安徽省淮北市高考数学一模试卷(理科)
2020届淮北一模考试试题卷 理科 含答案
中点.将 ABC 沿 AC 折起，使 平面ABC 平面ACD ，得到几何体 B ACD （如图 2）.
图1
图2
(I)求证： CD 平面ABC ; (II)求 AB 与平面 BCM 所成角 的正弦值.
第3页
19.已知数列 an的前 n 项和 sn n2 n ，等比数列 bn的公比 q（ q 1），且 b3 b4 b5 28 ，b4 2
后两边同时求导得
y y
g(x) ln
f
(x)
g(x)
f (x) f (x)
,于是
y
f
(
x)g
(
x
)
g
(
x
)
ln
f
(x)
g(x)
f (x) f (x) ，
1
用此法探求 y ( x 1) x 1 ( x 0) 的递减区间为
A. ( 0 , e ) B. ( 0 , e 1 ) C. ( e 1 , ) D. ( e , )
17.已知 ABC 的面积为 S ，且 AB AC S .
(I)求 sin2 A cos2 A 5 sin 2 A 的值；
2
2
(II)若角 A , B , C 成等差数列， CB CA 4 .求 ABC 的面积 S .
18.在直角梯形 ABCD 中（如图 1），ABC 900 , BC // AD , AD 8 , AB BC 4 , M 为线段 AD
A
B
C
D
7.
x2
已知双曲线
a2
y2 b2
1(a
0, b 0) 的右焦点为 F (4,0) ，点 Q(0,3) ， P 为双曲线左支上的动点，
2022年安徽省淮北市高考数学一模试卷(理科)+答案解析(附后)
2022年安徽省淮北市高考数学一模试卷（理科）1. 已知集合，，则( )A.B.C.D.2. 已知复数z 的共轭复数为，若，为虚数单位，则( )A.B. C.D.3. 设“a ，，”是“”的.( )A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4. 直线与圆的位置关系是( )A. 相离B. 相交C. 相切D. 不确定5. 函数的部分图象大致为( )A. B.C. D.6. 已知角的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点，则( )A. B. C. D. 7. 在空间直角坐标系中，已知，，则点到直线AB 的距离为( )A.B.C. D.8. 下列说法正确的有( )A. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于0B. 若X 是随机变量，则，C. 已知随机变量，若，则D. 设随机变量表示发生概率为p 的事件在一次随机实验中发生的次数，则9. 已知函数的定义域为R ，为奇函数，为偶函数，则( )A.B.C.D.10. 已知F是椭圆的右焦点，点在C上，直线AF与y轴交于点B，点P为椭圆C上的动点，则的最小值为( )A. B. C. D.11. 在平面四边形ABCD中，已知的面积是的面积的2倍．若存在正实数x ，y使得成立，则的最小值为.( )A. 1B. 2C. 3D. 412. 半球内放三个半径为的小球，三小球两两相切，并且与球面及半球底面的大圆面也相切，则该半球的半径是( )A. B. C. D.13. ______.14. 展开式中的常数项是______.15. 关于函数与有下面四个结论：①函数的图像可由的图像平移得到；②函数与函数在上均单调递减；③若直线与这两个函数的图像分别交于A，B两点，则；④函数的图像关于直线对称；其中正确结论的序号为______请写出所有正确结论的序号16. 已知，函数在有极值，设，其中为不大于x的最大整数，记数列的前n项和为，则______.17. 在中，已知，D是AB的中点．求角C的大小；若，，求的面积．18. 已知数列中，，，，，，，成等差数列．求k的值和的通项公式；设，，求数列的前n项和为19. 如图，已知圆O的直径AB长为4，点C是圆弧上一点，，点P是劣弧上的动点，D点是另一半圆弧的中点，沿直径AB，将圆面折成直二面角，连接OP、DP、若面PCD时，求PC的长；当三棱锥体积最大时，求二面角正切值．20. 如图，点A、B、C是周长为3cm圆形导轨上的三个等分点，在点A处放一颗珠子，规定：珠子只能沿导轨顺时针滚动．现投郑一枚质地均匀的股子，当掷出的点数是3的倍数时，珠子滚动2cm，当掷出的点数不是3的倍数时，珠子滚动1cm，反复操作．求珠子在A点停留时恰好滚动一周的概率；求珠子第一次在A点停留时恰好滚动两周的概率．21. 已知双曲线过点，离心率为，直线l：交x轴于点A，过点A作直线交双曲线于M，N两点．求双曲线的标准方程；若M是线段AN的中点，求直线MN的方程；设P，Q是直线l上关于x轴对称的两点，直线PM与QN的交点是否在一条直线上？请说明你的理由．22. 设函数，为函数的导函数．讨论函数的单调性并写出单调区间；若存在a，使得函数不存在零点，求b的取值范围；若函数有两个不同的零点，，求证：答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查了集合的描述法和列举法的定义，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．可求出集合A，然后进行交集的运算即可．【解答】解：，，故选2.【答案】B【解析】【分析】本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，属于基础题．根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，即可求解．【解答】解：设，则，则，解得，，解得，故故选3.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查不等式的性质，以及特殊值法，属于基础题．根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．【解答】解：当，且a，时，则，故充分性成立；若令，，满足，但，故必要性不成立；故“a，，”是“”的充分不必要条件．故选4.【答案】B【解析】解：圆的圆心坐标为，半径为4，圆心到直线的距离为，直线与圆相交，故选：求出圆心到直线的距离，与半径比较，即可得出结论．本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的运用，属于基础题．5.【答案】C【解析】【分析】求出函数的定义域，判断函数的奇偶性和对称性，利用排除法进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，利用排除法是解决本题的关键，是基础题．【解答】解：函数的定义域为，，则是奇函数，排除B，D，当时，，，则，排除A，故选：6.【答案】D【解析】解：根据三角函数的定义可得：，故选：根据三角函数的定义可得，然后根据正余弦的倍角公式，同角关系化简即可求解．本题考查了三角函数的定义，涉及到正余弦的倍角公式的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：，，，，则点到直线AB的距离为：故选：求出，，利用向量法能求出点到直线AB的距离．本题考查点到直线的距离的求法，考查向量法求点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】D【解析】解：对于A，根据相关系数的定义，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1，故A错误，对于B，若X是随机变量，则，，故B错误，对于C，随机变量，，，故C错误，对于D，随机变量的可能取值为0，1，故，，，，当且仅当，即时，等号成立，故D正确．故选：对于A，结合相关系数的定义，即可求解，对于B，结合方差与期望的线性公式，即可求解，对于C，结合正态分布的对称性，即可求解，对于D，结合期望与方差公式，即可求解．本题主要考查统计的知识，考查转化能力，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：是偶函数，，即，即函数关于对称，则，是奇函数，，则，即，则，即函数的周期是4，当时，由，得，得，，故选：根据函数的奇偶性，推出函数的周期是4，利用周期性进行转化求解即可本题主要考查函数值的计算，利用函数的奇偶性，推出函数的周期性，利用周期性进行求解是解决本题的关键，是中档题．10.【答案】C【解析】解：由题意得，，椭圆方程为，，直线AF的方程为，，又，设，则，，，，又，当时，的最小值为故选：由题可得椭圆方程为，进而可得，利用向量数量积的坐标表示可得，再结合条件及二次函数的性质可求的最小值．本题考查椭圆的几何性质，以及向量数量积的最小值问题，属中档题．11.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查平面向量基本定理的应用，利用条件建立等量关系，利用基本不等式结合1的代换进行转化求解是解决本题的关键，属于中档题．根据三角形的面积关系，结合三角形的相似性质，得到，然后利用平面向量的基本定理建立方程关系，利用基本不等式进行转化求解即可．【解答】解：根据题意，如图，连接AC、BD，设AC与BD交于点O，过点B作与点E，过点D作与点F，若面积是面积的2倍，即，易知，可知，，，设，，，，即，，即，，当且仅当时取等号，的最小值为故选12.【答案】D【解析】解：三个小球的球心、、构成边长为的正三角形，则其外接圆半径为设半球的球心为O，小球与半球底面切于点如图，经过点O、、A作半球的截面，半圆的半径，于点则在中，由故选：根据条件求出以三个小球的球心、、构成的三角形的外接圆半径，再通过勾股定理求解即可．本题主要考查球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于基础题．13.【答案】10 【解析】解：原式故答案为：进行对数和指数的运算即可．本题考查了指数和对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．14.【答案】【解析】解：要得到中的常数项，需有3个因式取2x ，其余的3个因式取，故展开式的常数项为，故答案为：由题意，根据乘方的意义，利用排列组合的知识，求得结果．本题主要考查乘方的意义，排列组合的应用，属于中档题．15.【答案】①②④ 【解析】解：向右平移个单位长度得到，①正确；由正弦函数的图象可知在上单调递减，由余弦函数的图象可知在上单调递减，②正确；，则，③错误；，当时，，故函数的图像关于直线对称，④正确．故答案为：①②④．①向右平移个单位长度即可；②由正弦和余弦函数的图象可以判断出来；③通过辅助角公式得到；④通过代入即可判断．本题考查了命题真假的判断及三角函数的性质，属于基础题．16.【答案】615【解析】解：，，，函数在上有极值，，，，，时，，；同理可得：，3，4时，；，6，7，8，9时，…；，11，…，16时，…；，18，…，25时，…；，27，…，36时，…；，38，…，49时，…；，51，…，64时，…；，66，…，81时，…；，83，…，100时，…数列的前100项和故答案为：，可得，根据，函数在上有极值，可得，，由，通过对n分类讨论，即可得出结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论方法、数列求和，考查了计算能力，属于中档题．17.【答案】解：因为，所以，可得，由正弦定理可得，由余弦定理可得，又，所以因为，，，因为，所以，①又，两边平方，可得，所以，②由②-①可得，所以【解析】先用正弦定理，再利用余弦定理即可求解的值，结合C的范围即可求出C的值．利用第一问求出的C的值，利用余弦定理，向量有关计算及面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式以及平面向量数量积的运算在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】解：因为，，成等差数列，所以，即，又，所以，，所以，整理得，因为，所以，而，所以，所以当n为奇数时，数列是首项为1，公比为3的等比数列，，当n为偶数时，数列是首项为3，公比为3的等比数列，，综上，的通项公式为，所以…，…，两式相减得，…，所以【解析】结合与等差中项的性质，推出，再由，求得k的值，然后分n为奇数和偶数两种情况，根据等比数列的通项公式，得解；，再根据错位相减法，即可得解．本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握等差中项的性质，等比数列的通项公式，以及错位相减法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19.【答案】解：平面PCD，平面OPC，平面平面，，又，，所以为等腰直角三角形．二面角为直二面角，且，平面ABD，平面OPC，，当时等号成立．此时OP，OC，OD两两垂直，且长度相等，则，取PD的中点E，连接OEEC，则，，，为二面角的平面角，直角三角形CEO中，，二面角的正切值为【解析】依据线面平行性质定理可得，在中求PC的长即可；做出二面角的平面角即可解决．本题主要考查线面平行的相关计算，二面角的计算等知识，属于中等题．20.【答案】解：设掷出3的倍数为事件M，掷出不是3的倍数记为事件N，则，，珠子恰好转一周回到A点包含的事件为，，且这三种情况互斥，故所求概率为；珠子滚两周回到A点，则必须经历以下三个步骤：①②③，①A至C：此时概率为，②C至B：掷出的必须是3的倍数，此时的概率为，③B至A：此时概率为，又以上三个步骤相互独立，故所求概率为【解析】利用古典概型的概率公式以及互斥事件的概率公式求解即可；利用相互独立事件的概率乘法公式求解即可．本题考查了概率问题的求解，主要考查了古典概型的概率公式、互斥事件的概率公式和相互独立事件的概率乘法公式的理解与应用，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．21.【答案】解：由题意得：解得，，所以双曲线的标准方程为设，则，依题意有，解得，，所以直线MN的方程为或设直线MN的方程为，与双曲线的方程联立得：，设，，，，由根与系数的关系，得，，联立两方程，可得：，解得，所以直线PM与QN的交点在定直线上．【解析】根据题意，列出方程组，结合，求得a，b的值，得出双曲线的标准方程，设，则，联立方程组，求得M，N的坐标，即可求得直线MN的方程；设直线MN的方程为，与双曲线的方程联立求得，，再由直线PM和QN的方程，求得交点的横坐标，即可求解．本题考查了双曲线的标准方程，直线与双曲线的关系，属于难题．22.【答案】，当时，，函数的单调递增区间是，当时，令，得，令，得，所以函数的单调增区间为，单调减区间是；当时，由知，的单调增区间是，易知，又，故可得，又，且函数的图像连续，所以存在一个零点，不满足题意．当时，因为，函数的图像不间断，若存在，使函数不存在零点，则对任意恒成立．由知，能成立，即能成立，令，则，，，则，令，得，当时，，单调递减；时，，单调递增，所以，所以，综上，b的取值范围是；因为函数有两个不同的零点，，则由知，且，，消去a得，设，则，可解得，设，，则，所以在上单调递增，所以，故，所以，所以又因为，设，，则，所以在上单调递增，所以，所以，综上，【解析】先求导，分和两种情况讨论，利用导数与单调性的关系即可求解；转化为求函数的值域，結合函数的值域来求出b的范围；通过构造新函数，研究新函数的单调性得到证明．本题考查了导数的综合运用、转化思想，多次构造函数，利用导数判断原函数的单调性及最值，属于难题．。
2020年安徽省淮北市高考数学一模试卷(理科)(含答案)
