绝对收敛与条件收敛
条件收敛与绝对收敛
第四节条件收敛与绝对收敛对于任意项级数a n ,我们已经给出了其收敛的一些判n 1别方法，本节我们讨论任意项级数的其他性质 一条件收敛 与绝对收敛定义 对于级数 a n ，如果级数 I a n |是收敛的，n 1n 1a n 绝对收敛。
n 1如果|a n |发散，但a n 是收敛的，我们称级数n 1n 1敛。
(1)n 1.n 1 n收敛级数可以看成是有限和的推广，但无限和包含有极 限过程。
并不是有限和的所有性质都为无限和所保持。
大体 说来，绝对收敛的级数保持了有限和的大多数性质，条件收 敛的级数则在某些方面与有限和差异很大。
下面我们讨论条 件收敛与绝对收敛的性质。
定理绝对收敛级数必为收敛级数，反之则不然证明：设级数 a n 收敛，即|a n I 收敛，由Cauchy 收敛准则， n 1n 1对 0,存在N ，当n>N 时，对一切自然数 p,成立着丨 an 1 丨1 an 2 11 an p 1于是：我们称级数a n 条件收n 1条件收敛的级数是存在的，如1 a n 1 a n2 a np丨丨a n 1丨丨a n2丨丨a n p丨再由Cauchy收敛准则知a n收敛。
n 1由级数(1)可看出反之不成立。
n 1 n注：如果正项级数|a n |发散，不能推出级数a n发散。
n 1 n 1但如果使用Cauchy判别法或DAlembert判别法判定出|a n |n 1发散，则级数a n必发散，这是因为利用Cauchy判别法或n 1D'lembert判别法来判定一个正项级数| a n |为发散时，是n 1根据这个级数的一般项| a n|当n 时不趋于0，因此对级数a n而言，它的一般项也不趋于零，所以级数n 1例讨论级数(1)n1^ 1的敛散性，如收敛指明是条件n 1 n 1 s'n p收敛或绝对收敛。
解，当p 0时，由于W需总0,所以级数发散.当p 2时，因为n 2 1n 1 n plim ------- : ---- 1n 1/ .n p而1收敛，所以原级数绝对收敛。
绝对收敛与条件收敛
sinn n 1 n ( 2 ). ( 1 ) (1). ( 3 ). n ! x n 1 2 3 n n 1 n 1 n 1 1 1 sin n 解 (1). | un | 2 因 2 收敛, 故原级数绝对收敛. 2 n n n 1 n n1 n un1 n1 1 3 ( 2). lim lim lim 1 故原级数绝对收敛. n u n n 3n n 3 n n 1 3 (3).当x 0时，级数显然收敛于 0；当x 0时 un1 ( n 1)!| x |n1 lim lim lim( n 1) | x | 原级数发散. n n u n n n!| x | n
例如,
( 1 )
n1
1 条件收敛. n
1 ( 1 ) 3 绝对收敛. n n 1
n
定理7
若级数
u
n 1
n
绝对收敛, 则级数
u
n 1
n
必定收敛.
1 证 设 | un | 收敛, 令 vn (un | un |) (n 1,2,) 2 n 1
un 2vn | un | 由性质知, un 收敛.
三、绝对收敛与条件收敛
1、任意项级数：
u ,
n 1 n
un 为任意实数.
2、绝对收敛、条件收敛.
1).若 2).若
| u u
n 1 n 1 n
n
| 收敛, 则称 un 为绝对收敛.
n 1
n
收敛, 但
n1
| u
n 1
| 发散, 则称 un 为条件收敛.
绝对收敛和条件收敛的判别方法
绝对收敛和条件收敛的判别方法
绝对收敛和条件收敛是数列、级数和函数级数中重要的概念，常常用于求解实际问题。
判别一个数列、级数或函数级数是否绝对收敛，可以通过以下方法：
1. 比较判别法：将该数列、级数或函数级数与某个比较级数进行比较，若比较级数收敛，则原数列、级数或函数级数绝对收敛；若比较级数发散，则原数列、级数或函数级数可能条件收敛，需要再进行判别。
2. 比值判别法和根值判别法：对于正项数列、级数和函数级数，可以分别用比值判别法和根值判别法进行判定。
若极限值小于1，则绝对收敛；若极限值大于1，则发散；若等于1，则无法判断，需要采用其他方法。
3. 绝对收敛的充分性：若一个数列、级数或函数级数绝对收敛，则它必定收敛，即条件收敛。
因此，绝对收敛是条件收敛的充分条件。
4. 瑕积分判别法：对于函数级数，可以用瑕积分判别法进行判定。
若瑕积分收敛，则函数级数绝对收敛；若瑕积分发散，则函数级数可能条件收敛，需要再进行判别。
通过以上方法，可以判别数列、级数和函数级数的绝对收敛和条件收敛性质，为进一步求解实际问题提供有力的数学工具。
- 1 -。
级数的条件收敛与绝对收敛
级数的条件收敛与绝对收敛级数是数学中一个重要的概念，它在许多领域都有广泛的应用。
在研究级数时，一个重要的问题是判断级数的收敛性。
收敛性可以分为两种情况：条件收敛和绝对收敛。
本文将简要介绍这两种收敛性，并探讨它们的区别和应用。
我们来定义级数的概念。
对于一个给定的数列{an}，我们可以构造一个级数S，它的通项为an，表示为S = a1 + a2 + a3 + ...。
级数的收敛性描述了这个无穷级数的求和是否有一个有限的极限值。
条件收敛是指一个级数在某种条件下收敛。
具体来说，一个级数S 在条件收敛时，它的部分和序列Sn存在极限L，即lim(n→∞)Sn = L。
条件收敛是指级数的收敛性依赖于级数项的顺序。
如果我们改变级数项的顺序，可能会导致级数的收敛性发生变化。
绝对收敛是指一个级数在任何条件下都收敛。
具体来说，一个级数S在绝对收敛时，它的绝对值级数∑|an|收敛。
绝对收敛是指级数的收敛性与级数项的顺序无关。
无论我们如何改变级数项的顺序，只要级数的绝对值级数收敛，原级数就一定收敛。
条件收敛和绝对收敛的区别在于级数项的正负性。
在绝对收敛中，我们只考虑级数项的绝对值，而不关心它们的正负性。
这使得我们可以通过级数项的绝对收敛性来研究级数的性质，而不受级数项正负的影响。
而在条件收敛中，级数项的正负性对级数的收敛性起着决定性的作用。
绝对收敛的一个重要性质是它保持级数的求和操作的可交换性。
也就是说，对于一个绝对收敛的级数S，无论我们如何改变级数项的顺序，级数的求和结果都是一样的。
这个性质在实际计算中非常有用，可以简化级数求和的过程。
条件收敛与绝对收敛的关系也是一个重要的研究方向。
一个经典的结果是，如果一个级数绝对收敛，那么它一定条件收敛。
也就是说，绝对收敛是条件收敛的充分条件。
但反过来并不成立，也就是说，条件收敛不一定能推出绝对收敛。
这就意味着，对于一个条件收敛的级数，我们不能简单地改变级数项的顺序，而需要谨慎地处理级数的求和操作。
第三节 绝对收敛与条件收敛
0 vn un ,0 wn un ,
由正项级数的比较审敛法可知级数
v 与 w 均收敛.
