第9章第5节绝对收敛和条件收敛级数的性质
条件收敛与绝对收敛
第四节条件收敛与绝对收敛对于任意项级数a n ,我们已经给出了其收敛的一些判n 1别方法，本节我们讨论任意项级数的其他性质 一条件收敛 与绝对收敛定义 对于级数 a n ，如果级数 I a n |是收敛的，n 1n 1a n 绝对收敛。
n 1如果|a n |发散，但a n 是收敛的，我们称级数n 1n 1敛。
(1)n 1.n 1 n收敛级数可以看成是有限和的推广，但无限和包含有极 限过程。
并不是有限和的所有性质都为无限和所保持。
大体 说来，绝对收敛的级数保持了有限和的大多数性质，条件收 敛的级数则在某些方面与有限和差异很大。
下面我们讨论条 件收敛与绝对收敛的性质。
定理绝对收敛级数必为收敛级数，反之则不然证明：设级数 a n 收敛，即|a n I 收敛，由Cauchy 收敛准则， n 1n 1对 0,存在N ，当n>N 时，对一切自然数 p,成立着丨 an 1 丨1 an 2 11 an p 1于是：我们称级数a n 条件收n 1条件收敛的级数是存在的，如1 a n 1 a n2 a np丨丨a n 1丨丨a n2丨丨a n p丨再由Cauchy收敛准则知a n收敛。
n 1由级数(1)可看出反之不成立。
n 1 n注：如果正项级数|a n |发散，不能推出级数a n发散。
n 1 n 1但如果使用Cauchy判别法或DAlembert判别法判定出|a n |n 1发散，则级数a n必发散，这是因为利用Cauchy判别法或n 1D'lembert判别法来判定一个正项级数| a n |为发散时，是n 1根据这个级数的一般项| a n|当n 时不趋于0，因此对级数a n而言，它的一般项也不趋于零，所以级数n 1例讨论级数(1)n1^ 1的敛散性，如收敛指明是条件n 1 n 1 s'n p收敛或绝对收敛。
解，当p 0时，由于W需总0,所以级数发散.当p 2时，因为n 2 1n 1 n plim ------- : ---- 1n 1/ .n p而1收敛，所以原级数绝对收敛。
收敛级数的性质
∞
∞
，j = 1, 2,
）
组成的级数（按任意排法）均绝对收敛到 AB 。
证明：首先：将无穷级数按任意排法排列为： 则其部分和为： Cs =
∑a
k =1
∞
mk nk
b （ mk 和 nk 独立取遍自然数），
∑a
k =1
s
mk nk
b 。
要证该级数绝对收敛，考虑到：
∑a
k =1
s
mk nk
∑a
n =1
∞
n
收敛，由级数收敛
的四则运算法则，可以推出级数
∑ an+ 与 ∑ an− 均发散。
n =1 n =1
证毕 我们再回到级数的交换律的问题上来。级数和中，两项交换次序表示级数“更序”，下 面就来讨论一个级数“更序”以后得到的“更序级数”的性质：
5.1
收敛级数的性质
′ 是指： 定义： 级数 ∑ an 的更序级数 ∑ an
高等微积分讲义
例1. Leibniz 级数
∑
n =1
∞
( −1)
n
n −1
= ln 2 是条件收敛的，它不能重排。
解：
考虑上述级数的重排： 1 − 其部分和：
1 1 1 1 1 1 1 1 − + − − + − − + 2 4 3 6 8 5 10 12
（一正两负）
S 3n = 1 −
1 1 1 1 1 1 1 1 − + − − + + − − 2 4 3 6 8 2n − 1 4n − 2 4n 1 1 1 1 1 1 = − + − + + − 2 4 6 8 4n − 2 4 n 1⎛ 1 1 1 1 1 ⎞ = ⎜1 − + − + + − ⎟ 2⎝ 2 3 4 2n − 1 2n ⎠
级数的条件收敛与绝对收敛
级数的条件收敛与绝对收敛级数是数学中一个重要的概念，它在许多领域都有广泛的应用。
在研究级数时，一个重要的问题是判断级数的收敛性。
收敛性可以分为两种情况：条件收敛和绝对收敛。
本文将简要介绍这两种收敛性，并探讨它们的区别和应用。
我们来定义级数的概念。
对于一个给定的数列{an}，我们可以构造一个级数S，它的通项为an，表示为S = a1 + a2 + a3 + ...。
级数的收敛性描述了这个无穷级数的求和是否有一个有限的极限值。
条件收敛是指一个级数在某种条件下收敛。
具体来说，一个级数S 在条件收敛时，它的部分和序列Sn存在极限L，即lim(n→∞)Sn = L。
条件收敛是指级数的收敛性依赖于级数项的顺序。
如果我们改变级数项的顺序，可能会导致级数的收敛性发生变化。
绝对收敛是指一个级数在任何条件下都收敛。
具体来说，一个级数S在绝对收敛时，它的绝对值级数∑|an|收敛。
绝对收敛是指级数的收敛性与级数项的顺序无关。
无论我们如何改变级数项的顺序，只要级数的绝对值级数收敛，原级数就一定收敛。
条件收敛和绝对收敛的区别在于级数项的正负性。
在绝对收敛中，我们只考虑级数项的绝对值，而不关心它们的正负性。
这使得我们可以通过级数项的绝对收敛性来研究级数的性质，而不受级数项正负的影响。
而在条件收敛中，级数项的正负性对级数的收敛性起着决定性的作用。
绝对收敛的一个重要性质是它保持级数的求和操作的可交换性。
也就是说，对于一个绝对收敛的级数S，无论我们如何改变级数项的顺序，级数的求和结果都是一样的。
这个性质在实际计算中非常有用，可以简化级数求和的过程。
条件收敛与绝对收敛的关系也是一个重要的研究方向。
一个经典的结果是，如果一个级数绝对收敛，那么它一定条件收敛。
也就是说，绝对收敛是条件收敛的充分条件。
但反过来并不成立，也就是说，条件收敛不一定能推出绝对收敛。
这就意味着，对于一个条件收敛的级数，我们不能简单地改变级数项的顺序，而需要谨慎地处理级数的求和操作。
5绝对收敛级数和条件收敛级数的性质(精)
于是得知 wn 亦必为收敛.又由于 un vn wn ,所以
n 1
得知级数
u
n 1
u
n 1
n
n
v
n 1
n
wn
n 1
vn wn 两个级数 和 都发散. n 1 n 1
绝对收敛 ,此与已知条件矛盾,因此证明了
定理2
绝对收敛级数
n 1
证明
(i)若级数 u n 绝对收敛,由于
n 1
0 vn un ,0 wn un ,
按比较判别法,级数 vn 和级数 wn 都收敛.