2020年安徽省淮北市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，在每小题所给的四个选项中只有一项符合题意） 1．（5分）已知集合{1A =，2，3}，{|(1)(2)0B x x x =+-<，}x Z ∈，则(A B = )A ．{1}B ．{0，1}C ．{0，1，2，3}D ．{1-，0，1，2，3}2．（5分）已知复数1322i ω=+，i 为虚数单位，则2ω的实部为( ) A ．1B ．12C ．32-D ．12-3．（5分）已知锐角α满足3sin()23πα+=，则tan 2(α= )A ．2-B ．22-C ．22D ．24．（5分）国庆70周年庆典磅礴而又欢快的场景，仍历历在目．已知庆典中某省的游行花车需要用到某类花卉，而该类花卉有甲、乙两个品种，花车的设计团队对这两个品种进行了检测．现从两个品种中各抽测了10株的高度，得到如下茎叶图．下列描述正确的是( )A ．甲品种的平均高度大于乙品种的平均高度，且甲品种比乙品种长的整齐B ．甲品种的平均高度大于乙品种的平均高度，但乙品种比甲品种长的整齐C ．乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，且乙品种比甲品种长的整齐D ．乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，但甲品种比乙品种长的整齐5．（5分）已知圆222:(0)C x y r r +=>直线:2l x =，则“13r <”是“C 上恰有两个不同的点到l 的离为1”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．（5分）若函数()(1)(0,1)x x f x k a a a a -=-->≠在R 上既是奇函数，又是减函数，则()log ()a g x x k =+的图象是( )A ．B ．C ．D ．7．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为(4,0)F ，点(0,3)Q -，P 为双曲线左支上的动点，且PQF ∆周长的最小值为16，则双曲线的离心率为( ) A ．2B ．43C ．32D ．528．（5分）已知51log 2a =，52log 2b =，7log 3c =，则( )A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>9．（5分）关于函数22()|cos sin |1f x x x =-+，下列说法正确的是( ) A ．函数()f x 以π为周期且在()2k x k Z π=∈处取得最大值B ．函数()f x 以2π为周期且在区间(,)42ππ单调递增 C ．函数()f x 是偶函数且在区间(,)42ππ单调递减D ．将()f x 的图象向右平移1个单位得到()|cos(21)|1g x x =-+10．（5分）函数()[()]g x y f x =在求导时可运用对数法：在解析式两边同时取对数得到()()lny g x lnf x =，然后两边同时求导得()()()()()y f x g x lnf x g x y f x ''='+，于是()()[()][()()()]()g x f x y f x g x lnf x g x f x ''='+，用此法探求11(1)(0)x y x x +=+>的递减区间为()A ．(0,)eB ．(0,1)e -C ．(1,)e -+∞D ．(,)e +∞11．（5分）淮北市第一次模拟考试理科共考语文、数学、英语、物理、化学、生物六科，安排在某两日的四个半天考完，每个半天考一科或两科．若语文、数学、物理三科中任何两科不能排在同一个半天，则此次考试不同安排方案的种数有( )（同一半天如果有两科考试不计顺序） A ．648B ．1728C ．864D ．32412．（5分）已知等差数列{}n a 满足225910a a +，则12345a a a a a ++++的最大值为( ) A ．55 B ．20 C ．25 D ．100二、填空题（本题共4小题每小题5分，共20分）13．（5分）在边长为2的正ABC ∆中，D 为BC 中点，则AB AD = ．14．（5分）从抛物线24y x =图象上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且||5PM =，设抛物线焦点为F ，则PFM ∆的面积为 ．15．（5分）设函数2019,0()2020,0x e x f x x -⎧+=⎨>⎩，则满足2(3)(2)f x f x --的x 取值范围是 ．16．（5分）已知直线m 与球O 有且只有一个公共点，从直线m 出发的两个半平面α、β截球O 所得两个截面圆的半径分别为1和2，二面角m αβ--的平面角为120︒，则球O 的表面积等于 ．三、解答题（本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知ABC ∆的面积为S ，且AB AC S =． （1）求22sin cos 5sin 222A AA --的值； （2）若角A ，B ，C 成等差数列，||4CB CA -=，求ABC ∆的面积S ．．18．（12分）在直角梯形ABCD （如图1)，90ABC ∠=︒，//BC AD ，8AD =，4AB BC ==，M 为线段AD 中点．将ABC ∆沿AC 折起，使平面ABC ⊥平面ACD ，得到几何体B ACD-（如图2)．（1）求证：CD ⊥平面ABC ；（2）求AB 与平面BCM 所成角θ的正弦值．19．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，等比数列{}n b 的公比(1)q q >，且34528b b b ++=，42b +是3b 和5b 的等差中项．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令211n n n c b a =+-，{}n c 的前n 项和记为n T ，若2n T m 对一切*n N ∈成立，求实数m 的最大值．20．（12分）有着“中国碳谷”之称的安徽省淮北市，名优特产众多，其中“塔山石榴”因其青皮软籽、籽粒饱满、晶莹剔透、汁多味甘而享誉天下．现调查表明，石榴的甜度与海拔、日照时长、昼夜温差有着极强的相关性，分别用a 、b 、c 表示石榴甜度与海拔、日照时长、温差的相关程度，并对它们进行量化：0表示一般，1表示良，2表示优，再用综合指标a b c λ=++的值评定石榴的等级，若4λ则为一级；若23λ则为二级；若01λ则为三级．f 近年来，周边各地市也开始发展石榴的种植，为了了解目前石榴在周边地市的种植情况，研究人员从不同地市随机抽取了12个石榴种植园，得到如下结果：（1）若有石榴种植园120个，估计等级为一级的石榴种植园的数量；（2）在所取样本的二级和三级石榴种植园中任取2个，ξ表示取到三级石榴种植园的数量，求随机变量ξ的分布列及数学期望．21．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>过点(1,1)M ．（1）求Γ的方程；（2）如图，若菱形ABCD 内接于椭圆Γ，求菱形ABCD 面积的最小值．22．（12分）已知函数()sin (1)f x x aln x =-+，a R ∈，()f x '是()f x 的导函数． （1）若2a =，求()f x 在0x =处的切线方程； （2）若()f x 在[,]42ππ上单调递增，求a 的取值范围；（3）求证：当20(1)2a π<<+时()f x '在区间(1,)2π-内存在唯一极大值点．2020年安徽省淮北市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，在每小题所给的四个选项中只有一项符合题意） 1．（5分）已知集合{1A =，2，3}，{|(1)(2)0B x x x =+-<，}x Z ∈，则(A B = )A ．{1}B ．{0，1}C ．{0，1，2，3}D ．{1-，0，1，2，3}【分析】可以求出集合B ，然后进行交集的运算即可． 【解答】解：{1A =，2，3}，{|12B x x =-<<，}{0x Z ∈=，1}，{1}AB ∴=．故选：A ．【点评】本题考查了列举法、描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．（5分）已知复数12ω=，i 为虚数单位，则2ω的实部为( )A ．1B ．12C ．D ．12-【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由12ω=+，得221131()2442ω==-=-， 2ω∴的实部为12-．故选：D ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．（5分）已知锐角α满足sin()2πα+=，则tan 2(α= )A ．B ．-C ．D【分析】由已知利用诱导公式可求cos α，利用同角三角函数基本关系式进而可求sin α，tan α的值，进而根据二倍角的正切函数公式即可求解tan2α的值．【解答】解：锐角α满足sin()2πα+=，cos α∴=sin α=，sin tan cos ααα=22tan tan 2221tan ααα∴==--． 故选：B ．【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．4．（5分）国庆70周年庆典磅礴而又欢快的场景，仍历历在目．已知庆典中某省的游行花车需要用到某类花卉，而该类花卉有甲、乙两个品种，花车的设计团队对这两个品种进行了检测．现从两个品种中各抽测了10株的高度，得到如下茎叶图．下列描述正确的是( )A ．甲品种的平均高度大于乙品种的平均高度，且甲品种比乙品种长的整齐B ．甲品种的平均高度大于乙品种的平均高度，但乙品种比甲品种长的整齐C ．乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，且乙品种比甲品种长的整齐D ．乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，但甲品种比乙品种长的整齐 【分析】根据茎叶图所反映出数据的分布情况进行判断即可． 【解答】解：通过茎叶图数据可知： 甲品种的平均高度为：192021232529373332312710x +++++++++==甲，乙品种的平均高度为：101410262730444646473010x +++++++++==乙，所以乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，但是乙品种的10株高度在分散，没有甲品种10株的高度集中，都集中在25左右， 故乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，但甲品种比乙品种长的整齐． 故选：D ．【点评】本题考查了茎叶图比较平均数和方差的大小，属于基础题．5．（5分）已知圆222:(0)C x y r r +=>直线:2l x =，则“13r <”是“C 上恰有两个不同的点到l 的离为1”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【分析】根据圆的性质和点到直线的距离和充分必要条件的定义即可判断．【解答】解：圆222:(0)C x y r r +=>，直线:2l x =，C 上恰有两个不同的点到l 的离为1，则13r <<．∴ “13r <”是“C 上恰有两个不同的点到l 的离为1”必要不充分条件．故选：C ．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．（5分）若函数()(1)(0,1)x x f x k a a a a -=-->≠在R 上既是奇函数，又是减函数，则()log ()a g x x k =+的图象是( )A ．B ．C ．D ．【分析】根据函数是一个奇函数，函数在原点出有定义，得到函数的图象一定过原点，求出k 的值，根据函数是一个减函数，看出底数的范围，得到结果．【解答】解：函数()(1)(0,1)x x f x k a a a a -=-->≠在R 上是奇函数， (0)0f ∴= 2k ∴=，又()x x f x a a -=-为减函数，所以10a >>， 所以()log (2)a g x x =+ 定义域为2x >-，且递减， 故选：A ．【点评】本题考查函数奇偶性和单调性，即对数函数的性质，本题解题的关键是看出题目中所出现的两个函数性质的应用．7．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为(4,0)F ，点(0,3)Q -，P 为双曲线左支上的动点，且PQF ∆周长的最小值为16，则双曲线的离心率为( ) A ．2B ．43C ．32D ．52【分析】求出双曲线的左焦点坐标，利用已知条件推出2a =，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线的右焦点为(4,0)F ，4c =，点(0,3)Q -，P 为双曲线左支上的动点，且PQF ∆周长的最小值为16， 因为P 在双曲线上，所以||2||PF a PF =+'， 则||||||||2||29PQ PF PQ PF a QF a +=+++=， 因为(0,3)Q ，(4,0)F ，所以||5QF =，则24a =，即2a =， 所以双曲线的离心率为：2e =． 故选：A ．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，是中档题．8．（5分）已知12a =，52logb =，7log 3c =，则( )A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．【解答】解：551log log 32log log 22a b ==>=，5512log log 22b log ==<=，71log 32c log =>，571log 3log 32a c ===>=，a cb ∴>>．故选：A ．【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．（5分）关于函数22()|cos sin |1f x x x =-+，下列说法正确的是( )A ．函数()f x 以π为周期且在()2k x k Z π=∈处取得最大值B ．函数()f x 以2π为周期且在区间(,)42ππ单调递增 C ．函数()f x 是偶函数且在区间(,)42ππ单调递减D ．将()f x 的图象向右平移1个单位得到()|cos(21)|1g x x =-+ 【分析】可将原函数变成()|cos2|1f x x =+，从而得出()f x 的周期为2π，并且可看出()f x 在(,)42ππ上单调递增，从而判断出选项B 正确，并且可判断选项D 错误． 【解答】解：22()|cos sin |1|cos2|1f x x x x =-+=+， ()f x ∴的周期为2π，且在(,)42ππ上单调递增，B ∴正确， 将()f x 的图象向右平移1个单位得到()|cos(22)|1g x x =-+，D ∴错误． 故选：B ．【点评】本题考查了二倍角的余弦公式，函数|cos()|y A x ωϕ=+周期的求法，熟悉()|cos2|f x x =的图象，考查了计算能力，属于基础题．10．（5分）函数()[()]g x y f x =在求导时可运用对数法：在解析式两边同时取对数得到()()lny g x lnf x =，然后两边同时求导得()()()()()y f x g x lnf x g x y f x ''='+，于是()()[()][()()()]()g x f x y f x g x lnf x g x f x ''='+，用此法探求11(1)(0)x y x x +=+>的递减区间为()A ．(0,)eB ．(0,1)e -C ．(1,)e -+∞D ．(,)e +∞【分析】先根据已知定义求解出函数的导数，然后结合导数与单调性的关系即可求解． 【解答】解：因为11(1)(0)x y x x +=+>，所以11(1)(1)1x ln x lny ln x x ++=+=+， 两边同时求导可得，21(1)(1)y ln x y x '-+=+，则1121(1)(1)(1)x ln x y x x +-+'=++， 令0y '<可得(1)1ln x +>， 解可得，1x e >-，故函数的单调递减区间为(1,)e -+∞． 故选：C ．【点评】本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间，解题的关键是根据已知定义求解出函数的导数．11．（5分）淮北市第一次模拟考试理科共考语文、数学、英语、物理、化学、生物六科，安排在某两日的四个半天考完，每个半天考一科或两科．若语文、数学、物理三科中任何两科不能排在同一个半天，则此次考试不同安排方案的种数有( )（同一半天如果有两科考试不计顺序） A ．