n 1 n n 1 n
un vn wn ,
因此级数
u
n 1
n
收敛.
例4 判别下列级数的敛散性，如果收敛，则进一步判别是条件 敛，还是绝对收敛． sin n 1 2 n 1 n 1 n 1 (4) sin( n 1 ). (1) ; (3) ( 1) ; (2) ( 1) ; 3
a1 lim sn 1, 因此级数 n a
2
2 n 2 n (4) sin( n 1 ) (1) sin[( n 1 n) ] (1) sin
n 1 n
,
lim sin
n
n2 1 n
0,{sin
n2 1 n
}单减，级数 sin n 2 1 收敛，
n 1
又n 时， sin
2n 1 ln(1 n) n 1 n 1 sin n 1 1 sin n 绝对收敛； 解 (1)因为 , 3 3 3 收敛， 3 n n n 1 n n n 1
n 1
n
n 1
(2)根据莱布尼兹判别法可知该级数条件收敛；
(3)因为 lim
n 1 1 , 该级数发散； n 2n 1 2
ln 3 ln 4 ln n ln x 1 ln x , , , , (2)令f ( x) , f ( x) 0( x e), 因此数列 3 4 n x x
单减， 且lim n
ln n 0, 所以该级数收敛； n
第9章第5节绝对收敛和条件收敛级数的性质
un un 即 n 2
{
un，当un 0时 0, 当un 0时
n 1
.
2
2015年8月30日星期日
§9.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质
则这样的级数与原来级数的收敛性有如下结论:
(1).若级数 un绝对收敛,
则级数 vn和 n都收敛;
n 1
证毕
19
2015年8月30日星期日
§9.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质
梅尔腾斯（Mertens）定理：
若级数 un与 vn中仅有一个绝对收敛， 其和为A，
另一个是条件收敛，其和为B， 则它们的柯西乘积所组成的级数仍收敛，其和为AB.
n 1 n 1
定理2和定理3指出，绝对收敛级数具有和 普通有限项和数相仿的两个运算性质---交换律 和分配律成立.
（）先证 1 证明： un为收敛的正项级数（必绝对收敛）情形.
n1
n 1
n 1
n 1
n 1
的部分和Sk ， 考虑它的更序级数 un
un1 , u2 un2 ,, uk unk , 由u1
所以取n大于所有下标 n1 , n2 ,nk 后, 应有
由于级数 un和 vn都绝对收敛，所以 U*，V*都有界.
n 1 n 1
* 另外 S n u n1 vm1 u n2 vm2 u nn vmn
（u1 u2 u ）（v1 v2 v ）
U* V*，
* 即Sn 有界，这证明了级数 n绝对收敛. n 1
n 1
n 1 n 1
(2).若级数 un条件收敛,
第9章第5节绝对收敛和条件收敛级数的性质
（ u u u ）（ v v v ） 1 2 1 2
U* V*，
* 即 S 有界，这证明了级数 绝对收敛 . n n n 1
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17
再 应 用 定 理 2 , 也 的 更 序 级 数 绝 对 收 敛 , 且 它 们 和 相 同 ,
引
言
对于任意项级数，我们给出绝对收敛 与条件收敛的概念，无论是绝对收敛级数 还是条件收敛级数,都具有本章第二节所 给出的1-4个性质,除此而外,对于这两种 不同的收敛级数,还具有各自不同的重要 性质.本节分别进行简单介绍和讨论.
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1
一.绝对收敛和条件收敛级数的性质
n 1
定理1: 若对级数 un， 将 它 所 有 正 项 保 留 而 负 项 换 为 0 ， 此 定 理 揭 示 的 规 律 ？
由 定 理知 1 ，
这 两 个 级 数 都 收 敛 .
设 它 们 的 和 分 别 为 V 和 W , 则 有
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8
u V W. 由 ( 1 ) 知 u 的更序级数 u 有 u V W , 绝对收敛 即更序级数 u .
n 1 n
u
V W ,
18
以下再证明这个和数恰 为UV.
