结构力学第八章 影 响 线
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结构力学影响线
例：
FP=1
A
Ca K D
1
a
B FRA 影响线
1 FRB影响线
MK影响线
§5-5 机动法作影响线
• 1、原理：虚位移原理。
•
特点：把作反力或内力影响线的静力问
题转化为作位移图的几何问题。
• 举例说明：
D
x A
FP=1
B
E
δP
δZ
Z
D
x A
FP=1
δP
-
Z ·δZ + FP ·δP=0
∵ FP =1
• 影响线的特点: • 横坐标 —— FP=1的位置。 • 纵坐标 —— 指定量值的大小。
A
B
CD
xFP1 d FP2
A
B
CD
FRA
FRB
x
FP=1
∑MB=0
FRA×l -FP×(l-x)=0 FRA l
FRA =(l-x)/l
1
y1 y2 FRA影响线
三、影响线的用途
•
(1)、当荷载位置确定时，求各量值。
2、分布荷载 (均布荷载)
• 微段上的荷
A
载 qdx 可视为分
布的小集中荷载。
E
• Z=∫ y ·q dx D
•= q∫ yDE dx
• = q A0
( 5-5 )
q qdx B
C
D x
E dx
b/l
+ -
a/l
dA
-
FQC影响线
A0 — 影响线在均布荷载范围内的面积。 （ 注意有正负面积之分）
3 、用合力求影响量值 F
• 由 δZ=α+β，若使
结构力学影响线讲解共50页文档
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
谢谢！
结构力学影响线讲解
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•ห้องสมุดไป่ตู้
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
影响线结构力学
MA =0
l
FRA
得
FRB
FRB
=
x l
+
1
(0 x l)
FRB 影响线
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第一节 移动荷载与影响线的概念 8
当一个指向不变的单位集中 荷载（通常竖直向下）沿结构移 动时，表示某一指定量值S变化规 律的图形，称该量值S的影响线。
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1
影响线及其应用
第一节 移动荷载与影响线的概念 2
◼荷载
恒载： 活载： 固定荷载
移动荷载
第一节 移动荷载与影响线的概念 3
•车辆荷载
第一节 移动荷载与影响线的概念 4
列车荷载
第一节 移动荷载与影响线的概念 5
• 结构的内力、位移随荷载作用位置而变化 • 求某截面内力最大值 Simax • 所有最大值中的绝对最大值
影响线（ Influence Lines），简记 I . L. 。
第一节 移动荷载与影响线的概念 6
简支梁反力FRA 影响线
x
FP=1
由平衡条件
MB =0
FRA 1+
l
FRA影响线
得
FRB
FRA
=
l
− l
x
(0 x l)
第一节 移动荷载与影响线的概念 7
简支梁反力 FR荷载与影响线的概念 9
• 绘制影响线的方法：静力法和机动法。 • 基线反映FP＝1的作用范围。 • 量值为正值的竖标画在基线的上方。 • 影响线中力无单位。
l
FRA
得
FRB
FRB
=
x l
+
1
(0 x l)
FRB 影响线
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第一节 移动荷载与影响线的概念 8
当一个指向不变的单位集中 荷载（通常竖直向下）沿结构移 动时，表示某一指定量值S变化规 律的图形，称该量值S的影响线。
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1
影响线及其应用
第一节 移动荷载与影响线的概念 2
◼荷载
恒载： 活载： 固定荷载
移动荷载
第一节 移动荷载与影响线的概念 3
•车辆荷载
第一节 移动荷载与影响线的概念 4
列车荷载
第一节 移动荷载与影响线的概念 5
• 结构的内力、位移随荷载作用位置而变化 • 求某截面内力最大值 Simax • 所有最大值中的绝对最大值
影响线（ Influence Lines），简记 I . L. 。
第一节 移动荷载与影响线的概念 6
简支梁反力FRA 影响线
x
FP=1
由平衡条件
MB =0
FRA 1+
l
FRA影响线
得
FRB
FRA
=
l
− l
x
(0 x l)
第一节 移动荷载与影响线的概念 7
简支梁反力 FR荷载与影响线的概念 9
• 绘制影响线的方法：静力法和机动法。 • 基线反映FP＝1的作用范围。 • 量值为正值的竖标画在基线的上方。 • 影响线中力无单位。
东南大学 结构力学第八章 影响线
FP=1
1. FRA的影响线
B
A
l
MB 0
lx FR A l
（0 x l）
FP=1 x
FR A
FR B
2. FRB的影响线
1
MA 0
FRA的影响线
FR B
x l
（0 x l）
1
FRB的影响线
简支梁的弯矩影响线（下侧受拉为正）
MC的影响线
FP=1
B
当FP=1在C截面以左时, 取C截面以右CB段研究
3. 在Z的影响线中，横坐标表示的是FP=1的作用位置； 纵坐标表示
的是影响系数 Z 的大小。 （比较：弯矩图、弯矩影响线）
• 计算方法：1.静力法
2.机动法（虚功原理）
弯矩图与弯矩影响线的比较
FP
A
a
C
D b
ab l F
FP=1
B
AB梁的弯矩图
A
a
C
D b
ab
l
总结:
B
MC的影响线
1.由于荷载的位置由不变到可变,从而使得Z由不变到可变。
3) 荷载位置：
•求影响线时,FP=1是移动荷载; •内力图中,荷载位置固定。
4) FQC左的值与FQC右的值.