648B ．1728C ．864D ．324【分析】此问题可分两步解决，第一步把六科按要求分为四组，再排到四个半天中去，由计数原理即可得出总的不同方案．【解答】解：先对六科进行分组，共有222264342227C C C C A -=种，再把这四组分到四个半天共有4424A =种分法，由分步乘法计数原理得，此次考试不同安排方案的种数2724648⨯=， 故选：A ．【点评】本题考查排列组合及计数原理应用问题，属于计数中的基本题，中档题，解答此类问题的关键是确定合乎实际情况的解决方案以及熟练掌握计数原理与排列组合的符号的使用．12．（5分）已知等差数列{}n a 满足225910a a +，则12345a a a a a ++++的最大值为( )A ．B ．20C ．25D ．100【分析】设数列{}n a 的公差为d ，由225910a a +化为关于d 的一元二次不等式，利用判别式△0求出3a 的取值范围，即可得出12345a a a a a ++++的最大值．【解答】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由225910a a +， 得2233(2)(6)10a d a d +++， 即223320850d a d a ++-； 由△2233(8)420(5)0a a =-⨯⨯-，化简得2325a ， 解得355a -，所以123453525a a a a a a ++++=， 即12345a a a a a ++++的最大值为25． 故选：C ．【点评】本题考查了等差数列的通项与求和公式应用问题，也考查了推理与计算能力，是中档题．二、填空题（本题共4小题每小题5分，共20分）13．（5分）在边长为2的正ABC ∆中，D 为BC 中点，则AB AD = 3 ． 【分析】易得3AD =，30BAD ∠=︒．即可求解cos30AB AD AB AD =︒．【解答】解：如图，边长为2的正ABC ∆中，D 为BC 中点，3AD ∴=，30BAD ∠=︒．∴3cos302332AB AD AB AD =︒=⨯⨯=． 故答案为：3．【点评】本题考查了向量的数量积运算，属于中档题．14．（5分）从抛物线24y x =图象上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且||5PM =，设抛物线焦点为F ，则PFM ∆的面积为 10 ． 【分析】设0(P x ，0)y ，通过0||2pPM x =+，求出P 的坐标，然后求解三角形的面积． 【解答】解：抛物线24y x =中2p =，设0(P x ，0)y ，则0||2p PM x =+，即051x =+，得04x =，所以04y =±，所以01||||102PFM S PM y ∆==． 故答案为：10．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．15．（5分）设函数2019,0()2020,0x e x f x x -⎧+=⎨>⎩，则满足2(3)(2)f x f x --的x 取值范围是(,[1,)-∞+∞ ．【分析】先判断函数()f x 的单调性，再求出()f x 的值域，然后根据2(3)(2)f x f x --解出不等式即可．【解答】解：当0x 时，1()2019()2019x x f x e e -=+=+，此时()f x 单调递减，∴01()(0)()20192020f x f e=+=，∴当2(3)(2)f x f x --时，22203032x x x x -⎧⎪-⎨⎪--⎩或22030x x -⎧⎨->⎩或22030x x -⎧⎨-⎩，∴13x或x >3x -，x ∴的取值范围为(,[1,)-∞+∞．故答案为：(,[1,)-∞+∞．【点评】本题考查了分段函数的应用和不等式的解法，考查了分类讨论思想，属中档题． 16．（5分）已知直线m 与球O 有且只有一个公共点，从直线m 出发的两个半平面α、β截球O 所得两个截面圆的半径分别为1和2，二面角m αβ--的平面角为120︒，则球O 的表面积等于1123π ． 【分析】过P 与O 作直线l 的垂面，画出截面图形，设出球的半径，通过解三角形，利用转化思想求出球的半径的平方，然后求出球的表面积． 【解答】解：过P 与O 作直线l 的垂面，画出截面图形，如图 设球的半径为r ，作OE QP ⊥，OF PM ⊥，则1EP =，2PF =， 设OPE α∠=，23OPF πα∠=-， 所以cos 122cos()3r r απα=-，即sin αα=，22sin cos 1αα+=解得 21cos 28α=所以2283r =； 所以球的表面积为：2281124433r πππ=⨯=． 故答案为1123π【点评】本题是中档题，考查二面角的有关知识，考查转化思想的应用，空间想象能力，计算能力．三、解答题（本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知ABC ∆的面积为S ，且AB AC S =． （1）求22sin cos 5222A AA -的值； （2）若角A ，B ，C 成等差数列，||4CB CA -=，求ABC ∆的面积S ．．【分析】（1）可得1cos sin 2bc A bc A =，sin 2cos 0A A =>．可得5cos A =25sin A ．即可计算22sin cos 5222A AA -的值（2）可得060B =．sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+ 由正弦定理可得sin sin b c B C =⇒sin sin c B b C =．即可得1sin 2bc A =， 【解答】解：（1）cos 1sin 2AB AC bc A SS bc A ⎧==⎪⎨=⎪⎩．∴1cos sin 2bc A bc A =． sin 2cos 0A A ∴=>．可得A 为锐角，结合22sin cos 1A A +=，可得5cos A =25sin A =． 则225sin cos 52cos 52sin cos 522A A A A A A -=--== （2）角A ，B ，C 成等差数列，2B A C ∴=+，3A B C B π∴++==，可得060B =． 251532515sin sin()sin cos cos sin 2C A B A B A B +=+=+==由正弦定理可得sin sin b cB C =⇒sin 203sin 2515c B b C ==+． ABC ∆的面积1120325sin 4323482252515S bc A ==⨯⨯⨯=-+． 【点评】本题考查了三角函数、正弦定理、三角形面积计算，属于中档题．18．（12分）在直角梯形ABCD （如图1)，90ABC ∠=︒，//BC AD ，8AD =，4AB BC ==，M 为线段AD 中点．将ABC ∆沿AC 折起，使平面ABC ⊥平面ACD ，得到几何体B ACD-（如图2)．（1）求证：CD ⊥平面ABC ；（2）求AB 与平面BCM 所成角θ的正弦值．【分析】（1）利用勾股定理证明CD AC ⊥，再结合面面垂直，证明线面垂直；（2）取AC 的中点O 连接OB ，根据题意，以O 为原点，以OM ，OC ，OM 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则(0A ，2-0)，(0B ，0，2)，(0C ，20)，(22M ，0，0)，求出平面BCM 的法向量，再利用夹角公式求出即可．【解答】解：（1）由90ABC ∠=︒，//BC AD ，8AD =，4AB BC ==， 所以42AC =42CD =，8AD =， 所以222AD CD AC =+，CD AC ⊥，又平面ABC ⊥平面ACD ，平面ABC ⋂平面ACD AC =， 所以CD ⊥平面ABC ；（2）取AC 的中点O 连接OB ，根据题意，以O 为原点， 以OM ，OC ，OM 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则(0A ，22-0)，(0B ，0，2)，(0C ，220)，(22M 0，0)，所以(0CB =，22-，22)，(22CM =，22-，0)，(0BA =，22-，22)-， 设平面BCM 的法向量为(,,)m x y z =， 2222022220m CB y z m CM x y ⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩，得(1,1,1)m =， 所以|2222|26sin |cos ,|3433m BA θ--=<>===．【点评】考查线面垂直，面面垂直，考查向量法求法向量，夹角公式求线面角的余弦值，中档题．19．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，等比数列{}n b 的公比(1)q q >，且34528b b b ++=，42b +是3b 和5b 的等差中项．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令211n n n c b a =+-，{}n c 的前n 项和记为n T ，若2n T m 对一切*n N ∈成立，求实数m 的最大值．【分析】（1）运用数列的递推式：1n =时，112a S ==，2n 时，1n n n a S S -=-，可得n a ；再由等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，解方程可得首项和公比，进而得到所求n b ；（2）求得11122111111222()141(21)(21)22121n n n n n n c b a n n n n n ---=+=+=+=+----+-+，再由数列的分组求和、裂项相消求和，化简整理可得所求和n T ，判断单调性可得最小值，结合恒成立思想可得所求最大值．【解答】解：（1）数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+， 可得1n =时，112a S ==，2n 时，221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=，对1n =也成立，则2n a n =，*n N ∈；等比数列{}n b 的公比(1)q q >，由34528b b b ++=，可得23411128b q b q b q ++=， 由42b +是3b 和5b 的等差中项，可得43542(2)28b b b b +=+=-，即3418b b q ==， 解得11b =，2q =， 则12n n b -=，*n N ∈； （2）11122111111222()141(21)(21)22121n n n n n n c b a n n n n n ---=+=+=+=+----+-+， 1111111121111(122)(1)(1)22335212112221242n n n n T n n n n --=++⋯++-+-+⋯++-=+-=---+-++， 由11{2}242n n --+为自然数集上的增函数，可得1n =时，112242n n --+取得最小值43， 若2n T m 对一切*n N ∈成立，可得83m ， 则实数m 的最大值为83．【点评】本题考查数列的递推式的运用，等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，考查数列的分组求和、裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．20．（12分）有着“中国碳谷”之称的安徽省淮北市，名优特产众多，其中“塔山石榴”因其青皮软籽、籽粒饱满、晶莹剔透、汁多味甘而享誉天下．现调查表明，石榴的甜度与海拔、日照时长、昼夜温差有着极强的相关性，分别用a 、b 、c 表示石榴甜度与海拔、日照时长、温差的相关程度，并对它们进行量化：0表示一般，1表示良，2表示优，再用综合指标a b c λ=++的值评定石榴的等级，若4λ则为一级；若23λ则为二级；若01λ则为三级．f 近年来，周边各地市也开始发展石榴的种植，为了了解目前石榴在周边地市的种植情况，研究人员从不同地市随机抽取了12个石榴种植园，得到如下结果：（1）若有石榴种植园120个，估计等级为一级的石榴种植园的数量；（2）在所取样本的二级和三级石榴种植园中任取2个，ξ表示取到三级石榴种植园的数量，求随机变量ξ的分布列及数学期望．【分析】（1）根据题中的表格统计出12块种植地的综合指标，找出等级为一级的石榴种植园的频率，即可得解；（2）由（1）中统计的表格，得出样本中二级和三级石榴种植园的数量，再分别求出ξ的每个取值所对应的概率即可得解．【解答】解：（1）计算12块种植地的综合指标，如下表所示：由表可知，等级为一级的有5个，其频率为512， 用样本的频率估计总体的频率，可估计等级为一级的石榴种植园的数量为51205012⨯=． （2）所取样本中二级和三级石榴种植园共有527+=块，三级石榴种植园有2块，则ξ的所有可能取值为0，1，2，02252710(0)21C C P C ξ===；11252710(1)21C C P C ξ===；2025271(2)21C C P C ξ===．所以随机变量ξ的分布列如表所示： 数学期望101014()0122121217E ξ=⨯+⨯+⨯=．【点评】本题考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生对数据分析的能力，属于基础题．21．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>过点(1,1)M 离心率为22．（1）求Γ的方程；（2）如图，若菱形ABCD 内接于椭圆Γ，求菱形ABCD 面积的最小值．【分析】（1）由题意列关于a ，b ，c 的方程组，求解即可得到椭圆的方程；（2）设直线1:AC y k x =，直线2:BD y k x =．联立方程组推导出21213|||||121OA OC k k ===++．212113||||121OB OD k k ==++，写出菱形ABCD 的面积2||||S OA OB =，由此利用均值定理能求菱形ABCD 的面积最小值． 【解答】解：（1）由题意，222221112a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2233,2a b ==．∴椭圆Γ的方程为222133x y +=；（2）菱形ABCD 内接于椭圆Γ，由对称性可设直线1:AC y k x =，直线2:BD y k x =．联立22123x y y k x⎧+=⎪⎨=⎪⎩，得方程221(21)30k x +-=，∴2221321A C x x k ==+，21213||||121OA OC k k ∴=++同理，2223||||21OB OD k ==+又AC BD ⊥，23||||21OB OD ∴==+，其中10k ≠．从而菱形ABCD 的面积S 为： 2122113132||||2112211S OA OB k k k ==++++，整理得4S =，其中10k ≠．当且仅当111k k =时取“=”， ∴当11k =或11k =-时，菱形ABCD 的面积最小，该最小值为4．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查菱形面积最小值的求法，训练了直线与椭圆位置关系的综合应用及利用基本不等式求最值，是中档题．22．（12分）已知函数()sin (1)f x x aln x =-+，a R ∈，()f x '是()f x 的导函数． （1）若2a =，求()f x 在0x =处的切线方程； （2）若()f x 在[,]42ππ上单调递增，求a 的取值范围；（3）求证：当20(1)2a π<<+时()f x '在区间(1,)2π-内存在唯一极大值点．【分析】（1）对函数进行求导，利用导数的几何意义进行求解即可；（2）求函数进行求导，让导函数大于或等于零，进行常变量分离，构造新函数，然后利用导数求出新构造函数单调性，最后求出a 的取值范围；（3）对()f x '再求导，求出该函数的单调性，进而证明函数有唯一极大值点即可． 【解答】解：（1）当2a =，2()cos 1f x x x '=-+，(0)1f '=-，又(0)0f =， 所以()f x 在0x =处的切线方程为0x y +=； （2）由()cos 01af x x x '=-+， 所以(1)cos a x x +，令()(1)cos h x x x =+，[,]42x ππ∈，则()cos (1)sin h x x x x '=-+，第21页（共21页）因为2cos 2x，2(1)sin (1)24x x π++，所以()0h x '<， ()h x 在[,]42ππ递减，所以()()02h x h π=，0a ； （3）因为()cos 1a f x x x '=-+， 令()cos 1a g x x x =-+，x ∈，2()sin (1)a g x x x '=-++， 显然()g x '单调递减，又20(1)2a π<<+， 得2()102(1)2a g ππ'=-+<+，取01x =-，则000()sin 4sin 0g x x x '=-=->，故存在(1,)2m π∈-，使得()0g m '=， (1x ∈-，)()m g x 单调递增，(,)2x m π∈单调递减， m 为()g x 的唯一极大值点，故命题成立． 【点评】本题考查了利用导数求函数的切线，考查了利用导数研究函数的极值问题，考查了数学运算能力，中档题．。