考虑由正方形法排列所 构成的级数，并加括号 如下
a u v （ u v u v u v ）
n 1 n 11 12 22 21
（ u v u v u v u v u v ） ， 1 3 2 3 3 3 3 2 3 1
* V v v v ， 即的 v 分 和 . 1 2 n 部 n 1
任意项级数_绝对收敛与条件收敛
n
n n1
n
0,
所以级数收敛.
5
用Leibnitz 定理判别下列级数的敛散性:
1)2)13) ( 1) 收敛 n 1 2 3 4 u n 1 n (n 1) ! 1 1n 1 10 n 1 1 1 u n n 1 1 1 10 收敛 n n 1 1 ( 1) n 2! 3! 4! n ! 10! n 1 2 3 4 n 1 n ( 1) 收敛 n 10 102 103 104 10
n
n
u n l 上述结论仍然成立。 10
1 1 例4 判定 ( 1 ) n 1 3 n n1
n
n
2
的绝对收敛,条件
收敛或发散性.
解
n
un
1 3
(1
1 n
) n
n
1 3
e 1 ， 绝对收敛.
11
例5 解
设 p 0, 0 , 讨 论
而
S 2m 1 S 2m u2m 1 , 由 条 件 (2)可 知 ,
m
lim S 2 m 1 S ,
得
lim S n S ,
n
2
即 原 级 数 收 敛 , 且 其 和 S u1 .
( 1)
n1
n1
un
( 其中 u n 0 )
定理(莱布尼茨定理) 如果交错级数满足条件
0,
4
所以级数收敛。
例2
判别级数
设 f (x)
( 1)
n
n
n2
n1
绝对收敛与条件收敛
∞
x 例3-1 判定 ∑ ( 1 ) sin ( x > 0 ) 的敛散性 . n n =1 x x x n 解 因 un = ( 1 ) sin = sin ~ (n → ∞ ) n n n ∞ x ∞ 而 ∑ 发散,由比较法知 ∑ un 发散, n =1 n n =1
∑
∞
1
p
( p > 1) 收敛 ,
故
n =1
∑
∞
cos nx n
p
收敛, 从而
n =1
∑
∞
cos nx
n
p
绝对收敛 .
例2-2 证明 ∑
∞
sin nα n
4
n=1
绝对收敛 .
1 ∑ n 4 收敛 , n=1
∞
证 (1) 因 sin n α ≤ 1 , 而 n4 n4
故
n=1
∑
∞
sin n α n
∞
( 1 )n 1
问题:
n =1
∑ un与 ∑ un 敛散性的关系?
n =1
∞
∞
二,绝对收敛与条件收敛
1. 定义
()∑ un 绝对收敛: ∑ un 收 1 若 n =1 n =1 敛; (2 ∑ un 条件收敛: 若 ∑ un 收敛,但 ∑ un 发散. )
n =1 n =1 n =1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
n→ ∞
lim S2 n = S ≤ u 1
2 再证 lim S2n1 = S
n→∞
又 lim S2 n + 1 = lim ( S2 n + u2 n + 1 ) = lim S2 n = S
条件收敛与绝对收敛
第四节条件收敛与绝对收敛对于任意项级数J■ an ,我们已经给出了其收敛的一些判n =1别方法，本节我们讨论任意项级数的其他性质一条件收敛与绝对收敛。
定义10.5对于级数a n，如果级数'Ta n l是收敛的，我们称n =1n =1级数v a n绝对收敛。
n d如果-|a n |发散，但7 a n是收敛的，我们称级数7 a n条件收n =1 n =1n =1敛。
n 1条件收敛的级数是存在的，如、口n=1 n收敛级数可以看成是有限和的推广，但无限和包含有极限过程。
并不是有限和的所有性质都为无限和所保持。
大体说来，绝对收敛的级数保持了有限和的大多数性质，条件收敛的级数则在某些方面与有限和差异很大。
下面我们讨论条件收敛与绝对收敛的性质。
定理10.17绝对收敛级数必为收敛级数，反之则不然Q Q Q Q证明：设级数v a n收敛，即v |a n |收敛，由Cauchy收敛准n =1 n=1则，对_ ;0,存在N，当n>N时，对一切自然数p,成立着|a n 1 | |a n 2 I |a n p I —于是：|a ni a n.2 a n p 卩la nd L |a n 2 I Wn p 卜；Q Q再由Cauchy 收敛准则知a n 收敛。
n 丄n 1由级数-可看出反之不成立。
n=i n注：如果正项级数|a n |发散，不能推出级数】a n 发散。
n =1n=1但如果使用 Cauchy 判别法或 D 'Alembert 判别法判定出OQQ Q；'|a n |发散，则级数「a n 必发散，这是因为利用Cauchy 判 n =1n =1Q Q别法或D 'Alembert 判别法来判定一个正项级数、ja n |为发散 心时，是根据这个级数的一般项|a n |当n 》=时不趋于0，因此 Q QQ Q对级数J an 而言，它的一般项也不趋于零， 所以级数J an 发n =1n =1散。
9.3绝对收敛与条件收敛
例 6 判别级数 sin n 2 1 的敛散性.
n 1
例7
xn n ( x 0) 的敛散性. 判别级数 ( 1) n n 1
1 练习：1.判别级数 n ( x 0) 的收敛性. n 1 lg x
( 1)n an 发散， 练习： 2.设正数列{an}单调下降， 且
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ? 1 1 2) ; 1) ; n 1 n ! n 1 n
发散 收敛
二、绝对收敛与条件收敛
1、定义: 一般项为任意实数的级数称为任意项级数.