b
1
l
FQC影响线
a
l
1
在FQC影响线图中，当FP=1作用于C截面时,竖标
竖标
a l
=FQC右，如下图所示。
b l
=FQC左；
FP=1
FP=1
A
B
A
B
C
C
FQC左
FQC右
习题 (1) 用静力法作图示结构A,B,D支座反力影响线
1. FRA的影响线
B
A
l
MB 0
lx FR A l
（0 x l）
FP=1 x
FR A
FR B
2. FRB的影响线
1
MA 0
FRA的影响线
FR B
x l
（0 x l）
1
FRB的影响线
简支梁的弯矩影响线（下侧受拉为正）
MC的影响线
FP=1
B
当FP=1在C截面以左时, 取C截面以右CB段研究
3. 在Z的影响线中，横坐标表示的是FP=1的作用位置； 纵坐标表示
的是影响系数 Z 的大小。 （比较：弯矩图、弯矩影响线）
• 计算方法：1.静力法
2.机动法（虚功原理）
弯矩图与弯矩影响线的比较
FP
A
a
C
D b
ab l F
FP=1
B
AB梁的弯矩图
A
a
C
D b
ab
l
总结:
B
MC的影响线
1.由于荷载的位置由不变到可变,从而使得Z由不变到可变。
3) 荷载位置：
•求影响线时,FP=1是移动荷载; •内力图中,荷载位置固定。
4) FQC左的值与FQC右的值.
b
1
l
FQC影响线
a
l
1
在FQC影响线图中，当FP=1作用于C截面时,竖标
竖标
a l
=FQC右，如下图所示。
b l
=FQC左；
FP=1
FP=1
A
B
A
B
C
C
FQC左
FQC右
习题 (1) 用静力法作图示结构A,B,D支座反力影响线
结构力学(第4版)教学课件8-1
EF
E F1 G
23
N2 N2
A C N1 N1 D
YA
力在G点右侧:
mF 0
B
YB N1 YA
A C 1D aa a
1
I.L.YA
力在F点左侧: mF 0 N1 2YB 1
2.N2影响线
力在G点右侧: FY 0 N 2 2YA 2
力在F点左侧: FY 0 N 2 2YB 1
a/l 1
练习:作YA , MA , MK , QK
影响线.
P=1 A l/2 K l/2
第8章 移动荷载作用下的结构分析
练习:作YA , MA , MK , QK MA x
P=1 x
影响线.
