绝对收敛与条件收敛
条件收敛与绝对收敛
第四节条件收敛与绝对收敛对于任意项级数a n ,我们已经给出了其收敛的一些判n 1别方法，本节我们讨论任意项级数的其他性质 一条件收敛 与绝对收敛定义 对于级数 a n ，如果级数 I a n |是收敛的，n 1n 1a n 绝对收敛。
n 1如果|a n |发散，但a n 是收敛的，我们称级数n 1n 1敛。
(1)n 1.n 1 n收敛级数可以看成是有限和的推广，但无限和包含有极 限过程。
并不是有限和的所有性质都为无限和所保持。
大体 说来，绝对收敛的级数保持了有限和的大多数性质，条件收 敛的级数则在某些方面与有限和差异很大。
下面我们讨论条 件收敛与绝对收敛的性质。
定理绝对收敛级数必为收敛级数，反之则不然证明：设级数 a n 收敛，即|a n I 收敛，由Cauchy 收敛准则， n 1n 1对 0,存在N ，当n>N 时，对一切自然数 p,成立着丨 an 1 丨1 an 2 11 an p 1于是：我们称级数a n 条件收n 1条件收敛的级数是存在的，如1 a n 1 a n2 a np丨丨a n 1丨丨a n2丨丨a n p丨再由Cauchy收敛准则知a n收敛。
n 1由级数(1)可看出反之不成立。
n 1 n注：如果正项级数|a n |发散，不能推出级数a n发散。
n 1 n 1但如果使用Cauchy判别法或DAlembert判别法判定出|a n |n 1发散，则级数a n必发散，这是因为利用Cauchy判别法或n 1D'lembert判别法来判定一个正项级数| a n |为发散时，是n 1根据这个级数的一般项| a n|当n 时不趋于0，因此对级数a n而言，它的一般项也不趋于零，所以级数n 1例讨论级数(1)n1^ 1的敛散性，如收敛指明是条件n 1 n 1 s'n p收敛或绝对收敛。
解，当p 0时，由于W需总0,所以级数发散.当p 2时，因为n 2 1n 1 n plim ------- : ---- 1n 1/ .n p而1收敛，所以原级数绝对收敛。
第三节 绝对收敛与条件收敛
0 vn un ,0 wn un ,
由正项级数的比较审敛法可知级数
v 与 w 均收敛.
n 1 n n 1 n
un vn wn ,
因此级数
u
n 1
n
收敛.
例4 判别下列级数的敛散性，如果收敛，则进一步判别是条件 敛，还是绝对收敛． sin n 1 2 n 1 n 1 n 1 (4) sin( n 1 ). (1) ; (3) ( 1) ; (2) ( 1) ; 3
a1 lim sn 1, 因此级数 n a
2
2 n 2 n (4) sin( n 1 ) (1) sin[( n 1 n) ] (1) sin
n 1 n
,
lim sin
n
n2 1 n
0,{sin
n2 1 n
}单减，级数 sin n 2 1 收敛，
n 1
又n 时， sin
2n 1 ln(1 n) n 1 n 1 sin n 1 1 sin n 绝对收敛； 解 (1)因为 , 3 3 3 收敛， 3 n n n 1 n n n 1
n 1
n
n 1
(2)根据莱布尼兹判别法可知该级数条件收敛；
(3)因为 lim
n 1 1 , 该级数发散； n 2n 1 2
ln 3 ln 4 ln n ln x 1 ln x , , , , (2)令f ( x) , f ( x) 0( x e), 因此数列 3 4 n x x
单减， 且lim n
ln n 0, 所以该级数收敛； n
高等数学 上下册10_3 绝对收敛和条件收敛
定理 3 设 un 为任意项级数，如果 n1
lim un1
u n n
则当
1时，级数 un n1
绝对收敛，当
1
或lim un1 u n
n
时，级数un 发散.
n1
例 3 判 定 级 数 n 1 ( 1 ) n 1 n 1 3 n 是 绝 对 收 敛 还 是 条 件 收 敛 .