un (ii)若 为条件收敛,用反证法证明定理的第二结论. n 1
n 1 n 1
假设级数 vn 和级数 wn 中至少有一个是收敛的,不妨 n 1 n 1 假设 vn 为收敛级数,那么,由于 w n v n un
' n 1 n 1 n 1
而 u ' n v' n w' n ,所以
' ' ' u v w n n n V W un . n 1 n 1 n 1
这样就证明了定理. 若级数 u n 和 vn 都绝对收敛,其 n 1 n 1 和分别为 U 和 K ,则它们各项之积 ui vi i, k 1,2,3, 按照任 何方法排列所构成的级数绝对收敛,且其和为 UV . 定理3(柯西定理)
所以,取 n 大于所有下标 n1 , n2 ,, nk 后,显然有
' 1
数学分析课件：9_5绝对收敛与条件收敛
例：讨论下列级数的条件收敛还是绝对收敛
1n
1)
n1
np
解:
1n
an n p
1）p 1,绝对收敛；
2）0 p 1条件收敛；
3）p 0发散
1n
2) n1
n
1 n
p
解：由于
an
1n n 1n
p
1n
np
1
1n
n
p
1n
np
1
p 1n
n
o
1 n
1n
np
p n p1
法 5.比较法
6.比值法 7.根值法
5.交错级数 (莱布尼茨定理)
作业：习题7﹒5
1 除（6）外； 2 （2）（4）（6）（7）； 3； 4
n1
bn收敛,且其和B S.
同样，将 an看成是 bn更序所得，知S B.
S B
⑵ 对任意级数 an
①
记a
n
an
2
an
an 0
an 0 ,
an 0
正部
an 显然：0
an
2
an
an 0
an an ，0 an
an 0 负部
an an
0 ，且 an
an
an an an an
1 21
1 101
1 22
1 102
k 1
(
1 2k
1 10k
)
更序为：
1 21
1 101
1 102
1 22
1 103
1 104
k 1
(
1 2k
1 102 k 1
1 102k
)
原级数部分和：
级数的条件收敛和绝对收敛
级数的条件收敛和绝对收敛以级数的条件收敛和绝对收敛为标题，我们将探讨级数的收敛性质。
级数是由一系列项相加而得的无穷和，它在数学中占据重要地位。
在分析级数的收敛性质时，我们关注的是级数在无限项相加之后是否会趋于一个有限的值或者无穷大。
其中，条件收敛和绝对收敛是两种重要的收敛性质。
我们来介绍条件收敛。
一个级数在条件收敛的情况下，指的是当且仅当级数的项满足一定的条件时，级数才会收敛。
具体来说，如果一个级数在去除掉某些项之后变成一个收敛的级数，那么我们称原级数是条件收敛的。
条件收敛的级数在去除掉某些项之后会发散，也就是说，这些项对于级数的收敛性至关重要。
一个经典的例子是调和级数，它是由倒数构成的级数：1+1/2+1/3+1/4+...。
调和级数在去除掉部分项之后可以变成一个收敛的级数，但原级数本身是发散的。
接下来，我们来探讨绝对收敛。
一个级数在绝对收敛的情况下，指的是当且仅当级数的每一项都满足一定的条件时，级数才会收敛。
具体来说，如果一个级数的每一项的绝对值都是收敛的，那么我们称该级数是绝对收敛的。
绝对收敛的级数在去除掉某些项之后仍然会收敛，也就是说，这些项对于级数的收敛性并不重要。
一个经典的例子是幂级数，它是由一系列幂函数的项相加而得的级数。
幂级数在其收敛半径内绝对收敛，而在收敛半径外则发散。
条件收敛和绝对收敛是两种不同的收敛性质，它们之间存在一定的关系。
事实上，绝对收敛的级数一定是条件收敛的，但条件收敛的级数不一定是绝对收敛的。
这是因为绝对收敛要求每一项的绝对值都满足收敛的条件，所以绝对收敛的级数更加严格。
而对于条件收敛的级数，它只要求去除掉某些项之后变成一个收敛的级数，所以条件收敛的级数的收敛性较弱。
在实际应用中，条件收敛和绝对收敛的性质都有其重要意义。
对于条件收敛的级数，我们可以通过去除掉某些项来使其变成一个收敛的级数，从而得到有限的结果。
这在一些实际问题中具有应用价值。
而对于绝对收敛的级数，它的性质更加稳定，不受部分项的影响，更容易进行计算和分析。
绝对收敛级和条件收敛级数的性质
§9.5 绝对收敛级数和条件收敛级数的性质一 绝对收敛级数对于级数1nn u∞=∑，令,020,0n n n nn n u u u u v u >+⎧==⎨≤⎩当当 ,020,0n n n nn n u u u u w u -<-⎧==⎨≥⎩当当 那么： （i ）若级数1nn u∞=∑绝对收敛，则级数1nn v∞=∑和1nn w∞=∑都收敛。
（ii ）若级数1nn u∞=∑条件收敛，则级数1nn v∞=∑和1nn w∞=∑都发散。
定义1：对于一个级数1nn u∞=∑，他的更序级数就是把它的项重新排列后所得到的级数。
定理2：绝对收敛级数1nn u∞=∑的更序级数'1nn u∞=∑仍为绝对收敛，且其和相同，1nn u∞=∑='1nn u∞=∑。
定理3：若级数1nn u∞=∑条件收敛，那么，总可以适当地更换原来级数的次序而组成一个级数，使它收敛于任何预先给定的数S （包括∞的情形）。
注：（1）由条件收敛的级数重排后所得到的级数，不一定收敛；即使收敛，也不一定收敛于原来的和数。
如：设A n n n =+-+-+-+-=-∑∞=+ 8171615141312111)1(11， 则 2816141211)1(2111An n n =+-+-=-∑∞=+ ，而n n n 1)1(11∑∞=+-23417151213111)1(2111A n n n =+-++-+=-+∑∞=+ ，它正是第1个级数的重排。
二 级数的乘积设有收敛级数 A u u u u n n=++++=∑ 21， （1）B v v v vn n=++++=∑ 21。
（2）它们每一项所有可能的乘积为：11v u 21v u 31v u … n v u 1 … 12v u 22v u 32v u … n v u 2 …13v u 23v u 33v u … n v u 3 … （3） … … … … … … 1v u n 2v u n 3v u n … n n v u … … … … … … …定理4:（柯西定理） 若级数（1）、（2）都绝对收敛，则对（3）中所有乘积j i v u 按任意顺序排列所得到的级数∑nw也绝对收敛，且和等于AB 。
第9章第5节绝对收敛和条件收敛级数的性质
（ u u u ）（ v v v ） 1 2 1 2
U* V*，
* 即 S 有界，这证明了级数 绝对收敛 . n n n 1
2019/2/12
17
再 应 用 定 理 2 , 也 的 更 序 级 数 绝 对 收 敛 , 且 它 们 和 相 同 ,
引
言
对于任意项级数，我们给出绝对收敛 与条件收敛的概念，无论是绝对收敛级数 还是条件收敛级数,都具有本章第二节所 给出的1-4个性质,除此而外,对于这两种 不同的收敛级数,还具有各自不同的重要 性质.本节分别进行简单介绍和讨论.