A l/2
K
l/2
解: mA 0 MA x
YA
Fy 0 YA 1
xl/2
MK
P=1
MA影响线
l
FP=1
C
K
A
D B
由刚才的分析可见，结点传力情形的主梁影响线 是每节间为直线。则绘制思路可考虑首先确定各 结点的影响线数值，按比例画上竖标，然后每节 间以竖标顶点连直线，所得图形即主梁影响线。
第8章 移动荷载作用下的结构分析
例题：绘制移动荷载作用下支座A的反力影响线以及截面K 的弯矩和剪力影响线。 FP=1
例：作YA 、 M1 、 M2 、 Q2 、 MB 、 Q3 、 YC 、 Q4 、 QC左 、 QC右 影响线
A
1
2 B 3C
4D
2m
Q2影响线
1m 1m 1m 1m 1m 1m
2m 1m 1m
MB影响线 Q3影响线
1
Q2
1
（
MB
E F1 G
23
N2 N2
A C N1 N1 D
YA
力在G点右侧:
mF 0
B
YB N1 YA
A C 1D aa a
1
I.L.YA
力在F点左侧: mF 0 N1 2YB 1
2.N2影响线
力在G点右侧: FY 0 N 2 2YA 2
力在F点左侧: FY 0 N 2 2YB 1
a/l 1
练习:作YA , MA , MK , QK
影响线.
P=1 A l/2 K l/2
第8章 移动荷载作用下的结构分析
练习:作YA , MA , MK , QK MA x
P=1 x
影响线.
A l/2
K
l/2
解: mA 0 MA x
YA
Fy 0 YA 1
xl/2
MK
P=1
MA影响线
l
FP=1
C
K
A
D B
由刚才的分析可见，结点传力情形的主梁影响线 是每节间为直线。则绘制思路可考虑首先确定各 结点的影响线数值，按比例画上竖标，然后每节 间以竖标顶点连直线，所得图形即主梁影响线。
第8章 移动荷载作用下的结构分析
例题：绘制移动荷载作用下支座A的反力影响线以及截面K 的弯矩和剪力影响线。 FP=1
例：作YA 、 M1 、 M2 、 Q2 、 MB 、 Q3 、 YC 、 Q4 、 QC左 、 QC右 影响线
A
1
2 B 3C
4D
2m
Q2影响线
1m 1m 1m 1m 1m 1m
2m 1m 1m
MB影响线 Q3影响线
1
Q2
1
（
MB
结构力学 第8章影响线
图8.2
结构力学
(3) 弯矩影响线
现绘制简支梁上任一截面C的弯 矩影响线。（如图8.2(c)所示） 利用影响线方程绘制影响线的 方法称为静力法。
2.外伸梁的影响线
现绘制图8.3(a)所示外伸梁 的影响线。
(1) 支座反力影响线
在外伸部分(注意当P=1位于支 座A以左时，x取负值)只需将直 线向两个伸臂部分延长，即得 到支座反力的整个影响线，如 图8.3(b)、(c)所示。
上式说明：在均布荷载作用下，某量值S的大小，等于荷载集度q 与该量值影响线在荷载分布范围内面积ω的乘积。
2. 利用影响线确定荷载的最不利位置
(1) 移动的均布荷载作用时
长度不定可以任意布置的均布荷载 对于长度不定可以任意布置的均布荷载，由于它可以任意断续布 置(例如人群、货物等活荷载)，所以最不利荷载位置是较容易确 定的。因此，可任意布置的均布荷载布满对应影响线正号面积的 部分时，则产生量值的最大值，反之，当可任意布置的均布荷载 布满对应影响线负号面积的部分时，则产生量值的最小值。
在位置固定的某集中荷载P作用下，可以利用影响线求截面C的弯 矩值。其步骤是： (1)画欲求弯矩的截面C的MC影响线图， (2)计算P作用点处，MC影响线图上的yK值，由图按比例求得。
(3)根据叠加原理计算弯矩MC。
结构力学
如果梁上作用有荷载集度不同或不连续的分ห้องสมุดไป่ตู้荷载时，则应 逐段计算，然后求其总和，即
结构力学
8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6
影响线的概念 用静力法作单跨静定梁的影响线 机动法作静定梁的影响线 影响线的应用 简支梁的内力包络图和绝对最大弯矩 连续梁的影响线及其应用简介
结构力学
8.1 影响线的概念
结构力学
(3) 弯矩影响线
现绘制简支梁上任一截面C的弯 矩影响线。（如图8.2(c)所示） 利用影响线方程绘制影响线的 方法称为静力法。
2.外伸梁的影响线
现绘制图8.3(a)所示外伸梁 的影响线。
(1) 支座反力影响线