解 由例2知， 交错级数n 1(1)n1n13n 是收敛的. 现利用定理3判定它是否绝对收敛.
u1u2u3u4(1)n1un,其中un(n1,2,) 都是正数.现给出交错级数的一个重要的审敛法.
定 理 1 （ 莱 布 尼 茨 （ L e i b n i z） 准 则 ） 若 交 错 级 数
( 1 )n 1 un满 足 条 件 ：
n 1
（1）un un1(n 1, 2,)
（2）lim n
第三节 绝对收敛与条件收敛
这一节讨论 n1
通常称为任意项级数.若级数 un 的项是正负相间的，这种 n1
级数称为交错级数.首先研究交错级数的审敛法，然后再讨 论任意项级数的审敛法，并给出绝对收敛与条件收敛的概 念.
一、交错级数及其审敛法
各项是正负相间的级数称为交错级数， 可以写成以下 形式：
un
0;
则 级 数 收 敛 ， 且 其 和 su 1,其 余 项 rn 的 绝 对 值 不 超 过 u n 1，
即 rnu n 1
证 明 从 略 .
例 1 判 断 交 错 级 数 1 1 1 1 ( 1 ) n 1 1 的 收 敛 性
2 3 4
n
解 un 1n,满足un un1，且lni munlni m1n 0, 所以级数
2n1 所以级数是发散的.
第三节绝对收敛与条件收敛
一、交错级数及其审敛法 二、级数的绝对收敛与条件收敛
一、交错级数及其审敛法
1、定义: 正、负项相间的级数称为交错级数.
(1)n1an 或 (1)nan (其中an 0)
n1
n1
2、莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件:
(i) an an1 (n 1,2,3, );
n an
n 2
(3)
lim
n
n
|
an
|
lim
n
1 (1 2
1 )n n
e 2
1,
故原级数发散.
例2
判别级数 (1)n
n1
1 np
的收敛性.
(1) 当 p 0 时,级数发散 ; (2) 当 0<p 1 时,
级数条件收敛 ; (3) 当 p >1 时,级数绝对收敛 .
例3
判别级数 (1)n
n1
xn n
.
发散
收敛
收敛
例2
判别级数
n2
( 1)n n
1
n
的收敛性
.
解
(
x
x 1
)
2
(1 x ) x ( x1)2
0,
( x 2)
故函数
f (x)
x x1
单调递减,
an
an1 ,
又
lim
n
an
lim n n n 1
0.
故原级数收敛.
判断 an an1 常用方法有：
(1)
证明 an
an1
0
或
an an1
1
.
(2) 令 an f (n) , 对 f ( x)( x 1) 求导 ,由 f ( x) 的
条件收敛与绝对收敛 -回复
条件收敛与绝对收敛 -回复条件收敛与绝对收敛是数学分析中常见的两个概念。
它们关注的是级数的收敛性质。
我们来看条件收敛。
一个数项级数称为条件收敛，如果它的部分和序列收敛但不绝对收敛。
所谓部分和序列，即将级数的前n个项相加而得到的数列。
具体来说，设数项级数为∑a_n，其部分和数列为S_n。
如果S_n收敛，但∑|a_n|发散，则称∑a_n为条件收敛。
而绝对收敛则是更强的收敛性质。
一个数项级数称为绝对收敛，如果它的部分和序列和绝对值级数都收敛。
换句话说，对于∑a_n来说，若∑|a_n|和∑a_n都收敛，则称∑a_n 是绝对收敛的。
条件收敛和绝对收敛之间存在一定的关系。
具体来讲，绝对收敛必定导致条件收敛，但条件收敛不一定导致绝对收敛。
可以举一个例子来说明这一点。
考虑一个经典的级数——调和级数∑1/n。
在这个级数中，部分和序列S_n等于调和数H_n，即H_n=1+1/2+1/3+...+1/n。
根据调和级数的性质，我们知道H_n是发散的。
这个级数是条件收敛的但不是绝对收敛的。
绝对收敛在数学分析中具有较强的性质。
绝对收敛的级数是可以任意重新排列其项的，而不改变其和的。
这个性质称为绝对可互换性。
而对于条件收敛的级数，重新排列项后的级数不一定具有相同的和，这个性质称为条件不可互换性。
这是因为条件收敛级数的和可能受到正项和负项之间的抵消效应的影响。
绝对收敛和条件收敛在数学分析中都有重要的应用和研究价值。
它们不仅在级数理论中起着重要的角色，也与函数项级数、幂级数、傅里叶级数等相关内容息息相关。
在实际应用中，对于级数的收敛性质的研究和判定，条件收敛和绝对收敛都有其独特的应用场景和方法。
条件收敛与绝对收敛是数学分析中两个重要的概念，它们对于级数的收敛性质有着不同的描述和解释。
了解和掌握这两个概念，有助于我们深入理解级数的性质和其在数学及其他科学领域中的应用。
第9章第5节绝对收敛和条件收敛级数的性质
un un 即 n 2
{
un，当un 0时 0, 当un 0时
n 1
.