2、定理 若 | an |收敛,则 an 收敛.
n1 n1
1 证明 令 vn (an | an |) ( n N ), 则 vn 0, 且 vn | an |, 2
lim n 2 un 存在,证明:级数 un 收敛 . 二、若
n
n 1
b 3n 0. 三、证明:lim n n! a n
n
例2 讨论下列级数的敛散性 : 1 (4) ( 1) p n n 1
n
sin na (5) 2 n n 1 1 n (6) sin 2 n 1 n
如何判别任意项级数 an 的敛散性？
若收敛, 要指出是条件收敛还是绝对收敛. 一般步骤如下：1. lim an 0, 则级数发散. n 否则： 判别
n 1
(2) 当 1 时, 级数发散 ；
(3) 当 1 时, 级数敛散性需另行判定.
例2 讨论下列级数的敛散性 : n 1 (1) (1) ln n n 1
n
(n 1)! (2) ( 1) n 1 n n 1
《微积分》绝对收敛与条件收敛
u n
),
u 收敛. n
n1
n1
n1
绝对 收敛
收敛
上定理的作用：
任意项级数
正项级数
事实上：判定任意的常数项级数 a n 是否收敛，
n 1
可以用正项级数审敛法判定
a n
的收敛性,
n 1
若收敛，则原级数收敛,且绝对收敛.
用比较审敛法1/2/2’
若发散，则方法失效.
用比值/根值审敛法
(a 0).
六 、 判 别 下 列 级 数 是 否 收 敛 ?如 果 是 收 敛 的 ,是 绝 对 收
敛还是条件收敛?
1、 (1)n1
n
；
n1
3 n1
1
1
1
1
2、
；
ln 2 ln 3 ln 4 ln 5
(1)n
3、
.
n 2 n ln n
七 、 若 lim n 2 u n 存 在 , 证 明 : 级 数 u n 收 敛 . n n1
b 3n
八 、 证 明 : lim
0.
n n!a n
练习题答案
一 、 1、 p 1, p 1；
2 、 1 , 1 ( 或 lim u n 1 ), 1 . n un
二 、1、 发 散 ；
2、 发 散 .
三 、1、 发 散 ；
2、 收 敛 .
判定任意的常数项级数是否收敛可以用正项级数审敛法判定的收敛性用比较审敛法122若收敛则原级数收敛且绝对收敛
9-2 绝对收敛与条件收敛
1、交错级数及其审敛法 2、级数的绝对收敛与条件收敛
9.5绝对收敛与条件收敛
绝对收敛. 绝对收敛.
1 ⑵ ∑ ( −1) ln(1 + ) 由莱法, 知∑ a n收敛. n n =1 1 1 ∵ ln(1 + ) ~ , ∑ a n 发散. 条件收敛 n n
1 1 n 1 n 1 n an = n (1 + ) ⑶ ∑ ( − ) (1 + ) n 2 n =1 2 n 1 1 e n a = lim (1 + )n = >1 lim n n→ ∞ n→ ∞ 2 n 2
S
' 3m−2
=S
' 3m
1 1 1 1 ' + + → ln 2 ∴ S n → ln 2. 4m − 2 4m 2 2
例6. 级数 ∑ ( −1)n−1 1 = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 ⋯ n =1 n 2 3 4 5 条件收敛. 条件收敛.
∞
先取p个正项, 再取q个负项. 级数重排： 级数重排：
+ − a n 收敛 ⇒ ∑ a n， a n收敛. ∑ ∑
+ − 且∑ a n = ∑ a n + ∑ a n ,
+ − an = ∑ an − ∑ an . ∑
② 对更序级数 ∑ bn
+ n − n
∵ ∑ b , ∑ b 分别是由∑ a , ∑ a 更序所得 ,
+ + − − ∴ ∑ bn 收敛且等于 ∑ a n ; ∑ bn 收敛且等于 ∑ a n . + − + − ∴ ∑ bn = ∑ ( bn − bn ) = ∑ a n − ∑ a n = ∑ a n 收敛. n =1 n =1 n =1 n =1 n =1 n =1 ∞ ∞ n =1 ∞ n =1 ∞ ∞ n =1 ∞ ∞ n =1 + n ∞ n =1 − n ∞
条件收敛与绝对收敛
第四节 条件收敛与绝对收敛对于任意项级数∑∞=1n n a ,我们已经给出了其收敛的一些判别方法,本节我们讨论任意项级数的其他性质 — 条件收敛与绝对收敛;定义 对于级数∑∞=1n n a ,如果级数∑∞=1||n n a 是收敛的,我们称级数∑∞=1n n a 绝对收敛;如果∑∞=1||n n a 发散,但∑∞=1n n a 是收敛的, 我们称级数∑∞=1n n a 条件收敛;条件收敛的级数是存在的,如∑∞=+-11.)1(n n n收敛级数可以看成是有限和的推广,但无限和包含有极限过程;并不是有限和的所有性质都为无限和所保持;大体说来,绝对收敛的级数保持了有限和的大多数性质,条件收敛的级数则在某些方面与有限和差异很大;下面我们讨论条件收敛与绝对收敛的性质;定理 绝对收敛级数必为收敛级数,反之则不然.证明：设级数∑∞=1n n a 收敛,即∑∞=1||n n a 收敛,由Cauchy 收敛准则,对0>∀ε, 存在N,当n >N 时,对一切自然数p , 成立着ε<++++++||||||21p n n n a a a于是:≤++++++||21p n n n a a a ε<++++++||||||21p n n n a a a再由Cauchy 收敛准则知∑∞=1n n a 收敛;由级数∑∞=+-11)1(n n n 可看出反之不成立;注：如果正项级数∑∞=1||n n a 发散,不能推出级数∑∞=1n n a 发散;但如果使用Cauchy 判别法或D ’Alembert 判别法判定出∑∞=1||n n a 发散,则级数∑∞=1n n a 必发散,这是因为利用Cauchy 判别法或D ’Alembert 判别法来判定一个正项级数∑∞=1||n n a 为发散时,是根据这个级数的一般项|a n |当+∞→n 时不趋于0,因此对级数∑∞=1n n a 而言,它的一般项也不趋于零,所以级数∑∞=1n n a 发散;例 讨论级数∑∞=+++-11112)1(n p n nn n 的敛散性,如收敛指明是条件收敛或绝对收敛;解,当0≤p 时,由于∞→n lim ,0112≠++p nn n 所以级数发散. 