在外伸部分(注意当P=1位于支 座A以左时，x取负值)只需将直 线向两个伸臂部分延长，即得 到支座反力的整个影响线，如 图8.3(b)、(c)所示。
上式说明：在均布荷载作用下，某量值S的大小，等于荷载集度q 与该量值影响线在荷载分布范围内面积ω的乘积。
2. 利用影响线确定荷载的最不利位置
(1) 移动的均布荷载作用时
长度不定可以任意布置的均布荷载 对于长度不定可以任意布置的均布荷载，由于它可以任意断续布 置(例如人群、货物等活荷载)，所以最不利荷载位置是较容易确 定的。因此，可任意布置的均布荷载布满对应影响线正号面积的 部分时，则产生量值的最大值，反之，当可任意布置的均布荷载 布满对应影响线负号面积的部分时，则产生量值的最小值。
在位置固定的某集中荷载P作用下，可以利用影响线求截面C的弯 矩值。其步骤是： (1)画欲求弯矩的截面C的MC影响线图， (2)计算P作用点处，MC影响线图上的yK值，由图按比例求得。
(3)根据叠加原理计算弯矩MC。
结构力学
如果梁上作用有荷载集度不同或不连续的分ห้องสมุดไป่ตู้荷载时，则应 逐段计算，然后求其总和，即
结构力学
8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6
影响线的概念 用静力法作单跨静定梁的影响线 机动法作静定梁的影响线 影响线的应用 简支梁的内力包络图和绝对最大弯矩 连续梁的影响线及其应用简介
结构力学
8.1 影响线的概念
结构力学第8章-影响线及其应用
x A EI l
x
MA
FP=1 原结构 B
11M A 1P 0
2l x l x xl l 11 , 1P 3EI 2l 2 3EI 2l x l x x M A 1P 11 2l 2
1
FPห้องสมุดไป่ตู้1 基本体系
MA 1
§8.4 结点荷载作用下的静定梁影响线
（1）FAy、FBy影响线与以前一样 （2）MC、MD影响线与以前一样 （3）MK影响线 ①荷载移动到各结点（C、D、E）处时，与荷载直接作 用在主梁上的情况完全相同。 ②荷载移动到任意两相邻结点（例如C和D）之间时
§8.4 结点荷载作用下的静定梁影响线
MK dx x yC y D d d
ab l l
B
b
A a C
l
FP=1 b
B
b l
MC影响线
ab l b
M图
a l
FQC影响线
a l
l
FQ图
§8.2 用静力法作静定梁的影响线
3）伸臂梁影响线
（1）支座反力影响线
lx FAy l FBy x l
E A FAy l1
1 E A B F FAy影响线
l2 l
FP=1 C B FBy l2 D
FP=1
MC
FGy
B
MC FN 1 h
FP 1在C点以右, 取左隔离体
FAy
2d h
FGy
4d h
FN 1影响线
FN 1 h M
FN 1 h FAy 2d 0 MC
C
MC FN 1 h
FP 1在C点
x
MA
FP=1 原结构 B
11M A 1P 0
2l x l x xl l 11 , 1P 3EI 2l 2 3EI 2l x l x x M A 1P 11 2l 2
1
FPห้องสมุดไป่ตู้1 基本体系
MA 1
§8.4 结点荷载作用下的静定梁影响线
（1）FAy、FBy影响线与以前一样 （2）MC、MD影响线与以前一样 （3）MK影响线 ①荷载移动到各结点（C、D、E）处时，与荷载直接作 用在主梁上的情况完全相同。 ②荷载移动到任意两相邻结点（例如C和D）之间时
§8.4 结点荷载作用下的静定梁影响线
MK dx x yC y D d d
ab l l
B
b
A a C
l
FP=1 b
B
b l
MC影响线
ab l b
M图
a l
FQC影响线
a l
l
FQ图
§8.2 用静力法作静定梁的影响线
3）伸臂梁影响线
（1）支座反力影响线
lx FAy l FBy x l
E A FAy l1
1 E A B F FAy影响线
l2 l
FP=1 C B FBy l2 D
FP=1
MC
FGy
B
MC FN 1 h
FP 1在C点以右, 取左隔离体
FAy
2d h
FGy
4d h
FN 1影响线
FN 1 h M
FN 1 h FAy 2d 0 MC
C
MC FN 1 h
FP 1在C点
结构力学讲解
当a ? x ? l ? a时
Mc
?