2019/2/12
1
一.绝对收敛和条件收敛级数的性质
n 1
定理1: 若对级数 un， 将 它 所 有 正 项 保 留 而 负 项 换 为 0 ， 此 定 理 揭 示 的 规 律 ？
由 定 理知 1 ，
这 两 个 级 数 都 收 敛 .
设 它 们 的 和 分 别 为 V 和 W , 则 有
2019/2/12
8
u V W. 由 ( 1 ) 知 u 的更序级数 u 有 u V W , 绝对收敛 即更序级数 u .
n 1 n
u
V W ,
18
以下再证明这个和数恰 为UV.
考虑由正方形法排列所 构成的级数，并加括号 如下
a u v （ u v u v u v ）
n 1 n 11 12 22 21
（ u v u v u v u v u v ） ， 1 3 2 3 3 3 3 2 3 1
* V v v v ， 即的 v 分 和 . 1 2 n 部 n 1
高等数学：第五讲 绝对收敛与条件收敛
1. 交错级数及其敛散性
定理1(莱布尼茨准则) 若交错级数 (1)n1un n1
满足以下两个条件：
(1) unun+1
(n=1, 2, …)
(2)
lim
n
un
0
则交错级数收敛，且其和S不超过u1.
1. 交错级数及其敛散性
说明: 1、定理中两个条件是交错级数收敛的充分条件 , 其中条件(1)可放宽为n从某个自然数起.
1、若是交错级数，先判断是否绝对收敛；如果 不是，再用莱布尼茨准则判断是否条件收敛；
2、若是任意项级数，先判断是否绝对收敛；如 果不是，再用级数收敛的定义和级数的性质等判 断是否条件收敛。
谢谢
主讲： 黄飞
条件收敛 ，
(1)n n2
n1
绝对收敛 。
2、绝对收敛与条件收敛
例2. 讨论级数
sin n
5
n2
n1
的敛散性.
sin n
解
令un
5 n2
,
sin n
由于 | un |
5 n2
1 n2
而
n1
1 n2
收敛，
由比较审敛法知，
| un |收敛，
n1
即原级数绝对收敛.
3. 小 结
．
判别交错级数与任意项级数敛散性的方法与步骤
2、 应用莱布尼茨准则判断交错级数敛散性必 须验证这两个条件，缺一不可 .
1. 交错级数及其敛散性
例1. 讨论级数 (1)n 的敛散性. n1 n
解
级数可写成
(1)nun，un
n1
1， n
因为
un
1 n
1 n 1
u
，
n1
级数的条件收敛和绝对收敛
级数的条件收敛和绝对收敛级数是数学中一种重要的数列求和形式，它在许多数学分支中都扮演着重要的角色。
在研究级数的性质时，我们常常关注两个重要的概念：条件收敛和绝对收敛。
我们来讨论条件收敛。
一个级数在条件收敛时，指的是当级数的各项按照某种次序相加时，其和存在但可能不收敛。
换句话说，条件收敛是指级数的各项次序的排列方式对级数的和有影响。
为了更好地理解条件收敛，我们来看一个例子：调和级数。
调和级数是指级数1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...，它的和是发散的。
然而，当我们改变级数的次序时，例如将正项和负项交替相加，即1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...，这个级数的和却是收敛的，而且和为ln2。
这就是条件收敛的一个例子。
接下来，我们来讨论绝对收敛。
一个级数在绝对收敛时，指的是当级数的各项按照任意次序相加时，其和都是收敛的。
换句话说，绝对收敛是指级数的各项次序的排列方式对级数的和没有影响。
为了更好地理解绝对收敛，我们再来看一个例子：幂级数。
幂级数是指形如Σan*x^n的级数，其中an是系数，x是变量。
对于幂级数，当其收敛半径大于0时，它是绝对收敛的。
也就是说，无论我们如何排列幂级数的各项次序，只要收敛半径大于0，级数的和都是收敛的。
这就是绝对收敛的一个例子。
条件收敛和绝对收敛的区别在于级数项次序的影响。
条件收敛的级数的和在不同的项次序下可能会收敛到不同的值，而绝对收敛的级数的和在任意项次序下都是收敛到同一个值。
那么，为什么条件收敛和绝对收敛如此重要呢？这是因为在实际应用中，我们常常需要对级数进行求和。
如果一个级数是绝对收敛的，我们可以放心地任意改变级数的项次序，而不用担心和的变化。
然而，如果一个级数只是条件收敛的，我们在改变项次序时就需要小心，因为和可能会发生变化。
绝对收敛还有一个重要的性质：绝对收敛的级数的部分和序列是一个柯西序列。
柯西序列是指序列的任意两个元素之间的差可以任意小。
绝对收敛和条件收敛级数的区别和应用
绝对收敛和条件收敛级数的区别和应用概述在数学中，级数是指无穷个数的和。
我们可以将级数分为两类：绝对收敛级数和条件收敛级数。
绝对收敛级数是指在对原级数的每一项取绝对值之后所得到的级数收敛。
而条件收敛级数是指原级数在不取绝对值的情况下收敛。
在本文中，我们将首先讲解绝对收敛级数和条件收敛级数的定义和性质。
接着，我们将探讨两者在实际应用中的区别以及它们在解决特定问题时的重要性。
绝对收敛级数我们先来看看什么是绝对收敛级数。
一个级数在绝对收敛时，它的每一项都取绝对值并求和之后，所得到的新级数必定是收敛的。
换言之，对于一个无穷级数$a_n$，如果它的绝对值级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty} |a_n|$收敛，则级数$a_n$是绝对收敛的。
绝对收敛级数有很多很好的性质。
其中一个重要的性质就是它在求和的顺序不变的情况下，所得到的值也不会改变。
这意味着，如果我们将级数的不同项重新排列，所得到的和将永远不会发生变化。
条件收敛级数接下来，我们看看条件收敛级数的定义。
一个级数在条件收敛时，它在不取绝对值的情况下收敛。
也就是说，如果一个级数$a_n$本身是发散的，但是当我们对其中的正项和负项分别取和，所得到的两个无穷级数都是收敛的，那么该级数就是条件收敛的。
与绝对收敛级数相比，条件收敛级数的性质要复杂得多。
其一个重要的性质是，如果我们改变级数中各项的顺序，则所得到的新级数的和可能会发生变化。
在实际应用中，这种性质通常会导致一些意外的结果。
应用在数学中，绝对收敛级数比条件收敛级数更容易处理。
因为对于绝对收敛级数，只要我们对其每一项取绝对值之后，我们就可以转化为简单的收敛问题。
而对于条件收敛级数，由于其性质更为复杂，可能需要更为深入的分析和更为细致的取舍。
作为一个例子，考虑著名的阶乘级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}$。
这个级数在求和时必须使用折中法，也就是将正项和负项分别求和，以获得它的和。
95绝对收敛与条件收敛概述
则此级数对一切 x ( x ) 绝对收敛
2018/10/30 福州大学数学与计算机学院 5