安徽省淮北市2020届高三第一次模拟考试数学理试题
准北市2020届高三第一次模拟考试数学（理科）试题注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择題）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟.2.本试卷分试题卷和答题卷，全部答案应填在答题卷相应的空格内，做在本试题上的无效.3.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡相应的位置.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，在每小题所给的四个选项中只有一项符合题意）1.已知集合{1,2,3}A ，{|(1)(2)0,}B x x x xZ ，则AB（）A.{1}B.{0,1}C.{0,1,2,3}D.{1,0,1,2,3}2.已知复数1322i ，i 为虚数单位，则2的实部为（）A.1B.12C.32D.123.已知锐角满足3sin23，则tan2（）A.2B.22 C.22D.24.国庆70周年庆典磅礴而又欢快的场景，仍历历在目.已知庆典中某省的游行花车需要用到某类花卉，而该类花卉有甲、乙两个品种，花车的设计团队对这两个品种进行了检测.现从两个品种中各抽测了10株的高度，得到如下茎叶图.下列描述正确的是（）A.甲品种的平均高度大于乙品种的平均高度，且甲品种比乙品种长的整齐B.甲品种的平均高度大于乙品种的平均高度，但乙品种比甲品种长的整齐C.乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，且乙品种比甲品种长的整齐D.乙品种的平均高度大于甲品种的平均高度，但甲品种比乙品种长的整齐5.已知圆222:(0)C x yr r直线1:2x ，则“13r,”是“C 上恰有两个不同的点到l 的离为1”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件6.若函数1()(1)xf x k aa（0a且1a ）在R 上既是奇函数又是减函数，则函数()log ()a f x xk 的图象大致是（）A.B. C. D.7.已知双曲线22221(0,0)x y a bab的右焦点为(4,0)F ，点(0,3)Q ，P 为双曲线左支上的动点，且PQF V 周长的最小值为16，则双曲线的离心率为（）A.2B.43C.32D.528.已知51log32a ，52log 2b ，7log 3c ，则（）A.a c bB.a bcC.c a bD.c b a9.关于函数22()cos sin 1f x x x，下列说法正确的是（）A.函数()f x 以为周期且在()2k xk Z 处取得最大值B.函数()f x 以2为周期且在区间,42单调递增C.函数()f x 是偶函数且在区间,42单调递减D.将()f x 的图像向右平移1个单位得到()|cos(21)|1g x x 10.函数()[()]g x yf x 在求导时可运用对数法：在解析式两边同时取对数得到ln ()ln ()yg x f x ，然后两边同时求导得()()ln ()()()y f x g x f x g x yf x ，于是()()[()]()ln ()()()g x f x y f x g x f x g x f x ，用此法探求11(1)(0)x y x x 的递减区间为（）A.(0,)e B.(0,1)eC.(1,)eD.(,)e 11.淮北市第一次模拟考试理科共考语文、数学、英语、物理化学、生物六科，安排在某两日的四个半天考完，每个半天考一科或两科.若语文、数学、物理三科中任何两科不能排在同一个半天，则此次考试不同安排方案的种数有（同一半天如果有两科考试不计顺序）A.648B.1728C.864D.32412.已知等差数列n a 满足225910aa，则12345a a a a a 的最大值为（）A.55B.20C.25D.100第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题每小题5分，共20分）13.在边长为2的正ABC V 中，D 为BC 中点，则AB ADu uu r u uu r______.14.从抛物线24yx 图象上一点A 作抛物线准线的垂线，垂足为B ，且||5AB ，设F 为抛物线的焦点，则ABF V 的面积为_______. 15.设函数2019,0()2020,0xex f x x,，则满足23(2)f xf x ,的x 取值范围是______.16.已知直线m 与球O 有且只有一个公共点．．．．．．．，从直线m 出发的两个半平面、截球O 所得两个截面圆的半径分别为1和2，二面角m 的平面角为120，则球O 的表面积等于______.三、解答题（本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知ABC V 的面积为S ，且AB ACS u u u r u u u r.（Ⅰ）求22sincos5sin 222A A A 的值；（Ⅱ）若角,,A B C 成等差数列，||4CBCA u u u ru ur求ABC V 的面积S .18.（本小题满分12分）在直角梯形ABCD （如图1），90ABC ，//BC AD ，8AD，4ABBC，M 为线段AD 中点.将ABC V 沿AC 折起，使平面ABC平面ACD ，得到几何体B ACD （如图2）.（Ⅰ）求证：CD平面ABC ；（Ⅱ）求AB 与平面BCM 所成角的正弦值.19.（本小题满分12分）已知数列n a 的前n 项和2nS nn ，等比数列n b 的公比(1)q q ，且34528b b b ，42b 是3b 和5b 的等差中项.（Ⅰ）求n a 和n b 的通项公式；（Ⅱ）令211nnnc b a，n c 的前n 项和记为n T ，若2n T m …对一切*nN 成立，求实数m 的最大值.20.（本小题满分12分）有着“中国碳谷”之称的安徽省淮北市，名优特产众多，其中“塔山石榴”因其青皮软籽、籽粒饱满、晶莹剔透、汁多味甘而享誉天下。
安徽省淮北市、宿州市2025届高三第一次模拟考试数学试卷含解析
安徽省淮北市、宿州市2025届高三第一次模拟考试数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．将函数()sin 2f x x =的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭个单位长度，得到的函数为偶函数，则ϕ的值为（ ） A ．12π B ．6π C ．3π D ．4π 2．函数||1()e sin 28x f x x =的部分图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．3．一个频率分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[)2060,上的频率为0.8，则估计样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数共有（ ）A ．14B ．15C ．16D ．174．抛物线22y x =的焦点为F ，则经过点F 与点()2,2M且与抛物线的准线相切的圆的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．0个D ．无数个5．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．6．已知a ，b 为两条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，下列命题：①若//αβ，//αγ，则//βγ；②若//a α，//a β，则//αβ；③若αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥；④若a α⊥，b α⊥，则//a b .其中正确命题序号为( )A ．②③B ．②③④C ．①④D ．①②③7．已知六棱锥P ABCDEF -各顶点都在同一个球（记为球O ）的球面上，且底面ABCDEF 为正六边形，顶点P 在底面上的射影是正六边形ABCDEF 的中心G ，若6PA 2AB =，则球O 的表面积为（ ）A ．163πB ．94π C ．6πD ．9π8．已知函数()sin3(0,)f x a x a b a x =-++>∈R 的值域为[5,3]-，函数()cos g x b ax =-，则()g x 的图象的对称中心为（ ） A ．,5()4k k π⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z B ．,5()48k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z C ．,4()5k k π⎛⎫-∈⎪⎝⎭Z D ．,4()510k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z 9．设一个正三棱柱ABC DEF -，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC 的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为10P ，则10P 为（ ）A ．10111432⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭B ．111132⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．111132⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．10111232⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭10．已知()5x a +展开式的二项式系数和与展开式中常数项相等，则2x 项系数为（ ） A ．10B ．32C ．40D ．8011．函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0>ω，2πϕ<）的图象如图，则此函数表达式为（ ）A ．()3sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()13sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()3sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()13sin 24πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭12．中，如果，则的形状是（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
安徽淮北2022高三第一次教学质量检测-数学理
安徽淮北2022高三第一次教学质量检测-数学理2020年安徽省淮北市第一次模拟考试数 学（理工类）本试题卷共 页，六大题21小题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型后的方框涂黑。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其它答案标号。
答在试题卷、草稿纸上无效。
3．填空题和解答题的作答：用0.5mm 的签字笔直截了当答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试终止后，请将答题卡上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合A={x| |x|≤1},B={y| y=2x ,Rx ∈},=⋂B A ( )A ．φB ．}10|{≤≤x xC ．}11|{≤≤-x xD ．}10|{≤<x x 2．设复数112z i =-，21z i =+，则复数12z z z =在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知某个几何体的三视图如右图,则该几何体的体积为( ) A 、 4+π B ．34+πC ． 342+πD ．34+π4．已知}{n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，若936=s s ，则612s s =（ ）A. 9B. 18C. 64D. 655．已知甲袋中有1个黄球和2个红球，乙袋中有2个黄球和2个红球，现随机地从甲袋中取出二个球放入乙袋中，然后从乙袋中随机取出一球，则从乙袋中取出红球的概率是（ ） A ．31 B ．21 C ．95 D ．926．已知AB 为圆O 的一条弦，且2=AB ，则数量积AO AB ⋅是值为( )：A. 2B. 3C. 4D. 与圆的半径有关7.已知6,=+∈+by ax R b a ，直线总平分圆04222=+--+m y x y x ，则b 5a b a 2+++的最大值 为（ ）A. 6B. 4C. 3D.38．已知函数sin (0)y ax b a =+>的图象如图所示，则函数log ()a y x b =+的图象可能是( )9．焦点在x 轴上的双曲线12222=-by a x 的两条渐近线与抛物线12+=x y 相切,则双曲线的离心率为( )A.5 B.25 C. 2 D.552 10．方程)0(|sinx |>=k kx 有且仅有两个不同的非零实数解,()θϕθϕ>，则以下有关两根关系的结论正确的是（ ）A ．sin cos ϕϕθ=B ．sin cos ϕϕθ=-C ．cos sin ϕθθ=D ．sin sin θθϕ=-二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2021年安徽省淮北市高考数学一模试卷(理科)