FRA ?a ?
a(l ? l
x)
x FQC ? ? FRA ? 1 ? l
3.影响线如图：
思考题： 上例中悬臂部分某截面内力影响线如何作？
返回
§8-3 结点传递荷载下主梁的影响线
结点、结间梁： 结点传递荷载
问题： 移动荷载Fp=1作用在结间梁上，如何作主梁影响线？
计算中应注意什么？
返回
§8-7 最不利荷载位置的确定
最不利荷载位置：结构上指定截面指定量值产生最大或最小影 响量的荷载位置称为该量值的最不利荷载位置。
一、集中移动荷载相当于三角形影响线的最不利荷载位置
1.一个集中荷载时
影响量：Z=FP.y 显然，当FP移至影响线顶点 位置时影响量最大， Zmax=FP.c 这一位置即为最不利位置。
计算F P1 在影响线顶点及 F P2 在影响线顶点两个位
置时的影响量：Z 2
?
Fp1
?c b
?b
?
s ??
Fp2
?c
Z1
?
Fp1 ?c ?
Fp2
c ? a
?a
?
s?
比较Z1、Z2，最大影响量对应的荷载位置即为最
不利荷载位置。
3.多个集中力时 n ? 影响量：Z ? Fpi ?yi i 方法一：将n个集中力依次放在影响线顶点，分别计算影响量， 其中最大、最小影响量对应的荷载位置就是最不利荷以右时，dz dx
?
0
即FR左 tan? ? Fpi ? FR右 tan? ? 0
将tan? ? c/? ，tan? ? c/? 代入上式即得临界荷载 判别式：
FR左 ? FPcr ? FR右
结构力学课件8影响线1
CD E
dd 22
l=4d
15d
5d
3d
16
yC 8
4 yE
1
1
2
1 4
2020/2/10
B
（4）I.L QD
I.L MD
小结
1、先按直接荷载作用画出 内力影响线；
2、投影各结点与影响线相 交，各交点间连以直线。
I.L QD
1
14
2020/2/10
15
a b cⅡ d e f g
h
A
2
B CD E F
I.L QC
q AB
AB－影响线面积代数和
23
二、求荷载的最不利位置
如果荷载移到某一个位置，使某一指定内力达到最大值（＋、－）， 则此荷载所在位置称为最不利位置。
我们可以利用影响线来确定最不利位置，对比较简单的情况可以直观 地判断最不利位置。
（１）一个集中荷载
（２）一组集中荷载
（３）任意分布荷载
15 d 16
x1
I.L MD
由比例可得：
yC
5d 8
, yE
3d 4
d xC
Ex
d
dd
在C、E两点间连一直线，即得 MD影响线。
当P=1作用在C和E两点时,与直接
C DE
作用一样,纵标值仍为 yC 和 yE
2020/2/10 利用叠加原理,
yD
yC
d
d
x
yE
x d
13
P=1
A
第八章
2020/2/10
1
§8-1 移动荷载与影响线的概念
移动荷载的例子
结构力学第8章影响线及其应用
结构力学
在实际工程中，活载又可分为移动活载和可动 活载两类。汽车荷载吊车荷载都属移动荷载，而人群、 风、雪等活载则属可动活荷载。
为了清晰和直观起见，最好把量值随FP＝1移动 而变化的规律用函数图形表示出来，这种图形称为影 响线。它的定义如下：当一个方向不变的单位荷载沿 一结构移动时，表示某指定截面的某一量值变化规律 的函数图形，称为该量值的影响线。
结构力学
§8-2 用静力法作静定梁影响线
下面先以简支梁为例，介绍按静力法绘制其 反力、弯矩和剪力影响线的方法。
结构力学
8-2-1 简支梁的影响线
1. 反力影响线
设要绘制简支梁(图8-4a)反力FAy的影响线。为 此，取梁的左端A为原点，令x表示FP＝1至原点A的 距离，并假定反力的方向以向上为正。根据力矩条 件由MB＝0，
1
结构力学
b
l
FQC影响线
a
1
l
8-2-2 影响线与内力图的比较
影响线和内力图虽然都是表示某种函数关系的 图形，但两者的自变量和因变量是不相同的。现以 简支梁弯矩影响线和 弯矩图为例说明如下：