un 1 ( 2n)! ( 2) lim lim | x |2 n un n ( 2n 2)! 1 lim | x |2 0 n ( 2n 2)( 2n 1)
若 an条件收敛，即 an 发散，但有 an收敛
n 1 n 1 n 1
an an an an 又pn ，pn ， 2 2
由级数的运算性质知 pn与 qn都发散。
n 1 n 1
2018/10/30
福州大学数学与计算机学院
10
2. 绝对收敛级数可重排性 : 定理2
第5节 绝对收敛级数和条件 收敛级数的性质
2018/10/30
1
任意项级数
正项级数
定理
若
un 收敛,则 un 收敛. n 1 n 1
n 1
定义:若 un 收敛, 则称 un 为绝对收敛;
n 1
若 un 发散,而 un 收敛, 则称 un 为条件收敛.
n 1 n 1 n 1
n 1
un u1 u2 un
un 1 lim （其中 可以为 ） n un
n 1 n 1
满足条件
则当 1时，级数 un 收敛，且绝对收敛； 当 1时，级数 un 发散
2018/10/30
福州大学数学与计算机学院
福州大学数学与计算机学院
.
2018/10/30
7
定理1. an | an | an | an | 设pn , qn , n 1, 2, 2 2
级数收敛性与绝对收敛性
级数收敛性与绝对收敛性级数是数学中重要的概念之一，它由一系列数的无限求和构成。
在研究级数的性质时，我们常常关注收敛性和绝对收敛性。
本文将介绍级数的收敛性和绝对收敛性，并分析它们的特点和相关定理。
一、级数的收敛性级数的收敛性是指当级数的部分和逐渐趋近于某个有限数时，我们称该级数是收敛的。
如果级数的部分和无限逼近无穷大，或者没有确定的趋近，那么我们称该级数是发散的。
对于一个级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$，其部分和可以表示为$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k $。
如果对于任意的正实数 $\varepsilon $，存在正整数 N，当 n > N 时，有 $| S_n - S| < \varepsilon $，其中 S 是某个有限数，那么我们称级数收敛于 S。
我们可以通过一些方法来判断级数的收敛性，如比较审敛法、极限审敛法、积分审敛法等。
这些方法基于一些特殊级数的性质和常用的极限定理，通过比较或者变换，判断原级数的收敛性。
二、级数的绝对收敛性级数的绝对收敛性是指级数的每一项都是非负的，并且级数的绝对值收敛。
如果一个级数绝对收敛，那么它一定是收敛的。
对于一个级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$，如果级数$\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$ 收敛，那么我们称其为绝对收敛的。
绝对收敛是一种更强的收敛性，它保证了级数的每一项绝对值的部分和存在有限极限。
绝对收敛性在分析数学和函数论中占有重要地位，很多重要的级数都是绝对收敛的。
绝对收敛级数具有一些重要的性质，比如可以对其进行任意交换和分组。
三、级数收敛性的相关定理在研究级数的收敛性和绝对收敛性时，一些重要的定理为我们提供了判断的方法和条件。
1. 比较审敛法：如果一个级数的绝对值收敛，那么它的每一项的绝对值小于一个已知收敛的级数的每一项的绝对值，那么该级数也收敛。
同样地，如果一个级数的绝对值发散，而它的每一项的绝对值大于一个已知发散的级数的每一项的绝对值，那么该级数也发散。
条件收敛与绝对收敛
第四节 条件收敛与绝对收敛对于任意项级数∑∞=1n n a ,我们已经给出了其收敛的一些判别方法,本节我们讨论任意项级数的其他性质 — 条件收敛与绝对收敛;定义 对于级数∑∞=1n n a ,如果级数∑∞=1||n n a 是收敛的,我们称级数∑∞=1n n a 绝对收敛;如果∑∞=1||n n a 发散,但∑∞=1n n a 是收敛的, 我们称级数∑∞=1n n a 条件收敛;条件收敛的级数是存在的,如∑∞=+-11.)1(n n n收敛级数可以看成是有限和的推广,但无限和包含有极限过程;并不是有限和的所有性质都为无限和所保持;大体说来,绝对收敛的级数保持了有限和的大多数性质,条件收敛的级数则在某些方面与有限和差异很大;下面我们讨论条件收敛与绝对收敛的性质;定理 绝对收敛级数必为收敛级数,反之则不然.证明：设级数∑∞=1n n a 收敛,即∑∞=1||n n a 收敛,由Cauchy 收敛准则,对0>∀ε, 存在N,当n >N 时,对一切自然数p , 成立着ε<++++++||||||21p n n n a a a于是:≤++++++||21p n n n a a a ε<++++++||||||21p n n n a a a再由Cauchy 收敛准则知∑∞=1n n a 收敛;由级数∑∞=+-11)1(n n n 可看出反之不成立;注：如果正项级数∑∞=1||n n a 发散,不能推出级数∑∞=1n n a 发散;但如果使用Cauchy 判别法或D ’Alembert 判别法判定出∑∞=1||n n a 发散,则级数∑∞=1n n a 必发散,这是因为利用Cauchy 判别法或D ’Alembert 判别法来判定一个正项级数∑∞=1||n n a 为发散时,是根据这个级数的一般项|a n |当+∞→n 时不趋于0,因此对级数∑∞=1n n a 而言,它的一般项也不趋于零,所以级数∑∞=1n n a 发散;例 讨论级数∑∞=+++-11112)1(n p n nn n 的敛散性,如收敛指明是条件收敛或绝对收敛;解,当0≤p 时,由于∞→n lim ,0112≠++p nn n 所以级数发散. 