当2>p 时, 因为∞→n lim 1/1112=++p pn n n n 而∑∞=11n pn收敛,所以原级数绝对收敛;当20≤<p 时,因u n –u n +1=ppn n n nn n )1()2(3)1(2+++-++=222222)1()2)(1()34()1)(44(p p p p n n n n nn n n n n +++++-+++>222222)1()2)(1()34()44(p p p p n n n n nn n n n n +++++-++=0)1()2)(1(222>+++p p p n n n n n故{u n }单调减少, 且∞→n lim0112=++p nn n 由Leibniz 判别法知∑∞=+++-11112)1(n p n nn n 收敛,显然∑∞=++1112n p nn n 发散,所以当20≤<p 时级数条件收敛; 前面已经指出,一个收敛级数不论是绝对收敛或条件收敛,将其项任意加括号后,得到的新级数仍收敛,这个性质称为收敛级数满足结合律;下面我们讨论收敛级数的交换律;设∑∞=1n n a 是一个级数,将级数项任意交换顺序,得到的新级数记为∑∞=1/n n a ,我们有下列定理:定理 设级数∑∞=1n n a 绝对收敛,则重排的级数∑∞=1/n n a 也是绝对收敛的,且其和不变;证明：先设∑∞=1n n a 是正项收敛的级数,此时有∑=mn na1/≤∑∞=1n n a =M , 对m =1,2,…, 均成立即正项级数∑∞=1/n na 的部分和数列有界,从而∑∞=1/n n a 收敛,且∑∞=1/n n a ≤∑∞=1n na而正项级数∑∞=1n n a 也可看成是∑∞=1/n n a 的重排, 从而也有∑∞=1/n na≤∑∞=1n na所以∑∞=1/n n a =.1∑∞=n n a对一般项级数∑∞=1n n a ,设∑∞=1||n n a 收敛记 u n =2||n n a a +, v n =2||nn a a -, n =1,2,…, 显然有 0||n n a u ≤≤, 0||n n a v ≤≤, ,,2,1 =n由比较判别法知正项级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 均收敛;因而重排后的级数∑∞=1/n n u 与∑∞=1n n v 也收敛,且有∑∞=1/n nu =∑∞=1n n u∑∞=1/n nv =∑∞=1n n v从而,级数∑∞=1/||n na =∑∞=+1//)(n nnv u 也收敛,即∑∞=1/n n a 绝对收敛,且有∑∞=1/||n na=∑∞=-1//)(n nnv u =∑∞=-1/n nu ∑∞=1/n n v=∑∞=1n n u –∑∞=1n n v =∑∞=-1)(n n n v u=∑∞=1n n a下面我们讨论条件收敛级数的重排: 定理Riemann 设∑∞=1n n a 是条件收敛级数, 则1 对任意给定的一个ξR ∈,必存在∑∞=1n n a 的一个重排∑/na使得∑∞=1/n n a =ξ;2 存在∑∞=1n n a 的重排级数∑∞=1/n n a 使∑∞=1/n n a =∞+或∞-证明：记 u n =2||n n a a +, v n =2||n n a a -n =1,2,…显然∑∞=1n n u ,∑∞=1n n v 都是正项级数,且有∞→n lim u n =∞→n lim v n =0易证得∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 均发散请读者自行证明现考察序列a 1, a 2,…, a n , …,用p m 表示数列中第m 个非负项,用Q m 表示其中的第m 个负项的绝对值;显然{p m }是{u n }的子列,{Q m }是{v n }的子列,{p m }为{u n }中删去了一些等于零的项后剩下的数列,因此 ∞→n lim p m =∞→n lim Q m =0=∑∞=1n n p +∞=∑∞=1n n Q我们依次考察p 1,p 2,…中的各项,设1m p 为其中第一个满足以下条件的项p 1+p 2+…+1m p >ξ再依次考察Q 1,Q 2…中的各项,设1n Q 是其中第一个满足以下条件的项;p 1+p 2+…+1m p –Q 1–Q 2–…–1n Q <ξ再依次考察 11+m p +21+m p +…中的各项,设2m p 是其中第一个满足以下条件的项;p 1+p 2+…+1m p –Q 1–Q 2–… –1n Q +11+m p +21+m p +…+2m p >ξ照此下去,我们得到∑∞=1n n a 的一个重排∑∞=1/n n a 如下p 1+p 2+…+1m p –Q 1–Q 2–…–1n Q+11+m p +21+m p +…2m p –11+n Q –…–2n Q +12+m p +…再分别用R k 与L k 表示级数∑∞=1/n n a 的末项为k m p 的部分和与末项为k n Q 的部分和,则有|R k –ξ|≤k m p , k =2,3,… 否则与k m p 的选取有矛盾; 同理有|L k –ξ|≤k n Q , k =1,2,3,…因为 ∞→k lim k m p =∞→k lim k n Q =0∴ ∞→k lim R k =∞→k lim L k =ξ因为级数∑∞=1/n n a 的任一部分和/n s 必介于某一对L k 与R k 之间,所以也应有∞→n lim /n s =ξ即 ∑∞=1/n n a =ξ2首先,任意选取一个严格单调上升并趋于+∞的实数,列{ξk }例如, 可选ξk =k ,k =1,2,…. 