A x FP=C1 D B
A x FP=C1 D
a
b
l
a
b
l
ab
l
M
D C
b
(a)
MC影响线
MD F P ab
F
A Ay
1
F
C Ay
3 4
F
D Ay
1 2
F
E Ay
1 4
FABy 0
的变化规律。如果要
FAy影响线
表 示 FBy 或 其 它 量 值 的
变化规律，则需另行
作 出 FBy 的 影 响 线 或 其 结它构相力学应 量 值 的 影 响 线 。
在实际工程中，活载又可分为移动活载和可动 活载两类。汽车荷载吊车荷载都属移动荷载，而人群、 风、雪等活载则属可动活荷载。
为了清晰和直观起见，最好把量值随FP＝1移动 而变化的规律用函数图形表示出来，这种图形称为影 响线。它的定义如下：当一个方向不变的单位荷载沿 一结构移动时，表示某指定截面的某一量值变化规律 的函数图形，称为该量值的影响线。
结构力学
§8-2 用静力法作静定梁影响线
下面先以简支梁为例，介绍按静力法绘制其 反力、弯矩和剪力影响线的方法。
结构力学
8-2-1 简支梁的影响线
1. 反力影响线
设要绘制简支梁(图8-4a)反力FAy的影响线。为 此，取梁的左端A为原点，令x表示FP＝1至原点A的 距离，并假定反力的方向以向上为正。根据力矩条 件由MB＝0，
1
结构力学
b
l
FQC影响线
a
1
l
8-2-2 影响线与内力图的比较
影响线和内力图虽然都是表示某种函数关系的 图形，但两者的自变量和因变量是不相同的。现以 简支梁弯矩影响线和 弯矩图为例说明如下：
A x FP=C1 D B
A x FP=C1 D
a
b
l
a
b
l
ab
l
M
D C
b
(a)
MC影响线
MD F P ab
F
A Ay
1
F
C Ay
3 4
F
D Ay
1 2
F
E Ay
1 4
FABy 0
的变化规律。如果要
FAy影响线
表 示 FBy 或 其 它 量 值 的
变化规律，则需另行
作 出 FBy 的 影 响 线 或 其 结它构相力学应 量 值 的 影 响 线 。
结构力学 8影响线及其应用
P1 P2 Pk
C a b
PN
y2 yk h yN R L Pk RR a b MC影响线 dy1 Pk R R RL dx ---临界荷载判别式 a b 此式表明:临界力位于那一侧，那一侧的等效均布荷载集度就大。
h h ( PK 1 PN ) 0 a b h h ( P1 P2 Pk 1 ) ( PK PN ) 0 a b 临界力位于影响线顶点时的荷载位置称为临界位置。 ( P1 P2 Pk )
A
B
C
2 Ⅱ
3. I.L N2
D E F G
取截面Ⅱ－Ⅱ
l = 6d
P=1 A
c
4d 3h
P=1
B
Mc 0
M c N2 h
RA
RG
I .LN 2
a
b
Y 3
c
Y N3
d
e
f
g
Y 4、斜杆N3－ I .L N 3
N 3
A B C D E F G
h
Ｐ＝１在Ｂ以左：
Y N 3 RG
RA
结构力学
Structural mechanics
8 影响线及其应用
华夏学院土木与建筑工程系
8 影响线及其应用
目的：解决移动荷载作用下结构的内力计算问题。
内容： 1）在移动荷载作用下结构内力变化规律和范围； 2）确定内力的最大值及相应的荷载位置 ——最不利荷载位置； 3）简支梁的绝对最大弯矩； 4）内力包络图。
yD yc yE
纵梁 横梁
P 1作用：
P=1
主梁
C
E X D C d E B
A
D
07 结构力学第8章-影响线
此为P负，故RB为正。
§8-5 机动法作影响线
机动法做静定结构反力或内力影响线的步骤： 1.解除与所求量值对应的约束，代之以约束力，使结构变 成可变体系； 2.使体系沿约束力的正向发生单位虚位移，如此得到的位 移图即为该量值的影响线； 杆轴以上的图形部分取正、反之取负。