当2>p 时, 因为∞→n lim 1/1112=++p pn n n n 而∑∞=11n pn收敛,所以原级数绝对收敛;当20≤<p 时,因u n –u n +1=ppn n n nn n )1()2(3)1(2+++-++=222222)1()2)(1()34()1)(44(p p p p n n n n nn n n n n +++++-+++>222222)1()2)(1()34()44(p p p p n n n n nn n n n n +++++-++=0)1()2)(1(222>+++p p p n n n n n故{u n }单调减少, 且∞→n lim0112=++p nn n 由Leibniz 判别法知∑∞=+++-11112)1(n p n nn n 收敛,显然∑∞=++1112n p nn n 发散,所以当20≤<p 时级数条件收敛; 前面已经指出,一个收敛级数不论是绝对收敛或条件收敛,将其项任意加括号后,得到的新级数仍收敛,这个性质称为收敛级数满足结合律;下面我们讨论收敛级数的交换律;设∑∞=1n n a 是一个级数,将级数项任意交换顺序,得到的新级数记为∑∞=1/n n a ,我们有下列定理:定理 设级数∑∞=1n n a 绝对收敛,则重排的级数∑∞=1/n n a 也是绝对收敛的,且其和不变;证明：先设∑∞=1n n a 是正项收敛的级数,此时有∑=mn na1/≤∑∞=1n n a =M , 对m =1,2,…, 均成立即正项级数∑∞=1/n na 的部分和数列有界,从而∑∞=1/n n a 收敛,且∑∞=1/n n a ≤∑∞=1n na而正项级数∑∞=1n n a 也可看成是∑∞=1/n n a 的重排, 从而也有∑∞=1/n na≤∑∞=1n na所以∑∞=1/n n a =.1∑∞=n n a对一般项级数∑∞=1n n a ,设∑∞=1||n n a 收敛记 u n =2||n n a a +, v n =2||nn a a -, n =1,2,…, 显然有 0||n n a u ≤≤, 0||n n a v ≤≤, ,,2,1 =n由比较判别法知正项级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 均收敛;因而重排后的级数∑∞=1/n n u 与∑∞=1n n v 也收敛,且有∑∞=1/n nu =∑∞=1n n u∑∞=1/n nv =∑∞=1n n v从而,级数∑∞=1/||n na =∑∞=+1//)(n nnv u 也收敛,即∑∞=1/n n a 绝对收敛,且有∑∞=1/||n na=∑∞=-1//)(n nnv u =∑∞=-1/n nu ∑∞=1/n n v=∑∞=1n n u –∑∞=1n n v =∑∞=-1)(n n n v u=∑∞=1n n a下面我们讨论条件收敛级数的重排: 定理Riemann 设∑∞=1n n a 是条件收敛级数, 则1 对任意给定的一个ξR ∈,必存在∑∞=1n n a 的一个重排∑/na使得∑∞=1/n n a =ξ;2 存在∑∞=1n n a 的重排级数∑∞=1/n n a 使∑∞=1/n n a =∞+或∞-证明：记 u n =2||n n a a +, v n =2||n n a a -n =1,2,…显然∑∞=1n n u ,∑∞=1n n v 都是正项级数,且有∞→n lim u n =∞→n lim v n =0易证得∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 均发散请读者自行证明现考察序列a 1, a 2,…, a n , …,用p m 表示数列中第m 个非负项,用Q m 表示其中的第m 个负项的绝对值;显然{p m }是{u n }的子列,{Q m }是{v n }的子列,{p m }为{u n }中删去了一些等于零的项后剩下的数列,因此 ∞→n lim p m =∞→n lim Q m =0=∑∞=1n n p +∞=∑∞=1n n Q我们依次考察p 1,p 2,…中的各项,设1m p 为其中第一个满足以下条件的项p 1+p 2+…+1m p >ξ再依次考察Q 1,Q 2…中的各项,设1n Q 是其中第一个满足以下条件的项;p 1+p 2+…+1m p –Q 1–Q 2–…–1n Q <ξ再依次考察 11+m p +21+m p +…中的各项,设2m p 是其中第一个满足以下条件的项;p 1+p 2+…+1m p –Q 1–Q 2–… –1n Q +11+m p +21+m p +…+2m p >ξ照此下去,我们得到∑∞=1n n a 的一个重排∑∞=1/n n a 如下p 1+p 2+…+1m p –Q 1–Q 2–…–1n Q+11+m p +21+m p +…2m p –11+n Q –…–2n Q +12+m p +…再分别用R k 与L k 表示级数∑∞=1/n n a 的末项为k m p 的部分和与末项为k n Q 的部分和,则有|R k –ξ|≤k m p , k =2,3,… 否则与k m p 的选取有矛盾; 同理有|L k –ξ|≤k n Q , k =1,2,3,…因为 ∞→k lim k m p =∞→k lim k n Q =0∴ ∞→k lim R k =∞→k lim L k =ξ因为级数∑∞=1/n n a 的任一部分和/n s 必介于某一对L k 与R k 之间,所以也应有∞→n lim /n s =ξ即 ∑∞=1/n n a =ξ2首先,任意选取一个严格单调上升并趋于+∞的实数,列{ξk }例如, 可选ξk =k ,k =1,2,…. 其次,用p k 表示序列{n a }中的第k 个非负项,用Q k 表示序列{n a }的第k 个负项,设p m 是p 1,p 2,…中第一个满足以下条件的项p 1+p 2+…+1m p >ξ1设1n Q 是Q 1,Q 2 ,…中第一个满足以下条件的项 p 1+p 2+…+1m p –Q 1–Q 2–…–1n Q <ξ1再依次考察11+m p +21+m p +…中的各项,设2m p 是其中第一个满足以下条件的项p 1+…+1m p –Q 1–…–1n Q +11+m p +…2m p >ξ2再依次考察11+n Q ,21+n Q …中各项,设2n Q 是其中第一个满足以下条件的项,p 1+…+1m p –Q 1–…–1n Q +11+m p +…2m p –11+n Q –…–2n Q >ξ2依次做下去,我们得到∑∞=1n n a 的一个重排∑∞=1/n n a , 这个重排级数满足条件.1/+∞=∑∞=n n a同样可以得到一个重排,使得.1/-∞=∑∞=n n a下面我们考察两个级数的乘积; 设∑∞=1n n a 与∑∞=1n n b 是两个级数,将∑∞=1n na ∑∞=1n n b 定义为下列所有项的和44342414433323134232221241312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a由于级数运算一般不满足交换律与结合律;所以这无穷多项如何排序是我们需要考虑的一个问题;事实上,上述无穷多项有很多的排序方式,下面我们介绍两种最常用的排序方式 对角线排序法和正方形排序法; 定义a 1b 1 a 1b 2 a 1b 3 a 1b 4 … a 2b 1 a 2b 2 a 2b 3 a 2b 4 … a 3b 1 a 3b 2 a 3b 3 a 3b 4 … a 4b 1 a 4b 2 a 4b 3 a 4b 4 … ………………………令c 1= a 1b 1, c 2= a 1b 2+ a 2b 1, c 3= a 1b 3+ a 2b 2+ a 3b 1, …… c n ==∑+=+1n j i j i b a a 1b n +a 2b n -1+…+a n b 1…………我们称∑∞=1n n c =∑∞=1(n a 1b n +a 2b n -1+…+a n b 1为级数∑∞=1n n a 与∑∞=1n n b 的Cauchy 乘积;a 1b 1 a 1b 2 a 1b 3 a 1b 4 … a 2b 1 a 2b 2 a 2b 3 a 2b 4 … a 3b 1 a 3b 2 a 3b 3 a 3b 4 … a 4b 1 a 4b 2 a 4b 3 a 4b 4 … ………………………令 d 1= a 1b 1, d 2= a 1b 2+ a 2b 2+ a 2b 1……………d n = a 1b n + a 2b n +…+ a n b n + a n b n -1+…+ a n b 1 ……………则级数∑∞=1n n d 称为级数∑∞=1n n a 与∑∞=1n n b 按正方形排列所得的乘积.