图形的认识(一)

D
A
E C B
取DE的中点F，连接AF， ∵AD∥BC,AC⊥BC于C , ∴在R t △ADE 中，FA=DF=EF , D ∵DE=2AB , ∴DF=AF , AF=AB , ∴∠ADE=∠DAF , ∠AFB=∠ABD , ∴∠AFB=∠ADE+∠DAF=2∠ADE, 即∠ABD=2∠ADE , 又∵AD∥BC , ∴∠ADE=∠DBC , ∠ABC=∠ABD+∠DBC , ∴∠DBC=∠ABC .
E A F
B G
O D C H
解说：
E
A
连接AC、BD ,交于点O,
过点A、 C 作BD的平行线， 过点B、D作AC的平行线， 分别交于点E、F、G、H ， 得到了四个平行四边形.
B G C O
F
D H
由平行四边形的对角线将其分成
了两个全等的三角形，可知四边 形ABCD的面积扩大了1倍.
对角线是把四边形转化为三角 形的桥梁和纽带，是研究四边形的 常见的辅助线，它既可以把四边形
中考数学专题探究
第四讲 主 讲 单 位 图形的认识（一） 顾燕飞 江苏省泰州中学附属初级中学
1.（08，南通）如图，DE∥BC交AB、AC于D、E两点， CF为BC的延长线，若∠ADE＝50°，∠ACF＝110°， 则∠A＝ 度. A
D
E
B
（第1题）
C
F
2．在题1的前提下，若增加一个 条件：BE平分∠ABC, 求∠ABE，∠DEB,∠BEC等 D
，
分析：
A、B 用角去判断，关键是确定最大角 ；
C、D 借助勾股定理的逆定理判断 ,关键
是确定最大边 .
判定直角三角形的方法是：
（1）当已知一个三角形的两内角度数或
三角度数比时，利用定义判定.
（2）当已知三边长或三边长的比时，利 用勾股定理的逆定理来判定.
勾股定理在图形中的运用
A
在三角形中作高， 求边长或面积.
E
A D 3 M T C 1 2
F
在寻求三角形全等的条件时：
已知两边 已知一边和一角
边为角的对边 ①找夹角(SAS) ②找直角(HL) ③找另一边 (SSS) 找任一角(AAS) 边为角的邻边 ①找夹角的邻 边(SAS) ②找夹角边的 另一角(ASA)③ 找边的对角 (AAS) ①找夹边(ASA) ②找任一边 (AAS)
A
D
B
C
A E
F
D
第一种思路： 分别过点E 作EF⊥AD ,EG⊥BC ,
又因为等腰梯形ABCD的对角线互相垂直，
1 1 C EF= AD, EG= BC, 2 2 1 从而FG=EG+EF= (AD+BC), 2
所以在等腰直角三角形△AED 和△BEC中，
B G
即梯形的高等于该梯形中位线的长。
A
A
E
B
（第1题）
C
F
解这类题，由于考查的知 识点比较多，有：平行线，补 角，三角形的内角和，角平分 线，外角和定理等等；在平时 的学习时，要在“准”字上多 下功夫，运用“比较”的思想 方法，弄清它们的联系和区别.
3．（08，宿迁）已知等腰三角形的两边 长分别是3和7，则它的周长为 cm.
4．如图，点P是等边△ABC内的一点，连接PA, PB, PC, 以BP为边作∠PBQ=60° ,且 BQ=BP ，连接CQ.
B
C F
E
M
H
A
O
D
G
分析：这是一道矩形在圆中的运用，由图形观察三条 线段比较零散，通过平移不容易解决问题，发现三个四 边形都是矩形，想到矩形的性质，对角线相等。 AC=OB ,DF=OE ,MG=OH , 又因为OB ,OE ,OH都是圆的半径， 所以AC=DF=MG .
