高中数学复习教案：圆的方程

第三节圆的方程

[考纲传真] 1.掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．

1．圆的定义及方程

定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)

标准方程(x－a)2＋(y－b)2

＝r2(r＞0)

圆心(a,b),半径r

一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0,

(D2＋E2－4F＞0)

圆心

⎝

⎛

⎭

⎪

⎫

－

D

2，－

E

2,

半径

1

2D

2＋E2－4F

点M(x0,y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：

(1)若M(x0,y0)在圆外,则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.

(2)若M(x0,y0)在圆上,则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.

(3)若M(x0,y0)在圆内,则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.

[常用结论]

1．圆的三个性质

(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；

(2)圆心在任一弦的中垂线上；

(3)两圆相切时,切点与两圆心三点共线．

2．两个圆系方程

具有某些共同性质的圆的集合称为圆系,它们的方程叫圆系方程

(1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0),其中a,b为定值,r是参数；

(2)半径相等的圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0),其中r为定值,a,b是参数．

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．()

(2)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a,b),半径为t的一个圆．

()

(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0,B＝0,D2＋E2－4AF>0. ()

(4)若点M(x0,y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外,则x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0. ()

[答案](1)√(2)×(3)√(4)√

2．(教材改编)已知点A(1,－1),B(－1,1),则以线段AB为直径的圆的方程是()

A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝ 2

C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4

A[AB的中点坐标为(0,0),|AB|＝[1－(－1)]2＋(－1－1)2＝22,所以圆的方程为x2＋y2＝2.]

3．点(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是()

A．点在圆外B．点在圆内

C．点在圆上D．不能确定

A[将点(m2,5)代入圆方程,得m4＋25>24.故点在圆外,故选A.]

4．若x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0表示圆,则实数k的取值范围是()

A．R B．(－∞,1)

C．(－∞,1] D．[1,＋∞)

B[由方程x2＋y2－4x＋2y＋5k＝0可得(x－2)2＋(y＋1)2＝5－5k,此方程表示圆,则5－5k>0,解得k<1.故实数k的取值范围是(－∞,1)．故选B.]

5．若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x－3y＝0和x轴都相切,则该圆的标准方程是()

A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1

C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1

A[由于圆心在第一象限且与x轴相切,可设圆心为(a,1)(a>0),又圆与直线4x－3y＝0相

切,∴|4a－3|

5＝1,解得a＝2或a＝－

1

2(舍去)．

∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.故选A.]

求圆的方程

1. 过点A (1,－1),B (－1,1),且圆心在x ＋y －2＝0上的圆的方程是( )

A ．(x －3)2＋(y ＋1)2＝4

B ．(x ＋3)2＋(y －1)2＝4

C ．(x －1)2＋(y －1)2＝4

D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4

C [AB 的中垂线方程为y ＝x ,所以由y ＝x ,x ＋y －2＝0的交点得圆心(1,1),半径为2,因此圆的方程是(x －1)2＋(y －1)2＝4,故选C.]

2．已知圆心在直线y ＝－4x 上,且圆与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3,－2),则该圆的方程是________．

(x －1)2＋(y ＋4)2＝8 [过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3,与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1,－4)．所以半径r ＝(3－1)2＋(－2＋4)2＝22,故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.]

3．(2018·天津高考)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为________． x 2＋y 2－2x ＝0 [法一：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.

∵圆经过点(0,0),(1,1),(2,0),∴⎩⎨⎧

F ＝0，

2＋D ＋E ＋F ＝0，

4＋2D ＋F ＝0，

解得⎩⎨⎧

D ＝－2，

E ＝0，

F ＝0.

∴圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0.

法二：画出示意图如图所示,则△OAB 为等腰直角三角形,故所求圆的圆心为(1,0),半径为1,所以所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1,即x 2＋y 2－2x ＝0.]

[规律方法] 求圆的方程的方法

(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径,写出方程. (2)待定系数法

①若已知条件与圆心(a ,b )和半径r 有关,则设圆的标准方程,求出a ,b ,r 的值； ②选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D ,E ,F 的方程组,进而求出D ,E ,F 的值.

与圆有关的最值问题

►考法1 斜率型最值问题