定理 如果级数∑∞=1n n a 与∑∞=1n n b 均收敛,则按正方形排序所得的乘积级数∑∞=1n n d 总是收敛的,且∑∞=1k k d =∑∑∞=∞=11)()(k k k k b a证明：因为s n =∑=nk k d 1=∑=nk 1(a 1b k + a 2b k +…+ a k b k +a 2b k-1+…+a k b 1=∑=nk ka 1∑=nk k b 1=bn a n s s其中{a ns }与{b ns }分别为∑∞=1n n a 与∑∞=1n n b 的部分和,当记∞→n lim a n s =a s ,∞→n lim bn s =b s 时,有∞→n lim n d =a s b s所以级数∑∞=1n n d 收敛,且∑∞=1n n d =∑∞=1n na ∑∞=1n n b .但是两个收敛级数的Cauchy 乘积却不一定是收敛的;例如∑∞=1n n a =∑∞=+-1211)1(n n n与∑∞=1n n b =∑∞=+-1211)1(n n n这两个级数显然都是收敛,但它们的Cauchy 乘积的一般项为c n =－1n+1∑+=+11n j i ij显然 ≤ij 2j i +=21+n从而∑+=+11n j i ij≥∑+=++112n j i n >n n ⋅+12所以∞→n lim ,0≠n c 故∑∞=1n n c 发散.定理 如果级数∑∞=1n n a 与∑∞=1n n b 都绝对收敛,则它们的Cauchy 乘积∑∞=1n n c 和正方形排列所得的乘积∑∞=1n n d 都是绝对收敛的,且∑∞=1n n c =∑∞=1n n a ∑∞=1n n b证明: 设s n =∑=nk k c 1||=∑=nk 1|a 1b k +a 2b k-1+…+a k b 1|≤∑=nk k a 1||∑=nk k b 1||≤∑∞=1||k k a ∑∞=1||k k b由正项级数∑∞=1||k k c 的部分和数列有界知∑∞=1||k k c 收敛,又因为绝对收敛级数有交换律和结合律; 同理可证,∑∞=1n n d 绝对收敛所以∑∞=1n n c =∑∞=1n n d =∑∞=1n na ∑∞=1n n b .我们可以将上定理的条件适当放宽定理Mertens 设级数∑∞=1n n a 绝对收敛,级数∑∞=1n n b 收敛,记∑∞=1n n a =A, ∑∞=1n n b =B则它们的Cauchy 乘积∑∞=1n n c 也收敛, 且∑∞=1n n c =AB证明: 记A n =∑=n k k a 1, B n =∑=nk k b 1c n =a 1b n +a 2b n-1+…+a n b 1前n 项部分和s n =∑=nk 1(a 1b k +a 2b k-1+…+a k b 1= a 1B n +a 2B n-1+…+a n B 1当令n β=B －B n 时, n =1,2,… s n = a 1B n +a 2B n-1+…+a n B 1= a 1B –n β+a 2B –1-n β+…+a n B –1β = A n B –a 1n β +a 21-n β+…+a n 1β = A n B –R n下面我们估计R n = a 1n β+a 21-n β+…+a n 1β 因为序列{k β}趋于0,可设 |k β|≤M , ∈∀k N 取k 充分大使 |k β|<D2ε这里D>.||1∑∞=n n a 再取m 充分大,使∑∞+=1||m k k a <M 2ε,于是当N 充分大时,对上面取定的m 有|R n |≤|a 1||n β|+…+|a m ||1+-m n β|+|a m +1||m n -β|+…+|a n ||1β| <D D2ε⋅+M M2ε⋅=ε所以 n n R ∞→lim =0从而 AB B A s n n n n ==→∞→∞lim lim . 证毕. 定理Abel 定理设级数∑∞=1n n a 与∑∞=1n n b 都收敛,且∑∞=1n n a =A,∑∞=1n n b =B,∑∞=1n n c 是它们的Cauchy 乘积,如果∑∞=1n n c 收敛,其和为c ,则必有c B证明：在数列极限理论中,我们已经证明 如 n n A ∞→lim =A, n n B ∞→lim =B,n n c ∞→lim =c , 则AB nB A B A B A n n n n =+++-∞→1121lim当记∑==nk n n c s 1时,有c s n n =∞→lim 所以 c =∞→n limn1∑=nk ns1=∞→n lim n1 A 1B n +A 2B n-1+…+A n B 1 =AB.习题1、设级数∑∞=1n n a 与∑∞=1n n b 均绝对收敛,则它们的任意排序方法除了对角线方法与正方形方法得到的乘积级数∑n h也绝对收敛,且∑∞=1nnh=∑∞=1nna∑∞=1nnb2、设|x|<1,|y|<1, 求证: ∑∞=1(n x n-1+ x n-2y++y n-1=)1)(1(1yx--3、求证: ∑∞=0!nnnx∑∞=0!nnny=∑∞=+!)(nnnyx4、求证: ∑∞=0! 1n n∑∞=-!)1(nnn=15、求证: ∑∞=0nnq∑∞=0nnq=).1|(|)1(1)1(2<-=+∑∞=qqqnnn。
判断级数绝对收敛还是条件收敛的方法
判断级数绝对收敛还是条件收敛的方法判断级数的绝对收敛与条件收敛的方法有以下几种：1.绝对收敛与条件收敛定义：定义级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 绝对收敛的意思是级数$\sum_{n=1}^{\infty} ，a_n，$ 收敛；定义级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 条件收敛的意思是级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，但$\sum_{n=1}^{\infty} ，a_n，$ 发散。