2021年安徽省淮北市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合U＝{−2, −1, 0, 1, 2, 3}，A＝{−1, 0, 1}，B＝{1, 2}，则∁U(A∪B)＝（）A.{−2, 3}B.{−2, 2, 3}C.{−2, −1, 0, 3}D.{−2, −1, 0, 2, 3}【答案】A【考点】交、并、补集的混合运算【解析】先求出A∪B，再根据补集得出结论．【解答】集合U＝{−2, −1, 0, 1, 2, 3}，A＝{−1, 0, 1}，B＝{1, 2}，则A∪B＝{−1, 0, 1, 2}，则∁U(A∪B)＝{−2, 3}，2. 若数列{a n}为等差数列，且a1＝π6，a3＝π2，则cos a20=()A.1 2B.√32C.−12D.−√32【答案】C【考点】等差数列的通项公式【解析】由等差数列的通项公式计算a20=10π3，再利用三角函数的诱导公式可得答案，【解答】若数列{a n}为等差数列，且a1＝π6，a3＝π2，所以等差数列{a n}的公差为d=a3−a12=π6，则a20=a1+19d=π6+19×π6=10π3，则cos a20=cos10π3=−12．3. 函数f(x)=(21+e x−1)sin x图象的大致形状是()A. B.C. D.【答案】C【考点】函数奇偶性的判断函数的图象【解析】根据条件先判断函数的奇偶性，和对称性，利用f(1)的值的符号是否对应进行排除即可．【解答】解：f(x)=(21+e x −1)sin x=1−e x1+e x⋅sin x，则f(−x)=1−e −x1+e−x ⋅sin(−x)=e x−1e x+1⋅(−sin x)=1−e x1+e x⋅sin x=f(x)，则f(x)是偶函数，则图象关于y轴对称，排除B，D，当x=1时，f(1)=1−e1+e⋅sin1<0，排除A.故选C．4. 已知α，β，直线l，m，且有l⊥α，m⊂β，给出下列命题：①若α // β，则l⊥m；②若l // m，则α⊥β；③若α⊥β，则l // m；④若l⊥m，则α // β；其中，正确命题个数有（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【考点】命题的真假判断与应用【解析】有l⊥α，m⊂β，给出下列命题：①由α // β，利用线面垂直的判定可得l⊥β，又m⊂β，利用线面垂直的性质可得l⊥m，即可判断出正误；②若l // m，m⊂β，利用面面垂直的判定定理可得α⊥β，即可判断出正误；③若α⊥β，则l // m或异面直线，即可判断出正误；④若l⊥m，则α // β或相交，即可判断出正误．【解答】解：有l⊥α，m⊂β，给出下列命题：①若α // β，∴l⊥β，又m⊂β，则l⊥m，正确；②若l // m，m⊂β，则α⊥β，正确；③若α⊥β，则l // m或异面直线，不正确；④若l⊥m，则α // β或相交，因此不正确．其中，正确命题个数为2．故选：B．5. 在△ABC中，点D是线段BC（不包括端点）上的动点，若＝x，则（）A.x>1B.y>1C.x+y>1D.xy>1【答案】B【考点】平面向量的基本定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6. 某地气象局把当地某月（共30天）每一天的最低气温作了统计，并绘制了如图所示的统计图．记这组数据的众数为M，中位数为N，平均数为P，则（）A.M<N<PB.N<M<PC.P<M＝ND.P<N<M【答案】A【考点】频率分布直方图众数、中位数、平均数【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7. 若i为虚数单位，复数z满足|z++i|≤，则|z−2i|的最大值为（）A.2B.3C.D.【答案】D【考点】复数的模【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8. 甲、乙、丙三人从红、黄、蓝三种颜色的帽子中各选一顶戴在头上，各人帽子的颜色互不相同，乙比戴蓝帽的人年龄大，丙和戴红帽的人年龄不同，戴红帽的人比甲年龄小，则甲、乙、丙所戴帽子的颜色分别为（）A.红、黄、蓝B.黄、红、蓝C.蓝、红、黄D.蓝、黄、红【答案】B【考点】进行简单的合情推理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9. 过圆x2+y2＝16上的动点作圆C:x2+y2＝4的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆C内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为（）A.πB.C.2πD.3π【答案】A【考点】圆的切线方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10. 已知函数，则函数g(x)＝|f(x)|−1零点的个数为（）A.3B.4C.5D.6【答案】A【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11. 已知双曲的左焦点为F，左顶点为A，直线y＝kx交双曲线于P、Q两点（P在第一象限），直线PA与线段FQ交于点B，若FB＝2BQ，则该双曲线的离心率为（）A.2B.3C.4D.5【答案】D【考点】双曲线的离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12. 函数的最大值为（）A. B. C. D.3【答案】B【考点】二倍角的三角函数三角函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡的相应位置.若x ，y 满足约束条件，则z ＝x +3y 的最大值为________．【答案】8【考点】简单线性规划【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二项式(√x 3−2x )8的展开式中的常数项为________． 【答案】112【考点】二项式定理的应用【解析】利用二项展开式的通项公式求出二项式(√x 3−2x )8展开式的通项，令x 的指数为0求出r ，将r 的值代入通项求出展开式的常数项．【解答】解：展开式的通项为T r+1=(−2)r C 8r x 83−43r ， 令83−43r =0得r =2， 所以展开式中的常数项为(−2)2C 82=112．故答案为：112．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n ，若，则数列{b n }的前2n 项和为________．【答案】【考点】数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 是CD 的中点，F 是CC 1上的动点，则三棱锥A −DEF 外接球表面积的最小值为________．【答案】13π【考点】球的表面积和体积球内接多面体棱柱的结构特征【解析】作出图形，设CF =x ，利用基本不等式可求得tan ∠DFE 的最大值，可求得sin ∠DFE 的最小值，利用正弦定理求得△DEF 外接圆直径2r 的最小值，可求得该三棱锥外接球直径的最小值，由此可求得结果．【解答】解：连接AE ,取AE 中点G ,设点F 到C 的距离CF =m ，连接EF ，过G 作GO 垂直平面ABCD ，设GO =n ，O 为三棱锥A −DEF 的外接球的球心， 以D 为原点，分别以DA,DC,DD 1所在直线为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系，则A(2,0,0)，E(0,1,0)，O(1,12,n)，F(0,2,m)， 则球半径R =OF =OE =OA ,∴ R =√1+(2−12)2+(m −n)2=√1+14+n 2， ∴ 94+(m −n)2=14+n 2，得m 2−2mn +2=0，则n =m 2+22m ≥2√2m2m =√2，当且仅当m =√2时取等号，R min =√1+14+2=√132， ∴ 三棱锥A −DEF 外接球表面积的最小值为 S =4πR 2=4π×134=13π.故答案为：13π.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角B的大小；（2）若b＝1，c＝2，求△ABC的面积．【答案】＝，由正弦定理，得sin B sin A＝，整理得，sin A cos B＝，因为sin A≠0，所以cos B＝sin B，由B为三角形内角得，B＝，因为b＝1，c＝2，由余弦定理得，b2＝a2+c4−2ac cos B，所以＝7，故a＝，△ABC的面积S＝＝＝．【考点】正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答如图，在多面体ABCDEFG中，四边形ABCD是边长为3的正方形，EG // AD，DC // FG，且EG＝AD，DC＝3FG，DG⊥面ABCD，DG＝2，N为EG中点．(Ⅰ)若M是CF中点，求证：MN // 面CDE；(Ⅱ)求二面角N−BC−F的正弦值．【答案】（1）证明：取GD中点P，连接PN，因为DC // FG，所以GF与CD共面，因为M，N分别是CF，所以PM // DC，又PM∩PN＝P，DE∩DC＝D，又MN⊂平面PMN，所以MN // 平面CDE．（2）在DC上取点Q，使DQ＝1、GC，DG⊥面ABCD，所以DG⊥AD，又因为四边形ABCD是方形，所以AD⊥DC，所以AD⊥平面DGFC，因为BC // AD，所以BC⊥平面DGFC，所以BC⊥CG，BC⊥CF，所以∠GCF为二面角N−BC−F的平面角，设其大小为α，因为四边形GDQF为矩形，所以QF＝QC＝2，于是∠FCD＝45∘，则α＝45∘−θ，tanα＝＝＝＝．故二面角N−BC−F的正弦值为．【考点】二面角的平面角及求法直线与平面平行【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答甲、乙两人进行乒乓球比赛，规定比赛进行到有一人比对方多赢2局或打满6局时比赛结束．设甲、乙在每局比赛中获胜的概率均为，各局比赛相互独立，用表示比赛结束时的比赛局数．(Ⅰ)求比赛结束时甲只获胜一局的概率；(Ⅱ)求X的分布列和数学期望．【答案】（1）因为比赛结束时甲只获胜一局，所以一共比赛了4局，当甲在第1局赢了，则乙在后面7局都赢了×＝；当甲在第2局赢了，则乙在第1，2，此事件的概率为：××＝，记“比赛结束时甲只获胜一局”为事件A，额P(A)＝+＝．（2）根据条件可知，X所有可能取值为2，4，6，当X＝2时，包括甲或乙前2局连胜，甲}，乙}，当X＝3时，包含甲或乙前2局赢了1局，此时6种情况：{甲，乙，乙，乙}，甲，乙，乙}，甲，甲，甲），乙，甲，甲}（大括号中，P(X＝2)＝2×＝，P(X＝4)＝6×＝，P(X＝7)＝1−P(X＝2)−P(X＝8)＝，所以X的分布列为：646故E(X)＝3×+5×＝．【考点】离散型随机变量的期望与方差相互独立事件相互独立事件的概率乘法公式离散型随机变量及其分布列【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答已知函数f(x)＝e x−x−mx2，x∈(0, +∞)．(Ⅰ)若f(x)是增函数，求实数m的取值范围；(Ⅱ)当m＝1时，求证：．【答案】（1）因为f(x)是增函数，所以当x∈(0, f′(x)＝e x−2mx−3≥0恒成立，f″(x)＝e x−2m，在(2，①当m≤0时，f″(x)>0，所以f′(x)在(7, +∞)上单调递增，符合题意；②当m>0时，令f″(x)＝0，(ⅰ)当ln(6m)≤0，即m≤时，+∞)上恒成立，所以f′(x)在(0, +∞)上单调递增，符合题意；(ⅱ)当ln(2m)>7，即m>时，ln(4m)）时，当x∈(ln(2m)，f″(x)>0，所以f′(x)在（2, ln(2m)）上单调递减，+∞)上单调递增，所以f′(x)min＝f′（ln(2m)）＝2m−2m ln(2m)−4，令2m＝t，则g(t)＝t−t ln t−1，当x∈(3, 1)时，g(t)单调递增，+∞)时，g(t)单调递减，所以g(t)≤g(1)＝0，所以f′(x)min≤3，不符合题意，综上，实数m的取值范围是(−∞，]．（2）证明：当m＝8时，f(x)＝e x−x−x2，f′(x)＝e x−2x−2，f″(x)＝e x−2，令f″(x)＝0，当x∈(2, ln2)时，当x∈(ln2, f″(x)>5，所以f′(x)在(0, ln2)上单调递减，+∞)上单调递增，f′(x)min＝f′(ln7)＝1−2ln6<0，在(0, f′(x)<f′(0)＝2，在(ln2, +∞)上，f（−3>0，所以∃x0∈(4，），使f′(x6)＝0，即−5x0−1＝7，所以f(x)在(0, x0)上单调递减，在(x4, +∞)上单调递增，所以f(x)min＝−x0−x42＝−x08+x0+1＝，x2∈(1，），所以f(x)min>−（）4++2＝，所以f(x)>．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答已知椭圆的离心率，左顶点为A，右焦点F，|AF|＝3．过F且斜率存在的直线交椭圆于P，N两点，P关于原点的对称点为M．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，是否存在常数λ，使得k1＝λk2恒成立？若存在，请求出λ的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）由题意可得e＝＝，又a+c＝8，c＝1＝，则椭圆C的方程为+＝5；（2）F(1, 0)，5)1，y1)，N(x6, y2)，M(−x1, −y2)，所以k1＝，k2＝，假设存在常数λ，使得k8＝λk2恒成立．即＝λ•1(x3+2)＝λy2(x2−2)，两边乘y1，可得y82(x2+6)＝λy1y2(x8−2)，又因为3x52+4y52＝12，即y14＝3(1−）＝，所以(x7+2)＝λy1y3(x1−2)，当x6≠2时，-(2+x1)(4+x2)＝λy1y6，所以−3x1x8−6(x1+x6)−12＝4λ4y4y2①，当x1＝7时，M与A重合．设直线PN的方程为x＝my+1，与椭圆3x7+4y2＝12联立，可得(5+3m2)y4+6my−9＝5，可得y1+y2＝-，y1y2＝-，x1x2＝m(y6+y2)+2＝，x1x2＝m4y1y2+m(y4+y2)+1＝，代入①可得+−12＝8λ•，整理可得−108＝−36λ，解得λ＝3．所以存在常数入＝6，使得k1＝λk2恒成立．【考点】直线与椭圆结合的最值问题【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．(Ⅰ)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；(Ⅱ)设P为曲线C1上的动点，求点P到C2的距离的最大值，并求此时点P的坐标．【答案】（1）曲线C1的参数方程为（α为参数）；曲线C2的极坐标方程为，根据．（2）设曲线C1上的点P（），则点P到直线x+y−6＝0的距离d＝，当时，，且点P（）．【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）已知不等式|x|+|x−1|<x+4的解集为(m, n)．(Ⅰ)求m，n的值；(Ⅱ)若x>0，y>0，(n−1)x+y+m＝0，求证：x+y≥9xy．【答案】（1）原不等式化为或或，解得−1<x≤4或0<x<1或5≤x<5，取并集，可得原不等式的解集为(−1，又不等式|x|+|x−7|<x+4的解集为(m, n)，∴m＝−1，n＝4；（2）证明：由(Ⅰ)及(n−1)x+y+m＝0，可得(5−1)x+y−1＝3，∴＝5+，当且仅当x＝，y＝．∴x+y≥9xy．【考点】不等式的证明绝对值不等式的解法与证明【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
安徽省淮北市2024届高三第一次质量检测数学试卷
