结构力学第8章

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第8章 静定结构的位移计算 矩阵位移法 第四章
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对于每个结点位移分量数相同的结构，原始刚度矩 阵的阶数为结构的总结点数乘以结点位移分量的数目， 例如，每个结点位移分量数为3的平面刚架，结构原始 刚度矩阵的阶数为3n×3n 。
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对于支座位移等于给定值时，采用“乘大数法”。 设结点位移向量中第 r个位移等于d0，在矩阵K与向量P中， ， 主对角元素krr 改为Gkrr，将Pr改为d0Gkrr，其中G为一 大数通常取108～1010 。
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2. 先处理法
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(1) 集成。将单元刚度矩阵先按边界条件进行处理 , 然后按照单元连接结点的总位移编号将单元刚度矩阵的 元素在结构的刚度矩阵中对号入座，形成总刚后即可进 行求解。上述过程可通过引入定位向量来实现。在单元 定位向量中考虑边界条件，凡给定的结点位移分量，其 位移总码均编为零，与总码编为零相应的行、列元素在 集成总刚时被屏弃在外。 单元定位向量：按单元连接结点编号顺序由结点未 知位移编号组成的向量。
（2）边界条件处理
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对于刚性支座，用划行划列法处理刚性支座，即直 接划去原始刚度方程中与零位移对应的行和列。这样做 有时要改变原方程的排列顺序,会给编程带来麻烦。为了 不改变原方程的排列顺序，同时又要引入边界条件 ,采用 “主一副零”法。
设结点位移向量中第r个位移等于零, 即r=0 ，则在 结构的原始刚度矩阵k中的第r行第r列中主对角元素krr改 为1其余元素改为零。同时将结点结点荷载列向量 P中的 第r个分量也改为零。 即 k rr 1 k rs k sr 0 ( s r ) Pr 0
第8章 静定结构的位移计算 矩阵位移法 第四章 矩阵位移法的基本思路是:
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(1) 先把结构离散成单元，进行单元分析,建立单元杆 端力与杆端位移之间的关系； (2)在单元分析的基础上，考虑结构的几何条件和平衡 条件，将这些离散单元组合成原来的结构，进行整体分析， 建立结构的结点力与结点位移之间的关系，即结构的总刚 度方程，进而求解结构的结点位移和单元杆端力。 在从单元分析到整体分析的计算过程中，全部采用矩 阵运算。
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4. 总刚度方程和总刚度矩阵的性质与特点
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总刚度方程为整体结构的结点荷载与结点位移之间 的关系式，是结构应满足的平衡条件。无论何种结构， 其总刚度方程都具有统一的形式:
K=P 式中K为总刚度矩阵，为结构的结点位移列向量，P 为结点力列向量。 总刚度矩阵K反应了整个结构的刚度，是描述结点 力与结点位移之间关系的系数矩阵。其矩阵的性质与 特点：
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（2）边界条件处理。对于刚性支座，其位移总码均 编为零。对于支座位移等于给定值时，通常也将其位移 总码均编为零，将支座结点位移的影响转换成单元非结 点荷载,即，将支座结点位移转换成与该支座结点位移连 接的各单元在单元坐标系中的杆端位移，求出由此给定 的杆端位移产生的单元固端力，然后转换成等效结点荷 载。 3. 弹性支座的处理 通常用主对角元素叠加法处理弹性支座。如果结构 的第j个自由度是弹性约束，那么，把弹性支座的刚度系 数叠加到原始刚度矩阵主对角线的第j个元素上即可得到 经约束处理后的总刚度方程。
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( 1 )元素kij的物理意义为：当△j=1而其他位移分量为 零时产生在△i方向的杆端力。 （2）主子块Kii是由结点i的相关单元中与结点i相应的 主子块叠加而得。 （3）当i、j为相关结点时，副子块Kij就等于连接ij的杆 单元中相应的子块；若i、j不相关，则Kij为零子块。 （4）总刚度矩阵为对称矩阵。 （5）总刚度矩阵为稀疏带状矩阵。愈是大型结构， 带状分布规律就愈明显。 （6）总刚度矩阵主对角元素都大于零。通常是主对 角元素占优势的矩阵，因此，线形方程组的解有较好的稳 定性。
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二、总刚度矩阵的集成及约束处理
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集成总刚度矩阵最常用的方法是直接刚度法，即由单 元刚度矩阵直接集成结构刚度矩阵，又可分为后处理法和 先处理法。 1. 后处理法 (1) 集成。对所有单元不做边界条件处理，均采用自 由式的单元刚度矩阵，按单元的结点编号将单元刚度矩 阵分为四个子块（阶数相同），逐块地将结点所对应的 子块在结构的原始刚度矩阵中对号入座，形成结构的原 始刚度矩阵。由于结点位移分量中包括了非自由结点的 已知位移，原始刚度矩阵为奇异的，需进行边界条件处 理，才能求解自由结点位移。由于原始刚度矩阵的阶数 较高，所以后处理法的主要缺点是占用较多的计算机内 存。
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5. 总刚度矩阵的最大半带宽
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总刚度矩阵的上三角部分，从某行的主对角元素到该 行最末一个非零元素所具有的元素的个数称为该行的半带 宽。各行半带宽的最大值称为总刚度矩阵的最大半带宽。 对应于后处理法，结构内部不存在组合结点时最大半 带宽的计算公式为:d=(b+1)c ，其中b为单元两端结点编码 的最大差; c为结构中一个结点的位移分量数，显然，最 大半带宽与结构的结点编码的顺序有关。通常应使相邻结 点编码的最大差值为最小，即d 值为最小。
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