2.绝对值判别法：如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty} ，a_n，$ 收敛，则原级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 绝对收敛；如果级数$\sum_{n=1}^{\infty} ，a_n，$ 发散，则无法判断原级数的收敛性。
3.比值判别法：对于非零项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$，计算其相邻两项比值的极限 $\lim_{n\to\infty} \left，\frac{a_{n+1}}{a_n}\right，$，若极限存在且小于1，则级数绝对收敛；若极限大于1或者不存在，则级数发散；若极限等于1，则比值判别法无法确定收敛性。
4.根值判别法：对于非零项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$，计算其项值的$n$ 次根的极限 $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{，a_n，}$，若极限存在且小于1，则级数绝对收敛；若极限大于1或者不存在，则级数发散；若极限等于1，则根值判别法无法确定收敛性。
5.整项判别法：对于非零项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$，若存在一个无穷大量$b_n$，当 $n$ 充分大时，$，a_n，\leq b_n$ 成立且级数$\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 绝对收敛；若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛但级数$\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 发散，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 条件收敛；若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 发散或者不满足 $，a_n，\leq b_n$，则无法判断原级数的收敛性。
绝对收敛和条件收敛的区别
绝对收敛和条件收敛的区别绝对收敛和条件收敛的区别
一、区别一如图示给出：
二、性质不同：
1、绝对收敛：一般用来描述无穷级数或无穷积分的收敛情况，如果级数ΣUn各项的绝对值所构成的级数Σ|Un|收敛，则称级数ΣUn绝对收敛，级数ΣUn称为绝对收敛级数。
2、条件收敛：一种微积分上的概念。
如果级数ΣUn收敛，而Σ∣Un∣发散，则称级数ΣUn条件收敛。
三、经济学意义不同：
1、绝对收敛：是不论条件如何，穷国比富国收敛更快。
2、条件收敛：是技术给定，其他条件一样的话，人均产出低的国家，相对于人均产出高的国家，有着较高的人均产出增长率，一个国家的经济在远离均衡状态时，比接近均衡状态时，增长速度快。
四、计算规则不同：
1、绝对收敛：可以交换次序，可以相乘
2、条件收敛：相乘有限制条件，交换次序可以收敛到复平面上一条直线或整个复平面的任意一点。
什么是级数的绝对收敛和条件收敛
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绝对收敛与条件收敛
绝对收敛与条件收敛绝对收敛和条件收敛是数学分析中非常重要的概念。
在实际问题中，经常会遇到需要收敛的数列或级数，而如何确定这个数列或级数是否收敛，则成为数学分析中的重要问题。
其中，绝对收敛和条件收敛是判断这个问题的两个重要的方法。
一、绝对收敛对于一个实数数列或级数，如果它的每一项的绝对值都是收敛的，则这个数列或级数就称为绝对收敛。
例如，数列{(-1)^(n-1)/n^2}是收敛的数列，但数列{|(-1)^(n-1)/n^2|}是绝对收敛的数列。
绝对收敛是一种比收敛更强的收敛形式。
如果一个数列或级数是绝对收敛的，那么它一定是收敛的。
这个结论与我们在初等数学中学习到的类似：如果一个函数在某个点处收敛，那么它在那个点处连续。
绝对收敛的一些性质如下：1. 如果一个级数绝对收敛，则它的任何子级数也是绝对收敛的。
二、条件收敛可以看出，条件收敛是一种相对于绝对收敛而言比较弱的收敛形式。
有时，人们会采用条件收敛而不是绝对收敛，这是因为在实际问题中，绝对收敛有时并不容易得到，而条件收敛比较容易计算。
2. 如果一个级数是条件收敛的，则它有可能不满足重排序定理，即改变它的项的顺序可能导致级数的收敛性质发生变化。
对于一个实数数列或级数，如果它是绝对收敛的，那么它一定是收敛的。
这个结论我们已经讨论过。
反过来说，对于一个实数级数，如果它是收敛的但是不绝对收敛，那么我们无法对它进行简单的变换，而不改变它的收敛性质。
这是因为如果它的每一项的绝对值级数发散，则它的收敛速度很慢，每项的大小相差很大，所以很难做出更多的结论。
绝对收敛和条件收敛的关系，可以用下面这个定理来简要概括。
定理：若级数收敛，则它必定能通过“有限个足够小的项”加减换位，使得该级数变成收敛的绝对收敛级数。
这个定理的意思是，任何收敛的级数都能通过“有限个足够小的项”加减来换位，变成一个绝对收敛的级数。
由于绝对收敛比条件收敛要强，因此，我们可以得到一个结论：对于一个收敛的级数，如果它是条件收敛的，则它一定可以通过换项变成一个绝对收敛的级数。
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un un 即 n 2
{
un，当un 0时 0, 当un 0时
n 1
.
2
2015年8月30日星期日
§9.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质
则这样的级数与原来级数的收敛性有如下结论:
(1).若级数 un绝对收敛,
则级数 vn和 n都收敛;
n 1
证毕
19
2015年8月30日星期日
§9.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质
梅尔腾斯（Mertens）定理：
若级数 un与 vn中仅有一个绝对收敛， 其和为A，
另一个是条件收敛，其和为B， 则它们的柯西乘积所组成的级数仍收敛，其和为AB.
n 1 n 1
定理2和定理3指出，绝对收敛级数具有和 普通有限项和数相仿的两个运算性质---交换律 和分配律成立.