静定结构故撤静除定一结个构的约反束力后和是内几力何影可响变线体都系是，直发线生或的折均线是图刚形体。位移，
HA
KB
EC
F DG
1m 3m
1m 3m
1m 2m 2m 1m
作I.L.MK 1/4
I.L.MK 1/4 －
3/4 1
K MK
3/4 +
9/2
9/4
－
9/2
+
9/4
－
9/4
§8-5 机动法作影响线
HA
P=1
KB
EC
F DG
1m 3m
1m 3m
1m 2m 2m
作I.L.QK
1/4
1
3/4
1/4
K
Qk
l
1 I.L.RB
I.L.MC I.L.QC
§8-5 机动法作影响线
机动法——以虚功原理为基础，把作内力或反力影响线 的静力问题转化为作位移图的几何问题。
刚体的虚功原理—— 刚体体系在某力系作用下处于平衡的充要条件是， 体系发生的任何微小的允许的虚位移中，力系所 作的虚功总和恒等于零。 满足约束条件
§8-5 机动法作影响线
1、简支梁影响线 (1)简支梁反力影响线 P=1
A
P=1 A
P
规定 P与P方向一致为正
刚体的虚功原理：
B RB B P P 0
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与其他截面上的弯矩无关。
(4) 绘制规定不同 MC的影响线中的正弯矩画在基线的上方， 负弯矩画在基线的下方，标明正负号。
★第三节
结点荷载作用下梁的影响线
(1)支座反力FRA和FRB的影响线
(2)MC的影响线 C点正好是结点。
(3) MD的影响线 (4) FQCE的影响线 力，以FQCE表示。 MD的影响线如图8-5c所示。 在结点荷载作用下，主梁在C、E两点之间
3.弯矩影响线作法 由此得简支梁作弯矩影响线简易作法：先作一基线，在基线对
应所作弯矩影响线截面处作一竖线，其值为ab/l，连接A、B两
端，即为此截面弯矩的影响线，如图8-2e所示。 弯矩影响系数其量纲为L，单位为m
3.弯矩影响线作法 【例8-1】试用静力法绘制图8-3所示外伸梁的FAy、FBy、FQC、 MC 、FQD、MD的影响线。 【解】(1)绘制反力FAy、FBy的影响线。取A点为坐标原点，横 坐标x向右为正。当荷载F＝1作用于梁上任一点x时，分别求得 反力FAy、FBy的影响线方程为
这就是FRB的影响线方程。由此方程知，FRB的影响线是一条
直线。在A点，x=0，FRA=0。在B点，x=1，FRB=1。利用这 两个竖距便可以画出FRB的影响线，如图8-2b所示。
(2) 支座反力FRA影响线作法 将FP=1放在任意位置，距A点为x。由平衡条件 解得 这就是FRA的影响线方程。由此方程知，FRA的影响线也是一
1.支座反力的影响线 (1) 支座反力FRB影响线作法 如图8-2a所示简支梁，将FP=1放 将FP=1放在任意位置，距A点为x。
在任意位置，距A点为x。
(2) 支座反力FRA影响线作法
(1) 支座反力FRB影响线作法 如图8-2a所示简支梁，将FP=1放在任意位置，距A点为x。 由平
衡条件
∑MA=0,FRB/（l-1x）=0 解得FRB=xl (0≤x≤l)
结构力学简明教程
第八章 影 响 线
第八章 第一节
★第三节
影
响
线
影响线的概念 结点荷载作用下梁的影响线 用机动法作影响线 影响线的应用 简支梁的内力包络图与绝对最大弯矩 连续梁的内力包络图
第二节 用静力法作简支梁的影响线
第四节 第五节 第六节
★第七节
第一节
影响线的概念
荷载，其大小、方向和作用点都是固定不变的，称为固定荷 载。
左时，取截面D右边为隔离体，求得影响线方程为
当F＝1作用于截面D以右时，仍取截面D右边为隔离体，求得
影响线方程为
若取坐标原点为D，x向右为正，则MD弯矩方程为
由上绘出FQD和MD的影响线分别如图8-3f、g所示。
3.弯矩影响线作法