2
2015年8月30日星期日
§9.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质
则这样的级数与原来级数的收敛性有如下结论:
(1).若级数 un绝对收敛,
则级数 vn和 n都收敛;
n 1
证毕
19
2015年8月30日星期日
§9.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质
梅尔腾斯（Mertens）定理：
若级数 un与 vn中仅有一个绝对收敛， 其和为A，
另一个是条件收敛，其和为B， 则它们的柯西乘积所组成的级数仍收敛，其和为AB.
n 1 n 1
定理2和定理3指出，绝对收敛级数具有和 普通有限项和数相仿的两个运算性质---交换律 和分配律成立.
（）先证 1 证明： un为收敛的正项级数（必绝对收敛）情形.
n1
n 1
n 1
n 1
n 1
的部分和Sk ， 考虑它的更序级数 un
un1 , u2 un2 ,, uk unk , 由u1
所以取n大于所有下标 n1 , n2 ,nk 后, 应有
由于级数 un和 vn都绝对收敛，所以 U*，V*都有界.
n 1 n 1
* 另外 S n u n1 vm1 u n2 vm2 u nn vmn
（u1 u2 u ）（v1 v2 v ）
U* V*，
* 即Sn 有界，这证明了级数 n绝对收敛. n 1
n 1
n 1 n 1
(2).若级数 un条件收敛,
第9章第5节绝对收敛和条件收敛级数的性质
（ u u u ）（ v v v ） 1 2 1 2
U* V*，
* 即 S 有界，这证明了级数 绝对收敛 . n n n 1
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17
再 应 用 定 理 2 , 也 的 更 序 级 数 绝 对 收 敛 , 且 它 们 和 相 同 ,
引
言
对于任意项级数，我们给出绝对收敛 与条件收敛的概念，无论是绝对收敛级数 还是条件收敛级数,都具有本章第二节所 给出的1-4个性质,除此而外,对于这两种 不同的收敛级数,还具有各自不同的重要 性质.本节分别进行简单介绍和讨论.
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1
一.绝对收敛和条件收敛级数的性质
n 1
定理1: 若对级数 un， 将 它 所 有 正 项 保 留 而 负 项 换 为 0 ， 此 定 理 揭 示 的 规 律 ？
由 定 理知 1 ，
这 两 个 级 数 都 收 敛 .
设 它 们 的 和 分 别 为 V 和 W , 则 有
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8
u V W. 由 ( 1 ) 知 u 的更序级数 u 有 u V W , 绝对收敛 即更序级数 u .
n 1 n
u
V W ,
18
以下再证明这个和数恰 为UV.