其次,用p k 表示序列{n a }中的第k 个非负项,用Q k 表示序列{n a }的第k 个负项,设p m 是p 1,p 2,…中第一个满足以下条件的项p 1+p 2+…+1m p >ξ1设1n Q 是Q 1,Q 2 ,…中第一个满足以下条件的项 p 1+p 2+…+1m p –Q 1–Q 2–…–1n Q <ξ1再依次考察11+m p +21+m p +…中的各项,设2m p 是其中第一个满足以下条件的项p 1+…+1m p –Q 1–…–1n Q +11+m p +…2m p >ξ2再依次考察11+n Q ,21+n Q …中各项,设2n Q 是其中第一个满足以下条件的项,p 1+…+1m p –Q 1–…–1n Q +11+m p +…2m p –11+n Q –…–2n Q >ξ2依次做下去,我们得到∑∞=1n n a 的一个重排∑∞=1/n n a , 这个重排级数满足条件.1/+∞=∑∞=n n a同样可以得到一个重排,使得.1/-∞=∑∞=n n a下面我们考察两个级数的乘积; 设∑∞=1n n a 与∑∞=1n n b 是两个级数,将∑∞=1n na ∑∞=1n n b 定义为下列所有项的和44342414433323134232221241312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a由于级数运算一般不满足交换律与结合律;所以这无穷多项如何排序是我们需要考虑的一个问题;事实上,上述无穷多项有很多的排序方式,下面我们介绍两种最常用的排序方式 对角线排序法和正方形排序法; 定义a 1b 1 a 1b 2 a 1b 3 a 1b 4 … a 2b 1 a 2b 2 a 2b 3 a 2b 4 … a 3b 1 a 3b 2 a 3b 3 a 3b 4 … a 4b 1 a 4b 2 a 4b 3 a 4b 4 … ………………………令c 1= a 1b 1, c 2= a 1b 2+ a 2b 1, c 3= a 1b 3+ a 2b 2+ a 3b 1, …… c n ==∑+=+1n j i j i b a a 1b n +a 2b n -1+…+a n b 1…………我们称∑∞=1n n c =∑∞=1(n a 1b n +a 2b n -1+…+a n b 1为级数∑∞=1n n a 与∑∞=1n n b 的Cauchy 乘积;a 1b 1 a 1b 2 a 1b 3 a 1b 4 … a 2b 1 a 2b 2 a 2b 3 a 2b 4 … a 3b 1 a 3b 2 a 3b 3 a 3b 4 … a 4b 1 a 4b 2 a 4b 3 a 4b 4 … ………………………令 d 1= a 1b 1, d 2= a 1b 2+ a 2b 2+ a 2b 1……………d n = a 1b n + a 2b n +…+ a n b n + a n b n -1+…+ a n b 1 ……………则级数∑∞=1n n d 称为级数∑∞=1n n a 与∑∞=1n n b 按正方形排列所得的乘积.定理 如果级数∑∞=1n n a 与∑∞=1n n b 均收敛,则按正方形排序所得的乘积级数∑∞=1n n d 总是收敛的,且∑∞=1k k d =∑∑∞=∞=11)()(k k k k b a证明：因为s n =∑=nk k d 1=∑=nk 1(a 1b k + a 2b k +…+ a k b k +a 2b k-1+…+a k b 1=∑=nk ka 1∑=nk k b 1=bn a n s s其中{a ns }与{b ns }分别为∑∞=1n n a 与∑∞=1n n b 的部分和,当记∞→n lim a n s =a s ,∞→n lim bn s =b s 时,有∞→n lim n d =a s b s所以级数∑∞=1n n d 收敛,且∑∞=1n n d =∑∞=1n na ∑∞=1n n b .但是两个收敛级数的Cauchy 乘积却不一定是收敛的;例如∑∞=1n n a =∑∞=+-1211)1(n n n与∑∞=1n n b =∑∞=+-1211)1(n n n这两个级数显然都是收敛,但它们的Cauchy 乘积的一般项为c n =－1n+1∑+=+11n j i ij显然 ≤ij 2j i +=21+n从而∑+=+11n j i ij≥∑+=++112n j i n >n n ⋅+12所以∞→n lim ,0≠n c 故∑∞=1n n c 发散.定理 如果级数∑∞=1n n a 与∑∞=1n n b 都绝对收敛,则它们的Cauchy 乘积∑∞=1n n c 和正方形排列所得的乘积∑∞=1n n d 都是绝对收敛的,且∑∞=1n n c =∑∞=1n n a ∑∞=1n n b证明: 设s n =∑=nk k c 1||=∑=nk 1|a 1b k +a 2b k-1+…+a k b 1|≤∑=nk k a 1||∑=nk k b 1||≤∑∞=1||k k a ∑∞=1||k k b由正项级数∑∞=1||k k c 的部分和数列有界知∑∞=1||k k c 收敛,又因为绝对收敛级数有交换律和结合律; 同理可证,∑∞=1n n d 绝对收敛所以∑∞=1n n c =∑∞=1n n d =∑∞=1n na ∑∞=1n n b .