图 8-3
3.弯矩影响线作法
图 8-4
3.弯矩影响线作法 (1) 荷载类型不同 绘弯矩的影响线时，所受的荷载是单位移 弯矩影响线方程的自变量x表示
动荷载FP＝1；而绘弯矩图时，所受的荷载则是固定荷载F。
(2) 自变量x表示的含义不同 的则是截面位置。 (3) 竖距表示的意义不同 MC的影响线中任一点D的竖距表示单 位移动荷载F＝1作用于点D时，截面C上弯矩的大小，即MC的 影响线只表示C截面上的弯矩MC在单位荷载移动时的变化规律， 单位移动荷载F＝1的作用位置，而弯矩方程中的自变量x表示
以上两个方程与相应的简支梁的反力影响线方程完全相同，只 是x的取值范围有所扩大而已，因此，只需将相应简支梁的反
力影响线向两个伸臂部分延长，即可绘出整个外伸梁的反力FA
y和FBy的影响线，分别如图8-3b、c所示。
3.弯矩影响线作法 (2) 绘制剪力FQC、弯矩MC的影响线 当F＝1作用于截面C以
左时，取截面C右边为隔离体，求得影响线方程为
(3) MD的影响线 为了证明上述作法的正确性，只需注意以下两点：
1)如果单位荷载加在C点或E点，则结点荷载与直接荷载完全相
同，所以在结点荷载作用下MD影响线在C点的竖距yC和E点的 竖距yE与直接荷载作用下相应的竖距相等。 2)如单位荷载作用在C、E两点之间，其到C点的距离以x表示， 则纵梁CE的反力如图8-5d所示。 由此可得结论如下： 1) 在结点荷载作用下，结构任何影响线在相邻两结点之间为一 直线。 2) 先作直接荷载作用下的影响线，用直线连接相邻两结点的竖 距，就得到结点荷载作用下的影响线。
条直线。在A点，x=0， FRA=1。在B点，x=1，FRB=0。利用
这两个竖距便可以画出FRA的影响线，如图8-2c所示。
(2) 支座反力FRA影响线作法
图 8-2
2.剪力影响线作法
简支梁剪力影响线的简单作法是：在一个简支梁上同时作 出FA和-FB的影响线，在所求剪力FQ截面处作一竖线，所 截取的两个三角形，即为剪力FQ在此截面的影响线，如图 8-2d所示。其他任意截面剪力影响线作法更简便了，将竖 线推到什么截面就生成什么截面的剪力影响线。剪力影响 线系数为无量纲量。
当F＝1作用于截面以右时，取截面C左边为隔离体，求得影响
线方程为
由上可知，FQC和MC的影响线方程也与简支梁的相同。因而 与绘制反力影响线一样，只需将相应简支梁的FQC和MC的影 响线向两外伸臂部分延长，即可得到外伸梁的FQC和MC的影 响线，分别如图8-3d、e图所示。
3.弯矩影响线作法 (3) 绘制剪力FQD、弯矩MD的影响线。当F＝1作用于截面D以
用FRB求MC。由此可知，MC的影响线作法与图8-2e完全相 同，如图8-5b所示。C点的竖距为
(3) MD的影响线 先假设FP=1直接加于主梁AB，则MD的影响线为一三角形(其
中CE段为虚线)。D点的竖距为
由比例可知，C、E两点的竖距为
将C、E两点的竖距连一直线，就得到结点荷载作用下MD的影 响线，如图中实线所示。
图 8-1
第二节
用静力法作简支梁的影响线
作静定结构的内力或支座反力的影响线有两种基本作法，一静
力法，二机动法。 静力法是先把单位移动荷载F＝1放在任意位
置，以x表示单位移动荷载到所选坐标原点的距离，将单位移 动荷载视为固定荷载，通过平衡方程，从而确定所求支座反力 和内力的影响函数，作此函数的图像，即为影响线。 1.支座反力的影响线 2.剪力影响线作法 3.弯矩影响线作法
没有外力，因此CE一段各截面的剪力都相等，通常称为结间剪
★第三节
ห้องสมุดไป่ตู้
结点荷载作用下梁的影响线
图 8-5
(1)支座反力FRA和FRB的影响线 支座反力FRA和FRB的影响线，与图8-2b、c完全相同，在图8-
5中没有画出。
(2)MC的影响线
FP=1在C点以右时，利用FRA求MC；FP=1在C点以左时，利