考虑由正方形法排列所 构成的级数，并加括号 如下
a u v （ u v u v u v ）
n 1 n 11 12 22 21
（ u v u v u v u v u v ） ， 1 3 2 3 3 3 3 2 3 1
* V v v v ， 即的 v 分 和 . 1 2 n 部 n 1
条件收敛与绝对收敛
第四节条件收敛与绝对收敛对于任意项级数J■ an ,我们已经给出了其收敛的一些判n =1别方法，本节我们讨论任意项级数的其他性质一条件收敛与绝对收敛。
定义10.5对于级数a n，如果级数'Ta n l是收敛的，我们称n =1n =1级数v a n绝对收敛。
n d如果-|a n |发散，但7 a n是收敛的，我们称级数7 a n条件收n =1 n =1n =1敛。
n 1条件收敛的级数是存在的，如、口n=1 n收敛级数可以看成是有限和的推广，但无限和包含有极限过程。
并不是有限和的所有性质都为无限和所保持。
大体说来，绝对收敛的级数保持了有限和的大多数性质，条件收敛的级数则在某些方面与有限和差异很大。
下面我们讨论条件收敛与绝对收敛的性质。
定理10.17绝对收敛级数必为收敛级数，反之则不然Q Q Q Q证明：设级数v a n收敛，即v |a n |收敛，由Cauchy收敛准n =1 n=1则，对_ ;0,存在N，当n>N时，对一切自然数p,成立着|a n 1 | |a n 2 I |a n p I —于是：|a ni a n.2 a n p 卩la nd L |a n 2 I Wn p 卜；Q Q再由Cauchy 收敛准则知a n 收敛。
n 丄n 1由级数-可看出反之不成立。
n=i n注：如果正项级数|a n |发散，不能推出级数】a n 发散。
n =1n=1但如果使用 Cauchy 判别法或 D 'Alembert 判别法判定出OQQ Q；'|a n |发散，则级数「a n 必发散，这是因为利用Cauchy 判 n =1n =1Q Q别法或D 'Alembert 判别法来判定一个正项级数、ja n |为发散 心时，是根据这个级数的一般项|a n |当n 》=时不趋于0，因此 Q QQ Q对级数J an 而言，它的一般项也不趋于零， 所以级数J an 发n =1n =1散。
9.3绝对收敛与条件收敛
例 6 判别级数 sin n 2 1 的敛散性.
n 1
例7
xn n ( x 0) 的敛散性. 判别级数 ( 1) n n 1
1 练习：1.判别级数 n ( x 0) 的收敛性. n 1 lg x
( 1)n an 发散， 练习： 2.设正数列{an}单调下降， 且
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ? 1 1 2) ; 1) ; n 1 n ! n 1 n
发散 收敛
二、绝对收敛与条件收敛
1、定义: 一般项为任意实数的级数称为任意项级数.
2、定理 若 | an |收敛,则 an 收敛.
n1 n1
1 证明 令 vn (an | an |) ( n N ), 则 vn 0, 且 vn | an |, 2
lim n 2 un 存在,证明:级数 un 收敛 . 二、若
n
n 1
b 3n 0. 三、证明:lim n n! a n
n
例2 讨论下列级数的敛散性 : 1 (4) ( 1) p n n 1
n
sin na (5) 2 n n 1 1 n (6) sin 2 n 1 n
如何判别任意项级数 an 的敛散性？
若收敛, 要指出是条件收敛还是绝对收敛. 一般步骤如下：1. lim an 0, 则级数发散. n 否则： 判别
n 1
(2) 当 1 时, 级数发散 ；
(3) 当 1 时, 级数敛散性需另行判定.