一、单选题二、多选题1.斜率为的直线经过双曲线的左焦点，交双曲线于两点，为双曲线的右焦点且，则双曲线的渐近线方程为（ ）A．B．C．D．2.已知函数，则A ．是奇函数，且在定义域上是增函数B ．是奇函数，且在定义域上是减函数C．是偶函数，且在区间上是增函数D．是偶函数，且在区间上是减函数3. 已知正三棱柱的所有棱长都相等，分别为的中点.现有下列四个结论：：； ：；：平面；：异面直线与所成角的余弦值为.其中正确的结论是（ ）A．B．C．D．4. 椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上的一点，若，那么的面积为A．B．C．D．5. 如图，在正三棱柱中，为的中点，则与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6. 在三棱锥中，，在底面上的投影为的中点，.有下列结论：①三棱锥的三条侧棱长均相等；②的取值范围是；③若三棱锥的四个顶点都在球的表面上，则球的体积为；④若，是线段上一动点，则的最小值为.其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47. 已知、均为正实数，且，则的最小值为 （ ）A．B．C．D．8.设函数，则不等式成立的的取值范围是（ ）A．B．C．D．安徽省淮北市2024届高三第一次质量检测数学试卷安徽省淮北市2024届高三第一次质量检测数学试卷三、填空题四、解答题9. 若，，则（ ）A．B．C．D．10.已知双曲线的左、右焦点分别为，，抛物线的焦点与双曲线的焦点重合，点是这两条曲线的一个公共点，则下列说法正确的是（ ）A ．双曲线的渐近线方程为B．C ．的面积为D．11. 已知双曲线C ：，，为C 的左、右焦点，则（ ）A ．双曲线和C 的离心率相等B ．若P 为C 上一点，且，则的周长为C ．若直线与C 没有公共点，则或D ．在C 的左、右两支上分别存在点M ，N使得12.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．B．的最小正周期为C ．的图象关于直线对称D ．的图象关于点对称13. 有以下命题：①存在实数、，使得；②“，”的否定是“存在，”；③掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上的点数不小于的概率为；④在闭区间上取一个随机数，则的概率为.其中所有的真命题为________.（填写所有正确的结论序号）14.展开式中的系数为___________.（答案用数字作答）15.已知有三个条件：①；②；③，中能成为的充分条件的是_____填序号16.已知为公差不等于零的等差数列，为的前项和，且为常数列.（1）求；（2）.设，仅当时，最大，求.17. 某学校共有2000名学生，其中女生1200人，为了解该校学生在学校的月消费情况，采取分层抽样随机抽取了200名学生进行调查，月消费金额分布在550～1050元之间．根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示，将月消费金额不低于850元的学生称为“高消费群”．(1)求a的值，并估计该校学生月消费金额的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）(2)若样本中属于“高消费群”的男生有10人，完成下列2×2列联表，并判断是否有99.9%以上的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关．属于“高消费群”不属于“高消费群”合计男女合计P（）0.0250.0100.0050.0015.0246.6357.87910.828（，其中n＝a＋b＋c＋d）18. 如图，在四棱台中，底面，四边形为菱形，.（1）若M为的中点，求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.19. 已知函数（I）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求使函数取得最大值的的集合．20. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，，.(1)求证：；(2)若平面平面PBC，且中，AD边上的高为3，求AD的长.21. 已知．(1)求函数的单调递增区间；(2)设的内角A满足，且，求BC边长的最小值．。
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淮北市2024届高三第一次质量检测数学试题注意事项：1.答卷前，考试务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}52A x x =-<<，{}33B x x =+<，则A B = A.()5,0- B.()6,2- C.()6,0- D.()5,2-2.已知复数734iz i+=+，则z =A.1i+ B.1i-- C.1i- D.1i-+3.已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是A.若m n ∥，且n α⊂，则m α∥ B.若m n ⊥，且n α⊂，则m α⊥C.若m α∥，且m β∥，则αβ∥ D.若m α⊥，且m β⊥，则αβ⊥4.记n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则“{}n a 是递增数列”是“n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知定义在R 上奇函数()f x 满足()()11f x f x +=-，当()0,1x ∈时，()2x f x =，则()2log 36f =A.94B.169C.98D.896.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的一条渐近线与圆()()22121x y -+-=交于A ，B 两点，若2AB =，则C 的离心率为C.27.已知4a =，1sin 2b =，3log 2c =，则A.a b c<< B.b c a<< C.c a b<< D.a c b<<8.已知方程()()1ln 10x x k x --+=有两个不等实数根1x ，2x ，则A.0k < B.1k ≥ C.121x x = D.122x x +<二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知a ，b ，c ∈R ，下列命题为真命题的是A.若a b c >>，则a b c +> B.若a b c >>，则222a b c >>C.若0a b c <<<，则c c a b > D.若0a b c >>>，则b bc a a c+<+10.已知函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，()()sin 0g x x ωω=>，A.存在实数m 使得()f x 在()0,m 单调递减B.若()f x 的图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，则ω的最小值为2C.若2ω=，将()f x 的图象向右平移6π个单位可以得到()g x 的图象D.若2ω=，()()f x g x +11.如图，边长为2的正六边形ABCDEF ，点P 是DEF △内部（包括边界）的动点，AP xAB yAD =+，x ，y ∈R .A.0AD BE CF -+=B.存在点P ，使x y=C.若34y =，则点P 的轨迹长度为2D.AP AB ⋅的最小值为2-12.已知A ，B ，C ，D 四点在球心为O ，半径为5的球面上，且满足6AB =，8CD =，设AB ，CD 的中点分别为M ，N ，则A.点N 有可能在AB 上B.线段MN 的长有可能为7C.四面体OABC 的体积的最大值为20D.四面体ABCD 的体积的最大值为56三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知1sin cos 5αα+=-，()0,απ∈，则tan α=__________.14.正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若113，12a +，13S 成等比数列，则71S a 的最小值为___________.15.已知抛物线()220y px p =>准线为l ，焦点为F ，点A ，B 在抛物线上，点C 在l 上，满足：AF FB λ=，AB BC μ=，若3λ=则实数μ=____________.16.记不超过x 的最大整数为[]x .若函数()[]22f x x x t =-+既有最大值也有最小值，则实数t 的值可以是___________（写出满足条件的一个t 的值即可）.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本题满分10分）已知ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin sin 2sin cos B C A C -=.（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若2b =，2AD DB =，且CD =，求a .18.（本题满分12分）如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点.（Ⅰ）求证：OA BC ⊥；（Ⅱ）若OCD △是边长为2的等边三角形，点E 满足2AE ED =，且平面BCE 与平面BCD 夹角的正切值为35，求三棱锥A BCD -的体积.19.（本题满分12分）某市随着东部新城迅猛发展，从老城区到新城区的道路交通压力变大.某高中数学建模小组调查了新城上班族S 从居住地到工作地的平均用时，上班族S 中的成员仅以公交或自驾的方式通勤，分析显示：当S 中%x （0100x <<）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间与x 满足函数关系为：()30,0301800290,30100x f x x x x <⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩≤（单位：分钟）.而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟.（Ⅰ）当x 在什么范围时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（Ⅱ）求新城上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式，讨论()g x 的单调性，并说明其实际意义.20.（本题满分12分）已知数列{}n a 为递增的等比数列，2,1,2n n n a n b a n +⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，记n S 、n T 分别为数列{}n a 、{}n b 的前项和，325S a -=，310T =.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：当5n >时，n n S T >.21.（本题满分12分）已知椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>的离心率为12，左右焦点分别为1F 、2F ，M 是椭圆上一点，12MF =，1260F MF ∠=︒.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点()1,1N 的直线与椭圆交于P ，Q 两点，R 为线段PQ 中点，O 为坐标原点，射线OR 与椭圆交于点S ，点G 为直线OR 上一动点，且22OR OG OS ⋅= ，求证：点G 在定直线上.22.（本题满分12分）已知函数()ln f x x x x =-，()212g x ax a =-+，（a ∈R ）.（Ⅰ）求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）若()()()F x f x g x =+有两个不同极值点，分别记为m ，n ，且m n <.（ⅰ）求实数a 的取值范围；（ⅱ）若不等式1kk mn e+>恒成立（e 为自然对数的底数），求正数k 的取值范围.淮北市2024届高三第一次质量检测参考答案一、选择题题号123456789101112答案B A D C B D A C BD BCD AD BCD 7.注意到6sin sin41212a bπ==<=，11sin sin262bπ=<=.又331log2log2c=>=，所以a b c<<.8.方程转化为()()1ln1x x k x-=+，令()()1lnf x x x=-，则()1ln1f x xx'=-+，注意到()f x'为增函数，且()10f'=.()f x图象右图所示，方程有两个不相等实根，即直线()1y k x=+与函数()f x图象有两交点，故0k>.又方程转化为()1ln1x xkx-=+，令()()1ln1x xg xx-=+.注意到()111ln111x xg g xxx⎛⎫-⎪⎛⎫⎝⎭==⎪⎝⎭+，所以121x x=.12.注意到点M、N轨迹分别为以O为球心，以4、3为半径的两同心球面上，AB、CD分别为两球面的切线.图12-1所示，点N 在内球面上，线段AB 是中球面切线，所以点N 不可能在线段AB 上，选项A 错误.图12-2所示位置，MN 最大，此时7MN =，选项B 正确.对于选项C ，图12-1所示，1122OAB S AB OM =⋅=△，点C 到面OAB 最大值为5，所以C OAB V -最大值为20，选项C 正确.对于选项D ，图12-3所示，当AB CD ⊥，MN 最大（图12-2所示位置），四面体ABCD 体积最大.连结CM ，DM ，注意到1282CDM S CD MN =⨯⨯=△，此时四面体ABCD 体积为1563CDM V S AB =⨯⨯=△.二、填空题13.34-14.63215.216.取1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭内得任一值都正确.16.取2x t m n +=+，m ∈Z ，[)0,1n ∈.则()[]()22f x x x t m n t m n t =-+=+--=-.题意等价于()g n n t =-在区间[)0,1上既有最大值，又有最小值.当0t ≤时，()g n n t =-，增函数，只有最小()0g ，无最大；当102t <<时，()g n 在()0,t 递减，在(),1t 递增，此时()()01g g <，有最小值()g t ，无最大值；当112t <≤时，()g n 在()0,t 递减，在(),1t 递增，此时()()01g g ≥，最大值为()0g ，最小值为()g t ；当1t ≥时，()g n t n =-，()g n n t =-为减函数，有最大()0g ，无最小.综上，t 的取值范围是1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭.三、解答题17.（本题满分10分）解：（Ⅰ）由2sin sin 2sin cos B C A C -=，得22cos b c a C -=，即222222a b c b c a ab+--=，222b c a bc +-=.所以2221cos 22b c a A bc +-==，故3A π=.（Ⅱ）ACD △中，2AC =，CD =，3A π=，ACD △为直角三角形，所以4AD =.2AD DB = ，故6AB =.ABC △中，2222212cos 26226282a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，故a =18.（本题满分12分）（Ⅰ）证明：因为AB AD =，O 为BD 中点，所以OA BD ⊥.平面ABD ⊥平面BCD ，所以OA ⊥平面BCD .BC 在平面BCD 内，所以OA BC ⊥.（Ⅱ）注意到OCD △是边长为2的等边三角形，易知，BCD △是以C 为直角顶点的直角三角形.过O 作OF OD ⊥，交BC 于F .结合题设，以O 为原点，OA ，OD ，OF 为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系.平面BCE 与平面BCD 夹角正切值为35，所以余弦值为34.则()0,2,0B -，)C.因为2AE ED = ，可设40,,3E t ⎛⎫⎪⎝⎭（0t >）所以)BC =，100,,3BE t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设面BCE 法向量为()1,,n x y z =，则30103y y tz +=⎨+=⎪⎩，令x =1103n t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ；易知平面BCD 法向量为()20,0,1n =.故121210534334n n t n n ⋅==，解得1t =.所以3OA =，故112332A BCD V -=⨯⨯⨯=.19.（本题满分12分）解：（Ⅰ）由题意知，当30100x <<时，()218009040f x x =+->即2659000x x -+>解得20x <或45x >.