PD为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A

时，点F运动的路径长是________．

【答案】8

【解析】

【分析】

作FG⊥BC于点G，DE’⊥AB于点E’，易证E点和E’点重合，则∠FGD=∠DEP=90°；由

∠EDB+∠PDF=90°可知∠EDP+∠GFD=90°，则易得∠EPD=∠GDF，再由PD=DF易证

△EPD≌△GDF，则可得FG=DE，故F点的运动轨迹为平行于BC的线段，据此可进行求解.【详解】

解：作FG⊥BC于点G，DE’⊥AB于点E’，由BD=4、BE=2与∠B=60°可知DE⊥AB，即∠

∵DE’⊥AB，∠B=60°，

∴BE’=BD×1

=2，

2

∴E点和E’点重合，

∴∠EDB=30°，

∴∠EDB+∠PDF=90°，

∴∠EDP+∠GFD=90°=∠EDP+∠DPE，

∴∠DPE=∠GFD

∵∠DEP=∠FGD=90°，FD=GP，

∴△EPD≌△GDF，

∴FG=DE，DG=PE，

∴F点运动的路径与G点运动的路径平行，即与BC平行，

由图可知，当P点在E点时，G点与D点重合，

∵DG=PE，

∴F点运动的距离与P点运动的距离相同，

∴F点运动的路径长为：AB-BE=10-2=8，

故答案为8.

【点睛】

通过构造垂直线段构造三角形全等，从而确定F点运动的路径，本题有一些难度.