例2 讨论下列级数的敛散性 : n 1 (1) (1) ln n n 1
n
(n 1)! (2) ( 1) n 1 n n 1
95绝对收敛与条件收敛概述
则此级数对一切 x ( x ) 绝对收敛
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un 1 ( 2n)! ( 2) lim lim | x |2 n un n ( 2n 2)! 1 lim | x |2 0 n ( 2n 2)( 2n 1)
若 an条件收敛，即 an 发散，但有 an收敛
n 1 n 1 n 1
an an an an 又pn ，pn ， 2 2
由级数的运算性质知 pn与 qn都发散。
n 1 n 1
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10
2. 绝对收敛级数可重排性 : 定理2
第5节 绝对收敛级数和条件 收敛级数的性质
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1
任意项级数
正项级数
定理
若
un 收敛,则 un 收敛. n 1 n 1
n 1
定义:若 un 收敛, 则称 un 为绝对收敛;
n 1
若 un 发散,而 un 收敛, 则称 un 为条件收敛.
n 1 n 1 n 1
n 1
un u1 u2 un
un 1 lim （其中 可以为 ） n un
n 1 n 1
满足条件
则当 1时，级数 un 收敛，且绝对收敛； 当 1时，级数 un 发散
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.
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7
定理1. an | an | an | an | 设pn , qn , n 1, 2, 2 2
《微积分》绝对收敛与条件收敛
u n
),
u 收敛. n
n1
n1
n1
绝对 收敛
收敛
上定理的作用：
任意项级数
正项级数
事实上：判定任意的常数项级数 a n 是否收敛，
n 1
可以用正项级数审敛法判定
a n
的收敛性,
n 1
若收敛，则原级数收敛,且绝对收敛.
用比较审敛法1/2/2’
若发散，则方法失效.
用比值/根值审敛法
(a 0).
六 、 判 别 下 列 级 数 是 否 收 敛 ?如 果 是 收 敛 的 ,是 绝 对 收
敛还是条件收敛?
1、 (1)n1
n
；
n1
3 n1
1
1
1
1
2、
；
ln 2 ln 3 ln 4 ln 5
(1)n
3、
.
n 2 n ln n
七 、 若 lim n 2 u n 存 在 , 证 明 : 级 数 u n 收 敛 . n n1
b 3n
八 、 证 明 : lim
0.
n n!a n
练习题答案
一 、 1、 p 1, p 1；
2 、 1 , 1 ( 或 lim u n 1 ), 1 . n un
二 、1、 发 散 ；
2、 发 散 .
三 、1、 发 散 ；
2、 收 敛 .
判定任意的常数项级数是否收敛可以用正项级数审敛法判定的收敛性用比较审敛法122若收敛则原级数收敛且绝对收敛
9-2 绝对收敛与条件收敛
1、交错级数及其审敛法 2、级数的绝对收敛与条件收敛
《高等数学》第三节 绝对收敛与条件收敛
例 1 讨论交错级数 ( 1)
n 1
n 1
1 的敛散性. n
解：由题可知 1 1 1 1 1 2 3 n n 1
1 又： lim u n lim 0 n n n
(1)
n 1 n 1 1
即：u )
n 1 n n 1
u n的部分和sn
有： lim sn s 且s u1 ,
余项rn 可以写成： rn (u n 1 u n 2 ), | rn | u n 1 u n 2
上式也是交错级数，满足收敛的两个条件 | rn | u n 1
n 1 n 1
而不能判断它必为发散.
n
n
所以 故
n 1
sin n 也收敛， 2 n
sin n 绝对收敛． 2 n n 1
注意： (1)由于任意项级数各项的 绝对值组成的级 数是正项级数，一切判别正项级数敛散性 的判别法，都可以用来判定任意项级数是 否绝对收敛.
un , 如果 | un |收敛，则 un 绝对收敛. (2)任意项级数 n 1 n 1 n 1 但当 | un |发散时，我们只能判断 un非绝对收敛，
由定理的第一个条件：un un 1 , 由(1)式可知{s2n}是单调增加的；
由(2)式可知s2n<u1.
由单调有界数列必有极限的准则，知：当n无 限增大时，s2n趋于一个极限s，并且s不大于
u1，即 lim s2n s u1
n
再证明前2n+1项的和s2n+1的极限也是s， 有
n 1
定理1(莱布尼兹定理) 如果交错级数 (1)级数前项大于后项，即 u n u n 1 (n 1,2,3,); (2)级数的通项趋于零，即 lim un 0
《高等数学》第三节 绝对收敛与条件收敛
的级数发散，则称原级数条件收敛.