当()45,100x ∈，时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（Ⅱ）当030x <<时()()30%401%4010xg x x x =⋅+-=-.当30100x <<时()()218013290%401%585010x x g x x x x x ⎛⎫=+-⋅+-=-+ ⎪⎝⎭()240,030101358,301005010x x g x x x x ⎧-<⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩≤当032.5x <<时，()g x 单调递减当32.5100x <<时，()g x 单调递增，说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的，有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的.20.（本题满分12分）解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，题设得131235122102a a a a a +=⎧⎪⎨++++=⎪⎩①②，把①式代入②式得22a =，代入①式得225q q +=，得2q =或12q =（舍）.11a =，所以12n n a -=.（Ⅱ）易知，()1122112n n n S ⨯-==--.当n 为偶数时，()131241222n n n n T a a a a a a -⎛⎫=+++⨯+++ ⎪⎝⎭ ()2113111422221433nn n a a a n n n +-⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=+++=⨯+=+-- .此时，12223121333n n nn n n S T n +---=---+=.当5n >时，23103n n -->，所以n n S T >成立.当n 为奇数时，()()1225262121336n n n n n n n T T b n a n -⎛⎫⨯++=+=+--++=> ⎪⎝⎭.检验知，当1n =时，上式也成立.此时，()52622682166n n nn n n n S T ⨯++---=--=，当5n >时，26806n n -->，所以n n S T >成立.综上所述，当5n >时，n n S T >成立.21.（本题满分12分）解：（Ⅰ）由题意得12c a =，得2a c =又12MF =，1260F MF ∠=︒在12MF F △中()()()22222222222cos60c a a =+--⨯-︒化简得2440a a -+=，解得2a =所以2223b a c =-=得椭圆方程为：22143x y +=.（Ⅱ）设():11PQ l y k x =-+，()11,P x y ，()22,Q x y 由()2214311x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩消y 整理得：()()()222438141120k x k k x k +--+--=因()1,1N 在椭圆内，所以直线PQ 必与椭圆相交得()1228143k k x x k -+=+，()()()121226111243k y y k x k x k -+=-+-+=+又R 为线段PQ 中点，所以()()224131,4343k k k R k k --⎛⎫⎪++⎝⎭所以34OR k k =-，得3:4OR l y x k=-由2214334x y y xk ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消y 整理得：2221643k x k =+，22943y k =+设S 点坐标(),S S x y ，进而得2221643Sk x k =+，22943Sy k =+设G 点坐标为(),G G x y ，由22OR OG OS ⋅= 得：()()222224131169243434343G G k k k k x y k k k k --⎛⎫⋅+⋅=+ ⎪++++⎝⎭整理得：()2243342169G G G G k x ky y kx k -+-=+（※）又34G G y x k =-，43G G kx y =-带入（※）得()22344334216943G G G G kk x k x y k y k k +⋅++⋅=+，约去()2169k +得243G Gx y +=即3424G G x y +=所以G 点在定直线34240x y +-=上.22.解：（Ⅰ）由题意得：()ln f x x '=，0x >当()0,1x ∈时，()0f x '<，此时，()f x 在()0,1上单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，此时，()f x 在()1,+∞上单调递增；所以()()min 11f x f ==-.（Ⅱ）（ⅰ）由题意得()()()F x f x g x =+的定义域为()0,+∞，得()ln F x x ax '=-因()F x 两个不同极值点，故方程ln 0x ax -=有两个不同的根m ，n （m n <），即方程ln xa x=有两个不同的根m ，n记函数()ln x h x x =，则()21ln x h x x -'=当()0,x e ∈时，()0h x '>，此时，()h x 在()0,e 上单调递增；当(),x e ∈+∞时，()0h x '<，此时()h x 在(),e +∞上单调递减；所以()()1f x f e e==极大又当()0,1x ∈时，()0h x <，当(),x e ∈+∞时，()0h x >，且当x →+∞时()0h x →所以，方程ln x a x =有两个不同的实数根，当且仅当10,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（ⅱ）由（ⅰ）知1m e n <<<得ln m am =，ln n an =（※）所以ln ln m n am an -=-，即ln ln m n a m n -=-（※※）由不等式1k k mn e +>恒成立，即1ln ln k m k n +<+恒成立，由（※）、（※※）得即()()ln ln 1m n k am kan a m kn m kn m n-+<+=+=+-恒成立亦即1ln 1m k m n k m n n++<⋅-恒成立设m t n =，()0,1t ∈时，得()ln 11t k t k t ++<-恒成立进而得()()11ln 0k t t t k+--<+恒成立（※※※）记函数()()()11ln k t G t t t k +-=-+，()0,1t ∈则()()()()()()()()2222221111t t k k k G t t t k t t k t t k --++'=-==+++，（0k >），当1k ≥时，()0G t '>，()G t 在()0,1t ∈上单调递增，所以()()10G t G <=恒成立，故1k ≥满足题意当01k <<时，若()2,1t k ∈时有()0G t '<，则()G t 在()2,1t k ∈上单调递减所以，当()2,1t k ∈时有()()10G t G >=，与题意（※※※）不符综上得正数k 的取值范围是[)1,+∞.。
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2018年安徽省淮北市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1．（5分）设复数Z满足（1+i）Z=i，则|Z|=（）A．B．C．D．22．（5分）已知A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={y|y=x2+1}，则A∩B=（）A．[﹣1，3]B．[﹣3，2]C．[2，3]D．[1，3]3．（5分）函数f（x）=+ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．4．（5分）《九章算术》是我国古代第一部数字专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，“更相减损术”便是《九章算术》中记录的一种求最大公约数的算法，按其算理流程有如图所示程序框图，若输入的a、b分别为96、42，则输出的i为（）A．4 B．5 C．6 D．75．（5分）如果实数x，y满足关系，又≥λ恒成立，则λ的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，3]C．[，+∞）D．（3，+∞）6．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．7．（5分）已知等比数列{a n}中，a5=3，a4a7=45，则的值为（）A．3 B．5 C．9 D．258．（5分）已知F是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，若点F关于双曲线的一条渐近线对称的点恰好落在双曲线的左支上，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．9．（5分）函数f（x）在定义域R内可导，若f（1+x）=f（3﹣x），且当x∈（﹣∞，2）时，（x﹣2）f（x）＜0，设a=f（0），b=f（），c=f（3），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a10．（5分）已知函数f（x）=asinx﹣2cosx的一条对称轴为x=﹣，且f（x1）•f（x2）=﹣16，则|x1+x2|的最小值为（）A．B．C． D．11．（5分）对于向量a，b，定义a×b为向量a，b的向量积，其运算结果为一个向量，且规定a×b的模|a×b|=|a||b|sinθ（其中θ为向量a与b的夹角），a ×b的方向与向量a，b的方向都垂直，且使得a，b，a×b依次构成右手系．如图，在平行六面体ABCD﹣EFGH中，∠EAB=∠EAD=∠BAD=60°，AB=AD=AE=2，则=（）A．4 B．8 C．D．12．（5分）若存在实数x使得关于x的不等式（e x﹣a）2+x2﹣2ax+a2≤成立，则实数a的取值范围是（）A．{} B．{} C．[，+∞）D．[，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）已知等差数列{a n}前15项的和S15=30，则a2+a9+a13=．14．（5分）若的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为．15．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，其导函数f′（x）的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R（x1≠x2），下列结论正确的序号是①f（x）＜0恒成立；②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0；③（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0；④f（）＞f（）⑤f（）＜f（）16．（5分）在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，M是直线DE上的动点．若△ABC的面积为2，则•+2的最小值为．三、解答题17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB=（3c ﹣b）cosA．（1）求cosA的值；（2）若b=3，点M在线段BC上，=2，||=3，求△ABC的面积．18．（12分）在如图所示的圆台中，AB，CD分别是下底面圆O，上底面圆O′的直径，满足AB⊥CD，又DE为圆台的一条母线，且与底面ABE成角．（Ⅰ）若面BCD与面ABE的交线为l，证明：l∥面CDE；（Ⅱ）若AB=2CD，求平面BCD的与平面ABE所成锐二面角的余弦值．19．（12分）如图为2017届淮北师范大学数学与应用数学专业N名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知80～90分数段的学员数为21人．（Ⅰ）求该专业毕业总人数N和90～95分数段内的人数n；（Ⅱ）现欲将90～95分数段内的n名毕业生随机的分配往A、B、C三所学校，若每所学校至少分配两名毕业生，且甲乙两人必须进同一所学校，共有多少种不同的分配方法？（Ⅲ）若90～95分数段内的这n名毕业生中恰有两女生，设随机变量ξ表示n 名毕业生中分配往乙学校的两名学生中女生的人数，求ξ的分布列和数学期望．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），其左右焦点为F1，F2，过F1直线l：x+my+=0与椭圆C交于A，B两点，且椭圆离心率e=；（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若椭圆存在点M，使得2=+，求直线l的方程．21．（12分）设函数f（x）=x2﹣alnx，其中a∈R．（1）若函数f（x）在[，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）设正实数m1，m2满足m1+m2=1，当a＞0时，求证：对任意的两个正实数x1，x2，总有f（m1x1+m2x2）≤m1f（x1）+m2f（x2）成立；（3）当a=2时，若正实数x1，x2，x3满足x1+x2+x3=3，求f（x1）+f（x2）+f（x3）的最小值．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2sin（θ﹣），直线l的参数方程为t为参数，直线l和圆C交于A，B两点．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设l上一定点M（0，1），求|MA|•|MB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣m|﹣3，且f（x）≥0的解集为（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若∃x∈R，使得f（x）≥t+|2﹣x|成立，求实数t的取值范围．2018年安徽省淮北市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1．（5分）设复数Z满足（1+i）Z=i，则|Z|=（）A．B．C．D．2【解答】解：由（1+i）Z=i，得Z=，∴|Z|=．故选：A．2．（5分）已知A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={y|y=x2+1}，则A∩B=（）A．[﹣1，3]B．[﹣3，2]C．[2，3]D．[1，3]【解答】解：A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，B={y|y=x2+1}={y|y≥1}，则A∩B={x|1≤x≤3}=[1，3]，故选：D3．（5分）函数f（x）=+ln|x|的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：当x＜0时，函数f（x）=，由函数y=、y=ln（﹣x）递减知函数f（x）=递减，排除CD；当x＞0时，函数f（x）=，此时，f（1）==1，而选项A的最小值为2，故可排除A，只有B正确，故选：B．4．（5分）《九章算术》是我国古代第一部数字专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右，它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有效的应用数学，“更相减损术”便是《九章算术》中记录的一种求最大公约数的算法，按其算理流程有如图所示程序框图，若输入的a、b分别为96、42，则输出的i为（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：由程序框图可知：当a=96，b=42时，满足a＞b，则a=96﹣42=54，i=1由a＞b，则a=54﹣42=12，i=2由a＜b，则b=42﹣12=30，i=3由a＜b，则b=30﹣12=18，i=4由a＜b，则b=18﹣12=6，i=5由a＞b，则a=12﹣6=6，i=6由a=b=6，输出i=6．