（）先证 1 证明： un为收敛的正项级数（必绝对收敛）情形.
n1
n 1
n 1
n 1
n 1
的部分和Sk ， 考虑它的更序级数 un
un1 , u2 un2 ,, uk unk , 由u1
所以取n大于所有下标 n1 , n2 ,nk 后, 应有
由于级数 un和 vn都绝对收敛，所以 U*，V*都有界.
n 1 n 1
* 另外 S n u n1 vm1 u n2 vm2 u nn vmn
（u1 u2 u ）（v1 v2 v ）
U* V*，
* 即Sn 有界，这证明了级数 n绝对收敛. n 1
n 1
n 1 n 1
(2).若级数 un条件收敛,
n 1
则级数 vn和 n都发散.
n 1 n 1
级数 un的敛散性，对级数 vn和 n敛散性的影响.
n 1 n 1 n 1
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3
§9.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质
证明： （）若级数 1 un绝对收敛，
1 1 1 1 1 1 3 从而1 S， 3 2 5 7 4 9 2
1 1 1 1 1 1 3 1 0 0 0 S， 3 2 5 7 4 9 2
两者虽然都收敛，但其和数却不同. 2015年8月30日星期日 10
§9.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质
n 1 n 1 n 1
所有正项和所有负项所组成的级数，
由定理1知，
这两个级数都收敛.
设它们的和分别为V 和W , 则有
2015年8月30日星期日
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u V W , u V W. 由(1)知 u 的更序级数 u 有 u V W , 即更序级数 u 绝对收敛.
由收敛级数基本性质知 ，加括号不影响和的数 值.
记级数 un , vn 部分和分别为U n ,Vn .
级数 an 部分和为An ,
n 1
n 1
n 1
则有An U nVn ,
n
于是 lim An = lim(U nVn ) UV ,
n
这就证明了 an UV .
关于条件收敛级数,有如下性质:
黎曼定理:
若级数 un条件收敛，则总可以适 当更换原来
n 1
级数的次序而组成一个 级数， 使它收敛于任何预先给 定的数S（包括情形） .
证明思路:(略)
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§9.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质
二.级数的乘法运算:
解决的问题是在什么条件下,两个级数相乘可以像有 限和一样逐项相乘.
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§9.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质
正 方 形 法
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§9.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质
定理3 (柯西定理):
若级数 un和 vn都绝对收敛，
n 1 n 1
其和分别为U，V，
则它们各项之积ui v （ ， 2， 3） k i，k 1
按照任何方法排列所构成的级数 也绝对收敛，且其和为UV .
1 1 1 1 1 S 得 ， 2 2 4 6 8 2 1 1 1 1 S 0 0 0 0 ， 将它和第一个级数对应 项相加得 2 4 6 8 2 两端乘以
注意：
定理对条件收敛级数不一定成立.
n 1 （ 1 ） 这个级数正是第一个级 数 的更序级数， n n 1
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§9.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质
例 级数1 q q 2 q n
1 （q 1)绝对收敛, 1 q
则这个级数自乘积为
1 2q 3q nq
2 n 1
n 1
1 . 2 （ 1 q）
作业：p 43、1
由vn，n表达式知： 0 vn un ， 0 n un ，
按比较判别法，级数 vn和n都收敛.
n 1 n 1
n 1
（2）若级数 un条件收敛，（反证法） .
n 1
做与（2）结论相反的反面假设：
假设 vn和 n中至少有一个收敛,
n
定理1: 若对级数 un， 将它所有正项保留而负项换为0， 此 定 理 揭 示 的 规 律 ？
n 1
得一个新的正项级数，记为 vn .
n 1
un un un，当un 0时 { 即 vn ， 0, 当un 0时 2
将它所有负项变号(乘以 1)而将正项换为0,
n n
记 max （n1，m1，n2，m2， nn，mn），
又记U* u1 u2 u ，即 un 的部分和，
V* v1 v2 v ，即 vn 的部分和.
n1
k 1
k 1
n 1
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§9.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质
设两个收敛级数 un与 vn， 仿照有限和的乘法规则，
n 1 n 1
这两个级数的项的所有 可能成对的乘积，
记为 ui v （ ，k 1 ， 2， 3），这些乘积表示为： k i u1v1，u1v2， ，u1vi， u2v1，u2v2， ，u2vi， uk v1，uk v2， ，uk vi，
vn n ， 而un
n 1 n 1
n 1
n 1
n 1
n 1
n 1
n 1
n ） 所以 un （vn V W un .
n 1
证毕
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1 1 1 如莱布尼茨级数 1 S是条件收敛的， 2 3 4
n 1
u1 u2 uk u1 u2 un Sn . Sk
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§9.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质
又由于正项级数 un =S，k有S k S，
n 1
故根据正项级数收敛基 本定理，
也收敛, 其和为S， 且有S S. 更序级数 un
§9.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质
引
言
对于任意项级数，我们给出绝对收敛 与条件收敛的概念，无论是绝对收敛级数 还是条件收敛级数,都具有本章第二节所 给出的1-4个性质,除此而外,对于这两种 不同的收敛级数,还具有各自不同的重要 性质.本节分别进行简单介绍和讨论.
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§9.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质
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§9.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质
以下再证明这个和数恰 为UV .
考虑由正方形法排列所 构成的级数，并加括号 如下
a
n 1
n
u1v1 （u1v2 u2v2 u2v1）
（u1v3 u2v3 u3v3 u3v2 u3v1） ，
n 1
这与已知条件矛盾 .故得证.
下面的定理2将涉及到一个概念 更序级数：一个级数把它的项重新排列后
得到的新级数称为原来级数的更序级数。
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§9.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质
定理2： 绝对收敛级数 un的更序级数 un 仍为绝对收敛，
且其和相同， un un . (绝对收敛级数可重排性)
n 1 n
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n 1
n
n 1
n
n 1
n
n 1
n
再设级数 vn和 n的更序级数 分别为 vn 和 n ，
n 1 n 1
n 1
n
由（）知 1 vn vn V， n n W，
不妨假设 vn收敛,
n 1
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则由于n vn un , 知 n也必收敛.
又由un vn n , 所以 un vn n ,
n 1 n 1 n 1
n 1
得知 un 绝对收敛,
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§9.5 绝对收敛和条件收敛级数的性质
证明: 用1 , 2 ,n ,表示按某一种次序