定理2 如果任意项级数
n 1
u n u1 u 2 u n
的各项绝对值组成的级数
n 1
| u n | | u1 | | u 2 | | u n |
收敛，则原级数必定收敛.
sin n 例２ 判定级数 是绝对收敛还是条件收敛． 2 n n 1 sin n 1 2 解 因为 un 2
u1，即 lim s2n s u1
n
再证明前2n+1项的和s2n+1的极限也是s， 有
s2n 1 s2 n u 2n 1
n
而由定理的条件(2)知： lim u n 0
lim s2 n1 lim ( s2 n u2 n1 )
n
lim s2 n lim u2 n1 s
第三节
绝对收敛与条件收敛
一、交错级数及其敛散性 二、绝对收敛与条件收敛
一、交错级数及其审敛 法 定义 正负项相间的级数，称为交错级数.
可以用下面形式给出：
n 1
（ 1 ）u n u1 u 2 u3 u 4 u 2 k 1 u 2 k
n 1
n n
n
级数的前偶数项的和与奇数项的和趋于同一极限 s,
级数 (1)
n 1 n n 1
u n的部分和sn
有： lim sn s 且s u1 ,
余项rn 可以写成： rn (u n 1 u n 2 ), | rn | u n 1 u n 2
上式也是交错级数，满足收敛的两个条件 | rn | u n 1
例 1 讨论交错级数 ( 1)
第三节绝对收敛与条件收敛
.
(A) 发散. (B) 条件收敛. (C) 绝对收敛. (D) 敛散性与 k 有关 .
说明 若级数 an 与 bn 一个绝对收敛一个条件收敛,
n1
n1
则级数 (an bn )必条件收敛.
例6
n1
判别级数
n1
cos n
2 n
的敛散性.
(条件收敛)
思考题：1、判别级数 sin
n2 1 的敛散性. (条件收敛)
1
收敛,
n 2n
n1
2n
故原级数条件收敛.
三、小结
正项级数
任意项级数
1. 若 Sn S ,则级数收敛;
审 2. 当 n , un 0, 则级数发散;
3.按基本性质;
敛 4.充要条件
4.绝对收敛
法 5.比较法
6.比值法 7.根值法
5.交错级数 (莱布尼茨定理)
如何判别任意项级数 an 的敛散性?
n1
2 (1)n n
收敛 收敛 收敛 发散
二、绝对收敛与条件收敛
1、定义: 一般项为任意实数的级数称为任意项级数.
2、定理 若| an |收敛,则 an 收敛.
n1
n1
证明
令 vn
1 2
(an
|
an
|)
(n N ), 则 vn
0, 且 vn
| an |,
vn收敛,
又 an
(2vn
| an
|),
an
收敛.
n1
n1
n1
n1
定理的作用：任意项级数
正项级数
3、定义:若 | an |收敛, 则称 an 为绝对收敛;
n0
n1
绝对收敛和条件收敛的区别
绝对收敛和条件收敛的区别绝对收敛和条件收敛的区别
一、区别一如图示给出：
二、性质不同：
1、绝对收敛：一般用来描述无穷级数或无穷积分的收敛情况，如果级数ΣUn各项的绝对值所构成的级数Σ|Un|收敛，则称级数ΣUn绝对收敛，级数ΣUn称为绝对收敛级数。
2、条件收敛：一种微积分上的概念。
如果级数ΣUn收敛，而Σ∣Un∣发散，则称级数ΣUn条件收敛。
三、经济学意义不同：
1、绝对收敛：是不论条件如何，穷国比富国收敛更快。
2、条件收敛：是技术给定，其他条件一样的话，人均产出低的国家，相对于人均产出高的国家，有着较高的人均产出增长率，一个国家的经济在远离均衡状态时，比接近均衡状态时，增长速度快。
四、计算规则不同：
1、绝对收敛：可以交换次序，可以相乘
2、条件收敛：相乘有限制条件，交换次序可以收敛到复平面上一条直线或整个复平面的任意一点。
绝对收敛与条件收敛