故选：C．5．（5分）如果实数x，y满足关系，又≥λ恒成立，则λ的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，3]C．[，+∞）D．（3，+∞）【解答】解：设z==2+，z的几何意义是区域内的点到D（3，1）的斜率加2，作出实数x，y满足关系对应的平面区域如图：由图形，可得C（，），由图象可知，直线CD的斜率最小值为=，∴z的最小值为，∴λ的取值范围是（﹣∞，]．故选：A．6．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图得该几何体是从四棱锥P﹣ABCD中挖去一个半圆锥，四棱锥的底面是以2为边长的正方形、高是2，圆锥的底面半径是1、高是2，∴所求的体积V==，故选：B．7．（5分）已知等比数列{a n}中，a5=3，a4a7=45，则的值为（）A．3 B．5 C．9 D．25【解答】解：根据题意，等比数列{a n}中，a5=3，a4a7=45，则有a6==15，则q==5，则==q2=25；故选：D．8．（5分）已知F是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，若点F关于双曲线的一条渐近线对称的点恰好落在双曲线的左支上，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，对称点为F'（m，n），即有=﹣，且•n=•，解得m=，n=﹣，将F'（，﹣），即（，﹣），代入双曲线的方程可得﹣=1，化简可得﹣4=1，即有e2=5，解得e=．故选：C．9．（5分）函数f（x）在定义域R内可导，若f（1+x）=f（3﹣x），且当x∈（﹣∞，2）时，（x﹣2）f（x）＜0，设a=f（0），b=f（），c=f（3），则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．b＞c＞a【解答】解：∵f（1+x）=f（3﹣x），∴函数f（x）的图象关于直线x=2对称，∴f（3）=f（1）．当x∈（﹣∞，2）时，（x﹣2）f′（x）＜0，∴f′（x）＞0，即f（x）单调递增，∵0＜＜1，∴f（0）＜f（）＜f（2），即a＜b＜c，故选：D．10．（5分）已知函数f（x）=asinx﹣2cosx的一条对称轴为x=﹣，且f（x1）•f（x2）=﹣16，则|x1+x2|的最小值为（）A．B．C． D．【解答】解：f（x）=asinx﹣2cosx=sin（x+θ），由于函数f（x）的对称轴为：x=﹣，所以f（﹣）=﹣a﹣3，则|﹣a﹣3|=，解得：a=2；所以：f（x）=4sin（x﹣），由于：f（x1）•f（x2）=﹣16，所以函数f（x）必须取得最大值和最小值，所以：x1=2kπ+或x2=2kπ﹣，k∈Z；所以：|x1+x2|的最小值为．故选：C．11．（5分）对于向量a，b，定义a×b为向量a，b的向量积，其运算结果为一个向量，且规定a×b的模|a×b|=|a||b|sinθ（其中θ为向量a与b的夹角），a ×b的方向与向量a，b的方向都垂直，且使得a，b，a×b依次构成右手系．如图，在平行六面体ABCD﹣EFGH中，∠EAB=∠EAD=∠BAD=60°，AB=AD=AE=2，则=（）A．4 B．8 C．D．【解答】解：据向量积定义知，向量垂直平面ABCD，且方向向上，设与所成角为θ．∵∠EAB=∠EAD=∠BAD=60°，∴点E在底面ABCD上的射影在直线AC上．作EI⊥AC于I，则EI⊥面ABCD，∴θ+∠EAI=．过I作IJ⊥AD于J，连EJ，由三垂线逆定理可得EJ⊥AD．∵AE=2，∠EAD=60°，∴AJ=1，EJ=．又∵∠CAD=30°，IJ⊥AD，∴AI=．∵AE=2，EI⊥AC，∴cos∠EAI==．∴sinθ==cos∠EAI=，cosθ=．故=||||sin∠BAD||cosθ=8××=，故选D．12．（5分）若存在实数x使得关于x的不等式（e x﹣a）2+x2﹣2ax+a2≤成立，则实数a的取值范围是（）A．{} B．{} C．[，+∞）D．[，+∞）【解答】解：不等式（e x﹣a）2+x2﹣2ax+a2≤成立，即为（e x﹣a）2+（x﹣a）2≤，表示点（x，e x）与（a，a）的距离的平方不超过，即最大值为．由（a，a）在直线l：y=x上，设与直线l平行且与y=e x相切的直线的切点为（m，n），可得切线的斜率为e m=1，解得m=0，n=1，切点为（0，1），由切点到直线l的距离为直线l上的点与曲线y=e x的距离的最小值，可得（0﹣a）2+（1+a）2=，解得a=，则a的取值集合为{}．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．（5分）已知等差数列{a n}前15项的和S15=30，则a2+a9+a13=6．【解答】解：∵设等差数列的等差为d，{a n}前15项的和S15=30，∴=30，即a1+7d=2，则a2+a9+a13=（a1+d）+（a1+8d）+（a1+12d）=3（a1+7d）=6．故答案为：6．14．（5分）若的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为1120．【解答】解：由题意可知，2n=256，解得n=8．∴=，其展开式的通项=，令8﹣2r=0，得r=4．∴该展开式中常数项的值为．故答案为：1120．15．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，其导函数f′（x）的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R（x1≠x2），下列结论正确的序号是②⑤①f（x）＜0恒成立；②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0；③（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0；④f（）＞f（）⑤f（）＜f（）【解答】解：由导函数的图象可知，导函数f′（x）的图象在x轴下方，即f′（x）＜0，故原函数为减函数，并且是，递减的速度是先快后慢．所以f（x）的图象如图所示：f（x）＜0恒成立，没有依据，故①不正确；②表示（x1﹣x2）与[f（x1）﹣f（x2）]异号，即f（x）为减函数．故②正确；③表示（x1﹣x2）与[f（x1）﹣f（x2）]同号，即f（x）为增函数．故③不正确，④⑤左边边的式子意义为x1，x2中点对应的函数值，即图中点B的纵坐标值，右边式子代表的是函数值得平均值，即图中点A的纵坐标值，显然有左边小于右边，故④不正确，⑤正确，综上，正确的结论为②⑤．故答案为：②⑤．16．（5分）在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，M是直线DE上的动点．若△ABC的面积为2，则•+2的最小值为2．【解答】解：∵D、E是AB、AC的中点，∴M到BC的距离等于点A到BC的距离的一半，∴S△ABC =2S△MBC，而△ABC的面积2，则△MBC的面积S△MBC=1，S△MBC=丨MB丨•丨MC丨sin∠BMC=1，∴丨MB丨•丨MC丨=．∴•=丨MB丨•丨MC丨cos∠BMC=．由余弦定理，丨BC丨2=丨BM丨2+丨CM丨2﹣2丨BM丨•丨CM丨cos∠BMC，显然，BM、CM都是正数，∴丨BM丨2+丨CM丨2≥2丨BM丨•丨CM丨，∴丨BC丨2=丨BM丨2+丨CM丨2﹣2丨BM丨×丨CM丨cos∠BMC=2×﹣2×．∴•+2≥+2×﹣2×=2•，方法一：令y=，则y′=，令y′=0，则cos∠BMC=，此时函数在（0，）上单调减，在（，1）上单调增，∴cos∠BMC=时，取得最小值为，•+2的最小值为2；方法二：令y=，则ysin∠BMC+cos∠BMC=2，则sin（∠BMC+α）=2，tanα=，则sin（∠BMC+α）=≤1，解得：y≥，则•+2的最小值为2；故答案为：2．三、解答题17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB=（3c ﹣b）cosA．（1）求cosA的值；（2）若b=3，点M在线段BC上，=2，||=3，求△ABC的面积．【解答】（本题满分为12分）解：（1）因为acosB=（3c﹣b）cosA，由正弦定理得：sinAcosB=（3sinC﹣sinB）cosA，即sinAcosB+sinBcosA=3sinCcosA，可得：sinC=3sinCcosA，在△ABC中，sinC≠0，所以．…（5分）（2）∵=2，两边平方得：=4，由b=3，||=3，，可得：，解得：c=7或c=﹣9（舍），所以△ABC的面积．…（12分）18．（12分）在如图所示的圆台中，AB，CD分别是下底面圆O，上底面圆O′的直径，满足AB⊥CD，又DE为圆台的一条母线，且与底面ABE成角．（Ⅰ）若面BCD与面ABE的交线为l，证明：l∥面CDE；（Ⅱ）若AB=2CD，求平面BCD的与平面ABE所成锐二面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：如图，在圆台OO′中，∵CD⊂圆O′，∴CD∥平面ABE，∵面BCD∩面ABE=l，∴l∥CD，∵CD⊂平面CDE，l⊄平面CDE，∴l∥面CDE；（Ⅱ）解：连接OO′、BO′、OE，则CD∥OE，由AB⊥CD，得AB⊥OE，又O′B在底面的射影为OB，由三垂线定理知：O′B⊥OE，∴O′B⊥CD，∴∠O′BO就是求面BCD与底面ABE所成二面角的平面角．设AB=4，由母线与底面成角，可得OE=2O′D=2，DE=2，OB=2，OO′=，∴cos∠O′BO=．19．（12分）如图为2017届淮北师范大学数学与应用数学专业N名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知80～90分数段的学员数为21人．（Ⅰ）求该专业毕业总人数N和90～95分数段内的人数n；（Ⅱ）现欲将90～95分数段内的n名毕业生随机的分配往A、B、C三所学校，若每所学校至少分配两名毕业生，且甲乙两人必须进同一所学校，共有多少种不同的分配方法？（Ⅲ）若90～95分数段内的这n名毕业生中恰有两女生，设随机变量ξ表示n 名毕业生中分配往乙学校的两名学生中女生的人数，求ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）80～90分数段的毕业生的频率为：p1=（0.04+0.03）×5=0.35，此分数段的学员总数为21人，∴毕业生的总人数N为N==60，90～95分数段内的人数频率为：p2=1﹣（0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01）×5=0.1，∴90～95分数段内的人数n=60×0.1=6．（Ⅱ）将90～95分数段内的6名毕业生随机的分配往A、B、C三所学校，每所学校至少分配两名毕业生，且甲乙两人必须进同一所学校，共有：=18不同的分配方法．（Ⅲ）ξ所有可能取值为0，1，2，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，所以ξ的分布列为：ξ012P所以随机变量ξ数学期望为E（ξ）==．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），其左右焦点为F1，F2，过F1直线l：x+my+=0与椭圆C交于A，B两点，且椭圆离心率e=；（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若椭圆存在点M，使得2=+，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）过F1直线l：x+my+=0，令y=0，解得x=﹣，∴c=，∵e==，∴a=2，∴b2=a2﹣c2=4﹣3=1，∴椭圆C的方程为+y2=1；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），由2=+，得：x3=x1+x2，y3=y1+y2代入椭圆方程可得：（x1+x2）2+（y1+y2）2﹣1=0，∴（x12+y12）+（x22+y22）+（x1x2+4y1y2）=1，∴x1x2+4y1y2=0联立方程消x可得（m2+4）y2+2my﹣1=0，∴y1+y2=，y1y2=，∴x1x2+4y1y2=（my1+）（my2+）+4y1y2=（m2+4）4y1y2+m（y1+y2）+3=0，即m2=2，解得m=±所求直线l的方程：x±y+=0．21．（12分）设函数f（x）=x2﹣alnx，其中a∈R．（1）若函数f（x）在[，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）设正实数m1，m2满足m1+m2=1，当a＞0时，求证：对任意的两个正实数x1，x2，总有f（m1x1+m2x2）≤m1f（x1）+m2f（x2）成立；（3）当a=2时，若正实数x1，x2，x3满足x1+x2+x3=3，求f（x1）+f（x2）+f（x3）的最小值．【解答】解：（1）函数f（x）=x2﹣alnx，导数为f′（x）=x﹣，函数f（x）在[，+∞）上单调递增，可得f′（x）=x﹣≥0在[，+∞）恒成立，即为a≤x2的最小值，由x2在[，+∞）的最小值为，可得a≤；（2）证明：由f（x）=x2﹣alnx，a＞0，可得f′（x）=x﹣，f″（x）=1+＞0，即有f（x）为凹函数，由m1+m2=1，可得对任意的两个正实数x1，x2，总有f（m1x1+m2x2）≤m1f（x1）+m2f（x2）成立；（3）由f（x）=x2﹣2lnx，可得导数为f′（x）=x﹣，f″（x）=1+＞0，则f（x）为凹函数，有f（）≤[f（x1）+f（x2）+f（x3）]，即为f（x1）+f（x2）+f（x3）≥3f（）=3f（1）=3×=，则f（x1）+f（x2）+f（x3）的最小值为．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=2sin（θ﹣），直线l的参数方程为t为参数，直线l和圆C交于A，B两点．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设l上一定点M（0，1），求|MA|•|MB|的值．【解答】（本小题满分10分）解：（Ⅰ）∵圆C的极坐标方程为：ρ=2sin（θ﹣）=2（sinθcos﹣cosθsin）=2sinθ﹣2cosθ，∴ρ2=2ρsinθ﹣2ρcosθ，∴圆C的直角坐标方程x2+y2=2y﹣2x，即（x+1）2+（y﹣1）2=2．（Ⅱ）直线l的参数方程为，t为参数，直线l的参数方程可化为，t′为参数，代入（x+1）2+（y﹣1）2=2，得（﹣+1）2+（）2=2，化简得：t'2﹣﹣1=0，∴=﹣1，∴|MA|•|MB|=||=1．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣m|﹣3，且f（x）≥0的解集为（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若∃x∈R，使得f（x）≥t+|2﹣x|成立，求实数t的取值范围．【解答】（本小题满分10分）选修4﹣5：不等式选讲解：（Ⅰ）∵函数f（x）=|x﹣m|﹣3，且f（x）≥0的解集为（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）．即|x﹣m|﹣3≥0的解集为（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）．∴m+3=4，m﹣3=﹣2，解得m=1．（Ⅱ）∵∃x∈R，使得f（x）≥t+|2﹣x|成立，即|x﹣1|﹣3≥t+|2﹣x|，∴∃x∈R，|x﹣1|﹣|2﹣x|≥t+3，令g（t）=|x﹣1|﹣|x﹣2|=，∴∃x∈R，|x﹣1|﹣|2﹣x|≥t+3成立，∴t+3≤g（x）max=1，∴t≤﹣2．。