我们可以将上定理的条件适当放宽定理Mertens 设级数∑∞=1n n a 绝对收敛,级数∑∞=1n n b 收敛,记∑∞=1n n a =A, ∑∞=1n n b =B则它们的Cauchy 乘积∑∞=1n n c 也收敛, 且∑∞=1n n c =AB证明: 记A n =∑=n k k a 1, B n =∑=nk k b 1c n =a 1b n +a 2b n-1+…+a n b 1前n 项部分和s n =∑=nk 1(a 1b k +a 2b k-1+…+a k b 1= a 1B n +a 2B n-1+…+a n B 1当令n β=B －B n 时, n =1,2,… s n = a 1B n +a 2B n-1+…+a n B 1= a 1B –n β+a 2B –1-n β+…+a n B –1β = A n B –a 1n β +a 21-n β+…+a n 1β = A n B –R n下面我们估计R n = a 1n β+a 21-n β+…+a n 1β 因为序列{k β}趋于0,可设 |k β|≤M , ∈∀k N 取k 充分大使 |k β|<D2ε这里D>.||1∑∞=n n a 再取m 充分大,使∑∞+=1||m k k a <M 2ε,于是当N 充分大时,对上面取定的m 有|R n |≤|a 1||n β|+…+|a m ||1+-m n β|+|a m +1||m n -β|+…+|a n ||1β| <D D2ε⋅+M M2ε⋅=ε所以 n n R ∞→lim =0从而 AB B A s n n n n ==→∞→∞lim lim . 证毕. 定理Abel 定理设级数∑∞=1n n a 与∑∞=1n n b 都收敛,且∑∞=1n n a =A,∑∞=1n n b =B,∑∞=1n n c 是它们的Cauchy 乘积,如果∑∞=1n n c 收敛,其和为c ,则必有c B证明：在数列极限理论中,我们已经证明 如 n n A ∞→lim =A, n n B ∞→lim =B,n n c ∞→lim =c , 则AB nB A B A B A n n n n =+++-∞→1121lim当记∑==nk n n c s 1时,有c s n n =∞→lim 所以 c =∞→n limn1∑=nk ns1=∞→n lim n1 A 1B n +A 2B n-1+…+A n B 1 =AB.习题1、设级数∑∞=1n n a 与∑∞=1n n b 均绝对收敛,则它们的任意排序方法除了对角线方法与正方形方法得到的乘积级数∑n h也绝对收敛,且∑∞=1nnh=∑∞=1nna∑∞=1nnb2、设|x|<1,|y|<1, 求证: ∑∞=1(n x n-1+ x n-2y++y n-1=)1)(1(1yx--3、求证: ∑∞=0!nnnx∑∞=0!nnny=∑∞=+!)(nnnyx4、求证: ∑∞=0! 1n n∑∞=-!)1(nnn=15、求证: ∑∞=0nnq∑∞=0nnq=).1|(|)1(1)1(2<-=+∑∞=qqqnnn。
绝对收敛和条件收敛的区别
绝对收敛和条件收敛的区别绝对收敛和条件收敛的区别
一、区别一如图示给出：
二、性质不同：
1、绝对收敛：一般用来描述无穷级数或无穷积分的收敛情况，如果级数ΣUn各项的绝对值所构成的级数Σ|Un|收敛，则称级数ΣUn绝对收敛，级数ΣUn称为绝对收敛级数。
2、条件收敛：一种微积分上的概念。
如果级数ΣUn收敛，而Σ∣Un∣发散，则称级数ΣUn条件收敛。
三、经济学意义不同：
1、绝对收敛：是不论条件如何，穷国比富国收敛更快。
2、条件收敛：是技术给定，其他条件一样的话，人均产出低的国家，相对于人均产出高的国家，有着较高的人均产出增长率，一个国家的经济在远离均衡状态时，比接近均衡状态时，增长速度快。
四、计算规则不同：
1、绝对收敛：可以交换次序，可以相乘
2、条件收敛：相乘有限制条件，交换次序可以收敛到复平面上一条直线或整个复平面的任意一点。
绝对收敛与条件收敛
绝对收敛与条件收敛绝对收敛和条件收敛是数学分析中非常重要的概念。
在实际问题中，经常会遇到需要收敛的数列或级数，而如何确定这个数列或级数是否收敛，则成为数学分析中的重要问题。
其中，绝对收敛和条件收敛是判断这个问题的两个重要的方法。
一、绝对收敛对于一个实数数列或级数，如果它的每一项的绝对值都是收敛的，则这个数列或级数就称为绝对收敛。
例如，数列{(-1)^(n-1)/n^2}是收敛的数列，但数列{|(-1)^(n-1)/n^2|}是绝对收敛的数列。
绝对收敛是一种比收敛更强的收敛形式。
如果一个数列或级数是绝对收敛的，那么它一定是收敛的。
这个结论与我们在初等数学中学习到的类似：如果一个函数在某个点处收敛，那么它在那个点处连续。
绝对收敛的一些性质如下：1. 如果一个级数绝对收敛，则它的任何子级数也是绝对收敛的。
二、条件收敛可以看出，条件收敛是一种相对于绝对收敛而言比较弱的收敛形式。
有时，人们会采用条件收敛而不是绝对收敛，这是因为在实际问题中，绝对收敛有时并不容易得到，而条件收敛比较容易计算。
2. 如果一个级数是条件收敛的，则它有可能不满足重排序定理，即改变它的项的顺序可能导致级数的收敛性质发生变化。
对于一个实数数列或级数，如果它是绝对收敛的，那么它一定是收敛的。
这个结论我们已经讨论过。
反过来说，对于一个实数级数，如果它是收敛的但是不绝对收敛，那么我们无法对它进行简单的变换，而不改变它的收敛性质。
这是因为如果它的每一项的绝对值级数发散，则它的收敛速度很慢，每项的大小相差很大，所以很难做出更多的结论。
绝对收敛和条件收敛的关系，可以用下面这个定理来简要概括。
定理：若级数收敛，则它必定能通过“有限个足够小的项”加减换位，使得该级数变成收敛的绝对收敛级数。
这个定理的意思是，任何收敛的级数都能通过“有限个足够小的项”加减来换位，变成一个绝对收敛的级数。
由于绝对收敛比条件收敛要强，因此，我们可以得到一个结论：对于一个收敛的级数，如果它是条件收敛的，则它一定可以通过换项变成一个绝对收敛的级数。
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小结
1、交错级数 (莱布(1)-(8)
故 f (x) [2, +)，即有unun+1成立，由莱布尼兹判 别法，该级数收敛.