12．如图，4个小动物分别站在正方形场地的4个顶点， 它们同时出发并以相同的速度沿场地边缘逆时针方向跑动， 当它们同时停止时，依次连接4个动物所在地点，围成的图
形是什么形状，为什么？
E A D H
F B G C
掌握特殊平行四边形这部分内容， 首先要搞清平行四边形和矩形、菱形、 正方形之间的包含关系，注重 把握特 殊平行四边形与一般平行四边形的异、 同点，才能准确地、灵活地运用，考查 多以矩形为主，也可与相似、圆的知识
综合运用．
13．如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC ，BD 互相垂 直，该梯形的高与中位线有怎样的大小关系？为什么？
A E F D
A
F E
D
J
H
B G
B
C
A
D
G
C
B
C
E
这三种思路提示我们：梯形问题往往 通过添加辅助线转化为平行四边形和三角 形问题来解决。
F E
D
第二种思路：
J H
分别取AD 、AB 、BC、 CD 各边的中点F 、J 、G、 H ，
B G
连接FJ 、 JG、 GH、 HF ，
C
利用三角形中位线定理， 可证得四边形FJGH是个正方形，EG=JH . 而 FG 是梯形的高，JH 是梯形的中位线， 即 梯形的高等于该梯形的中位线。
第三种思路：
已知两角
证明三角形全等，倍长中线法，截长补短法， 分解图形法等是比较常见的方法。
9. 张大爷家承包了村里的鱼塘，今年获得了大丰收，他想把鱼塘 的面积扩大１倍，对此，村长表示大力支持，同时又从地处旅 游景区考虑提出两点建议：（１）原来鱼塘４个角的４棵树龄 达３００多年的老槐树不要移动.（２）为了便于景点的美化， 新鱼塘最好扩成平行四边形.张大爷在孙子小明的帮助下，设计 了如图的扩建方案，你能对这一方案进行解说吗？
过点D作 DE∥AC 交BC的延长线于点E. 可得四边形ACED是
平行四边形，又由于AC⊥DB ,可得△DBE是等腰直角三角形， 此时BE上的高就等于BE的一半，也就等于上底与下底和的一半， 又因为梯形的中位线等于梯形上底与下底和的一半，所以该梯形 的高就等于它的中位线的长。
A D
B
C
E
回顾这三种思路
B
D
C
勾股定理在图形中的运用
A
B
在梯形中从上底两端 点作下底的高，求边长或 面积 .
D
E
F
C
勾股定理在图形中的运用
D
A
O B
C
在菱形中两对角线互 相垂直，利用勾股定理求 对角线的长或面积 .
勾股定理在图形中的运用
O A C B D
源自文库
在圆中有重要的垂径 定理.利用勾股定理求半径、 弦心距或半弦长.
(1) 观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你 的结论.
（2）若PA:PB:PC=3:4:5,连接PQ，试判断△PQC的形 状，并说明理由. A
分析：（1）把△ABP绕点B 顺时针旋转60°即可得到 △CBQ，利用等边三角形的 性质证△ABP≌△CBQ，得 到AP=CQ.
P
B Q
C
分析：（2）连接PQ，则△PBQ是 等边三角形，PQ=PB, PA=CQ， 故CQ:PQ:PC=PA:PB:PC=3:4:5， 所以△PQC是直角三角形.
转化为三角形，又可以充分体现四
边形的所有特征.
10.（07 ,牡丹江）已知矩形ABCD中（AD>AB），EF 经过 对角线的交点O，且分别交AD、BC于E 、F ，请你添加一 EF⊥BD ，使四边形EBFD是菱形. 个条 件：
A E D
O
B
F
C
11．如图，在半圆O中，四边形OABC ,ODEF ,OGHM , 都是矩形，试说明AC ，DF , MG 三条线段的大小关系。
格中的直角三角形互不全等. C
A B
分析:此题的答案可以有很多种，关键是 抓住有一直角这个特征，可以根据勾股定理的
逆定理“有两边的平方和等于第三边的平方，则
三角形为直角三角形”构造出直角三角形.
7. 如图，已知AD∥BC,AC⊥BC于C,BD交AC于E，DE=2AB，
1 求证：∠DBC= ∠ABC. 3
A F E C B
8．已知：如图设AT是△ABC的角平分线，M是BC中点， ME∥AT交AB、AC或其延长线于点 D、E ， 求证：BD=CE .
E A D
B
M
T
C
证明：延长EM到点F,使 FM=EM ， 连接BF, 得∠BMF=∠CME ∵ M是BC中点 ∴ BM=MC ∴ △EMC≌△FMB 可得∠F=∠E BF=CE B ∵ AT是△ABC的角平分线， ∴ ∠1=∠2 ∵ ME∥AT ∴ ∠1=∠3, ∠2=∠E , ∴ ∠3=∠F ∴ BD=BF 又 △EMC≌△FMB 可得BF=CE ∴ BD=CE .
B Q P A
C
5．在下列说法中错误的是（
）
A．在△ABC中，∠C=∠A－∠B, 则 △ABC 为直角三角形.
B．在△ABC中，若∠A :∠B :∠C = 5 : 2 : 3， 则△ABC为直角三角形.
3 4 C．在△ABC中，若 a c, b c 5 5
则△ABC为直角三角形.
D．在△ABC中，若a : b : c =2 : 3 : 4 ， 则△ABC为直角三角形.
勾股定理还可以和网格或平面直角坐标系联系起来 .
6．如图，正方形网格中，小格的顶点叫做格点，小华按下
列要求作图：①在正方形网格记得三条不同的实线上各
取一个格点，是其中任意两点不在同一实线上；②连接 三个格点，使之构成直角三角形，小华在下面的正方形 网格中作出了R t△ ABC。请你按照同样的要求，在另外 两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网