绝对收敛与条件收敛

小结
1、交错级数 (莱布(1)-(8)
故 f (x) [2, +)，即有unun+1成立，由莱布尼兹判 别法，该级数收敛.
例 3 判别级数 (1)n n 的收敛性.
n2 n 1
解
(
x
x ) 1
2
(1 x) x( x 1)2
0
( x 2)
故函数 x 单调递减, x1
un un1 ,
又
lim
n
un
lim
n
n
n 1
0.
原级数收敛.
由调和级数的发散性可知，
1 发散，
n1 n 1
故
(1) n1
1
发散.
n1
ln(n 1)
但原级数是一个收敛的交错级数：un
1， ln(n 1)
故原级数是条件收敛，不是绝对收敛的.
(2) 绝对收敛级数的性质
性质1. 任意交换绝对敛级数中各项的位置，其 敛散性不变，其和也不变.
性质2. 两个绝对收敛的级数的积仍是一个绝对 收敛的级数，且其和等于原来两个级数的和之积.
二、 任意项级数及其敛散性
(1) 级数的绝对收敛和条件收敛
定义：若级数 | un | 收敛， 则称原级数 | un | 是绝
n1
n1
对收敛的；若级数 un 收敛，但级数 | un | 发散，
n 1
n1
则称原级数 un 是条件收敛的 . n1
定理：若 |
un
|
收敛，则
u
必
n
收敛.
n1
n1
(即绝对收敛的级数必定收敛)
x n
例6. 判别 n1 1 x n 的敛散性，其中，x1为常数.
解：记
un
xn 1 xn
lim | un1 | lim | xn1(1 xn ) | n | un | n | x n (1 x n1 ) |
lim x xn1 n 1 x n1
| x | ,
1,
| x | 1 | x|1
n | un | (1) <1时, 级数绝对收敛；
(2) >1 (包括= )时，级数发散；
(3) =1时，不能由此断定级数的敛散性.
例5. 判别级数
sin n
5
n2
n 1
的敛散性.
sin n
解： | un |
5 n2
1 n2
由P一级数的敛散性，
n 1
1 收敛，故 |
n2
n1
un
| 收敛，
即原级数绝对收敛.
由达朗贝尔判别法：
当|x|<1时，=|x|<1, 原级数绝对收敛.
当|x|>1时，=1, 此时不能判断其敛散性.
但|x|>1时， lim n
|
un
|
lim
n
xn 1 xn
1 0，
从而，原级数发散.
例6. 级数 (1)n1
1
是否绝对收敛?
n1
ln(n 1)
解： (1)n1 1
1 1
ln(n 1) ln(n 1) n 1
lim
n
u
n
0,故
lim
m
S
2m1
lim (S
m
2m
u2m1 )
lim
m
S
2m
lim
m
u2m1
S
综上所述，有
lim
n
S
n
S，且S
u1.
例1. 讨论级数 (1)n 1 的敛散性.
n 1
n
解：这是一个交错级数，un
1， n
又
lim
n
u
n
lim
n
1 n
0， un
1 n
1 n 1
u
n
，
1
由莱布尼兹判别法，该级数是收敛.
S2m u1 (u2 u3 ) (u4 u5 ) (u2m2 u2m1 ) u2m u1
由极限存在准则：lim m
S2m
S存在，且S
u1.
2) 取交错级数的前2m+1项之和
S2m1 u1 u2 u3 u4 u2m1 u2m u2m1 S2m u2m1
由条件1):
(1)n
例2. 判别级数 n2 n ln p n 的敛散性.
解：这是一个交错级数，un
1 n ln p
， n
又
lim
n
u
n
lim 1 n n ln p
n
0，
令f (x) 1 ，x[2, +)，则
x ln p x
f
(x)
ln
p
x p ln p1 x 2 ln 2 p x
x
0，
x[2, +)，
n1
n1
若 un 发散,而 un 收敛, 则称 un 为条件收敛.
n1
n1
n1
例4
判别级数
n1
sin n n2
的收敛性.
解
sin n n2
1 n2
,
而 1 收敛, n2
n1
sin n 收敛,
n2
n1
故由定理知原级数绝对收敛.
定理 (达朗贝尔判别法) 设有级数 un . n 1
若 lim | un1 | 存在，则
证： un |un|
0 | un | un 2 | un |
已知 | un |收敛，故 (| un | un ) 收敛，
n1
n1
从而 un [ (| un | un ) | un |]收敛.
n 1
n 1
上定理的作用： 任意项级数
正项级数
定义:若 un 收敛, 则称 un 为绝对收敛;
一、 交错级数及其敛散性 交错级数是各项正负相间的一种级数，它的
一般形式为 u1 u2 u3 u4 (1)n1un
或 u1 u2 u3 u4 (1)n un
其中，un0 (n=1, 2, …)
定理(莱布尼兹判别法) 若交错级数 (1)n1un n1
满足条件
(1)
lim
n
u
n
0
(2) unun+1
(级数收敛的必要条件) (n=1, 2, …)
则交错级数收敛，且其和S的值小于u1.
证 只需证明级数部分和Sn当n时的极限存在. 1) 取交错级前2m项之和
S2m u1 u2 u3 u4 u2m1 u2m
(u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2m1 u2m ) 由条件(2)： unun+1，un0, 得S2m以及