例 3 判别级数 (1)n n 的收敛性.
n2 n 1
解
(
x
x ) 1
2
(1 x) x( x 1)2
0
( x 2)
故函数 x 单调递减, x1
un un1 ,
又
lim
n
un
lim
n
n
n 1
0.
原级数收敛.
由调和级数的发散性可知，
1 发散，
n1 n 1
故
(1) n1
1
发散.
n1
ln(n 1)
但原级数是一个收敛的交错级数：un
1， ln(n 1)
故原级数是条件收敛，不是绝对收敛的.
(2) 绝对收敛级数的性质
性质1. 任意交换绝对敛级数中各项的位置，其 敛散性不变，其和也不变.
性质2. 两个绝对收敛的级数的积仍是一个绝对 收敛的级数，且其和等于原来两个级数的和之积.
二、 任意项级数及其敛散性
(1) 级数的绝对收敛和条件收敛
定义：若级数 | un | 收敛， 则称原级数 | un | 是绝
n1
n1
对收敛的；若级数 un 收敛，但级数 | un | 发散，
n 1
n1
则称原级数 un 是条件收敛的 . n1
定理：若 |
un
|
收敛，则
u
必
n
收敛.
n1
n1
(即绝对收敛的级数必定收敛)
x n
例6. 判别 n1 1 x n 的敛散性，其中，x1为常数.
解：记
un
xn 1 xn
lim | un1 | lim | xn1(1 xn ) | n | un | n | x n (1 x n1 ) |
lim x xn1 n 1 x n1
| x | ,
1,
| x | 1 | x|1
n | un | (1) <1时, 级数绝对收敛；
(2) >1 (包括= )时，级数发散；
(3) =1时，不能由此断定级数的敛散性.
例5. 判别级数
sin n
5
n2
n 1
的敛散性.
sin n
解： | un |
5 n2
1 n2
由P一级数的敛散性，
n 1
1 收敛，故 |
n2
n1
un
| 收敛，
即原级数绝对收敛.
由达朗贝尔判别法：
当|x|<1时，=|x|<1, 原级数绝对收敛.
当|x|>1时，=1, 此时不能判断其敛散性.
但|x|>1时， lim n
|
un
|
lim
n
xn 1 xn
1 0，
从而，原级数发散.
例6. 级数 (1)n1
1
是否绝对收敛?
n1
ln(n 1)
解： (1)n1 1
1 1
ln(n 1) ln(n 1) n 1
lim
n
u
n
0,故
lim
m
S
2m1
lim (S
m
2m
u2m1 )
lim
m
S
2m
lim
m
u2m1
S
综上所述，有
lim
n
S
n
S，且S
u1.
例1. 讨论级数 (1)n 1 的敛散性.
n 1
n
解：这是一个交错级数，un
1， n
又
lim
n
u
n
lim
n
1 n
0， un
1 n
1 n 1
u
n
，
1
由莱布尼兹判别法，该级数是收敛.
S2m u1 (u2 u3 ) (u4 u5 ) (u2m2 u2m1 ) u2m u1
由极限存在准则：lim m
S2m
S存在，且S
u1.
2) 取交错级数的前2m+1项之和
S2m1 u1 u2 u3 u4 u2m1 u2m u2m1 S2m u2m1
由条件1):
(1)n
例2. 判别级数 n2 n ln p n 的敛散性.
解：这是一个交错级数，un
1 n ln p
， n
又
lim
n
u
n
lim 1 n n ln p
n
0，
令f (x) 1 ，x[2, +)，则
x ln p x
f
(x)
ln
p
x p ln p1 x 2 ln 2 p x
x
0，
x[2, +)，
n1
n1
若 un 发散,而 un 收敛, 则称 un 为条件收敛.
n1
n1
n1
例4
判别级数
n1
sin n n2
的收敛性.
解
sin n n2
1 n2
,
而 1 收敛, n2
n1
sin n 收敛,
n2
n1
故由定理知原级数绝对收敛.
定理 (达朗贝尔判别法) 设有级数 un . n 1
若 lim | un1 | 存在，则
证： un |un|
0 | un | un 2 | un |
已知 | un |收敛，故 (| un | un ) 收敛，
n1
n1
从而 un [ (| un | un ) | un |]收敛.
n 1
n 1
上定理的作用： 任意项级数
正项级数
定义:若 un 收敛, 则称 un 为绝对收敛;
一、 交错级数及其敛散性 交错级数是各项正负相间的一种级数，它的
一般形式为 u1 u2 u3 u4 (1)n1un
或 u1 u2 u3 u4 (1)n un
其中，un0 (n=1, 2, …)
定理(莱布尼兹判别法) 若交错级数 (1)n1un n1
满足条件
(1)
lim
n
u
n
0
(2) unun+1
(级数收敛的必要条件) (n=1, 2, …)
则交错级数收敛，且其和S的值小于u1.
证 只需证明级数部分和Sn当n时的极限存在. 1) 取交错级前2m项之和
S2m u1 u2 u3 u4 u2m1 u2m
(u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2m1 u2m ) 由条件(2)： unun+1，un0, 得S2m以及