绝对收敛与条件收敛绝对收敛和条件收敛是数学分析中非常重要的概念。
在实际问题中，经常会遇到需要收敛的数列或级数，而如何确定这个数列或级数是否收敛，则成为数学分析中的重要问题。
其中，绝对收敛和条件收敛是判断这个问题的两个重要的方法。
一、绝对收敛对于一个实数数列或级数，如果它的每一项的绝对值都是收敛的，则这个数列或级数就称为绝对收敛。
例如，数列{(-1)^(n-1)/n^2}是收敛的数列，但数列{|(-1)^(n-1)/n^2|}是绝对收敛的数列。
绝对收敛是一种比收敛更强的收敛形式。
如果一个数列或级数是绝对收敛的，那么它一定是收敛的。
这个结论与我们在初等数学中学习到的类似：如果一个函数在某个点处收敛，那么它在那个点处连续。
绝对收敛的一些性质如下：1. 如果一个级数绝对收敛，则它的任何子级数也是绝对收敛的。
二、条件收敛可以看出，条件收敛是一种相对于绝对收敛而言比较弱的收敛形式。
有时，人们会采用条件收敛而不是绝对收敛，这是因为在实际问题中，绝对收敛有时并不容易得到，而条件收敛比较容易计算。
2. 如果一个级数是条件收敛的，则它有可能不满足重排序定理，即改变它的项的顺序可能导致级数的收敛性质发生变化。
对于一个实数数列或级数，如果它是绝对收敛的，那么它一定是收敛的。
这个结论我们已经讨论过。
反过来说，对于一个实数级数，如果它是收敛的但是不绝对收敛，那么我们无法对它进行简单的变换，而不改变它的收敛性质。
这是因为如果它的每一项的绝对值级数发散，则它的收敛速度很慢，每项的大小相差很大，所以很难做出更多的结论。
绝对收敛和条件收敛的关系，可以用下面这个定理来简要概括。
定理：若级数收敛，则它必定能通过“有限个足够小的项”加减换位，使得该级数变成收敛的绝对收敛级数。
这个定理的意思是，任何收敛的级数都能通过“有限个足够小的项”加减来换位，变成一个绝对收敛的级数。
由于绝对收敛比条件收敛要强，因此，我们可以得到一个结论：对于一个收敛的级数，如果它是条件收敛的，则它一定可以通过换项变成一个绝对收敛的级数。
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n1
n1
上定理的作用： 任意项级数
பைடு நூலகம்
正项级数
定 义 : 若 u n收 敛 ,则 称 u n为 绝 对 收 敛 ;
n 1
n 1
若 un发 散 ,而 un收 敛 , 则 称 un为 条 件 收 敛 .
n1
n1
n1
例4
判别级数
n1
sin n n2
的收敛性.
解
sinn n2
1 n2
,
而
1 收敛,
n1
ln(n1)
解： (1)n1 1 1 1 lnn (1) lnn (1) n1
由调和级数的发散性可知，
1 发散，
n1 n 1
故
(1)n1
1
发散.
n1
ln(n1)
但原级数是一个收敛的交错级数：un
1， ln(n 1)
故原级数是条件收敛，不是绝对收敛的.
(2) 绝对收敛级数的性质
性质1. 任意交换绝对敛级数中各项的位置，其 敛散性不变，其和也不变.
性质2. 两个绝对收敛的级数的积仍是一个绝对 收敛的级数，且其和等于原来两个级数的和之积.
小结
1、交错级数 (莱布尼茨定理) 2、绝对收敛与条件收敛
作业：P127：2(1)-(8)
由极限存在准则：m l i m S2mS存在S， u1且 .
2) 取交错级数的前2m+1项之和
S 2 m 1 u 1 u 2 u 3 u 4 u 2 m 1 u 2 m u 2 m 1 S 2 m u 2 m 1
由条件1): ln imun 0,故
m l i S 2 m m 1 m l ( i S 2 m m u 2 m 1 ) m l i S 2 m m m l i u 2 m m 1 S 综上所述，有 ln im SnS，S且 u1.
