图形的认识图形与证明(一)

【本讲教育信息】

一. 教案内容： 图形的认识、图形与证明（一） 几何初步、三角形

二. 教案目标： 通过对几何初步、三角形基础知识的复习，解决中考中常见的问题。

三. 重点、难点： 熟练地解决与几何初步、三角形相关的问题

四. 课堂教案： 中考导航一

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⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧质互余、互补的意义、性角的比较与度量角的和、差及角平分线射线平行线

相交线

直线公理直线线段的比较与度量线段公理与中点线段的和、差、倍、分

线段几何初步知识

中考课程标准要求一

中考导航

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⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧作图

性质判定

概念全等直角三角形钝角三角形锐角三角形按角等腰三角形

不等边三角形按边分类三角形

中考课程标准要求

【典型例题】

例1. 如图能折叠成的长方体是（ ）

（2006年大连市）

答案：D

例2. 如图，AC ＝BC ，AE 平分∠CAD ，且∠C ＝40°，则∠DAE ＝_________。（2005年邵阳市）

答案：55°

例3. 如图所示，l 是四边形ABCD 的对称轴，如果AD//BC ，则有以下结论：①AB//CD ②AB ＝BC ③AB ⊥BC ④AO ＝CO 那么其中正确的结论序号是________________。

（2006年烟台市）

答案：①②④

例4. 如图1所示，△ABC 为等边三角形，面积为S 。D 1、E 1、F 1分别是△ABC 三边上的

点，且AB 2

1

CF BE AD 111=

==，连结11E D 、11F E 、11D F ，可得△111F E D 是等边三角形，此时△11F AD 的面积S 4

1S 1=，S 41S F E D '

1111=∆的面积。

图1

（1）当D 2、E 2、F 2分别是等边△ABC 三边上的点，且AB

3

1

CF BE AD 222===时（如图2所示）

图2

①求证：△222F E D 是等边三角形；

②若用S 表示22F AD ∆的面积2S ，则2S ＝__________； 若用S 表示△222F E D 的面积'2S ，则'2S ＝___________。 （2）按照上述思路探索下去，并填空：

当n n n F E D 、、分别是等边△ABC 三边上的点，且AB 1

n 1

CF BE AD n n n +===时（n 为正整数），△n n n F E D 是__________三角形；

若用S 表示△n n F AD 的面积n S ，则n S ＝_________________； 若用S 表示△n n n F E D 的面积'n S ，则'n S ＝________________。

（2006年徐州市）

解：（1）①因为△ABC 为等边三角形

所以AB ＝BC ＝AC ，∠A ＝∠B ＝60°

由已知得AC 3

1CF BC 31BE AB 31AD 222===，， 所以AB 3

2BD AC 32AF 22==

， 所以2222BD AF BE AD ==， 所以2222D BE F AD ∆≅∆ 所以2222D F E D =

同理可证2222E CF F AD ∆≅∆ 所以2222F E D F = 所以222222D F F E E D == 所以△222F E D 为等边三角形

②S 3

1S S 92S '22==

； （2）等边；S )

1n (1n n S S )1n (n S 2

2'

n 2n ++-=+=；

例5. 已知线段AC ＝8，BD ＝6。 （1）已知线段AC 垂直于线段BD 。设图1、图2和图3中的四边形ABCD 的面积分别为1S ，32S S 和，则1S ＝_________，2S ＝____________，3S ＝___________；

（2）如图4，对于线段AC 与线段BD 垂直相交（垂足O 不与点A ，C ，B ，D 重合）的任意情形，请你就四边形ABCD 面积的大小提出猜想，并证明你的猜想；

（3）当线段BD 与AC （或CA ）的延长线垂直相交时，猜想顺次连接点A ，B ，C ，D ，A 所围成的封闭图形的面积是多少？

（2005年河北省）

解：（1）24，24，24； （2）对于线段AC 与线段BD 垂直相交（垂足O 不与点A ，C ，B ，D 重合）的任意情形，四边形ABCD 的面积为定值24。 证明如下： ∵AC ⊥BD ， ∴OB AC 21S ABC ⋅=

∆，OD AC 2

1

S DAC ⋅=∆ 24DB AC 2

1

)OD OB (AC 21OD

AC 2

1

OB AC 21S ABCD =⋅=+⋅=⋅+⋅=∴四边形

（3）顺次连接点A ，B ，C ，D ，A 所围成的封闭图形的面积仍为24。

【模拟试卷】（答题时间：60分钟）

一、选择题

1. 水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的前面，则这个正方体的后面是（）

A. 0

B. 6

C. 快

D. 乐

2. 若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有（）

A. 2对

B. 3对

C. 4对

D. 6对

3. 锐角三角形的三个内角是∠A、∠B、∠C，如果∠α＝∠A＋∠B，∠β＝∠B＋∠C，∠γ＝∠C＋∠A，那么∠α、∠β、γ∠这三个角中（）

A. 没有锐角

B. 有1个锐角

C. 有2个锐角

D. 有3个锐角

4. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则说明∠A'O'B'＝∠AOB的依据是（）

A. （S.S.S.）

B. （S.A.S.）

C. （A.S.A.）

D.

（A.A.S.）

5. 如图所示，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成60°的角，在直线l上取一点P，使得∠APB＝30°，则满足条件的点P的个数是（）

A. 3个

B. 2个

C. 1个

D. 不存在