一、 交错级数及其敛散性 交错级数是各项正负相间的一种级数，它的
一般形式为 u 1 u 2 u 3 u 4 ( 1 )n 1 u n
或 u 1 u 2 u 3 u 4 ( 1 )n u n
其中，un0 (n=1, 2, …)
定理(莱布尼兹判别法) 若交错级数 (1)n1un n1
( u 1 u 2 ) ( u 3 u 4 ) ( u 2 m 1 u 2 m ) 由条件(2)： unun+1，un0, 得S2m以及
S 2 m u 1 ( u 2 u 3 ) ( u 4 u 5 ) ( u 2 m 2 u 2 m 1 ) u 2 m u 1
ln i m 1 x xxnn11 |1x,|,
| x|1 | x|1
由达朗贝尔判别法：
当|x|<1时，=|x|<1, 原级数绝对收敛.
当|x|>1时，=1, 此时不能判断其敛散性.
但|x|>1时，
ln i m|un
|lim xn n 1xn
10，
从而，原级数发散.
例6. 级数 (1)n1
1 是否绝对收敛?
的敛散性.
sin n
解： | u n |
5 n2
1 n2
由P一级数的敛散性，
n 1
1 收敛， n2
故|
n1
un
| 收敛，
即原级数绝对收敛.
x n
例6. 判别 n 1 1 x n 的敛散性，其中，x1为常数.
解：记
un
xn 1 xn
lim |un1| n |un|
ln i m ||xxn n (11(1 xn xn 1))||
解 (xx1)2x(1 (xx1))2 0(x2) 故函x数 x1单调递 , 减 unun1, 又ln i m unln i m nn10. 原级数收敛.
二、 任意项级数及其敛散性
(1) 级数的绝对收敛和条件收敛
定义：若级数 | un | 收敛， 则称原 级|u数 n |是绝
n 1
n1
对收敛的；若级数 u n 收敛，但级数 | un | 发散，
n 1
n 1
则称原级 数 un 是条件收.敛的 n1
定理：若 | un | 收敛，则un必收敛.
n 1
n1
(即绝对收敛的级数必定收敛)
证： un |un|
0|un|un2|un|
已知 | un |收敛，故 (| un | un)收敛，
n1
n1
从而 un [(|un|un)|un|]收.敛
n2
n1
sinn 收敛,
n2
n1
故由定理知原级数绝对收敛.
定理 (达朗贝尔判别法) 设有级数 u n . n 1
若
| lim
un1
|
存在，则
n | un |
(1) <1时, 级数绝对收敛；
(2) >1 (包括= )时，级数发散；
(3) =1时，不能由此断定级数的敛散性.
n
例5. 判别级数
sin 5 n1 n 2
又 ln i m un ln i mnl1npn0，
令f
(x)
1 xln p
，x[2,
x
+)，则
f(x)lnpxplnp1x0，x[2, +)，
x2ln2px
故 f (x) [2, +)，即有unun+1成立，由莱布尼兹判 别法，该级数收敛.
例 3 判别级数 (1)n n 的收敛性.
n2 n 1
例1. 讨论级数 (1)n 1 的敛散性.
n 1
n
解：这是一个交错级数，u n
1， n
又
ln im un
lim1 n n
0，un
1nn11un1，
由莱布尼兹判别法，该级数是收敛.
(1) n
例2. 判别级数 n2 n ln p n 的敛散性.
解：这是一个交错级数，un
1 n ln p
， n
满足条件
(1) lni mun 0 (2) unun+1
(级数收敛的必要条件) (n=1, 2, …)
则交错级数收敛，且其和S的值小于u1.
证 只需证明级数部分和Sn当n时的极限存在. 1) 取交错级前2m项之和
S 2 m u 1 u 2 u 3 u 4 u 2 m 1 u 2 m